TAREA DE LA PRIMERA UNIDAD ECUACIONES: 1. En un cajón hay 720 bolas entre tojas, verdes y azules. Las rojas son el doble de las verdes y azules juntas, las verdes son el cuadrado de las bolas azules. ¿Cuántas bolas de cada color hay? Solución: VAR=720……(1)
Bolas: Verde=V Azules=A Rojas= R R=2(V+A) R=(A2A) …………………..(2) V=A2 …….(3) Reemplazando R y V en la ecuación 1:
A2+A+2(A2+A)=720 3 A2+3A=720 A2+A=240 A(A+1)=15X16 A=15 Reemplazando en 2 y 3:
R=2(152+15)=480 V=152=225 A=15
2. En una granja hay 90 animales entre caballos y patos, si hay un total de 260 patas ¿Cuántos caballos y patos hay? Solución: caballos=c
patas de caballos=4c
patos=p
paras de patos=2 p
Cp= 90 …(1)
÷2
4c+2p=total de patas
4c2p=260 …….(2) 2cp=130……….(3)
Restando (3) – (2): C=40 p=50 3. Tres números están en progresión geométrica, cuya suma es 117 y su razón es 3. Hallar ichos números. Solución:
Sea el primer termino ao y la razón geométrica r=3 a1= ao a2= aor a3= aor2 a1+a2+a3= 117 ao+aor+aor2=117 ao(1+r+r2)=117 ao(1+3+9)=117 ao(13)=117 ao=9 a1= ao=9 a2= aor=9(3)=27 a3= aor2=9(9)=81 4. La diagonal de un cuadrado es Solución:
√ .hallar la dimensión de su lado.
Sabemos que la diagonal de un cuadrado es su lado multiplicado por Diagonal
=l
√
√
Del dato del problema diagonal= Entonces l
√ =√
l=1
√
5. La suma de 2 números es 35 y la suma de sus cuadrados es 625. Hallar dichos números. Solución:
Sean x e y los números Xy=35
………..(1)
X2+y2=625 …….(2) Sabemos que: (x+y)2= X2+y2+2xy (35)2=625+2xy 600=2xy Xy=300 Xy=15(20) X=15 Y=20 6. Hallar la altura de un triangulo equilátero de 10 cm. De lado. Solución:
por Pitágoras tenemos: 102=h2+52 100= h2+25
√ =8,67 cm.
h2=75 entonces h=
7. Un rectángulo tiene 300cm2 de área y un cuadrado 144 cm 2 ¿Cuántos centímetros se debe aumentar al cuadrado para que las áreas sean iguales? Solución:
Área
ABCD=300 cm2 del rectángulo
Area del cuadrado
L2=144 L=12 cm.
Sea x la cantidad que se tiene que aumentar al lado del cuadrado. (L+x)2=300
√ =17,32
12+x=
X=5.32 cm. 8. La suma de los cubos de dos números es 152 y la diferencia de sus cubos es 98. Hallar dichos números. Solución:
Sean a u b los números dados: a3+b3=152 …..(1) a3-b3=98…………(2) 2 a3=250 a3=125 a=5 Reemplazando a en (2): 125 - b3 =98
b3 =27 b=3 9. Resolver:
Solución:
2(x-1)(7x-9)=3(x2-9) 2(7x2-9x-7x+9)=3x2-27 2(7x2-16x+9)=3x2-27 14x2-32x+18=3x2-27 11x2-32x+45=0 Por el método general de un trinomio:
√ Sabemos: √ Sabemos: √ √ √ = 30,19 i 10.Resolver:
Solución:
X2+4x+4=(x+2)2
2=5x2+13x+6 5x2+13x+4=0 Por el método general de un trinomio:
INTERVALOS 1. Hallar el complemento de A= <-3, 5> Solución:
Sabemos A+A` =U Donde A` = es el complemento de A y U es el universo de A y U es el universo = <- ∞, ∞>
Sea U:
Por lo tanto A` =<-∞, -3+ U *5, ∞> 2. Dado los intervalos A= [ - ∞,-3> Y B= < -1, 5], hallar A Solución:
Graficando los intervalos tenemos.
