Matemática avanzada Guía de aprendizaje para el estudiante
Autora de contenido:
Carmen Patricia Rodríguez Ceja Diseñadora instruccional:
Erika Guadalupe Echauri Vargas
Evaluada por COPEEMS A.C. 27 de septiembre de 2011 Guadalajara, Jalisco, mayo de 2011
Bachillerato General por Áreas Interdisciplinarias
Guía de aprendizaje
Matemática Avanzada
Autor:
Carmen Patricia Rodríguez Ceja Diseñadora instruccional:
Erika Guadalupe Echauri Vargas
Marco Antonio Cortés Guardado Rectoría General
Miguel Ángel Navarro Navarro Vicerrectoría Ejecutiva
José Alfredo Peña Ramos Secretaría General
Ruth Padilla Muñoz Dirección General del Sistema de Educación Media Superior
Albert Héctor Medel Ruíz Secretaría Académica del Sistema de Educación Media Superior
Jaime Gutiérrez Chávez Secretaría Administrativa del Sistema de Educación Media Superior
Zeferino Aguayo Álvarez Dirección de Educación Continua Abierta y a Distancia
© 2011 SISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 1
INDICE PRESENTACIÓN .........................................................................................................................................3 FORMA DE TRABAJO .................................................................................................................................4 COMPETENCIAS GENÉRICAS SEGÚN EL MCC ............................................................................................................. 4 8.- PARTICIPA Y COLABORA DE MANERA EFECTIVA EN EQUIPOS DIVERSOS. ...................................................................... 4 PERFIL DE EGRESO ............................................................................................................................................... 4 COMPETENCIAS ESPECÍFICAS .................................................................................................................................. 4 OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................................................. 5 RGANIZACIÓN DE LAS ACTIVIDADES
O ....................................................................................................................... 56 EVALUACIÓN ...................................................................................................................................................... ESTRUCTURA DEL CURSO ....................................................................................................................................... 7 PROYECTO INTEGRADOR .........................................................................................................................10 AVANCE 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................................................................... 10 AVANCE 2. DESARROLLO DEL PROBLEMA ............................................................................................................... 10 INTEGRACIÓN DEL PROYECTO. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA .......................................................................................... 11 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN .......................................................................................................................... 12 GUÍA DE APRENDIZAJE ............................................................................................................................17 INICIO DE CURSO ............................................................................................................................................... 17 MÓDULO I ....................................................................................................................................................... 18 MÓDULO II ...................................................................................................................................................... 39 CIERRE DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE INTEGRADA .................................................................................................. 50
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Presentación Bien menciona Paulo Coehlo “Es necesario aprender lo que necesitamos y no únicamente lo que queremos” una parte importante del proceso de aprendizaje es encontrar el sentido de todo lo que se va interiorizando en nuestras vidas, imprescindible es entender que todo nuestro medio está rodeado de lo que comúnmente llamamos “Matemáticas”, pero te has preguntado ¿cuál es su verdadero significado? Veamos….. mencionan diversos autores que cuyo principal fin es el conocimiento y la comprensión, es decir, es una ciencia que se desarrolla mediante lo que se denomina axiomas o premisas que son vistas de alguna manera evidentes, y basa sus juicios en el razonamiento lógico, de esta manera estudia relaciones, propiedades de números, símbolos, figuras, entre otros, de esta manera podemos conocer, observar y razonar sobre el medio que nos rodea ; las matemáticas tienen una virtud esencial siempre buscan la verdad. Muchas veces pensamos darles la vuelta a las matemáticas porque las vemos aburridas, tediosas, o que simplemente nunca las utilizarás en tu vida, pero ¿te has preguntado que sería de tu vida sin utilizar las matemáticas? Serías incapaz de conocer cosas tan simples como que 2+2 son 4, por lo que tendrías dificultades incluso con los precios de la tienda y si vamos a niveles distintos de nuestra vida las matemáticas nos ayudan a planear como dar acomodo a las cosas de tu recamara para que este organizado y espaciado, o la carretera que deberás tomar para ir de vacaciones, la gasolina que debes ponerle a tu automóvil, o simplemente las cantidades que debes agregar de condimentos a la comida. Como podrás ver y seguramente lo corroboraste en los tres cursos anteriores de tu área de razonamiento las matemáticas se encuentran en todas las áreas de tu vida, más aun en las ciencias y la tecnología. Esta UAI de “Matemática Avanzada” se divide en dos módulos el primero de ellos es “Calculo diferencial e integral” donde trabajaras un poco de límites que ya antes habías trabajado, mas ahora le estudiarás su interpretación geométrica física, su optimización y problemáticas mediante sus reglas. El segundo de ellos es “Distribuciones de probabilidad” donde aplicarás distribución binominal, variables, probabilidad aleatoria y lo aplicarás a tu vida. De esta manera te damos la más cordial bienvenida a tu última Unidad de Aprendizaje Integrada del Área Interdisciplinaria de Razonamiento.
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Forma de trabajo Competencias genéricas según el MCC 5.- Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos 7.- Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8.- Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Perfil de egreso Este curso contribuye al logro de las siguientes competencias establecidas en el perfil de egreso del Bachillerato General por Áreas Interdisciplinarias. Razonamiento lógico matemático. Aplica métodos y estrategias de investigación, utilizando los fundamentos del pensamiento científico, para la resolución de problemas de manera innovadora. Pensamiento creativo. Utiliza su imaginación y creatividad en la elaboración y desarrollo de proyectos innovadores.
Competencias específicas •
Organiza y comunica sus ideas a través del lenguaje de la matemática.
•
Razona, conceptualiza y emite juicios críticos, utilizando herramientas matemáticas.
•
•
•
•
•
Resuelve los problemas en situaciones que implique la utilización de procedimientos para analizar críticamente la realidad. Construye conocimientos matemáticos a través de la resolución de problemas. Formula en forma independiente los conocimientos adquiridos al resolver un problema. Aplica procedimientos de la ciencia matemática, para interpretar y resolver problemas en actividades de la vida cotidiana y laboral. El estudiante integra conocimientos de algebra, geometría y su pensamiento 4
variacional para aplicarlos a resolver problemas que impliquen el uso del cálculo •
El estudiante realiza inferencias y predicciones a partir de conjuntos de datos aplicando sus conocimientos de distribuciones de probabilidad para resolver problemas de la vida cotidiana.
Objetivo general
Resolver situaciones problémicas mediante una expresión matemática utilizando los conocimientos de cálculo diferencial e integral y distribución de probabilidad.
