TAREA Nº 1 INTRODUCCION A LA
ESTADÍSTICA
RENATO ALLENDE O. PATRICIO VIDELA J. Los datos representan altura en centímetros de una muestra de cierta variedad de maíz dos meses después de ser sembrada. 1. 2. 3. 4. 5.
Agrupe los datos en una tabla de 9 clases. Construya gráficos apropiados. Obtenga medidas de desempeño (Tendencia Central, Dispersión, Posición y de Forma). Compare un par de cálculos de la pregunta anterior entre datos dispersos y agrupados. Interpretaciones y conclusiones de la información obtenida.
47,8 47,5 30,9 52,5 46,6 52,9 57,4 48,5 74,0 41,2 65,0 50,5
45,1 56,5 38,3 41,0 45,1 56,7 41,0 51,9 71,1 49,2 32,5 44,7
64,0 46,7 35,3 46,4 40,3 54,1 39,4 42,2 54,2 36,7 58,0 47,3
29,1 56,4 50,9 51,3 67,4 59,7 76,1 47,9 39,5 47,1 54,3 49,2
56,0 54,6 27,7 59,0 45,9 46,4 60,9 39,8 62,8 43,1 53,5 41,0
63,6 49,3 48,5 48,9 52,7 42,7 51,8 71,3 54,7 54,0 48,9 52,4
65,2 34,1 50,5 46,3 51,4 40,8 37,2 33,0 46,5 52,7 60,2 32,2
57,5 68,9 55,0 50,4 57,7 39,7 63,5 48,2 56,1 36,4 44,8 35,3
39,6 46,6 24,7 56,7 49,1 44,4 29,5 46,3 58,4 49,1 64,1 46,1
56,9 56,4 59,4 68,3 45,6 49,1 39,0 39,0 60,2 60,8 36,6 66,0
RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J.
JOSÉ GONZÁLEZ C.
1
GUIA Nº 1
INTRODUCCION A LA
ESTADÍSTICA
RENATO ALLENDE O. PATRICIO VIDELA J. 1.
El salario mensual medio pagado a todos los empleados de una empresa es de $98.000. Los salarios medios mensuales pagados a los hombres y mujeres de la empresa fueron de $110.000 y $93.000 respectivamente. Determine si es posible el porcentaje de empleados hombres y mujeres de la empresa. ¿Requiere de mayor información?.
2.
Si se supone que el salario mensual medio de cinco hermanos es de $120.000 y la mediana es de $100.000. a. b.
3.
¿Cuánto dinero llevan mensualmente a la casa los cinco hermanos?. Si Juan, el mejor pagado de los cinco recibe un aumento de $10.000. • ¿Cuál es la nueva media?. • ¿Cuál es la nueva mediana?.
Se conocen los puntajes que un grupo de postulantes, no así las identificaciones de los mismos. Uno de ellos, Andrés quiere conocer su puntaje y le han dicho que es mayor que el promedio y menor que el tercer cuartil. Los puntajes son los siguientes: → 851 → 684 a. b.
4.
→ 591 → 618
→ 513 → 750
→ 744 → 739
→ 526 → 527
→ 522 → 765
→ 590
Obtenga los posibles puntajes de Andrés. De entre los valores calculados en ‘a’, el puntaje de Andrés es aquél que al calcular la desviación estándar de los 14 restantes, produce la mayor variabilidad. ¿Cuál es el puntaje de Andrés?.
El salario mensual medio pagado a todos los empleados de una compañía fue de $287.500. Los salarios medios y su desviación estándar de hombres y mujeres son de $310.000, $400.00 y $260.000, $30.000 respectivamente. a. b.
5.
→ 344 → 491
Determine el porcentaje de hombres y mujeres. Si se reajustan los salarios en un 15% y se asigna una bonificación de $40000 a los hombres y $50000 a las mujeres b.1 ¿Cuáles son los nuevos sueldos promedios?. b.2 ¿Cuáles son las nuevas desviaciones estándar?.
Un estudio que se realizó en el Hospital de Valparaíso, se encuestó para saber el motivo de visita al hospital en el mes de Junio de 1996. Por motivo de investigación sólo se preguntó por motivo de fallecimiento (F), por motivo de natalidad (N) y enfermedad grave (E). Los datos fueron: F N
N E
E F
F N
N F
E E
N F
E F
F E
F E
N N
N N
E F
E N
F E
Describa la información utilizando medidas apropiadas. RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J.
2
6.
El departamento de agricultura de Limache tiene los siguientes datos que representan el crecimiento semanal (en cm.) de muestras de maíz recién sembrados: 0.4 0.9
1.9 0.7
1.5 0.9
0.9 0.7
0.3 0.9
1.6 1.5
0.4 0.5
1.5 1.5
1.2 1.7
0.8 1.8
Construya una tabla de frecuencia. Construya una ojiva que le ayude a determinar qué proporción del maíz creció más de 1.0 cm. a la semana. c. ¿Aproximadamente cuál fue la tasa de crecimiento semanal del elemento medio de la muestra de datos?. d. Obtenga promedio, moda, mediana, P70. Comente sus resultados. e. Con ayuda de gráficos comente la asimetría de la curva y concluya sobre la base de algún estadígrafo. a. b.
7.
La distribución de establecimientos industriales según su producción mensual en millones de pesos en la zona norte de Chile se da en la siguiente tabla: Producción 0 - 5 5 - 10 10 - 25 25 - 50 50 - 100 100 - 250 250 - 500 500 - ∞
[ ] ] ] ] ] ] ] a. b. c.
8.
] ] ] ] ] ] ] ]
% de establecimientos 39 19 14 12 9 4 2 1
% acumulado 39 58 72 84 93 97 99 100
Determine el valor del tercer cuartil e interprete. ¿Qué porcentaje de establecimientos producen menos de 12.14 millones de pesos mensuales?. Comente la simetría basado en la mayor cantidad de información que pueda obtener de los datos.
Para cada uno de los siguientes datos: elija la medidas de desempeño que más se acomoda a ellos, para luego interpretar y comentar los resultados. a.
Número de niños en 12 familias: 3
b.
2
2
3
2
5
2
2
2
2
2
Entradas de 10 familias ($ por años): 8400
c.
2
8300
8600
7400
7300
9700
8100
17100
9100
9300
Peso de 10 niños: 39
40
39
37
38
39
38
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PATRICIO VIDELA J.
40
41
40
3
9.
