Didacticas de Las Matematicas

ESCUELA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS 551115 – DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA LICENCIATURA EN E N MATEMÁT M ATEMÁTICAS ICAS

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA - 551115 -

“

Para Br ou ss eau (Kieran , 1998, 1998, p. 596), la did áctic a es la cienc ia qu e se inter esa po r la pro du cción y c om un icación del co noc imien to. Saber qu ées lo qu e se estápro duc iendo en un a s itu ación de ens eñ anza es el o bjetiv o de la d idáctic a. ”

JUAN ALEXANDER TRIVIÑO QUICENO Florencia, 2013 1


Jaime Alberto Leal Afanador Rector Constanza Abadía García, Mag. Vicerrectora Académica y de Investigación Miguel Roberto Hernández Saavedra, Mag. Vicerrector de Servicios a Aspirantes, Estudiantes y Egresados Gloria C. Herrera Sánchez, EdD. Vicerrectora de Medios y Mediaciones Pedagógicas Edgar Guillermo Rodríguez Díaz, Mag. Vicerrector de Desarrollo Regional y Proyección Comunitaria Magdalena Pinzón Vicerrectora de Relaciones Internacionales Antonia Agreda, Dra. Decana Escuela de Ciencias de la Educación Diego Fernando Aranda Lozano, Dr. Coordinador Licenciatura en Matemáticas Edición del material didáctico del curso Didáctica de la Matemática, diseñado y compilado por Juan Alexander Triviño Quiceno, del programa de Licenciatura en Matemáticas, Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD). Derechos reservados: © Copyrigth, 2013, Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD. Vicerrectoría de Medios y Mediaciones Pedagógicas, Bogotá D.C. Módulo Didáctica de la Matemática - 551115. Primera Edición. Prohibida la reproducción y publicación parcial o total de esta obra sin autorización de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD. Compilación, Edición y Diagramación Juan Alexander Triviño Quiceno. Florencia, Colombia. 1 de Juno de 2013 (material en prensa). Portada: tomado de http://cjaramatematica-202 http://cjaramatematica-2020.blogspot.com/ 0.blogspot.com/

Florencia, Colombia Junio de 2013.

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INTRODUCCIÓN El presente módulo está diseñado y compilado para estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas de la Escuela de Ciencias de la Educación de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia, estudiantes que inician su formación superior en el campo de las matemáticas, no se encuentra independiente del material didáctico ni del curso académico; es un dispositivo conceptual que se encuentra diseñado sobre la base de condiciones pedagógicas y didácticas predeterminadas para el desarrollo de toda la actividad intelectual del curso. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas son procesos de creciente complejidad teórica y metodológica. De un lado, la didáctica de la matemática ha evolucionado al nivel de disciplina científica y como tal, aborda su objeto de estudio en el marco de su propósito esencial: estudiar científicamente los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en contextos educativos institucionalizados. De otro, las rupturas epistemológicas y ontológicas en matemáticas y en didáctica de las matemáticas, implican replanteamientos sobre el rol del maestro y del estudiante, sobre la enseñabilidad de la matemática y sobre su desarrollo didáctico y curricular. Estos replanteamientos han conducido a asumir que el conocimiento matemático no es una réplica objetiva de una única realidad externa al sujeto, sino, al contrario, es una construcción social de significados, es el resultado de una evolución histórica, es un proceso cultural en permanente desarrollo. En este proceso, la interacción y la intersubjetividad de los sujetos que construyen y reconstruyen sus representaciones son esenciales para hacer posible la enseñanza y el aprendizaje de calidad y, desde allí, para el complejo proceso de formación y desarrollo de competencia matemática. Las competencias del Licenciado en Matemáticas se conciben en tres niveles: Básicas, Generales y Profesionales. Las competencias Básicas se refieren a la estructuración de una fundamentación cognitiva propia; las Generales se enfocan al ser, a la forma de ver y actuar en su función docente como líder de la comunidad, y las Profesionales se orientan al actuar como docente investigador y generador de aprendizajes.

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OBJETIVOS. OBJETIVO GENERAL: Estudiar los fundamentos teóricos considerados en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, conceptos básicos referidos a educación y pedagogía como ámbitos disciplinares, conceptualización en torno a la didáctica y educación matemática como espacios de la investigación e innovación educativa con objetos, epistemología y métodos propios. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

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Identificar los aspectos conceptuales de la didáctica de la matemática, para interpretar fenómenos usuales de la enseñanza de las Matemáticas escolares. Reflexionar acerca del sentido de los conocimientos matemáticos como disciplina en las matemáticas escolares. Conocer aspectos relevantes del estado actual de desarrollo de la Didáctica de las Matemáticas. Conocer las teorías didácticas actuales para la planificación, diseño y producción de secuencias efectivas de enseñanza de objetos matemáticos.

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UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA. CAPÍTULO 1. La Didáctica de la Matemática. Lección 1. El sustantivo didáctica. Lección 2. Historia de la matemática y su didáctica. Lección 3. Los contenidos de la didáctica. Lección 4. La didáctica de la matemática Lección 5. La didáctica de la didáctica de la matemática.

CAPÍTULO 2. Epistemología de la Didáctica de la Matemática. Lección 1. Aspectos básicos sobre la epistemología. Lección 2. Hacia una teoría de la didáctica de la matemática. Lección 3. Interpretaciones de la didáctica de la matemática. Lección 4. La investigación en didáctica de la matemática. Lección 5. Educación matemática y didáctica de la matemática.

CAPÍTULO 3. El Contrato Didáctico. Lección 1. Fundamentos del contrato didáctico. Lección 2. Reflexiones sobre el contrato didáctico. Lección 3. Acercamiento a la idea de contrato didáctico. Lección 4. El contrato didáctico desde otras perspectivas. Lección 5. El contrato didáctico desde la aproximación socioepistemológica.

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UNIDAD 2: ASPECTOS GENERALES DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA CAPÍTULO 1. Obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas. Lección 1. La teoría de los obstáculos. Lección 2. Obstáculos ontogenéticos. Lección 3. Obstáculos didácticos. Lección 4. Obstáculos epistemológicos. Lección 5. Obstáculos y errores.

CAPÍTULO 2. La Transposición Didáctica. Lección 1. El triángulo: maestro, estudiante, saber. Lección 2. ¿Por qué la transposición didáctica? Lección 3. ¿Qué es la transposición didáctica? Lección 4. La vigilancia epistemológica. Lección 5. Críticas a la transposición didáctica.

CAPÍTULO 3. La Teoría de las Situaciones Didácticas. Lección 1. Modelo de interacciones didácticas. Lección 2. Noción de situación didáctica. Lección 3. El contrato didáctico como situación. Lección 4. Lo didáctico y lo adidáctico Lección 5. Reflexiones finales.

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UNIDAD 3: EL CONOCIMIENTO BASE DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS CAPÍTULO 1. Didáctica y Currículo. Lección 1. Otras perspectivas teóricas y líneas de investigación relevantes. Lección 2. Otras investigaciones sobre currículo. Lección 3. Enfoques de la didáctica. Lección 4. Intervención Didáctica. Lección 5. Reflexiones Finales.

CAPÍTULO 2. Competencias Matemáticas. Lección 1. Matemáticas: Conocimiento y Competencias. Lección 2. Pensamiento variacional y de sistemas algebraicos y analíticos. Lección 3. Pensamiento métrico y sistemas de medida. Lección 4. Pensamiento aleatorio y sistema de datos. Lección 5. Una aproximación a los componentes de una competencia matemática.

CAPÍTULO 3. La planificación del profesor de matemáticas. Lección 1. Conocimiento profesional del profesor de matemáticas. Lección 2. Aproximaciones a la noción de currículo. Lección 3. Análisis didáctico. Lección 4. Organización para la planificación curricular. Lección 5. El análisis didáctico como procedimiento para organizar la enseñanza. Bibliografía.

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Estrategias Metodológicas: La metodología que se propone para el estudio de cada unidad, se enfoca en el autoaprendizaje, trabajo individual, pequeños grupos colaborativos o gran grupo. Se propondrán actividades de aprendizaje que inician con la fase de reconocimiento, las cuales realizará el estudiante en forma individual o grupal, en la fase de profundización se propondrán estrategias de demostración, axiomas, desarrollo de ejercicios y plantear situaciones de aprendizaje, en la lección evaluativa o evaluación del aprendizaje sobre las temáticas del curso, permiten evaluar el grado del manejo de los conceptos básicos sobre las generalidades de la didáctica de la matemáticas a desarrollar articuladas en las competencias planteadas en cada una de las unidades. Se trabajará la fase de transferencia proponiendo a los estudiantes solución de problemas contextualizados que se puedan presentar en una situación escolar, se realizarán en grupo y se socializarán a través de los foros y de los Wiki. A continuación se resumen las diferentes actividades de aprendizaje que realizan los estudiantes. Actividades de Reconocimiento de curso: 1. Revisión de presaberes: se refiere al diseño de situaciones didácticas a partir de las cuales se definen una serie de actividades para que a través de su desarrollo se evidencian los conocimientos previos que trae el estudiante. Después de aplicar esta evaluación, el tutor puede identificar el nivel académico de sus estudiantes y a los estudiantes le permitirá identificar sus conocimientos y vacíos con respecto a los conocimientos previos de las temáticas a tratar en el curso. Esta actividad debe desarrollarse desde el primer día de apertura de actividades académicas, de acuerdo al cronograma académico establecido y por un período máximo de 3 semanas, que coinciden con el cierre de la etapa de reconocimiento. 2. Reconocimiento del curso: Esta actividad tiene como objetivo el reconocimiento de la estructura y componentes del curso, para lo cual se toma necesariamente como objeto de estudio el protocolo académico del mismo. Se espera que el estudiante desarrolle un producto de calidad, en donde evidencie la apropiación que tiene del respectivo curso. El tutor deberá establecer el producto a entregar, fecha de entrega de acuerdo al cronograma académico establecido y los criterios de valoración o rúbrica para el producto a entregar. En la rúbrica se tienen que establecer los criterios y elementos que caracterizan esta actividad y el producto como el puntaje de la calificación respectiva, acorde con los estándares y puntajes predeterminados en el estándar. De acuerdo con el número de créditos, el curso tiene el mismo número de Unidades, en cada una de éstas se deben desarrollar las siguientes actividades: 1. Reconocimiento de cada una de las Unidades: se refiere al reconocimiento específico de la Unidad Didáctica. El Reconocimiento se realiza a través de una evaluación, que responderá cada uno de los estudiantes. Las preguntas formuladas, deben derivarse de un

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párrafo o contexto para que el estudiante, reconozca o identifique los tópicos o diferentes temáticas de la unidad. 2. Lecciones evaluativas: parte del estudio y análisis de un material sobre las temáticas a tratar en la unidad, es una actividad en línea que consta de preguntas formuladas derivadas del material y que el estudiante debe resolver de manera individual. Esta es una actividad de transferencia del conocimiento. 3. Quiz evaluativos: en esta actividad se profundiza sobre todas las temáticas tratadas en la unidad, su principal fuente de consulta es el contenido en línea y el módulo del curso. El estudiante debe resolver de manera individual todas las preguntas formuladas. 4. Trabajos colaborativos: El tutor a través de trabajo en gran grupo interactúa con el pequeño grupo colaborativo, con el fin de que haya transferencia del conocimiento, es decir, a partir de situaciones, solución de ejercicios, estudios de caso, etc., se aborde toda la temática a tratar en la unidad. Como producto de esta actividad, los estudiantes deberán elaborar en forma individual y luego grupal, una tarea planteada en la guía de actividades. Se debe entregar un solo producto por el grupo, no se aceptarán productos individuales. El tutor calificará el producto de acuerdo a una rúbrica de evaluación y dará la realimentación de manera individual y grupal. 5. Examen final: al finalizar el desarrollo de todas las actividades teniendo en cuenta la agenda del curso, el estudiante se presenta al examen final, donde se formulan preguntas de todas las temáticas tratadas en el curso. Hay fechas establecidas para la presentación de esta y cada una de las anteriores actividades, por lo cual se recomienda consultar constantemente la agenda del curso y noticias del aula. Teniendo en cuenta o anterior, el trabajo académico se realiza en tres momentos: 1. Fase de Reconocimiento: Se validan los conocimientos previos del estudiante. En forma individual se estudia del protocolo del curso. 2. Fase de Profundización: Se planifica el dominio de conceptos. (Trabajo personal: Estudio del material sugerido en el curso y fuentes documentales); (Trabajo en grupo: para socializar el trabajo personal); (Tutoría en grupo: Para solucionar las inquietudes del estudiante) y (Tutoría individual o acompañamiento al estudiante). 3. Fase de Transferencia: Se realizan evaluaciones, mapas conceptuales, talleres de aplicación y demás actividades en las fases del curso académico. En cada una de las anteriores fases, se encuentran ayudas o material de apoyo como: 1. Lecturas Previas: el estudiante realizará lecturas tratando de comprender, razonar y ejemplificar los contenidos, con ello tendrá una base de discusión para el desarrollo de las actividades en el curso virtual.

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2. Lecturas Complementarias: Las realizará el estudiante para profundizar las temáticas del curso, adicionalmente desarrolla la capacidad de consulta, ya sea a través de medios escritos o informáticos. 3. Plenarias Virtuales: Se realizarán webconferencias en las cuales hay necesidad de una puesta en común de los conceptos, se aclaran los conceptos y posiciones teóricas. 4. Trabajos Colaborativos: bajo la supervisión directa del docente, se desarrollarán actividades denominados trabajos colaborativos, a través de los cuales se solucionan problemas de aplicación a la temática respectiva de las unidades, capítulos y lecciones. Los estudiantes en grupos de trabajo plantearán las soluciones encontradas y se harán las revisiones pertinentes.

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UNIDAD UNO: INTRODUCCIÓN A LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

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CAPÍTULO 1. La Didáctica de la Matemática. Lección 1. El sustantivo didáctica. El sustantivo "didáctica" tiene como traducción en latín culto " ars docendi ” haciendo clara referencia a problemáticas relacionadas estrechamente con la actividad de enseñar. La referencia a este "ars" es particularmente sugestivo: de una parte es " artesanado” (eI docente que prepara y elige las lecciones, las formas, los ejemplos …) y de otra parte es " arte" (elección de las variables comunicativas, modalidades para capturar la atención, para motivar,...). La Didáctica de la Matemática como arte produjo, como veremos, resultados interesantes. El objeto del trabajo de este tipo de didáctica era esencialmente; la enseñanza de la matemática; y el objetivo principal era crear situaciones (bajo la forma de clases, actividades, objetos, ambientes. Juegos …) para una mejor enseñanza de la Matemática. La suposición más o menos explícita parecía ser la siguiente: si se mejora la enseñanza, mejorará también el aprendizaje, y la validez de dicha suposición se daba por descontada. El peso " artístico" de la actividad de la enseñanza, por lo tanto, recae completamente en los hombros del maestro. Sin embarco en el fondo de esta elección, se halla la convicción de que la atracción ejercida sobre la atención y sobre la motivación del estudiante son las condiciones esenciales para que éste último aprenda. 1 Etimológicamente, el término Didáctica procede del griego: didaktiké, didaskein, didaskalia, didaktikos, didasko (didaktike, didaskein, didaskalia, didaktikos, didasko). Todos estos términos tienen en común su relación con el verbo enseñar, instruir, exponer con claridad. Desde su origen en la antigüedad clásica griega, el sustantivo didáctica ha sido el nombre de un género literario. Precisamente aquel género que pretende enseñar, formar al lector. Y ésta es una intención presente en muchos escritores, como en Los Trabajos y los días, o la Teogonía de Hesíodo (citado por Benedito, 1986). Para Comenio, el autor más importante de los inicios de esta disciplina, con su obra Didáctica Magna, la Didáctica era “el artificio univers al para enseñar todas las cosas a todos, con rapidez, alegría y eficacia”. Luego esta palabra cayó en desuso, hasta que

en el siglo XIX Herbart y sus discípulos la resucitaron. Limitaban su contenido al conjunto de los medios educativos e instructivos para hacer efectivo el proceso de enseñanza. 2 Como campo del conocimiento la didáctica, es una disciplina subordinada a la Pedagogía, ya que como esta última encierra todo el campo de estudio de la educación, la didáctica le aporta todo el desarrollo teórico-práctico relacionado a los procesos de enseñanza. La pedagogía como ciencia encargada de estudiar la educación no solo se nutre de la didáctica sino también a su vez se nutre del currículo la Administración educativa, Sociología de la Educación, Historia de la Educación, Psicología Educacional, Filosofía de la educación entre otras. En cuanto a la clasificación interna de la Didáctica podríamos encontrar tres categorías, la primera denominada Didáctica General se ocupa de los principios generales y normas para dirigir el proceso de 1

Bases filosóficas, pedagógicas, epistemológicas y conceptuales de la didáctica de la matemática. Bru      Brousseau. http://books.google.com.co/books?id=CdhDIP8VF7YC&printsec=frontcover&hl=es#v=onepage&q&f=false. 2

Concepto De Didáctica. http://www.buenastareas.com/ensayos/Concepto-De-Didactica/5468264.html.

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enseñanza-aprendizaje hacia los objetivos educativos. Estudia los elementos comunes a la enseñanza en cualquier situación ofreciendo una visión de conjunto. También ofrece modelos descriptivos, explicativos e interpretativos generales aplicables la enseñanza de cualquier materia y en cualquiera de las etapas o de los ámbitos educativos. Aunque debe partir de realidades concretas, su función no es la aplicación inmediata a la enseñanza de una asignatura o a una edad determinada. Se preocupa más bien de analizar críticamente las grandes corrientes del pensamiento didáctico y las tendencias predominantes en la enseñanza contemporánea. 3 La segunda clasificación se denomina Didáctica Diferencial, Llamada también Diferenciada, puesto que se aplica más específicamente a situaciones variadas de edad o características de los sujetos. En el momento actual, toda la Didáctica debería tener en cuenta esta variedad de situaciones y hallar las necesarias adaptaciones a cada caso. Por tanto, estrictamente, la Didáctica Diferencial queda incorporada a la Didáctica General mientras ésta llegue a dar cumplida respuesta a los problemas derivados de la diversidad de la enseñanza en los estudiantes.4 En tercera instancia encontramos la Didáctica Especial o Didácticas específica o también llamada didáctica aplicada, Trata de la aplicación de las normas didácticas generales al campo concreto de cada disciplina o materia de estudio. Hoy día se utiliza también la denominación de Didácticas específicas, entendiendo que hay una para cada área distinta: Didáctica del lenguaje, de la matemática, de las ciencias sociales o naturales, de la expresión plástica, de la educación física, etc.5 Objeto de estudio y de intervención de la Didáctica: el proceso de enseñanza y aprendizaje El objeto material de la Didáctica es el estudio del proceso de enseñanza-aprendizaje. Y su objeto formal consiste en la prescripción de métodos y estrategias eficaces para desarrollar el proceso mencionado. Muchos autores consideran que el objeto de la Didáctica es –simplemente – la enseñanza o bien, como objeto formal, la instrucción educativa (Oliva, 1996, 58). En algunos casos, a ello añaden otros elementos, como Benedito (1987, 10), quien apunta también como el contenido semántico p ara Ferrández (1981, 68) el objeto formal de la Didáctica es “la actividad docente-discente con los métodos adecuados”. Otra manera de denominar el proceso comunicativo, bidireccional que tiene lugar en cada acto didáctico. O, dicho de otro modo: el proceso de enseñanza-aprendizaje que acontece cuando están en relación un docente y un discente (o más de uno) en la que el primero selecciona y utiliza diversos procedimientos, métodos o estrategias para ayudar a conseguir el aprendizaje del segundo. Zabalza (1990, 139) considera el amplio campo conceptual y operativo del que debe si la Didáctica es la disciplina que

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tiene por objeto el estudio del proceso de enseñanza y aprendizaje, éste será su objeto principal, pero no sólo de estudio, sino también su ámbito de actividad práctica. 6

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Lección 2. Historia de la matemática y su didáctica. 7 El considerar a un concepto matemático por medio de su evolución histórica y epistemológica requiere asumir posiciones comprometidas y significativas. Además, son problemas relevantes los relacionados con la interpretación, inevitablemente conducida a la luz de nuestros paradigmas culturales actuales mediante los cuales se ponen en contacto culturas “diferentes pero no inconmensurables” (Ra dford, Boero, Vasco, 2000, 165).

La actualidad didáctica del argumento introducido es evidente: los procesos de enseñanza – aprendizaje de la matemática están influenciados por las concepciones de los docentes sobre la naturaleza del conocimiento científico y de su evolución (Brickhouse, 1990; Hashweb, 1996) y de los cambios de convicciones ocurridos luego de la maduración alcanzada con reflexiones personales o, mejor, por ocasiones de fuerte confrontación teórica (D’Amore, Fandiño Pinilla,

2004; Bagni, 2005 por publicar). Una evolución histórica didácticamente propuesta desde un punto de vista moderno permitiría tal vez presentar a los estudiantes algunas posiciones históricas de la didáctica, cuya debilidad fue revelada sucesivamente; pero, por otro lado, un planteamiento que pretenda hacer seguir al desarrollo cognitivo un recorrido modelado en base a la evolución histórica encontraría notables dificultades teóricas (Werner, 1984; Radford, 1997). Bagni: Ludwig Wittgenstein (1956, IV, 52) escribió: “Incl uso quinientos años atrás podía existir una filosofía de la matemática; una filosofía de aquello que era la matemática en ese entonces”. ¿Eso

significa que la reflexión sobre la matemática y sobre la didáctica tiene que ser historizada? Radford: Aquí Wittgenstein distingue el trabajo del matemático del trabajo del filósofo. El filósofo, dice Wittgenstein, no hace matemática: juzga la matemática. Como todos los juicios, el del filósofo se ubica en un período histórico; por lo tanto, el filósofo juzga la matemática desde su propio tiempo. En este sentido, una filosofía de la matemática era posible hace 500 años y es posible aún ahora. El punto notable de la idea de Wittgenstein es el subrayar la distancia entre el filósofo y el matemático. Es esta distancia la que hace posible diferenciar un juego lingüístico (la matemática) del otro (la filosofía de la matemática). Ambos juegos lingüísticos son históricos, Wittgenstein nos lo dice. Y las relaciones entre éstos también lo son. Aunque yo no sea un apasionado de la idea de los juegos lingüísticos, por razones que surgirán en el curso de nuestra conversación, consideraré, para responder la pregunta, la didáctica de la matemática como un juego lingüístico. Así como la filosofía, la didáctica ofrece una nueva luz sobre la naturaleza de la matemática. Se trata de una luz diferente de aquella aportada por el filósofo, dado que el rol del didacta no es el de juzgar la matemática. Algunos están más interesados en el problema del desarrollo conceptual del pensamiento matemático (cfr., por ejemplo, el Capítulo 5 del ICMI Study sobre la historia y la didáctica de la matemática: Fauvel, van Maanen, 2000). Este problema nos lleva a considerar otros problemas, como la relación entre filogénesis y ontogénesis. Podemos entonces crear un juego lingüístico –que es, como todos los juegos lingüísticos, cultural e 7

D’Amore B., Radford L., Bagni GT. (2007). Obstáculos epistemológicos y perspectiva sociocultural Colleción “Cuadernos del Seminario en educación”. Bogotà: Universidad Nacional de Colom bia.

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de la matemática .


históricamente situado- que, sin llevar a un juicio, pueda proporcionar elementos de comprensión de la naturaleza de la matemática. No obstante, el problema es mucho más complicado de lo que puede parecer a primera vista. En efecto, dicho juego no puede jugarse sin comprometerse necesariamente con alguna conceptualización del desarrollo de la matemática y de las metodologías apropiadas para llevar a cabo el estudio de dicho desarrollo. Por ejemplo, muchos epistemólogos no aceptan la epistemología genética de Piaget; para estos epistemólogos la naturaleza y el desarrollo de la matemática no pueden ser esclarecidos con el estudio del pensamiento infantil. Nos enfrentamos aquí con la clásica oposición entre psicología y epistemología que fue parte del debate sobre los fundamentos de la matemática en los albores del siglo XX, un debate en el cual Wittgenstein decididamente tomó partido en contra de la psicología de su tiempo. D'Amore: Cuando cualquier reflexión humana adquiere la denominación de “disciplina”, significa

que se está historizando, es decir, que está asumiendo una dimensión de desarrollo que tiene como eje de apoyo al eje temporal. Primero, existen tantas teorías como practicantes; luego, se forman un vocabulario y unas prácticas comunes (Romberg, 1988). Cuando existe una práctica suficientemente compartida, nacen una meta-práctica y una reflexión sobre aquello que la disciplina permite construir. Esta reflexión, en un inicio, está hecha por los mismos seres humanos que desarrollaron las prácticas, luego puede ser realizada por otros. Una reflexión sobre la disciplina es ineludible y acompaña a cada disciplina, también a la matemática. En general, las didácticas se mantienen a la par de las disciplinas, pero el caso de la matemática es especial, en mi opinión. Parece implícita en la misma creación matemática la necesidad de comunicarla, y éste es el primer paso hacia su didáctica. Esto no significa que la matemática y la didáctica tengan que ser historizadas, sino que de hecho lo son. Sobre ambas, sin embargo, se pueden expresar juicios y valoraciones, y esto nos lleva a la frase de Wittgenstein. Existirán juicios y valoraciones sobre la matemática y existirán sobre la didáctica de la matemática; refiriéndose a temas diversos, a prácticas humanas diferentes, lenguas diferentes, objetivos diferentes; y sin embargo tendrán en común un sustrato que a ambas alimenta. La “historización” ocurre entonces separadamente, según la acepción de Feyerabend (2003, 120): la totalidad del conocimiento humano “es un

proceso histórico complejo y heterogéneo que contiene anticipaciones todavía vagas e incoherentes de futuras ideologías junto a sistemas teóricos muy sofisticados y a formas de pensamiento antiguas y fosilizadas. Algunos de sus elementos están disponibles en la forma de aserciones, escritas en forma clara y precisa, mientras otros están ocultos y adquieren notoriedad sólo por contraste, por comparación con opiniones nuevas e insólitas” (Feyerabend, 2003, 120). Para la matemática, el pasaje descrito por Feyerabend ocurrió siglos atrás, para la didáctica, en mi opinión, está en curso. Bagni: Parece importante, incluso fundamental, que un profesor de matemática, en cada nivel escolar, dialogue con la historia y la epistemología de la propia disciplina y logre emplear las referencias históricas conscientemente y coherentemente con las propias concepciones epistemológicas. Pero ¿Cómo es posible, para un profesor, acercarse a la historia? ¿Mediante fuentes secundarias? Y ¿Qué rol se sugiere reservar a la lectura de los textos originales? En particular, ¿Cómo se pueden tener correctamente en cuenta (Barbin, 1994) las concepciones de los estudiosos que, en los diferentes períodos históricos, se han encargado de las ediciones de las obras matemáticas consideradas?

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Radford: Una de las principales características de la aproximación histórico –cultural al pensamiento matemático que he descrito en años pasados es la componente histórica. Esto significa, entre otras cosas, que aquello que conocemos y el modo con el cual llegamos a conocerlo deben enmarcarse no sólo por medio de aquello que hacemos ahora y cómo lo hacemos, sino también por una inteligencia histórica que reposa en prácticas sociales, instituciones, lenguajes, artefactos, libros, monumentos , etc. No debemos perder de vista que el conocimiento y el conocer son ambos sostenidos por esta inteligencia histórica que hemos heredado de las generaciones pasadas. Este es el motivo por el cual los profesores, a mi parecer, deberían conocer al menos algo de la historia de la matemática. Pero esta afirmación mía no refleja sólo una posición “humanista” que contrasta con la agonía de un mundo postindustrial que lleva a la despersonalización. Ésta sostiene el estímulo político de hacernos conscientes del hecho de que no somos ni el producto exclusivo de nuestras actividades, ni el producto irrevocable de nuestras prácticas discursivas. La historia de la matemática (concebida no como una simple secuencia de eventos heroicos, con nombres y fechas) es un medio para comprendernos a nosotros mismos como seres históricos y comprender nuestra responsabilidad de educadores. Hasta qué punto y cómo los profesores tienen que adquirir familiaridad con la historia de la matemática es indudablemente una buena pregunta que no tiene una única respuesta. D'Amore: Existen fuentes “secundarias” de óptimo nivel, que inducen el gusto por las lecturas

directas (algunas las hemos recogido en: D'Amore, Speranza, 1989, 1992, 1995). A mí me sucedió, décadas atrás. No creo que un profesor deba necesariamente transformarse en un historiador de la matemática. Me parece fundamental que el profesor advierta la fuerte presencia de la transformación histórica de las teorías que enseña, que no las conciba como inmanentes, inmutables, definitivas. Debe además hacerse consiente del hecho de que las teorías se desarrollan y evolucionan sobre todo a causa de las prácticas humanas compartidas; que cada teoría es el resultado de aportes sociales, a pesar de que circula ampliamente la tendencia a hacer aparecer frecuentemente al individuo como un creador aislado, libre de condicionamientos (Radford, 1997, 2003b; Godino, Batanero,1994). A mi parecer es esencial que el profesor conozca a fondo, así sea a través estudios de fuentes de carácter indirecto, siempre que sean acreditadas, la historia y la epistemología de aquello que enseña, al menos por dos razones profesionales: a) enriquecimiento cultural, y b) entrar en contacto con las razones objetivas de la existencia de obstáculos epistemológicos (D'Amore, 2004). Entre los grandes beneficios didácticos concretos que advierto: una diversa evaluación de la acción del alumno (errores, mis concepciones, por ejemplo), una valoración diferente de la idea de rigor, un comportamiento diferente respecto a la comunicación matemática. Me parece además fundamental una aproximación social –sociológica a estos aspectos epistemológicos conceptuales, que restituyan a nuestra disciplina aquel ser suyo, que se originaba en las actividades humanas, ese ser compartido, discutido, comunicado, transmitido, usado en contextos culturales diversos, en situaciones diacrónicas y sincrónicas. Bagni: De acuerdo con la aproximación socio-cultural, el conocimiento está relacionado con las actividades en las cuales los sujetos se ocupan (Radford, 1997, 2003a, 2003b) y esto debe ser considerado en relación con las instituciones culturales del contexto que se esté estudiando. Desde este punto de vista ¿Cómo consideran, hoy, los obstáculos epistemológicos?

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D'Amore: Substancialmente, no creo que la base histórica de la idea de obstáculo epistemológico enunciada en los años 70 por Brousseau sea debilitada en sus fundamentos por estas consideraciones de Radford que, de otro lado, comparto del todo. Precisamente para discutir sobre este punto, los invité a ambos a Suiza en el 2004 y el resultado del coloquio entre los tres me ha convencido profundamente. Ciertamente, la concepción de obstáculo epistemológico cada vez parece más un constructo teórico al cual hacer referencia, que un medio de análisis para intervenciones didácticas; éste ya no parece aislado de otras formas de explicación objetiva de los resultados de los procesos de enseñanza –aprendizaje, como lo era en los años '80 (D'Amore, 2003b). El obstáculo epistemológico ya no sólo resulta fuertemente vinculado a factores conceptuales sino a factores sociales, en los cuales la historia “pura” de la matemática entra en

contacto con las historias de las prácticas humanas (D'Amore, 2005a). Lo que continúa gustándome mucho de la presentación clásica de Brousseau sobre el obstáculo epistemológico, es el ser expresión de conocimiento y no de ausencia de conocimiento. Este punto, no sólo me ha fascinado y convencido siempre, sino que me ha sido muy útil en las investigaciones de microdidáctica en el aula. Me ha servido además como base de apoyo para reflexiones arriesgadas, como aquella revisión semántica del término “mis concepción” (D'Amore, Sbaragli, 2005).

Ciertamente, relacionar la idea de obstáculo epistemológico con factores provenientes de las prácticas sociales, conlleva hoy a una revisión de aquello que ayer fundamentó toda la teoría de los obstáculos; pero de otro lado, toda teoría, primero o después, debe ser revisada.

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Lección 3. Los contenidos de la didáctica. 8 Para quien se acerque por primera vez a la Didáctica de una manera sistemática vamos a dar algunas breves indicaciones. El lector comprobará que muchas cosas le resultan familiares. Quien más, quien menos, ha pasado los mejores años de su vida o, al menos los años con menos preocupaciones, en aulas infantiles, primarias y secundarias. Todo el quehacer de estos años, así como la labor humana, técnica y profesional de maestros y profesores, estaba basado en la Didáctica. Esta es una idea bastante sencilla para aproximarnos a nuestro objeto de estudio: si estimulamos nuestro recuerdo podemos rememorar centenares de situaciones didácticas que hemos vivido. Por eso hemos dicho que la Didáctica nos debe resultar familiar, aun sin haberla estudiado todavía. Después de esta iniciación deberíamos estar en situación de comprender mucho mejor unos procesos que tienen lugar constantemente cuando alguien aprende y alguien enseña. Sorprendentemente, la Didáctica no se agota en las aulas escolares, ni siquiera en las situaciones formales de enseñanza. Hay formación y por tanto posibilidad de estudio didáctico siempre que haya alguien en proceso de aprender algo: desde los aprendices de un oficio manual, hasta el que se inicia en un arte, un deporte, una técnica, un programa de informática, etc. Por esta razón, es recomendable iniciar sin prejuicios ni ideas preconcebidas el estudio de la Didáctica. Recordar las situaciones en las que hemos estado aprendiendo –como esta misma situación actual- y al mismo tiempo, tener la mente abierta a otras posibilidades distintas: aprendizaje adulto, autoaprendizaje, enseñanza a distancia, aprendizaje en grupo, en contextos menos formales, etc.

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Si miramos la primera serie de recuadros, los más próximos a la palabra Didáctica, tendremos los apartados principales del capítulo. Mientras que si nos fijamos en los recuadros más distantes, los de la derecha, y si los leemos consecutivamente de manera verticalmente, obtendremos una primera definición de la Didáctica. Hoy el término Didáctica está completamente extendido en todo el ámbito europeo continental y países de su órbita cultural. En Alemania, Francia, Italia, España e Iberoamérica goza de una gran tradición y desarrollo. Pertenece al léxico culto generalizado. Al mismo tiempo, hay que destacar que el término es poco usado en todo el territorio anglosajón, aunque no así su contenido. Al mismo contenido se le aplica el nombre de enseñanza o el de aprendizaje, según el punto de vista. Y hoy tiende a coincidir, por una superposición del campo abarcado, con el término currículum. Entre tantas definiciones, una de la más simple y no menos acertada podría ser la de Dolch (1952): "Ciencia del aprendizaje y de la enseñanza en general". Nos dice claramente de qué trata, cuál es su objeto, sin añadir nada más. Fernández Huerta (1985, 27) apunta que la "Didáctica tiene por objeto las decisiones normativas que llevan al aprendizaje gracias a la ayuda de los métodos de enseñanza". Escudero (1980, 117) insiste en el proceso de enseñanza-aprendizaje: "Ciencia que tiene por objeto la organización y orientación de situaciones de enseñanzaaprendizaje de carácter instructivo, tendentes a la formación del individuo en estrecha dependencia de su educación integral". Por tanto, a la vista de lo anterior, podemos apuntar ya que la Didáctica es la ciencia de la educación que estudia e interviene en el proceso de enseñanza-aprendizaje con el fin de conseguir la formación intelectual del educando. El aspecto teórico de la Didáctica está relacionado con los conocimientos que elabora sobre los procesos de enseñanza y de aprendizaje. Mientras que su aspecto práctico consiste en la aplicación de aquellos conocimientos, en la intervención efectiva en los procesos reales de enseñanza-aprendizaje. La Didáctica es una ciencia práctica, de intervención y transformadora de la realidad. Hemos comprobado en los elementos comunes a las definiciones de la mayoría de los autores, que la consideran como una ciencia o una tecnología y algunos, como un arte. Y es que algo tiene de cada uno de estos puntos de vista. La Didáctica tiene un carácter explicativo. Como toda ciencia, la Didáctica explica los fenómenos que se relacionan con su objeto (el proceso de enseñanza-aprendizaje) en términos de leyes y principios que se van superando sucesivamente. En efecto, describe los fenómenos: cómo son, en qué circunstancias se dan. Y explica su esencia o razón de ser. Pero falla a veces en la claridad y en la precisión de las explicaciones. Este carácter abierto de la Didáctica se traduce en la provisionalidad de sus postulados, encontrándose con los conocimientos en continua revisión por parte de aquellos que deben aplicarlos.

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Para Rogers, la Didáctica es el arte y la técnica de orientar el aprendizaje. Casi con las mismas palabras, Mattos (1974, 39) se refiere a enseñar como "incentivar y orientar con técnicas apropiadas el proceso de aprendizaje de los alumnos en la asignatura". Si se trata de planificar documentos curriculares, ayudas para la programación didáctica o bien las programaciones mismas, en cualquier caso se trata de coadyuvar a la adquisición de aprendizajes en los alumnos. Es clave, por tanto, tener ideas básicas sobre este concepto. Hoy es mucho más importante que el de enseñanza. El maestro puede enseñar, pero todo puede ser inútil si el alumno no aprende. La tarea didáctica ya no consiste sólo en enseñar, sino en crear las condiciones para que los alumnos aprendan. Y, ¿qué entendemos por aprender? Entendemos que es realizar un proceso en el que tiene lugar un cambio o modificación de la conducta, persistente, normalmente positivo para el organismo y como consecuencia de algún agente exterior a la persona que aprende. "El aprendizaje es un proceso de modificación en el comportamiento, incluso en el caso de que se trate únicamente de adquirir un saber" (Correll, 1969, 15).

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A partir de la figura anterior, contrastaremos los elementos propios de una Didáctica centrada en la enseñanza con los de una Didáctica centrada en el aprendizaje, en la que cobra mucha más importancia la figura del sujeto que aprende.

La Didáctica presenta una doble finalidad, tal como han puesto de manifiesto la mayoría de los autores, especialmente Zabalza (1990, 54), Bolívar (1995, 110) o Uljens (1997, 112). La primera finalidad, como ciencia descriptivo-explicativa, representa una dimensión teórica. La segunda, como ciencia normativa, es su aspecto práctico aplicado y consiste en la elaboración de propuestas para la acción. Quedó claro en el apartado correspondiente que no es posible separar ambas dimensiones. La teoría y la práctica se necesitan mutuamente en el caso de la Didáctica. Sería inimaginable la una sin la otra.

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Lección 4. La didáctica de la matemática. 9 Del estudio de las corrientes epistemológicas se desprende que las teorías científicas no pueden ser realizaciones individuales ni hechos aislados; debe haber una comunidad de personas entre las que exista un acuerdo, al menos implícito, sobre los problemas significativos de investigación y los procedimientos aceptables de plantearlos y resolverlos. Es preciso compaginar la autonomía personal en la elaboración de ideas y conceptos nuevos con la necesidad de que estas ideas sean contrastadas y compartidas. Las teorías son pues frutos o consecuencias de las líneas de investigación sostenidas por una comunidad más o menos grande de especialistas en un campo determinado. Romberg (1988), de acuerdo con los requisitos exigidos por Kuhn para que un campo de investigación se encuentre en el camino hacia la "ciencia normal", afirma que es necesario que se den las siguientes circunstancias: 1. Debe existir un grupo de investigadores con intereses comunes acerca de las interrelaciones existente entre distintos aspectos de un fenómeno complejo del mundo real. Por tanto, debe haber una cuestión central (o dominio) que guíe el trabajo de dicha comunidad particular de especialistas. 2. Las explicaciones dadas por la teoría deben ser enunciados sobre la causalidad, de modo que sea posible realizar predicciones acerca del fenómeno. 3. Los enunciados se hacen según un vocabulario y una sintaxis sobre la que el grupo está de acuerdo. Existen, además, unos procedimientos aceptados por el grupo de investigadores para probar los enunciados, esto es, para aceptar o rechazar las proposiciones. Los conceptos, proposiciones y teorías de las ciencias se distinguen de los constructos no científicos en que satisfacen los criterios marcados por las reglas del método científico y del razonamiento lógico y están aceptados por las comunidades científicas. Desde nuestro punto de vista, la exigencia de que exista una comunidad de especialistas que compartan una red de hipótesis y concepciones acerca del planteamiento de los problemas y de los métodos aceptables de resolución, esto es, un único paradigma en el sentido de Kuhn, nos parece demasiado fuerte. Como argumenta Shulman (1986), para el caso de las ciencias sociales y humanas y, por tanto, para la Educación Matemática, la coexistencia de escuelas competitivas de pensamiento puede verse como un estado natural y bastante maduro en estos campos ya que favorece el desarrollo de una variedad de estrategias de investigación y el enfoque de los problemas desde distintas perspectivas. La complejidad de los fenómenos puede precisar la coexistencia de distintos programas de investigación, cada uno sustentado por paradigmas diferentes, con frecuencia mezcla de los considerados como idóneos para otras disciplinas. El enfoque epistemológico de Bunge (1985a), con su concepción de haces de líneas de investigación competitivas en un campo científico, parece más apropiado para valorar el estado actual del campo de la Didáctica de la Matemática. 9

Perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas como Disciplina Tecnocientífica. Departamento de Didáctica de la Matemática.

Universidad de Granada. Septiembre, 2010. Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino.

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Al reflexionar sobre la posibilidad de construir un "área de conocimiento", que explique y sirva de fundamento a la comunicación y adquisición de los contenidos matemáticos, observamos que las didácticas especiales aparecen frecuentemente clasificadas como "capítulos" o enfoques diferenciales de la didáctica, negándoles el calificativo de ciencias de la educación propiamente dichas (Benedito, 1987, p. 91). De este modo, estos autores las reducen a meros conocimientos técnicos, o a la sumo tecnológicos, ya que el saber científico pertenecería al ámbito de la didáctica (general) o a la psicología de la educación. La interconexión entre la didáctica (general) y especiales puede clarificarse teniendo en cuenta el análisis que hace Bunge (1985a, p. 181) de la relación teoría general y teoría específica. Según explica este autor, una teoría general, como indica su nombre, concierne a todo un género de objetos, en tanto que una teoría específica se refiere a una de las especies de tal género. Por cada teoría general G hay entonces toda una clase de teorías especiales E, donde i es un número natural. Cada una de estas teorías especiales E i contiene la teoría general G y, además, ciertas hipótesis subsidiarias S ij que describen las peculiaridades de la especie i de objetos a que se refiere. Simbólicamente se puede representar,

donde n es el número de hipótesis subsidiarias que caracterizan a la teoría específica E i con respecto a la general G. Suele decirse que la teoría general "abarca" a cada una de las teorías específicas correspondientes, en el sentido de que éstas se obtienen con sólo agregarle a G ciertas premisas específicas. Pero, como Bunge afirma, es falso. Aunque se lea a menudo, que G contenga o implique a todas las teorías específicas E, más bien es al revés. G se obtendría como la parte común (intersección) de todos los E. En otras palabras: dado un conjunto de teorías específicas, se puede extraer de éstas una teoría general con sólo suprimir todas las premisas particulares y dejar las suposiciones comunes a todas las teorías específicas. Existen teorías generales del aprendizaje y teorías de la enseñanza. Pero, cabe preguntarse ¿aprendizaje de qué?; ¿enseñanza de qué? Los fenómenos del aprendizaje y de la enseñanza se refieren a conocimientos particulares y posiblemente la explicación y predicción de estos fenómenos depende de la especificidad de los conocimientos enseñados, además de factores psicopedagógicos, sociales y culturales. Esto es, los factores "saber a aprender" y "saber a enseñar" pueden implicar interacciones con los restantes, que obligue a cambiar sustancialmente la explicación de los fenómenos didácticos. La programación de la enseñanza, el desarrollo del currículo, la práctica de la Educación Matemática, precisa tener en cuenta esta especificidad. La insuficiencia de las teorías didácticas generales lleva necesariamente a la superación de las mismas mediante la formulación de otras nuevas, más ajustadas a los fenómenos que se tratan de explicar y predecir. Incluso pueden surgir nuevos planteamientos, nuevas formulaciones más audaces que pueden revolucionar, por qué no, los cimientos de teorías establecidas.

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El marco estrecho de las técnicas generales de instrucción (o incluso de la tecnología) no es apropiado para las teorías que se están construyendo por algunas líneas de investigación de la Didáctica de las Matemáticas. El matemático, reflexionando sobre los propios procesos de creación y comunicación de la matemática, se ha visto obligado a practicar el oficio de epistemólogo, psicólogo, sociólogo,... esto es, el oficio de didacta.