Organización de las actividades Esta Unidad de Aprendizaje Integrada (UAI) se estudia en la misma modalidad mixta, es decir, se tienen actividades que trabajarás de manera presencial para aclarar dudas directas de las temáticas, otras actividades en línea que te apoyarán al desarrollo de las competencias esperadas en esta UAI. La UAI, está organizada con un proyecto integrador que irás desarrollando durante todo el curso, las actividades para finalizar el proyecto integrador las iras construyendo mediante las actividades y ejercicios de cada unidad, de esta manera las temáticas te ayudarán a obtener los productos necesarios para tu proyecto. Comprende dos avances, en cada avance presentarás dos problemas específicos en los cuales aplicarás tus conocimientos de cada módulo, con lo que en la entrega final realizaras un problema especifico donde incluyas los temas revisados en los tres módulos apoyado de los problemas parciales que presentarás como avances del cual deberás hacer una exposición, dando evidencia de que has desarrollado las competencias propuestas, más adelante se te explicará con detalle. Recuerda que durante los cursos pasados de Matemáticas realizaste un glosario de términos y foros en los compartías conocimientos y dudas con tus compañeros, en este caso en el transcurso de la unidad de aprendizaje realizarás otras actividades similares y darás continuidad a algunas que ya tenías que se tomarán como actividades paralelas que deberás ir realizando durante cada una de las temáticas como: *Un glosario de términos , en el que se deberá ir anotando los conceptos más
importantes, con ejemplos cotidianos, representación gráfica y numérica. Es con la intención de que se tenga un apoyo para ir adentrándonos en el lenguaje, lógica y presencia de las matemáticas en general enriqueciendo el glosario que ya tenías iniciado desde el primer curso que ahora tendrás la oportunidad de complementar y finalizar. 5
”Calculando de manera Integral” y “Probabilidades”, se refieren a los espacios
de colaboración en línea por medio de foros, chat u otra herramienta que permita la interacción entre los participantes, su intención es compartir, cuestionar, analizar y construir problemas y soluciones matemáticos. En cada actividad será necesario abrir o facilitar los espacios de interacción para el grupo lo cual tendrás que ser muy puntual en esa parte y estar atento a las aportaciones que realicen en el grupo, será conveniente que establezcas entre ellos las reglas a seguir para que la colaboración se dé en un ambiente de respeto y participativo. Buzón de dudas. Es un espacio electrónico permanente para aclarar dudas
generales o de cuestiones en particular que no se refieran directamente a una actividad de aprendizaje, es decir, algún concepto en particular, alguna entrega, un aviso, entre otras cosas que puedan apoyar al desarrollo de tu curso de una manera más eficiente y que a veces en las sesiones presenciales no hay el suficiente tiempo para tratarlas o es necesario agregar algún recordatorio o acuerdo. Ligas de apoyo. Encontrarás algunos links con información para resolver tus
ejercicios.
Evaluación La evaluación de esta unidad de aprendizaje integrada comprende tanto los productos de aprendizaje que se fueron obteniendo en los avances de proyecto como en las actividades de aprendizaje, así como las interacciones de colaboración que ayudan a enriquecer el estudio en el aula tanto virtual como presencial. En la autoevaluación se espera que el estudiante solo haga la entrega contestada de los instrumentos, es decir, los resultados que él considere haber logrado no tendrán un valor numérico en su evaluación, es solo para observar cómo se fue dando el aprendizaje bajo su perspectiva. Evaluación global Total Proyecto integrador Actividades de aprendizaje
100 puntos 40 puntos 35 puntos
Foros Glosario Autoevaluación
10 10 puntos puntos 5 puntos
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Evaluación del proyecto integrador Avance de proyecto Módulo 1 Avance de proyecto Módulo 2 Integración del proyecto Co evaluación Total
10puntos 10 puntos 15 puntos 5 puntos 40 puntos
Estructura del curso Módulo 1 Título Competencia
Calculo diferencial e integral Analiza la continuidad en el contexto de límites y resuelve ejercicios y problemas de diferentes situaciones aplicando las reglas de derivación e integración de una sola variable independiente.
Introducción
En este módulo tendrás la oportunidad de recapitular y reorganizar los conocimientos que adquiriste en las otras UAI sobre límites y continuidad sin embargo, en esta ocasión le darás un sentido diferente puesto que integrarás todas las competencias desarrolladas en tu Área Interdisciplinaria de Razonamiento. Revisarás y resolverás situaciones problémicas de optimización y movimiento, área bajo la curva, interpretación física y geométrica de la derivada, entre otras. 1.-Concepto de límite y continuidad. 2.-Interpretación física y geométrica de la derivada. 3.-Derivación, reglas y fórmulas. 4.-Problemas de optimización y movimiento. 5.-Integral indefinida, reglas y fórmula. 6.-Área bajo la curva y la integral definida.
Contenido
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Módulo 2 Título
Distribuciones de probabilidad
Competencia
Aplica los conceptos de distribución binomial y normal a situaciones de la vida cotidianos.
Introducción
Éste es tú último modulo denominado Distribución de probabilidad aquí se espera que logres identificar y utilizar las variables aleatorias así como su aplicación de manera integral a algunos aspectos cotidianos de la vida. Revisarás temáticas
Contenido
específicas como definir y conocer los tipos de variables aleatorias, para de esta manera estudiar y realizar sus distribuciones de probabilidad conociendo sus distintas aplicaciones. 7.- Definición de variables aleatoria. 8.-Tipos de variables aleatorias: discreta, continua. 9.-Distribución de probabilidad de una variable aleatoria: binomial y normal así como sus aplicaciones.
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SEMANA 1 2 3
Semana
MÓDULO
Cálculo diferencial e integral Cálculo diferencial e integral Distribuciones de probabilidad
Módulo
Sesión
Modalidad de sesión Línea
1
Presencial
2
Línea Presencial
1 1 Línea
1
3
Presencial
4
Línea Presencial
Actividades -Evaluación diagnóstica -Organización de equipos -Explicación y resolución de ejemplos tema 1 -2 Actividad 1-2 -Resolución y verificación de actividad 1 -2 -Explicación y resolución de ejemplos tema 3-4 Cierre foro I Actividad 3-4 -Resolución y verificación de Actividad 3-4 -Explicación y resolución de ejemplos tema 5-6 Actividad 5-6 -Resolución y verificación de
2 2
3
5
Línea Presencial
6
Línea Presencial
2
Línea 7
Presencial
9
Actividad 5-6 -Explicación y resolución de ejemplos tema 7-8 Actividad 7-8 -Resolución y verificación de Actividad 7-8 -Explicación y resolución de ejemplos tema 9 Actividad 9 -Resolución y verificación de Actividad 9 -Presentación de Avance II de proyecto. -Verificación de Actividades y temas. -Cierre de foro II -Presentación de Proyecto Integrador -Aplicación de Instrumentos de Auto y co-evaluación. Evaluación final
Proyecto Integrador El proyecto final de la presente UAI consiste en realizar un problema, ya sea de la vida cotidiana, la ciencia la tecnología o cualquier escenario del ser humano donde plantees la aplicación de los temas específicos que revisaste en todos los módulos de la UAI apoyándote por los elementos de todos los productos integradores que elaboraste en cada módulo, para eso te servirá que entregues en tiempo y forma cada avance de proyecto. En cada actividad de aprendizaje, se te marca claramente en donde están presentes las matemáticas en todos estos elementos, que distinguirás, clasificarás conceptualizarás y deberásmarcan aplicar avances a los ámbitos quedeselateUAI, presentan. ello las actividades de aprendizaje, a lo largo en cadaPara actividad, Tú tendrás que reflexionar y analizar las opciones, para tomar tus mejores decisiones, apoyado en tus nuevos conocimientos de los diferentes procedimientos matemáticos, que irás empleando poco a poco. El grupo deberá dividirse en equipos de tres integrantes cada uno, de esta manera trabajarás durante todo la UAI en las actividades de equipo y los avances de Módulo. Habrá dos avances importantes antes de llegar a la construcción de tu problema final antes mencionado, a continuación se describen: Avance 1. Planteamiento del problema En equipo elegirán la temática de la situación problémica a construir, por ejemplo, si lo enfocarán a un ámbito social, de salud, económico, político o cualquier otro tema que sea de su interés. Posteriormente, deberán buscar información que complemente o contextualice el problema a construir a fin de tener elementos que apoyen los datos que utilizarán para la resolución. Después deberán analizar los temas matemáticos que abordará su problema matemático, el cual se les pide que se abarque como mínimo 4 tópicos tratados en la unidad de aprendizaje. Finalmente, hará una descripción de la situación problémica a construir, tomando en cuenta los siguientes aspectos: • • •
Ámbito (salud, económico, político, social, etc) Contexto (escenario del problema en construcción) Temas (listado de tópicos matemáticos que aborda el problema)
Avance 2. Desarrollo del problema En este avance se hace la redacción de la situación problémica, dando los datos y elementos necesarios para su resolución, recordando la cantidad de temas que debe abarcar su complejidad.