En un examen en el liceo X, los 100 alumnos de los 4 cursos obtuvieron un promedio de 72 puntos. Los puntajes medios de los cursos A, B y C fueron 75, 62 y 80 respectivamente. Los archivos del curso D se extraviaron, pero se sabe que los cursos A y B eran el 40% y el 25% del total, respectivamente y que en el curso C habían 15 alumnos más que en el curso D. En base a la información anterior, calcule la nota promedio del curso D.
10. Con el Objetivo de invertir en cierto proyecto, se ha tomado una muestra aleatoria de 100 semanas, respecto de la rentabilidad de las acciones de una empresa A (en %). Para ello se han recopilado los datos, los que se han resumido en la siguiente tabla:
Clase 1 2 3 4 5 a. b. c.
Límites Reales. Rentabilidad (%) [ 0.505 ; [ [ ; 1.505 [ [ ; [ [ ; [ [ ; [
Marca de Clase
Absoluta
Frecuencias Absoluta Relativa Acumulada
Relativa Acumulada
5 25 1.755
50 95
Complete la Tabla Reconozca y clasifique la variable de estudio e indique la unidad de análisis. Realice al menos dos gráficos adecuados a los datos.
11. Una empresa con el fin de contratar un grupo de empleados operarios aplicó una prueba a todos los postulantes, a cada uno se les asignó el mismo trabajo. Los datos obtenidos son los siguientes: tiempo (hrs) 1.5 - 2.1 2.2 - 2.8 2.9 - 3.5 3.6 - 4.2 4.3 - 4.9 5.0 - 5.6 5.7 - 6.3
postulantes 3 9 15 22 10 6 3
Calcular la desviación estándar y varianza. ¿Cuál es el tiempo de ejecución más común entre los postulantes?. La empresa contratará a todos los postulantes que tengan un tiempo de ejecución superior o igual a 4.5 hrs. ¿Cuál es el porcentaje de postulantes contratados?. d. La empresa asignará a otras labores a los empleados que tengan un tiempo de ejecución mayor o igual a 3.3 hrs. ¿Cuál es el porcentaje de empleados (contratados) que se encuentran en esta situación?. e. Basándose en algunas medidas de desempeño se puede afirmar que los postulantes tienden a tener un puntaje menor a lo esperado. Apóyese también con gráficas. a. b. c.
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4
12. Con el fin de estudiar el efecto de la crisis asiática en el país, se ha obtenido la inversión de países asiáticos en Chile. (cifras en millones de dólares) que se presenta en la siguiente. Países Japón Singapur Hong - Kong China Corea Taiwan Malasia Total a. b. c. d.
Inversión Autorizada 885 50 42.6 20.4 20.3 5.3 3.0 1026.6
Inversión Materializada 373.2 3 16.1 19.2 4.3 0.6 2.5 418.9
Índice de Inversión
Reconozca y clasifique la variable de estudio e indique la unidad de análisis. Se define, Índice de Inversión: Porcentaje de inversión materializada respecto de la autorizada, complete la Tabla. Realice un gráfico adecuado en orden ascendente de los países asiáticos, respecto a su Índice de Inversión. Seleccione un país y realice un gráfico que permita comparar la inversión materializada con la autorizada.
13. Los datos correspondientes a la cantidad de peptina (en grs.) de cierta variedad de fruta al momento de ser cosechada, se reunieron en una tabla de frecuencia simétrica con cinco intervalos de igual clase, de la cual se obtiene la siguiente información: N5 = 180
LI5 = 59.5
f3 = 0.5
f2 = f1 + 0.05
a. b.
Defina la variable de estudio y clasifíquela. Reconstruya la tabla de frecuencia indicando: clases, mi, f, F, n, N.
c.
¿Qué porcentaje de las frutas se encuentra dentro del intervalo: [ x m 2 s] ?.
a =10
14. A partir de la siguiente tabla: Intervalo
ni
mi
N
f 8/160
31 53 11 a. b. c.
148 160
22/160
Completar la tabla y construya histograma, sabiendo que el ancho de cada intervalo es de dos unidades. Calcule la media muestral, mediana muestral, P40, Q1 y desviación estándar a partir de la tabla. Interprete. Sobre la base de algún estadígrafo, ¿qué puede concluir respecto a la asimetría de los datos?. RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J.
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GUIA Nº 2
INTRODUCCION A LA
ESTADÍSTICA
RENATO ALLENDE O. PATRICIO VIDELA J. 1.-
Las ventas diarias en miles de dólares (MUS$) de una cadena de negocios entre los meses de Enero y Febrero del 2002( 50 días) se presenta en la siguiente tabla: ni
Ventas (MUS$) 100 – 190 210 – 270 290 – 350 370 – 430 450 – 510 a. b. c. d. e.
Fi 0.06
9 0.40 11
1.00
Reconozca y clasifique la variable de estudio e indique la unidad de análisis. Complete la tabla y construya histograma de frecuencia. Calcule la media muestral, mediana muestral. Interprete. Son días normales aquellos con ventas diarias en el intervalo [ x m s ] . ¿Qué porcentaje representan los días normales?. Sobre la base de algún estadígrafo, ¿qué puede concluir respecto a la asimetría de los datos?.
2.- Los datos siguientes corresponden a valores de una tabla de frecuencia de 7 intervalos que muestra la distribución de la longitud (en mm.) del ala derecha de avispas de especímenes vaspa vulgaris. n7 = 1 F3 = 0.46 a. b. c. d.
f5 = 0.14 F6 = 0.98
N1 = 3 m1 = 8.685
f2 = 0.12 a = 0.16.
N4 = 39
Complete la tabla, bosqueje un histograma y polígono de frecuencia. ¿Qué proporción de avispas tienen longitud de las alas menos a 9.1 mm.?. ¿Cuál es el tamaño medio de las alas del espécimen vespa vulgaris?. Redacte un breve informe sobre los resultados obtenidos.
3.- En cierta industria se dispone de dos máquinas envasadoras de fruta (lata). Para fines comparativos se tomó una muestra aleatoria de ambas máquinas obteniéndose los siguientes resultados (en onzas por lata). Onzas por lata
Máquina A
Máquina B
− − − − − − −
0 1 3 8 21 12 5
1 5 19 25 13 7 0
10.68 11.11 11.54 11.97 12.40 12.83 13.26
11.10 11.53 11.96 12.39 12.82 13.25 13.68
RENATO ALLENDE O.
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a. b. c. d. e. f.
