Universidad Nacional Experimental del Táchira Vice-Rectorado Académico Decanato de Postgrado Maestría en Ingeniería Mecánica
MATEMÁTICA AVANZADA INTRODUCCIÓN Los estudios de matemática avanzada en los cursos de Post-Grado comprende los temas de análisis vectorial, álgebra lineal, transformadas y algunos tópicos de análisis funcional, temas clásicos en el desarrollo de la matemática, en la íntima relación de lo que se llama la matemática pura y la aplicada, a esta parte de la ciencia matemática se dedicaron las mentes más brillantes que ha producido la humanidad, los nombres de Euler, Gauss, Newton, Bernoulli, Lagrange, Laplace, Fourier y otros estarán extremamente vinculados a esta rama de la matemática. La matemática está íntimamente vinculada al desarrollo de nuestra civilización, algunas veces se desarrollan ramas de ella, en una forma totalmente abstracta para posteriormente descubrir aplicaciones de diversos campos, tal es el caso por ejemplo de las secciones cónicas o números complejos. En otros casos la necesidad de resolver un problema que nos plantea la realidad, obliga a crear nuevos entes matemáticos que permitan resolverlo, tal es el caso de las Series de Fourier. Nuestra época ha visto el desarrollo de nuevas áreas de la matemática: Conjuntos Difusos, Teoría del Caos, Teoría de Catástrofe, Matemática no Determinista, Matemática de la Complejidad, etc., no sabemos que futuras aplicaciones se descubrirán, en todo caso lo que si sabemos que todo pasa por un conocimiento adecuado de lo que se llama Matemática Avanzada.
OBJETIVOS
1. Profundizar los conceptos matemáticos de los estudios de tercer nivel. 2. Lograr que el estudiante se familiarice con los razonamientos matemáticos y el modelaje que proporciona lo que se denomina matemática avanzada. 3. Reconocer la unidad estructural de la matemática en sus diversos desarrollos. 4. Aplicar los conceptos de la matemática matemática avanzada en la resolución de problemas de carácter práctico.
CONTENIDOS DE MATEMÁTICA AVANZADA Tema 1. Transformada de Laplace (TL). Repaso de Variables y Funciones Complejas. Función escalón, interruptor, impulso y rampa. Definición de la TL. TL de funciones elementales usando la definición. Propiedades y teoremas de la TL: Linealidad, derivación, integración, desplazamiento, funciones periódicas, convolución, teorema del valor inicial y final. La transformada inversa de Laplace: definición, funciones estrictamente propias, expansión en fracciones parciales y uso de tablas. Aplicación de la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Uso de funciones de MATLAB asociadas. Tema 2. Series e Integrales de Fourier. Aproximación polinomial trigonométrica y el error cuadrático medio. Coeficientes de Fourier. Expansión en Serie de Fourier de funciones periódicas. Convergencia del desarrollo de Fourier y condiciones de Dirichlet. Funciones continuas a trozos. Forma compleja de la Serie de Fourier. Transformada de Fourier. Transformadas de Fourier de funciones elementales. Propiedades y características. Aplicaciones típicas. Tema 3. Análisis Vectorial.. Cálculo diferencial vectorial: Campos escalares y campos vectoriales. Derivada direccional y gradiente de un campo escalar. Divergencia de un campo vectorial. Rotacional de un campo vectorial. Integrales de línea y de superficie. Teoremas fundamentales del cálculo vectorial: Teoremas de Green, Gauss y Stoke. Aplicaciones. Tema 4. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Concepto básicos. Clasificación y características. Ecuaciones diferenciales parciales básicas: ecuación de onda, ecuación del calor y ecuación de Laplace. Método de separación de variables. Solución de la ecuación del calor mediante series e integrales de Fourier. Solución por transformadas de Laplace. Solución por transformadas de Fourier. Solución por transformadas de Laplace. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales.
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN EXAMEN Examen No 1 Examen No 2 Examen No 3 Examen No 4 Examen No 5 Trabajo Individual
SEMANA Segunda Tercera Cuarta Quinta Sexta Sexta
PONDERACION 15% 15% 15% 15% 20% 20%
PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES SEMANA 1 2 3 4 5 6
ACTIVIDAD Tema 1. Tema 2. Final Tema 2 y Tema 3. Final Tema 3 y Tema 4. Final Tema 4 Final Tema 4. Conclusiones.
BIBLIOGRAFÍA Bronson, Richard. Matrix Methods, An Introduction. Academic Press.1970. New York. U.S.A. Davis, H y Zinder, A. Introducción al Análisis Vectorial, Mc Graw - Hill. Primera Edición. 1992. México. Dettman, John. Introducción al Álgebra Lineal y a las Ecuaciones Diferenciales. Mc Graw Hill. Primera Edición. 1975. México. Duchateau, Paul y Zachmann, David. Ecuaciones Diferenciales Parciales. Mc Graw - Hill. Serie Schaum, Primera Edición. 1988. México. Florey, Francis. Fundamentos de Álgebra Lineal y Aplicaciones. Primera Edición. Prentice Hall. 1979. Bogotá. Colombia. Hadley, G. Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano, S.A. Primera Edición Bilingüe. 1969. México. Kreyszig, Erwin. Matemática Avanzada para Ingeniería. Editorial Limusa. Tercera Edición. 1979. México. Vol. I y Vol. 2. Lipschutz, Seymour. Algebra Lineal. Mc Graw - Hill. Serie Schaum, Primera Edición. 1970. México. Marsden – Tromba. Cálculo Vectorial. Fondo Educativo Interamericana. 1984. México. Simmons, George. Ecuaciones Diferenciales. Segunda Edición, 1993. Madrid. España
