.
,
.
2012
Soy un hombre de poca fe y de mala memoria.
Cerrar ciclos no es lo mío, tiendo siempre a recordar.
Añoro los tiempos pasados, pero sé también que existe, y por mi cuenta corre, un futuro prometedor.
"La obligación nos hace realizar acciones extrañas. Estudiar el camino de la obligación, con todos sus giros y vueltas, es como seguir el camino de la abeja a través de un campo de flores silvestres" -Debes ser sincero contigo mismo, aceptar que terreno estás pisando y aceptar las responsabilidades... -¿Hay algo más que me tengas que decir? -Adiós, regresa cuando estés listo, cuando te sientas preparado. -¿Y si nunca llega ese momento? -Si nunca llega, me dio mucho gusto conocerte y saber de ti... >>> Ya vendrá alguien que acepte la responsabilidad <<<
No es verdad, no es verdad que vengamos a esta tierra a vivir sólo venimos para dormir, para soñar. Antiguo poema azteca
A mis padres Julián y Virginia
A mi hermano Alan
Y como diría un viejo amigo: "...en el cristal, que con mi soplo empaño, mires aparecer mi pensamiento". Manuel Gutiérrez Nájera. "Este Libro es el conjunto de lo aprendido a lo largo de mi carrera e incluso más allá de ella, en mi vida. La vida de cualquier persona, la mía no excede la sentencia, se encuentra rodeada de otras tantas que interfieren, modifican, embellecen y nutren dicha existencia. Por este motivo dedico mi pensamiento a ti". Alan Sting Ramos Rojas.
El GRAN SUEÑO ha comenzado, esto sólo es el principio, y ¿sabes una cosa? vamos de la mano.
Agradecimientos Agradezco a mis padres y hermano, por ser los cimientos de lo que fue, es y será una gran estructura y por permitirme ser en todo momento, sin importar que interfiriera en sus asuntos. Madre, siempre me apoyé en ti, aun cuando estaba en el fondo, tú estabas abajo, no sé cómo, pero siempre me sacabas, haciendo el trabajo rudo. Padre, tus enseñanzas siguen siendo mágicas, sólo hablas cuando es necesario y abrazas cuando te faltan las palabras. Hermano, siempre te admiraré, sabes como soy y como pienso, siempre lo has sabido, gracias por tenderme tu mano. “Con pies de plomo y escalando una montaña a solas” Gracias Dr. José Luis. Me ha enseñado más de lo que pudiera imaginarme Sus comentarios siempre acertados; su guía y conocimiento fueron invaluables en la elaboración de este trabajo. Gracias a todos y cada uno de mis sinodales, quienes se tomaron un tiempo para leer y corregir este trabajo. Gracias amigos, no los menciono por temor a omitir alguno. Siempre, con sus valiosas aportaciones y compañía, ¡estamos en el mismo barco! Yare, compañera de vida y alma gemela, he aprendido y vivido mucho contigo. Así como los libros y sus historias tienen final, nosotros decidimos poner puntos suspensivos. Gracias por ser y existir, siempre con una sonrisa para mí. Finalmente, doy las gracias a la Universidad Nacional Autónoma de México, a la Facultad de Ingeniería y al Instituto de Ingeniería, por permitirme crecer dentro de sus muros y en sus espacios. A TODOS GRACIAS Por enseñarme un poco de la vida y por convertirme en lo que hoy soy.
“Análisis Sísmico de Tanques elevados para Almacenar Líquidos: Una nueva visión con espacios vectoriales complejos”
................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................
1 ......................................................................................................................................................... 1
1.2.1
................................................................................................................... 3
1.3.1
............................................................................................................. 4
1.4.1
........................................ 12
2 ....................................................................................................................................................... 16
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 1.2.4
(2008, 1 ) ......................................................................... 18 .................................................................................................... 19 ..................................................................... 20 ..................................................................................................................................... 21
≠
.................................................................................. 22
3 ....................................................................................................................................................... 24 3.1.1 3.1.2 3.1.3
. . ............................................... 26 1 .................................................................................................................................. 27 2 ............................................................................................ 33
................................................................................................................................................. 50 ......................................................................................................................... 52
i
Nomenclatura
∗
ℱ
i
√−1
ℒ
, , ,
, , ,,
ii
iii
Introducción
, . ( ), ,
,
.
iv
Objetivo General
. , . Objetivos Específicos •
. •
(
, 2008 1 ) (
)
. ,
•
, .
Alcance
: •
. •
.
,
, ,
:
, . ,
,
. , ,
.
v
, . , .
, , : (1) (
)
(2)
, .
, ,
.
,
. : .
,
,
,
. . .
vi
Capítulo 1
E (
) . . A
.A ,
(
, 2011 2 ).
1.1 Estado del Arte
A
, ,
, .A
,
, . C
, ,
,
,
, . ,
(2007) 3 ,
,
:
) ,
,
,
,
,
.,
, ,
E
,
,
:
) ,
. ,
.
E E
. , ,
(
)
, .D
( )
( ),
, . E , .E .
