MODEL MATEMATIKA SISTEM MEKANIKA Dosen : Nurlita Gamayanti, ST
PENGANTAR Pada bagian ini akan dibahas mengenai pembuatan model matematika dari sistem mekanika baik dalam bentuk persamaan differensial, fungsi alih maupun diagram blok. Pergerakan dari elemen sistem mekanika dapat dideskripsikan dalam beberapa dimensi yaitu translasi, rotasi atau kombinasi antara translasi dan rotasi. Persamaan gerakan pada sistem mekanika diperoleh berdasarkan Hukum Newton
MODEL MATEMATIKA SISTEM MEKANIKA 1. Gerakan Translasi Gerakan translasi didefinisikan sebagai suatu gerakan yang terjadi di sepanjang garis lurus. Variabel yang digunakan untuk mendeskripsikan gerakan translasi adalah percepatan, kecepatan dan perpindahan. Hukum dasar yang mengatur gerakan translasi dari elemen sistem mekanika adalah Hukum kedua Newton. Hukum kedua Newton untuk gerakan translasi menyatakan bahwa jumlah gaya yang bekerja pada suatu benda dalam arah tertentu sama dengan hasil kali massa benda tersebut dengan percepatannya dalam arah yang sama atau dinyatakan dalam persamaan: ∑ F = m.a
Dimana F menyatakan gaya yang bekerja pada benda, m menyatakan massa benda dan a menyatakan percepatan benda Satuan untuk gaya, massa dan percepatan diberikan sebagai berikut : Satuan
Massa
Percepatan
Gaya
MKS
kg
m/det2
N
CGS
gram
cm/det2
dyne
Berikut ini kita akan menurunkan model matematika dari elemen sistem mekanika yang mengalami gerakan translasi, yaitu :
1
1. Massa Suatu benda dengan massa m ditarik oleh gaya f(t) sehingga megalami perpindahan sepanjang y(t) Persamaan Dinamik :
m
f(t)
f (t ) = m . a (t )
f (t ) = m .
y(t)
dv(t ) d 2 y (t ) = m. dt dt 2
(1)
Gambar (1). Sistem gaya - massa Transformasi laplace dari persamaan (1) : F (s ) = m . s .V (s ) = m . s 2 .Y (s )
Fungsi alih system adalah rasio Y(s) terhadap F(s) yaitu : Fungsi alih =
Y (s ) 1 = F (s ) ms 2
Diagram blok system adalah sebagai berikut : F(s)
1
Y(s)
ms 2
2. Pegas linier Suatu pegas ditarik oleh gaya f(t) sehingga pertambahan panjang sepanjang y(t)
f(t) y(t)
Jika K adalah konstanta pegas dan T adalah tegangan pegas maka persamaan dinamik sistem adalah :
Gambar (2). Sistem gaya - pegas Persamaan dinamik :
f (t ) = T = K . y (t )
(2)
Transformasi laplace dari persamaan (2) :
2
F ( s ) = T ( s ) = K .Y ( s) Fungsi alih sistem adalah rasio Y(s) terhadap T(s) yaitu : Fungsi alih =
Y (s ) 1 = T (s ) K
Diagram blok system adalah sebagai berikut :
Y(s)
1 K
T(s)
3. Gesekan viskos Suatu gesekan viskos yang mempunyai koefisien gesekan viskos B ditarik oleh gaya f(t) hingga bergeser sejauh y(t). Persamaan dinamik :
B
f(t) y(t)
f (t ) = B .
