Fenómenos de Transporte
Problema 1 La pared de un cilindro está compuesta por dos capas de materiales con conductividad kA y kB. Ambos materiales están separados por una resistencia eléctrica muy delgada de muy muy alta alta co cond nduc ucti tivi vida dad. d. Por el inte interi rior or de la tube tuberí ría a cir circula cula un líqu líquid ido o a temperatura temperatura Ti y con un coefciente de película i. !n el e"terior la temperatura y el coefciente de película son respectivamente Te y e. A. #btener la temperatura de la resistencia eléctrica cuando el calor disipado por ésta es nulo. B. #btener la temperatura de la resistencia eléctrica cuando el calor disipado por ésta es q$$c %&'m().
Solución: Datos: *apa A+ kA , *apa B+ k B -esistencia eléctrica muy delgada de alta conductividad que genera+ / ( m ' & qc00 *ondici1n de contorno e"terior+ e, Te *ondici1n de contorno interior+ i, Ti
Incógnitas: A. Tc cuando q$c 2 3 B. Tc cuando q$c 4 3
Desarrollo: A+ •
5tili6ando la analogía eléctrica de conducci1n, podemos e"presar el 7u8o de calor desde la superfcie intermedia acia el interior y acia el e"terior+
Página 1
Fenómenos de Transporte
T c −T i
qi =
ln 1
hi A
+
r
( c) ri
2 π k b L
T c −T i
qi =
ln 1
hi 2 π r i L
+
r
( c) ri
2 π k b L
T c − T e
q e= 1
he A e
ln
+
r
( e )
c 2 π k A L
T c −T i
qi =
ln 1
hi 2 π r i L
+
r
( c) ri
2 π k b L
B+ •
Para el caso de que e"ista una generaci1n de energía superfcial el balance de energía en esa superfcie sería el siguiente+
qi + qe =q
•
'' c2
π r c L
9 por tanto al despe8ar la temperatura tendríamos+
Página 2
Fenómenos de Transporte
T i
''
qc rc +
r
( c)
ln 1
hi r i
T c =
+
1
hi ri
+
1
k B r
he re
+
rc
k A
1
+
( c)
ln
ri
k B
r
( e)
ln
ri
1 ln
T e
+
1
he re
+
r
( e) rc
k A
Problema 2 !l muro de una cámara :rigorífca de conservaci1n de productos p roductos congelados, se constituirá del modo siguiente+ • • • • • •
-evoco de cemento de ; cm de espesor %k 2 3.< kcal'=m>*) 5n pie %;? cm) de ladrillo maci6o %k 2 3.@ kcal'=m>*) Pantalla antivapor de .; cm de espesor %k 2 3. kcal'=m>*) *orco e"pandido %k 2 3.3? kcal'=m>*) C cm de ladrillo ueco %k 2 . kcal'=m>*) -evoco de cemento de ; cm de espesor %k 2 3.< kcal'=m>*)
Diendo la temperatura interior E;?>* y la del e"terior F3>*. Di las pérdidas orarias por unidad de área del muro, se evalGan por motivos econ1micos en 3 kcal'=m(, determinar+ a. !l coefciente global de transmisi1n de calor del muro b. !l espesor de corco que debe colocarse c. La distribuci1n de temperaturas en el muro De tomarán como coefcientes de transmisi1n de calor por convecci1n e"terior e interior ;3 y ; kcal'=m(>*, respectivamente.
Solución: Datos: Página 3
Fenómenos de Transporte
Capa 1
2
3
4
5
6
!spesor %cm)
;
;?
.;
"
C
;
*onductividad %kcal'=m>*)
3.<
3.@
3.
3.3?
.
3.<
∫ ¿=25 C o
o
Temperaturas+ Temperaturas+ T ext =30 C H
*oefcientes de película+
hext = 20
T ¿
H
KCal h . m . ° C H 2
' '
Ilu8o de calor por unidad de área+
q
∫ ¿ =12 h .KCal m . ° C 2
h¿
KCal
=10
h.m
Incógnitas: a. *oefciente global de transmisi1n de calor+ 5 b. !spesor de la capa de corco+ e c. Jistribuci1n de temperaturas en el e l muro.