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La redacción del problema puede tener varias fases o pasos, asimismo es necesario que sea claro y preciso su planteamiento para su solución imagina que otro equipo va a resolverlo, debe tener imágenes que ilustren o apoyen el escenario del problema.
Integración del proyecto. Solución del problema Una vez que han realizado la construcción de su problema deberán darle solución, haciendo un informe con el procedimiento que utilizaron para analizar y resolver la problématica. Posteriormente, organizarán su problema y solución para presentarlo al grupo y recibir una retroalimentación por parte de sus colegas. La presentación puede ser utilizando cualquier recurso o herramienta que consideren pertinente el equipo y asesor a fin de ilustrar lo más claro posible la situación problémica construida. Por último, retomen nuevamente el informe con el procedimiento y agreguen las observaciones de sus colegas y hagan unas conclusiones cortas sobre su trabajo realizado. Para finalizar el curso, se llevará a cabo una co-evaluación y auto-evaluación en donde pueden definir el desempeño que lograron como equipo colaborativo, y tu desempeño personal, dichas actividades tienen la intención de identificar cómo fue el proceso de construcción de su aprendizaje durante el curso, los resultados obtenidos no tendrán alguna alteración en su calificación siempre y cuando el asesor así lo determine.
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Instrumentos de evaluación Rúbrica de Evaluación del proyecto integrador
Indicadores
Niveles de desempeño Insuficiente 1 No evidencia tener conocimientos, no plantea preguntas, no sabe que conceptos utilizar
Suficiente 2 Hace algunas preguntas para identificar los conceptos y preguntas del problema
Modela y utiliza el lenguaje propio de la matemática en todas las actividades que le requieren implementar conocimientos adquiridos Explica teorías y modelos matemáticos utilizando las herramientas suficientes para su comprensión
No hay evidencias de que modele ni logre hacer uso del lenguaje matemático en ninguno de sus componentes
Intenta abstraer de forma limitada el lenguaje matemático más no lo expresa de manera correcta.
Logra utilizar el matemático, sin embargo lo hace de una manera incorrecta o incompleta.
Abstrae la situación planteada y la expresa de manera parcial mediante el lenguaje matemático propio.
No presenta evidencia para dar explicación a teorías y modelos matemáticos.
Explica el razonamiento pero no detalla el procedimiento de forma complete ni detallada
Diseño de estrategias
No muestra estrategia alguna en la resolución del problema.
Explica de forma parcial razonando de forma elemental los conceptos, mas no lo hace con claridad ni detalle de los procedimientos. Presenta una o más estrategias para solucionar el problema, pero ninguna de las estrategias lleva a la solución del problema.
La explicación del razonamiento es clara y detallada aunque no utiliza los términos propios de la disciplina Muestra más de una estrategia para encontrar la solución del problema, aunque no todas llegan a la solución del problema
Utiliza los conocimientos adquiridos y plantea preguntas para identificar los datos del problema
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Bien 3 Hace preguntas claras y concretas, identifica los conceptos implícitos en el problema
La estrategia empleada para resolver el problema es adecuada y lleva a la solución
Muy bien 4 Utiliza los conceptos de forma clara y definida, logra formula peguntas claves que resuelvan el problema, pero lo deja sin resolver
Excelente 5 Utiliza de forma correcta los conocimientos adquiridos, planteando preguntas claves para identificar los problemas planteados, resolviendo el problema Expresa, modela y utiliza de forma correcta el lenguaje matemático, logrando situar sus ideas para interpretar correctamente la solución a lo propuesto La explicación del razonamiento es clara y detallada, empleando términos propios de la disciplina Muestra diferentes estrategias efectivas para encontrar la solución del problema
Indicadores
Solución del problema
Niveles de desempeño Insuficiente 1 No encuentra la solución ni la presenta
Suficiente 2 Encuentra parcialmente la solución del problema y no la representa dentro del contexto
Bien 3 Encuentra la solución del problema y la representa parcialmente
Muy bien 4 Encuentra la solución al problema y la presenta dentro del contexto del mismo
Toma una decisión basándose en resultados obtenidos mediante procedimientos o razonamientos matemáticos. Participa en las actividades colaborativas según el tiempo y los requerimientos
Toma una decisión basándose en procedimientos o razonamientos matemáticos y argumenta su elección
indicados por el asesor.
requerimientos indicados por el asesor.
aplicado
Excelente 5 Encuentra la solución del problema y le da la correcta interpretación de acuerdo al contexto aplicado
Toma de decisiones
No toma decisión alguna
Toma una decisión, pero ésta no es la más acertada en el contexto del problema
Toma una decisión que pudiera ser correcta, pero no la sustenta mediante razonamiento lógicos
Trabajo colaborativo
No colabora en con sus compañeros ni favorece el trabajo de grupo.
Participa en las actividades escasamente, fuera del tiempo y no cumple con los
Participa en las actividades con irregularidad, fuera de tiempo y cumple con los
requerimientos mínimos establecidos por el asesor.
requerimientos mínimos establecidos por el asesor.
Participa activamente en las actividades colaborativas según el tiempo y los
Nivel de Desempeño
Puntuación: 35 – 25 Excelente. 24– 19 Muy bien. 18 – 12 Bien. 11 – 5 Suficiente. 4 – 0 Insuficiente Resultado_________________________
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Instrumento de Evaluación de las actividades de aprendizaje Criterios
SI SE PRESENTA 1
NO SE PRESENTA 0
Resuelve de manera correcta los problemas planteados Denota en la explicación ingenio creatividad y conocimiento Resuelve sus problemas utilizando todas las herramientas matemáticas del tema y otros tópicos que complementan. Interpreta la situación problémica acorde a la realidad del mismo, buscando varias soluciones. Utiliza un lenguaje matemático para su tratamiento y solución del problema. Demuestra el trabajo en equipo El trabajo es presentado con limpieza y orden.
