EJERCICIOS EJER CICIOS PROBABILIDAD TELETRAFICO TELE TRAFICO Nestor Fabian Delgado Poveda – Cod. 20161093006 – Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas -2016 Cierto calzado se recibe en cinco diferentes eslos, con cada eslo disponible en cuatro colores disntos. Si la enda desea mostrar pares de estos zapatos que muestren la totalidad de los diversos eslos y colores ¿Cuántos diferentes pares tendría que mostrar? 25.5
T =4∗5 =20 Será posible mostrar un total de 2 pares. 25.10 ¿!e cuentas formas disntas se puede responder una prueba de falso verdadero que consta
de nueve pre"untas? #or #or cada cada pre"un pre"unta ta e$ist e$isten en 2 posibl posibles es respu respuest estas, as, a%ora a%ora,, si son & pre"un pre"untas tas por la re"la re"la de mulplicaci'n, las nueve pre"untas tendrán un total de posibles respuestas dado por( 9
T =( 2 ) =512 25.15 )n contrasta desea construir nueve casas, cada una con un diferente dise*o. ¿!e cuantas
formas puede colocar estas casas en una calle si %ay seis lotes en un lado de la calle y tres en el lado opuesto?. #ara este caso tenemos nueve casas para ordenar en & disntas formas, formas, entonces(
N = 9 P 9 =362880 cuantas as forma formass se pueden pueden llenar llenar las cin cinco co posici posicione oness inicia iniciales les en un equipo equipo de 25. 25.20 ¿!e cuant baloncesto con + u"adores que pueden u"ar en cualquiera de las posiciones? 8!
5
V 8=
( 8 −5 ) !
5
V 8=6720 Se pueden ordenar de -2 posiciones disntas. 25.25 ¿Cuántas permutaciones disntas disntas se pueden %acer con las letras de la palabra in/nito? in/nito?
Se ene(
i =3 n= 2 f , t , o =1
321
PR8 =
8! 3 ! 2 ! 1!
321
PR8 =3360 61.5 !etermine el valor de C de modo cada una de las funciones si"uientes puedan servir como
distribuci'n de probabilidad de la variable aleatoria discreta 0( 2 f ( ( x )= c ( x + 4 ) para x =0,1,2,3
a1
#ara que la funci'n sea una distribuci'n de probabilidad debe cumplir( 3
∑ f ( x )=1
x =0 3
c ( x + 4 )=1 ∑ = 2
x 0
1= f ( ( 0 ) + f ( ( 1 ) + ( 2 ) + f ( ( 3 )=4 c + 5 c + 8 c + 13 c 1=30 c
c=
1 30
( )( − ) ∑ ( )( − )= f ( ( x )= c
b1
3
c
x = 0
2
2
3
x 3 x 3
x 3 x
para x =0,1,2 .
1
1= f ( ( 0 ) + f ( ( 1 ) + ( 2 ) = c + 6 c + 3 c 1=10 c
c=
1 10
3ncuentre una f'rmula f'rmula para la distribu distribuci'n ci'n de probabili probabilidad dad de la variable aleatoria aleatoria 61.10 3ncuentre que representa el resultado cuando se lanza una vez un solo dado.
P ( X =1 ) =
1
P ( X =2 ) =
1 6
6
P ( X =3 )=
1
P ( X = 4 ) =
1
6
6
X
P ( X =5 )=
1 6
P ( X =6 )=
!e esta forma encontramos que
f ( x )=
1 6
1 6
cuando se lanza una vez un solo dado.
61.15 3ncontrar la funci'n de la variable aleatoria que representa el si"uiente eercicio(
“Un embarque de siete televisores conene dos unidades defectuosas. Un hotel hace una compra al azar de tres de los televisores. SI x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribución de probabilidad de !.
