Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http://meetabied.wordpress.com
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Standar Kompetensi :
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel. Kompetensi Dasar :
•
Menyelesaikan
sistem
persamaan
linear
dan
sistem
persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel. •
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sisitem persamaan linear
•
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan
sistem
persamaan
linear
dan
penafsirannya. •
Menyelesaikan
pertidaksamaan
satu
variabel
yang
melibatkan bentuk pecahan aljabar. •
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel.
•
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan
penafsirannya.
pertidaksamaan
satu
variabel
dan
BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi
Dalam modul ini Anda akan mempelajari Sistem persamaan linearlinear dua variabel, tiga variabel, Sistem persamaan linear-kuadrat, Sistem
persamaan
kuadrat-kuadrat,
dan
merancang
model
matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear, kuadrat.. B. Prasyarat
Untuk
mempelajari
modul
ini,
para
siswa
diharapkan
telah
menguasai dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real. C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan
dalam
mengerjakan
soal
evaluasi,
kembalilah
mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan
membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menentukan sistem persamaan linear-linear dua variabel, 2. Menentukan sistem persamaan linear-linear tiga variabel, 3. Menentukan sistem persamaan linear-kuadrat 4. Menentukan sistem persamaan kuadrat-kuadrat 5. Merancang model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear,kuadrat.
BAB II PEMBELAJARAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN LINEAR
Bentuk Umum sistem persamaan liniear dan linear 1. Sistem persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel a1 x + b1 y a 2 x + b2 y
=
c1
=
c2
x dan y adalah variabel a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , c 2
R
∈
Cara menyelesaikannya dengan : a. Metode Eliminasi b. Metode Substitusi c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi d. Metode Grafik Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut x − y = 2
3 x
−7 y = −2
1. Eliminasi x − y = 2
x3
3 x
−3 y = 6
3 x
x1
3 x
−7 y = −2
−7 y = −2
4y = 8 y =2
x − y = 2
x7
7 x
−7 y =14
3 x
x1
3 x
−7 y = −2
−7 y = −2
4x = 16 x= 4
2. Substitusi
Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh 3x – 7(x – 2) = -2 3x – 7x + 14 = -2 -4x = -16 x=4 Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1) 4–y=2 y =4–2 =2 3. Campuran Eliminasi dan Substitusi x − y = 2
x3
3 x
−3 y = 6
3 x
x1
3 x
−7 y = −2
−7 y = −2
4y = 8 y =2
y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) x–2=2 x
= 4
4. Grafik 3x – 7y = -2 (4,2)
2 x–y=2 -2
Dengan grafik dapat dilihat : a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan penyelesainnya tepat satu anggota) b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan penyelesaian c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya mampunyai anggota tak terhingga) 2. Sistem persamaan linear dengan 3 variabel / SPL 3 variabel a1 x + b1 y + c1 z = d 1 a 2 x + b2 y + c 2 y
=
d 2
a3 x + b3 y + c3 z = d 3
x, y, z adalah variabel a1 , a 2 , a 3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c 2 , c 3 , d 1 , d 2 , d 3
R
∈
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut : x + y − z = 3
2 x + y + z = 5 x + 2 y + z = 7
Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi : Misal dimulai dengan mengeliminasi z (1) dan (2) x + y − z = 3
2 x + y + z = 5
3x + 2y = 8 ..............................(4) (1) dan (3) 2 x
+ y + z = 5
x + 2 y + z = 7
x -y
= -2............................(5)
(4) dan (5) 3x + 2y = 8
x1
x -y
x 3 3x - 3y = -6
= -2
3x + 2y = 8
5y = 14 y = 14/5 3x + 2y = 8
x1
x -y
x 2 2x - 2y = -4
= -2
3x + 2y = 8
+ 5x = 4 x = 4/5
x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) : x+y–z=3 4/5 + 14/5 – z = 3 18/5 – z = 3 z = 18/5 – 3 z = 3/5 Jadi HP : {4/5,14/5,3/5} Tugas I
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut a. 2p + 3q = 1 3p + 4q = 1 b. -5m + 3n = 4 6m – 5n = 5 1
c.
