2017-10-01 Uno. Didactica de Las Matematicas (1)

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas

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Número 78, Año XXIII Segunda época Octubre 2017

Consejo de Dirección Edelmira Badillo

Fernando Corbalán (Universidad de Zaragoza) Santiago Fernández Fernández (Berritzagune

(Universidad Autónoma de Barcelona)

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(IE Simón Bolívar, Cusco. Perú)

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas

Número 78, octubre • noviembre • diciembre • 2017

Monografía: Estadística y probabilidad

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Estadística y probabilidad: abordajes prácticos Francisco Javier Rojas, M.ª Luz Callejo Pedro Arteaga, Danilo Díaz-Levicoy, Carmen Cervilla

Gráficos estadísticos en los primeros cursos de primaria

Alfabetización estadística a través del estudio de clase Soledad Estrella, Pedro Vidal-Szabó Estadística y ABP: Una experiencia con futuro profesorado de primaria Jon Anasagasti, Ainhoa Berciano ¿Cómo desarrollar la alfabetización probabilística en primaria? Claudia Vásquez, Àngel Alsina Resolución de problemas de probabilidad en primaria

Eugenio Chandia

La probabilidad y la estadística por el aire: Una práctica con adolescentes en riesgo de exclusión social Teresa Fernández Blanco, Alejandro Gorgal, María Salgado

42

Estadística y probabilidad con Geogebra

José Luis Álvarez

Actualización y reflexión

49

La argumentación en el aula de matemáticas Horacio Solar, Manuel Goizueta, Sebastian Howard, Francisco Rojas

Intercambio

57 64

Dictados matemáticos en el aula de infantil María Luisa Novo, Ainhoa Berciano, Emérita Fernández Aprender la suma de polinomios mediante la programación Francisco Agustín Zúñiga, Edgar Javier Morales, José Luis Muñoz

Ideas prácticas En contexto

75

Matematización Constantino de la Fuente

Recursos para el aula

77 79 82

Patio de juegos matemáticos Alfonso J. Población Symbolab Sonsoles Blázquez Láminas matemáticas Alfonso J. Población

Informaciones

85 86

Reseña: La SuperMATEsobrina y el enigma del astrolabio Fernando Fouz Encuentros

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Estadística y probabilidad: abordajes prácticos Francisco Rojas Sateler Consejo de Dirección de UNO M.ª Luz Callejo de la Vega Consejo Asesor Nacional de UNO

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 78 • pp. 4-6 • octubre 2017

Estadística y probabilidad: abordajes prácticos

a interpretación de la información construida en base a datos se da hoy en día en distintos ámbitos del quehacer social y científico. Por ello, el trabajo escolar en torno a la estadística y la probabilidad se transforma en una oportunidad para que los estudiantes comprendan los fenómenos que los rodean (Araneda, Chandía y Sorto, 2013), tomando decisiones de manera informada, planteando buenas preguntas a los datos, usándolos de forma adecuada, evaluando las conjeturas obtenidas y formulando conclusiones que permitan sistematizar nueva información. Este ciclo de investigación (Wild y Pfannkuch, 1999) es una parte fundamental del aprendizaje asociado al pensamiento estocástico.

L

Sin embargo, la enseñanza de estos temas es relativamente reciente en los currículos de matemática en escuelas e institutos. Esto conlleva desafíos relativos a la preparación de los profesores y a la disposición de material variado y de calidad para orientar las propuestas didácticas a implementarlas en las aulas. En este monográfico, los autores plantean distintos abordajes prácticos con distintos tipos de herramientas para diversos niveles educativos que pueden ser una guía útil para el profesorado. La contribución de Pedro Arteaga, Danilo Díaz-Levicoy y Carmen Cervilla (pp. 7-11) nos muestra una experiencia inicial para el tratamiento de la información desde las actividades cotidianas escolares. Por medio de un proyecto para trabajar gráficos estadísticos, los estudiantes de los primeros niveles de educación primaria son capaces de obtener conclusiones relacionadas con frecuencias, lo que les permite tomar decisiones, y así iniciar procesos de enculturación estadística. Por su parte, el artículo de Soledad Estrella y Pedro Vidal-Szabó (pp. 12-17) trabaja esta alfabetización estadística por medio de la búsqueda de respuestas a un problema, donde los datos iluminan y permiten orientar en alguna dirección en la indagación. De acuerdo al ciclo de investigación, los estudiantes decidieron su pregunta y esbozaron respuestas al representar los datos. El mismo contexto permitió a los profesores vivenciar el proceso estadístico, enfocándolo a dar soporte a sus estudiantes por medio de la valorización de sus preguntas y de las representaciones de los conceptos estadísticos involucrados. La idea del abordaje de problemas también lo trabajan Jon Anasagasti y Ainhoa Berciano (pp. 18-23) por medio del aprendizaje basado en proyectos. Su propuesta permite motivar el aprendizaje estadístico de futuros profesores de primaria, por medio de la vivencia de un ciclo de investigación completo. Estas instancias de modelación son claves para que los profesores en formación tengan experiencias disciplinares que puedan llevar al aula y que los motiven en dicho proceso. Respecto al tratamiento de la probabilidad, Claudia Vásquez y Ángel Alsina (pp. 24-29) presentan un conjunto de experiencias de aula para llevar a cabo la enseñanza eficaz de este tema en educación primaria que contribuya al mismo tiempo a desarrollar una alfabetización probabilística. El itinerario didáctico que se usa para el progreso de estas experiencias de aprendizaje permite que se avance desde el lenguaje probabilístico hasta la cuantificación de la incerteza, lo que permite preparar a los estudiantes a temas más complejos en niveles superiores.

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 78 • octubre 2017

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A su vez, Eugenio Chandia (pp. 30-34) muestra dos problemas abiertos que llevarán a los alumnos a tomar decisiones en base al tratamiento de la incerteza o de la certidumbre, para ir más allá de una enseñanza y aprendizaje basados en contenidos procedimentales. El artículo presenta una metodología que trata de recuperar el análisis de problemas de probabilidad proponiendo una estructura de gestión de clase y situaciones con foco en fenómenos aleatorios y deterministas. Por su parte, y para niveles secundarios, Teresa Fernández Blanco, Alejandro Gorgal y María Salgado (pp. 35-41) amplían la mirada al presentar una experiencia realizada con adolescentes en riesgo de exclusión social en la que se trabajan contenidos de probabilidad y estadística mediante la construcción y lanzamiento de aviones de papel. El proceso de involucramiento de los estudiantes en la actividad, hace que se genere motivación por el aprendizaje, a la par que crea una experiencia de recogida de datos para ser analizados por distintas medidas estadísticas. También en estos niveles la contribución de José Luis Álvarez (pp. 42-48) aborda el tratamiento de la estadística y la probabilidad por medio del trabajo con GeoGebra. Este tipo de tecnología facilita el procesamiento de la información de naturaleza estadística y, en consecuencia, permite centrarse más en el propio proceso de pensamiento y en los aspectos más conceptuales. El autor muestra detalladamente las herramientas con que cuenta este sofware de libre disposición para trabajar distintos temas de estos contenidos. Finalmente, en la sección «Actualización y reflexión», Horacio Solar, Manuel Goizueta, Sebastián Howard y Francisco Rojas (pp. 49-55) muestran desde cuatro perspectivas distintas la relevancia que tiene promover la argumentación en el aula de matemáticas en la construcción de los objetos matemáticos, en su vínculo con el tipo de intercambios entre estudiante y profesor, y en las prácticas discursivas de este. Si bien no trata de estadística y probabilidad, sí conecta muy bien con proponer un ambiente de aula que permita la instalación de los ciclos de investigación basados en datos y, por ende, el trabajo estadístico y aleatorio para la toma de decisiones. De este modo, el conjunto de trabajos de este monográfico proporciona un panorama con distintas perspectivas y propuestas para el tratamiento escolar de la estadística y probabilidad, tanto en primaria como en secundaria, además de una visión de la argumentación escolar que permite la generación de contextos de aula facilitadores de dicho trabajo. ◀

Referencias bibliográficas ARANEDA, A.; CHANDIA, E.; SORTO, M.A. (2013): REFIP. Datos y Azar para futuros profesores de educación básica. Santiago, Chile. Ediciones SM. WILD, C.J.; PFANNKUCH, M. (1999): «Statistical thinking in empirical enquiry». International Statistical Review, vol. 67(3), pp. 223-248.

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Gráficos estadísticos en los primeros cursos de primaria Pedro Arteaga, Danilo Díaz-Levicoy, Carmen Cervilla Universidad de Granada

La incorporación de la estadística y, en particular, los gráficos estadísticos en los cursos iniciales de educación primaria es reciente, ya que se ha asumido la importancia que estos temas tienen para la formación de los futuros ciudadanos. Bajo esta situación actual, indagamos sobre la presencia de los gráficos estadísticos en las directrices curriculares españolas para la educación primaria, su implementación en libros de texto, y finalmente la descripción de una experiencia de aula para introducción de gráficos estadísticos en las primeras edades.

PALABRAS CLAVE

• GRÁFICOS ESTADÍSTICOS • EDUCACIÓN PRIMARIA • ENSEÑANZA CON PROYECTOS


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¿

Se puede trabajar estadística en los primeros cursos de educación primaria? Es aceptada por todos los educadores de matemáticas en todos los niveles la gran importancia de esta materia en la educación primaria, pero ¿qué pasa si hablamos de la estadística? ¿Qué ocurre en particular con el trabajo con gráficos estadísticos? Probablemente incluso a los profesores de matemáticas nos pueda suscitar dudas el dar respuestas a estos interrogantes. El objetivo de este trabajo es mostrar que se puede iniciar el trabajo con gráficos estadísticos desde los primeros cursos de educación primaria, siempre adaptando las tareas al nivel educativo de los estudiantes. Los gráficos estadísticos, como otros temas de estadística y probabilidad, aparecen frecuentemente en diferentes situaciones de la vida cotidiana, usados para transmitir información, argumentar e incluso tomar decisiones. Por ejemplo, es común verlos en los medios de comunicación para mostrar el aumento o disminución del desempleo, o para mostrar las temperaturas que habrá durante la semana en una determinada ciudad. Esta importancia dentro de la sociedad hace que formen parte de la cultura estadística que deberíamos tener todos los ciudadanos. Esto motiva que indaguemos en la presencia de estas representaciones en el currículo oficial de educación primaria, su implementación en los libros de texto, finalizando con sugerencias para su enseñanza.

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS EN LAS DIRECTRICES CURRICULARES Las directrices curriculares definen los temas que deben trabajarse en los diferentes niveles educativos. En el caso de las establecidas para la edu-

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Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 78 • octubrer 2017

La comprensión de gráficos moviliza objetos como el sentido numérico, la medida o la geometría ■

cación primaria por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, organizan los contenidos de matemáticas en cinco bloques, y uno de ellos es estadística y probabilidad. Dentro de dicho bloque se recomienda introducir los gráficos estadísticos desde los primeros cursos y, además, se especifican los siguientes criterios de evaluación relacionados con estas representaciones (Real Decreto 126/2014): • ecoger y registrar una información cuantificable, utilizando algunos recursos sencillos de representación gráfica: tablas de datos, bloques de barras y diagramas lineales, comunicando la información. • Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos relativos al entorno inmediato. Es importante notar la importancia que se da en las directrices curriculares a introducir estas representaciones desde primeros cursos de educación primaria; además, los gráficos estadísticos son un excelente contenido para trabajar otros temas de matemáticas, ya que la compresión de gráficos moviliza el manejo de diferentes objetos matemáticos (sentido numérico, medida, geometría, etc.). Esta situación hace muy interesante introducir el trabajo con gráficos desde los últimos cursos de educación infantil y los primeros cursos de educación primaria, pero también se hace interesante ver cómo introducir dicho trabajo.


GRÁFICOS ESTADÍSTICOS EN LIBROS DE TEXTO Los libros de texto son un recurso pedagógico de gran importancia en el proceso de enseñanza y aprendizaje que el profesor utiliza para organizar la instrucción, el estudiante usa para estudiar y aclarar dudas, y las familias pueden utilizar para apoyar el estudio de los niños. En estudios previos (Díaz-Levicoy y otros, 2015) hemos analizado la presencia de los gráficos estadísticos en libros de texto de educación primara. Los resultados muestran una gran variedad de estas representaciones, incluso más allá de los explicitados en las directrices curriculares, comenzando su trabajo desde el primer curso. Algunos de los gráficos encontrados son: barras, líneas, sectores, histogramas, puntos o pictogramas, entre otros; con el predominio de los tres primeros. En la imagen 1 vemos un pictograma en el que se muestra su construcción y cómo se debe leer la cantidad de estrellas fugaces durante una semana del mes de agosto. En nuestra opinión, basándonos en los análisis realizados, los libros de texto ofrecen una herramienta útil para el trabajo con los gráficos, pero muchos de estos se introducen de manera descontextualizada o en relación a contextos no demasiado reales. En este sentido, creemos importante indagar sobre diferentes métodos para introducir los gráficos desde primeros cursos de educación primaria.

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS MEDIANTE PROYECTOS Además de las actividades que podemos encontrar en los libros de texto, los profesores pueden

Imagen 1. Pictograma en libro de texto (Peña, Aranzubía y Santaolalla, 2008)

modificarlas para que sean más motivadoras para los estudiantes y que estos trabajen situaciones de su entorno inmediato. El trabajo con proyectos en las clases de estadística permite trabajar una variedad amplia de temas, trabajar aspectos del razonamiento estadístico y, principalmente, motivar al estudiante en la resolución de problemas reales, sacándolo del papel estático que generalmente se fomenta en el trabajo con gráficos en los libros de texto. Estos proyectos siguen los pasos de una verdadera investigación, partiendo de una pregunta a la que hay que dar solución a través de recogida y análisis de datos (Batanero y Díaz, 2011).

■

El trabajo con proyectos motiva al estudiante en la resolución de problemas reales Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 78 • octubre 2017

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Para el inicio del proyecto, se aprovechó que los estudiantes en el recreo comían diferentes frutas para lanzar una pregunta inicial: «¿Qué frutas preferimos en la clase?». A partir de ese momento, nos dispusimos a recolectar datos para dar solución a dicha respuesta, los cuales se recogieron durante tres días consecutivos. Al inicio del recreo, los niños podían seleccionar entre diferentes frutas y elegir la que más les apetecía. Una vez habiendo descansado y acabado el recreo, cada niño colocaba en un panel su nombre con velcro en la categoría en la que apareciese la fruta que había comido. En la imagen 2 se muestra la construcción del gráfico que muestra la distribución de frecuencias para cada una de las frutas. Algunos niños traían su propia merienda de casa (por ejemplo, bizcocho) por lo que se creó la categoría «no fruta» (imagen 2). Imagen 2. Gráfico elaborado por estudiantes

¿QUÉ FRUTAS PREFERIMOS EN LA CLASE? PROYECTO

Los resultados de esta experiencia evidencian que los niños pueden construir gráficos grupalmente sin mayores dificultades. Sería interesante ampliar el proyecto comenzando a representar gráficos indi-

En Cervilla, Arteaga y Díaz-Levicoy (2014) mostramos el diseño inicial de un proyecto adecuado para trabajar en último curso de educación infantil o primer curso de educación primaria, que desarrollamos y ampliamos en este artículo. Creemos importante introducir desde los primeros cursos de educación primaria el trabajo con gráficos a través de actividades que llamen la atención a los niños. El proyecto se ha podido llevar a cabo con niños de cinco años, pero puede ser adaptado para trabajar con niños de mayor edad; nuestro objetivo es mostrar maneras diferentes de desarrollar habilidades gráficas como la construcción e interpretación de gráficos desde que los niños son pequeños.

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Imagen 3. Diferentes gráficos construidos para extracción de conclusiones


vidualmente y aumentando el nivel de simbología matemática y de abstracción de las representaciones. Es interesante también ver que, con este proyecto, se puede trabajar una habilidad muy importante dentro de la comprensión gráfica como es la lectura e interpretación de gráficos. En la imagen 3 se muestran los diferentes gráficos que los niños tuvieron que observar e interpretar. Analizando por qué eran tan diferentes, concluyeron que había días especiales, como los cumpleaños, en los que casi todos comían tarta y, por eso, casi ninguno comía fruta, y también fueron capaces de realizar hipótesis sobre las frutas preferidas para el conjunto de la clase (imagen 3).

CONCLUSIÓN Este trabajo, hemos visto la importancia que asumen los gráficos estadísticos en las directrices curriculares y su presencia en los libros de texto, por lo que debiesen ser enseñados en los diferentes cursos de educación primaria. Uno de los objetivos principales del trabajo ha sido mostrar la potencialidad del trabajo con proyectos a la hora de introducir los gráficos estadísticos en educación primaria, ya que los proyectos deben diseñarse para utilizar datos de contextos próximos a los niños y esto puede suponer una gran motivación por su parte. Trabajar con actividades en las que los niños desde pequeños tengan que construir e interpretar distintas representaciones gráficas puede contribuir positivamente al posterior desarrollo de unos buenos niveles de cultura estadística, lo cual es una necesidad dentro de la sociedad de la información en la que vivimos. ◀

Nota *

AGRADECIMIENTOS: Proyecto

EDU2016-74848-P, Beca CONICYT PFCHA 72150306 y Grupo FQM126 (Junta de Andalucía).

Referencias bibliográficas BATANERO, C.; DÍAZ, C. (2011): Estadística con Proyectos. Granada: Universidad de Granada. CERVILLA, C.; ARTEAGA, P.; DÍAZ-LEVICOY, D. (2014). «¿Es posible trabajar con gráficos estadísticos en preescolar?», en Acta XVIII Jornadas Nacionales de Educación Matemática. Santiago. SOCHIEM, pp. 114-119. DÍAZ-LEVICOY, D. y otros (2015): «Análisis de gráficos estadísticos en libros de texto de Educación Primaria española». Unión, núm. 44, pp. 90-112. PEÑA, M.; ARANZUBÍA, V.; SANTAOLALLA, E. (2008): Matemáticas 3º. Madrid. SM. «Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria». Boletín Oficial del Estado, núm. 52.

Direcciones de contacto Pedro Arteaga Danilo Díaz-Levicoy Carmen Cervilla Universidad de Granada [email protected] [email protected] [email protected]

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA MATEMÁTICAS

DE

DIDÁCTICA

DE

LAS

en marzo de 2017 y aceptado en mayo de 2017 para su

publicación.


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Alfabetización estadística a través del estudio de clase Representaciones de datos en primaria Soledad Estrella Pedro Vidal-Szabó

Instituto de Matemática de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (Chile)

Al buscar respuestas a un problema, los datos iluminan y permiten ver en alguna dirección. Se presenta una lección diseñada por profesores que indagaron en un problema de su escuela. Los estudiantes decidieron su pregunta y esbozaron respuestas al representar con tarjetas de datos. Los profesores vivieron el proceso estadístico y PALABRAS CLAVE lo llevaron • TARJETAS DE DATOS al aula, alcanzando una • EDA • PPDAC alfabetización • ALFABETIZACIÓN ESTADÍSTICA estadística.

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Alfabetización estadística a través del estudio de clase

E

n este trabajo se describe una lección de estadística diseñada por un equipo de profesores que indagó en un problema de su escuela, relacionado con el nivel de atención y horas de sueño de sus estudiantes. Este equipo se reunió 120 minutos a la semana durante dos meses, planificando una lección e implementándola en tres ocasiones para mejorarla en términos de su enseñanza para el aprendizaje de sus estudiantes (cuadro 1). El equipo se involucró en un ciclo investigativo conocido como PPDAC (problema, plan, datos, análisis y conclusiones), vivenciaron todo el proceso estadístico y lo llevaron al aula, logrando que sus estudiantes realizaran el mismo ciclo en un ambiente de análisis exploratorio de datos (EDA).

MODELOS DE ENSEÑANZA En Chile se han realizado experiencias de aprendizaje de la estadística que integran modelos de enseñanza específicos al contenido en un estudio

Elegir un tema del eje Datos y Probabilidades para estudiarlo

Identificar un contenido del currículo del grado

El PPDAC es un ciclo investigativo que incluye Problema, Plan, Datos, Análisis y Conclusiones ■

de clase: Análisis exploratorio de datos (Tukey, 1977) y Ciclo investigativo PPDAC (cuadro 2 en la página siguiente) de Wild y Pfannkuch (1999). Durante el estudio de clase el equipo discutió sobre el aprendizaje de la matemática y la estadística, y tomó decisiones para diseñar y rediseñar su plan de la lección. El equipo planeó una lección para llevar a la práctica los objetivos; uno de los profesores implementó según el plan, y se reunieron evidencias sobre el desempeño de los estudiantes. Tras la implementación, el equipo reflexionó y discutió las evidencias reunidas, utilizándolas para mejorar la lección (cuadro 1).

Planificar la lección a investigar

3 o 4 implementaciones sucesivas

Evaluar las posibles dificultades de aprendizaje de los estudiantes Precisar el objetivo de aprendizaje y profundizar en sus aspectos críticos Cuadro 1.