Totales
Puntuación:
7 Excelente 6 - 5 Satisfactorio 4 - 0 No satisfactorio Instrumento de Co- evaluación
Instrucciones: escribe el nombre de cada integrante de tu equipo y otorga una calificación según consideres el desempeño en las actividades del proyecto. Recuerda que en el trabajo en equipo se debe trabajar aportando todo lo que puedes y sabes dar, sino se realiza de esta manera y se carga el trabajo a una o dos personas, en lugar de ayudar a tus compañeros que no hacen lo qué deberían, los estas perjudicando porque no se harán responsables de su aprendizaje. 5 4 3 2
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS OCASIONES POCAS OCASIONES
1 0
CASI NUNCNA NUNCA
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Integrantes del equipo:
Nombre:
Nombre:
Nombre:
Las actividades fueron entregadas en tiempo y forma según lo acordado Las aportaciones fueron de interés y acorde al tema Participó en la elaboración de tareas y ejercicios Se refleja en las aportaciones la lectura previa para facilitar el aprendizaje Cuando existían problemas en el equipo, se trabajaba por parejo en la resolución del mismo TOTAL:
Puntuación: 25 – 21 Excelente 20 – 16 Bueno. 15 – 11 Aceptable. 10 – 6 Satisfactorio. 5 - 0 No satisfactorio. 15
Nombre:
Nombre:
Instrumento de Auto- evaluación
Instrucciones: otorga una calificación según consideres tu desempeño en las actividades de la UAI así como de las competencias que adquiriste en la elaboración de las actividades, el trabajo grupal y el proyecto. Te recomendamos ser lo más sinceró con tus puntajes, recuerda que debes hacerte responsable de tus actos. 5 4 3 2 1 0
SIEMPRE CASI SIEMPRE ALGUNAS OCASIONES POCAS OCASIONES CASI NUNCNA NUNCA
Indicador: Entregaste las actividades conforme se solicitó Dedicaste el tiempo necesario para la realización de tus tareas y actividades Participaste en los foros de una manera responsable, respetuosa y con fundamentos en tus aportaciones Realizaste las lecturas previas al desarrollo de las actividades como se te indicó En los trabajos en equipo colaboraste a la par que tus compañeros En la elaboración de Proyecto participaste aportando t odos tus recursos Consideras que adquiriste competencias de la UAI Construyes argumentos para validar en forma lógica procesos matemáticos que explican problemáticas cotidianas en todos los ámbitos de la vida Consideras que desarrollaste una mentalidad flexible y te comportas con autonomía y confianza en tu capacidad de aprender, siempre con una actitud positiva Logras resolver situaciones problémicas de la ciencia haciendo uso de formulas y herramientas matemáticas Muestras interés por hacer uso de las Tecnologías de la Información y la comunicación (TIC) como instrumento para el aprendizaje de las Matemáticas
55 – 45 Excelente. 44 – 35 Bueno. 34 – 25 Aceptable. 24 – 15 Satisfactorio. 14 - 0 No satisfactorio .
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Puntaje:
Guía de aprendizaje Inicio de curso
Actividad de inicio: ¿Qué tanto sabes?
Propósito: Identifica los conocimientos previos de los estudiantes adquiridos en la UAI de Precálculo con la finalidad de ubicar su nivel de aprendizaje y recuperar conocimientos para la UAI actual. Modalidad: en línea Instrucciones En esta actividad responderás un cuestionario basado en un problemario con diversas temáticas acerca de las temáticas revisadas en Precálculo. Deberás buscar en la plataforma electrónica del curso el recurso en la sección “Inicio de curso/ qué tanto sabes”, responde los ejercicios que ahí aparecen y da clic en el botón de enviar. Nota: esta actividad no tiene una ponderación en la calificación solo cuenta como Entregado o No entregado de acuerdo al criterio del asesor.
Actividad: Vamos organizando….
Propósito: Realiza equipos colaborativos para elaborar las actividades destinadas a trabajarlas en equipo y la elaboración del proyecto integrador. Modalidad: en línea Instrucciones: ya conociendo a tus compañeros, reúnan equipos de 3 personas, con las que trabajarán todas las actividades en equipo y realizarán el proyecto integrador; es importante que trabajes con quien tienes afinidad, para que su trabajo concluya de la mejor manera.
Recuerda que durante toda la UAI de Matemática Avanzada, tendrás una sesión presencial anterior a cada tema en la cual el asesor te explicará los temas correspondientes a las actividades que realizarás en línea y se revisarán y retroalimentarán los ejercicios que hiciste como tarea. De tal manera que anterior a la sesión deberás haber leído el material correspondiente al tema ubicado en recursos, y de ser posible llevarlos a la asesoría presencial. Las tareas se realizarán en línea, de tal manera que aunque las envíes al portal, las deberás llevar físicas el día de la sesión presencial para su revisión y correcciones correspondientes.
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Módulo I Actividad 1: Límites y Continuidad Propósito: Reconoce los conceptos de límite y continuidad para la solución de situaciones problémicas que así lo requieran. Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre los temas de “Límite” y “Continuidad” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: *Fernández G. J.C. (2010). El Límite de una función. En Vitutor 2010. Recuperado el 2 de agosto del 2010. http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html * Fernández G. J.C. (2010). Continuidad de funciones. En Vitutor 2010. Recuperado el 3 de agosto del 2010 de http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html
1. Investiga y escribe la definición de límite _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________
X
2. ¿Qué entiendes, cuando se dice que el valor de tiende a cierto número en una función? Por ejemplo en la función f(x)=3x+4, a que valor tiende“Y” cuando “X” tiende a 7 _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________
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3. Grafica la función anterior, tabula con valores cercanos al 7 por ambos lados.
x
f(x)
() = +
6 6.5 6.9 6.999 7.0001 7.1 7.5
4.- ¿Cuales son las condiciones que debe cumplir una función para que podamos decir que es continua en cierto punto? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 5.- Busca una función donde, se cumplan las condiciones de continuidad y otra donde no se cumplan, en los dos casos necesariamente debes realizar la gráfica. ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
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1.- Completa las tablas, grafica la función y encuentra el límite de las siguientes funciones:
() = 2 3 − 1, − 2 x
y
= 2 3 − 1
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() = x
1 (−1)
, 1 y
=
1 ( − 1)
21
() = ln( − 2) , 10 x
y
=l n
(− 2)
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2.- Para la siguiente función encuentra el límite cuanto x tiende a 1 por la izquierda y has lo mismo para cuando tiende por la derecha
2 +3 ≥1 < 1
a) f(x)=
3.- Para la siguiente función encuentra el límite cuanto x tiende a 2 por la izquierda y has lo mismo para cuando tiende por la derecha
2−6−4 −2 2 < <≤4<2
b) f(x)=
4.- En cada uno de los siguientes problemas definimos una función y se da su dominio. Determine si la función es discontinua para algún o algunos valores de su dominio, indicando cual de las 3 condiciones no se cumple
2 +3 ≥1 < 1
a) f(x)=
b)
c)
1 +1 2
≤ 2 () = 3− > 2 −2 ≤>22 () = 2−4+1 2−6−4 −2 2 < <≤5<2
d) f(x)=
e) f(x)=
3 −2 −3 < < 1 −2+1 1 < ≤ 3 2
Elaborada por Edgar Silva y Patricia Rodríguez
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Actividad 2: La derivada de una función. Propósito: Aplica la derivada de una función en la resolución de problemas. Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre el tema de “Derivadas de una función” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: *Fernández G., J.C. (2010). Concepto de derivada. En Vitutor 2010. Recuperado el 5 de agosto del 2010 http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html
Ejemplos DE DERIVADAS Ejemplo 1: Determine la pendiente de f(x)=x 2 en el punto x=1 Solución: Usando la definición de derivada: m=lim→
()()
Primero lo vamos a hacer usando el punto “a” en forma general y al final sustituiremos el valor de a=1
m=lim→ Factorizando el numerador (diferencia de cuadrados) quedaría de la siguiente forma m=lim→
()()
Simplificando, los factores iguales, que en este caso es ( x-a) Quedaría m=lim→ + ahora sustituimos solamente la x por la “a” y listo, ya tenemos nuestra pendiente que es la derivada en el punto “(a, f(a)) m= a + a = 2a
Se parecen en algo x 2 y 2a?____________________ Finalmente la respuesta es m=2a= 2(1)=2 que es el valor de la pendiente en el punto (1, f(1)) en el punto donde la x=1
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Ejemplo 2: Hallar la pendiente de la función () = − 3 en el punto x=2 Solución: Usando la definición de derivada m=lim→
()()
Como en el ejemplo anterior primero lo vamos a hacer usando el punto “a” y al final sustituiremos el valor de “a”, que en este caso es a=2. Sustituyendo la función tenemos. m=lim→
( )( )
Eliminando los paréntesis obtenemos: m=lim→
y eliminando -3+3=0 nos queda:
m=lim→
Factorizando el numerador (diferencia de cuadrados) quedaría de la siguiente forma m=lim→
()()
Simplificando, los factores iguales, que en este caso es ( x-a) Quedaría: m=lim→ + ahora si sustituiremos el valor de x por la “a” , ya tenemos la pendiente que es la derivada en el punto “(a, f(a))”:
= += 2 Ahora sustituyendo para a=2, tenemos:
= 2 =2 (2) = 4 Encontramos que la pendiente es = 4 en el punto (2, (f2)) que es el punto donde x=2 ¿Qué relación observas entre la función − 3 y su pendiente =2 cuando x=a: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ¿Qué observas en los resultados de los dos ejemplos con respecto a la función y la pendiente obtenida en ambos casos? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________________________________________
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RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
1.-Investiga cómo obtener la pendiente de una recta, escribe la formula y un ejemplo de esto. ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 2.-Grafica la siguiente función () =
3. -Obtén la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, f(3)) y (4, f(4)):
4.-Lo que trataremos de hacer es encontrar la pendiente o inclinación en el punto x=3, para lo cual te pediré que completes la siguiente tabla. x 3
f(x) f(3)=
4 3 3.5 3 3.1 3 3.01
f(4)= f(3)= f(3.5)= f(3)= f(3.1)= f(3)= f(3.01)=
Aplicando la formula de pendiente ()()
m=
=
m=
(.)() .
