BIBLIOTECA JUVENIL
ILUSTRADA Concepcion Ruiz'
Sergio de Regules
Cr6nicas algebr~icas y 1
512.009 R8
2002
Ruiz, Concepcion Cr6nicas algebraicas / Concepcion
Ruiz y Sergio de Regules;
ilus. Mauricio Gomez. - Mexico: SEP : Santillana, 2002. 64 p. : il. - (Libras del Rincon) ISBN: 970-18-9812-5
SEP (obra completa)
ISBN: 970-18-9828-1
SEP
1. Algebra - Historia. I. Regules, Sergio de. II. Gomez, Mauricio, il. III. t. IV Ser.
Direccion editorial: Antonio Moreno Paniagua Prodtlccion
D.R. ©
editorial: Diagrama Casa Editorial, S.c.
Editorial Santillana, SA de C.V, 2002 Av. Universidad
767, co!. Del Valle,
03100, Mexico, D.E D.R. ©
Secretarfa de Educacion
Pliblica, 2002
Argentina 28, Centro, 06020, Mexico, D.E
ISBN: 970-29-0029-8
Editorial Santillana
ISBN: 970-29-0478-1
Editorial Santillana
ISBN: 970-18-9812-5
SEP Cobra completa)
ISBN: 970-18-9828-1
SEP
Prohibida
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Cobra completa)
medio mecanico
de los coeditores.
Contenido Presentacion Algebra egipcia y babilonica El epitafio de Diofanto Al-]warizmi Cuatro personajes en busca de una ecuacion Ecuaciones cuadnHicas Girolamo Cardano Ecuaciones de tercero y cuarto grados Rakes cuadradas de numeros negativos Los simbolos del algebra L Que quiere decir algebra? La dama misteriosa Breve cronologia del algebra 1 Breve cronologia del algebra 2 La regIa de los signos No todo 10 que brilla es oro Rene Descartes El matematico en la cama La recta en el plano cartesiano De Fahrenheit a Celsius La expansion del universo Parabolas de papel Un monton de trigo Numeros enormes Usted esta aqui Lluvia de estrellas Meridianos y paralelos ] oyas del plano cartesiano Algebra de cuadritos y bolitas fndice analitico
5 6 8 10 12 14 16 18
20 22 24 26~
28 30 32 34 36
38 40 42 44 46 48
50
52 54 56 58 60 62
88y , ,
, J
Presentaci6n
La
Biblioteca Juvenil ilustrada presenta en este volumen 27 temas que explican d~"
forma clara y sencilla las bases y
105
origenes del algebra y de la geometria analftica.
En estas paginas tambien se narran varias historias y se presentan personajes divertidos asociados con las matematicas. El objetivo de la Biblioteca Juvenil Ilustrada es poner en manos de todos
105 jovenes
libros que despierten su interes en las materias mas variadas, desde matemaricas y quimica, hasta gramatica y literatura, desde las leyes del universo hasta cotidianos. Libros que
105
hagan pensar y entusiasmarse, que
105
105
problemas mas
ayuden a estudiar y a
resolver sus dudas. Para llevar a cabo este proyecto hemos reunido a mas de 60 autores, todos ellos reconocidos especialistas en sus areas de estudio e investigacion, divulgadores deseosos de conta-
5X
giar su entusiasmo y llevar de la mana a 105 estudiantes por un camino lleno de sorpresas. La Biblioteca Juvenil Ilustrada
es una vision fantastica de la ciencia, la literatura
y el pensamiento mexicanos, escrita por quienes dia a dia investigan en laboratorios
0
imparten clases en escuelas y universidades. Esperamos que la Biblioteca Juvenil Ilustrada
contribuya a que
105
estudiantes se
familiaricen con las distintas areas del conocimiento y lleguen a decir "si asi es la quimica
-0
la historia
0 la
literatura-,
yo quiero dedicarme a eso en el futuro".
#
ALGEBRA EGIPCIA Y BABILONICA En 1858 un anticuario escoces llamado Henry Rhind, que habia ido a Egipto en busca de tesoros de la antigua civilizacian, encontra en la ciudad de Luxor un libro (escrito, por supuesto, en un rollo de papiro, el papel que fabricaban y usaban 10s egipcios hace 3600 aflos) al que llama, con muchisima imaginacian y modestia, "el Papiro de Rhind". Casi todo 10 que sabemos hoy sobre las matematicas egipcias, y en especial acerca del algebra, proviene del Papiro de Rhind. Los arqueologos y antropologos que 10 estudiaron determinaron que el papiro se habia escrito en el ano 1650 a. de n.e., aproximadamente. Tambien descubrieron que las matem
En el papiro aparece un metodo para resolver ecuaciones de primer grado con una sola variable, conocido como la regIa de la falsa posicion. Es una ventaja que este metodo ya no se use, porque resulta un poco tedioso. Consiste en ir dando valores a la variable hasta encontrar uno que resuelva la ecuacion. Es decir, con el metodo de la falsa posicion, jlas ecuaciones se resuelven por ensayo y error! "Un monton y un septimo del mismo
manton es igual a 24". El problema consiste, desde luego, en determinar monton.
Uno de los mayores problemas que tuvieron los egipcios para avanzar en el desarrollo del algebra fue que no empleaban nuestros comodos simbolos, sino que planteaban y resolvian los problemas verbalmente, usando las palabras dellenguaje cotidiano.
el tamano del
En notacion algebraica moderna el problema se traduce en esta ecuacion:
x
+1 X 7
24
Como los egipcios encontraban la solucion del problema anterior usando la regIa de la falsa posicion, 10 que hacian era darle distintos valores a x hasta encontrar uno que resolviera la ecuacion.
Por ejemplo, veamos que sucede si Ie damos a x el valor 7. Al sustituirlo en ellado Izquierdo de la ecuacion quedaria:
10 cual es igual a 8. Como queremos encontrar un numero que al sustituirlo de 24, bastara multiplicar 7 x 3. E18 dellado derecho de la ecuacion tambien se multiplicara por 3 y obtendremos 24, con 10 cual se cum pIe la ecuacion. De manera que la solucion es x = 21.
El algebra de Babilonia en el periodo 1800-1600 a. de n.e. era mucho mas avanzada que la egipcia. Los matematicos babilonios tambien resolvian ecuaciones de primer grado utilizando el metodo de la falsa posicion. Para resolver ecuaciones de segundo grado tenian otro metodo general, aunque solo reconocian a los numeros positivos como soluciones. Asimismo, tenian un metodo para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas.
Los babilonios, al igual que los egipcios, enunciaban y resolvian los problemas sin usar simbolos; simplemente los escribian tal y como los decian.
LQuieres conocer un problema que se escribio hace 3 600 anos? "Tengo dos terrenos. En el primero, cada 3 unidades de area producen dos medidas de cereal. En el segundo, cada 3 unidades de area producen una y media medidas de cereal. Del primer terreno obtengo 500 medidas de cereal mas que del segundo. El area de los dos terrenos juntos es igual a 1800 unidades de area. L Cual es el area de cada terreno? Si los terrenos tuviesen igual tamano, 0 sea, si cada uno tuviera 900 unidades de area, entonces en el primero se producirian 600 medidas de cereal y en el segundo 450. Entonces en el primero se obtendrian 150 medidas de cereal mas que en el segundo. Pero la verdadera diferencia es de 500. Por cada 3 unidades de area que anado al primero y resto al segundo, obtengo dos medidas de cereal mas en el primero y una y media medidas de cereal menos en el segundo. La diferencia se agranda entonces en tres y media medidas. Como debo agrandar la diferencia de 150 medidas de cereal en 350 medidas para llegar a la verdadera diferencia, entonces debo anadir 300 unidades de area al primer terreno y restar 300 unidades de area al segundo. Por 10 tanto, el primer terreno mide 1200 unidades de area y el segundo mide 600 unidades de area ... ".
Problema babilonico escrito hace aproximadamente 3600 anos. El problema esta resuelto con la regla de la falsa posicion, y aunque no es facil seguirlo por la faha de un lenguaje preciso, 0 sea, un lenguaje algebraico, entenderlo tampoco es imposible.
EL EPITAFIO DE DIOFANTO Un dia un caminante que paseaba se topa, alllegar a un olivar, con una lapida. La piedra tenia algo escrito, pero no era, como suele suceder con las tumbas, el par de fechas que indican el nacimiento y la muerte del ahi enterrado. No: era un texto largo. El tiempo 10 habia borrado en algunas partes, asi que d caminante se acerca y cuidadosamente empeza a leer:
"Caminante, tu que aciertas a pasar par este lugar, deten tu marcha: estas ante la tumba de Diofanto. Sera el quien te diga, si 10 sabes leer, el numero de anos que tuvo su vida. Su infancia ocup6 la sexta parte de su vida; despues, durante una doceava parte, su mejilla se cubri6 con el primer bozo. Pas6 aun una septima parte de su vida antes de desposarse y cinco anos despues, naci6 un hermoso nino que pereci6, ya adulto, de una muerte desgraciada cuando hubo alcanzado la mitad del total de anos que vivi6 su padre. Este Ie sobrevivi6, llorandole, durante cuatro anos. De todo esto, transeunte, no te sera dificil deducir su edad".
Quiza muchos seguiriamos de largo sin ocuparnos de la edad que a1canz6 Diofanto, pero el caminante era curiosa y pens6: "i.Que tal si traduzco esto al lenguaje algebraico?". Poco a poco, mientras hacia distintos trazos en la tierra con la ayuda de una vara, fue ordenando las ideas:
Si Diofanto vivi6 x anos, entonces:
-g x dur6
su infancia.
Ax dur6
su adolescencia.
+x vivi6 aun soltero. 5 anos vivi6 casado sin tener hijos.
i-x disfrut6
la compania de su hijo.
4 anos Ie sobrevivi6.
Para obtener la edad que tenia Diofanto al morir, el caminante sum6 todas las etapas de la vida del ilustre personaje e igual6 esta suma al numero de anos que este vivi6, 0 sea, x. Esta es la ecuaci6n que obtuvo:
1 +-X 1 -x 6
12
1 + 5 +-x 1 +4 + -x 7
2
x
Se dio cuenta, entonees, de que la edad que tenia Diofamo al morir podia ealcularse por medio de una eeuaeion de primer grado. "Claro", exclamo, "i una eeuaeion diofamina!". Para resolverla deeidio empezar por quitar 10s ineomodos denominadores (hizo bien, a todos nos molestan), multiplieando toda la eeuaeion por 84, que es el minimo eomun multiplo de 6, 12, 7 Y 2.
+4
x)
14x + 7X + 12x + 420 + 42x + 336 - 84x Entusiasmado y ealculando mentalmente a toda velocidad, sumo, por un lado, tados los terminos que tenian x y, por el otro, todos aquellos que no tenian incognita.
"Diofamo vivio 84 anos", penso mientras se levantaba. Se quedo un rata en silencio ante la tumba, reflexionando ...
75x + 756 - 84x
(Existio este paseante? No sabemos, pera el epitafio de Diofamo si, y desde haee cerca de 1 800 anos se ha usado como un bonito ejemplo de problema algebraico.
756
84x - 75x
756 - 9x Bozo. m. Vello que apuma en los jovenes sobre ellabio superior antes de nacer el bigote. Desposar. tr. Unir el parroca a los contrayentes autorizando su matrimonio. Contraer esponsales. Comraer matrimonio. Epitafio. m. Inscripcion que se pone en una tumba 0 sepultura. Lapida. f. Losa con una inscripcion en la que se conmemora algo 0 a alguien. Perecer. intr. Acabar, terminar, dejar de existir. Morir. Transeunte. Adj. Que transita 0 pas a por un lugar. Que esta transitoriamente en un sitio.
AL· JWARIZMI En 1145 en Toledo, Espana, en un frio salon de la Escuela de Traductores de Toledo, apenas iluminado por unas cuantas velas, Roberto de Chester, monje ingles, se afano en la traduccion allatin de un grueso volumen escrito en arabe. EI titulo de la obra es casi un trabalenguas: Kitab al muhtasar Ii hisab al-jabr wa'l muqabala. Mas tarde se Ie conocera L con el nombre simplificado de Al-jabr wa'l muqabala.
-
EI autor dellibro, Abu ]afar Mohammet ibn Mose AI-]warizmi, fue un matem
A la palabra al-jabr se Ie dio el significado de "restauraci6n" y en el algebra actual podria entenderse como "pasar un termino al otro lado de la ecuaci6n". La palabra al-muqabiila se entendi6 como "reducci6n" 0 "simplificaci6n", y actualmente tendria el significado de "eliminar los terminos iguales en ambos lados de la ecuaci6n".