Implementar, observar, discutir y mejorar la leccion

Ciclo de estudio de clase (Estrella, Mena-Lorca y Olfos, 2017)


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Problema

Conclusión

Comprender y definir el problema ¿Cómo respondemos a la pregunta?

Interpretación Conclusiones Nuevas ideas Comunicación

Análisis

Plan

Ordenar datos Construir tablas y gráficos Buscar patrones Generación de hipótesis

¿Qué mediremos y cómo? ¿Qué registraremos? ¿Qué recolectaremos? Datos

Recolección Manejo Limpieza

Cuadro 2.

Ciclo investigativo PPDAC

CONTEXTO En esta experiencia, los profesores fueron invitados a participar del curso «Análisis de datos estadísticos y sus representaciones» en las dependencias de su escuela, ofrecido por didactas de la matemática de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Este curso les permitió trabajar en equipos de tres a cuatro integrantes para planificar, enseñar, observar, analizar y mejorar sus propuestas en una lección de 45 minutos para 35 estudiantes. El objetivo del EDA es explorar los datos sin restricciones, en busca de regularidades interesantes e insospechadas, en que las conclusiones son informales, basadas en lo que se ve en los datos y solo se aplican a los sujetos y circunstancias para los cuales se recolectaron; utilizando representaciones y resúmenes numéricos.

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No es usual en la estadística escolar tratar con varias variables. Estos profesores se propusieron manejar dos variables categóricas (grado y género) y dos numéricas (nivel de atención y horas de sueño). Para ello, diseñaron tarjetas de datos que permitieron alcanzar mayor comprensión de las características del conjunto de datos y sus relaciones (comportamiento de todas las tarjetas) desde los datos individuales (una tarjeta).

PLAN DE LA LECCIÓN Los profesores eligieron el objetivo curricular «Construir, leer e interpretar gráficos de acuerdo a datos recolectados» y diseñaron un plan con el objetivo de «organizar datos para responder a nuestras preguntas”. A continuación, se describen las secciones clave en su última implementación.


Despertando la necesidad de los datos: objetivo y actividad clave (5 minutos) La lección se inicia con el planteamiento del objetivo a los estudiantes del grado 3 (8 a 9 años), cuya motivación comienza con una noticia videograbada que trata de una entrevista a un estudiante del grado 8 (13 a 14 años) de la misma escuela; él indicó tener dificultades con el sueño y su atención. Para despertar la necesidad de los datos, la profesora preguntó:

puntos

s a r o h

Imagen 1. Tarjeta de datos

¿Por qué será un problema para él [estudiante del grado 8] dormir poco? ¿Por qué le afectaba no poner la suficiente atención? ¿En qué curso empezó a tener estos problemas? ¿Quién ha experimentado el mismo problema? ¿Qué pasará en nuestro curso [grado 3]?

Emergencia de las variables y presentación del material (10 minutos)

(indica el dato 3.° A en la tarjeta y la gira), es hombre, duerme ocho horas y tiene un puntaje de 5 en el test de atención» (imagen 1). La profesora pregunta: «¿Serán iguales todas las tarjetas de datos?» y reparte sobres con tarjetas, comentando: «Todos los datos están en las tarjetas dentro de estos sobres».

Proponer una pregunta a responder tras la exploración con las tarjetas (15 minutos)

Los estudiantes describen e identifican el problema de su compañero del grado 8 y señalan varios posibles factores. La profesora los escucha y registra en pizarra las variables que surgen de las respuestas de los estudiantes, ya anticipadas en el plan: género, grado, atención, horas de sueño. En una sesión anterior, el equipo de profesores recolectó los datos de los estudiantes de grado 8 y 3. Además, la profesora del grado 3 les dio tarjetas de datos vacías para que los estudiantes escribieran sus datos y familiarizarlos con el material. Para que el diseño de las tarjetas fuese homogéneo, posteriormente, el equipo construyó las tarjetas de datos de los dos grados.

La profesora da tiempo para que los grupos exploren las tarjetas y decidan la forma de organizarlas. Además, plantea la tarea a cada grupo, esto es, hacer una pregunta para responder desde los datos (da un tiempo breve). ¿Qué preguntas les moti va responder? ¿Cómo organizarían las tarjetas para extraer información y responder sus preguntas?. Ella estimula para que emerjan preguntas: ¿Quieren saber algo de los cursos o de los hombres y las mujeres? ¿Cómo clasificarán para responder a su pregunta?. Y declara, «escriban su pregunta y busquen respuestas con estas tarjetas de datos».

Siguiendo el plan, la profesora presenta una tarjeta y señala que «es de un estudiante de nuestro curso

Los estudiantes exploran las tarjetas, desplegándolas en una cartulina sobre sus escritorios.


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La profesora elige diversas representaciones con diferentes preguntas para generar discusión ■

Cada grupo escribe una pregunta que tratará de contestar. La profesora monitorea el trabajo para seleccionar a los grupos que comunicarán la pregunta y la respuesta mediante su representación con tarjetas de datos. Según el plan, la profesora elige diversas representaciones con las diferentes preguntas formuladas, para generar discusión sobre los conceptos involucrados y alcanzar una mejor comprensión conceptual.

Compartiendo ideas y estrategias de resolución (10 minutos) El plan consideró agrupar según horas de sueño y explorar relaciones entre el grado 3 y 8; agrupar el mayor o menor puntaje obtenido en atención y explorar relaciones entre hombres y mujeres, o entre los cursos; y clasificar mujeres y hombres según el curso, entre otras. También se consideró un momento para compartir ideas y estrategias de resolución. Tras ordenar las tarjetas y construir representaciones

Imagen 2. Representación con tarjetas de datos sobre nivel de atención por grado

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sobre cartulinas (imágenes 2 y 3), los estudiantes interpretan el comportamiento de los datos para obtener información y explican sus representaciones de datos, comunicando la respuesta a su pregunta. Para guiar la presentación y contribuir a la comprensión de todos los estudiantes, la profesora indica: ¿Cuál es la pregunta que hizo este grupo? ¿Qué información pueden extraer desde sus representaciones de datos para responderla? Según esta representación, ¿qué pueden concluir?

Para que la mayoría del curso participe y los niños hablen más alto, la profesora se ubica al final de la sala y solicita al grupo que desde su representación pegada en la pizarra comuniquen la respuesta a su pregunta. La profesora cuestiona para que los grupos aprecien la diferencia entre representaciones y aborden la complejidad de las

Imagen 3. Representación con tarjetas de datos sobre cantidad de horas de sueño por grado


lecturas. Los estudiantes que exponen explican su representación, y verbalizan la pregunta y su respuesta desde la información obtenida.

Sintetizando ideas desde los aprendizajes (5 minutos) El plan consideraba un momento final para sintetizar ideas desde los aprendizajes de los estudiantes cuando comunicaban sus hallazgos. De acuerdo con las horas de sueño del grado 3: ¿Cómo se comporta la mayoría de las mujeres? ¿Y los hombres? ¿Entre qué horas duerme la mayoría de los estudiantes? Respecto a la atención: ¿Cuál es el puntaje de los que tienen mayor atención? ¿Y los que presentan menor atención?

pos de estudiantes que inicialmente intentaron considerar demasiadas variables a la vez y no pudieron manejar la complejidad en el ordenamiento de las tarjetas y en la toma de sentido de los datos, pero luego se sumaron a la mayoría de los grupos que pudieron detectar patrones, irregularidades y tendencias. Para dar sentido al dato, la profesora dialogó con los grupos de estudiantes, provocando crítica, exploración y visualización del comportamiento de los datos y sus nacientes ideas estadísticas. ◀

Referencias bibliográficas ESTRELLA, S.; MENA-LORCA, A.; OLFOS, R. (2017): «Lesson Study in Chile: a very promising but still uncertain path», en QUARESMA, M. y otros (coords.): Mathematics lesson study around the

Al cierre, la profesora pregunta: «¿Las representaciones fueron iguales o distintas? ¿Por qué son distintas? ¿En qué fueron iguales? ¿Para qué les ha servido construir estas representaciones?

world: Theoretical and methodological issues.

Springer. [En prensa] TUKEY, J. W. (1977): Exploratory data analysis. Reading. Addison-Wesley. WILD, C.J.; PFANNKUCH, M. (1999): «Statistical thinking in empirical enquiry». International Statistical

CONCLUSIONES En esta experiencia de problema abierto, los estudiantes son los que se expresan, piensan y cuestionan, preguntan y construyen respuestas, argumentan, comunican y discuten con sus pares. El rol docente se enfoca en motivar a los estudiantes a escucharse, a interesarse por las preguntas realizadas por sus compañeros y a esforzarse por entender las representaciones presentadas y los conceptos estadísticos en juego. El mayor desafío fue el manejo de cuatro variables y pasar del dato individual a visualizar las características del conjunto de datos. Al realizar el ciclo investigativo PPDAC en un ambiente EDA, los profesores eran conscientes del desafío al que enfrentaban a sus estudiantes, hubo gru-

Review, vol. 67(3), pp. 223-248.

Direcciones de contacto Soledad Estrella Pedro Vidal-Szabó

Instituto de Matemática de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso (Chile) [email protected] [email protected]

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DIDÁCTICA

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MATEMÁTICAS en marzo de 2017 y aceptado en mayo de 2017 para su

publicación.


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Estadística y ABP Una experiencia con futuro profesorado de primaria Jon Anasagasti Ainhoa Berciano Universidad del País Vasco

La motivación determina las acciones que lleva a cabo una persona a lo largo de su vida, interviniendo, por ejemplo, en sus resultados académicos. La estadística no es ajena a este hecho y, por ello, su enseñanza-aprendizaje debe tener en cuenta que una persona poco motivada mostrará PALABRAS CLAVE poco interés por su conocimiento. En este artículo, • PENSAMIENTO ESTADÍSTICO describimos una experiencia de aula basada en • APRENDIZAJE BASADO EN PROYECTOS • MOTIVACIÓN aprendizaje basado en proyectos, que fomenta la • FORMACIÓN DE PROFESORADO DE PRIMARIA motivación del alumnado del grado de Educación • EXPERIENCIA DE AULA Primaria (estudiantes de 18 a 22 años). 18


Estadística y ABP: Una experiencia con futuro profesorado de primaria

E

l refranero español plantea como máxima de filosofía de vida que «querer es poder», dando a entender que nada es imposible si de verdad estamos interesadas en lograrlo, pero ¿qué nos motiva para querer realizar algo? Si nos centramos en la enseñanzaaprendizaje de la matemática, son varios los autores que han puesto de manifiesto la importancia de la motivación. Font (1994, p. 14) destaca la relación directa entre la motivación y la actitud hacia la matemática, y pone de relieve que «si el patrón es positivo, el estudiante, frente a una dificultad, reaccionará analizándola, buscará una nueva estrategia, etc. […]. Si el estudiante presenta un patrón motivacional negativo, frente a una dificultad, aumentará su ansiedad […] y, por tanto, adoptará una actitud defensiva». En este artículo, nos planteamos cómo conseguir que el aprendizaje de la estadística resulte moti vador a nuestro alumnado, futuro profesorado de primaria. Para ello, describimos una experiencia

Querer es poder, pero ¿qué nos motiva para querer realizar algo? ■

de aula cimentada en el aprendizaje basado en proyectos y analizamos el grado de motivación logrado. Pero, ¿qué se entiende por aprendizaje significativo de la estadística?

EL SENTIDO ESTADÍSTICO Según Batanero (2013), «el sentido estadístico consta de tres componentes: a) comprensión de las ideas estadísticas fundamentales […]; b) capacidad de realizar un análisis de datos; y c) capacidad de razonar a partir de los datos». Para adquirir esta capacidad de razonamiento o sentido estadístico, según Wild y Pfannkuch (1999), el alumnado debe seguir los cinco siguientes pasos jerárquicos, desarrollando procesos específicos detallados en el cuadro 1:

PPDAC

• Interpretación • Conclusiones • Nuevas ideas • Comunicación • Exploración de datos • Análisis planificado • Análisis no planificado • Generación de hipótesis

Cuadro 1.

Conclusiones

• Comprendiendo la dinámica del sistema • Definiendo el problema

Problema

Análisis

Plan

Datos

• Recolección de datos • Tratamiento de datos • Ordenar datos

Planeando: • El sistema de medida • El diseño de muestreo • El tratamiento de datos • Probando y analizando

Ciclo aprendizaje (Wild y Pfankuch, 1999, p. 226)


19


1

2

3

4

5

Reconocer la necesidad de datos, asumiendo que la experiencia personal o la evidencia de tipo anecdótica no es fiable y puede llevar a la confusión en la toma de decisiones. Fomentar la «transnumeración», que consiste en el cambio de representación de los datos. Considerar la variabilidad y la incertidumbre en la toma de decisiones. Razonar con diferentes modelos estadísticos (gráficos, estadísticos, líneas de regresión), sabiendo relacionarlos. Integrar el conocimiento estadístico con el conocimiento del contexto.

DISEÑO DE LA EXPERIENCIA DE AULA El diseño de la experiencia de aula, al estar contenido dentro de la asignatura anual del grado de Educación Primaria de la UPV/EHU «Matemáticas y su didáctica II», de 9 ECTS, cumple los siguientes requisitos: • Tratar todos los contenidos estadísticos básicos del currículo de educación primaria (recogida de datos, medidas de centralización y dispersión y análisis de gráficos).

Sesiones de teoría

Introducción

•

Plantear al alumnado cuestiones que les incite a trabajar el pensamiento crítico. Intentar fomentar la transposición didáctica de contenido al aula.

Diseño metodológico de la tarea El diseño de la experiencia de aula se ha basado en todos los principios básicos del aprendizaje basado en proyectos siguiendo los ciclos de investigación para el aprendizaje de la estadística de Wild y Pfannkuch (1991) (cuadro 1) y descrito más extensamente en Anasagasti y Berciano (2016). El módulo tiene una parte de metodología tradicional (6 horas), y una parte en la que se implementa el aprendizaje basado en proyectos (7,5 horas), que consiste en realizar una investigación basada en la formulación del problema, la confección del cuestionario, el análisis de datos y las presentaciones (cuadro 2).

IMPLEMENTACIÓN DE LA ACTIVIDAD La experiencia se ha llevado a cabo en un grupo grande (cuadro 3) de tercer curso del grado de Educación Primaria de la Escuela de Magisterio

Ejercicios en el aula

Fichas de repaso via Moodle

Lectura

Lectura

Lectura

Lectura

Lectura

Lectura

de informe

de informe

de informe

de informe

de informe

de informe

Cuadro 2.

20

•

Estructura teórica de la experiencia de aula (extraída de Anasagasti y Berciano, 2016)



Teoría: 2 h/semana

Investigación y práctica: 2,5 h/semana

Inv11

Grupo práctico 1

las sesiones prácticas, en las que el grupo clase se divide en dos, y estos a su vez en subgrupos de cinco personas, llevamos a cabo las tareas relacionadas con el ABP, que consistirá en analizar una situación a partir del análisis estadístico de los datos que deberán recoger para ello.

Inv12

Planteamiento ABP ... Inv17

Grupo clase Inv21

Como ámbito de investigación elegimos «hábitos de la juventud». Teniendo en cuenta que lo que buscamos es fomentar la motivación del alumnado, damos libertad para que elijan el tema en el que desean realizar la investigación (cuadro 4).

Inv22 Grupo práctico 2 ... Inv27

Cuadro 3.

Subdivisión del grupo clase

A continuación, y con la ayuda del profesor, se delimita el tema y la pregunta inductora, que motivará la investigación que deben diseñar. Para ello, seleccionan las variables a tener en cuenta, concretan las características de la muestra y el método de recogida de datos, y diseñan un cuestionario. Así se logra que el alumnado reconozca la necesidad de datos para tomar decisiones.

de San Sebastián. Está compuesto por 69 personas (47 mujeres y 22 hombres), y la mayoría tiene cerca de 20 años. El grupo cursa el grado y la asignatura en euskera, 1 por lo que todo el trabajo realizado se ha llevado a cabo en esta lengua.

Comida rápida

Subdivisión del grupo clase por tareas Puesto que disponemos de sesiones teóricas para el grupo entero, las aprovechamos para trabajar con instrumentos más tradicionales como la contextualización del trabajo que van a realizar, la transmisión de conceptos teóricos o la realización de ejercicios de manera individual. Durante

Tabaco

Alcohol

Teléfonos móviles

Ocio/cine

Hábitos de la juventud

Alimentación

Ámbito «hábitos de la juventud» y algunos de los temas elegidos por el alumnado Cuadro 4.


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Tras diseñar la investigación, los grupos realizan el trabajo de campo recogiendo datos y codificándolos en hojas de cálculo. A continuación, ponen en práctica los conceptos teóricos trabajados en clase, al mostrar la información recogida mediante tablas, medidas de centralización y dispersión, y gráficos (imagen 1). De esta manera, se logra trabajar la transnumeración.

siones y dar respuesta a la pregunta inductora. Puesto que para realizar el trabajo cuentan con muestras de un tamaño limitado, deben considerar adecuadamente la variabilidad y la incertidumbre a la hora de realizar los razonamientos y tomar decisiones. Todo ello ayuda a que hagan razonamientos con diferentes modelos estadísticos.

Una vez analizados los datos, cada grupo realiza un debate interno con intención de sacar conclu-

Para terminar, cada grupo comunica de manera escrita y oral los resultados de su investigación. Para ello, los alumnos redactan un informe con sus conclusiones y preparan un póster que utilizan de apoyo visual para su presentación oral ante todo el grupo (imagen 2). Ello contribuye a integrar el conocimiento estadístico con el conocimiento del contexto, logrando un aprendizaje significativo.

VENTAJAS Y PROBLEMÁTICAS

Imagen 1. Primeras indagaciones y tratamiento de datos con la hoja de cálculo

Como ventaja de esta metodología debemos destacar que el alumnado muestra un mayor interés por la estadística y se involucra en mayor medida en el uso de términos estadísticos para describir una situación analizada, por lo que el objetivo de la tarea se cumple en gran medida. Los test de satisfacción indican una valoración general bastante positiva, obteniendo una media de 4,19 en una escala del 1 al 5. Entre la opinión recogida destacan argumentos como «más que lo que hemos trabajado, me ha parecido interesante cómo lo hemos hecho; al fin y al cabo, han sido contenidos que hemos tenido que trabajar nosotros mismos», « he aprendido de manera práctica con la investigación realizada».

Imagen 2. Resultado del trabajo realizado por el alumnado para el póster para presentación

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Ello sugiere que el proceso de investigación les resulta atractivo y motivador, principalmente por


El proceso de investigación resulta atractivo porque comporta nuevos métodos y herramientas de trabajo ■

Referencias bibliográficas ANASAGASTI, J.; BERCIANO, A. (2016): «El aprendizaje de la estadística a través de PBL con futuros profesores de primaria». Contextos Educativos, núm. 1 (extraordinario), pp. 31-43. BATANERO, C. (2013): «Sentido estadístico: componentes y desarrollo», en I Jornadas Virtuales de Didáctica de la Estadística, la Probabilidad y la

enseñarles nuevos métodos de trabajo e iniciarles en el uso de herramientas informáticas que, hasta ese momento raramente habían utilizado. El trabajo en grupos ha generado discusiones que han sido útiles para aclarar dudas y compartir conocimientos. Además, tener que realizar las presentaciones les ha exigido tener que seleccionar información significativa y desarrollar sus competencias comunicativas. Como problemática de usar esta metodología destacamos que el trabajo de corrección de fichas, coordinación de tareas y seguimiento de los proyectos de investigación supone una gran carga para el docente encargado de su implementación.

Combinatoria [en línea]. Granada.
gl/6iftfy>. [Consulta: febrero 2017] FONT, V. (1994): «Motivación y dificultades de aprendizaje en matemáticas», Suma, núm. 17, pp. 10-16. WILD, C.; PFANNKUCH, M. (1999): «Statistical Thinking in Empirical Enquiry (with discussion)». International Statistical Review, vol. 67(3), pp. 223-265.

Direcciones de contacto Jon Anasagasti Aguirre Ainhoa Berciano Alcaraz Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales. Escuela Universitaria de Magisterio de Bilbao. Universidad del País Vasco [email protected] [email protected]

A pesar de ello, según las recomendaciones de expertos y los currículos actuales, la experiencia aquí mostrada fomenta que el alumnado realice un ciclo de investigación completo (formulando preguntas, recogiendo datos, organizándolos, usando métodos estadísticos apropiados para analizarlos, presentándolos, interpretándolos y sacando sus propias conclusiones), sirviéndoles de ejemplo para que en el futuro implementen procesos de investigación cuantitativo en sus aulas de primaria; lo cual consideramos un resultado muy satisfactorio. ◀

Nota 1. El euskera es una de las dos lenguas oficiales del País Vasco.


DE

DIDÁCTICA

DE

LAS


publicación.


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¿Cómo desarrollar la alfabetización probabilística en primaria? Claudia Vásquez

Ángel Alsina

Pontificia Universidad Católica de Chile

Universidad de Girona

En este trabajo se presenta un conjunto de experiencias de aula para llevar a cabo una enseñanza eficaz de la probabilidad en educación primaria que contribuya a desarrollar la alfabetización probabilística de manera gradual. Para ello, se sigue un itinerario didáctico que va desde el lenguaje probabilístico hasta la cuantificación de la incerteza.

