ECUACIONES DIFERENCIALES FASE DOS Presentado a: Tutor William de Jesús Montoya Henao
Entregado por: Asdrubal Roa Ordoñez Código: 1.082’127.208 Laura Andrea Barrera Espinosa Código: 1.073’238.956 Lady B. Portillo Garay Código: 1.073’5027.25 Yeimy Paola Calderón Preciado Código: 1073510347 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx
Grupo: 296
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES OCTUBRE BOGOTÁ D.C. 2017
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo sus características en su tipo, orden y linealidad. Tipos de ecuaciones diferenciales: ordinarias (una sola variable independiente) y parciales (funciones multivariables). Orden de ecuaciones diferenciales: diferenciales: 1 er el orden determinado a la máxima derivada presente en la ecuación diferencial, por lo tanto, tenemos 1 er (y´), 2do (y´´), 3er (y´´´), 4to (y4), las ecuaciones diferenciales diferenciales de segundo orden para adelante son clasificadas de orden superior. Lineal: ecuaciones que allega un orden lineal se denominan lineales y ecuaciones que no allegan una estructura lineal se denominan no lineales. Las ecuaciones diferenciales de orden superior se pueden identificar porque la mínima derivada es de orden lógico identificándose en homogéneas y no homogéneas. Las homogéneas se dividen en 3 tipos: -
Soluciones reales distintas Soluciones reales iguales Soluciones imaginarios
Lo primordial es obtener los valores de m, los valores se obtienen al resolver la raíz del polinomio característico. A continuación, se podrá observar el desarrollo de una serie de ejercicios poniendo en práctica varios conceptos para resolver los ejercicios de manera correcta.
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo sus características en su tipo, orden y linealidad. Tipos de ecuaciones diferenciales: ordinarias (una sola variable independiente) y parciales (funciones multivariables). Orden de ecuaciones diferenciales: diferenciales: 1 er el orden determinado a la máxima derivada presente en la ecuación diferencial, por lo tanto, tenemos 1 er (y´), 2do (y´´), 3er (y´´´), 4to (y4), las ecuaciones diferenciales diferenciales de segundo orden para adelante son clasificadas de orden superior. Lineal: ecuaciones que allega un orden lineal se denominan lineales y ecuaciones que no allegan una estructura lineal se denominan no lineales. Las ecuaciones diferenciales de orden superior se pueden identificar porque la mínima derivada es de orden lógico identificándose en homogéneas y no homogéneas. Las homogéneas se dividen en 3 tipos: -
Soluciones reales distintas Soluciones reales iguales Soluciones imaginarios
Lo primordial es obtener los valores de m, los valores se obtienen al resolver la raíz del polinomio característico. A continuación, se podrá observar el desarrollo de una serie de ejercicios poniendo en práctica varios conceptos para resolver los ejercicios de manera correcta.
OBJETIVOS
Aplicar de manera correcta los conceptos principales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. Identificar las ecuaciones diferenciales diferenciales de segundo orden y los diferentes métodos de solución para ecuaciones homogéneas. Reconocer situaciones que involucran ecuaciones diferenciales donde identificamos ecuaciones lineales de segundo orden, ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior e interpretar sus soluciones, analizando el tipo de dificultad que se pueden presentar para encontrarlas. Reconocer y aplicar las técnicas fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Actividad Individual:
A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros. ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Andrea Barrera Espinosa 1.
´ ´
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. . Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial son:
0 ´ 2´ 30 √ 3 √ 2
√ 2 √ 2 √ √ √ √
A. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da B. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da C. Soluciones iguales y reales cuya solución da A. Soluciones distintas y reales cuya solución da PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
+ +
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yeimy calderón 2.
En general, para resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de ésimo orden:
−− ⋯´ ´ 0 , 0, 1, 2, … , ≠0 −− ⋯ 0 ⋯ ⋯− ´´ ´8 6´´160 8´ 30 ´´50 ´´ ´4 3 40 ´ ´ ´ ´ 6 8 30 ()8′ 3 0 ()6 ( ) () ≠06 83 0 () Donde los coeficientes son constantes reales y Primero se debe resolver una ecuación polinomial de -ésimo grado:
.