5x2
Por ejemplo, la ecuaci6n
5x2
-
8x - lx
= -
-
8x + 4
5 - 11
(cambiaron de lado los terminos 7x y 4)
4x3
-
6x - 9
=
3x - 4
(se elimin6 de ambos lados el termino 7x2)
AI-Jwarizmi comienza su libro AI-jabr wa'i muqaoaia asi: "Este interes por la ciencia, con el que Ala ha dotado al califa Al Mamun, Caudillo de 105 Creyentes, me ha animado a componer esta breve obra sobre el calculo por medio de aI-jabr y de aI-muqaba1a, en la que se contiene todo 10 que es mas facil y uti! en aritmetica, por ejemplo, todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equivocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros; asimismo, todo aquello en donde este implicada la agrimensura, la excavacion de pozos y canales, la geometria y varios asuntos mas ...".
La Casa de la Sabiduria fue una academia de ciencias fundada por el califa AI-Mamun en el siglo IX. Alli 105 mejores cientificos y matematicos investigaban sobre fisica, geometria, aritmetica y astronomia. De este centro de investigacion salio la primera expedicion que realizaron 105 arabes para calcular la circunferencia de la Tierra. AI-Jwarizmi, quien pertenecia a la Casa de la Sabiduria, participo en esta expedicion y estimo que la Tierra tenia una circunferencia de 21000 millas arabes. Pero como 105 historiadores no estan seguros de cuanto media una milla arabe, es dificil estimar cual fue el valor que obtuvieron. Algunos matematicos han intentado convertir este resultado a medidas actuales y piensan que es alrededor de 25 000 millas modernas, o sea, 40 225 kilometros (muy cercano al valor que se acepta hoy).
Con el paso de 105 siglos 105 matematicos reconocieron en AI-Jwarizmi al padre del algebra. Sus textos se hicieron tan populares en occidente que casi todos fueron traducidos allatin, que era el idioma en el que se escribia la ciencia en la Europa de esa epoca.
Los traductores no encontraron las palabras latinas con el significado exacto de las palabras arabes aI-jabr y al-muqaba1a, de modo que las dejaron como estaban y simplemente latinizaron su escritura. Cada quien latinizo como quiso y en dichas traducciones se encuentran muchas variaciones de aI-jabr: "aljeber", "algebr", "gebr", "gebra", entre otras. Todos 105 matematicos renacentistas que se dedicaban al algebra, y en particular 105 italianos, hicieron en sus trabajos referencia allibro de AI-Jwarizmi usando alguna de estas variantes. Al final, la ciencia de las ecuaciones acabo por llamarse algebra.
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Segun el matematico italiano Girolamo Cardano (1501-1576), "este arte, el algebra, se inicio con Mohammet, hijo de Moises, El Arabe".
(UATRO PERSONAJESEN BUSCA DE UNA ECUACION
3 24 9
58
Personajes principales: mujer cuadnHica bx joven lineal C hombre constante una verdadera nulidad.
QK
10
0
14 X
3
y varios terminos algebraicos mas.
95
7
Par las ventanas del edificio empiezan a asomarse distintas expresiones algebraicas.
X
3
(Dirigiendose alas otras vecinas): jLo mismo de siempre! aX' jamas termina de arreglarse a tiempo. (Se oyen risas).
• Escena 1
bx
(Gritando): jaX'! ;ax'! jeOrre, aprisa, se nos hace tarde para el baile de las cuadraticas y yo solo no puedo ir!
a
,t, (Asomandose a la ventana): i Ya voy, no te desesperes!
• Escena 4
ax bX, C Y ax 2: 2,
llegan a lafiesta.
Muy bien, muchachos,
ahara a formarse para entrar.
Los terminos de la ecuaci6n cuadratica general se forman y entran a la fiesta en este orden: c y 0 van caminando par la calle y se encuentran a bx llamando a ax'.
C (Dirigiendose
ir al baile. Es la gran fiesta de las ecuaciones de segundo grado y yo solo, por mas que me disfrace, jamas lograre ser un termino cuadratico. J
+
bx
+ C
=
0
a bx): LTeayudamos a Hamada?
bx: Por favor, pues sin ax' no puedo bX
ax
C yO:
jax', por favor, baja ya!
Aunque parezca mentira, muchos siglos antes de esta extrafla obra de teatro, Al-Jwarizmi escribia acerca de estos mismos personajes: "Los n~meros que encontramos en e1calculo algebraico son de tres clases, a saber: mlmeros simples, raices y cuadrados. Un m.lmero que pertenezca a alguna de esas tres clases puede ser igual a uno de 105 mlmeros de las otras dos, por ejemplo: cuadrados igual a raices, cuadrados igual a mlmeros simples, raices igual a mlmeros simples ...".
6
3
Los mimeros simples son, como su nombre 10 indica, simplemente numeros. En ellenguaje moderno se les llama constantes y muchas veces se les denota con una c.
5x
Mas adelante AI-Jwarizmi habla de las ecuaciones de segundo grado completas: "Encuentro que esas tres clases de numeros pueden combinarse entre sf y dar lugar, a su vez, a tres clases compuestas que son cuadrados y raices igual a numeros simples, cuadrados y numeros simples igual a raices; cuadrados igual a rafces y numeros simples".
11Y
88Y 59z 3X
AI-Jwarizmi llama raices alas expresiones que tienen una variable elevada a la primera potencia. En ellenguaje actuallas escribimos como bx y aunque a simple vista se vean muy sencillas, hay muchas cosas que decir sobre ellas: b es cualquier numero (0 sea, una constante), x es una variable. Es importante no tar que b y x se estin multiplicando. A estas se les llama comunmente terrninos lineales.
Los cuadrados son expresiones en las que hay una constante multiplicando a una variable elevada al cuadrado (0 a la segunda potencia, es 10 mismo). En notacion moderna se escriben asf: cr, y se les llama terminos cuadniticos.
Asf explica las tres formas en las que se puede encontrar una ecuacion completa de segundo grado:
aX' + bx = c (cuadrados y raices igual a numeros simples) ax2 + c = bx (cuadrados y numeros simples igual a raices) ax2 = bx + c (cuadrados igual a raices y numeros simples)
A primera vista pare ceria que este matematico arabe estaba un poco confundido, pues para nosotros los tres tip os de ecuacion son exactamente la misma, pero si pensamos que ellos solo trabajaban con numeros positivos, entonces la clasificacion tiene una logica impecable: era la unica manera de concebir ecuaciones de segundo grado con coeficientes negativos cuando no se usa ban los numeros negativos.
a,x2 Asf, si releemos el fragmento con cuidado veremos que AI-Jwarizmi habla de los tres posibles casos que tiene una ecuacion de segundo grado incompleta, es decir, una ecuacion a la que Ie falta alguno de los tres terminos:
ax' = bx (cuadrados igual a raices) ax' = c (cuadrados igual a numeros simples) bx = c (rafces igual a numeros simples)
+
bx
+
c= 0
y hay muchas maneras de resolverlas. La mas usada es la formula general para ecuaciones de segundo grado. Quiza ya la conozcas
+Vb X=-----b
2
2a
-
4ac
ECUACIONES CUADRATICAS Al-]warizmi escribi6 un libro en el cual presenta ejemplos de ecuaciones de segundo grado, como veremos a continuaci6n:
Debes tamar la mitad del numero de rakes, esto es 5, y multiplicarlo por si mismo, con 10 que obtienes 25, cantidad a la que se Ie suman! el numero simple 39, y de estos procedimientos resulta 64. Despues tomanis la raiz cuadrada de este numero, que es 8, y Ie restaras la mitad de las raices, esto es 5, y obtienes asi el 3, que es el valor buscado. En la notacion moderna el problema consiste en resolver la ecuacion
r + lOx - 39 Usemos la formula general. Para hacerlo es necesarin escribir la ecuacion como x> + lOx - 39 = 0
2a
En la ecuacion, los valores de a, bye
-10 + ~256 2
X
-10 + 16 2
-10 + 16 son:
a=l b = 10 =
X
-b :!: ~b2 - 4ac
x c
-10:!: ~ 100 + 156 2
-10
-39
-10
±
J (10)2 2(1)
4(1) (-39)
16
6 2
-
-26 = -13 2
La solucion x = -13 no era valida para los arabes por ser negativa, par 10 que Al-]warizmi no la contempla cuando resuelve el problema.
Debes tomar la mitad de las rakes, en este easo 5, y multipliearlo por sf mismo con 10 que te resultani 25, eantidad de la que restaras el mimero simple 21, y obtienes 4. Tomaras la rafz euadrada de 4, que es 2, y 10 restas del mimero de la mitad de las rakes que es 5, por 10 que faeilmente se ve que la solucion es 3. Si asf 10 deseas, puedes tambien sumar esa eantidad 2 a la mitad de las rakes que es 5 y obtendras 7 que tambien es una solueion.
X=
-(-10) +
J (10)2
4(1) (21)
2(1)
-(-10) +
Cuando un problema esta dado en esta forma debes probar la suma, si el resultado no es satisfaetorio, sin duda el camino eorrecto sera la resta. Este es el unico caso en que hay que to mar la mitad de las raices y en el que se puede eneontrar solucion por adicion 0 por sustraecion. Observa con euidado que si en este caso el cuadrado de la mitad de las raices es menor que el numero simple, entonees el problema no tiene solucion, y si es exactamente igual al numero simple, la solucion es la mitad de las rakes sin aumentos 0 disminueiones.
J 100 -
84
2 10 ±
fi6
2
+
I
lOx
Las dos soluciones son:
X
14 - 7 - 10 + 4 - ---
X
6 - 10 - 4 - ---
Si utilizamos la incansable formula general para eeuaeiones de segundo grade
X+ a = 1 b=-l0 c = 21
21
o
2
2
2
2
-3
que son justamente las dos soluciones que Al-]warizmi obtiene aplicando su metodo. t.. Cual te parece mas facil, el de Al-]warizmi, o el moderno?
GIROLAMO CARDANO "Despues de que mi madre probara en vano diversos abortivos, segun of contar, nacf en el ano 1501, en el dfa 24 de septiembre, cuando no habfa transcurrido aun la primera hora de la noche, 5610 un poco mas de la mitad aunque sin llegar alas tres cuartas partes ...".
Asi empieza la autobiografia del matematico, medico yastr610go italiano Girolamo Cardano, quien vivi6 de 1501 a 1576. Sus contemporaneos y 105 matematicos de 105 siglos siguientes 10 consideraron como el mejor algebrista europeo de su epoca. Cardano escribi6 muchisimo sabre matematicas, en particular sobre algebra. Su libro mas importante, publicado en 1545, es el Ars magna sive de regulis algebraicis, en el que recopila y expone 105metodos para resolver ecuaciones de tercero y cuarto grados.
Cardano no usaba simbolos algebraicos. Describia can palabras, en italiano, las ecuaciones y todos 105pas as necesarios para resolverlas. Dicho procedimiento se canace como "algebra ret6rica". Par eso era muy dificil descifrar sus textos y 5610 unos pocos, 105que escribian igual que d, podian entenderlos.
EI 6 de octubre de ese ano me metieron en la corcel, en don de, si no tomo en consideraci6n que me quitaban la libertad, me trataron cortesmente. EI 22 de diciembre de
1570, a la misma
hora y el mismo dia de la semana en que fui detenido, esto es, viernes y al caer la noche, regrese a mi casa en libertad vigilada: mi casa era una segunda corcel para mL La duraci6n de mi encarcelamiento fue de
77 dias, el periodo de libertad vigilada
dur6 86. En total 163 dias ...
A.Cardano 10 encarcelo la Inquisicion por haberse atrevido a calcular el horoscopo de Cristo. Muy pocas personas vivieron para con tar tranquilamente que estuvieron pres os en las mazmorras de la Inquisicion. Cardano tuvo en esta ocasion la buena fortuna que Ie falto durante su vida.
Un dia sofia que entraba en un jardin lleno de flores, cuando via pasar por la calle a una hermosa muchacha y tuvo el impulso de salirle al encuentro y besarla. Entonces el jardinero cerraba la puerta del jardin. "Empece a rogarle que me abriera, pero nada conseguia", escribe Cardano.
