FACULTAD DE INGENIERÍA
F I
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
UMSA
ÁREA: MATEMÁTICA
FECHA: 5.05.2009
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS NO SE PERMITE CALCULADORAS ************************************************************************************************************************************************************
En las siguientes preguntas marque en un recuadro la opción correcta: log 2 4 log 1 4
1.- (8 puntos) Si E
2
log 3 243 log 1 81
, ¿el valor de E es?:
3
a. -1
b. -2
c. 1
d. 2
e. 3
f. 4
g. ninguno
2.- (8 puntos) Dados dos números a, b extremos y H su medio armónico, entonces una expresión para la media armónica es:? a)
H a b
b)
H
ab ab
c)
ab ab
H
d)
H
2ab ab
3.- (8 puntos) Si el segundo término de una progresión armónica es 3 y el quinto es 6/11 entonces el octavo término es: a) 3/10
b)
10/3
c) 17/6
d)
6/17
e) N. A.
4.- (8 puntos) Si tg ( 45º x) 4, entonces el valor R 8tg 2 x es: a) 15
b) 20
c) 12
d) 25
e) ninguno
5.- (8 puntos) Indicar los valores principales para la solución de la ecuación. 2 sen x 3 0 a)
1 ,5 4
b) ,2
c)
3 , 4
d)
e). Ninguno
Resuelva los siguientes problemas con el máximo detalle en el procedimiento: 1.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonometriítas: tgx ctgy 8 8 ctgx tgx 7
(1) (2)
2.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 1 1 x 3 5 5 5
log 5 120 ( x 3) 2 log 5 (1 5 x 3 ) log 5
3.- (20 puntos) Un coronel que manda 3003 soldados quiere formarlos en triángulo, de manera que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá la formación? ¿Cuántos soldados tendrán la última fila?
FACULTAD DE INGENIERÍA
F I
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
UMSA
ÁREA: MATEMÁTICA
FECHA: 5.05.2009
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS NO SE PERMITE CALCULADORAS ************************************************************************************************************************************************************
SOLUCIONARIO log 2 4 log 1 4
1.- (8 puntos) Si E
2
log 3 243 log 1 81
, ¿el valor de E es?:
3
a. -1
b. -2
c. 1
d. 2
e. 3
f. 4
g. ninguno
1 log 2 2 2 2 log 2 2 1 1 2 log 2 2 2 1 log 2 2 log 2 1 0 log 2 2 2 1 4 E 4 4 log 3 3 4 log 3 3 1 5 log 3 35 5 log 3 3 1 1 1 log3 1 0 log 3 3 log 3 3
log 2 22
2.- (8 puntos) Dados dos números a, b extremos y H su medio armónico, entonces una expresión para la media armónica es:? a)
H a b
b)
H
ab ab
c)
H
ab ab
d)
H
2ab ab
3.- (8 puntos) Si el segundo término de una progresión armónica es 3 y el quinto es 6/11 entonces el octavo término es: a) 3/10
b)
10/3
c) 17/6
d)
6/17
e) N. A.
Como la progresión es armonica, en su progresión aritmética asociada tendremos los siguientes datos: segundo termino 1/3 y quinto termino 11/6, con estos datos encontramos la razon y el primer termino.
a n a1
1 a a d 2 1 3 (n 1)d , el sistema a formarse sera: a a 4d 11 5 1 6
Restando ambas ecuaciones tenemos: 3d
a1
3 1 d , el primer termino es: 2 2
1 7 1 10 1 1 1 1 entonces: a8 7 6 2 6 3 3 2 6 2
4.- (8 puntos) Si tg ( 45º x) 4, entonces el valor R 8tg 2 x es: a) 15
b) 20
c) 12
d) 25
e) ninguno
Aplicando el concepto de la suma de arcos y las definiciones de identidad se obtiene: tg ( 45º x )
tg 2 x
tg 45º tgx 1 tgx 4 1 tgx 4 tgx tgx 3 / 5 1 tg 45º.tgx 1 tgx
2tgx 2( 3 / 5) 6/5 15 2 1 tg x 1 ( 3 / 5)(3 / 5) 16 / 25 8
5.- (8 puntos) Indicar los valores principales para la solución de la ecuación. 2 sen x 3 0
a)
1 ,5 4
b) ,2
c)
3 , 4
d)
e). Ninguno
3 3 x arcsen 2 2 Como el seno de un ángulo esta contenido entre 1,1 la respuesta es ninguno 2 sen x 3 senx
1.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonometriítas: tgx ctgy 8 8 ctgx tgy 7 1.- La ecuación (1) se puede expresar como: senx cos y 8 cos x seny
senx.seny cos x cos y 8 cos x.seny
(1) (2)
cos( x y ) 8cos x.seny
(3)
Ahora, la ecuación (2) se expresa como: cos x seny 8 senx cos y 7 Sumando (3)+(4)
cos x cos y senxseny 8 senx cos y 7
cos( x y ) 8 cos xseny 7 cos( x y ) 8senx cos y
7 cos( x y ) 8senx cos y
cos( x y ) sen( x y )
(3) (4)
8cos( x y ) 8 senx cos y cos xseny 8sen( x y ) ( x y ) 0 2
sen( x y ) sen
2 cos( y ) sen( x ) 0 4 4
La ecuación se cumple cuando:
cos( y ) 0 sen( x ) 0 4 4 Las soluciones principales: cos( y ) 0 y arccos 0 4 4 sen( x ) 0 x arc sen 0 4 4 Las soluciones generales
y
4 2
x
y 2k
y
4
0 x 4 4
, x m 4 4
2.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 1 1 x 3 5 5 5
log 5 120 ( x 3) 2 log 5 (1 5 x 3 ) log 5
1 (1 5 x3 ) 5 1 log 5 120 log 5 5 x 3 2 log 5 (1 5 x 3 ) log 5 log 5 (1 5 x 3 ) 5 1 log 5 120 log 5 5 x 3 log 5 2 log 5 (1 5 x 3 ) log 5 (1 5 x3 ) 5 1 log 5 (120 5 x 3 ) log 5 (1 5 x 3 ) 5 log 5 120 log 5 5 x 3 2 log 5 (1 5 x 3 ) log 5
De donde
(4)
1 120 5 x 3 1 5x 3 24 5x 3 5x 3 1 25 5x3 1 5 2 x 3 5 5 1 5 x 1 1 5x 1 50 x 1 0
x 1
3.- (20 puntos) Un coronel que manda 3003 soldados quiere formarlos en triángulo, de manera que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá la formación? ¿Cuántos soldados tendrán la última fila? La suma de una progresión aritmética es De esta ecuación se obtiene Entonces la respuesta valida es n 77
S
n n 1 2
n 77, n 78
3003 , pero n
Lo que equivale también al número de filas y el número de soldados. Rpta.:
Nro de filas = 77 Nro de soldados en la ultima fila = 77
n n 1 2
