PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS
Matemática Discreta
PROBLEMAS RESUELT RESUELTOS OS DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA DISCRETA La parte de la matemática que trata de los números enteros y de sus propiedades propiedades recibe el nombre de teoría de
números. Esta teoría ocupa una posición central entre
la aritmética y el álgebra. Trataremos en este capitulo de la noción de divisibilidad de la que se deriva el concepto de número primo de la división de números enteros y sus propiedades y como consecuencia de todo lo anterior anterior de la aritmética modular. modular.
1.1. COCIENTE COCIENTE EXACTO EXACTO Los productos de un número entero a por ! "#$ reciben el nombre nombre de
mút!"os de
a. %or e&tensi e&tensión ón tambié también n se consid considera era como múltip múltiplo lo de a su produ producto cto por '( entonces indicando por r cualquier valor entero de los ' ! "#$ la e&presión general de los múltiplos de a será b ar . )e e&presa que b es un múltiplo de a escribiendo b a . También se dice que a es un que que a es un a v
d!#!sor de b o que a d!#!de a b o
s$%mút!"o de b o que b es d!#!s!%e por a todo lo cual se indica por
. )e escribirá a b cuando * no divida a b.
Los múltiplos de " reciben el nombre de
númer números os "ares "ares&& los restantes son los
números !m"ares. +lgunas propiedades propiedades de las a,irmaciones anteriores anteriores son las que siguen.
1. )i a es divisor de b también será divisor de cualquier múltiplo de b. '. )i a es divisor de b y de c también lo será de
b
c
siendo b c
(. )i a es divisor de b y b lo es de c entonces a lo será de c. ). )i a divi divide de a la suma suma o di,er di,erenc encia ia
b c de dos enteros y a uno de los
sumandos por e-emplo al b b entonces también dividirá al otro otro c.
*. )i a b$.c son divisores respectivamente de & y $ * entonces será divisor de ecibe el nombre de
a b .... c
& y .....*
+o+!ente e,a+to de los números naturales p dividiendo y
m0
divisor divisor el número natural r cuyo productor productor por el divisor reproduce reproduce el dividendo. La operación reali*ada para cualquier el cociente e&acto se llama indica por
p m o
d!#!s!-n e,a+ta y se
por p/m.
0ilda Mery 0errera %alomino %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !
PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS
Matemática Discreta
1.'. COCIENTE COCIENTE ENTERO ENTERO )ean D y d dos números naturales no nulos. )ea q otro número también natural tal que cumpla la relación.
qd D q 1 d
Entonces
qy q 1 reciben
los nombres respectivos de +o+!entes enteros "or dee+to y
divisor. "or e,+eso de la división de D dividiendo por a divisor. eciben los nombres nombres respectivos de
restos restos enteros enteros "or dee+to dee+to / "or "or e,+es e,+eso0 o0 los
números r y r 2 de,inidos por las igualdades r D qd
r q 1 d D qd d D d r 2
)e denomina d!#!s!-n entera de dos números naturales D y d 0 aquella operación aritmética cuyo ob-etivo es el cálculo de los cocientes y restos enteros. La división entera posee las propiedades propiedades que se enumeran a continuación. continuación.
1. La suma de los restos restos enteros por de,ecto y por e&ceso es igual al divisor. divisor. '. En toda división entera por de,ecto el dividiendo es la suma del divisor por el cociente.
(. )i se mult multip ipli lica can n divi divide dend ndo o y divi diviso sorr por por un mism mismo o núme númerro el coci cocien ente te permanece invariable y el resto quedará multiplicando multiplicando por ese número. número.
). )i en la división de D por d q es el cociente y r el resto entonces el cociente de la división D 3 4 siendo 4 un número natural por d será q q siendo q el
4 por d. cociente obtenido al dividir r
1.(. DIISI2N EUCL3DEA 0emos considerado 4asta aquí únicamente números positivos. 5amos 5amos a ampliar a4ora el campo de los datos que intervienen en la división considerando también los números negativos. )ean )ean D y d dos dos núme númerros ente enterros os con con d 0 . 6tili*ando la recta real es posible representar representar d y todos sus múltiplos. Tendremos Tendremos dos casos según sea d 0 ó d 0 / -d
0
d
2d
3d
d
0
-d
-2d
-3d
0
d 0 0ilda Mery 0errera %alomino %alomino
D
d 0 1acultad de 2iencias
D
%ág. "
PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS
Matemática Discreta
1.'. COCIENTE COCIENTE ENTERO ENTERO )ean D y d dos números naturales no nulos. )ea q otro número también natural tal que cumpla la relación.
qd D q 1 d
Entonces
qy q 1 reciben
los nombres respectivos de +o+!entes enteros "or dee+to y
divisor. "or e,+eso de la división de D dividiendo por a divisor. eciben los nombres nombres respectivos de
restos restos enteros enteros "or dee+to dee+to / "or "or e,+es e,+eso0 o0 los
números r y r 2 de,inidos por las igualdades r D qd
r q 1 d D qd d D d r 2
)e denomina d!#!s!-n entera de dos números naturales D y d 0 aquella operación aritmética cuyo ob-etivo es el cálculo de los cocientes y restos enteros. La división entera posee las propiedades propiedades que se enumeran a continuación. continuación.
1. La suma de los restos restos enteros por de,ecto y por e&ceso es igual al divisor. divisor. '. En toda división entera por de,ecto el dividiendo es la suma del divisor por el cociente.
(. )i se mult multip ipli lica can n divi divide dend ndo o y divi diviso sorr por por un mism mismo o núme númerro el coci cocien ente te permanece invariable y el resto quedará multiplicando multiplicando por ese número. número.
). )i en la división de D por d q es el cociente y r el resto entonces el cociente de la división D 3 4 siendo 4 un número natural por d será q q siendo q el
4 por d. cociente obtenido al dividir r
1.(. DIISI2N EUCL3DEA 0emos considerado 4asta aquí únicamente números positivos. 5amos 5amos a ampliar a4ora el campo de los datos que intervienen en la división considerando también los números negativos. )ean )ean D y d dos dos núme númerros ente enterros os con con d 0 . 6tili*ando la recta real es posible representar representar d y todos sus múltiplos. Tendremos Tendremos dos casos según sea d 0 ó d 0 / -d
0
d
2d
3d
d
0
-d
-2d
-3d
0
d 0 0ilda Mery 0errera %alomino %alomino
D
d 0 1acultad de 2iencias
D
%ág. "
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Matemática Discreta
En ambas representaciones la distancia que separa dos valores o puntos consecutivos de la recta real es
. )i sobre esa recta indicamos D se podrán representar dos
d
casos según que D coincida o no con un múltiplo de d. a7 Es D D . Entonces será D
qd r , r 0, q 89 es decir decir D
qd 89
b7 Es D d . Entonces sea qd el mayor múltiplo de d menor que D es decir el primer múltiplo de d situado en la recta real y a la i*quierda del valor D. llamado D
r
qd r , 0
a
la
distancia
r d , q
89
e&istente
entre
qd
y
D
tendremos
.
Los resultados anteriores anteriores constituyen el "r!n+!"!o de a d!#!s!-n e$+ídea.
Teorema. )i D y d son números enteros y r tales que
D
qd r y 0
r d
d 0 entonces e&isten dos enteros únicos q
. Los Los ente enterros q y r recib eciben en los los nomb nombrres
respectivos de +o+!ente y resto de la división de D por d.
1.). SISTEMAS SISTEMAS DE NUMERACI2N NUMERACI2N )istemas de numeración es el con-unto de reglas y convenios mediante los cuales pueden representarse representarse todas las cantidades utili*ando signos diversos. E-emplos son/ )istema decimal que es el usual empleado por el 4ombre sistema binario y sistema 4e&adecimal utili*ados en computación. )ean )ean m y b dos número númeross natura naturales. les. ecibe ecibe el nombr nombree de
s!stema de n$mera+!-n
"os!+!ona del número número m en base b la sucesión sucesión de símbolos símbolos
d n , d n 1 ,..., d 1 , d 0 , tales
que
i,
0
d i
0, y de ,orma que sea
m d n b n d n1 ... d 1b d 0
El número b recibe los nombres de
1
%ase0 raí4 o m-d$o del sistema de numeración o
representación.