,
,
D
L
,
3,
5, 1
.C , ,
, .
1.2 Vibraciones. Sistemas Positivos Definidos
C
, .
(
)
,
A
.
, .A
, .
1.2.1
D
Tipos de Vibraciones
, 1) 2)
A
: L F
:
. .
:
,
, ,
A)
:
: .
B) C
: .
E
, , )
:
L
: .
)
L
: .
1
Una función es positiva definida si nunca es negativa y es cero sólo cuando se valúa en el conjunto vacío.
Figura 1. 1 Distintos sistemas de vibración: (a) vibración libre no amortiguada lineal; (b) vibración libre amortiguada; (c) vibración forzada amortiguada.
*F
4,
.
1.3 Ecuaciones de Movimiento Tradicionales
L
, , .E . , , . 1.3.1
Segunda Ley de Newton
[/ ];
E
[]
1.1
, ,
1.2, , (
).
[] . E
C
=∗ = ∗ ()
1.2 .
,
Ecuación 1.1
Ecuación 1.2
L
L
N .
:
; L
H
DA
H
,
J
, ,
E
L .(
[]
1.2). E
L
H
()
= ∗ () 1.2
1.3
() = − ∗ () = ∗ () 3
Figura 1. 2 Vibración armónica simple, constante de rigidez
4
1.42. Ecuación 1.4
y Ley de Hooke.
.
, 1.4
,
2
: Ecuación 1.3
,
*F
; 5 9).
3
, (
,
,
:
/
,4
Referencia [3] Yépez, pág. 45, subtema Ley de Hooke. Oscilaciones armónicas. El signo negativo muestra una convención de equilibrio, ya que la constante de rigidez se opone a la deformación provocada por la fuerza ejercida. 4 Será conveniente llamar frecuencia natural circular del sistema. 3
∗ 2(2) + ∗ () = 0 () + 2 ∗ () = 0
Ecuación 1.5
( )
( )
D
1.5 ( ),
,
1.11, O
(
1.6 1.1 0). A
.
:
2(2) + ∗() = 0 1.5:
Ecuación 1.6
() = ∗ ∗ ( + ) = 0
Ecuación 1.7
= =
Ecuación 1.9
Ecuación 1.8
:
L
:
C
() = +
Ecuación 1.10
, :
() = ∗ ()+ ∗ ()
Ecuación 1.11
Figura 1. 3 Modelo para sistemas de un grado de libertad.
*F
4
.
,
,
1.3,
. ,
()
()
. A ,
.E
, 1.14,
: (1)
; (2)
,
∗() ()
() ()
. ,
; (3)
( + ) () = ∗ = () ( + ) = −( + )− ( + )+ +()
A
;
(4)
∗() = ∗ ()+ ∗ ()+ ∗()5 1.14 ,
5
.
()
(). (): () = ()+ ()
Referencia [4], Mechanical Vibrations, Theory and Applications, pág. 33-34.
Ecuación 1.12
Ecuación 1.13
Ecuación 1.14
Ecuación 1.15
L
() + ()+ () = 0 =
.
Ecuación 1.16
Ecuación 1.17
1.17
1.16 Ecuación 1.18
( + + ) = 0 + + = 0
,
A
1.19
C
,
1.18 Ecuación 1.19
.E
, = 21 − − 4 = +
,
Ecuación 1.20
Ecuación 1.21
. : ,
;ζ
: Ecuación 1.22
= D
1.22,
= 2
,
,ζ (1.16), (1.19) (1.20)
1.22
+ 2 + = 0
= √ .
Ecuación 1.23
ζ
Ecuación 1.24
ζ
,=+−2 +ζ−=10
Ecuación 1.25
C
C
ζ> 1− 1 < =1 ,
1.25
,
.
, .
,
−
.25 1
= ( + ) ∗
lim→ < 1 = 0
Ecuación 1.26
. N
. A ,
,
C
.
,
= √−1
,
. Ecuación 1.27
, = − 1− .E
,
= 1− = cos() () = + = [( +)cos()+ ( − )sen()] () ( +) (− )
Ecuación 1.28
E
1.26
,
Ecuación 1.29
( )
( )
,
1.29 ( ),
.A ,
= tan(/1.30). E .
,
.E
,
1.29
= cos()+ () = ( + )
Ecuación 1.30
Ecuación 1.31
.L
1.31, 1.31
= +
<1 ()
=1
.
: (1)
; (2)
;
(3)
() > 1
,
.
;
,
()
= 2√
E
.D
;
, .
1.22, Ecuación 1.32
,
= . L
L
Ecuación 1.33
() = () = ( − )
1.14 Ecuación 1.34
1.34
= ( − ) + () = (1− /)/ + (/)
= tan
1.14. A ,
Ecuación 1.35
Ecuación 1.36
Ecuación 1.37
()
= ta.n (),
/ = / = 2/ = (1 −)1 +(2) = = tan 1−2
A 1.36 1.37
= /
,
Ecuación 1.38
Ecuación 1.39
. E
,
()
( − )
:
) E
1.26
.
,
.
