Cálculo Integral
¿Qué es el Cálculo Integral?
El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que la derivación derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función al ser integrada.
Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado. ISAAC BARROW
Nació en Octubre de 1630 en Londres Inglaterra y falleció el 4 de mayo de 1677 en Londres, Inglaterra.
ISAAC NEWTON
Nació el 4 de enero de 1643 en la villa de Woolsthorpe,Lincolnshire,Inglaterra. Falleció el 31 de marzo de 1727 en Londres, Inglaterra GOTTFRIED LEIBNIZ
Nació el 1 de julio 1646 en Leipzig, Saxon,Alemania). Falleció el 14 noviembre 1716 en Hannover, Alemania.
El cálculo integral, encuadrado en el Cálculo Infinitesimal, es una rama de las Matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del Cálculo Integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
En Cálculo Infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f , es decir ; F ′ = f .
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F 1 y F 2 son dos primitivas de f , entonces existe un número real C , tal que: F 1 = F 2 + C .
A C se le conoce como constante de integración . Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f , el conjunto de sus primitivas es F + C . A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
∫f ó
∫ f(x) dx
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las Integrales definidas a través del teorema fundamental del Cálculo Integral, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
Significado grafico del Cálculo Integral
Una de las nociones fundamentales de la integral, es que gráficamente representa el área bajo la curva. Veamos como surge esta interesante noción:
¿Cómo podríamos calcular el área bajo esta curva?
Una noción principal podría generarse de la forma siguiente : Tratemos de cubrir toda el área debajo de la curva llenando con círculos, de los cuales conocemos el área.
Sin embargo, existen espacios que aun no han sido cubiertos y que podría resultar impráctico llenar los espacios con círculos mas pequeños.
Gráfica de la función en la que la parte de amarillo no ha sido
También podríamos intentar llenar el área bajo la curva con triángulos, pero al igual que el llenado con círculos resulta impráctico en el sentido de que tendremos que calcular el área de diferentes triángulos rectángulos o cualquier otro y calcular su área en particular.
Como podemos ver el área que falta por cubrir es menor, aunque aun sigue resultando impráctico este método.
¿Qué sucede si realizamos una aproximación con otra figura regular como lo es un rectángulo?
Como podemos sabemos, resulta práctico calcular el área de un rectángulo, han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han pasado sobre el margen de la curva
Observamos que el área del rectángulo de lado esta descrita como:
y f ( X1 )
Para el segundo rectángulo de lado ∆X2 y f ( X2 ) tendríamos que el área esta descrita como: Área del segundo rectángulo = f ( X2 ) ∆X2 Si sumamos todas las áreas de los rectángulos tendremos: Área aproximada debajo de la curva = ∑ f ( Xi ) ∆Xi
A medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren el área bajo la curva tendremos una mejor aproximación, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos. Al hacer crecer el número de rectángulos implicara que los incrementos sean mas pequeños a fin de obtener una mejor aproximación.
Recordemos del Cálculo Diferencial que los elementos diferenciales se generan a partir de incrementos pequeños por lo que podríamos pensar que a medida que hacemos crecer los rectángulos tendremos:
Esta fue la forma clásica en surge el concepto de integral, posteriormente a esta aproximación se fue modificando su notación hasta adquirir la simbología
Por lo que una aproximación mas acorde para el área bajo la curva lo podemos representar como:
este símbolo es conocido como la integral.
La antiderivada
Es una forma de ver la operación inversa de la derivación, clásicamente, se realiza de la siguiente forma: a) Encontrar la función f(x) de la cual su derivada es conocida. b) Dado el diferencial de la función d f(x) encontrar la función f(x)
La función que se pide se le conoce como integral de la diferencial dada y al procedimiento utilizado para encontrar la integral se le conoce como integración. Al igual que el símbolo de derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar al símbolo.
Concretamente diremos que
aunque esta relación no es del todo general es correcta y nos será útil para incursionar el análisis de este concepto. Así por ejemplo podemos tener: f1(x) = 3x
y con ello f1´(x) dx = 3 dx
por lo que
por lo que: pero podemos observar que si la función es: f2(x) = 3x+5 f2(x) = f1(x)+5
Entonces f2´(x) dx = 3dx
por lo que:
podemos entonces pensar que en general pudimos agregar a f1(x) cualquier constante y tener el mismo diferencial por lo que una expresión mas general a considerar es la siguiente:
a la constante c que se agrega se le conoce como constante de integración. A la expresión anterior se le conoce como integral indefinida
Retomemos el ejemplo:
que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambos miembros de la expresión:
lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada al operador de Integración obtenemos la función a integrar.
