2. Probabilidade Probabilidades s 1 Definiciones
El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemplo: 1) Pilar y Álvaro tienen un 27% de probabilidades de ganarse un
viaje al extranjero. 2) Los alumnos del Colegio de Santa Luisa tienen un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad. En los ejemplos, se da una medida de la ocurrencia de una situación que es incierta (ganarse un viaje o ingresar a la universidad), y esta se expresa mediante un número. 1.1 Experimentos aleatorios
Representan aquellas situaciones en las cuales podemos conocer todas las posibilidades de resultados que ocurrirán, pero no cuál es el resultado exacto que va a ocurrir. ocurrir.
2. Probabilidade Probabilidades s 1.2 Espacio muestral
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo:
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo:
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral si se lanza una moneda y un dado de seis caras? Usamos el principio multiplicativo: Moneda: 2 posibilidades Dado: 6 posibilidades 2 · 6 = 12 elementos
Cuando un experimento tiene a resultados y se repite n veces, el espacio muestral tiene a elementos. n
2. Probabilidades 1.3 Evento o suceso
Corresponde a un subconjunto del espacio muestral, determinado por una condición establecida. Ejemplo:
Al lanzar dos monedas, que salgan solo dos caras; el evento determinado es: A = Que salgan dos caras.
Los sucesos se designan con letras mayúsculas.
Ejemplo:
En el lanzamiento de un dado, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral y cuántos el suceso “que salga un número par”? Espacio muestral : 6 elementos. Suceso B = que salga un número par : 3 elementos
2. Probabilidades 2 Probabilidad clásica
Está íntimamente ligada al concepto de azar y ayuda a comprender las posibilidades de los resultados de un experimento. Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se aproximará a “0”. Si A representa un evento o suceso, se cumple que: 0 P(A) 1
o
0% P(A) 100%
2. Probabilidades 2.1 Regla de Laplace
Una probabilidad se calcula utilizando la siguiente fórmula: P(A) =
Casos favorables Casos posibles
cardinalidad del evento o suceso. cardinalidad del espacio muestral.
Ejemplo:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo? Solución:
El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto los casos posibles son 6. Sea el evento o suceso A = que salga un número primo, entonces A = {2, 3, 5}, por lo tanto los casos favorables son 3. Luego: P(A) = 3 = 1 6 2
2. Probabilidades 2.2 Tipos de sucesos Suceso imposible
Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá: P(A) = 0 Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6). Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 0 P(mayor que 6) = 0 = 0 6
2. Probabilidades 2.2 Tipos de sucesos Suceso seguro
Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá: Ejemplo:
P(A) = 1
La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6). Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) Casos favorables: 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) P(natural) =
6 =1 6
Probabilidades 2.2 Tipos de sucesos Suceso contrario
La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o probabilidad de un suceso contrario, se obtiene a través de: P(A) = 1 – P(A) Ejemplo:
Si la probabilidad de que llueva es 2 , ¿cuál es la probabilidad de que 5 NO llueva? Solución:
P(no llueva) = 1 – P(llueva) P(no llueva) = 1 – 2 5 P(no llueva) = 3 5
Probabilidades 2.3 Ley de los grandes números
Cuando todos los resultados de un experimento son equiprobables (tienen la misma probabilidad de ocurrir), se pueden establecer algunas conclusiones relacionando la probabilidad con la frecuencia absoluta de cada evento. Por ejemplo, Mariela lanzó un dado 100 veces y registró los resultados en la siguiente tabla: Nº Cantidad de Frecuencia veces que salió
1 2 3 4 5 6
15 17 20 19 13 16 100
absoluta
0,15 0,17 0, 20 0,19 0,13 0,16
2. Probabilidades 2.3 Ley de los grandes números
Luego, volvió a lanzar pero 1.000 veces el mismo dado y agregó los datos en una nueva tabla: Nº
1 2 3 4 5 6
Cantidad de veces que salió
158 161 168 165 176 172
Frecuencia absoluta
0,158 0,161 0, 168 0,165 0,176 0,172
1.000
¿Es posible establecer alguna relación entre las tablas y la probabilidad de que salga un 2?
