Para generar valores de variables aleatorias no-uniformes es usado también el método de composición, en la cual la distribución de probabilidad f(x) se expresa cómo una mezcla de varias distribuciones de probabilidad f(x) seleccionadas adecuadamente. Este procedimiento se basa en el objetivo de minimizar el tiempo de computación requerido para la generación de valores de la variable aleatoria analizada. El método de composición-conocido también como método mixto-permite generar variables aleatorias x cuando estas provienen de una función de densidad fx qué puede expresarse cómo la combinación convexa de distribuciones de probabilidad fi(x). Entonces, la combinación combinación convexa se puede expresar como:
Donde:
Algunas de las distribuciones mas conocida que pueden expresarse como una combinación convexa son: triangular, de Laplace y trapezoidal. El procedimiento procedimiento general de generación generación es el siguiente: 1. Calc Calcul ular ar la pro proba babi bili lida dad d de de cad cadaa una una las las dis distr trib ibuc ucio ione ness 2. Asegu segura rarr que que cada cada func funció ión n sea sea fun funcción ión de de den densi sid dad. ad. 3. Obtener, mediante el método de la transformada inversa, las expresiones para generar variables alea aleato tori riaas de cad cada una una de las las dist distri ribu buci cion ones es 4. Gener eneraar un un núm númer ero o pse pseud udoa oale leaatori torio o
.
que que perm permit itaa defi defini nirr el el val valor or de
5. Sele Selecc ccio iona narr la func función ión gene genera rado dora ra cor corre resp spon ondi dien ente te a la func funció ión n 6. Generar un segundo número pseudoaleatorio y
. sustituirlo
en
la
generadora anterior para obtener . Un ejemplo de una combinación convexa es la Distribución triangular que se desarrollara paso a paso: A partir de la función de densidad triangular
Calcular la probabilidad de cada uno de los segmentos segmentos de la l a función
Ya que los segmentos por separado no son funciones de densidad, se ajustan dividiendo por su correspondiente
.
Expresando la función como una combinación convexa convexa se obtiene:
función
Donde: Primero integramos para aplicar el método de la transformada inversa a cada segmento de la función:
Luego, despejando x y sustituyendo
en obtenemos:
Por último, al expresar la ecuación anterior incluyendo la función indicadora que tenemos que:
Ejemplo: Generar una muestra de 5 variables aleatorias con distribución triangular a partir de los parámetros: valor mínimo 5, moda 10 y valor máximo 20.
Sustituyendo obtenemos:
Al generar una secuencia de números pseudoaleatorios se obtiene la secuencia de variables triangulares que se lista en la siguiente tabla:
Bibliografía simulacion y analisis de sistemas con promodel.Garcia Dunna Eduardo, Garcia Reyes Heriberto y Cardenas Barron E. Leopoldo Edit.Pearson Educacion Primera Edicion. pag. 82-85 Bueno con todo lo anterior nos sirve para resolver el problema del examen 3er parcial del ingeniero. De la siguiente manera. 1. Una empresa dedicada a la venta de quinua tiene una demanda que sigue una distribución triangular con parámetros en (kg/día): mínimo 80, moda 100 y máximo 130. El dueño de la tienda revisa el inventario cada 7 días y hace un pedido igual a la capacidad de su almacén menos la cantidad de quinua que tiene disponible en ese momento: la entrega es de inmediata. La capacidad del almacén es de 500 kg. Por la
falta de producto, se tiene costos por perdidas , El costo de ordenar es de 1000 Bs por pedido, El costo de faltante es de Bs. 5 por Kg. El costo de llevar inventario es de Bs. 1 por Kg. Simule 15 días, empezando el día 0 y halle el costo promedio por día. Utilice el algoritmo lineal para la generación de números aleatorios, con x0=63, a=83, c=76, m=123 SOLUCION Primero lo más fácil generar los aleatorios:
Nro. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x0 63 16 51 4 39 115 27 103 15 91 3 79 114 67 102 55
(() ) 16 51 4 39 115 27 103 15 91 3 79 114 67 102 55 90
ri 0,1311 0,4180 0,0327 0,3197 0,9426 0,2213 0,8443 0,1229 0,7459 0,0246 0,6475 0,9344 0,5491 0,8306 0,4508 0,7377
Seguidamente utilizamos la función de distribución triangular que es la siguiente:
De esto se obtendrá las siguientes funciones para la generación de variables aleatorias en este caso la simulación, los pasos están explicados paso a paso en la sección anterior.
Por último, al expresar la ecuación anterior incluyendo la función indicadora que tenemos que:
() () √ () [()√ ] () () √ √ ] [ √ [√ ]
Donde: Reemplazando obtenemos:
Simplificando:
En este ejercicio supongamos que se evaluara el r i=r j Nro. ri 0 1 2 3
0,1311 0,4180 0,0327 0,3197
87,24=87 83,62=84 91,31=91
107,11=107 -
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0,9426 0,2213 0,8443 0,1229 0,7459 0,0246 0,6475 0,9344 0,5491 0,8306 0,4508 0,7377
89,41=89 87,01=87 83,14=83 Nro.
Simulación=
122,81=123 118,16=118 114,88=115 112,44=112 122,31=122 109,85=110 117,65=118 107,76=108 114,63=115 Almacen=500
Unid. inventario 0 87 500 413 1 107 413 306 2 84 306 222 3 91 222 131 4 123 131 8 5 89 8 6 118 0 7 87 500 214 8 115 214 99 9 83 99 16 10 112 16 11 122 0 12 110 0 13 118 0 14 108 500 15 115 0 El pedido y la revisión es cada 7 días por esta razón es que el almacén se vuelve a estos se van rápidamente por compensar a l as unidades faltantes. Nro. Costos de Costo de Costo de Días pedidos inventario faltantes 0 1000 413 1 306 2 222 3 131 4 8 5 405 6 995 7 1000 214 8 99 9 16 10 480 11 1090 12 1640 13 2230 14 1000 270 15 0 845 Total Promedio La respuesta seria que el costo promedio por día es igual a 772,75 Bs/día
Unid. faltantes 81 199 96 218 328 446 54 169 llenar con 500 Kg, pero Total costos por día 1413 306 222 131 8 405 995 1214 99 16 480 1090 1640 2230 1270 845 12364 772,75
