01.06-1 Distribuciones Teoricas

11/02/2014

FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA ACADEMICO ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO:

HIDROLOGIA GENERAL DOCENTE: ING° CARLOS LUNA LOA LOAYZA YZA

FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA ACADEMICO ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ESTADISTICA EN HIDROLOGIA

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.1 Introducción

1. Los ev even ento toss hi hidr drol ológ ógi ios os no so son n go go!e !ern" rn"do doss #o #orr le le$e $ess %&si"s' sin sino #or le$es del A(AR . Son %e %enó nó)e )eno noss ERRATICOS' CO*+LE,OS $ de NATURALE(A ALEATORIA. ALEATORIA. -. El onoi)ient onoi)ientoo de l" Hidrolog&" Hidrolog&" es !sio !sio #"r" el dise/o en l" ingenier&" 0de%iniión 0 de%iniión de de ondiiones r&ti"s r&ti"s. . 2. L" de de%ini %iniió ión n del o o)#o )#ort" rt")ie )ient ntoo hid hidro rológ lógi ioo re re34i 34ier ere: e: Anlisis #ro!"!il&stios $ est"d&stios est"d&stios !"s"dos !"s"dos en registros histórios. 5. Hidr Hidrolog&" olog&" tr"t tr"t"" on on 6ARIA7LES 6ARIA7LES ALEATORIAS. ALEATORIAS.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.2 Variab!" VARIABLE V ARIABLE ALEAT ALEATORIA ORIA (v (v.a): .a): 6"ri"!le 4$o o)#ort")iento

no #4ede #red #redeir eirse se on ertid4 ertid4)!re )!re.. Varia!" V aria!" A!"a#$ria Di%&r"#a: Solo #4ede to)"r v"lores es#e&%ios. L" le$ de #ro!"!ilid"des "soi" )edid"s de #ro!"!ilid"d " "d" #osi!le o4rreni" de l" v" v"ri" ri"!le !le "le "le"t "tori ori". ". Varia!" V aria!" A!"a#$ria C$'#i'a: Si #4ede to)"r todos los v"lores en 4n r"ngo de o4rreni". L" le$ de #ro!"!ilid"des "soi" )edid"s de #ro!"!ilid"d " r"ngos de o4rreni" de l" v"ri"!le "le"tori".

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.2. Variab!" L" in in%o %or) r)" "ió ión n hi hist stór óri i"" de 4n 4n"" v" v"ri ri"! "!le le hi hidr drol ológ ógi i"" re#resent" 4n" *UESTRA de l" +O7LACI8N. +O7LACI8N.

D"tos9)4estr"

. AN*LISIS

+o!l"ión

Anlisis PROBABIL+STICO: An

de dessr de ri! i!""n

+OSI7L +OSI 7LES ES Le Le$$es de +r +ro! o!"! "!iili lid" d"d d 34 34ee o)#ort") o)# ort")ient ientoo de l" l" #o!l" #o!l"ión. ión. ,. AN*LISI SISS ES EST TAD+ D+SSTI TIC CO: Se h"en in%ereni"s so!re l" v"ri"!le 0+o!l"ión 0+o!l"ión 4s"ndo l" *UESTRA *UESTRA

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.# Di"tribucion!" !"tad$" !"tad$"tica" tica" +4esto 34e l"s distr trii!4iones de #ro!"!ilid"d son ide"li"iones de l"s distri!4iones est"d&sti"s' e)#e"re)os reord"ndo ó)o son los #"r)etros en est"s #"r" 34e nos sirv si rv"" de re re%e %ere ren ni" i".. +4 +4es estto 34 34ee l" #r #ro! o!"! "!il ilid id"d "d es 4n 4n"" ide" id e"li li" "i ión ón de l" %r %re e4e 4en ni" i" re rel" l"ti tiv" v"'' e; e;#r #res es"r "re) e)os os los #"r)etr #"r )etros os en %4nión %4nión de ell" ell"s. s.

Distri!4iones e)#&ri"s: Re#resent"n Re#resent" n v"lores o!serv"dos o #osi!les de o!serv"r o!serv"r'' de 4n" v"ri"!le 0<. E=e)#lo Registro Registro de +rei#it"ión. +rei#it"ión. Distri!4iones teóri"s: +rovienen de iertos #rini#ios o hi#ótesis hi#ótesis 0#ro!"!ilid"des

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.# Di"tribucion!" !"tad$"tica" Seg>n se tr"te de v"ri"!les disret"s o ontin4"s' se 4s"rn )odelos de distri!4ión #ro!"!il&stios disretos o ontin4os.