Teore eorema ma.. )ean )ean m y b dos dos núme númerros natu natura rale les s b 1 . Ento Entonc nces es m tien tienee una una desco descomp mpos osic ició ión n únic única a en ,unc ,unció ión n de la base base b de la ,orm ,orma a ante anteri rior or
1
con
d i , i 0..., n números naturales menores que b.
1.*. N5MEROS PRIMOS 6 N5MEROS N5MEROS COMPUESTO COMPUESTO Dado un entero p 8: , p
1
dice que es un número "r!mo0 cuando no admite más
divisores en 8: que el ! y el propio p. número +om"$esto es el que no es primo. El conocer si un número es primo o no pasa por la aplicación de varios v arios teoremas que vamos a enunciar.
Teorema 1. Todo número compuesto 0ilda Mery 0errera %alomino %alomino
m 8: admite
el menos un divisor primo. 1acultad de 2iencias
%ág. #
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Este teorema -unto con los dos siguientes " y # permiten la descomposición ,actorial de un número natural en producto de ,actores primos.
Teorema '. Todo número compuesto
m 8: puede
e&presarse mediante el producto
de ,actores primos así. m p1 p2 pm
; si pi se repitiera veces e
e2
e
m p1 i p 2 p mm
Teorema (. La descomposición ,actorial de un número compuesto
m 8: en
,actores
primo es única. +sí es 3.600 2 4 32 5 2 %ara encontrar los ,actores primos de un número se divide éste y sucesivamente los cocientes obtenidos por los números primos posibles comen*ando por el más peque se procederá así/ != " >
"
>?
"
?"
#
"!
@
@ ! Entonces 168 2 3 7. 3
Teorema ) La sucesión e números primos es in,inita. Teorema * )i m es un entero compuesto m tendrá un divisor menor o igual a
m
.
El total de números primos menores o iguales a un entero m se indica por la ,unción
m que recibe el nombre de $n+!-n de números "r!mos.
1.7. MÁXIMO COM5N DIISOR )ean a y b números enteros d un entero no nulo. )i
d a y b b
de dice que d es un
d!#!sor +omún de a y de b. )i d es mayor que cualquier otro divisor común de a y b entonces se dice que d es el má&imo común divisor de a y de b y se indica por mcd a, b
d .
2omo consecuencia de la de,inición anterior podemos dar esta otra/ dos enteros a y b
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. ?
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se dice que son "r!mos reat!#os es ! decir mcd a , b
o "r!mos entre sí0 cuando su má&imo común divisor
1
El concepto anterior puede e&tenderse a más de dos números/ dados los enteros a1 , a 2 ...., a m se dice que son "r!mos
dos a dos0 si el má&imo común divisor de dos
cualesquiera de ellos es !. %ara encontrar el má&imo común divisor de dos enteros puede emplearse el
a8or!tmo
de E$+!des0 basado en el siguiente teorema. Teorema. )ean a y b dos números enteros a b A los divisores comunes a ambos son los comunes al menor de ellos y el resto r por de,ecto o por e&ceso de la división de ambos. Entonces para encontrar el mcd a , b , a número mayor
b se e,ectúa la división entera del
por el menor obteniéndose el cociente q1 y el resto r 1 / a
continuación se divide el divisor b por ese resto obtenido de ,orma que q 2 será el nuevo cociente y r 2 el nuevo restoA se continua así 4asta llegar a una división e&acta es decir a un resto r n
1
0 . El último resto no nulo será el mcd a , b . )i el último
resto ,uera ! a y b serían primos entre sí. +lgunas propiedades del má&imo común divisor son las siguientes/ !. 2ualquier divisor común de a y b es un divisor de mcd a , b ". 2onsiderando los números enteros 89 y dado que los divisores de un número a también a también lo son de a se cumplirá que mcd a , b
a, b
mcd
. #. )e veri,ica que mcd a , b
mcd a b, b
mcd a b, b
?. )i mcd a , b
d entonces mcd a4, b4
B. )i mcd a, b
d y a y b son múltiplos de C entonces mcd a / C , , b / C d / C
=. )i mcd a , b
d4
1.
d entonces mcd a / d , b / d
@. )i un número & es divisor del producto ab y mcd a, c
1
entonces
Teorema de Be4o$t. Dados dos números naturales a y b tales que
c b
mcd a , b
e&isten dos números enteros s y t tales que d as bt es decir mcd a, b
.
d
as bt .
Teorema. La condición necesaria y su,iciente para que un número m sea divisible por otro p es que el primero contenga todos los ,actores del segundo a,ectados de e&ponentes iguales o mayores.
Teorema. El má&imo común divisor de varios números es el producto de ,actores 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. B
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primos comunes a todos ellos tomando cada uno con el menor de los e&ponentes con los que ,igura en los números dados.
1.9. M3NIMO COM5N M5LTIPLO )ea a y b números no nulos. )ea l un múltiplo común de ambos. )e dice que l es el
mín!mo +omún d!#!sor de a y b cuando es el más peque
l .
+lgunas propiedades del mínimo común múltiplo son las que siguen. !. mcm a, b mcd a, b ". )i mcd a , b
ab .
1 entonces
mcm a , b
ab .
#. )i m es múltiplo común de a y b entonces m es múltiplo de mcm a, b . La ,orma más rápida de obtener el mínimo común múltiplo de varios números se apoya en el teorema que sigue.
Teorema. El mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los ,actores primos tanto comunes como no comunes a todos ellos y tomando cada uno con el mayor e&ponente con el que ,igura en los números dados.
1.:. ECUACIONES DIO;ÁNTICAS Las ecuaciones con coe,icientes enteros y cuyas soluciones se buscan sólo dentro de 89 se llama ecuaciones d!o
Teorema. La ecuación dio,ántica siendo
a& by
c
tiene soluciones en 89 si y sólo si
d c
d mcd a, b
En este caso todas las soluciones de la ecuación son de la ,orma
tb & & 1 d t 89 Donde &1 , y1 es una solución de ta y y1 d
a& by
c
1.=. CON>RUENCIAS 5amos a iniciar a4ora la teoría de las congruencias también conocida con el nombre de ar!tm?t!+a mod$ar o estudio de los
números +on8r$entes.
)i a y b son dos números enteros y m es otro entero positivo se dice que a y b son
+on8r$entes res"e+to de m-d$o m cuando divididos por él producen el mismo resto. La rea+!-n de +on8r$en+!a se e&presa como a 0ilda Mery 0errera %alomino
b mod m o bien a
b m .
1acultad de 2iencias
%ág. =
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Matemática Discreta
De la de,inición anterior se desprenden las propiedades que siguen. !. %ara todo a es a
a mod m7 propiedad re,le&iva.
". )i a b mod m7 entonces b a mod m7 propiedad simétrica. #. )i a b mod m7 y b c mod m7 entonces a
c mod m7 propiedad
transitiva. ?. )i un número a es primo con m todo b a mod m7 será también como m.
Teorema. La condición necesaria y su,iciente para que dos números a y b sean congruentes módulo m es que su di,erencia sea múltiplo de m es decir m a b . Otras "ro"!edades !. )i r es el resto de la división de a por m entonces a que r es el menor
r mod m7 y decimos
res!d$o no negativo de a módulo m.
". Dado & 89 se llama clase de & módulo m al con-unto de números enteros congruentes con & módulo m. Esta clase se designa por simplemente
&
&
m
, &m
o
si no 4ay lugar a error con el módulo. 2omo representante de
la clase se puede tomar el menor residuo no negativo r de cualquier elemento de la clase que será 0 r m .
#. El con-unto de clase módulo m se designa con 89 m 0 m , 1 m ,...., m 1 m
?. La congruencia módulo m es compatible con la suma y el producto de 89 es decir si a b mod m7 y c d mod m7 entonces a c b d mod m7 y ac bd mod m7
B. La propiedad cancelativa del producto se cumple si m es primo es decir si m es primo y ac bc mod m7 entonces a b mod m7 m =. )i ac bc mod m7 y d mcd c. m entonces a b mod . d
Dados varios números se dice que ,orman un
s!stema de números !n+on8r$entes
respecto del módulo m cuando los restos de la división de cada uno de ellos por m son todos distintos. +quellos sistemas que constan e&actamente de m términos reciben el nombre de s!stemas +om"etos de res!d$os.