=
(.)() m= .
=
(.)() m= .
=
5.-Si observas la tabla que completaste, veras que el denominador cada vez está disminuyendo y nos vamos acercando al 3, pero el valor de la pendiente se va acercando a___________(aquí escribe a valor se va acercando la pendiente) 6.- En cálculo podemos escribir lo anterior en forma matemática de la siguiente manera:
m=lim
∆→
()()
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7.- Ahora, investiga en tu libro de cálculo, o páginas de internet la definición de derivada, escríbela. Determina la pendiente de cada función en el punto indicado en cada caso, siguiendo los pasos del ejemplo mostrado. 1.- f(x)= en el punto en el que x=1,
2.- f(x)= en el punto donde x=-3, 3.-f(x)= en el punto en el que x=1,
4.en el el punto punto en en el el que que x=1, x=-2, 5.- () () == 2 −+15 en 6.- () = + en el punto en el que x=-1,
Actividad 3. Formulas de derivación. Propósito: Análisis de algunas fórmulas de derivación que faciliten la solución de problemas. Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre el tema “Formulas de derivación” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: *Fernández G., J.C. (2010) Derivadas inmediatas. En Vitutor 2010. Recuperado el 5 de agosto del 2010 http://www.vitutor.com/fun/4/a_2.html
*http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/Tabla_Derivadas.pdf
Lo anteriormente visto fue el procedimiento para obtener la derivada de una función, dicho proceso en ocasiones resulta complicado, a continuación investigaremos cuales son algunas fórmulas que tienen como objeto simplificar este proceso de derivación. También debes de tener en mente cada vez que apliques estas fórmulas que la derivada es un límite de la forma anteriormente estudiada.
Elaborada por Edgar Silva y Patricia Rodríguez
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1.- Investiga las notaciones más comunes para la derivada ____________________________ y cómo se lee ___________________________________. 2.- Investiga en la bibliográfica recomendada o en páginas de internet lo referente a las formulas de derivación y completa la siguiente tabla (utiliza la notación correspondiente). Nombre Derivada de una
formula
Ejemplo
constante f(x)= c Derivada de una variable elevada a un número n f(x)=xn Derivada de una suma de funciones Derivada de un producto de funciones Derivadade de un cociente funciones. Derivada del producto de una constante por una función Derivadas de las funciones trigonométricas
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Ejercicios: Determina las derivadas de cada una de las siguientes funciones aplicando las regla de derivación investigadas: 1.- f(x)= x3 2.- f(x)= 3x2 2
3.- f(x)= 4x -3x+2
4.- () = + 3 − 5.- f(x)= senx 6.- f(x)= tanx 7.- f(x)= 25 8.- f(x)= (-5x)(7x2)
9.- f(x)= 9 −
10.- f(x)= ”Calculando de manera Integral” Se trata de tu primer espacio de colaboración
denominado foro. Tu profesor planteara una situación problémica sobre la cual deberás responder con los conocimientos que vas adquiriendo, apoyando las respuestas de tus compañeros y recibirás retroalimentación de tu asesor. Te recordamos que el foro permanecerá disponible la segunda semana del módulo Actividad 4: Aplicación de la derivada Propósito: Soluciona problemáticas relacionadas con la aplicación directa de la derivada y ejercicios de valores relacionados con una función determinada. Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre el tema de “Aplicación de la derivada” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: *http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/Tecnicas-Derivacion-cb.pdf *http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm 29
Con frecuencia se presentan en nuestra vida, casos cuya solución consiste en establecer valores extremos (máximos o mínimos) de una función. Si podemos o sabemos cómo plantear la función requerida, nos será posible resolver muchos de estos casos de aplicación práctica. A continuación, te presentaré un ejemplo completo donde se aplica esto, paso por paso, por favor léelo, si tienes dudas pregunta a tu asesor. Después te presentaré otras dos situaciones donde me ayudarás a completar el procedimiento. ¡Ánimo no hay peor lucha que la que no se hace! Ejemplo 1 Determine dos números naturales cuya suma es 30, tales que su producto sea lo más grande posible. Pasos: Procedimiento: 1.- Plantear el problema Primero pensaremos en dos números naturales cualesquiera, pueden ser “x” y “y” Ahora la suma de estos números es 30, eso lo escribimos de forma matemática de la siguiente manera: x + y = 30 Ahora pensaré en lo que yo quiero maximizar “Quiero maximizar el producto” esto en lenguaje algebraico se escribe así: f(x)= (x)(y) esto me indica que quiero maximizar el producto de x por y Pero la función anterior tiene dos variables y para poderla derivar solo debe tener una, ¿Cómo le hacemos? Te acuerdas que x + y = 30, de aquí despeja “y” la x que esta sumando pasa al otro miembro restando, ¿verdad? te acuerdas. Ok entonces y=30-x Este despeje lo sustituyes en la función que deseas maximizar f(x)= (x)(y) f(x)= (x)(30-x) Ya quedo tu función a maximizar con una sola variable. Espero que no se te hayan quemado un par de neuronas con esto. 2.- Escribe matemática variables
la relación f(x)= x(30-x) entre las o si multiplicamos f(x)= 30x – x2
30
Ejemplo 1 Determine dos números naturales cuya suma es 30, tales que su producto sea lo más grande posible. Pasos: Procedimiento: 3.- Derivar la función Nuestro siguiente paso es derivar la función: (() f´(30x)= 30 y f´(x2)= 2x ´() = f´(x)= 30 – 2x 4.- Igualar a cero la derivada Ahora igualamos a cero la derivada: y resolver 30 -2x =0 y resolvemos esto 30=2x x=30/2 x=15 5.- Los valores encontrados f(x)= 30x-x2 sustituirlos en la función que f(15)= 30(15)- 152 deseamos maximizar f(15)= 450-225 f(15)= 225 6.- Decidir cual valor es el El valor que maximiza la función es cuando x=15 y lo máximo que maximiza o minimiza la del producto sería 225. función.