Sern )odelos disretos "34?llos 4$" %4nión densid"d de #ro!"!ilid"d $ %4nión de #ro!"!ilid"d "4)4l"d" se en4entr"n de%inid"s #"r" deter)in"dos v"lores 34e #4ede to)"r l" v"ri"!le. L"s #rini#"les distri!4iones disret"s son: l. Distri!4ión !ino)i"l -. Distri!4ión de +oisson

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.# Di"tribucion!" !"tad$"tica"

Las principales distribuciones continuas son: 1. Distribución uniforme 2. Distribución normal 3. Distribución logarítmico-normal 4. Distribución amma !. Distribuciones de "alores e#tremos a. $ipo % o tipo e#ponencial &le' de umbel( b. $ipo %% o tipo )auc*' c. $ipo %%% o distribuciones truncadas +. Distribución )*i cuadrado

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.# Di"tribucion!" !"tad$"tica" Un" ve 34e el ingeniero' en !"se " s4 e;#erieni"' esoge el )odelo #ro!"!il&stio 34e v" " 4s"r de!e #roeder " "l4l"r los #"r)etros de s4 )odelo $ des#4?s revis"r si este )odelo es onsistente on l" re"lid"d. A)!"s os"s l"s h"e on los d"tos o!serv"dos 0registro o )4estr". +"r" l" esti)"ión de los #"r)etros h"$ dis#oni!les dos )?todos: *?todo de los )o)entos *?todo de );i)" verosi)ilit4d • •

+"r" el est4dio de l" onsisteni" dos gr4#os de )?todos: *?todos gr%ios *?todos 4"ntit"tivos: @ test Chi 4"dr"do @ test  ' @ test St4dent @ test de Bol)ogoro%%. • •

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.1 D!)inición d! 'ar(&!tro"

Los par,metros de una distribución teórica "on *ariab!" +u! 'ara cada con,unto d! dato" ti!n!n un *aor d!)inido. na "e ue los par,metros uedan definidos tambin ueda d!)inida a di"tribución t!órica. or lo general una función densidad o una función de distribución acumulada pueden escribirse como una función de la "ariable aleatoria ' en general como una función de sus par,metros así por eemplo la función densidad de la distribución normal de "ariable aleatoria  es: f ( x ) =

1 2πσ

−

e

1  x − µ 

2

  2  σ 

!

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Los par,metros de una distribución teórica "on *ariab!" +u! 'ara cada con,unto d! dato" ti!n!n un *aor d!)inido. na "e ue los par,metros uedan definidos tambin ueda d!)inida a di"tribución t!órica. or lo general una función densidad o una función de distribución acumulada pueden escribirse como una función de la "ariable aleatoria ' en general como una función de sus par,metros así por eemplo la función densidad de la distribución normal de "ariable aleatoria  es: 1

f ( x) =

2πσ

−

e

1  x − µ 

2

  2  σ 

Donde: 56 par,metro de localiación. 786 par,metro de escala.


ara ue la función f&#( uede definida debe calcularse los par,metros 5 ' 78. )omo normalmente no se conoce la población de la "ariable aleatoria la estimación de los par,metros se realia a partir de una muestra. or eemplo si se tiene la muestra: # 1 #2 #3 9  #n ' si stos se austan a una distribución normal los par,metros 5 ' 78 se estiman a partir de: n

∑ x

i

u=x= ɵ

i =1

Donde: u eselestimadorde µ ɵ

n n

∑ ( x − x ) i

σ 2 = S 2 =

2

S 2eselestimadordeσ 2

i =1

n −1

+

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.2 D!)inición d! !"ti&ador!"

Dada una función de distribución con par,metros ; < = ... se llaman estimadores a los "alores a b c... obtenidos a partir de los estadísticos de la muestra ue se supone pertenece a la población ue se pretende caracteriar. La bondad de estos estimadores est, dado por las diferencias &; a( &< - b( &= - c( etc. pero como es f,cil intuir *a' infinitas posibilidades para a b c por lo tanto se consideran como meores estimadores auellos ue se apro#iman m,s a los "alores poblacionales ' se llaman ; < = ... Los estimadores se clasifican como: >esgado si: E ( a) = α + v (α ) •

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.2 D!)inición d! !"ti&ador!"