Esuema:
Página 4
2
Fenómenos de Transporte
Desarrollo: a. *oefciente global de transmisi1n de calor+
∫¿
T ext −T ¿
¿ ∫¿ T ext −T ¿ ¿ ¿ '' q =U ¿ U = 0.182
KCal 2
h . m .° C
b. !spesor de aislante+ 5tili6ando la analogía eléctrica en conducci1n+
∫¿
T ext −T ¿
¿ ¿ ' ' q =¿
∫¿
T ext − T ¿
¿
1
+
e1
hext k 1
+
e2 e3
+
k 2 k 3
+
e4 k 4
¿ q =¿
+
e5
+
e6
k 5 k 6
+
1
h∫ ¿
''
!n la ecuaci1n anterior la Gnica inc1gnita es el espesor de corco+ e 4= 24.03 cm .
Las resistencias asociadas a cada una de las capas son las siguientes+
Página 5
Fenómenos de Transporte
*apa
-esistencia %m(>*='kcal)
E! t"
1
2
3.3 ?
3.3 ;?
3. C
3
4
3.3 .< F
5
6
Int"
3.3 @
3.3 ;?
3.3
Podemos observar que la resistencia asociada a la capa de aislamiento %corco) es muco más importante que las restantes. !s por tanto la Kresistencia Kresistencia controlante c. Jistribuci1n de temperaturas+ Di e"presamos el 7u8o de calor entre capas consecutivas podemos ir obteniendo las temperaturas de cada una de las superfcies+
q
' '
=
( T ext −T ) 1
1
; T 1= 29.5 ºC
hext
q
' '
=
( T −T ) 1
2
e1
; T 2=29.25 ºC
k 1
*apa
Temperatura%>*) Temperatura%>*)
E!t "
1
F3
;M.?
2
3
;M.; ;?. ?
Problema 3 Página 6
4
5
6
#
Int "
;. E E E E;? < ;F.F ;F.M ;.;
Fenómenos de Transporte
*onsidérese un muro compuesto por dos capas cuyas características son las l as siguientes+ *apa + espesor 3. m, conductividad+ k 2 3.M %N3.33@T) &'m.O *apa ;+ espesor 3.3? m, conductividad+ k ; 2 3.3 &'m.k 9 sometido a un 7u8o solar en la cara e"terior de F33 &'m(, esta cara se se encuentra en contacto con aire a 3>* %*oefciente convectivo e"terior 3 &'m(O). La cara interior se encuentra en contacto con aire a ;3>* %*oefciente convectivo interior ? &'m(O) *alcular+ a. Ilu8o de calor por unidad de área que atraviesa el muro. b. Temperatura Temperatura en las dos superfcies e"tremas y en la inter:ase inter: ase entre las dos capas
Solución+ Datos:
•
*apa + e 2 3. mH k 2 3.M %N3.33@T) &'m.O *apa ;+ e; 2 3.3? mH k ; 2 3.3 &'m.k
•
' ' *ontorno e"terno q sol =300 ; T ext = 40 ºC;hext = 10 W / / m ² K
•
•
*ontorno interno
∫ ¿=5 W / m ² K ∫ ¿ =20 ºC;h¿ T ¿
nc1gnitas+ • •
a. Ilu8o de calor por unidad de área que atraviesa el muro+ q$$ b. Temperatura de las superfcies+ T , T; , TF
!squema+
Página #
Fenómenos de Transporte
Jesarrollo+ a. Ilu8o de calor por unidad de área que atraviesa el muro+ La ecuaci1n di:erencial en la capa será la siguiente+
(
d dT k ( T ) dx dx
)
=0 k ( T )
dT dT = cteq' ' =−k ( T ) dx dx
!l 7u8o de calor por unidad de área debe ser constante. La conductividad es variables con la temperatura siguiendo una ley lineal del tipo+ k%T) 2 k 3 %NbT). Di integramos la ecuaci1n anterior para toda la capa + e1
T 2
−∫ q dx =∫ dT ' '
0
T 1
−q' ' e =k ( T −T )+ k 1
0
2
1
0
b
b T −T )= k ( T − T ) + k ( T −T ) ( T + T ) ( 2 2 2
2
2
1
0
2
1
0
2
1
2
1
−q' ' e =k ( T −T ) ( 1 + bT med ) 1
0
2
1
−q' ' e =k ( 1 +b T med )( T −T )= k med ( T −T ) 1
0
2
1
2
1
Aora impondremos las dos condiciones de contorno+ x =0 hext ( T ext −T 1 ) + q sol =q ' ' ' '
!sta condici1n de contorno podemos e"presarla como si :uera una condici1n de contorno puramente convectiva contra una temperatura equivalente %Temperatura solEaire) de C3>*.