PALABRAS CLAVE

• ALFABETIZACIÓN PROBABILÍSTICA • ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD • EDUCACIÓN PRIMARIA • ENSEÑANZA EFICAZ • ITINERARIO DIDÁCTICO

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¿Cómo desarrollar la alfabetización probabilística en primaria?

L

as últimas décadas los currículos de matemáticas han incluido progresivamente la probabilidad desde las primeras edades, para responder a la necesidad de contar con ciudadanos alfabetizados probabilísticamente, «capaces de hacer frente a una amplia gama de situaciones del mundo real que implican la interpretación o la generación de mensajes probabilísticos, así como la toma de decisiones» (Gal, 2005). Así, se espera contribuir al desarrollo de un pensamiento crítico que permita comprender y comunicar distintos tipos de información presentes en numerosas situaciones de la vida diaria en que los fenómenos aleatorios, el azar y la incertidumbre están presentes, por encima de un enfoque tradicional, en el que hasta hace poco se privilegiaba la resolución mecánica de ejercicios, a través de «fórmulas» que se aplican pero no se comprenden, lo que en muchas ocasiones lleva a que, al intentar enseñar probabilidad, se termine solo aprendiendo aritmética. En este contexto, es necesario plantearse cómo se puede fomentar una enseñanza eficaz de la probabilidad en educación primaria que permita desarrollar la alfabetización probabilística. Se asume por enseñanza eficaz el conjunto de experiencias que permitan dar sentido a las ideas matemáticas (NCTM, 2015). Más aún en el caso de la alfabetización probabilística, que corresponde a la capacidad de acceder, utilizar, interpretar y comunicar información e ideas relacionadas con la probabilidad, con el fin de

■

¿Cómo fomentar una enseñanza eficaz de la probabilidad en primaria?

La enseñanza eficaz de la probabilidad va desde el lenguaje probabilístico hasta la cuantificación de la incerteza ■

participar y gestionar eficazmente las demandas de las funciones y tareas que implican incertidumbre (Gal, 2005). Es desde esta visión que Gal caracteriza la alfabetización probabilística a partir de elementos cognitivos: • Grandes ideas: variación, aleatoriedad, independencia, incertidumbre. • Cómo calcular probabilidades. • Lenguaje para comunicar el azar. • Contexto. • Preguntas críticas. Asimismo, propone elementos vinculados a las actitudes: • Postura crítica. • Creencias y actitudes. • Sentimientos personales en relación a la incertidumbre. Estos componentes, a pesar de ser presentados por separado, interactúan entre ellos de manera compleja durante el aprendizaje real, y deben ser abordados a lo largo de toda la etapa escolar. Desde este marco, y en sintonía con los planteamientos de Godino, Batanero y Cañizares (1987) para abordar el proceso de enseñanza y aprendizaje de la probabilidad y los resultados obtenidos por Vásquez y Alsina (2017) sobre el surgimiento de la probabilidad en el aula de educación primaria, la enseñanza eficaz de la probabilidad en la educación primaria contempla el itinerario de


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Inicio informal, introducción de vocabulario a partir de situaciones cotidianas que involucran posibilidad de ocurrencia

Experimentos aleatorios con material concreto, para transitar hacia la cuantificación de la posibilidad de ocurrencia

Introducción al cálculo de probabilidades (cuantificación de la incerteza) de sucesos sencillos

Cuadro 1. Itinerario de enseñanza de la probabilidad en educación primaria

enseñanza del cuadro 1, que va desde el lenguaje probabilístico hasta la cuantificación de la incerteza, dejando para etapas posteriores el cálculo de la probabilidad de sucesos dependientes e inde-

pendientes, y conceptos de mayor complejidad. A continuación se presentan, a modo de ejemplo, experiencias para cada una de las fases indicadas en el cuadro 1.

Aproximación al lenguaje de la incertidumbre a partir de posibilidades de ocurrencia en situaciones cotidianas • • •

•

•

Nivel: 5-8 años. Fase 1. Contenidos implícitos: grados de posibilidad de un suceso, uso de lenguaje probabilístico. Materiales: láminas con situaciones cotidianas, tablero para el profesor y alumnos. Gestión de la actividad: se muestran láminas con situaciones (imagen 1) y se pide a los alumnos que las clasifiquen e indiquen si es posible que ocurran o no. Los alumnos deben discutir y reflexionar acerca de su posibilidad de ocurrencia.

Imagen 1. Láminas con situaciones reales para establecer posibilidades de ocurrencia

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Luego, se solicita identificar, discutir y ordenar las láminas según grados de posibilidad de ocurrencia, estableciendo, en conjunto con el profesor, una escala para valorar cualitativamente las oportunidades de ocurrencia (cuadro 2), donde cada grado de posibilidad implica un nivel diferente de incerteza. En una segunda instancia, el profesor organiza a los alumnos en grupos de cuatro o cinco, entregando un tablero a cada grupo (véase la imagen que enc abeza el artículo) y solicita que planteen situaciones en las que la incertidumbre esté presente, las cuales posteriormente son compartidas y discutidas con sus compañeros que, a partir de la discusión grupal, consensuan una clasificación según la escala cualitativa de posibilidad de ocurrencia.

Cuadro 2. Escala grados de posibilidad de ocurrencia

De la posibilidad a la probabilidad, una aproximación a la cuantificación de los grados de posibilidad • • • • •

Nivel: 8-10 años. Fase 2. Contenidos implícitos: grados de posibilidad de ocurrencia, concepto de probabilidad. Materiales: conjunto de ruletas de diversas secciones. Gestión de la actividad: se espera que, en primer lugar, los alumnos identifiquen que la probabilidad de ocurrencia de un suceso corresponde a una medida cuantitativa de sus posibilidades de ocurrencia, cuyos valores fluctúan entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%). Con este propósito, el profesor presenta a los alumnos distintas ruletas (imagen 2) solicitando Imagen 2. Ruletas a clasificar según grado de posibilidad de ocurrencia que, para cada una de ellas, indiquen de acuerdo con la escala cualitativa de posibilidades, la posibilidad de que, al girar la flecha, esta se detenga en el color rojo.


27


Luego, solicita asignar un valor numérico relacionado con dicha posibilidad de ocurrencia, de manera tal que identifiquen que una situación imposible de ocurrir tendrá probabilidad de ocurrencia 0 y que una situación segura de ocurrir tendrá probabilidad de ocurrencia 1, mientras que una situación considerada como posible de ocurrir tendrá una probabilidad de ocurrencia de 0,5 o 1/2, estableciendo de este modo una escala cuantitativa para la probabilidad de ocurrencia de un suceso (cuadro 3).

Cuadro 3. Escala cuantitativa de las posibilidades de ocurrencia de un suceso (probabilidad)

En una segunda instancia, se espera que los alumnos identifiquen que una situación que tiene mayor posibilidad de ocurrir tendrá una probabilidad cercana a 1, mientras que una situación que tiene pocas posibilidades de ocurrir tendrá una probabilidad cercana a 0. Se finaliza con una discusión para compartir respuestas y los razonamientos involucrados.

Introducción al cálculo de probabilidades • • • • •

Nivel: 10-12 años. Fase 3. Contenidos implícitos: espacio muestral, experimento aleatorio, probabilidad. Materiales: ruletas. Gestión de la actividad: se plantean situaciones en que los alumnos deben realizar experimentos aleatorios, por ejemplo, girar la ruleta dividida en cuatro sectores circulares distintos y que la flecha se detenga en cada uno de los colores (imagen 3), para luego plantear preguntas orientadas a la predicción de tendencias.

Luego se organiza a los alumnos en grupos de tres o cuatro, y reparte a cada grupo una ruleta, la cual deben hacer girar 20 veces y registrar la información obtenida, para posteriormente determinar la probabilidad de que la flecha se detenga en un determinado color. Se finaliza solicitando comparar sus resultados con las predicciones realizadas.

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Imagen 3. Ruleta experimento cuatro colores


Los conceptos de probabilidad son complejos y con un alto grado de abstracción ■

CONSIDERACIONES FINALES

Se han presentado, de acuerdo con el itinerario de enseñanza propuesto, algunas orientaciones y recursos para una enseñanza eficaz de la probabilidad en educación primaria, para propiciar el desarrollo progresivo de la alfabetización probabilística por medio de la construcción de conocimiento matemático en situaciones donde este tenga sentido, así como a través de la experimentación, intuición, y capacidad para relacionar y abstraer conceptos. Puesto que se considera necesario un cambio en la forma de enseñar probabilidad, dado que los conceptos de probabilidad son complejos y con un alto grado de abstracción, es necesario avanzar hacia comprensión adecuada a partir del lenguaje específico, para así aproximarse a la cuantificación de la incerteza, y finalmente al cálculo de probabilidades en los últimos cursos de la educación primaria. ◀

NCTM (2015): De los principios a la acción: Para garantizar el éxito matemático para todos. Reston, Va. NCTM. VÁSQUEZ, C.; ALSINA, A. (2017): «Lenguaje probabilístico: un camino para el desarrollo de la alfabetización probabilística. Un estudio de caso en el aula de Educación Primaria». Revista Bolema, vol. 31(57), pp. 454-478.

Direcciones de contacto Claudia Vásquez Pontificia Universidad Católica de Chile [email protected]

Ángel Alsina Universidad de Girona [email protected]

Nota *

AGRADECIMIENTOS:

Trabajo realizado en el marco del proyecto FONDECYT 11150412, financiado por la Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica de Chile.

Referencias bibliográficas GAL, I. (2005): «Towards ‘probability literacy’ for all citizens», en JONES, G. (ed.): Exploring probability in school: Challenges for teaching and learning. Nueva York. Springer Science + Business Media, pp. 43-71. GODINO, J.D.; BATANERO, C.; CAÑIZARES, M.J. (1987): Azar y Probabilidad: Fundamentos didácticos y pro-

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA MATEMÁTICAS en

DE

DIDÁCTICA

DE

LAS

marzo de 2017 y aceptado en mayo de 2017 para su

publicación.

puestas curriculares. Madrid. Síntesis. Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 78 • octubre 2017

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Resolución de problemas de probabilidades en primaria Eugenio Chandía Universidad de Concepción (Chile)

Decidir cómo se puede repartir una apuesta cuando un juego termina antes, o bien decidir si salir con sombrilla, son algunas de las situaciones problemáticas que permiten adentrarse en el mundo de las probabilidades. Sin embargo, la implementación curricular pierde esta característica y centra su enseñanza y aprendizaje en contenidos procedimentales. Así, este documento presenta una metodología que trata de recuperar el análisis de problemas de probabilidad proponiendo una estructura de gestión de clase para ello y situaciones con foco en fenómenos aleatorios y deterministas. PALABRAS CLAVE

• PROBLEMAS • FENÓMENOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

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Resolución de problemas de probabilidades en primaria

E

n el currículo escolar, la enseñanza y aprendizaje de las probabilidades ha sido controversial dada la incorporación y eliminación de este contenido en los diferentes niveles escolares en solo una década de reformas curriculares, como es el caso de Chile, España y Colombia, estableciendo diferentes secuencias de enseñanza y aprendizaje. Sin embargo, la investigación ha afirmado que los niños y niñas deben adquirir primero ciertos conocimientos para llegar a comprender el concepto de probabilidad, tales como el lenguaje relativo a las posibilidades, las certezas e incertidumbre, o reconocer juegos aleatorios y fenómenos aleatorios y determinísticos, entre otros. Ahora bien, en la historia de las probabilidades, cada uno de los conocimientos relativos a ella ha surgido al enfrentar problemas aleatorios en contextos de juegos de azar. Uno de ellos es el problema de los repartos, donde se discute el reparto de una apuesta de un juego que no finalizó; o bien el problema de la existencia de Dios y una vida piadosa, donde el matemático Blaise Pascal describe la situación de un hombre ante la incertidumbre de si existe o no existe Dios, y tiene que decidir entre llevar una vida piadosa o una vida mundana. Así, la historia nos muestra un camino de cómo abordar el conocimiento relativo a las probabilidades y este artículo muestra una estrategia para ello (Penalva, Posadas y Roig, 2010).

CONCEPTOS CLAVE Entre las unidades de conocimiento necesarias para comprender el concepto de probabilidad se encuentra el entendimiento de los fenómenos aleatorios y deterministas. Por otra parte, necesitamos comprender qué se entiende por problema y qué metodologías son eficaces para abordarla

en el aula escolar. De esta forma, en el siguiente apartado se dan algunas referencias de estas dimensiones conceptuales.

Fenómenos Aleatorios y Determinísticos La distinción entre fenómenos aleatorios y determinísticos es la base para la comprensión de las probabilidades, así como también de la estadística, considerando que cualquier fenómeno de interés contempla el análisis de una variable aleatoria. Si bien en la literatura no hay una convención respecto de qué es un fenómeno aleatorio, se puede llegar a un consenso respecto a que esto se refiere a un fenómeno físico donde todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir. Un fenómeno aleatorio se caracteriza por el mecanismo según el cual los resultados son inciertos. Ya en 1951, Piaget e Inhelder determinan que la comprensión de la naturaleza no deducible y la lógica impredecible de los fenómenos aleatorios son fundamentales para desarrollar el concepto de azar (Piaget y Inhelder, 1975). Si bien Piaget e Inhelder plantean que niños y niñas menores de cinco años no pueden comprender las características de los fenómenos aleatorios dado el estadio de desarrollo cognitivo en el cual se encuentran, investigaciones posteriores rechazan esta idea mostrando que niños de tres y cuatro años pueden afirmar que en fenómenos aleatorios ellos no pueden anticipar los resultados en contraposición a los fenómenos determinísticos (Kuzmak y Gelman, 1986). Luego, niños y niñas de seis años y más, además de reconocer que no pueden anticipar los resultados de fenómenos aleatorios, son capaces de fundamentar sus explicaciones en los mecanismos físicos que dan origen a los resultados impredecibles.


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Resolución de problemas Dado que la resolución de problemas tiene importantes repercusiones en la capacidad de las personas para analizar, interpretar, razonar, predecir, evaluar y reflexionar, esta habilidad se ha incorporado en la mayoría de los currículos escolares. Esto, porque al resolver problemas se ponen en juego procesos cognitivos superiores, entre los que destacan la representación mental de las posibles estrategias y su evaluación, donde se aplica la auto-regulación. En esta, ocurre la argumentación de por qué una estrategia puede o no servir, o adecuarse a una situación. Sin embargo, no siempre está claro para los profesores como abordarlo en el aula. Esto porque las reformas curriculares que consideran la resolución de problemas como eje en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas no contempla necesariamente la integración de una metodología de trabajo para abordar los problemas en el aula escolar. Si bien el concepto de problema es muy conocido, no está clara cuál es una posible definición de este concepto, aunque se han llegado a determinar tres grandes categorías de concepciones respecto de la resolución de problemas: como proceso, como objetivo curricular y como método de enseñanza. Tomando en cuenta lo anterior, en este artículo mostraremos que una actividad matemática es un problema cuando la persona que la afronta no conoce un procedimiento que le conduzca a la solución, tiene interés en resolverlo, le supone un desafío y siente que lo puede resolver.

ESTRATEGIA DE AULA PARA RESOLVER PROBLEMAS Considerando lo planteado anteriormente, presentamos una propuesta que integra una estrategia de gestión de clase con problemas que

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abordan fenómenos aleatorios y determinísticos para el desarrollo de los conceptos de azar y probabilidad.

Los problemas Considerando que los niños y niñas deben notar la diferencia entre fenómenos aleatorios y determinísticos, es necesario que tomen decisiones en función de los resultados y mecanismos de cada tipo de fenómeno. Para ello, deben plantearse problemas que los hagan analizar estas dos dimensiones, dando oportunidades a todos los niños y niñas según su habilidad de razonamiento. Así, a continuación se presentan dos problemas que tratan esta necesidad. Problema 1

Esteban quiere saber si lo quieren o no, así que lo verá sacando los pétalos a una flor. Al sacar el primer pétalo, afirmará que lo quieren mucho; al sacar el segundo pétalo, afirmará que lo quieren poquito, y al sacar el tercer el pétalo, afirmará que no lo quieren, y así continuará este ciclo de tres afirmaciones hasta llegar al último pétalo, el cual confirmará cuánto lo quieren. Esteban, al ver las siguientes flores, saca una y comienza a sacar los pétalos. ¿Quieren o no a Esteban? Problema 2

Cristian y Carmen juegan a piedra, papel o tijera al mejor de tres para decidir quién va ir a comprar pan con mamá. Cristian sabe que Carmen siempre saca piedra en la primera tirada, por lo

Resolución de problemas de probabilidades en primaria

que decide poner papel. Sin embargo, Cristian se sorprende al ver que Carmen muestra tijera en la primera tirada, ganando la primera de las tres instancias. ¿Puedes afirmar quién irá a comprar pan? 2

El problema 1 trata de que los estudiantes se den cuenta de que, al sacar una flor que tiene un número de pétalos múltiplo de tres, no querrán a Esteban, pero si este saca una flor con un número múltiplo de 2, Esteban será querido mucho o poco. En este caso, el problema ofrece a los estudiantes un juego que aborda un fenómeno determinístico, donde para conocer esto los estudiantes deben focalizar su atención en el mecanismo que produce los resultados.

3

Por otra parte, el problema 2 trata de que los niños y niñas estudien un fenómeno aleatorio, que tiene como entrada una situación donde se supone la predicción de un resultado bajo el estudio del patrón de comportamiento de Carmen, sin embargo, en la primera jugada, la predicción no se corresponde con el resultado dado. Estos problemas debieran ser implementados con una metodología que permita a los niños y niñas discutir sus resultados, tanto en grupos pequeños como con la clase completa. Esta estrategia la hemos desarrollado en el proyecto ARPA, Activación de la Resolución de Problemas en el Aula, desarrollado en el Centro de Investigación Avanzada en Educación de la Universidad de Chile (Felmer y Perdomo-Díaz, 2017). Las etapas de la estrategia son las siguientes: 1 Agrupamiento. El profesor agrupa a los estudiantes del curso de manera aleatoria, para que así sus habilidades y conocimientos estén organizados de forma heterogénea.

4

5

6

Se recomienda trabajar con grupos de cuatro estudiantes, dado un número mayor en un solo grupo puede generar la creación de dos subgrupos de dos o tres. Entrega. El profesor entrega los problemas, considerando que estos se pueden extender o simplificar en función de las habilidades de los estudiantes. En la entrega se deben considerar las habilidades de los estudiantes, ya que niños y niñas de primer año pueden no saber leer, por lo que se debe leer en voz alta el problema, enfatizando aquellos aspectos del problema que facilitan la comprensión de este. Reglas de trabajo. Entregado el problema, se indica a los estudiantes que deben levantar la mano cuando el grupo tenga alguna duda que no pueda resolver, o bien cuando conozca alguna solución o estrategia del problema. Se enfatiza el trabajo colaborativo y se sugiere preguntar al estudiante que no levantó la mano: por lo general, este es quien sabe de mejor forma la duda o la respuesta al problema. Si la duda o la respuesta no están claras en el grupo, el profesor debe abandonar el grupo y decir que todos deben saber la duda o la solución antes de levantar la mano. Activación. El profesor monitorea el trabajo de los estudiantes, observando si estos tienen alguna dificultad o no pueden generan una primera estrategia. Consolidación. El profesor y los estudiantes ya han resuelto el problema y lo tienen que explicar a sus compañeros y al profesor, el cual puede activar o bien extender el problema, aumentando su complejidad. explican y justifican sus estrategias al resto del curso, y el profesor interviene para generar discusión matemáticamente productiva entre los estudiantes.


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De esta forma, los problemas se desarrollan en los grupos de estudiantes mediante la discusión de las posibles estrategias de solución en cada problema, siendo el profesor un facilitador del desarrollo de los problemas, interactuando con estos solo por medio de preguntas u orientaciones que permitan a los estudiantes visualizar sus dificultades u obstáculos, así como también ver sus procesos de razonamientos, explicaciones y argumentos al tomar decisiones en cada uno de los fenómenos.

FELMER, P.; PERDOMO-DÍAZ, J. (2017): «Un programa de desarrollo profesional docente para un currículo de matemática centrado en las habilidades: La resolución de problemas como eje articulador». Educación Matemática, vol. 29(1), pp. 201-217.

Dirección de contacto Eugenio Chandía Muñoz Universidad de Concepción (Chile) [email protected]

En esta secuencia de prácticas metodológicas es fundamental que para cada problema se tenga claridad sobre cuáles son las posibles dificultades que los estudiantes pueden tener al afrontar cada problema. Teniendo esto en cuenta, deberían prepararse preguntas que orienten a los estudiantes en la búsqueda de una primera estrategia de resolución. Por último, está claro que el propósito del primer problema debe ser que la determinación del mecanismo dé predicción del resultado, y en el segundo, de la imposibilidad de constituir uno para establecer con certeza un posible resultado. De esta forma, para la discusión plenaria es importante secuenciar y seleccionar los procesos y estrategias que los estudiantes han presentado con el objetivo de distinguir las situaciones aleatorias de aquellas deterministas. ◀

Referencias bibliográficas KUZMAK, S. D.; GELMAN, R. (1986): «Young children’s understanding of random phenomena». Child Development , pp. 559-566. PENALVA, M.C.; POSADAS, J.A.; ROIG, A.I. (2010): «Resolución y planteamiento de problemas: Contextos para el aprendizaje de la probabilidad». Educación matemática, vol. 22(3), pp. 23-54. PIAGET, J.; INHELDER, B. (1975): The origin of the idea of chance in children. Nueva York. Norton.