Los estimadores se clasifican como: %nsesgado si: Donde: " &;( 6 ?&a( - ; es el sesgo •

•

?ficiente si: ?l estimador es insesgado ' adem,s: VAR (a ) = E ( a − α )

•

2

)onsistente: >i el tama@o muestral A es largo.

?n *idrología se reuiere principalmente ue los estimadores sean insesgados ' eficientes cuando se reuiere e#traer la m,#ima información desde los datos mustrales.



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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.# C(cuo d! 'robabiidad !&'$rica !-'!ri&!nta

a o

Dado un conunto de datos ordenados: ?#isten "arias fórmulas para calcular la probabilidad de ocurrencia de los datos ordenados los cuales se muestran en la tabla 4.1.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.# C(cuo d! a 'robabiidad !&'$rica o !-'!ri&!nta

Donde :  6 robabilidad e#perimental acumulada o frecuencia relati"a empírica m 6 ACmero de orden n 6 ACmero de datos a 6 alor comprendido en el inter"alo 0 E a E 1 ' depende de n de acuerdo a la siguiente tabla: n

10

20

30

40

50

a

0.448

0.443

0.442

0.441

0.440

n

60

70

80

90

100

a

0.440

0.440

0.440

0.439

0.439

De todas estas fórmulas empíricas la m,s utiliada es la de Feibull.

B

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.% /todo" d! !"ti&ación d! 'ar(&!tro"

ara determinar los "alores numricos de los par,metros de la distribución teórica a partir de los datos mustrales se utilian "arios mtodos de estimación siendo en orden ascendente de menor a ma'or eficiencia los siguientes: • • •

•

r,fico Hínimos )uadrados Homentos H,#ima erosimilitud

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.% /todo" d! !"ti&ación d! 'ar(&!tro" a. Gr()ico

?ste mtodo consiste en plotear los "alores de la distribución empírica sobre un papel especial donde la distribución teórica asignada a priori se puede representar como una línea recta ' de allí estimar los par,metros buscados. Isí: ?l papel de probabilidades normal representa la distribución normal como una línea recta. ?l papel de probabilidades log-normal representa la distribución log-normal como una línea recta. ?l papel de probabilidades umbel representa la distribución umbel como una línea recta. ?l papel de probabilidades log-umbel •

•

•

•

G

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or eemplo para determinar los estimadores de J ' 7 por medio de una muestra dada correspondiente a una población normal *acer lo siguiente: 1. lotear los "alores de la distribución empírica de la muestra. 2. Dibuar una recta ue se apro#ime a los puntos tanto como sea posible. 3. )alcular el "alor correspondiente para una probabilidad del !0K este "alor es # el cual es un estimador de J &figura siguiente(. 4. )alcular el "alor para una probabilidad del B4.13K el mismo ue corresponde a   > es decir: X + S = K 2

⇒ S = K 2 − X


or eemplo

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> es un estimador de 7 . Mtra forma de calcular > es para una probabilidad del 1!.B K el mismo ue corresponde a  - > es decir: X − S = K 3

⇒S = X

− K 3


?emplo 01. ara la serie de datos de caudales en mN/s correspondientes a 3B a@os: 121.3 144.9 142.4 205.8 114.5 72.5

26.7 92.8 58.8 57.4 79.0 76.9

110.1 95.6 48.8 148.3 67.5 70.0

63.4 76.3 52.3 36.3 88.0

122.4 162.1 97.2 52.5 165.5

64.2 110.2 144.7 109.2 48.5

59.6 40.3 112.2 137.1 32.9

>uponiendo ue se austan a una distribución normal estimar los par,metros  ' > usando el mtodo gr,fico.

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>olución 01. 1. Mrdenando los "alores de menor a ma'or ' calculando la probabilidad acumulada mediante el mtodo de Feibull se obtiene la tabla 4.1.


>olución 01. 2. loteando los "alores de las columnas &2( ' &3( de la tabla 4.1 en papel probabilístico normal se obtiene la distribución empírica ue se muestra en la figura 4.2. 3. $raando una línea recta de meor auste  de tal manera ue se adapte meor a los puntos ploteados de la distribución empírica se obtiene la distribución teórica normal la misma ue se muestra en la figura 4.2.