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Ejemplo 2 Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de aluminio de 10 cms por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando las partes restantes. ¿Cuál debe ser la altura de la caja, para obtener un volumen máximo? Pasos: Procedimiento: 1.- Plantear el problema Para plantear esta situación te recomiendo lo siguiente: a) Recorta una hoja del tamaño que se indica, cuadrado de 10 cms de lado. b) En cada esquina recorta un cuadrado, de la medida que quieras, pero los cuatro cuadrados deben ser iguales
c) Ahora forma la caja, la pregunta es ¿de qué altura debe ser la caja? para alcanzar el volumen máximo.
d) Al centro se forma un cuadrado de lado 10-2x
¿Por qué 10-2x?, el lado es de 10 centímetros y le quitas dos x por el recorte que se hace de cada esquina. e) ¿Cómo obtenemos el volumen de una caja? Área de la base por la altura f) Volumen es igual= Base por altura, la base es un cuadrado de lado 10-2x, por la altura que es “x”, la base como es un cuadrado su área quedaría así B=(10-2x)(10-2x)
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Ejemplo 2 Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de aluminio de 10 cms por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando las partes restantes. ¿Cuál debe ser la altura de la caja, para obtener un volumen máximo? Pasos: Procedimiento: 2.- Escribe la relación V= volumen matemática entre las V= (10-2x)(10-2x)(x) variables Efectúa la multiplicación para que te sea mas fácil derivar Escribe aquí el resultado __________________________________ Completa los siguientes pasos, tal como se hizo en el primer ejemplo. 3.- Derivar la función 4.- Igualar a cero la derivada y resolver 5.- Los valores encontrados sustituirlos en la función que deseamos maximizar 6.- Decidir cuál valor es el que maximiza o minimiza la función.
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Ahora te toca a ti: Ejemplo 3 Una empresa estima que el costo, en dólares, de producción de x unidades de cierto producto es C=800+0.04x+0.0002x2. Calcular el nivel de producción que hace mínimo el costo medio por unidad. Si sabemos que El costo medio se denomina ̅ y es igual a ̅ = Pasos: Procedimiento: 1.- Plantear el problema 2.- Escribe matemática variables
la entrerelación las
3.- Derivar la función 4.- Igualar a cero la derivada y resolver 5.- Los valores encontrados sustituirlos en la función que deseamos minimizar 6.- Decidir cual valor es el que minimiza la función.
Actividad 5: Integrales Indefinidas. Propósito: aplica funciones integrales indefinidas en procesos de integración. Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre el tema de “Integrales Indefinidas” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: *http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html
1. Investiga en qué consiste el proceso de integración, escríbelo y pon un ejemplo utilizando la notación correspondiente.
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2. Escribe la fórmula para la integral , y encuentra la integral .
3. Ahora completa la siguiente tabla con las principales fórmulas de integración: Nombre Integral de una constante f(x)= c
Fórmula
Ejemplo
Integral de una variable elevada a un número n f(x)=xn Integral de una suma de funciones Integral de un producto de funciones Integral de un cociente de funciones. Integral del producto de una constante por una función Integrales de las funciones trigonométricas
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4. Busca en youtube, videos donde se expliquen algunos procesos de integración, obsérvalos e intenta hacerlos por tu cuenta. Ejercicios: Integra las siguientes funciones: a) b) c) (2 + 3 − 4 + 5) d) e) f) 5 g) ( ) (5 − ) h) 6 i) √
j)
Actividad 6: La Integral Definida de una Función. Propósito: Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo en la solución de problemáticas especificas de integral definida de las funciones. Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre el tema de “La Integral definida de una función” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: *Fernández G. J.C. (2010). Integral definida. En Vitutor 2010. Recuperado el 7 de agosto del 2010 de http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html *Fernández G. J.C. (2010). Integral por partes. En Vitutor 2010. Recuperado el 7 de agosto del 2010 de http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html
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1. Investiga ¿cuál es el teorema fundamental del cálculo? recuerda que estamos en el tema de integral definida.
2. Después de haber investigado, el "Teorema Fundamental del Cálculo" entra a la página de youtube y busca videos sobre este teorema, intenta realizar los ejercicios ahí expuestos, posteriormente escribe dos ejemplos paso a paso donde se aplique esto.
3. Realiza el siguiente ejercicio a) Grafica la función f(x)=x
b) Encuentra el área bajo la curva, limitada por las siguientes rectas, f(x)=x, x=1 y x=3, utiliza medios geométricos, ¿qué tipo de figura utilizarías? __________________ auxíliate de papel milimétrico y una regla, usa las formulas de geometría parea calcular el área.
Escribe aquí el resultado__________. c) Ahora Integra la función f(x)=x, desde 1 hasta 3, usando el teorema fundamental del cálculo. Anota aquí el resultado________.
d) Compara los dos resultados, ¿cómo son?___________________________.
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Ejercicios: 1. Realiza los siguientes ejercicios:
a)
b) c)
d) 12 e) 3
f)
g)
h)
i) √ j) +5−2
Avance 1. Planteamiento del problema Modalidad: mixta En equipo elegirán la temática de la situación problémica a construir, por ejemplo, si lo enfocarán a un ámbito social, de salud, económico, político o cualquier otro tema que sea de su interés. Posteriormente, deberán buscar información que complemente o contextualice el problema a construir a fin de tener elementos que apoyen los datos que utilizarán para la resolución. Después deberán analizar los temas matemáticos que abordará su problema matemático, el cual se les pide que se abarque como mínimo 4 tópicos tratados en la unidad de aprendizaje. Finalmente, hará una descripción de la situación problémica a construir, tomando en cuenta los siguientes aspectos: • • •
Ámbito (salud, económico, político, social, etc) Contexto (escenario del problema en construcción) Temas (listado de tópicos matemáticos que aborda el problema)
Entreguen su trabajo en un archivo Word con las indicaciones que el asesor les solicite. 38
Ahora enriquece tu glosario de términos, en el glosario que tienes ya iniciado de las Unidades de Aprendizaje Integradas pasadas, deberás ir anotando los conceptos más importantes, con ejemplos cotidianos, representación gráfica y numérica de esta unidad, recuerda incluir todos los subtemas y ejemplos que revisaste en las clases y los ejercicios.
Módulo II “Probabilidades” Se trata de tu segundo espacio de colaboración en foro. . Tu profesor planteara una situación problémica sobre la cual deberás responder con los conocimientos que vas adquiriendo, apoyando las respuestas de tus compañeros y recibirás retroalimentación de tu asesor. Te recordamos que el foro permanecerá disponible únicamente la semana que dure el segundo módulo.