x 1
x
+
−
1
y 1
y
=5
=1
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut : a. 7x = 21 x + 2y = 11 2x – y + z = 7 b. a + b + 2c = 3 4a + 2b + c = 13 2a + b – 2c = 19 c. x + 2y = -7 3y – z = -11 5x + 2z = -25 B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Bentuk Umum : y = px + q y = ax2 + bx + c p, q, a, b dan c
∈
R
Cara menyelesaikannya : 1. Substitusi Substitusikan y = px + q
ke
y = ax2 + bx + c
Diperoleh : px + q = ax2 + bx + c ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0 dengan D = (b-p) 2 – 4.a.(c-q) ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya : a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik) b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik) c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2. Grafik Ada 3 kemungkinan : D>0
D=0
D<0
Contoh : Tentukan himpunan penyelesian dari : y = 2 –x y = x2 jawab : Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh : x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x – 1)(x + 2) = 0
D = b2 – 4ac D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9 D > 0 (ada 2 penyelesaian)
x = 1 atau x = -2 x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1 x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4 Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)} Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut :
y = x2 (-2,4)
(1,1)
y=2-x
C. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT
Bentuk Umum : y = ax2 + bx + c y = px2 + qx + r Cara menyelesaikannya : 1. Substitusi Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh : (a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0 dengan D = (b – q) 2 – 4.(a – p).(c – r) Kemungkinan penyelesaiannya : a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik) b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik) c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan) 2. Grafik Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari y = x2 y = 8 – x2
Jawab : Substitusikan (1) ke (2) x2 = 8 – x 2 2x2 – 8 = 0 x2 – 4 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 atau x = -2 x = 2 diperoleh y = 2 2 = 4 x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4 Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)} 8
y = x2
(2,4)
(-2,4)
y = 8 - x2
0
Tugas II
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. y = x – 3 y = x2 – 4x + 3 b. y = x + 3 2y = x2 – 2x + 1 c. y – 2x – 3 = 0 y – 2x2 + 4x – 7 = 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. y = x2 – 3x – 1 y = 3x2 + 5x + 7 b y = x2 + 1 y = 9 – x2 c. y = 2x2 – 6x y = x2 – 2x + 6 D.
MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN SPL
Contoh : Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun. Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur nenek sekarang. Jawab : Misal umur kakek sekarang adalah x Umur adikku sekarang adalah y Diperoleh persamaan : a. x – 10 = 6(y – 10) x – 6y = -50 .............. (1) b. (x + 5)+(y + 5) = 93 x + y + 10 = 93 x + y = 83...................(2) Eliminasi persamaan (1) dan (2) x – 6y = -50 x + y = 83 - 7y = -133 y = 19 x + y = 83 x
= 83 – 19 = 64
Contoh : Diketahui y = px – 14 dan y = 2x 2 + 5x – 12, tentukan batasbatas p supaya a. Berpotongan di 2 titik b. Bersinggungan c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan Jawab : y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12 diperoleh : 2x2 + 5x – 12 = px – 14 2x2 + (5 – p)x + 2 = 0 D = (5 – p) 2 – 4.2.2 = 25 – 10p + p2 – 16 = p2 – 10p + 9 a. Berpotongan di dua titik (D > 0) p2 – 10p + 9 > 0 (p – 1)(p – 9) > 0 p < 1 atau p > 9 b. Bersinggungan di satu titik (D = 0) p2 – 10p + 9 = 0 (p – 1)(p – 9) = 0 p = 1 atau p = 9 c.
Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0) p2 – 10p + 9 < 0 (p - 1)(p – 9) < 0 1
Tugas III
1. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45. Tentukan bilangan-bilangan tersebut 2. Parabola y = ax 2 + bc + c melalui titik-titik (1,1), (-1,-5), dan
(3, 23) Tentukan nilai a, b, c 3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sam dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi 4. Tentukan bilangan-bilangan itu.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X , Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega. Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X , Jakarta : Penerbit Erlangga. MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.