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>olución 01. 4. ara calcular la media   *acer lo siguiente: ?n la figura 4.2 ingresar en el ee de probabilidades &ee ( con el !0 K ' traar una "ertical *asta interceptar a la línea de distribución teórica. or la intersección traar una línea *oriontal *asta cortar al ee de caudales &ee O(. ?n el ee de caudales leer el "alor correspondiente de   para este caso se tiene:  6 G2 mN/s. •

•

•

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>olución 01. !. ara calcular la des"iación est,ndar > *acer lo siguiente: ?n la figura 4.2 ingresar en el ee de probabilidades con el B4.13 K ' traar una "ertical *asta interceptar a la línea de distribución teórica. or la intersección traar una línea *oriontal *asta cortar al ee de caudales. ?n el ee de caudales leer el "alor correspondiente de   > para este caso se tiene:   > 6 13! mN/s de donde: >613!-  > 6 13! - G2 ! > 6 34 mN/s •

•

•


>olución 01. !. ara calcular la des"iación est,ndar > *acer lo siguiente: ?n la figura 4.2 ingresar en el ee de probabilidades con el B4.13 K ' traar una "ertical *asta interceptar a la línea de distribución teórica. or la intersección traar una línea *oriontal *asta cortar al ee de caudales. ?n el ee de caudales leer el "alor correspondiente de   > para este caso se tiene:   > 6 13! mN/s de donde: >6 13!-  > 6 13! - G2 ! > 6 42.! mN/s •

•

•

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.% /todo" d! !"ti&ación d! 'ar(&!tro" b. /todo d! o" &$ni&o" cuadrado"

?ste mtodo es m,s aplicable para la estimación de los par,metros de una ecuación de regresión. or eemplo dada la recta de regresión lineal:

y = a + bx Donde a ' b son los par,metros. ?l error entre el "alor obser"ado i ' el teórico es:

ei = yi − a − bxi


' la suma de los cuadrados de los errores de los "alores obser"ados es: n

S=

n

∑ e = ∑ ( y − a − bx ) 2 i

i

i =1

2

i

i =1

?sta suma puede minimiase para a ' b esto se consigue deri"ando parcialmente > en función de cada estimado a ' b e igualando a cero es decir: n ∂S = −2 ( yi − a − bxi ) = 0 &+.01( ∂a i =1

∑

∂S ∂b

n

= −2

∑ x ( y − a − bx ) = 0 i

i

i

&+.02(

i =1

1!

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Las ecuaciones &+.01( ' &+.02( se denominan ecuaciones normales las cuales resueltas dan para a' b:

x y ∑x ∑ y ∑ b= n∑ x − ( ∑ x ) ∑ y − ∑ x b a = y − bx = n

i

i

i

i

&+.03(

2

2 i

i

i

n

i

&+.04(

n


?emplo 02 >e cuenta con 13 pares de datos de caudales picos para el a@o 2000 en mN/s de las estaciones La Pomba ' Isunción cu'os "alores se muestran en la tabla +.2. )onsiderando ue los caudales de la estación La Pomba son las "ariables independientes &#( ' ue los caudales de la estación Isunción son las "ariables dependientes &'( ' ue estas "ariables se relacionan con la ecuación lineal: '6ab# estimar los par,metros a ' b ue defina la ecuación lineal.

1+

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro 'ar(&!tro"" 5.%.% 5.% .% / /to todo" do" d! !" !"ti& ti&ac ación ión d! 'a 'ar( r(&! &!tr tro" o" b. / /to todo do d! o" &$ &$ni& ni&o" o" cua cuadr drad ado" o"

?emplo 02

La Bomba (x) 28 178

Asu As unc nci ión 15 142 50 75 88 41 39 75 73 99 28 56 63

90 96 122 50 62 82 117 102 45 60 72

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro 'ar(&!tro"" 5.%.% 5.% .% / /to todo" do" d! !" !"ti& ti&ac ación ión d! 'a 'ar( r(&! &!tr tro" o" b. /todo d! &$ni&o" &$ni& o" cuadr cuadrado" ado"

o"

>olución 02 1. C(cuo

d! "u&atoria"

a

Los c,lculos muestran en tabla +.03

se la

2. E"ti&ación d! b

De la ecuación &+.03( se tiene:

y

X

xy

X2

28

15

420

784

178

142

25276

31684

90 96

50 75

4500

8100

7200

9216

122 50

88 41

10736

14884

2050

2500

62

39

2418

3844

82

75

6150

6724

117 102

73 99

8541

13689

10098

10404

45 60

28 56

1260

2025

3360

3600

72 1104

63

4536

5184

844

86545

112638.