,
. )
, .
) L E
,
/(/) / ≜ = = 1 0 a 180 . 0 o 180 . =1
.
=0
,
.A
,
.
) E
,
,
.
) E
E
.
E
,
,
,
90 .
,
(
1.40), .
A ,
1.30
1.34
() = ( + ) +( − )
1.15 Ecuación 1.40
1.38
1.39 ,
.C
.
A .C
.N .L .
,
, ,
1.4 Ingeniería Sísmica
L . E ,
,
.
, .
1.4.1
Análisis Sísmico para Sistemas de Uno y Varios Grados de Libertad
E . A ,
1.4. E
, .A , (
Figura 1. 4 Modelo un grado de libertad.
1.5).
,
Figura 1. 5 Distribución de fuerzas laterales según el método estático.
*F
6,
.
E ,
. A :
L
•
. L
•
. L
•
. 40
•
30
. A
,
,
, , ,
,
,
.
C
, , ,
1.6 (
50%
).C M
(M .
CFE 16 ),
Figura 1. 6 Tanques elevados y modelo de un grado de libertad que los representa, sin importar el material del que esté hecha la estructura de soporte. En las figuras mostradas varían en el material de la estructura de soporte: (A) Concreto reforzado; (B) Acero; (C) Mixto, de concreto reforzado y acero; (D) de mampostería.
*F
10 , .
, , ,
.
E
(
)
,
, ,
(
).
E
,
,
,
, (M. J.
.
,
.
.C
, H. C. M
,
,
, L. J.
)
,
(
).
1.5 Convergencia en los Resultados
L , ,
,
, .E
:
(
);
; (
),
.
,
L
, , , , (2008, 1 ). , ,
.
Capítulo 2
Estado del Arte Actual
E
, 2 . (2008, 1 , 2011 2 ).
2.1 Nuevo Modelo Semidefinido con Espacios Vectoriales Complejos
, , .
, ,
,
.
,
, ,
, . ,
,
,
,
, .
, . ,
(2008, 1 ) , .E ,
(2011, 2 ).
2.2 Presentación del Nuevo Método
E
, 6
2.1
,
,
,
,
,
.
.
3
.A
,
,
.
A
,
.
.E
.
(
)
,
. Figura 2. 1
,
6
.
Se le llama sistema semidefinido cuando una raíz de la ecuación de frecuencias es cero, lo que provoca que no exista un movimiento relativo dentro del sistema, asumiendo que éste se comporte como un cuerpo rígido.
2.2.1
Ecuaciones de Movimiento Urrutia (2008, [1])
0 0 00 00 0 0 0
00 ∗ + − −+ −0 00 ∗ 0 00 0− − + − − 0 0 + −0 0−+− −+ −0 ∗ = = ; = 0 3; = √−1 = ; = 0 3
Ecuación 2. 1
Ecuación 2. 2
Ecuación 2. 3
:
:
= A
:
(2.2), (2.3) (2.4)
= −− −− (2.1)
Ecuación 2. 4
: Ecuación 2. 5
−ω− + − + −ω + − +− + + − 0 − 00 = FF − 0 − −−ω + ω +− + + −ω− + − + FF 00 2.5
(
, 1978, 4 ),
:
,
1 ,
,
00 0 0 00 = FFFF
Ecuación 2. 6
= 0,1,2 3
2.6,
2
.D
,
: .
E (1) A
. (2) A (
2.2.2
Excitación en la base
C
C
,
≠ 0
).
,
,
=ΔF − F − F − F
Ecuación 2. 7
.E
,
:
.E .D ,
.7
Δ = − − − + = − F0 7
0 = F
Ecuación 2. 8
Ecuación 2. 9
Ecuación 2. 10
Una matriz es singular cuando su determinante es igual a cero. Una matriz singular NO tiene matriz inversa.
C
C
= − F0
Ecuación 2. 11
= −ω + + = −−ω −+ ω + + + = −ω + +
= / 2.2.3
+
,
Ecuación 2. 12(a-g)
, =
.
= 0 , ≠ 0 = 0
.
Excitación en el interior de la estructura
,
C
= 2
2.5
,
,
F + F + F − F = −F1 − F1 2 −F2 + F3 = F − − F − F + F = F 2 − + F3 − 2 − 2 + F1 , = = = . E
34 )
Ecuación 2. 13
Ecuación 2. 14
Ecuación 2. 15
Ecuación 2. 16
2.12 ( ). 2.13 2.16. E (
8
2.2.4
Ejemplo
2.1
• • • B
= 10, = = 0 = 10 = = = 10 = 0.10 = = 0 −
: /
.
;
A
(
.
10%
.
0 ( )
( ) ( ) ,
.
(
= = 0 =10 =+0 = 0 = = = )
.
2.2 ( ), ( ), ( ) ,
.
( ). E
,
( ) . E ,
,
,
2.3. C
)
.
