PROBLEMA 1: A la 1 pm un termómetro que marca 70ºF, es trasladado al exterior donde el aire tiene una temperatura de -10ºF a las 1:02 pm la temperatura es de 26ºF ¿Cuál es la lectura del termómetro a las 1:05 pm? SOLUCION: Sean T: temperatura del cuerpo; Tm: Temperatura del aire=-10ºF La ecuación viene dada por:
dT dt
Y la solución de la ecuación es: T
T
Tm
k
1 2
ln(
9 20
2 k
) t
T
10 80e
Luego: T
10 80(
A la 1:05 pm, t=5 Entonces se tiene:
10 80(
T
T
0.88º F
K (T
Tm )
kt
Tm Ae , para:
t T
0
T 0
(T0 Tm)e kt , esto es la 1 pm y a las 1:02 1: 02 pm, t=2, T=26ºF
26 10 80 80e
9 20
5
)2
2
ln(
9 20
9 20 t
)2
)
PROBLEMA 2: Resolver la siguiente ecuación diferencial: x ln x
dy dx
y
x 3 (3ln x
SOLUCION: p ( x ) dx p ( x ) dx y e ( e Q ( x )dx c)
y e y e
dx
dx
x ln x
ln(ln x )
y ln x (
( e
( e
x ln x dx x 2 (3ln x 1) ln x
ln(ln x )
x 2 (3ln x 1) ln x
2 x (3ln x 1)
ln x
x 3 y ln x ( d ln x y ln x (
x 3 ln x
dx c )
dx c )
dx c)
c)
c)
y x 3 c.ln x PROBLEMA 3:
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
SOLUCION: p ( x ) dx p ( x )dx y e ( e Q ( x )dx c)
2 dx 2 dx y e ( e ( x 2 2x )dx c )
y e 2 x ( e 2 x ( x 2 2x )dx c ) Integrando por partes se obtiene:
y
2 x 2 2 x 1 4
ce
2 x
dy dx
2 y
x 2 2x
1)
PROBLEMA 4:
Resolver la siguiente ecuación diferencial: ydx ( x
x 3 y 2
)dy 0
SOLUCION:
Expresamos la ED de la siguiente forma:
x 3
dx dy
Sea: z
dz dy
dz dy
x 2
y
2
2
y
y
1 2
dz
x 2
1
dy
2 x 3
2 x 3
dx dy
dx dy
z 1
z 1
Luego la solución es:
y e
2
dy y
2
( e
y dy
1dy c )
Integrando:
z e2 Lny ( e
2ln y
Simplificando:
z y 2 (
dy
y
2
c)
x 2 y cy2
dy c)
2 y
dx dy
1
y
x 2 1
, reemplazando
x
x3 2
, luego multiplicamos por
x
3
PROBLEMA 5: Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado. Aquí x’, y’, etc, denotan diferenciación con respecto a t.
' 2 y sent ; x(0) 0 x ' 3x 4 x y ' y cos t; y(0) 0 SOLUCION: Aplicando Laplace al sistema
L x ' 3x ' 2 y L sent L 4 x y ' y L cos t
s L x x(0) 3sL x 3 x(0) 2 L y s 4 sL x sL y y(0) L y s L x ( s 3s) L y (2)
1 2
1
s 2
1
1 s 1 s
L x (4s ) L y ( s 1)
2
s 1 2
Aplicando la regla de CRAMER:
1 s
2
s
L x
2
1 s 3s s
2
1
s
1
4 s
2 s
3 s 1
( s 2 1)(2s)( s 1)
1
Aplicando las fracciones parciales:
3 s 1
( s
2
( s
2
1)(2 s)( s 1) 3 s 1
1)(2s)( s 1)
Igualando:
2 A C 2 D 0 2 A 2 B C 0 2 B C 2D 3
C 1
As B
C
D
.......( )
s
2
3
(2 A C 2 D) s 2 (2 A 2B C ) s(2 B C 2 D) C
s
1
2s
s 1
Resolviendo el sistema de ecuación A
1
B
1
C D
1
1/ 3
Reemplazando en a
3 s 1 ( s 2 1)(2 s)( s 1)
s 1
1 1 s 2 1 2s 3 s 1
1
Aplicando la inversa de la Transformada de Laplace
1 1 1 1 s 1 L 2 s 1 2s 3 s 1 1 1 1 1 1 s L 2 s 1 s 1 2 s 3 s 1 x(t ) cos t sent s 3s
4 s L y
s 3s
1
2 1
1
e 3 t
s 1 s 2