1

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro 'ar(&!tro"" 5.%.% 5.% .% / /to todo" do" d! !" !"ti& ti&ac ación ión d! 'a 'ar( r(&! &!tr tro" o" b. /todo d! &$ni&o" &$ni& o" cuadr cuadrado" ado"

o"

>olución 02 >ustitu'endo "alores resulta:

b=

b=

n

∑x y −∑x ∑ y n∑ x − ( ∑ x ) i

i

i

i

2

2 i

i

(13) ( 86545) − (1104) ( 844) 2 13(1126 112638 38) − (1104 1104)

b = 0.7875

3. ?stimación de a: De la ecuación &+.04( se tiene:

a= a=

La ecuación es:

∑ y − ∑ x b i

n 844 844

13

−

i

n 1104 1104

13

( 0.7875 ) = −1.952

y = − 1952 1952 + 0.787 0.7875 5x

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro 'ar(&!tro"" 5.%.% 5.% .% / /to todo" do" d! !" !"ti& ti&ac ación ión d! 'a 'ar( r(&! &!tr tro" o" c. / /to todo do d! o" &o &o&! &!nt nto" o"

?l mtodo de los momentos fue desarrollado por Qarl earson en 1G02. ?l principio b,sico de la estimación por este mtodo es establecer para cada función de distribución la relación entre los par,metros ' los momentos centrales de tal tal manera ue:

α = f 1 ( µi , µ i +1 , ...) β = f 2 ( µ j , µ j +1 , ... )

&+.0!(

β = f 3 ( µk , µ k +1 , ...) donde: ; < ' R >on los par, par,metr metros os de la funció función n de distr distribució ibución n Ji  = $  Son los mo mome men nto toss con re resp spec ecto to a la me medi dia a o momentos momen tos cent centrale raless de la oblac oblación ión

1B

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)omo los momentos son estimados a partir de los momentos de la muestra como estimadores sesgados o insesgados el a, b, c, como res esul ulttad ado o u uee se ob obti tien enee se serr, a b c ó a, estimadores sesgados o insesgados insesgados de los par,metros. )uando la distribución de probabilidad a la ue se estiman los par,metros por este mtodo es simtrica ' particularmente si es normal se puede demostrar ue este es un mtodo mu' eficiente pero cuando las distribuciones son asimtricas ' por lo tanto sesgadas como sucede mu' a menudo con la ma'oría de las "ariables *idrológicas el utiliar este mtodo representa representa una prdida de eficiencia en la estimación.


?emplo 03 Dada la función densidad de la distribución normal:

f ( x ) =

1 2π θ 2

−

e

1  x −θ 1 



2  θ 2

2

 

para − ∞〈 x 〈∞ ?stimar los par,metros S 1 ' S2 por el mtodo de momentos.

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.% /todo" d! !"ti&ación d! 'ar(&!tro" c. /todo d! o" &o&!nto"

>olución 03 >abemos ue: 1. La media poblacional es igual al 1er momento con respecto al origen es decir: ∞

µ = E ( x ) = µ ´1 =

∫ xf ( x ) dx

&+.0+(

−∞

2. La "ariana 78 es igual a 2T momento con respecto a la media es decir: ∞

2

V ( x ) = σ = µ2 =

∫ ( x − µ )

2

f ( x ) dx

&+.0(

−∞


>olución 03 >ustitu'endo f&#( en &+.0+( resulta: ∞

∫

µ = x −∞

µ = Uaciendo x − θ 1

θ 2

−

1 2πθ 2

1 2πθ 2

e

1  x −θ 1 

∞

∫



2  θ 2

−

( x ) e

2

 

dx

1  x −θ 1 



2  θ 2

 

2

dx

&+.0B(

−∞

= y → x = θ1 + θ 2 y → dx = θ 2 dy

&+.0G(

20

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>olución 03 Límites: Si x → −∞ ⇒ y → −∞ Si x → +∞ ⇒ y → +∞ >ustitu'endo &+.0G( en &+.0B( se tiene:

µ = µ =

∞

1 2πθ 2

θ1θ 2 2πθ 2

∫ (θ

+ θ 2 y ) e

∞

2

1

−

y 2

2

θ 2dx

−∞

∫e

y − 2

dy +

−∞

∞

θ 22 2πθ 2

∫ ye

−

y2

2

dy

−∞


>olución 03 ∞

θ1θ 2

µ =

2πθ 2

θ1θ 2

µ =

2πθ 2

∫e

2

y − 2

dy +

2πθ 2

−∞

θ 22

A +

∞

θ 22

∫ ye

−

y2

2

dy

−∞

&+.10(

B

2πθ 2

)alculando I: ∞

A =

∫e

−∞

−

y 2

2

0

dy =

∫ ye

−∞

−

y2

2

∞

∫

dy + ye 0

−

y2

2

dy

&+.11(

21

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>olución 03 Mperando ' aplicando transformada de Laplace se tiene: ∞