Asi que, afligido y abrazado ala joven, me que de fuera del jardin. Pocos dias despues vi por la calle una muchacha con la misma cara y el mismo atavio que la del sueiio. Desde ese momento pase, no ya a estar enamorado, sino a consumirme de pasion. Nos casamos de mutuo acuerdo y con el consentimiento de sus padres. Este infausto matrimonio
fue para mi la causa de
todas las desgracias que a 10 largo de la vida me ocurrieron. Despues de su encarcelamiento, la Inquisicion Ie prohibio escribir y ensefiar matematicas. Cardano decidio abandonar la Universidad de Bolonia. En septiembre de 1571 se traslado a Roma, donde vivio hasta 1576 bajo la proteccion del papa. Girolamo Cardano murio el 21 de septiembre de 1576, tal como habia predicho en su propio horoscopo. Se cuenta que durante 105 ultimos meses no cornia, y bebio muy poco para que su prediccion se cumpliera.
Puesto que este arte sobrepasa cualquier humana sutileza y el ingenio del talento de 105 mortales es un verdadero regalo del cielo y el hecho de entenderlo una prueba clara de 105 alcances de la mente humana. Cualquiera que se aplique a el pronto sabra que no hay nada que no pueda ser entendido ...
ECUACIONES DE TERCERO Y CUARTO GRADOS La invencion de las formulas para resolver ecuaciones de tercero y cuarto grados es resultado de un deporte muy original que solian practicar los matematicos italianos del siglo XVI. Les gustaba organizar torneos para ver quien era mas habil para resolver problemas de algebra. Muchas veces hacian apuestas de joyas, dinero y caballos, que el ganador se llevaba.
Esta historia empieza con Scipione del Ferro, un matematico de la Universidad de Bolonia. Del Ferro habia encontrado la solucion general de todas las ecuaciones de tercer grado que tenian esta forma:
+ pX + q
o
La mantuvo en secreta durante muchos afios para veneer a todos sus adversarios en 105 torneos de algebra. Pero, estando ya muy enfermo y a punto de morir, Del Ferro Ie confio la formula a uno de sus estudiantes, Antonio Maria del Fiore. Este la utilizo en una contienda algebraica con el matematico mas veloz de aquella epoca. Se trataba de Niccolo Fontana, a quien todos llamaban Tartaglia, que en italiano quiere decir "tartamudo", porque al parecer 10 era.
Durante 105 ocho dias que duro la disputa, Del Fiore trabajo afanosamente en 105 problemas que Tartaglia Ie habia planteado. Se cuenta que este, por su parte, trabajo solo dos horas en 105 que Del Fiore Ie habia propuesto a el. Al final del plazo, Tartaglia habia resuelto todos 105 problemas, Del Fiore ninguno.
Asi, Del Fiore entendio que no bastaba saberse una formula: tambien habia que saber de donde venia y en que casas podia aplicarse, asi como poder demostrarla, cosas que el confiado Del Fiore no sabia y Tartaglia 51. Porque resulta que Tartaglia habia encontrado, en secreto, como Del Ferro, la formula para resolver ecuaciones de tercer grado.
Durante muchos afios Tartaglia fue reconocido como el gran maestro en 105 tomeos de algebra, hasta que su fama Hego a oidos de otro matematico Italiano de no malos bigotes, Hamado Girolamo (ardano.
(ardano invito a Tartaglia a reunirse con d. La version de Tartaglia de 10 que ocurrio ese 25 de marzo de 1539 esm narrada en uno de 105muchos escritos suyos en 105que hay pasajes autobiograficos.
(ardano: Juro por 105 Santos Evangelios y por mi fe como caballero no haeer publicos tus descubrimientos, si me ]05 cuentas. Del mismo modo promcto y ascguro par mi fe de buen crisliano que ]05 escribire de manera cifrada, de tal forma que nadie que 105 lea tras mi muerle pueda comprenderJos. Si yo, en opinion vucstra soy un hombre honesto, decidmclo y, si no 10 pensais asi, demos cntonces por terminada csta conversacion. Tartaglia: 5i no confiara yo en vucstros juramentos, entonces yo misl1l0 mereeeria ser consideraclo un aleo y me entregaria a ]as Santas Cortes.
Aunque (ardano juro no revelar el secreto de la solucion de Tartaglia, la publico unos cuantos afios despues, en 1545, en su libro Ars Magna. Tartaglia, que habia estado a punto de escribir su propio libro, paso el res to de su vida maldieiendo a (ardano, a pesar de que (ardano si menciona en su libro que Tartaglia descubrio la formula.
Scipione del Ferro, de Bolonia, hace mas de treinta anos invento esta regIa y ]a comunico a Antonio Maria del Fiore, de Yenecia, quien celebro un certamen con Niccolo Tartaglia, de Brescia, 10 que dio ocasion a que Niccolo por si mismo la descubriera, el cual me la dio ami, suprimida ]a demostracion, como consecuencia de mis ruegos. Pertrechado de este auxilio, busque la demostracion por varios caminos, 10 que fue muy difkil.
(ardano tambien narra en su libro la historia de la formula para resolver eeuaeiones de euarto grado. La habia descubierto su alumna Ludovieo Ferrari, jugador empedemido que siempre andaba metido en peleas caHejeras. Ferrari no tuvo tiempo de publicar su deseubrimiento. Murio a 105 43 anos, envenenado por su hermana, a quien Ie habia robado la parte que Ie correspondia de una herencia. Pero si se 10 conto a Cardano, quien, haciendo alarde de una integridad poco comun, Ie dio el eredito a su difunto alumno.
En cuanto a Tartaglia, pese a la jugarreta de publicar su secreto, se podria decir que en el fondo (ardano Ie hizo un beneficio. En su Ars Magna y pese a la furia de Tartaglia, (ardano dio a eonoeer al mundo el avanee mas grande en algebra clesde la epoca de AI-Jwarizmi: las formulas para resolver ecuaciones de tereero y cuarto grados.
RAicES CUADRADAS DE NUMEROS NEGATIVOS Sir Arthur Conan Doyle fue un escritor ingles que vivi6 de 1858 a 1930. Sus personajes mas conocidos son nada mas y nada menos que el brillante detective Sherlock Holmes y su inseparable amigo, el doctor John Watson. LTesuena la frase "elemental, mi querido Watson"?
Si nunca has leido un libro de Sherlock Holmes, te recomendamos que dejes inmediatamente de leer este y corras a bus car uno. Aqui te damos algunos titulos para empezar: Estudio en escarlata EI signa de los cuatro Las aventuras de Sherlock Holmes EI regreso de Sherlock Holmes
Holmes, el detective mas famoso de la literatura, es un hombre frio y calculador, capaz de examinar la escena del crimen mas espeluznante con toda serenidad. Watson, en cambio, es calido y un poco ingenuo. Nunca deja de asombrarse de los extraordinarios conocimientos de su amigo. Holmes conoce la quimica y los efectos de los venenos mas exoticos y sabe distinguir de que parte de Londres proviene ellodo de la huella "~1.o-;i,?\" f!">.. ". de un zapato. Pero su fuerte es la fi.- -~ logica. Cuando H~lmes resuelve un ~ "." e ....• ~It< caso, su expOSlClOn de los hechos ~~ -- " .."'-'" resulta tan irrefutable como dos "c, • -:.1 por dos son cuatro, y tres por tres ". son nueve. Si no fuera porque a Holmes solo Ie interesan los conocimientos que pueden servirle para desenmarafiar crimenes (aunque hace una excepcion con la mllsica), seria un gran cientifico 0 matem
:v.
Una de las frases mas celebres de Sherlock Holmes, que aparece en EI signa de cuatro, es casi una receta para la exploracion cientifica: "Cuando se ha eliminado 10 imposible, 10 que queda, por improbable que sea, es la verdad". Esta es la historia de una verdad que durante siglos parecia imposible. La historia, esta vez, empieza contigo.
Un dia amaneces y 10 llnico que se te antoja hacer, quien sabe por que, es resolver esta ecuacion:
por 10 que
+V16
~.iIt.
*I~n~ ~ ~"i<),l
La ecuacion tiene dos soluciones: x = 4 Yx = -4. Y en efecto, si elevamos 4 al cuadrado, el resultado es 16. Si elevamos -4 al cuadrado, el resultado tambien es 16. Luego, como te sientes muy satisfecho, te da por resolver otra ecuacion en apariencia tan sencilla como la anterior:
x2 +
16 = 0
Estas tan preocupado, otra ecuacion:
que intentas resolver
3x2 + 5x + 4
=
0
Para eso hay una formula general, como sabes bien:
4(3)(4)
Rafael Bombelli, quien continuo el trabajo de algebra de Girolamo Cardano, fue de 105 primeros en sefialar que las rakes cuadradas de numeros negativos eran indispensables para resolver ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grades en las que aparecia un numero negativo en la raiz. Con el tiempo, 105 matematicos inventaron un nuevo numero: la raiz cuadrada de -1, Y Ie Hamaron i (que es la inicial de imaginario). Asi,
i =V-I
-5
± V 25 -
48
6
-5±0J 6 Intentas seguir el mismo procedimiento que en la ecuacion anterior:
V-16 LRaiz cuadrada de -I6?, con razon: i la ecuacion numero que al elevarlo Misterio. LSenl.hora de Holmes?
te dices, horrorizado. te pide encontrar un al cuadrado de -16! Hamar a Sherlock
Y
iOtra vez hay que sacarle la raiz cuadrada a un numero negativo! Entonces te dices 10 que te han ensefiado en la escuela: la ecuacion, simplemente, no tiene solucion, y todos contentos. Pero en la noche no puedes dormir: no te gusta que haya ecuaciones que no tienen solucion. Decides par fin llamar a Inglaterra para localizar a Sherlock Holmes, quien de inmediato te informa que 105 misterios matematicos muchas veces se pueden resolver recurriendo a la historia. -Durante muchos siglos 105 matematicos hicieron 10 mismo que tu -dice Holmes-. Cada vez que se encontraban un numero negativo dentro de una raiz cuadrada, afirmaban que la ecuacion no tenia solucion.
Rene Descartes llama a i numero imaginario. Asi se podia definir la raiz cuadrada de cualquier numero negativo,
V-4 =V(-I)(4) = (yCi) &4) = (i) (2) = 2i V-25 =V(-1)(25) = (V-I) (V25) = (i) (5) = 5i Las raices cuadradas de numeros negativos seran siempre multiplos de i.
Los SiMBOLOS
DEL ALGEBRA
Desde los tiempos egipcios y babil6nicos, el algebra se escribia tal y como se decia, por eso a esta etapa se Ie llama la del algebra ret6rica. Con el surgimiento de la imprenta en Europa, los matematicos empezaron a utilizar abreviaturas primero y despues simbolos para representar los problemas algebraicos. Al principio cada uno tenia sus propios simbolos; pero poco a poco, los mas titiles empezaron a ser usados por todos, hasta llegar a 105 que tenemos hoy.
42 P 31 egault 10° 10 que nosotros escribimos como:
4,xZ + 3x
Trouame.Ln o.che.gi_to al SUO quadrat °facia. 12.
En 1514 el matematico escribia:
ho1andes Vander Hoecke
4Se. - 51Pri, - 30N.dit is ghelijc 45 3/5 4,xZ -
5Ix - 30 = 45 3/5
= 10
cub9 p: 6 reb9 aequalis 20 10 que nosotros escribimos como:
x3 + 6x = 20
Troullme uno numero che azontoli la ~·u -pad' P ghiste, cioe.6. p
~
10 que nosotros escribimos como:
v:;- -
10 que nosotros escribimos como:
,xZ+6x+9=,xZ+3x+24
12L M IQ P 48 aequalia
3(}) + 4 egales It
2(j)
144 M 24L P 2Q
+4
R242 P 41 P 21 P 1 iguala a 100 R242 P 41 de un lado y 99 m 21 del otro
3r+4=2x+4
42 P 41 iguala a 9.801 m 3961 p 42 4001 de un lado y 9.801 delotro
4Q + 8N
aequatur 2 En la parte de la izquierda: con la notacion algebraic a de Nicolas Chuquet una ecuacion de segundo grado resuelta por d. En la parte de la derecha: la traducci6n con la notacion actual. Las palabras que aqui estan en espanol, en el original estan en frances, pues Nicolas Chuquet era frances. jCosa curiosa!
aaa -3.bba
tt - 3/ra = 2t! yyex: ey - (ex/b)y + ay - ae
y=
cy - (ex/b)y = ay - ae
Y asi, pensando que los franceses suelen escribir en frances, viene a la cabeza este verso espanol:
Admirose un portugues de que ya en su tiema inJancia todos los nirws de Francia supiesen hablar Jrances: jarte diabolica est dijo torciendo el mostacho que para hablar en gabacho un hidalgo en Portugal llega a viejo y 10 habla mal yaqui 10 parla un muchacho.
i,QUE QUiERE
DECIR ALGEBRA?