2 s ( s 3s 4) s 1 2 2 ( s 1)(2 s)( s 1)
4 s
2
s 1
Simplificando:
( s 1)( s 4) ( s 2 1)2( s 1) ( s 4) ( s 2 1)2
Aplicando la inversa de la Transformada de Laplace
s 4 2 2 2( 1 ) 2( 1 ) s s Y (t ) 1 / 2 cos t 2sent 1
L
PROBLEMA 6: Un circuito LRC con R=150 ohmios, L= 1 Henrio, C=0,0002 faradios en t=0 se le aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a) La carga en cualquier instante de tiempo b) La corriente del circuito en t=20s SOLUCION:
R 150 L 1H C
2 x10 4 F
Q (0) 0 '
Q (0) 0
De acuerdo a la ecuación del voltaje:
LQ '' RQ '
1
Q V (t ) C Q '' 150Q ' 5000Q 10 t(U 0 ( t) U10 ( t)) Q '' 150Q ' 5000Q 10 tU 0 ( t) 10 tU10 ( t) 100 U10 ( t) 10 U10( t ) Q '' 150Q ' 5000Q 10tU 0 ( t) 10( t 10) U10 ( t) 100 U 10 (t )
APLICANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LA ECUACION (1):
…… (1)
s Q( s ) sQ(0) Q '(0) 150 sQ( s ) 150Q (0) 5000Q (s ) 2
( s 2 150s 5000)Q (s ) ( s 50)( s 100)Q( s ) Q( s )
10
s 10
s
2
10 s 2 ( s 50)( s 100)
2
e 10 s
e
10
s 10 s 10 s
2
2
e 10 s
e
10e
10 s 2
10e10 s s2
100e 10 s s
100
s 10 s 100 s
10 s
100e10 s
s 2 (s 50)(s 100) s ( s 50)(s 100)
A 1/500 B 3 / 50000 A B C D 10 2 2 s ( s 50)(s 100) s s s 50 s 100 C 1/12500 D 1/ 50000 A 1/50 B 1/ 25 s ( s 50)(s 100) s s 50 s 100 C 1/50 100
Q( s )
A
B
C
10 s
10 s
4 1 e 4 1 e 2 1 100 3 100 3 1 2 2 s s 50 s 100 50000 s s s 50 s 100 50000 s 50 s s 50 s 100 1
AHORA LA INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE:
Q(t )
1
1
1
100t 3 4e50t e100t 100(t 10) 3 4e50( t 10) U10 (t ) 1 2e 50(t 10) e100(t10) U10 (t ) 50000 50000 50
1 50 t 100 t ; t 10 a ) 100 t 3 4 e e 50000 Q(t ) b) 1 100t 3 4e50t e100 t 1 100(t 10) 3 4e50 (t 10 ) 1 1 2 e50 (t 10) ; t 10 50000 50 50000
1 50 t 100 t ; t 10 50000 100t 3 4e e Q (t ) 1 1000 4e50t 4e50( t 10) e100 t e100( t 10) 1 1 2e 50( t 10) e100( t 10 ) , t 10 50 50000 Q (20) 0
Q t 1 50t 100t ; t 10 50000 100 200e 100e I (t ) 1 200e50t 200e50( t 10) 100e100 t 100e100( t 10) 1 100e50 (t 10 ) 100e100( t 10 ) ; t 10 50 50000 I (t )
PROBLEMA 7: Resuelva la siguiente ecuación diferencial y(0)
y '(0 )
2
1
y ''(t ) 2 y '(t ) y( t )
sen(4t ) t e
t
t
2 t
e
8 2 (t )
SOLUCION: Aplicamos transformada de Laplace a la ecuación: 2 L y ''(t ) L 2 y '(t ) L y( t ) L sen(4t) L tet L t et L 8 2 ( t ) 4 S 2Y( S ) SY(0) Y '( 0) 2( SY( S ) Y(0) ) Y( S ) 2 L t 2 e t L 8 2 (t ) 2 S 4
Ordenando y reemplazando los datos se tiene: Y( S ) ( S 1)
2
4
2S 5
2
S
L t e L 8 2 (t ) 4 t
Resolvemos las transformadas, por el primer teorema de traslac ión
L eat f (t )
( s a )t
0
f ( t )t F ( sa )
e
Resolviendo la expresión: Y( s ) ( S
1)2 2S 5
4 2
S
4
1
( S 1)
2
2 ( S 1)3
8L 2 (t )
Por la propiedad de la transformada del delta de Dirac Y( S ) ( S