P ( 0 )= P (1 )= P (2 )= P ( x ) =
2 C 0∗5 C 3 7 C 3 2 C 1∗5 C 2 7 C 3 2 C 2∗5 C 1 7 C 3
2
=
4
=
1
7
7
7
2 Cx∗5 C ( 3 − x ) 7 C 3
{ {
2
f ( X )=
=
7 4 7 1 7
F ( X ) =
0 ≤ x <1 1 ≤ x <2 2 ≤ x <3
0 para x < 0 2 para 0 ≤ x < 1 7 6 para 1 ≤ x < 2 7 1 para x ≥ 2
Con el uso de F ( X ) encuentre( a1
P ( X =1) 6
2
4
7
7
7
P ( X =1 ) = P ( X ≤ 1 )− P ( X ≤ 0 )= − =
P ( 0 < X ≤ 2 )
b1
2 7
P ( 0 < X ≤ 2 )= P ( X ≤ 2 )− P ( X < 0 )=1 − =
61.20 #ara la funci'n de densidad
x =5 . 3ncuentre F ( X )
f ( x )=
2 (1 + x )
la cual toma valores entre 27 , y ulícela para evaluar P ( 3 ≤ X < 4 ) .
x
∫
F ( X ) = f ( t ) dt 2
2 F ( X ) = 27
F ( X ) =
x
∫(1 +t )dt 2
( + )| [( + )− ] 2
2 27
t x
t
2
2
2
2 x F ( X ) = x 27 2
F ( X ) = F ( X ) = F ( X ) =
F ( X ) =
[
2 x 27 1
2
2
+ x − 4
4
]
[ x +2 x −8 ] 27 1
2
[( x + 4 )( x −2 )]
27
{
0 X < 2 1 27
( x + 4 ) ( x −2 ) 2 ≤ x ≤ 5 1 X > 5
P (3 ≤ X ≤ 4 )= F ( 4 )− F ( 3 )= P (3 ≤ X ≤ 4 )=
1 3
5 6
1 27
[ ( 8 ) ( 2 )−( 7 )( 1)]
x =2
y
8isto"rama de probabilidad . ..7 .6 .5 .2 .4
Cate"oría 4 #951
#9271
#921
Se seleccionan tres monedas sin reemplazo de una caa que conene cuatro de diez centavos y dos de cinco centavos. 3ncuentre la distribuci'n de probabilidad para el total : de las tres monedas. 3$prese la distribuci'n discreta de probabilidad de forma "rá/ca como un %isto"rama de probabilidad. 61.25
4 → 10 Centavos
f ( 30 ) = f ( 25 ) = f ( 20 ) =
2 → 5 Centavos
( 2 C 0 ) ( 4 C 3 ) 6 C 3
( 2 C 1 ) ( 4 C 2 ) 6 C 3
( 2 C 2 ) ( 4 C 1 ) 6 C 3
=
1
=
3
=
1 5
5
5
80.5 )na compa*ía dulcera distribuye caas de c%ocolate con surdo de cremas, c%iclosos y
envinados. Supon"a que el peso de cada caa es un ;ilo"ramo, pero que los pesos individuales de las cremas, c%iclosos y envinados varían de una caa a otra. #ara una caa seleccionada al azar sean X y Y los pesos de las cremas y c%iclosos, respecvamente, y supon"a que la funci'n de densidad conunta de estas variables es(
a1 3ncuentre la probabilidad de que en una caa dada los envinados representen más de 4 ¿ 2 del peso.
(
P X + Y ≤
1 2
1 1 − y 2 2
)=∫ ∫ 0
0
24 xy dxdy
(
P X + Y ≤
1 2
1 2
)
=24 ∫
( (
P X + Y ≤
( ( ( (
P X + Y ≤
P X + Y ≤
1 2
1 2
1 2 1 2
P X + Y ≤
1
P X + Y ≤
1 2
2
)=
2
24
∫ 0
2
|−∗ 1
y
2
2
0
1
P X + Y ≤
x
0
[ ]
1 2
1
2
12
0
1 2
− y 2 2
)= ∫ [
y dy
y dy
]
1 − y + y 2 y dy 4
)= ∫ [ − + ] )= [ − + ] )=[( )( )− ( )+ ( )] )= 12
0
1
12
8
1 2 3 y y y dy 4
y
2
1 3
y
3
1 4
1/ 2
y
4
0
1
1
1 1
1
1
8
4
3 8
4 16
1 16
b1 3ncuentre la densidad mar"inal para el peso de las cremas 1− x
g ( x ) =
∫ 24 xydy 0 1 − x
g ( x ) =24
∫ xydy 0
[ ]
y 2 1 − x ( ) g x =24 x 2
0
[ ] g ( x ) =12 x [ ( 1− x ) ] 0 ≤ x ≤ 1 g ( x ) =12 x ( 1− x )
2
2
c1 3ncuentre la probabilidad de que el peso de los c%iclosos en una caa sea menor de 4<+ de ;ilo"ramo si se sabe que las cremas constuyen 5<6 de su peso.