Construya gráficos y compare ambas distribuciones de frecuencia. Comente. Calcule medidas de tendencia central para cada máquina y en conjunto. Interprete. Calcule medidas de variabilidad para cada máquina y en conjunto. Interprete. Calcule la variabilidad entre las máquinas. Interprete. Compare ambas máquinas envasadoras. Comente. ¿Qué % supera las 13 onzas por lata en cada máquina?.
4.- Con el objetivo de determinar la variedad de tomates con mejor rendimiento, se ha tomado una muestra aleatoria de 100 tomates de la variedad Ramy y 120 de la variedad FA-144. Para ello se ha pesado cada tomate y los datos obtenidos de esta medición se han resumido en la siguiente tabla: FA-144
Ramy Peso (grs.)
mi
n 5
N
n
25
17
50
58 95 100
a. b. c. d.
e. f. g.
N 10
50 120
Reconozca y clasifique la variable de estudio e indique la unidad de análisis. Complete la tabla si la amplitud común es de 50 grs., sabiendo que la mediana de la variedad FA-144 es de 200.5 grs. Calcule un estadístico de tendencia central apropiado para cada variedad, apoyando su conclusión con gráficos adecuados. Si la correspondiente producción de tomates en esta temporada fue de 10.000 y 12.000 unidades para la variedad Ramy y FA-144 respectivamente y dado que se ha determinado que aquellos tomates que pesen entre 225 y 275 grs. tienen calidad extra y pueden ser exportados, estime la cantidad de tomates de cada variedad que podrían exportarse. Determine el coeficiente de asimetría de ambos tipos de tomates. Interprete. ¿Qué puede concluir con respecto a la Kurtosis de ambas variedades?. Apóyese en gráficos y medidas de desempeño. ¿En qué variedad los pesos de los tomates son más homogéneos?.
5.- En una muestra aleatoria de recién egresados de la preparatoria se registraron dos características (la calificación promedio y el número de respuestas correctas para la prueba SAT). Esta información se clasifica y resume en la siguiente tabla:
Calificación Media > 3.5 3.0 – 3.5 2.5 – 3.0 < 2.5 a. b.
N° de respuestas correctas para la prueba SAT 90 - 110 110 - 130 130 - 150 50 65 38 78 72 42 97 80 25 105 25 18
Encuentre las distribuciones marginales de las variables. Que medida de tendencia central propondría Ud. para cada una de las variables. Justifique. RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J.
7
Realice un análisis gráfico de la distribución conjunta e interprete al menos dos frecuencias de acuerdo a los resultados. d. Le parece a Ud. que existe una asociación lineal entre las variables. c.
6.-
Se clasifica a los contadores de acuerdo al grado de responsabilidad obteniéndose los siguientes resultados respecto de su sueldo promedio anual: Grado I II III IV V a. b. c.
Número 4 000 8 500 18 000 13 000 5 500
Sueldo Medio (Anual) 6 250 7 000 8 000 9 500 11 500
Desviación estándar 1 000 1 200 800 950 1100
Calcule el promedio y desviación estándar del sueldo de todos los contadores. ¿Qué porcentaje de la variabilidad total es explicada por el grado?. Justifique. ¿Qué grupo en más homogéneo?.
7.- Deportistas fueron clasificados según: “Consumo de vitaminas”: Bajo, Medio, Alto y “Pérdida de Peso” (en gramos) después de la práctica de deporte. La tabla siguiente resume la información. Clasificación 400 – 600 600 – 800 800 – 1000 1000 – 1200
Bajo 12 5 1 0
Medio 4 5 4 5
Alto 1 2 4 7
Determine las distribuciones marginales de las variables “Consumo de Vitaminas” y “Pérdida de Peso”, y luego, proponga y calcule una medida de tendencia central para cada caso. b. Encuentre la distribución de la variables “Pérdida de Peso” para aquellos deportistas que tienen un “Consumo de Vitaminas Alto”. ¿Cuál es su pérdida promedio?. ¿Cuál es su desviación estándar?. a.
8.- A fin de controlar la calidad de un particular tipo de hilo producido en serie, los ingenieros de control de calidad toman una muestras al azar de tamaño 7, correspondientes a cada uno de los cuatro turnos que los operarios realizan y se mide la resistencia a la tensión [en libras], cuyos datos se muestran en la siguiente Tabla. Se tiene que la media por especificaciones debe ser de 48 [libras].
Obs. Turno 1 Turno 2 Turno 3 Turno 4
1 44 44 42 51
2 46 43 48 52
3 48 42 46 48
4 52 43 53 49
RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J. .
5 49 46 54 47
6 47 45 49 47
7 48 44 44 50
8
a. b. c.
Discuta la precisión y exactitud de la resistencia del hilo fabricado por cada turno. ¿A qué turno asignaría mayor atención para mejorar la calidad?. ¿Cuál es la mayor causal de falta de precisión, en la variabilidad total?.
9.- Dos máquinas se utilizan para llenar botellas de plástico con un nivel neto de 16 onzas. En el departamento de control de calidad se sospecha que ambas máquinas llenan con el mismo volumen neto, sin importar si este es o no de 16 onzas. De cada línea de llenado se escogió una muestra al azar y se obtuvo: Máquina 1 16.03 16.01 16.04 15.96 16.05 15.98 16.05 16.02 16.02 15.99 a. b. c.
Máquina 2 16.02 16.03 15.97 16.04 15.96 16.02 16.01 16.01 15.99 16.00
Discuta la precisión y exactitud del llenado de las máquinas. Le parece legitima la sospecha del departamento de control de calidad. ¿A qué máquina asignaría mayor atención para mejorar la calidad?.
10.- A finales de la década de los sesenta se descubrió que la sustancia carcionogénica nitrosodimetilamina (NDMA) se formaba durante el secado de la malta Verde, la cual se usaba para fabricar cerveza. A principios de los ochenta se desarrollo un nuevo proceso para el secado de la malta, el cual minimizaba la formación de NDMA. Se tomaron muestras aleatorias de una cerveza nacional que se fabricó empleando ambos procesos de secado, y se midieron los niveles de NDMA en partes por billón. Obteniéndose los resultados:
Proceso Anterior Nuevo
a. b.
12
Muestra 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
∑x
6 2
4 1
5 2
5 2
6 1
5 0
5 3
6 2
4 1
6 0
63 18
7 1
4 3
i =1
12
i
∑(x
i
- x )2
i =1
10.25 11.00
Analice los datos con medidas de desempeño adecuadas. Redacte un breve informe sobre los resultados obtenidos.
RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J.
9
FORMULARIO RENATO ALLENDE O. PATRICIO VIDELA J.
n − N i −1 2 Me = Li + * ai ni
n − N i −1 4 ; Q1 = Li + * ai ni
3n − N i −1 4 ; Q3 = Li + * ai ni
n* j − N i −1 (ni − ni −1 ) * ai 100 Mo = Li + ; Pj = Li + * ai ; k ≈ 1 + 3.33 log10 (n ) (n i − ni +1 ) + (ni − ni −1 ) ni X =
S2 =
1 2 xi2 − x ; ∑ n
1 n
∑
S 2 = ∑ f i M i2 − x ; 2
S = S2;
λ1 = DM =
m3 = S3
∑(x
i
i
DMe =
1 ∑ x i − Me ; n
∑f
;
i
∑(x
xi
∑p
− x )4 n
Mi − x ;
i
= 1 ; pi =
ni n
−3
∑f
i
M i − Me
i
i
2
i
S4
∑x ∑y ∑x y − n x − (∑ x ) y − (∑ y ) ∑ ∑ n n i
i
3( X − Me) ; S
m4 −3= S4
2 i
∑n
S T2 = ∑ pi S i2 + ∑ pi ( x i − x T ) 2 ;
i
r =
1 n
XT =
;
λ2 =
S3
1 ∑ xi − x ; n
∑nM
RQ = Q3 − Q1; AS =
− x )3 n
i
1 n
X =
Xi ;
2
i
CV =
2 i
S X
RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J.
i
10
GUIA Nº 3
INTRODUCCION A LA
ESTADÍSTICA
RENATO ALLENDE O. PATRICIO VIDELA J. 1.-
La cantidad de buques extranjeros que semestralmente requiere la atención de nuestro dique "Valparaíso III", es una variable aleatoria, y se piensa que posee una función de cuantía dada por: P[ D = d ] = k a. b.
2.
3d d!
d = 0, 1 ,2, 3, 4.
Encuentre la constante k y bosqueje fD (d) y FD(d). Encuentre la esperanza y varianza, e interprete adecuadamente.
Una planta industrial funciona en forma continua de lunes a viernes, produciendo 12.000 unidades en ese período. Si el proceso se detiene una vez durante la semana por fallas técnicas, se produce una pérdida de $ 4.000; si se detiene dos veces, la pérdida es de 8.300; si se detiene tres veces la pérdida es de $13.100; si se detiene cuatro veces o más, la pérdida que se produce es de $25.000. Si número de fallas que se produce en una semana sigue un modelo probabilístico con la siguiente función de cuantía: Nº de fallas en la semana Probabilidad
0
1
2
3
4
5
0.24
0.30
0.20
0.15
0.05
0.04
6o más 0.02
En el costo de producción debe considerarse el valor esperado de las pérdidas por detención del proceso debido a fallas. ¿Cuál es el valor esperado de estas pérdidas por artículo producido?. 3.- Una caja contiene 2 tarjetas rojas, 4 verdes y 6 negras, con la cual se realiza el siguiente juego. Un jugador saca al azar una tarjeta de la caja, si la tarjeta es roja gana $200, si la tarjeta es verde gana $50, y si la tarjeta es negra pierde cierta cantidad de dinero. ¿Cuál es el máximo valor que el jugador debería pagar por la tarjeta negra para el juego sea parejo ?. 4.- Un jugador lanza dos monedas. Gana $10 ó $20 según aparezca una ó dos caras respectivamente. Por otro lado pierde $30 si aparecen dos sellos. ¿Es favorable el juego para el jugador?. 5.- Se tiene una bolsa con 20 fichas (de la misma forma y tamaño), las cuales tienen marcados los valores 50, 10 y 5 pesos. La cantidad de cada una de ellas es: 5 de $50; 8 de $10; y 7 de $5. Si se extraen tres fichas al azar. a. Determine la cuantía de probabilidad para la cantidad extraída. b. Grafique la función de probabilidad acumulada.
RENATO ALLENDE O.
PATRICIO VIDELA J.
11
c.
Determine el valor esperado y la variabilidad para la cantidad extraída.
6.- Un fabricante de artículos deportivos tiene la demanda y las probabilidades siguientes para una revista anual de pesca: Demanda Probabilidad 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000
0.20 0.20 0.20 0.20 0.20
Los costos increméntales por producción son de cuatro dólares por millar; el precio de venta es de cinco dólares por millar; y el valor de recuperación de las revistas que no se vendan es cero. El razonamiento del fabricante es el siguiente: ‘Puesto que existe la misma probabilidad que la demanda sea mayor ó menor a 300 000, produciré la cantidad más posible, es decir, 300 000’. ¿Está Ud. De acuerdo?, si no lo está, ¿Por qué?. 7.- El vendedor de un puesto de periódicos asigna las siguientes probabilidades de demanda de una revista : Suceso : Demanda de ejemplares
Probabilidades
10
11
12
13
14
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
a.
Si el vendedor puede devolver los ejemplares que no se vendan y recuperar todo el dinero, ¿cuántos ejemplares debe pedir?.
b.
Si el vendedor no puede devolver los ejemplares que no se vendan, ¿cuántos ejemplares debe pedir?.
8.- El fabricante de un tónico para el cabello quiere producir un nuevo producto. Los beneficios increméntales son de $10 dólares por unidad (sobre la base del valor neto actual (VAN)) y la inversión en equipo necesario es de $ 500 000 dólares. La estimación de la demanda es la que sigue: Demanda (unidades)
Probabilidad
30 000 40 000 50 000 60 000 70 000
0.05 0.10 0.20 0.30 0.35
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PATRICIO VIDELA J.
12
Determine la cantidad de productos mínimos que debe producir. Determine el beneficio neto esperado. ¿Cómo cambiaría el valor esperado si la probabilidad de demanda de 30 000 es de 0.10 y la probabilidad de 70 000 fuera de 0.30. 9.- Sea R una variable aleatoria . con función de probabilidad dada por: a. b. c.
r: f (r) :
-1
0
1
2
3
0,25
0,125
0,25
0,25
0,125
a.
Calcule P[R≤ 2 / R>0].
b.
Sea Z= 3R + 2.
Determine:
P (Z) y P(Z).