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publicación.

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DIDÁCTICA

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LAS



La probabilidad y la estadística por el aire Una práctica con adolescentes en riesgo de exclusión social Teresa Fernández Blanco Alejandro Gorgal María Salgado Universidad de Santiago de Compostela

En este trabajo se presenta una experiencia realizada con adolescentes en riesgo de exclusión social en la que se trabajan contenidos de probabilidad y estadística mediante la construcción y lanzamiento de aviones de papel.

PALABRAS CLAVE

• PROBABILIDAD • ESTADÍSTICA • ADOLESCENTES • EXCLUSIÓN SOCIAL


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¿

Que son las matemáticas? ¿Para qué nos sirven? Son algunas de las preguntas que muchos alumnos y alumnas que participan en este trabajo nos plantearon el primer día, pero que son un reflejo de lo que pasa cada día en las aulas. Los estudiantes están usando gran parte de su tiempo y de su propio interés para construir contenidos matemáticos que les parecen ajenos a todo lo que se refiere a la vida real. Aprenden que existen dos tipos de competencia en matemáticas: aquellas que se evalúan en la escuela y aquellas «verdaderas y reales» que se usan fuera de esta (D’Amore y Pinilla, 2001). Este tipo de pensamiento comienza a desvanecerse con la implantación de sistemas didácticos más activos, donde el alumnado aprende haciendo y se convierte en el protagonista del proceso de enseñanza-aprendizaje (Chamorro, 2005). Siguiendo esa visión activa de las matemáticas, en este trabajo se presenta una experiencia que forma parte del proyecto Matemociones. Este proyecto se realiza en el seno de la Universidad de Santiago de Compostela con el apoyo de la Asociación IGAXES3 (Instituto Gallego de ayuda al tercer sector) y está dirigido a adolescentes en riesgo de exclusión social. Estos adolescentes forman parte del grupo de alumnado reconocido con necesidades específicas de apoyo educati vo (Xunta de Galicia, 2014). Habitualmente, el apoyo que este alumnado recibe se centra en el refuerzo de los contenidos curriculares a través de la repetición de ejercicios y procedimientos. ■

Es posible mejorar el rendimiento trabajando creencias, actitudes y emociones de los adolescentes 36


La finalidad de este proyecto es mejorar el rendimiento trabajando otros aspectos que influyen en él como las creencias, actitudes y emociones de estos adolescentes sobre las matemáticas y su enseñanza.

CONTEXTUALIZACIÓN Y DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA La experiencia consiste en hacer volar diferentes tipos de aviones de papel y ver cuál de ellos alcanza mayor distancia. Se planteó fuera del horario escolar y fue realizada con un pequeño grupo de nueve estudiantes de edades comprendidas entre los 12 y los 14 años. En ella, se trabajaron los siguientes contenidos del bloque de probabilidad y estadística del currículo oficial de la Xunta de Galicia (2014): la iniciación intuitiva del cálculo de la probabilidad de un suceso, el carácter aleatorio de alguna experiencia, la recogida y clasificación cuantitativos, la construcción e interpretación de tablas y gráficas, y la utilización intuitiva de medidas de centralización (media, moda y mediana). El objetivo principal es que el alumnado tome e interprete datos en una situación real a través del uso de elementos de la estadística y de la probabilidad. La metodología de trabajo plantea un aprendizaje por descubrimiento reflexivo y se desarrolla en pequeño y gran grupo, incluyendo también algún momento de trabajo individual. Los materiales necesarios para el desarrollo de la actividad son plantillas de modelos de aviones, cintas métricas y odómetros. La duración de la misma fue de una hora y media. Podemos diferenciar tres fases en el desarrollo de la experiencia que se resumen en el cuadro 1, y se describen con más detalle a continuación.

La probabilidad y la estadística por el aire

Fases

Esquema

Fase 1

• Presentación de la actividad. • Elección del modelo de avión.

Fase 2

• Construcción de los distintos modelos de avión. • Lanzamientos y registro de datos.

Fase 3

Imagen 1. Cálculo de la probabilidad

• Cálculo de la media, mediana y la moda. • Representación de la media en la recta numérica. • Realización de un diagrama de barras.

Cuadro 1. Fases de la experiencia

Fase 1 Los estudiantes se dividen en grupos de tres y ponen nombre a su grupo, que será el que se le asigne más tarde a su avión. La elección del modelo de avión que le toca a cada grupo se hará al azar. Para ello, se dispone una caja en la que se introducen seis modelos de avión de la editorial Djeco by Muriel Carbe: A, B, C, D, E, F y G. Se pide a cada grupo que calcule la probabilidad (probabilidad simple) que tiene de que salga cada uno de los modelos de avión (imagen 1). Un representante de cada grupo comentará en alto el dato resultante y lo registrará en la pizarra, comentando después entre todos si todos los modelos tienen o no la misma probabilidad de salir elegidos. Después, un representante del grupo elegirá al azar un modelo de la caja 1 y lo extraerá, pero sin devolverlo de nuevo a dicha caja (probabilidad condicionada). Nuevamente, se registrarán los resultados obtenidos en la pizarra y se discutirá sobre la diferencia de los dos sucesos.

Imagen 2. Nombre de los aviones y distancia estimada recorrida

Una vez hecha la elección del modelo, los grupos ponen el nombre a su avión (Sky Star, Cucaracha y Air For One) y estiman cuál sería la distancia máxima que este podría recorrer (imagen 2).

Fase 2 En esta fase, cada grupo construye su avión en base al modelo que les haya tocado (imagen 3)

Imagen 3. Construcción del modelo de avión tipo A


37


Después, cada grupo hace tres lanzamientos, uno por integrante (imagen 4), y recoge los datos en una tabla (imagen 5).

Fase 3 Todos los grupos se reúnen frente a la pizarra donde, individualmente, marcarán sobre una recta numérica la distancia recorrida por cada avión en cada lanzamiento. Esto les permitirá ver qué avión y de quién fue el lanzamiento que logró la distancia mayor (imagen 6). También permite una reflexión al observar que el modelo de avión que obtuvo la mayor distancia también obtuvo la menor, lo cual les lleva de forma natural a hablar de media, moda y mediana, y de la

Un diagrama de barras permite hacer una comparación gráfica de todos los datos ■

información que nos aportan estos estadísticos. A continuación, cada grupo calcula la media de las distancias recorridas por cada uno de sus aviones (imagen 7). Tras una pequeña discusión, los alumnos deciden realizar un diagrama de barras para hacer una comparación gráfica de todos los datos. En el eje de las abscisas representarán la media de la distancia recorrida por cada avión (sistema de intervalos), y en el eje de las ordenadas, el número de modelos de avión que alcanzó esa media (imagen 8).

Imagen 6. Representación de las distancias en la recta numérica Imagen 4. Lanzamiento y toma de medidas con cinta métrica

Imagen 5. Tabla de recogida de datos

38


Imagen 7. Cálculo de media, mediana y moda


hacia las matemáticas y su enseñanza. Por ello, la evaluación se centra el desarrollo de la actividad y la práctica docente, con el fin de mejorar resultados en posteriores intervenciones.

Imagen 8. Realización del diagrama de barras

EVALUACIÓN A la hora de realizar la evaluación, no se pretendía evaluar conceptos ni capacidades de estos adolescentes, sino reconducir estímulos matemáticos y favorecer su autoestima y predisposición

Para evaluar esta propuesta se utilizó un instrumento de indicadores competenciales (Torra, 2009). Este instrumento permite evaluar el grado de riqueza competencial de una actividad a través de diez indicadores: cinco de ellos sobre el planteamiento de la actividad, y los otros cinco, sobre la gestión de la actividad. En el cuadro 2 se recoge la distribución de los indicadores de planteamiento, señalando una o dos evidencias representativas a modo de ejemplo. Se manifiestan evidencias en cuatro indicadores.

Indicadores

1. ¿Se trata de una actividad que tiene por objetivo responder a un reto? El reto puede referirse a un contexto cotidiano, puede enmarcarse en un juego, puede tratar una regularidad o hecho matemático. s e d a d i v i t c a e d o t n e i m a e t n a l P

Evidencias

PLANT1 No se manifiesta.

2. ¿Permite aplicar conocimientos ya adquiridos y hacer nuevos aprendizajes? 3. ¿Ayuda a relacionar conocimientos diversos dentro de la matemática o con otras materias?

PLANT3/IM1

4. ¿Es una actividad que se puede desarrollar de diferentes formas y estimula la curiosidad y la creatividad?

PLANT4/IM1 Véase imagen 3.

5. ¿Implica el uso de instrumentos diversos como, por ejemplo, material que se pueda manipular, herramientas de dibujo, software, etc.?

PLANT5/IM1 Véase imagen 3. PLANT5/IM2

Cuadro 2. Indicadores competenciales de planteamiento


39


Indicadores

d a d i v i t c a a l

e d n ó i t s e G

Evidencias

1. ¿Se fomenta la autonomía y la iniciativa de los niños y niñas?

GEST1/IM1

2. ¿Se interviene a partir de preguntas adecuadas más que con explicaciones?

GEST2 No se manifiesta.

3. ¿Se pone en juego el trabajo y el esfuerzo individual, pero también el trabajo en parejas o en grupos que implica conversar, argumentar, convencer, consensuar, etc.?

GEST3/IM1

4. ¿Implica razonar sobre el que se ha hecho y justificar los resultados?

GEST4/IM1 Véase imagen 8.

5. ¿Se avanza en la representación de manera cada vez más precisa y se usa progresivamente lenguaje matemático más preciso?

GEST5/IM1

GEST5/IM2

Cuadro 3.

Indicadores competenciales de gestión

En el cuadro 3 se puede observar la distribución de los indicadores con respecto a la gestión de la actividad. Se manifiestan evidencias en cuatro indicadores. ■

La evaluación pretende reconducir estímulos matemáticos y favorecer la predisposición del alumnado 40


CONCLUSIONES

Esta experiencia plantea a los alumnos el reto de tener que tomar ellos las medidas y analizar sus propios datos. Los conocimientos ya adquiridos en matemáticas se manifiestan cuando tienen que medir, elegir una unidad de medida, decidir cómo representar los datos o leer indicaciones gráficas. Además, promueve el uso de herramientas de medida y dibujo, como cintas métricas y papel. Conecta contenidos matemáticos entre


ellos (medida, probabilidad, estadística) y con otras materias como educación visual, al trabajar en la construcción de aviones con papel.

Comunidad Autónoma de Galicia». Diario Oficial de Galicia, núm. 171, pp. 37406-38087. TORRA, M. (2014): «Indicadores competenciales: un instrumento para la mejora del desarrollo de la

Consideramos que este estudio aporta una buena práctica docente en torno a la probabilidad y a la estadística que, aunque mejorable, abre un camino al aprendizaje motivacional basado en el estímulo matemático. Esto permitirá diseñar nuevas propuestas de intervención adaptadas al alumnado en riesgo de exclusión social, y enmarcadas en los currículos actuales. ◀

competencia matemática». Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, núm. 3(1), pp. 81-86.

Direcciones de contacto Teresa Fernández Blanco Alejandro Gorgal Romarís María Salgado Somoza Universidad de Santiago de Compostela [email protected]

Referencias bibliográficas

[email protected]

CHAMORRO, M. (2005): Didáctica de las matemáticas.

[email protected]

Madrid. Pearson Education. D’AMORE, B.; PINILLA, M.I (2001): «Matemática de la cotidianidad». Paradigma, núm. 22(1), pp. 1-8. «Decreto 105/2014, de 4 de septiembre, por el que se establece el currículo de la educación primaria en la


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41


Estadística y probabilidad con GeoGebra José Luis Álvarez

La presencia de la estadística y de la probabilidad en las aulas de la ESO y del bachillerato todavía no está a la altura que cabe esperar del creciente peso que estos contenidos han adquirido en los currículos oficiales en las reformas educativas de las últimas décadas. Las tecnologías pueden desempeñar un papel muy importante para cambiar esta situación, al facilitar el procesamiento de la información de naturaleza estadística y, en consecuencia, permitir centrarse más en el propio PALABRAS CLAVE proceso y en los aspectos más conceptuales. GeoGebra, • ESTADÍSTICA en particular, cuenta con herramientas muy eficaces • PROBABILIDAD para abordar la mayoría de los problemas escolares de • GEOGEBRA • RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS estadística y probabilidad que se proponen en ESO y bachillerato.

A

pesar de que los contenidos relati vos a estadística y probabilidad han ganado mucho peso en los currículos oficiales de la educación secundaria obligatoria (12-16 años) y del bachillerato (16-18 años) en las últimas reformas educativas, en las aulas, lamentablemente, estos contenidos suelen quedar claramente relegados por otras partes de las matemáticas. Por otro lado, cuando se imparten, muchas de las tareas que se proponen consisten en trabajos rutinarios de confección de tablas y gráficas o en cálculos de parámetros utilizando algunas técnicas tradicionales que cabría calificar como obsoletas.

42


Estadística y probabilidad con GeoGebra

Sin embargo, tecnologías que están al alcance de la práctica totalidad de nuestro alumnado, como calculadoras, ordenadores, tabletas o teléfonos móviles, permiten abordar de modo mucho más eficiente los problemas estadísticos. Utilizando la tecnología adecuada, podremos centrarnos más en las diferentes fases y tareas que conlleva el proceso estadístico y en el análisis e interpretación de los resultados que vamos obteniendo, que es lo verdaderamente relevante. El recuento, la organización de los datos en tablas y gráficas o el cálculo de los parámetros más representativos se facilitarán mucho con el uso de herramientas tecnológicas. Algo parecido podríamos decir acerca de los problemas referidos a distribuciones de probabilidad o de inferencia estadística. No cabe duda, además, de que utilizando la tecnología también tendríamos más tiempo para profundizar en los aspectos más conceptuales. Una de las herramientas tecnológicas para la enseñanza de las matemáticas que mayor desarrollo y difusión ha adquirido en los últimos años es GeoGebra. Entre sus múltiples funcionalidades, se incluyen las que nos permiten abordar problemas estadísticos y de probabilidad. GeoGebra cuenta con comandos específicos para procesar datos, organizarlos en tablas de frecuencias, representarlos gráficamente y realizar cálculos estadísticos y de probabilidad. Utilizando algunos de estos comandos y combinando adecuadamente su hoja de cálculo y sus vistas gráficas, se han construido múltiples applets orientados a la enseñanza de la estadística y la probabilidad. En el número 58 de la revista U��, dedicado al uso de applets para enseñar matemáticas, se incluye una extensa recopilación de applets para la enseñanza de la estadística y la probabilidad, realizada por Manuel Sada, construidos buena parte de ellos con GeoGebra. El

Proyecto Gauss es uno de los ejemplos, tal como se expone de una manera más pormenorizada en el número 59 de U��. En esta ocasión, sin embargo, no vamos a centrarnos en el uso de applets específicos sino en cómo utilizar GeoGebra para abordar directamente los problemas escolares habituales de estadística y de probabilidad. Particularmente, nos referiremos a algunas de las herramientas específicas de la hoja de cálculo de GeoGebra, así como a la denominada Calculadora de Probabilidad, con la que podremos resolver problemas sobre distribuciones de probabilidad o de inferencia estadística, entre otros usos.

LA HOJA DE CÁLCULO DE GEOGEBRA La hoja de cálculo de GeoGebra dispone de una barra de herramientas que permiten abordar el tratamiento estadístico de datos, como podremos observar en el siguiente problema. Problema 1

La plantilla del Sporting de Gijón durante la temporada 2014-2015 estaba formada por 23 jugadores, cuyas alturas y pesos, facilitados en la web del club, eran los siguientes:

Jugador

Altura

Peso

Cuéllar

1,87

82,5

Alberto

1,82

77

Luis Hdez.

1,82

74

Bernardo

1,92

85

Lora

1,68

67

Ivan Hdez.

1,88

83,5

Canella

1,80

70

Alejandro

1,81

67


43


Jugador

Altura

Peso

Mandi

1,82

76

Sergio

1,82

72

Casquero

1,80

76

Alex B.

1,90

78

Nacho C.

1,74

64

Mendy

1,83

76,2

Guerrero0

1,80

79,5

Santi Jara

1,78

69

Isma

1,80

74

Carmona

1,77

73

Hugo F.

1,76

73

Alex S.

1,84

78

Scepovic

1,86

Lekic

1,93

Bustos

Analiza las alturas y pesos de los jugadores que componen la plantilla. ¿Hay algún valor atípico? Estudia la correlación entre peso y altura. Teniendo Teniendo en cuenta los datos de los restantes jugadores, ¿qué peso le podríamos asignar a Scepovic? ¿Y a Lekic? ¿Qué altura y peso le podríamos asignar a Bustos, cuyos datos no aparecen en la tabla?

El primer paso consistirá en introducir los datos de la tabla anterior en la hoja de cálculo de GeoGebra. Utilizamos para ello las tres primeras columnas de la hoja. A continuación, seleccionamos el rango B2:B23, que corresponde a las alturas, y elegimos la herramienta Análisis de una variable. variable. Al hacerlo, se abrirá una ventana emergente, emergente, en la que podemos comprobar la selección de datos que hemos Analiza, con hecho y pulsamos sobre el botón Analiza,

44


lo que se mostrará una nueva ventana en la que veremos representado representado el histograma. El tipo de gráfico podremos cambiarlo en el menú desplegable que veremos en la parte superior izquierda. A su lado aparece la herramienta con la que podemos modificar el número de intervalos del histograma. Pulsando sobre el botón situado en la parte superior derecha de dicha ventana podemos p odemos integrar la ventana emergente en la ventana principal de GeoGebra. Al pulsar el botón se muestran los parámetros característicos del conjunto de datos: número de datos, media, desviación típica, mediana, cuartiles y valores máximo y mínimo, entre otros. La herramienta permite ubicar un segundo gráfico en la ventana. En este caso, hemos elegido un diagrama de caja, con el que podemos apreciar la existencia de un valor atípico. atípico. Seleccionando ahora el rango B2:B21 (hay dos valores menos que en el caso anterior) podemos repetir el proceso para el análisis estadístico de los pesos. El análisis de ambos resultados nos permite contestar a la primera de las preguntas que se plantea en el problema. Para el estudio de la correlación, seleccionaremos el rango B2:B21 y elegiremos la herramienta Análisis de regresión de dos variables. variables . En la ventana emergente pulsamos sobre el botón Analiza, Analiza, con lo que se mostrará la ventana con el diagrama de dispersión correspondiente a los datos seleccionados. Como en el caso anterior, al pulsar el botón se mostrarán los parámetros característicos del conjunto de datos: medias, desviaciones típicas, covarianza y coeficientes de correlación correlación y de determinación, entre otros.


En el menú desplegable situado en la parte inferior izquierda, elegiremos el modelo de regresión, regresión, en este caso el Lineal . De ese modo se representará la recta de regresión de Y (peso) sobre X (altura) y se mostrará su ecuación. También podremos estimar el valor correspondiente a una altura determinada introduciendo el peso en la casilla de entrada inferior. inferior.

Seleccionamos el tipo Binomial en en el menú desplegable e introducimos los valores n = 7 y p = p = 112/365 en las casillas correspondientes. En la parte inferior izquierda de nuestra ventana se encuentran tres botones , que nos permiten elegir la opción adecuada al intervalo. En nuestro caso, pulsaremos sobre el botón situado a la derecha. Inmediatamente veremos resaltado sobre el histograma de la distribución y sobre la tabla los valores correspondientes al intervalo estudiado, tal como se muestra en la siguiente imagen. La respuesta concreta a la pregunta planteada en el problema la podremos encontrar en la casilla de entrada situada en la parte inferior de la ventana.

Con el gráfico y los cálculos obtenidos podremos contestar a las restantes preguntas que se plantean en el problema.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Al iniciar GeoGebra elegimos la disposición Probabilidad en el menú emergente de la parte derecha de la ventana, o bien seleccionamos la opción Cálculadora de probabilidad en el menú Vista. Vista. El resultado básicamente es el mismo: se abrirá una ventana fácilmente identificable por el gráfico de una distribución normal. Si deseamos trabajar con un modelo diferente al normal, lo seleccionaremos en el menú desplegable que se ofrece en la parte inferior izquierda de la ventana.

También podemos seleccionar manualmente los extremos del intervalo moviendo los triángulos negros que aparecen sobre el eje horizontal del gráfico, lo cual resulta muy útil para resolver el problema inverso, es decir, hallar el intervalo que corresponde a una probabilidad dada.

Problema 2

En una localidad llueve 112 de los 365 días del año. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva más de dos días en una semana cualquiera?