Actividad 7 y 8: Variables Aleatorias. Propósito: Búsqueda, análisis y comprensión de las variables aleatorias con la finalidad de conocer sus características para su clasificación y correcto uso. Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre el tema de “Variables Aleatorias” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: Variable Aleatoria Discreta. Estadística. Recuperado el 6 de agosto del 2010 de http://estadistica.ematematicas.net/aleatoria/index.php?tipo=def Variable Aleatoria Continua. (s/f). Estadística. Recuperado el 6 de agosto del 2010 de http://estadistica.ematematicas.net/aleatoria/index.php?tipo=def_con (s/f). ¿Cómo producir datos? Recuperado el 6 de agosto del 2010 de http://estadistica.ematematicas.net/aleatoria/index.php?tipo=def_con Fernández. G., J. C. (2010). Variable aleatoria. En Vitutor 2010. Recuperado el 7 de agosto del 2010 de http://www.vitutor.com/pro/3/a_1.html
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RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
1.- Investiga qué es una variable aleatoria y escribe su definición ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2.- ¿Cuántos tipos de variables aleatorias conoces y cuáles son sus características? ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 3.- Investiga dos ejemplos de una variable aleatoria discreta ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 4.- Investiga dos ejemplos de una variable aleatoria continua ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 5.- ¿Como son los valores de las variables aleatoria discreta que investigaste? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 6.- ¿Como son los valores de las variables aleatoria continua que investigaste? ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 7.- Realiza una tabla comparativa acerca de los dos tipos de variables aleatorias que aprendiste en las lecturas de esta actividad. Variable Aleatoria: (escribe aquí su definición) Variable Aleatoria Continua
Variable Aleatoria Discreta
Ejemplo: Características: Del ejemplo que anotaste, escribe algunos valores quetupuede tomar variable aleatoria
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1.-Una persona vende automóviles nuevos para una empresa. Generalmente negocia el mayor número de automóviles los sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para el número de autos que espera vender en un sábado particular. Número de automóviles Probabilidad vendidos X P(x) 0 1 2 3 4
0.10 0.20 0.30 0.30 0.10
¿El número de automóviles vendidos, que tipo de variable es? ______________________________ 2.- El peso de las 6 personas que forman una familia: 27.315 kg 56.250 kg 62.5 kg 70.2 kg 75.850kg 82.780 kg ¿El peso de las 6 personas de una familia, que tipo de variable es? __________________________ 3.- El número de hijos que tienen 10 familias 2 5 3 2 10 4 3
2
12
2
¿El número de hijos de 10 familias, que tipo de variable es? ________________________ 4.- El tiempo en minutos que tardan en hablar por el teléfono celular 12 personas 1.30 5.07 3.28
2.55 20 4
10.15 15.36 45.30
12
4.10
2.10
¿El tiempo en minutos que tardan en hablar por el teléfono celular 12 personas, que tipo de variable aleatoria es? _________________ 41
Ahora describe cinco ejemplos de cada tipo de variable, puedes utilizar cosas de tu entorno
Actividad 9: Distribuciones de Probabilidad Propósito: Aplica las variables en la distribución probabilística en problemas contextualizados en su entorno.
Modalidad: en línea Instrucciones: lo primero que debes hacer es revisar los recursos teóricos sobre el tema de “Distribución de Probabilidad” que se te describen a continuación, revisa los ejemplos que se te presentan y resuelve los ejercicios: *Vadenumeros. (2007). Distribución de Probabilidad Binomial. Matemáticas. Recuperado el 6 de agosto del 2010 de http://www.vadenumeros.es/sociales/distribucion-binomialparametros.htm *Fernández G., J.C. (2010). Problemas con distribución binomial. En Vitutor 2010. Recuperado el 6 de agosto del 2010 de http://www.vitutor.com/pro/3/b_g.html *Distribución binomial.(1996). Recuperado el 7 de agosto del 2010 de http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
1.- Investiga que es una distribución de probabilidad, escribe su definición y anota también un ejemplo. 2.- A continuación te presento una tabla donde se muestra una Distribución de probabilidad del tiempo de circulación de automóviles. Años 0-1 2-3 4-5 6-7 8-9
Probabilidad 0.07 0.11 0.15 0.15 0.19
10-12 13-16 17-20 21-30 Total
0.26 0.03 0.03 0.02 1
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Realiza una grafica de barras con estos datos Excel, la escala del eje “x”, correspondería a los años y la escala del eje “y” a las probabilidades.
3.- Investiga acerca de la “Distribución probabilística binomial” ¿Es continua o discreta? ¿Qué características tiene? ¿Cuáles son sus parámetros? ¿Cómo es su gráfica? ¿Cómo se calcula su probabilidad? Investiga dos ejemplos donde se calcule la probabilidad usando distribución binomial ________________________________________________________________________ __________________________________________________________________
4.- Investiga acerca de la “Distribución Normal ” ¿Es discreta o continua? ¿Qué características tiene? ¿Cómo son sus valores? ¿Cómo es su gráfica? ¿Cuáles son sus parámetros? ¿Qué representa el área bajo la curva? ¿En qué se diferencia de la binomial? 5.- Analiza las características de la distribución de probabilidad binomial y las características de la distribución de probabilidad normal y organiza la información en un cuadro comparativo como se te detalla en el ejemplo: Binomial
Normal
Tipo de variable (discreta o continua) ¿Qué tipo de valores toma? Características Parámetros Gráfica Con la información adquirida, identifica las diferencias entre ambas:
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6.- Ejercicios de Cálculo de Probabilidad Binomial 1.- En una distribución binomial, ¿cuál es la probabilidad de obtener 15 éxitos, si el experimento se realiza 25 veces y la probabilidad de éxito es de 0.42? 2.- Si la probabilidad de éxito de un experimento aleatorio es de 0.68, realizado 12 veces, calcula la probabilidad p(x=10) 3.- Si en una distribución binomial n=10 y p= 0.7, calcular a) p(x
≤
0.7)
b) p(x =8)
4.- En una distribución binomial con parámetros n y p (50, 0.25), calcula la probabilidad a) (x=12) b) (x≤30) 5.- Para una distribución binomial, encuentra la probabilidad: " k " es el número de aciertos=3 " n" es el número de ensayos=10 " p " es la probabilidad de éxito=0.03 7.- Ejercicios de Distribución de Probabilidad Normal (para encontrar la probabilidad lo puedes hacer usando la tabla de distribución normal o con software, revisa el ejemplo que viene más abajo) 1 . - Si Z es una variab le normal estándar, calcula la probabilidad de: a) p (1.18
≤
z)
Nota: lo anterior quiere decir ¿encontrar la probabilidad (p) de que el valor de la z estándar, sea mayor o igual a 1.18? b) p (2.3
≥
z)
c) p (0.5
≤
z
≤
1.5)
2 . ¿cuál es el valor de k para que: a) p(k
≤
z)= 0.6406
b) p(k
≤
z)= 0.9932
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3. Siendo Z una variable normal N(0,1), calcula la probabilidad para p(-1.24 ≤ z) 4.- Siendo Z una variable normal N(0,1), calcula la probabilidad para p(-1.7≤ z ≤- 0.82) Nota: N(0,1) quiere decir , una distribución normal con media cero y desviación estándar igual a 1
8.- Situaciones Prácticas de Distribución de Probabilidad Binomial 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? 2.¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? 3. A usted le interesa averiguar si un niño en particular es capaz de distinguir entre los colores verde y azul. Con ese propósito le muestra al pequeño 5 cubos de madera. Todos los cubos son idénticos, excepto que dos de ellos son verdes y tres azules. Usted ordena de manera aleatoria los cubos en una fila y pide al niño que elija uno de color verde. Una vez que el pequeño lo ha elegido, usted reemplaza el cubo y modifica el orden de los cubos de manera aleatoria. A continuación usted pide al niño que escoja un cubo verde. Este procedimiento se repite hasta que el niño ha realizado 14 selecciones. Si el niño no puede distinguir realmente entre el verde y el azul, ¿Cuál es la probabilidad de que escoja un cubo verde por lo menos 11 veces? 4. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: 1. Las cinco personas. 2. Al menos tres personas. 3. Exactamente dos personas.