(
1 3 P 0 < Y < ∨ X = 8 4
1/8
)=∫ ( ∨ ) f x y
0
( (< (< (< (<
1 3 P 0 < Y < ∨ X = 8 4 1
3
8
4
1
3
8
4
1
3
8
4
P 0 Y < ∨ X =
P 0 Y < ∨ X =
P 0 Y < ∨ X =
1 3 P 0 Y < ∨ X = 8 4
( (<
1
3
8
4
1
3
8
4
P 0 < Y < ∨ X = P 0 Y < ∨ X =
1/ 8
) )=∫ ( − ) )= ( − ) ∫ )= ( − ) ( ) )= − ( ) ( ) )= ( ) )= =∫ 0
f ( x , y ) dy g ( x )
1/ 8
0
24 xy
12 x 1 x 1 /8
2
1 x
y dy
2
0
y
2
1 x
2
32
2 1/ 8
2
y
2
3 4
1
2
2
0
2 1 /8
2
0
1
128
1 4
80.10 Con referencia a la funci'n de probabilidad
3ncuentre( a1 !istribuci'n mar"inal de 0
g ( x ) =f ( x , 0 )+ f ( x , 1 ) + f ( x , 2 )
g ( x ) =
x 30
+
x + 1 x + 2 30
+
30
x + 1 g ( x ) = 10
g ( x ) =
1
,
2
,
3
,
4
10 10 10 10
b1 !istribuci'n mar"inal de y
h ( y )= f ( 0, y ) + f ( 1, y ) + f ( 2, y ) + f ( 3, y )
h ( y )=
y 30
+
1 + y 30
h ( y )=
4 y+ 6 30
h ( y )=
2 y + 3 15
h ( y )=
3
,
5
,
+
2 + y 30
+
3 + y 30
7
15 15 15
80.15 Considere un e$perimento que consiste en dos lanzamientos de un dado balanceado. Si es
el n=mero de cuatros y > es el n=mero de cincos que se obenen en los dos lanzamientos del dado, encuentre. a1 a distribuci'n de probabilidad conunta de 0 y >
7 6 5 2 4
94,-1 94,71 94,61 94,51 94,21 94,41 4
f ( 0,0 )=1− f ( 1,0 ) =
2
f ( 2,0 ) =
1
b1
92,-1 92,71 92,61 92,51 92,21 92,41 2
95,-1 95,71 95,61 95,51 95,21 95,41 5
20 4 = 36 9
96,-1 96,71 96,61 96,51 96,21 96,41 6
f ( 0,1 ) = f ( 0,2 ) =
9
f ( 1,1 )=
36
P [ ( X ,Y ) ∈ ] , donde " es la re"i'n
1
2
1
9
9
36
2 9 1 36 1 18
|( x , y ) 2 x + y < 3|
P [ ( X ,Y ) ∈ ] = f ( 0,0 )+ f ( 1,0 ) + f ( 0,1 )+ f ( 0,2 ) P [ ( X ,Y ) ∈ ] = + +
97,-1 97,71 97,61 97,51 97,21 97,41 7
9-,-1 9-,71 9-,61 9-,51 9-,21 9-,41 -
P [ ( X ,Y ) ∈ ] =
11 2
80.20 !etermine si las variables aleatorias de la si"uiente funci'n se dependientes o
independientes.
f ( x , y ) y
x ,7 ,7
,7 ,4 ,2
,4 ,57 ,4
0,4
0,35
0,55
h ( 1 )=0,2 g ( 1 )=0,4 h ( 1 ) g ( 1 )= 0,8 f ( 1,1 )= 0,05 h ( 1 ) g ( 1 )= f ( 1,1 ) as variables son dependientes. 80.25 !emuestre si las dos variables de
50
∫
2
g ( x ) = ( x + y ² ) dy 30
[
g ( x ) = x y + 2
50
(¿ ¿ 3 −303) 3 2
+¿ g ( x )= ¿ 20 x
y
]
3 50
3
30
f ( x , y ) son dependientes o independientes.