INTERVALOS DE CONFIANZA

Como en el caso anterior, elegimos la disposición Probabilidad Probabilidad en el menú emergente de la parte derecha de la ventana, o bien seleccionamos la


45


opción Calculadora de probabilidad en el menú Vista. Vista. Problema 3

Sabemos que las merluzas de un caladero tienen un peso medio de 2450 gramos y una desviación típica de 410 gramos. Considerando las posibles muestras de tamaño 100, calcula el intervalo característico de la media muestral para una probabilidad del 95%.

En esta ocasión, seleccionaremos la pestaña Estadísticas Estadísticas y, a continuación, seleccionamos la media e introducimos opción Z estimada de una media e en las casillas correspondientes los datos del problema: Nivel de confianza: 0.95; Media: 2450; σ: 410; N: 100.

En la parte inferior de la ventana se mostrará inmediatamente el resultado.

rencia de medias, de una proporción o de una diferencia de proporciones seleccionando en la pestaña Estadísticas, Estadísticas, respectivamente, la opción Z estimada, Diferencia de medias, Z estimada de una proporción o Z estimada, Diferencia de proporciones, proporciones, e introduciendo, en cada caso, los datos requeridos.

CONTRASTE DE HIPÓTE HIPÓTESIS SIS En la mayoría de los libros de texto de bachillerato, este tipo de problemas se suele resolver calculando la zona o intervalo de aceptación y valorando, valorando, a continuación, si se acepta la hipótesis nula o la alternativa en función de que el valor que se compara esté en la zona de aceptación o en la de rechazo. Sin embargo, estos problemas también podrían resolverse tipificando el valor muestral y comparándolo con el intervalo de aceptación expresado en valores de la distribución normal N(0, 1) o, también, calculando el valor exacto del nivel nivel de significación corresponcorrespondiente al resultado muestral. Pues bien, lo que nos proporciona GeoGebra son precisamente estos dos últimos cálculos. Problema 4

La duración de las bombillas de 100w de una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobadas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

De forma análoga, abordaríamos problemas relativos a intervalos de confianza de una dife-

46


Debemos plantear un test unilateral para una media muestral. Las hipótesis nula y alternativa serían, respectivamente: respectivamente:


H0 : μ ≥ μ0 = 800; H1 : μ < μ0 = 800.

El planteamiento habitual al que nos hemos referido anteriormente pasaría por hallar los parámetros de la distribución de las medias muestrales:

derecha de la ventana, o bien seleccionamos la opción Cálculadora de probabilidad en el menú Vista. Seleccionaremos la pestaña Estadísticas y, a continuación, elegiremos la opción Test Z de una media. Introducimos los datos: Hipótesis nula: 800; Media: 750; σ: 120; N: 50

También señalaremos que se trata de un test unilateral por la izquierda. Y calcular el intervalo de aceptación, que sería: Inmediatamente, obtenemos en la parte inferior de la ventana los resultados de Z y de p, que hemos de interpretar: Como 750 no está en la zona de aceptación, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa, con un nivel de significación del 1%. También podríamos calcular el nivel de significación que correspondería a la media muestral, que sería:

La zona de aceptación en N(1, 0) es (− z α , + ∞ ) = (− 2,33; + ∞). Como –2,94 no pertenece a dicho intervalo, la media muestral está incluida en la región crítica o de rechazo y, por tanto, se rechaza H0 y se acepta H 1. También podemos calcular el valor exacto del nivel de significación que corresponde a -2,94, que sería: zm = − 2,94, 1 − α = 0,9984 (en tablas), por tanto: α ≈ 0, 0016. Estos dos valores, -2,94 y 0,0016, son los que nos proporciona GeoGebra. Para hacer los cálculos con GeoGebra elegimos la disposición Probabilidad en el menú emergente de la parte

Z = - 2,9463 p = 0,0016 Dado que 0,0016 es menor que 0,01, rechazamos la hipótesis nula y, en consecuencia, rechazaríamos el lote por no cumplir la garantía.

CONCLUSIÓN Como puede observarse en todos los ejemplos analizados, GeoGebra cuenta con herramientas


47


muy eficaces para abordar la mayoría de los problemas escolares de estadística y probabilidad que se proponen en la ESO y en el bachillerato. Su uso nos facilita el análisis de la información de naturaleza estadística, al permitir una organización adecuada de los datos, su representación gráfica y los cálculos más relevantes para poder, a partir de todo ello, extraer las conclusiones oportunas. ◀

— (2012b): «La hoja de cálculo de GeoGebra». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 61, pp. 55-66. SADA, M. (2011): «Los applets para la enseñanza de la estadística y la probabilidad». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 58, pp. 38-48.

Dirección de contacto José Luis Álvarez García

Catedrático de matemáticas de enseñanza secundaria jubilado

Bibliografía ÁLVAREZ, J.L.; LOSADA, R. (2011): «El Proyecto Gauss». Suma, núm. 68, pp. 17-25. — (2012a): «Estadística y Probabilidad en el Proyecto Gauss». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, núm. 59, pp. 26-39.

[email protected] Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA MATEMÁTICAS en

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LAS


ACTUALIZACIÓN Y REFLEXIÓN

La argumentación en el aula de matemáticas Horacio Solar Pontificia Universidad Católica de Chile Sebastián Howard Universidad Diego Portales (Chile)

Manuel Goizueta Universidad Católica de Valparaíso (Chile) Francisco Rojas Pontificia Universidad Católica de Chile

Desde cuatro perspectivas, se discute sobre la importancia de promover la argumentación en el aula de matemáticas: la construcción de las matemáticas, su vínculo con el tipo de intercambios entre profesor y estudiante, sus implicaciones y las prácticas discursivas del profesor. Concluimos que la argumentación contribuye a una actividad matemática en el aula situada, crítica y reflexiva en la que todos participan.

PALABRAS CLAVE

• ARGUMENTACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICAS

• DISCUSIONES PRODUCTIVAS

• CULTURA MATEMÁTICA ESCOLAR

Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 78 • pp. 49-55 •

octubre 2017

49


C

ada vez es más frecuente observar clases de matemáticas donde el aprendizaje emerge en un ambiente de interacción y discusión. A ello se añade el carácter de competencia matemática que tiene la argumentación en el currículo de varios países, tales como España, EE.UU y Chile, entre otros, que requiere al docente diseñar donde que los estudiantes desarrollen estas competencias. Además, ha habido una creciente aparición de libros y artículos que destacan la importancia de la discusión en el aula de matemáticas como requisito del aprendizaje. Frente a este escenario, ¿qué entendemos por argumentar en el aula de matemáticas? ¿Cuáles son las prácticas de los profesores para generar discusión en matemáticas? ¿Qué implicaciones tiene promover la argumentación en el aula de matemáticas? Para discutir estas preguntas, estudiaremos una conversación entre una profesora y sus estudiantes, sostenida en un curso de primer grado de secundaria (12-13 años). La tarea matemática planteada por la profesora Matilde consistió en determinar un número entero y su inverso, dada

la condición de que entre ellos disten 12 unidades. Matilde espera que surja la solución, -6 y 6, en cambio la respuesta de varios estudiantes es -12 y 12. Evitando evaluar las respuestas erróneas, mediante un proceso argumentativo, la profesora promueve que otros estudiantes opinen sobre la validez del resultado. En el cuadro 1 se presenta el proceso argumentativo que emerge en el episodio de clase usando la estructura de Toulmin, así como las intervenciones de la profesora que favorecen la aparición de dichos componentes. Un análisis completo de esta estructura encuentra en Solar y Deulofeu (2016). A continuación discutiremos este caso, con énfasis en la argumentación en el aula de matemática, desde cuatro perspectivas.1

UNA VENTANA A LA EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES Saber matemáticas no se reduce a enunciar proposiciones acerca de objetos matemáticos (por ejemplo, el teorema de Pitágoras) y ejecutar algo-

Dato Conclusión

Matilde: Ya, ¿y qué distancia habría del -12, Daniel al +12? Garantía

Refutador

Roberto: Porque el 0 se empieza a contar de nuevo

Javier: Es como multiplicarlo por 2 y ser´´ía 24

Matilde: Ya, si de aquí hasta aquí tenemos una distancia de 12, ¿he llegado al inverso de -12? [Señala en la pizarra la disgtancia que hay de -12 hasta 0]

Cuadro 1. Proceso

50

12

Matilde: ¿Cuánto avancé para llegar al inverso?... ¿Cuál es la distancia de -12 hasta 12? Matilde: Miren, voy de -12 a su inverso, avanzo, ¿cuánto llevo hasta aquí? [Marcando el 0 en la recta numérica]

argumentativo en clase de Matilde (Solar y Deulofeu, 2016)


La argumentación en el aula de matemáticas

ritmos con precisión (el algoritmo de la división). También tiene que ver con saber construir conocimientos matemáticos, decidir cuándo y cómo utilizarlos y ofrecer argumentos para justificar el propio punto de vista según cánones de la disciplina. Si bien las primeras habilidades son importantes, las segundas expresan la creatividad del quehacer matemático y el empoderamiento y la autonomía del practicante. La investigación en educación matemática viene mostrando desde hace tiempo que los estudiantes tienen dificultades a la hora de justificar su trabajo en el aula como parte de la actividad matemática. Sin importar la tradición escolar, en toda aula de matemáticas se configura una cierta epistemología del conocimiento matemático; es decir, una serie de ideas articuladas acerca de lo que es el conocimiento matemático, cómo se construye y cómo se justifica. Tales ideas pueden variar entre distintas aulas. En el ámbito de la educación matemática, hay un interés creciente por comprender cómo es que las ideas acerca de la construcción y justificación del conocimiento matemático emergen de la actividad matemática en el aula y de la interacción entre los participantes. Comprender estos procesos resulta clave si queremos que nuestros estudiantes desarrollen estándares de justificación adecuados (de acuerdo con las expectativas del sistema educativo) como parte de su formación matemática. El trabajo en argumentación en el aula resulta importante a distintos niveles. Argumentar permite a los estudiantes hacer explícitas sus ideas matemáticas, haciendo de estas objetos de reflexión y, por tanto, de enseñanza-aprendizaje. Pero también permite poner en evidencia sus ideas acerca de cómo se construye y justifica el conocimiento matemático. A través de sus argumentos, los estudiantes hacen evidente su situación epistémica, permitiendo al pro-

fesor tomar decisiones informadas para promover ideas cada vez más refinadas acerca de la construcción y justificación del conocimiento matemático. En el aula de matemáticas es necesario argumentar para aprender, pero también es necesario aprender a argumentar. En la imagen 1 se aprecia cómo aparecen dos posturas sobre la distancia entre números enteros; una de estas deja entrever que solo importa la distancia desde el cero. En el caso del cuadro 1, mediante sus cuestionamientos, Matilde propicia la emergencia de las ideas de sus estudiantes acerca de la distancia entre números enteros, ejemplifica la construcción de un argumento adecuado, y permite que sea Javier quien construya una nueva respuesta.

LA PERSPECTIVA DE LOS INTERCAMBIOS

Actualmente, contamos con suficiente evidencia para sostener que la participación en discusiones aporta al aprendizaje de las matemáticas (Conner y otros, 2014). En estos contextos, ¿cómo son los intercambios que promueven en el aula espacios para que los estudiantes desarrollen sus habilidades argumentativas? Cuando los profesores, teniendo como objetivo promover la argumentación, conversamos o discutimos con nuestros estudiantes, lo hacemos de un modo especial, de manera de que en esa conversación aparezcan oportunidades en que los estudiantes puedan escuchar, evaluar o refutar matemáticamente las opiniones de otros. Si estudiamos procesos de argumentación en el aula de matemáticas desde la perspectiva del análisis de los intercambios, encontramos que estos están compuestos en su mayoría por intervenciones que buscan expandir el diálogo. Este es el caso de Matilde, que busca mantener la conversación, iniciando y reiniciando el diálogo. En nuestro ejemplo, la pro-


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fesora, en vez de evaluar las intervenciones, por medio de preguntas promueve que sean los propios estudiantes que reconozcan el error.

al promover la argumentación en la clase de matemáticas: reconocimiento de patrones de pensamiento, interacción dialógica y abordar las contingencias.

A partir de nuestros hallazgos, constatamos que los intercambios que favorecen la presencia de procesos de argumentación se constituyen en un tipo de interacción construida colectivamente, donde los profesores no intervienen con coordinaciones donde argumenten, ni tampoco para negociar o para corregir las intervenciones de los estudiantes. Por el contrario, los profesores negocian las intervenciones de los estudiantes buscando la aparición de garantías y refutadores, de modo que se promueva la aparición de los componentes de la argumentación. Las intervenciones de Matilde se caracterizan por interpretar retroactivamente la función de las intervenciones anteriores, así logran que sus estudiantes coordinen argumentos que dan garantías o refutan lo presentado. Por su parte, los estudiantes responden, no para que se les evalúe la pertinencia o corrección de sus intervenciones, sino para configurar una conversación en la que se busca responder a las preguntas de la clase.

La primera implicación tiene relación con focalizar la atención en el reconocimiento de patrones de pensamiento de los estudiantes, y estos pueden conducir a algunas dificultades profundas que tienen. En la clase de Matilde, el patrón de pensamiento entre varios estudiantes es considerar que la distancia comienza desde el 0, y no desde el -12.

IMPLICACIONES DE PROMOVER LA ARGUMENTACIÓN Entendemos la argumentación como el intento de convencer o persuadir al otro en el aula de matemáticas (Solar y Deulofeu, 2016), y la diferenciamos de la «argumentación matemática», entendida como el proceso de prueba que afronta un resolutor ante una tarea matemática sin necesariamente confrontar dos puntos de vista. En las experiencias de investigación y formación de profesores que hemos realizado en los últimos años, hemos podido constatar que hay tres implicaciones

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Los profesores que están familiarizados con los patrones comunes de pensamiento de los estudiantes y que son capaces de anticiparlos, están preparados para trabajar en forma más efectiva y eficiente cuando planifican e implementan su enseñanza y cuando evalúan el aprendizaje de sus estudiantes. Este tipo de práctica se puede identificar en tres acciones del profesor hacia los estudiantes: observar las formas de registrar y operar, identificar errores comunes y proceder a su corrección, y reconocer ideas y organizarlas para precisar un concepto. Una segunda implicación a destacar es la interacción dialógica entre profesor y estudiantes que se aprecia en una gestión argumentativa de la clase. Ello se puede apreciar en el uso por parte de los docentes de estrategias comunicativas que son clave para promover argumentación: dar oportunidades de participación a los estudiantes, no evaluar los errores de los estudiantes antes de que los propios estudiantes discutan las diferentes respuestas; y realizar preguntas que permite que los estudiantes profundicen en sus ideas. En la clase de Matilde se observan estas estrategias en las acciones tales como no evaluar las respuestas de los estudiantes a lo largo de toda la clase, gestionar el error de manera colectiva, y en dirigir la conversación usando preguntas clave para mantener el foco. Con el uso


de estas estrategias comunicativas, se promueve una interacción dialógica en el aula. Una tercera implicación tiene relación con el abordaje de las contingencias en el aula. En una clase puede haber muchas situaciones que son inesperadas y es el profesor quien toma la decisión, en ese mismo instante, de seguir con su planificación tal como está diseñada, o de tratar la nueva situación. Si bien esto puede ocurrir en cualquier tipo de clase, consideramos que en aquellas en que hay argumentación, estas situaciones de contingencia se pueden dar con mayor frecuencia, porque al incentivar que los estudiantes participen y que aparezcan diferentes posturas acerca de un resultado o procedimiento, el profesor favorece la aparición de muchas ideas de los estudiantes, algunas de las cuales pueden ser no esperadas. Matilde no planificó el error de -12 y 12 y, pese a no saber inicialmente su causa, gracias a la gestión argumentativa pudo responder al patrón de pensamiento de los estudiantes.

COMO ORQUESTAR DISCUSIONES PRODUCTIVAS EN MATEMÁTICA La participación argumentativa es clave para el aprendizaje matemático escolar, pero no siempre los profesores disponemos de herramientas concretas para gestionar dicha participación, y que esta se vuelva efectiva en términos de lo que los estudiantes terminan aprendiendo en aula (NCTM, 2015). Para lograr dicha efectividad, es imprescindible que los profesores podamos anticipar las respuestas y estrategias que usarán los estudiantes al abordar diferentes tareas matemáticas, considerando no solo errores prototípicos sino también estrategias divergentes que permiten resolver los problemas planteados. Un monitoreo efectivo de dichas anticipaciones

Es imprescindible que los profesores puedan anticipar las respuestas y estrategias que usarán los estudiantes ■

implica revisar lo que los estudiantes hacen en el proceso de resolución de problemas, cotejando qué caminos siguen, incentivando una actitud indagatoria en la resolución misma de la tarea por medio de indicaciones y preguntas, o bien apoyando en los momentos de bloqueo y confusión. Este monitoreo permite a los docentes conocer lo que hacen sus estudiantes y, así, organizar una discusión efectiva en aula. Al conocer las producciones de los estudiantes, el profesor puede seleccionar aquellas que aportan de mejor forma al logro de la meta de aprendizaje propuesta para la sesión. Al mismo tiempo que se seleccionan las producciones que se estiman convenientes para una puesta en común, el profesor establece un orden de estas, el cual puede estar basado en el aumento de complejidad de los razonamientos matemáticos expuestos, el uso o no de representaciones al comunicar sus respuestas, o la presencia o no de errores, ya sean procedimentales o conceptuales, entre otros criterios posibles. Una vez que la puesta en común se está realizando y las producciones de los estudiantes están siendo puestas a disposición de la discusión colectiva, se deben buscar las conexiones matemáticas entre las distintas producciones de los estudiantes y con la meta de la clase, para asegurar así los aprendizajes esperados. Matilde, por medio de preguntas, logra que los estudiantes realicen conexiones clave que les permiten superar el error.


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Argumentar, como parte de la construcción colectiva de conocimientos matemáticos, pone de relieve la dimensión social de tal actividad ■

Estas acciones las consideramos como prácticas que permiten orquestar discusiones matemáticas productivas en aula (Smith y Stein, 2016). El objetivo de estas cinco prácticas (anticipar, monitorear, seleccionar, secuenciar y conectar) es brindar a los docentes un mayor control en un marco de aprendizaje y enseñanza centrado en lo que el estudiante hace matemáticamente, y generar así espacios para escuchar y dar sentido a las estrategias planteadas por los estudiantes.

REFLEXIONES

Las distintas perspectivas presentadas aquí posicionan la argumentación en el aula de matemáticas como un modo de propiciar el desarrollo de competencias matemáticas orientadas a la construcción de conocimientos y prácticas matemáticos alejados del mero cálculo. Estas perspectivas sugieren que el trabajo argumentativo no es reducible a un conjunto de estrategias de enseñanza. La argumentación promueve una cultura del aula de matemáticas en la que la construcción de conocimientos se entiende como una actividad situada, crítica y reflexiva en la que todos participan.

que esta reflexión debe ser llevada al ámbito de la formación inicial y continua de profesores. Creemos que el desarrollo de culturas matemáticas reflexivas, en las que el trabajo argumentativo es central, permite generar oportunidades de aprendizaje matemático para el alumnado, pero también oportunidades de aprendizaje pedagógico para el profesorado. Nuestra experiencia trabajando con profesores muestra que se pueden obtener resultados relevantes a medio plazo, y que este trabajo y estos resultados son valorados positivamente por los profesores (Solar, Ortiz y Ulloa, en prensa). Argumentar, como parte de la construcción colectiva de conocimientos matemáticos, pone de relieve la dimensión social de tal actividad. Aprender matemáticas implica ser capaz de enunciar conocimientos matemáticos, pero también participar en su construcción responsabilizándose de su uso y justificación, tanto ante uno mismo como ante otros miembros de la comunidad del aula. Enseñar matemáticas implica poner conocimientos matemáticos al alcance de los estudiantes, pero también ayudarlos a participar de forma activa y autónoma en su construcción y justificación. Así, la argumentación es un componente central de la acti vidad matemática del aula, en la intersección de los esfuerzos de profesores y estudiantes por construir juntos una cultura matemática significativa. ◀

Nota 1. En el año 2016 se desarrolló un ciclo de conversatorios en torno a la discusión en el aula de matemáticas en la Pontificia Universidad Católica de Chile, basado en los cuatro temas expuestos y conducidos por los autores de este artículo.