Ar!tm?t!+a en 89 m La compatibilidad de la congruencia con la suma y el producto 89 permiten de,inir en 89 m la suma y el producto. a
0ilda Mery 0errera %alomino
c
clase de a c en 89 m
1acultad de 2iencias
%ág. @
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta a c clase de ac en 89
Divisores de cero y unidades en 89 m !
)i m no es primo en 89 m 4ay que
!
!
ab
0
"
mcd a, m
%ara cualquier m e&iste b
ab a
1
0
es decir e&isten
a , b
tales
0 en 89 m
a es divisor de
elemento
d!#!sores de
a
es
89 m
1
89 m divisores
inversible
de ! o
si
eemento !n#ers!%es. 6n
e&iste
b
89 m
tal
que
1 en 89 m . +l elemento b se le llama inverso de a y se le designa por
. En términos de congruencias se dice que
% es el !n#erso de a m-d$o
m. Este elemento es único módulo m. !
a
es inversible
!
)i
a, b
"
mcd a, m
1
son inversibles entonces
a b y a
1
también son inversibles.
Teorema de ;ermat )i p es primo y p no es divisor de a entonces
a
1
1 mod
p7.
1.1@. ECUACIONES DE CON>RUENCIA La aplicación de las congruencias a problemas de divisibilidad conduce al estudio de aquel tipo de congruencia en el que e&isten incógnitas a calcular. 6na congruencia entre e&presiones literales recibe el nombre de
e+$a+!-n de
+on8r$en+!a& los valores que la satis,acen son sus so$+!ones. Dados dos números a y b enteros otro m entero positivo y una variable
!n+-8n!ta & la
relación a& b mod m7 recibe el nombre de e+$a+!-n de +on8r$en+!a !nea.
Teorema. )ea la ecuación de congruencia
a& b mod m7. Dic4a ecuación tiene
!
)olución única si mcd a , m
!
6n total de d mcd a , m soluciones si
d
b
.
:inguna solución si d χ b
!
2uando
1
d b
indicando por & 0 una solución las d soluciones distintas respecto del
módulo m serán &0 m / d i , i 0,1,2,...., d 1 (
1.11. SISTEMAS DE CON>RUENCIAS LINEALES
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. >
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Matemática Discreta
& a1 mod m1 %
$ & an mod mn # & a2 mod m2
1
La solución de estos sistemas se apoya en el
Teorema +!no de resto. )ean
2 ,...., mn números enteros positivos primos m1 , m
dos a dos. El sistema anterior 1 tiene única solución módulo m m1 , m2
mn
es decir e&iste una solución &, 0 & m y cualquier otra será congruente módulo m con ella.
1.1'. RESTOS POTENCIALES Dado el número n recibe el nombre de
resto "oten+!aes de ese número respecto de un
módulo m los restos respecto de ese mismo módulo de las potencias sucesivas. n
0
1,
1
2
n , n , ...., n
4
%ara calcular esos restos basta con multiplicar por n el resto de n 4 y el resto del producto será el de n 4 1
PROBLEMAS RESUELTOS 1.1. 0allar
la
representación
10 011 1012 ,
31657 ,
usual
en
base
!'7
de
2002 11 , 12317 , 12315 .
RESOLUCI2N 10 011 101( 2
1 27
6
128 16 8
3 73
5
4
4 1
157
3
2
2
2 002(11
2 113 0 112 0 11 2 1.331 2 1.333
1 2.31(5
3
1 7 6 7 5 7
0
3 165 ( 7
1 231( 7
1
0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2
2
& 7 2 7 3 7 1
1.029
0
49 42 5 1.125
343 98 21 1 463
1 53 2 52 3 5 1 125 50 15 1 191
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág.
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
1.'. 0allar la representación en las bases "@ y !! de los siguientes números e&presados en base decimal/ "#@ =#? B=" " ''".
RESOLUCI2N !7 2omen*amos con la representación en base ". debemos e,ectuar sucesivas divisiones por " 4asta que el cociente sea '. 237
2 118 1
118
2 59 0
59
2 29 1
29
2 14 1
14
27
0
7
2 3 1
3
2 1 1
1 2 0 1
Los restos sucesivos que se 4an obtenidos constituyen la representación en base "/ 237 (10
11
101 101( 2
634 2 317 0
562 2 281 0
2.002
17 2 158 1
281 2 140 1
1.001 2 500
158 2 79 0
240 2 70 0
500
2 250 0
79 2 39 1
70 2 35 0
250
2 125 0
39 2 19 1
35 2 17 1
125
2 62 1
19 2 9 1
17 2 8 1
62
9 2 4 1
8 24 0
31 2 15 1
4 22 0
4 22 0
15
27 1
2 2 1 0
2 2 1 0
7
23 1
1 2 0 1
1 20 1
3
2 1 1
2 1.001 0
1
2 31 0
1 2 0 1
634 (10 2 002 (10
11 111
1
001 111 010 ( 2
562 (10
1
000 110 010 ( 2
010 010 ( 2
"7 La representación en base @ se obtiene por divisiones sucesivas por @ 634 237
7 90 4
562 7 8 2
2.002
7 286
0
7 33 6
90
7 12 6
80 7 11 3
286
7 40 6
12
7 1 5
11 7 1 4
40
7 5 5
33
745
4
70 4
237 (10
456 ( 7
1 7 0 1
634 (10 1 1564 ( 7
1 7 0 1
562 (10
1
432 ( 7
5
70 5
2 002 (10
1
560 (11
#7 %ara la representación en base !! se necesitan símbolo adicional para indicar el valor correspondiente a!' utili*aremos la letra +.
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !'
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta 2 002
237
11 21
634
6
21 11 1 10
57
1 11 0 1
237 (10 2 002 (10
1
11 57 11 5
562
7
182
51 11 4 7
2
5 11 0 5
1 +6 (11
11 51 1
634 (10
4
11 0
527 (11
4
16
11 182 11 16 11 1
0
6
5
1 11 0 1
562 (10
471(11
560 (11
1.(. 2on la notación
& m se indica que el número natural & está escrito en base m. se
pide/ !7 Demostrar que 121m
m 1
2 10
para m 3
"7 E&presar 169 m en base !' para m 10 .
RESOLUCI2N 2 !7 121m 1 m 2 m 1 m 1 (10 2
E&presiones que sólo es válida para m 3 pues en base " símbolo " no puede aparecer. 2 2 "7 169m 1 m 6 m 9m 6m 9 (10
1.). Encontrar el mcd de !'> (' y (!"= descomponiendo cada número en sus ,actores primos.
RESOLUCI2N !'
"
'
"
>
"
?B
#
B?
#
!B
#
=#
#
"@ #
B
B
"!
@
!
#
esta
"
= #
@
# 2on
!"
!
!
descomposición será/
% 2 90 2 3 5 $ mcd 108, 90, 126 2 32 18 126 2 32 7#
108 2 3 3
1.*. +plicando el algoritmo de Euclides calcular el mcd de ( !>@ y !B?. RESOLUCI2N. 2alcularemos los cocientes y restos sucesivos comen*ando por 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !!
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
la división de !>@ y !B?. !>@ ##
%or lo tanto mcd 187 , 154
!
?
!
"
!B? ""
## !!
"" '
!!
11 .
1.7. Encontrar el mínimo común múltiplo de B'' y !"' mediante la ,actori*ación de ambos en números primos. B'
"
!"
"
'
"
'
"
"B
B
='
"
'
B
#'
#
!"
B
!B
B
B
B
"B
!
% 3 3 3.000 mcm 500 , 120 2 3 5 $ 3 120 2 3 5# 500 2 5 2
B !
3
1.9. La suma de dos números es =' y su má&imo común divisor es !"F2uáles son estos númerosG
RESOLUCI2N. )ean & e y los números buscados
& y 60%
$ 1 d mcd & , y 12# %or
ser
d mcd &, y
& dc, y d c y mcd c2 c
e&isten
c
y
c enteros
tales
que
1.
60 & y d c c
12 c c ' c c 5
El sistema 1 se trans,orma así en/
c c 5%
$
mcd c, c 1# 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !"