En un capitulo de Don Quijote de la Mancha, Miguel de Cervantes narra 10 que ocurrio cuando unos amigos bien intencionados del ingenioso hidalgo idearon un plan para convencer a don Quijote de dejarse de historias de caballeros andantes. El bachiller Sanson Carrasco y su escudero, Tome Cecial, se disfrazarr, uno de Caballero de los Espejos y el otro de su criado. Luego Ie salen al paso a don Quijote con la saludable intencion de darle una paliza para obligarlo a regresar a su casa, ipero es don Quijote quien hace caer del caballo al bachiller, pensando que ataca a un fiero adversario con poderes magicos! Apenas Ie vio caido Sancho, cuando se des1izo del alcornoque y a toda prisa vino donde su senor estaba, el cual, apeandose de Rocinante, fue sobre el de 10s Espejos, y, quitcindole 1as 1azadas del yelmo para ver si era muerto y para que Ie diese el aire si acaso estaba vivo; y vio ... ~quien podria decir 10 que vio, sin causar admiracion, maravilla y espanto a 10s que 10 oyeren? Vio, dice 1ahistoria, el rostro mesmo, 1a mesma figura, el mesmo aspecto, 1a mesma fisonomia, la mesma efigie, la pespetiva mesma del bachiller Sanson Carrasco; y, asi como 1a vio, en altas voces dijo:
-Soy de parecer, senor mio, que, pOl'si 0 par no, vuesa merced hinque y meta la espada por la boca a este que parece el bachiller Sans6n Carrasco; quizi Illatar;! en el a a1guno de SllS enemigos 10s encantadores.
-jAcude, Sancho, y mira 10 que has de ver y no 10 has de creer! jAguija, hijo, y advierte 10 que puede 1a magia, 10 que pueden 10s hechiceros y 10s encantadores!
-No dices mal -dijo don Quijote-, porque de 10s enemigos, 10s menos. Y, sacando 1a espada para poner en efecto el aviso y consejo de Sancho, llego el escudero del de los Espejos, ya sin 1as narices que tan feo Ie habian hecho y a gran des voces dijo:
Llego Sancho, y, como vio el rostro del bachiller Carrasco, comenzo a hacerse mil cruces y a santiguarse otras tantas. En todo esto, no daba muestras de estar vivo el derribado caballero, y Sancho dijo a don Quijote:
-Mire vuesa merced 10 que hace, senor don Quijote, que ese que tiene a 10s pies es el bachiller Sanson Carrasco, su amigo, y yo soy su escudero. EI ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha. Segunda parte. Capitulo XIV.
Luego de las explicaciones con las que Carrasco y Tome Cecial tratan, sin exito, de aclarar el asunto, "mohinos y malandantes, se apartaron de don Quijote y Sancho, con intenci6n de bus car algun lugar donde bizmarle y entablarle las costillas":
En esto fueron razonando los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ven tura hallar un algebrista, con quien se curo el Sanson desgraciado. EI ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha. Segunda parte. Capitulo xv.
Este significado de la palabra algebra no es una invenci6n del maestro Cervantes. Se usa des de el siglo XIII y aun esta vigente:
Del Diccionario de la Real Academia de la Lengua Algebra. (del arabe aI-gabr, la restauraci6n). 1. Parte de las matematicas, que trata de la cantidad considerada en general, sirviendose para representarla de letras u otros signos especiales. 2. Arte de restituir a su lugar 105 huesos dislocados. Algebrista. Persona que estudia, profesa sabe el algebra matematica. 2. Cirujano dedicado especialmente a la curaci6n de dislocaciones de huesos. 3. Alcahuete.
0
LA DAMA MISTERIOSA En 1704 se publico en Inglaterra el primer numero de una revista anuaillamada Diario de las damas. Era una revista novedosa. Contenia acertijos, poemas y problemas matem
Cinco veces siete y siete veces tres sumareis a mis aiios y la suma que tendreis excede a ocho ochos como el doble de mi edad supera a veintiseis. La edad de Maria esta escondida en este acertijo. Decimos que es la incognita del acertijo incognito, es decir, "no conocido".
Sacar de su escondite la edad de Maria es muy facil usando ellenguaje del algebra. L Como traducimos los versos de Maria en versos matematicos?
Como la edad de Maria es la incognita y en matematicas las incognitas se denotan con una letra, la llamaremos x.
("" ,~
Cinco veces siefe y siefe veces tres
(\
\\
.,,,J-'
\,
(5 x 7) y (7 x 3)
(~
sumareis a mis aiios Ahora Maria nos pide sumar a su edad el resultado de la operacion del primer verso:
y la suma que tendreis excede a ocho ochos
y los dos ultimos versos dicen que ambas diferencias son iguales; de modo que el acertijo de Maria quiere decir que:
2x - 26 = (x + 56) - 64 "Ocho ochos" es 10 mismo que 8 X 8 = 64. Lo que dice este verso es que la cantidad (x + 56) es mayor que 64. La diferencia entre ambos numeros [0 sea, que tanto es mayor (x + 56) que 64] se puede escribir en lenguaje matematico as!:
(x + 56) - 64
LCuanto vale esta diferencia? Eso 10 dice en el siguiente verso.
como el doble de mi edad supera a veintiseis. El doble de la edad de Maria es 2x y es mayor que 26. La diferencia entre 2x y 26 se puede escribir as!:
Esta es una ecuacion con una incognita x. Se dice que es de primer grado porque el maximo exponente con el que aparece la incognita es 1 (x' = x). Para quitarle el disfraz a x hay que resolver esta eeuacion: En primer lugar, simplifiquemos la ecuacion.
Ahara pasemos todas las x de un lado y todas las eonstantes (aquellos terminos que no tienen x) del otro.
Volvamos a simplificar. Como 2x - x Entonees queda:
= x, Y -8
+ 26
= 18
Maria Atkinson tenia 18 anos cuando envio el aeertijo al Diario de las damas. Cuando el distinguido caballero deseubrio la edad de nuestra heroina, replica: "Una esplendida edad para casarse, senorita".
BREVE CRONOLOGiA DEL ALGEBRA El algebra que estudiamos en secundaria es muy antigua, echa una miradita:
5;910 XVIII
Q.
1
PITAGOR
de n.e.
Desde esta epoca, los matematicos mesopotamicos y babilonicos sabian resolver ecuaciones de primero y segundo grados. Ademas resolvian tambien algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incognitas.
5;910 XVI
Q.
de n.e.
Los egipcios desarrollaron un algebra rudimentaria que usaron para resolver problemas cotidianos, como distribucion de viveres y de materiales. Sabian resolver ecuaciones de primer grado. No tenian notacion simbolica, pero utilizaron el jeroghfico hau (que quiere decir monton 0 pila) para designar la incognita.
5;910 III
Q.
de n.e.
El matematico griego Arquimedes extendio la numeracion griega para poder escribir numeros muy grandes. Su contribucion a la matematica fue enorme, baste quiza decir que demostro que el numero 1t (pi) esta entre los numeros 3 + 10/71 Y 3 + 10179 (0 sea, entre 3.14084 y 3.14285).
5i910 III a. de n.e. El matematico griego Euclides establecio 105 fundamentos de la geometria clasica. Dedico una parte del libro IX de 105 Elementos al estudio de 105 numeros pares e impares, y ellibro VIII alas potencias enteras de las fracciones.
Comienzos de la era cristiana En esta epoca se compilo ellibro Jiu zhang suan shu (EI arte del calculo en nueve capitulos), obra de 105 matematicos chinos en la que se plantean divers os metodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grados, asi como sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas. Con su abaco (suan zi) tenian la posibilidad de representar numeros positivos y negativos.
5i910 II El matematico griego Nicomaco de Gerasa publico su Introduccion a la aritmetica y en ella expuso varias reglas para el buen usa de 105 numeros.
5i910 III El matematico griego Diofanto de Alejandria publico su Aritmetica, en la cual, por primera vez en la historia de las matematicas griegas, se trataron de manera sistematica no solo las ecuaciones de primer grado, sino tambien las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incognita con un signo que es la primera silaba de la palabra griega arithmos, que significa numero. Los problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de 10 que siglos mas tarde sena "la teona de ecuaciones". A pesar de 10 rudimentario de su notacion simbolica y de 10 poco elegantes que eran 105 metodos que usaba, se Ie puede considerar como uno de 105 precursores del algebra modema.
Aiio 628 El matemarico y astronomo indio Brahmagupta describio metodos de cakulo muy cercanos a 105 que usamos hoy y dio las reglas algebraicas fundamentales tanto para numeros positivos como para negativos.
Aiios 820-850 Epoca en la que trabajo el matematico y astronomo musulman AI-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y la propagacion de 105 numeros, de 105 metodos de cakulo y de 105 procedimientos algebraic os de origen indio en tierras del Islam y en Europa Occidental. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a 105 metodos de cakulos numericos en oposicion a 105 metodos de cakulo con abaco, adquirio finalmente su sentido actual de "procedimiento sistematico de caleulo". En cuanto a la palabra algebra, deriva del titulo de su obra mas importante, que presenta las reglas fundamentales del algebra, Al-jabr wa'l muqdbala.
BREVE CRONOLOGiA DEL ALGEBRA
2
Siglo x a 1637.
5;910 X En este siglo vivio el gran algebrista musulman Abu Kamil, continuador de los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el algebra serian aprovechados en el siglo XIII por el matemarico italiano Fibonacci. Durante este sigl0, el matematico musulman Abul Wafa al Bujzani hizo comentarios sobre 105 trabajos de Diofanto y AI-Jwarizmi y, gracias a ello, 10s europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.
Finales del siglo X
Epoca del matematico musulman Al Karaji, quien al apoyarse en 10s trabajos de Diofanto y de Abu Kamil, desarrollo un algebra con la cual, ademas de las formas habituales de las ecuaciones de segundo grado, resolvio ecuaciones de grado 2v. Gracias a su trabajo, el algebra arabe que se desarrollo mas adelante tuvo un simbolismo matematico y se separo de las soluciones geometricas.
SigioXIL :. •.c judio convertido a1islam As e
Samaw at ihn Yahya a1 Maghribi, basado en los trabajos de Al Karaji, hizo grandes avances en el algebra.
1202. Despues de viajar a1norte de Africa y a
Oriente, donde aprendio el manejo del sistema de numeracion indoarabigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publico ef Liber Abaci (Tratado del Abaco), obra que en los tres sigfos siguientes fue fa fuente principal para todos aquellos estudiosos de fa aritmetica y el algebra.
1484. El matematico frances Nicolas Chuquet introdujo en Europa Occidental el uso de los mimeros negativos, y una notacion exponencial muy parecida a la que usamos hoy, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos y negativos.
1489. El matematico aleman Johann Widmann d'Eger invento los simbolos y - para sustituir las letras p y m que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (mas) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.
+
1525. El matemarico aleman Christoph Rudolff introdujo simbolo de la raiz cuadrada:
~
como una manera estilizada de la letra r de radical
0
el
raiz.
1545-1560.
os matematicos italiano Girolamo C dano y a ",J ') Hi se dieron cuenta de que el uso de los numeros imaginarios era esencial para pod r re 01 r las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto gr do .
1557. EI matematico ingIes Robert Recorde invento el simbolo de la igualdad (=).
1591. El matematico frances Fran~ois Viete desarrollo una notacion algebraica muy comoda: representaba las incOgnitas con vocales y las constantes con consonantes.
1637. El matematico frances Rene Descartes fusiono la geometria y el algebra inventando la geometria analitica. Creo la notacion algebraica moderna, en la cuallas constantes estan representadas por las primeras letras del alfabeto a, b, c... y las variables 0 incognitas por las Ultimas, x, y, z. Introdujo tambien la notacion exponencial que usamos actualmente.
LA REGLA DE LOS SIGNOS La famosa Real Sociedad de Londres, institucion dedicada a prom over las ciencias, se fundo en el sigl0 XVII. Una de las obligaciones de los sabios que la integraban era usar, al explicar sus trabajos, un lenguaje sencillo y como ellos decian: "aproximar todas las cosas a la sencillez de las matematicas". Si los adelantos cientificos pudieran explicarse con la claridad de una demostracion matematica, ~ualquiera los entenderia. Eso esperaban los sabios de la Real Sociedad.
He aqui una demostraci6n matem
dos numeros negati-
Cuando aprendemos la regIa de los signos en la escuela, 10 que mas trabajo cuesta es entender por que el producto de dos numeros negativos es un numero positivo. Por 10 general, uno se 10 aprende de memoria y se calla, pero este resultado se puede demostrar y eso es 10 que vamos a hacer.