Esta ecuación puede presentar una solución general de acuerdo a sus raíces. Caso 1: Soluciones reales y distintas ( . Para los casos 2 y 3, las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Cuando es una raíz de multiplicidad de una ecuación auxiliar de -ésimo grado (es decir, raíces son iguales a y la solución general debe contener la combinación lineal . Teniendo en cuenta lo anterior la ecuación diferencial de orden superior que tiene raíces como las descritas en el caso 1 es: A. B. C. D.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
A.
Donde
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Sustituimos
para cualquier finito,
Se sustituye y
, obteniendo el
6 83 0 33 31 0 323 √ √ 21133 2 2 − −−√ −+√ −√ − − −+√
siguiente polinomio, Factorizamos y encontramos los valores de
Como la multiplicidad de es 3 tenemos tres soluciones para la ecuación diferencial Evidenciamos que la ecuación tiene combinación lineal
Teniendo como solución
− ⋯
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 3.
Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma:
− − − ⋯ 0 . g. 4´ 36csc3 3 3 3 3 |3| 3 3 3 3 |3| 3 3 3 3 |3|
cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular. se determina haciendo para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular Dicha solución depende de la forma de la función De acuerdo a lo mencionado anteriormente la solución de la ecuación diferencial no homogénea es: A. B. C.
D.
3 3 3 3 |3| RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Bibiana Portillo 4.
Una ecuación diferencial de segundo orden homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser reales repetidas y su solución general es de la forma . Teniendo en cuenta la información anterior la solución general de la ecuación diferencial corresponde a: A. B. C. D.
− − −−
´ 14´ 490
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
() () : ()14 ()49 0: 14 490 14 490: 7
Dado que esta es una EDO Homogénea, lineal segundo orden. Para esta ecuación Realiza una solución en forma de Re escribimos como Aplicando el método de reducción obtenemos :
" . 0 .
Dando solución
. .
Para una raíz efectiva y, el procedimiento queda así.
general
Respuesta C
ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Andrea Barrera Espinosa
5.
Una ecuación diferencial de orden superior es de la forma
− ⋯ ´ ´ 2sin3
y puede ser solucionada por diferentes métodos. La ecuación diferencial: , puede ser solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general: 1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. 2.
√ √ √ √ cos3 sin3 cos3 sin3 −
3. 4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
2/ sin√ 32 1/ cos√ 32 1673 3 736 cos3
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Es una ecuación lineal de segundo orden, además de diferencial ordinaria. Lo podemos solucionar con los coeficientes indetermino y queda de la forma
() () 0 () () 0 0 1 10 12 √2 3 12 √2 3 √ + 11 √ 2 2+ 12 √ + 11 √ 2 2+ 1 cos√ 32 2 sin√ 32 1cos32 si n 3 1cos3 2si n 3 31 si n 332cos3 1cos3 2si n 3 91 si n 332cos3 /2sin 3 y
Asumiendo que la solución se va a hacer con la constante. Tenemos que sustituir. De esta forma la ecuación queda de la siguiente manera. Tenemos que factorizando la expresión
Solucionando para λ
Por lo tanto, tenemos la ecuación de la siguiente manera Dando como solución
Aplicamos las identidades de Euler a la ecuación para dar solución, quedando de la siguiente manera Buscamos una solución para
2sin3
por el método indeterminado.
del
coeficiente
Aplicamos la solución anteriormente mencionada.
n331sin3 91cos392si 32cos31cos 3 2sin32sin 3 81323 2si3182 si n 3 n3 81320 31822 736 cos3 1673 sin3 736 cos3 1673 sin3 1 cos√ 32 3 √ 2 sin 2 . 6√ 23 16√ 23 73 cos3 73 sin3
Cuando simplificamos la ecuación queda de la siguiente manera
Solucionando las ecuaciones encuentran las respuestas a constantes a1 y a2
se las
Debemos usar la ecuación general y(x)=yc(x)+yp(x)
En definitiva, tenemos como resultado
D. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yeimy calderón 6.