X0 (ω )
1.5 .10
6
5
1.2 .10
6
4
9 .10
7
X1(ω )
6 .10 7 3 .10
3 2
7
1
0 0.1
1
0 0.1
10
1
( )
( )
1
X2(ω )
10
ω
ω
1
X3(ω )
0
1 0.1
1
10
0
1 0.1
1
ω
ω
( )
( )
10
Figura 2. 2 Desplazamientos del modelo más simple para dos masas.
8
Ejemplo tomado de Urrutia, en la referencia [1].
.
6 5 4 X1(ω ) − X0( ω ) 3 2 1 0 0.1
1
10
ω
Figura 2. 3 Modelo clásico de un grado de libertad.
1.2.4
Segunda Ley de Movimiento de Newton
,
. E
= 1.02345 / 11∗∗ 1 ∗ ∗ ,
),
1. 2.
(
2.4 ( )
2 i ⋅ω ⋅ t
⋅ 1⋅ ω ⋅ e Re X1 ( ω )m i ⋅ω ⋅ t
Re F1 ⋅ e
(
)
)
:
= 0..10 0 10 .A
50 40 30 20 10 0
10 20 30 40 50
0
5
10
1 ∗ 1 ∗ ∗ t
( )
,
(
( ) 15
∗
10 2 i ⋅ω ⋅ t
⋅ 0+ X1( ω )m ⋅ 1) ⋅ ω ⋅ e Re ( X0 ( ω )m
(
i ⋅ω ⋅ t
Re F1 ⋅ e
)
5 0 5 10 15
0
5
10
t
Figura 2. 4 FF1 (t) -vs- XX0 (t).
2.4 ) (
1 , .
,
, 2.4 ( ),
(2)
, .
, 0 10 ∑, = ∑
, .
1.3 Alcance y Cualidades del Nuevo Método
D
2.6
2.11. C
,
.A ,
.
E
C
, .
C
, , , . ,
, 9
, .
E
( ). .
A
, , , ,
,
, ; .
9
,
Para ampliar el conocimiento de la “curva de histéresis” véanse referencias [1] y [8].
,
CAPÍTULO 3
Capítulo 3
E
, ,
1. A 2 .
CAPÍTULO 3 3.1 Aplicación a Tanques Elevados
P
, (
3.1): (1) E (CE) (2)
(CL).
Figura 3. 1
Representación gráfica de un tanque elevado. *F 10 ,
.
P
CE,
: (1) ; (3) ( ); (5)
().
P 10 ),
,
; (2) ); (4) A , ).
(
(
CL,
H 3.2( ). E
,
; ,
( )
I
C
(1963,
:
. .
J
, ,
. 14 A CE 15 (
,
, 2 5%
) ,
II K G DMA 13 .
, ,
A 0.5%
,
H B
C
1963, 1976.
,
.M A ,
(
), , ,
,
3.2 ( ).
,
,
, (
).
CAPÍTULO 3
( )
( ) Figura 3. 2
M
3.1.1
H
( )
( ).
Ecuaciones de Movimiento. Método Modificado de Lagrange.
L
E L
),
L . . 3
. 171 190,
L
(
:
5 M
Ecuación 3. 1
ℒ − ℒ + = 0 = 1,2, … , L
,
,
, .
,
,
. E . P
E
L
: (1) N ,
,
; (2)
, ; (3) ,
25
(4) (
27 )
X
.
(X=)
.L .L
CAPÍTULO 3 3.1.2
Ejemplo 1
P
,
. II K GD MA 13 ,
3,
71,
.
Figura 3. 3
Geometría del tanque elevado.
E
.E
= 10[] = = 2 [/] L
10
C
,
10 = 10 [ ] ==2=1 = 3.14[] ,
, ,
.E
(
).
.E ,
3.3.
.
;
,
CAPÍTULO 3 L
= = 140 612 [] = = = 54 966.5 []
:
.
E
M
II K GD MA
.
.
E
, .
= = 2.ℎ/2210= 0. 51 P
.
0.77
,
II K GD MA11
2
,
. 17
∗∗ℎ = 0.77 ℎ ℎ = 4.4 [] = 9.81 [/] = 255 658 [] = = = = .= =146.300 , = 5% = = = 0.5% D
E E P E E
A
.
.
.
.P
.
,
,
.
.
:
*
*A
,
,
. E
3.1
,
.
,
,
.E
.
A
11
A CE 15
Referencia [13]:
. .I
I
K
,K
,I
, 2007
II K G DMA 13 .
CAPÍTULO 3
Tabla 3. 1
Distintas expresiones para calcular la rigidez de la masa convectiva del modelo propuesto. E
N/
F
= 0.836∗ ℎ∗ tanh 3.68∗ ℎ = 0.836∗ 255 658∗4.4 9.81∗ tanh 3.68∗ 4.8.46 = 434 362.11
.
, 13 . . 16.
= ∗ = 109 933∗ 9.8.861 ∗ 1.84∗ tanh1.84∗ 4.8.46 = 440 586 .74 2 2 = 2 ∗ 1.84∗ tan1.84∗ ℎ2
11 . P . 424. H M .
