1. Estadistica Descriptiva - Ejercicios Resueltos y Propuestos

1.- Estadística Descriptiva

– Ejercicios Resueltos – 

Clasificación de variables 

Gráficos Gráficos estadísticos



Medidas de ubicación



Medidas de variabi variabilidad lidad poblacional y muestral



Aplicación de datos no no agrupados y agrupados

1. Estad í st ica D esc rip tiv a – Ejercicios Ejer ci ci os Resueltos Resueltos ANÁL I SIS ESTAD ÍSTI CO

1.- La distribución de los 20.000 empleados de la empresa Alfa, según antigüedad (X) y sueldo mensual (Y) se muestra en la siguiente tabla de proporciones (frecuencias relativas) conjuntas: X Y ( en miles de $) (en años) 50 – 90 90 – 130 130 – 170 170 – 250 menos de 4 0,12 0,08 0,04 0,00 4 – 8 0,08 0,12 0,10 0,05 más de 8 0,00 0,12 0,18 0,11 1.1) Clasifique las variables del problema según tamaña del recorrido y nivel de medición 1.2) Grafique la distribución de los empleados según sueldo mensual 1.3) ¿En qué grupo son más homogéneos los sueldos de la em e mpresa, pre sa, en el de los empleados más nuevos o en el de los más antiguos? Justifique su respuesta. 1.4) Si para las fiestas patrias la empresa otorgo un aguinaldo de $25.000 a los empleados cuyo sueldo era inferior a los $120.000, mientras que para aquellos cuyo sueldo era superior a esa cifra el aguinaldo fue de $15.500, ¿Cuántos de los empleados que tienen más de 8 años de antigüedad en la empresa recibieron un aguinaldo de $15.500?

1.1) Solución: Variable

1.2) Solución:



Según Tamaño del recorrido Discreta Continua



(en miles de $) 50 - 90 90 - 130 130 - 170 170 - 250

Página 2



40 40 40 80

ℎ

0.2 0.32 0.32 0.16 1

Según Nivel de Medición Ordinal De Razón



4000 6400 6400 3200 n = 20.000

k = 40

    ∙    / /

100 160 160 40

/ /

4000 6400 6400 1600

Alejandro Aleja ndro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

1. Estad í st ica D esc rip tiv a – Ejercicios Ejer ci ci os Resueltos Resueltos ANÁL I SIS ESTAD ÍSTI CO

1.- La distribución de los 20.000 empleados de la empresa Alfa, según antigüedad (X) y sueldo mensual (Y) se muestra en la siguiente tabla de proporciones (frecuencias relativas) conjuntas: X Y ( en miles de $) (en años) 50 – 90 90 – 130 130 – 170 170 – 250 menos de 4 0,12 0,08 0,04 0,00 4 – 8 0,08 0,12 0,10 0,05 más de 8 0,00 0,12 0,18 0,11 1.1) Clasifique las variables del problema según tamaña del recorrido y nivel de medición 1.2) Grafique la distribución de los empleados según sueldo mensual 1.3) ¿En qué grupo son más homogéneos los sueldos de la em e mpresa, pre sa, en el de los empleados más nuevos o en el de los más antiguos? Justifique su respuesta. 1.4) Si para las fiestas patrias la empresa otorgo un aguinaldo de $25.000 a los empleados cuyo sueldo era inferior a los $120.000, mientras que para aquellos cuyo sueldo era superior a esa cifra el aguinaldo fue de $15.500, ¿Cuántos de los empleados que tienen más de 8 años de antigüedad en la empresa recibieron un aguinaldo de $15.500?

1.1) Solución: Variable

1.2) Solución:



Según Tamaño del recorrido Discreta Continua



(en miles de $) 50 - 90 90 - 130 130 - 170 170 - 250

Página 2



40 40 40 80

ℎ

0.2 0.32 0.32 0.16 1

Según Nivel de Medición Ordinal De Razón



4000 6400 6400 3200 n = 20.000

k = 40

    ∙    / /

100 160 160 40

/ /

4000 6400 6400 1600

Alejandro Aleja ndro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

1. Estad í st ica D esc rip tiv a – Ejer Ejercicios ci ci os Resueltos Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO

1.3) Solución: Sean:



= “Sueldo empleados más nuevos (menos de de 4 años)” = “Sueldo empleados más antiguos (más de 8 años)”

Obs: La desviación estándar que es calculada corresponde a la poblacional, ya que se trabaja con la totalidad de datos.

    

     ∙    ∙     

= 29,81 29,8142 42 = 96,66 96,6666 66

=

= 37,614 37,6147 7 = 154,39 154,3902 02

=

Debido Respuesta:

( )

∙

100 =

29,8142 100 100 = 30,8 30,842 422% 2% 96,6666

100 =

37,6147 100 100 = 24,3 24,363 633% 3% 154,3902

∙

a que > ( ), la distribución de los sueldos de los empleados más antiguos es más homogénea que la distribución de los sueldos de los empleados menos antiguos.

1.4) Solución:

50 - 90 90 – 130 130 – 170 170 – 250



0 2400 3600 2200 n = 8200

Utilizando la fórmula de percentil:

0 2400 6000 8200

∙ − − ′−    n

Pk =

1

+

i

Ni

100

1

ni

Obs: Recordar que el percentil toma los números menores o igual al número indicado, por lo tanto, en esta ocasión son s on considerados considerados los números contenidos que son menores o iguales a $120.000. $120.000.

∙  ∙ −  8200 8200

120 = 90 + 40



100

0

2400

= 21,95% 1,95% = 0,21 ,2195

Luego, como el ejercicio le solicita la cantidad de empleados con más de 8 años de antigüedad en la empresa que recibieron un aguinaldo de $15.500, o sea , los empleados que tienen un sueldo superior a los $120.000, por ende, tendremos que utilizar propiedades de complemento para poder obtener lo que nos piden.

 –  ∙   ∙ ( > 120) = 1

( < 120) 120) = 0,78 0,7805 05

Finalmente, se multiplica la probabilidad por la población considerada (n): > 120 = 0,78 0,7805 05 8.20 .200 = 6400

El El 78,05% de los emplea em pleados dos con más Respuesta:

de 8 años de antigüedad ganan más de $120.000, $120.000, o sea, reciben un aguinaldo de $15.500, lo que corresponde a 6400 empleados.

Alejandro Gonzále Gonzálezz Tapia – Ingeniería Civil en Minas

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1. Estad í st ica D esc rip tiv a – Ejer ci ci os Resueltos ANÁL I SIS ESTAD ÍSTI CO

2.- Una empresa que se dedica a la fabricación de mallas de acero para hormigón armado, ha tomado una muestra de las mallas que compró una constructora en un mes determinado, registrando por cada unidad el peso de la mañana (en kg.), X, el tipo de malla, Y, (con borde: C, sin borde: S) y el diámetro de las barras (en mm.), Z. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Z menos de 5 (5,0 – 7,0] más de 7

Y C S C S C S

(15 – 28] 10 8 2 2 0 0

X (41 – 54] 4 2 3 5 4 5

(28 – 4] 6 4 8 6 4 2

(54 – 67] 2 0 11 11 20 15

más de 67 0 0 4 0 7 5

2.1) Clasifique las variables según escala de medición y tamaño de recorrido. 2.2) Encuentre la medida de posición más adecuada para el peso de la malla. 2.3) ¿Qué porcentaje de las mallas con bordes tienen un diámetro de barras superiores a 5,5 mm.? 2.4) ¿Cuál es la variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetro de barras menores a 5,0 mm.?

2.1) Solución: Variable X Y Z

Según escala de Medición Ordinal Nominal Ordinal

Según Tamaño de Recorrido Discreta Binaria o Discreta Discreta

2.2) Solución: Notemos que el peso de la malla (X), corresponde a una variable ordinal y asimétrica, por lo que la medida de posición central más adecuada es la Mediana (Me = 54 Kg.)

2.3) Solución: Lo primero será hacer una tabla con los datos que vamos a ocupar, para poder trabajar de una manera más clara.