Las cuatro perspectivas presentadas por medio de la clase de Matilde ejemplifican cómo la reflexión sobre la argumentación, y su implementación en el aula de matemáticas, pueden ser llevadas al ámbito de la investigación. Al mismo tiempo, sugieren

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Referencias bibliográficas CONNER, A.M. y otros (2014): «Teacher support for collective argumentation: A framework for examining how teachers support students’ engagement


in mathematical activities». Educational Studies in Mathematics, núm. 86, pp. 401-401. NCTM (2015): De los principios a la acción. Para garantizar el éxito matemático para todos. Reston, VA. National Council of Teacher of Mathematics. SMITH, M.S.; STEIN, M.K. (2016): 5 Prácticas para orquestar discusiones productivas en matemáticas. Reston, VA. National Council of Teacher of Mathematics. SOLAR, H.; ORTIZ, A.; ULLOA. R. (en prensa): «MED: Modelo de formación continua para profesores de matemática, basada en la experiencia». Estudios pedagógicos. SOLAR, H.; DEULOFEU, J. (2016): «Condiciones para pro-

Direcciones de contacto

Horacio Solar Pontificia Universidad Católica de Chile [email protected]

Manuel Goizueta Universidad Católica de Valparaíso (Chile) [email protected]

Sebastián Howard Universidad Diego Portales (Chile) [email protected]

Francisco Rojas Pontificia Universidad Católica de Chile [email protected]

mover el desarrollo de la competencia de argumentación en el aula de matemáticas». Bolema, núm.

Este artículo fue solicitado por UNO: REVISTA DE DIDÁCTICA

DE LAS MATEMÁTICAS

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INTERCAMBIO

Dictados matemáticos en el aula de infantil María Luisa Novo Universidad de Valladolid

PALABRAS CLAVE

Ainhoa Berciano

• REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA

Universidad del País Vasco

• DICTADOS MATEMÁTICOS

Emérita Fernández

• EDUCACIÓN INFANTIL

CEIP Federico García Lorca. Valladolid

• EXPERIENCIA DE AULA

Una de las tareas más importantes en matemáticas es la representación simbólica y, para ello, es importante comenzar desde las primeras edades con tareas de representación del mundo que nos rodea con el fin de que niños y niñas sean capaces de dar el paso a esta representación. En este artículo, mostramos el diseño e implementación de una experiencia de aula con infantes de educación infantil usando dictados matemáticos.


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R

epresentar es trasladar una imagen mental a palabras o figuras. Se necesita caracterizar la realidad y, para ello, en un principio, es primordial acompañar a los más pequeños en la organización del mundo exterior. El origen del conocimiento lógico-matemático hay que situarlo en la actuación del niño sobre los objetos y en las relaciones que establece entre ellos a partir de su actividad, contribuyendo a comprender su entorno. En este artículo, planteamos la necesidad de dinamizar la representación simbólica que se vincula con la comunicación oral y gráfica. Después de considerar diferentes orientaciones teóricas, nos centramos en describir el planteamiento de la experiencia, utilizando los dictados matemáticos como recurso didáctico, y mostrando algunas de las actividades elaboradas por los escolares.

■

Es necesario dinamizar la representación simbólica que se vincula con la comunicación oral y gráfica 58

LA REPRESENTACIÓN EN EL AULA

El currículo de educación infantil

Tanto en el currículo de educación infantil, en el Consejo Nacional de Profesorado de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM, 2003), como en investigaciones de diversos autores, se corrobora la trascendencia del trabajo de la representación con los más pequeños.

La LOE 2006, en el Real Decreto 1630/2006, divide el currículo de educación infantil en tres áreas, aunque estas se trabajan de forma globalizada. Habla del conjunto de lenguajes (verbal, musical, matemático…) como herramientas fundamentales para mejorar las posibilidades de expresión y favorecer el desarrollo de la competencia comunicativa. Los múltiples estilos de comunicación y representación son instrumentos para asentar un vínculo con el ámbito que nos rodea y, desde que nacen, los niños perciben y descifran mensajes que van a reproducir.

Según Malaguzzi (2011), en un determinado momento, los niños y las niñas precisan pasar a forma gráfica lo que previamente eran conversaciones orales. Y, a pesar que ambas son acciones comunicativas, el paso del lenguaje verbal al gráfico es necesario para poder dar el salto al lenguaje simbólico y a expresar lo que han interiorizado. De este modo, mediante el símbolo, interpretan y profundizan en los conceptos, avanzando en el proceso del pensamiento lógico-matemático. Igualmente, Bruner (1984) contempla que en el desarrollo del pensamiento lo primordial son las formas de representación que ponemos en juego, y que detalla así: • Representación enactiva (a través de la acción). • Representación icónica (por medio del dibujo). • Representaci ón simbólica (utilizando formas simbólicas como el lenguaje).


La representación en el NCTM Para que la educación matemática sea integral, el NCTM considera que se deben trabajar cinco procesos matemáticos, comunes a todas las etapas educativas: resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones y representaciones. Y para poder comprender y usar las ideas matemáticas, es esencial saber cómo representarlas. Los niños y las niñas emplean su lenguaje cotidiano para describir las primeras estructuras matemáticas y, por tanto, debemos realizar actividades para favorecer el paso a la representación simbólica.

Dictados matemáticos en el aula de infantil

DICTADOS MATEMÁTICOS En primer lugar, se ofrece un diseño de plantilla de dictado adecuada a la edad. La plantilla está dividida en celdillas, en cuya parte superior aparece una flecha, para indicar la orientación (siempre de izquierda a derecha) y en cuya parte inferior aparece la consigna que va a dar la maestra, por ejemplo, círculo rojo, círculo amarillo, muchos círculos rojos… (imagen 1). Igualmente, los contenidos de los dictados han sido adecuados al desarrollo de la comprensión matemática de los niños; tanto en extensión del dictado (en segundo de infantil hemos usado una plantilla con cuatro apartados, y en tercero, una con cinco casillas) como en contenido matemático; progresivamente, se han introducido los conceptos relacionados con cualidades: colores (rojo, amarillo, azul), formas geométricas (cuadrados, círculos, triángulos), cuantificadores (mucho, poco), cantidades (adaptadas al curso), medidas (grande, pequeño), posi-

■

Se adecúa el dictado a la comprensión matemática de los niños, en aspectos de extensión y de contenido

Imagen 1. Ejemplo de plantilla para tres años

ciones (arriba, abajo) etc., y las conexiones entre ellos.

Diseño metodológico de la tarea

Se introducen los conceptos relacionados con cualidades, formas geométricas, cuantificadores, cantidades, medidas y posiciones.

El diseño de la tarea se ha basado en la pirámide de educación matemática de Alsina (2010, p. 14) (cuadro 1).

Libro

Diferentes organizaciones del alumnado

Recursos tecnológicos: ordenador, calculadora

Comunicación, negociación, diálogo

Recursos literarios: narraciones, adivinanzas, canciones

Recursos lúdicos: juegos

Recursos manipulativos: materiales inespecíficos, comercializados o diseñados Situaciones cotidianas, matematización del entorno, vivencias con el propio cuerpo

Cuadro 1. Pirámide de la educación matemática


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Para favorecer el aprendizaje de los niños, partiendo de sus conocimientos matemáticos informales, se realizan actividades previas con materiales manipulativos tanto ambientales como estructurados, con juegos, refranes, cuentos, con versaciones matemáticas… para pasar, por último, a la práctica sobre papel. En este caso, se han practicado juegos en gran grupo utilizando figuras geométricas de cartón, con características de color, forma y tamaño diferentes, con el objetivo de preparar el paso a la representación simbólica.

Implementación de la actividad La experimentación se ha llevado a cabo en el CEIP Federico García Lorca de Valladolid, centro público preocupado por la innovación educativa en el que las maestras siempre han sentido especial interés por la docencia en matemáticas. La actividad se lleva a cabo en uno de los rincones de trabajo, de forma que los escolares van pasando en grupos de cinco, realizan la actividad en una mesa (véase la imagen que encabeza el artículo) y continúan en otro rincón diferente. Para llevar a cabo la experiencia, se siguen las siguientes fases:

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El proceso es similar a una actividad de cálculo mental: pregunta-respuesta inmediata ■

•

•

•

•

•

Actividades previas con materiales manipulativos con todo el grupo. Posteriormente se divide a los niños de cinco en cinco, como ya hemos comentado. En la mesa de trabajo, cada niño tiene la plantilla y los rotuladores de los colores que va a necesitar. Formulación de los pasos a seguir: se escucha y después se cogen los rotuladores. Paso a las representaciones simbólicas en las distintas casillas siguiendo las indicaciones de la maestra. Observación y análisis de los resultados obtenidos por la profesora.

La tarea Como ya hemos mencionado, cuando los niños y las niñas llegan a la mesa de trabajo, tienen el material totalmente dispuesto para cada uno de ellos (plantilla de dictado y rotuladores). Se emplean rotuladores y no otro tipo de pinturas porque son más fáciles de deslizar por el papel, y


requieren menos tensión a la hora de sujetarlos para pintar. Cada escolar tiene enfrente la ficha de trabajo con la indicación (un punto seguido de una flecha) de la direccionalidad que debe seguir la secuencia de trabajo, siempre de izquierda a derecha, y los rotuladores necesarios para realizar la tarea. Si en las representaciones que va a realizar necesita tres colores, esos son los que va a tener en su lugar. Los niños y niñas no deben perder tiempo buscando en una caja de rotuladores… Al comenzar el dictado, se recuerdan los pasos a seguir: escuchar lo que han de dibujar, y después ya pueden coger los rotuladores para realizarlo. La maestra enuncia despacio el contenido de la primera casilla y deja un tiempo prudencial para su ejecución. Cuando considera que ha sido suficiente, aunque no hayan terminado todos, da por finalizada la primera casilla, pidiendo a los niños y niñas que dejen los rotuladores en la mesa para prestar atención al contenido de la segunda casilla (diciendo «siguiente casilla» en la casilla del medio, si solo hay tres, vamos a dibujar). En esta ocasión, se podrían trabajar aspectos ordinales, por ejemplo, se hablaría de la primera, segunda, tercera…


Análogamente, se deja el tiempo correspondiente y se pasa a la siguiente y sucesivas. En cuanto a la temporalización es necesario que se recuerde la consigna individualmente, sin «copiar» al compañero. El proceso es similar a una actividad de cálculo mental: pregunta-respuesta inmediata. La práctica se desarrolla con tiempo suficiente, pero no excesivo. Para completar la acti vidad se requieren entre cinco y siete minutos.

ALGUNOS REGISTROS DE LAS TAREAS REALIZADAS

A la hora de analizar los registros de los dictados, debemos tener en cuenta que los niños tienen una forma de razonar, a veces, distinta de los adultos, pero que es completamente válida en estas edades y, por ello, muchas veces sorprenden los dibujos que realizan. Un ejemplo muy claro se percibe cuando distribuyen los objetos en el papel. Aun así, veamos algunos dictados de cada nivel educativo. En la elaboración de los dictados de la imagen 2, se obser va que, en la plantilla superior, tanto los colores como la forma y los cuantificadores están bien interiorizados. En la plantilla inferior, comprobamos que, aunque la tercera casilla parezca un

Imagen 2. Dictados de tres años

«borratajo» para el niño, este ha comenzado a dibujar círculos sin despegar el rotulador y ha colocado muchos (según su lógica). En la imagen 3 se percibe un trazo más suave, la forma geométrica no es perfecta. En cuanto a la cantidad, coloca tres formas concéntricas y quizá para él son muchas, ya que es el número más

grande trabajado en primero de educación infantil. En el dictado superior de la imagen 4 (en la página siguiente), el niño escuchó «cuadrado rojo» y «triángulo azul». A la hora de plasmarlo, se quedó con el rotulador azul y colocó el triángulo en la segunda casilla y no en la primera: tiene buena memoria,

Imagen 3. Otro dictado de tres años


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En los niños de cinco años se trabajan más conceptos a la vez (imagen 5). Se puede percibir que en la segunda casilla: triángulo azul con un círculo amarillo en cada punta (vértice), un niño lo coloca dentro y otro fuera… Es interesante la diferente colocación que hacen de dos círculos arriba y uno abajo. En el primer ejemplo, casi seguro se han pintado los rayos amarillos y no azules porque es un sol. En el segundo dictado, se observan muchos más errores de varios conceptos… Existen diferencias en el resultado de las prácticas, en algún caso solo retienen un aspecto de la consigna («color rojo»), pero pueden fallar en la forma geométrica o en el número de elementos a dibujar. En otros casos, son capaces de recordar detalles de casillas anteriores y completarlas si les faltaba algo, ultimando bien la tarea. Pero por otro lado, intentando recordar la información de la primera celdilla, no escuchan correctamente el siguiente enunciado y no son capaces de componer la segunda casilla. En otras ocasiones, miran el trabajo del compañero y no lo plasman adecuadamente porque lo ven como en un espejo, y sitúan las casillas al revés.

Imagen 4. Dictados de cuatro años

Imagen 5. Dictados de cinco años

pero le faltan reflejos… Lo demás está bien: las formas, la numeración y el tamaño. El otro dictado es de

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una niña que comienza de derecha a izquierda y falla en el número de formas a representar.


En cuanto al desarrollo del trazo, en él se descubre la forma de suje-


Usamos el dictado como herramienta didáctica para representar una orden oral mediante una grafía ■

tar el rotulador, si la secuencia es de izquierda a derecha y de arriba a abajo, si el tono muscular es firme o flojo, la precisión…

CONCLUSIONES

Como hemos visto, en este trabajo planteamos usar el dictado como herramienta didáctica para, dada una orden oral, representarla mediante una grafía. Aunque en primaria la grafía suele estar relacionada con la escritura (la maestra lee, por ejemplo, «los pájaros están en el bosque» y el niño escribe «los pájaros están en el bosque») en nuestro caso, planteamos traba jar con dictados matemáticos, donde los niños y las niñas, después de escuchar las consignas matemáticas, deban representarlas en el papel. Estas representaciones podemos usarlas para analizar posteriormente sus conocimientos, registrar el tipo de atención, la observación y la comprensión.

Los dictados matemáticos también ayudan a los niños a desarrollar la representación de las formas geométricas, la comprensión de los cuantificadores, del conteo, de la medida (grande, pequeño), a establecer estrategias para recordar la información transmitida por la maestra, a la orientación espacial en el soporte de papel, a ganar en seguridad, en confianza, y en organización para realizar el trabajo.

boe/dias/2007/01/04/pdfs/A0047400482.pdf>.

Direcciones de contacto María Luisa Novo

Universidad de Valladolid [email protected] Ainhoa Berciano

Universidad del País Vasco [email protected] Emérita Fernández

CEIP Federico García Lorca. Valladolid [email protected]

Por todo ello, creemos que esta es una herramienta didáctica que favorece el paso a la representación simbólica. ◀

Referencias bibliográficas ALSINA, À. (2010): «La pirámide de la educación matemática: una herramienta para ayudar a desarrollar la competencia matemática» Aula de Innovación Educativa, núm. 189, pp. 12-16. BRUNER, J. (1984): Acción, pensamiento y lenguaje. Madrid. Alianza. MALAGUZZI, L. (2011): La educación infantil en Reggio Emilia.

Barcelona. Octaedro-Rosa Sensat. NCTM (2003): Principios y estándares para la educación matemática.

Sevilla. SAEM Thales. «Real Decreto 1630/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas del segundo ciclo de Educación infantil». Boletín Oficial del Estado, núm. 4 (4 enero 2007).
Este artículo fue recibido en UNO: REVISTA DIDÁCTICA

DE LAS M ATEMÁTICAS

DE

en febrero de 2017

y aceptado en mayo de 2017 para su publicación.


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Aprender la suma de polinomios mediante la programación Francisco Agustín Zúñiga Universidad de los Altos de Chiapas (México) Edgar Javier Morales Universidad Autónoma de Chiapas (México) José Luis Muñoz Universidad de los Altos de Chiapas (México)

El presente artículo da cuenta del análisis del proceso de aprendizaje de los estudiantes de nuevo ingreso de ingeniería civil de la Universidad de los Altos de Chiapas, sobre el concepto de suma de polinomios con los métodos de programación (pseudocódigo y programa), a través de una secuencia didáctica usando la interfaz de una calculadora gráfica para comprender y resolver un problema de aplicación real. PALABRAS CLAVE

• POLINOMIOS • VARIABLES • PROGRAMACIÓN • APLICACIÓN REAL • SECUENCIA DIDÁCTICA

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Aprender la suma de polinomios mediante la programación

¿Y para qué sirve tanto número, tanta letra y tanto símbolo?. (Alumnos de nuevo ingreso)

E

l álgebra es parte de las matemáticas dentro del contexto escolar, ya que sus conceptos son base para comprender la geometría, la trigonometría, la geometría analítica y el cálculo. De acuerdo con Ursini, Escareño, Montes y Trigueros (2005) se han preocupado por la enseñanza del álgebra en el aula, centrándose en el concepto de variable y sus tres usos: como número general, como incógnita y como relación funcional. En estos tiempos, es necesario estar completamente actualizados en términos tecnológicos, ya que la gran mayoría de los estudiantes se encuentran inmersos de manera natural y cotidiana con herramientas tecnológicas (teléfonos móviles, ordenadores y tabletas), de modo que es importante asumir un papel que genere una devolución del conocimiento que sea para ellos de interés en su desarrollo académico y, sobre todo, haciendo que se involucren con situaciones amigables y cotidianas (González y Cantoral, 2014). Los recursos tecnológicos han llegado a los salones de clases, de modo que es de gran interés hacer uso de ellos, desarrollando situaciones

de aprendizaje que fortalezcan y replanteen los contenidos y métodos de enseñanza. De acuerdo con lo anterior, la presente investigación aborda el concepto de suma de polinomios por medio de una secuencia didáctica, enfocada a los métodos de programación utilizando la interfaz de una calculadora gráfica para resolver un problema de aplicación real, dentro del contexto de los alumnos de nuevo ingreso de ingeniería civil de la Universidad de los Altos de Chiapas (UACH), retomando algunos conceptos de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau (2007) y la metodología de ingeniería didáctica según Artigue y otros (1995) para el análisis de la secuencia didáctica.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Hoy en día, los educadores e investigadores de distintas disciplinas se encuentran preocupados por el bajo rendimiento académico que tienen los alumnos en los diferentes niveles educativos (nivel básico, nivel medio superior y nivel superior). El álgebra se considera una de las disciplinas esenciales para el desarrollo académico de los alumnos. Como señalan Farias y Pérez (2010), el principal problema de su aprendizaje es la comprensión de sus

Uno

El álgebra permite comprender la geometría, la trigonometría, la geometría analítica y el cálculo ■

conceptos aplicados a la realidad, ya que el alumno no ve la utilidad del álgebra en su entorno. Tal es el caso de los alumnos de nuevo ingreso de ingeniería civil de la UACH. Este problema, de acuerdo con Trigueros, Ursini y Lozano (2000), se genera porque al alumno se le dificulta comprender el concepto de variable con sus diferentes usos (número general, incógnita y relación funcional). Los alumnos de la UACH son alumnos nacidos en la era de la tecnología. Los móviles y los ordenadores son utilizados de forma incorrecta, ya que se usan como pasatiempo (ver vídeos, enviar mensajes e interactuar en las redes sociales) y no como herramientas para resolver problemas. Es por ello que, como señala Morales (2011), es necesario enfocarse en utilizar herramientas tecnológicas (sofwares de computadoras) para mejorar la calidad del aprendizaje de las matemáticas, considerándose una forma de enseñanza

Revista de Didáctica de las Matemáticas • núm. 78 • octubre 2017

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innovadora e interactiva. Las dificultades que presentan los sofwares de programación es conocer la función de los comandos y las herramientas de la interfaz, así como también la sintaxis para el buen funcionamiento del programa. De lo anterior, se genera la siguiente pregunta de investigación: ¿Qué aportan los métodos de programación al aprendizaje del concepto de suma de polinomios al resolver un problema de aplicación real en los alumnos de nuevo ingreso de ingeniería civil de la UACH? De acuerdo con la pregunta de investigación se genera el objeti vo de implementar una secuencia didáctica utilizando métodos de programación para el aprendizaje de la suma de polinomios, enfocados a resolver un problema de aplicación real a los alumnos de nuevo ingreso de ingeniería civil de la UACH. Esta investigación es relevante a la aplicación de las matemáticas en nuestro entorno, resolviendo problemas de la vida real como señala la SEP (2011), llevando al alumno a desarrollar su pensamiento lógico ante cualquier situación que se le presente, además de aprender a utilizar herramientas tecnológicas (interfaz de calculadora grá-

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fica) para la resolución de dichos problemas, desarrollando la creatividad y la comunicación. Esta investigación aporta un nuevo enfoque en la enseñanza del álgebra con programación.

REFERENTES TEÓRICOS

Teoría de situaciones didácticas En esta investigación se emplearon algunos conceptos de la teoría de situaciones didácticas desarrollada por Brousseau (2007) que es considerado uno de los principales investigadores en didáctica de las matemáticas. También se retomaron los puntos de vista de algunos autores sobre esta teoría, aportando conceptos para el diseño de las actividades de la secuencia didáctica, para la comprensión de la suma de polinomios. La teoría de situaciones didácticas es un medio para comprender qué hacen los profesores y los alumnos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. De acuerdo con lo anterior, se puede decir que las situaciones didácticas son modelos de interacción diseñados por los docentes que son aplicados a los alumnos para que construyan su propio conocimiento. La teoría de las situaciones didácticas


se enfoca en definir un concepto matemático mediante situaciones reales para su modelación, creando conocimiento concreto. Retomando a Gascón (2015), los docentes deben facilitar las técnicas e instrumentos que ofrece la tecnología para el aprendizaje significativo de los alumnos como un proceso de construcción de su propio conocimiento, y por ello en esta investigación se aplicaron métodos de programación utilizando la interfaz de una calculadora gráfica para resolver un problema real.