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Lección 5. La didáctica de la didáctica de la matemática. 10 Por su parte, Escudero (1981:9) afirma que la Didáctica de la Matemáticas está referida a la ciencia del desarrollo de planificaciones realizadas en la enseñanza de las Matemáticas. Los objetos que intervienen son: estudiantes, contenidos matemáticos y agentes educativos. Sus fuentes de investigación son los alumnos, situaciones de enseñanza-aprendizaje, puesta en juego de una situación Didáctica y los fenómenos didácticos. Tiene como objetivo observar la producción de los alumnos y analizarla desde tres puntos de vista: estructura Matemática, estructura curricular y estructura cognitiva y operacional. La Didáctica de la Matemática como ciencia no aparece como un cuerpo que pueda estudiarse en forma secuencial, sino que abarca, desde distintos puntos de vista, todo un campo de problemas que se refieren al ―triángulo didáctico : alumno-saber-maestro es elevar la calidad del proceso de enseñanza- aprendizaje de la Matemática y determina la necesidad de un conjunto de acciones que contribuyen al cumplimiento de los objetivos propuestos; debe tener en cuenta su carácter básico y su independencia entre sus virtudes, su indudable aporte para desarrollar las capacidades de razonamiento, utilidad, su poder explicativo, y su creación Matemática. Chevallard (1991) sostiene que la Didáctica de la Matemática es elevar la calidad del proceso de enseñanza- aprendizaje de la Matemática, y determina la necesidad de un conjunto de acciones que contribuyen al cumplimiento de los objetivos propuestos; debe tener en cuenta su carácter básico y su independencia entre sus virtudes, su indudable aporte para desarrollar las capacidades de razonamiento, utilidad, su poder explicativo, y su creación Matemática. Se trata de consolidar la formación Matemática de manera que permita dominar los contenidos básicos, conocer, saber utilizar y valorar los materiales, recursos y medios cuya utilización sea de ayuda para favorecer una enseñanza y aprendizaje significativo de la Matemática.

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Didáctica de la Matemática Basada en el Diseño Curricular de Educación Inicial. María Eugenia Gómez Naranjo. Departamento

Didáctica General, Específica y Teoría de la Educación. Universidad de León. 2012.

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CAPÍTULO 2. Epistemología de la Didáctica de la Matemática. Lección 1. Aspectos básicos sobre la epistemología. 11 Al parecer, el primero en haber utilizado el término epistemología pudo ser J. F. Ferrier (Institutes of Metaphysics 1854). Sin embargo, en Alemania existía, por lo menos desde 1791, la expresión “Teoría del conocimiento”, que es lo que etimológicamente designa el vocablo forjado con

componentes griegos. Epistemología es la rama de la filosofía que estudia el origen, la estructura, los métodos y la validez del conocimiento, dice el Diccionario de Filosofía, de Runes. Una buena descripción de epistemología de la matemática es la de conocimiento del conocimiento matemático, donde desde luego, conocimiento desempeña el papel que le corresponde en dos niveles diferentes. Así, epistemología toma un cariz crítico, que no ha de causar extrañeza dado que la filosofía es ante todo un cuestionamiento de cuanto tenga que ver con las creaciones humanas. No hay acuerdo en cuanto a las partes de la epistemología, dado que los puntos que se analizan difieren según la disciplina que se estudia. Así, al tratar la epistemología de la matemática es preferible enfocar los siguientes cinco aspectos: génesis, estructura, función, método y problemas. Se hace, en seguida, un somero comentario acerca de cada uno de ellos. Se menciona, inicialmente, la historia de los primeros indicios de matemática. Las sociedades humanas incipientes se desarrollan si se organizan. La distribución de tareas, de contribuciones, de tierras, de granos da origen a la aritmética y a una geometría “para las necesidades del comercio” como decían despectivamente los griegos más ilustres. Así fue en el centro de Europa, en Mesopotamia, en Egipto, en India, en China, en el México de aztecas o de mayas, o en el Perú de los incas. Difícil establecer la antigüedad de tales procedimientos utilitarios. Puede aseverarse que surgen en cada una de tales civilizaciones según su peculiar capacidad práctica y de interiorización. Solamente, los griegos pensaron realmente en una organización secuenciada de tales conocimientos. Supuestos algunos de ellos, los griegos logran obtener los demás, mediante reglas fijas que paulatinamente van a constituir la lógica. Quizá fue más capital para la constitución de la matemática el que, ateniéndose a tales reglas fijas, los griegos alcanzan conocimientos de los que no disponían. Estos dos pasos primordiales impulsaron el desenvolvimiento de los principios hasta convertirse en un procedimiento inagotable. Cada nuevo conocimiento va sugiriendo nuevas cuestiones interesantes. Cuando no haya más preguntas en una vertiente determinada, la rama correspondiente de la matemática se extingue. El segundo aspecto epistemológico tiene que ver con la estructuración que hayan alcanzado las respuestas a una secuencia de cuestiones. Actualmente, el enfoque más sistemático de lo que se 11

Acerca de la Epistemología de la Matemática. Alberto Campos. Universidad Nacional. Bogotá.

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conocía en matemática hacia mediados del siglo XX, es el expuesto mediante estructuras matemáticas por la escuela francesa llamada Bourbaki. El tercer aspecto epistemológico tiene que ver con la función de la matemática. Los seres humanos aprenden para desempeñarse convenientemente en la sociedad en la que conviven. Diversos adiestramientos están a la disposición de individuos de un conglomerado, generalmente con capacidades muy diferentes: literarios, artísticas, manuales, artesanales, filosóficas, altamente técnicas algunas, otras eminentemente prácticas. Entre las habilidades que requieren un dominio más refinado por la precisión con la que hay que aplicar sus procedimientos está la matemática. Es una actividad, por excelencia, educativa; empero, no es la única; puede ser mucho más agradable lograr la maestría en ajedrez; no obstante, la matemática, que posee también un cariz lúdico, es utilizable en grado sumo en diversas tareas que hay que resolver para la organización de una sociedad; es la razón de que la matemática sea asignatura indispensable en todo plan de estudios y no lo sea el ajedrez. Una de las posibilidades de la comunicación entre los seres humanos, es la de ocuparse de enunciados que se siguen necesariamente de enunciados anteriores. A ello se dedica la matemática. Su preocupación mayor, no son las cosas como son, ello lo estudian otras ciencias, sino las cosas como deben ser, si se prefijan ciertas reglas. Estos barrimtos de argumentación llevan a mostrar que la matemática en un plan de estudios no es cuestión de lujo o de elección de elites sino instrumento de trabajo indispensable mirando a la sociedad humana desde diversos ángulos. Un cuarto aspecto es el método, igualmente desde diferentes puntos de vista. El universal que indagaba Descartes para conducir bien su razón y para perquisicionar con éxito en la filosofía y en las ciencias. Un matemático, en principio, ha de ocuparse o en enseñar su ciencia o en resolver problemas que pueden ser de poca o de mucha dificultad. Los de poca, tienen métodos conocidos de solución; para los de gran dificultad puede que haya que inventar la manera de resolverlos. Por otra parte, Hilbert mismo consideraba paradigmática, es decir, digna de imitación, la actitud del matemático frente a una dificultad. Lo mismo han pensado lógicos como Russell. Y diferentes filósofos elaboraron sus sistemas mirando de reojo hacia la matemática. En particular Kant discurrió ampliamente acerca de la constitución misma de la matemática para poder decidir sobre su pregunta capital de si la metafísica es ciencia, así como de la posibilidad para la filosofía de inspirarse en los métodos eficientes de la matemática con el fin de que en metafísica no se contentaran con crecimientos como los de la espuma sino que persiguieran adquisiciones duraderas, como Elementos, de Euclides. Finalmente, hay el aspecto de los problemas. Los hay estrictamente epistemológicos: fundamento lógico, pérdida de la certidumbre, naturaleza de la demostración, relación entre matemática y experiencia, estatuto ontológico de los entes matemáticos. Igualmente digna de consideración epistemológica es la actitud del matemático al hacer consistir su ciencia en el desenvolvimiento de ella mediante solución de problemas, según la concepción de Hilbert. Cuán lejos está el profano en matemática de entender lo que hace todo el día el matemático cuando lo considera inactivo

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porque el profano cree que la matemática se reduce a aquellas operaciones en las que solía naufragar en sus años de educación básica y media. Si solo eso fuera la matemática, más valdría que no existiera. Nociones de epistemología o filosofía de la matemática son indispensables para los matemáticos en menesteres más allá de los de “definición, teorema, demostración”. Preguntas capitosas de su actividad: ¿Cómo llegué hasta la matemática? ¿Por qué continuó en ella? ¿Cuál es la función social o académica de mi actividad como docente o como investigador? ¿Cuáles son los problemas, que no puedo obviar, en cuanto al alcance del conocimiento matemático? ¿Cuáles son los límites de mi ciencia? ¿Cuál es la posición de la matemática entre las otras ciencias?

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Lección 2. Hacia una teoría de la didáctica de la matemática. 12 Dentro de la comunidad de investigadores que, desde diversas disciplinas, se interesan por los problemas relacionados con la Educación Matemática, se ha ido destacando en los últimos años, principalmente en Francia -donde sobresalen los nombres de Brousseau, Chevallard, Vergnaud,...- un grupo que se esfuerza en una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de investigación específicos en Didáctica de la Matemática. Fruto de este esfuerzo ha surgido una concepción llamada por sus autores "fundamental" de la Didáctica que presenta caracteres diferenciales respecto a otros enfoques: concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la matemática y a teorías específicas de aprendizaje y búsqueda de paradigmas propios de investigación, en una postura integradora entre los métodos cuantitativos y cualitativos. Como característica de esta línea puede citarse el interés por establecer un marco teórico original, desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando las situaciones de enseñanza aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemológicas, sociales y cognitivas y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor, dentro del contexto particular de la clase. El estudio de las relaciones complejas entre la enseñanza y el aprendizaje, en aquellos aspectos que son específicos de las matemáticas, queda concretado por Laborde (1989) en estas dos cuestiones: (1) ¿Cómo podemos caracterizar las condiciones que deben implementarse en la enseñanza para facilitar un aprendizaje que reúna ciertas características fijadas a priori? (2) ¿Qué elementos debe poseer la descripción de un proceso de enseñanza para asegurar que pueda ser reproducido desde el punto de vista del aprendizaje que induce en los alumnos? Un criterio básico que guía la investigación de estas cuestiones es la determinación del significado del conocimiento matemático que se desea, a priori, que construyan los alumnos y del que realmente alcanzan durante el proceso de enseñanza. Como afirma Laborde (1989), existe un amplio consenso sobre el requisito metodológico de utilizar la experimentación en una interacción dialéctica con la teoría. El paradigma experimental es concebido dentro de un marco teórico y las observaciones experimentales son comparadas con el marco, pudiendo ser modificado éste a la luz de la consistencia de los conceptos desarrollados y la exhaustividad en relación a todos los fenómenos relevantes. Concepción de la Didáctica de la Matemática; enfoque sistémico.

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Perspectiva de la Didáctica Didáctica de las Matemáticas como Disciplina Tecnocientífica. Departamento de Didáctica de la Matemática.

Universidad de Granada. Septiembre, 2010. Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino http://www.ugr.es/local/jgodino..

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En Brousseau (1989, p. 3) se define la concepción fundamental de la Didáctica de la Matemática como: "una ciencia que se interesa por la producción y comunicación de los conocimientos matemáticos, en lo que esta producción y esta comunicación tienen de específicos de los mismos". Indicando, como objetos particulares de estudio: - las operaciones esenciales de la difusión difusión de los conocimientos, las condiciones de esta difusión y las transformaciones que produce, tanto sobre los conocimientos como sobre sus utilizadores; - las instituciones y las actividades que tienen tienen por objeto facilitar estas operaciones. Los didactas que comparten esta concepción de la Didáctica relacionan todos los aspectos de su actividad con las matemáticas. Se argumenta, para basar ese enfoque, que el estudio de las transformaciones de la matemática, bien sea desde el punto de vista de la investigación o de la enseñanza siempre ha formado parte de la actividad del matemático, de igual modo que la búsqueda de problemas y situaciones que requiera para su solución una noción matemática o un teorema. Una característica importante de esta teoría, aunque no sea original ni exclusiva, es su consideración de los fenómenos de enseñanza - aprendizaje bajo el enfoque sistémico. Bajo esta perspectiva, el funcionamiento global de un hecho didáctico no puede ser explicado por el estudio separado de cada uno de sus componentes, de igual manera que ocurre con los fenómenos económicos o sociales. Chevallard y Johsua (1982) describen el SISTEMA DIDACTICO en sentido estricto formado esencialmente por tres subsistemas: PROFESOR, ALUMNO y SABER ENSEÑADO. Además está el mundo exterior a la escuela, en el que se hallan la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etc. Pero, entre los dos, debe considerarse una zona intermedia, la NOOSFERA, que, integrada al anterior, constituye con él el sistema didáctico en sentido amplio, y que es lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por las que se realiza la articulación entre el sistema y su entorno. La noosfera es por tanto "la capa exterior que contiene todas las personas que en la sociedad piensan sobre los contenidos y métodos de enseñanza". Brousseau (1986) considera, además, como componente el MEDIO que está formado por el subsistema sobre el cual actúa el alumno (materiales, juegos, situaciones didácticas, etc.).

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Lección 3. Interpretaciones de la didáctica de la matemática. 13 En esta lección trataremos de realizar una reflexión final acerca de la naturaleza e interpretaciones de este campo como área de conocimiento. ¿Se trata de un saber meramente práctico, una tecnología fundada y dependiente de otras ciencias, o, por el contrario, existen problemas cuyas características requieren un nivel de análisis teórico y una metodología propia de un verdadero saber científico? Esta reflexión epistemológica, que es esencial para orientar adecuadamente la investigación didáctica, ya que condiciona la formulación de las cuestiones centrales de la misma (Godino, 1990; 1996), apenas ha sido tratada en la bibliografía. Destaca, sin embargo, el trabajo de Brousseau (1989) con el significativo título "La tour de Babel" y las ideas de Steiner, que a continuación exponemos. Ante la extrema complejidad de los problemas de la Educación Matemática, Steiner (1985) ( 1985) indica que se producen dos reacciones extremas: - los que afirman afirman que la la Didáctica de la Matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte; - los que, pensando que es posible la existencia de la Didáctica como ciencia, reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial (análisis del contenido, construcción del currículo, métodos de enseñanza, desarrollo de destrezas en el alumno, interacción en el aula,...) al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. De manera parecida se expresa Brousseau (1989) indicando una primera acepción de la Didáctica de la Matemática, que consiste en la identificación de la didáctica como el arte de enseñar - conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer, en nuestro caso, la matemática. Brousseau (1989), sin embargo, distingue dos concepciones de carácter científico que denominaremos concepción pluridisciplinar aplicada y concepción autónoma (calificada por Brousseau como fundamental o matemática). Como bisagra entre estos dos grupos se distingue también una concepción tecnicista, para la que la didáctica serían las técnicas de enseñanza, "la invención, descripción, estudio, producción y el control de medios nuevos para la enseñanza: currícula, objetivos, medios de evaluación, materiales, manuales, logiciales, obras para la formación, etc." En el punto de vista que hemos denominado concepción pluridisciplinar de la didáctica, que coincidiría con la segunda tendencia señalada por Steiner, ésta aparece como una etiqueta 13

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cómoda para designar las enseñanzas necesarias para la formación técnica y profesional de los profesores. La Didáctica como área de conocimiento científico sería "el campo de investigación llevado a cabo sobre la enseñanza en el cuadro de disciplinas científicas clásicas", como son: la psicología, la semiótica, sociología, lingüística, epistemología, lógica, neurofisiología, pedagogía, pediatría, psicoanálisis,... En este caso, la naturaleza del conocimiento didáctico sería el de una tecnología fundada en otras ciencias. La concepción autónoma tiende a integrar todos los sentidos precedentes y a asignarles un lugar en relación a una teoría unificadora del hecho didáctico, cuya fundamentación y métodos serían específicos, pretendiendo una justificación endógena. Dicha concepción pudiera ser el comienzo de una respuesta a la necesidad señalada por Steiner "de una base teórica que nos permita una mejor comprensión e identifique las diversas posiciones, aspectos e intenciones que subrayan las diferentes definiciones de Educación Matemática en uso, para analizar las relaciones entre estas posiciones y conjuntarlas en una comprensión dialéctica del campo total". (Steiner, 1985, pg.11). En la escuela francesa de Didáctica se observa una aspiración de construir un área de estudio científico propio que no esté encorsetado y dependiente del desarrollo de otros campos científicos, no siempre consistentes. Contrasta este objetivo con la postura de Steiner quien no es partidario de insistir en la búsqueda de teorías internas (home-theories) ya que ve en ellas un peligro de restricciones inadecuadas. La naturaleza del tema y sus problemas reclama una aproximación interdisciplinar y considera erróneo no hacer un uso significativo del conocimiento que otras disciplinas ya han producido sobre aspectos específicos de aquellos problemas. En el trabajo ya citado, Steiner afirma que la Educación Matemática debe tender hacia lo que Piaget llama transdisciplinariedad, que cubriría no solo las interacciones o reciprocidades entre proyectos de investigación especializados, sino que situaría estas relaciones dentro de un sistema total sin límites fijos entre disciplinas. Lesh y Sriramn (2010, p. 124) reflexionan también sobre la naturaleza del campo de investigación de la educación matemática. ¿Deberían los educadores matemáticos pensar sobre sí mismos como siendo psicólogos educativos aplicados, psicólogos cognitivos aplicados, o científicos sociales aplicados? ¿Se deberían considerar como los científicos en el campo de la física, o de otras ciencias puras? ¿O más bien se deberían considerar como ingenieros u otros científicos orientados al diseño, cuya investigación se apoya sobre múltiples perspectivas prácticas y disciplinares – y cuyo trabajo está guiado por la necesidad de resolver problemas reales como también por la necesidad de elaborar teorías relevantes? La posición defendida por estos autores es considerar la educación matemática en este último sentido, o sea, como una ciencia orientada al diseño de procesos y recursos para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Del análisis realizado de las características de la didáctica de las matemáticas nos lleva a pensar que se trata de una disciplina tecnocientífica. Se entiende por Tecnociencia, ―Un sistema de

acciones regladas, informacionales y vinculadas con la ciencia, la ingeniería, la política, la empresa, los ejércitos, etc. Dichas acciones son llevadas a cabo por agentes con ayuda de instrumentos y están intencionalmente orientados a la transformación de otros sistemas con el fin

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de conseguir resultados valiosos evitando consecuencias y riesgos desfavorables‖ (Echeverría, 2003).

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Lección 4. La investigación en didáctica de la matemática. 14 Una vez analizado los requisitos que algunos autores exigen para que pueda hablarse de la existencia de una disciplina científica, nos preguntamos si para la Didáctica de la Matemática existe esa comunidad de investigadores en la cual pueda surgir uno o varios programas de investigación que produzca una teoría o teorías de la Educación Matemática. En este apartado trataremos de describir el "estado de la cuestión" sobre esta problemática, centrándonos en la actividad desarrollada por los grandes núcleos de investigadores, en particular los grupos TME (Theory of Mathematics Education) y PME (Psychology of Mathematics Education). También sintetizamos algunas características básicas de las perspectivas o líneas sobre, resolución de problemas y modelización, visiones socioculturales, la escuela francesa de didáctica de las matemáticas, el interaccionismo simbólico, el punto de vista sociocrítico y la fenomenología didáctica de H. Freudenthal. Como afirma Lester (2010, p. 69) la investigación en educación matemática realizada hasta los años 90 se caracterizaba, al menos en Estados Unidos, por ser en gran medida ateórica, esto es, con escasas referencias a los fundamentos teóricos en que se basaba, y sin pretensiones de progresar en la construcción de modelos teóricos. Esta circunstancia ha cambiado en los últimos 20 años, como se puede comprobar en los artículos publicados en las principales revistas, donde la referencia al marco teórico en que se apoyan los estudios es un requisito para su publicación. En este apartado presentamos una síntesis de trabajos y reflexiones sobre planteamientos teóricos y filosóficos sobre la educación matemática. 1. El programa de investigación del grupo TME: En lo que respecta a la existencia de un grupo de investigación con intereses comunes en el desarrollo teórico, podemos decir que la intención del profesor Steiner en el V Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME), celebrado en 1984, fue precisamente convocar a los científicos interesados en la gestación de una Teoría de la Educación Matemática. En dicho Congreso se incluyó un Área Temática con el nombre "Teoría de la Educación Matemática" a la que se dedicaron cuatro sesiones. Finalizado el Congreso se celebraron nuevas reuniones en las que quedó constituido un Grupo de Trabajo que se denominó TME (Theory of Mathematics Education) y en las que se continuaron las discusiones iniciadas en el ICME. Las sucesivas conferencias de TME que se han celebrado han mostrado que existe una comunidad, al menos en estado incipiente, interesada por construir las bases teóricas de la Didáctica de la Matemática como ciencia, que está constituida por personas con formación e intereses en campos bastante diversificados: investigadores en Educación Matemática, matemáticos, profesores, psicólogos educativos, sociólogos educativos, formadores profesores, etc. 14



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En la configuración de esta comunidad científica existen intereses profesionales que han propiciado una orientación académica a esta actividad. Así, en Alemania, entre 1960 y 1975, se crearon más de 100 cátedras en las escuelas de formación de profesores, asignadas a departamentos de matemáticas; al ser integradas las citadas escuelas en la universidad, la Didáctica de la Matemática se vio en cierta medida equiparada a las restantes disciplinas. En España este fenómeno ha tenido lugar especialmente a partir de 1985 con el reconocimiento de la Didáctica de la Matemática como área de conocimiento y la consiguiente posibilidad de constituir departamentos universitarios los profesores adscritos a dicha área. Esta situación puede forzar a la Educación Matemática hacia un dominio de especulación científica relativamente desconectado de la realidad social. Steiner (1985), al analizar el papel que la Educación Matemática debería tener dentro de la universidad, propone que esta disciplina adopte una función de vínculo entre la matemática y la sociedad. "Esto es posible y necesario especialmente por medio de su contribución a la elaboración y actualización de muchas dimensiones olvidadas de las matemáticas: las dimensiones filosófica, histórica, humana, social y, comprendiendo a todas estas, la dimensión didáctica" (p. 12). Podemos hacer una primera aproximación al núcleo conceptual de la Didáctica de la Matemática como disciplina científica analizando las cuestiones planteadas en el seno del Grupo TME que, dado su carácter abierto, ha reunido, en las sucesivas conferencias, a la mayoría de los investigadores en Educación Matemática interesados por el fundamento teórico de su actividad. De acuerdo con el programa de desarrollo trazado en la Primera Conferencia (Steiner y cols, 1984), la "Teoría de la Educación Matemática" se ocupa de la situación actual y de las perspectivas para el desarrollo futuro de la Educación Matemática como un campo académico y como un dominio de interacción entre la investigación, el desarrollo y la práctica. En este programa se distinguen tres componentes interrelacionadas: (A) La identificación y formulación de los problemas básicos en la orientación, fundamento, metodología y organización de la Educación Matemática como una disciplina, tales como: (1) La existencia de distintas definiciones, incluso discrepantes, de la Educación Matemática como disciplina. (2) El uso de modelos, paradigmas, teorías, y métodos en la investigación y de herramientas apropiadas para el análisis de sus resultados. (3) El papel que deben jugar los "macro-modelos", esto es marcos de referencia generales que relacionan significativamente los múltiples aspectos de la Educación Matemática y los micromodelos, que proporcionan información detallada sobre áreas restringidas del aprendizaje matemático. (4) El debate entre "teorías específicas" frente a interdisciplinariedad y transdisciplinariedad. (5) Las relaciones entre la Educación Matemática y sus campos referenciales como matemáticas, pedagogía, psicología, sociología, epistemología, etc.

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(6) Las relaciones entre teoría, desarrollo y práctica: las tareas integradoras y sintéticas de la Educación Matemática frente a las tendencias recientes hacia una ciencia normal y la creciente especialización. (7) Los aspectos axiológicos éticos, sociales y políticos de la Educación Matemática. (B) El desarrollo de una aproximación comprensiva a la Educación Matemática, que debe ser vista en su totalidad como un sistema interactivo, comprendiendo investigación, desarrollo y práctica. Esto lleva a destacar la importancia de la teoría de sistemas, especialmente de las teorías de los sistemas sociales, basadas en conceptos como interacción social, actividad cooperativa humana, diferenciación, subsistemas, auto-reproducción y sistemas auto-organizados, auto-referencia y reflexión en sistemas sociales, etc. Asimismo, interesa la identificación y el estudio de las múltiples interdependencias y mutuos condicionantes en la Educación Matemática, incluyendo el análisis de las complementariedades fundamentales. (C) La organización de la investigación sobre la propia Educación Matemática como disciplina que, por una parte, proporcione información y datos sobre la situación, los problemas y las necesidades de la misma, teniendo en cuenta las diferencias nacionales y regionales y, por otra, contribuya al desarrollo de un meta-conocimiento y una actitud auto-reflexiva como base para el establecimiento y realización de los programas de desarrollo del TME. La Segunda Conferencia del Grupo TME, celebrada en 1985 en el Institut für Didaktik der Mathematik (IDM) de la Universidad de Bielefeld (Steiner y Vermandel, 1988), se centró sobre el tema genérico "Fundamento y metodología de la disciplina Educación Matemática (Didáctica de la Matemática)" y, por tanto, la mayoría de las contribuciones resaltaron el papel de la teoría y la teorización en dominios particulares. Entre estos temas figuran: -

teorías sobre la enseñanza; teoría de las situaciones didácticas; teoría interaccionista del aprendizaje y la enseñanza; el papel de las metáforas en teoría del desarrollo; el papel de las teorías empíricas en la enseñanza de la matemática; la importancia de las teorías fundamentales matemáticas; conceptos teóricos para la enseñanza de la matemática aplicada; la teoría de la representación como base para comprender el aprendizaje matemático; estudios históricos sobre el desarrollo teórico de la educación matemática como una disciplina.

Los grupos de trabajo se dedicaron a diferentes dominios de investigación con el fin de analizar el uso de modelos, métodos, teorías, paradigmas, etc. El tema de trabajo de la Tercera Conferencia, celebrada en 1988 en Amberes (Bélgica) (Vermandel y Steiner, 1988) trató sobre el papel y las implicaciones de la investigación en Educación Matemática en y para la formación de los profesores, dado el desfase considerable

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existente entre la enseñanza y el aprendizaje. Concretamente las cuestiones seleccionadas fueron: -

El desfase entre enseñanza - aprendizaje en el proceso real en las clases de matemáticas como un fenómeno tradicional y como un problema presente crucial. El desfase ente investigación sobre la enseñanza e investigación sobre el aprendizaje. Modelos para el diseño de la enseñanza a la luz de la investigación sobre el aprendizaje. La necesidad de la teoría y la investigación en trabajos y proyectos de desarrollo y su posición en el contexto de investigación sobre enseñanza - aprendizaje. El papel del contenido, la orientación del área temática y las distintas perspectivas de las matemáticas en el estudio y solución del desfase investigación - aprendizaje y el desarrollo de modelos integradores. El desfase enseñanza - aprendizaje a la luz de los estudios sobre procesos e interacción social en la clase. Implicaciones del tema de la conferencia sobre la formación de profesores. El ordenador como una tercera componente en la interacción enseñanza- aprendizaje.

Los temas tratados en la cuarta Conferencia celebrada en Oaxtepec (México) en 1990 fueron los siguientes: I. Relaciones entre las orientaciones teóricas y los métodos de investigación empírica en Educación Matemática. II. El papel de los aspectos y acercamientos holísticos y sistémicos en Educación Matemática. Asimismo, se inició en esta reunión la presentación de distintos programas de formación de investigadores en Educación Matemática en el seno de distintas universidades, tanto a nivel de doctorado como de máster. Bajo la iniciativa de los profesores Godino y Batanero de la Universidad de Granada, asistentes a esta reunión del Grupo TME, se acordó recabar información sobre este tema, por medio de un cuestionario, a una amplia muestra de universidades de todo el mundo, como una primera fase en la constitución de una red de personas interesadas en el intercambio de información y discusión sobre el tema. En la quinta Conferencia, celebrada en 1991 en Paderno del Grappa (Italia), se presentó un informe preliminar de resultados de la citada encuesta sobre formación de investigadores (Steiner y cols, 1991) y distintos trabajos sobre los temas siguientes: I. El papel de las metáforas y metonimias en Matemáticas, Educación Matemática y en la clase de matemáticas. II. Interacción social y desarrollo del conocimiento. Perspectiva de Vygotsky sobre la enseñanza y el aprendizaje matemático en la zona de construcción. Como se ha expuesto, los fenómenos estudiados en las conferencias del TME incluyen un rango muy diverso: matemáticas, diseño de currículum, estudio de los modos de construcción por los alumnos del significado de las nociones matemáticas, las interacciones profesor - alumno, la preparación de los profesores, métodos alternativos de investigación, etc. La razón de esta

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diversidad se debe a que el término "Educación Matemática" no está aun claramente definido. No parece existir un consenso acerca de las cuestiones centrales para la Educación Matemática que agrupe todos los intereses aparentemente diversos del campo. Si bien los temas tratados en las Conferencias TME son de interés para distintos aspectos de la Educación Matemática, no resulta fácil apreciar en ellos un avance en la configuración de una disciplina académica, esto es, una teoría de carácter fundamental que establezca los cimientos de una nueva ciencia por medio de la formulación de unos conceptos básicos y unos postulados elementales. Se encuentran muchos resultados parciales, apoyados en supuestos teóricos externos (tomados de otras disciplinas) que tratan de orientar la acción en el aula, aunque con un progreso escaso. 2. Grupo Internacional de Filosofía de la Educación Matemática: Los intereses teóricos del Grupo TME (promovido por H. G. Steiner en 1984) fueron en cierta medida asumidos, desde 1990, por otro grupo que adoptó como foco principal de atención la Filosofía de la Educación Matemática. En Julio de 1990, Paul Ernest organizó este grupo internacional y comenzó la publicación de una Newsletter con el título de Philosophy of Mathematics Education Newsletters. A partir de 1996 se transformó en una revista electrónica con el título, Philosophy of Mathematics Education Journal (POME). Todos los trabajos publicados, tanto de la Newsletter como de la revista POME, están disponibles en la página web de Paul Ernest: http://www.ex.ac.uk/%7EPErnest/ Los fines de esta red son: -

Explorar los desarrollos actuales en la filosofía de las matemáticas tales como el falibilismo de Lakatos, y otras perspectivas humanísticas de las matemáticas. Explorar las perspectivas filosóficas de la educación matemática, y hacer que la reflexión filosófica alcance una consideración similar que las restantes disciplinas de la educación matemática. Constituir una red internacional abierta de personas interesadas en esta área temática, interpretada de manera amplia, y proporcionar oportunidades para el intercambio y el avance de las ideas y perspectivas. Estimular la comunicación informal, el diálogo y la cooperación internacional entre los profesores, investigadores y demás personas comprometidas en las investigaciones y reflexiones de naturaleza teórica y filosófica sobre las matemáticas y la educación matemática.

En el período de 1990 a 1995 se elaboraron 8 Newsletters preparadas por distintos editores. En la segunda etapa, 1996 a 2002 se ha continuado la publicación en calidad de revista electrónica. El último número (que hace el 24) se ha publicado en Julio de 2009. Se trata de una revista en la que las contribuciones no se someten a proceso de revisión anónima, ya que lo que se pretende es el intercambio de ideas de una manera abierta y libre. 3. fundamentos teóricos de la educación matemática:

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El interés por los fundamentos teóricos y filosóficos de la educación matemática se ha fortalecido a partir de 2005 al celebrarse un ―foro de investigación‖ dedicado al tema en la Reunión Anual del Grupo PME, celebrado en dicho año en Melbourne. En los cinco años posteriores distintos investigadores han venido publicando diversos trabajos en la revista ZDM y el tema ha sido objeto de interés en uno de los grupos de trabajo del CERME (Congreso Europeo de Investigación en Educación Matemática). En los ―handbooks‖ de investigación en educación matemática encontramos trabajos que

muestran un reconocimiento creciente del interés en la teoría de la educación matemática. Por ejemplo, Silver y Herbst (2007) sintetizan el estado de la ―Teoría en la investigación en educación matemática‖ en ―Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning‖ (Lester, 2007), mientras que Coob (2007) aborda en dicho manual el tema ―Putting Philosophy to Work: Coping with Multiple Theoretical Perspectives‖. Así mismo, un componente central en la primera y segunda edición del ―Handbook of International Research in Mathematics Education‖ (English, 2002; 2008) fue ―avances en el desarrollo de teoría‖.

Los resultados de todos estos esfuerzos se han concretado en la publicación en 2010 de un libro con el título, ―Theories of Mathematics Education. Seeking New Frontiers‖, editado por B. Sriramn y L. English (Springer, 2010). Este libro contiene 19 capítulos principales, cada uno de los cuales incluye un prefacio y comentarios elaborados por diversos autores, abordándose temas tales como, -

Perspectivas de teorías y filosofías de la educación matemática (B. Sriraman y L. English) Reflexiones sobre las teorías del aprendizaje (P. Ernest) Fundamentos teóricos, conceptuales y filosóficos de la investigación en educación matemática (F. K. Lester) Teorías de la educación matemática: ¿Es un problema la pluralidad? (S. Lerman) Reconceptualización de la educación matemática como una ciencia de diseño (R. Lesh y B. Sriraman) El ciclo fundamental de la construcción de conceptos subyacente en varios marcos teóricos (J. Pegg y D. Tall) Símbolos y

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No es posible detallar, por su amplitud, los temas tratados en las distintas Conferencias, pero si puede ser de interés citar el esquema de clasificación de los informes de investigación (research report) ya que indica, a grandes rasgos, las cuestiones sobre los que se está trabajando en la actualidad, como se ilustra en el anterior cuadro.

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Lección 5. Educación matemática y didáctica de la matemática. 15 Interesa, en primer lugar, realizar una clarificación terminológica. El término educación es más amplio que didáctica, por lo que se puede distinguir entre Educación Matemática y Didáctica de la Matemática. Esta es la opción tomada por Rico, Sierra y Castro (2000; p. 352) quienes consideran la educación matemática como ―todo el sistema de conocimientos, instituciones, planes de formación y finalidades formativas‖ que conforman una actividad social compleja y d iversificada

relativa a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La Didáctica de la Matemática la describen estos autores como la disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educación matemática y propone actuaciones fundadas para su transformación. Sin embargo, en el mundo anglosajón se emplea la expresión "Mathematics Education" para referirse al área de conocimiento que en Francia, Alemania, España, etc. se denomina Didáctica de la Matemática. En este escrito tomaremos ambas denominaciones como sinónimas. También, las identifica Steiner (1985) para quien la Educación Matemática admite, además, una interpretación global dialéctica como disciplina científica y como sistema social interactivo que comprende teoría, desarrollo y práctica.

Steiner (1990) representa mediante el diagrama de la Figura anterior la disciplina Educación Matemática (EM) que está relacionada, formando parte de él, con otro sistema complejo social que llamaremos Sistema de Enseñanza de la Matemática (SEM) - denominado por Steiner "Educación Matemática y Enseñanza" -, representado en el diagrama por el círculo de trazo más grueso exterior a la EM. En dicho sistema se identifican subsistemas componentes como: La propia clase de matemáticas (CM); La formación de profesores (FP); Desarrollo del currículo (DC); La propia Educación Matemática (EM), como una institución que forma parte del SEM; ... La figura también representa las ciencias referenciales para la Educación Matemática tales como: Matemáticas (M), Epistemología y filosofía de las matemáticas (EFM) - Historia de las matemáticas (HM), Psicología (PS), Sociología (SO), Pedagogía (PE), etc.

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Perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas como Disciplina Tecnocientífica. Departamento de Didáctica de la

Matemática. Universidad de Granada. Septiembre, 2010. Disponible en: http://www.ugr.es/local/jgodino.

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En una nueva corona exterior Steiner sitúa todo el sistema social relacionado con la comunicación de las matemáticas, en el que identifica nuevas áreas de interés para la Educación Matemática, como la problemática del "nuevo aprendizaje en sociedad" (NAS) inducido por el uso de ordenadores como medio de enseñanza de ideas y destrezas matemáticas fuera del contexto escolar. También sitúa en esta esfera las cuestiones derivadas del estudio de las interrelaciones entre la Educación Matemática y la Educación en Ciencias Experimentales (ECE). La actividad de teorización (TEM) es vista por Steiner como un componente de la Educación Matemática, y por ende del sistema más amplio que hemos denominado SEM que constituye el sistema de enseñanza de las matemáticas. La posición de la TEM debería situarse en un plano exterior ya que debe contemplar y analizar en su totalidad el rico sistema global. Otro modelo de las relaciones de la Educación Matemática con otras disciplinas es propuesto por Higginson (1980), quien considera a la matemática, psicología, sociología y filosofía como las cuatro disciplinas fundacionales de ésta. Visualiza la Educación Matemática en términos de las interacciones entre los distintos elementos del tetraedro cuyas caras son dichas cuatro disciplinas, como se ilustra en la siguiente figura.

Estas distintas dimensiones de la Educación Matemática asumen las preguntas básicas que se plantean en nuestro campo: qué enseñar (matemáticas); por qué (filosofía); a quién y donde (sociología); cuándo y cómo (psicología). En el trabajo citado Higginson describe, asimismo, las aplicaciones del modelo para clarificar aspectos fundamentales como: -

la comprensión de posturas tradicionales sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas; la comprensión de las causas que han producido los cambios curriculares en el pasado y la previsión de los cambios futuros; el cambio de concepciones sobre la investigación y sobre la preparación de profesores.

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CAPÍTULO 3. El Contrato Didáctico. Lección 1. Fundamentos del contrato didáctico. 16 La clase de matemáticas está con frecuencia regida por "obligaciones" o normas no explícitas entre el profesor y los alumnos. Estas "normas sociales" guían la colaboración de los alumnos, y sus obligaciones, así como su forma de reaccionar ante un error o una indicación del profesor. Ejemplos: 1. Los niños suponen que han de ser críticos hacia las afirmaciones, tanto propias como de otros niños. 2. Se espera del alumno que explique las soluciones de los problemas que el profesor le propone. 3. El profesor es quien pone los exámenes. Los alumnos aceptan la calificación del profesor. Estas normas determinan un microcultura del aula y tienen las siguientes características:  

Algunas son generales y se pueden aplicar a cualquier disciplina. Regulan el funcionamiento de las actividades docentes y discentes.

Llamamos contrato pedagógico al conjunto de estas normas que no están ligadas a una disciplina específica. Otras normas son específicas de la actividad matemática, regulan, por ejemplo, las argumentaciones matemáticas e influyen en las oportunidades de aprendizaje. Ejemplos: Hay un acuerdo sobre lo que es "matemáticamente diferente", o "matemáticamente relevante " en el aula. Así, cuando esperamos que el niño resuelva un problema de forma aritmética y uno de los alumnos idea una solución original y completamente inesperada. También hay un convenio implícito sobre lo que es "matemáticamente eficiente", "matemáticamente elegante", o "matemáticamente aceptable". En didáctica de las matemáticas se habla de contrato didáctico para describir y explicar las obligaciones o normas no explícita que rigen las interacciones entre el profesor y los alumnos en el aula de matemáticas (en general de una disciplina específica). El "contrato didáctico" regula los derechos y obligaciones del profesor y los alumnos. Es el resultado de un proceso de negociación entre los alumnos, el profesor y el medio educativo. Uno de los componentes esenciales del contrato didáctico son los criterios de evaluación explícitos, pero hay otros no explicitados que sólo se detectan cuando el profesor plantea actividades poco habituales que vulneran las reglas del contrato, lo cual produce el consiguiente desconcierto en los alumnos. Los alumnos, en su 16

Fundamentos de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas para Maestros. Godino, Juan D., Batanero, Carmen. Font, Vincec. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. 2003.

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adaptación al medio escolar, llegan a desarrollar un sentido que les permite captar cuáles son las reglas del contrato didáctico en cada caso.

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Lección 2. Reflexiones sobre el contrato didáctico. 17 La importancia de los fenómenos de contrato didáctico se debe a que condicionan de manera determinante el tipo de aprendizaje. La actitud del profesor determina con frecuencia de manera inconsciente las relaciones de los alumnos con la matemática. Por ejemplo:   

actitud de espera de la explicación del profesor, interés en investigar la situación, control de los resultados, por parte de los alumnos.

Si el profesor quiere, por ejemplo, fomentar la iniciativa del alumno puede optar por no incorporar indicaciones sobre la solución al presentar un problema. Este es un ejemplo de una ruptura del “contrato” habitual, ya que se supone q ue el profesor "sabe la solución", y su función como profesor debería ser "enseñar" ese conocimiento.

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Lección 3. Acercamiento a la idea de contrato didáctico. 18 El concepto de "contrato didáctico" fue introducido y elaborado en el campo de la didáctica de las matemáticas por Brousseau, quien lo ha definido como "esos hábitos del profesor esperados por parte del alumno y esos comportamientos del alumno esperados por parte del profesor" (1980: 180). Según este autor, en el contrato didáctico, el docente tiene el papel de experto que además de conocimientos profundos y suficientes sobre los temas que enseña cuenta con diferentes habilidades para organizar y gestionar las actividades en el aula, mientras que el alumno asume el papel de no-experto y permite al docente guiarle y ayudarle. Este contrato se presenta como una colección de reglas en gran parte implícitas que afectan tanto al discente como al docente y que influyen en el trabajo de ambos. Brousseau insiste que dicho sistema de obligación recíproca está asociado con la emergencia de problemas relacionados con los contenidos de la asignatura durante el proceso educativo. Esos dos elementos -el contrato y los problemas- constituyen la situación didáctica de enseñanza-aprendizaje (Brousseau 1997). Como puede suponerse, lo que Brousseau entiende por "contrato didáctico" no es un tipo de relación exclusiva del aula de matemáticas. Aunque el auge de las pedagogías activas ha sometido a revisión y crítica el rol del docente y del discente, lo cierto es que en toda relación de carácter didáctico existen actores que asumen el papel de expertos o guías de otros que aún no han alcanzado un alto nivel de competencia en determinadas materias o procedimientos. En el contexto del aula de lenguas, las dificultades que afronta el aprendiz se convierten en una oportunidad de aprendizaje gracias a este tipo de relación especial con su profesor. Dicho vínculo favorece sus esfuerzos de aprendizaje (De Pietro, Matthey y Py 1989); sin embargo también puede suponer algunos problemas. La asimetría en el aula, preestablecida y asumida como dada por ambas partes, puede provocar que el alumno adopte un rol pasivo. En tal caso, el discente no desarrolla competencias de aprendizaje autónomo, sino que espera que sea el docente el que le transmita todo el contenido necesario para aprobar la asignatura. Por supuesto, este no tiene que ser necesariamente el caso. Pueden existir formas menos rígidas y más horizontales de relación entre profesores y estudiantes. En esta lección, sin embargo, no pretendemos profundizar en ellas. Nos interesan más bien otros tipos de "contrato didáctico" que no han sido tenidos en cuenta por Brousseau, y que presumiblemente superarían los obstáculos derivados de la asimetría en el aula. Nos referimos a los que se establecen entre estudiantes que trabajan colectivamente, ya sea mediante un sistema de tutorías o de trabajo colaborativo. Especialmente nos interesa la última posibilidad; pero, antes de analizarla en detalle, consignamos algunos comentarios acerca del "contrato didáctico" que supone cada una de estas relaciones entre "iguales". 18

El contrato didáctico entre estudiantes: análisis del trabajo en parejas en el aula de Aprendizaje Integrado de Contenidos y Lengua (AICLE). Natalia Evnitskaya. Universitat Autónoma de Barcelona. Departament de Didáctica de la Llengua i la Literatura i de les Ciéncies Socials.