Luego utilizando la fórmula de percentil, tenemos: Z Menos de 5

∙ −−  ′−     ∙ −

  22

22

(5,0 - 7,0]

28

Más de 7

35 n = 85

50 85

=

1

1

100

+

  ≤  85

5,5 = 5,0 + 2,0



= 34,12% =

100

22

28

5,5

Luego por propiedad de complemento obtenemos el porcentaje que es requerido:

 

> 5,5 = 100%

Página 4

−

= 65,88%

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

1. Estad í st ica D esc rip tiv a – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO

El Respuesta:

porcentaje de las mallas con bordes que tienen un diámetro de barras superiores a 5,5

mm es 65,88% 2.4) Solución: Para empezar distribuimos los datos que utilizaremos, los que serás nuestra herramienta para poder determinar el Coeficiente de Variación, que corresponde a un indicador de variabilidad.



(15 - 28] (28 - 41] (41 - 54] (54 - 67] más de 67

  

21,5 34,5 47,5 60,5

8 4 2 0 0 n = 14

 

= 9.4696

= 28,9286

  ∙ =

100 =

∙

9.4696 100 = 32,74% 28,9286

La Respuesta:

variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetros de barras menores de 5,0 mm es del 32,74% 3. Los siguientes datos corresponden a las cantidades máximas de emisión diarias de óxido de azufre (en toneladas) registrada según planta de emisión, en cierta zona industrial. Cantidad de óxido (ton.) 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30

Planta A 50 30 60 20 40

Planta B 40 30 0 10 20

Planta C 20 40 70 15 5

3.1) Indique la unidad de información y clasifique las variables según escala de medición y tamaño de recorrido 3.2) Entre las plantas B y C, ¿Cuál presenta mayor variabilidad relativa su promedio de óxido de azufre emitido? 3.3) ¿Qué porcentaje de las emisiones producidas por la planta C, supera las 28 toneladas?

3.1) Solución: Unidad de información: La planta de emisión Variable Planta de Emisión Cantidad de Oxido

Según Escala de medición Nominal De Razón


Según Tamaño de recorrido Discreta Continua

Página 5




3.2) Solución: Sea:



= “Cantidades máximas de emisión diarias de óxido de azufre (en ton.)”

5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30



  

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 = 7,8102 = 14,5

= 4,7404 = 15,6666

Comparando Respuesta:

Planta B 40 30 0 10 20

 

∙

Planta C 20 40 70 15 5

=

7,8102 100 = 53,8634% 14,5

=

4,7404 100 = 30,258% 15,6666

∙

ambas plantas, podemos llegar a la conclusión que la planta que presenta mayor variabilidad relativa en su promedio de óxido de azufre emitido corresponde a la Planta B. 3.3) Solución: Exponemos la información de la Planta C





5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25

7,5 12,5 17,5 22,5

25 – 30

27,5





20 40 70 15

20 60 130 145

5

150

Luego, por formula de Percentil, tenemos: 28 = 25 + 5



∙

 −  150

145

100

5

= 98,67%

Luego por propiedad de complemento, obtenemos que el porcentaje que nos piden es 1,33% El Respuesta:

porcentaje de las emisiones producidas por la Planta C que supera las 28 toneladas corresponden al 1,33%. 4.- En una Empresa constructora se ha registrado información respecto: ingreso mensual (Y),

especialidad (X) y permanencia (Z) en la empresa (en que A = antiguo; N = re cién ingresado), de sus trabajadores, obteniendo lo siguiente:

Especialidad Albañil Carpintero Electricista Pintor

Página 6

Z A N A N A N A N

Ingreso mensual, en miles de pesos 100 - 150 150 - 200 200 - 300 más de 300 6 9 5 0 9 11 1 0 1 6 7 9 1 2 3 3 3 5 8 1 1 5 4 0 2 20 2 0 1 10 5 0



4.1) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición. Calcule la medida de posición más adecuada en cada caso. Indique unidad de información. 4.2) Construya un gráfico que permita mostrar la distribución de los trabajadores según especialidad 4.3) Construya un gráfico que permita comparar los ingresos de los pintores según permanencia en la empresa. 4.4) Si entre carpinteros y electricistas tienen un sueldo promedio de $225.000 ¿Cuál es el sueldo promedio de los trabajadores en la Empresa? 4.5) Si la empresa decide mejorar los sueldos de los trabajadores con ingresos inferiores a $180.000 ¿Qué porcentaje de los trabajadores se beneficiará con esta medida? 4.6) Si a los albañiles se les otorga una bonificación de $20.000. Compare la dispersión de los ingresos de los albañiles después de la bonificación con la de los ingresos de los pintores.

4.1) Solución: Variable Especialidad Permanencia Ingreso Mensual

Según Nivel de Medición Nominal Nominal Ordinal

Medida de posición más adecuada Mo: Albañil Mo: Antiguo Me = $183.832,5

Unidad de información: El Trabajador 4.2) Solución: Especialidad Albañil Carpintero Electricista Pintor



41 32 27 40 n = 140

Gráfico de barras se aradas

Gráfico Circular o de Torta


Página 7


4.3) Solución:

Ingreso Pintores 100 – 150 150 – 200 200 – 300 Más de 300





Antiguo 2 20 2 0

ℎ

Recien llegado 1 10 5 0

Antiguo 2 20 1 01

ℎ

Total

Recien llegado 1 10 2,5 0

3 30 3,5 0

Para comparar los ingresos de los pintores según permanencia en la empresa utilizaremos un Histograma rectificado.

4.4) Solución:





100 - 150 150 - 200 200 - 300 Más de 300

125 175 250





(Albañil)

(Pintor)

15 20 6 0 41

3 30 7 0 40

En este ejercicio nos otorgan los sueldos promedios entre carpinteros y electricistas, el que es $225.000, por lo tanto, trabajaremos con los datos entregados para poder encontrar el sueldo promedio del total de los empleados de la Empresa, para esto utilizaremos la fórmula de promedio o media para datos tabulados, la que es:



=

  

Empleando la formula en los albañiles y pintores, respectivamente.

  ∙ ñ

Página 8

=

∙

∙



125 15 + 175 20 + 250 6 6875 = = 167,6829 ( 41 41

$)



 ∙ =

∙

∙



125 3+175 30+250 7 7375 = = 184,375 ( 40 40

$)

Finalmente, para obtener el promedio de los sueldos, se multiplica el promedio por la cantidad de personas, y por último, se divide por el total (n), de la siguiente manera:

 ∙ 6875

=

El Respuesta:

41

41 +

7375 40

∙

∙

40 + 225 59

140



= 196,607 (

$)

sueldo promedio de los trabajadores de la Empresa es $196.607

4.5) Solución:

Utilizando formula de percentil, tenemos que:





100 – 150

24

24

150 – 200

68

92 127 140

200 – 300 Más de 300 El Respuesta:

N i

35 13 n = 140

180 = 150 + 50



∙

 − 140

100

24

68

= 46,286%

porcentaje de los trabajadores que se beneficiarán con la medida será el 46,286%

4.6) Solución: P = “Pintor es” ; A = “Albañiles”; A* = “Albañiles con bonificación”

  ∙ ∗  ∗    ∗  ∗ ∙    ∗ = 32,9239 = 184,375

Por propiedad:

=

;

=

= 0,1786 100 = 17,86%

+ 20

= 41,0398 = 167,6829

= 41,0398 = 187,6829

= 0,2186 100 = 21,86%

La Respuesta:

distribución del sueldo de los pintores tiene menos dispersión (menos variabilidad, es más homogénea) que la de los albañiles bonificados, o de otra forma, La distribución del sueldo de los albañiles bonificados tiene mayor dispersión (mayor variabilidad, más heterogénea) que la de los pintores. 5.- Una empresa constructora de parques y plazas, ha ganado una propuesta para construir áreas verdes en plazas de una determinada región. Las superficies sembradas, en metros cuadrados, en 80 plazas y la mezcla de semilla de pasto utilizadas, se resumen en la siguiente tabla: Mezcla Manquehue Estadio Ray-grass Long Grass-Trevol Total

Superficie sembrada 200 - 1180 1180 - 3140 3140 - 5100 5100 - 6080 más de 6080 7 4 6 2 0 3 6 8 4 3 0 7 9 5 4 2 5 4 1 0 12 22 27 12 7


Página 9


5.1) Clasificación las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recorrido. 5.2) Calcule las medidas marginales de posición más adecuadas para cada variable e indique las correspondientes medidas de dispersión. 5.3) Construya un gráfico que muestre la distribución de las plazas sembradas según mezcla de semilla utilizada. 5.4) Compare la dispersión de las superficies sembradas con mezclas de Manquehue con la dispersión de las superficies sembradas con mezcla Long Grass-Trevol.