El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria y después se calcula el wronskiano . Posteriormente se determina , para poder encontrar y , y poder hallar la solución particular mediante la integración de , y , donde :
( , , ) ´ ´
´
0 0 0 0 0 0 2′ − − 2− 2 − −− − 2 2 2− ´´´´´ 1 − − −− − , ) ( , − −− − 4− 00 000 4 −− − −− − − − 02 0 00 − − − 2 21 − −− −− − ,
,
Una solución particular es y la solución general de la ecuación diferencial es entonces . Con base en lo anterior, los valores para , y y la solución general de la ecuación son respectivamente: 1. 2. 3. 4.
,
,
y
y
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Encontramos la función complementaria Donde:
Calculamos el wronskiano
− 0 2− 000 02 00 000 − ∫ ∫ − − ∫ −− − . − − ∫ − − ∫ ∫ − − ∫ . − . − ∫ −− ∫ ∫ − ∫ . ∫ ∫ ∫ ´ ´ ´ [∫∫] ∫− ∫ ∫ ∫ ´´´´´ Determinamos encontrar y
,
,
para
poder
Donde evidenciamos que el resultado es:
Hallamos la solución particular mediante la integración de , y ,
Encontramos la función complementaria Donde:
1 − −
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Bibiana Portillo 7.
Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial , , , la solución particular y la solución al problema corresponden a:
410sin 0 ′ 2 9cos7sin45cos cos cos cos si n 9sin7sin45sin "410 0 ´2 "´ "´0 →"0´0 10 ±1 , ∝ − 410sin 410 , ´ ∗ " "410 22410 1. 2. 3. 4.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Sea Sea la solución general Sea la solución homogénea
En este caso la ecuación característica es Así: De tal manera son soluciones particulares de la ecuación propuesta. Formula de Euler
Utilizando la ecuación de Euler
Ahora tomamos como una forma generalizada de Multiplicamos por x por la duplicación de los términos
Sustituyendo en la ecuación diferencial planteada tenemos
A=4 ; B=0 ; 2C=0 ; -2D=10
45 45 45 0 9 ´ 45 52 7 9 745
D= -5
Reemplazando los coeficientes tenemos Finalmente obtenemos que : Aplicamos las condiciones iniciales
Entonces obtenemos la solución de la ecuación lineal no homogénea Respuesta 1 y 3
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Asdrúbal Roa Ordoñez 8.
Una ecuación diferencial de de n-ésimo orden se puede escribir como:
−−⋯, , 0, 1 , 2 , … , . −− ⋯ 3 8 4sin 31 30 cossin 1 30 3 cos donde Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe como , donde denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo orden
La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la solución particular . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a . Por lo anterior de la ecuación diferencial , se puede afirmar que: 1. El operador diferencial que anula a es 2. La solución particular que se propone debe ser
3. El operador diferencial que anula a es 4. La solución particular que se propone debe ser
sin RAZÓN O EXPLICACIÓN
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
→ 30→0,3 38 4 3→ 3 8 →3 4→ 2 10 ‖0 ‖‖1 ‖ | 3| 3| 1| 0 | 3|| 3|| 1|0 0, 3 10→, 1→±→ , , , 4 Donde para:
Así vemos
Donde
,
es
la
solución
de
la
Tenemos la ecuación diferencial obtenemos la solución complementaria de la ecuación homogénea asociada. Donde se obtiene la solución
Ahora tomamos la ecuación para hallar los anuladores diferenciales
El anulador para la ecuación no tenemos el numeral 3 Solucionamos la ecuación auxiliar de la ecuación anterior
Luego la solución es: Tenemos nuestra ecuación particular
ecuación homogénea luego si hacemos
Así la respuesta es 3 y 4
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Asdrúbal Roa Ordoñez 9.
Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes. Para el caso 2 al resolver la ecuación característica las soluciones deben ser iguales y reales y su solución general es de la forma . La ecuación diferencial tiene como solución general PORQUE las soluciones de la ecuación auxiliar son .
´ 10´ 250 5 − PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
10250 | 5| 5| 0 50 50 5 5
La ecuación general debería ser:
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Ya que la afirmación es falta pero la razón es una preposición verdadera porque aunque en esta ecuación homogénea se soluciona mediante al caso 2 la afirmación como la expone es falsa pero la razón si es verdadera porque da una solución igual a 5.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: 10.