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Una de las posibles formas de minimizar la asimetría es la utilización de tutorías entre aprendices (Baudrit 2000; Falchikov 2001; Giménez 2006). En dichas situaciones los alumnos-tutores actúan como "asistentes" de los docentes (Topping 1996) ya que aconsejan a sus compañeros de clase, les dan explicaciones, les corrigen o les proporcionan las herramientas lingüísticas necesarias para que resuelvan el problema que afrontan y culminen la tarea con éxito (Bernié 2007). Es decir, los estudiantes más competentes en un tema se encargan de ayudar a sus iguales cuando éstos encuentran dificultades en el aprendizaje (Falchikov2001). Según el tipo de tutela implementado puede ocurrir que el tutor aporte al tutelado sin recibir nada de él. Sin embargo, en comparación con el contrato didáctico entre profesor-alumno, el vínculo entre el tutor y el tutelado es más horizontal. En muchos casos esto ocurre gracias a los lazos de amistad entre los participantes, el clima de confianza y la experiencia social positiva (Bruffee 1993; Ellis 2003). La relación es más flexible ya que a veces permite el cambio de papeles entre participantes; no obstante es preestablecida por definición, ya que las actividades y normas de comportamiento son asignadas de antemano por el docente y los alumnos deben asumirlas. Si buscamos contratos más simétricos o igualitarios, es necesario examinar el segundo tipo de relaciones didácticas que pueden ocurrir entre aprendices de lenguas. Nos referimos a cuando los estudiantes realizan actividades discursivas en cooperación con sus compañeros, en grupo o en pareja. En este nivel la interacción puede considerarse exploratoria ya que los participantes expresan sus ideas en la lengua meta más libremente (aunque muchas veces con bajo nivel de elaboración) y tienen menos miedo de cometer errores (Long y Porter 1985; Varonis y Gass 1985; Mercer 1995). Así pues, los aprendices entran en interacciones distintas a las que desarrollan con el profesor o durante la tutela. Las mismas, apriori, son simétricas porque tienen lugar entre pares que están en proceso de aprendizaje. Aquí no hablamos de "seguir instrucciones" o de "dar conocimientos", sino de colaborar activamente entre iguales para llevar adelante una actividad conjunta. Un concepto que puede ser útil para entender lo que sucede en este tipo de interacciones es el de "andamiaje mutuo" o "andamiaje colectivo" [collective scaffolding] (Donato 1994). Dicho proceso ocurre cuando los alumnos se ayudan los unos a los otros mientras resuelven problemas lingüísticos complejos. De ese modo, cada interlocutor individual actúa como un aprendiz, aporta conocimientos a los demás y así ayuda a co-construir significados nuevos y a desarrollar experticia grupal. El "andamiaje mutuo" parece ser un fenómeno bastante frecuente dentro de las actividades de aprendizaje colaborativo (Alcón 2001; Sato 2001; Cañada y Molinos 2004, 2005). Sin embargo, sospechamos que en este contexto también pueden aparecer otras relaciones que no son tan simétricas. Cuando los alumnos trabajan colectivamente, en determinados momentos se asignan, asumen o rechazan el rol de docente o de aprendiz. Esto se manifiesta en la conversación a través de actividades como preguntar/responder, proponer tareas/realizarlas, dar instrucciones/seguirlas (Nussbaum 2001) con las cuales los hablantes se hetero- o autocategorizan como expertos o no-expertos en la lengua meta (Unamuno y Codo 2007). Precisamente son tales casos los que llaman nuestra atención. Para ellos proponemos el concepto de "contrato didáctico entre estudiantes".

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Lección 4. El contrato didáctico desde otras perspectivas. 19 Explicar los conflictos de aprendizaje del alumno en la clase de matemáticas puede abrir un debate social de gran divergencia. Sin embargo, hemos de explicarlo sólo a partir de aquello que se puede controlar, de las actividades, e incluso actitudes, de quienes participan en la actividad didáctica. Brousseau acuñó el concepto de contrato didáctico para poder explicar un fenómeno bastante recurrente en las aulas escolares: porque un alumno que sea considerado exitoso en las demás asignaturas, pueda tener conflictos de aprendizaje exclusivamente en su clase de matemáticas. A pesar de que tal paradoja se presenta frecuentemente, no ha sido fácil explicar su ocurrencia, de ahí que la noción de contrato vino a ser un instrumento teórico importante para dar cuenta de tales hechos. Este concepto, aunque fácil de definir, se encuentra inmerso explícita e implícitamente en muchos momentos, y ello dificulta su localización. Brousseau inicia describiendo el proceso que conlleva la construcción de un concepto matemático y de su transposición al aula, a través de los papeles que juegan el matemático, el profesor y el alumno. El conocimiento matemático, dice el autor, nace en un contexto específico, en un momento como problemática de un individuo particular. Sin embargo, para que la comunidad científica evalúe dicho conocimiento debe cumplir condiciones de universalidad, de ahí que el matemático deba descontextualizar, despersonalizar y destemporalizar su aportación a fin de presentarlo como un concepto compartible. Una vez que dicho conocimiento sea culturalmente aceptado por la comunidad científica, sufrirá también una serie de cambios a fin de que llegue al ámbito didáctico (transposición didáctica, ver Unidad 2, Capítulo 2 del módulo), pero su carácter universal permanece invariante. Es el profesor quien se encarga de contextualizar, repersonalizar y retemporalizar ese conocimiento a fin de presentarlo a los alumnos con un significado que permita su aceptación práctica. Entonces, el papel del estudiante bajo este esquema, será el de redescontextualizar, redespersonalizar y redestemporalizar dicho conocimiento con el objetivo de ser capaz de identificarlo en cualquier otro momento que la práctica le requiera, es decir, que lo identifique como un conocimiento culturalmente aceptado y universalmente capaz de actuar independientemente de las condiciones que le dieron origen. Esta descripción de los papeles que desempeñan alumno y profesor, en el marco de la teoría dejan ver a la actividad del profesor representada en tres niveles, organización, devolución e institucionalización, y la actividad del alumno en los niveles de acción, formulación y validación, como se ilustra en la siguiente figura.

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Una Caracterización del Contrato Didáctico en un escenario Virtual. Gisela Montiel Espinoza. Centro de Investigaciones y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. Departamento de Matemática Educativa. México. 2002.

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Ahora bien, como una situación didáctica tiene la intención de que el alumno adquiera un conocimiento específico, y éste está impregnado con una cierta epistemología y un cierto significado, entonces para cada conocimiento a enseñar existe un diseño didáctico con características propias en el ciclo de organización, devolución e institucionalización y por lo tanto, se provocan interacciones específicas de acción, formulación y validación. A esta relación del profesor con el alumno dentro de una situación didáctica, propia de un conocimiento matemático específico, se le llama Contrato Didáctico. Aclaremos que este contrato no tiene cláusulas escritas ni sanciones que describan su funcionalidad, sólo se le puede mirar en el momento que se presenta una "ruptura" del mismo. Pongamos por ejemplo en caso cuando el alumno responde de forma distinta a como fue previsto por el diseño y el profesor interviene con una devolución. Así, el contrato evoluciona a medida que el proceso didáctico avanza. Claramente podemos observar cómo el contrato didáctico es la piedra angular de la actividad didáctica, de él depende el funcionamiento y éxito de la situación didáctica. Esta es la razón por la cual lo hemos colocado como elemento esencial en esta investigación, cuando pretendemos describir la actividad didáctica en un escenario distinto al áulico presencial. Como dijimos anteriormente, esta interpretación del contrato didáctico estuvo centrada en la perspectiva de Brousseau. Sin embargo, hoy se tienen, desde otras perspectivas teóricas, ampliaciones del concepto que permiten ver las interacciones alumno-profesor-saber con otros elementos, las cuales se ilustran a continuación. El Contrato Didáctico, desde la perspectiva de Bruno D'Amore: En nuestra opinión, D'Amore (1999) logra una caracterización de la Didáctica de la Matemática contrastando diversas aportaciones desde distintas posturas teóricas, tales como la cognoscitivista, la semiótica, la sistémica, la socio-histórica, entre otras. Uno de sus análisis más profundos gira en torno de la teoría de situaciones didácticas, y a propósito de analizar la naturaleza y desarrollo del sistema didáctico hace énfasis en el estudio del contrato didáctico. No es complicado definir al contrato didáctico como el conjunto de cláusulas implícitas y explícitas que regulan los comportamientos del profesor y el alumno con relación al saber matemático a

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enseñar. D'Amore muestra, a través de una serie de ejemplos, la naturaleza implícita del concepto, y lo clasifica en tres casos: 1. La concepción escolar: El alumno ajusta su comportamiento con base en aquello que espera le sea evaluado. Nadie le dice lo que habrá de hacer explícitamente, sólo tiene que escribir lo que el profesor le transmite porque el alumno espera que eso le sea preguntado en alguna evaluación posterior, sin embargo, a pesar de no ser explícito, el alumno descifra el mensaje y se comporta en consecuencia. 2. La concepción de la matemática: El alumno tiende a responder haciendo uso de objetos matemáticos, aun cuando la pregunta no lo requiera. Aunque no se haga explícito el uso de objetos matemáticos por parte del problema o de su maestro, la concepción que el alumno tiene de la materia le hace tratar a la actividad operándola con números, expresiones matemáticas, gráficas, entre otros. El cree que la respuesta habrá de ser matemática. 3. La concepción de la modalidad escolar: Aunque el objetivo sea la adquisición de un concepto matemático, el alumno tiene el objetivo de repetir ejercicios de naturaleza semejante, pues el descubre que la modalidad de clase se conserva a lo largo del tiempo. Termina por aprender que la modalidad empleada por su maestro, le indica lo que él habrá de hacer. Estos tres ejemplos no son, desde el punto de vista del autor y del nuestro propio, específicos del contrato didáctico, pues no se relacionan con el conocimiento matemático a enseñar, pueden clasificarse como una especie de contratos más amplios, digamos que contratos sociales. Sin embargo, son ejemplos muy adecuados de cómo la información, la interpretación y las restricciones del medio rigen los comportamientos del alumno en situación de enseñanza o en situación de aprendizaje. Como todo proceso científico, el paso de los años provoca modificaciones de las nociones con las que trabaja. El caso del contrato didáctico no es excepción. Se produce mediante análisis desde varias perspectivas, extensiones, restricciones, visiones más completas o incluso, fusión de ideas, entre otras. Por ejemplo, desde la mirada de la aproximación antropológica, Sarrazy (citada en D'Amore, 1999) señala que el contrato didáctico es un acto simbólico, por medio del cual el niño deviene en sujeto didáctico al seno de una situación escolar. Chevallard (citado en D'Amore, 1999) por su parte, apunta que hay un contrato de enseñanza que obliga al maestro, un contrato de aprendizaje que obliga al alumno y que el contrato didáctico obliga al saber a establecer la transposición didáctica que ha de llevarse a cabo. De tal forma que la cláusula del contrato organiza las relaciones que el alumno y el profesor establecen con el saber. Desde esta perspectiva, debe distinguirse entonces que existen diversos contratos que afectan la situación escolar (Chevallard, Y., et al. 1997). En principio está aquel contrato social donde se presenta el contrato social de enseñanza y se conoce la causa del saber a enseñar, el contrato escolar donde se define la actividad, las responsabilidades, actitudes y los derechos de los participantes del fenómeno escolar, a saber, escuela, profesor y alumno; el contrato pedagógico donde se establecen las relaciones sociales entre profesor y alumno, y el contrato didáctico,

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descrito anteriormente. Pero para que exista un contrato didáctico es necesaria la existencia de los contratos pedagógico y escolar.

En su intento por describir desde la perspectiva antropológica, al fenómeno que se da en la situación de enseñanza y aprendizaje del conocimiento matemático específico de forma lo más amplia posible, se identifica a las variables que se pueden controlar y se propone el contrato metadidáctico, como una interacción entre el pedagógico y el didáctico, definido como el conjunto de cláusulas que gestionan en un campo dado toda adhesión a un contrato para asegurar la eficacia de un contenido particular. Desde otra perspectiva teórica, el de la Ingeniería Didáctica, el contrato didáctico es el medio para lograr la integración de la acción de la enseñanza al análisis didáctico (se profundiza en este término en la unidad 3). Es decir, la ingeniería didáctica necesita, en sus fases de análisis preliminar, diseño y análisis a priori, experimentación y análisis a posteriori y validación, la información sobre los comportamientos e interacciones que provee el contrato didáctico a través de sus sucesivas rupturas. La aproximación psicológica por su parte, se enfoca en las habilidades del alumno para decodificar la intención del profesor al anticipar con mayor efectividad sus demandas. Se han acentuado los procesos de adquisición de conocimiento inter e intra - individuales integrando el papel del sujeto en la situación de interacción, la naturaleza del objeto en el cual se basa la interacción y en contexto de interacción. Según nuestra opinión, las variantes que asume la noción de contrato didáctico van a obedecer a la existencia de diferentes paradigmas y, dentro de estos, se guían por el papel que se le confiera al conocimiento en la relación alumno - profesor. Sin embargo, así como un saber sufre de una transposición para ser presentado en sitio escolar, despojándolo de ideas germinales, contextos, obstáculos, entre otras características, la teoría de situaciones no muestra su camino evolutivo al

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presentarse a la comunidad académica, y es justo ese camino lo que muestra el verdadero sentido y significado de categorías tales como el contrato didáctico. El Contrato Didáctico, desde la perspectiva de Marie-Jeanne Perrin Glorian: Perrin Glorian (1994) hace una descripción evolutiva de la teoría de situaciones didácticas basada en los artículos de investigación publicados y en notas personales que Guy Brousseau hizo durante varias décadas. Esto le permitió ir más allá de lo que la misma teoría puede decir respecto de sus orígenes, además de dar razón de la creación de sus categorías teóricas, a través de su desarrollo histórico. Según la autora, se marcan tres etapas de desarrollo, la primera, que describe su nacimiento, la cual va desde los años 60's hasta 1978, la segunda, donde se da la difusión y el uso de sus categorías teóricas, se sitúa entre 1978 y 1989, y la tercera viene de 1993 a la fecha y se percibe como la integración de la teoría con otras perspectivas teóricas. A través de una observación constante de los fenómenos acaecidos en el aula, Brousseau se propone determinar de manera científica cuál puede ser la mejor enseñanza de las matemáticas para todos los estudiantes de la escuela elemental. Este objetivo pronto se vio carente de sentido si no tomaba una postura teórica que le diera información de cómo se adquieren los conocimientos, para ello toma como primer fundamento epistemológico la teoría piagetiana, es decir, se ubica en el marco de un modelo de aprendizaje por adaptación. Al hablar de un sujeto que modifica un objeto, donde a su vez se modifique a él mismo por los cambios del objeto, se provocó que Brousseau creara la noción de milieu como el medio donde actúa el alumno y aprende por adaptación. Pero este no fue su único fundamento epistemológico, además adopta la postura que el conocimiento se construye con base en los conocimientos antiguos, pero también en contra de ellos, es decir, se apoya en la construcción del conocimiento por oposición de Bachelard (citado en Pierrin-Glorian, 1994). En este momento, resulta importante la noción de obstáculo epistemológico (ver Unidad 2, Capítulo 1, Lección 4 del módulo) pues trata de las dificultades intrínsecas a los conocimientos. Cuando Brousseau identifica la falla electiva en la clase de matemáticas y cómo el fracaso matemático en un momento se supera para producir conocimiento, se da cuenta que el aprendizaje no sólo trata con asuntos mentales, sino que se trata de la decodificación de lenguajes, actitudes y comportamientos entre profesor y alumno estudiando un contenido matemático específico. Entonces, para dar una explicación científica de las condiciones que propician el aprendizaje se estructura la noción de contrato didáctico como aquello que condiciona la situación didáctica, los significados del problema y los conceptos, y la negociación del sentido de las actividades. Sin contrato didáctico lo que se tiene es, solamente una situación problema.

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Ahora bien, el profesor debe tener el control del contrato, en el sentido de reorientar la situación en caso de rupturas, es decir, si los conocimientos evolucionan, las relaciones alumno - profesor evolucionan y por lo tanto el contrato evoluciona también, y en este sentido las rupturas se vuelen importantes, de tal forma que lo que interesa no es la definición propia de contrato didáctico sino su conformación a lo largo de la situación didáctica. Pero para que el profesor pueda intervenir desde la organización del medio, provocar la devolución y establecer la situación de institucionalización debe identificar las variables de control en la situación de aprendizaje, lo que llevó a Brousseau a crear la fenomenotécnica como metodología de investigación y productora de situaciones de enseñanza, que hoy conocemos como ingeniería didáctica. Si atendemos cuidadosamente a nuestros señalamientos anteriores, concluiríamos que la teoría de situaciones fue creando sus categorías teóricas a partir de la observación de los fenómenos didácticos, hasta lograr modelar aquello que rodea al proceso de enseñanza y aprendizaje de un conocimiento matemático específico, sólo a partir de aquello que se puede controlar. Lo que hemos tratado en estos apartados es de caracterizar a la noción de contrato didáctico con aquello que su definición no muestra, no deja ver. Por ejemplo, la naturaleza implícita de sus cláusulas, con los ejemplos de D'Amore, y la restricción que plantea la frase " en relación al conocimiento matemático en juego", considerando la introducción de la naturaleza epistemológica del conocimiento y la creación de la noción de contrato a partir de explicar la falla electiva o exclusiva en la clase de matemáticas.

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Lección 5. El contrato didáctico desde la aproximación socioepistemológica. 20 La aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática educativa se ocupa específicamente del problema que plantea la constitución del saber matemático y de su incorporación al sistema escolar. Dado que el saber se ha constituido socialmente, en ámbitos no escolares, su introducción al sistema le obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento; de manera que afectan también, las relaciones que se establecen entre los estudiantes y su profesor. Al momento de introducir el saber al aula se producen discursos intencionales que facilitan la comunicación de ideas matemáticas y en consecuencia favorece la formación de consensos. Estos discursos reciben el nombre genérico de Discurso Matemático Escolar (Cantoral, 1999) y son vistos como el medio para lograr una participación de la cultura en el ámbito didáctico. El grupo de investigación que trabaja bajo esta aproximación se ha propuesto el rediseño del discurso matemático escolar de forma que enfrente los problemas socioculturales que rodean a la actividad escolar en el campo de las matemáticas. Por ejemplo, la masificación de los sistemas de enseñanza, la traducción de obras educativas de una cultura o de una lengua a otra, los fenómenos de subordinación metrópoli - colonia, las prácticas de exclusión por género, etnia o condición laboral, son todos asuntos de índole sociocultural que habrían de ser explicitados por las investigaciones de la aproximación socioepistemológica. De ahí, que la noción misma de contrato didáctico, junto con la metodología de la ingeniería didáctica en tanto productora de situaciones didácticas, sirve como herramienta para el rediseño del discurso matemático escolar. Sin embargo, desde la aproximación socioepistemológica, las nociones matemáticas que entran en juego pueden, incluso, no ser objetos matemáticos propiamente aceptados por la comunidad matemática o en el currículo oficial, sino nociones que viven en ambientes alternativos como los que provee la propia ingeniería, la artesanía, el comercio, diversas prácticas sociales o cultural e incluso económicamente importantes, ya que la matemática también vive y evoluciona fuera del aula de matemáticas. Lo hace en las clases de física, química, etc., y lo hace en las prácticas cotidianas de contar y medir por citar un caso. Algunas primeras caracterizaciones pueden encontrarse en (Cantoral, 1990, Farfán, 1993 y Cordero, 1994) relativas a las nociones de predicción, estabilidad, y acumulación respectivamente. O más recientemente respecto de la promediación, la argumentación, los recursos argumentantivos ante la lectura de textos y la resolución de experiencias, etc. Así al trabajar mediante la metodología de la ingeniería didáctica, se asume como presupuesto teórico, el marco de la teoría de situaciones didácticas (ver Unidad 2, Capítulo 3 del módulo), sin embargo, no podríamos hablar de una situación de institucionalización si no hay un objeto matemático en juego en el sentido clásico de la teoría. Con esto se pretende reforzar la idea de la extensión de las aproximaciones teóricas existentes, y desde nuestra perspectiva, en este trabajo pretendemos añadir a las componentes epistemológicas, cognitiva y didáctica, la componente 20

Una Caracterización del Contrato Didáctico en un escenario Virtual. Gisela Montiel Espinoza. Centro de Investigaciones y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. Departamento de Matemática Educativa. México. 2002.

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sociocultural, a fin de rescatar la naturaleza social de la construcción de conocimiento matemático. Evidentemente, bajo esta perspectiva el contrato didáctico girará en torno al profesor, el alumno y el conocimiento o noción matemática en juego, pero en el sentido de la socioepistemología y en ese sentido, se incluyen en el contrato didáctico las condiciones socioculturales que rodean a la construcción o negociación de conocimiento.

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UNIDAD DOS: ASPECTOS GENERALES DE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

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CAPÍTULO 1. Obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas. Lección 1. La teoría de los obstáculos.21 En La formación del espíritu científico, Bachelard0 (1938) establece la idea de obstáculo epistemológico, el cual debe comprenderse como el efecto limitativo de un sistema de conceptos sobre el desarrollo del pensamiento, y da un listado extenso de los mismos, que impiden que un modo de pensamiento pre-científico conciba asimismo el enfoque científico. Brousseau se basa en esta idea al analizar el aprendizaje. Si el aprendizaje lo entendemos como adaptación al medio, esto implica necesariamente rupturas cognitivas, acomodaciones, cambio de modelos implícitos (concepciones), de lenguajes, de sistemas cognitivos. Si se obliga a un alumno o a un grupo a una progresión paso a paso, el mismo principio de adaptación puede contrariar el rechazo, necesario, de un conocimiento inadecuado. Las ideas transitorias resisten y persisten. Estas rupturas pueden ser previstas por el estudio directo de las situaciones y por el indirecto de los comportamientos de los alumnos (Brousseau, 1983). Un obstáculo es una concepción que ha sido en principio eficiente para resolver algún tipo de problemas pero que falla cuando se aplica a otro. Debido a su éxito previo se resiste a ser modificado o a ser rechazado: viene a ser una barrera para un aprendizaje posterior. Se revela por medio de los errores específicos que son constantes y resistentes. Para superar tales obstáculos se precisan situaciones didácticas diseñadas para hacer a los alumnos conscientes de la necesidad de cambiar sus concepciones y para ayudarlos a conseguirlo. Brousseau (1983) da las siguientes características de los obstáculos: 1. un obstáculo es un conocimiento, no una falta de conocimiento; 2. el alumno utiliza este conocimiento para producir respuestas adaptadas en un cierto contexto que encuentra con frecuencia; 3. cuando se usa este conocimiento fuera de este contexto genera respuestas incorrectas. Una respuesta universal exigiría un punto de vista diferente; 4. el alumno resiste a las contradicciones que el obstáculo le produce y al establecimiento de un conocimiento mejor. Es indispensable identificarlo e incorporar su rechazo en el nuevo saber; 5. después de haber notado su inexactitud, continúa manifestándolo, de forma esporádica. Se distinguen los siguientes tipos de obstáculos: 1. OBSTÁCULOS ONTOGENÉTICOS -a veces llamados obstáculos psicogenéticos: se deben a las características del desarrollo del niño. 21

Disponible en: http://aportes.educ.ar/matematica/popup/tipos_de_obstaculos.php

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2. OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS: que resultan de las elecciones didácticas hechas para establecer la situación de enseñanza. 3. OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS: intrínsecamente relacionados con el propio concepto. Evidenciado por medio de un análisis histórico, tal tipo de obstáculo debe ser considerado como parte del significado del concepto. Por tanto, encontrarlo y superarlo parece ser una condición necesaria para la construcción de una concepción relevante. Observamos que, frente a la teoría psicológica que atribuye los errores de los alumnos a causas de tipo cognitivo, se admite aquí la posibilidad de que tales errores puedan deberse a causas epistemológicas y didácticas, por lo que la determinación de este tipo de causas proporciona una primera vía de solución.

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Lección 2. Obstáculos ontogenéticos. Los obstáculos de origen ontogenético son los que sobrevienen del hecho de las limitaciones (neurofisiológicas entre otras) del sujeto a un momento de su desarrollo: él desarrolla conocimientos apropiados a sus medios y a sus objetivos. La epistemología genética pone en evidencia etapas, acomodamientos y asimilaciones, que, a la vez, se asemejan a las etapas del desarrollo de los conceptos por las leyes de regulación que los hacen aparecer, y difieren de ellas por la naturaleza exacta de las limitaciones que determinan esas regulaciones.

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Lección 3. Obstáculos didácticos. Los obstáculos de origen didáctico son los que parecen no depender más que de una elección o de un proyecto de sistema educativo. Por ejemplo, la presentación actual de los decimales en el nivel elemental es el resultado de una larga evolución en el marco de una selección didáctica hecha por los enciclopedistas y luego por convención (conforme a una concepción que remonta a S. Stevin mismo): teniendo en cuenta su utilidad, los decimales iban a ser enseñados a todo mundo lo antes posible, asociados a un sistema de medida, y refiriéndose a las técnicas de operación en los enterios. Así, hoy, los decimales son, para los alumnos "enteros naturales con un cambio de unidad", por lo tanto "naturales" (con un punto) y medidas. Y esta concepción, apoyada por una mecanización del alumno, va a hacer obstáculo hasta el D.E.U.G. (Diploma de Estudios Universitarios Generales). Es característico que el principal factor de discriminación de los alumnos en un cuestionario reciente (IREM de Rouen) sea el cálculo haciendo intervenir, a la vez, decimales y productos de una potencia por diez. Así, es la "comprensión" misma de la definición de los decimales lo que explica los comportamientos de los alumnos. Pero actualmente, un obstáculo tal se ha convertido, a la vez didáctico y sociocultural.

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Lección 4. Obstáculos epistemológicos. 22 Uno de los grandes aportes que realizo Bachelard a la moderna teoría del conocimiento fue sin duda alguna el de obstáculo epistemológico; estos son dificultades psicológicas que no permiten una correcta apropiación del conocimiento objetivo; a lo largo de la historia de la filosofía se habían realizado grandes esfuerzos para determinar las dificultades específicas que no permitían una apropiación adecuada de la realidad, pero estas dificultades se identificaban con la insuficiente capacidad de los órganos sensoriales para captar los diferentes fenómenos naturales, o con lo inapropiados de los instrumentos materiales utilizados en la investigación de los acontecimientos naturales. La búsqueda de dificultades al interior del intelecto del hombre para acceder al conocimiento objetivo la inicia Francis Bacon, quien en su obra Novum Organum plantea la necesidad de mantener una aptitud escéptica frente a todo el conocimiento obtenido hasta la fecha pero plantea la posibilidad de un conocimiento objetivo si se realiza antes una reforma del método para alcanzar la verdad; un primer paso en la reforma del método se realizaba limpiando la mente de errores que siempre están presentes cuando se realiza una investigación, esos errores Bacon los identifica como ídolos, que son prejuicios que se presentan al espíritu y que no permiten la correcta interpretación de la naturaleza. Francis Bacon identifica cuatro tipos distintos de ídolos: ídolos de la tribu, ídolos de la cueva, ídolos del foro o del ágora y los ídolos del teatro o espectáculo, todos ellos juegan un papel importante en la dificultad presentada al momento de apropiarse de la realidad. Los ídolos de la tribu son comunes a toda la raza humana y consisten en la tendencia a suponer que existe más orden y regularidad en la naturaleza de lo que realmente ésta tiene, se otorga realidad a cosas o sucesos que son deseados o imaginados posibilitando el engaño por parte de los sentidos. Los ídolos de la cueva son propios de cada hombre quien se encuentra dentro de una cueva que refracta la luz de la naturaleza distorsionando la realidad, pero esa distorsión no es la misma en todos los individuos pues depende de los hábitos, constitución corporal y mental, educación y accidentes de cada sujeto. Los ídolos del foro, ágora o mercado se originan en el trato de unos hombres con otros en donde significados erróneos dados a ciertos términos se terminan aceptando como reales y ciertos, estos errores se ratifican con el uso generalizado de los términos y pasan a ser tornados corno ciertos. Los ídolos del teatro provienen de leyes equivocadas de demostración dadas por los dogmas filosóficos, es por esta razón que según Bacon hay tantos ídolos del teatro como sectas filosóficas a saber: sofistas, empíricos y supersticiosos. Bachelard, al igual que Bacon, encuentra elementos en el interior del intelecto que dificultan el conocimiento certero de lo real y no permiten la adecuada evolución del espíritu para que pueda pasar de un estado pre-científico caracterizado por lo objetivo, lo inmediato, lo dado por los sentidos a un estado científico caracterizado por las ciencias físicas actuales. 22

Disponible en: http://pendientedemigracion.ucm.es/info/especulo/numero38/obstepis.html

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Frente a los grandes cambios sufridos por todas las ramas del saber el espíritu científico no puede permanecer impasible; ha de transformarse, proyectarse, crear nuevos métodos que le permitan entender y teorizar la gran revolución acaecida en las disciplinas científicas de la actualidad. Esto es de gran importancia pues los frutos de este desarrollo científico son nuevos y "llega siempre la hora en que no se tiene ya interés en buscar lo nuevo en las huellas de lo antiguo, en que el espíritu científico no puede progresar más que creando métodos nuevos. Los conceptos científicos mismos pueden perder su universalidad” El nuevo espíritu científico ha de tomar conciencia respecto a que un nuevo discurrir esta formulado con base en un experimento ya sea material o intelectual (recuérdese, los famosos experimentos mentales de Albert Einstein); si el resultado del experimento es nuevo, cambia o se contradice con lo que antes se esperaba, el discurrir que se haga del mismo también debe cambiar. La movilidad y constante evolución de los métodos científicos es la característica del pensamiento actual, sin la que el espíritu no se puede apropiar responsablemente del evolucionar contemporáneo de las ciencias. Para alcanzar este grado de enriquecimiento epistemológico el nuevo espíritu científico ha de abandonar los hábitos analíticos de la experiencia que siempre ha utilizado y que en general son propios de todo espíritu pre-científico; estos hábitos Bachelard los identifica como obstáculos epistemológicos que son barreras que se oponen a la formación de un espíritu científico. Los obstáculos epistemológicos no se refieren a los elementos externos que intervienen en el proceso del conocimiento científico, como podría ser la complejidad o la dificultad para captar el nuevo fenómeno al modo cartesiano, en el que la causa fundamental para no poder acceder al conocimiento radica en la mínima capacidad que tienen los sentidos para captar la realidad, sino a las condiciones psicológicas que impiden evolucionar al espíritu científico en formación. Es de suma importancia entender que el espíritu cuando se presenta ante un fenómeno para intentar comprender las leyes que lo rigen y que le permiten existir, no se presenta desnudo, sino con una serie de prejuicios que no le permiten un contacto directo y cualitativo con la nueva realidad, dado que "es entonces imposible hacer, de golpe tabla rasa de los conocimientos usuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debería saberse. Cuando se presenta ante la cultura científica, el espíritu jamás es joven. Hasta es muy viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecer espiritualmente, es aceptar una mutación brusca que ha de contradecir a un pasado.” Bachelard identifica diez obstáculos epistemológicos; el primer obstáculo a superar es el de la experiencia primera; está experiencia está conformada de informaciones que se perciben y se alojan en el espíritu generalmente en los primeros años de la vida intelectual esas informaciones no se pudieron someter a critica alguna, pues el espíritu se encontraba desarmado y altamente voluble dado que se encontraba sumergido en la inconsciencia del ignorar; al no sufrir critica alguna estas experiencias primeras pasan sin tamizar a convertirse en verdades primarias frente a las que es imposible crear nuevos conocimientos que vayan en contra de las mismas. Este obstáculo se ve reforzado por el aparente capricho de la naturaleza, que nos muestra una realidad

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inmediata que nada tiene que ver con el fenómeno verdadero; es por esto que "el espirita científico debe formarse en contra de la naturaleza, en contra de lo que es dentro y fuera de nosotros, impulso y enseñanza de la naturaleza, en contra del entusiasmo natural, en contra del hecho coloreado y vario. El espíritu científico debe formarse reformán dose.” El segundo obstáculo epistemológico identificado por Bachelard es el obstáculo realista, que consiste en tomar la noción de sustancia como una realidad, que no se discute y de la que parte toda una serie de conocimientos que tiene relación directa e indiscutible con la naturaleza de la sustancia misma, como no se puede explicar se la toma como causa fundamental o como una síntesis general del fenómeno natural al que se le asigna, es así como los alquimistas creían que en el oro se habían concentrado todas las bondades y propiedades características del sol; cosa similar sucedió con el fuego, ya que al desconocerse su génesis, se lo toma como un a causa universal. En este momento una sustancia real, misteriosa, deja de, ser un problema científico para convertirse en la generatriz de toda la realidad. El tercer obstáculo identificado por Bachelard es el verbal y se ubica en los hábitos verbales utilizados cotidianamente los que se convierten en obstáculos más efectivos cuanto mayor sea su capacidad explicativa, es así como un término que aparezca claro y diáfano al entendimiento pasa a ser tratado como un axioma al que no es necesario explicar, deja de ser una palabra y pasa a ser una categoría empírica para el que lo utiliza. El conocimiento unitario y pragmático es identificado como el cuarto obstáculo epistemológica que se presenta en toda comunidad pre-científica ya que el concepto de unidad permite simplificar el estudio de cualquier realidad, al poderse explicar el todo también se ha de poder automáticamente explicar sus partes, la unificación explica toda la realidad. El concepto de unidad se vuelve más peligroso si va unido con el de utilidad pues de inmediato se da más valor explicativo a lo que de alguna manera es útil, así ‘para el racionalismo pragmático una nota sin utilidad es un irracional'. El quinto obstáculo epistemológico es el denominado sustancialista que consiste en la unión que se hace de la sustancia y sus cualidades, Bachelard distingue un sustancialismo de lo oculto, de la intimo y de la cualidad evidente; en el sustancialismo de lo oculto se supone una realidad encerrada, cubierta por la sustancia la que se convierte en un problema pues se debe abrir esa sustancia para exponer su contenido; en el sustancialismo de la intima la cualidad profunda esta encerrada pero no de manera superficial sino profundamente encerrada, así que el trabajo para abrirla se torna más dispendioso ya que se asemeja al trabajo del alquimista que relacionaba la dificultad para hacer reaccionar algunos metales con lo estrechamente cerrado de su envoltura; de acuerdo can Bachelard en el sustancialismo de la evidente la realidad se capta en una intuición directa dando lugar a una explicación simple y peligrosamente sencilla. El sexto obstáculo es el realista en el que el entendimiento queda deslumbrada con la presencia de lo real, hasta tal punto que se considera que no debe ser estudiado ni enseñado, lo real se adorna con imágenes que llevan consigo las marcas de las impresiones personales del sujeto que investiga, así la argumentación de un realista es más agresiva frente al que no lo es porque el primero cree poseer la realidad del fenómeno.

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El séptimo obstáculo epistemológico es el denominado animista, según este cualquier sujeto presta mayor atención y por tanto da una más grande valoración al concepto que conlleve a la vida, que contenga vida o que se relacione con ella; en el espíritu investigativo siempre primará la vida pues ésta otorga un gran valor al elemento o elementos que tengan la posibilidad de contenerla; esta valoración no es nueva y siempre ha acompañado al hombre en cualquier estado de su desarrollo intelectual; no es casual el gran valor que se le da a la sangre en todas las culturas y en la gran mayoría de civilizaciones, pues ésta era identificada como el líquido dador de vida sin el cual la vida no era posible y, que al dejarse escapar se escapaba también la vida. Todo lo que posee vida tiene ya un carácter superior frente a lo que no la tiene, 'la palabra vida es una palabra mágica. Es una palabra valorizada. Todo otro principio palidece cuando se puede invocar un principio vital' El mito de la digestión es identificado como el octavo obstáculo a tener en cuenta, según este todo fenómeno que tenga relación con la digestión o la cocción (se considera al estómago como una gran caldera) pasará a obtener una mayor valoración explicativa; es así como al ser considerado el proceso de la digestión como un pequeño incendio por los alquimistas ellos le dieron más importancia a los procesos en que se necesitará del fuego para obtener un producto o una reacción; la digestión no solo lleva inmersa la idea de fuego sino también de vida, ya que es por el proceso de asimilación de alimentos mediante la digestión que la vida se mantiene. De esta manera el obstáculo se ve reforzado por otro anteriormente tratado, el animista, haciéndolo aún más peligroso para la consecuci6n del conocimiento objetivo. El noveno obstáculo epistemológico, Bachelard lo identifica como la libido, a la que se interpreta desde el punto de vista de la voluntad de poder o la voluntad de dominio hacia otros presentada en el individuo que investiga y que no puede dejar de reflejar en sus experimentos o en sus intentos de dar explicación coherente ante un fenómeno nuevo. Un ejemplo de ello es el fenómeno presente en todas las grandes culturas en las cuales la posesión de conocimiento o de hombres que poseyeran conocimientos permitían a unos pocos iniciados estar en las más altas esferas sociales; dado que tenían el poder de transformar el mundo real e influir sobre el mundo inmaterial. Otra faceta de este obstáculo es la constante referencia a pensamientos sexuales que se hacen presentes en todo espíritu científico en formación al enfrentarse a una situación nueva, y que según Bachelard se manifiesta plenamente en las reacciones químicas, aunque se encuentran presentes en todas las disciplinas del saber "enseñando química, he podido constatar que, en la reacción del ácido y la base, la casi totalidad de los alumnos atribuyen al papel activo al ácido y el pasivo a la base”, [2] de esta manera no cabe duda de la primacía explicativa en la reacción, que

se le ha de atribuir al ácido. El último obstáculo es identificado por Bachelard como el del conocimiento cuantitativo, ya que se considera todo conocimiento cuantitativo como libre de errores, saltando de lo cuantitativo a lo objetivo, todo lo que se pueda contar tiene una mayor validez frente a lo que no permita este proceso lo que no se pueda contar o que no tenga gran influencia sobre la cuantificación final se puede despreciar permitiendo el error típico que sucede cuando no se tiene en cuenta las escalas

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de los problemas llevando los mismos juicios y raciocinios experimentales de lo muy grande a lo muy pequeño. Todas las anteriores nociones se constituyen en elementos que dificultan el paso de un espíritu pre-científico a un espíritu verdaderamente científico. Estas nociones no sólo son propias del pensamiento científico contemporáneo pues Bachelard muestra que se presentan también de manera muy evidente en la antigüedad y en la época medieval, con lo que se pone de manifiesto que los obstáculos epistemológicos no son propios de una comunidad científica en especial o de una etapa de la historia del conocimiento sino que están presentes en los sujetos que han pretendido hacer ciencia a lo largo de todos los tiempos; es sólo mediante la superación sistemática de los obstáculos epistemológicos como el espíritu puede evolucionar de un estado pre-científico en el que la materia prima del conocimiento es la realidad circundante a uno en el que la misma noción de realidad se toma como una excusa para hacer ciencia, en el que nuevos conocimientos surgen de nuevas realidades existentes a veces únicamente como símbolos matemáticos. Otro aspecto del obstáculo epistemológico. 23 Dentro de los obstáculos de índole epistemológicos se identifica con mucha fuerza el hecho de que los estudiantes consideran que han ingresado al nivel universitario con serias deficiencias provenientes del nivel anterior. Se supone que una de las causas podría ser que los mismos provienen de escuelas de régimen estatal y que debido a problemas sindicales ocurridos en los últimos años, redujeron significativamente el número de días de clases dictadas. Estos conocimientos a los que hacen referencia los alumnos, no explícitos en el currículum de la asignatura pero necesarios en su proceso de estudio, Chevallard (1985) los denomina protomatemáticos y paramatemáticos. Brousseau (1983) a su vez, identifica a estos conocimientos como verdaderos obstáculos para construir los nuevos conocimientos. Se podría repensar desde la Institución y desde la cátedra la posibilidad de ofrecer a los estudiantes, antes del inicio de clases, un cursillo nivelatorio, de modo de poder suplir en alguna manera las deficiencias a las que hacen referencia los estudiantes y que tantos inconvenientes les ocasionan al momento de encarar sus estudios universitarios.

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Obstáculos comunicacionales en el aprendizaje de la Matemátic a.

Disponible en: w  ---.

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Lección 5. Obstáculos y errores.24 Todas las teorías sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas coinciden en la necesidad de identificar los errores de los alumnos en el proceso de aprendizaje, determinar sus causas y organizar la enseñanza teniendo en cuenta esa información. El profesor debe ser sensible a las ideas previas de los alumnos y utilizar las técnicas del conflicto cognitivo para lograr el progreso en el aprendizaje. 

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Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar. El término dificultad indica el mayor o menor grado de éxito de los alumnos ante una tarea o tema de estudio. Si el porcentaje de respuestas incorrectas (índice de dificultad) es elevado se dice que la dificultad es alta, mientras que si dicho porcentaje es bajo, la dificultad es baja.

Las creencias del profesor sobre los errores de los alumnos dependen de sus propias concepciones sobre las matemáticas. Aquellos que no han tenido ocasión de conocer cómo se desarrollan las matemáticas, o no han realizado un cierto trabajo matemático piensan que hay que eliminar el error a toda costa. Cambiar su manera de pensar implica un cierto cambio en la relación de dicho profesor con respecto a la actividad matemática. El modelo de aprendizaje es también determinante. En un aprendizaje conductista, el error tiene que ser corregido, mientras que es constitutivo del conocimiento en un aprendizaje de tipo constructivista. Algunas causas de errores y dificultades son las siguientes: 1. Dificultades relacionadas con los contenidos matemáticos: la abstracción y generalización de las matemáticas es una posible causa de las dificultades de aprendizaje. El análisis del contenido matemático permite prever su grado de dificultad potencial e identificar las variables a tener en cuenta para facilitar su enseñanza. A veces el error no se produce por una falta de conocimiento, sino porque el alumno usa un conocimiento que es válido en algunas circunstancias, pero no en otras en las cuales se aplica indebidamente. Decimos que existe un obstáculo. Con frecuencia el origen de los errores no es sencillo de identificar, aunque a veces se encuentran ciertos errores recurrentes, para los cuales la investigación didáctica aporta explicaciones y posibles maneras de afrontarlos. Ejemplo: La ordenación de los números decimales 2'47 y 2'328 es una tarea para la que un alto porcentaje de alumnos dicen que 2'328 es mayor que 2'47, "porque 328 es mayor que 47". Los números 24


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decimales los están considerando como si fueran "dos números naturales separados por una coma", y comparan ambos números separadamente. La identificación de tales obstáculos revela complejidades del significado de los objetos matemáticos que pueden pasar inadvertidas. La superación del obstáculo requiere que el alumno construya un significado personal del objeto en cuestión suficientemente rico, de manera que la práctica que es adecuada en un cierto contexto no se use en otro en el que no es válida. Parece razonable pensar que si un tipo de error se manifiesta en un cierto número de alumnos de manera persistente en una tarea, su origen se debe buscar en los conocimientos requeridos por la tarea, y no tanto en los propios alumnos.

2. Dificultades causadas por la secuencia de actividades propuestas: se puede dar el caso de que la propuesta de actividades que presenta el profesor a los alumnos no sea potencialmente significativa, por causas diferentes: a) Cuando el profesor no estructura bien los contenidos que quiere enseñar. b) Cuando los materiales que ha escogido, como por ejemplo los libros de texto, no son claros -ejercicios y problemas confusos, mal graduados, rutinarios y repetitivos, errores de edición, etc. c) Cuando la presentación del tema que hace el profesor no es clara ni está bien organizada -no se le entiende cuando habla, habla demasiado rápido, la utilización de la pizarra es caótica, no pone suficiente énfasis en los conceptos clave del tema, etc. El profesor debe analizar las características de las situaciones didácticas sobre las cuales puede actuar, y su elección afecta al tipo de estrategias que pueden implementar los estudiantes, conocimientos requeridos, etc. Estas características suelen denominarse variables didácticas y pueden ser relativas al enunciado de los problemas o tareas, o también a la organización de la

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situación (trabajo individual, en grupo, etc.). La edad de los alumnos o sus conocimientos previos influyen sobre el éxito de una tarea. Pero sobre estas variables poco o nada puede hacer el profesor en el momento en que gestiona la situación. En consecuencia, no se trata de variables didácticas. Ejemplo: En un problema del tipo, "Juan tenía 69 bolas, gana 2. ¿Cuántas bolas tiene ahora?" los valores numéricos elegidos permiten que el alumno encuentre la solución con la estrategia simple del recuento (69, 70, 71). Si cambia el enunciado de manera que en lugar de ganar 2 bolas, gana 28, el recuento es una técnica poco eficaz, por lo que el alumno probablemente se verá forzado a usar otros procedimientos. 3. Dificultades que se originan en la organización del centro: en ocasiones el horario del curso es inapropiado, el número de alumnos es demasiado grande, no se dispone de materiales o recursos didácticos, etc. 4. Dificultades relacionadas con la motivación del alumnado: puede ocurrir que las actividades propuestas por el profesorado a los alumnos sean potencialmente significativas y que la metodología sea la adecuada, pero que el alumnado no esté en condiciones de hacerlas suyas porque no esté motivado. Este tipo de dificultades está relacionado con la autoestima y la historia escolar del alumno. 5. Dificultades relacionadas con el desarrollo psicológico de los alumnos: una fuente de dificultades de aprendizaje de los alumnos de primaria hay que buscarla en el hecho de que algunos alumnos aún no han superado la etapa preoperatoria (teoría de Piaget) y realizan operaciones concretas, o bien que aquellos que aún están en la etapa de las operaciones concretas realicen operaciones formales. En la planificación a largo plazo del currículo habrá que tener en cuenta dos aspectos fundamentales: a) ¿cuáles de los objetivos del área de matemáticas corresponde a la etapa preoperatoria?, ¿cuáles a la de las operaciones concretas? y ¿cuáles a la de las operaciones formales? b) precisar las edades en que los alumnos pasan aproximadamente de una etapa a la otra. Ejemplo: Una de las maneras más habituales para introducir la fórmula de la longitud de una circunferencia en primaria consiste en hacer medir a los alumnos diferentes longitudes y diámetros de objetos circulares como platos, monedas, etc. para que comprueben que el cociente entre la longitud y el diámetro siempre es el mismo y que aproximadamente es 3,14. Para ello, los alumnos pueden rodear con una cuerda el perímetro del plato y luego extenderla sobre una regla para medirla. Si algún alumno no está en la etapa operatoria puede no entender que la longitud de la cuerda no varía al extenderla sobre la regla. 6. Dificultades relacionadas con la falta de dominio de los contenidos anteriores: puede ocurrir que el alumno, a pesar de tener un nivel evolutivo adecuado, no tenga los conocimientos

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previos necesarios para poder aprender el nuevo contenido, y, por tanto, la "distancia" entre el nuevo contenido y lo que sabe el alumno no es la adecuada. La evaluación inicial puede detectar los contenidos previos que hay que adquirir para conseguir el aprendizaje del contenido previsto. Ejemplo: Un alumno con dificultades en el algoritmo de la resta es de esperar que tenga dificultades con el algoritmo de la división.