5.1) Solución: Variable Mezcla Superficie Sembrada 5.2) Solución: Variable Mezcla Superficie Sembrada

Mezcla Manquehue Estadio Ray- grass Long grass Trevol

Según Nivel de Medición Nominal Ordinal

Según Tamaño de Recorrido Discreta Discreta

Medida Marginal de Posición Moda Mediana

Medida de Dispersión No existe Recorrido intercuartílico



− − 

Sup. Sembrada



1

19 24 25 12 Tabla (i)

200 – 1180 1180 – 3140 3140 – 5100 5100 – 6080 Más de 6080

12 22 27 12 7 n = 80



12 34 61 73 80

Como ya sabemos que la moda corresponde a él valor con mayor frecuencia en una distribución de datos, por lo que sólo basta reconocer cual es el que más se repite, sin necesidad de realizar algún cálculo para determinarlo. En cambio, para poder determinar la Mediana de la Superficie Sembrada, es necesario aplicar la fórmula de Mediana para datos tabulados:



=

 −− ′−     1

+

2

1

Lo primero será identificar el intervalo en el cual trabajaremos, para ello debemos encontrar donde se encuentra la mitad, para ello dividimos el tamaño muestral en dos, lo que da un resultado de 40, el que se encuentra en el intervalo: [3140 – 5100[, por lo que este intervalo utilizaremos para poder conseguir los datos necesarios para obtener la mediana. Reemplazando:

 Respuesta:

Página 10

− ∙  80

= 3140 + 1960

2

34

27

= 3.575,56



2

La Moda es semilla de pasto Ray- grass, y la Mediana es igual a 3.575,56 m 2



5.3) Solución: Graficaremos los datos de la Tabla (i) para poder representar la distribución de las plazas sembradas según mezcla de semilla utilizada

5.4) Solución:



= Sup. Sembrada 200 – 1180 1180 – 3140 3140 – 5100 5100 – 6080 Más de 6080



Manquehue Long grass Trevol 690 7 2 2160 4 5 4120 6 4 5590 2 1 0 0

         = 1747,9860 = 2598,4210 = 1462,6087 = 2854,1666

Como Respuesta:

( ) >

(

=

∙

1747,9860 100 = 67,27% 2598,4210 =

∙

1462,6087 100 = 51,24% 2854,1666

) , la dispersión de las superficies sembradas con mezcla de

Manquehue es más heterogénea que la de las superficies sembradas con mezcla de Long grass Trevol. 6.- La empresa de telecomunicaciones “E -Box” dispone de la siguiente información correspondiente a ingresos (en miles de pesos) y antigüedad, de todos sus empleados (en años), separados por género. Los datos se resumen en el siguiente cuadro: I: Ingreso Miles de $ 200 a 300 300 a 400 400 a 500 500 a 600 Total

Menos de 2 H M 6 10 2 4 0 2 0 0 8 16

A: Antigüedad (años) 2a 4 4a6 H M H 7 3 4 7 5 2 3 0 5 0 0 4 17 8 15


6a8 M 1 1 3 0 5

H 1 1 2 3 7

Total M 0 2 1 1 4

32 24 16 8 80

Página 11


6.1) Construya un gráfico que permita comparar la distribución porcentual de los hombres y de las mujeres según antigüedad. 6.2) Como la empresa ha tenido utilidades significativas, quiere compartir sus excedentes con los empleados para lo cual entrega las siguientes propuestas: - Propuesta A: Un reajuste del 10% de sus ingresos más un bono de 25 mil pesos por empleado. - Propuesta B: Un reajuste del 8% de sus ingresos más un bono de 32 mil pesos por empleado. 6.2.1) ¿Cuál de estas dos propuestas generará una distribución de los ingresos más homogénea? 6.2.2) Suponga que cada empleado elige libremente cualquiera de las dos opciones, tomando en consideración aquella que le reporta mayor ingreso. ¿Qué porcentaje de los empleados elegirán la propuesta A? 6.3) Todo empleado que se encuentre sobre el segundo quintil de la variable antigüedad serán beneficiados con 5 días adicionales de vacaciones. Calcule la antigüedad mínima que debe tener un trabajador para optar a este beneficio. 6.4) Para los hombres con una antigüedad de al menos dos años, con un sueldo de por lo menos $400.000 ¿Cuál es la antigüedad media en la empresa? 6.1) Solución:

Menos de 2 2a4 4a6 6a8 Total

M 8 17 15 7 33

ℎ

H 16 8 5 4 47

%

17,02 36,17 31,91 14,90

ℎ

%

48,49 24,24 15,15 12,12

Distribución de la antigüedad por sexo 60 50

40 e j a t n 30 e c r o P 20

% de Hombre % de Mujeres

10

0 Menos de 2

2a4

4a6

6a8

Antigüedad

Página 12



6.2.1) Solución:

   $

200 a 300 300 a 400 400 a 500 500 a 600





=

250 350 450 550

32 24 16 8 n = 80



= 100 = 350



Definimos las variables a utilizar: = "Propuesta A" = 1,1 + 25 = "Propuesta B" = 1,1 + 32

Luego, por propiedades obtenemos los resultados correspondientes.

    

     

= 1,1 = 110 = 1,1 + 25 = 410 = 26,82%

Al Respuesta:

= 1,1 = 110 = 1,1 + 32 = 417 = 26,37%

comparar ambos coeficientes de variabilidad obtenidos, concluimos que la propuesta B entrega una distribución levemente más homogénea que la propuesta A.



6.2.2) Solución: Tenemos que:

Luego, si igualdad:





= "Propuesta A" = 1,1 + 25 = "Propuesta B" = 1,1 + 32

= , ambas opciones entregan el mismo ingreso, por lo tanto, tenemos la siguiente

1,1





 → 

+ 25 = 1,08 + 32

= 350

En seguida buscamos un , por medio de la formula de percentil, tal que: 100 350 = 300 +

∙  ∙ −  →  80

100

32

24

El Respuesta:

= 55%

porcentaje de los empleados que elegirán la propuesta A corresponde a 55%, que equivale a 36 empleados. 6.3) Solución: Sabemos por definición que el segundo Quintil, es lo mismo que decir el percentil cuarenta, por lo que utilizaremos la fórmula de percentil, donde tenemos:



40

2 =2+

∙ ∙ −  80 40 100

25

24

 

= 2,64 ñ

La antigüedad mínima que debe tener un trabajador para poder optar al beneficio de los cinco días adicionales de vacaciones es 2,64 años. Respuesta:


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7.- El número de llamadas telefónicas de larga distancia nacional, registradas por una empresa distribuidora durante una hora de un día determinado, se resumen en la siguiente tabla. Los registros se realizaron en horarios normales y se consideraron llamadas de, lo más, 3 minutos de duración Carrier 188

171

123

Región

[5 - 6] 3 7 3 4 5 2 3 7 6 40

II IV X II IV X II IV X Total

Valor de la llamada (u.m) (6 - 8] (8 - 10] (10 - 20] 8 10 4 9 10 4 7 5 5 3 9 6 5 8 3 4 7 7 4 7 8 4 4 5 7 4 3 51 64 45

Total 25 30 20 22 21 20 22 20 20 200

7.1) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recorrido e indique la medida marginal de tendencia central más adecuada para el valor de la llamada y para el carrier en la IV región. 7.2) ¿Qué porcentaje de llamadas son tales que superan al valor promedio de las llamadas realizadas a través del carrier 171? 7.3) Al mes siguiente de haber efectuado este estudio, el valor de la llamada de larga distancia del carrier 123, aumentó en un 2% más 1 u.m. por cada 3 minutos de duración. ¿En qué porcentaje disminuye (aumenta) la variabilidad del valor de la llamada al mes siguiente?

