1.- Guía de Ejercicios de Números Complejos TERCERO MEDIO

Profesor: Eduardo Vargas Dpto de Matemáticas Liceo Inds. Domingo Matte

Guía de Ejercicios de Números Complejos Nombre:______________________________, Curso: IIIº Medio ___ Contenidos a Evaluar:



Números Complejos o Propiedades y clasificación Operaciones básicas y potencias de “i” o Representación Geométrica o

Ejercicio 1: Utilicen el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) x² + 4 = 0 d) – x² – 9 = 0 g)

1 x ²



4



11

b) x² + 5 = 0 e) 9 x² + 16 = 0

c) x² – 10 = 2 x² f) ( x + 5 )² = 10 x

h) ( x – 2 ) ( – x – 2 ) = 20

i) ( x – 8 )² = – 16 x

j) 3 ( 2 – 2 x ) = ( x – 4 ) ( x – 2 )

k) ( 2 x² – 1 )² = ( 1 + 2 x ) ( 1 – 2 x ) – 1

Ejercicio 2: Completen la siguiente tabla: Número Complejo

Parte Real

Parte Imaginaria

Z

Re (z)

Im(z)

2

8

– 4

2/3

1

–3

0

4

4

0

0

0

5+3i

2 –

3 i

5i

¿es complejo, real o imaginario puro?


CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Ejemplos: z 1 = – 1 – 2

i

z 1

= – 1 + 2 i

– z 1 = 1 + 2 i

z 2 =

4i

z 2

= – 4 i

– z 2 = – 4 i

z 3 =

6

z 3

=6

– z 3 = – 6

Ejercicio 3: Completen el siguiente cuadro: z

Opuesto – z

Conjugado z

⅔+ ¾ i

2 – 6 i – 7 +

3 i

– 3 –

2 – ½ i

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN N° COMPLEJO

Ejercicio 4: Representar los siguientes números complejos: z 1 = – 1 – i

z 2 = – 3

+2i

z 3 =

2 – 3i

5 i


Ejercicio 5: Dado

z  5  3 i

, graficar z ,



z , z ,



z . ¿Qué relación existe entre ellos?

MÓDULO Y ARGUMENTO

Ejercicio 6: Hallar el módulo de los siguientes complejos y graficarlos: a) 5 – 2 i

b) –3 + ½ i

d) – 1 – i

c) ⅔ + i

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS En los siguientes ejemplos pueden observar cómo sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números complejos:

Suma:

( 2 + 3 i ) + ( 1 – 5 i )

= ( 2 + 1 ) + ( 3 – 5 ) i =

Resta:

( 2 + 3 i ) – ( 1 – 5 i )

=

3 – 2 i

( 2 – 1 ) + ( 3 –( –5) i) =

1+8i

Multiplicación: ( 2 + 3 i ) . ( 1 – 5 i ) = 2 . 1 + 2 . ( –5i) + 3 i.1 + 3i .( –5i) = = 2 – 10 i

+ 3 i – 15 i²

=

17 – 7 i

División: Para resolver la división de dos números complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos a ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo:

2  3i 1  5i

=

2  3i 1  5i . 1  5i 1  5i

=

2  10 i  3i  15i ² 1²  (5i)²



=

13  13i 1  25

=

1 2

1



i

2

Multiplicar por una fracción de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1, por lo tanto, la igualdad no se altera.

Ejercicio 7: Consideren los complejos:

z 1 = –2

+i

;

z 2 = 3

+5i ;

z 3 =

4 – i

y resuelvan

las siguientes operaciones: a)

z 1 + z 2 – z 3 =

e) ( z 1 + z 2 ). z 3 =

b)

z 1 + z 2

f) ( –

z 1 + z 2

– z 3 =

c)

).( z 1 – z 3 ) =

g) z 1 .

z 1 – z 3

=

z 2 – z 3 =

d) 5.

z 3 =

h) ( z 3 )² =


Ejercicio 8: Consideren los complejos:

z 1 =

3 – i

;

z 2 = –

4i ;

z 3 =

7+2i

y resuelvan las

siguientes divisiones:

a)

z 2 z 1

z 1

b)



z 3

c)



z 3 z 2

d)



z 2 z 3



e) 16.

z 3

=

f)

z 2

1 z 1

=

Ejercicio 9: Calcular las siguientes potencias: 127

a)

i

b)

i

44

c)

i

242

d)

i

69

e)



i

94



12

f) ( i )



4

3 5

g) ( i )



9

h) ( i )





i

33

.i 11

j)

i

2022



: i3

k) x + 1 =



27

i)

l) x – i =



i



i

27

3



10) Ejercicios combinados en C: a)

b)

(1  2i)².i

47

(3  2i)  ( 2  i) i

253



=

(3  2i )  (3  2i )

( 4  2i )  ( 2  i )

(R:

=

1 2



(R:

1



c)

(2  i) .(2  i)² i

39

.(3  2i)



(R:

3 2



i)

5i 13



d)

)

7  4i 13

e)

2  2i ³ 3i 2i (1  i)² (

)

f)

5

2 2









1 i

=

(1  i )² 2i 2

2

1 i

2i



i )²

=

11) Ecuaciones en C: Hallar el valor de z: a) z . ( 2 – 3 i ) + ( – 2 – i ) = 3 – 2 i

b) ( – 1 , – 2 ) – z = ( 1 , – 1 )

c) ( 2 , – 3 ) + z = ( –1 , 2 )

d) ( – 2 ,

e) ( 1 – i ) . z = – 1 + i

2 ) + z = ( – 2 , 3 2 ) – z

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