10.- Un profesor a través de los años, ha notado que sus alumnos tardan un tiempo T (en horas) para efectuar un experimento, dicho tiempo está adecuadamente modelado por la siguiente función de distribución de probabilidad acumulada. t < 0 0 t 0 ≤ t <12 2 FT ( t ) = 1 1 ≤ t < 5 t - 4 2 4 5 t ≥ 1 4 a. b. c.
Graficar la función de probabilidad acumulada FT(t). ¿Qué % de los alumnos tarda más de 30 minutos en efectuar un experimento ? Halle la Mediana de T e interprete adecuadamente.
11.- Considera una variable aleatoria X, cuya función de densidad de probabilidad está dada por: 1 f X ( x) = 20 0 a. b. c.
0 ≤ x ≤ 20 e.o.c
Graficar la función de densidad de probabilidad fX(x). Calcular x0 para que P (X ≤ x0 ) =0,5. Interprete Calcular x para que P (X> x ) =0,05.
12.- Considera una variable aleatoria X, cuya función de densidad de probabilidad está dada por: x f X ( x) = 48 0
2 ≤ x ≤ 10 e.o.c
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a. b. c.
Graficar la función de densidad de probabilidad fX(x). Calcular x0 para que P (X ≤ x0 )= 0,5. Interprete Calcular x para que P (X> x ) =0,1.
13.- Al probar una cierta clase de neumáticos para camión en un terreno escabroso, se encontró que el 25% de los camiones terminaba la prueba con los neumáticos dañados. De los siguientes 15 camiones sometidos a prueba, encuentre la probabilidad de que: a. b. c.
De tres a seis tengan los neumáticos dañados. Menos de cuatro tengan los neumáticos dañados. Más de cinco tengan neumáticos dañados .
14.- Un ingeniero de control de tráfico reporta que el 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrículas de la región. ¿Cuál es la probabilidad de que más de cuatro de los siguientes diez vehículos no sean de la región?. b. ¿Cuál es la probabilidad de que más de siete de los siguientes diez vehículos sean de la región?. c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de los siguientes 20 vehículos no sean de la región? a.
15.- Una compañía está interesada en evaluar sus actuales procedimientos de inspección en el embarque de 50 artículos idénticos(lote). El procedimiento es tomar una muestra de 5 piezas y autorizar el embarque si se encuentra que no más de dos están defectuosas ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra contenga exactamente 3 piezas defectuosas, suponiendo el 10% del lote es defectuoso?. b. ¿ Qué proporción de embarques serán autorizados, suponiendo el 20% del lote es defectuoso?. a.
16.- Suponga que el 30% de la población de una gran ciudad, piensa que el sistema de transporte masivo es el adecuado. Si 20 personas son seleccionadas aleatoriamente de dicha población. a. b.
Encuentre la probabilidad de que cinco o menos, piensen que el sistema es el adecuado. Encuentre la probabilidad de que exactamente 6 piensen que el sistema es el adecuado.
17.-A partir de los registros históricos de una empresa, se ha estimado de que la probabilidad de que se venda en un día más de 10 de sus artículos es de 0,2. Indique la probabilidad de que la venta de más de diez de sus artículos ocurra al menos una vez en los próximos cinco días 18.-Suponga que el 30% de los árboles de la V Región están afectados por cierto parásito. •
¿Cuál es la probabilidad de 18 que tiene que examinar un inspector en una estos estén infectados?
•
¿ Cuál es el número esperado de infectados ?. RENATO ALLENDE O.
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mañana, más del 60% de
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GUIA Nº 4
INTRODUCCION A LA
ESTADÍSTICA
RENATO ALLENDE O. PATRICIO VIDELA J. 1.- En lotes de tamaño cuarenta (N =40), cada lote se considera aceptable si no contiene más de tres defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra a lo más un componente defectuoso. • •
¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado si hay tres defectuosos?. Construya una pequeña tabla de la probabilidad de que un lote sea rechazado para distintos valores de defectuosos en el lote.
2.- Una compañía manufacturera utiliza un plan ( esquema ) para la aceptación de artículos producidos antes de ser embarcados. Se preparan cajas de 25 artículos para el embarque y se selecciona una muestra de cuatro artículos para verificar si tienen artículos defectuosos. Si se encuentra un artículo defectuoso, la caja entera se regresa para verificar al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso se embarcan . • •
¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene un artículo defectuoso se regrese para verificación?. ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene tres artículos defectuosos?
3- Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado seis tabletas de narcótico en una botella que contiene nueve píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de aduana selecciona tres tabletas aleatoriamente para analizarlas: • • •
•
¿Cuál es la probabilidad de que todas las tabletas sean de narcóticos?. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos?. Si el viajero realiza siempre el mismo procedimiento con seis botellas de una caja de 25 botellas, y en inspección de aduanas se controlan todas las cajas, realizando un muestreo de cuatro botellas elegidas al azar, que se revisan completamente y luego se devuelven a la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado, si éste pasa 20 cajas por la aduana?. ¿Cuál es el número esperado de muestras necesarias para obtener una con dos botellas que contienen narcóticos?.
4.- Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una historia acerca de un acontecimiento es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que • •
La sexta persona que escuche tal historia sea la cuarta que la crea?. la tercera persona que escuche tal historia sea la primera en creerla?. RENATO ALLENDE O.
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•
De un grupo de veinte personas. ¿A cuántas personas se esperaría contar la historia hasta que la sexta la creyese ?.
5.- La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad posea un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada aleatoriamente en esta ciudad sea la quinta persona que posee un perro. 6.- La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen: En el tercer intento. • Antes del cuarto intento. • ¿Cuántos intentos se esperaría que fuesen necesarios hasta obtener la licencia?. • 7.- En promedio, en una cierta intersección ocurren tres accidentes viales por mes. Si se supone que el numero de accidentes es bien representada por la distribución de Poisson ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado mes: • • •
Ocurran exactamente cinco accidentes?. Ocurran menos de tres accidentes?. Ocurran más de cuatro accidentes si se sabe que ya han ocurrido dos?.