7.1) Solución: Variable Carrier Región Valor de llamada

Según Nivel de Medición Nominal Nominal De Razón

Según Tamaño de Recorrido Discreta Discreta Continua

La medida marginal de tendencia central más adecuada para el valor de la llamada es Mediana, debido a que la variable es Asimétrica.





= Valor de la llamada [5 – 6] (6 – 8]

5,5 7

40 51

(8 – 10]

9

64

(10 – 20]

15

45 n = 200

 Página 14

 

∙

∙ −    50 200

=8+2

100

64

91

= 8,28 .

40

91

.

155 200

Carrier Región IV 188 171 123

  =



30 21 20

188



7.2) Solución:



  

= Valor de la llamada del Carrier 171 [5 – 6] (6 – 8]

5,5 7

(8 – 10]

9

(10 – 20]

  

11

= 9,53 .

12

24 16 n = 63

15

.

Utilizando formula de percentil en la tabla de la pregunta a), tenemos:

∙

∙ −     −≤  91

100

9,53 = 8 + 2

Por propiedad de complemento:

200

>

  

= 69,98% = ( > )

64

= 100

= 30,02%

El Respuesta:

porcentaje de llamadas que superan al valor promedio de las llamadas realizadas a través del carrier 171 es igual al 30,02% 7.3) Solución:



= Valor de la llamada del Carrier 123 [5 – 6] (6 – 8] (8 – 10] (10 – 20]

Sea:



  

5,5 7 9 15

16 15 15 16 n = 62

 

= 3,6596 = 9,1612 = 0,3994

 

= “Valor de la llamada del Carrier 123 después del aumento del 2% más 1 u.m.”

= 1,02 + 1

Luego, para ahorrar cálculos utilizaremos propiedades:

   →→  = 1,02 + 1 = 1,02

→  

= 10,3444 = 3,7327

( ) = 0,3608

Después, determinaremos el porcentaje con que disminuye o aumenta la variabilidad del valor de la llamada del Carrier 123 después del aumento del 2% más una u.m. % = (0,3994

Luego Respuesta:

−

∙

0,3608) 100 = 3,86%

del aumento del valor de la llamada del Carrier 123 correspondiente al 2% más una unidad monetaria, el porcentaje con que DISMINUYÓ la variabilidad del valor de la llamada corresponde al 3,86%.


Página 15


8.- Una gran empresa está constituida por tres sucursales: S 1, S2 y S3. El Gerente General de esta empresa solicita un estudio acerca de: el número de artículos defectuosos producidos diariamente y cantidad diaria de materia prima elaborada, en cada una de estas sucursales. Para cumplir lo solicitado por la gerencia general, se registró información en las tres sucursales simultáneamente durante 90 días. La información resumida se presenta en la tabla siguiente: SUCURSAL N° ARTICULOS CANTIDAD DE MATERIA PRIMA ELABORADA (ton) DEFECTUOSOS 5 – 15 15 - 25 25 - 35 35 - 45 menos de 10 18 6 5 0 S1 10 – 50 10 7 10 0 más de 50 5 7 22 0 menos de 10 0 13 4 3 S2 10 – 50 0 17 11 5 más de 50 0 8 19 10 menos de 10 0 12 4 0 S3 10 – 50 0 20 20 0 más de 50 0 5 29 0 8.1) Construya un gráfico que le permita comparar las cantidades diarias de materia prima elaborada en las sucursales S1 y S3. ¿Qué puedes concluir? 8.2) La Gerencia de Producción de esta empresa, debe estar atenta a que no haya mucha variabilidad en la cantidad diaria de materia prima elaborada (ya que si es mucha puede haber problemas de almacenamiento y si es poca podría no satisfacer la demanda). Esta Gerencia declara “estado de alerta” siempre que el coeficiente de variación de la cantidad de materia prima elaborada sea superior a un 30%. Basándose en la información presentada, declararía Ud. “estado de alerta” en la sucursal S 1. 8.3) En que % de los días, la cantidad de materia prima elaborada por S2 supera al percentil 75 de la cantidad de materia prima elaborada por S1?

8.1) Solución: 70 60 50 % i h

40 30

S1

20

S2

10

0 0

10

20

30

40

Cantidad de Materia Prima Elaborada (ton)

Página 16







5 – 15 15 – 25 25 – 35 35 – 45

ℎ



1

= CMPE (ton)

33 20 37 0

ℎ

1

3

0 37 53 0

%

36,7 22,2 41,9 0

3

%

0 41,1 58,9 0

Respuesta: A

la conclusión que llegamos es que ambas distribuciones son asimétricas, ya que al contraponerlas estas no coinciden. 8.2) Solución:



= CMPE

(ton) 5 – 15 15 – 25 25 – 35 35 – 45







= 8,81 = 20,44

1

10 20 30 40

33 20 37 0



=

∙

8,81 100 = 43,10% 20,44

Respuesta: Según los datos obtenidos concluimos que la Gerencia debería declarar “estado de

alerta”, ya que el coeficiente de variación de la cantidad de materia prima elaborada es igual a 43,1%,

lo que es superior al 30%. 8.3) Solución:



= CMPE

33 20

25 – 35

37

Lo primero es calcular

33 53

90 0

0





1

1

(ton) 5 – 15 15 – 25 35 – 45





75 de S1,

= CMPE



2

(ton) 5 – 15 15 – 25

0 38

25 – 35

34

35 – 45

18



2

0

38

72 90

lo que se hace por medio de la fórmula de percentil:



10

75 = 2 5 +

∙ ∙ −  90 75 100

53

37

= 28,92

Luego, ese resultado es igualado a la fórmula de percentil aplicada a la sucursal S2 , lo que queda de la siguiente manera: 10 28,92 = 25 +

∙  ∙ −   90

100

34

38

= 57%

Finalmente, por propiedad de complemento obtenemos que el resultado es el 43%. En Respuesta:

el 43% de los días, la cantidad de materia prima elaborada por S2 supera al percentil 75 de la cantidad de materia prima elaborada por S1.


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9.- El responsable en control industrial de la empresa “CLR”, somete a un control de fiabilidad 110 baterías idénticas de celulares y anota su duración (tiempo hasta que se descarga), en horas. La información obtenida se presenta a continuación:

∶

Duración (en horas) 200 – 300 300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700

N° de baterías 4 25 60 19 2

 −  

9.1) Si se quiere garantizar a las baterías que tengan una duración de a lo más: . ( ) ¿Qué porcentaje de las baterías serán garantizadas? 9.2) La empresa “ADA”, de la competencia tiene en el mercado baterías de similares condiciones, al tomar una muestra de baterías de igual tamaño se obtuvo que la duración media de 400 hrs y una varianza de 6400 (hrs) 2. Para competir con la empresa “CLR”, la empresa “ADA” decide utilizar una tecnología que permite aumentar la duración de cada batería en 70 hrs. Después de aplicada la nueva tecnología, ¿En cuál de estas empresas resulta más homogénea la duración de las baterías?

9.1) Solución: Lo primero es determinar el valor de " adjunta el ejercicio.

 

= 440,9091 ( ) = 78,4546

→  −  1.5

 −  

1.5 ( )", lo que se desprende de la tabla que

= 440,9091

− ∙

1.5 78,4546 = 323,2272

Luego este valor es reemplazado en la fórmula de percentil, de la siguiente manera:

∙ ∙ −  →  110

323,2272 = 300 + 100 Respuesta:

100

4

25

= 8,9152

El porcentaje de las baterías que serán garantizadas es del 8,9153%

9.2) Con los datos que fueron expuestos en el enunciado, hemos creado una tabla para poder tener una mejor visión de la información dada: Empresa CLR ADA (después de la modificación)

n 110 80



440,9091 470



( )

78,4546 80

CV 0,1779 0,1702

Las Respuesta:

baterías de la empresa ADA después de la modificación tienen duración más homogénea que las baterías de la empresa CLR. (*)

10.- La siguiente tabla corresponde a la distribución de una muestra de cubos de cemento, clasificados según: porcentaje de silicato dicálcico en el cemento (X), porcentaje de aluminioferrito tetracálcico (Z) (ambos en relación con el peso total de la mezcla a partir de la cual se preparó el cemento) y el calor desprendido en el fraguado (Y), en calorías por gramos de cemento.