= ∗
= 109 933∗ 9.8.861 ∗ 1.8112∗tanh1.8112∗ 4.8.46 = 432 472.33 = 2 ∗ ∗ tanh ∗ 2ℎ 2 2 12
P . M
424. 11 B. .
12
La expresión de Bauer es utilizada para tanques que se encuentran en tierra. Sin embargo, la expresión se puede aplicar a tanques elevados ya que suponen que los periodos impulsivo y convectivo están desacoplados. Por lo tanto se pueden estudiar por separado.
CAPÍTULO 3 C
,
.P
3.2 ( )
,
.A :
P
12 ( − ) 12 ( − ) ( − ) 12 ( − ) (
Ecuación 3. 2
)
Ecuación 3. 3
.P
,
Ecuación 3. 4
:
P
A
,
3.2 3.9
),
Ecuación 3. 5
Ecuación 3. 6
Ecuación 3. 7
Ecuación 3. 8
Ecuación 3. 9
( 3.10.
ℒ = 12 [ + −(+ −)+] −( − ) −( − ) − ( − )
Ecuación 3. 10
CAPÍTULO 3 P
ℱ
,
:
ℱ = 12 ( ∗)
ℱ
E
,
Ecuación 3. 11
, Ecuación 3. 12
ℱ = 12 − + − + − + − ℒ − ℒ + ℱ = − [ − ]+ − + ℒ−− ℒ−+ℱ=+ −−[−++ + − + − ]+ ℒ − ℒ + ℱ = − [− + + − ]+ − − + ℒ − ℒ + ℱ = − [− + − + ]+ − + − A
L
,
3.13 ( ).
Ecuación 3. 13 (a-d)
M
3.13 (
)
(2.2), (2.3) (2.4)
Ecuación 3. 14
−ω−im +i−k+kc c−ωm +i −i+ c+c(−kc )+ c k + k +k −i 0 − k c 0 − k c XX = FF −i 00 −i−i −k−kcc −ω m + i−iω(c+c− k)+kc +k −ωm +i−i +−ck)+k(cc + k XX FF P
A
ZZ ZZ Z0 Z0XX = FF 0 Z Z Z XX FF 0 Z Z Z ,
)
3.4. E
:
,
Ecuación 3. 15
(
[ =] 0[]
CAPÍTULO 3
1∗ 10
, ,
.E
, .
3.4,
, . D
3.6
. (
.E
3.5
) ,
.
E , . 1 Re( XX0 ( ω ) ⋅ ei ⋅ω ⋅ t)
] [m Re( XX1 ( ω ) ⋅ ei ⋅ω ⋅ t) 0.5 to n i ⋅ω ⋅ t ie Re( XX2 ( ω ) ⋅ e ) m az Re( XX3 ( ω ) ⋅ ei ⋅ω ⋅ t) 0 al sep F0⋅ ei ⋅ω ⋅t D Re 9 0.5 1⋅ 10 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
Tiempo [s] X0 X1 X2 X3 Fuerza/10^9
= 2 /
Figura 3. 4
Desplazamientos a través del tiempo una frecuencia de 1 .10
⋅ 0⋅ ω ⋅ e Re( XX0(ω )m
2 i ⋅ω ⋅ t
Re( F0⋅ e
2 i ⋅ω ⋅ t
+ XX1 (ω )m ⋅ 1⋅ ω ⋅ e
2 i ⋅ω ⋅t
+ XX3 (ω )m ⋅ 3⋅ ω ⋅ e
2 i ⋅ω ⋅ t
+ XX2 (ω )m ⋅ 2⋅ ω ⋅ e
. Y Fuerza aplicada
en menor escala.
9
) 0
)
i ⋅ω ⋅ t
1 .10
9
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t
Fuerzas de Inercia Fuerza Actuante
Figura 3. 5
Equilibrio dinámico a través del tiempo.
3
3.5
4
4.5
5
CAPÍTULO 3 4
d2
Re
dt
2
( XX0( ω ) ⋅ e
i ⋅ω ⋅ t
)
2 ] Re d2 ( XX1( ω ) ⋅ ei ⋅ω ⋅ t) 2 ^s dt 2 / [m 2 d ( i ⋅ω ⋅ t) n ω ⋅ icó Re dt 2 XX2( ) e 0 a elr 2 ec Re d ( XX3( ω ) ⋅ ei ⋅ω ⋅ t) A dt 2 Re d2 F0 ⋅ ei ⋅ω ⋅ t 2 9 dt 1⋅ 10
2
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
Tiempo [s] X0 X1 X2 X3 Fuerza/10^9
= 2 /
Figura 3. 6
Aceleraciones a través del tiempo a una frecuencia de
3.1.3
en menor escala.
Ejemplo 2 y Resultados Obtenidos
I
,
. Y Fuerza aplicada
,
,,
,,
,
,
,
L
,
:
) L
. C
3.7:
, .
= = 10[] = ,, = = 46 871[ = 1/] = 10 [] ,
. E
.
) L
, ,
,
,
;
;
,
CAPÍTULO 3
= 36 644[]
= ,, =
.
= , = 1.52.2102 10
) L
,
= , , , = = 109 500 .