8.-En un estudio de un inventario se determino que, en promedio, la demanda por un artículo en particular en una bodega era de cinco veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día este artículo sea requerido: Más de cinco veces?. • Ni una sola vez?. • Más de dos veces, pero no más de cuatro?. • ¿Cuántos artículos promedio se requieran en una semana de cinco días? . • 9.- Suponga que en promedio una persona de cada mil comete un error numérico al preparar su declaración de impuesto. Si se examinan al azar 10 000 formas, Encuentre la probabilidad de que seis, siete u ocho formas tengan error. 10. - Suponga que el 65% de una particular raza de ratas, cuando es inyectada con una dosis de estimulante, muestra un comportamiento agresivo. Un experimentador aplica el estimulante a cuatro ratas, una después de otra y observa la presencia o ausencia de agresividad en cada uno de los casos. Determine las siguientes probabilidades (bajo el supuesto de independencia entre las probabilidades de agresividad de las ratas). Dos o más ratas son agresivas. • La primera rata es agresiva y la tercera rata es no agresiva. • Exactamente dos ratas agresivas. • 11.- La cantidad de partículas emitidas por una fuente radioactiva, durante un período de tiempo específico se supone sigue una Distribución de Probabilidad Poisson. Si se tiene como antecedente que la probabilidad de que no ocurra ninguna emisión es de 1/3, ¿cuál es la probabilidad de que ocurran dos o más emisiones?. 12.- Suponga que en un volumen unitario existen m moléculas de la sustancia ‘A’ y n de la sustancia ‘B’. m y n son números grandes. Debido a colisiones dentro del volumen unitario, hay moléculas que son rechazadas aleatoriamente hacia el exterior y son capaces de reingresar y estos sucesos son independientes. Encuentre la posibilidad de que ... RENATO ALLENDE O. 16
PATRICIO VIDELA J.
Las primeras dos moléculas rechazadas, sean de la sustancia ‘B’. La tercera molécula rechazada sea de la sustancia ‘B’. • La segunda molécula rechazada, sea de la sustancia ‘A’, si es que se sabe que la primera fue una • molécula de la sustancia ‘B’. 13.- La cantidad de accidentes automovilísticos registrados diariamente en una cierta ciudad en una muestra de 100 días consecutivos es la siguiente: •
Cantidad de Accidentes Número de Días
0 19
1 26
2 26
3 15
4 9
5 4
6 1
Asumiendo que los accidentes se presentan al azar (ley Poisson), determine: Número promedio de accidentes diarios. • Probabilidad de tener a lo más 2 accidentes en un día. • Probabilidad de que en una semana en tres días hallan accidentes. • Número esperado de días para que se presente algún accidente. • 14.- Se tendieron mil trampas para langostas, en las que se atraparon mil doscientos de estos crustáceos. Bajo el Supuesto que el número de langostas por trampa es una variable aleatoria Poisson. ¿Cuál es la probabilidad .... Una trampa no tenga ninguna langosta?. • Una trampa contenga dos o más langostas?. • ¿Cuál es el número esperado de trampas que contengan exactamente una langosta?. • Si se sacan al azar 80 trampas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos el 90% de ellas contenga • alguna langosta?. 15.- X e Y denotan dos variables aleatorias, cada una con una distribución Binomial con los parámetros que se indican a continuación: X ∼ B(2, p) e Y ∼ B(4, p). Si se sabe que P [X ≥ 1] = 5/9. Encuentre P [Y ≥ 2]. 16.- Se observa una fuente radioactiva durante 8 intervalos de 6 segundos de duración cada uno y se registra la cantidad de partículas emitidas durante estos períodos. Por experimentos previos, se piensa que la cantidad de partículas emitidas en intervalos de dos segundos, siguen una distribución Poisson con un promedio de una partícula por intervalo. Determine la probabilidad de que... • •
En exactamente uno de estos ocho intervalos, se emitan más de dos partículas. En exactamente tres de estos ocho intervalos, se emitan al menos de dos partículas.
17.- Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicas. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base en una muestra aleatoria de 100 unidades. El lote se rechaza al encontrar tres o más defectuosos en la muestra. • •
¿Cuál es probabilidad de rechazar un lote si éste contiene un 1% de componentes defectuosos?. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8% de unidades defectuosas?.
18.- Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor mientras más contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguros después RENATO ALLENDE O.
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de la visita, es constante e igual a 0.25, y si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos, ¿cuántos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una póliza sea de no menos 0.80?. 19.- Suponga que en un cruce transitado ocurren de manera aleatoria e independiente dos accidentes por semana. • •
Determinar la probabilidad de que ocurra un accidente en una semana y de que ocurran tres en la siguiente semana. ¿Cuál es el número esperado de semanas en que ocurren dos accidentes, para una años determinado?.
20.- Una compañía de seguros vende pólizas a 1500 pescadores artesanales, los cuales requieren los servicios de la compañía para proteger sus embarcaciones contra robo, en un período de dos años. El responder por una póliza si a ocurrido el siniestro, le significa a la compañía un costo de M$ 300. La compañía sospecha que va a quebrar, aún cuando la probabilidad de robo de una embarcación durante el período de la póliza es de 0,15. Suponga que la probabilidad de que a un individuo le hagan más de un robo es cero. • • •
Determine la probabilidad de que al menos 20 embarcaciones sean robadas. ¿Cuál debiera ser el precio de venta mínimo estimado de la póliza de seguros, para que la compañía no quiebre? (no considere otros gastos). Si por medidas del gobierno, la dotación policial a aumentado en la zona donde se encuentran las embarcaciones, disminuyendo la probabilidad de robo en dos tercios. ¿Cuál es la expectativa de ganancia de la compañía por póliza, al precio de venta encontrado anteriormente?.
21.- Para un volumen fijo, el número de células sanguíneas es una variable aleatoria. Si el número promedio para un volumen dado es de nueve células para personas normales, determinar la probabilidad de que el número de células para una persona se encuentre dentro de una desviación estándar del promedio y dos desviaciones estándar del promedio. 22.- La cantidad de elementos nocivos para un organismo que posee un alimento enlatado, por tarro, es una variable aleatoria tipo Poisson y el promedio de elementos nocivos también por tarro, es aproximadamente 0,02. • • •
¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos dos elementos nocivos?. ¿Cuántos tarros debieran ser examinados, de manera que la probabilidad de encontrar al menos uno con elementos nocivos, sea de por lo menos 0,95?. Dado el resultado anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que el tarro Nº 25, de los examinados, sea el primero libre de elementos nocivos?.
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GUIA Nº 5 I N T R O D U C C I O N A L A
ESTADÍSTICA
RENATO ALLENDE O. PATRICIO VIDELA J. 1.- Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una cierta panadería tienen una longitud media de 30 cm. y una desviación estándar de 2 cm. Suponiendo que las longitudes están normalmente distribuidas, ¿qué porcentaje de las piezas: • • •
Tienen más de 31.7 cm. de longitud?. Tienen entre 29.3 y 33.5 centímetros de longitud?. Tienen una longitud menor que 25.5 centímetros?.