Página 18





Y: Calor desprendido (cal/gr) 70 – 85 85 – 100 100 – 115 Z < 15% Z ≥ 15% Z < 15% Z ≥ 15% Z < 15% Z ≥ 15% 0 0 0 0 5 4 0 3 3 4 6 1 1 4 4 1 0 0 3 3 1 1 0 0 4 10 8 6 11 5

: Porcentaje silicato dicálcico

5 – 20 20 – 35 35 – 50 50 – 60 Total

10.1) Utilizando las distribuciones del calor desprendido en el fraguado, de las muestras con aluminioferrito tetracálcico inferior al 15% y de las que tienen a lo menos un 15%. 10.1.1) Explique cual distribución es más homogénea. 10.1.2) Compare gráficamente las dos distribuciones de los cubos de cemento en estudio, según calor desprendido en el fraguado. Interprete dicho gráfico. 10.2) Suponiendo que existe asociación, lineal entre el calor desprendido en el fraguado y el porcentaje de silicato dicálcico, evalúe con la medida adecuada si ésta es fuerte o débil y en qué sentido lo es. 10.3) En estas muestras de cemento, también se midió el porcentaje de silicato tricálcico (W) encontrando que su vinculación con el calor desprendido tiene la siguiente relación: . Determine el porcentaje de los cubos de cemento que en la muestra = , + , tienen un porcentaje de silicato tricálcico superior a su promedio más una desviación estándar (aproxime los cálculos al cuarto decimal)

    

10.1.1) Solución:

     ≥ °/

77,5 92,5 107,5 TOTAL

< 15

°/

4 8 11 23

     ≥

15

10 6 5 21

. .(

< 15) =

11,4726 = 0,1182 97,0652

. .(

15) =

12,4642 = 0,1402 88,9286

Como Respuesta:

C.V. (Y/ Z < 15) < C.V. (Y/ Z ≥ 15), la distribución del calor desprendido en el fraguado de las muestras son alumioderrito tetracálcico inferior al 15% es más homogénea. 10.1.2) Solución:



62,5 77,5 92,5 107,5 122,5

Z < 15 0 17,39 34,78 47,83 0,00

Z ≥ 15

0 47,62 28,57 23,81 0,00

s e l a r t s e u s e j a t n e c r o P

Calor desprendido (cal/gr)


Página 19


Ambas Respuesta:

distribuciones son asimétricas (contrapuestas) teniendo menor desprendimiento de calor las con mayor porcentaje de aluminioferrito tetracálcico. 10.2) Solución: La medida más adecuada es el Coeficiente de correlación: r = - 0,7405, y los datos utilizados fueron los siguientes:



12,5 27,5 42,5 55 TOTAL



77,5 0 3 5 6 14

92,5 0 7 5 2 14

107,5 9 7 0 0 16

TOTAL 9 17 10 8 44

La asociación lineal que tienen entre el calor desprendido en el fraguado y el porcentaje de silicato dicálcico es inversa moderada, lo que se averiguo por medio del Coeficiente de correlación de Pearson. Respuesta:

10.3) Solución: Utilizando la información que nos brinda el ejercicio podemos definir la siguiente expresión:

 →   −  −  ∙    →   ∙ −  → 

= 55,8 + 0,8

=

0,8

69,75

Luego de esto por medio de propiedades determinamos la media y desviación estándar =

93,1818 0,8

69,75 = 46,7273 %

=

12,51 = 15,6375 % 0,8

Reemplazando:

=

+

= 62,3648

Finalmente, por fórmula de percentil, tenemos: 105,6918 = 100 +

 

= 55,8 + 0,8 62,3648 = 105,6918 (

15 44 16 100

28

/

)

= 77,4347%

El porcentaje de los cubos de cemento que en la muestra tienen un porcentaje de silicato tricálcico superior a su promedio más una desviación estándar es igual al 22,5653% Respuesta:

Página 20


01. Estad í st ica D esc rip tiv a – Ejercicios Pro puestos ANÁLISIS ESTAD ÍSTI CO

1.- Una empresa constructora con varias obras en el país, desea efectuar un estudio sobre las cañerías hidráulicas, de una pulgada, adquiridas por la empresa. Para ello, se seleccionó una muestra de las compras efectuadas durante un mes, anotando el precio de la tira de cañería, la cantidad de tiras y el tipo de material de fabricación. La información obtenida se presenta en la siguiente tabla: Material P.V.C. Fierro Cobre P.V.C. Fierro Cobre P.V.C. Fierro Cobre

Cantidad de tiras 0 – 10

10 – 20

20 y más Total

2300 – 3000 0,08 0,02 0 0,1 0,02 0 0,07 0,01 0 0,3

Precios (pesos) 3000 – 4500 4500 – 6000 0,04 0,01 0,07 0,02 0 0,09 0,02 0 0,08 0,01 0,02 0,06 0,01 0 0,03 0,01 0 0,03 0,27 0,23

6000 y más 0 0 0,04 0 0 0,12 0 0 0,04 0,2

Total 0,13 0,11 0,13 0,12 0,11 0,2 0,08 0,05 0,07 1,00

1.1) Clasifique las variables involucradas según nivel de medición y tamaño de recorrido. Indique las medidas marginales de posición y dispersión más adecuadas. 1.2) ¿Qué porcentaje de las compras, en las que se requieren menos de 20 tiras de cañería, tienen un precio entre 3.000 y 6.000 pesos? 1.3) Construya un gráfico que muestre la distribución de frecuencias de las compras de cañerías de P.V.C, según precio. 1.4) Según las condiciones de mercado, se considera que una tira de cobre es adquirida en un “buen precio” si éste es inferior a $4.800. ¿Qué porcentaje de las compras realizadas, de cañería de cobre, no se logró a “buen precio”?. Construya un gr áfico adecuado que muestre esta nueva clasificación. 1.5) Al mes siguiente de haber efectuado este estudio, el precio de las cañerías fabricadas con fierro subió en un 2% más $50 por tira. ¿En qué porcentaje disminuye la variabilidad del precio de estas cañerías al mes siguiente? 2.- Los siguientes datos corresponden a un estudio realizado en North Carolina entre 1966 y 1973, de los accidentes ocurridos en zonas rurales, involucrando a un solo vehículo con conductor sobrio. Los conductores fueron clasificados según la Severidad de la Lesión (G = Grave, NG = No Grave), la velocidad de conducción condición del tiempo (Buen tiempo y Mal tiempo), y el modelo (año) del automóvil. 2.1) Clasifique según nivel de medición y tamaño del recorrido las variables: “Tiempo”, “Mo delo” y “Velocidad”, incluidos en la tabla. 2.2) Compare la dispersión de la velocidad de conducción para los distintos grados de severidad de las lesiones en los accidentes, en condiciones de mal tiempo. 2.3) Calcule y compare en las distintas condiciones de tiempo consideradas, la proporción de conductores de modelos 1970 – 1973 que exceden los 104 Km/hr, en la noche.


Página 21

01. Estad í st ica D esc rip tiv a – Ejercicios Pro puestos ANÁL I SIS ESTAD ÍSTI CO

2.4) Construya un gráfico que compare la distribución de los conductores sobrios según severidad de la lesión y modelo del vehículo.

TIEMPO

MODELO (año) del vehículo

60 G

80 NG

VELOCIDAD Km/h Severidad de la Lesión 80 100 100 120 G NG G NG

120 G

140 NG

BUEN TIEMPO Día

Anterior a 1967

12

26

13

31

28

12

46

21

Día

1967 - 1969

7

12

9

20

21

11

33

16

Día

1970 - 1973

5

15

3

11

14

8

25

35

Noche Noche

Anterior a 1967 1967 - 1969

14 9

28 24

15 10

31 21

30 20

14 11

54 36

25 19

Noche

1970 - 1973

7

17

4

12

16

8

27

25

Día

Anterior a 1967

15

30

13

29

30

15

52

22

Día Día

1967 - 1969 1970 - 1973

10 7

15 17

10 6

20 10

23 15

12 10

35 26

18 18

Noche

Anterior a 1967

17

28

15

29

33

16

45

30

Noche

1967 - 1969

14

19

12

21

26

14

26

24

Noche

1970 - 1973

9

21

9

14

17

12

27

27

MAL TIEMPO

3.- Una Compañía de seguros ofrece tres planes (T, V y S) clasifica a sus asegurados según tres categorías de riesgo (BAJO, MEDIO y ALTO) En la tabla siguiente se presenta información referente a una muestra aleatoria de 135 asegurados de cada Compañía clasificados según prima mensual, tipo de plan y riesgo.