[(
x =0 hext T ext +
' '
qsol hext
) ]
−T = hext ( T sol! aire aire + T ) = q ' ' 1
1
!n el otro contorno la condici1n será+
Página $
Fenómenos de Transporte
k 2
+
1
e 2 h∫ ¿ T ∫ ¿ T 2−
¿
' '
x =e 1 q
=¿
Tenemos Tenemos pues F ecuaciones con F inc1gnitas inc1gnitas %q$$, T , T;)+
−q' ' e =k 1
0
( ( 1+ b
T 2−T 1 2
)) (
T 2 −T 1 )
%)
q ' ' ¿ h ext ( T ext −T 1 ) + q sol ' '
k 2 e2
+
T 2 −
%;)
1
h∫ ¿ T ∫ ¿
%F)
¿ q =¿ ' '
gualando la ecuaci1n %;) con la %F) e introduciendo la %;) en la %) tenemos ; ecuaciones con ; inc1gnitas+ k 2
+
1
e 2 h∫ ¿ T ∫ ¿ T 2−
¿ ' ' hext ( T ext − T ) + qsol =¿ 1
−e [ hext ( T ext −T ) + q'sol' ] =k 1
1
0
( ( 1 +b
T 2−T 1 2
)) (
T 2−T 1 )
Di despe8amos en la primera T ; y lo introducimos en la l a segunda tendremos una ecuaci1n cuadrática en T+ T 1 =67.33 ºC
T 2 =58.72 ºC
q
' '
Iinalmente podemos calcular la temperatura en la superfcie F+
Página %
2
=26.7 W / / m
Fenómenos de Transporte
1
h∫ ¿ T ∫ ¿
T 3 =25.34 ºC
T 3 −
¿ q =¿ ' '
Di pintamos la distribuci1n de temperaturas será la siguiente+
P&'()E*+ 4: !l parabrisas de un autom1vil autom1vil se desempaRa desempaRa mediante el paso de aire caliente a T i 2 3 S* sobre su superfcie interna. !l coefciente de convecci1n en esta superfcie es i 2 F3 &'m; E SO/. La temperatura del aire e"terior es T in: 2 2 E3 S* y el coefciente de ; convecci1n es c 2 @? &'m E SO/.
. *alcular *alcular las temperatura temperaturass de las superfcies superfcies intern interna a y e"terna e"terna del parabrisas parabrisas de vidrio que tiene mm/ de espesor. espesor. %k vidrio%a F33 SO) 2 , &'m E SO/). ;. Jibu8e perfles perfles %en %en :orma cualita cualitativa) tiva) de temperat temperatura ura si el parabrisa parabrisass tuviese+ tuviese+ a) Jobl Joble e vidr vidrio io con con air aire. e. b) Jobl Joble e vidrio vidrio con con agua agua.. c) Di tuv tuvier iera a curv curvat atur ura. a.