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
Hue tiene dos soluciones
c 1 % c 2% y $ $ c 4# c 3# %or tanto 4ay dos soluciones al problema planteado/
& 12 % & 24% $ y $ y 48# y 36# 1.:. El producto de dos números naturales es !."=' y su mínimo común múltiplo es =#'. F2uáles son los númerosG
RESOLUCI2N Llamemos & y e y a los números buscados. )egún el enunciado tenemos
&y 1.260 %
$ l mcm &, y 630# Llamando d al má&imo común divisor de & e y se tiene d mcd &, y e&isten c y c tales que/ y d c
,
& dc
1
, mcd c, c
1
)abemos que &y
mcd &, y mcm &, y
d l
Luego 1.260
d 630 , de donde, d 2
;perando en las e&presiones de 1 resulta/ &y
dcd c
2
d cc de donde
1.260 4 cc
%or tanto las condiciones para c y c son/
cc 315 %
$ mcd c, c 1# Este sistema tiene cuatro soluciones 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !#
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
!7 c 1,
c 3 2 5 7 315
"7 c 3 2 ,
c 5 7 35
#7 c 5,
c 3 7 63
?7 c 7,
c 3 2 5 45
2
Hue proporcionan las cuatro pare-as de números que cumplen las condiciones del enunciado !7 & 2,
y 630
"7 & 18,
y
#7 & 10,
y
?7 & 14,
y 90
70
126
1.=. 0allar los divisores comunes de #'' ?"' y =='. ordenarlos de menor a mayor. RESOLUCI2N En primer lugar calcularemos el mcd de los tres números dados. #'
"
?"
"
== "
'
"
'
"
'
"
!B
#
"!
#
##
#
'
B
'
B
'
B
@B
B
!'
@
!= !!
"B
B
B
B
#B
BB
!
@
!!
!
!
% 2 2 420 2 3 5 7 $ mcd 300, 420, 660 2 3 5 60 2 660 2 3 5 11#
300 2 3 5 2
2
Los divisores comunes de los tres números dados son los divisores de ='. %ara encontrarlos ordenadamente basta tener en cuenta que cada uno de esos divisores es el producto de tres ,actores cada uno elegido sucesivamente de los con-untos
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !?
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
1, 2, 2 , 1, 3 , 1, 5 2
%or lo tanto los divisores pedidos tanto positivos como negativos se rán/
1.1@.
1 1 1 1
2 1 1
2
4 11
1 3 1 3
2 3 1
6
4 3 1
1 1 5 5
2 1 5
10
4 1 5
20
1 3 5 15
235
30
4 35
60
4 12
Demostrar que si a divide a la suma b c de dos enteros y a uno de los
sumandos entonces también divide a otro a
89 0
RESOLUCI2N 8ndicando por r cualquier valor entero
0, 1, 2,...,
será
b c ar
I si suponemos que a divide a b b as
s entero
estando ambas igualdades
b c b c a r s , c
r s
, a c a
1.11. +plicar el principio de la división euclídea para encontrar el cociente q y el resto r a partir de los dividendos D y divisores d que se indican. Téngase en cuenta que debe cumplirse
0
r d
. D
d
"@
!#
("@
!#
"@
(!#
("@
(!#
RESOLUCI2N a7
27
b7
27
2 13 1
, q
3 13 12,
2, r 1
q
,
3,
0
1
r 12
,
13
0
12
13
)i 4ubiéramos 4ec4o
27
2 13 1
1
, q
2,
r
1
%ero entonces no se satis,ace la condición/
c7
27
2
13 1
0ilda Mery 0errera %alomino
, q
0(
1
2, r 1
, 0
13 1 13
1acultad de 2iencias
%ág. !B
PROBLEMAS RESUELTOS d7
27
3 13
Matemática Discreta
12
,
q
3, r 12
, 0
12
13
)i 4ubiéramos 4ec4o
27
2 13
1
,
q
2, r
1
,
0
1
13
%ero entonces no se satis,ace la condición ya que 0(
1.1'.
1 13
2omprobar que los números = !' y !B son primos entre sí si ser primos dos a
dos.
RESOLUCI2N %ara comprobar que los tres números dados son primos entre sí calculamos su má&imo común divisor/
6 23
% 10 2 5$mcd 6, 10, 15 1 luego son primos 15 3 5 # %ero mcd 6, 10 2 y mcd 10, 15 5 luego no son primos dos a dos. 1.1(.
Dados a
198
y b
74 apoyándose en el algoritmo de Euclides encontrar
los números enteros s y t tales que cumplan la condición de Je*out
d mcd a , b as bt
RESOLUCI2N El algoritmo de Euclides obtiene los cocientes y restos enteros siguientes/ " @? "?
!> B'
! B' "
" "? '
!" "
Estas operaciones pueden disponerse así/ 198
74
50 24
%or lo que d mcd 198, 74
74 2 50
50 1 24
24 2 2 2 12 0
2.
%ara encontrar s y t coe,icientes de Je*out procederemos a4ora así comen*ando en la penúltima igualdad y 4acia la primera.
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !=
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta 2 5 24 2
50 74 50 2 50 3 74 2 198 74 2 3 74 2 198 3 74 8
%or tanto s
3 y t
8 .
También cumple la condición de Je*out la siguiente igualdad/ 2
1.1).
mcd 198, 74
198 3 744 74 8 1984 ,
)i a y b son enteros tales que mcd a , b
a7 mcd a b, a
1
b7 mcd a b, a
1
1
4
89
demostrar que/
ó 2
RESOLUCI2N a7 %rimera demostración %ara demostrar que mcd a b, a !7
1 a
"7
)i
d
1 a
b y
a
b y
1 necesitamos
probar que/
que es obvio y
d a
entonces
d
1
d a b%
$ ' d a b a ' d b #
d a
Es decir d es un divisor común de a y b. I por ser mcd a, b d
1
1
resulta
como queríamos.
)egunda demostración mcd a, b
1
"
E&isten r s enteros tales que ar bs 1
;perando adecuadamente en esta igualdad
1 ar bs ar br br bs a b r b r s
ar as as bs a b s a r s
;btenemos que
mcd a b, b mcd a b, a 1
b7 )ea d un divisor común de a b y a b
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !@
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
d a b% sumando d 2a %
$ $ d a b# sumando d 2b# 2omo mcd a, b
1,
a y b no
%or tanto mcd a b, a b
1.1*.
1
tienen ningún ,actor común luego
d 2
ó 2
Demostrar que el cuadrado de todo número entero es de la ,orma 4 C ó 4 C
1
RESOLUCI2N )ea a un entero cualquiera. +l e,ectuar la división entera de a por ? el resto puede tomar los valores ' ! " y #. a
4 q
r
r
0,1 ó 3
2 2 )i r 0 entonces a 4 4q
4q 2 ) 4 q 4q 3 4 4q
)i r 1 entonces a 2 4q 1 4 4q 2 2q 1 2
)i r 2 entonces a 2 )i r 3 entonces a 2
2
2
4q 1
2
2
6q 2 1
En los casos ! y # el cuadrado es de la ,orma ?C y en los casos " y ? el cuadrado es de la ,orma 4 C 1 .
1.17.
6sar el algoritmo de Euclides para calcular d mcd a, y encontrar s y t
tales que
d
as bt en cada uno de los siguientes casos/
!7 a 63;
b 28 .
"7 a 56,
b 27 .
#7 a 721,
b 448 .
RESOLUCI2N !7 Disponemos las operaciones del algoritmo de Euclides así/ 63 28 2 7 * 28 7 4 0
+sí tenemos que d mcd 63, 28
7.
%ara encontrar s y t partimos de la penúltima igualdad que en este caso es única
7 63 28 2 63 2 28
%or tanto
s
1
y t
2
+ partir de estos coe,icientes que cumplen la igualdad d as bt podemos 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !>
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
encontrar todos los que la cumplen
7 63 2 28 63 63 284 63 284 2 28
631 284 28 2 684
4 89
Los valores de s y t que cumplen d as bt son/
4 89 t 2 634
s 1 284
"7 2alculemos d mcd 56, 27 por el algoritmo de Euclides 56
27 2 2
27
2 13 1 *
2
1 2
0
El má&imo común divisor es el último resto no nulo d 1 . %ara 4allar s y t partimos de la penúltima igualdad y vamos sustituyendo en la cadena de igualdades los sucesivos restos
1 27 2 13 27 56 27 2 13 56 13 27 17
%or tanto s
13
y t 27
Todos los valores que cumple 4 56 s 27t son así/
s 13 274 4 89 t 27 564 #7 2alculemos d mcd 721, 448 721 448 1 273 448
273 1 175
273 175 1 98 175 98 1 77 98
77
77 1 21 21 3 14
21 14 1 7
*
147 2 0
+sí pues d mcd 721, 448
7
2alculemos los coe,icientes s y t a partir de la penúltima igualdad y sustituyendo los sucesivos restos 4asta la primera
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. !