2.- Los accidentes graves en una planta industrial ocurren al azar en el tiempo. El departamento de prevención de accidentes propone un plan que considera efectivo para reducir el número de accidentes en la planta. Un año después de ponerlo en marcha; sólo han ocurrido cuatro accidentes. • •
¿ Cuál probabilidad de que ocurran 4 o menos accidentes por año, si la frecuencia promedio( tasa ) es 10?. Después de lo anterior. ¿Puede concluirse que, luego de un año, el número de accidentes promedio ha disminuido?.
3.- Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de US$ 9.25 por hora con una desviación estándar de 60 centavos. Si los salarios están distribuidos aproximadamente en forma normal y los montos se cierran a centavos: • •
¿Qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $8.75 y $9.69 por hora ?. ¿El 5% más alto de los salarios por hora es mayor a qué cantidad?.
4.- La duración de cierto tipo de dispositivo se supone sigue una distribución exponencial con una media de 100 horas. • • •
¿Cuál es la probabilidad de que en un dispositivo pasen 200 horas antes de que se observe una falla?. ¿Cuál es la probabilidad de que en un dispositivo dure entre 100 y 200 horas?. Considerando que la medida de tendencia central ‘mediana’, realiza una división, en que le 50% de los valores está bajo ‘mediana’ y el otro 50% ésta sobre ‘mediana’. Determine el valor de la mediana.
5.- La resistencia a la tensión de cierto componente metálico está normalmente distribuido con una media de 10.000 kilogramos y una desviación estándar de 100 Kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran y redondean a 50 kilogramos. •
¿Cuál es la proporción de estos componentes que exceden los 10.150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tensión?. RENATO ALLENDE O. 19
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•
Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan una resistencia a la tensión entre 9 800 y 10 200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, ¿Qué proporción de piezas se esperarían que se desecharan?.
6.- Se toma una m.a. de 100 votantes para estimar la proporción del electorado que favorece un alza en el nivel de impuesto a la bencina para proveer fondos adicionales para la reparación de caminos. ¿Cuál es el valor más grande que puede tomar el error estándar da la proporción de los que favorecen este medida? 7.- La precipitación pluvial promedio, registrada en centésimas de milímetros, en Roanoke, Virginia, en el mes de marzo es de 9.22 . Suponiendo que se trata de una distribución Normal con una desviación estándar de 2.83 , encuentre la probabilidad de que el próximo mes de marzo Roanoke tenga: • •
Menos de 1.84 cm de lluvia. Más de 5 pero no más de 7 cm de lluvia.
8.- La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro de un período de garantía. Si esta dispuesto a reponer sólo el 3% de los motores que fallan, ¿Qué tan larga debe ser la garantía que otorgue?. Suponga que la vida de los motores siguen una distribución Normal. 9.- Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco se supone que esta normalmente distribuidas con una desviación estándar igual a 15 mililitros. • • • • •
10.
¿Qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros?. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga más de 195.5 mililitros, si se sabe que la máquina envasadora no tiene más de 206 mililitros en su estanque?. ¿Cuántos vasos probablemente se derramaran, si se utilizan vasos de 230 mililitros en los siguientes 1. 000 refrescos?. ¿Abajo de qué valor se obtiene el 25% más pequeño de los refrescos?.
La distribución exponencial frecuentemente se aplica a los tiempos de espera entre eventos en un proceso de Poisson. Si el número de llamadas que se reciben por hora en un servicio de contestación telefónica es una variable aleatoria Poisson con promedio de seis llamadas, el tiempo en horas entre llamadas sucesivas tiene una distribución exponencial con una tasa promedio de un sexto. ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de quince minutos entre dos llamadas sucesivas cualesquiera?.
11.- Un abogado se traslada diariamente de su casa a su oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviación estándar de 3.8 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado está normalmente distribuidas. • • • •
¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos media hora?. Si la oficina la abre a las 9:00 AM y el sale de su casa a las 8:45 AM diariamente, ¿Qué porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo?. Encuentre la hora de salida para el 15% de los traslados más lentos. Si deja su casa a las 8:35 AM y en la oficina se sirve café entre las 8:50 AM y 9:00 AM, ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café?. RENATO ALLENDE O. 20
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•
Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres traslados tomarán al menos media hora.
12.- Se disparan cohetes, que al hacer explosión a una cierta altura, estimulan la producción de lluvia. Debido a la falta de precisión en el mecanismo automático de detonación, la altura en que se produce la explosión es aleatoria, distribuyéndose en forma Normal con esperanza 1800 metros y desviación estándar 480 metros. Para que tenga efecto la explosión debe producirse entre 1700 y 2000 metros. a. ¿Cuántos cohetes deberán dispararse para que halla una probabilidad de al menos 0,9 de que alguno haga explosión a la altura necesaria?. b. ¿Cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento del cohete nº 9 sea el primero en hacer explosión a la altura necesaria? c. Si se lanzarán 20 cohetes. ¿Cuántos se esperarían que explotarán fuera de la altura necesaria? 13. Suponga que el contenido de humedad por libra, medido en porcentaje, en un concentrado de proteína deshidratada, sigue un modelo normal con media 3.5% y desviación estándar 0.25%. Si una muestra aleatoria de 16 especímenes será analizada, en que cada uno de estos especímenes contiene una libra de este concentrado, Determine: a. b. c.
¿Cuál es el modelo probabilístico de la media muestral?. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda los 3.7% de humedad?. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este entre los 3.44% y 3.76% de humedad?