0,2 0,5 0,3
[
g ( x ) = 20 x + 2
98 3
∗103
] 50
∫
2
h ( y )= ( x + y ² ) dx 30
[
h ( y )= 20 y + 2
98 3
∗103
]
h ( y ) g ( x ) " f ( x , y ) as variables son dependientes. 91.5 a distribuci'n de probabilidad de 0, el n=mero de imperfecciones por cada 4 metros de una
tela sint@ca, en rollos connuos de anc%o uniforme, está dada como(
3ncuentre el n=mero promedio de imperfecciones en 4 metros de tela.
# =1 ( 0,37 ) + 2 ( 0,16 ) + 3 ( 0,05 ) + 4 ( 0,01) # =0,88
91.10 !os e$pertos en calidad de neumácos e$aminan lotes de @stos y asi"nan puntuaciones de
calidad a cada neumáco en una escala de tres puntos. Sea la puntuaci'n dada por el e$perto " y # la del e$perto $. a si"uiente tabla presenta la distribuci'n conunta para y # .
3ncuentre
# x y
# y
# y =0,23 + 2 ( 0,5 ) + 3 ( 0,27 ) # y =2.04 # x =0,17 + 2 ( 0,5 )+ 3 ( 0,33 ) # x =2.16 91.15 a funci'n de densidad de la variable aleatoria connua 0, el n=mero total de %oras, en
unidades de 4 %oras, que una familia uliza una aspiradora en un periodo de un a*o, se de/ne como(
3ncuentre el n=mero promedio de %oras por a*o que las familias ulizan sus aspiradoras. $
#=
∫ xf ( x ) dx
−$ 1
2
∫
∫
0
1
# = x ² dx + 2 x − x ² dx
[
1 0
2
x
# =[ x ³ ] + x − 1
8 3
3
[−]
1
2
3
3
1
#= + #= +
3
1
[( )−( − )]
#= + 4 − 3
]
3 2
4
2
3
3
1
1 3
# =1∗100 horas =100 horas 90.20 )na variable aleatoria connua ene la funci'n de densidad
3ncuentre el valor esperado de $
#g ( x )=
∫ g ( x ) f ( x)
−$ $
∫
− x
2 x 3
#g ( x ) = ( e )( e ) dx 0
$
∫
− x / 3
#g ( x ) = ( e
) dx
0
−3 e0 − x / 3 #g ( x ) = lim −3 e −¿ x → $
1
g ( X )= e
2 x 3
#g ( x ) =3 90.25 Ae/erase a las variables cuya distribuci'n de probabilidad se de/ne a parr del si"uiente
enunciado( “Se sacan tres cartas sin reemplazo de las %& cartas ma'ores (sotas, reinas ' re'es) de una bara*a ordinaria de +& cartas. Sea el número de re'es que se seleccionan ' # el número de sotas!
y encuentre la media para el n=mero total de sotas y reyes cuando se sacan 5 cartas sin reemplazo de las 42 cartas mayores de una baraa ordinaria de 72 cartas.
f ( 3,0 ) = f ( 2,1 )= f ( 1,2 )= f ( 0,3 )=
( 4 C 3 ) ( 4 C 0 ) 12 C 3
( 4 C 2 ) ( 4 C 1 ) 12 C 3
( 4 C 1 ) ( 4 C 2 ) 12 C 3
( 4 C 0 ) ( 4 C 3 ) 12 C 3
= = = =
1 55 6 55 6 55 1 55
f ( 0,0 )= f ( 1,1 )= f ( 1,0 ) = f ( 0,1 ) =
( 4 C 0 ) ( 4 C 0 ) (4 C 3) 12 C 3
( 4 C 1 ) ( 4 C 1 ) ( 4 C 1 ) 12 C 3
( 4 C 1 ) ( 4 C 0 ) ( 4 C 2 ) 12 C 3
( 4 C 0 ) ( 4 C 1 ) ( 4 C 2 ) 12 C 3
= =
= =
1 55 16 55 6 55 6 55
# ( x , y )=( x + y ) f ( x , y )
# ( x , y )= # ( x , y )=
6 55
+
12 55
+
3 55
+
6 55
+
32 55
+
18 55
+
12 55
+
18 55
+
3 55
110 =2 55
123.5 !e acuerdo con la hemical -nineerin /roress 9noviembre de 4&&1, apro$imadamente
5B de todas las fallas de operaci'n en las tuberías de plantas químicas so ocasionadas por errores del operador. a1 ¿Cuál es la probabilidad de que las si"uientes 2 fallas en las tuberías al menos 4 se deban a un error del operador?