En general, para hacer una demostraci6n los matemMicos usan resultados que ya estan demostrados. Para demostrar que (-a)(-b) = ab usaremos los siguientes resultados:
a
o
+ (-a)
(Si sumamos cualquier numero con su negativo, el resultado siempre es 0). Ahora tomamos dos numeros reales cualesquiera a y b, y construimos el numero x as!:
x
= ab
+ (-a)(b)
+ (-a)( -b)
Si a es cualquier numero real, entonces: resultado 1:
a x 0 0 0 X a -0
(Si multiplicamos cualquier numero por 0, el resultado siempre es 0).
Observa que -a aparece en el segundo y en el tercer sumando, por 10 que podemos factorizarlo
x
ab
+ (- a)
[(b) + (- b)]
o
(b) + (-b)
Ahora volvamos a to mar el mimero x. Como b aparece en los dos primeros sumandos, esta vez factorizamos b. Entonces:
[a
ab + (-a)(O)
o
(-a)(-b)
Por el resultado 1,10 que hay dentro de los corchetes es igual a 0, de modo que:
x
( -a)(O)
(-a)](b)
(O)(b) + (-a)(-b)
Y como el producto de cualquier mimero multiplicado igual a 0, entonces:
por 0 es
0+ (-a)(-b) Es decir:
(-a)(-b)
X
ab + 0 X
x
= ab
ypar otro:
De modo que, como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si, entonces,
ab X
(-a)(-b)
ab
(-a)(-b)
He ahi el resultado: el producto de dos mimeros negativos es un numero positivo. Para demostrarlo solo ha sido necesario suponer que los resultados 1y 2 ya estaban demostrados y hacer ciertas operaciones con el numero x que definimos a partir de a y b. Ahara ya sabes de donde viene el resultado mas dificil de las reglas de 10s signos. Puedes dormir tranquilo.
No TODO
LO QUE BRILLA ES ORO
Las demostraciones matematicas, cuando estan bien hechas, tienen la gracia de ser indiscutibles. Por eso les gustaban tanto a los miembros de la Real Sociedad de Londres. Pero, icuidado! No todo 10 que parece demostraci6n matematica 10 es. En la demostraci6n de que (-a) (-b) = ab cada paso es una operaci6n correcta, pero si un paso no 10 fuera -si en el proceso hubiera un error 0 una trampa-, la demostraci6n se derrumbaria.
Todos sabemos, desde chicos, que el mimero 1 y el mimero 2 son el mismo, 0 sea que 1 = 2. Que es exactamente 10 mismo tener un hermano que dos 0 un chocolate que dos. t. Acaso 10 dudas? Vamos a demostrarlo. Sf, vamos a demostrar que 1 = 2.
ab
1) Tomemos dos mimeros a y b que cumplan que a = 1 Y b = 1, entonces:
a
b (a + b)(a - b) = b(a - b)
2) Ahora multiplicamos igualdad por a:
(a)a
ambos lados de esta
(a)b
En el lado Izquierdo factorizamos una diferencia de cuadrados y en el derecho factorizamos b. Si aun no sabes factorizar, no importa. Para que veas que esta bien hecho basta que hagas las multiplicaciones para que puedas comprobar que:
(a + b)(a - b) = a2
ab
yque:
b(a - b)
-
b2
ab - b2
5) Ahara, como el termino (a - b) aparece en ambos lados de la igualdad, dividimos los dos lados entre (a - b) y nos queda:
(a + b)
b + b
b
b 2b
b
2 ;ASt hemos demostrado que 1 = 21 LQue tal? LNo nos crees? No, [verdad? Tienes razon: el resultado es absurdo. Por supuesto que el numero 1 y el numero 2, NO son iguales. Claro que no es 10 mismo tener uno que dos hermanos. Uno puede creer que el producto de dos numeros negativos sea un numero positivo. 5i, pero creer que 1 = 2 es demasiado, aunque nos 10 hayan demostrado. Entonces, [donde esta el problema? El problema es que la demostracion no es tal, tiene un error muy grave. El error -10 que hace que no sea una demostracionse encuentra en el paso 5, donde dividimos ambos lados de la igualdad entre (a - b).
Habiamos supuesto que a = b, de manera que a - b = O. Asi, dividir entre (a - b) es 10 mismo que dividir entre 0 y en matematicas esta prohibidisimo dividir entre O. LPor que? Veras: la division es la opera cion inversa de la multiplicacion. Decir que 28 7 4 = 7 es 10 mismo que decir 4 X 7 = 28. Al dividir 15 7 3 estamos buscando un numero que multiplicado por 3 de 15. 5i dividimos, par ejemplo, 10 entre 0, estamos pidiendo un numero que multiplicado por a de 10. Como cualquier numero multiplicado por 0 da 0, la operacion no tiene resultado. Al introducir una division entre 0 en nuestra "falsa demostracion", hemos obtenido un resultado absurdo.
Por eso hay que tener cuidado: no todo 10 que brilla es oro. Cuando una demostracion matematica esta bien hecha, 10 demostrado es absolutamente verdad sin que nos quepa ninguna duda, pero no cualquier procedimiento es una demostracion matematica.
seARlES -La matemcHica es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos faciles ...".
Rene du Perron Descartes fue un fil6sofo y matematico frances del siglo XVII. SU personalidad y su forma de concebir el mundo quedan muy bien descritos por esta frase suya:
"...desprendete de todas las impresiones de los sentidos y de la imaginacion:l y no te ties sino de la razon ...". Rene Descartes tenia poca paciencia pero era un caballero. Pese a ser bajo de estatura y delicado de salud, era valiente y sabia defenderse. Uno de sus bi6grafos cuenta que un dia Descartes se embarc6 hacia Frisia Oriental, al norte de Europa, acompaliado unicamente por un ayuda de camara. Los marineros pensaron que era un rico mercader y quisieron robarlo, matarlo y echar su cadaver al mar. Descartes, al saberse en peligro, se puso en pie subitamente, desenfund6 la espada y con una expresi6n de furia 105 amenaz6 de muerte. El resto del viaje transcurri6 sin incidentes.
Descartes naci6 en el poblado frances de La Haye el 31 de marzo de 1596; su madre muri6 al poco tiempo y 10 educaron su abuela materna y una nana. A 105 10 alios ingres6 al internado jesuita de La Fleche, donde permaneci6 hasta 105 16 alios; como era delicado de salud siempre tenia permiso de levantarse a la hora que quisiera, ademas de que dormia en una habitaci6n privada. En el internado recibi6 una excelente educaci6n en fisica y matematicas y ademas estudi6 humanidades, filosofia y ley6 a 105 clasicos.
A 105 20 alios se recibi6 de licenciado en derecho en la Universidad de Poitiers, aunque jamas ejerci6 la carrera. Despues se dedic6 a viajar par Holanda, Dinamarca y Alemania, y en 1619 se enro16 en el ejercito del duque de Baviera.
oeo despues empez6 a publicar obras encaminadas a ayudar a los fil6 ofas, r a el mismo, a pensar con claridad, asi como a explicar al!ffinos fen6menos naturales, como la luz. En 1628 se fue a vivir a Holanda. En 1633, al enterarse de que Galileo habia sido condenado por sostener la teoria de Copernico (que dice que la Tierra gira alrededor del Sol y no a la inversa como sostenia la Iglesia en aquella epoca), renunci6 a publicar su Teoria de Ia Luz, porque la teona copernicana era indispensable para sus explicaciones fisicas.
En 1637 publico un valumen can cuatra abras: Discurso del Metodo, La Di6ptrica, Los Meteoros y La Geometria, de tadas ellas la mas famasa, sin duda, es la primera.
Descartes solia dormir 10 horas cada dia, Ie gustaba trabajar en la cama por la manana, desayunaba a mediodia y dedicaba algunashoras a la conversaci6n, a cuidar su jardin y a dar paseos a caballo. Retomaba el trabajo a las cuatro de la tarde y trabajaba hasta bien entrada la noche. En 1649 la reina Cristina de Suecia 10 invit6 a Estocolmo, pues habia seguido con mucho cuidado sus trabajos y queria que Descartes en persona Ie ensenara filosofia y matematicas. Descartes se sinti6 halagado pero al mismo tiempo pensaba que viajar a un lugar tan frio podria afectar su salud. Temia viajar a ml pais al que se referian como la tierra de 10s osos entre la roca y el hielo. Finalmente se decidi6 a emprender la aventura y se encontr6 a una reina de 23 alios que pedia que sus lecciones de filosofia fueran a las cinco de la manana en una biblioteca muy £ria. Suecia, en donde 10s pensa~ientos de los hombres se congelan durante 10s meses de invierno, fue demasiado para Descartes. Muri6 de neumonia elll de febrero de 1650.
No es suficientc tener una mcnte brillantc, 10 principal cs usarla bien ... Si verdaderamente quieres encontrar la verdad, al menos una vez en la vida ticnes que dudar de todo ...
Portada del libro de Descartes, Discurso del metoda.
Poco despues empezo a publicar obras encaminadas a ayudar a 105 filosofos, yael mismo, a pensar con claridad, asf como a explicar algunos fenomenos naturales, como la luz. En 162 se fue a \ivir a Holanda. En 1633, al enterarse de que GaWeo habfa sido condenado por sostener la teoria de Copemico (que dice que la Tierra gira alrededor del Sol y no a la inversa como sostenia la Iglesia en aquella epoca), renuncio a publicar su Te01ia de !a Luz, porque la teoria copernicana era indispensable para sus explicaciones ffsicas.
En 1637 publico un volumen con cuatro obras: Discurso del Metodo, La Di6ptrica, Los Meteoros y La Geometria, de todas ellas la mas famosa, sin duda, es la primera.
Descartes soba dormir 10 horas cada dia, Ie gustaba trabajar en la cama por la manana, desayunaba a mediodia y dedicaba algunas horas a la conversacion, a cuidar su jardin y a dar pase~s a caballo. Retomaba el trabajo alas cuatro de la tarde y trabajaba hasta bien entrada la noche. En 1649 la reina Cristina de Suecia 10 invito a Estocolmo, pues habia seguido can mucho cuidado sus trabajos y queria que Descartes en persona Ie ensenara filosofia y matematicas. Descartes se sintio halagado pero al mismo tiempo pensaba que viajar a un lugar tan frio podria afectar su salud. Temia viajar a un pais al que se referian como la tierra de 105 0505 entre la roca y el hielo. Finalmente se decidio a emprender la aventura y se encontro a una reina de 23 anos que pedia que sus lecciones de filosoffa fueran a las cinco de la manana en una biblioteca muy fria. Suecia, en donde 105 pensamientos de 105 hombres se congelan durante 105 meses de invierno, fue demasiado para Descartes. Murio de neumonia elll de febrero de 1650.
No es suficientc tener una mente brillante, 10 principal es usarla bien ... Si verdaderamente quieres encontrar la verdad, al menos una vez en la vida tienes que dudar de todo ...
Portada dellibro de Descartes, Discurso del metoda.
EL MATEMATICO EN LA CAMA Rene Descartes era un poco perezoso. De nifio su padre 10 inscribi6 en una de las mejores escuelas de Francia: el internado de La Fleche, donde estuvo hasta los 16 afios. Como era delicado de salud, Rene tenia autorizaci6n para quedarse en la cama hasta la hora que quisiera. La costumbre de levantarse tarde, que Descartes adquiri6 en la escuela, 10 acompafi6 toda su vida y el matem:Hico frances hizo en la cama una buena parte de sus grandes contribuciones alas matematicas y a la filosofia.
Se cuenta en particular que Descartes invent6 las coordenadas cartesianas un dia en que estaba acostado, contemplando absorto los "ires y venires" de una mosca que se paseaba por e1 techo de su cuarto.
La descripci6n de la trayectoria de una mosca en el techo es un problema matematico que no carece de interes.
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En esa epoca Descartes se interesaba especialmente en e1 estudio de las curvas y la manera de describirlas matematicamente. El paseo de la mosca en e1 techo se podia describir por medio de una curva en un plano. Los puntos de la curva eran las posiciones que iba ocupando la mosca en su andar.
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Para describir la curva matematicamente, se dijo Descartes, bastaria tener una manera de especificar la posici6n de cada punta en e1 plano. Luego traz6 mentalmente la siguiente figura en el techo de su cuarto:
El plano cartesiano. El eje horizontal se llama eje de las abscisas (0 eje x) y e1vertical se llama eje de las ordenadas (oejey).
~
Descartes invento una manera de ubicar cualquier punta respecto a estes ejes de referencia. La posicion de la mosca se puede expresar par medio de dos numeros: la distancia al eje vertical y la distancia al eje horizontal.