,
,
4
,
) L
.
,
.P
,
,
, 0.5%
5%
.
Figura 3.7
Modelo de un tanque elevado en el cual se muestra la superficie del líquido limitado por las paredes del tanque. *Elaboración propia. L
M :
C
L
ZZ ZZ 0Z0 0 0 00 00Z XX FF 00 Z0 ZZ ZZ Z0 00 00 XX = FF 00 00 00 Z0 Z Z ZZ Z0 XX FF 0 Z 0 0 0 Z Z X F
, Ecuación 3. 16
Ecuación 3. 17(a-n)
ZZ == −i−i−ω−m−−+kkicc(+ +k+ )+ + +
CAPÍTULO 3
ZZ == −i−ωm −+kiωc(c + c)+ k + k ZZ == −i−ωm −+kiωc(c + c)+ k + k ZZ == −i−ωm −+iωc(c + c)+ k + k ZZ == −i−ωm −+kiωc(c + c)+ k + k Z = −i − k c = −ω m + iω(c + c)+ k + k Z −ωm + i + k −i −k c L
,
,
:
−iωc0 −k − + −i( + +−kc)+ + + −ωm + i−iω(c0+c− k) +kc +k −i 00− k c 00 0 −i0 c − k−i c −ωm + iω(c+c− ) +k +k 0 0 −i −kc0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 −i c 0 −k 0 −ωm +i−i−iωωω(ccc+c−−k) +k + k −ωm +i−iω(c0+c−k) +kc + k −i 00 −k c 0 −i −kc −ω m +iω(c +c) +k + k *E
7 7,
.
A
,
.P
, ,
= ()1.322;()1.324; ()2.448;()3.196; ()3.198; ()33.934;
3.8. A ,
[/] P
,
(A)
(B)
.A
.
,
/] /] ==251.=71[[[/]
; ; .E
.L
, , , 3.9.
CAPÍTULO 3 4
1 .10
3
1 .10
100
] [m to ein m XX1 ( w ) zaa lp se D
33.934
10
1.322
1
3.196 0.1
3.198 0.01 1 .10
1.324
3
4 1 .10
1 .10
5
0.01
0.1
1 w
10
100
Frecuencia w [rad/s]
( ) 4
1 .10
3
1 .10
1.324 3.198
100 10
] [m 1 to en i 0.1 am XX3 ( w ) azl 0.01 p es 3 1 .10 D 1 .10
33.934
4
2.448
5
1 .10 1 .10
6
1 .10
7
0.01
0.1
1 w
10
100
Frecuencia w [rad/s]
( )
Figura 3. 8
( )
A E (A)
, , ,
. E
= 1[/]
, , (B),
,
,
,
.E
.
( )
,
3.10. .
, ,
, , .
CAPÍTULO 3 4
1 .10
3
1 .10
1.00
100 10
] m [ 1 o t en i 0.1 m az XX3( w ) 0.01 la sp e 3 1 .10 D 1 .10
4
1 .10
5
25.00 1.70
6
1 .10 1 .10
7
0.01
0.1
1 w
10
100
Frecuencia w [rad/s]
Figura 3. 9
] [m Re( XX0 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) o tn ei Re( XX1 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) am za Re( XX2 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) lp se Re( XX6 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) D
0.98 0.985 0.99
X0 X1 X2 X6
0.995 1
Fronteras del Tanque
suelo
1.005 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1 t
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Tiempo [s]
(A) M
4
4
X3 X4 X5
Masa Central
] 2 [m s to Re( XX3 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) n ei Re( XX4 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) 0 m a alz Re( XX5 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) p es D 2
Masas Laterales
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t
3
3.5
4
Tiempo [s]
(B) M Figura 3. 10
Desplazamientos en el tiempo a una frecuencia de excitación
= 1 /
.
4.5
5
CAPÍTULO 3 L E (A),
= 1 [/]
, ,
= 1.7 [/] .
,
,
3.11. .
(B),
.
0.34
] m [ Re( XX0 ( w) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) 0.342 i ⋅w⋅t n to ie Re( XX1 ( w) ⋅ e ) azm Re( XX2 ( w) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) 0.344 la p se Re( XX6 ( w) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) D 0.346
0.348
Fronteras del Tanque
X0 X1 X2 X6
suelo 0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
t
Tiempo [s]
(A) M 1
X3 X4 X5
Masa Central
] m 0.5 [ s to Re( XX3 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) n ie i ⋅ w ⋅t Re XX4 ( w ) ⋅ e ) 0 zaam ( l Re( XX5 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) p es D 0.5
1
Masas Laterales
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
Tiempo [s] (B) M Figura 3. 11
Desplazamientos en el tiempo a una frecuencia de excitación
= 25 [/]
L 3.12. E (A), ,
= 1.7 /
.
,
,
,
.E
. E (B) ,
.