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
7 21 14 1 21 77 21 3 1 21 4 77 1 98 77 1 4 77 1
98 4 77 5 98 4 175 98 1 5 98 175 5 273 175 1 175 5 273 9 175 14 +3 9 448 273 1 14 273 23 448 14 721 448 1 23 448 14 721 23 448 37
%or tanto s
23 t
37
Los valores que cumplen 7 721 s 448t son/
s 23 4484 4 89 t 37 7214 1.19.
%robar que si
a c,
b c y mcd a, b
mcd a, b
RESOLUCI2N 2omo 1 ar bs c
am y c
luego
1 entonces ab c
1
car cbs c.
e&isten
r , s
además
89
tales
a c, y b c
que luego
bn . )ustituimos estos valores en la e&presión anterior/
c bn ar am bs ab nr ab ms
2omo ab divide a ambos sumandos también divide a la suma es decir ab c,
1.1:.
Demostrar que si n 1 y n no es primo entonces e&iste un primo p que
divide a n y tal que p 2
n.
RESOLUCI2N )i n no es primo en su descomposición en ,actores primos 4abrá al menos dos ,actores primos p1 y p2 que pueden ser iguales7. Tendremos así que/ p1 p 2 n
Llamando p pues
1.1=.
p n
mín p1 , p 2 esté primo será el requerido por el enunciado
2 y p
p1 p 2
n.
Estudiar si son o no primos los números >!! ?=@ y !!.
RESOLUCI2N )egún el e-ercicio anterior si n no es primo debe e&istir un primo p divisor de n y tal que
p
n
+sí para comprobar que >!! es un número primo basta comprobar que no es divisible por los primos menores que
811 .
Es decir por los primos " # B
@ !! !# !@ ! "#. E,ectuadas las operaciones se comprueba así que >!! es primo. 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. "'
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
Del mismo modo comprobamos que ?=@ es un número primo porque no es divisible por los primos menores que
que son/ " # B @ !! !# !@ y
467
!. I también !! es un número primo. F2uántas comprobaciones se 4an de e,ectuar en este númeroG.
1.'@.
F2uántos divisores positivos tiene el número 29338848000 2 8 35 5 3 7 3 11 G
F2uántos son múltiplos de G Fy de #G
RESOLUCI2N El número de divisores positivos es
8 1 5 1 3 1 3 11 1 1.728 2 %ara que un divisor sea múltiplo de debe contener a los ,actores 3 y 11 . +sí
el número de estos divisores es el mismo que el del número 2 8 33 53 7 3 es decir
8 1 3 1 3 1 3 1 576 :inguno de los divisores será múltiplo de # porque no contiene al ,actor !#.
1.'1.
Demostrar que si 2 n 1 es primo entonces o bien n es impar o bien es n 2
RESOLUCI2N.
)upongamos que n es par distintos de " natural y
llegaremos a una contradicción. +sí por reducción al absurdo. Demostramos el resultado. )i n es par. )erá de la ,orma n) 2C como C 1 por ser n 2
2 n 1 2 2C 1 2 C 1 2 C 1
I si C 1 ésta es una descomposición en ,actores propios distintos de ! de 2 n 1 por lo que 2 n 1 no sería primo en contradicción con la 4ipótesis de partida.
1.''.
Estudiar si son ciertas las siguientes a,irmaciones/
a7
m 89 , 2m y 4m 3 son
b7
m
89 ,
primos entre sí.
2m 1 y 3m 2 son primos entre sí.
RESOLUCI2N a7 :o es cierta pues para m
3, 2 3 y 4 3 3 es decir = y !B no son primos
entre sí. b7 %ara demostrar que 2 m 1 y 3m 2 son primos entre sí basta encontrar r , s
89 tales
que 2m 1 r 3m 2 s 1 .
Tomando r 3, s
%or tanto mcd 2m 1, 3m 2 0ilda Mery 0errera %alomino
3 3m 2 2 1
2 se tiene que 2m 1 1
m 89
1acultad de 2iencias
%ág. "!
PROBLEMAS RESUELTOS 1.'(.
Matemática Discreta
2omprobar que si n es un entero positivo entonces ninguno de lo n enteros
n 1! 2, n 1! 3, n 1! 4,....., n 1! n 1
consecutivos
es
un
número primo.
RESOLUCI2N Los números n 1!
C ,
C 2,..., n 1 son
compuesto
porque
n 1! C n 1 n n 1...... C 1 C C 1.......2 1 C C n 1 n. .... . C 1 C 1 .... 2 1 1 Es divisible por C.
1.').
Demostrar que si p es un número primo distinto de " y B entonces o bien p 2
1
2 o bien p
1 es
divisible por !'.
RESOLUCI2N La última ci,ra de un primo p distinto de " y de B puede ser ! # @ ó . %or tanto la última ci,ra de p 2 sólo puede ser ! ó . en el primer caso p 2 1 será
1.'*.
múltiplo de !' y en el segundo )erá p 2
0allar las soluciones enteras de la ecuación 14 &
1 múltiplo
10 y
de !'.
4
RESOLUCI2N La ecuación dio,ántica a& by c tiene soluciones enteras si y sólo si a mcd a, b c . Es la ecuación dada mcd 4, 10 2 4 luego la ecuación sí tiene soluciones enteras. %ara 4allarlas 4ay que encontrar una solución particular &1 , y1 en primer lugar. )impli,icamos la ecuación inicial dividiendo por 2
mcd 10, 14
1
4 & 5 y 2
;bteniendo otra ecuación que es equivalente a la inicial pero con los coe,icientes primos entre sí. Jusquemos una solución de la ecuación 7 & 5 y
1.
2omo mcd 7, 5
1
los
valores de & e y son aquellos cuya e&istencia asegura el Teorema de Je*out. +sí una solución de la ecuación 7 & 5 y
1 es
por e-emplo
& 3 y 4 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. ""
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
Es evidente que si multiplicamos estos valores por " obtendremos una solución de la ecuación 1
& 6 y 8 1
1
6na ve* obtenida una solución particular &1 , y1 de la ecuación 1 todas las soluciones de la ecuación son de la ,orma
& 6 5t
t 89 y 8 7t
1.'7.
0allar las soluciones enteras de la ecuación 16 26 y
RESOLUCI2N. 2omo
mcd 16, 26
es
un divisor de !? la ecuación tiene
soluciones enteras. )impli,iquemos por mcd 16, 26 8 & 13 y
14 .
7
2 obteniendo
1
6na ecuación equivalente a la dada con los coe,icientes primos entre sí. 2omo mcd 8, 13
1
el teorema de Je*out asegura la e&istencia de solución para la
ecuación 8 & 13 y
6na solución de 2 es & 5, y
7
2
3 por lo que una solución particular de
1
es
&1 5 35 y1 3 7 21 I todas las soluciones de la ecuación dad son/
& 35 13t
t 89 y 21 8t
1.'9.
FHué condición tienen que veri,icar b y K para que la recta de ecuación
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. "#
PROBLEMAS RESUELTOS 87 & by
K no
Matemática Discreta
pase por ningún punto de coordenadas enterasG
RESOLUCI2N La recta de ecuación coordenadas enteras
87 & by
m, n si 87 m bn K
solución de la ecuación dio,ántica 87 & by
K pasa
por el punto de
es decir el par
K .
m, n es
una
Esta ecuación tiene soluciones
enteras si y sólo si mcd 87, b e sun divisor de K. por tanto la condición que deben veri,icar b y K para que la recta de ecuación 87 & by
K no
pase por
ningún punto de coordenadas enteras es que mcd 87, b no sea divisor de K.
1.':.
2alcular/ 8 mcd 3, 15 mod 3, 14 mod 6 . 2omprobar/ si 8 14 mod 3 , si 8 15 mod 3 .