∫

A = 2 e

1 − y 2 2

dy

&+.12(

0

A =

Γ ( −1/ 2 + 1)

(1/ 2 )

−1/ 2 +1

=

Γ (1/ 2) 1/ 2

(1/ 2 )

ero por propiedad de función gamma se tiene: Γ (1/ 2 ) = π

>ustitu'endo: A =

2π

&+.13(


>olución 03 ),lculo de P ∞

B =

∫ ye

1 2 − y 2

0

dy =

−∞

∫ ye

−

1 2

y2

∞

∫

dy + ye

−∞

−

1 2

y2

dy

&+.14(

0

Donde: f ( y ) = ye ero:

1 2 − y 2

f (− y ) = ( − y ) e

−

1 2

( − y )

2

= − ye

−

1 2

( y)

2

= − f ( y)

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>olución 03 Dado ue: f&-'( 6 -f&'(  f&'( matem,ticamente es una función impar por lo cual se tiene: 0

∫ ye

1 2 − y 2

∞

∫

dy = − ye

−∞

1 2 − y 2

dy

0

Luego la ecuación &+.14( se escribe: ∞

∫

B = − ye

1 2 − y 2

∞

∫

dy + ye

0

1 2 − y 2

dy

0

B = 0

&+.1!(


>olución 03 >ustitu'endo &+.13( ' &+.1!( en &+.10( resulta:

µ =

θ1 2π

2π +

θ 2 2π

0

µ = θ 1 Lo ue indica ue el primer par,metro S1 es igual a la media

θ 1 =

1 N

∑ X

i

= X

23

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>olución 03 >ustitu'endo f&#( en &+.0( se tiene: ∞

σ 2 = µ2 =

∫ ( x − µ )

−

1

2

2πθ 2

−∞

e

1  x −θ 1 



2  θ 2

2

 

dx

)omo 56S1 ∞

1

σ 2 = µ2 =

∫ ( x − θ ) e 2

2πθ 2

−

1  x −θ 1 



2  θ 2

1

 

2

dx

−∞

Uaciendo


>olución 03 Uaciendo x − θ 1

θ 2

= y ⇒ x = θ1 + θ 2 y ⇒ dx = θ 2 dy

Límites: Si x → −∞ ⇒ y → −∞ Si x → +∞ ⇒ y → +∞ >ustitu'endo: 2

σ =

1 2πθ 2

∞

∫θ

−∞

2 2

2

y e

1 2 − y 2

θ 2 dy =

θ 2 2 2πθ 2

∞

∫ y e 2

1 2 − y 2

dy

−∞

24

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>olución 03 >iendo f ( y) = y e 2

1 − y 2 2

' f&-'( 6f&'( función par por lo cual:

∞

∞

−∞

0

∫ f ( y)dy = 2∫ f ( y)dy

Límites:

⇒ t = 0 Si y → ∞ ⇒ t → ∞ Si y = 0

>e tiene: σ 2 =

∞

θ 2 2 2π

∫

1 2

t e

1 − t 2

dt

0


>olución 03 Iplicando la transformada de Laplace se tiene: σ 2 =

 1   1   + 1    Γ  1     Γ θ 22   2   θ 22   2   2   3 3   = 2π   2π 2  1    1 2    2     2      

pero Γ 1 = π luego : 2

2

σ =

θ 22

π

( 2)

2π 1

2

= θ 2 2

?l par,metro S2 es igual a 7

2!

