Geometría Fundamental y Trigonometría
SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 1 Semestre 2010-I
PROBLEMAS 1. Dados los puntos E, F, G, H é I de una recta orientada tales que EF = - 10, EG = 8, GH = - 9, IH = 12 . Hallar:
(3 p)
I. Las abscisas de E, F, G, é I suponiendo que el punto H es el origen. Según los datos, F precede a E, E precede a G, H precede a G e I precede a H. Ubicando los puntos sobre la recta orientada:
12 I
9
H
G
E
F
8
10 HE =1, HF =-9, HG =9, HI =-12
II. La longitud algebraica del segmento IF.
9 12
IF HF HI
3
2. Construir gráficamente un triángulo ABC, conociendo A+ B, a y b.
FIGURA A UXILIAR
(4 p)
ANÁLISIS 1.
Se supone el problema resuelto.
2.
Si se conoce A+ B, se conoce C=180-
B ( A+ B) gráficamente.
a
3.
El vértice C dista a de B y b de A.
4.
Si se fija b (AC), el vértice B dista a de C y pertenece al segundo lado del C.
C
C
b
A
Conocidas las condiciones de l os tres vértices, podemos pasar a la síntesis construcción.
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SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 1 Semestre 2010-I
CONSTRUCCIÓN (SÍNTESIS)
Datos: A+ B
1.
Sobre una recta, se copia el ángulo
C
A+ B, el ángulo restante del ángulo llano será el C. 2.
3.
Se traza una recta y sobre ésta se mide el lado b (AC).
a
El vértice B se ubica en la intersección de dos lugares geométricos: Circunferencia de centro C y radio a.
b C B• R=a
2do. Lado del C trazado desde el vértice C. 4.
Ubicados los tres vértices, se unen formando el triángulo pedido.
C A •
•
C
R=b
TEORÍA 3. ¿En qué consiste el método axiomático?
(3 p)
Es el método que separa las adquisiciones de una ciencia en dos partes claramente definidas: la parte empírico inductiva, por un lado, y la parte derivada mediante combinaciones lógicas, o parte deductiva, por otro.
4. Cuando tanto una proposición como su recíproca son verdaderas simultáneamente, ¿Qué se puede decir de la hipótesis respecto a la tesis?, ilustre la situación con un (3p) ejemplo. Se dice de este caso que la hipótesis es condición necesaria y suficiente de la tesis. Por ejemplo el teorema de Pitágoras: "Si un triángulo es rectángulo, el cuadrado del lado mayor (o hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos)", tiene una recíproca también verdadera: "Si en un triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, dicho triángulo es rectángulo".
5. Indicando previamente hipótesis y tesis, demuestre: a. La proposición recíproca del teorema de Chasles.
(4 p)
Hipótesis: Recta orientada, en la que se cumple que AB BC CA 0 , Tesis: A, C y B son puntos colineales cualesquiera.
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SOLUCIÓN PRÁCTICA N° 1 Semestre 2010-I Dem.:
Si AB + BC CA 0 → AB + BC AC Aquello sólo se cumple cuando A, B y C son colineales (por Teorema de Chasles-Proposición directa). Lqqd.
b. Que las tres alturas de un triángulo cualquiera, se cortan en un punto llamado (3 p) ortocentro. Hipótesis: dos de las tres alturas o sus prolongaciones se cortan en un punto llamado ortocentro. Tesis: La tercera altura o su prolongación también pasa por la intersección de las dos anteriores. Dem.: se trazan dos alturas, la altura de A y de C. Por cada vértice del triángulo ABC se trazan paralelas al lado opuesto, las cuales forman un nuevo triángulo A’B’C’. Las alturas de A y C se convierten en las mediatrices de B'C' y A’B’ respectivamente, (pues B'C = AB =CA' / BC’= AC = BA’), por lo que H es circuncentro. Entonces la mediatriz de A’C’ que pasa por H contiene a la altura de B por lo que H también es punto de intersección de las tres alturas.
C
B’
A
A’
B
H
C’
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