S'),CI-.: %) !n un esquema general tenemos lo siguiente+
Ti 2 Jentro del autom1vil
TQi TQi
Página Iuera del autom1vil 1/ TQo TQo Tin: 2
Fenómenos de Transporte
Para la trans:erencia de calor a nivel global se tiene que+
q
=
T i − T inf
A
RT
, donde la -esistencia Total Total se calcula como sigue+
RT
1
=
+
hi
1
+
∆ x
hc
k w
!ntonces, RT
q A
=
1
+
hi
=
1
+
hc
T i − T inf
∆ x
=
k w
=
RT
[
30 W
1
]
+
m 2 − º K
( 40 − ( −10))º K 2 0,052 m − º K W
[
]
4 × 10−3 [ m] + W 65 1,4 W m−º K m 2 −º K 1
[
[
= 961,54 W
]
m2
[
]
Luego, se tiene en las inter:ases de aire en convecci1n+ - Interna q q = hi × (T i − T wi ) ⇒ T wi = T i − A hi × A
T wi
= T i −
q hi × A
961,54 W =
40º C −
[
30 W
m2
]
m 2 − º C
Página 11
]
=
[
0,052 m
2
− º K
]
W
Fenómenos de Transporte
T wi
=
7,95º C
- Externa q q = hc × (T wo − T inf ) ⇒ T wo = T inf − A hc × A
T wo
= T inf +
961,54 W
q hc × A
= −10º C +
[
65 W
m2
]
m 2 − º C
T wo
=
4,79º C
%;) Caso (a): Vidrio con aire Ti 2 TQi TQi Jentro del
Iuera del autom1vil TQo TQo Tin: 2 2 E3S* Pendiente grande+ grande+ A-! *#J5*! P#*#
-
Caso (b):
Vidrio con agua
Ti 2
TQi TQi
Jentro del
Iuera del
autom1vil
autom1vil TQo TQo Tin: 2 2 E3S*
Pendiente pequeRa+ AU5A *#J5*! *#J5*! VWD X5! A-!
-
Caso Caso (c): (c): Vidr Vidrio io con con cur curva vatu tura ra
Perfl logarítmico por la Página 12 ecuaci1n de
Fenómenos de Transporte
Ti 2 Jentro del autom1vil
Iuera del
TQi TQi TQo TQo
autom1vil Tin: 2 2 E3S*
Problema 5: 5n alambre eléctrico de F mm. de diámetro y ? m. de largo está frmemente envuelto con una cubierta gruesa de plástico de ; mm. de espesor, cuya conductividad térmica es k 2 2 3,? &'m Z S*/. Las mediciones eléctricas elé ctricas indican que por el alambre pasa una corriente de 3 A y se tiene una caída de volta8e de < [ a lo largo de éste. Di el alambre aislado se e"pone a un medio que está a T in: 2 2 F3 S*, con un coefciente de ; trans:erencia de calor de h 2 ; &'m ESO/, determine la temperatura en la inter:ase del alambre y la cubierta de plástico en operaci1n estacionaria.
S'),CI-.: Podemos esquemati6ar el problema como sigue+
r r; r; T;
k
Y,Tin: T
Página 0 13
Fenómenos de Transporte
5n alambre eléctrico está frmemente envuelto con una cubierta de plástico. De va a determinar la temperatura de la inter:ase. Dupondremos que+ . La trans:e trans:eren rencia cia de calor es estacion estacionaria aria ya que no ay indica indicaci1 ci1n n del algGn cambio con el tiempo. ;. La trans:erenc trans:erencia ia de calor es unidimen unidimensiona sionall dado que se se tiene simetría simetría térmica térmica con respecto a la línea central y no ay variaci1n en la direcci1n a"ial. F. Las conductivida conductividades des térmica térmicass son constantes constantes.. . La resisten resistencia cia térmica térmica por contacto contacto en en la inter:ase inter:ase es despreci despreciable. able. ?. !n el co coef efci cient ente e de trans: trans:er eren enci cia a de calor calor se incorp incorpora oran n los los e:ect e:ectos os de la radiaci1n, si los ay. Además se conocen las siguientes propiedades+ . La conduct conductividad ividad térmica térmica del plástico plástico es k 2 2 3,? &'mES*/.