p=0.3 n= 20 P ( X ≥ 10 ) =1− P ( X ≤ 9 ) 9
P ( X ≤ 9 )=
( 20 C% ) 0,3 0,7 ∑ =
20 − %
%
% 0
P ( X ≤ 9 )=0,920 P ( X ≥ 10 ) =1−0,9520 P ( X ≥ 10 ) =0,04796 b1 ¿Cuál es la probabilidad de que no mas de 6 de 2 falla se deban al error del operador? 4
P ( X ≤ 4 )=
∑= ( 20 C% ) 0,3 0,7 %
20− %
% 0
P ( X ≤ 4 )= 0,2375 c1 Supon"a, para una planta especí/ca, que de la muestra aleatoria de 2 de tales fallas, e$actamente 7 sean errores de operaci'n ¿Considera que la cifra de 5B anterior se aplique a esta planta? Comente 5
P ( X =5 )=( 20 C 3 ) 0,3 ( 0,7 )
15
P ( X =5 ) ,4++ #ara este caso la probabilidad es un valor peque*o, esto permite que la cifra de 5B se aplique a esta planta.
123.10 Se"=n un reportae publicado en la revista /arade , una encuesta a nivel nacional de la
)niversidad de Dic%i"an a estudiantes universitarios de =lmo a*o revela que casi B desaprueban el consumo de mari%uana. Si se seleccionan 42 estudiantes al azar y se les pide su opini'n, encuentre la probabilidad de que el n=mero que desaprueban fumar mari%uana sea. a1 Cualquier valor entre y &.
P (7 ≤ X ≤ 9 )= P ( x ≤ 9 )− P ( x ≤ 6 ) 9
P (7 ≤ X ≤ 9 )=
∑= ( 12C% ) 0,7 0,3 %
6
−∑ (12 C% ) 0,7% 0,312−%
12 − %
% = 0
% 0
P (7 ≤ X ≤ 9 )= 0,9434 − 0,2361 P (7 ≤ X ≤ 9 )= 0,7073 b1 a lo más 7 5
∑= ( 12 C% ) 0,7 0,3 %
P ( X ≤ 5 ) =
12 − %
% 0
P ( X ≤ 5 ) =0,0386 c1 no menos de +
P ( X ≥ 8 )=1− P ( X ≤ 7 ) 7
P ( X ≥ 8 )=1−
(12 C% ) 0,7 0,3 ∑ = %
12 − %
% 0
P ( X ≥ 8 )=0,7237 123.15 Se sabe que 6B de los ratones inoculados con un suero quedan prote"idos contra cierta
enfermedad, si se inoculan 7 ratones encuentre la probabilidad de que a1 nin"uno contrai"a la enfermedad
P=0,4 n= 5 P ( X =0 )= ( 5 C 0 ) 0,4 0,6⁵ 0
P ( X =0 )=0,0776 b1 menos de 2 contrai"an la enfermedad 1
P ( X < 2 )= P ( X ≤ 1 )=
( 5 C% ) 0,4 ∑ = % 0
P ( X < 2 )=0.0776 + 0.2592
%
5− %
0,6
P ( X < 2 )=0.3368 c1 Das de 5 contrai"an la enfermedad 3
P ( X > 3 )=1 − P ( X ≤ 3 ) =1−
( 5 C% ) 0,4 0,6 − ∑ = %
5
%
% 0
P ( X > 3 )=1 −( 0,0776 + 0,2592 + 0,3456 + 0,2304 ) P ( X > 3 )=1 −0.9128 P ( X > 3 )= 0.0872 123.20 Se"=n el periodico US"0 0oda' 94+ de marzo de 4&&1 de 6 millones de trabaadores en la
fuerza laboral, 7,+B resulto posivo en una prueba de dor"as. !e quienes resultaron posivos, 22,7B fueron usuarios de cocaína y 76,6B de mari%uana. a1 ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 trabaadores que resultaron posivos, 2 sean usuarios de cocaína, 7 de mari%uana y 5 de otras dro"as?
n= 10 p 1 =0,225 p 2 =0,544 p 3 =0,231
( )
P= 10
25 3
2
( 0,225 ) (0,544 ) ( 0,231) ³ ⁵
P=( 2525 ) ( 0,050625 ) ( 0,04764 ) ( 0,0123 ) P=0,07481 b1 ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 trabaadores que resultaron posivos, todos sean usuarios de mari%uana?