Ingeniería didáctica En esta investigación se empleó la metodología de ingeniería didáctica que se tomó como base para la experimentación y el análisis de los resultados. La ingeniería didáctica se diferencia de los métodos experimentales usuales en educación por su modo de validación. Este modo de validación es interno y basado en la confrontación entre un análisis a priori en el cual se encuentran comprometidas un cierto número de hipótesis y un análisis a posteriori que se apoya en los datos surgidos de la implementación de las actividades (Artigue, Douady, Moreno y Gómez, 1995). La ingeniería didáctica se caracteriza por tener un proceso expe-


rimental dentro del salón de clases, analiza la concepción, la realización y la implementación de secuencias didácticas, realiza una comparación entre los análisis a priori y a posteriori de la secuencia (Segura, 2004). La ingeniería didáctica surge de la teoría de situaciones didácticas y se centra en modelar situaciones de enseñanza, para así permitir una elaboración y gestión controlada.

Aprendizaje significativo con métodos de programación El aprendizaje significativo de cada alumno se centra en el conocimiento perdurable que se aplique a la realidad, resolviendo problemas que se presenten en situaciones cotidianas. Para el logro de un aprendizaje significativo se requiere que el docente utilice métodos didácticos de acuerdo con el contexto de los alumnos, el cual se puede dar con secuencias didácticas apropiadas (Ramírez y Cardona, 2010). Los algoritmos son métodos de programación que ayudan a ordenar los pensamientos de los alumnos, ya que se consideran como una lista de pasos lógicos y secuenciales que describen un proceso necesario para resolver un problema. En términos generales, un algoritmo debe ser realizable (fini-

El aprendizaje significativo de cada alumno se centra en el conocimiento perdurable que se aplique a la realidad ■

to en el número de pasos), comprensible y preciso (Barrera, 2013). Existen distintas herramientas para representar los algoritmos, dentro de las que se encuentran el lenguaje cotidiano, los diagramas de flujo y los pseudocódigos. Para lograr un aprendizaje significativo, el proceso de enseñanzaaprendizaje se debe enfocar en la resolución de problemas. El matemático Polya (1965) aplica un método de cuatro pasos para resolver un problema, que son: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida. En los problemas de aplicación real, se utiliza la modelación matemática realista para generar la estructura matemática que representa a la aplicación. Según Henao y Vanegas (2012), la educación matemática realista se enfoca a procesos de transferencia de los conocimientos matemáticos a actividades de la vida diaria, por lo cual se llega a un aprendizaje significativo.

Así también, como señalan Escontrela y Stojanovic (2006), las TIC son un instrumento para lograr un aprendizaje significativo, ya que el ordenador es de mucha utilidad para resolver problemas generales y específicos por medio de programas, provocando llegar a un resultado de forma más eficiente tomando en cuenta el proceso de resolución.

METODOLOGÍA DE TRABAJO La presente investigación se enfoca en un análisis cualitativo. Se trabajó con ocho alumnos de nuevo ingreso de ingeniería civil de la Universidad de los Altos de Chiapas que cursan la materia de álgebra. Se diseñó una secuencia didáctica enfocándose a la metodología de la programación de acuerdo con Barrera (2013), la cual señala que es un conjunto o sistema de métodos, principios y reglas que permiten afrontar de manera sistemática el desarrollo de un programa que resuelve un problema. Esta metodología generalmente se estructura como una secuencia de pasos que parten de los conceptos del álgebra, en este caso de la suma de polinomios, donde se plantea un problema de aplicación real y culmina con un programa de ordenador que lo resuelve.


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INTERCAMBIO

•

(sumando polinomios), identifiquen intervalos de variación y completen una tabla. En la actividad 2 se presenta un pseudocódigo con el cual se pretende que hagan el programa para comprobar los resultados del problema.

Imagen 1. Alumnos realizando las actividades

Experimentación

La metodología de la programación es similar a los cuatro pasos de Polya (1965) antes señalados; en general, distingue las siguientes etapas: analizar el problema, diseñar un algoritmo, traducir el algoritmo a un programa de ordenador y, por último, depurar el programa.

La secuencia didáctica se implementó en el laboratorio de informática de la institución, proyectando los cuestionamientos con diapositivas, sobre las cuales los alumnos iban respondiendo en sus respectivas libretas y participando activamente conforme se iba avanzando en los cuestionamientos (imagen 1).

Cada secuencia didáctica consta de dos actividades para el aprendizaje de los conceptos matemáticos: • En la actividad 1 se plantea un problema de aplicación real con la finalidad de que lo comprendan y posteriormente generen la estructura matemática

Actividad 1 Con esta actividad se pretende que el alumno comprenda la variable como número general, como incógnita y como relación funcional, resolviendo un problema de aplicación real planteado de la siguiente manera: Un ingeniero civil cuenta con tres empresas que fabrican tabiques en el estado de Chiapas. La cantidad de tabiques por día de la empresa de Tuxtla Gutiérrez y San Cristóbal dependen de la cantidad de tabiques de la empresa de Tapachula de acuerdo con la siguiente información: Tapachula fabrica x tabiques por día; Tuxtla Gutiérrez fabrica 3 x tabiques por día y San Cristóbal, 2 x tabiques por día.

El primer acercamiento al problema de aplicación es comprenderlo de acuerdo con Polya (1965), que fue guiando al alumno por medio de los siguientes cuestionamientos: a) ¿Cuántos tabiques fabrica la empresa de Tapachula en un día? ............. En esta pregunta se pretende que el alumno identifique a la variable x como cualquier número de tabiques. b) ¿Cuántos tabiques fabrica la empresa de Tuxtla Gutiérrez en un día? ............. En esta pregunta se pretende que el alumno identifique la relación que existe entre el número de tabiques que fabrica Tapachula y Tuxtla Gutiérrez, reconociendo que es el triple de tabiques (3 x ).

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c ) ¿Cuántos tabiques fabrica fabrica la empresa empresa de San Cristóbal en un día? ............. ............. En esta pregunta pregunta se pretende pretende que el alumno identifique la relación que existe entre el número de tabiques que fabrica Tapachula y San Cristóbal, reconociendo que es el doble de tabiques (2 x ). ). Con estos tres cuestionamientos se pretende que el alumno identifique los datos del problema donde la variable x es es considerada en primera instancia como un número general (Ursini, Escareño, Montes y Trigueros, 2005), es decir, que la empresa de Tapachula puede fabricar cualquier número de tabiques. Una vez identificados los datos del problema se realiza el siguiente cuestionamiento: tres empresas juntas en en un día? ............. ............. En esta pregunta pregunta se pretende que d ) ¿Cuántos tabiques fabrican las tres alumno utilice el procedimiento para sumar polinomios esperando que haga la operación x + + 3 x + + 2 x = = 6 x . Al obtener la suma de los polinomios, se hacen los siguientes cuestionamientos: Tapachula fabrica 200 tabiques, ¿cuántos tabiques fabrican en total las tres empresas? empresas? e) Si la empresa de Tapachula ............. Tapachula fabrica 500 tabiques, ¿cuántos tabiques fabrican en total las tres empresas? empresas? f ) Si la empresa de Tapachula ............. En estas preguntas se pretende que el alumno reconozca que la variable x ya ya tiene un valor específico, en la primera pregunta 200 y en la segunda 500, y que pueda sustituir estos valores en la expresión que representa a la suma para obtener el total de tabiques, en el cual reconozcan a esta variable (total de tabiques) como incógnita. De acuerdo con las respuestas obtenidas y a la inserción de otra variable se le pide al alumno que la identifique y que coloque la relación funcional con el siguiente cuestionamiento: Tomando en cuenta que la variable x representa a la variable independiente y considerando a la variable dependiente con la letra T , que representa el total de tabiques de las tres empresas, escribe la relación entre las variables: = ................... T = Una vez colocada la relación funcional, se pide al alumno que i dentifique el intervalo de variación de la variable x de de acuerdo con los siguientes cuestionamientos: Tapachula es de 150, ¿cuál es la cantidad g) Si la mínima cantidad de tabiques que fabrica la empresa de Tapachula mínima que fabrican las tres empresas en total? ............. tabiques que fabrica la empresa empresa de Tapachula Tapachula es de 1200, ¿cuál es la cantidad h) Si la máxima cantidad de tabiques máxima que fabrican las tres empresas en total? ............. acuerdo con los resultados anteriores, anteriores, ¿qué valores puede tomar la variable x ? Coloca el intervalo i ) De acuerdo correspondiente: ............. ............. ≤ x ≤ ≤ .............


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INTERCAMBIO

De acuerdo con estos cuestionamientos, se pretende que el alumno comprenda que la variable puede tomar los valores de 150 y 1200, además cualquier valor entero entre 150 y 1200 tabiques, y que existe una relación entre dos variables como señalan Ursini, Escareño, Montes y Trigueros (2005). De acuerdo con la relación funcional, completa la siguiente tabla: Cantidad de tabiques que fabrica la empresa de Tapachula ( x )

Cantidad total de tabiques (T )

150 200 1500 400 550 4200 6000 1100 7200

Si el ingeniero necesita un total de 15.000 tabiques para su construcción, responde a los siguientes cuestionamientos: j ) ¿Cuántos tabiques tabiques necesita fabricar la empresa de Tapachula? Tapachula? ............. ............. Realiza tu procedimiento: k ) ¿Cuántos tabiques necesita fabricar la empresa empresa de Tuxtla Tuxtla Gutiérrez? ............. ............. Realiza tu procedimiento: l ) ¿Cuántos tabiques tabiques necesita fabricar la empresa de San San Cristóbal? ............. ............. Realiza tu procedimiento: De acuerdo con los cuestionamientos, se pretende que el alumno complete la tabla y determine el valor de la variable independiente dado el valor de la v ariable dependiente, comprendiendo a la variable como incógnita, de acuerdo con Ursini y otros (2005).

Actividad 2 Con esta segunda actividad se pretende que el alumno pueda c rear el programa de acuerdo con el pseudocódigo proporcionado, escribiendo los comandos en la interfaz de la calculadora gráfica y que, una vez creado el programa, interactúe de forma que compruebe los resultados obtenidos en la actividad 1.

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Para crear el programa en el software de la calculadora gráfica, escribe el siguiente pseudocódigo: 1. Crea un nuevo programa colocando el nombre de suma. Por defecto, el programa programa muestra el comando Define suma ()=, y después inicia el programa mostrando el comando Prgm. 2. Declara las variables x 1, 1, x 2, 2, x 3. 3. 3. Escribe el comando Request “La Request “La cantidad de tabiques de la empresa de Tapachula es:” , x . 4. Escribe 2 * x : : = x 2. 2. 5. Escribe 3 * x : : = x 3. 3. 6. Escribe x + + 2 * x +3 +3 * x : : = T. 7. Escribe el comando Disp “La cantidad de tabiques de la empresa de Tapachula es de:” , x . 8. Escribe el comando Disp “La cantidad de tabiques de la empresa de San Cristóbal es de:”, x 2. de:”, x 2. 9. Escribe el comando Disp “La cantidad de tabiques de la empresa de Tuxtla Gutiérrez es de:” , x 3. 3. 10. Escribe el comando Disp “La cantidad total de tabiques es de:” , T. T. 11. Finaliza el programa con el comando c omando EndPrgm. Debido a que, para los alumnos de nuevo ingreso, este fue su primer acercamiento a crear programas en la interfaz, se les proporcionaron los comandos y la sintaxis correspondiente. Una vez creado el programa, se les solicita que interactúen siguiendo el procedimiento que a continuación se presenta: 1. Ejecuta el programa programa verificando la sintaxis y almacenando la variable y las operaciones. 2. En la zona de trabajo coloca suma (), y después oprime la tecla Enter . 3. En la ventana que se abre, abre, coloca la cantidad de tabiques que fabrica la empresa empresa de Tapachula Tapachula y comprueba los resultados de la tabla que completaste en la actividad 1.

Resultados de la actividad 1 de la secuencia didáctica

polinomios de manera algebraica, y otros alumnos le asignaron un valor a la variable realizando una suma aritmética.

En los cuestionamientos del inciso a, b y c todos los alumnos identificaron los datos del problema de aplicación, pero tuvieron dificultades al comprender la variable como número general, ya que también le dieron valores negativos que, de acuerdo con el contexto no era adecuado. En el cuestionamiento d , la mayoría de los alumnos realizó la suma de

En los incisos e y f, y f, los alumnos no tuvieron problemas en identificar el valor de la variable obteniendo el total de tabiques. Al indicarles que coloquen la relación funcional, si tuvieron dificultad en comprender que significaba la letra T, por lo cual se s e tuvo la intervención del docente. En los cuestiona g, h e h e i, todos los alumnos mientos g, mientos

Análisis a posteriori

sustituyeron el valor de la variable en la función comprendiendo el valor mínimo y máximo, pero ninguno comprendió el intervalo de variación, es decir, valores enteros entre 150 y 1200. En las preguntas j, preguntas j, k y k y l , todos los alumnos pudieron completar la tabla determinando los valores de las variables dependiente e independiente respectivamente, realizando una sustitución directa para la dependiente y un despeje para la independiente. independiente.


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INTERCAMBIO

Resultados de la actividad 2 de la secuencia didáctica

Los alumnos copian exactamente los comandos que se les proporcionaron en el pseudocódigo, ya que no habían tenido ningún acercamiento con la creación de programas, provocando que no comprendieran para qué sirve cada comando. Debido a ello, el docente tuvo que explicar la estructura del programa (función de los comandos). Una vez creado el programa, lo ejecutaron. A algunos alumnos les marcó error de sintaxis por lo cua l tuvieron que corregirlo. Una vez que la ejecución fue correcta, interactuaron con los datos de obtenidos en la actividad 1 comprobando los resultados.

CONCLUSIONES La suma de polinomios es un concepto algebraico que puede tener aplicaciones de acuerdo con el contexto de los alumnos. El problema de aplicación real llamó la atención del alumno, comprendiendo la utilidad de las matemáticas de acuerdo con su contexto, respondiendo la pregunta planteada al inicio del artículo: ¿Y para qué sirve tanto número, tanta letra y tanto símbolo? Los cuestionamientos guiados ayudaron a que los alumnos com-

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Los alumnos comprenden el problema, identifican datos y sus condiciones y construyen un conocimiento propio ■

Referencias bibliográficas ARTIGUE, M. y otros (1995): Ingeniería didáctica en educación matemática. Bogotá. Iberoamérica.

BARRERA, L. (2013): «Algoritmos y programación para la enseñanza y aprendizaje de la matemática escolar», en Acta del Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, pp. 6680-6687.

BROUSSEAU, G. (2007): Iniciación al estudio de la teoría de las situa-

prendieran el problema identificando datos y sus condiciones, además de que fueron construyendo su propio conocimiento de forma gradual. También aplicaron el concepto de suma de polinomios, generando la estructura matemática correspondiente, la cual ayudó a determinar valores para las variables, identificando un valor máximo y un valor mínimo. La creación del programa facilitó la obtención de los resultados con mayor rapidez. La interacción con el programa da confianza y seguridad comprobando los resultados obtenidos de los cuestionamientos y de la tabla.

ciones didácticas. Buenos Aires.

Zorzal. FARIAS, D.; PÉREZ, J. (2010): «Motivación en la enseñanza de las matemáticas y la administración». Formación Universitaria, vol. 3(6), pp. 33-40. GASCÓN, J. (2015): «Evolución de la Didáctica de las Matemáticas como disciplina científica». Revista latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, núm. 23.

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HENAO, S.; VANEGAS, J. (2012): La modelación matemática en la educación matemática realista: un ejemplo

La mayoría de los alumnos tuvo dificultades en identificar el inter valo de variación de la variable, y también se les dificultó escribir la sintaxis de los comandos en forma correcta, presentando errores de ejecución. ◀


a través de la producción y uso de modelos cuadráticos. Santiago de

Cali. Universidad del Valle. MORALES, E. (2011): Resignificación de los campos de pendiente en las ecuaciones diferenciales en un contexto electrónico. Tesis de maestría


no publicada. México. Universidad Autónoma de Chiapas. POLYA, G. (1965): Cómo plantear y resolver problemas. México. Trillas. RAMÍREZ, D.; CARDONA, A. (2010): «Aprendizaje significativo a través de secuencias didácticas de planeación, ejecución y evaluación en el programa de Psicología». International Journal of Psychological Research, vol. 3(2), pp. 93-108. SEGURA, S. (2004): «Sistema de ecuaciones lineales: una secuencia didáctica». Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 7(1), pp. 49-78.

TRIGUEROS, M.; URSINI, S.; LOZANO, D. (2000): «La conceptualización de la variable en la enseñanza media». Educación Matemática, vol. 12(2), pp. 27-48. URSINI, S. y otros (2005): Enseñanza

Edgar Javier Morales Velasco Universidad Autónoma de Chiapas (México) [email protected]

del álgebra elemental: una pro-

José Luis Muñoz Morales Universidad de los Altos de Chiapas (México)

puesta alternativa. México. Trillas.

[email protected]

SEP (2011): Plan de estudios 2011: educación básica. México.

Direcciones de contacto Francisco Agustín Zúñiga Coronel Universidad de los Altos de Chiapas (México) [email protected]

Normas para la publicación de artículos 1. Los artículos pueden narrar cuatro tipos de experiencias

de aula de educación reglada: • De la didáctica específica. • De trabajo interdisciplinar. • De trabajo integrado de contenidos de área y lenguas extranjeras (AICLE). • De metodología general: relaciones interactivas, dinámica de grupos, organización de contenidos (proyectos globalizados), uso del tiempo y del espacio, etc. 2. Los artículos deben ser inéditos. Su extensión total será de 13.000 caracteres, incluidos los espacios (tablas y gráficos también incluidos), y deberán aportar: un resumen de 450 caracteres (incluidos los espacios), de 3 a 5 palabras clave y 2 o 3 fotografías ilustrativas (600 DPI de resolución). 3. Los artículos se centrarán en casos concretos de aula que deberán abarcar, a título orientativo, los siguientes aspectos: definición del problema, alternativas consideradas, decisiones y acciones que se tomaron, y resultados obtenidos. 4. Se deberá señalar, en cada página, 1 frase significativa que refuerce el discurso del texto (utilizar la herramienta de texto resaltado).

Este artículo fue recibido en UNO: REVISTA DIDÁCTICA

DE LAS

MATEMÁTICAS en

DE

abril de 2017 y

aceptado en junio de 2017 para su publicación.

5. En la primera página, se harán constar los datos siguien-

tes: nombre y apellidos, DNI, referencia profesional, dirección particular y profesional, teléfono de contacto, correo electrónico y líneas prioritarias de trabajo. 6. Se recomienda reseñar enlaces web relacionados con la experiencia, así como adjuntar vídeos, si los hubiere. 7. El autor autoriza a Editorial Graó a reproducir el artículo, total o parcialmente, en su página web y redes sociales de su propiedad. 8. ENVIAR LAS COLABORACIONES A: [email protected] (revista UNO). También se pueden enviar colaboraciones para las secciones breves de «Ideas prácticas»: «En contexto», «Materiales a examen» y «Recursos para el aula». Descargar las normas de publicación en www.grao.com/newsletter/Ideaspracticas uno.pdf Para una información más detallada de las normas de publicación de cada una de las secciones, consultar (http://uno.grao.com).


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IDEAS PRÁCTICAS

MATERIALES A EXAMEN EN CONTEXTO INFORMACIONES

Matematización El proceso matemático más utilizado por los estudiantes para la resolver problemas de la realidad es la matematización, siendo la utilización de modelos matemáticos una de sus componentes. Presentamos dos ejemplos de tareas de modelización: en la primera se trata de investigar la forma óptima de las canaletas cuya sección transversal tiene forma de trapecio, en función de las diferentes magnitudes que se tomen como variables; en la segunda se trata de encontrar el camino más adecuado para atravesar un bosque con unas condiciones determinadas. Las dos se presentan en la versión extensa, pudiendo ser tratadas parcialmente, según la conveniencia del profesor profesora.

Tarea 1. La canaleta óptima Con una plancha rectangular, cuyas dimensiones son 5 m. de largo y 45 cm. de ancho, deseamos construir una canaleta, doblando el ancho en tres partes iguales para que la sección sea un trapecio isósceles.

Demostrar que la expresión del volumen de agua que cabe en la canaleta, en cm 3 y en función de x , responde a la fórmula: A continuación, averigua el valor de x para que el volumen de agua sea el mayor posible. Dar sentido razonado al resto de valores de x , posibles extremos de la función F (x ). La sección de la canaleta también queda determinada por el ángulo en que se giren las partes de la plancha que forman sus paredes oblicuas. Si llamamos β al ángulo anterior, obtener una expresión para el volumen de agua que cabe en la canaleta en función del ángulo β, comprobando que la expresión buscada es:

Calcular el valor de β para el que la cantidad de agua recogida sea máxima. Interpretar razonadamente el valor de β que no corresponde al máximo. Esta tarea puede continuar pidiendo que se relacionen las dos variables consideradas, x y β, para después comprobar que se puede pasar de la expresión de F (x ) a la expresión de G( β), utilizando la relación entre x y β.