En el plano cartesiano, el punta donde se cruzan 105 ejes se llama origen y Descartes decidio que su posicion es (0, 0). En el eje x, a la derecha del origen, Descartes coloco 105 numeros positivos en orden ascendente y a la izquierda puso 105 negativos en orden descendente. En el eje y la direccion positiva es hacia arriba y la negativa hacia abajo.
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~ La distancia x al eje vertical es 3 y la distancia y al eje horizontal es 5. La posicion de la mosca es (3,5).
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La mosca de Descartes paso de 0,1) a (2, 4), (3,5), (4,4) Y (5, 2).
En el plano cartesiano las coordenadas de un punto pueden tener valores positivos 0 negativos, segun en que region del plano se encuentre el punto. Las moscas estan en el primer cuadrante y tienen ambas coordenadas positivas. Las arafias estan en el segundo cuadrante y tienen la coordenada x negativa y la coordenada y positiva. Los escarabajos estan en el tercer cuadrante y sus coordenadas son ambas negativas. Las catarinas estan en el cuarto cuadrante y tienen la coordenada x positiva y la coordenada y negativa.
LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO La curva mas sencilla de todas no es nada curva: es la recta, una sucesi6n de puntos alineados hasta el infinito. A muchas curvas en el plano cartesiano se les puede asociar con una ecuaci6n algebraica que establece una relaci6n entre las coordenadas x y y de los puntos que la forman. La recta es, despues del punto, el objeto geometrico mas simple y seria de esperar que Ie correspondiera una ecuaci6n simple. Vamos aver si es verdad ...
I
I
I
He aqul una recta inclinada 45° respecto a la horizontal. AqUl solo vemos un segmento de la recta: una recta se extiende al infinito por ambos lados.
AqUl esta la misma recta, pero en un sistema de coordenadas cartesianas. A cada valor de x, la recta Ie hace corresponder un valor de y, el cual se obtiene extendiendo una vertical desde x hasta la recta y luego una horizontal des de la recta hasta el eje y.
En esta recta, por ejemplo, x = 1 se asocia con y = 1 Y por ello decimos que el punto (1, 1) es un punto de la recta; x = 2 se asocia con y = 2 Y aSl (2, 2) es otro punto de la recta, y x = -1 se asocia con y = -1 por 10 que el punto (-1, -1) tambien esta en la recta. La relacion entre x y y que define esta recta es simplemente y = x, es decir que todos 105 puntos que la forman tienen sus coordenadas iguales.
I
I
-7 -6 -5 -4 -3
Si graficas la ecuacion y = lx, obtienes una recta mas inclinada que la anterior. En cambio y da una recta menDs inclinada y, por otro lado, y = -x da una recta inclinada hacia el otro lado.
=!x
Familia de rectas cuya ecuaci6n es de la forma y = mx. El valor m es una medida de la inclinaci6n de la recta y se llama pendiente. Si la pendiente es positiva, la recta se inclina hacia la derecha y si es negativa, se inclina hacia la izquierda.
Cuando haces variar el valor de b obtienes un conjullto de rectas paralelas.
1 Y=ZX
La ecuaci6n y = mx + b, se llama ecuaci6n can6nica de la recta y es la mas practica para graficar rectas . •
Familia de rectas cuya ecuaci6n es de la forma y = x + b. Observa que todas estas rectas tienen la misma pendiente (m = 1) y par eso son paralelas. En 10 que difieren es en el punta en el que cortan al eje y. y=x+3
y=x+2 y=x+l y=x y=x-l y=x-2
El numero b de la ecuaci6n se llama ordenada al origen porque es igual al valor que toma y (la ordenada) cuando x = 0, es decir, b da la coordenada y, el punta donde la recta intersecta al eje y.
La ecuaci6n de la recta tambien se puede expresar de la forma: Ax + By + C = 0, forma a la que se Ie llama ecuaci6n general. Alga fundamental es que no importa en que forma este la ecuaci6n, una recta siempre estara representada par una ecuaci6n de primer grado can dos variables, es deeir, una ecuaci6n en la que ambas variables estan elevadas a la 1. Par eso alas ecuaciones de primer grado tambien se les llama ecuaeiones lineales.
Y= mx+
I
Hacienda variar m y b en la ecuaci6n y = mx + b puedes obtener cualquier recta en el plano cartesiano.
DE FAHRENHEIT A CELSIUS LPor que en Estados Unidos de America y Gran Bretana el agua hierve a 212 grados y en el res to del mundo hierve a lOa? Otro misterio: Lpor que cuando en todo el mundo el agua se congela a a grados, en Gran Bretana y Estados Unidos de America 10 hace a 32?
"Elemental, mi querido Watson", diria Sherlock Holmes. Resulta que en Estados Unidos de America y Gran Bretafta la temperatura se mide en la escala Fahrenheit y en el res to del mundo se mide en la escala Celsius.
De modo que 32 grados Fahrenheit es 10 mismo que a grados Celsius y 212 grados Fahrenheit equivale a 100 grados Celsius. Para saber a cuantos grados Celsius corresponden otras temperaturas en la escala Fahrenheit podemos trasladar los datos de la tabla anterior al plano cartesiano.
EI agua se congela a Elagua hierve a
100
CD
Si en el eje x ponemos la escala de Fahrenheit y en el eje y la escala de Celsius, obtenemos los puntos (32, 0)
CD Con esta recta puedes convertir cualquier temperatura Fahrenheit a grados Celsius.
Y (212, 100).
CD
Ahora trazamos la recta que une estas puntas. Con esta recta podemos estimar a simple vista a cuantos grados Celsius equivalen distintas temperaturas en grados Fahrenheit. Pem en geometria analitica hay una manera de calcular la equivalencia exactamente para cualquier temperatura. Para eso vamos a usar la ecuaci6n de la recta.
y=mx+b
En este caso hay que reemplazar y por la temperatura Celsius y x por la temperatura en grados Fahrenheit:
o
mP+ b
0C=
en grados
En la ecuaci6n de la recta, m es una medida de la inclinaci6n 0 pendiente. La pendiente dice cuanto sube 0 baja la recta conforme se avanza en la direcci6n horizontal. La podemos calcular tomando dos puntos cualesquiera y dividiendo la distancia vertical entre eUos (que sera la diferencia en el eje y), entre la distancia horizontal (diferencia en el eje x).
En nuestro caso, para calcular la pendiente usaremos la diferencia en la temperatura Celsius de los dos puntos (100 - 0 = 100) Y la diferencia en la temperatura Fahrenheit (212 - 32 = 180). Tendremos:
La pendiente de la recta es una medida de la inclinaci6n. Se puede calcular tomando dos puntos de la recta y dividiendo la distancia vertical entre la distancia horizontal.
nl
J2 - Jl
= _10_0__ 212
0__ 100 _ 10 _ 2 32 - 180 - 18 - 9
Xl - Xl Para calcular la ordenada al origen, b, basta sustituir los valores de C y F de cualquiera de los puntos en la ecuaci6n de la recta. Tomemos, por ejemplo, el punta (32,0). Tenemos F = 32 Y C = O. Volvamos a la ecuaci6n de esta recta:
c=
Ya estamos listos para encontrar la ecuaci6n que convierte grados Fahrenheit a grados Celsius. Debemos sustituir los val ores de m y b en la ecuaci6n general:
c = 5 P+ (- 2 9
y factorizar
mP+
b
X
9
C
=
32)
.2 (F 9
=2p - 2 X 32 9
- 32)
9
Esta es la ecuaci6n que permite pasar de grados Fahrenheit a grados Celsius. Dice que para obtener la equivalencia en grados Celsius de una temperatura expresada en la escala Fahrenheit se toma la temperatura Fahrenheit, se Ie resta 32 y el total se multiplica por
t.
Sustituyendo:
0=2
9
X
32+ b
Punto de congelacion del agua. Punto de ebullicion del agua. Temperatura normal del cuerpo humano.
c
== ~
(F - 32)
o
LA EXPANSION DEL UNIVERSO La primera curva que te enseflaron en la escuela es la recta (Ios matematicos llaman "curva" a cualquier linea, de modo que la recta tambien es una curva). Es la mas sencilla y la mas modesta. Una curva en el plano cartesiano de las coordenadas x, y indica cierta relacion entre x y y. Cuando lacurva es una recta, decimos que y es proporcional a x. La relacion de proporcionalidad es una de las mas simples. Pues bien, pese a toda esta sencillez y modestia, la recta desempeflo un papel fundamental en uno de los descubrimientos cientificos mas trascendentales del siglo xx: la expansion del universo.
En 1929 Edwin Hubble observa que las galaxias se alejan unas de otras: el universo se expande.
Edwin Hubble, astranomo estadounidense, usa los telescopios del observatorio de Monte Wilson para determinar las distancias a las que se encontraban 25 galaxias lejanas. Dnos afios antes, Hubble y otro astranomo, Vesto Slipher, habian medido las velocidades con que esas galaxias se movian por el espacio. En 1929, Hubble relaciona las dos investigaciones e hizo una grafica de las distancias y las velocidades de las galaxias. Lo que descubria 10 deja pasmado: una linea recta.
Relacian entre la velocidad con que se aleja una galaxia y la distancia a la que se encuentra: una linea recta. Cuanto mas lejos esta una galaxia, mas rapido se aleja.
Hasta entonces todos 105 astronomos habian dado por sentado que el universo habia sido siempre del mismo tamano. Las galaxias debian moverse al azar: unas alejandose, otras acercandose, y otras en diferentes direcciones. Pero la recta de Hubble indicaba una misteriosa relacion de proporcionalidad entre velocidad y distancia.
A
Imaginate que A, Bye son tres ciudades que se encuentran sobre una circunferencia. Supan que estas en la ciudad A. La ciudad B esta a 100 kilometros de distancia y la ciudad C esta a 200 kilometros. En eso, la circunferencia empieza a aumentar de tamano, duplicando su radio en una hara. La distancia entre las tres ciudades tambien se duplica. Al cabo de una hora B estara a 200 kilometros yea 400 kilometros. La ciudad B se habra alejado 100 kilometros y la ciudad C 200 kilometros. Dicho de otro modo, B se habra alejado de A a 100 kilometros par hora, mientras que C se habra alejado a 200 kilometros por hora. En un espacio en expansion, mientras mas lejos del observador esta un punto, mas rapido parece alejarse.
Luego de mucho pensar, Hubble consiguio leer el secreta que estaba escrito en su grafica: el universo se esta expandiendo. La grafica de Hubble es una recta que pasa por el origen. Su ecuacion sera de la forma:
pero en este caso y = velocidad de alejamiento y x = distancia. Ahora llamemos v a la velocidad de alejamiento de una galaxia y d a la distancia a la que se encuentra. La pendiente de la recta se denota por medio de la letra H y se llama constante de Hubble. Esta es la ecuacion de la grafica:
v
Hd
Circunferencia que se expande
c
Esta ecuacion se llama ley de Hubble. La constante de Hubble es una medida de la velocidad con que se expande el universo.
Si el universo esta en expansion, uno puede preguntarse que pas aria si echamos la pelicula en reversa y retrocedemos en el tiempo. El universo se ira haciendo mas pequeno hasta reducirse a un punto. jLa ley de Hubble tambien implica que el universo no ha existido par siempre! Los astronomos pueden calcular la antiguedad del universo usando la constante de Hubble. Con las mediciones que se han realizado hasta hoy, se caleula que el universo tiene entre 10 000 Y 20 000 millones de anos de antiguedad. (Quien se hubiera imaginado que una modesta recta pudiera decir cosas tan profundas?
I PARABOLAS DE PAPEL .;'
Los chorros de una fuente trazan en el aire una curva muy elegante. Es la misma que describe una bala de cation en vuelo. Los ffsicos y los matem
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Toma una hoja de papel tamaflo carta. Doblala a la _ mitad y rompela en dos, cortando por el doblez.
Toma una de las mitades y dibuja un punto encima del borde inferior, a unos 2 cm por encima del punto medio.
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Haz un doblez tomando el borde inferior y llevandolo hasta el punto que marcaste, como se ve en esta figura: Al final tendras una hoja surcada de dobleces rectos. La figura que forman es una parabola. Marcala bien con un lapiz. EI punta que usaste para hacer los dobleces se llama foco y es un elemen to muy importante de la definici6n formal de la parabola. Prueba a hacer otras parabolas de papel con el foco en distintas posiciones.
Desdobla la hoja. Haz otros dobleces llevando el borde inferior hasta el punta marcado con diferentes angulos y desdoblando cada vez.
La parabola. Esta curva aparece en muchos fen6menos naturales, como el vuelo de un proyectil.
