Apuntes de Calculo diferencial 2.4 Funciones algebraicas, función polinomial, racional e irracional
Hacia finales del siglo XVIII, los matemáticos y científicos había llegado a la conclusión de que un gran número de fenómenos en la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos, construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Estas funciones se dividen en tres categorías. • • •
Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales). Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente). Funciones exponenciales y logarítmicas
Una función de la forma , donde es una constante (número real), se denomina función constante. Su gráfica es una recta horizontal. La función se denomina función identidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente igual a 1. Con base a estas funciones sencillas, podemos construir otras muchas funciones importantes.
Funciones polinomiales Cualquier función que pueda obtenerse a partir de las funciones constantes y de la función identidad por medio del uso de las operaciones de suma, diferencia y multiplicación se denomina función polinomial. Esto equivale a decir que , es una función polinomial con la forma: . Donde el entero positivo es el grado de la función polinómica. Las constantes se denominan coeficientes, siendo el coeficiente dominante y el término constante. Aunque se suele utilizar subíndices para los coeficientes de las funciones polinómicas en general, para las de grados más bajos se utilizan con frecuencia las siguientes formas más sencillas: Grado cero Grado uno Grado dos Grado tres
Función constante Función lineal Función cuadrática Función cúbica
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Algunos ejemplos de estas funciones elementales:
Ejercicios Elabore una gráfica de las siguientes funciones polinomiales, indique su dominio y su contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 1. 2. 3.
2 2
4 10
3 1 6
1
Funciones racionales Del mismo modo que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función f es racional si tiene la forma: , siempre que
0.
Donde y son polinomios. El dominio de estas funciones excluye los ceros del polinomio de . La gráfica de una función racional puede tener asíntotas verticales. Las gráficas de las funciones racionales y de los polinomios tienen varias características en común. en la ecuación Por ejemplo, una función racional solo tiene un número finito de raíces, pues
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solo se puede anular si el polinomio del numerador
se anula. De manera
análoga la gráfica de una función racional sólo puede tener un número finito de dobleces. Pero el polinomio del denominador de la ecuación
puede tener una raíz en el punto
donde el numerador no se anule. En este caso, el valor de será muy grande cuando esté muy cerca de . esta observación implica que la gráfica de una función racional puede tener una característica que la gráfica de un polinomio no tiene: una asíntota.
Ejemplo 1 La figura muestra la gráfica de la función racional: 2 1
1 2
Observe las interecciones con el eje x, x=‐2 y x=1, correspondientes a las raíces del numerador (x+2)(x‐1). Las rectas verticales x=‐1, x=0 y x=2 que aparecen en la gráfica corresponden a las raíces del denominador x(x+1)(x‐2). Estas rectas verticales son asíntotas de la gráfica de f.
Ejemplo 2 La figura muestra la gráfica de la función racional. 1 2
2 1
Las intersecciones con el eje , 1, 0, 1 corresponde a la raíces del numerador, mientras que las asíntotas 1 y 2 corresponden a las raíces del denominador.
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Ejercicios Elabore una gráfica de las siguientes funciones polinomiales, indique su dominio y su contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
1. 2.
3.
Las funciones polinómicas y las racionales son ejemplos de funciones algebraicas. Se llama función algebraica aquella que puede expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias, 1 es algebraica. Las productos, cocientes y raíces que contengan . Por ejemplo √ funciones no algebraicas se denominan trascendentes. Por ejemplo las funciones trigonométricas son trascendentes.
Funciones irracionales Del mismo modo que un número irracional no puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función f es irracional si tiene la forma , donde
es una función polinómica o racional
El dominio de estas funciones excluye los valores donde los valores de la raíz son válidos, dependiendo del valor de . Si es par, el radical está definido para 0; así que a los que contiene un radical, habrá que imponer la condición efectos de calcular el dominio de anterior al conjunto de la expresión .
Ejemplo 3. Algunos ejemplos de funciones irracionales son: 1
√ 1 1 √ 1
√
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1
1
1 √1 √
√
√
1
1
Ejemplo 4 Analizar y graficar la función
√
1
Solución El dominio de esta función está limitado por la condición del radical, el cual no admite números negativos. Esta condición se puede escribir como: 1 0. En la sección 1.5 ya se estudio cómo resolver esta desigualdad, la cuál es válida para valores tales que están en el intervalo ∞, 1 1, ∞ . Por lo tanto el dominio es ∞, 1 1, ∞ .
Ejercicios Elabore una gráfica de las siguientes funciones irracionales, indique su dominio y su contradominio, además indique si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. √9
1. 2. 3.
√ √
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