P=
( )
10 10 ( 0,544 ) ( 0,456 ) ⁰ 10
P=0,00227 c1 ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 trabaadores que resultaron posivos, nin"uno sea usuario de cocaína?
P=
( )
10 (0,775 )10 10
P=0,07816
123.25 Supon"a que para un embarque muy "rande de c%ips de circuitos inte"rados, la
probabilidad de falla para cualquier c%ip es .4. Supon"a que se cumplen las suposiciones en ue se basan las distribuciones binomiales y encuentre la probabilidad de que a lo más 5 c%ips fallen en una muestra aleatoria de 2.
n= 20 p=0.10 3
∑= 20 C% ( 0.10 ) ( 0,9 ) %
P ( X ≤ 3 ) =
20 − %
% 0
P ( X ≤ 3 ) =0,3486 + 0,7748 + 0,8178 + 0,5452 P ( X ≤ 3 ) =0,8670
139.5 :res personas lanzan una moneda, y el dispareo pa"a los caf@s. Si todas las monedas enen
el mismo resultado, se lanzan de nuevo. 3ncuentre la probabilidad de que se necesiten menos de cuatro lanzamientos. #or medio de la distribuci'n "eom@trica
∑(
x −1
)( ) < )=( )+( )+ ( ) 3
P ( X < 4 )=
x =1
P ( X 4
P ( X < 4 )=
3 4
1 4
3 4
3 16
63
= 0.9843
64
3 64
139.10 Cierta área del este de 3stados )nidos resulta en promedio, afectada por seis %uracanes al
a*o. 3ncuentre la probabilidad de que para cierto a*o esta área resulte afectada por. a1 Denos de cuatro 8uracanes. 3
P ( X < 4 )= P ( X ≤ 3 )=
∑
− &t
e
x =0
( &t ) x
x !
&t =6 P ( X < 4 )=( 0.0024 ) + ( 0.014 )+ ( 0.044 ) +( 0.089 )=0.15 b1 Cualquier candad entre - a + %uracanes.
P ( 6 ≤ X ≤ 8 )= P ( X ≤ 8 )− P ( X ≤ 7 ) 8
P ( 6 ≤ X ≤ 8 )=
∑=
− &t
e
x 0
( &t ) x
x !
5
−∑ x=0
− &t
e
( &t ) x
x !
P ( 6 ≤ X ≤ 8 )= 0.8472 −0.4456 P ( 6 ≤ X ≤ 8 )= 0.4016
139.15 Supon"a que, en promedio, una persona en 4 comete un error num@rico al reparar su
declaraci'n de impuestos. Si se seleccionan 4 formas al azar y se e$aminan, encuentre la probabilidad de -, u + de las formas conten"an un error. #or medio de la apro$imaci'n de #oisson (
p=
1 1000
'=10000∗ p=10
8
P ( 6 ≤ X ≤ 8 )=
∑
− '
e
( ' ) x
x !
x = 0
5
−∑
− '
e
x = 0
( ' ) x
x !
P ( 6 ≤ X ≤ 8 )= 0.3328−0.06708 P ( 6 ≤ X ≤ 8 )= 0.2657 139.20 os cambios en los procedimientos de los aeropuertos requieren una planeaci'n
considerable. os índices de lle"adas de los aviones es un factor importante que se debe tomar en cuenta. Supon"a que los aviones peque*os lle"an a cierto aeropuerto, de acuerdo con un proceso de #oisson, con un índice de - por %ora. !e esta manera, el parámetro de #oisson para las lle"adas en un periodo de t %oras es & =6 t . a1 ¿Cuál es la probabilidad de que e$actamente cuatro aeronaves peque*as lle"uen durante un periodo de una %ora?. −6
P ( X = 4 ) =
e
( 6 )4
4!
P ( X = 4 ) =0.1338 b1 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro lle"uen durante un periodo de una %ora? 3
P ( X ≥ 4 )= 1−
∑
−6
e
( 6 ) x
x !
x = 0
P ( X ≥ 4 )= 1−0.1512 P ( X ≥ 4 )= 0.8488
c1 Si de/nimos un día laboral como 42 %oras ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 7 peque*as aeronaves lle"uen durante un día?