!ntonces+ -
!n el alambre se genera calor y su temperatura se eleva como resultado del calentamiento por resistencia. De supone que el calor se genera de manera uni:orme en todo el alambre y se transfere acia el medio circ circun unda dant nte e en la direc direcci ci1n 1n radi radial al.. !n la opera operaci ci1n 1n esta estaci cion onar aria ia,, la veloc velocida idad d de la tran trans: s:er erenc encia ia de ca calo lorr se vuel vuelve ve igua iguall que que el ca calo lorr generado dentro del alambre, el cual se determina que es+ •
•
Q = W e -
= V ⋅ I = 8V ⋅ 10 A = 80W
La red red de resis resisten tencia ciass térmic térmicas as para para este este proble problema ma compr comprende ende una resistencia a la conducci1n, para la cubierta de plástico, y una resistencia a la convecci1n, para la superfcie e"terior, en serie. De determina que los valores de estas dos resistencias son+ A2
=
(2π r 2 ) L = 2π (0,0035m) ⋅ (5m) = 0,110m 2
Página 14
Fenómenos de Transporte
Rconv
=
R plás tico =
1
=
hA2
[
12 W
ln( r 2 r 1 ) 2π kL
1
=
m2
] 0,110[m ] 2
⋅
=
ln( 3,5 1,5) 2π (0,15 W ) ⋅ 5[ m] m
[
]
[
]
0,76 º C W
=
[
]
0,18 º C W
9, por lo tanto, Rtotal = R plá stico + Rconv
-
=
0,76 + 0,18 = 0,94 º C W
!ntonces, se puede determinar la temperatura en la inter:ase a partir de+
Q=
T 1 − T inf Rtotal
→ T 1 = T inf + Q ⋅ Rtotal
T 1 = T inf + Q ⋅ Rtotal
[
]
T 1 = 30º C + (80W ) ⋅ 0,94 º C W T 1
= 105º C
ote que no se involucra directamente el alambre en la red de resistencias térmicas, ya que el alambre comprende la generaci1n de calor. Problema 6:
Simplifique las ecuaciones de variación que se muestran a continuación para estudiar el movimiento del fluido al circular por la rendija. Desprecie los efectos de borde. Indique en el recuadro una relación numerada de las razones por las que se anulan los términos, y anote bajo cada término tachado el número correspondiente. ecuadre finalmente los términos que no se anulan. !dm"tase ré#imen estacionario y laminar.
Página 15
Fenómenos de Transporte
1" &gimen estacionario" 2" +nálisis e elocia: v r
2
v
2
/
v
z
3" +nálisis e es7uer8os cortantes:
\r
6
]
6 6 ]r \ r \ r
rr
]
] \\
\
zz
2/
] zr
] z
4" 9luio incompresible" 5" r
g 2 g
cos
\
g 2 g \
g z
sin\
2
/
Problema #: !n la fgura fgura se mues muestr tra a el esqu esquem ema a de un sist sistema ema de disp dispens ensac aci1 i1n n de líqui líquido doss viscosos. !l 7uido, contenido en el dep1sito superior, circula a través de la estreca rendi8a :ormada por el cilindro y la base concéntrica y se vierte fnalmente por la salida in:erior de la rendi8a. !l cilindro está conectado a un motor de velocidad de giro constante, W , lo que permite regular el caudal de 7uido dosifcado.