La parabola es la curva que forman todos los puntos que tienen cierta propiedad particular. Para especificarla necesitamos una recta, a la que llamaremos D. Tambien necesitamos un punto F que no este en la recta. La recta D se llama directriz y el punto F se llama [oco de la parabola. Los puntos P de la parabola son los que satisfacen la condici6n de estar a la misma distancia de la directriz que del foco.
Mucho tiempo antes de Galileo, en el siglo II a. de n.e., el matematico griego Apolonio de Perga escribi6 un libro acerca de las propiedades de las parabolas y sus curvas hermanas, las elipses y las hiperbolas, sin imaginarse que un dia tendrian aplicaciones en fisica. Muchos resultados matematicos sirven para explicar fen6menos fisicos, pero a veces transcurren siglos des de que se descubre un resultado hasta que se aplica en fisica.
I UN MONTON DE TRIGO Sissa, el persa, supuesto inventor del ajedrez, quiso ofrecer su invento a su soberano, el sha, quien se aburria como una ostra. EI rey qued6 encantado con el juego y en recompensa Ie ofreci6 a Sissa cumplirle cualquier deseo. Sissa aprovech6 para darle al rey una lecci6n de humildad y pidi6 10 siguiente: que el soberano Ie diera dos granos de trigo por la primera casilla del tablero, cuatro granos por la segunda, ocho por la tercera, 16 por la cuarta, yasi sucesivamente, hasta completar las 64 casillas.
El rey debe haber pensado que el jueguito le saba barato y muy contento orden a que se cumpliera la petician de Sissa. Al poco tiempo el visir, que era una especie de ministro de finanzas del reino, le indica al sha que era imposible satisfacer la demanda.
Numero de casilla -iNo puede ser! -exclama el sha, indignado-. (En todo mi reino no hay trigo suficiente para llenar un tablerito de ajedrez? jQue vengan mis matematicos a hacer las cuentas!
Numero de granos de trigo 2 4
8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 2097152 4194304
Expresion matemtitica
Numero de casilla
Numero de granos de trigo 8388608 16777216 33554432 67108864 134217728 268435456 536870912 1073741824 2147483648 4294967296 8589934592 17 179 869 184 33 359 738 368 67719476 736 137 438 953 472 274877 906944 549 755 813 888 1 099 511 627 776 2 199023 255 552 4 398 046 511104 8796093022 208 17592 186 044 416 35184372 088 832 70368744177 664 140 737 488 355 328 281474976710 656 562 949 953 421 312 1125 899 906 842 624 2 251 799 813 685 248 4 503 599 627 370 496 9 007 199 254740 992 18 014 398 509 481 994 36 028 797 018 963 988 72 057 594 037 927 976 144115188075855952 288 230 376 151 711 904 576 460 752 303 423 808 1152 921 504 606 847616 2 305 843 009 213 695 232 4 611 686 018 427 390 464 9 223 372 036 854 780 928 18446 744 073 709 561 856
Expresi6n matemtitica
1 Los matemtiticos tuvieron cuidado de sefialarle al rey que el ultimo numero de la tabla -un numero gigantescoera tan s610 el numero de granos de trigo que habia que poner en la ultima casilla. De modo que el total que se Ie debia a Sissa era ila suma de todos los numeros de la tabla! Es decir, 36 893 487 597 663 112 812.
(En cuantos costales crees que cabrian todos estos granos de trigo? Si te pusieras a contarlos a raz6n de un grano por segundo sin parar, terminarias al cabo de:
36 893 487 597 663 112 812 segundos
o sea, un bill6n ciento setenta y tres mil cincuenta y cinco millones setecientos noventa y seis mil cuatrocientos setenta y seis afios. Los astr6nomos calculan que la Tierra tiene una antiguedad de 4 500 000 000 afios. El tiempo necesario para contar todos los granos de trigo que pidi6 Sissa al sha es aproximadamente igual a i 260 veces la edad de la Tierra!
NUMEROS ENORMES Toma una hoja de papel, dob1a1a a 1a mitad, vuelve a dob1arla a 1a mitad, haz10 otra vez y otra vez y otra vez y otra vez hasta que ya no puedas dob1arla mas. L Cuantos dob1eces 10graste hacer? Nosotros 10 intentamos y no pasamos de seis. Es muy difici1 dob1ar una hoja de papel por 1a mitad mas de nueve veces, pero si se pudiera, 1a hoja iria aumentando de grosor muy rapidamente.
Numero de doblez
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o
Grosor original 2 veces el grosor original
Numero de dobleces
Espesor de la hoja 0.1 mm
4 -,-
8
Una hoja de papel eomlin y eorriente tiene un espesor de 0.1 mm. Si 1a doblas por la mitad una vez, Lque espesor tendnl.?, LYsi la doblas dos y tres veees? LCuantas veees tendrias que doblarla para que tuviera un espesor de 1 em?, LY para que tuviera un espesor de mas de 10 km?
5
3.2 mm
6
6.4mm
7
12.8 mm = 1.28 em
1 667772 mm que es aproximadamente 1.67 km 3 355 443 mm 0 sea eerea de 3.3 km
Con siete dob1eees 1a hoja tend ria un espesor de 1.28 em Y ibastarian tan 561027 dob1eees para que el espesor de 1a hoja rebasara 10510 km!
En un canal de Xochimilco crece una hoja de lirio acmitico, al dfa siguiente hay dos y al siguiente cuatro. Al dfa numero 18 el canal esta repleto de lirios al grado de que ya no cabe ni uno mas. (En que dfa estaba el canallleno de lirios hasta la mitad? (En que dfa estaba lleno a la cuarta parte? (Cuantos dfas mas tardarfa esta poblacion de lirios en llenar otro canal del mismo tamafio? (Cuantos dfas tardarfa en llenar cuatro canales?
La poblacion de lirios se duplica de un dfa a otro. Esto quiere decir que si a 105 18 dfas el canal estaba lleno, a 105 17 estaba a la mitad de su capacidad liriofora y a 105 16 a la cuarta parte.
A 105 18 dfas tenemos un canallleno de lirios. Podrfas pensar que para llenar otro canal se necesitarfan otros 18 dfas, ipero no! La poblacion se duplica de un dfa para otro, asi que para llenar otro canal del mismo tamafio basta un dfa mas, 19 dfas en total. (En cuantos dfas se habran llenado cuatro canales? Tan solo en otro dia mas, 0 sea, en 20 dfas.
gra(icaae la funcion y - 2n
Grafica de la funcion exponencial y = 2n, que describe el aumento del grosor de una hoja de papel doblada a la mitad muchas veces y el crecimiento de la poblacion de lirios xochimilcas. El crecimiento exponencial produce numeros enormes.
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1
Los matematicos dicen que el grosor de la hoja de papel y la poblacion de lirios crecen exponencialmente. El universo esta lleno de procesos en 105 que las cantidades crecen de esta manera. Pero 10 exponencial no solo atafie a 10 que crece, tambien hay decrecimiento 0 disminucion exponencial. Los recursos naturales, desde el petroleo hasta la superficie de Tierra de que dispone una poblacion para vivir, se consumen exponencialmente. Esto quiere decir que hay muy poco tiempo entre el momenta en que nos damos cuenta de que nos estamos acabando un recurso y el momenta en que ya es demasiado tarde para actuar.
USTED ESTA AQui Cada quien observa el mundo conforme su propia forma de pensar y desde su propia posicion y tiempo. La forma de pensar es a veces dificH de explicar y casi nunca logramos que los demas la compartan 0 siquiera la entiendan. En cambio cuando se trata simplemente de la posicion, la orientacion y el instante desde los que miramos el mundo, expresar nuestro punto de vista es facilisimo: solo hay que decir donde estamos parados, hacia donde estamos mirando y que hora es. Para eso hace falta un sistema de referencia. Un sistema de referencia sirve para indicar posiciones, para orientarse, para hacerse una idea del tamafio de las cosas 0 para indicar cuando ocurri6 un suceso.
En los pIanos de un lugar publico, como un centro comercial 0 un museo, el punto de referencia es el sitio donde se encuentra el plano (y, por 10 tanto, la persona que 10 consulta).
Punto de referencia temporal: por convenci6n, el dia empieza alas 12 de la noche (las "cero horas"). En el pasado se usaron otros sistemas. Para los babilonios el dia empezaba al salir el Sol. En la tradici6n judia se iniciaba un nuevo dia al caer la noche. En Europa, durante el siglo XIV, los dias se median de un mediodia al siguiente.
LA COSTA
La figura humana en un plano arquitectonico de tamafio para establecer la escala.
es una referencia En un mapa son importantes la posicion, la orientacion y la escala. La posicion (latitud y longitud) se mide respecto al Ecuador y al Meridiano de Greenwich. La orientacion se mide respecto a la direccion norte. La escala la da el patron de referencia que se ve en una esquina del mapa.
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-C,tit-ud"N- - - - - - - - - -
A veces 10 importante es la orientacion. Las construcciones que usa ban los astronomos antiguos para estudiar los movimientos del cielo tenian que estar orientadas de una manera muy precisa respecto a ciertos puntos importantes del horizonte (por ejemplo, los puntos por donde salia el Sol en los solsticios). En este plano se indica como referencia la direccion norte.
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t
scala 1:31 0 0 000 310
3fO km
Los movimientos de los planetas en el cielo son complicadisimos si tomamos como punto de referencia la Tierra. En 1543 Nicolas Copernico publico un libro en el cual afirmaba que el Sol era el centro del sistema planetario. Con el Sol como punto de referencia, los movimientos de los planetas se hacen mas sencillos. En matematicas se usa mucho el truco de cambiar de sistema de referencia para simplificar los calculos.
Tropico d
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San Luis Po si
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LLUVIA DE ESTRELLAS Un dicho famoso afirma que todo es segun el color del cristal con que se mira. Cuando uno estudia el movimiento de 105 objetos, se podria decir que todo es segun el sistema de referencia desde donde se mira. Un peaton para do en la calle ve 105 edificios, la calzada y 105 postes de luz en reposo (es decir, inmoviles);pero 105 coches en movimiento. Un conductor, en cambio, ve su coche en reposo y la ciudad en movimiento ..
Desde la Tierra vemos moverse al Sol, pero si nos paramos en el Sol (0 por 10 menos nos ponemos en reposo respecto a el) veremos a nuestro planeta girar alrededor de su eje y formar una 6rbita en forma de elipse alrededor del Sol.
En su movimiento alrededor del Sol, la Tierra atraviesa a veces regiones donde hay nubes de polvo que dejan 105 cometas a su paso.
5i estuvieras en reposo respecto a una de esas nubes de desechos cometarios, verias algo semejante a esto:
5i ahora te lanzas a toda velocidad contra la nube, veras una cosa asi: Cada linea es la trayectoria de un grano de polvo cometario visto desde tu sistema de referencia. 5ucede una cosa parecida cuando vas en coche y esta lloviendo.
La Tierra se despiaza respecto a Ia nube. Lo que vemos cuando el pianeta atraviesa una region de poIvo de cometa es una lluvia de estrellas. Por supuesto, 10 que "llueve" no son estrellas, sino pedacitos de cometa que se queman por friccion en Ia atmosfera ai Ianzarse Ia Tierra contra ellos.
La lluvia de estrellas llamada Ias Leonidas ocurre' a mediados de noviembre, cuando Ia Tierra cruza Ia orbita del cometa TempeI- Tuttle. Como en esas fechas Ia Tierra va avanzando en direccion a Ia consteiacion de Leo, desde la superficie vemos estrellas fugaces salir radialmente de esa constelacion en todas direcciones.
Una lluvia de estrellas se hace mas intensa en afios cercanos a un paso del cometa que Ia produce por Ias regiones intemas del Sistema Solar. El cometa Tempel-Tuttle paso cerca de nosotros en 1998 y volvera a pasar en 2033.
EI pun to del que parecen salir las estrellas fugaces se llama radiante de la lluvia de estrellas. La consteiacion de Leo es el radiante de las Leonidas. Otras lluvias de estrellas muy vistosas son las Perseidas, que ocurre a principios de agosto, y Ias Geminidas, que se ve a mediados de diciembre.
MERIDIANOS Y PARALELOS La red de paralelos y meridianos es un sistema de referencias que sirve para ubicar puntos en una esfera. Originalmente la inventaron los astronomos para situar estrellas en la esfera celeste. Claudio Tolomeo, astronomo y cartografo que vivio en Alejandria en el siglo II, tomo la red de meridianos y paralelos de la astronomia, la perfecciono y la aplico a la superficie de la Tierra.
En su libro Geographia, en el cual explica como representar la superficie esferica de la Tierra en un mapa plano, aparece por primera vez la convencion de poner el norte arriba y el este a la derecha, que seguimos utilizando en la actualidad.