− 62´ 823 2si n 3 2 9 3 0 92sin3 0
´ 2 0
Un operador anulador para la función es y .
de la ecuación diferencial PORQUE
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema 1: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m Planteado por: Asdrúbal Roa Ordoñez PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
. . . 350/
RAZÓN O EXPLICACIÓN Condiciones iniciales
,
0 35070 0 50 5 ±√5 ,… ó : ,…
Ya que es un movimiento de caída libre la ecuación se define asi:
Planteado por Laura Andrea Barrera PROPOSICION ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN EXPRESION MATEMATICA Se recopilan los datos que se expresan en el enunciado
´ 30 70 8 350 0 35070 0 50 5 ±√ 5 5√ 5 8 5 √ 5 8
Para el momento de la caída libre podemos definir una ecuación de la siguiente manera Sustituimos valores y despejamos
Ahora podemos construir una ecuación general para poder dar solución a lo que se pide en el enunciado del problema Reemplazamos los valores que ya conocemos Vamos a evaluar las condiciones iniciales para lo cual el tiempo es 0 t=0
30√ ′ √ 55√ √ 50√ 5√ 55√ √ 550 30√ 305 √ 5 13,4 8 513,4√ 5
Tomamos nuevamente la ecuación inicial y comenzamos a sustituir con los valores que ya hallamos derivándola de la siguiente manera
Solución final propuesta
Planteado por Lady Bibiana Portillo PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Datos:
70 0 830 350/ 350 70∗ 9.8 686.7 350686. 7 75” 75”350686. 7 ""4.3507569. 686.175567 4.4.6 06 ±√4. 6 ±√2.16
Extraemos del ejercicio los datos conocidos
Aplicamos la ecuación de fuerza estática Ahora aplicamos la ecuación de la gravedad
Sumando fuerzas
Hallamos la aceleración derivada de y despejando
Ahora solucionamos ecuaciones características
=.
La solución general de la ecuación será
Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Planteado por: Asdrúbal Roa Ordoñez EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
Situación y solución planteada:
Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Segunda ley de newton
15 1,2 25 4 Reordenamos términos
Reemplazamos datos
Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de y la constante elástica es El movimiento es amortiguado ( y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa , comenzando en Dicha fuerza está definida como . Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento
. 2 1, 2 0. 5cos4
Multiplicamos toda la ecuación por 5:
6 10254 Corrección Igualamos a cero y luego escribimos
En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:
∑
De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior:
Donde la aceleración y la velocidad están dadas por y Transponiendo términos en la ecuación: Y reemplazando los valores dados en esta se tiene:
la ecuación auxiliar.
6 10 6100
Mediante formula cuadrática resuelvo para m:
−± − 6±2√ 4 3±
15 1,2 25cos4 0 12 ´0 0 4 525cos4 0 4 50 450 2 2 − cos sin ´ 4si cos4sin4 n 44cos4 ´ 16cos416si n 4 4 50 16cos416si n 444si n 44cos4 5 cos4sin 4 25cos4 16cos416si n 416si n 416cos4 5cos45sin425cos4 11cos411si n 416si n 416cos4 25cos4 111625cos4 cos4 1611 sin4 : 111625 16110 cos4sin4
Equivalente a: Se hace para convertir la ecuación a una homogénea: Se escribe la ecuación característica y se resuelve: Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones: , Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como: Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:
Sustituyendo en la ED Operando:
Reuniendo términos semejantes: Factorizando:
El sistema de ecuaciones resultante Se cumple que: Reescribiendo:
Solución homogenica
ℎ − sin 44 4444 164164 164164 244 244 104 104 254
Solución particular
Derivamos 3 veces
Sustituimos ED no homogénea.