RIESGO (R)

BAJO MEDIO

ALTO

TIPOS de PRIMA MENSUAL (U.F.) PLAN Y (X) 02 - 12 12 - 22 22 - 32 32 - 42 T 15 4 1 0 V 12 5 3 1 S 5 2 3 4 T 2 7 3 1 V 4 6 4 2 S 5 7 7 5 T 0 1 2 8 V 0 1 1 2 S 2 0 5 5

3.1) Construya un gráfico que le permita comparar las distribuciones según prima mensual de los asegurados de ALTO riesgo con la de los asegurados de BAJO riesgo. ¿Qué puede concluir a partir de este gráfico?

Página 22



3.2) Construya un gráfico que le permita comparar las distribuciones de los asegurados en cada categoría de riesgo, según tipo de plan. 3.3) Se selecciona aleatoriamente a uno de estos asegurados y se observa que tomó el plan T. ¿Qué es más probable que la Compañía lo tenga clasificado en BAJO riesgo o en ALTO riesgo? Justifique. 3.4) ¿Qué porcentaje de los asegurados clasificados de BAJO riesgo contrató una prima de a lo menos 25 UF? 3.5) La Compañía asegura reajustar las primas en un 2% más un costo fijo de 0.12 UF 3.5.1) ¿El coeficiente de variación de las primas será mayor antes o después del reajuste? 3.5.2) ¿Es recomendable utilizar el coeficiente variación para comparar la homogeneidad de las distribuciones de los asegurados según prima mensual, antes y después del reajuste? Justifique 4.- La información que se presenta a continuación corresponde a una muestra de trabajadores temporeros, que se dedican a empacar manzanas en cajas, clasificados según edad (X), en años y número de cajas empacadas diariamente (Y) N° de cajas Edad 18 - 25 25 - 32 32 - 39 39 - 46 46 - 53

45 - 50

50 - 55

55 - 60

Desde 60

10 9 17 11 7

13 15 12 19 9

8 13 9 15 11

9 10 11 12 8

4.1) ¿Qué porcentaje de estos temporeros empacan entre 50 y 58 cajas? 4.2) Construya un gráfico que le permita comparar la cantidad de cajas empacadas entre los temporeros con menos de 39 años y los con a lo menos 39 años 4.3) Los empacadores de manzanas se han clasificado en dos grupos: los que empacan menos de 55 cajas por día y los que empacan 55 o más ¿Cuál de los dos grupos presenta un comportamiento más homogéneo, respecto de la edad? 4.4) Si además se dispone de la siguiente información 228

    = 1

228

= 12555

   

228

= 446122,5

=1

  

2

= 699212,5

=1

4.4.1) Indique girado de asociación y sentido entre la edad y el número de cajas empacadas, en base a la información 4.4.2) A raíz de la gran demanda para exportar este producto se les pide a los trabajadores que aumenten su productividad en un 10% ¿Cuál es el número de cajas empacadas y la varianza, después de la mejoría en la productividad? 5.- Se realizó un experimento con 38 ladrillos de cierto tipo, para determinar si temperaturas diferentes de cocción específica, medidas en grados Fahrenheit, afectan la densidad de estos ladrillos, obteniendo la información que se presenta en la siguiente tabla:


Página 23


Temp °F 100 125 150 175 Total

Densidad de los ladrillos 21,0 – 21,3 21,3 – 21,5 21,5 – 21,9 1 2 4 3 5 2 1 5 7 0 1 7 5 13 20

Total 7 10 13 8 38

5.1) Se considera la densidad de los ladrillos como óptima si fluctúa entre 21.25 y 21.7. Determine el porcentaje de los ladrillos que no son considerados como óptimas entre los 30 sometidos a temperatura de cocción de alo más 150 grados Fahrenheit. 5.2) Construya un gráfico que muestre la distribución de los ladrillos según densidad. 5.3) Se prueba una nueva mezcla que contiene un aditivo el cual aumenta la densidad de los ladrillos en un 8,1% más 0,9 unidades para cada ladrillo. Compare la dispersión en la densidad de los ladrillos, antes y después de usar el aditivo., Justifique su respuesta. 5.4) En los ladrillos sometidos a una temperatura de cocción de 125°F, se midió la densidad resultante y su resistencia a la ruptura, obteniendo la siguiente información: Densi dad Resistencia a la ruptura

21,1

21,3

21,6

21,15

21,4

21,2

21,38

21,42

21,35

21,8

170

190

210

185

205

185

198

203

195

220

Determine e interprete el grado de asociación entre Densidad y Resistencia a la ruptura, en este tipo de ladrillos. Esboce un gráfico que muestre dicha asociación. 6.- Un proveedor de latas de aluminio utilizadas para envasar frutas en conserva está interesado en estudiar la resistencia de estos envases, para lo cual toma muestras de latas de dos espesores diferentes: 0.0109 y 0.0111 pulgadas y se someten a una carga axial, en libras, para medir su resistencia. Se considera que una lata cumple con las normas de fabricación si soporta una carga axial de por lo menos 230 libras. A continuación se presentan los resultados obtenidos: Carga axial (en libras) 200 - 230 230 - 260 260 - 275 275 - 290 290 - 314

Espesor de la lata (en pulgadas) 0.0109 0.0111 11 6 21 11 30 13 29 42 9 25

6.1) Determine el intervalo que incluye al 30% de las latas que soporta mayor carga, cuyo espesor es de 0.0109 6.2) Calcule e interprete la medida de posición más adecuada para resumir la carga axial de las latas con espesor igual a 0.0111.

Página 24



6.3) El distribuidor cree que existe menor dispersión de carga axial, en las latas con espesor de 0.0109 que en las latas con espesor de 0.0111. Utilice medida(s) estadística adecuada(s) para verificar lo expresado por el distribuidor. 6.4) Construya un gráfico que le permita comparar la distribución de frecuencias de las latas de aluminio que tienen un espesor de 0.0109 con las latas que tienen un espesor de 0.0111 pulgadas, según si la lata cumple o no con las especificaciones requeridas de carga axial. 7.- Una industria metalúrgica compra grandes cantidades de alambre de acero en rollos de 150 metros, hasta la fecha esta compra la realiza en la empresa Alpha. Otra empresa llamada Delta quiere también vender sus productos y hace una oferta bastante interesante porque el precio de cada rollo es muy inferior, sin embargo es importante considerar la resistencia a la tracción. Por ello se toman muestras al azar de rollos de acero provenientes ambas empresas. Los resultados se presentan en la tabla siguiente: Resistencia

Alpha

Delta

2 12 14 11 5 4 6

0 17 25 11 9 9 3

(en Newton)

10,00 - 10,25 10,25 - 10,50 10,50 - 10,75 10,75 - 11,00 11,00 - 11,25 11,25 - 11,50 11,50 - 11,75

7.1) Construya un gráfico que permita comparar la comparar la distribución de los rollos de alambre provenientes de las empresas Alpha y Delta, según resistencia a la tracción. 7.2) Si la variabilidad de la resistencia del alambre de la empresa Delta no es superior a la de la empresa Alpha y además si su resistencia promedio es superior en al menos 0,5 Newton, sería aconsejable cambiar de proveedor. ¿Qué decisión se debería tomar en base a la información obtenida? Fundamente calculando las medidas adecuadas. 7.3) ¿Qué porcentaje de los rollos de alambre de acero de la empresa Delta tiene una resistencia que supera la resistencia media de los rollos de alambre de la empresa Alpha? 8.- La siguiente información muestral los resultados correspondientes a nueve pruebas donde se estudió el volumen de desgaste (Y) de una pieza (en (mm) 3) y la viscosidad del aceite que se utiliza en lubricar dicha pieza (en poise). Prueba X Y

1 1,60 240

2 9,40 181

3 15,5 193

4 20,0 155

5 22,0 172

6 35,5 110

7 43,0 113

8 40,5 75

9 33,0 94

8.1) Compare la dispersión entre volumen de desgaste y viscosidad del aceite utilizado 8.2) ¿Existe relación lineal fuerte entre las dos variables en estudio? Justifique su respuesta.