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CAPÍTULO 2. La Transposición Didáctica. Lección 1. El triángulo: maestro, estudiante, saber. 25 Chevallard parte de la idea de que el sistema didáctico implica una relación ternaria: docente, alumno y saber. Dice al respecto: «El didacta de las matemáticas se interesa en el juego que se realiza entre un docente, los alumnos, y un saber matemático. Tres lugares, pues: es el sistema didáctico. Una relación ternaria: es la relación didáctica...». En ese sistema se analiza al docente, al alumno, pero pocas veces se cuestiona el saber que se enseña. Sin embargo, los contenidos que se transmiten en la escuela son una selección del conocimiento científico. Una selección que no implica un simple recorte, sino también una transformación del saber original. A ese proceso de transformación Chevallard lo llama transposición didáctica. Elementos del triángulo. 26 En este apartado, profundizaremos e n detalle en el estudio de los “elementos” del “triángulo”. En este parágrafo pediremos al lector deja r a un lado términos como “teorías de aprendizajes”, “epistemología genética”, “concepciones” etc., dado que nuestro análisis NO requiere de

posiciones en estos campos; esto, de hecho, es también aplicable sucesivamente a elecciones diversas en cada uno de los campos. Es obvio que como autores de esta postura y análisis tenemos nuestras propias elecciones personales, pero reiteramos que nuestro actual discurso se desarrolla en un ámbito mucho más amplio. Más aún: en estos casos, NO haremos citaciones a fin de evitar direccionar al lector hacia posiciones orientadas y dejar así amplia libertad de referencias.

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Transposición Didáctica. Silvia Hurrell. C.A.P.A.C.Y.T. - Área de Elaboración de Materiales.

26

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México. 14, 1, 48-61. 4 8-61. Disponible en: www.dm.unibo.it/.../it/.../443%20triangulo%20de%20la%20didactica.pdf 27

Tomado de: http://icar.univ-lyon2.fr/gric3/ressources/icpe/espagnol/partA http://icar.univ-lyon2.fr/gric3/ressources/icpe/espagnol/partA/A%20Intro.htm /A%20Intro.htm

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Para simplificar evitaremos, de ahora en adelante, el uso excesivo de las comillas: es claro que vértice, lado y triángulo son solamente formas de decir. Por brevedad, sea: S = saber, M = maestro o profesor, A = alumno. Los vértices: S: S se caracteriza en un “espacio” de referencias externas (al cual el milieu se refiere, por ejemplo en las “fuentes” que caracterizan las elecciones del maestro) que son: a) el histórico, b) el epistemológico, c) el conceptual (en las diferentes acepciones posibles). S es entonces una especie de polo de atracción de referencias ontológicas y epistemológicas. No debemos olvidar, sin embargo, las referencias de carácter epistemológico en el sentido psicológico (Moreno Armella, 1999). Es alrededor de este polo que se sitúa la teoría de los obstáculos epistemológicos. A: A hace referencia a proyectos culturales o cognitivos personales, pe rsonales, pero filtrados por la relación (institucional) de escolarización; pues, su cúmulo de experiencias personales (su “historia de sujeto que aprendió”) no está libre de vínculos. El estudio de la situación personal de A en el

interior de la situación didáctica fundamental (institucional), implica un análisis de tipo genético y psicológico. Es alrededor de este polo que se sitúa la teoría de los obstáculos ontogenéticos. A es pues una especie de polo de atracción de referencia genética y psicológica. Elementos de fuerte significado parecen ser los estudios relativos a: competencia real del alumno (esfera cognitiva cognitiva y metacognitiva, casos de dificultad) (Ashman, Conway, 1991; Borkowski, 1994; Cornoldi, Caponi, Falco etc., 1995). • convicciones personales del alumno alumno (esfera motivacional y afectiva) afectiva) (Cobb, 1985; Nicholls, Cobb, Wood etc., 1990). • expectativas del alumno (Elliott, Dweck, 1988). • estilo cognitivo personal del alumno (Gardner, 1993; Sternberg, 1996). •

De otra parte, aceptando la “ingeniería” como metáfora, es obvio que los siguientes son los verdaderos “pilares” del saber:

construir el saber sobre la competencia real del alumno y no únicamente sobre lo lo que se presume, • construir el saber teniendo en cuenta las convicciones del alumno y no actuando en contra de éstas (pero sí ayudando al estudiante a modificarlas), • construir el saber respetando las expectativas del alumno alumno o ayudándole a revelarlas, • construir el saber sin contrastar el estilo cognitivo cognitivo de cada uno, más aún, se requiere de la caracterización de este mismo. •

Si, en el pasaje entre S y el saber a enseñar, el maestro no val ora la real “carga” de este “pilar”, corre el riesgo de equivocar su previsión sobre la posible aceptación de la devolución (en la espera de implicarse por parte de cada alumno) y como consecuencia condena a sí mismo y al estudiante al fracaso.

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M: M hace referencia a proyectos culturales y cognitivos: personales (basadas sobre la propia experiencia de sujeto que aprendió, que ha tenido acceso a S. • profesionales (basadas sobre experiencias precedentes de sujeto que otorga el saber). • relativos a convicciones profesionales basados sobre modelos precedentes (por ejemplos construidos como estudiante). •

Sobre esto influye de manera notable, aunque a menudo inconscientes, el conjunto de las expectativas pedagógicas implícitas frecuentemente, pero también de las creencias relativas al saber y al conjunto de filosofías implícitas (Speranza, 1992). M es pues una especie de polo de atracción de referencias funcionales y pedagógicas. De los estudios sobre el polo M (Arsac, Balacheff, Mante, 1992; Baldini, Santini, 1997; Clark, Peterson, 1986; Cooper, 1991; Fennema, Carpenter, Peterson, 1989; Peterson, 1988; Thompson, 1992; Zan, 2000) se puede evidenciar las siguientes características: • •

el rol que asume el maestro en el aula el lenguaje del cual hace uso (con varias quimeras influenciadas por las expectativas y del proyecto educativo) (Maier, 1993)

• • • •

la conciencia reflexiva sobre su propio “trabajo”

las propias convicciones el análisis personal de la realidad social escolar (no desligada de la noosfera) la influencia de estudios y de investigaciones sobre su propio trabajo y sobre sus propias convicciones.

Es alrededor de este polo que se sitúa la teoría de los obstáculos didácticos. SA: El verbo que domina este lado es: aprender. La actividad que domina este lado es: devolución. Los elementos que caracterizan este lado son: • • • •

las diversas teorías de aprendizaje. la epistemología genética. el rol y la naturaleza de las concepciones. la teoría de los obstáculos epistemológicos.

Al lado SA [desde el punto de vista del maestro, por cuanto es a él quien le atañe, desde una perspectiva profesional, identificar los modos de funcionamiento del sistema] le corresponde las cuestiones de la transposición didáctica y de la ingeniería didáctica, con toda clase de problemáticas comunes que involucra el pasaje de S al saber a enseñar:

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Naturalmente, en las decisiones determinantes, sobre todo por cuanto concierne que parte de S tiene que llegar a convertirse en saber a enseñar, tienen un peso notable el currículo y las convicciones del maestro (como lo afirmamos en las citaciones precedentes). Y esto llama en causa la noosfera: las expectativas de la sociedad, sea en sentido general, sea en sentido específico. Ahora, es claro que no es el maestro quien decide S, como tampoco el saber a enseñar; pero es claro que el maestro es un intérprete sea de S sea de la decisión en cuestión: su filtro crítico, basado sobre convicciones personales y culturales (aunque implícitas), influencia fuertemente sobre lo que surge como producto final, al A. El “pasaje”:

está condicionado por la misma idea que, a menudo implícitamente, el maestro tiene de transposición didáctica y de ingeniería didáctica y dirige el currículo oficial en dos sentidos contradictorios: como excusa para una falta de responsabilidad en su labor docente o como objeto de análisis. SM: El verbo que domina este lado es: enseñar. La actividad que domina este lado es: transposición didáctica. Los elementos que caracterizan este lado son: • • • •

la transposición didáctica, las creencias del maestro relativas a: alumnos, saberes, aprendizaje, idea de escuela, objetivos de la educación (en general; matemática en particular).

El estudio más complejo implicado en este lado es aquel relativo a la “epistemología del maestro”

[entendida como el conjunto de expectativas, convicciones, saberes etc. que el maestro tiene relacionados con el saber, la escuela, el aprendizaje, la función y el rol de la escuela y de la educación etc. (Speranza, 1997; D’Amore, 2001, 2002a)].

MA: El verbo que domina este lado es: animar (con consecuencias del tipo: motivar etc.); lo podemos interpretar como: explicar las implicaciones personales, favorables a la devolución. La

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ingeniería didáctica tiene un rol determinante también aquí. Los elementos característicos de este lado son: • • • • • •

relaciones pedagógicas, contrato didáctico, obstáculos didácticos, evaluación (valorización), escolarización, devolución o falta de devolución,

Con todas las teorías y las hipótesis teóricas que le acompañan (ver citaciones precedentes). Sobre todo el triángulo (maestro-alumno-saber) “pesa” la noosfera con sus expectativas, sus presiones, sus elecciones. Un análisis moderno de esta problemática, en la cual se tienen en cuenta los resultados de los estudios y de las investigaciones en el contexto internacional, de los cuales hasta aquí han sido citados solamente algunos, no podemos prescindir de ulteriores análisis sobre sus polos, sus lados y la estructura misma del triángulo. En lo concerniente a los polos, tienen gran importancia cuestiones relativas a la dialéctica entre motivación y volición en A; las imágenes de la escuela, de las figuras en juego, del saber, de sí. En lo concerniente a los lados, tienen gran importancia cuestiones relativas a la metacognición (que crea expectativas y que influye en la transposición); en particular, todo cuanto concierne a conceptos, estrategias, algoritmos, autoregulación y control; además los juegos del lenguaje en una microsociedad bien determinada y con aprendizaje situado. En lo concerniente a la estructura global misma, tienen gran importancia cuestiones relativas al complejo de las relaciones, a los contratos instaurados, a las expectativas externas, a las teorías de aprendizaje, al sentido dado al término “comprender”, al sentido dado al término “saber”. En la microsociedad -clase, según los ámbitos, la problemática de los contextos, puede

haber una máxima o mínima relevancia; por ejemplo el pasaje de la tarea y la forma de abordarla, hacia los productos, pasando por los procesos (D’Amore, Zan, 1996). Es importante recalcar, para concluir, que el “acercamiento analítico” sobre los componentes del

sistema, sugeridos en estas páginas, no buscan, en caso alguno, no reconocer o intentar reducir la complejidad del problema, la complejidad sistémica del problema, es decir del modelo didáctico. Lo que deseamos mostrar es que es posible un análisis sistemático y minucioso de cada elemento del modelo sistémico con el único objetivo de aislar sus componentes, a fin de poder conocerlas mejor en su especificidad para después restituir a una visión holística los resultados alcanzados de manera tan específica.

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Lección 2. ¿Por qué la transposición didáctica? 28 La relatividad del saber a la institución en que se presenta lleva al concepto de transposición didáctica, (Chevallard, 1985), el cual se refiere a la adaptación del conocimiento matemático para transformarlo en conocimiento para ser enseñado. En una primera fase de la transposición se pasa del saber matemático al saber a enseñar. Se pasa de la descripción de los empleos de la noción a la descripción de la misma noción y la economía que supone para la organización del saber. La constitución de un texto para fines didácticos, reduce así la dialéctica, esencial al funcionamiento del concepto, de los problemas y los útiles matemáticos. Hay una descontextualización del concepto. También se asiste a un fenómeno de deshistorización, por el cual el saber toma el aspecto de una realidad ahistórica, intemporal, que se impone por sí misma, que, no teniendo productor, no puede ser contestada en su origen, utilidad o pertinencia. Una vez realizada la introducción del concepto, el funcionamiento didáctico va, progresivamente, a apoderarse de él para hacer "algo", que no tiene por qué tener relación con los móviles de quienes han concebido el programa. Su inmersión en el saber enseñado va a permitir finalmente su recontextualización. Pero ésta no conseguirá, en general, sobre todo en los primeros niveles de enseñanza, ni reconstituir el modo de existencia original de la noción, ni llenar todas y únicamente las funciones para las cuales se había decidido introducirlo. Por ejemplo, y refiriéndonos el tema de la Probabilidad condicional, es frecuente en los textos de Bachillerato encontrar un nuevo concepto relacionado con ella que es inexistente en el Cálculo de Probabilidades a nivel académico. Nos referimos al denominado "suceso condicionado", del que pueden verse en numerosos textos definiciones similares a la siguiente: "Al suceso consistente en que se cumpla B habiéndose cumplido A, se le llama suceso B condicionado a la verificación del suceso A y se escribe B/A". Sin embargo, el álgebra de sucesos es siempre isomorfa a un álgebra de conjuntos y las únicas operaciones posibles en un álgebra de conjuntos son las usuales de unión, intersección y diferencia. El estudio de la transposición didáctica se preocupa, entre otras cuestiones, de detectar y analizar esta clase de diferencias y hallar las causas por las cuales se han producido, con objeto de subsanarlas y evitar que la enseñanza transmita significados inadecuados sobre los objetos matemáticos.

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Lección 3. ¿Qué es la transposición didáctica? 29 La transposición didáctica es el mecanismo mediante el cual el maestr o o profesor “toma” el conocimiento y lo transforma para presentárselo a sus alumnos. El conocimiento humano se gesta en la comunidad científica, este es el saber o conocimiento o contenido que el profesor debe manejar perfectamente para poder enseñárselo a sus estudiantes. El docente debe entender varios aspectos de ese saber, considerado como “saber sabio” por

varios autores, pero no puede presentárselo a sus alumnos sin antes someterlo a un proceso de transposición didáctica. En este proceso, el camino inicial es la clásica seguidilla de preguntas que se debe plantear el docente antes de enseñar: EL QUÉ: ¿Qué voy a enseñar? Esto es la decisión en base a la selección de qué contenido voy a enseñar. Muchas veces los contenidos vienen dirigidos en la estructura programática de una asignatura. Pero dependiendo del nivel y del área del curso, el docente tendrá más o menos “libertad de cátedra” para elegir un contenido por sobre los otros posibles.

EL PARA QUÉ: ¿Para qué voy a enseñar esto? O sea con qué objetivo el docente va a enseñar un saber en un determinado momento de desarrollo del curso. La mayoría de las asignaturas en los niveles básicos de formación, no están implementadas para ser estudiadas con el fin de aprenderlas sino el de desarrollar destrezas cognitivas deseables para una determinada edad del estudiante. EL CÓMO: ¿Cómo voy a enseñar esto? El cómo es el escollo más difícil de superar y, más aun, para los docentes novatos. Elegir al fin y al cabo una manera para enseñar un contenido implica conocer muchas cosas, entre ellas, los mecanismos de aprendizaje de los estudiantes. En el cómo es cuando la didáctica se pone en juego. Cuando el docente logra una buena transposición didáctica logra “servir en bandeja” el contenido

que se desea enseñar de forma accesible y adecuada a la estructura mental del estudiante. Por ejemplo, si imaginamos una clase sobre el tema: Láser, veremos que tanto en primaria como en secundaria y en la universidad hay estudiantes capaces de entender este contenido. Pero si un estudiante de secundaria asiste a una conferencia universitaria sobre el Láser, de nada le servirá porque ese contenido, al no haberse convertido en “saber enseñado” por un docente capacitado,

no podrá ser asimilado por el estudiante, entre otras cosas, por no tener puntos de conexión mental existentes. La Transposición Didáctica.30 29

Disponible en: http://www.cosasdeeducacion.es/que-es-transposicion-didactica/

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“Los procesos de aprendizaje escolar surgen de las prácticas de estudio organizadas por el profesor”, por tanto, el docente cumple una función transmisora de aquellos sab eres o contenidos

que previamente han sido transformados o adaptados para la posterior enseñanza, durante este proceso, el docente intenta obtener el cumplimiento de unos objetivos con contenido significativo desde el ámbito del saber y lo cultural, que implican la transmisión de las estructuras de dominación dentro del proceso social. La transposición didáctica es un proceso mediante el cual los contenidos y saberes son adecuados para que se conviertan en saberes a enseñar a través de procesos didácticos que permitan fijarlos y emplearlos. Pero estos “objetos de enseñanza” productos de la cultura, poseen

direcciones definidas y fines determinados, es decir, la enseñanza tiene como objetivo el trabajo con el saber aprendido, por tanto, cumplen lineamientos culturales. La transposición didáctica está determinada por dos procedimientos, uno en el que los docentes establecen los saberes a enseñar y el segundo, es la ejecución o mecanismos para fijar estos saberes en los estudiantes conformando el currículo escolar. La transposición didáctica demarca una dinámica pedagógica, es decir un saber cultural es procesado en saberes a enseñar para lograr saber enseñado, mediante la ejecución de procedimientos y planeamientos establecidos en un currículo escolar. Ahora, estos saberes u objetos de enseñanza se hayan enmarcados por coyunturas y contextos establecidos por perspectivas ideológicas e intereses hegemónicos de poder y de continuidad de estructuras en dos dimensiones, una de carácter epistemológico en el que la ciencia denota intereses políticos y la segunda en donde se permite la elección y la exclusión de los saberes a transmitir en el proceso pedagógico. En la fase

de diseño en la transposición didáctica o “Noosfera” en t érminos de Chevellar,

confluyen varios factores que a su vez dividen el proceso en dos etapas, una durante el cual participan la industria editorial, el mercado, promoción, capacitación y la formación previa del docente para la elección de contenidos y de elaboración de material didáctico y se considera como etapa pedagógica que determina la enseñanza en el aula. La segunda etapa corresponde al proceso educativo concreto, durante el cual el docente ejecuta la enseñanza dentro del aula mediante un proceso igualmente de planeación, dirección y ejecución con opción del material elaborado. El proceso de diseño se configura por tanto como una etapa reproductiva de la “hegemonía del sistema educativo”.

En un sistema educativo se establece una relación hegemónica entre el educador y el alumno. El educador conforma el sujeto pedagógico dado que es el encargado de dirigir la dinámica de 30

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Antropología Social No. 19. transposicion-didactica.html

Buenos Aires.

C 

Ene/jul 2004. Disponible en: http://openboard.com.co/documentos/62-

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enseñanza dentro del aula y las prácticas educativas en relación con el sujeto de acción o estudiante. Esta relación implica el sostenimiento de las concepciones ideológicas de la clase dirigente y de la legitimidad del sistema al igual que la reproducción del saber legitimado. El trabajo de enseñanza se puede determinar como un instrumento de acción hegemónico en el cual el docente es el portador del conocimiento legitimado o teoría y al dirigir el proceso educativo confina al estudiante a la práctica. La democratización de la educación propende por una transformación del proceso educativo en el cual se haga un diseño general de la transposición didáctica y en el aula se promueva la participación activa de ambos actores (estudiante y profesor). Lugar de la didáctica y la pedagogía en la transposición didáctica La didáctica y la pedagogía se hayan referidas en dos procesos durante la transposición didáctica. Una cuando se elige el contenido o saber que se va a transmitir desde el diseño. Esta etapa es el resultado de la acción pedagógica en cuanto a la elección y planeación de parámetros a seguir en el proceso educativo a nivel macro y la didáctica en crear mecanismos sobre cómo enseñar. En la segunda etapa o etapa activa del proceso educativo la pedagogía y la didáctica son aplicadas a nivel micro por el docente encargado de dirigir una asignatura, ya que es el quien de forma autónoma o no elige, planea, organiza y adecua los elementos obtenidos durante la primera etapa y los transmite al estudiante utilizando para ello recursos didácticos. Rol de los educadores y los estudiantes en el proceso de transposición didáctica El rol del educador debe ser de iniciador y dado su capacidad y preparación académica el de organizar y elegir las pautas a seguir mediante un currículo que establezca posibles objetivos a lograr, sin embargo esto no debe opacar o limitar la participación del estudiante. El estudiante al igual que el docente puede proponer elementos que complementen e intenten dar cumplimiento a unos objetivos académicos grupales mediante la intervención, creación, proposición, argumentación y ejecución de propuestas que permiten observar al docente las necesidades del alumno desde su perspectiva y por tanto complementar un currículo bajo parámetros contextualizados.

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Lección 4. La vigilancia epistemológica. 31 Para el didacta, la toma de conciencia de la existencia de estos procesos le permite ejercer su vigilancia epistemológica. Esto vale también para el docente que reflexiona sobre su propia práctica. Dice Chevallard: «recapacitar, tomar distancia, interrogar las evidencias, poner en cuestión las ideas simples, desprenderse de la familiaridad engañosa de su objeto de estudio.» Aquí va un ejemplo: «Así, cuando el docente diga: "Hoy les he mostrado a² - b²" el didacta se preguntará: "¿Cuál es este objeto de enseñanza que el docente rotula como "a² - b²"? ¿Qué relación entabla con el objeto matemático al que implícitamente refiere?" Allí donde el enseñante ve la identidad del fin (el objeto designado como enseñable) y de los medios (el objeto de la enseñanza, tal como lo ha moldeado la transposición didáctica), el didacta plantea la cuestión de la adecuación: ¿no hay acaso conversión de objeto? Y en ese caso, ¿cuál?» Para Chevallard, la duda sistemática es una condición necesaria para romper con la ilusión de la transparencia de su universo de enseñanza, donde todo parece estar dado y controlado. Cuando los docentes tomamos conciencia de los niveles de mediación que existen entre el conocimiento erudito y el aprendido, cuando logramos discriminar y superar entre las posibles reacciones descritas la que nosotros adoptamos, estamos en condiciones de ejercitar la «vigilancia epistemológica» de la que habla el autor, tan necesaria para mejorar nuestras prácticas. Tal vez esto no sea fácil abordarlo solo, el encuentro y la discusión entre colegas, docentes, especialistas en los contenidos, es un posible camino. Lo importante es generar el espacio para investigar el propio quehacer.

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Transposición Didáctica. Silvia Hurrell. C.A.P.A.C.Y.T. - Área de Elaboración de Materiales.

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Lección 5. Críticas a la transposición didáctica. 32 Pese al gran éxito de la teoría de la transposición didáctica y al hecho de que numerosas didácticas disciplinarias hayan destacado y adoptado la potencia explicativa del concepto para el análisis del sistema didáctico, numerosas críticas se han igualmente desarrollado en su contra. A Petitjean (1998) reseña o destaca dos críticas principales: una percepción reductora de los saberes escolares; y una definición restringida del acto mismo de transposición. La cuestión de los saberes. Las críticas fundamentales se ocupan de la cuestión de los saberes. Según la mayor par te de ellas, provenientes de los didactas de otras disciplinas diferentes a las matemáticas, existen saberes relacionados especialmente con las prácticas sociales incluso las prácticas sociales del lenguaje, que no pertenecen forzosamente al saber académico elaborado por la comunidad científica. Estas críticas cuestionan entonces la idea según la cual “el” saber sabio sería la última referencia del saber a enseñar. Para M. Caillot (1996), especialmente es Chevallard, quien “habla del ‘saber sabio’ o, de una manera más general, del saber”, lo que deja sobrentender dos cosas: de una parte, que existe un

saber, y de otra parte, que éste es único, ya sea el saber sabio o el saber simplemente, lo que es por lo menos seguramente una perspectiva reductora para campos diferentes a las matemáticas. (p. 22). Se destaca en efecto que la sociología de los currículos nos enseña que los contenidos de enseñanza no son únicamente los saberes sabios producidos por la comunidad científica, sino que son igualmente el fruto de las demandas d e la sociedad y “son el resultado de un compromiso en donde la universidad, con los saberes que ella produce, no es más que uno de los actores potenciales en el juego de la definición de los contenidos de enseñanza” (Caillot, 1996, p. 229). Se precisa entonces que la influencia de otros actores en el proceso de producción de los saberes enseñados es particularmente clara en el campo de la enseñanza profesional y/o tecnológica. Por otra parte, algunos autores critican igualmente la cuestión de la “deformación” de los saberes sabios que se obra en la transposición didáctica. Para J. F. Halté (1998), en particular, “Que se quiera o no (...) el término mismo de ‘transposición’ tiene la idea que se toma de aquí para pasar

allá, sacando o arrancando el saber de su contexto (recontextualización), se cambia el sentido y el valor del saber. La teoría de la transposición confirma, esto, se agrava esta impresión: planteando que el saber realmente enseñado no es el saber sabio de partida, peor, no puede ser, ello da, el desagradable sentimiento de una deformación, de una degradación ineluctable, cuya enseñanza sería la víctima inconsciente, porque el saber toma forma también en herramientas –instrucciones oficiales, manuales, documentos de formación (….), basadas ya sob re la transposición, y ésta aparece como la responsable de todo el proceso, porque, en últimas en el fin de la cadena, el 32

La Transposición Didáctica: historia de un Concepto. Miguel Ángel Gómez Mendoza. Revista Latinoamericana de Estudios

Educativos. Volumen 1, Julio - Diciembre 2005, págs. 83-115.

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alumno participa necesariamente en la transposición”. (Halté, 1998, p. 173) Halté precisa no obstante que la posición defendida por Chevallard es indudablemente más compleja que una imagen o impresión reduccionista de la transposición didáctica, pero la obra del didacta de las matemáticas, según él, “suscita estas imágenes “disonantes” y las fomenta, abriendo así un flanco

al desarrollo de malentendidos que perduran después de la primera aparición de la obra. (Halté, 1998, p. 174). Otra crítica se ocupa sobre la cuestión de la emergencia de los nuevos objetos de enseñanza. Así, para M. Caillot, esta aparición, apa rición, es a menudo el resultado de discusiones conflictivas entre en tre los diferentes miembros de la “noosfera”, tomados en el sentido amplio y no restringido de especialistas de la disciplina implicada: “la definición de los nuevos currículos es siempre el resultado de apuestas sociales en donde muchos actores tienen su palabra por decir y donde científicos o universitarios no son finalmente sino uno de los elementos del debate. Lo relevador de estas luchas de influencia es la aparición de nuevos programas donde surgen nuevos objetos de enseñanza que no son el resultado de una transposición didáctica del saber sabio”. (Caillot, 1996, pp. 26-27). Esto es particularmente verdadero, según este autor, en el caso de la enseñanza técnica y profesional, donde los contenidos de enseñanza son negociados con los representantes de las profesiones. El carácter restringido del acto de transposición. Otro didacta, como A. Petitjean, vuelve a la definición ofrecida por Y. Chevallard: “en el sentido

restringido, la transposición didáctica designa entonces el paso del saber sabio al saber enseñado” (Chevallard, 1985, p. 18). Pero, él expone a continuación dos argumentos importantes que deben conducir a corregir esta concepción, partiendo especialmente del análisis de la didáctica de la lengua francesa. Ante todo, “en francés, el objetivo es menos enseñar saberes que desarrollar las competencias del lenguaje al servicio de las cuales, los saberes, bajo ciertas condiciones (formas de tener en cuenta a los alumnos en su diversidad cognitiva, sociolingüística y sociocultural; tipos de tareas y de actividades; formas de ayuda y de apoyo...) son enseñables”. (Petitjean, 1998, p. 25). Este autor estima, entonces, que en esta disciplina escolar, el francés, la transposición didáctica está en pensar sobre todo en términos de una pluralidad de saberes de referencia “que se deben seleccionar, integrar, operacionalizar y solidarizar” (Petitjean, 1998, p. 25). En este sentido, como lo propone J-F. Halté (1998), podría ser necesario, reemplazar el concepto de transposición por el de “elaboración didáctica”: “En francés, los contenidos a enseñar no se reducen a los saberes sabios transpuestos sino que reflejan o refractan también lo que J- L- Martinand llama las ‘prácticas sociales de referencia’” (Petitjean, 1998, p. 25). Este a utor muestra de esta forma que si se le aplica la expresión de “práctica social” a la disciplina “francés”, ella da cuenta del hecho que hablar, escribir, leer, pensar, en grados diversos, son las competencias que se desarrollan y se ejercen en las prácticas sociales no escolares. De esta manera, los autores de estas críticas ponen generalmente en evidencia el hecho de que la teoría de la transposición didáctica es válida y potente para las matemáticas, campo en el cual nació. También, ella puede eventualmente encontrar una cierta validez igualmente en el campo de

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las disciplinas “cercanas” de las matemáticas desde el punto de vista de las relaciones con el saber, como las ciencias físicas por ejemplo, “porque el objetivo de la disciplina es la producción de conocimientos científicos destinados a hacer inteligible el mundo físico”. (Caillot, 1996, p. 34) .

El rechazo a la transposición didáctica. Michel Tozzi (1995), por su parte, rechaza toda validez a la teoría de la transposición didáctica para la enseñanza de la filosofía. Él explica, en efecto, que este concepto no parece casi operatorio para esa disciplina escolar. Ofrece dos razones: (a) La filosofía no pretende ser una ciencia, aún si ella apunta a veces a un saber: “su estatus epistemológico no da cuenta de una doctrina obsoleta a causa de los progresos del conocimiento y no obliga su enseñanza a alguna reforma urgente para reducir la distancia entre el saber sabio y el saber enseñado”. (Tozzi, 1995, p. 240) . (b) el pensamiento filosófico, “está, de otra p arte, ya sea registrado en las obras reconocidas, ya sea al alcance por los universitarios implicados en su enseñanza y aprendizaje, o en sus publicaciones” (Tozzi, 1995, p. 240).

No hay en filosofía investigación en los laboratorios de empresa o de profesionales que hacen evolucionar su “práctica” gracias a su amplio dominio de la práctica, como puede ser el caso de los pintores en sus galerías. “La filosofía perdura por sus obras, en la palabra y escritura de sus docentes especializados”. (Tozzi, 1995, p. 240). Finalmente, para este autor: “no es entonces gracias a un saber sabio, a las prácticas de referencia extraescolares, inclusive

juzgadas como socialmente útiles para ser aprendidas, que la filosofía puede o debe didácticamente transponer. Algunos piensan inclusive que toda transposición didáctica de la filosofía es injustificable por principio y aún peligrosa: se puede vulgarizar la historia de las ideas, pero no se entra en la filosofía más que por el pensamiento y, en primer lugar, retomando la reflexión de los filósofos (...) El profesor de filosofía dice ser un filósofo (mientras que el profesor de francés no es necesariamente un escritor). Porque de lo que se trata para todo alumno, es decir para todos los hombres, es de plantear las mismas cuestiones que los grandes filósofos (mientras que no se pide en física plantearse las mismas preguntas que Einstein), porque el sentido de la vida y de la muerte, del amor, del deber y de la felicidad, por ejemplo, tienen el mismo grado de proximidad esencial para cada uno de nosotros, llámese Sócrates o Dupont”. (Tozzi, 1995, pp. 240-241). Para A. Chervel (1988), en efecto, una disciplina escolar es una construcción específica caracterizada por cuatro elementos esenciales: (a) un conjunto de saberes considerados como característicos de la disciplina, que “constituye una vulgata dominante factual compuesta de enunciados positivos no discutidos por la comunidad educativa” (Márechal, 1995, p. 105); (b) los procedimientos de motivación, de incitación para interesar al alumno: nuevas tecnologías, temas de actualidad, contenidos nuevos; (c) los ejercicios canónicos; y (d) las prácticas evaluativas comunes que inducen a un aval, las prácticas de enseñanza: pruebas de examen de colegio y/o de bachillerato: “Para toma r en cuenta el mínimo de riesgos al alumno, el maestro navega lo más

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atento posible a los componentes factuales de los correctores, estas correcciones son las que permiten evitar discusiones o soluciona r litigios en las evaluaciones”. (Maréchal, 1995, p. 106). En este contexto, para Chervel, una concepción lineal de la transposición deja de un lado lo esencial: el saber escolar no es, en efecto, una simple declinación del saber sabio. Responde a ciertas invariantes y a ciertas limitaciones impuestas por la institución escolar, sin contar ciertas cargas cotidianas: números de días laborables en el calendario escolar, lo que implica un cierto corte del programa, horario, tiempos necesarios para la evaluación (control, corrección, etcétera).

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CAPÍTULO 3. La Teoría de las Situaciones Didácticas. Lección 1. Modelo de interacciones didácticas. 33 La teoría que estamos describiendo, en su formulación global, incorpora también una visión propia del aprendizaje matemático, aunque pueden identificarse planteamientos similares sobre aspectos parciales en otras teorías. Se adopta una perspectiva piagetiana, en el sentido de que se postula que todo conocimiento se construye por interacción constante entre el sujeto y el objeto, pero se distingue de otras teorías constructivistas por su modo de afrontar las relaciones entre el alumno y el saber. Los contenidos son el substrato sobre el cual se va a desarrollar la jerarquización de estructuras mentales. Pero además, el punto de vista didáctico imprime otro sentido al estudio de las relaciones entre los dos subsistemas (alumno - saber). El problema principal de investigación es el estudio de las condiciones en las cuales se constituye el saber pero con el fin de su optimización, de su control y de su reproducción en situaciones escolares. Esto obliga a conceder una importancia particular al objeto de la interacción entre los dos subsistemas, que es precisamente la situación - problema y la gestión por el profesor de esta interacción. Como indica Balachef (1990a) se está reconociendo en los trabajos sobre Psicología de la Educación Matemática la importancia crucial que presentan las relaciones entre los aspectos situacionales, el contexto y la cultura y las conductas cognitivas de los alumnos. Esta dimensión situacional, que subyace - explícitamente o no - en cualquier estudio sobre procesos de enseñanza, raramente es considerada como objeto de investigación por sí misma. Pensamos que la Teoría de Situaciones Didácticas de G. Brousseau es una iniciativa en este sentido.

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Universidad de Granada. Septiembre, 2010. Disponible en, http://www.ugr.es/local/jgodino.

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Lección 2. Noción de situación didáctica. 34 Guy Brousseau (1986, 1988 a, 1988 b, 1995, 1998, 1999), propone un modelo desde el cual pensar la enseñanza como un proceso centrado en la producción de los conocimientos matemáticos en el ámbito escolar. Producir conocimientos supone tanto establecer nuevas relaciones, como transformar y reorganizar otras. En todos los casos, producir conocimientos implica validarlos, según las normas y los procedimientos aceptados por la comunidad matemática en la que dicha producción tienen lugar. Concebir la clase como un ámbito de producción, supone ya tomas de posición: respecto del aprendizaje, de la enseñanza, del conocimiento matemático, de la relación entre el conocimiento matemático que habita en la escuela y el que se produce fuera de ella. Brousseau toma las hipótesis centrales de la epistemología genética de Jean Piaget como marco para modelizar la producción de conocimientos. Sostiene al mismo tiempo que el conocimiento matemático se va constituyendo esencialmente a partir de reconocer, abordar y resolver problemas que son generados a su vez por otros problemas. Concibe además la matemática como un conjunto organizado de saberes producidos por la cultura. La concepción constructivista lleva a Brousseau a postular que el sujeto produce conocimiento como resultado de la adaptación a un “medio” resistente con el que interactúa: “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje” (1986).

A la vez, Brousseau postula que para todo conocimiento (matemático) es posible construir una situación fundamental, que puede comunicarse sin apelar a dicho conocimiento y para la cual éste determina la estrategia óptima (1988 a). La concepción de la matemática como un producto de la cultura permite concebir la diferencia entre el conocimiento que se produce en una situación particular y el saber estructurado y organizado a partir de sucesivas interpelaciones, generalizaciones, puestas a punto, interrelaciones y descontextualizaciones de las elaboraciones que son producto de situaciones específicas. Resulta entonces que no se puede acceder al saber matemático si no se dispone de los medios para insertar las relaciones producidas en la resolución de un problema específico, en una construcción teórica que abarque dichas relaciones. En términos de Brousseau: “un medio sin intenciones didácticas es claramente insuficiente para inducir en el alumno todos los conocimientos culturales que se desea que él adquiera” (1986).

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La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la Matemática. Patricia Sadovsky.

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Lección 3. El contrato didáctico como situación. El modelo de Guy Brousseau describe el proceso de producción de conocimientos matemáticos en una clase a partir de dos tipos de interacciones básicas: a) la interacción del alumno con una problemática que ofrece resistencias y retroacciones que operan sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego, y, b) la interacción del docente con el alumno a propósito de la interacción del alumno con la problemática matemática. A partir de ellos postula la necesidad de un “medio” pensado y sostenido con una intencionalidad didáctica. Las interacciones entre docente y alumno a propósito de la interacción del alumno con el medio se describen y se explican a través de la noción de contrato didáctico. Esta herramienta teórica da cuenta de las elaboraciones con respecto a un conocimiento matemático en particular, que se producen cuando cada uno de los interlocutores de la relación didáctica interpreta las intenciones y las expectativas –explícitas e implícitas- del otro, en el proceso de comunicación. Cuando el docente dice, o gesticula, o sugiere, a raíz de una intervención del alumno referida al asunto matemático que se está tratando, además de lo dicho explícitamente, juega una intención que muchas veces se expresa entre líneas. El alumno – justamente porque es alumno- trata de descifrar los implícitos: supone, infiere, se pregunta – y se responde- qué quiso de decirle el docente con sus gestos. Todo eso interviene en la conceptualización que el alumno logre alcanzar. De alguna manera, el concepto de contrato didáctico nos permite tomar conciencia de que una parte de las ideas matemáticas de los alumnos son producto de inferencias que, por provenir de lo que el docente expresa pero no necesariamente dice, escapan generalmente a su control. Volveremos sobre estas cuestiones. una visión de la enseñanza que se centre exclusivamente en los procesos de producción de conocimientos en interacción autónoma con un medio, sin las retroacciones de quienes comparten la misma comunidad, ni la mediación de quienes representan el saber cultural (los docentes) desconoce que las respuestas a problemas particulares no se insertan de manera automática en un sistema organizado de conocimientos que permitiría abordar cuestiones que van mucho más allá del contexto que las hizo observables. Dicho de otro modo, se estaría desconociendo el carácter social y cultural de la construcción de conocimientos escolares. Desde la perspectiva de Brousseau la clase se piensa como un espacio de producción en el cual las interacciones sociales son condición necesaria para la emergencia y la elaboración de cuestiones matemáticas. El marco cultural de la clase impone restricciones que condicionan el conocimiento que se elabora. Por ejemplo, las herramientas matemáticas de los alumnos hacen posible que se desarrollen algunas demostraciones pero no otras. Por otro lado, la referencia que el docente tiene – inevitablemente- a la comunidad matemática erudita, juega un papel regulador en la constitución de ese marco cultural. Efectivamente, el docente, por ser representante del saber matemático tolerará – aunque sea provisoriamente- algunas producciones pero no lo hará con otras que pueden parecerle muy alejadas de aquello que quiere instituir. Estas regulaciones del docente que tienen como doble referencia la clase por una parte y la disciplina matemática en tanto conjunto organizado de saberes por otra, se explican a través de la noción teórica de contrato didáctico.

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Los dos tipos de interacciones básicos a los que nos hemos referido, sujeto/medio y alumno/docente- conforman en la Teoría de Situaciones un sistema, es decir que no pueden concebirse de manera independiente unas de las otras. Este sistema es la situación didáctica. Las relaciones entre los sub-sistemas son complejas y están sujetas permanentemente a reelaboraciones teóricas.

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Lección 4. Lo didáctico y lo adidáctico 35 Las interacciones entre alumno y medio se describen a partir del concepto teórico de situación adidáctica, que modeliza una actividad de producción de conocimiento por parte del alumno, de manera independiente de la mediación docente. El sujeto entra en interacción con una problemática, poniendo en juego sus propios conocimientos, pero también modificándolos, rechazándolos o produciendo otros nuevos, a partir de las interpretaciones que hace sobre los resultados de sus acciones (retroacciones del medio). El concepto de medio incluye entonces tanto una problemática matemática inicial que el sujeto enfrenta, como un conjunto de relaciones, esencialmente también matemáticas, que se van modificando a medida que el sujeto produce conocimientos en el transcurso de la situación, transformando en consecuencia la realidad con la que interactúa. En otras palabras, una situación adidáctica es una interacción entre un sujeto y un medio, a propósito de un conocimiento. “Hemos llamado situación a un modelo de interacción de un sujeto

con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en e ste medio un estado favorable. Algunas de estas “situaciones” requieren de la adquisición “anterior” de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero

hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso “genético”. Notemos que la misma palabra “situación” sirve, en su sentido ordinario, para describir tanto al conjunto (no necesariamente determinado) de condiciones que enmarcan una acción, como al modelo teórico y eventualmente formal que sirv e para estudiarla”. (1999). Esta doble acepción de la palabra “situación” a la que se refiere Brousseau, ha llevado en algunos casos a identificar “situación” con “problema matemático”. La confusión no es menor justamente porque, en el modelo de Brousseau, no es solamente el problema el que “determina” la

producción de conocimientos, - interpretación que daría lugar a poner la teoría bajo sospecha de una suerte de empirismo- sino la interacción que puede entablarse entre el sujeto y un “medio resistente” (en el que sin duda el problema es un núcleo principal). Nos interesa resaltar la idea de que la situación es una interacción. ¿Por qué? La palabra interacción da cuenta de un ida y vuelta entre el sujeto y el medio: frente a un problema el sujeto elige una alternativa matemática entre varias posibles, la pone en juego y tiene la posibilidad de analizar los resultados de sus acciones reafirmando sus decisiones o rectificándolas. Al hacer este movimiento está produciendo conocimiento, ya sea que confirme que una cierta relación matemática se ajusta al problema que encara, ya sea que tome conciencia de que lo realizado no es pertinente. Esta producción modifica el medio: ya no sólo están en él el problema y los conocimientos iniciales que fueron puestos en juego sino también los nuevos que se produjeron en la interacción con el problema. Pareciera que estuviéramos atribuyéndole cualidades humanas al medio, cuando decimos que ofrece respuestas a las acciones del sujeto – retroacciones- En realidad es el sujeto quien se 35

La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la Matemática. Patricia Sadovsky.