Gambar (3). Sistem gaya - gesekan viskos
Transformasi laplace dari persamaan (3) :
F ( s ) = B . s .Y ( s ) Fungsi alih sistem adalah rasio Y(s) terhadap F(s) yaitu : Fungsi alih =
Y (s ) 1 = F (s ) Bs
Diagram blok system adalah sebagai berikut : F(s)
1 Bs
Y(s)
3
dy (t ) dt
(3)
2. Gerakan Rotasi
Gerakan rotasi didefinisikan sebagai suatu gerakan terhadap sumbu tertentu. Variabel yang umum digunakan untuk mendeskripsikan gerakan rotasi adalah torsi T, kecepatan sudut ω, dan perpindahan sudut θ. Pengembangan hukum kedua Newton untuk gerakan rotasi menyatakan bahwa jumlah momen atau torsi terhadap sumbu tertentu sama dengan hasil kali inersia dengan percepatan sudut atau dinyatakan dalam persamaan :
∑T
= J .α
dimana T menyatakan torsi , J menyatakan inersia dan α menyatakan percapatan sudut. Satuan untuk torsi, inersia dan percepatan sudut diberikan sebagai berikut : Satuan
Inersia
Percepatan sudut
Torsi
MKS
kg.m2
rad/det2
N.m
CGS
Gram.cm2
rad/s2
Dyne.cm
Berikut ini kita akan menurunkan model matematika dari elemen sistem mekanika yang mengalami gerakan rotasi, yaitu : 1. Inersia
Suatu benda dengan inersia J dikenakan torsi sebesar T(t) sehingga berputar dengan kecepatan sudut ω(t) Persamaan dinamik : T(t ) = J . α(t )
T
w
T (t ) = J .
Gambar (4). Sistem torsi - inersia
dimana α(t) menyatakan percepatan sudut Transformasi laplace dari persamaan (4) : T (s ) = J . .s . ω( s )
Fungsi alih system adalah rasio ω(s) terhadap T(s) yaitu :
4
dω(t ) dt
(4)
Fungsi alih =
ω(s ) 1 = T (s ) Js
Diagram blok sistem adalah sebagai berikut : ω(s )
1 Js
T(s)
2. Pegas torsi
Suatu batang atau poros dengan konstanta pegas torsi K dikenakan torsi sebesar T(t) sehingga mengalami perpindahan sudut θ(t)..
T
K
Persamaan dinamik : T (t ) = K . θ(t )
(5)
θ
Gambar (5). Sistem torsi – pegas torsi
Transformasi Laplace dari persamaan (5) : T (s ) = K . Θ(s )
Fungsi alih sistem adalah rasio Θ(s ) terhadap T(s) yaitu : Fungsi alih =
Θ(s ) 1 = T (s ) K
Diagram blok system adalah sebagai berikut :
T(s)
1 K
Θ (s )
3. Gesekan viskos
Suatu gesekan viskos yang mempunyai koefisien gesekan viskos B dikenakan torsi sebesar T(t) sehingga mengalamio perpindahan sudut θ(t).
5
B
Persamaan dinamik :
T
T (t ) = B . θ
dθ(t ) dt
(6)
Gambar (6). Sistem gaya - gesekan viskos
Transformasi Laplace dari persamaan (6) : T (s ) = B . s . Θ(s )
Fungsi alih sistem adalah rasio Ө(s) terhadap T(s) yaitu : Fungsi alih =
Θ(s ) 1 = T (s ) Bs
Diagram blok system adalah sebagai berikut : T(s)
Θ (s )
1 Bs
4. Roda gigi
Rangkaian roda gigi terdiri dari dua buah roda gigi yaitu roda gigi 1 dan roda gigi 2 dikopel bersama-sama dengan asumsi inersia dan gesekan viskos roda gigi diabaikan, dapat dilihat seperti gambar berikut : N1 T1 θ 1 , ω1
T2
N2
θ 2 , ω2
Gambar (7). Roda gigi
6
Jumlah gigi pada roda gigi 1 dan 2 masing-masing adalah N1 dan N2. Jari-jari roda gigi 1 dan 2 masing-masing adalah r1 dan r2 Perpindahan sudut dan kecepatan sudut dari roda gigi 1 dan 2 masing-masing adalah θ1, ω1 dan θ2, ω2.Torsi pada roda gigi 1 dan 2 masingmasing adalah T1 dan T2. Hubungan antara T1 dengan T2, θ1 dengan θ2, ω1 dengan ω2, r1 dengan r2, serta N1 dengan N2 adalah sebagai berikut : T1 θ 2 N ω r = = 1 = 2 = 1 T2 θ1 N2 ω1 r2