En el siglo II, Claudio Tolomeo explico como proyectar la superficie esferica de la Tierra en un mapa plano. Este mapa de 1561 es imitacion de uno de los de Tolomeo.
El sistema de referencia de los meridianos y los paralelos sirve para expresar la posicion de un punto en la superficie de la Tierra. Los paralelos son circulos concentric os paralelos al ecuador y parten a la Tierra en rebanadas. Los meridianos son semicirculos que van de polo a polo y parten a la Tierra en gajos. La posicion de un punto se especifica par medio de dos angulos: la latitud y la longitud. Por ejemplo, la posicion de la Ciudad de Mexico es 19° 26' latitud norte, 99° 7' longitud oeste.
El Ecuador es el paralelo de latitud 0°. El Polo Norte es el pun to de latitud 90° norte y el Polo Sur el pun to de latitud 90° sur.
75° 60° 45° 30° 15°
0° 15°
El Ecuador y los tr6picos fueron los primeros tres paralelos que se reconocieron. Los astr6nomos los usaron originalmente para estudiar los movimientos del Sol en el cielo, pero los cart6grafos los trasladaron a la superficie de la Tierra para usarlos como referencia. El Ecuador es el paralelo en el que 105 rayos del Sol caen perpendicularmente al mediodia en el equinoccio de primavera y el de otono. El tr6pico de Cancer es el paralelo en el que el Sol cae perpendicularmente a mediodia en el solsticio de verano. El tr6pico de Capricornio recibe los rayos del Sol directamente en el solsticio de invierno. Los tr6picos son los paralelos de latitud 23° 27' norte y sur.
La longitud se mide respecto a un meridiano principal (el meridiana de longitud 0°) que se escoge arbitrariamente. Tolomeo 10 puso cerca de las Islas Canarias. Mas tarde otros cart6grafos 10 ubicaron en Roma, ]erusalen, San Petersburgo, Paris, Copenhague y Filadelfia. Hoy, y desde 1884, el meridiano 0 es por convenci6n el que pasa por Greenwich, Londres.
El Sistema Mundial de Localizaci6n (Global Positioning System, en ingles) es una red de satelites que sirve para determinar con mucha precisi6n posiciones en la superficie de la Tierra. Los satelites transmiten senales de radio a la Tierra. Un aparato especial recoge estas senales y calcula la latitud, longitud y altitud en las cuales se encuentra el usuario a partir de las direcciones des de donde recibe las senales de los distintos satelites del sistema. Un receptor GPS comercial puede determinar posiciones con mucha exactitud. Un coche equipado con receptor GPS y una base de datos con map as urbanos puede ser muy util para saber en que parte de una ciudad desconocida te encuentras y c6mo llegar desde ahi adonde quieras ir. Cada vez es mas dificil perderse.
JOYAS DEL PLANO CARTESIANO El plano cartesiano no solo sirve para trazar rectas, circulos 0 parabolas. En el vive una gran variedad de seres matemMicos fantasticos a los que se les han dado nombres insolitos -y dificHes de pronunciar- como epitrocoide, hipotrocoide, lemniscata, trisectriz, cardioide y nefroide.
Cuatro miembros de la familia de las epitrocoides, plano cartesiano:
flores del Muchos habitantes del plano cartesiano tienen dos personalidades: la algebraica y la geometrica. En su forma algebraica se nos presentan como ecuaciones, en la geometrica como graficas.
Esta senora se llama trifolium, que quiere decir "tres hojas".
La curva del diablo. Parad6jicamente la curva del diablo tiene una ecuaci6n divina:
Existen curvas que tambien viven en el plano cartesiano y cuyas ecuaciones tienen una cara completamente distinta. Par ejemplo, la enredada ecuaci6n r = a(l + 2senG/2) es en realidad esta curva:
La nefroide de Freeth (trata de decirlo diez veces seguidas sin equivocarte). Nefroide quiere decir "can forma de rift6n".
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Algebra de cuadritos y bolitas Juego 1
Se te dificulta el algebra. l.Te cuesta trabajo interpretar todas esas x, y y z? Prueba estos juegos de intuicion. En cada caso se trata de resolver sistemas de ecuaciones, pero se trata de unos sistemas de ecuaciones muy ... l.como decirlo? ... originales. i Prohibido resolverlos usando algebra!
e++++ =.+ • • +.+.=++++.+.+. e+e+e+e++++++++=?
(Puedes disefiar tu propio juego de algebra de cuadritos y bolitas? (Que tendrias que hacer? Piensa: (se vale poner cualquier cosa en el primer renglon? (Seran independientes el segundo y el tercero
Juego 4 Estos juegos de adivinar numeros son muy buenos para impresionar a 105 incautos. Veamos:
• piensa un numero .sumale 5 • multiplica eI resultado por 2 • a 10 que quedo restale 4 • divide eI resultado entre 2 • a 10 que quedo restale el numero que pensaste • piensa un numero • sumale 5 • multiplica el resultado por 2 bolitas Un mago nunca revela sus secretos, pero nosotros si te 10 vamos a revelar: el resultado de todas estas operaciones siempre es 3, sin importar en que numero hayas pensado al principio. Vamos aver como:
Piensa un mirnero Surnale 5 Multiplica por 2 Resta 4 Divide entre 2 Resta el nurnero que pensaste lCuanto queda?
7-4 10-7 15-12 38-35 333 3
El truco funciona en estos cuatro casos, pero eso no demuestra matematicamente que funcione siempre. Para eso tendriamos que arreglarnoslas para hacer el truco empezando no con un numero particular, sino con un numero cualquiera. Vamos a probar usando un • para representar ese numero sin identidad y • para representar 105 numeros que si conocemos:
•••••••
• a 10 que quedo restale 4 • divide el resultado entre 2 • a 10 que quedo restale el numero que pensaste El resultado siempre es 3. Aunque parezca mentira, esta es una demostracion matematica correcta porque no importa que numero represente el ., se ve clara mente que el resultado siempre sera 3. Esta demostracion con figuras se puede traducir sin dificultad al lenguaje algebraico: basta sustituir • por x y las bolitas por 105 numeros correspondientes. piensa un numero sumale 5 multiplica el resultado por 2 a 10 que quedo resta1e 4 divide el resultado entre 2 a 10 que quedo resta1e el numero que pensaste
x x+5 2(x + 5) = 2x + 10 2x + 10 - 4 = 2x + 6 (2x + 6)/2 = X + 3
(Ya te convenciste? El resultado siempre es 3. jNo se 10 digas a tus amigos cuando les hagas el truco!
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Indice analitico
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a Abdula AI-Mamun 10 Abu Kamil30 Abul Wafa al Bujzani 30 adicion 15 Africa 30 ajedrez 48 Al Karaji 30 Al Mamun 11 Al Samaw al ibn Yabya al Maghribi 30 Alejandria 44 Alemania 36 algebra 11 algebra retorica 16, 30 Al-jabr w'al muqabala lO, 11 al-jabr 10 AI-Jwarizmi lO-15, 19,30 altitud 57 Apolonio de Perga 47 Aritmetica 30 Ars magna 16, 17, 19 Atkinson, Maria 26, 27
Babilonia 6 Bombelli, Rafael 21, 31 Buteo, Jean 22
cd Caballero de los Espejos 24 Canarias, Islas 57 Cardamo, Girolamo 11, 17, 21, 22,31 cardioide, 58 Carrasco, Sanson 24 Casa de la Sabiduria 11 Cecial, Tome 24 Cervantes, Miguel de 24, 25 Chester, Roberto de lO Chuquet, Nicolas 22, 23, 31 Ciudad de Mexico 56 Conan Doyle, Sir Arthur 20 constante de Hubble 45 constantes 13 coordenadas cartesianas 38, 39,40,44 Copernico, Nicolas, 37, 53 Cristina de Suecia 37 cuadrados 12-15
curva del diablo 59 curva 38, 40, 44, 46, 47 demostracion matematica 34, 35 denominador 9 Descartes, Rene 21, 23, 31, 36,37,38,39 Diario de las damas 26 Dinamarca 36 Diofanto 8, 9, 30 directriz 47 Discurso del metoda 37 division 35
e EI ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha 24, 25 ecuacion canonica de la recta 41,42 ecuacion divina 58 ecuacion diofantina 9 ecuacion general 41 ecuaciones de grade 2n 30 ecuaciones de primer grade 6, 7,8,41 ecuaciones de segundo grade 7,12,13,14,31 ecuaciones de tercer y cuarto grados 18, 19,31 ecuaciones lineales 37 ecuador 57 Egipto 6,7 eje de las ordenadas 38 eje de las abscisas 38 eje x 39 eje y 39
EI regreso de Sherlock Holmes 20 EI signa de los cuatro 20 elipses 47 epitrocoide 58 equincoccio de verano 57 equinoccio de primavera 57 escala de Celsius 42, 43 escala de Fahrenheit 42,43 escala 57 Escuela de Traductores de Toledo lO Estados Unidos de America 42 Estocolmo 37 Estudio en escarlata 20 Europa 31, 36, 52
factorizar 32, 33 falsa demostracion 34,35 Ferrari, Ludovico 19 Ferro, Scipione del 18, 19 Fibonacci 30 Filadelfia 57 Fiore, Antonio Maria del 18, 19
foco de la parabola 4 7 '!7~ Fontana, Niccolo 18, 19 formula general para ecuaciones de segundo grado 13, 14, 15 Francia 23 Frisia Oriental 36 galaxia 44, 45 Galilei, Galileo 37, 46 gebra 11 geometria analitica 31 Ghaligai, Francesco 22 Global Positioning System 57 Gosselin 23 Gran Bretana 42 Greenwich 57
Harriot, Thomas 23 hipotrocoide 58 Hoecke, Vender 22 Holanda 36, 37 Holmes, Sherlock 20,21,42 Hubble, Edwin 44, 45 imprenta 22 incognita 9, 26, 27, 31 Jerusalen 57
Imn La Di6ptrica 37 La Fleche 36, 38 La Geometria 37
La Haye 36 Las aventuras de Sherlock Holmes 20 latitud 53, 56, 57 lemniscata 58 ley de Hubble 45 Liber Abaci 30 Londres 20, 57 longitud 53, 56, 57 Los Meteoros 37 Luxor 6 meridiano 0 57 meridianos 56, 57 multiplicacion 35 nefroide de Freeth 59 nefroide 58 notacion exponencial 31 numero imaginario 21 numeros negativos 13, 10,21, 31,32,33,35,39 numeros positivos 13,31,32, 33,35,39 numeros simples 12, 13
011 orientacion 53 origen 39,45
Pacioli, Luca 22 Papiro de Rhind 6 parabola 46, 47,58 paralelos 56, 57 Paris 57 pendiente 43 plano cartesiano 38, 39, 40, 41,44,58,59 polo norte 57 polo sur 57 Portugal 23 producto 33, 35 proporcionalidad 44 punto de referencia temporal 52 punto 40
50137,52,53,57 solsticio de invierno 57 Stevin, Simon 23 Suecia 37 sumando 32 sustraccion 15 Tartaglia 18, 22 Teoria de la luz 37 terminos lineales 13 Tierra 11,37,49, 52, 53, 56, 57 Tolomeo, Claudio 56, 57 Tratado del abaca 30 trifolium 58 trisectriz 58 tropico de cancer 57
rsf uv
rakes 12-15 raiz cuadrada 14, 20, 21 Real Sociedad de Londres 32, 34 Recorde, Robert 31 recta 40, 41, 44, 45, 46, 47, 58 red de meridian os y paralelos 56 regIa de la falsa posicion 6, 7 Rhind, Henry 6 Rocinante 25 Roma 57 Rudolff, Christoph 31 San Petersburgo 57 Sissa, el persa 48, 49 Sistema Mundial de Localizacion 57 Slipher, Vesto 44, 45
Universidad de Babilonia 17, 18 universo 44, 45 Viete, Franc;:ois 23, 31 Wallis, John 23 Watson, John 20 Widmann d'Eger, Johann 31
91~]J'~IIIUlj~ljlll CnJl1icas a(~e{Jraicas presenta textos que explican con c1aridad y humor el inicio del <1lgebra en Egipto y Babilonia, asi como las contribuciones
de I~egll{es, fisico egresado de la Facultad de Ciencias de la L:\.\\I, trabaja en la Direcci{)Jl General de Dindgaci{)Jl de Ia Ciencia de la l i:\.\\1 Y es auror de varios articulos y libros de divulgaci{)Jl cientifica. En I SlXSl gaIH') Ser<~i()
el premio Puebla de Cuento de Ciencia gobierllo del estado de Puebla.
Ficci{)fl ororgado
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