Agrupamos términos
162410 sin4 1624 104 254
6244 10225 cos4 5051 sin4 2464 25 254 −0 cos sin 102 cos4 5051 sin4 0−50cos0 sin0 10225 cos40 6240; 24625 si n 40 51 12 − cos0 sin0 10225 cos40 4:24∗ 4 625 5051 sin40 →10225 12 3810225 25 50 102 51 51 0 50 25 4 cos4 86 51 102 51 − 3851 8651 10225 4 5051 4 − 50 4 51 25 102 4 1 ⁄ 0 2 12 − sin cos0 5051250 0 102 12 10225 3851
La solución sería:
Haciendo
Por similitud
En donde:
Derivando la expresión y haciendo
Por lo tanto la ecuación de movimiento es:
La solución general es:
Hallamos las contantes usando condiciones iniciales
Aporte extra
0 0 −
5051254 4 102 3− − 200 4 51 50 51 4 03−sincos0 0 −sin0 cos0 2005051 0 51 sin0 0338 20051200 03. 51 86 51 38 51 86 − 51 51 5051254 102 4
Planteado por Laura Andrea Barrera EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
Situación y solución planteada:
Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de y la constante elástica es El movimiento es amortiguado ( y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa , comenzando en Dicha fuerza está definida como . Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento
1,2 0. 5cos4
2 .
En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:
∑
De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior:
Donde la aceleración y la velocidad están dadas por y Transponiendo términos en la ecuación:
15 1,2 25cos4 0 12 ´0 0 4 5 25cos4 0 4 50 450 2 2 − cos sin ´ 4si cos4sin4 n 44cos4 ´ 16cos416si 4n4
Y reemplazando los valores dados La ecuación se debe multiplicar por 5 en esta se tiene: obteniendo como resultado:
Equivalente a:
6 10254 6 100
Ecuación corregida de acuerdo a la anterior apreciación:
Se hace para convertir la ecuación a una homogénea:
Se escribe la ecuación Se escribe la ecuación característica y se resuelve: característica y se resuelve: Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones: , Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:
6100 ∗−∗∗ −±√ − −± −± 3 3 3
a=1; b=6; c=10 m1,2 = m1,2 m1,2 m1,2 m1
y m2
Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una cuando las raíces son complejas se escribe como: solución particular de la forma: yh=c1e-3t cost+c2e-3tsint
Sustituyendo en la ED
Sustituyendo en la ED
6 10254
50 16cos416si n 4 44si n 4 4cos4 5 cos4si n 4 25cos4 16cos416si n 416si n 4 16cos45cos4 5sin425cos4 11cos411si n 416si n 4 16cos425cos4 1116cos4 1611 sin4 25cos4 :111625 16110 cos4 sin4 25 cos4 50 sin4 102 51 − cos si n 25102 cos4 5051 sin4 0 − 0 25cos0 sin0 cos40 102 5051 sin40 12 − cos0 sin0 1025025 cos40 51 sin40 Operando:
Reuniendo términos semejantes:
16cos416si n 4 6104si n 44cos4 cos4si n 4 25cos4 16cos416si n 464si n 4 4cos410cos4 sin425cos4 6cos46si n 424si n 424 25cos4
Operando:
Factorizando:
El sistema resultante
de
ecuaciones
Se cumple que: Reescribiendo:
La solución sería:
Haciendo
185 109 185 cos4 109 sin4 −cos sin − 10225 cos4 5051 sin4 5 − − 0 cos40 18 109 sin40 12 −0−0 185 cos40 109 sin40
Se cumple=
Reescribiendo:
La solución sería=
Haciendo t=0
12 185 12 3810225 51 12 2185 9 0 86 51 0 34 9 − 3851 25 8651 50 102 4 51 4 2 − 34 − 5 4 9 1094 18 9
Derivando haciendo
la
expresión
y
Por lo tanto, la ecuación de movimiento es:
Derivando la expresión y haciendo
Por lo tanto, movimiento es:
la
ecuación
de
CONCLUSIONES
Es primordial determinar y clasificar las ecuaciones para de esta manera seguir con el desarrollo lógico y apropiado exigiendo integrar diferentes conceptos. Se le dio solución a los ejercicios paso a paso identificando ecuaciones lineales de segundo orden ecuaciones lineales de orden n, aplicaciones de las ecuaciones de orden superior; igualmente se da solución a todos los ejercicios propuestos en la guía con el fin ir reforzando nuestros conocimientos básicos que se han adquirido en el desarrollo de este curso. Se cumplió con las exigencias de la guía de actividades del trabajo colaborativo dos.