De forma mas general tendremos:
Como podemos observar el operador de derivada en una operador inverso al de integración, hemos concluido esto en base a la expresión anterior. Sin embargo, si el operador de integral antecede al símbolo de derivada la expresión no siempre será cierta, y en ocasiones, no siempre podremos obtener una solución.
Formulas de Integrales de funciones Algebraicas.
Integrales de funciones Algebraicas.
1) La integral de una constante ( k ) por una variable f(x), será igual a la constante ( k ) por la integral de la variable más una constante de integración. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx + c
2 xdx 2 xdx 2( x 3) dx 2 ( x 3) dx 3( x 1)dx 3 ( x 1)dx 3
2
3
2
Integrales de funciones Algebraicas.
2) La integral de una suma de variables f(x) + g(x) , será igual a la suma de integrales de las variables más una constante de integración. ∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx + c
(2 x 3 x 1)dx 2 x dx 3 xdx dx 2
2
(ax b)dx axdx bdx
Integrales de funciones Algebraicas.
3) La integral del diferencial de una variable será igual a la variable más una constante de integración. ∫ dx = x + c ∫ dp = p + c ∫ dz = z + c
∫ dt = t + c ∫ dy = y + c
Integrales de funciones Algebraicas.
4) La integral de la variable “ x ” elevada a la potencia “ n ”, será igual a:
x
n 1
x dx n 1 c n
donde: n ε R excepto para n= -1
x dx 2
x
2
3
dx
x
3
3 x
5
x
c 3
5 3
c
3 5
x
5
3
c
x
3
1
dx
4
dx
x
2
2 x
3
4
3
c c
4 3
1 x
x
3
2
4
c
c
Integrales de funciones Algebraicas.
5) La integral de una función ( u ) elevada a la potencia “ n ”, será igual a: n 1 u n c u du n 1 donde u = f (x) ; n ε R
( x 3) dx 3
( x 3) 4
4
c
Solución de Integrales de funciones Algebraicas.
Sean: ∫ dx = x + c
x
n 1
x dx n 1 c n
El procedimiento de solución consiste en aplicar directamente la formula: n 1 u n c u du n 1
Para poder aplicar la formula debemos: 1) Identificar la función “ u ” 2) Diferenciar la variable “ u “ du
(
du dx
)dx
3) Verificar si en la expresión a integrar, tenemos el diferencial exacto de la variable. 4) En este caso aplicar directamente la formula 5) Si no es así, completar el diferencial exacto de la variable:
(6 x 1) dx 2
Ejemplo:
u = 6x -1 du = 6 dx Falta un 6 para completar el diferencial exacto de la variable
(6 x 1)
2
6
dx
6
1
(6 x 1)6dx 6
Ahora ya podemos aplicar la formula: 1 (6 x 1) 6
3
3
c
1 18
(6 x 1) c 3
(6 x 1) dx 2
Ejemplo:
u = 6x -1 du = 6 dx Falta un 6 para completar el diferencial exacto de la variable
(6 x 1)
2
6
dx
6
1
(6 x 1)6dx 6
Ahora ya podemos aplicar la formula: 1 (6 x 1) 6
3
3
c
1 18
(6 x 1) c 3
1
(3 x 2) x dx = u = 3x4 - 2 du = 12x3 dx Falta un 12 para completar el diferencial exacto de la variable Ejemplo:
4
(3 x 1 12
4
(3 x 2) 2 x dx 4
3
2)
1
1
2
12
3
x dx
12
(3 x 2) 2 12 x dx 4
3
Ahora ya podemos aplicar la formula: 1 (3 x 2) 3 12 4
2
3
2
c
1 18
(3 x 2) 4
3
2
c
3
La integral definida
Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.
Concepto de integral definida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: b
f ( x)dx a
La integral definida cumple las siguientes propiedades: 1) Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. 2) Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral definida cumple las siguientes propiedades: 3) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. 4) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). 5) Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos): c
b
c
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Notación de la integral definida
El símbolo de la integral
∫
El signo utilizado para denotar la operación de integración fue ideado por el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quien quiso así referirse a la suma de las ordenadas diferenciales situadas bajo una curva. Por tanto, ? no es sino una “s” estilizada, inicial de la palabra suma.