,
CAPÍTULO 3 0.004
X0 X1 X2 X6
Fronteras del Tanque
] m [ Re( XX0 ( w) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) 0.002 to n ei Re( XX1 ( w) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) m 0 az Re( XX2 ( w) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) la suelo p se Re( XX6 ( w) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) D 0.002
0.004 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 t
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Tiempo [s]
(A) M 2 .10
5
X3 X4 X5
Masas Laterales
] 5 m 1 .10 [ s i ⋅ w ⋅ t) o ( t Re XX3( w ) ⋅ e n ie i ⋅ w ⋅ t) Re( XX4( w ) ⋅ e m 0 a azl Re( XX5( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅ t) p se 5 D 1 .10
2 .10
Masa Central
5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
t
Tiempo [s]
(B) M
= 25 /
Figura 3. 12
P
= 1.7 [/]
,
,
E
.
3.13 , ,
C
. L ,
, = 0.4[] = 0.75 [] = 0.34692 []
.
= 0.34603 []
,
.
,
,
,
, ,
3.14 (A)
CAPÍTULO 3
0.00089 [] A
,
,
,
,
.
,
, . 0.4
] m [ Re( XX0 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) 0.2 to Re( XX1 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) ein m 0 za Re( XX2 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) la p se Re( XX6 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) D 0.2
0.4
X0 X1 X2 X6 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
Tiempo [s] (A) M 0.8
X3 X4 X5
Masa Central
] 0.6 m [ s i ⋅ w ⋅ t o Re( XX3 ( w ) ⋅ e ) tn 0.4 ie Re( XX4 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) am az Re( XX5 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) 0.2 lp se D
Masas Laterales
0
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
t
Tiempo [s] (B) M Figura 3. 13
= 1.7 /
Desplazamientos en el tiempo a una frecuencia de excitación almacenamiento se encuentra lleno.
. Cuando el tanque de
1
CAPÍTULO 3 0.4
] [m Re( XX0 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) 0.2 o t n i ⋅ w ⋅t ie Re( XX1 ( w ) ⋅ e ) m az Re( XX2 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) 0 al p se Re( XX6 ( w ) ⋅ ei ⋅ w ⋅t) D 0.2
X0 X1 X2 X6
0.4 0
0.5
1
1.5
2
2.5 t
3
3.5
4
4.5
5
Tiempo [s] (A) M 1
X3 X4 X5
] 0.5 [m so i ⋅w ⋅ t ) tn Re( XX3 ( w) ⋅ e ei i ⋅w ⋅ t ) Re( XX4 ( w) ⋅ e m 0 az al Re( XX5 ( w) ⋅ ei ⋅w ⋅t) p se D 0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t
3
3.5
4
4.5
5
Tiempo [s]
(B) M
= 1.7 /
Figura 3. 14
C
, 3.15
( ) E
.
,
= 1.00 /
.
9
1 .10
] [N 2 iwt ⋅ 0+ XX1w ( )m ⋅ 1+ XX2 ( w)m ⋅ 2+ XX3 ( w)m ⋅ 3+ XX4 ( w)m ⋅ 4+ XX5 ( w)m ⋅ 5+ XX6 ( w)m ⋅ 6) ⋅ w ⋅ e ⋅ ⋅ sa Re ( XX0( w)m zr e Re( F0⋅ ei ⋅w ⋅ t) u F
0
1 .10
9
0
1
2
3
4
5 t
Tiempo [s] Fuerzas Inercia Fuerza Aplicada
6
7
8
91
0
CAPÍTULO 3 ( )E
= 1.7 /
,
.
9
1 .10
] [N 2 i ⋅w ⋅ t ( )m ⋅ 0+ XX1w ⋅ 1+ XX2 ( w)m ⋅ 2+ XX3 ( w)m ⋅ 3+ XX4 ( w)m ⋅ 4+ XX5 ( w)m ⋅ 5+ XX6 ( w)m ⋅ 6) ⋅ w ⋅ e sa Re ( XX0( w)m rez ( i ⋅w ⋅ t) u Re F0⋅ e F
0
1 .10
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.3
0.35
0.4
91
0
t
Tiempo [s] Fuerzas Inercia Fuerza Aplicada
( ) E
,
= 25 /
.
9
1 .10
] [N 2 i ⋅w ⋅t s Re ( XX0( w)m ⋅ 0+ XX1 ( w)m ⋅ 1+ XX2w ( )m ⋅ 2+ XX3 ( w)m ⋅ 3+ XX4 ( w)m ⋅ 4+ XX5( w)m ⋅ 5+ XX6 ( w)m ⋅ 6) ⋅ w ⋅ e zra i ⋅w ⋅t e u Re( F0⋅ e ) F
0
9
1 .10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 t
0.45
0.5
Tiempo [s] Fuerzas Inercia Fuerza Aplicada
Figura 3. 15
Equilibrio Dinámico a distintas frecuencias. A
,
, ,
,
,
. P
( ), .L 13
,
E
,
, . E
,
, ,
=∗
Ecuación 3. 18
: (1) ,
L
13
( .D
; (2) .
)
∗ = 12
Entiéndase por “algo” cualquier tipo de masa en el espacio.