(7)
Dalam prakteknya, inersia dan gesekan viskos pada masing-masing roda gigi sering tidak dapat diabaikan. Representasi ekivalen dari roda gigi dengan inersia dan gesekan viskosnya dapat dilihat seperti gambar berikut : N1 B1 T1
J1 T, θ1
B2 T2
θ2
J2 N2
Gambar (8). Roda gigi dengan inersia dan gesekan viskosnya
T adalah torsi masukan yang dikenakan pada sisi roda gigi 1, T1 dan T2 masing-masing adalah torsi yang ditransmisikan ke roda gigi 1 dan roda gigi 2, B1 dan B2 masing-masing adalah koefisien gesekan viskos roda gigi 1 dan roda gigi 2 sedangkan J1 dan J2 masingmasing adalah inersia roda gigi 1 dan roda gigi 2. Persamaan torsi untuk roda gigi 2 adalah T2 (t ) = J 2
d 2 θ 2 (t ) dt
2
+ B2
dθ 2 (t ) dt
(8)
Persamaan torsi untuk roda gigi 1 adalah
7
2
2
⎛N ⎞ N d 2 θ1 (t ) ⎛ N1 ⎞ dθ (t ) ⎟⎟ B2 1 + ⎜⎜ T1 (t ) = 1 T2 (t ) = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ J 2 2 N2 dt dt ⎝ N2 ⎠ ⎝ N2 ⎠
(9)
Persamaan torsi masukan pada sisi roda gigi 1 adalah T (t ) = J1
d 2 θ1 (t ) dt
2
+ B1
dθ1 (t ) + T1 (t ) dt
Dengan mensubstitusikan nilai T1(t) ke persamaan T maka persamaan torsi pada sisi roda gigi 1 menjadi
T (t ) = J 1e
d 2 θ1 (t ) dt
2
+ B1e
dθ1 (t ) dt
(10)
Dimana J1e dan B1e masing-masing adalah inersia ekivalen dan koefisien gesekan viskos ekivalen dari rangkaian roda gigi mengacu pada poros roda gigi 1, yang besarnya adalah J1e
⎛N = J1 + ⎜⎜ 1 ⎝ N2
2
2
⎞ ⎟⎟ J 2 ⎠
dan
B1e
⎛N ⎞ = B1 + ⎜⎜ 1 ⎟⎟ B2 ⎝ N2 ⎠
Transformasi Laplace dari persamaan (11) : T (s ) = J 1e s 2 Θ1 (s ) + B1e s Θ1 (s ) Jika T(t) dan θ1(t) masing-masing merupakan masukan dan keluaran untuk sistem rangkaian roda gigi, maka fungsi alih dari sistem rangkaian roda gigi adalah Θ(s ) 1 = 2 T (s ) J 1e s + B1e s Diagram blok sistem adalah sebagai berikut : T(s)
1
Θ(s )
J 1e s 2 + B1e s
Contoh :
1. Sistem dashpot-massa-pegas yang dipasang pada kereta, dimana kereta dianggap dalam kedaan diam pada t < 0. u(t) adalah perpindahan kereta dan merupakan masukan ke sistem. Di t = 0 kereta digerakkan dengan kecepatan tetap. Perpindahan y(t) dari massa adalah keluaran sistem.
8
u(t)
y(t)
K m
B
Model matematika dari sistem dashpot-massa-pegas dapat diturunkan sebagai berikut : Hukum kedua Newton : ∑ F = m.a d 2 y(t ) ⎛ dy(t ) du (t ) ⎞ ( ( ) ( ) ) − B⎜ − − − = K y t u t m ⎟ dt ⎠ dt 2 ⎝ dt
m
d 2 y (t ) dt 2
+B
dy (t ) du (t ) + K y (t ) = B + K u (t ) dt dt
( Pers. Differensial )
Transformasi lapacenya :
(ms
2
+ Bs + K )Y(s ) = (Bs + K ) U(s )
Fungsi alih sistem adalah rasio Y(s) terhadap U(s) yaitu : Bs + K Y(s ) = 2 U(s ) ms + Bs + K Diagram blok dari system adalah sebagai berikut : U(s)
Bs + K 2 ms + Bs + K
Y(s)
LATIHAN
1. Suatu sistem terdiri dari inersia beban dan gesekan viskos. T(t) adalah torsi yang bekerja pada sistem dan merupakan masukan ke sistem. Sistem berputar dengan kecepatan sudut
9
ω(t) dan merupakan keluaran sistem. Dapatkan model matematika dari sistem ini dalam bentuk fungsi alih.
J T
ω
B Dimana, J = momen inersi beban B = koefisien gesekan viskos
10