2. Probabilidades 2.3 Ley de los grandes números
La probabilidad de que salga un 2 al lanzar un dado es: P(2) = 1 , que es equivalente a decir P(2) = 0,16666 … 6 En la primera tabla la frecuencia absoluta del número 2, es 0,17 En la segunda tabla la frecuencia absoluta del número 2, es 0,161 Nº
Cantidad de veces que salió
Frecuencia absoluta
Nº
2
17
0,17
2
100
Cantidad de veces que salió
161
Frecuencia absoluta
0,161
1.000
Si comparamos los resultados obtenidos con la probabilidad que salga el número 2, se puede concluir que a mayor cantidad de repeticiones del experimento, este siempre tenderá a la probabilidad calculada a priori.
Síntesis de la clase
Probabilidad
Regla de Laplace Tipos de sucesos Ley de los grandes números
P=
Casos favorables Casos posibles
1. Diagrama de árbol En algunos casos, para calcular la probabilidad son muy útiles los diagramas de árbol cuyas ramas nos indican las distintas posibilidades que pueden existir. Ejemplo: Al lanzar tres
monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo más 2 caras? Solución:
Al realizar un diagrama de árbol para entender las posibilidades tenemos:
1. Diagrama de árbol Existen 8 formas distintas, casos posibles, en que pueden caer 3 monedas. La frase a lo más significa menor o igual que. Por lo tanto, el evento buscado es que salgan 0, 1 o 2 caras. El evento tiene 7 casos favorables , luego su probabilidad es: P(a lo más 2 caras) = 7 8
3. Leyes de probabilidad 3.1 Ley de probabilidad total
Eventos: MUTUAMENTE EXCLUYENTES – Unión de dos Eventos Cuando A y B son eventos en que si ocurre uno el otro no puede ocurrir, entonces la probabilidad está dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) Donde A U B representa la suma de los elementos que cumplen alguna de las condiciones de los sucesos.
Los ejercicios de ley de probabilidad total es posible identificarlos, ya que aparece una “o” en el enunciado.
3. Leyes de probabilidad 3.1 Ley de probabilidad total Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un
número menor que 2 o mayor que 5? Solución:
P( número menor que 2) = 1 6 P(número mayor que 5) = 16 Luego, se observa que NO se repite ningún elemento. Desarrollando: P((< 2) o (> 5)) = P((< 2) U (> 5)) = P(< 2) + P(> 5) = 1+ 1 6 6 = 1 3
3. Leyes de probabilidad 3.1 Ley de probabilidad total
Eventos: NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES – Unión de dos eventos Cuando A y B son eventos en que pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces la probabilidad está dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B) U
Donde A sucesos.
∩
B representa la cantidad de elementos comunes entre los
Los ejercicios de ley de probabilidad total es posible identificarlos, ya que aparece una “o” en el enunciado.
3. Leyes de probabilidad 3.1 Ley de probabilidad total Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un
número menor que 5 o un número par? Solución:
P( número menor que 5) = 46 P(número par) = 3 6 Luego, se observa que se repiten dos elementos {2, 4}, por lo tanto se debe restar 2 que corresponde a la intersección. Desarrollando: 6 P ((< 5) o (par)) = P(< 5) + P(par) – P((< 5) (par)) = 4 + 3 – 26 6 6 = 5 6
3. Leyes de probabilidad 3.3 Ley de probabilidad compuesta
Eventos: Independientes – Intersección de dos eventos Cuando A y B son eventos en que la ocurrencia de uno NO afecta la ocurrencia del otro, entonces la probabilidad está dada por: P(A y B) = P(A) • P(B)
Los ejercicios de ley de probabilidad compuesta es posible identificarlos, ya que, en muchos casos, aparece una “y” en el enunciado.