RESOLUCI2N a7 8 mod 3 : > "
# "
!B '
# B
'
8 mod 3 2
15 mod 3
b7 > "
!? "
# "
'
15 mod 3
# ?
0
' estos iguales '
8 14 mod 3
También es 14 8 6 3 luego son congruentes. > "
# "
!B #
# ?
' estos distintos '
8 14 mod 3
2omo 15 8 7 3 no son congruentes.
1.'=.
Encontrar el menor residuo no negativo módulo @ de los números/ 23, 35,
48,
64
RESOLUCI2N. E,ectuamos la división entera de cada uno de los números por @. El resto que se obtenga será el menor residuo no negativo. 23 7 3 2
,
el menor residuo es 2
35 7 5 0
,
el menor residuo es 0
,
el menor residuo es 1
7 1 64 7 10 6
1.(@.
48 7
, el
menor residuo es 6
Encontrar de ,orma general números congruentes con !! mod B7.
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. "?
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
RESOLUCI2N. Llamemos & a esos números congruentes con !! respecto del módulo B. Entonces se tendrá/ 5
& 11
, & 11 5C
, &
11
5C
Dando a4ora valores a C se obtendrán números & congruentes con !!/ C ' ! " #
& !! != "! "=
1
2
3
4, 1, 6, 11, 16, 21, 26,
= !
1.(1. a7 2omprobar si los números
'
4
14, 29,
12,
3, 32,
9, 55 ,orman un sistema
completo de residuos módulo @. b7 2omprobar si los números 12,
5,
17,
15, 4,
7 ,orman un sistema
completo de residuos módulos =.
RESOLUCI2N a7 6n sistema completo de residuos módulo @ está ,ormado por @ enteros que son incongruentes dos a dos módulo @. 2omprobamos que los números del enunciado cumplen esta condición pues
3 3 mod 7 55 6 mod 7
14 0 mod 7
b7 En este
1.('.
5
17
,
29 1 mod 7
, 32 4 mod 7
caso los números dados
12 2 mod 7 9 5 mod 7
,
,
no cumplen
y
la condición pues
mod 6 .
2onstituir la tabla de las operaciones suma y producto en 89 6 y 89 7 .
RESOLUCI2N. Escribamos los elementos de 0, 1, 2, 3, 4, 5
89 6
89 6
en
la
,orma
.
3
0
1
2
3
4
5
.
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
0
1
0
1
2
3
4
5
2
2
3
4
5
0
1
2
0
2
4
0
2
4
3
3
4
5
0
1
2
3
0
3
0
3
0
3
4
4
5
0
1
2
3
4
0
4
2
0
4
2
5
5
0
2
3
4
5
0
5
4
3
2
1
0ilda Mery 0errera %alomino
1
89 6
1acultad de 2iencias
%ág. "B
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
Los elementos de 89 7 se escriben en la ,orma
0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6
sin
poner subíndices para evitar con,usión.
89 7
3
0
1
2
3
0
0
1
2
1
1
2
3
5
6
.
0
1
2
3
4
5
6
3
4 4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
4
5
6
0
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
2
4
6
1
3
5
89 7
2
2
3
4
5
6
0
1
3
3
4
5
6
0
1
2
3
0
3
6
2
5
1
4
4
4
5
6
0
1
2
3
4
0
4
1
5
2
6
3
5
5
6
0
1
2
3
4
5
0
5
3
1
6
4
2
6
6
0
1
2
3
4
5
6
0
6
5
4
3
2
1
)abiendo que 123456 7 mod 10 ,90123 3 mod 10 , 2468 18 mod 25
1.((.
y que 13579 4 mod 25 calcular el valor del menor residuo no negativo * tal que/ i. 123456 & 90123 * mod 10 ii. 2468 & 13579 * mod 25
RESOLUCI2N. +plicamos el siguiente resultado/
$ ' ac bd mod m c d mod m # a b mod m %
i7 )e aplica el resultado tomando a
1234567,
b
7, c
90123, d )3, con lo
que 1234567 & 90123 7 & 3 mod 10
ii7 +4ora es a
2468, b
18,
-468
c
13579,
& 13579
d 4
18
1.().
1 mod 10
& 4 mod 25
72 mod 25
12 mod 25
)ea & n , & n 1 , ...., &10 10 la representación en base !' de un entero positivo &. Demostrar que & & 0 &1 & 2 ... 1 & n mod 11 . 6tili*ar este n
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. "=
PROBLEMAS RESUELTOS resultado
Matemática Discreta
para
comprobar
!">#@?=BB=?@#>"! son
si
los
números
!"!#!?!B!=!@!>!
y
divisible por !!. Fque ci,ra que ,alta en la
igualdad >@!@>"!"'' !?NG
RESOLUCI2N. )i & n , & n 1 , ...., &10 10 es la representación en base !' de &
entonces & &0 10 &1 10 2 &2 ... 10 n & n
!7 )i C es par entonces 10 C 10 1 20 C
2 s
mod 11 pues
1
1 102 1 10 2 s 1 10 2 s2 10 2 1 es múltiplo de !!.
C "7 )i C es impar entonces 10
1
mod 11 pues
10 C 1 20 2 s 1 1 10 1 10 2 s 10 2 s 1 1
es múltiplo de !!
utili*ando !7 y "7 tenemos que
& &0 10 &1 10 2 & 2 10 3 &3 10 n & n &0 &1 & 2 &3 1 & n
%or tanto &
es
divisible
por !! si y
sólo si
lo es
n
mod 11
la suma
&0 &1 &2 &3 1 & n n
6tilicemos este resultado con los números del enunciado/ 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 36
:o es múltiplo de !! luego tampoco lo es el número !"!#!?!B!=!@!>!. 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 6 4 7 3 8 2 9 1 0
es múltiplo de !! luego también lo es el número !">#@?=BB=?@#>"!. 1inalmente estudiamos la igualdad >@!@>"!"'' !?N. Es obvio que !?N Es un múltiplo de !! luego también lo es el número >@!@>"!"''. si llamamos & a la ci,ra que ,alta se cumplirá que 0 0 2 1 & 2 8 7 1 7 8 2 & es un múltiplo de !!. La ci,ra. Hue ,alta es .
1.(*.
2omprobar mediante un e-emplo que en 89 6 , 89 8 , y 89 15 e&isten divisores de ' es decir elementos & y tales que &y
0 siendo &
0
y .
FE&iste algún
en 89 7 G
RESOLUCI2N. En 3 2
89 6 los elementos
0 mod 6 es decir 3
En 89 8 los elementos decir
4
6
0 en
2
4 y 6
3 y 2 son
divisores de ceros pues
0 en 89 6
son divisores de cero pues 4 6 0 mod 8 es
89 8
En 89 15 los elementos # y !' son divisores de cero pues 3 10 0 mod 15 es 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. "@
PROBLEMAS RESUELTOS decir
3
10
Matemática Discreta
en 89 15
0
89 7 no 4ay divisores de cero porque @ es primo. ecordemos que a es divisor
de cero en 89 m si y sólo si mcd a, m
1.(7.
1
0allar los elementos inversibles de 89 6 , 89 7 y 89 8
RESOLUCI2N. Los elementos inversibles de 89 m son los elementos 89 m tales que mcd a , m
1
1 , 5. son 1, 2, 3, 4, 5, 6 . son 1, 3, 5, 7 .
Los elementos inversibles de 89 6 son Los elementos inversibles de 89 7 Los elementos inversibles de 89 8
1.(9.
0allar los inversos de/ a7 6 en 89 11 b7 6 en 89 17 c7
3 en 89 10
d7 5 en 89 12 e7 2 en 89 11 ,7
7 en 89 15
g7 7 en 89 16 47
5 en 89 13
RESOLUCI2N a7 El inverso de
en 89 11 o módulo !!7 será b tal que 6b 1 mod 11 .
6
1ácilmente comprobamos que 6 2 12 . Luego 6 2 1 mod !!7 y así 2 es el inverso de
6
en 89 11 .
b7 El inverso de 63
6
en 89 17 es
3.