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>olución 03 θ 2 =

1

∑ ( x − X ) N − 1

2

i

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.% /todo" d! !"ti&ación d! 'ar(&!tro" d. /todo d! &(-i&a *!ro"i&iitud

?l mtodo de m,#ima "erosimilitud fue desarrollado por V.I. Wis*er &1G22(. Dada una función densidad de probabilidad: f&#X ; < =...( Donde: ; < =...son los par,metros ue deben ser estimados >e define la función "erosimilitud de la muestra como la productoria: N

L = ∏ f ( xi , α , β , γ , ... ) i =1

L = f ( x1 , α , β , γ ,... ) f ( x 2 , α , β , γ ,... ) ... f (x N , α, β, γ,... ) i

i

i

siendo A el tama@o de la muestra

2+

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?l mtodo de m,#ima "erosimilitud consiste en estimara ; < =... a partir de la muestra de tal manera ue L sea m,#ima. ?sto se obtiene por la diferenciación parcial de L con respecto a cada par,metro e igualando a cero. $uesto ue f &#( es no negati"a un "alor m,#imo de L ser, en general positi"o. )omo el logaritmo natural %n L es una función monotómicamente creciente de L sta tiene un m,#imo precisamente en los puntos en ue L tiene un m,#imo. or lo tanto se puede usar %nL en lugar de L es decir:

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.% E"ti&ación d! 'ar(&!tro" 5.%.% /todo" d! !"ti&ación d! 'ar(&!tro" d. /todo d! &(-i&a *!ro"i&iitud N

L = ∏ f ( xi , a , b, c,... ) ⇒ lnL =

N

∑ ln f ( x , a, b, c,... ) i

x =1

i =1

este artificio permite transformar una productoria a una sumatoria donde: a b c son estimadores de ; < =... ?ntonces el conunto de ecuaciones de m,#ima "erosimilitud es: ∂ ln L ∂a

=0;

∂ ln L ∂b

=0 ;

∂ ln L ∂c

= 0 ; ...

el mismo ue tiene tantas ecuaciones como incógnitas.

2

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Las propiedades de los estimadores calculados por el mtodo de m,#ima "erosimilitud son: sualmente insesgado >i la eficiencia de estimadores e#iste para los par,metros ; < =... el mtodo puede producirlos. La solución de la ecuación de "erosimilitud proporciona un estimador ue con"erge al "alor poblacional cuando el tama@o muestral tiende a infinito por lo ue el estimador es consistente. • •

•


roblema 04. Dada la función densidad de la distribución e#ponencial:

 λ e− λ x f ( x ) =   0

  

para # Y 0 Z Y 0 en otros casos

?stimar el par,metro Z usando el mtodo de m,#ima "erosimilitud.

2B

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>olución 04. La función de "erosimilitud. N

L = ∏ f ( xi , λ ) i =1

>iendo f&#iZ( 6 Ze-Z#i Luego: N L = ∏ λ e

− λ xi

i =1 N

ln L =

N

∑ ln ( λe ) = ∑ (ln λ + ln e ) − λ xi

i =1

− λ xi

i =1

N

ln L =

∑ ( ln λ − λ x ) i

i =1

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.1 D!)inición Las pruebas de bondad de auste consisten en comprobar gr,fica ' estadísticamente si la frecuencia empírica de la serie analiada se austa a una determinada función de probabilidades teórica seleccionada a priori con los par,metros estimados con base en los "alores mustrales. Las pruebas estadísticas tienen por obeto medir la certidumbre ue se obtiene al *acer una *ipótesis estadística sobre una población es decir calificar el *ec*o de suponer ue una "ariable aleatoria se distribu'a segCn una cierta función de probabilidades. Las pruebas de bondad de auste m,s utiliadas son: Iuste gr,fico Iuste estadístico )*i cuadrado >mirno" Qolmogoro" • •

• •

2G

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.2 A,u"t! 3r()ico ?l auste gr,fico se puede realiar de las siguientes formas: )omparar gr,ficamente el *istograma ó función densidad empírica de la serie de datos con la función densidad teórica ' decidir "isualmente si *a' o no auste de acuerdo a la similitud o diferencia de ambos •

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.2 A,u"t! 3r()ico •

)omparar gr,ficamente la función acumulada de la serie de datos con la función acumulada teórica seleccionada dibuada en papel milimtrico &figura !.2( ' decidir "isualmente si *a' o no auste

30

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.2 A,u"t! 3r()ico •

>e puede tambin comparar gr,ficamente la función acumulada de la serie de datos con la función acumulada teórica ploteada en un papel probabilístico adecuado &figura !.3( donde la distribución teórica seleccionada se pueda representar como una línea recta &por lo general sólo se pueden representar por una línea recta las distribuciones de 2 par,metros(. Isí se tienen disponibles los papeles probabilísticos normal log-normal gumbel etc. ?l procedimiento consiste en plotear los "alores de la "ariable *idrológica &caudal precipitación temperatura etc.( "ersus la probabilidad empírica en el papel de probabilidad correspondiente. >i los puntos ploteados se agrupan alrededor de una línea recta ue es la representación de la distribución teórica se puede afirmar con cierta certea ue estos datos se austan a la distribución deseada