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ubica en posición de interpretar los resultados de sus acciones buscando analizar si las decisiones tomadas se encaminan a su finalidad (la resolución del problema). Para que este juego de acciones y retroacciones a raíz de una problemática ma temática sea posible se “piden” – en el mismo sentido en que se pide, por ejemplo que una cierta función cumpla con una característica – dos condiciones indispensables: que el sujeto – el alumno convocado a aprender- se ubique en una posición de producción y que el problema y el modo de plantearlo ofrezcan la posibilidad de que el sujeto valide sus acciones. Vemos entonces que los requerimientos del modelo condicionan tanto las características del medio como la posición del sujeto que interactúa con él. Esto trae aparejada la obligación teórica de precisar más detalladamente dichas condiciones para cada uno de los conocimientos matemáticos cuya enseñanza quiere pensarse bajo el filtro de este modelo. El carácter de “adidáctico” remite a un tipo de vínculo con el medio, en el que el sujeto compromete esencialmente su sistema matemático de conocimientos. “Entre el momento en que

el alumno acepta el problema como suyo y aquél en el que produce su respuesta, el maestro rehúsa intervenir proponiendo los conocimientos que quiere ver aparecer. El alumno sabe bien que el problema ha sido elegido para hacerle adquirir un conocimiento nuevo, pero debe saber también que este conocimiento está enteramente justificado por la lógica interna de la situación y que puede construirlo sin atender a razones didácticas.”(Brousseau, G; 1986). Como lo han señalado muchos autores, por ejemplo Margolinas (1993) la noción de “adidáctico” – digamos de paso que ha sido objeto de interpretaciones muy diversas- se refiere al tipo de compromiso intelectual que el alumno tiene con el medio y no alude al “silencio” del maestro sino al hecho de

que, para dar lugar a la producción de conocimientos, el docente no explicita cuáles son los conocimientos que el alumno debe movilizar. De todos modos, contornear la idea de adidacticidad es todavía una obra en construcción. Digamos ahora que lograr un compromiso intelectual de los alumnos con el medio es, en este modelo, responsabilidad del alumno y del docente. Al caracterizar el trabajo del docente, volveremos sobre la cuestión y daremos otra vuelta de tuerca a la noción de adidacticidad. ¿Quién es el sujeto de este modelo “situación”? Pensando en el tipo de interacción que se describe, aceptemos por el momento que el sujeto es un “sistema de conocimientos” (Perrin -

Glorian, M.J; 1999), y veremos más adelante cómo se vincula este sujeto con el alumno. Ante esta extraña caracterización del sujeto, abe insistir que estamos hablando de un modelo teórico. Todos sabemos que el alumno real y su sistema de conocimientos no se separan en la clase de matemática y que la cognición está atravesada por muchísimas cuestiones entre las que las afectivas e institucionales tienen un gran peso. Simplemente, cuando en el marco de modelo se hace el estudio teórico para analizar un proceso genético de producción de conocimientos, se está poniendo en relación un cierto problema matemático con un conjunto de conocimientos con los que se contaría para interactuar con dicho problema. Recordemos una vez más que – por ahora- estamos poniendo la realidad a cierta distancia. Dos condiciones son inherentes a la noción de situación adidáctica:

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El sujeto debe poder elegir entre varias estrategias, entendiendo que cuando se hace una opción, rechaza en simultáneo, otras alternativas; la situación tiene una finalidad6 que puede identificarse de manera independiente del conocimiento a producir. ¿Por qué Brousseau “pide” estas

condiciones para las situaciones a didácticas? La idea de elección múltiple está sustentada en la “necesidad” de provocar un juego entre

anticipaciones y decisiones, a partir del cual el sujeto va modificando sus esquemas y produciendo conocimiento. La posibilidad de elegir –y esto también ha sido objeto de malentendidos desde nuestro punto de vista- se va construyendo en las sucesivas instancias de la situación. ¿Qué queremos decir? El modelo situación adidáctica está concebido bajo el supuesto de que los conocimientos que están en juego en dicha situación tienen una complejidad tal que requiere de tiempos de elaboración más o menos prolongados. Por eso, se piensa en una situación que se implementa varias veces cambiando cada vez algunas condiciones – por ejemplo los números en juego, o las herramientas que se permiten para abordarlo, o las formulaciones que se proponen- bajo el supuesto de que dichos cambios van dando lugar a la producción de nuevas relaciones matemáticas por parte del sujeto. Más que pensar en un problema particular como núcleo del medio, se piensa en un tipo de problema con condiciones variables, cuyas particularidades se “fijan” cada vez. Por ejemplo, pensemos en el problema Reproducir un paralelogramo dado a partir de ciertos datos, dirigido a alumnos que están estudiando las propiedades de los cuadriláteros. El problema puede ser pensado para tratar dos asuntos: la identificación de los elementos que caracterizan el paralelogramo y el análisis de las condiciones de posibilidad de la construcción. Es claro que para que los alumnos puedan lograr una aproximación a los objetos matemáticos que están en juego, la situación deberá ser “jugada” una y otra vez. Para que las jugadas sean diferentes – de otro modo no se estarían produciendo nuevas relaciones- será necesario modificar en cada instancia o bien los datos con los que se trabaja o bien las condiciones en que se hace la construcción: quién decide cuáles son los datos que se usan, qué instrumentos de geometría que se permiten, o alguna otra variable que modifique la relación8 del alumno con la situación. Al interactuar una y otra vez con el mismo tipo de problema, el alumno va modificando su sistema de decisiones – de conocimientos- gracias a las lecturas que hace de las retroacciones del medio. En este caso, esas lecturas le informan si obtuvo o no el paralelogramo buscado. Las nuevas relaciones que va incorporando amplían el espectro de posibles que el alumno puede concebir y dan lugar al rechazo consciente de las decisiones erróneas. Señalemos además, que desde el punto de vista del investigador que diseña y estudia una situación didáctica, esta condición teórica que le exige identificar un conjunto de posibles para la situación, ofrece elementos para interpretar que, en la situación real, el alumno no es conducido “como por un c arril” a la solución del problema. (“La situación deb e conducir al alumno a hacer lo que se busca, pero al mismo tiempo no debe conducirlo.” (Brousseau, G; 1988 b). Si ello ocurriera – si el alumno fuera « llevado » a la solución del problema-, no estaría tomando

decisiones, no estaría entonces produciendo conocimiento.

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Concebir una finalidad para la situación, ofrece un espacio para la validación. Efectivamente, la lectura de las retroacciones del medio en términos de “distancia” a la finalidad buscada, habilita

al sujeto para conocer la pertinencia de sus decisiones, incorporando la aceptación o el rechazo de las mismas con la consiguiente evolución de los conocimientos. Señalemos sin embargo, que esta lectura de las retroacciones no es mecánica sino que supone una confrontación entre la anticipación y la constatación, que da lugar a un proceso de análisis de las relaciones puestas en juego y de búsqueda de elementos que ayuden a modificar las decisiones sancionadas como erróneas. En otros términos, las respuestas positivas o negativas del medio, serán retroacciones solamente si son interpretadas por el sujeto en relación con los conocimientos que dieron lugar a las acciones. En el ejemplo que proponíamos recién, la finalidad es obtener un paralelogramo que cumpla con las condiciones del problema. Las relaciones que se ponen en juego para obtener la construcción constituyen el objeto matemático que está en juego en la situación. Es claro que las dos condiciones a las que nos acabamos de referir – la necesidad de que el sujeto elija y la existencia de una finalidad que se pueda identificar de manera independiente del conocimiento matemático a producir- no “garantizan” que un alumno aprenda, ningún modelo teórico podría garantizar el trabajo personal que supone aprender. Para el investigador que diseña y estudia una situación didáctica, tener presente el modelo permitirá 

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hacer un análisis que implique pensar qué motivación cognitiva conduce a producir tal o cual estrategia como la solución del problema propuesto (1986); analizar por qué una solución al problema puede leerse en términos de un conjunto de conocimientos puestos en juego; explicar por qué la producción de un cierto conocimiento sería un medio más económico o más ajustado que otro para resolver un cierto problema; identificar los elementos de una situación que devolverían al alumno información sobre os resultados de su producción y concebir a partir de los mismos cómo podrían evolucionar los conocimientos iniciales puestos en juego en la situación.

Todos estos análisis dan un conocimiento a priori de la situación cuyo funcionamiento se quiere estudiar, que permite construir un conjunto de observables10 que se tornarán esenciales para interpretar lo que suceda efectivamente en el aula. O sea, las situaciones que se diseñan no pueden determinar el proceso de aprendizaje, pero en el momento en que se elaboran es fértil pensarlas como si realmente lo determinaran, porque de esa manera se afinan al máximo los análisis que permiten anticipar las potencialidades de la situación.

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Lección 5. Reflexiones finales. 36 Al revisar muchas de las discusiones colectivas que se generan en las clases, podemos identificar momentos en que los alumnos producen conocimiento en el marco de debates en los que intervienen alumnos y docente. Se trata de verdaderas discusiones intelectuales en las que se ponen en juego las ideas de unos y otros y en las que los aportes del docente son considerados para alimentar esas ideas, modificarlas, producir nuevas relaciones. El alumno produce conocimiento en el marco de la situación didáctica, pero para que ello ocurra, es necesario que lo haga desde una cierta posición: una posición desde la cual sus conocimientos interactúan con los del docente en un tipo de interacción que preserva la autonomía intelectual del alumno respecto del docente. Y esto depende de la posición de ambos. Del lado del alumno: ¿hasta qué punto se responsabiliza matemáticamente por la validez de sus resultados? Del lado del docente: ¿cómo considera al alumno? ¿Reconoce que interactúa con un sujeto cuyo sistema de conocimientos es diferente del propio y entabla un juego de proposiciones y oposiciones con el alumno? ¿Permite que el sistema de conocimientos del alumno se despliegue? La situación adidáctica supone la interacción de un alumno con una problemática de manera independiente de la mediación docente. Pero a la luz de estas preguntas que nos estamos formulando: ¿qué quiere decir “de manera independiente de la mediación docente”? Revisamos

nuestra visión de la noción de adidacticidad y empezamos a pensarla como una posición que sostienen el alumno y el docente, más que concebirla en términos de intervención o no intervención del docente. La responsabilidad matemática del alumno con relación a la problemática que enfrenta, no pasa por considerar o no la intervención del docente sino por la manera en que la considera. Obviamente no estamos hablando de intervenciones banales, sino de intervenciones que alimentan la interacción del alumno con su problemática. Pensar la adidacticidad como posición del alumno sostenida por el tipo de reconocimiento que hace el docente del alumno, en algún sentido nos “liberaría” de considerar las intervenciones del

docente con relación a la problemática con la que interactúa el alumno como compensaciones de las insuficiencias de un medio. Esto nos resulta interesante, no por una cuestión de nombres dentro de la teoría, sino porque permite concebir un modo de intervención que siempre puede enriquecer la calidad de las relaciones que el alumno establezca en su interacción con el medio. Algunos episodios de análisis de las clases, nos llevan a repensar también cómo interviene el conjunto de las interacciones de la clase en la construcción de esa posición del alumno en tanto sujeto matemático, de la que venimos hablando. Proponemos un ejemplo: en una de las clases en las que trabajamos, se discutía respecto de la cantidad de soluciones de un problema aritméticos con un grado de libertad entre las variables. Se habían propuesto dos caminos de resolución. La clase sostenía que por un método el problema tenía 41 soluciones y por otro método tenía 200. Esto hizo que el docente propusiera una nueva tarea a los alumnos: les pidió que encontraran una 36

La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para pensar y actuar la enseñanza de la Matemática . Patricia Sadovsky.

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solución que pudiera obtenerse por uno de los métodos y no por el otro. En el marco de este trabajo, una alumna muy floja llama a la profesora y le pregunta ¿cómo saben los chicos que hay 201 soluciones? Interpretamos que toda la discusión que se despliega en el aula, le informa a esta alumna que hay una manera de darse cuenta, que ella no comprende, pero que podría comprender. Y tal vez sea éste para ella el aprendizaje más importante de todo el conjunto de clases en las que se sostuvo el problema. En este sentido, un tipo de interacción sostenida para el conjunto puede ayudar a los que todavía no entraron en un cierto juego matemático, a construir esa posición adidáctica de la que hablábamos. Podríamos pensar que las interacciones generadas por la profesora con el conjunto de la clase, contribuyen al proceso de devolución del problema a esta alumna. La devolución operaría en este caso no a través de una interacción directa del docente con el alumno sino a través de la gestión de toda la clase que, al sostener el debate, informa al conjunto que las respuestas que se dan obedecen a razones. Las reflexiones anteriores abren una serie de cuestiones teóricas que deberemos discutir, profundizar y analizar como formadores de matemáticos.

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UNIDAD TRES: EL CONOCIMIENTO BASE DEL PROFESOR DE MATEMÁTICAS

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CAPÍTULO 1. Didáctica y Currículo. Lección 1. Otras perspectivas teóricas y líneas de investigación relevantes. 37 Las investigaciones sobre la enseñanza y el currículo matemático constituyen un área de estudio en Didáctica de la Matemática de extraordinario interés (Rico, 1997). Para el mundo de la práctica el currículo y la instrucción son el centro de la acción ya que se orientan hacia necesidades vitales para mejorar los programas de la matemática escolar, planteándose, por tanto, cuestiones básicas para la investigación. La investigación sobre currículo e instrucción, utilizando resultados de otros campos de la Educación Matemática - teorías del aprendizaje fundamentalmente - trata de ser una indagación sistemática para comprender o mejorar: a) la selección y estructuración de las ideas matemáticas a enseñar; b) la presentación de esas ideas a los alumnos; c) la evaluación de la efectividad del programa y del rendimiento de los alumnos. En síntesis, se interesa por comprender las combinaciones de contenido, secuenciación, estrategias y sistemas de impartición más efectivos para distintos perfiles de aptitudes de los alumnos. Un estudio pormenorizado de este campo, que incluye la descripción de la problemática y una valoración de resultados, se puede encontrar en Fey (1980) y Romberg y Carpenter (1986). Asimismo, resaltamos los trabajos de Rico (1990; 1997). Una característica de las investigaciones sobre el currículo y la enseñanza es su extraordinaria complejidad. Por ello, como indica Fey, los diseñadores de materiales curriculares o de procedimientos de instrucción, con frecuencia, basan sus esfuerzos en la creatividad personal, en juicios intuitivos y en la elaboración de test informales. Se dispone de poca investigación que explique la dinámica del sistema que pudiese transformar la mezcla de necesidades, intereses y valores en un currículo científicamente fundamentado. Así, la selección de los temas de la matemática escolar, se determina por: -

la estructura interna de la disciplina, sin un análisis epistemológico riguroso; el interés público, medido de un modo informal; la recomendación de expertos prestigiosos; los libros de texto, elaborados a veces con escasa fundamentación científica.

En consecuencia, no parece existir todavía un fundamento teórico y experimental consistente para la investigación sobre el currículo y la instrucción. Entre las cuestiones importantes y estrategias para las investigaciones futuras, Fey (1980) citaba, precisamente, como tema prioritario la búsqueda de una teoría de la instrucción, o sea el diseño de modelos teóricos que relacionen las principales variables curriculares e instructivas. 37



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El objetivo más perseguido en este campo ha sido el de buscar el mejor método de instrucción; pero ha sido improductivo en la identificación de procedimientos generales apropiados, secuenciación de estrategias o formas de presentación. En consecuencia, la investigación se está orientando hacia análisis más microscópicos del proceso curricular y hacia la búsqueda de los efectos que se esperan de una aproximación particular en situaciones y contenidos particulares. Este es el enfoque que se aprecia en la escuela francesa de didáctica de la matemática para las cuestiones curriculares.

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Lección 2. Otras investigaciones sobre currículo.38 Otras investigaciones sobre currículo e instrucción se han orientado hacia cuestiones generales, independientes de los contenidos particulares. Romberg y Carpenter (1986) afirman que la mayoría de las investigaciones sobre la enseñanza no han estado directamente relacionadas con las matemáticas y que los casos que han versado sobre este contenido se han centrado en mejorar la enseñanza de la matemática tradicional haciéndola más eficiente. Ahora bien, tales estudios se han basado en concepciones de la matemática y del aprendizaje ajenos a la perspectiva y resultados de las investigaciones cognitivas y, por tanto, sus hallazgos positivos podrían incluso ser irrelevantes o posiblemente perjudiciales. Las ideas sobre el contenido que se enseña son ignoradas a menudo o se considera que están al margen del espectro de indagación en la mayoría de las investigaciones sobre la enseñanza. Romberg, Small y Carnaham (1979) localizaron cientos de estudios que valoraban la efectividad de casi todos los aspectos concebibles de la conducta docente, pero encontraron pocos modelos de instrucción que incluyeran la componente del contenido. Sin embargo, se reconoce la necesidad de acometer investigaciones que tengan en cuenta el contenido específico y las técnicas didácticas apropiadas para tal contenido. En general, los estudios llevados a cabo dentro del paradigma proceso - producto relacionados con la enseñanza de las matemáticas no han logrado dotar a los profesores de una lista de conductas examinables que les hiciera más competentes y les asegurase que sus alumnos aprendan. En cierto sentido, esta investigación refleja los estadios iniciales de lo que Kuhn (1969) denominó "la ruta de la ciencia normal". En ausencia de un paradigma o de un conjunto de principios organizativos, todos los hechos, que posiblemente atañesen a un área problemática, es posible que parezcan de igual relevancia. Los estudios sobre enseñanza de las matemáticas hechos bajo un paradigma interpretativo, aunque son considerablemente menos numerosos que los positivistas, son interesantes ya que a través de diferentes lentes conceptuales se iluminan diversos aspectos de la enseñanza de la matemática. Como ejemplo puede citarse la línea de investigación sobre el pensamiento del profesor acerca de la Matemática y su enseñanza y el efecto de estas concepciones sobre su acción docente. Esta línea de trabajo está adquiriendo un interés creciente como puede verse en el ―handbook‖ editado p or Wood (2008). Entre las teorías generales que se han proyectado sobre la Educación Matemática, y que sólo han sido mencionadas, destacamos el conductismo, el aprendizaje por descubrimiento (Bruner) y el aprendizaje significativo (Ausubel). Una síntesis de ellas, desde una perspectiva de la Didáctica de la Matemática, puede encontrarla el lector en el texto de Orton (1988), así como de la teoría del aprendizaje matemático de Dienes. Otra teoría relevante para la investigación didáctica es la de los niveles de razonamiento de Van Hiele que puede consultarse en Jaime y Gutiérrez (1990).

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Lección 3. Enfoques de la Didáctica 39 Falsetti, Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 168) afirman que la enseñanza de la Matemática ha tenido un cambio acorde a la influencia de la psicología cognitiva en el campo de la educación pasando de la forma conductista a la forma constructivista. En la forma conductista se destacó el predominio de las evaluaciones de conductas manifiestas y observables, en términos de control de aquello logrado o no logrado por el estudiante. Aunque el modelo ha sido superado por distintas teorías psicológicas que dan sustento a otras modalidades de enseñanza, esta influencia está arraigada en la historia de la formación docente y forma parte, en la mayoría de los casos, de las biografías escolares de los docentes en ejercicio y formadores. Por ello, hoy en día el modelo conductista, en distintas variantes y grados, aún tiene vigencia. En lo que respecta específicamente al campo de la enseñanza de la Matemática, en su camino hacia el constructivismo, se produjo poco antes de la década del 70 una revolución como producto de dos corrientes: el desarrollo de la teoría de conjuntos y las implicaciones educativas de las investigaciones psicogenéticas de Jean Piaget. El desarrollo de la teoría de conjuntos, que se instaló en las escuelas con el nombre de Matemática Moderna, se llevó adelante sin conexión con los contenidos que hasta el momento se venían desarrollando (de Aritmética y Geometría), sino que se incorporaron como un capítulo anterior sin vinculación con el resto. La Matemática científica transitaba una etapa de formalización, propia de los avances del campo disciplinar. Se produjo un problema en la enseñanza de la Matemática a raíz de que esta formalización fue trasladada a las escuelas como ―la nueva Matemática que debía enseñarse‖, causando desconcierto en los docentes (que

ignoraban el contenido), las instituciones, las familias y por supuesto los estudiantes. En paralelo, el marco psicológico de las investigaciones en psicología genética determinó la importancia de ciertas actividades que, supuestamente, preparaban a los estudiantes para aprender los conceptos matemáticos. Estas actividades reproducían las realizadas por Jean Piaget en sus investigaciones psicológicas que tenían otra finalidad, no siendo ésta la inclusión directa de ellas en la enseñanza. Esta confusión ha causado una adaptación inapropiada de dichas investigaciones al ámbito educativo. Los aprendizajes de los estudiantes bajo la modalidad conductista, así como la enseñanza de la Matemática Moderna y las aplicaciones de la Teoría de Piaget, se percibían insatisfactorios. Tal vez por eso, estudios sistemáticos de dichos aprendizajes dieron origen a un campo disciplinar que poco a poco fue configurándose y ganando autonomía: es decir, a la Didáctica de la Matemática. De esta manera, el inicio de este campo como disciplina autónoma es relativamente reciente. El primer paso para sistematizar este campo de estudio se ha debido esencialmente a los aportes de G. Brousseau e Y. Chevallard, ambos investigadores franceses quienes han sido los referentes principales, en las décadas de los 70 y 80, de la que hoy en día se conoce como la 39

Didáctica de la Matemática basada en el diseño curricular de educación inicial – nivel preescolar. María Eugenia Gómez Naranjo. Departamento de Didáctica General, Específica y Teoría de la Educación. Universidad de León. 2012.

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―Escuela Francesa‖ de la Didáctica de la Matem ática. Desde entonces y de manera creciente,

se han ido desarrollando distintas teorías y enfoques que forman parte de la Didáctica de la Matemática que actualmente se nutre de aportes provenientes de diversos investigadores de todas partes del mundo. Aunque este campo haya comenzado a desarrollarse como disciplina sobre la base de la investigación, su valor y su status sigue siendo cuestionado y criticado principalmente por la comunidad profesional (matemáticos, docentes, ingenieros, etc.). Esencialmente esto se debe a que los trabajos producidos pueden no verse como interesantes o significativos. También podría atribuirse a dos razones: una de tipo comunicacional, que se manifiesta porque resulta difícil transmitir la idea esencial de los trabajos producidos, y la otra por deficiencias propias de los mismos. El objeto de investigación de la Educación Matemática (o de la Didáctica de la Matemática) es, en términos amplios, crear teorías y modelos sobre cómo se produce el conocimiento matemático a nivel individual y social, especialmente cómo se produce este conocimiento a nivel escolar y cuál es el conocimiento matemático adecuado, o susceptible a ser producido, en el ámbito de una institución escolar. Para ello toma como referencia el conocimiento matemático científico. Su método de investigación abarca, según el paradigma del investigador, desde el tipo de las ciencias fácticas (de la psicología, la sociología, la antropología) hasta el tipo comprensivista. En el primer caso, la forma de validar el conocimiento en esta disciplina es mediante la verificación de hipótesis. La Didáctica de la Matemática, que ha nacido como disciplina intentando desarrollar programas de investigación que respondan a problemas originados de desafíos y dificultades de la enseñanza de la Matemática, tiene, por otro lado, un rol práctico, intentando tener eficacia para resolver situaciones de enseñanza y aportar recursos para una mejor eficacia Didáctica, que contribuya también en la formación de los docentes. Falsetti, Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 169) afirman que entre los posicionamientos de algunos de los principales programas de investigación están el enfoque cognitivo en el que se destacan dos líneas de investigación: pensamiento matemático avanzado, introducido por Tall y Vinner, entre otros, y la teoría de los campos conceptuales desarrollada por Vergnaud. Adoptan una postura constructivista para el aprendizaje, para la enseñanza, atienden a las condiciones que posibilitan el aprendizaje significativo e investigan sobre las representaciones mentales de las personas. Otro enfoque es el constructivismo radical de Von Glasersfeld, señalado por Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 170). Éste tiene como bases la epistemología genética de Piaget, la formación del conocimiento por medio de la acción y la reflexión sobre la acción, la evolución de los esquemas que se adaptan al mundo experiencial del sujeto y modeliza el conocimiento. El aprendizaje es constructivista e individualista, la enseñanza es respetuosa de las construcciones de los alumnos que anticipan, confrontan y validan sus razonamientos y el docente es un mero facilitador, considerándoselo, en esta línea, ―aprendiz de la enseñanza‖.

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El constructivismo social, que tiene en Ernest a uno de sus referentes, adopta una ontología relativista moderada, propone la fenomenología social y entiende al mundo como el resultado de una construcción social. En su epistemología asume el conocimiento como provisorio y aceptado socialmente. La teoría del aprendizaje es constructivista, considera relevante el lenguaje, la interacción social y las situaciones de conflicto cultural y cognitivo. Dichos aspectos provienen de la teoría de Vygotsky. El enfoque fenomenológico debido centralmente a Freudenthal, explicado por Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 172), considera que los conceptos, estructuras e ideas matemáticos se han inventado como herramientas para organizar los fenómenos del mundo natural, social y mental. En una enseñanza que siga este enfoque se intentan describir los contenidos en relación a los fenómenos y los tipos de problemas para los que se han creado. En el enfoque semiótico, introducido por Godino y Batanero, se desarrolla la teoría de los objetos institucionales y personales y la teoría de las funciones semióticas, que postulan que las funciones semióticas facilitan el estudio de las representaciones mostrables (públicas) y las mentales (privadas) puestas en juego en las prácticas de Matemática. La introducción de las funciones semióticas permite perfeccionar la idea de que un sujeto comprende un concepto matemático determinado cuando lo usa eficazmente en diferentes prácticas; revisten singular importancia en el plano relacional y Por ello, las Matemáticas se consideran como una actividad de resolución de problemas, compartida socialmente como lenguaje simbólico y sistema conceptual organizado lógicamente. Su teoría del aprendizaje es constructivista. La teoría crítica por P. Valero y O. Skovsmose, reflexiona sobre la Matemática realizada en las instituciones, pensada como una herramienta para la emancipación democrática. Pretende la construcción de significados con mirada sociopolítica que complementa la construcción personal y social realizada en el aula. Considera las prácticas de la Educación Matemática en la escuela como una red de distintas cuestiones que se interrelacionan y juntas provocan las condiciones para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática en esa institución y esa red en la que intervienen las relaciones entre estudiantes, profesores, grupo de profesores de Matemática, administrativos y directivos, es el objeto de investigación para esta teoría por considerarla básica para la reflexión sobre la práctica. Se resalta la importancia de entender la política de la institución, la relevancia de las Matemáticas escolares, la organización de la escuela, la comunidad de profesores, el significado que cada docente da a la Matemática en el aula para entender el funcionamiento de la Matemática escolar. Por su parte, el enfoque sistémico encuadrado en la Teoría de Situaciones de G. Brousseau, y detallado por Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 174), plantea ampliar la reflexión teórica incluyendo un estudio de los contenidos matemáticos a enseñar y no limitarla al análisis de cuestiones cognitivas propias del alumno y de su aprendizaje. La Matemática es considerada como una ciencia que se ocupa de resolver problemas. El aprendizaje es concebido como constructivista y la tarea central de la enseñanza es llevar a cabo la transposición Didáctica. El enfoque antropológico, tiene como uno de sus principales exponentes a Y. Chevallard La Matemática es considerada como una actividad humana llevada a cabo en distintas instituciones.

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El aprendizaje es concebido como constructivista. La enseñanza se corresponde con una actividad de reconstrucción de los objetos matemáticos con el fin de reutilizarlos en otros contextos. Por ello, la función del enseñante es generar condiciones para llevar adelante esta reconstrucción. La metodología de investigación también es descripta como positivista. Para Falsetti, Rodríguez, Carnelli y Formica (2007: 193) aunque el somero panorama planteado deja entrever el auge y diversidad que tiene en estos momentos la Didáctica de la Matemática, la Escuela Francesa sigue siendo, a su entender, la más difundida a los fines de la formación docente. En los institutos de formación docente, así como en las capacitaciones, casi la totalidad de enfoques y propuestas se circunscriben a la línea francesa. Las tendencias actuales marcan una prolífica producción de trabajos de investigación en los distintos enfoques. Esto trae como consecuencia, el compromiso de tener que ampliar la mirada respecto a la formación en la Didáctica de la Matemática de los futuros docentes.

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Lección 4. Intervención Didáctica. 40 La intervención de las prácticas todavía no tiene un referente o un significado preciso, aunque se le podría considerar preliminarmente como un proceso amplio y complejo surgido desde los docentes y su trabajo y en el cual, teniendo como constante la reflexión de la práctica (acciones, relaciones y significaciones), se busca detectar problemáticas integradas a la misma, explicarlas causalmente y buscarles alternativas de cambio o transformación bajo una perspectiva innovadora. Así la intervención del profesor, al igual que ocurre con cualquier otra práctica social, es un auténtico proceso de investigación. Diagnosticar los diferentes estados y movimientos de la compleja vida del aula, desde la perspectiva desde quienes intervienen en ella, elaborar, experimentar, evaluar y redefinir los modos de intervención en virtud de los principios educativos que justifican y validan la práctica y de la propia evolución individual y colectiva de los alumnos, es claramente un proceso de investigación en el medio natural. La finalidad central o estratégica del proceso de intervención es el cambio o la transformación de la práctica y, como se dijo, la búsqueda o la perspectiva de la innovación. A su vez, la intervención de la práctica educativa guarda estrecha relación, a partir de una serie de aportaciones surgidas tal vez por la tradición intelectual inglesa y retomada por la reforma educativa en España, con lo que se denomina genéricamente investigación en la acción. Esto es, la actitud de regresar a las acciones educativas a partir de la reflexión, para conocer su sentido y su significado y desde ahí mismo iniciar el proceso de búsqueda y transformación. Es decir, lo que al profesorado le preocupa no es tanto el saber más sobre la enseñanza, como el mejorarla. El plan de indagación sistemática y pública que debiera ser la investigación en la acción sólo puede defenderse por su relación con la propia acción educativa, por su capacidad para mejorar la práctica educativa que ocurre en las aulas y en los centros. Es decir, las actividades de investigación debieran ser en sí mismas actividades educativas que eduquen a los implicados que ocurren en el marco de un proyecto educativo que forma parte del mismo. La intervención de las prácticas escolares implica someterse a un proceso de investigación o indagación de la misma; sin embargo, dicha investigación tiene como propósito conocer los diversos elementos de la propia práctica con sus respectivos psicosociológicos que la influyan o condicionen. Dentro de este marco, Gómez Valenzuela y Díaz (1999) indica que la enseñabilidad y la educabilidad son elementos a tener en cuenta si pretendemos realizar una intervención Didáctica pertinente. El proceso de planeación Didáctica nos obliga a pensar en el tipo de sujeto que queremos contribuir a formar, es desde allí que consideramos se inicia una planeación de la clase que sea adecuada para poder desempeñarnos en nuestra sociedad. 40


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El problema de cómo enseñar está acompañado de componentes de un orden similar como qué enseñar, cuándo enseñar y otros del orden de qué, cómo y cuándo evaluar. Con los maestros alumnos se debe emplear un modelo de intervención Didáctica, ello implica seleccionar estrategias metodológicas, definir estructuras (tipos) de aprendizajes, definir un estilo de enseñanza, definir un método de enseñanza, en síntesis, definir una serie acciones e intervenciones pedagógicas, y esta selección implica adoptar de hecho una serie de respuestas conductuales al interior de la escuela, del espacio pedagógico que luego será determinante en la estructuración del tejido de las relaciones psicosociales. Hoy el proceso didáctico ha recobrado la importancia restada ayer, por el interés sobre el producto final de la intervención escolar. El proceso de enseñabilidad al interior de la escuela recoge universales didácticos propios de la intervención pedagógica, hecho que favorece el posterior ejercicio pedagógico del maestro, pues no podríamos esperar serias innovaciones en la clase si los cambios no se establecen desde procesos de cualificación y formación. Por su parte, Peralta (2002:107) afirma que cualquier cambio no constituye necesariamente una innovación, ya que éste es un concepto que exige ciertas características, que implican necesariamente una transformación significativa de tipo parcial o más global, en función a mejorar una propuesta, y que por lo tanto debe instalarse e internalizarse de forma real e intencional.

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Lección 5. Reflexiones finales. 41 Es importante señalar que no existe una receta y que la variedad de métodos para la enseñanza de la Matemáticas es muy rica, por lo que el objetivo principal de la Didáctica de las Matemáticas, es introducir al principiante en la actividad Matemática a través de la resolución de problemas reales para los niños. El profesor actúa como un compañero en el proceso de investigación sin dirigir este proceso. En este enfoque, el aprendizaje de procedimientos es secundario al desarrollo del pensamiento matemático. Para ello es indispensable evaluar los métodos utilizados, al decidir si la idoneidad Matemática del método es baja, moderada o alta. Más allá del juicio emitido, es indispensable justificar la valoración del grado de idoneidad Matemática haciendo referencia a los criterios asumidos en la evaluación, con respecto a la idoneidad Matemática, se pueden plantear las siguientes preguntas: -

¿Qué contenidos matemáticos adecuados para la Educación están ausentes en el método? ¿Cuál es la proporción aproximada de contenidos matemáticos que aparecen en el método con respecto a los contenidos matemáticos recomendables para la Educación? ¿Excluye el método algún área, dentro de la Matemática, como la estadística, la medición, o el pensamiento espacial? ¿Se reduce el método a una parte de las Matemáticas como la iniciación a la lógica a través de la clasificación y la seriación, o al conocimiento numérico?

Cada profesor tendrá la respuesta en sus manos. El arte de enseñar Matemáticas requiere de un dominio de las Matemáticas, de los métodos de enseñanza y del manejo de los materiales disponibles. Así pues, es importante recordar que para el aprendizaje de las Matemáticas el niño requiere partir de lo concreto hacia lo abstracto. El hecho que un niño sepa ―contar‖ de 1 al 10, no quiere decir que en realidad sepa contar; ya que

para ello solo estaría utilizando su memoria. El niño que sabe contar identifica y diferencia lo que significa ―pocos y ―muchos; y realiza el conteo, primero, partiendo de material concreto, el cual visualiza, toca y percibe. Mal haríamos en e mpezar por enseñar los ―números , (entidades abstractas) pues éstas son expresiones gráficas (1, 2, 3…) lo que debe aprender el niño primero

es lo que significa un objeto, dos o tres. Si el niño descubre esto, estará apto para aprender otras nociones Matemáticas como la suma o la resta, de manera significativa. En la medida en que el docente tome conciencia de la importancia de contar con una buena formación, cualquiera sea la disciplina o el campo en el que actúe, el camino que se recorra por parte del estudiante y el profesor habrá sido más fructífero y sencillo. Esto obedece entonces a contar con una serie de conocimientos, técnicas, instrumentos y metodologías que permitan reflexionar sobre una mirada integrada en el nivel de la educación. 41


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CAPÍTULO 2. Competencias Matemáticas. Lección 1. Matemáticas: Conocimiento y Competencias. Las Matemáticas como ciencia y saber, son el cuerpo teórico acumulado a través de la historia, pero son también, la actividad humana de quienes las piensan, bien sea como objeto de reflexión (objeto) o como instrumento útil (herramienta) (Colombia. MEN. 1998). Desde esta perspectiva filosófica, la naturaleza de las matemáticas y de los objetos matemáticos, como entidades culturales, no puede ser descrita exclusivamente mediante su aspecto formal; en particular cuando se está interesado en los procesos de su enseñanza y de su aprendizaje. Lo anterior, implica por lo tanto las siguientes consideraciones de las Matemáticas, desde su naturaleza epistémica onto-semiótica: 1. Las Matemáticas son una actividad humana que se interesa por la solución de situaciones problemáticas, las cuales pueden referirse al mundo físico, social o al propio dominio de las Matemáticas, en el cual los objetos matemáticos emergen y evolucionan progresivamente. 2. Las Matemáticas constituyen un lenguaje simbólico en el que se expresan las situaciones problema y las soluciones construidas. Los n-sistemas de símbolos construidos culturalmente, tienen una función comunicativa y un papel instrumental, que modifican los propios sujetos que usan dichos símbolos como mediadores en la actividad matemática. 3. Las Matemáticas constituyen un sistema conceptual lógicamente organizado y socialmente compartido. Su aprendizaje es por tanto una construcción social de significados (Godino & Batanero, 1996). Por lo tanto, las Matemáticas como ciencia en general y las matemáticas escolares 42 como saber en particular, se reconocen como una actividad humana constructora de significados asociados a la experiencia personal y la del colectivo. El conocimiento matemático representa las experiencias de personas que interactúan en entornos, culturas y períodos históricos particulares. Es el resultado de una evolución histórica, de un proceso cultural, como construcción social de significados y de negociación intersubjetiva, cuyo estado actual, no es en muchos casos, su culminación definitiva y cuyos aspectos formales constituyen sólo una faceta de este conocimiento (Colombia. MEN. 1998). No es una simple representación de la realidad externa, es el resultado de la interacción entre el sujeto que aprende y sus experiencias sensoriales. Se trata de una transformación: un objeto matemático de 42

Es Chevallard (1991) quien propone a través de su teoría de la transposición didáctica una clara diferenciación entre el saber

í “b”   á   b ;  b á  q   á z 

personalizado, corporizado en su estudio, al interior de una Institución Educativa en un contexto social y con fines específicos.

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conocimiento, entrando en contacto con un sujeto que aprende, viene transformado, construido, deconstruido, gracias a los instrumentos cognitivos que este sujeto posee (D’Amore, 2005). Es así

el producto de la elaboración de la experiencia con la cual entra en contacto el sujeto que aprende. Por ser el conocimiento matemático, producto de las estructuraciones de la experiencia a la que se confronta el sujeto, dichas estructuraciones están dadas en la interacción dialéctica del sujeto y su entorno, dentro de un marco contextual histórico y cultural del cual hace parte el sujeto y dependen de cómo el sujeto, logra interiorizar las acciones efectuadas sobre los objetos materiales o ideales de este mundo exterior. Para lo cual, se requiere desplegar todo el potencial humano, en una constante e intensa actividad que inevitablemente desemboca en la necesidad de comunicar, discutir, demostrar, verificar y por tanto de simbolizar; procesos que entrañan un progreso lógico-formal en la actividad matemática. Cantoral, et al. (2005), explica tal complejidad a partir de la dualidad proceso – objeto que cumplen los contenidos43 disciplinarios de las matemáticas. Típicamente, el conocimiento matemático se inicia con el desarrollo de un proceso en términos concretos de un contenido disciplinar y, en la medida que el sujeto se familiariza con los procesos, estos se coordinan en una forma de pensamiento operacional, que en una etapa posterior se consolida como objeto de conocimiento matemático. Desde esta perspectiva dual: proceso-objeto de los contenidos matemáticos, para Cantoral y su grupo, construir objetos matemáticos es tarea esencial en el aprendizaje de las matemáticas; de tal forma, que el pensamiento operacional es uno de los principales objetivos del currículo. El sujeto no abstrae de los objetos mismos el conocimiento matemático, al manipularlos en sus múltiples experiencias, sino de las acciones ejercidas sobre ellos; acciones que han de ser interiorizadas mediante la abstracción reflexiva para constituirse progresivamente en operaciones mentales más diferenciadas, en complicidad con las estructuras primarias y anteriores. Por tanto, el conocimiento matemático no es una representación de la realidad externa; es el resultado de la interacción entre el sujeto que aprende y sus experiencias sensoriales (D’Amore, 2005 ). Es el conocimiento matemático, producto de la actividad humana sobre el mundo material o simbólico, como práctica social, para nada absoluto, en cambio si falible y provisional.

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Un contenido es una parte limitada del saber, restringido a un tema específico o elemento de dicho saber. Puede ser: disciplinario, metadisciplinario, pluridisciplinario, multidisciplinario, interdisciplinario, a-   … (’  & Fñ  ) E  á v   á ;   hh 

reelaboración de contenidos de manera autónoma y consciente en la realización de una actividad humana no rutinaria (’  & Fñ  )

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Vergnaud (1990), argumenta que el conocimiento matemático está organizado en campos conceptuales44, cuyo dominio ocurre a lo largo de un extenso período de tiempo, a través de multiplicidad de experiencias, madurez y aprendizajes, tanto individuales como en la interacción social. Un campo conceptual es para Vergnaud, un conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición, que es de toda la vida 45. Así por ejemplo, el campo conceptual de las estructuras multiplicativas consiste en todas las situaciones que pueden ser analizadas como problemas de proporciones simples y múltiples para los cuales generalmente es necesaria una multiplicación, una división o una combinación de esas operaciones. Varios tipos de conceptos matemáticos están involucrados en las situaciones que constituyen el campo conceptual de las estructuras multiplicativas y en el pensamiento necesario para dominar tales situaciones. Entre tales conceptos están el de función lineal, función no lineal, espacio vectorial, análisis dimensional, fracción, razón, tasa, número racional, multiplicación y división. De forma análoga, el campo conceptual de las estructuras aditivas es el conjunto de situaciones cuyo dominio requiere una adición, una sustracción o una combinación de tales operaciones. Para Vergnaud, un concepto matemático lo constituye la terna C = {S, I, R}, donde S es el conjunto de situaciones que dan sentido al concepto, I es el conjunto de invariantes (definiciones, propiedades y relaciones), sobre las cuales reposa la operacionalidad del concepto o un conjunto de invariantes que pueden ser reconocidos y usados por los sujetos para analizar y dominar las situaciones del primer conjunto y R es el conjunto de las representaciones (expresiones algebraicas, lenguaje natural, gráficos y diagramas, sentencias formales), que pueden ser usadas 44

Gérard Vergnaud, director de investigación del Centro Nacional de Investigación Científica (CNRS) de Francia, discípulo de Piaget, amplía y redirecciona en su teoría, el foco piagetiano de las operaciones lógicas generales y de las estructuras generales        gv  “j - ” á    Pg  como referencia el propio contenido del conocimiento y el análisis conceptual del dominio de ese conocimiento (Vergnaud, 1994, p.41; Franchi, 1999, p.160). Para Vergnaud, Piaget no se dio cuenta de cuánto el desarrollo cognitivo depende de situaciones y de conceptualizaciones específicas necesarias para lidiar con ellas (1998, p.181). El propio Vergnaud, en lo que se refiere a la Matemática se vio obligado a interesarse, mucho más que Piaget, por cuestiones como las estructuras aditivas y las estructuras multiplicativas para estudiar las dificultades de los alumnos en esas áreas, pareciéndole claro que las dificultades de los estudiantes no son las mismas en un campo conceptual o en otro. Publicado en Investigaciones en Enseñanza de las Ciencias, 7(1), 2002. http://www.if.ufrgs.br/ienci. Traducción de Isabel Iglesias. 45

Según Moreira (2002), la teoría de los campos conceptuales es una teoría cognitiva que pretende ofrecer un referencial más fructífero que el piagetiano para el estudio del desarrollo c ognitivo y del aprendizaje de competencias, particularmente aquellas implicadas en las ciencias y en las técnicas, teniendo en cuenta los propios contenidos del conocimiento y el análisis conceptual de su dominio. Aunque Vergnaud está especialmente interesado en los ca mpos conceptuales de las estructuras aditivas y de las estructuras multiplicativas (1983b, p. 128), la teoría de los campos conceptuales no es específica de esos campos, ni tampoco por supuesto de las Matemáticas.

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para indicar y representar los invariantes y consecuentemente representar las situaciones y los procedimientos para operar con ellas. El primer conjunto S de situaciones es el referente del concepto matemático, el segundo I de invariantes operatorios es el significado del concepto y, el tercero R de las representaciones son el significante. Una definición pragmática, podría considerar el concepto matemático como el conjunto de invariantes utilizables en la acción, pero esta definición implica también un conjunto de situaciones que constituyen el referente y un conjunto de esquemas puestos en acción por los sujetos en esas situaciones. De ahí, la terna C={S, I, R}, que en términos psicológicos, S es la realidad e {I,R} la representación, que puede ser considerada como dos aspectos interactuantes de pensamiento, el significado I y el significante R. Lo anterior implica, que para analizar un concepto matemático es necesario considerar estos tres conjuntos simultáneamente. No hay en general, correspondencia biunívoca, entre significantes y significados, ni entre invariantes y situaciones; no se puede, por lo tanto, reducir el significado a los significantes, ni a las situaciones. Como también es claro, un único concepto no se refiere a un solo tipo de situación y una única situación no puede ser analizada con una sola mirada del concepto. Así por ejemplo, en el concepto matemático función lineal, la terna C={S, I, R} la constituyen las situaciones que contextualizan dicho concepto y para las cuales la función lineal es el modelo matemático como ente organizador de las situaciones. Sus invariantes corresponden a la definición, que no es única, relaciones y propiedades en tanto condiciones de linealidad. Y para el conjunto de las representaciones del concepto matemático función lineal, se tienen entonces su forma de expresión algebraica, gráfica en el plano cartesiano, tabular en la tabla de valores correspondientes, diagramas sagitales de correspondencia y verbal escrito en el lenguaje materno46. Tres argumentos principales, llevaron a Vergnaud al concepto de campo conceptual: 1) un concepto no se forma dentro de un solo tipo de situaciones; 2) una situación no se analiza con un solo concepto; 3) la construcción y apropiación de todas las propiedades de un concepto o de todos los aspectos de una situación es un proceso de largo aliento que se extiende a lo largo de los años, a veces de una decena de años, con analogías y mal entendidos entre situaciones, entre conceptos, entre procedimientos, entre significantes (Moreira, 2002, p4). La ciencia matemática en su avance y consolidación científica ha organizado su desarrollo teórico en torno a los siguientes sistemas matemáticos: Sistemas numéricos, sistemas geométricos, sistemas métricos o de medidas, sistemas de datos y sistemas algebraicos y analíticos. De otro lado, la didáctica de la matemática, como disciplina científica (Gascón, 2004; Godino, et al, 2009), en desarrollo de su propósito esencial de orientar el estudio científico de los problemas 46

Coronado, A. & Montealegre, L. (2007). Tratamiento Didáctico de la Función Lineal. Tesis de Maestría. UPN, Bogotá, (sin publicar)

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de la enseñanza y el aprendizaje de objetos matemáticos en contextos institucionalizados, ha establecido formas específicas para abordar de manera organizada y sistemática este complejo proceso. Una de ellas es instalar en la estructura curricular del área de matemáticas dos aspectos básicos (Acevedo y otros, 2007): 1. Organización curricular en torno a tres aspectos: los conocimientos básicos, los procesos generales de enseñanza y desarrollo de competencias matemáticas y los contextos socioculturales y de aprendizaje que inciden en el proceso de formación humana en las instituciones educativas. 2. Los organizadores curriculares: hacen referencia a cómo organizar y distribuir, durante el proceso de formación, los conocimientos matemáticos básicos; los procesos cognitivos específicos que contribuyan a desarrollar pensamiento matemático y competencias matemáticas; y, los sistemas propios de la matemática (sistemas simbólicos, sistemas de representación, estructuras) (Ibid, 19) Estos organizadores curriculares son constructos de la didáctica de la matemática que, en Colombia, se han especificado de la siguiente forma: • • • • •

Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Pensamiento espacial y sistemas geométricos. Pensamiento métrico y sistemas de medida. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

En el caso particular del currículo de matemáticas colombiano (Colombia, MEN, 1998), los conocimientos matemáticos considerados básicos tienen que ver con procesos específicos de la matemática escolar que desarrollan el pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico, variacional y aleatorio y que son organizados curricularmente en correspondencia con los sistemas: numéricos, geométricos, métricos, variacional y de datos; en coherencia con el enfoque de sistemas47 para una organización curricular de las matemáticas escolares.