3. Leyes de probabilidad 3.3 Ley de probabilidad compuesta Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado
se obtengan dos números pares? Solución:
P(número par) = 36 Si en el primer lanzamiento sale número par, esto no influye en que en el segundo lanzamiento salga número par, por lo tanto son independientes. P(par y par) = P(par) · P(par) 3 3 = · 6 6 = 1 4
3. Leyes de probabilidad 3.3 Ley de probabilidad compuesta Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 bolitas entre blancas y rojas, de las
cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 bolitas al azar, con reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Solución:
P(pelota blanca) = 12 30 Si en la primera extracción sale una bolita blanca, al extraer la segunda bolita no influye en su probabilidad, ya que se repone a la bolsa. Por lo tanto, son independientes. P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) · P(blanca) 12 12 · = 30 30 = 4 25
3. Leyes de probabilidad 3.3 Ley de probabilidad compuesta
Eventos: Dependientes Cuando A y B son eventos en que la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro, entonces la probabilidad está dada por: P(A y B) = P(A) • P(B/A)
Donde B/A representa que el evento B ocurre después de haber ocurrido el evento A, es decir varían los casos posibles y favorables del evento B. Los ejercicios de ley de probabilidad compuesta es posible identificarlos, ya que, en muchos casos, aparece una “y” en el enunciado.
3. Leyes de probabilidad 3.3 Ley de probabilidad compuesta Ejemplo 1: Se tiene una bolsa con 30 bolitas entre blancas y rojas, de las
cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 bolitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Solución:
Si en la primera extracción sale una bolita blanca, al extraer la segunda los casos favorables y posibles varían, ya que hay una bolita menos. 12 P( pelota blanca primera extracción) = 30 P( pelota blanca segunda extracción) = 11 29 P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) · P(blanca/blanca) 12 11 · = 30 29 = 22 145
3. Leyes de probabilidad 3.3 Ley de probabilidad compuesta Ejemplo 2: Se tiene una jaula con 8 pájaros amarillos y 6 celestes. Si se
escapan dos pájaros de la jaula, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea amarillo y el segundo sea celeste? Solución:
Si se escapa un pájaro, al escaparse el segundo ya hay menos pájaros en la jaula, por lo tanto sí afecta la probabilidad del segundo. P (pájaro amarillo) = 8 14 P (pájaro celeste ) = 6 13 P(amarillo) y P(celeste) = P(amarillo) · P(celeste/amarillo) 8 6 · = 14 13 = 24 91
Síntesis de la clase
Probabilidades PROBABILIDAD COMPUESTA
PROBABILIDAD TOTAL
Mutuamente Excluyentes
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Independientes P(A) • P(B)
P(A B) = P(A) + P(B) NO Mutuamente Excluyentes P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Dependientes P(A) • P(B/A) P (B / A)
P ( A B ) P ( A)
3. Leyes de probabilidad 3.2 Ley de probabilidad condicionada
La probabilidad Condicional permite calcular la probabilidad de un evento restringido por la ocurrencia de otro evento, se escribe P(B/A) y se lee «probabilidad de que ocurra un evento B dado que ocurrió un evento A» Se llama probabilidad de B condicionada a A , a la probabilidad de tomando el espacio muestral de A . Es decir, se calcula la probabilidad de dado que ya ocurrió un evento A . Se calcula:
P ( B / A)
B B
P ( A B) P ( A)
El valor de P(A) dependerá si en el experimento hay o no reposición de elementos.
3. Leyes de probabilidad 3.2 Ley de probabilidad condicionada Ejemplo: Una urna contiene 3 bolitas rojas numeradas del 1 al 3 y 6
bolitas amarillas numeradas del 1 al 6. Al extraer una bolita al azar resultó ser un número par, ¿cuál es la probabilidad que la bolita sea roja? Solución:
P(par color rojo) = 1 9 3 1 P(par color amarillo) = 9 = 3 P(par de cualquier color) = 1 + 1 = 4 9 3 9 P(roja/número par)
P(par y roja) P(par)
1 9 4 9
1 4