1)
2
4
2S 5
2
S
4
1 ( S 1)
2
2 ( S 1)
3
8e
2
s
DESPEJANDO Y(S) QUEDA:
4 2
S
Y ( S )
Y ( s )
4
1 S
2
1
2 ( S 1)
s 1 4 ( s 2
42 )
3
8e
2 s
2s 5
2
1 ( s 1) 2 ( s 1) 2
2 ( s 1) 3 ( s 1) 2
8e
2 s
( s 1) 2
Resolviendo queda: 3
y(t )
t
(te sen4t )
t e
t
6
2
(t et te t ) 5te
t
8( (t
2 ) te
t
)
2s ( s 1)
5 ( s 1 )2
PROBLEMA 8: Determine las intensidades de corrientes y la carga del capacitor en el circuito que se muestra ,donde :
L 6 H , R1 60 , R2 60 , C 10 3 F ;I1 (0) I 2 (0) I 3 (0) 0 ,Q (0) 0 y
120 , 0 t 4 E (t ) 4 t 120e cos 3t , t 4 I 3 (t )
R1 E
I 2 (t )
I 1 (t )
L
C
R2
SOLUCION: Hallaremos L( E ( t ) )
L ( E( t ) )
e
st
.E( t ) .dt
0
4
e
st
.120dt
e
0
st
.120e
4t
.cos 3t .dt
0
4
120 e .dt 120 e .e 4 .cos 3t.dt st
st
0
t
0
t m4 s
e
( s 4) m
.cos(3m 12).dm (
cos(12) 4
0
3
( s 4) 2
4
( s 4) 9
.sen(12)).(
2
)
1 e 4t 3 ( s 4)2 4t 16 cos12 L( E( t ) ) 120.( .sen12).( ) 120.e .( ) s s 4 4 (s 4) 2 9 sL( E )
60sL( I 3 ) (103 60s ) L( I 2 )
0 (6 s 2 60s ) L( I 3 ) 103 L( I 2) Resolvemos
e
( s 4) m
.cos(3m 12).dm …….(1)
0
Sea: du
= cos(3m 12).[
e ( s 4) m
( s 4)
e
( s 4) m
1
y
e 4 s
v
cos(3m 12)
] 120( ) 120 s s
e ( s 4) m
(s 4) .( sen(3 m 12)).3 dm 0
=
cos(12)
4
3
e s 4
( s 4) m
sen(3m 12).dm
0
du
cos(12) 4
cos(12) 4
3 s 4
.(
3 s 4
e
( s 4) m
( s 4)
= e
.cos(3m 12).dm (
( s 4)
cos(12) 4
4t
) 120.e
s
4m
9
0
s
( s 4) m
0
. sen(3m 12)
1 e L( E(t ) ) 120.(
e
(s 4) .cos(3m 12).3dm
). sen(3m 12)
s
( s 4) m
v
4t 16
.(
2
e
( s 4) m
.cos(3m 12).dm
0
3
( s 4) 2
4
( s 4) 2 9
.sen(12)).(
cos12 4
3 4
.sen12).(
(s 4)2 ( s 4)2 9
Del gráfico obtenemos: E(t )
60I1 103
t
0
I2( s) .ds …………. R-C malla 1 t
I
0 6 I3 60 I3 103
0
2( s )
.ds …. malla 2
Aplico transformada L( E )
60 L( I 1) 10 3.
L( I 2 ) s
60 sL( I1 ) 103.L ( I 2 )
0 6 s.L( I3 ) 6 I3(0)
0 6 s.L( I 3 ) 6 I 3
(0 )
60 L( I 3 ) 10 3.
L( I 2 )
60 L( I 3 ) 10 3.
s L ( I 2 )
Como I1
I2
sL( E )
I3
L( I1 )
L( I 2 ) L( I 3 )
60sL( I3 ) (103 60s) L( I 2 )
0 (6 s 2 60s) L( I3 ) 103 L( I 2 )
s
)
)
6 s.L( I 3 )
sL( E )
103 L( I 2 ) ( s 10)
103 L( I 2 ) ( s 10)
(103 60 s) L( I 2 )
Reemplazando tenemos:
L( I 2 )
I 2
103.e
10 t
103
s
s 10
( s 60)2
(
cos( 60t) 60.10 3.
PROBLEMA 9: Resolver la siguiente ecuación: 2
y
'
(2 x y) y' ( x2 xy) 0
SOLUCION: y
'2
(2 x y) y' ( x2 xy) 0
y
Despejando
'
y
2 x y (2 x y) 2
2
4(x xy)
2
De donde:
y y
y ce x 1 x y x x y c 2 x
'
1 ' 2
1
2
1
'
se tiene:
2x y y 2
103 s
2
1 60
60
)60
sen(
60 t )
PROBLEMA 10: Resolver la siguiente ecuación:
x lny ' seny ' SOLUCION: Sea:
y
'
P dx
dy P
x LnP senP Diferenciando se tiene:
dx
dy P
dp P
dp P
cos
p.dp Como dx
dy
P
cos p.dp dy dp P cos p.dp
Integrando:
y P PsenP cos P c
x LnP senP y P senP cos P c