Página 25


9.- Las materias primas empleadas en la producción de una fibra sintética son almacenadas en un lugar donde no se tiene control de humedad. La siguiente tabla muestra el porcentaje diario (X) de humead en el lugar de almacenamiento y el correspondiente porcentaje diario (Y) de humedad en la materia prima, registrados durante 90 días. Y X 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55 55 – 60 Total

12 – 16 3 9 2 1 1 0 16

16 – 20 1 4 18 8 1 0 32

20 – 24 0 2 3 9 17 2 33

24 – 28 0 0 1 2 0 6 9

Total 4 15 24 20 19 8 90

9.1) ¿Se puede afirmar que existe una relación lineal entre el porcentaje de humedad en el lugar de almacenamiento y el porcentaje de humedad en la materia prima? Justifique con una medida adecuada e interprete en el contexto del problema. 9.2) Para los días en que se detecta una humedad en el lugar de almacenamiento de por lo menos 45%; ¿En qué porcentaje de ellos la humedad observada en la materia prima es inferior al 17%? (*) 10.-

Se realiza un estudio en ladrillos de arcilla, para determinar la contracción del ladrillo después del proceso de moldeo y secado. Se tomó una muestra de 60 ladrillos de una misma partida, de dimensiones: 4 cm de alto; 4 cm de ancho y 8 cm de largo, los cuales se secaron en un horno durante 24 horas, a una temperatura de 150º centígrados, para eliminar la humedad. Una vez terminado el proceso de secado se obtuvo respecto del alto y ancho, la siguiente distribución de frecuencia conjunta: ( ) ANCHO ( cm) ( ) ALTO (cm) 3,7 - 3,75 3,75 - 3,80 3,80 - 3,90 3,70 - 3,74 6 2 0 3,74 - 3,78 3 12 1 3,78 - 3,82 1 4 10 3,82 - 3,86 1 6 12 3,86 - 3,90 0 0 2





10.1) ¿Qué porcentaje de los ladrillos que presentan un ancho inferior a 3,8 cm., resultan con un alto de al menos 3,75cm.? 10.2) ¿Cuál es el promedio y varianza de la contracción obtenida para el alto de los ladrillos? 10.3) Compare la dispersión del: ancho, alto y largo de los ladrillos, una vez terminado el proceso, si se sabe que: W = “Largo del ladrillo, en cm”. 60

   =1

60

= 468,32

;

  

2

= 3655,6402

=1

¿Cuál distribución en más homogénea? Justifique su respuesta.

Página 26



10.4) ¿Se puede afirmar que existe una asociación lineal directa entre el ancho y alto de los ladrillos, después de finalizado el proceso? Justifique estadísticamente. 10.5) Después del proceso de secado los ladrillos se clasifican según:

 

Alto: Deficiente; Si < 3,78 Aceptable: Si 3,78 ≤ < 3,82 Bueno: en otro caso 10.5.1) 10.5.2)



Ancho: Desmedido, si < 3,8 Moderado: en caso contrario

Construya la distribución de frecuencia conjunta para las nuevas variables categorizadas. Compare gráficamente la distribución de los ladrillos de ancho desmedido con la de los de ancho moderado, según la nueva variable alto.


Página 27


Solu cio nes: 01. Estad í stic a Descri ptiv a

1.1) Solución:

Material

Según Nivel de Medición Nominal

Según Tamaño de Recorrido Discreta

Medida Marginal de Posición Moda

Cantidad de tiras

Ordinal

Discreta

Media

Precio

Ordinal

Discreta

Media

Variable

Medida de Dispersión No existe Amplitud Intercuartílica Amplitud Intercuartílica

1.2) Respuesta: El porcentaje de las compras, en las que se requieren menos de 20 tiras de cañería, que tienen un precio entre 3.000 y 6.000 pesos, es igual a 52,5%

1.3) Solución:



= “Precio”

2300 – 3000 3000 – 4500 4500 – 6000

= 1500

 

700 1500 1500

 ℎ   ∙ ∙ 

0,25 0,07 0,01

=

0,33 0,758 0,212 0,030

0,33

1500

1,516 0,212 0,030

1.4) Solución: Precio del Cobre 2300 – 3000 3000 – 4500 4500 – 6000 6000 y más



0 0,02 0,18 0,2 n = 0,4



4800= 4500 + 1500

0 0,02 0,20 0,40



∙

0,4

∙ − 0,02

Ventas

100

0,18

= 14%

Buen Precio No a Buen Precio

1.5) Solución: F = “Precio del Fierro” 2300 – 3000 3000 – 4500 4500 – 6000



2650 3750 5250



0,05 0,18 0,04 n = 0,27

 

 ∗  ∗ ∗ ∗      − ∙ = 746,37 = 3768,52

= 1,02

= 761,29 = 3868,36

% = 0,1981

0,1967

= 0,1981

+ 25 = 0,1967

100 = 0,14%

Respuesta: Disminuye en un 0,14% la variabilidad del precio de las cañerías de fierro, luego del

aumento del precio.

Página 28



2.1) Solución: Variable Tiempo Modelo Velocidad

Según Nivel de Medición Nominal Ordinal De Razón



2.2) Solución:

=

21,4133 110,0813

= 0,1945

 

Según Tamaño de Recorrido Binaria o dicotómica Discreta Continua

=

25,5357 99,63906

= 0,2368

   →

La distribución de la velocidad de conducción para los distintos grados de severidad de las lesiones en los accidentes (Graves y no Graves), en condiciones de mal tiempo, existe menos dispersión (menos variabilidad, es más homogénea) en los accidentes con lesiones graves que con los de lesiones no graves. Respuesta:

>

2.3) Solución:

Conductores de modelos 1970 -1973 que exceden los 104 Km/hr, en la noche: Mal tiempo 0,3862 Buen tiempo 0,4324

Respuesta: La proporción de conductores de modelos 1970-1973 que exceden los 104 Km/hr, en

la noche, es mayor en condiciones de buen tiempo, que en condiciones de mal tiempo. 2.4) Solución: ni

900

800 700 600 500

No Graves

400

Graves

300 200

100 0 Anterior a 1967

1967 - 1969


1970 - 1973

Página 29


3.1) Solución: Prima Mensual 2 – 12 12 – 22 22 – 32 32 – 42



Alto



% 7,4 7,4 29,6 55,6 100

2 2 8 15 n = 27



Bajo



% 58,2 20,0 12,7 9,1 100

32 11 7 5 n = 55

Respuesta: Por medio del

gráfico se puede concluir que las distribuciones son asimétricas, ya que traspuestas no coinciden.

3.2) Solución: Tipo de Plan T

V

S



Riesgo Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto

%

20 13 11 21 16 4 14 24 12 n = 135

45,5 29,5 25,0 51,2 39,0 9,8 28 48 24

3.3) Solución: T: “El cliente tiene plan T” ; B: “El cliente es de bajo riesgo” ; A: “El cliente es de alto riesgo”



( / )=

∩ =   

20 44



= 0, 45

  

( / )=

 ∩ =   

11 44

= 0,25

Respuesta: Es más probables que la Compañía lo tenga clasificado de bajo riesgo, que de alto

riesgo.

Página 30



3.4) Solución:



Sea:







2 – 12 12 – 22

32 11

22 – 32

7

32 – 42

5 n = 55

3.5.1) Solución:





2 – 12 12 – 22 22 – 32 32 – 42



= “Primas mensuales, en U.F” 10 25 = 22 +

32 43

50 55

∙ ∙ −  →  55

43

100

7

= 82%

Respuesta: El 18% de los asegurados clasificados de

BAJO riesgo, contrató una prima de a lo menos 25 UF.