: Ecuación 3. 19
CAPÍTULO 3 A
, :
14
L
( ,
:
)
Ecuación 3. 20
P
= 12 ∗
, .
( )
,
= () = ( ∗ ) = ∗ 15
P
,
(
Ecuación 3. 21
(
)
),
.A
, .
E E
14
,
,
:
= = 10[] () = 12 () = 12
Ecuación 3. 22
Ecuación 3. 23
Referencia [3] capítulo 4 “Teoremas de conservación”, pág. 149. Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre tales puntos. 15
CAPÍTULO 3
() = 12 ( −))+ ( −))+ ( − )) ++ (( −− )+ ( − + ( − P
E
3.16 (A)
= 3.(196)/= () + () = 1.5 [] (1.5) = −7.563 10 − 1.246 10 [] (1.5) = 1.24 10 + 2.043 10 [] (1.5) = 4.84 10 + 7.971 10 [] .E
, ,
,
A
E
E
= 1.5[]
3.16 (B)
)
Q
. P :
3.27
(1.5)+ (1.5)==2.(644 [1./] 5) (1.5) = 7.962 10 − 4.834 10 [] (1.5) = −1.306 10 + 7.928 10 [] (1.5) = −5.095 10 + 3.094 10 [] P
(
.P
,
:
,
Ecuación 3. 28
:
(1.5)+ (1.5) = (1.5)
Ecuación 3. 29
CAPÍTULO 3 1.5 .10
8
1 .10
8
5 .10
7
]J [ Re( EC( t ) ) ía Re( EP( t ) ) g re n Re( EW( t ) ) E
0
5 .10
7
1 .10
8
1.5 .10
8
Ener. Cinética Ener. Potencial Ener. de Entrada 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
Tiempo [s] ( ) 9
1 .10
8
8 .10
8
6 .10
8
4 .10
d ] dt EC( t ) W [ cia Re d EP( t ) n dt te o P Re d EW( t ) dt Re
8
2 .10
0 8 2 .10 8
4 .10
8 6 .10
Potencia Ener. Cinética Potencia Ener. Potencial Potencia de Entrada
8
8 .10
9
1 .10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
Tiempo [s] ( )
,
Figura 3.16
= 3.196 /
Equilibrio entre: Energía Potencial Elástica, Energía Cinética y Trabajo de Entrada; Potencia de entrada y de salida; ambas graficas sin fuerzas que disipen la energía a una frecuencia . P
.
5%
,
,
0.5% ,
. E (A)
3.17 (B)
CAPÍTULO 3
= 3.196 /700[]
100[]
.
,
,
,
.E
. 150
100
50 J][ a ad p i is D Re(EC()t + EPt( ) −EW( t ) ) 0 aí g re n E 50
100
Diferencia de Energía 150
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
t
Tiempo [s]
(A)
J
800
600
400
] [W 200 a ad ip is Re d EC( t ) + d EP( t ) −d EW( t ) 0 D dt dt dt iac n te 200 o P 400
600
Diferencia de Potencia 800
0
0.5
1
1.5 t
2
2.5
3
Tiempo [s]
(B)
P Figura 3.17
.
Variación de la diferencia de energía y de Potencia en el sistema a una frecuencia E
,
= 3.196 / : (1)
; (2)
; (3)
,
CAPÍTULO 3
.E ,
,
; (4)
; (5) , ,
3.27
3.29,
.
3.1 Convergencia en los resultados
(
3.15 (
)
3.16 (A B))
. P
,
(
(A B),
3.27
), .
, 3.17
3.29
. E ,
.
. A
, , ,
(
)
.E . E . C
, ,
, ,
.
CAPÍTULO 3 3.2 Comparación con Resultados Tradicionales
L ,
,
,
, .A
,
, . L
, ,
.E
,
. , ; .L . ,
, .
,
, , . P ,
, .E ,
3.18,
6.169 1.083 10
1(2() ) = 0.01 = 10 ,
.A
,
,
.
A , . A
, .
,
. L
.P :
B
, (2000) 19 , (PBPD); B
, (2002)
20 ,
H
E
,
CAPÍTULO 3 M
;J
; L PBPD; E
B
K
. ., (2004) 21 ,
.(2008) 22 ,
,(2009) 23 ,
. L
,
,
, ( ) . 9
1 .10
8
5 .10
= 0.0=1 6. 169
( ) E
Re( Eq1( t ) ) 0
Re( Eq2( t ) )
8
5 .10
9
1 .10
0
100
200
t
300
400
500
9
1.5 .10
9
1 .10
( ) E
= 10 = 9.696 10
8
5 .10 Re( Eq1( t ) )
0
Re( Eq2( t ) )
8
5 .10
9
1 .10
9
1.5 .10
0
0.5
1
1.5
t
Figura 3.18
Equilibrio dinámico a baja y alta frecuencia de excitación con error presentado
2
Conclusiones
,
, . ,
, . ,
:
(
•
)
, . 1 , 2 , 24 25 .
•
,
,
.
•
,
, , (
) .
•
3, , , .
,
•
,
, , , . ,
. , .
•
,
, .
.
* 107011,
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