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Enfoque de Sistemas (Colombia, MEN, 1989). Comparativamente, para Estados Unidos y Canadá, por ejemplo, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) publicó en el año 2000 los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), en el cual se señala que los Estándares son descripciones acerca de lo que la enseñanza de las Matemáticas debería capacitar a los estudiantes para saber y hacer: es decir, los objetivos importantes de la educación Matemática. Los cinco primeros Estándares describen los objetivos relativos a contenidos en las áreas (sistemas) de: números y operaciones, algebra, geometría, medida y análisis de datos y probabilidad. Los otros cinco Estándares, tratan de los procesos de resolución de problemas, razonamiento y prueba, conexiones, comunicación y representación (p7). Los Estándares de contenidos y los de procesos, están indisolublemente unidos desde el grado 0 al grado 12. Y son enfáticos al afirmar, No se pueden formar y desarrollar competencias matemáticas, sin la comprensión y el uso de contenidos matemáticos (NCTM, 2000).

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En este sentido, un conocimiento matemático respecto a los sistemas numéricos, implica una comprensión de los números, los conjuntos numéricos, sus diferentes formas de representación, relaciones, significados de las operaciones, el cómo se relacionan unas con otras, el cálculo de cantidades con fluidez y la realización de estimaciones razonables. Un conocimiento matemático respecto al sistema variacional, implica una comprensión de patrones, relaciones y funciones, de sus diferentes formas de representación, el análisis de estructuras, modelos matemáticos y relaciones cualitativas y cuantitativas de cambio, dependencia y variación. Un conocimiento matemático respecto a los sistemas geométricos, implica la comprensión y análisis de las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones, sus relaciones, sus diferentes formas y sistemas de representación, transformaciones y simetrías. Un conocimiento matemático respecto a los sistemas de medida, implica la comprensión de atributos mensurables de los objetos y sus representaciones, los sistemas, unidades y procesos de medición, la aplicación de técnicas, uso de instrumentos y formulas apropiadas para la obtención de medidas. Un conocimiento matemático respecto al sistema de datos y aleatorio, implica una comprensión en la formulación de preguntas que puedan ser abordadas con datos, de su recolección, organización y presentación relevante para responderla; de la selección y utilización de métodos estadísticos apropiados, del desarrollo y evaluación de inferencias y predicciones basado en los datos y en la aplicación de conceptos de probabilidad. Conexo a los planteamientos anteriores sobre campos conceptuales y organizadores curriculares para la enseñanza de las matemáticas, el MEN ha introducido el concepto de competencia, en el marco de los estándares curriculares de competencia. Por ello, conviene asumir postura al respecto. La competencia matemática es un concepto complejo y dinámico (D’Amore, 2008).

Complejo porque tiene en cuenta dos componentes interactuantes e inseparables, como expresiones no únicas de la competencia: uso en diversidad de contextos 48 (de naturaleza exógena) y dominio (de naturaleza endógena), en la elaboración cognitiva, interpretativa y creativa de conocimientos matemáticos que relacionan contenidos diferentes. Dinámico, porque engloba no solo conocimientos matemáticos, sino también factores meta-cognitivos, afectivos, de motivación y volición y, que en la mayoría de veces, son el resultado de conocimientos diversos interconectados.

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El contexto, en su sentido amplio, tiene que ver con el entorno inmediato y los ambientes del sistema didáctico: maestroestudiante-saber matemático, que le dan sentido a las matemáticas objeto de aprendizaje. Variables como las condiciones sociales y culturales, intereses técnicos, tecnológicos o científicos, prácticas económicas locales, creencias y tradiciones, deben ser consideradas en la práctica educativa (Colombia, MEN, 1998, p36). Es del contexto que emergen situaciones problemáticas diversas que se constituyen en microambientes de aprendizaje de las matemáticas, que pueden tener su origen en la vida cotidiana, en las ciencias naturales, sociales y en las matemáticas mismas; es esto último el sentido restringido del contexto a los b     “ b”  ú    v á  colar.

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La competencia matemática supone la habilidad para usar los conocimientos matemáticos con flexibilidad y aplicar con propiedad lo aprendido en un contexto, a otro contexto. Uno de los hallazgos más importantes de la investigación didáctica citados en NCTM (2000), es que la comprensión conceptual “saber” es una componente fundamental de la competencia matemática, junto con el conocimiento factual “hacer” y la destreza con los procedimientos (Bransford, Brown y

Cocking, 1999). Supone también, reconocer la importancia de reflexionar sobre las ideas propias y aprender de los errores; incluso, cuando una actividad matemática resulta difícil, debería considerarse como un reto que merece la pena, en vez de cómo una excusa para rendirse, que puede ser atractivo y gratificante (NCTM, 2000, p22). Son los contenidos disciplinarios de las matemáticas y los conocimientos matemáticos, la base cognitiva para la formación y el desarrollo de competencias matemáticas. Cantoral, et al. (2005), al describir el pensamiento matemático como una de las funciones mentales superiores, destaca su desarrollo en todos los seres humanos, en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas. Desde esta visión, se argumenta como el pensamiento matemático, no se encuentra enraizado ni en los fundamentos de las matemáticas, ni en la práctica exclusiva de los matemáticos, sino que trata de todas las formas posibles de construir ideas matemáticas, incluidas aquellas que provienen de la vida cotidiana, de la actividad matemática como actividad humana, en tanto práctica social. Esto explica como las competencias matemáticas, no son puramente disciplinarias, debido a que su carácter transversal a todo aprendizaje desborda la disciplina y la hace parte integral de la formación humana. Es decir, se forman al interior de las matemáticas, pero constituyen procesos complejos y dinámicos, de uso, dominio y volición, en diversidad de contextos cotidianos, de las ciencias, las tecnologías y técnicas, que tienen que ver con el razonamiento, la modelación, la comunicación y el planteamiento y la resolución de problemas.

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Así por ejemplo en el caso de la formación y el desarrollo de competencias matemáticas en los contextos numérico – variacional, las bases cognitivas son los objetos matemáticos (contenidos) de los sistemas numéricos, algebraicos y analíticos, propuestos en el marco del enfoque sistémico49 que se constituyen en una organización de la matemática escolar retomados en los actuales lineamientos curriculares para el área de matemáticas en Colombia 50. Desde este enfoque sistémico de la matemática escolar, el conocimiento matemático de los sistemas numérico-variacional da cuenta de la comprensión de los números y de la numeración, el significado del número, la estructura del sistema de numeración; el significado de las operaciones, la comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas; el uso de los números y las operaciones en la resolución de problemas diversos, el reconocimiento de regularidades y patrones, la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia; conceptos y procedimientos asociados a la variación directa, a la proporcionalidad, a la variación lineal en contextos aritméticos y geométricos, a la variación inversa y al concepto de función, razón de cambio media e instantánea, pendiente de la recta tangente a una curva y función derivada (Acevedo, et al., 2007). Así entonces, la competencia matemática de resolución de problemas implica la construcción de nuevos conocimientos en la actividad matemática misma de resolver problemas, tanto de las matemáticas, como de otras ciencias y de la cotidianidad, es decir en diversos contextos; así como el aplicar y adoptar diversas estrategias, controlar el proceso y reflexionar sobre el mismo, de un modo consciente, crítico y deliberado. En este mismo sentido, la competencia matemática de razonamiento y demostración implica formular e investigar conjeturas, desarrollar y evaluar argumentos, elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y métodos de demostración, además de comprender y argumentar como los 49

El enfoque de sistemas es la forma de organizar curricularmente los contenidos de la matemática escolar. Por sistema, se entiende un conjunto de objetos matemáticos, con sus relaciones y operaciones. Son en este caso, sistemas específicos de la matemática escolar para la renovación curricular, los sistemas numérico, geométrico, métrico, de datos, lógico, de conjuntos, operaciones y relaciones y analítico. (VASCO, U. Carlos., 1984) (COLOMBIA. MEN. Marco general programa curricular: Matemáticas 5º grado. Bogotá D. E.: MEN, 1989). 50

Los contenidos disciplinarios de las Matemáticas, como la base cognitiva del pensamiento y las competencias matemáticas, obligan la reflexión crítica curricular, sobre la calidad y cantidad de dichos contenidos, que están a la base de las competencias matemáticas exigidas socialmente; por lo que teóricamente, se propone la elección de contenidos disciplinarios de las matemáticas, que constituyan los núcleos fundacionales o campos conceptuales, alrededor de los cuales articular otros        q vg   é á (’  & Fñ  ) .

Por núcleo fundacional o campo conceptual en las ideas de Vergnaud (1990), se entiende en el ámbito de la Didáctica de las Matemáticas, los contenidos claves para la estructuración misma de las matemáticas como disciplina científica, tanto en el plano epistemológico, como en el didáctico, que en el enfoque sistémico de las matemáticas escolares contemplan los sistemas numéricos, geométricos, métricos, variacional y aleatorio. Considerar en este punto, la noción de núcleos fundacionales o campos conceptuales, más que un listado de contenidos, equivale a tejer redes conceptuales a partir de la historia y la epistemología de los objetos matemáticos, para su transposición didáctica.

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conceptos e ideas matemáticas se interconectan unas con otras. La competencia matemática comunicativa por su parte, implica: la organización y comunicación del conocimiento matemático con coherencia y claridad a cualquier público; el análisis y evaluación de las estrategias y conocimientos matemáticos de otros, así como el uso coherente y comprensible del lenguaje matemático, con precisión para expresar ideas matemáticas (NCTM, 2000). Crear, utilizar, seleccionar, aplicar y traducir representaciones (Duval, 1996), para organizar, registrar y comunicar ideas matemáticas; para modelizar e interpretar, describir y argumentar fenómenos matemáticos, sociales y de las ciencias naturales. Como estructuras complejas y dinámicas, las competencias matemáticas son con las cuales y a través de las cuales el pensamiento matemático se estructura y re-organiza, en un reequilibrio permanente de competencias matemáticas precedentes y la adaptación de nuevas. Lo que permite suponer, que un determinado aumento de competencia matemática es un reequilibrio del pensamiento matemático y como tal, las competencias matemáticas generan a su vez nuevas competencias. A continuación la gráfica 1 muestra la dinámica y complejidad de este proceso psicolinguísticosocioantropológico, en su relación matemáticas escolares, pensamiento matemático y competencias matemáticas, que de ninguna manera agota la complejidad intrínseca a las competencias matemáticas y que por supuesto está determinada por la naturaleza epistémica onto-semiótica de las Matemáticas como ciencia y saber.

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Lección 2. Pensamiento variacional y de sistemas algebraicos y analíticos El pensamiento numérico, aproximación a su naturaleza. Específicamente, el pensamiento numérico es asumido por L. Rico como “…la línea de estudio e

investigación en didáctica de las matemáticas que se ocupa de los fenómenos de enseñanza, aprendizaje y comunicación de conceptos numéricos en el sistema educativo y en el medio social. Estudia los diferentes procesos cognitivos y culturales con que los seres humanos asignan y comparten significados utilizando diferentes estructuras numéricas”. Para este autor, el

pensamiento numérico se interesa por: la elaboración, codificación y comunicación de sistemas simbólicos para expresar los conceptos y relaciones de una estructura numérica; • la organización, sistematización y desarrollo de diferentes actividades cognitivas que surgen y se desarrollan en el marco de una estructura numérica; • los modos de abordar, interpretar y responder a fenómenos, cuestiones y problemas que admiten ser analizados mediante conceptos y procedimientos que forman parte de una estructura numérica (Castro, 1994. Citado por Rico) •

Sobre la base de estos tres aspectos, el autor plantea su modelo para el estudio del pensamiento numérico: 1) unos instrumentos conceptuales: sistemas simbólicos estructurados. 2) Unos modos de uso de los sistemas simbólicos: funciones cognitivas. 3) Un campo de actuación: fenómenos, cuestiones y problemas. En la misma dirección Mcinstosh (1992, citado por MEN, 1998; 43) afirma que “ el pensamiento numérico se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la inclinación y la habilidad para usar esta comprensión en forma flexible para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones”.

Se puede inferir claramente, que la naturaleza del pensamiento numérico está determinada por tres aspectos esenciales: Uno de naturaleza ontosemiótica: elaboración y uso social de símbolos para desarrollar los conceptos, las relaciones y las operaciones al interior de una estructura numérica. • Uno de naturaleza cognitiva representado en las capacidades y competencias matemáticas que desarrolla el sujeto al aprehender los objetos matemáticos de una estructura numérica. • Uno de naturaleza pragmática, de uso social y aplicación específica de los conceptos de una estructura numérica en la formulación y solución de problemas al interior de esa estructura. •

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Esta naturaleza involucra al pensamiento numérico en la comprensión del significado de los números, de sus diferentes representaciones, en el reconocimiento del valor absoluto y relativo de los números, en la comprensión de las diferentes operaciones y en la utilización de las operaciones y los números en la formulación y solución de problemas y la comprensión de la estrecha relación entre el contexto del problema y el cálculo necesario para su resolución. Hecha esta aproximación teórica a la naturaleza del pensamiento numérico, se requiere estudiar la naturaleza del pensamiento variacional para luego plantear sus posibles articulaciones didácticas. El pensamiento variacional, aproximación a su naturaleza. En los lineamientos curriculares (MEN, 1998; 72) propone abordar el estudio del pensamiento variacional desde la educación básica. Lo plantea como una posibilidad para superar “…la

enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentra como sustento de ellas”.

Así pues, el pensamiento variacional se ocupa del desarrollo matemático de la variación y el cambio, involucrando cantidades y magnitudes. Es una forma dinámica de pensar que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de las mismas o distintas magnitudes en los procesos recortados de la realidad. (Vasco, 2003). Es decir, desde contextos de la ciencia matemática, de otras ciencias o de la vida cotidiana, el pensamiento variacional contribuye al desarrollo de competencia para observar, registrar y usar el lenguaje y el pensamiento matemático en el campo del álgebra, las funciones y el cálculo. Por ello se plantea el pensamiento variacional articulado a la estructura simbólica de los sistemas algebraicos y analíticos. Asociados a este pensamiento se encuentran objetos matemáticos que se expresan en sistemas de representación como los enunciados verbales, la tabulación, las representaciones gráficas diversas, las formulas y las diferentes expresiones analíticas. Por ello, la naturaleza algebraica y analítica de este pensamiento, está articulada con los otros pensamientos matemáticos porque su tendencia a generalizar el conocimiento matemático (abstracción), requiere de estructuras invariantes (patrones), de regularidades, en medio de la variación y el cambio. Además, porque el desarrollo de competencias asociadas a este pensamiento, requiere de los objetos matemáticos asociados a los proceso de modelación de sistemas a través de las funciones para poder cuantificar la variación y el cambio. Estos objetos matemáticos están asociados a estructuras de los diferentes sistemas matemáticos, especialmente el numérico. En este sentido, por razones específicamente didácticas y curriculares, la didáctica de las matemáticas ha desarrollado el discurso de los pensamientos matemáticos ya enunciados. Se

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trata, entonces, con argumentos de la matemática y de la didáctica de las matemáticas, de explicar la convergencia y la articulación didáctica que se hará del pensamiento numérico y del pensamiento variacional; es decir, del pensamiento numérico – variacional. Argumentos para la articulación didáctica. La naturaleza del pensamiento numérico, como ya se dijo, está determinada por un aspecto de naturaleza ontosemiótica que sustenta el uso social de los símbolos de esa estructura matemática; por un aspecto de naturaleza cognitiva y por uno de naturaleza pragmática. Igualmente, el pensamiento variacional es de naturaleza algebraica y analítica y genera competencia para observar, registrar y usar el lenguaje y el pensamiento matemático a partir de conceptos, relaciones y operaciones en el marco de una estructura matemática, especialmente una estructura numérica articulándose a su naturaleza y estructura, sin que ello implique que no sea posible también en estructuras geométricas, métricas y aleatorias. De otro lado, esta articulación también es evidente cuando se estudian los tipos de conceptos, relaciones y operaciones matemáticas definidas al interior de sus respectivos sistemas matemáticos. Veamos (Acevedo y otros, 2007; 19): 1) Pensamiento numérico y sistemas numéricos: comprensión de los números y de la numeración; significado del número; estructura del sistema de numeración; significado de las operaciones y comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas; y, uso de los números y las operaciones en la resolución de problemas diversos. 2) Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos (MEN, 1998; 72): continuo numérico, reales, en su interior los procesos infinitos, su tendencia, aproximaciones sucesivas, divisibilidad. La función como dependencia, las magnitudes, el álgebra en su sentido simbólico, especialmente la noción de variable; modelos matemáticos de tipos de variación aditiva, multiplicativa, la proporcionalidad. El reconocimiento regularidades y patrones, identificación de variables, descripción de fenómenos de cambio y dependencia. Siguiendo a los autores (Acevedo y otros, 2007: 23) se plantean los conceptos, las relaciones y las operaciones presentes en el pensamiento numérico – variacional: 1) Indaga por la comprensión de los números y de la numeración; significado del número; estructura del sistema de numeración; significado de las operaciones y comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas; y, uso de los números y las operaciones en la resolución de problemas diversos; el continuo numérico, reales, en su interior los procesos infinitos, su tendencia, aproximaciones sucesivas, divisibilidad. La función como dependencia, las magnitudes, el algebra en su sentido simbólico, especialmente la noción de variable; modelos matemáticos de tipos de variación aditiva, multiplicativa, la proporcionalidad. El reconocimiento regularidades y

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patrones, identificación de variables, descripción de fenómenos de cambio y dependencia. Es a partir de los estándares básicos de competencias en matemáticas 51 para el pensamiento numérico y variacional (Colombia. MEN, 2005), que se enuncian a continuación. En cursiva y negrilla se identifican los objetos matemáticos (contenidos disciplinarios) asociados a dichos conocimientos matemáticos, en el marco organizacional del enfoque sistémico en lo numérico, algebraico y analítico descrito anteriormente. Problemas de investigación didáctica asociados al pensamiento numérico variacional. Las investigaciones didácticas en este campo de lo numérico y variacional, según English (2000), pueden analizarse desde el punto de vista del alumno, desde el del profesor o desde los contextos en los que se desarrolla el aprendizaje. Aquí aparecen cuestiones que marcan la agenda investigativa y tienen estrecha relación por ejemplo con: caracterizar los conocimientos y destrezas que necesitan los escolares para desenvolverse en sociedad, concretar qué conocimientos y habilidades necesitan los profesores para que los escolares desarrollen esos conocimientos, qué opciones metodológicas pueden incorporarse a la Educación Matemática o qué papel juegan las nuevas tecnologías TIC`S en el desarrollo de competencias. Un trabajo monográfico realizado por Lupiañez y Rico (2009), denominado Investigación en Educación Matemática: Pensamiento Numérico 52, ha reunido algunas de las investigaciones que en la actualidad tratan de explorar estas cuestiones y otras de interés para la Educación Matemática con el pensamiento numérico como hilo conductor. Cada uno de los trabajos aborda desde distintos puntos de vista y contextos, el estudio de fenómenos relacionados con el aprendizaje y comprensión de diferentes nociones matemáticas por parte de los escolares con dificultades de aprendizaje, con la resolución de problemas, con técnicas docentes, con la utilización de recursos educativos, con el tratamiento de las Matemáticas en los libros de texto, con la formación de profesores o con los fundamentos sicológicos del pensamiento numérico. Hitt y Morasse (2005), desarrollan una investigación sobre el pensamiento numérico y algebraico avanzado en escolares de educación secundaria, exploran el aprendizaje de la noción de covariación y constatan la importancia de las técnicas y recursos docentes para lograr dicho aprendizaje. 51

Colombia. MEN. (2005). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. Potenciar el pensamiento matemático: un reto escolar. 50p. Este es un documento oficial de referencia, que permite identificar la asociación entre los sistemas de la matemática escolar y los conocimientos matemáticos, para el currículo nacional colombiano. Sin embargo, como puede notarse, la enunciación de dichos Estándares, difiere en gran medida con la conceptualización de competencias matemáticas construida en el presente documento. 52

Lupiañez, J. y Rico, L. (2009). Investigación en Educación Matemática: Pensamiento Numérico, Publicado en Electronic journal of Research in Educational Psichology, No17, Voumen 7(1).

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Cañadas, Castro y Castro (2000), al estudiar la resolución de tareas en estudiantes de secundaria, se centran en el razonamiento inductivo, presentan un modelo que permite analizar ese desarrollo cognitivo e identificar parcelas del mismo que son más complejas para los escolares. Villegas, Castro y Gutiérrez (2000), realizan una investigación con estudiantes del último curso de la Licenciatura en Matemáticas, exploran el uso que hacen los estudiantes al resolver problemas de optimización. Los investigadores logran evidenciar cómo las relaciones y tránsito entre los diferentes sistemas de representación resultan fundamentales para resolver problemas de optimización. González, Rico y Gallardo (2000), abordan el problema de la comprensión numérica de la transición de los números naturales a los números enteros con la mediación de los números naturales relativos. Molina, Castro y Castro (2003), exploran con escolares de Educación Primaria, el desarrollo de su comprensión de igualdades y sentencias numéricas. Para lo anterior, en el contexto del uso de nuevas tecnologías en el aula de matemáticas, enfrentan los escolares a tareas de igualdades abiertas y a sentencias numéricas falsas y verdaderas. García y Romero (2006), analizan el impacto del uso de nuevas tecnologías en las técnicas de resolución de problemas y en las actitudes de escolares de Educación Secundaria, en el campo de la Aritmética y Geometría. Ruíz y Lupiañez (2003), estudian las nociones de razón y proporción y sus dificultades de aprendizaje; llevan a cabo un estudio empírico que pone en evidencia algunas de esas dificultades con escolares de Educación primaria en Ciudad de México. Ruiz, Molina, Lupiañez, Segovia y Florez (2006), centran su trabajo investigativo en las innovaciones docentes realizadas en un programa de formación inicial de profesores de Matemáticas de Educación Primaria, para adaptarlo al espacio europeo de Educación Superior. Toman la Aritmética y en ella ejemplifican a los futuros profesores, algunas de las innovaciones conocidas. Gómez (2005), producto de la exploración del aprendizaje de profesores en formación en la Educación Secundaria, presenta un instrumento para que estos desarrollen su competencia de planificación, desde los resultados de su implementación en un programa de formación, determina consecuencias para el diseño y puesta en práctica de esos programas, al igual las consecuencias del papel del formador de profesores. Segovia y Castro (2003), trabajan sobre pensamiento numérico en la estimación, describen investigaciones realizadas sobre el tema en las que se pone de manifiesto la importancia de la estimación para el desarrollo del pensamiento numérico.

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Maz y Rico (2007), en el contexto de la Historia de las Matemáticas, analizan el tratamiento de los números negativos en los textos de Matemáticas españoles usados en el siglo XVIII y XIX. Villarroel (2008), desde una perspectiva multidisciplinar aborda la complejidad del pensamiento numérico, manifiesta cómo es posible describir y analizar dicha complejidad, desde la sicología experimental, la neuroimagen o sicología del desarrollo.

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Lección 3. Pensamiento métrico y sistemas de medida. La observación de la naturaleza muestra la existencia de variadas formas en los cuerpos materiales que la componen y nos proporciona la idea de volumen, superficie, línea, y punto. Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de diversas propiedades de las figuras geométricas. Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituirse en disciplina matemática formal (proceso a cargo de la cultura griega, 300 A.C). En términos generales, el pensamiento métrico geométrico, se relaciona con los llamados hasta ahora pensamiento métrico y sistemas de medidas - pensamiento espacial y sistemas geométricos con la construcción, manipulación y estudio de las representaciones de los objetos geométricos en el espacio, a partir de definiciones, postulados, teoremas, medidas y relaciones tanto internas como externas detalladas o precisadas con base en el pensamientos numérico -variacional. Es así que el pensamiento métrico-geométrico vendría siendo una forma de pensamiento matemático, no exclusivo de la matemática misma y se basa en el conocimiento de un modelo del espacio físico tridimensional. Este pensamiento, "como reflejo generalizado y mediato del citado espacio tiene una fuerte base sensoperceptual que se inicia con las primeras relaciones del niño con el medio y que se sistematiza y se generaliza a lo largo del estudio de los contenidos geométricos en la escuela". Es decir, con el pensamiento métrico-geométrico se desarrollan tres capacidades muy bien delimitadas: vista espacial, representación espacial e imaginación espacial, todas íntimamente relacionadas entre sí (Proenza, 2005). Teniendo en cuenta que los sistemas geométricos se dinamizan a través de la exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos estáticos como para cuerpos en movimiento, conlleva generar este tipo de pensamiento métrico-geométrico, al desarrollar en el estudiante un proceso cognitivo de interacciones, que empieza desde lo intuitivo o sensorio-motor (que se relaciona con la capacidad práctica de actuar en el espacio, manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas, cálculos espaciales, etc), a lo conceptual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas. Es importante que este proceso de relación del entorno espacial con la medida, esté condicionado tanto por las características cognitivas individuales como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, el desarrollo de competencias matemáticas en el estudio de la geometría debe favorecer estas interacciones, permitiendo poner en funcionamiento propiedades geométricas, distribuyendo los contenidos en conceptuales, procedimentales y actitudinales. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y movimientos corporales. (MEN, 1998, p.56-57). Los lineamientos curriculares de matemáticas resaltan otro aspecto importante del llamado pensamiento espacial y es el de la exploración activa del espacio tridimensional en la realidad

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externa y en la imaginación, y la representación de objetos sólidos ubicados en el espacio. Al respecto Lappan y Winter afirman (MEN, 1998, p.60) que " A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que proporcionamos a nuestros niños son bidimensionales. Nos valemos de libros bidimensionales para presentar las matemáticas a los niños, libros que tienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales. A no dudar, tal uso de "dibujos" de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el proceso de comprensión. Es empero, necesario que los niños aprendan a habérselas con las representaciones bidimensionales de su mundo. En nuestro mundo moderno, la información seguirá estando diseminada por libros y figuras, posiblemente en figuras en movimiento, como en la televisión, pero que seguirán siendo representaciones bidimensionales del mundo real ".

En el pensamiento métrico-geométrico se trabaja en búsqueda de relaciones, transformaciones, desarrollo del pensamiento visual, el análisis de formas y figuras en el plano y en el espacio; de patrones y relaciones. Esta búsqueda se lleva a cabo con base en conocimientos y destrezas que es necesario ir adquiriendo, a la par de las etapas del desarrollo de la persona, puesto que llevan a la profundización de conceptos y generalizaciones utilizadas en el razonamiento espacial, la resolución de problemas de diversa índole, con el fin de obtener una mejor comprensión del mundo que nos rodea - que es eminentemente geométrico - y contribuir a la solución de necesidades específicas de las personas. Objetos matemáticos asociados al pensamiento métrico geométrico: En el Estudio de la Geometría las representaciones gráficas o los objetos concretos son una guía para comprender las propiedades de las figuras geométricas. El estudio de las figuras (conjunto de puntos del espacio) se sustenta en sus representaciones, ya sean objetos físicos (de cartón, madera,...), dibujos o esquemas. Las representaciones de las figuras del plano generalmente son gráficas (rectas, segmentos, polígonos), por eso al hacer geometría la experiencia es, fundamentalmente, una experiencia gráfica. Las construcciones geométricas son un medio para estudiar las figuras, y por ende, la manipulación de representaciones de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, está relacionada con el pensamiento métrico-geométrico; más específicamente la comprensión del espacio, el desarrollo del pensamiento visual, el análisis abstracto de figuras y formas en el plano y en el espacio a través de la observación de patrones y regularidades, el razonamiento geométrico y la solución de problemas de medición. La construcción de conceptos de cada magnitud (longitud, área, volumen, capacidad, masa, tiempo...), la comprensión de los procesos de conservación, la estimación de magnitudes, la apreciación del rango, la selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos. El uso de unidades, la comprensión de conceptos de perímetro, área, superficie del área y volumen (Icfes, 2007) fortalecen el desarrollo de las competencias matemáticas relacionadas con el pensamiento métrico – geométrico. Los lineamientos curriculares de matemáticas, Ministerio de Educación Nacional – MEN – (1998:57) plantea para el estudio del pensamiento geométrico partir de los objetos: punto – línea – superficie, cuerpo; naturalmente estos están interrelacionados con conceptos y objetos como: Segmento – rayo o semirrecta – recta, con sus relaciones de intersecación, paralelismo o

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perpendicularidad; dependiendo de sus posiciones relativas en el plano o en el espacio, en el cual es posible establecer conceptos e inscribir las figuras geométricas planas (bidimensional) como: ángulos, Triángulo – clasificaciones, relaciones de semejanza, congruencia; cuadriláteros – propiedades - Polígonos: Clasificación, Perímetro – área. Al avanzar hacia el estudio de los cuerpos en el espacio (tridimensional) se está relacionado con la construcción y manipulación de representaciones de los objetos, estableciendo si se trata de poliedros: prismas – pirámides y sus correspondientes troncos o de cuerpos redondos: cilindro – cono – esfera. De los citados sólidos, se estudia de forma correlacionada con el pensamiento métrico, el concepto de área: lateral, total y volumen o su capacidad, a partir del análisis abstracto de figuras y formas en el espacio, desde la observación de patrones y regularidades, el razonamiento geométrico y la solución de problemas. Se infiere que la propuesta de los Lineamientos es ocuparse del movimiento de las figuras geométricas “desde una posición a otra y de movimientos que cambian el tamaño o la forma del

objeto, es decir: Las transformaciones rígidas del plano (isometrías), traslaciones, rotaciones y la simetría:

Central y axial”, más que del estudio de la geometría a partir de las definiciones,

postulados, axiomas, teoremas, las demostraciones y el método deductivo; en consecuencia se puede considerar como “nuevos” objetos matemáticos de est udio: las transformaciones, la demostración, el área y el volumen. Como complemento al pensamiento geométrico y como forma de unificarlo al antes llamado pensamiento métrico, también se toman como objetos de estudio: Las magnitudes fundamentales como Longitud, Masa, Tiempo, Temperatura, Calor; las compuestas como la capacidad, el volumen, el área, la velocidad entre otras. El estudio de los objetos se hace a partir de la construcción de conceptos de cada magnitud, sus procesos de conservación, la estimación de rangos y magnitudes, la selección y el uso que se les da a las unidades de medida y los patrones de medición. Competencias Matemáticas a desarrollar y fortalecer desde el pensamiento métrico - geométrico. La competencia matemática desde el pensamiento métrico – geométrico es entendida como un saber hacer en y desde el contexto escolar, porque se tiene un conocimiento que está implícito en el campo de la actividad del estudiante, quien desarrolla acciones situadas que se definen en relación con determinadas herramientas de mediación. Ese conocimiento que tiene el alumno no solo es concebido como cúmulo de definiciones, conceptos, principios y métodos que deben ser aprehendidos para su posterior aplicación o transmisión, sino como reglas de acción que garantizan su aplicación y manejo; es decir, se requiere tener por lo menos tres clases de competencias muy generales, a saber: de aprendizaje, competencia afectiva y competencia comportamental. El Programme for International Student Assessment – PISA – (2003) explicita 8 tipos de competencias de aprendizaje matemáticas: Pensar y Razonar, Argumentar, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico; Utilizar herramientas de apoyo. Los lineamientos curriculares actuales para la enseñanza

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de este pensamiento realzan la importancia de objetivos relacionados con el desarrollo de las citadas capacidades, igualmente destacan la importancia del fortalecimiento de actitudes y valores como el gusto por la geometría, la autonomía y la cooperación; para el logro de esos propósitos se hace necesario proporcionar a los estudiantes diferentes experiencias basadas en tareas de geometría agradables, motivacionales, que se puedan realizar en un ambiente de aprendizaje estimulante; pero esto implica cambios significativos tanto en el papel del profesor como en el de los alumnos. Es posible trabajar cada una de las competencias matemáticas teniendo en cuenta entre otros, los siguientes dos aspectos: uno, el nivel de profundidad de la competencia que debe estar acorde con el nivel de escolaridad del estudiante y dos: la profundidad en el estudio del saber disciplinar que se hará con base en la teoría de los cinco niveles de pensamiento geométrico propuesto por los esposos Van Hiele (Pirre M. y Dina), estos se deben tener en cuenta en el proceso de enseñanza de la geometría, más aún cuando se va a estudiar la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes. Cuando el estudiante trabaja en el fortalecimiento de la competencia inherente al Pensar y Razonar está estructurando su capacidad para dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que él ha seguido para llegar a conclusiones; también le permite justificar sus estrategias, los procedimientos, formular hipótesis y contraejemplos, hacer conjeturas y predicciones, explicar los desarrollos usando hechos y propiedades, identificar patrones, utilizar argumentos para exponer ideas. Como esta competencia se relaciona con la argumentativa el alumno también comprueba ejemplos, prueba y estructura argumentos, generaliza propiedades y relaciones, identifica patrones y los expresa geométricamente haciendo uso del lenguaje propio de la geometría o del pensamiento métrico. Comunicar: El desarrollo y fortalecimiento de esta competencia permite al alumno, expresar sus ideas - en forma oral, escrita, audiovisual-, producir y presentar a la clase, argumentos convincentes, además de comprender, interpretar y evaluar la información presentada por otros en diferentes tipos de representaciones; al relacionar la competencia comunicativa con la representativa se espera que el estudiante llegue a usar diferentes tipos de descripciones, relacione materiales físicos y diagramas con ideas del pensamiento geométrico métrico, construya modelos usando lenguaje pictórico, gráfico, escrito, oral, aritmético algebraico, manipule proposiciones y expresiones que contengan símbolos y fórmulas, construya argumentaciones orales y escritas, traduzca, interprete y distinga entre diferentes tipos de representaciones, interprete lenguaje formal y simbólico y traduzca de lenguaje natural al simbólico formal propio de los pensamientos métrico - geométrico. En la competencia relacionada con la construcción de modelos: se trata de formular y visualizar un problema del pensamiento métrico – geométrico de diferentes formas, identificando relaciones y regularidades, traduciendo a un modelo geométrico, representarlo con base en una fórmula o relación, solucionarlo, verificar los resultados y validar. El planteamiento y solución de problemas en el pensamiento métrico – geométrico se asume como un espacio o contexto en el que se pueden enseñar, aprender y evaluar los conceptos,

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procedimientos, destrezas y estrategias a través de las cuales el estudiante pone de manifiesto “el hacer matemáticas” con sentido, puesto que tiene la oportunidad de identificar, seleccionar y

usar adecuadamente diversas estrategias para obtener soluciones válidas; en el desarrollo y fortalecimiento de esta competencia el estudiante está trabajando simultáneamente y de manera correlacionada otras competencias específicas del hacer matemáticas, dado que debe modelar, representar y resolver situaciones que le amplían y posibilitan la construcción de distintos sentidos de un concepto, se reconoce lo intuitivo y lo axiomático en el desarrollo de procesos de formalización. En el “hacer matemáticas” con sentido se requiere la elaboración de significados en

situaciones en las que se debe establecer relaciones, hacer razonamientos, desarrollar procedimientos, construir estrategias para validar, explicar o demostrar, se propende por el desarrollo del pensamiento. En el planteamiento y solución de problemas se ponen de manifiesto procesos generales como la elaboración, comparación y mecanización de procedimientos: Calcular - desarrollar una o más operaciones- usando fórmulas y aplicando propiedades, predecir el efecto de una operación, graficar, desarrollar transformaciones, en el proceso de medir se ha de hacer la selección de unidades y herramientas apropiadas de acuerdo a la magnitud y su orden. Es necesario tener en cuenta que las herramientas como las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TICs) en relación con los procesos de enseñanza y de aprendizaje no suplen el conocimiento humano, sino que su uso adecuado lo enriquecen, se plantea la necesidad de utilizar la computación (hardware y software) en diferentes formas de enseñanza, estimulando el trabajo independiente y la capacidad creadora de los estudiantes modelando, planteando y resolviendo problemas, socializando (comunicando) sus resultados. Puesto que la comunicación matemática es un aspecto importante de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, es a través de ésta como los alumnos dan sentido al conocimiento matemático que se está construyendo. El uso de la tecnología en la enseñanza de la geometría, no se debe reducir al aprendizaje de las instrucciones para manejar un determinado software como Geogebra, Cabrí Géométre, Regla y Compás, Descartes, etc., sino que debe tener en cuenta las tendencias actuales en cuanto a la metodología de la enseñanza utilizando herramientas de apoyo y mediación: la visualización, las múltiples representaciones y el hacer conjeturas, aspectos todos relacionados con la teoría constructivista del conocimiento, la cual reconoce que el estudiante construye significados asociados a su propia experiencia. Diversos diseñadores de software, educadores matemáticos e investigadores: Purificacao Soares (1999), Laborde y Capponi (1994), consideran que los programas de geometría dinámica, posibilitan el aprendizaje de relaciones visuales y geométricas por tres razones: primero, los fenómenos visuales tienen gran importancia en la dimensión dinámica, segundo, porque esos fenómenos son controlados por la teoría, pues son el resultado de una modelización gráfica de un modelo analítico de propiedades geométricas, y tercero, por la cantidad de situaciones geométricas que pueden ser visualizadas con un gran número de objetos de forma precisa.

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Problemáticas Asociadas a la enseñanza y Aprendizaje del Pensamiento Espacial y los sistemas Geométricos. Las investigaciones desarrolladas y las que están en curso, de las cuales se tiene conocimiento, tienden a analizar cómo se produce el aprendizaje de los conceptos de los objetos geométricos elementales: como los ángulos, los triángulos, cuadriláteros, los polígonos regulares e irregulares y su clasificación; las magnitudes y sus medidas, en estudiantes de la educación básica y de la media; también hacen referencia a diferentes enfoques para el estudio de algunas relaciones de inscripción y dualidad en el mundo de los poliedros regulares; G. Guillen y L. Puig (2001). Investigaciones en didáctica de la geometría sobre objetos geométricos; Véase a Gómez Gabaldón, J.A. (2001) Nuevos planteamientos metodológicos en la enseñanza de la geometría, Aprendizaje de la demostración en geometría y geometría dinámica con Cabrí. Camargo, L. Samper, C., Perry, P. (2009). El uso del software para la enseñanza de la geometría se empezó a generalizar a comienzos de los años 80 con la aparición del programa Logo, una nueva revolución en los procesos de enseñanza y de aprendizaje se produjo con la puesta en escena de diversos software de geometría en 1988, numerosos investigadores de todo el mundo se han dedicado a explorar las posibilidades de los programas de geometría dinámica en la enseñanza de la geometría y a experimentar con diversas formas de enseñanza. Se le ha dado especial importancia (por el número de investigaciones en curso) al análisis de los procesos de aprendizaje de la demostración matemática en contextos de software de geometría dinámica y se siente la necesidad de desarrollar metodologías de investigación para la recogida y el análisis de datos; A. Gutiérrez (2001), investigó acerca de “aspectos metodológicos de la investigación sobre aprendizaje de la demostración mediante exploraciones con software de geometría dinámica”.

Una línea de investigación que se trabaja profusamente en educación es la relacionada con el conocimiento profesional del profesor, el cual se considera constituido por una relación entre el saber disciplinar, las de ideas, los valores, reglas de actuación, principios, etc. que fundamenta y justifica la toma de decisiones que realiza en su actuación, Macchiarola, (1998). Se han realizado numerosos estudios sobre las concepciones de los docentes en formación y en ejercicio relacionadas con el pensamiento espacial y los sistemas geométricos, el aprendizaje de los alumnos, el papel del profesor, el rol de la institución y sobre las relaciones entre estas ideas y la forma en que el profesor enseña. Gimeno Sacristán (1995) señala que “la práctica profesional

depende, desde luego, de decisiones individuales, pero dentro de normas colectivas adoptadas por otros profesores y en el seno de marcos organizativos muy reales que regulan de alguna forma las actuaciones.”

También pueden constituirse en problemáticas de enseñanza y aprendizaje del pensamiento espacial y los sistemas geométricos la estrategia de enseñanza como el aprendizaje cooperativo el cual se refiere a un método de enseñanza en el que los estudiantes trabajan conjuntamente en equipo para alcanzar metas comunes. Los alumnos se ayudan unos a otros p ara que “todos” puedan alcanzar en alguna medida el éxito. El saber se construye en el transcurso de la propia actividad matemática, dando a los alumnos una participación activa y al profesor un papel de organizador y dinamizador del aprendizaje. En las clases donde se trabaja el aprendizaje

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cooperativo el centro de atención es el mismo estudiante y se considera al profesor como un facilitador y guía del aprendizaje y a los estudiantes como buscadores de información, la actividad del alumno es un elemento fundamental del proceso de enseñanza y aprendizaje. Al profesor le corresponde favorecerla, planeando y conduciendo clases que tengan en cuenta las características e intereses de los alumnos y saquen ventaja de los recursos existentes, crear las condiciones necesarias para el aprendizaje, utilizando diferentes medios, el ambiente de aprendizaje y la cultura de la clase son elementos decisivos para el aprendizaje. En la interacción de los individuos, unos con otros, se desarrollan las capacidades cognitivas y se promueven las actitudes y valores indicados en los lineamientos curriculares. Argumentos para la articulación didáctica del pensamiento métrico – geométrico. La geometría es una manera de pensar, caracterizada por procesos tales como la exploración, el descubrimiento, la clasificación, la abstracción, la estimación, el cálculo, la predicción, la descripción, la deducción y la medición con los correspondientes procesos de conversión, entre otros. Junto con el pensamiento métrico constituyen un poderoso medio de comunicación que sirve para representar, interpretar, modelar, explicar y predecir las soluciones a las relaciones entre las figuras bidimensionales y los cuerpos en el espacio. Es parte de nuestra cultura y ha sido una actividad humana desde los primeros tiempos, pasando de los pueblos babilónicos a los egipcios y de éstos a los griegos, siendo estos últimos quienes tuvieron el mérito de convertir la geometría de ciencia empírica a racional, por lo tanto, permite a los estudiantes apreciar mejor su legado cultural al suministrarles una amplia perspectiva de los logros culturales de la humanidad. Se puede deducir que la naturaleza de estos dos tipos de pensamiento (métrico y geométrico) está definida por las siguientes consideraciones especiales: 





Una es la naturaleza ontosemiótica de ambos: La construcción y el uso social de los lenguajes simbólicos propios correlacionados proporcionan el desarrollo de conceptos, relaciones y operaciones al interior de sus sistemas semióticos de representación. La naturaleza de las competencias cognitivas que el estudiante fortalece y desarrolla al aprehender los objetos matemáticos del pensamiento métrico y los sistemas de medidas, del pensamiento espacial y los sistemas geométricos. El sentido práctico, en el uso social que tienen de manera integral y simultánea los dos tipos de pensamiento en el planteamiento y solución de situaciones próblemicas del contexto no solo escolar sino comunitario y no solo desde las matemáticas sino en relación con otras ciencias como las básicas, las ciencias pecuarias, las ingenierías y la arquitectura entre otras.