14.- Se ha supuesto que los pesos de ciertos pescados sigue un modelo aproximadamente Normal con media 2.7 kilogramos y una desviación estándar de 0.9 Kilogramos. En una industria pesquera, luego de un arduo día de trabajo, se logró clasificar cada uno de los pescados en pequeños, medianos ó grandes, resultando un 20.9% de pescados pequeños y un 58.2% de pescados medianos. Si los pesos se expresan con un decimal: ¿Cuál sería una buena estimación de los pesos mínimos y máximos de los pescados medianos para ese día de trabajo?. ¿Cuál es la probabilidad de que un pescado seleccionado pese exactamente 2.5 Kilogramos?. b. ¿Cuál es la probabilidad de que dos peces seleccionados totalmente al azar, uno sea c. clasificado como pequeño y el otro clasificado como grande?. 15. La resistencia a la tensión de cierto componente metálico esta Normalmente distribuida con una desviación estándar de 100 Kgrs. por cm2, y un coeficiente de variación de 1%, las mediciones se registran y se redondean a 50 Kgrs. Si estos componentes son una pieza importante de una maquinaria y se requiere una alta confiabilidad de que el componente sea de alta calidad, se exige como resistencia mínima, al valor superado por los a 8/10 de los componentes para que funcione adecuadamente en la maquinaria. a.
a. ¿Cuál es la resistencia mínima para que el componente funcione en la maquinaria?. b. ¿Cuál es la probabilidad que la resistencia sea mayor a 10 250 Kgrs. por cm2, si se sabe que ésta, es superior a 9 850 Kgrs. por cm2?. c. Si para una prueba de control de calidad se toma una muestra aleatoria de 20 componentes, entonces: c1. ¿Cuál es la probabilidad que el promedio supere la resistencia de 9 950 Kgrs. por cm2?. c2. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 16 componentes superen la resistencia de 9 950 Kgrs. por cm2?. RENATO ALLENDE O. 21
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16.- El porcentaje de impurezas que contiene un envase de un producto químico, es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [ 1 ; 3 ]. a.
¿Cuál es la probabilidad de que un envase elegido al azar se obtenga más de un 2% de
impurezas?. b.
Calcule la posibilidad de que un envase elegido al azar se tenga entre 1.5% y 2.5% de
impurezas?. 17.- Un competidor importante de G.E. ha extendido recientemente la garantía de sus aparatos electrónicos pequeños de 1 año a 18 meses, si el Sr. Gerente de G.E. no da igual garantía que el competidor, puede perder parte considerable del mercado. Por consiguiente, el mencionado Gerente de G.E. decide aumentar la garantía de 1 año a 18 meses. Se tiene la experiencia que esos aparatos eléctricos tienen un promedio de vida de 30 meses, con desviación típica de 9 meses. Si la garantía se extiende ¿en cuánto aumenta el porcentaje de aparatos reemplazados bajo la garantía aumentada?. 18. Un laboratorio incluye en el frasco, de uno de sus fármacos: “Peso Neto 20.4 gramos”. Suponga que los pesos siguen una distribución Normal con media y desviación estándar 20.34 gramos y 0.19 gramos, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que un frasco pese menos de 20.00 gramos. Encuentre la probabilidad de que un frasco pese menor o igual a 20.00 gramos. Comente el resultado con el obtenido en a. Suponga que el laboratorio lanza al mercado este fármaco, en cajas de 15 frascos; encuentre la c. probabilidad de que existan dos o más frascos que pesen a lo menos 20.00 gramos. a. b.
19. Una distribuidora emplea 500 vendedores en 200 territorios del país. El valor medio de las comisiones ganadas es de $ 47.000 por vendedor y la desv. est. es de $8.540. Si se obtiene una muestra aleatoria de 60 vendedores ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que $45.000?. 20. La velocidad con la que los automovilistas pasan por un puesto de control policial en una carretera, es ajustado por un modelo de probabilidad Normal con una media de 45 km/hr y una desviación estándar de 25 km/hr. a.
¿Qué proporción de automovilistas que pasan por el puesto de control, pasa a más de 50
km/hr?. ¿Qué proporción de automovilistas que pasan por el puesto de control, a una velocidad inferior a 40 km/hr?. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil pase por el control a 45 km/hr?. c. Si la velocidad límite es de 55 km/hr y si una mañana pasa aproximadamente 1500 vehículos d. por el control. ¿Qué cantidad de automóviles esa mañana exceden al límite permitido?. b.
21. En un cultivo de tomates, éstos se ordenan según su peso, el cual se puede distribuir normalmente con media de 50 grs. y desviación estándar igual a 10 grs. Se desea ordenar los tomates en 3 clases de tamaños, de manera que el 25% se juzga como pequeños, el 50% como medianos y el 25% como grandes. RENATO ALLENDE O. 22
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¿Cómo deben elegirse los límites para establecer estos grupos?. Si se toma una m.a. de 10 tomates: b.1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 de éstos sean medianos?. b.2. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de éstos sean medianos y 3 sean grandes?. a.
22. Al medir en unidades especiales la resistencia a la ruptura de un tipo de soldadura, puede tomarse como normalmente distribuida. En un experimento relacionado con un número grande de soldaduras, se observó que el 95% de las soldaduras tenía una resistencia a la ruptura de más de 900 unidades y el 10% de las soldaduras tenía una resistencia a la ruptura de más de 1200 unidades. Calcular la probabilidad que la resistencia a la ruptura sea mayor que 1000 unidades y menor que 1150 unidades. 23. En un examen de Estadística la calificación media es de 82 puntos y la desviación estándar fue de 5 puntos. Todos los estudiantes de calificación de 88 a 94 puntos recibieron una B Si las calificaciones están distribuidas aproximadamente en forma Normal y 8 estudiantes recibieron una B. ¿Cuántos estudiantes se presentaron al examen?. 24. El peso de los huevos producidos en un determinado criadero, es una variable aleatoria Normal con esperanza 156 gramos y desviación estándar de 28 gramos. Se clasifican éstos según su peso en dos tipos: huevos de primera (los más grandes), y de segunda (los más pequeños), siendo el productor quién determina como clasificarlos. Sin embargo, se venden a precios fijos de $ 14 los de primera, y de $ 11 los de segunda. El costo total de producir cada huevo es de $ 9.5, independiente de su tamaño. El productor decide que la utilidad total obtenida en el año sea de un 40% del costo involucrado. ¿Desde qué peso, hacia arriba, deberá un huevo ser clasificado como de primera?. 25. En un tablero para dardos circular, se tiene un pequeño círculo que se llama centro y veinte áreas numeradas del uno al veinte. Cada una de estas áreas se divide en tres partes, de tal forma que una persona que lanza un dardo y que acierta en un número determinado, obtiene un marcador sencillo, doble o triple del número, dependiendo en cual de las tres partes acertó. Se supone que una persona acierta en el centro con una probabilidad de 0.01, de que sea doble con una probabilidad de 0.10, triple con 0.05 y de que no acierte al tablero 0.02. ¿Cuál es la probabilidad de que en siete lanzamientos • •
No acierte ninguno al centro, no haga triples, haga un doble dos veces, y una de que no acierte al tablero? Ninguno caiga en el tablero?.
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