-2 Notamos que la intersección va ser: AB=<-1, 3>
-1 0
3
5
B
3. Si A=[ -3, 2> Y B= < -4, 3], Hallar Solución:
-4
-3
2
3
Como observamos A B por lo tanto: AUB=B y (AUB)`= B` CUD= B` =<- ∞, -4+ U <3, ∞+ 4. Con los intervalos A= [ -2,4] y <-4, 5> hallar Solución:
Graficando tenemos:
-4 -2
4
Como A está contenido en B Entonces AB=A y (AB)`=A` (AB)`=<-∞, -2> U <4, ∞>
5 A B
REPARTO PROPORCIONAL 1. Una guarnición de 80 soldados tiene víveres para 30 días, si llegan 40 soldados de refuerzo ¿para cuantos días alcanzarán los víveres si las raciones diarias son las mismas? Solución:
80 soldados
comen
30 días
120 soldados comen x días Sabemos que a más soldados comerán menos días, por lo que el número de soldados mantiene una relación inversa con el número de días que comerán. Por lo tanto ( soldados) ( días que comen) =c (contante) (80) (30) =120 x X=20 días Entonces 120 soldados comerán 20 días.
2. Si 4 operarios hacen una obra en 20 días ¿Cuántos operarios debe aumentarse para hacer la misma obra en 5 días? Solución: operarios
Obra
días
4 4+x
20 5
Sabemos que
1 1 operarios d.p
obra
operarios I.p
días
X= de operarios se aumentaron Entonces:
d.p= directamente proporcional I.p= inversamente proporcional Para el problema tenemos:
80=5(4+x) 16 = 4+x X = 12 operarios
3. Pedro tiene 30 años ¿Cuál será su edad después de aumentarse el 20%? Solución:
Edad de Pedro=30 =100% Aumenta el 20% entonces tendrá el 120% (30) =36 años 4. De un pueblo de 300 habitantes acuden a las elecciones de su alcalde 1200 habitantes ¿Qué porcentaje ha asistido a dicho evento? Solución:
Sabemos que el porcentaje se mide de la siguiente manera:
: una cierta cantidad del total : Total Para el problema tenemos:
Asistió al evento
5. Si un auto tarda 3 horas en recorrer un camino a 20 km/h ¿Cuánto tardara en realizar ese mismo recorrido a 60 km./h? Solución:
velocidad
horas
recorrido
20 km/h 60 km/h
3h x
60 km 60 km
Como velocidad dp recorrido Velocidad Ip horas Entonces tenemos que:
Para el problema tenemos:
X= 1 hora
6. Repartir 1200 directamente a los números 1,2,3,4 Solución:
Sean A,B,C,D las cantidades ya repartidas donde A+B+C+D=1200 Como son proporcionales a 1,2,3,4 entonces:
A=K B=2K C=3K D=4K A+B+C+D=K+2K+3K+4K=1200 10K=1200 K=120 Reemplazando K tenemos: A=120 B=240 C= 360 D=480
7. Las utilidades de una empresa al término del año ascienden a 12000 soles. El capital es aportado por tres socios: Juan con 2000 soles, Antonio con 3000 soles y Pedro con 5000 soles. ¿Cuánto corresponde de utilidad a cada uno de los socios? Solución:
Sabemos que las utilidades es directamente proporcional al capital aportado: Capital de Juan=2000 soles Capital de Antonio=3000 soles Capital de Pedro=5000 soles Entonces: La utilidad de Juan es d.p a 2 La utilidad de Antonio es d.p a 3 La utilidad de Pedro es d.p a 5 Sea: J: utilidad de Juan A: utilidad de Antonio
P: utilidad de Pedro J+A+P= 12000 soles También sabemos:
J=2K A=3K P=5K J+A+P=2K+3K+5K=12000 10K=12000 K=1200 Entonces: J=2400 A=3600 P=6000