%orque 6 3 1 mod !@7 o bien
1 en 89 17 .
c7 El inverso de mismo 3 7
en 89 10 es
3
1
7
porque 3 7 1 mod !'7 o lo que es lo
en 89 10 .
d7 El inverso de 5 en 89 12 será b tal que 5b
1 mod
!"7. ; e&presándolo de
otra manera 5b 1 es múltiplo de !". Es decir 5b 1 12 C
2omo mcd 5, 12 0ilda Mery 0errera %alomino
1
'
5b 12 C 1
la e&presión anterior es la correspondiente al teorema 1acultad de 2iencias
%ág. ">
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
de Je*out y los coe,icientes b y C se obtiene con el algoritmo de Euclides
&2 5 2 2 % $ ' 1 5 2 2 5 212 5 2 2 12 5 5 5 2 2 1# %or tanto b 5 . El inverso de e7 El
inverso
26
de
89 12 es 5 .
2
en
89 11 es 6
porque
1 mod 11 , 0 bien, 2 6 1 89 11
,7 El inverso de 7 &
5 en
1
7
en 89 15 será & tal que 7 &
15 y o bien 7 & 15 y
mod 15 .
1
Es decir
1
2alcularemos los coe,icientes & e y aplicando al algoritmo de Euclides al cálculo de mcd 7, 15
1
15 7 2 1 , 7 2 15 1 1
+sí
2
pues
&
2
y el inverso de
mod 15 es decir
13
el inverso de
2
13 en 89 15
es
2
en 89 15 . 2omo
podemos decir que
13
es
7 en 89 15 .
g7 El inverso de 7 7 & 16 y
7
en 89 16
1 epitiendo
será & tal que
7 &
1 mod 16
o bien
el proceso descrito en ,7 por ser mcd 7, 16
1
resulta
% $ ' 1 7 2 3 7 16 7 23 7 7 16 3 7 2 3 1#
16 7 2 2
+sí & 7 y el inverso de 7 en 89 16 es 7 47 epitiendo el proceso anterior el inverso de 5 en 89 13 será & tal que 5 & 13 y
1
% 5 3 1 2 $ 3 2 1 1#
13 5 2 3 mcd 13, 5
+sí pues &
1.(:.
5 .
1
El inverso de 5
5 1 3 2 5 1 13 5 2 2 5 5 13 2
1 3 2 1 3 5 3 1
'
en 89 16 es 7
esolver el siguiente sistema de ecuaciones en 89 7 y en 89 5
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. "
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
& 2 y 4 4 & 3 y 4 RESOLUCI2N esolvemos el sistema en 89 7
% % % $ ' $' $' &4 y3 4# &4 y3 4 # &4 y3 4#
& y2 4 &4 4 y2 4 4 &4 y 2
)i a la segunda ecuación le restamos la primera obtenemos 2 y
2
'
)ustituyendo en la ecuación & 2 y
4 2 y
2, y
'
y
1
4 el valor de t resulta
& 2 1 4
)istema tiene solución única &
42
'&2
1.
esolvemos el sistema en 89 5
% &4 4 y2 44% &4 y3 1% $ ' $' $ &4 y3 4# &4 y3 4 # &4 y3 4#
& y2 4
El sistema no tiene solución en 89 5 . Dado un número a recibe el nombre de inverso de a módulo m otro a tal
1.(=.
que a a
1
mod m
2alcular los inversos de/ = módulo !! # módulo > " módulo >.
RESOLUCI2N a7 El inverso a debe cumplir/ 6a 1 mod 1
b7 8dem/ 3a mod 8 c7
'
8dem/ 2 a 1 mod 8
8
'
2a 1
'
8
11 '
6a 1 ' a 2 a
2 a 1 .
3
%ero como a4ora 2a 1 es un
número impar no es posible encontrar a . El inverso no e&iste. 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. #'
PROBLEMAS RESUELTOS 1.)@.
Matemática Discreta
)i p es primo demostrar que en 89 p los únicos elementos que coinciden con su inverso son 1 y
1.
RESOLUCI2N. )i p es primo todos los elementos no nulos de
89 p
admiten
inverso. a
)ea aa
+sí
89 p
un elemento que coincide con su inverso es decir o lo que es lo mismo aa
1 en 89 p
p a
2
1 es
decir
1
mod p .
a 1 a 1
p
2omo p es primo debe dividir a uno de los dos ,actores o bien bien
p
a 1 o
p
a 1
)i
p
a 1 entonces
)i
p
a 1 entonces
a
a
1 mod p , o sea, a
1
mod
p , o sea, a
1 en 89 p
1
en 89 p
1.)1. a7 2omprobar que los enteros menores que !! e&cepto el ! y el !' pueden agruparse de dos en dos de manera que cada uno de ellos es el inverso del otro en 89 11 c7 6sar el apartado a7 para demostrar que 10!
1
mod 11 .
RESOLUCI2N a7 2omo !! es un número primo todos los elementos no nulos de 89 11 son elementos inversibles. 5eamos cuál es el inverso de cada uno &1
1 mod 1
,
luego 1 es el inverso de 1 en 89 11
mod 11 , 3 4 1 mod 11 , , . 9 1 mod 11 7 8 1 mod 11 , 10 10 1 mod 11 , 26
1
luego 6 es inverso de 2 y 2 es inverso de 6 en 89 11 luego 3 es inverso de 4 y 4 es inverso de 3 en 89 11 luego 5 y 9 son inversos uno del otro en 89 11 luego 7 y 8 son inversos duno del otro en 89 11 luego 10 es inverso de sí mismo en 89 11
b7 10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 8 7 6 4 3 2 1 mod 11 , ya
que
es
9 5 1 mod 11
I si seguimos agrupando los ,actores por pares " y = # y ? @ y > llegamos a/
10! 10 mod 11
1.)'.
y como 10
mod 11 resulta 10! 1 mod 11
1
Demostrar utili*ando el método del e-ercicio anterior que si p es primo entonces
p 1! 0ilda Mery 0errera %alomino
1
mod p 1acultad de 2iencias
%ág. #!
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
6tili*ar este resultado para encontrar el resto de dividir !BN %or !@.
RESOLUCI2N. )i p es primo los únicos elementos de su inverso son
1
y
que coinciden con
1 . Esto quiere decir que los restantes elementos de
se pueden agrupar por pare-as
89 p
c, d
tales que
c d 1 en 89 p
89 6
es decir
cd 1 mod p .
p 1! p 1 p 2 p 3....3 2 1
+sí en el producto
todos los
elementos salvo ! y p 1 pueden empare-arse de ,orma que el producto de cada par es congruente con ! módulo p. )erá por tanto/
p 1! p 1 1 mod p y como p 1 1 mod p p 1! 1 mod p Este resultado se conoce como Teorema de Oilson. +plicaremos el teorema para 4allar el resto r de la división de !BN %or !@. si e&presamos esto en ,orma de congruencia tendremos
15! r mod 17
Multiplicamos esta congruencia por != es decir por 16
16! 16r mod 17
El teorema de Oilson para p 16 r
1
17
16
mod 17
dice que 16!
1
mod 17 luego
mod 17
16r 1 mod 17
'
16r mod 17
r 1
'
El resto buscado es !.
1.)(.
Dada la ecuación de congruencia lineal 3 &
mod 13 anali*ar si tiene
5
solución y en caso a,irmativo resolverla.
RESOLUCI2N. En primer lugar calcularemos
13 3 4 1%
$' 3 1 3 0#
d mcd 3,13
mcd 3,13 1 ' Tiene solución única
2álculo del inverso de # módulo !#/ 3a
1
mod 13 ' 13 3a 1
'
a
9 es un inverso
%or lo tanto 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. #"
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta 9 3 &
1.)).
9 5 mod 13
&
'
6
mod 13
esolver las siguientes ecuaciones de congruencias/
mod 11 4 & 3 mod 7 3 & 9 mod 15 8 & 2 mod 10 5 & 7 mod 15 5 &
a7 b7 c7 d7 e7
1
RESOLUCI2N 5 &
a7 mcd 5, 1
1
1
mod 11 luego B tiene inverso módulo !!
5 9 11 4 1
luego el inverso de B módulo !! es
Multiplicamos por la congruencia 9 5 &
9 1 mod 11
'
45 &
9 mod 11
'
2omprobamos que la solución es única pues mcd 5, 11
4 &
b7
mcd 4,7
1
3
&
9
mod 11
1.
mod 7
luego ? tiene inverso módulo @A el inverso es " pues
1 1 y así a 2 1 mod 7 .