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Fenómenos de Transporte
Dimplifque las ecuaciones de variaci1n que se muestran a continuaci1n para estudiar el movimiento del 7uido al circular por la rendi8a, despreciando los e:ectos de borde. ndique en el recuadro una relaci1n numerada de las ra6ones por las que se anulan los términos, y anote ba8o cada término tacado el nGmero correspondiente. -ecuadre fnalmente los términos que no se anulan. Admítase régimen estacionario. Doluci1n+
1" &gimen estacionario" 2" +nálisis e elocia: v r
2
z
v
2
v
/
3" +nálisis e es7uer8os cortantes:
\r
6
]
6 6 ]r \ r \ r
4" 9luio incompresible" 5" r
g 2 g \
cos
g 2 g \
g z
sin\
2
/
Página 1#
rr
]
] \\
\
zz
2/
] zr
] z
Fenómenos de Transporte
Problema $ Jibu8e sobre las siguientes gráfcas+ a) !l perfl de velocidad en la rendi8a para la situaci1n representada en el esquema inicial, y b) el perfl de velocidad en el caso de que el 7uido siga cayendo, pero pe ro el cilindro gire en el sentido de las agu8as del relo8. !scriba en ambos casos las variables y límites representados en los e8es.
Indique si se anulan o no cada uno de los términos de la ecuación de movimiento, describiendo brevemente su si#nificado.
Doluci1n
$%& epresenta epresenta la acumulación acumulación de cantidad de movimiento movimiento en un punto punto fijo. 's nulo, puesto que que el ré#imen es estacionario.
Página 1$
Fenómenos de Transporte
%;) !s el transporte convectivo de c.d.m. (uesto que la velocidad permanece constante en la dirección de avance del fluido este término deber"a ser nulo, pero debido al cambio de dirección en θ no no lo es. $)& *uerza de rozamiento rozamiento o transporte transporte viscoso de de c.d.m. +o es nulo ya que que hay #radientes #radientes de velocidad velocidad en dirección r . $& *uerza ejercida ejercida por la presión. presión. -a presión presión es diferente a la entrada entrada y salida de de la rendija, lue#o lue#o este término s" eistir/. $0& *uerza de #ravedad. #ravedad. 1érmino 1érmino no2nulo, no2nulo, puesto que que tiene componentes componentes en las direcciones direcciones r y y θ.
Problema 9
3n l"quido circula entre dos l/minas planas de #ran anchura, separadas una distancia 4 5 5 la velocidad del fluido es muy baja debido a que se mantiene una diferencia de presiones constante y muy peque6a entre sus etremos. -a l/mina de arriba mantiene una temperatura constante, 1 %, y mayor que el fluido a la entrada, 1 7, la l/mina de abajo aporta al fluido una densidad de flujo de calor, q a, constante. a& Suponiendo Suponiendo ré#imen estacionario estacionario y 8 constante, simplificar todo lo que se pueda la ecuación de ener#"a ener#"a que que se propon propone, e, escrib escribiend iendo o la ecuación ecuación final y las suposicio suposiciones nes que que se admiten admiten en en el recuadro si#uiente.
!scribir las condiciones límites se aplican a la ecuaci1n di:erencial.
que
Doluci1n+
Problema 1/ Dumergido en un baRo de aceite, con temperatura Ta, uni:orme, se alla un conductor eléctrico cilíndrico, de radio -3, revestido de un material cerámico, de radio - para
Página 1%
Fenómenos de Transporte
aislarlo eléctricamente. !ntre los e"tremos a"iales del conductor se establece una di:erencia de potencial [, circulando una intensidad eléctrica . a) !n régimen régimen estacionario estacionario,, dibu8ar dibu8ar el perfl de temperatura temperatura segGn segGn la coordenada coordenada radial, desde el centro asta un punto cualquiera en el aceite. b) ndicar ndicar c1mo se calcula calcula el 7u8o 7u8o de calor, calor, X, a partir del del perfl de temperat temperatura, ura, en -3. c) Al aumentar aumentar el radio radio c1mo a:ecta a:ecta al 7u8o 7u8o de calor calor y a la densida densidad d de 7u8o 7u8o de calor, en el aislante. Doluci1n+
Página 2/