Según los Lineamientos Curriculares, citados por Acevedo, Montañez y Huertas (2007: 17 - 20) “Es primordial relacionar los contenidos del aprendizaje con la experiencia cotidiana y con los saberes que circular en la escuela, entre estos, desde luego, las disciplinas científicas” y señalan

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que para la organización curricular se deben tener en cuenta los siguientes tres aspectos: Los conocimientos básicos, los procesos generales y el contexto. Los citados autores consideran que los estándares básicos de competencias también se encargan de “organizar el currículo relacionando los procesos generales del aprendizaje, los contextos y los

conocimientos básicos, que constituyen la orientación conceptual que debe tener el currículo, partiendo de reconocer no sólo las relaciones entre conceptos asociados a un mismo pensamiento, sino las relaciones con conceptos de otros pensamientos” y en consecuencia, debe

haber coherencia tanto horizontal entre estándares como vertical entre los organizadores curriculares o pensamientos de la matemática.

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Lección 4. Pensamiento aleatorio y sistema de datos. El pensamiento matemático es un concepto de carácter cognitivo, generalmente ubicado dentro de la psicología matemática y dentro de la psicopedagogía, que hace alusión al conjunto de representaciones mentales, o redes de conceptos de carácter matemático, y a los procesos cognitivos que actúan sobre esas representaciones, en este sentido se focaliza en la actividad cognitiva interna del sujeto mucho más que en el dominio disciplinar, convirtiéndose en un concepto más propicio para la educación matemática a nivel escolar. Sin embargo, muchas veces ha sido objeto de críticas por su tratamiento excesivamente psicológico, desconociendo el carácter cultural, escolar y situado de la actividad matemática del aprendiz. Los enfoques semióticos y culturalistas complementan este enfoque con una serie de reflexiones sobre la formalización de lo matemático a través del lenguaje artificial matemático, el papel del lenguaje natural, la significación, el conocimiento cotidiano, intuitivo y científico y, en especial, el papel de los contextos culturales. La comprensión matemática hace alusión fundamentalmente a una actividad cognitiva, al ejercicio efectivo del pensamiento matemático, pero no limitándose a una dimensión cognitiva sino también abarcando las dimensiones culturales, escolares y situadas de la actividad matemática. La comprensión matemática sería la dimensión funcional del pensamiento matemático, es decir hace referencia al acto situado en el que se manifiesta el pensamiento matemático. La matemática como saber cultural ha sido habitualmente dividida en diferentes subcampos de conocimiento especializado, la lógica, el álgebra, la geometría, el cálculo, la probabilidad, etc. A su vez estos se han dividido o complementado, en otros campos de especificidad temática (estadística, el álgebra lineal, la topología, el análisis, etc). Algunos de ellos se han desarrollado como saberes formales y abstractos propios de la matemática pura y otros como conocimientos aplicados en otras disciplinas –la econometría, la psicometría, etc.- Dentro de la educación matemática la pregunta fundamental, en relación con todos estos campos, ha sido ¿cuáles son los conocimientos que deben ser enseñados y cómo deben ser curricularizados? Estas inquietudes hacen referencia no únicamente a la matemática como disciplina científica sino a la manera cómo esta se convierte en un conocimiento escolar, dependiendo de las edades y grados, que orienta las modalidades de enseñanza, y su sentido contextual. La aleatoriedad es un fenómeno atractivo por su distanciamiento de lo determinista, de la causalidad estricta, de la implicación lógica ligada a los valores únicos de verdad y falsedad, y a los tipos de razonamiento con información suficiente y necesaria. Los niños, desde muy pequeños, están inmersos en experiencias relacionadas con cantidades y distancias y las operaciones aritméticas se manifiestan en operaciones con objetos físicos que tienen la propiedad de ser reversibles. Sin embargo, aunque las experiencias vinculadas a lo aleatorio son frecuentes en la vida cotidiana, una rifa, el día que lloverá, la posibilidad de encontrar puesto en un cine, etc., los conceptos y operaciones formalizados matemáticamente son esquivos, ya que no podemos manipular estos fenómenos para producir un resultado seguro, ni devolver los objetos a su estado inicial deshaciendo la operación. Según Piaget, esta falta de reversibilidad, de los experimentos aleatorios influye en el desarrollo tardío de los conceptos matemáticos relacionados con aleatoriedad.

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Piaget e Inhelder (1951) abogan por que la comprensión del azar por parte del niño es complementaria a la de la relación causa-efecto. Los niños conciben el azar como resultado de la actuación conjunta de una serie de causas, que actuando independientemente producirían un resultado inesperado. En este sentido, hasta que el niño no comprende la idea de causa, no tiene base conceptual para identificar los fenómenos aleatorios. El azar habría que considerarlo asimismo como complementario a la composición lógica de operaciones reversibles y requiere como elemento necesario pero no suficiente un razonamiento combinatorio, para poder concebir distintas posibilidades de ocurrencia de un suceso. En el periodo de las operaciones concretas, con la adquisición de esquemas operacionales espaciotemporales y lógico-matemáticos, el niño alcanza la capacidad de distinguir entre el azar y lo deducible, aunque esta comprensión no es completa, puesto que el pensamiento está todavía muy ligado al nivel concreto, y no a las condiciones de razonamiento abstracto y combinatorio. No obstante, el niño comienza a comprender la interacción de cadenas causales que conducen a sucesos impredecibles, y la irreversibilidad de los fenómenos aleatorios. En el periodo de las operaciones formales el conjunto de posibilidades puede determinarse mediante un razonamiento de tipo combinatorio, con lo que se vuelve previsible. Así aparece la idea de probabilidad expresada por la razón entre las posibilidades de un caso particular y del conjunto de posibilidades. Por tanto, la idea de probabilidad, no puede ser totalmente adquirido hasta que se desarrolle el razonamiento combinatorio y se generan las condiciones lógico formales que permiten el ejercicio de la probabilidad lógica y objetiva, en la etapa de las operaciones formales. Fischbein, en un enfoque diferente al de Piaget, se preocupó por demostrar que los niños tienen intuiciones sobre fenómenos aleatorios y analizó el efecto de la enseñanza para mejorar estas intuiciones. Las intuiciones son procesos cognitivos, que intervienen directamente en las acciones prácticas o mentales, inmediatas, globales, autoevidentes, se relacionan entre sí estructuralmente y tiene capacidad extrapolatoria. Fischbein diferencia entre intuiciones primarias y secundarias: Las intuiciones primarias se adquieren directamente con la experiencia, sin necesidad de ninguna enseñanza sistemática, por ejemplo admitir que al lanzar un dado todas las caras tienen la misma probabilidad de salir. Las intuiciones secundarias se forman como consecuencia de la enseñanza, principalmente en la escuela, tales como trazar diagramas de árboles para resolver combinatorias. Hoy en día, se manifiesta la necesidad de introducir el pensamiento aleatorio y sistemas de datos en los planes de área de Matemáticas de la educación básica y media. Las directrices del Ministerio de Educación Nacional - MEN que incluyen no sólo los lineamientos curriculares sino también los estándares y las competencias, exigen introducirlos en los planes de estudio desde el grado primero hasta el undécimo. Por eso es necesario, definir criterios básicos que permitan al profesor desarrollar y afianzar sus acciones pedagógicas relacionadas con el pensamiento aleatorio y sistemas de datos, enmarcadas dentro de las exigencias del MEN. “Una tendencia actual en los currículos de mate máticas es la de favorecer el desarrollo del

pensamiento aleatorio, el cual ha estado presente a lo largo de este siglo, en la ciencia, en la cultura y aún en la forma de pensar cotidiana. La teoría de la probabilidad y su aplicación a los fenómenos aleatorios, han construido un andamiaje matemático que de alguna manera logra

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dominar y manejar acertadamente la incertidumbre. Fenómenos que en un comienzo parecen caóticos, regidos por el azar, son ordenados por la estadística mediante leyes aleatorias de una manera semejante a cómo actúan las leyes determinísticas sobre otros fenómenos de las ciencias. Los dominios de la estadística han favorecido el tratamiento de la incertidumbre en ciencias como la biología, la medicina, la economía, la psicología, la antropología, la lingüística..., y aún más, han permitido desarrollos al interior de la misma matemática” (MEN, 1998)

El pensamiento aleatorio y sistemas de datos en el currículo colombiano. En Colombia la Ley General de Educación (1994) establece como principios para organizar el currículo la flexibilidad y autonomía curricular acorde a las necesidades locales, regionales y nacionales. Los referentes para la organización y adaptación de currículos son los Lineamientos Curriculares (1998) y los Estándares de competencias propuestos por el Ministerio de Educación Nacional (MEN, 2001). La Ley organiza el sistema educativo colombiano en los siguientes tres niveles: educación preescolar, educación básica (primaria, secundaria), educación media. La educación preescolar se garantiza con mínimo un grado de escolaridad; la Educación Básica con nueve (9) grados divididos en dos ciclos, básica primaria, con cinco (5) grados, y básica secundaria con cuatro (4) grados, la educación media abarca dos grados. La formulación de los Lineamientos Curriculares (1998) es el resultado de un proceso de discusión y consenso nacional de grupos de estudio e investigación en educación matemática coordinado por el Ministerio de Educación Nacional. El documento Lineamientos Curriculares presenta una propuesta para reflexionar sobre: la naturaleza de las matemáticas y sus implicaciones pedagógicas y didácticas; una nueva visión del conocimiento matemático escolar y sobre distintas posibilidades de organizar el currículo y la evaluación. Como elemento central de reflexión, el documento propone, analizar las respuestas de las siguientes preguntas: • • • • • • •

¿Qué son las matemáticas? ¿En qué consiste la actividad matemática? ¿Para qué y cómo se enseñan las matemáticas? ¿Qué relación se establece entre las matemáticas y la cultura? ¿Cómo se puede organizar el currículo de matemáticas? ¿Qué énfasis es necesario hacer? ¿Qué principios, estrategias y criterios orientarían la evaluación del desempeño matemático de los alumnos?

Las respuestas se organizan en los siguientes apartados. Diferentes concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas y sus implicaciones didácticas En este apartado se describen los aportes de las siguientes corrientes filosóficas de las matemáticas:

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Platonismo. Considera las matemáticas como un sistema de verdades que han existido siempre e independientemente del hombre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades, ya que en cierto sentido está sometido a ellas y las tiene que obedecer. Logicismo. Considera que las matemáticas son una rama de la lógica, con vida propia pero con el mismo origen y método. En esta escuela, las matemáticas son parte de una disciplina universal que rige todas las formas de argumentación. Se describen las dos lógicas, deductiva e inductiva. La primera, busca la coherencia de las ideas entre sí y parte de premisas generales para llegar a conclusiones específicas. La inductiva busca la coherencia de las ideas con el mundo real, parte de observaciones específicas para llegar a conclusiones generales. La cuestión más importante de esta escuela es la reducción de los conceptos matemáticos a los conceptos lógicos. Formalismo. Reconoce que las matemáticas son una creación de la mente humana, considera que las matemáticas es el resultado de ensamblar símbolos a partir de reglas y convenios preestablecidos para armar axiomas, definiciones y teoremas. La verdad de la matemática radica en la coherencia de las reglas para manipular los símbolos. Intuicionismo. La matemática es el resultado de la elaborar en la mente las percepciones que se realizan a través de los sentidos y del estudio de las construcciones mentales cuyo origen es la construcción de los números naturales. La construcción de la matemática se realiza con ayuda de la intuición y se parte de lo intuitivamente dado. La verdad es sinónimo de demostrabilidad. Constructivismo. Al igual que el intuicionismo, esta escuela considera que las matemáticas son una creación de la mente humana, tienen existencia real porque los objetos matemáticos son construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Se identifica esta corriente con la Pedagogía Activa y con la Psicología Genética en tanto se interesa por las condiciones en la que la mente realiza construcciones de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en estructuras y por la aplicación que les da. Cabe señalar que en cada descripción de las escuelas se formulan preguntas orientadoras para analizar las implicaciones didácticas. Platonismo. ¿Cuántos de nuestros profesores y alumnos pertenecerán, sin proponérselo, y más aún, sin saberlo al Platonismo? ¿Cuál sería, para la corriente del Platonismo, un concepto de pedagogía activa coherente con su posición filosófica? Formalismo. ¿Qué tanto énfasis formalista hay en la educación matemática en nuestras establecimientos educativos? Constructivismo. ¿En qué medida el trabajo en clase de matemáticas tiene un enfoque constructivista? ¿Qué implicaciones se derivan de ese enfoque para el desarrollo integral de los estudiantes? ¿Qué tanta compatibilidad o incompatibilidad hay entre las corrientes mencionadas? Con base en algunas orientaciones sobre procedimientos para la reflexión sobre las preguntas (realización de mesas redondas, reuniones de profesores, lecturas, entre otras acciones) el

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documento, presenta el apartado titulado “Elementos que inciden en una reconceptualización de la educación matemática”. Entre los elementos que se citan como necesarios para esta

reconceptualización se encuentran: Los aportes de la filosofía de las matemáticas y de la educación matemática realizados por Miguel de Guzmán y por Paul Ernest. Específicamente se identifica la reconceptualización sobre la naturaleza, justificación y génesis tanto del conocimiento matemático como de los objetos de las matemáticas. Este planteamiento lleva a considerar y a valorar las aplicaciones de éstas en la ciencia y en la tecnología, a considerar que el conocimiento matemático está conectado con la vida social de los hombres, y con su utilización como argumento de justificación en la toma de decisiones que afectan tanto lo individual como lo colectivo. • Los aportes de algunos conceptos de la didáctica de las matemáticas tales como: la transposición didáctica, el trabajo matemático, el trabajo del alumno y del profesor. •

Específicamente se reitera sobre la necesidad de “Una nueva visión del conocimiento matemático en la escuela” basada en: •

• • • • •

Aceptar que el conocimiento matemático es el resultado de una evolución histórica de un proceso cultural, cuyo estado actual no es la culminación definitiva del conocimiento y cuyos aspectos formales constituyen una faceta de este conocimiento. Valorar los procesos constructivos y de interacción social en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas. Valorar la herramienta potente que es el conocimiento matemático para el desarrollo de habilidades de pensamiento. Reconocer los fenómenos de transposición didáctica. Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías en el currículo de matemáticas Privilegiar las situaciones problemáticas. como contexto del hacer matemático escolar.

Para la organización del currículo se propone tener en cuenta: Procesos generales relacionados con el aprendizaje, como el razonamiento; la resolución y el planteamiento de problemas; la comunicación; la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. • Conocimientos básicos relacionados con los procesos específicos que desarrollan el pensamiento matemático y con sistemas propios de las matemáticas. • El contexto conceptualizado como el ambiente de interacción que rodea el aprendizaje y como el referente que le da sentido a las situaciones problemáticas. • Variables que deben tenerse en cuenta en el diseño y ejecución de experiencias didácticas tales como condiciones sociales y culturales tanto locales como internacionales; tipo de interacciones; intereses y creencias de estudiantes y profesores; condiciones económicas del grupo social en el que se concreta el acto •

educativo,…

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El contexto integra las siguientes dos dimensiones: i. escenario de la situación problemática; ii. procesos de interacción entre estudiantes y profesores para lograr el aprendizaje. La propuesta de situaciones problemáticas busca que las aplicaciones y los problemas no se reserven para ser considerados solamente después de que haya ocurrido el aprendizaje, sino que ellas pueden y deban utilizarse como contexto dentro del cual los alumnos descubren o reinventan las matemáticas. Las situaciones problemáticas comprometen desde la afectividad del estudiante, pasando por lograr el acercamiento significativo al aprendizaje de las matemáticas, hasta alcanzar el logro en el desarrollo de procesos de pensamientos matemático en el estudiante. Especial relevancia cobra el trabajo del profesor, trabajo que es previo, durante y después de la clase. El trabajo previo (conocido como fase preactiva o de preparación) incluye la organización del contenido matemático en el currículo institucional; el cual integra consideraciones y toma de decisiones acerca de: qué enseñar, reflexiones sobre el conocimiento matemático para reinterpretarlo y convertirlo en objeto de enseñanza; conocimiento de los actuaciones cognitivas de los estudiantes, una reflexión acerca del por qué y para qué de los contenidos seleccionados, los cuales deben ser acordes a los intereses y necesidades de los estudiantes y a los proyectos educativos institucionales. Con estas reflexiones el profesor diseña un boceto –denominado unidad didáctica – en el que integra los recursos del aprendizaje, las situaciones problemáticas e hipótesis de aprendizaje que le permitan observar en la clase las actuaciones y las soluciones de los estudiantes. La puesta en acción del boceto, fase de interacción, coloca el análisis en las interacciones entre situaciones problemáticas y estudiante y entre estudiantes y profesor. Especial atención merecen los procesos de evaluación, fase postactiva, que debe acompañar la puesta en escena del boceto. Esta fase es necesaria para revisar y replantear la propuesta. En Colombia en un intento de organizar los saberes matemáticos se ha planteado la pregunta: ¿Qué saberes y habilidades matemáticas deben desarrollar los estudiantes como resultado de su paso por los diferentes grados escolares? Estos se han organizado de acuerdo a los grandes campos de indagación matemática, con énfasis no en la disciplina sino en el pensamiento matemático que se espera que los estudiantes desarrollen a lo largo de su vida escolar. Estas habilidades esperadas se denominan estándares y se organizan según los grandes componentes del pensamiento matemático: i. ii. iii. iv. v.

Pensamiento numérico y sistemas numéricos. Pensamiento geométrico y sistemas geométricos. Pensamiento métrico y sistemas de medidas. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

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El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos La teoría de la probabilidad y sus aplicaciones a los fenómenos aleatorios han construido el andamiaje matemático que de alguna manera logra dominar y manejar acertadamente la incertidumbre. Fenómenos que en un comienzo parecen caóticos, regidos por el azar, son ordenados por la estadística mediante leyes aleatorias de una manera semejante a como actúan las leyes determinísticas sobre otros fenómenos de las ciencias. Se propone seguir la sugerencia de Shanghnessy (1985)) para desarrollar este pensamiento mediante contenidos de la probabilidad y la estadística. Para ello es necesario construir modelos de fenómenos físicos y desarrollos de estrategias de simulación de experimentos y conteo. La búsqueda de respuestas a preguntas que sobre el mundo físico se hacen los niños es una actividad llena de sentido si se hace a través de la recolección y análisis de datos. Decidir sobre la pertinencia de la información necesaria, la forma de recogerla, de representarla y de interpretarla para obtener respuestas lleva a nuevas hipótesis y exploraciones enriquecidas. Es también importante utilizar distintas fuentes para la recolección, consultas, entrevistas, observaciones, así como las evaluaciones sobre veracidad de los datos, distorsiones, sesgos, lagunas omisiones, y evaluación de la actitud ética de quien recoge los datos y su responsabilidad social. Es también importante analizar y reflexionar sobre la naturaleza de los datos, analizar su mínima estructura, el formato y seguramente el orden, es decir ampliar la comprensión hacia los sistemas de datos. Las situaciones relativas al pensamiento inductivo se pueden trabajar sobre un conjunto de datos para proponer diferentes inferencias y analizar las posibilidades de ser ciertas. En este sentido el trabajo con problemas abiertos, con cierta carga de indeterminación ayuda para encontrar diferentes interpretaciones y tomar decisiones. Una cuestión importante con el estudio de este pensamiento es el crear la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo, y controvertir el énfasis en la búsqueda de respuesta correcta y única. Se describe el modelo de Heinz Steinbrig basado en un análisis epistemológico de la naturaleza de la probabilidad el cual considera los siguientes tres niveles: a) b) c)

Estructura del contenido de la probabilidad y de la estadística: conceptos, métodos y diagramas; planificación, organización, guía e implementación del proceso de enseñanza por el docente; contexto de aprendizaje de los estudiantes: significados de la representación, actividad y tareas.

El autor señala que la relación entre los dos primeros niveles trata de responder a las siguientes preguntas: ¿Cómo es posible introducir los conceptos de aleatoriedad y de indeterminación y utilizarlos con ayuda de conceptos matemáticos de naturaleza determinante? ¿Cómo pueden

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hacerse predicciones relativas a situaciones inciertas y aleatorias bajo la forma de proposiciones matemáticas y cuál es el carácter específico de estas predicciones? Se propone para los cursos de la Educación básica las representaciones gráficas como las circulares, histogramas, diagramas de árbol como representaciones que captan la aleatoriedad y la incertidumbre tanto en la forma cualitativa como cuantitativa y desde las cuales los estudiantes pueden tomar decisiones sin recurrir al cálculo. Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas El Ministerio de Educación Nacional en la política de aumentar la cobertura y los esfuerzos para el mejoramiento de la calidad de la educación define los Estándares de Calidad (2001) los cuales son propuestos en conjunto con la comunidad de educadores matemáticos. Los estándares son acompañados de un breve marco conceptual que amplia profundiza aspectos de cada uno de los pensamientos propuestos en los lineamientos Curriculares. Especial atención merece la noción de competencia matemática, en tanto como lo señala el documento, los Lineamientos Curriculares presentan intuitivamente la noción de competencia puesto que colocan el énfasis en una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático. La competencia es establecida en la relación entre dos facetas del conocimiento matemático: práctico y formal y el conocimiento conceptual y procedimental. La complejidad conceptual y la gradualidad del aprendizaje de las matemáticas están relacionados con la coherencia tanto vertical como horizontal. La primera está dada por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados. La segunda está dada por la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de grados. Objetos matemáticos asociados al pensamiento aleatorio y sistemas de datos. Para desarrollar investigación en el marco del pensamiento aleatorio y sistemas de datos, se requiere plantear sobre qué características de determinados objetos matemáticos asociados al pensamiento en mención, son requeridas como variables de estudio a un fenómeno o experimento, en relación a ello se encuentran objetos matemáticos generales como: • Organización

de datos: abarca temas relacionados con los diferentes procedimientos, técnicas y enfoques para organizar, recolectar y analizar un conjunto de datos obtenidos de una muestra, para que se le dé o tengan sentido dentro de su contexto y realizar las inferencias de acuerdo con ello, sin olvidar las diferentes formas de representación basados en la distribución de frecuencias. • Medidas de posición y variabilidad: media, mediana, moda, rango, varianza, desviación, etc. teniendo en cuenta que estos se obtienen a partir del conjunto de datos. Se comparan y se toman los valores que sean más representativos y permitan hacer inferencias. Se debe cubrir los diversos procedimientos estadísticos que se refieran a medidas de posición y variabilidad.

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•

Probabilidad e inferencia: definiciones de probabilidad, teoría de la probabilidad, variables aleatorias, funciones de distribución de probabilidad, modelación de muestras, etc.

Competencias matemáticas a desarrollar. Teniendo en cuenta las evaluaciones externas que realizan el MEN y el ICFES a través de las Pruebas Saber y de Estado, se crea la necesidad de replantear las prácticas de enseñanza, así como la orientación del aprendizaje de los estudiantes, hacia el desarrollo de las competencias (Saber y saber hacer como individuos competentes). Específicamente, los Estándares del Pensamiento Aleatorio y Sistemas de Datos, apuntan hacia el desarrollo de las competencias que se relacionan con la comprensión, uso y significado de los datos, muestreo, distribución de frecuencias, representación de la información y teorías de la probabilidad. “La búsqueda de respuestas a preguntas que sobre el mundo físico se hacen los niños resulta ser

una actividad rica y llena de sentido si se hace a través de recolección y análisis de datos. Decidir la pertinencia de la información necesaria, la forma de recogerla, de representarla y de interpretarla para obtener las respuestas lleva a nuevas hipótesis y a exploraciones muy enriquecedoras para los estudiantes. Estas actividades permiten además encontrar relaciones con otras áreas del currículo y poner en práctica conocimientos sobre los números, las mediciones, la estimación y estrategias de resolución de problemas. En la tarea de buscar y recoger datos es importante mantener claros los objetivos, las actitudes, los intereses que la indujeron, prever qué tipos de respuestas se pueden encontrar, las dificultades que podrían presentarse, las distintas fuentes como consultas, entrevistas, encuestas, observaciones, la evaluación de su veracidad, distorsiones, sesgos, lagunas, omisiones y la evaluación de la actitud ética de quien recoge los datos y su responsabilidad social” (MEN,

Lineamientos Curriculares de Matemáticas). Problemáticas asociadas a la enseñanza y el aprendizaje del pensamiento aleatorio y sistemas de datos En el ámbito internacional, en particular en España bajo la coordinación de Carmen Batanero, trabaja un grupo de investigación en torno a la Didáctica de la Probabilidad, Estadística y Combinatoria. De acuerdo a los trabajos realizados, el grupo los ha clasificado en las siguientes líneas de investigación: Evaluación del razonamiento probabilístico. La tendencia en los currículos actuales es el de incluir la enseñanza de la probabilidad (con énfasis en el cálculo combinatorio), al comienzo de la educación secundaria, e incluso desde la enseñanza primaria. Las sugerencias metodológicas y didácticas recalcan en utilizar actividades donde el estudiante haga predicciones sobre los diferentes resultados en experimentos aleatorios sencillos, luego obtenga datos empíricos y finalmente compare las probabilidades experimentales con sus predicciones. Este cambio, señala el grupo, requiere una labor de evaluación de las

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capacidades de los alumnos. Desde esta perspectiva entonces, han desarrollado los siguientes trabajos de investigación: El concepto de aleatoriedad en alumnos de secundaria; Razonamientos probabilísticos de alumnos de 12 años en tareas de comparación de probabilidades; significados institucionales y personales de conceptos matemáticos ligados a la aproximación frecuencial de la enseñanza de la probabilidad (tesis doctoral). Razonamiento combinatorio. Las operaciones combinatorias se definen mediante experimentos aleatorios (extracción con o sin reemplazamiento, ordenada o no ordenada) y, recíprocamente, la enumeración del espacio muestral de todo experimento compuesto requiere la resolución de un problema combinatorio. Lo anterior ha llevado al grupo a realizar las siguientes investigaciones: Estructura de los problemas combinatorios simples y del razonamiento combinatorio en alumnos de secundaria (tesis doctoral); el razonamiento combinatorio; efecto implícito de los modelos combinatorios y razonamientos combinatorios en alumnos de escuela secundaria; razonamiento combinatorio en estudiantes con preparación matemática avanzada. Análisis exploratorio de datos. Si bien el análisis exploratorio de datos se introduce en los nuevos currículos desde la enseñanza secundaria, no siempre son bien comprendidos por los estudiantes, dado que este tipo de análisis se basa en los estadísticos de orden. Esta situación, ha llevado al grupo a investigar en torno a: Errores y dificultades en la comprensión de conceptos estadísticos en alumnos de secundaria; concepciones iniciales sobre la asociación estadística y su evolución como consecuencia de una enseñanza basada en el uso de ordenadores (tesis doctoral); significado de la regresión y correlación para estudiantes universitarios (tesis doctoral). Formación y concepciones de los profesores. La formación de profesores en el ámbito de la educación estadística es prácticamente inexistente, aspecto que conllevó a la inclusión de la asignatura de didáctica de la estadística en la licenciatura en Ciencias y Técnicas Estadísticas de la Universidad de Granada. Además, los futuros profesores de matemáticas no tienen una formación específica en didáctica de la estadística, y la mayoría de profesores de primaria, no han tenido ni siquiera una formación básica en estadística. Los trabajos de investigación en torno a esta línea han indagado sobre: El conocimiento profesional de los profesores sobra las nociones de aleatoriedad y probabilidad. Su estudio en el caso de la educación primaria (tesis doctoral); las creencias y conocimientos de los profesores de primaria andaluces sobre la matemática escolar: Modelización de concepciones sobre la aleatoriedad y probabilidad (tesis doctoral); el conocimiento profesional relativo al tratamiento del conocimiento probabilístico en la educación primaria. Análisis de libros de texto y el currículo. Los libros de texto son un material didáctico fundamental, aunque en ocasiones transmiten significados incompletos o sesgados de los conceptos que tratan de enseñar; el análisis de los

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libros de texto puede ayudar a detectar estos desajustes. En tal sentido, en esta línea de investigación, el grupo ha desarrollado los siguientes trabajos de investigación: Significados de los conceptos probabilísticos en los libros de texto de bachillerato (tesis doctoral); diseño de las unidades didácticas dedicadas al tratamiento del azar en los libros de texto de Educación Secundaria obligatoria; el lenguaje del azar: una visión fenomenológica sobre los juicios probabilísticos; tratamiento del conocimiento probabilístico en los proyectos y materiales curriculares. Inferencia estadística. Las investigaciones en Educación Estadística, han puesto de manifiesto dificultades y errores en la aplicación de la estadística como una de las ciencias metodológicas fundamentales y base del método científico experimental. Esta temática, la recoge el grupo en los siguientes trabajos: Estudio teórico- experimental de errores y concepciones sobre el contraste estadístico de hipótesis en estudiantes universitarios (tesis doctoral); el papel de las hipótesis estadísticas en los contrastes: concepciones y dificultades de aprendizaje. Es importante indicar que el grupo en la actualidad adelanta los siguientes trabajos: Comprensión de promedios. Las concepciones probabilísticas en estudiantes y profesores han sido estudiadas extensamente, sin embargo existen pocos trabajos sobre las concepciones estadísticas. De hecho, al respecto se vienen indagando sobre: el significado que los alumnos de secundaria atribuyen a los promedios, en relación a los campos de problemas, procedimientos de resolución, representaciones utilizadas, propiedades asignadas y modos de argumentación. El paso del análisis de datos a la inferencia En un curso introductorio de estadística, uno de los problemas principales es realizar la transición del análisis de datos a la inferencia, debido a la escasez del tiempo disponible y a los conocimientos previos. Esto ha llevado al grupo al diseño y evaluación de una secuencia de enseñanza de la distribución normal, en un curso de análisis de datos basado en ordenadores, dirigido a estudiantes universitarios que no hayan estudiado estadística durante la educación secundaria; enseñanza y aprendizaje de la estadística inferencial. Desarrollo de la práctica profesional. Las concepciones de los propios profesores sobre la estadística y otras muchas más variables, influyen en la intervención en el aula como parte de la práctica profesional de los profesores de matemáticas. En este sentido, vienen llevando a cabo un estudio de casos sobre la implementación y desarrollo de la práctica de los profesores acerca del conocimiento estocástico. En el panorama nacional, la Secretaría de Educación para la Cultura de la Gobernación de Antioquía, en su documento Interpretación e Implementación de los Estándares Básicos de

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Matemáticas (2005), clasifican las problemáticas asociadas a la enseñanza y el aprendizaje del pensamiento aleatorio y sistemas de datos, en: •

• • • •

Muestreo, es un proceso para garantizar que, con la menor incertidumbre posible, los datos que se tomarán de la muestra representan o dan razón muy aproximada del verdadero comportamiento de la población. En la educación básica y media no se desarrolla la teoría del muestreo debido a que requiere de conceptos muy elaborados de la Estadística y las Matemáticas, fundamentalmente de probabilidad e inferencia. Tipos de datos: genera procesos e identificación de propiedades en datos cualitativos y cuantitativos, Distribución de frecuencias: organización de datos e información, dependiendo del tipo de dato. Representación de la información: se pueden definir modelos probabilísticos que permiten hacer inferencias a partir de la muestra acerca de la población. Teoría de la probabilidad: las diferentes definiciones de probabilidad, axiomas y teoremas y las distribuciones discretas como la binomial, Poisson, hipergeométrica y multinomial y las continuas como la normal, la chi-cuadrada, etc. y los tests para pruebas de hipótesis.

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Lección 5. Una aproximación a lo componentes de una competencia matemática. Una competencia matemática se constituye de tareas matemáticas, procesos matemáticos y niveles de complejidad: Tareas matemáticas. Para el diseño de las tareas, es un punto esencial la caracterización de nuevos aportes al modelo de la competencia, de acuerdo con (Solar, 2009) las tareas son los pasos o propósitos a seguir en una actividad matemática, en la definición de las tareas que son propósitos matemáticos que se encuentran en una situación a resolver, problema, o actividad matemática. El conjunto de varias tareas pueden caracterizar un tópico, comparándola con lo que pretende diseñar como tarea en función de un objeto matemático. Para Rico y Lupiáñez (2008), las tareas están diseñadas con expectativas de aprendizaje a corto plazo planteadas en cada uno de los objetivos, tienen tanto un carácter específico relativo a un contenido como unas actuaciones del estudiante sobre un contenido matemático concreto, contribuyendo al aprendizaje del objeto matemático como al alcance de la competencia. Para el diseño de la tarea se debe tener en cuenta la competencia para luego seleccionar las tareas que movilicen a los estudiantes a determinadas capacidades como pensar y razonar; pensar y razonar la situación problema; pensar y razonar sobre el objeto matemático; pensar y razonar sobre situaciones modelos y pensar y razonar sobre el contexto del objeto matemático. El proyecto de evaluación PISA de la OCDE (2003) propone un marco innovador sobre la complejidad de una actividad matemática, éste trabajo de investigación se enmarca dentro de estos niveles de complejidad. Además como lo ha señalado Rico (2007), la consideración de las matemáticas como “modo de hacer” y la noción de alfabetización responden a un modelo

funcional sobre el aprendizaje de las matemáticas, en el cual se postulan: unas tareas contextualizadas, unas herramientas conceptuales y un sujeto. Procesos matemáticos. Hacer matemáticas implica, en primer lugar, traducir los problemas del mundo real al lenguaje matemático (Pisa, 2009). Con esta afirmación los procesos matemáticos se inician con el planteamiento de actividades básicas contextualizadas en donde se identifique el conocimiento matemático con el fin de movilizar una serie de competencias que ayuden a los estudiantes a resolver los problemas. Después de que los estudiantes han utilizado la competencia pensar y razonar la cual les ayuda a traducir el problema en forma matemática en el que se utilizan conceptos y destrezas más elevadas para resolver la situación. Pisa (2009) denomina a esta parte del proceso como matematización vertical, donde se requiere el uso de un lenguaje simbólico, formal y técnico, el ajuste de modelos matemáticos, la argumentación y la generalización. Para terminar el proceso de resolver las tareas implica una reflexión sobre el proceso en su conjunto que incluye interpretar los resultados con espíritu crítico, valorar la totalidad del proceso y ser capaz de comunicar las conclusiones y reflexiones de forma eficaz. PISA no evalúa los

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procesos de forma aislada, ya que la práctica de las matemáticas es en el mundo real, conlleva poner en juego de forma simultánea varios procedimientos o capacidades. Precisamente por ello, y con objeto de describir desde una perspectiva internacional las capacidades de los estudiantes así como los diferentes niveles de competencia matemática, PISA define tres grupos de capacidades, en función del tipo de exigencias cognitivas que se requieren para resolver los distintos problemas matemáticos. Las tareas y procesos poseen características comunes como las expectativas de aprendizaje a corto plazo donde los estudiantes deben movilizar una serie de recursos para poder alcanzarlas, es decir, las tareas y los procesos se basan en conocimientos y actuaciones (Rico y Lupiáñez, 2008). Estas son algunas de las características que la distinguen: Las tareas tienen tanto un carácter específico relativo a un contenido como unas actuaciones del estudiante sobre un contenido matemático concreto; los procesos, en cambio, integran y aplican diversos conocimientos, movilizan una mayor riqueza cognitiva del estudiante, incluyendo actitudes, y se pone en juego abordar tareas complejas en situaciones complejas. • Las tareas matemáticas tienen un ámbito de verificación a corto plazo, mientras que las competencias expresan expectativas de aprendizaje a largo plazo, a desarrollar a lo largo de todo un periodo de formación. •

Niveles de complejidad. Rico y Lupiáñez (2008), afirman que las competencias matemáticas dependen fuertemente del sujeto que las posee y que las tareas pueden movilizar diversos procesos, puesto que los sujetos que la resuelven lo pueden hacer por distintas vías. Además afirman que las respuestas de los sujetos a tareas con distintos niveles de complejidad permiten establecer niveles de competencia entre los estudiantes. Solar (2009), afirma que los resultados empíricos de la prueba PISA se confirma la hipótesis que los estudiantes que resuelven problemas de mayor complejidad, también responden a los problemas de complejidad inferior, por tanto a partir de los resultados de los estudiantes se observa una mayor riqueza de niveles que el planteamiento teórico en tres categorías de complejidad. En el siguiente cuadro se definen los tres grupos de competencias y se mencionan las maneras en que se interpretan cada una de ellas dentro de cada grupo.

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Reproducción Las competencias de este grupo implican esencialmente la reproducción del conocimiento estudiado. Incluyen aquellos que se emplean más frecuentemente en las pruebas estandarizadas y en los libros de texto: conocimiento de hechos, representaciones de problemas comunes, reconocimiento de equivalentes, recopilación de propiedades y objetos matemáticos familiares, ejecución de procedimientos rutinarios, aplicación de destrezas técnicas y de algoritmos habituales, el manejo de expresiones con símbolos y fórmulas establecidas y realización de cálculos.

Conexión Las competencias del grupo de conexión se apoyan sobre las del grupo de reproducción, conduciendo a situaciones de solución de problemas que ya no son de mera rutina, pero que aún incluyen escenarios familiares o casi familiares.

Reflexión Las competencias de este grupo incluyen un elemento de reflexión por parte del estudiante sobre los procesos necesarios o empleados para resolver un problema. Relacionan las capacidades de los alumnos para planificar estrategias de resolución y aplicarlas en escenarios de problema que contienen más elementos y pueden ser más «originales» (o inusuales) que los del grupo de conexión.

Para Rico (2007), la clasificación teórica de las tareas por el grado de complejidad requerido para los procesos implicados es genérica y algo imprecisa por su amplitud. Pero resulta útil para establecer la hipótesis de que los estudiantes que alcancen a dar respuesta a tareas de alta complejidad muestran el mayor nivel de competencia matemática, mientras que los alumnos que sólo alcancen a responder a las tareas de menor complejidad son los que tienen menor nivel de competencia matemática. Las respuestas de los sujetos a tareas con distintos niveles de complejidad permiten establecer niveles de competencia entre los estudiantes, en todo caso con las herramientas utilizadas y situación considerada. Esto se confirma con el escalamiento que se produce en las respuestas de los estudiantes ya que alumnos que resuelven problemas de mayor complejidad también responden a los problemas de complejidad inferior. No obstante, los datos empíricos muestran mayor riqueza de niveles que el planteamiento teórico en tres categorías. La clasificación de tareas no es suficiente para interpretar la variedad de respuesta de los estudiantes. (Rico, 2007) ¿Cómo determinar entonces el nivel de competencia matemático alcanzado por un estudiante? ¿Y por un grupo de estudiantes? ¿Y por los estudiantes de un país? La respuesta a estas cuestiones es empírica y constituye el núcleo del estudio PISA/OCDE. El informe final establece los niveles de complejidad de acuerdo con los resultados de la evaluación realizada; las tareas más complejas tienen, pues, una doble caracterización: teórica y empírica. (Rico, 2007). Los mejores alumnos muestran en su actividad distintos niveles de dominio en la ejecución de las tareas. De este modo se determinan empíricamente seis niveles de competencia, que admiten una descripción general y también una descripción más detallada por cada uno de los campos de contenido.

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Cada nivel de competencia se caracteriza por los procesos o competencias empleados y por el grado de complejidad con que los alumnos los ejecutan al abordar tareas de dificultad creciente. De este modo es posible entender cada nivel de competencia matemática en relación con la maestría con que el alumno lleva a cabo las tareas matemáticas propuestas, es decir, muestra su competencia matemáticas (OECD, 2004). En este caso la competencia no es una finalidad general de la educación matemática, ni tampoco un listado teórico de procesos cognitivos. Para llegar a esta noción de competencia hemos tenido que considerar los niveles de complejidad en una tarea, caracterizando esa noción en términos de la riqueza cognitiva de los procesos implicados, la creatividad, la variedad de conceptos y relaciones involucrados, el juego de sistemas de representación y sus conexiones. La caracterización teórica del nivel de competencia requerido para abordar una tarea se complementa con el estudio empírico, derivado de la evaluación PISA 2003. Primer nivel: Los alumnos saben responder a preguntas planteadas en contextos conocidos, donde está presente toda la información pertinente y las preguntas están definidas claramente. Son capaces de identificar la información y llevan a cabo procedimientos rutinarios al seguir instrucciones directas en situaciones explícitas. Pueden realizar acciones obvias que se deducen inmediatamente de los estímulos presentados. Segundo nivel: Los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en contextos que sólo requieren una inferencia directa. Saben extraer información pertinente de una sola fuente y hacer uso de un único sistema de representación. Pueden utilizar algoritmos, fórmulas, procedimientos o convenciones elementales. Son capaces de efectuar razonamientos directos e interpretaciones literales de los resultados. Tercer nivel: Los alumnos saben ejecutar procedimientos descritos con claridad, incluyendo aquellos que requieren decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias de solución de problemas sencillos. Saben interpretar y utilizar representaciones basadas en diferentes fuentes de información y razonar directamente a partir de ellas. También son capaces de elaborar escritos breves para exponer sus interpretaciones, resultados y razonamientos. Cuarto nivel: Los alumnos pueden trabajar con eficacia con modelos explícitos en situaciones complejas y concretas que pueden conllevar condicionantes o exigir la formulación de supuestos. Pueden seleccionar e integrar diferentes representaciones, incluyendo las simbólicas, asociándolas directamente a situaciones del mundo real. Los alumnos de este nivel saben utilizar habilidades bien desarrolladas y razonar con flexibilidad y cierta perspicacia en estos contextos. Pueden elaborar y comunicar explicaciones y argumentos basados en sus interpretaciones, argumentos y acciones. Quinto nivel: Los alumnos saben desarrollar modelos y trabajar con ellos en situaciones complejas, identificando los condicionantes y especificando los supuestos. Pueden seleccionar, comparar y evaluar estrategias adecuadas de solución de problemas para abordar problemas complejos relativos a estos modelos. Los alumnos de este nivel pueden trabajar estratégicamente

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utilizando habilidades de pensamiento y razonamiento bien desarrolladas, así como representaciones relacionadas adecuadamente, caracterizaciones simbólicas y formales e intuiciones relativas a estas situaciones. Pueden reflexionar sobre sus acciones y formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos. Sexto nivel. Los alumnos saben formar conceptos, generalizar y utilizar información basada en investigaciones y modelos de situaciones de problemas complejos. Pueden relacionar diferentes fuentes de información y representaciones y traducirlas entre ellas de una manera flexible. Los estudiantes de este nivel poseen un pensamiento y razonamiento matemático avanzado. Pueden aplicar su entendimiento y comprensión, así como su dominio de las operaciones y relaciones matemáticas simbólicas y formales y desarrollar nuevos enfoques y estrategias para abordar situaciones nuevas. Los alumnos de este nivel pueden formular y comunicar con exactitud sus acciones y reflexiones relativas a sus descubrimientos, argumentos y su adecuación a las situaciones originales (OCDE, 2005, p. 47 y 48; OECD, 2004, p. 47).

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CAPÍTULO 3. La planificación del profesor de matemáticas. Lección 1. Conocimiento profesional del profesor de matemáticas 53. Además del conocimiento disciplinar sobre estructuras formales y algoritmos, la enseñanza de las matemáticas exige conocimientos y destrezas específicos del nivel en que se desarrolle. La complejidad del trabajo profesional en el sistema educativo requiere una organización conceptual que integre y coordine el conocimiento disciplinar (objetos de enseñanza y de aprendizaje) con el conocimiento de capacidades cognitivas del estudiante (conocimiento del alumno por parte del docente) y con el campo en el cual las matemáticas escolares cobran sentido (el contexto), que constituyen el conocimiento profesional del profesor de matemáticas; lo que hace entonces obligatorio la formulación de unas bases teóricas que sustenten este conocimiento profesional del docente. La necesidad de la conceptualización teórica y la organización del trabajo del profesor se sustentan en que: 

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La Educación Matemática es un campo de trabajo y de investigación en el que se desenvuelven docentes e investigadores de las matemáticas. Al ejercicio de la profesión del profesor de matemáticas se llega con un alto nivel de formación en conocimientos disciplinares, pero con una significativa carencia de conocimientos didácticos y técnicos indispensables para el ejercicio de su profesión. Los planes de estudio de la Universidades no están diseñados acorde a las necesidades de formación inicial de profesores y no encuentran apoyo científico, académico, estructural y económico adecuado; no contemplan la necesaria especialización profesional. Los profesores de matemáticas tienen sus capacidades profesionales limitadas por falta de formación adecuada. Los profesores de matemáticas tienen interés por las actividades de aula, ejercicios y problemas, unidades didácticas, pruebas de evaluación, nuevos materiales, historia y filosofía de la matemática. Los profesores de matemáticas presentan carencias formativas en psicología, pedagogía, sociología de la educación, epistemología, historia y didáctica de la matemática, lo que implica una desconexión entre su trabajo profesional y las bases teóricas correspondientes. Los profesores de matemáticas son críticos ante los planteamientos innovadores. Aceptan con reserva los cambios y modificaciones en profundidad sobre el diseño y desarrollo del currículo. El profesor de matemáticas de secundaria es un profesional honesto, que desea hacer su trabajo lo mejor posible; a veces se encuentra desorientado por falta de un marco conceptual preciso y por la pérdida de legitimidad del plan inicial en el que se formó.