Didáctica Revista de de las Didáctica Matemáticas de núm. 78 • pp. •• núm. 75-7675 enero Uno Revista de Uno Revista de Didáctica de las las• Matemáticas Matemáticas núm. 75• ••octubre enero 2017 2017 Uno

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IDEAS PRÁCTICAS INFORMACIONES

EN CONTEXTO MATERIALES A EXAMEN

Tarea 2. El camino más adecuado para atravesar un bosque El cuadrado de la figura representa una zona de un bosque que está acondicionada para efectuar marchas y rutas a pie. El exterior del cuadrado es la zona abrupta y salvaje del bosque, sin transformar. Toda la figura es simétrica respecto a la línea imaginaria que une los puntos A y C. Nuestro objetivo es desplazarnos desde el punto E hasta el punto F, empleando el menor tiempo posible. Para ello tenemos dos opciones: • Opción 1: r ecorrer el segmento EF que tiene una distancia conocida 2 d . • Opción 2: Seguir la ruta marcada por los puntos EGHF, pasando por el interior de la zona cuadrada, acondicionada para caminar. En este caso, las parejas de segmentos EG y AB, FH y AD son perpendiculares. Sabiendo que la velocidad de desplazamiento dentro del cuadrado es 5 v km/h, siendo v la velocidad de desplazamiento fuera del mismo, calcular: a) La longitud de cada ruta en función de la distancia d . b) El tiempo necesario para recorrerlas, en función de d y v . c ) La ruta más conveniente para cumplir nuestro objetivo. Ahora deseamos resolver el mismo problema para el caso en que la trayectoria recta desde E hasta el cuadrado no sea necesariamente perpendicular al lado de este (véase la figura correspondiente). Dando por hecho que la longitud del segmento AI es x , calcular las distancias entre los puntos: d ) E y I, en función de x y la distancia conocida inicialmente d . Demostrar que dicha distancia responde a la expresión:

e) I e I´, en función de x . Con los resultados obtenidos anteriormente, calcular: f ) La longitud de la ruta que atraviesa el cuadrado por los puntos I e I´. g) El tiempo T( x ) necesario para efectuar el recorrido anterior, en las mismas condiciones de velocidad de desplazamiento que en los apartados a y b. Demostrar que T ( x ) tiene por expresión

h) El valor de x para el que el tiempo T empleado en la ruta sea mínimo. Constantino de la Fuente Martínez [email protected]

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Uno Revista Revista de de Didáctica Didáctica de de las las Matemáticas Matemáticas Tándem Didáctica de la Educación Física •

•• núm. núm. 75 75 •• enero 78 enero 2017 octubre 2017 2017 núm. 47 • enero 2015

IDEAS PRÁCTICAS

RECURSOS PARA INFORMACIONES EL AULA

Patio de juegos matemáticos Destinatarios: Alumnado de primaria Tipo de recurso: Página web de juegos y actividades para desarrollar y potenciar el cálculo mental. www.mathplayground.com/ Breve descripción Desde la página principal, se puede acceder a diversos juegos a elegir por tópico (sumas y restas, productos y divisiones, fracciones y decimales, geometría, porcentajes, etc.), curso (seis niveles de acuerdo con los grados de la enseñanza anglosajona que, en general, suelen coincidir con los de la primaria española), desafíos, una selección de los juegos más populares entre los usuarios, etc. Al final de la página, hay un enlace al listado completo de juegos y actividades, 419 en total en noviembre de 2016 (fecha de la última visita).

¿Cómo utilizarlo en el aula? Aunque se trata de juegos para una sola persona (más adecuados, por tanto, para utilizar en casa), la experiencia demuestra que los jugadores encuentran más aliciente retándose a superar la puntuación de los demás, o encontrando la respuesta más rápido que el que está al teclado, por lo que puede resultar apropiado proponerlos en minutos al final de las clases, o de un periodo de concentración de otras tareas, a discreción del profesor, tanto en duración, como en selección del juego o dinámica.

¿Qué aprenderán? Los alumnos adquirirán destrezas de cálculo mental en tópicos diversos, como operaciones elementales, fracciones y decimales, porcentajes, geometría y pre-álgebra elemental. También disponen de cuestiones de lógica y desafíos algo más complejos para incentivar su curiosidad.

Ejemplos Se detallan a continuación, a modo de ejemplo, dos de los juegos existentes.

Brainie www.mathplayground.com/brainie.html Se trata de un juego tipo Tetris, en el que caen cajitas con un número, o una operación y un número. Los primeros se asocian a sumas, mientras que los segundos, a la operación indicada (resta, multiplicación o división). En la parte superior o a un lado (depende de la versión del sistema operativo que tengamos) aparece un número. Se trata de elegir tantas

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MATERIALES A EXAMEN

cajas como indique dicha cantidad. Si son cajas sin operación, éstas se suman al ir seleccionándolas; si se eligen con ella, hay que tener cuidado con el orden. Según esas normas, la interpretación de la imagen anterior es (2+6)/2 ≠ (6/2) + 2. Obviamente, cuantas más cajitas se elijan (lo que conlleva hacer operaciones más complejas), más puntuación se obtiene, a la vez que más espacio libre logramos. También hay puntos de bonificación si todas las cajas seleccionadas son del mismo color (Color Bonus) o si dejamos vacía la pantalla ( Clean Bonus). Adicionalmente, de vez en cuando desciende una caja bomba ( Boom) que elimina todas las cajitas de un mismo color, el que elija el jugador. Según vamos pasando pantallas, el número de filas iniciales que se presenta es mayor. El juego finaliza cuando las cajas rellenan todo el espacio, y no pueden caer más (como en un Tetris habitual). Finalmente, hay dos opciones a elegir inicialmente: Classic (al eliminar un número concreto de cajas, se empieza otro nivel), o Action (no hay cambios de nivel ni nuevas pantallas, sino que se permanece en la inicial, acelerándose la caída de las cajas a medida que vamos avanzando). Ratio Blaster

www.mathplayground.com/ASB_RatioBlaster.html Se trata de identificar fracciones equivalentes. El juego consiste en impedir una invasión marciana. Van cayendo platillos volantes hacia la barra inferior (donde estamos nosotros con un cañón), cada uno con una fracción. Se trata de ir disparando (eliminando) a aquellos que presenten una fracción equivalente a otra que aparece a nuestro lado. Aunque las primeras suelen ser sencillas, enseguida se complica la situación por la velocidad a la que debemos responder antes de que las naves lleguen abajo y nos invadan, en cuyo caso acaba el juego. Disponemos de un minuto, al cabo del cual se muestra nuestro porcentaje de acierto, y los errores que hemos cometido. Otro juego similar en cuanto a dinámica es Demolition Division, centrado en este caso en divisiones exactas. Para un mismo contenido, podemos encontrar diferentes dinámicas. Triplets (www.mathplayground.com/Triplets/ Triplets.html ) propone también trabajar con fracciones equivalentes, agrupando expresiones diferentes que correspondan a un mismo valor entre un amplio conjunto desordenado.

Alfonso J. Población Sáez [email protected]

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IDEAS PRÁCTICAS


Symbolab Tipo de recurso: Sitio web de cálculo simbólico que permite visualizar los pasos intermedios del cálculo y realizar representaciones gráficas. Para algunas opciones requiere registro gratuito, y también existe la posibilidad de ampliar a versión de pago más completa (sin anuncios, con almacenamiento ilimitado, con práctica ilimitada...). Para dispositivos móviles existe una aplicación gratuita en AppStore o en PlayStore pero está limitada (ofrece el resultado pero no los pasos, y está en inglés sin posibilidad de cambiar idioma), y requiere conexión a internet. La versión completa cuesta 6,99€.

https://es.symbolab.com/ Destinatarios: Alumnado de ESO, bachillerato y universitario, aunque es más útil a partir de tercer curso de ESO. Duración de su utilización: Se puede utilizar en el aula siempre que sea necesario resolver rápidamente un cálculo, o dedicar sesiones enteras de práctica, en la que la aplicación sirva para comprobar resultados. Esto mismo se puede hacer desde casa, por lo que el tiempo de uso se adapta a las necesidades del alumnado. Breve descripción El sitio dispone de una calculadora simbólica ( Solutions), de una aplicación para representar funciones ( Graphing Calculator ), ejercicios para practicar controlados por tiempo (Practice), un cuaderno de notas donde se pueden grabar dichos ejercicios (Notebook ), la posibilidad (beta) de trabajar en grupo (Groups) y una colección de fórmulas que se pueden descargar en pdf ( Cheat Sheets). Desde la página principal, se puede acceder a una ayuda ( Formatting Tips), además de contener múltiples ejemplos. La forma de introducir las expresiones, tanto en la página principal como en Solutions, es muy intuitiva, y se hace a través de una caja de entrada junto con un teclado virtual con todas las posibles expresiones.

Solutions está dividido en varios temas, que aparecen en la cabecera (se puede seleccionar el idioma de la interfaz): • Álgebra: Tiene la posibilidad de resolver ecuaciones, inecuaciones, sistemas, de operar con polinomios y fracciones algebraicas. • Matrices y vectores: Resuelve todo tipo de operaciones con matrices, incluyendo diagonalización, reducción a matriz de Gauss-Jordan, valores propios y vectores propios de la matriz. También se puede realizar cualquier tipo de operación con vectores, incluyendo proyecciones y ángulos. • Funciones y representación gráfica: En este apartado se incluyen ecuaciones de la recta, propiedades de las funciones (dominio, rango, puntos críticos, monotonía, paridad, etc.), cálculo de la inversa, aritmética y composición de funciones. • Trigonometría: Tiene posibilidad de demostrar identidades, resolver ecuaciones trigonométricas, evaluar funciones trigonométricas y simplificar.

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RECURSOS PARA EL AULA

• Cálculo: En este apartado se pueden resolver límites, derivadas, aplicaciones de las derivadas (tangentes, normales, pendientes, extremos), integrales (indefinida, definida, doble, triple, etc.), series, ecuaciones diferenciales, transformada de Laplace y desarrollos de Taylor o MacLaurin. Además, el cálculo se puede compartir a través de las redes sociales o el correo, y tiene la opción de representación gráfica en el caso de que involucre funciones. Graphing Calculator permite representar varias funciones a la vez, hacer zoom y trasladar la ventana para visualizar diferentes zonas, y guardar la gráfica. Junto a la expresión algebraica de la función, se puede mostrar una tabla de valores de la misma (con posibilidad de modificar los valores de la abscisa). También se pueden visualizar las propiedades fundamentales de la función pulsando en la lupa junto a la expresión, como se muestra en la imagen siguiente:

Los a umnos a qu r rán estrezas e cá cu o s m ó co, ut zan o a reso uc ón paso a paso. También permite poner el énfasis en los conceptos (función, derivada, integral, etc.) y en las propiedades, ya que os cá cu os pasan a un segun o p ano astaría en este caso con a so uc ón .

Cómo utilizarlo en el aula? n el aula y en casa para reforzar se les puede proponer un listado de ejercicios, que primero realicen sobre el papel y que comprueben una vez resueltos. Por ejemplo, se les puede proponer resolver matricialmente un s stema e ecuac ones me ante Gauss-Jor an. Compro arían escr en o

y el sitio les devuelve la solución

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IDEAS PRÁCTICAS


y los pasos, explicados como se observa en la imagen.

Una segunda aplicación tiene que ver con la investigación de los conceptos o propiedades. Por ejemplo, comprobar las propiedades de los determinantes. Proponiendo distintos ejemplos, ayuda a entender dic has propiedades.

Se puede aprovechar la resolución paso a paso para discutir sobre los distintos modos de resolver ecuaciones o sistemas. Como se ve en la imagen, para resolver una ecuación de segundo grado incompleta, se proponen tres opciones distintas:

Con Graphing Calculator se puede trabajar, por ejemplo, la relación entre la monotonía de la función y el signo de la derivada, representándolas de forma conjunta.

Sonsoles Blázquez Martín [email protected]


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IDEAS PRÁCTICAS


Láminas matemáticas Tipo de recurso: Serie de láminas matemá-

ticas que la artista Lolita Brain realizó para el suplemento Aula del periódico El Mundo. http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/ carpetas/recursos/mates/recursos_2005/textos/laminas/Brain%20brain.htm www.matesymas.es/category/c491-prensa-ymatematicas/c49-laminas-aula-de-el-mundo/ Destinatarios: Alumnado de primaria y

secundaria. Breve descripción

Aunque cada vez hay mayor oferta, aún no son tan habituales como las exposiciones artísticas las de carácter científico o matemático. Son un excelente recurso divulgativo y formador con el que trabajar y profundizar en diferentes temas de los currículos. En este caso, el docente y sus alumnos pueden decidir el número y los temas con los que montar una exposición, o componer unas láminas propias teniendo éstas como referencia.

¿Cómo utilizarlo en el aula? Desgraciadamente, ni el periódico El Mundo, ni la artista que ha diseñado las láminas mantienen un sitio propio desde el que descargarse estas láminas. Sin embargo, no es complicado a través de un buscador acceder a cerca de un centenar de ejemplares. Las páginas que se han detallado al inicio (alojadas en Educastur y Matesymas, respectivamente) han recopilado en formato pdf prácticamente la totalidad de la serie, que fue premiada con el Premio Nacional de Divulgación Científica en el año 2004. Las láminas son descargables e imprimibles, en formatos DIN A4 o DIN A3, con una calidad aceptable. Como se ha especificado anteriormente, se pueden emplear bien formando una exposición para que no solo un grupo concreto las trabaje sino que las pueda leer todo el centro, bien trabajando su contenido de forma individual o en grupos. También se pueden utilizar virtualmente, desde un dispositivo personal o en pantalla digital. Suelen incluir cuestiones o ejercicios relacionados con el tema tratado, aunque cada profesor puede incorporar las cuestiones que considere oportunas.

¿Qué aprenderán? La variedad de temas tratados es muy amplia, pudiendo encuadrarse en diferentes áreas de las matemáticas (se detallan las descritas en la página Educastur, 77 en total): «Números y operaciones» (17); «Álgebra» (4);

Didáctica de de las Didáctica Matemáticas núm. 78 • pp. 82-8375• •octubre Uno Revista de Revista de las• Matemáticas • núm. enero 2017 2017 Uno

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RECURSOS PARA EL AULA

«Geometría» (23); «Topología» (5); «Funciones, Probabilidad y Estadística» (6); «Problemas y acertijos» (5); Matemáticas y matemáticos» (10); «Las matemáticas en otras ciencias» (7).

Ejemplos Seleccionamos un fragmento de dos láminas diferentes: Pensar también es entretenido y El paraíso de los símbolos.

Alfonso J. Población Sáez [email protected]

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INFORMACIONES

Reseñas

La SuperMATEsobrina y el enigma del astrolabio GARCÍA PIQUERAS, M. Tres Cantos (Madrid). Nivola, 2016 174 páginas El libro es una ficción que relaciona dos historias separadas en el tiempo por más de quinientos años. Las dos historias se van contando en capítulos alternativos, describiendo los avatares de un africano (Isaac) que es capturado y vendido como esclavo y, en paralelo, las investigaciones que hacen un profesor de literatura de universidad (Julio), que se encuentra haciendo su doctorado, y su sobrina quinceañera (Martina), huérfana y a cargo de él. El leitmotiv del libro es que Julio, en su proceso de doctorando, se encuentra un manuscrito que, en manos de su sobrina y la curiosidad de esta, les lleva a ambos a una investigación que pasa por lugares como el Níger, el Sahara, la Alhambra, pueblos e iglesias, etc. Para su investigación van a tener que recurrir a conocimientos de arte, poesía, música, historia,

matemática y geometría, etc., y, ya metidos en investigaciones, también al conocimiento y el uso del astrolabio. La geografía también aparece, pues diversas zonas y ciudades van a citarse: Granada, Tegaza, Tombuctú, Marrakech, etc. La historia de Isaac se inicia un 10 de septiembre de 1484 en Jenne, que es el pueblo del Níger donde vive. Se trata de una persona culta y con estudios, pero es detenido y vendido con otros esclavos. Es llevado hacia el norte y, en su marcha, encuentra amistad y apoyo en otros dos esclavos, los hermanos Kala y Kiru, que a partir de ese momento formarán parte de su vida. Se van relatando todas la vicisitudes del viaje, que nos van a permitir conectar a Isaac con el manuscrito antes citado que tiene Julio para su tesis doctoral. Como ya se ha dicho, la historia de Julio y Martina se inicia mucho más tarde, el 26 de marzo de 2015, en Madrid. Y su origen está en ese manuscrito del siglo XVI que tiene que estudiar Julio y que cae en manos de su curiosa y perspicaz sobrina Martina. En dicho manuscrito aparece un «acróstico laberíntico» que le llama la atención y que, además, es capaz de descifrar e interpretar.

Este descubrimiento es el inicio de la trama, que le lleva a iniciar una investigación sobre el origen y significado del manuscrito. Para ello presiona a su tío para ir a Granada y, en la Alhambra, poder relacionar los dibujos del documento con los mosaicos nazaríes, pues eso –así piensa– puede llevarles a avanzar en el descifrado. Hecha la traducción, descubren que está escrito por un tal Isaac, y es aquí cuando ya podemos unir las dos historias, separadas por quinientos años. Para no destripar la historia me paro aquí en el relato, y como estamos con las matemáticas, en el proceso de investigación van a aparecer muchas ideas y conceptos matemáticos, en los que la sobrina muestras más destreza que su tío. Se ve que la necesidad de aprobar las matemáticas en la ESO espabila más que un doctorado en literatura, cuando se trata de usar conocimientos matemáticos. El libro, entretenido y fácil de leer, puede ser, en ese muchas veces arduo y difícil viaje de nuestros alumnos y alumnas en el aprendizaje de las matemáticas, un punto de apoyo y de enlace con el gusto para acercarse a su estudio…

Fernando Fouz Rodriguez [email protected]


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INFORMACIONES

Encuentros

II Congreso de Educación Matemática de América Central y El Caribe Cali (Colombia), 29 de octubre 1 de noviembre de 2017

Organizado por REDUMATE: la Red de Educación Matemática de América Central y El Caribe, el congreso está dirigido a docentes de todos los niveles educativos de la región centroamericana y caribeña. Como ha caracterizado el congreso anterior, se muestra con una perspectiva internacionalista, por lo que invita a académicos y estudiantes de fuera de la región, en un ambiente internacional rico y acogedor. El II CEMACYC contará con prestigiosos oradores invitados de la comunidad internacional de educación matemática. Se desarrollarán sesiones que abordarán varios temas mediante discusiones, con la intención de promover la investigación en este ámbito. En este sentido, los temas centrales que tratará giraran en torno a: currículo, evaluación y competencias; formación inicial y continua de los docentes, y uso de tecnologías.

Seminario «Experiencias de aula con GeoGebra» Castro Urdiales (Cantabria), 17-19 de noviembre de 2017 El CIEM, Centro Internacional de Encuentros Matemáticos, a través del Instituto GeoGebra de Cantabria, ha desarrollado en los últimos años diversos cursos de formación con el objetivo de difundir el uso de GeoGebra en el más amplio colectivo de profesores e impulsar el uso efectivo de este recurso metodológico en el aula. El seminario de este año se centra en la difusión de ejemplos y en el análisis y debate de las experiencias de aula más interesantes que se están llevando a cabo en nuestro país y que desarrollan distintos temas de los diferentes bloques de contenido del currículo: números y álgebra, geometría, funciones, y estadística y probabilidad. Aunque las plazas son limitadas, todas las presentaciones y la documentación relacionada se podrán consultar en la web del CIEM (véanse eventos anteriores en http:// rrrgeogebra.tk/ ). www.ciem.unican.es/experienciasde-aula-con-geogebra

http://bit.ly/2vOHbar

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XVII CEAM Thales. Congreso de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas Almería, 4-6 de julio de 2018 Bajo el lema «Matemáticas en tierra de cine», la organización invita a todos los interesados a participar en él e intercambiar experiencias con los compañeros y compañeras de profesión. Los bloques temáticos provisionales previstos son: • Matemáticas: una película para todos los públicos. Dedicado a las distintas técnicas y recursos para atender a la diversidad. • El guion de aula. Metodologías para mejorar la práctica docente. • Mejor guion original . Buenas prácticas y experiencias de aula. • Atrezo para una película de Oscar. Uso y manejo de distintos recursos, incluidas las TIC. • Grandes actores para una gran obra. Actualización y formación del profesorado. • Matemáticas de película. Creatividad, arte, cine… En la web del congreso se publicará toda la información relativa al evento. Recomendamos el divertido visionado de la presentación del certamen. http://thales.cica.es/xviiceam/

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La cultura de participación en los centros de secundaria Un estudio de casos en la Agenda 21 escolar Ana María Forestello

Docentes en tránsito. Incidentes críticos en secundaria Carles Monereo Font, Manuel Monte

Los proyectos de trabajo en el aula Reflexiones y experiencias prácticas AA.VV.

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2017-10-01 Uno. Didactica de Las Matematicas (1)

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