& =6∗12 & =72 74
P ( X ≥ 75 ) =1−
∑
− 72
e
x= 0
P ( X ≥ 75 ) =0.3773
( 72 ) x
x !
158.5 !ada la variable 0 normalmente distribuida con media 4+ y desviaci'n estándar 2.7
encuentre
P ( X < 15 )
a1
'=18 ( =2.5
) =
15 −18 2.5
) =−1.2 P ( ) ≤ −1.2 )=0.115
b1 3l valor de 1 tal que P ( X < )= 0.2236
) =
( −18 ) 2.5
−0.76 =
−18 2.5
=( 2.5 ) (−0.76 ) + 18 =16.1 c1 3l valor de 1 tal que P ( X > )= 0.1814 1− P ( X < ) =0.1814 1−0.1814 = P ( X < )
P ( X < )= 0.8186 Ecurre cuando 0.91=
) =0.91
−18 2.5
) =20.275
d1
P ( 17 < X < 21)
P (17 < X < 21 ) = P ( X < 21 )− P ( X < 17 )
) 1= ) 2=
21−18 2.5 17 −18
2.5
= 1.2
P ( X < 21 )=0.8849
=1.2
P ( X < 17 )= 0.3446
P (17 < X < 21 ) =0.5403 158.10 3l diámetro interior del anillo de un pist'n ya terminado se distribuye normalmente con
una media de 4 cenFmetros y una desviaci'n estándar de .5 cenFmetros. a1 ¿Gu@ proporci'n de anillos tendrán diámetros sin interiores que e$cedan 4.7 cenFmetros?
'=10 ( =0.03 P ( X > 10.075 )
) 1=
( 10.075 −10 ) 0.03
=2.5
P ( X > 10.075 )=1 − P ( X < 10.075 ) P ( X > 10.075 )=1 −0.9938 P ( X > 10.075 )=0.0062 b1 ¿Cuál es la probabilidad de que el anillo de un pist'n ten"a un diámetro interior entre &,& y 4.5 cenFmetros?
) 1= ) 2=
9.97 −10 0.03
=−1
10.03 −10 0.03
=1
P ( 9.97 < X < 10.03 )= P ( X < 10.03 )− P ( X < 9.97 ) P ( 9.97 < X < 10.03 )=0.8413 − 0.1587 P ( 9.97 < X < 10.03 )=0.6826
c1 ¿#or debao de que valor el diámetro interior caerá el 47B de los anillos del piston?
P ( X < % ) =0.15 ) =−1.35
x =(−1.35 ) ( 0.03 )+ 10 x =9.9595
158.15 )na compa*ía pa"a a sus empleados un salario promedio de H47.& por %ora con una
desviaci'n estándar de H4.7. Si los salarios se distribuyen apro$imadamente de forma normal y se pa"an al centavo más pr'$imo. a1 ¿Gu@ porcentae de los trabaadores reciben salarios entre H45.7 y H4-.22 inclusive por %ora?
'=15.90 ( =1.50 P ( 13.75 < X < 16.22 )
) 1= ) 2=
13.75 −15.90 1.50 16.22 −15.90 1.50
=−1.433 = 0.2133
P (13.75 < X < 16.22 )=0.5871 −0.0749 P (13.75 < X < 16.22 )=0.5122 b1 ¿3l 7B más alto de los salarios es mayor a que candad?
P ( x < % )=1− 0.05 P ( x < % )=0.95 ) =1.645 =( 1.645 ) ( 1.50 ) + 15.90 =18.3675 158.20 !ada una distribuci'n connua uniforme, demuestre que(
'=
a1
*
+ * 2
∫ * − x dx
'=
*
(¿ ¿ 2− 2 ) 2
¿
'=
(
)[ ] ( x
1
* −
2 *
2
=
)¿
1
*−
* (¿ ¿ 2− ) ( * + )( *− ) = 2 ( * − ) 2 ( * − ) ' =¿ 2
'=
* + 2
2
( =
b1
*
+ ( x ) =∫ 2
(
+ ( x ) = 2
( *− )2 12 2
x dx * − 1
3
3
* − ( = 3 ( * − 2
2
2
( = 2
( =
)[ ] + −( )= )
*−
*
* −2 * + 12
( *− )2 12
3 *
3
3
* − = 3 3 ( * − )
x
2
2
2
4 (*
2
+ * + 2 ) −3 ( *2 + 2 * + 2 ) 12