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Distribución Normal Aplicación de distribución normal Ejemplo: En un salón de clases la media del grupo es de 29 años y su desviación estándar es de 4 años ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos de más de 34 años? Pasos Identificar los datos
Procedimiento Media= 29 años Desviación estándar= 4 años Valor a convertir= 34 años
Formula a aplicar z=
µ
z=valor estándar x= valor a convertir µ= Media =Desviación estándar Sustitución
z=
µ
z=
=1.25
Calcular la probabilidad
Para encontrar la probabilidad tenemos tres formas 1.-Buscar en la tabla de distribución normal http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/distribucionnormal-estandar.html Nota: en caso no la puedas abrir, o no esté disponible, puedes usar cualquier tabla de distribución normal que normalmente esta en los libros de Estadística o puedes buscarla en la red, como tabla de distribución normal.
2.-Usar la función de Excel para encontrar el área, que es la probabilidad
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Pasos
Procedimiento Primero nos enfocaremos en buscar en la tabla. Abre la liga que te estoy recomendando, busca en la columna de la izquierda el valor de 1.2 y en la parte superior el valor de 0.05 para completar el número buscado 1.25
El número así encontrado es 0.3944, al cual le tenemos que sumar 0.5, ya que la tabla solo te da el valor correspondiente a la mitad de la tabla. Entonces la probabilidad de encontrar alumnos de menos de 34 años es 0.5+0.3944=0.8944 o sea 89.44%
Pero la pregunta era ¿la probabilidad de los que tienen más de 34 años? Entonces resta 100%-89.44%=10.56% que sería la respuesta.
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Pasos ¿Cómo encuentras la probabilidad en Excel?
¿Cómo encuentro la probabilidad usando Winstat?
Procedimiento Usas la función: =DISTR.NORM.ESTAND( )
Si te das cuenta Excel te da el valor de toda la probabilidad de los menores de 34 años, si deseas la probabilidad de los mayores de 34 años, realizas la diferencia de 10.8944=0.1056 El uno representa el 100% 1.-Descarga Winstat de la red (software libre) http://www.sjhigh.ca/academic/tutorials/winstats/index.php 2.- Te recomiendo este video te muestra el uso del Winstats http://www.youtube.com/watch?v=32r_imQBt4g 3.- Los pasos son los siguientes: a) Windows b) Probabilidad c) Normal d) Ya que aparece la ventana de la curva normal dar click en “Calc” e) Probabilidad f) Te aparece un cuadro interactivo, en: low x , escribes -4 por ser el extremo izquierdo de la curva high x, escribes el valor de z que te dio =1.25 g) Luego das click, probability, y te aparecerá el resultado en el lado derecho:
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9.- Situaciones Prácticas de Distribución de Probabilidad Normal 1.-Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?
2.- Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores? 3.- Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 80 y desviación típica 25. ¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre 75 y 100 puntos?
4.- El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una media de 500 kg y 45 kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros, calcular: a) Cuántos pesarán más de 540 kg. b) Cuántos pesarán menos de 480 kg. c) Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg. 5.- En una distribución normal de media 4 y desviación típica igual a 2, calcular el valor de “a” para que: p(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934
Avance 2. Desarrollo del problema En este avance se hace la redacción de la situación problémica, dando los datos y elementos necesarios para su resolución, recordando la cantidad de temas que debe abarcar su complejidad. La redacción del problema puede tener varias fases o pasos, asimismo es necesario que sea claro y preciso su planteamiento para su solución imagina que otro equipo va a resolverlo, debe tener imágenes que ilustren o apoyen el escenario del problema.
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Cierre de la unidad de aprendizaje integrada Integración del proyecto. Solución del problema Una vez que han realizado la construcción de su problema deberán darle solución, haciendo un informe con el procedimiento que utilizaron para analizar y resolver la problématica. Posteriormente, organizarán su problema y solución para presentarlo al grupo y recibir una retroalimentación por parte de sus colegas. La presentación puede ser utilizando cualquier recurso o herramienta que consideren pertinente el equipo y asesor a fin de ilustrar lo más claro posible la situación problémica construida. Por último, retomen nuevamente el informe con el procedimiento y agreguen las observaciones de sus colegas y hagan unas conclusiones cortas sobre su trabajo realizado.
Finaliza tu glosario de términos, ahora con este módulo estarás completando tu glosario matemático, bajo la misma dinámica recupera los conceptos más importantes, con ejemplos cotidianos, representación gráfica y numérica recuerda recuperar todos los subtemas revisados en esté módulo, una vez terminado, deberás presentarlo a tu asesor en el formato que Él te indique.
Vamos evaluando: Reúnetecon tus compañeros de equipo para que puedan evaluar el trabajo. Recurre a los instrumentos de evaluación y responde a conciencia el instrumento denominado autoevaluación de forma individual, recuerda que al ser honesto con tu conocimiento lograrás generar un mayor logró de las competencias, al terminar, utilicen el formato denominado co-evaluación, compleméntenlo ente todos como equipo de trabajo, evaluando las aportaciones de todos, recuerda que la única forma de apoyar a tus compañeros es siendo totalmente sincero. Una vez que terminen los formatos deberán entregarlos al asesor.
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A continuación ponemos a tu disposición recursos de los temas que revisarás para facilitar tu aprendizaje, los cuales podrás encontrar en las bibliotecas de tu escuela o comunidad, incluso algunos en linea. Módulo 1. Cálculo Diferencial e Integral VIDEOS
Límites: Explicación con Ejemplos Continuidad (parámetros)
1.-Concepto de límite y continuidad.
Fernández G. J.C. (2010). El Límite de una función. En Vitutor 2010. Recuperado el 2 de agosto del 2010 de http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html Fernández G. J.C. (2010). Continuidad de funciones. En Vitutor 2010. Recuperado el 3 de agosto del 2010 de http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html Larson, R.E.; Hostetler, R. P.; Edwards, B.H. (1999). Capítulo 1 Límites y sus propiedades. En Cálculo. (6a. Edición. Col. Granjas Esmeralda). México: Mc Graw Hill. Pp. 55-92. Stewart, J. (2000). Capítulo 2 Límites y derivadas. En Cálculo diferencial e integral. (3a. Edición Col. Cruz Manca, Santa Fe). México:Thomson. Pp. 98-127. Castillo, R. M. del C. (2010). 3. La derivada. En Cálculo Diferencial e Integral.(1ª Edición. Colonia Desarrollo Santa Fe) México: McGraw Hill/ Interamericana Editores. Pp.113-131. Purcell, E.J., Varberg, D. y Rigdon, S. E. (2007) Capítulo 1 Límites. En Cálculo Diferencial e Integral (9ª Edición, Naucalpan de Juárez, Edo de México) México: Pearson Educación. Pp.55-66 y 82-92. Hoffman, L. D., Bradley, G. L. García, Y. M. (2001). Capítulo 1 Funciones gráficas y
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