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Nota: Colegio Nueva Braunau Enseñanza media, Matemáticas Profesora: Carolina Cabrera Valdebenito
Guía SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. LINEALES. 1. Ecuaciones con dos incógnitas. i ncógnitas.
En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es es una ecuación con dos incógnitas. El par de valores x = 6 , y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 · 6 - 5 · 1 = . Definición: !lamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que "acen
cierta la igualdad. #a$e destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos in%initas soluciones. Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.
Para o$tener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas & se le dan valores a la otra. 'i representamos las dos ecuaciones que %orman un sistema como dos rectas, se puede o$servar que el punto donde se cortan dic"as rectas (si se cortan) es la solución al sistema.
x y 5 Ejemplo* 2 x y
y
y
5
2 x
x
Tabla de la 1ª Ecuación
Tabla de la 2ª Ecuación
la
Representación gráfica de abas ecuaci!nes" #$u% p!de!s !bser&ar có! s!lución del sistea es x=' e y=1
2. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. 2.1. Método de sustitución.
Este m+todo de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones & sustituir en la otra.
escri$amos los pasos que conviene dar para aplicar este m+todo* 1. 'e despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. 'e sustitu&e la epresión de esta incógnita en la otra ecuación, o$teniendo una ecuación con una sola incógnita. /. 'e resuelve esta ecuación. 0. El valor o$tenido se sustitu&e en la ecuación en la que apareca la incógnita despejada. 5. 'e "a o$tenido, as, la solución. 2.2. Método de igualación. ste m+todo consiste en despejar la misma incógnita en am$as ecuaciones e igualar las epresiones resultantes. escri$amos los pasos que conviene dar para aplicar este m+todo* 1. 'e despeja la misma incógnita en am$as ecuaciones. 2. 'e igualan las epresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita. /. 'e resuelve esta ecuación. 0. El valor o$tenido se sustitu&e en cualquiera de las dos epresiones en las que apareca despejara la otra incógnita. 5. 'e "a o$tenido as la solución. 2.3. Método de reducción.
Este m+todo consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coe%iciente en am$as. 3estando las ecuaciones resultantes, miem$ro a miem$ro, se o$tiene una ecuación con sólo una incógnita (se "a reducido el n4mero de incógnitas). 3esumamos los pasos que de$emos dar* 1. 'e preparan las dos ecuaciones (multiplicndolas por los n4meros que convenga). 2. l restarlas desaparece una de las incógnitas. /. 'e resuelve la ecuación resultante. 0. El valor o$tenido se sustitu&e en una de las iniciales & se resuelve. 5. 'e o$tiene, as, la solución. *Ejercicio resuelto por el métoo e reucci!"#
/ x 0 y 7 Puesto que el coe%iciente de la & en la primera ecuación es do$le que en la segunda, 5 x 2 y 15 multiplicando +sta por 2 se igualarn los coe%icientes. 3estando, se eliminar esta incógnita.
!
/ x 0 y 7 / x 0 y 7 * a+!ra suand! abas ecuaci!nes se (ultiplicand! p!r -2) 18 x 0 y /8 5 x 2 y 15 21 = /9 "ora sustituimos =/ en cualquiera de las epresiones inciales /:0&=7 /·/:0&=7 0&=8
!btiene l! siguiente) &=8.
- = -219 =
3. Reglas prácticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
'i una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto eterno complicado, se empie;a por
El m+todo de sustitución es especialmente 4til cuando una de las incógnitas tiene coe%iciente 1 ó -1 en alguna de las ecuaciones. > El m+todo de reducción es mu& cómodo de aplicar cuando una de las incógnitas tiene el mismo coe%iciente en las dos ecuaciones o $ien sus coe%icientes son uno m4ltiplo del otro. > 'i queremos evitar las operaciones con %racciones, podemos conseguirlo aplicando dos veces el m+todo de reducción para despejar, as, una & otra incógnita. Este consejo es especialmente 4til cuando los coe%icientes de las incógnitas son n4meros grandes.
ACTI$IDADES Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones ! di"u#a al menos dos de ellos.
(0 puntos cada sistema de ecuaciones, 20 puntos en total?? 0 puntos cada gr%ica, @ puntos en total. a$ :&=29 2:/&=5. d$ 2-&=/9 0:/&=1 g$ /-2&=/9 -/&=-6
"$ :&=19 /:2&=/ e$ :&=19 /-0&= %$ 5-&=79 -&=1
"
#
Resuelve los siguientes pro"lemas ! reali&a graficas representativas. ' ( puntos cada uno) 2* puntos en total$ !a #i%ra de las decenas de un n4mero de dos ci%ras es el do$le de la ci%ra de las unidades, & si a dic"o n4mero le restamos 2 se o$tiene el n4mero que resulta de invertir el orden de sus ci%ras. +,uál es dic%o 1.
n-mero 2. !a edad de Aara es do$le que la edad de Bulia. Cace die; aDos la suma de las edades de las dos era igual a la edad actual de Aara. +,uál son las edades actuales de Mar/a ! 0ulia 3. Por 568 pesetas se "an comprado 6 g de a;4car de la clase & dos g de a;4car de la clase F. 'e me;cla 1 g de a;4car de cada clase & se o$tiene una me;cla que vale 5 ptas. El g. +,-anto vale el g de a&-car de la clase + el de la clase 4
$ 5. Gn comerciante compra un paDuelo & una $u%anda por 2888 ptas & los vende por 2268 ptas. +,uánto le costó cada o"#eto6 sa"iendo 7ue en la venta del pa8uelo ganó el 1* por 1** ! en la venta de la "ufanda ganó el 1( por 1**
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