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Conocimiento profesional del profesor de matemáticas. Un acercamiento desde los números racionales. Antonio J. Moreno Verdejo, Pablo Flores Martínez (SAEM THALES, Granada). Disponible en: http://www.ugr.es/~pflores/textos/aRTICULOS/Investigacion/Moreno_Flores.pdf.

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El profesor es un profesional que se ha iniciado en la práctica mediante ensayo y error, que se ha formado con escasa ayuda institucional. Su trabajo es una actividad social que lleva a cabo mediante el desarrollo y puesta en práctica del currículo de matemáticas. Para el desempeño adecuado, el profesor ha de tener formación y conocimientos apropiados para controlar y gestionar las relaciones que se dan en los procesos de enseñanza y de aprendizaje. Las herramientas con las que tiene que trabajar incluyen fundamentos teóricos del currículo y principios para el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas. A los profesores no les basta con dominar los contenidos de su materia, necesita del conocimiento didáctico del contenido, que tiene otras bases disciplinares. El aula es el campo de trabajo del profesor y su testimonio son las matemáticas escolares, que últimamente han experimentado cambios profundos, gracias a los estudios sobre sociología del conocimiento, al desarrollo de la educación matemática y a la profesionalización creciente de los educadores matemáticos. La educación hace referencia a un sistema de valores de los cuales hace parte la enseñanza de las matemáticas. La sociología del conocimiento sostiene que las representaciones matemáticas son construcciones sociales. El conocimiento matemático representa las experiencias materiales de personas que interactúan en entornos, culturas y períodos históricos. Dentro del sistema escolar tiene lugar gran parte de la formación matemática de los jóvenes, este sistema debe promover las condiciones para que los más jóvenes lleven a cabo la construcción de los conceptos matemáticos mediante la elaboración de significados simbólicos compartidos. El conocimiento matemático es considerado una actividad social, en donde el educador inicia a los niños en la cultura a la cual pertenecen y de transmitirle sus valores sociales. El conocimiento matemático forma parte de esa cultura. En los últimos años la comunidad docente tiene una nueva visión de las matemáticas escolares:  

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El conocimiento matemático es producto de una evolución histórica y no es acabado. Mediante el conocimiento matemático se realizan funciones cognitivas y se ponen en práctica ciertas competencias. Ciertos conceptos y procedimientos matemáticos forman parte de los conocimientos que debe dominar el ciudadano común y corriente. En los procesos constructivos y de interacción social inciden la creación de los sistemas de símbolos y estructuras matemáticas. Necesidad de incorporar, buscar e implementar nuevas tecnologías para que el niño se defienda en un mundo cambiante. Una visión activa de la enseñanza, donde prime la manipulación de objetos y la elaboración de modelos; una enseñanza menos dirigida y más centrada en la creatividad, el aprendizaje interactivo, la resolución de problemas y la valoración crítica de las decisiones.

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Pensar en las matemáticas escolares conlleva a pensar en cómo deben enseñarse (teorías instructivas) y en cómo se aprenden las matemáticas (teorías del aprendizaje). Existen conexiones entre estas dos teorías: 

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Las matemáticas escolares no son una disciplina que supone solo el dominio de hechos y destrezas, en ellas se dan una riqueza de relaciones que están en la base de cualquier concepto y de las conexiones entre los mismos. El alumno no es un recipiente vacío, él va construyendo su propio conocimiento al integrar los nuevos conocimientos en redes conceptuales ya existentes. En el aprendizaje de las matemáticas intervienen una serie de interacciones del estudiante con el docente, con sus compañeros, con la familia y sociedad; por ello es conveniente fomentar el trabajo en equipo, la participación, la discusión, la libre expresión. El aprendizaje de las matemáticas se da sobre la base de conocimientos previos. La manipulación y relaciones que se puedan dar entre objetos diversos son un paso previo indispensable en la comprensión y asimilación de conceptos. Todo proceso de aprendizaje es lento, la red de relaciones entre hechos, conceptos y estructuras matemáticas es inagotable, igualmente la capacidad para crear nuevos algoritmos y generar procedimientos.

Para insertar la matemática en la escuela es necesario trabajar en todos los contextos en los que la matemática toma sentido; la escuela es el entorno en donde se lleva a cabo parte principal del proceso de culturización de las generaciones en formación. Las matemáticas existen en un medio social y humano, son una forma de relación y comunicación entre personas que permiten ordenar el comportamiento del hombre y marcan pautas de racionalidad. El pensar matemático permite compartir un simbolismo lógico, espacial y cuantitativo que permite desarrollar las capacidades humanas de relación, de representación y de cuantificación (proceso de enculturación). Este proceso de enculturación, llamado Educación Matemática, debe abarcar en la escuela dos niveles: alfabetización matemática básica y el perfeccionamiento matemático. Este proceso se lleva a cabo principalmente mediante el aprendizaje de determinados conocimientos matemáticos básicos llamados matemáticas escolares. La totalidad de la población debe incorporarse al conocimiento y los valores señalados por la educación matemática y de tal manera que se constituya en un factor de igualdad básica entre los ciudadanos que luchan por una sociedad democrática. Fines y metas de la Educación Matemática. La presencia de las matemáticas en la educación se justifica por: Las matemáticas desarrollan capacidades de razonamiento lógico, simbolización, abstracción, rigor y precisión que caracterizan al pensamiento formal.

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Las matemáticas tienen interés por su utilidad práctica; al describir un fenómeno a través de un modelo, permite inferir el comportamiento futuro del fenómeno. El desarrollo continuo y progresivo que necesitan las matemáticas permite apreciar el desarrollo logrado por el alumno: su capacidad de expresión verbal y su capacidad de razonamiento. También, son un instrumento (herramienta) común de trabajo para el resto de las disciplinas.

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Lección 2. Aproximaciones a la noción de currículo 54. El Currículo es toda actividad que planifique una formación; que se propone dar respuesta a:   

¿Qué es y en qué consiste el conocimiento? ¿Qué es el aprendizaje? ¿Qué es la enseñanza? ¿Qué es y en qué consiste el conocimiento útil?

El currículo pretende ofrecer información sobre los modos de entender el conocimiento, de Interpretar el aprendizaje, de poner en práctica la enseñanza y de valorar la utilidad y dominio de lo aprendido. Una primera parte del contenido explícito del currículo hace referencia a ¿qué es y en qué consiste el conocimiento matemático?, lo cual genera otros interrogante como ¿Cuáles son sus características? ¿Por qué es importante? Otra parte del contenido, que interviene en el diseño y desarrollo del currículo se enmarca en la pregunta ¿Qué es el aprendizaje?, de la cual se desprenden otros interrogantes como ¿en qué consiste el aprendizaje?, ¿cómo se produce?, ¿cómo aprenden niños y jóvenes?, ¿el aprendizaje es producto de una evolución o efecto de la instrucción, o de ambas?, ¿qué función tiene una teoría del aprendizaje?, ¿cómo se caracteriza el aprendizaje de las matemáticas? La teoría que sustenta esta parte del contenido curricular de matemáticas debe responder cuestiones como: ¿Cómo son las personas en el trabajo con matemáticas?, ¿cómo se desarrolla la comprensión de los conceptos matemáticos?, ¿en qué consiste la capacidad matemática? Una tercera parte del contenido responde a la pregunta ¿Qué es la enseñanza?, que da lugar a preguntas como ¿en qué consiste educar?, ¿en qué consiste la educación matemática?, ¿cómo puede llevarse a cabo la formación de niños y jóvenes en un campo específico del conocimiento?, ¿en qué consiste la instrucción? La cuarta cuestión ¿Para qué sirve el conocimiento?, admite interrogantes tales como ¿Cómo se establece la utilidad del conocimiento matemático?, ¿cuándo un individuo dispone de conocimiento útil?, ¿qué criterios determinan la capacidad matemática de una persona?, ¿qué mecanismos sostienen esta valoración? ¿Mediante qué criterios se valora la eficacia de un currículo?, ¿qué mecanismos permiten modificar un currículo, cómo se pone en práctica?, ¿Quiénes tienen la responsabilidad de la valoración y de los cambios? ¿Cómo y con cuales criterios se valora la capacidad e un profesor o de unos materiales curriculares?

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Conocimiento profesional del profesor de matemáticas. Un acercamiento desde los números racionales. Antonio J. Moreno Verdejo, Pablo Flores Martínez (SAEM THALES, Granada). Disponible en: http://www.ugr.es/~pflores/textos/aRTICULOS/Investigacion/Moreno_Flores.pdf.

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Dimensiones del Currículo. Rico (1997) establece cuatro dimensiones, a partir de los cuatro interrogantes anteriores: Dimensión cultural/conceptual; Dimensión Cognitiva; Dimensión Ética, y Dimensión Social; enmarcadas en dos niveles: la Planificación en el Aula y Planificación para el Sistema Educativo. Dimensiones Cultural/conceptual

Cognitiva o de Desarrollo

Ética o formativa

Social

Planificación para el aula

contenidos

Objetivos

Metodología

Evaluación

Planificación sistema educativo

Conocimientos

Alumnos

Profesor

Escuela

Niveles

Objetivos del Currículo de Matemáticas. Los objetivos para la secundaria están acordes al carácter formativo y a la obligatoriedad de este nivel educativo. Las matemáticas en secundaria deben contribuir a desarrollar en los estudiantes las capacidades para: 1. Emplear las formas de expresión matemática en la comunicación precisa y rigurosa. 2. Utilizar el pensamiento lógico para formular, inferir y deducir. 3. Cuantificar e interpretar aspectos de la realidad. 4. Elaborar estrategias y valorar su conveniencia para la identificación y resolución de problemas. 5. Utilizar técnicas sencillas para recoger información y formarse un juicio sobre ella. 6. Reconocer y explicar la realidad desde puntos de vista: determinista/aleatorio, finito/infinito, exacto/aproximado. 7. Identificar formas y relaciones espaciales analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas. 8. Analizar críticamente las funciones que desempeñan datos estadísticos, gráficos, planos, cálculos… y sus aportes, para una mejor comp rensión de los mensajes. 9. Resolver problemas de situaciones cotidianas de acuerdo con los modos propios de la actividad matemática. 10. Conocer y valorar sus propias habilidades matemáticas. Estos objetivos están vinculados a uno o varios bloques de contenidos generales y obligan a establecer criterios que permitan su concreción.

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Organización del Contenido Matemático. Se tienen en cuenta los criterios disciplinar y cognitivo. El criterio disciplinar los agrupa en cinco grandes bloques: 1). Números y operaciones (sistemas numéricos); 2). Medida, estimación y cálculo de magnitudes (sistema métrico); 3). Representación y organización en el espacio (sistema geométrico); 4). Interpretación, representación y tratamiento de la información (sistema de datos); 5). Tratamiento del azar (sistemas aleatorios). El criterio cognitivo los organiza en conocimientos conceptuales y procedimentales, además agrega unos conocimientos actitudinales. Organización Cognitiva de los Contenidos Matemáticos. Los conceptos son aquellos con lo que pensamos. Los procedimientos son aquellas formas de actuación o ejecución de tareas. Se presentan en tres niveles: ORGANIZACIÓN COGNITIVA Los Hechos: Unidades de información para registrar acontecimientos.

Conocimiento Conceptual

Los Conceptos: Describen una regularidad o relación de un grupo de hechos (signos o símbolos). Estructuras Conceptuales: Unen conceptos o muestran la relación entre conceptos. A veces son conceptos de orden superior. La Destrezas: Procesando hechos; transformación de una expresión simbólica en otra expresión. Dominio de los hechos y procedimientos.

Conocimiento procedimental

Los Razonamientos: Procesando relaciones entre conceptos, y establecer inferencia entre ellos. Las Estrategias: Operan dentro de una estructura conceptual. Son cualquier tipo de procedimiento dentro de las relaciones y conceptos implicados.

Tipos de hechos: Términos (denominaciones o vocablos para designar conceptos); Notaciones (Signos y símbolos); Convenios (Acuerdos tácitos o consensuados); Resultados (Unidades de información producto de las relaciones entre términos).

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Técnicas y destrezas: Destrezas aritméticas (Utilizadas para un correcto dominio del sistema decimal de numeración y de las cuatro operaciones básicas); Destrezas métricas (necesarias para emplear correctamente aparatos de medida y dominar el sistema métrico decimal); Destrezas geométricas (rutinas para construir y manipular modelos geométricos de un concepto); Destrezas gráficas y de representación (empleo de convenios para dar una imagen visual de un concepto o relación). Conceptos: Serie de unidades de información (hechos) conectadas entre sí. Los constituyen los hechos y sus relaciones. Se representan mediante sistemas simbólicos y gráficos. Razonamiento: Capacidad para establecer nuevas relaciones entre unidades de información. Es la forma usual de procesar conceptos (derivar unos conceptos de otros). En matemáticas se dan los razonamientos deductivo, inductivo y el analógico. Estructuras Conceptuales: Entre los conceptos se pueden establecer grandes redes conceptuales. Las relaciones entre conceptos dan lugar a nuevas estructuras, por ejemplo las estructuras aditiva, multiplicativa y el razonamiento proporcional. Estrategias: Procedimiento o regla de acción que permite obtener una conclusión o responder a una cuestión, haciendo uso de relaciones y conceptos de una determinada estructura conceptual. El uso de estrategias supone el dominio de una red conceptual. Evaluación. La evaluación no debe ser para controlar la promoción sino para detectar fallas y proceder a su tratamiento (evaluación formativa = diagnosticar e informar. Es continua). No se debe confundir la evaluación con el examen (la evaluación sumativa = agregación de los logros conseguidos por el alumno en diversos aspectos del aprendizaje, y suele dar lugar a una calificación). ¿Por qué hay que valorar el trabajo de los escolares? Porque: se informa al alumno cómo ha realizado determinada tarea; se determina el grado de asimilación de un concepto, el dominio de una destreza, la habilidad en la elección de un procedimiento y el uso y manejo de estrategias. También brinda al profesor mucha información que le permite enrumbar el ritmo de su clase. ¿Qué valorar? Las actividades matemáticas de los alumnos que deben considerarse prioritarias para establecer un juicio sobre los alumnos: precisión, resultados, método de trabajo, claridad de pensamiento, asimilación de ideas matemáticas, dominio de técnicas y destrezas, creatividad, esfuerzo personal, etc... Es conveniente que la evaluación no se haga atendiendo a un único tipo de criterios y actividades.

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¿Cómo evaluar? Se deben considerar instrumentos suficientes para emitir un juicio útil sobre la competencia matemática de los alumnos: comprobar la comprensión real de los conceptos, el dominio de las estructuras conceptuales, la capacidad personal de razonamiento y la capacidad y desarrollo de estrategias; esto se puede lograr mediante un seguimiento del trabajo individual y colectivo que se realiza en el aula. ¿Qué decisiones deben afectar a la evaluación? El profesor debe ser consciente de que su función no es seleccionar las mentes más capacitadas para la educación superior, sino capacitar a cada estudiante para alcanzar el máximo desarrollo de sus potencialidades que le permitan incorporarse a una sociedad democrática. La escuela no debe ahondar en las diferencias intelectuales que presentan los niños. Hay que reconocer que aunque el alumno es el autor de su aprendizaje, el profesor también es responsable de los logros y avances conseguidos. Criterios para seleccionar tareas de evaluación. Los instrumentos adecuados para llevar adelante la evaluación deben reunir las siguientes condiciones: 1. Relevancia práctica; Presentar situaciones que tengan significado práctico para la vida. 2. Coherencia o fragmentación de la tarea; La tarea debe permitir al estudiante seleccionar su repertorio de técnicas, recorrer una cadena de razonamientos o comparar métodos alternativos. 3. Rangos de respuestas posibles; Proponer tareas que posibiliten al estudiante trabajar con un amplio rango de capacidades y talentos. 4. Extensión y valor de la tarea; Para que muestre el pensamiento de orden superior. 5. Modo de trabajar las tareas; Explorar cómo se puede evaluar la capacidad de los estudiantes para trabajar en equipo. Dadas la incorporación de nuevas disciplinas y la importancia del campo de la práctica, los centros universitarios tienen la función de formar académicamente al educador matemático; en este sentido, los educadores deben reflexionar sobre sus propias carencias y limitaciones y plantear sus convenientes necesidades de formación, necesidades que generarán programas de formación adecuados para afrontar la compleja tarea que demanda la Educación Matemática. El dominio de las herramientas conceptuales de la profesión docente garantiza la autonomía intelectual y la capacidad crítica en el ejercicio del ejercicio docente. Una de estas herramientas es la noción de currículo. Como se dijo arriba, los conocimientos se organizan en dos grandes campos: Conceptual (rico en relaciones, una red), y Procedimental (modos de ejecución ordenada de una tarea).

154


Lección 3. Análisis Didáctico.55 Para Gómez y Rico (2002), el análisis didáctico es un procedimiento con el que es posible explorar, profundizar y trabajar con los diferentes y múltiples significados del contenido matemático escolar, para efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje, que contribuyen a la construcción del conocimiento matemático de los estudiantes. Este procedimiento se compone, como ya se señaló, de cuatro tipos de análisis: análisis de contenido, análisis cognitivo, análisis de instrucción y análisis de actuación; se utiliza en un nivel de programación curricular de una unidad didáctica o una hora de clase, el cual el profesor diseña y evalúa haciendo uso del análisis didáctico. Entendiendo a una unidad didáctica como la “unida d de programación y actuación docente constituida por un conjunto de actividades que se desarrollan en un tiempo determinado para la consecución de unos objetivos específicos”

(Segovia y Rico, Citados por Gómez 2007: 30). En este tipo de planificación y evaluación curricular, el profesor pone en juego una serie de conocimientos que Rico, et al. (2000); Gómez y Rico (2002) y Gómez (2007) han denominado conocimiento didáctico. Para estos autores, el conocimiento didáctico se constituye por los conocimientos que el profesor debe poner en práctica cuando realiza el análisis didáctico y lo caracterizan como la integración de la noción, y contenidos del currículo y las nociones de la didáctica de la matemática relevantes para un tópico, situación o problema. Rico, et al. (2000), se refiere al conocimiento didáctico, como el conocimiento que está relacionado básicamente con los siguientes tipos de cuestiones, reflexiones, análisis y prácticas asociadas: 





Una noción general, bien establecida, sobre el concepto de currículo, sobre sus dimensiones y niveles de reflexión. Una fundamentación teórica sobre las nociones básicas que sostienen la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; igualmente sobre los principios y criterios que sostienen los procesos de evaluación. Una consideración particular sobre los contenidos del currículo y su estructura conceptual (“no exclusivamente formal y técnica”).



Una aproximación cognitiva sobre cada uno de los distintos contenidos (análisis cognitivo).



El análisis semiótico de los contenidos y sus implicaciones didácticas.



El análisis fenomenológico de los contenidos y su didáctica.

55

Tovar, B. & Triviño, J. (2007). Conocimiento Didáctico en la Formación Inicial del Profesor de Matemáticas, Relativo al Concepto de Función Cuadrática. Tesis de Maestría. UPN, Bogotá, (sin publicar).

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







Análisis epistemológico e histórico. Análisis y valoración de los contextos en los que se presenta cada concepto y de sus significados y usos. Revisión y reflexión sobre los materiales, recursos y tecnologías con los que se pueden considerar y trabajar estos contenidos y conceptos. La diversidad de representaciones utilizadas para cada sistema conceptual, junto con algunas de las modelizaciones usuales de los correspondientes conceptos (Rico, et al. 2000).

A los anteriores ítems, Rico, et al. (2000) los define como organizadores del currículo de matemáticas, los cuales permiten realizar el análisis didáctico de un contenido matemático escolar. Los organizadores del currículo propuestos por Rico, et al. (2000), ofrecen a los profesores en su formación inicial, un marco conceptual para la enseñanza de la matemática, se adaptan como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas, en las matemáticas escolares. Dentro de estos organizadores mencionados anteriormente, Rico et al. (2000) clasifica como los más relevantes los siguientes organizadores: •

la fenomenología didáctica, cuyo objeto de estudio son los fenómenos de los que han surgido los conceptos como formas de organización, así como las aplicaciones prácticas de los conocimientos;

•

los sistemas de representación y modelación de los conceptos y procedimientos, establecidos mediante convenios o por propia separación de carácter práctico a lo largo de la historia de la matemática, los modelos matemáticos y los procesos de modelización usuales, mediante los cuales se asigna una estructura matemática a una familia de fenómenos que quedan representados mediante un sistema;

•

los materiales y recursos que puedan emplearse en la enseñanza para manipular y experimentar;

•

los errores, dificultades y obstáculos asociados a conceptos y procedimientos de cada unidad, que se han detectado en el aprendizaje y que se han puesto de manifiesto en estudios e investigaciones de psicología matemática;

•

notas de historia de las matemáticas que muestra los momentos de interés relacionados con cada uno de los tópicos del currículo de las matemáticas escolares y específicamente con el objeto de estudio (Rico, et al. 2000).

156


Cada organizador proporciona una base sólida y unos criterios para estructurar todas y cada una de las unidades didácticas, y para delimitar el conocimiento didáctico de sus contenidos (Rico, et al. 2000). De esta manera, el diseño, planificación y desarrollo de una unidad didáctica no se reduce a la selección y secuenciación de un conjunto de conceptos y procedimientos sobre el tema matemático específico (Rico, et al. 2000). A continuación, se puede observar la organización estructural del análisis didáctico propuesta por Bedoya (2002).

Sistemas de Representación

Análisis Fenomenológico

Modelización Estructura Conceptual

ANÁLISIS DE CONTENIDO Resolución de problemas s e l a i r e t a M

Diseño de Actividades

Aprendizaje

s o s r u c e R

E N Ó D I S C I C S I U L R Á T N S A N I

ANÁLISIS DE ACTUACIÓN

O S V I I S I T L I Á N N G A O C

Evaluación

Dificultades y Errores de E-A

Enseñanza Aprendizaje

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s e d s a e t l r u o r c r i f E i D Comprensión


En este esquema se presentan los diferentes análisis que componen el análisis didáctico y sus múltiples interrelaciones con la variedad de componentes y con los organizadores del currículo; a continuación se describe cada uno de estos análisis: 1. El análisis de contenido, se define como el procedimiento en virtud del cual el profesor identifica, organiza y selecciona los múltiples significados de un concepto, dentro del contenido de las matemáticas escolares. El análisis de contenido, incluye las nociones de sistema de representación, estructura conceptual, modelización y análisis fenomenológico de un objeto matemático. 2. El análisis cognitivo, en el que el profesor describe sus hipótesis acerca de cómo los estudiantes pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura matemática cuando se enfrenten a las tareas que compondrán las actividades de enseñanza y aprendizaje. El análisis cognitivo, incluye la comprensión, aprendizaje, dificultades y errores en el aprendizaje de un tópico matemático escolar. 3. El análisis de instrucción, en el que el profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que constituirán las actividades de enseñanza y aprendizaje objeto de la instrucción. El análisis de instrucción, incluye los materiales, recursos didácticos, diseño de actividades y la resolución de problemas. 4. El análisis de actuación, en el que el profesor determina las capacidades que los estudiantes han desarrollado y las dificultades que pueden haber manifestado hasta ese momento. El análisis de actuación, incluye dificultades y errores en la enseñanza y el aprendizaje, evaluación, enseñanza y aprendizaje. La información que surge del análisis de contenido, sustenta el análisis cognitivo al identificar y organizar los múltiples significados del concepto objeto de la enseñanza. Esta relación entre estos análisis también se establece con el análisis de instrucción, su formulación depende y debe ser compatible con los resultados de los análisis cognitivo y de contenido. En el análisis cognitivo el profesor de matemáticas selecciona unos significados de referencia y con base en ellos y en los objetivos de aprendizaje que se ha impuesto identifica las capacidades que pretende desarrollar en los estudiantes. También formula conjeturas sobre los posibles caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje de los estudiantes cuando ellos aborden las tareas que conforman la instrucción. Esta información el profesor la utiliza para diseñar, evaluar y seleccionar las tareas. Por consiguiente, la selección de tareas que componen las actividades debe ser coherente con los resultados de los tres análisis y la evaluación de esas tareas a la luz de los análisis puede llevar al profesor a realizar un nuevo análisis, antes de seleccionar definitivamente las tareas que componen las actividades de enseñanza y aprendizaje (Gómez, 2007).

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Lección 4. Organización para la planificación curricular 56. Si esperamos que los profesores de matemáticas aborden su trabajo diario de manera sistemática y reflexiva, basándose en un conocimiento profesional, entonces ellos deben conocer y utilizar principios, procedimientos, herramientas y técnicas que, fundamentados en la didáctica de la matemática, les permitan diseñar, evaluar y comparar las tareas y actividades de enseñanza y aprendizaje que pueden conformar su planificación de clase. Por lo tanto, hay que diferenciar entre los problemas de diseño curricular global (para la totalidad de una asignatura, por ejemplo) y los problemas de diseño curricular local (para una unidad didáctica o una hora de clase sobre una estructura matemática específica o uno o más aspectos de ella). El análisis didáctico, introducido por Rico (1992, § III.2.1; , 1997, p. 55) y que hemos venido desarrollando recientemente (Gómez, 2002) es una conceptualización del nivel local de la planificación; se constituye en un nuevo nivel del currículo (p. 256); aborda la problemática de la brecha entre el diseño curricular global y local (Rico, 1997; Segovia y Rico, 2001); y se enmarca en una visión funcional del currículo de matemáticas (Rico, Castro, Castro, Coriat y Segovia, 1997, p. 284). La planificación es una de las actividades más importantes en el trabajo del profesor (Ball y Bass, 2003, p. 3; Van Der Valk y Broekman, 1999) y es una de sus competencias (Kilpatrick, Swafford y Findell, 2001, p. 380). Esta competencia reviste especial importancia en los planes de formación inicial de profesores y se incluye en los diferentes estándares profesionales de los profesores (e.g., Department of Education, 2001; Department of Education and Training, 2004). La situación es similar en el marco del trabajo y la formación del profesor de matemáticas: la planificación se reconoce como una de las competencias indispensables (ver, por ejemplo, Niss, 2003; Recio, 2004; Rico, 2004). El profesor debe abordar diferentes tipos de planificación. Cuando la planificación es local, el foco de atención del profesor es un tema matemático específico. En este nivel, la planificación del profesor debe tener en cuenta la complejidad del contenido matemático desde diversos puntos de vista: “cuando las matemáticas se enseñan desde una perspectiva pluralista, entonces se pueden ver desde múltiples perspectivas —perspectivas que

motivan a los profesores a considerar no solamente los diferentes significados de las matemáticas, sino también su diversidad en su enseñanza” (Cooney, 2004, p. 511). De hecho, la

negociación y construcción de esta multiplicidad de significados debe ser uno de los propósitos centrales de la interacción en el aula. Ésta es la posición que, desde comienzos de la década de los noventa, Rico y sus colaboradores han propuesto como aproximación a la planificación de unidades didácticas en España (e.g., Rico, 1992; Rico, 1998; Rico, Castro, Castro, Coriat, Marín, Puig et al., 1997). Esta propuesta se centra en la idea de que la planificación de una unidad didáctica o de una hora de clase se debe fundamentar en la exploración y estructuración de los diversos significados de la estructura matemática objeto de esa planificación. Los “organizadores del currículo” propuestos por Rico (1997, p. 44) son herramientas

conceptuales y metodológicas que le permiten al profesor recabar, organizar y seleccionar información sobre estos múltiples significados. Un organizador del currículo (por ejemplo, los 56

Gómez, P., Análisis Didáctico en la Formación Inicial de Profesores de Matemáticas de Secundaria. Universidad de Granada.

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sistemas de representación) es una noción, con un significado teórico proveniente de la didáctica de la matemática, para la que hemos desarrollado un significado técnico. Este significado técnico recoge los usos que un profesor puede hacer de ella cuando diseña, implementa y evalúa unidades didácticas. En lo que sigue, utilizaré el término “noción” para referirme tanto al

organizador del currículo (es decir, a su significado técnico), como a sus significados teórico y práctico. Para efectos de abordar la descripción del análisis didáctico y su relación con los organizadores del currículo, considero a continuación la interpretación que hacemos de la noción de significado de un concepto en las matemáticas escolares. Planificación de clase y significado. La extensión y profundidad de los significados que construyen los escolares en el aula (y, por consiguiente, la calidad de su aprendizaje) se realiza atendiendo los distintos modos de expresión y de uso con que se manejen los conceptos, a la capacidad para conectar diversas estructuras y utilizar diferentes procedimientos, a la diversidad de los problemas que pueden interpretarse, abordarse y resolverse, en definitiva, considerando la riqueza de conexiones —de significados— que se establecen para una determinada noción o conjunto de nociones matemáticas. Parte relevante del aprendizaje matemático de los escolares se lleva a cabo en el aula, cuando ellos negocian y construyen significados con motivo de las actividades propuestas por el profesor (Biehler, 2005, pp. 61-62; Bromme y Steinbring, 1994, p. 218). ¿Cuáles son los significados de un concepto matemático que pueden ser objeto de la interacción en el aula? ¿Cuáles son los significados que se considera relevante desarrollar? En este apartado, abordo estas preguntas y asumo una posición con respecto a ellas. Mi propósito es mostrar la utilidad de abordar la noción de significado en las matemáticas escolares desde una perspectiva amplia en virtud de la cual un concepto matemático puede ser estudiado desde una variedad de significados. Frege (1998a; 1998b; 1998c) introdujo la idea de un triángulo semántico para abordar el significado de un término:

Al igual que la referencia de un nombre propio es el objeto que designa, un término conceptual se refiere a un concepto. En la noción de Frege para significado de un término conceptual, el triángulo semántico viene dado por el signo o término con el que se expresa, por su referencia o concepto propiamente tal, y por su sentido o modo en que vienen dados los objetos que caen bajo el concepto, como se ilustra a continuación.

160


El triángulo semántico propuesto por Frege identifica los elementos constitutivos del significado de un término conceptual desde una perspectiva estrictamente lógica y formal. Dado que nuestro interés por el significado de los conceptos matemáticos está centrado en el ámbito de la matemática escolar, adaptamos las ideas de Frege para considerar un sistema de relaciones más amplio. Mi propuesta interpreta las ideas de Frege al enfatizar el hecho de que los sentidos en los que se usa un término conceptual matemático implican, por un lado, los modos en los que se establecen relaciones con otros términos conceptuales matemáticos, y, por el otro, las diferentes formas en las que el término conceptual y estas relaciones se pueden representar. Adicionalmente, y siendo coherente con nuestra posición con respecto al currículo de matemáticas, adopto un punto de vista funcional, en virtud del cual el sentido en el que se usa un término conceptual matemático también incluye los fenómenos que sustentan el concepto. En la matemática escolar, los fenómenos se presentan mediante un contexto o situación en que el concepto toma sentido, o también mediante un problema que se aborda y da sentido al concepto. Mi propuesta aborda el significado de un concepto matemático atendiendo a tres dimensiones que denomino estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología:







En la estructura conceptual incluyo las relaciones del concepto con otros conceptos, atendiendo tanto a la estructura matemática de la que el concepto forma parte, como a la estructura matemática que dicho concepto configura. En los sistemas de representación incluyo las diferentes maneras en las que se puede representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos. En la fenomenología incluyo aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que pueden dar sentido al concepto.

Estas tres dimensiones del significado de un concepto en la matemática escolar ponen en evidencia y organizan una de las cuestiones centrales de la problemática de la planificación de clase: la multiplicidad de significados de un concepto en las matemáticas escolares. Esta

161


multiplicidad de significados implica que, para efectos de planificar una hora de clase o una unidad didáctica, sería deseable que el profesor: 1. conociera las tres dimensiones que caracterizan el significado de un concepto en la matemática escolar, y fuera capaz de: 2. recabar la información necesaria que le permita identificar dichos significados y organizar esta información de tal forma que sea útil para la planificación; 3. seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes para la instrucción; y 4. utilizar la información que surge de los diversos significados del concepto para el diseño de unidades didácticas. El contexto impone unos condicionantes a los últimos tres pasos. Por ejemplo, el contenido propuesto por la programación a comienzo de curso delimita los significados que se consideran relevantes a nivel institucional. Por otro lado, el profesor debe atender al desarrollo de la asignatura en el momento de la planificación. Para ello, él debe tener en cuenta su percepción sobre las capacidades que los escolares ya han desarrollado y su previsión sobre cómo los escolares pueden, al abordar las tareas objeto de la instrucción, desarrollar las capacidades involucradas en los objetivos de aprendizaje. A continuación, describo el análisis didáctico como un procedimiento que aborda y organiza esta complejidad.

162


Lección 5. El análisis didáctico como procedimiento para organizar la enseñanza 57. En el contexto concreto de la planificación de una hora de clase o una unidad didáctica, el profesor puede organizar la enseñanza basándose en cuatro análisis (Gómez, 2002): 1. el análisis de contenido, como procedimiento en virtud del cual el profesor identifica y organiza la multiplicidad de significados de un concepto; 2. el análisis cognitivo, en el que el profesor describe sus hipótesis acerca de cómo los escolares pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura matemática cuando se enfrenten a las tareas que compondrán las actividades de enseñanza y aprendizaje; 3. el análisis de instrucción, en el que el profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que que constituirán las actividades de enseñanza y aprendizaje ap rendizaje objeto de la instrucción; y 4. el análisis de actuación, en el que el profesor determina las capacidades que los escolares han desarrollado y las dificultades que pueden haber manifestado hasta ese momento. Denomino análisis didáctico a un procedimiento cíclico que incluye estos cuatro análisis, atiende a los condicionantes del contexto e identifica las actividades que idealmente un profesor debería realizar para organizar la enseñanza de un contenido matemático concreto. La descripción de un ciclo del análisis didáctico sigue la secuencia propuesta:

57

Gómez, P., Análisis Didáctico en la Formación Inicial de Profesores de Matemáticas de Secundaria. Universidad de Granada.

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El ciclo del análisis didáctico se inicia con la determinación del contenido que se va a tratar y de los objetivos de aprendizaje que se quieren lograr, a partir de la percepción que el profesor tiene de la comprensión de los escolares con motivo de los resultados del análisis de actuación del ciclo anterior y teniendo en cuenta los contextos social, educativo e institucional en los que se enmarca la instrucción (cuadro 1 de la Figura). A partir de esta información, el profesor inicia la planificación con el análisis de contenido. La información que surge del análisis de contenido sustenta el análisis cognitivo, al identificar y organizar los múltiples significados del concepto objeto de la instrucción. A su vez, la realización del análisis cognitivo puede dar lugar a la revisión del análisis de contenido. Esta relación entre los análisis también se establece con el análisis de instrucción. Su formulación depende y debe ser compatible con los resultados de los análisis de contenido y cognitivo, pero, a su vez, su realización puede generar la necesidad de corregir las versiones previas de estos análisis (cuadro 2). En el análisis cognitivo, el profesor selecciona unos significados de referencia y, con base en ellos y en los objetivos de aprendizaje que se ha impuesto, identifica las capacidades que pretende desarrollar en los escolares. También formula conjeturas sobre los posibles caminos por los que se puede desarrollar su aprendizaje cuando ellos aborden las tareas que conforman la instrucción. El profesor utiliza esta información para diseñar, evaluar y seleccionar estas tareas. Por consiguiente, la selección de tareas que componen las actividades debe ser coherente con los resultados de los tres análisis y la evaluación de esas tareas a la luz de los análisis puede llevar al profesor a realizar un nuevo ciclo de análisis, antes de seleccionar definitivamente las tareas que componen las actividades de enseñanza y aprendizaje (relación entre cuadros 2 y 3). El profesor pone en práctica estas actividades (cuadro 4) y, al hacerlo, analiza las actuaciones de los escolares para obtener información que sirve como punto de inicio de un nuevo ciclo (cuadro 5). El conocimiento didáctico (cuadro 6) es el conocimiento que el profesor pone en juego durante este proceso. Cada uno de los análisis se articula alrededor de unas nociones. Los organizadores del currículo son la expresión del significado técnico de esas nociones. Por ejemplo, el análisis de contenido incluye las nociones de sistema de representación, estructura conceptual y fenomenología, que corresponden a las tres dimensiones del significado de un concepto en el contexto de las matemáticas escolares. Por su parte, para cada noción, adoptamos un significado teórico, un significado técnico y un significado práctico. Por ejemplo, en el caso de los sistemas de representación podemos seleccionar, como significado teórico, la propuesta de Kaput (1992), en virtud de la cual, un sistema de representación es “un sistema de reglas para (i) identificar o crear

signos, (ii) operar sobre y con ellos y (iii) determinar relaciones entre ellos (especialmente relaciones de equivalencia)” (p. 523). El significado técnico de la noción abarca los usos que

idealmente el profesor hace de ella cuando analiza un concepto matemático. Su significado práctico abarca las técnicas (razonamientos y procedimientos, Artigue, 2002) que el profesor desarrolla y pone en juego cuando utiliza la información que surge del análisis del concepto para efectos de diseñar, implementar y evaluar una unidad didáctica (por ejemplo, las técnicas para utilizar la información que surge del análisis de contenido a efectos de identificar las capacidades y errores de los escolares). A continuación, apoyándome en un ejemplo, presento algunos aspectos del significado s ignificado técnico de las nociones estructura conceptual y sistemas de representación, con el propósito de dar cuenta de la complejidad del análisis de contenido, en particular, y del análisis didáctico, en general.

164


Utilizo la expresión “estructura conceptual” para referirme a tres aspecto s de todo concepto

matemático del currículo escolar: 1. Estructuras matemáticas involucradas. Todo concepto matemático está relacionado con al menos dos estructuras matemáticas: (a) la estructura matemática que el concepto configura y (b) las estructuras matemáticas de las que él forma parte. Por ejemplo, el concepto función cuadrática configura una estructura matemática en la que se establecen relaciones estructurales entre conceptos como ecuación cuadrática, parámetro, foco y vértice (ver Figura). Adicionalmente, el concepto función cuadrática forma parte, por ejemplo, de la estructura matemática correspondiente al concepto función.

2. Relaciones conceptuales. Resalto las relaciones que se establecen entre el concepto y (a) los conceptos de la estructura matemática que dicho concepto configura (e.g., la relación entre la función cuadrática y la ecuación cuadrática), (b) los objetos que son casos particulares de dicho concepto (en términos de Frege, los objetos que saturan el predicado; e.g., f(x) = 3x 2-4 como caso particular de las funciones cuadráticas de la forma f(x) = ax 2+c, y (c) los conceptos que pertenecen a la estructura matemática de la que el concepto forma parte (e.g., la relación entre la función cuadrática y las funciones continuas). 3. Relaciones de representaciones. La exploración de los significados de un concepto requiere de los sistemas de representación, puesto que con ellos es posible identificar los modos en que el concepto se presenta. Al tener en cuenta los sistemas de representación, se pueden destacar varias relaciones (ver anterior Figura): (a) la relación entre dos signos que designan el mismo objeto o concepto, dentro de un mismo sistema de representación (transformaciones sintácticas invariantes —e.g., como consecuencia de completar cuadrados), (b) la relación entre dos signos que designan el mismo objeto o concepto pertenecientes a sistemas de representación diferentes (traducción entre sistemas de representación —e.g., la relación entre parámetros de una forma simbólica y elementos de la representación gráfica) y (c) la relación entre dos signos que designan dos objetos o

165


conceptos diferentes dentro de un mismo sistema de representación (transformaciones sintácticas variantes —e.g., como consecuencia de aplicar una traslación a la gráfica). Por lo tanto, cuando exploramos los significados de un concepto en las matemáticas escolares, debemos tener en cuenta tres tipos de “elementos” y dos grupos de relaciones entre esos

elementos. Podemos clasificar los elementos en: 





los objetos, como casos particulares de un concepto y que conforman la extensión del concepto, los conceptos, como predicados que son saturados por los objetos y, a su vez, conforman estructuras matemáticas, y las estructuras matemáticas, que están conformadas por conceptos.

Por otro lado, las relaciones descritas en los puntos 2 y 3 anteriores se pueden agrupar en dos categorías que denomino relaciones verticales y relaciones horizontales. Las relaciones verticales se refieren a las relaciones entre los tre s tipos de elementos: Objeto ↔ Concepto ↔ Estructura Matemática. Por otra parte, las relaciones horizontales se refieren a las relaciones entre los signos en sus diferentes sistemas de representación (relaciones entre representaciones). Abordar los significados de un concepto desde la perspectiva de su estructura conceptual y sus representaciones, implica identificar y organizar los elementos (objetos, conceptos y estructuras matemáticas) y las relaciones (horizontales y verticales) correspondientes a ese concepto. Éste es un trabajo matemático en el contexto del contenido matemático escolar. Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi (2006, en este volumen) lo hacen a través de lo que ellos denominan configuraciones epistémicas asociadas a un concepto. Por su parte, Biehler (2004, pp. 69-71) se aproxima a este tipo de procedimiento cuando, en un esquema y en una tabla, presenta lo que él d enomina “el paisaje semántico” del concepto.

En cuanto a la identificación de las capacidades que contribuyen al desarrollo de la competencia de planificación del profesor de matemáticas. Enumeraré y organizaré estas capacidades de acuerdo con los cuatro análisis que conforman el análisis didáctico. A continuación, presento únicamente un primer nivel de las capacidades correspondientes a cada análisis. Cada una de estas capacidades se puede desarrollar en descripciones más detalladas que corresponden a los procedimientos que configuran cada uno de los análisis del análisis didáctico. Análisis de Contenido. Para las tres dimensiones del significado de un concepto, el profesor debe ser capaz de:   

recabar la información necesaria que le permita identificar los significados del concepto; organizar esta información de tal forma que sea útil para la planificación; seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes para la instrucción, al tener en cuenta las condiciones de los contextos sociales, educativos e institucionales; y

166




seleccionar los significados relevantes para la instrucción al tener en cuenta las condiciones del contexto del aula (que surgen de la información que se obtiene del análisis cognitivo).

Análisis Cognitivo. A partir de la información que surge del análisis de contenido, el profesor debe ser capaz de establecer:    



 

las competencias que se quieren desarrollar, los focos de interés que se han de tratar, las capacidades que los escolares tienen antes de la instrucción, las capacidades que se espera que los escolares desarrollen con motivo de la instrucción (que contribuyen a las competencias previamente identificadas y que delimitan los significados a tratar), las tareas que conforman la instrucción (cuyo establecimiento involucra las capacidades que se enumeran en el análisis de instrucción), las dificultades que los escolares pueden encontrar al abordar esas tareas, y las hipótesis sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje.

Análisis de Instrucción. Para efectos de analizar y seleccionar las tareas que conforman la instrucción, el profesor ha de ser capaz de analizar una tarea con el propósito de:  





identificar las capacidades que se pueden poner en juego cuando los escolares la aborden, identificar las competencias a las que esas capacidades, con la tarea en cuestión, pueden contribuir, establecer los posibles caminos de aprendizaje que los escolares pueden recorrer cuando aborden la tarea, y evaluar la pertinencia de la tarea a partir de esta información.

Análisis de Actuación. Una vez que se ha realizado la instrucción y que el profesor ha observado y registrado lo que sucedió en su interacción con los estudiantes, él ha de ser capaz de: 







comparar las previsiones que se hicieron en la planificación con lo que sucedió cuando esa planificación se puso en práctica en el aula, establecer los logros y deficiencias de la planificación (actividades y tareas) en su puesta en práctica en el aula, caracterizar el aprendizaje de los escolares con motivo de la puesta en práctica de las actividades, y producir información relevante para una nueva planificación.

Estos son tan sólo unos primeros intentos en nuestro propósito de comprender cómo aprende un futuro profesor en un plan de formación y de desarrollar estrategias para promover ese aprendizaje. Nos queda mucho espacio aún por recorrer.

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Didacticas de Las Matematicas

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