42 7
Multiplicando en la congruencia por "
2 4 & 2 3 mod 7 3 &
c7
mcd 3, 15
3 9
9
' & 6 mod 7
mod 15
luego la ecuación tiene soluciónA además el número
de soluciones será mcd 3, 5 3 . E&presando la congruencia en ,orma de ecuación dio,ántica tenemos que 3 & 15 9
Luego & 5C 3
C
89 .
Las soluciones módulo !B son 3, 8, 13
Hue corresponde a &0 , &0
15 3
, &0
2 15 3
en la discusión general de la
solución de una congruencia contenida en el resumen. d7 0ilda Mery 0errera %alomino
8 &
2 mod 10
1acultad de 2iencias
%ág. ##
PROBLEMAS RESUELTOS
mcd 8, 10
Matemática Discreta
2 2
luego la ecuación tiene dos soluciones.
:o se puede multiplicar la congruencia por el inverso de > módulo !' porque no e&iste. %lanteamos la congruencia como ecuación dio,ántica/ 8 &
10 y
2
4 &
'
5 y 1
6na solución no 4ace ,alta más7 es &
4 & 5 y
'
4, y
1
3 . 2on esto las soluciones
de la congruencia son módulo !'7/ 10
4, 4
mcd 8, 10
Es decir ? y . 5 &
e7 2omo mcd 5, 15
1.)*.
7 mod 15
5 no es divisor de @ la ecuación no tiene solución.
6sar el teorema de 1ermat para calcular los restos de dividir 3 47 entre 23 y 6 692 .
RESOLUCI2N )i p es primo y p no es divisor de a el teorema de 1ermant 1 dice que a p
1
mod 9
+plicando el teorema para p
23, a
3 22
3 tendremos que
mod 23
2omo el e&ponente que nos dan es ?@ e,ectuamos la división de ?@ por "" 47 22 2 3
' 3 47 3 22
2
32
%or las propiedades de las congruencias
3
% $ ' 3 4 mod 23 3 4 mod 23 #
22 2
1 mod 23
47
3
Luego el resto de dividir 3 47 entre "# es ?. %ara la segunda división aplicamos el teorema a p 6 111
1
mod 11 ,
o sea 610
1
11,
a
6
mod 11
+4ora dividimos B" entre !' 592 59 10 2
0ilda Mery 0errera %alomino
' 6 592 6 5910 2 610
59
62
1acultad de 2iencias
%ág. #?
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
10 59
6
1 mod 11 %
$ ' 6 3 mod 11 6 3 mod 11 # 592
2
El resto de dividir 6 592 entre !! es #.
1.)7.
esolver el siguiente sistemas de congruencias lineales & & &
2 mod 3 % 3 mod 5 $ 2 mod 7 #
RESOLUCI2N. 2álculo de los valores/ m m1 m2 m3 3 5 7 105 M 1 m / 3 105 / 3 35 M 2 m / 5 105 / 5 21 M 3 m / 7 105 / 7 15
2álculo de los inversos de
/1 ,
M 2 , M 3 respecto de los módulos # B @/
21 1 mod 5 ' y 15 1 mod 7 ' y
35 2 mod 3 ' y1 2 es el inverso de #B módulo # 2
1 es el inverso de "! módulo B
3
1
es el inverso de !B módulo @
Las soluciones & del sistema son tales que a1 2, a 2 3, a3 2 & a1 M 1 y1 a 2 M 2 y 2 a 3 M 3 y 3
2 35 2 3 21 1 2 15 1 mod 105 23 23 mod105
%or lo tanto "# es el entero positivo más peque
1.)9.
esolver el sistema de congruencia
& 2 mod 4 & 3 mod 7 & 5 mod 9 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. #B
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
RESOLUCI2N. El Teorema 24ino del resto asegura que el sistema tiene solución por ser los módulos primos entre sí. +demás la solución es única módulo 4 7 9 . &
2 mod 4
&
'
1
4t 2
)ustituimos este valor en la segunda ecuación 4t 2
3 mod 7
'
4t 1 mod 7
Multiplicando por " ambos miembros 1
2
& 4 7 s 2 2 28s 10
)ustituimos este valor en la tercera ecuación 28 s 10 5 mod 9
'
28s
4 mod 9
I como 28 1 mod 9 resulta
s 4 mod 9
' s 9C 4
Luego sustituyendo en 2 &
1.):.
28 9C 4
122 252C
C 89
F2uáles son los números enteros que son divisibles por # y cuyo resto al dividir por B es !G
RESOLUCI2N. )ea n un número entero veri,icando las condiciones del enunciado. +sí se cumple que
n 3C
% $ n 1 mod 5 # '
3C 1 mod 5 y como e inverso de # es " en 89 5
' 2 3C
2 1 mod 5
'
C 2 mod 5
Luego C 2 5t . %or tanto los enteros buscados son los de la ,orma
n 3 2 5t 6 15 y
1.)=.
t 0 89
esolver el sistema de congruencia
2 mod 5 2 1 mod 7 3 4 mod 11 &
&
&
0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. #=
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
RESOLUCI2N. 8ntentamos e&presar cada congruencia del sistema en la ,orma &
a mod m . 2 &
mod 7
1
multiplicamos por ? que es el
inverso de " en 89 7 4 2 &
3 &
4 1 mod 7
'
&
4 mod 7
4 mod 11 multiplicamos por ? que es el inverso de # en 89 11 4 3 &
4 4 mod 11
'
&
5 mod 11
+sí el sistema que se 4a de resolver es/
2 mod 5 4 mod 7 5 mod 11 & & &
Hue tiene solución única módulo 5 7 11, por el Teorema c4ino del resto. esolvemos el sistema. De la primera ecuación obtenemos & 5C 2 valor que llevamos a la segunda ecuación
mod 7 ' 5C 2 mod 7 ' 3 5C 3 2 mod 7 ' C 6 mod 7 '
5C 2
4
C 7 s 6
Luego
1
& 5 7 s 6 2 35 s 32
Llevamos este valor a la tercera ecuación
35 s 32 5 mod 11
' 2 s 10 5 mod 7 ' ' 6 2 s 6 6 mod 11 ' ' s 11n 3
s 3 mod 11 )ustituyendo este valor en 1 obtenemos/ & 35 s 32 35 11n 3 32 385n 137 2 s 6 mod 11
1.*@.
n 89
)e reparten cuatro bolsas iguales de caramelos entre tres grupos de ni
RESOLUCI2N. Llamemos & al número de caramelos que 4ay en cada bolsa. )i repartimos dos bolsas entre B ni
1acultad de 2iencias
%ág. #@
PROBLEMAS RESUELTOS
Matemática Discreta
que "& es un múltiplo de B más ! suponiendo que el reparto es equitativo recibiendo todos los ni
1 mod 5
En el segundo reparto se obtiene la relación &
I en el tercer reparto la relación &
2 mod 6
3 mod 7 .
%or tanto & debe ser solución del sistema de congruencias
2 & 1 mod 5 & 2 mod 6 & 3 mod 7 esolvemos el sistema. La primera ecuación se reduce a la ,orma canónica multiplicando por # inverso de " módulo B7.
2 & 1 mod 5
' 3 2 & 3 1 mod 5 ' & 3 mod 5 ' & 5C 3
Llevamos este valor a la segunda ecuación
5C 3 2 mod 6
5C 5 mod 6
' 5C 3 3 2 3 mod 6 C 1 mod 6 ' 6 6 s 1 '
Luego
& 5 6 s 1 3 30 s 8
*
I este valor se lleva a la tercera ecuación
10 s 8 3 mod 7 ' 2 s 1 3 mod 7 '
2 s 2 mod 7
' s 1 mod 7
pues mcd 2,7 1
+sí pues s 7 n 1 sustituyendo en P7 resulta/
& 30 s 8 30 7n 1 8 38 210n
n 89
El número de caramelos de cada bolsa debe ser positivo luego puede tomar los valores #> "?> ?B>$ 2omo 4abía ? bolsas y en total menos de B'' la única solución válida es & 38
1.*1. a7 2alcular los retos de las potencias sucesivas de B respecto del módulo !". b7 2alcular los restos potenciales de !" mod @7.
RESOLUCI2N 0ilda Mery 0errera %alomino
1acultad de 2iencias
%ág. #>