8. Repartir 1100 inversamente proporcionales a los números 1,2,3. Solución:
Sea A,B,C los números ya repartidos que son inversamente proporcional a 1,2,3 entonces se cumple: A(1)=B(2)=C(3)=K
A+B+C= A=K
11K=6(1100) entonces K=600 A=600
9. Repartir 1200 directamente a 1,2,3 e inversamente proporcional a Solución:
Sean A,B,C, los números repartidos directamente proporcional 1,2,3, e inversamente
proporcional a
() () () A+B+C=
Reemplazando K:
10. José por trabajar 6 horas diarias recibe como salario 480 soles semanales. El gerente indica que aumentará su trabajo en 2 horas diarias ¿Cuál será su nuevo sueldo? Solución:
horas
6 8 Como es horas es d.p. a salario
Salario
480 soles x
En el problema tenemos:
X= 640
11. Un ventilador da 600 vueltas en 10 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora y 20 minutos? Solución:
vueltas
Tiempo
600 10 minutos x 80 minutos Sabemos que el tiempo d.p. Vueltas entonces
Para el problema tenemos:
X= 4800 vueltas
12. Trabajando 4 horas diarias los obreros de una empresa demoran 9 días para terminar una obra ¿en cuantos días terminaran la misma obra trabajando a razón de 3 horas diarias? Solución:
obreros
n n
horas diarias
días
4 3
9 x
obra
1 1
Como el de obreros no se altera, no interviene en la aplicación de proporcionalidad. Sabemos que: Horas diarias I.P. a días de trabajo, por lo tanto se cumple: ( Horas diarias) ( Días de trabajo) = constante Para el problema tenemos: 4 (9) =3x X= 12 días se demoraron en hacer dicha obra 13. Se repartirá la utilidad de 6000 soles entre los trabajadores de una empresa en función a su productividad ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Trabajador Luis Calderón Yarleque Julio Rojas Yoshida Jaime Paredes Sánchez Alfredo Medina Corcuera
Productividad 100 200 300 400
Solución:
Según su productividad observamos que la utilidad se repartirá proporcionalmente a 1,2,3,4. Sean A,B,C,D las cantidades repartidas, entonces se cumplirá:
A=K B=2K C=3K D=4K A+B+C+D=K+2K+3K+4K 10K=6000 K=600 A=600 B=1200 C=1800 D=2400 A recibe 600 soles B recibe 1200 soles C recibe 1800 soles D recibe 2400 soles
LOGARITMOS 1. Hallar el PH de una solución cuya concentración de [H +]=0,025 M. Solución:
Sabemos PH= -log [H+] PH= -log [0,025] PH= -log [10-3.25] PH= -log10-3- log 25] PH=3-1.03979 PH=1.602 2. Si el PH de una solución es PH=0,015 ¿cuál es la concentración de [H+]? Solución:
Sabemos: PH=-log [H+] 0,015=-log [H+] -0,015=log [H+] (10)-0,015=[H+] 0,97 M=[H+] 3. Hallar x en log(x2+3x+12)=2 Solución:
Log (x2+3x+12)=2 X2+3x+12=102=100 X2+3x=88 X(x+3)=11(8) X=8 4. Hallar x en Solución:
√
X = 10
5. Hallar x en 2logx=log(6x+7) Solución:
2 logx =log (6x+7) Logx2=log(6x+7) X2=6x+7 X2-6x-7=0 (x -7) (x +1) X2-6x-7=(x-7)(x+1) x-7=0 x+1=0 x=7 x=-1 6. Hallar x en: Log(x+10)-log (2x+5)=log(x-4) Solución:
X+10=2x2-8x+5x-20 X+10=2x2-3x-20 0=2x2-4x-30 =(2x+6) (x-5) 2x+6=0 x – 5=0 2x=- 6 x=5 X=-3
√ Solución: 2 =√ ===
7. Hallar x en x= x