= “Primas mensuales reajustadas en un 2% más un costo fijo de 0,12 UF” = 1,02 + 0,12

7 17 27 37

   →     →    



45 33 29 28 n = 135

= 11,358 = 19,963

= 0,569

= 1,02 = 11,585 = 1,02 + 0,12 = 20,482

= 0,566

Respuesta: El Coeficiente de variación es mayor antes del reajuste del 2% más un coto fijo de

0,12 UF. 3.5.2) Respuesta: Si, es recomendable utilizar el coeficiente de variación para comparar la homogeneidad de las distribuciones de los asegurados según prima mensual, antes y después del reajuste, ya que estamos en presencia de dos distribuciones con medias diferentes. 4.1) Solución: Definimos:





45 – 50 50 – 55

54 68

55 – 60

56

Desde 60

50 n = 228



 ∙ ∙ −  →  ∙ ∙ −  → 

: “Edad del trabajador, en años” ;



54 122

178 228

228

50 = 50 + 5 58=55+5

1

100

54

1

68

228 2 100

: “Número de cajas empacadas”

122

2

56

= 23,68%

 − 2

= 68,25%

1

= 44,57%

Respuesta: El porcentaje de los temporeros que empacan entre

50 y 58, es igual a 44,57%. 4.2) Solución:



45 – 50 50 – 55 55 – 60 Desde 60



50

< 39 36 40 30 30

≥

39 18 28 26 20

40 30 x < 39

20 x ≥ 39

10 0 45 - 50


50 - 55

55 - 60

Desde 60

Página 31


4.3) Solución:



= “Edad” 18 – 25 25 – 32 32 – 39 39 – 46 46 – 53

 

21,5 28,5 35,5 42,5 49,5

≥

< 55 23 24 29 30 16

      ≥   ≥

55 17 23 20 27 19

( / < 55) = 9,2102 ( / < 55) = 35,041

→    →    ≥

( / < 55) = 0,2628

( / 55) = 9,5 ( / 55) = 36,0283

( /

55) = 0,2637

Respuesta: La edad presenta un comportamiento más homogénea en el grupo que empacan

menos de 55 cajas, que en el grupo que empacan como mínimo 55 cajas.

      −

4.4.1) Solución:

= 35,5 ;

= 9,318 ;

2

2



=

2

=

446122,5 228

=

12555 228

= 55,066

− ∙    − ∙  =

= 1956,68



699212,5

228 55,0662

228

,

=

= 34,457

→



= 1,8346

=

= 5,87

    ∙ 

( , )

= 0,0335

( )

Respuesta: Por el signo la posible asociación sería directa, pero el valor es aproximadamente

cero, es decir, no existe asociación entre la edad y el número de cajas empacadas. 4.4.2) Solución:

′   ′  ∙     −−  ′ 

Sea:

="

í

→ ′

10%"

= 1,1



= 1,1 = 60,5726

= (1, 1) 2

= 1,1

2

2

2

1

= 41,8768

Respuesta: El número promedio y la varianza de cajas empacada, después de la mejoría en la

productividad, son respectivamente, 60,5726 cajas y 41,8768 (cajas) 2

5.1) Solución: Definimos: D: “Densidad del ladrillo”

 5



21,3 – 21,5

12

17

21,5 – 21,9

13

20

D 21 – 21,3

n = 30

21,25 = 21 + 0,3

5

21,7 = 21,5 + 0,4

∙ ∙ −  →  ∙ ∙ −  →  30 1 100

0

1

5

30 2 100

13

= 13,9%

17

2

= 78,3%

% Densidad optima: 78,3 – 13,9 = 64,4% Respuesta: El 35,6%, es el porcentaje de los ladrillos que no son considerados con una densidad

óptima

Página 32



5.2) Solución:



D 21 – 21,3 21,3 – 21,5 21,5 – 21,9

0,3 0,2 0,4

5 12 13 n = 30

=" = 1,081

8,1%

á 0,9

."

+ 0,9

Respuesta: La densidad



= 0,2026 = 21,525

5 13 20 n = 38

= 0,0094

= 1,08 = 0,21881 = 1,08 + 0,9 = 24,147

5.4) Solución: Densidad (x) Resistencia (y)

16,67 60 32,5

′′        →   ′′ ∙  ′  →           −∙   ∙  ≈

5.3) Solución: Definimos:

D 21 – 21,3 21,3 – 21,5 21,5 – 21,9

 



Media 21,37 196,1

= 0,0091

Desviación Estándar 0,1992 13,6415

=

de los ladrillos es menos dispersa (menos variable, más homogénea, menos heterogénea) después de usar el aumento en un 8,1% más 0,9 unidades.

= 4193,25 , = = 2,593 , 2,593 = = 0,9542 2,7173

1

230 a r u t p u r a l a a i c n e t s i s e R

220

Respuesta: El grado de asociación

entre Densidad y Resistencia a la ruptura, corresponde a una relación lineal directa, ya que el Coeficiente de correlación de Pearson toma aproximadamente el valor de uno

210 200 190

180 170 21

21,2

21,4

21,6

21,8

22

Densidad

  

6.1) Solución: Definimos: : “Carga axial, libras” ; ( / = 0,0109) = 275 + 15


 ∙ − 

: “Espesor de la lata, en pulgadas” 70

62

29

= 279,139 (



)

Página 33


Respuesta: El intervalo que incluye al 30% de las latas que soportan mayor carga, cuyo espesor

es de 0,0109, es el siguiente: [279,138; 314] 6.2) Solución: La distribución es asimétrica, por lo que la medida de posición más adecuada corresponde a la Mediana. 48,5 30 = 275 + 15 = 281,61 ( ) 42



∙ − 



Respuesta: El 50% de las latas con espesor de 0,0111, soportan una carga axial de hasta 281,61

libras.

6.3) Solución:

    ( (

(

   

= 0,0109) = 24,0496 = 0,0109) = 264,455 = 0,0109) = 0,091

( (

= 0,0111) = 23,36219 = 0,0111) = 277,0876 ( = 0,0111) = 0,084

Respuesta: El distribuidor no tiene la razón sobre la dispersión

6.4) Solución: Cumple No Si

0,0109 89 11

0,0111 6 91

102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 82

No Cumple Si Cumple

0,0109

0,0111

7.1) Solución:

Página 34



7.2) Solución: EMPRESA Alpha Delta

Media 10,71354 10,79730

Respuesta: Debido a que

n 48 74

Desviación Estándar 0,32815 0,36762

C.V 0,03063 0,03405

 − 

  

, y la diferencia entre es igual a 0,0838, lo que es > menor a 0,5 newton, por lo tanto, no es aconsejable a cambiar de proveedor.

 

7.3) Solución:

= 10,71354

∈

→

10,50 ; 10,75

10,71354 = 10,50 + 0,25

∙

74

∙  −17

100

25

→ 

= 51,82973

Respuesta: El porcentaje de los rollos de alambre de acero de la empresa Delta tiene una

resistencia que supera la resistencia media de los rollos de alambre de la empresa Alpha es igual a 48,17%

8.1) Solución:

 

=

14,368 24,5

= 0,5864 ;

 

=

53,76 148,111

= 0,3629

   →

Con esto > podemos concluir que existe una mayor dispersión en la viscosidad del aceite, que en el volumen de desgaste de las piezas. Respuesta:

8.2) Solución: Media 24,500 148,111

X Y

Desviación típica 14,368 53,760

CV 0,5864 0,3629

S XY

r de Pearson

-724,2625

- 0,9374

Respuesta: Según el coeficiente de correlación lineal de Pearson es aproximadamente menos

uno, por lo que poseen una relación lineal inversa fuerte. 9.1) Solución: Media 45,777 19,555

X Y

Desviación típica 6,673 3,562

CV 0,1457 0,1821

S XY

r de Pearson

16,8999

0,711

Respuesta: La relación lineal entre porcentaje de humedad en el lugar de almacenamiento y el

porcentaje de humedad en la materia prima, es una correlación directa buena. 9.2) Solución: Y 12 – 16 16 – 20

20 – 24 24 – 28

  

14 18 22 26

2

2

9

11 39 47

28 8

∙ ∙  −  →  47

17=16+4

2

100

9

= 9,0425%

Respuesta: Para los días en que se detecta una humedad en el

lugar de almacenamiento de por lo menos 45%, en 9,0425% de ellos la humedad observada en la materia prima es inferior al 17%.


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1. Estadistica Descriptiva - Ejercicios Resueltos y Propuestos

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