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.2 A,u"t! 3r()ico

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 La prueba )*i-cuadrado se basa en el c,lculo de frecuencias tanto de "alores obser"ados como "alores esperados para un nCmero determinado de inter"alos. ?sta prueba es comCnmente usada para "erificar la bondad de auste de la distribución empírica a una distribución teórica conocida fue propuesta por Qarl earson en 1G00. La e#presión general de la prueba )*i-cuadrado est, dada por: k (θ − e ) ² 2 χ C = ∑ i i &!.1( e i =1

i

Donde: k

k

∑θ = ∑ e = N i

i

i =1

i =1

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 Donde: )2 6 alor calculado de )*i cuadrado a partir de los datos Si 6ACmero de "alores obser"ados en el inter"alo de clase i ei 6 ACmero de "alores esperados en el inter"alo de clase i Q 6 ACmero de inter"alos de clase Isignando probabilidades a la ecuación &!.1( es decir asignando igual probabilidad de ocurrencia a cada inter"alo de clase se tiene: χ C 2 =

k

( N i − NPi ) ²

i =1

NPi

∑

&!.2(

Donde: Ai 6 ACmero de obser"aciones ue caen dentro de los límites de clases austadas del inter"alo i. A 6 $ama@o muestral i 6 robabilidad igual para todos los inter"alos de clases

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 Pi = 1/ k ó ei = PN i

&!.3( >implificando la ecuación &!.2( se obtiene la computacional desarrollada por Har[o"ic &1G+!(: χ C2 =

K

fórmula

k

∑ N N

2 i

− N

i =1

&!.4(

?l "alor de K obtenido por la ecuación &!.4( se compara con el X t 2 de la tabla I.B del apndice cu'o "alor se determina con: ni"el de significación: ; 6 0.0! ó ; 6 0.01 grados de libertad: g.l. 6 [-1-* Donde: * 6 es el nCmero de par,metros a estimarse así: * 6 2 para la distribución normal * 6 3 para la distribución log-normal de 3 par,metros • •

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 )riterios de decisión. ?l criterio de decisión se fundamenta en la comparación del "alor calculado de )*i-cuadrado con el "alor tabular encontrado esto es: >i el )*i-cuadrado calculado es menor o igual ue el "alor tabular es decir: 2 2 •

χ C ≤ χ t

•

entonces se acepta la *ipótesis ue el auste es bueno al ni"el de significación seleccionado >i el )*i-cuadrado calculado es ma'or ue el "alor tabular es decir: χ C2 > χ t 2

entonces el auste es malo ' se rec*aa la *ipótesis siendo necesario probar con otra distribución teórica.

33

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 entaas ' limitaciones. 1. ?s aplicable sólo para austes a la distribución normal puesto ue *a sido desarrollado con base en los datos normales e independientes. 2. >e realia en la función densidad de datos agrupados en inter"alos de clases. 3. Veuiere un conocimiento a priori de la función de distribución teórica utiliada en el auste. 4. ?n la pr,ctica se usa para cualuier modelo de auste pero estrictamente es ",lido sólo para la normal. !. ?s difícil de aplicarlo

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 roblema 0!. Dada la serie *istórica de caudales medios anuales en rnN/s ue corresponde a un registro de 3B a@os:

Vealiar la prueba de bondad de auste )*i-cuadrado para "er si se austan a una distribución normal.

34

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!. 1. La *ipótesis ser,: U0 : frecuencia obser"ada 6 frecuencia esperada Ua : frecuencia obser"ada \ frecuencia esperada 2. Mrdenando los datos de menor a ma'or se tiene:

3. ),lculo de la frecuencia para datos agrupados a. ),lculo del nCmero de inter"alos de clase segCn Oe"e"ic*: A)6 1  1.331n&A( A)6 1  1.331n&3B( 6 !.B4 ] +.00

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!. b. ),lculo de la amplitud de cada inter"alo ∆ X =

X max − X min NC − 1

=

205.80 − 26.50 6 −1

= 35.82

^ 6 3!.B2 ] 3+ ^/2 6 1B c. ),lculo de los inter"alos de clase marcas de clase frecuencia absoluta obser"ada frecuencia relati"a los resultados se muestran en la tabla siguiente: Donde: )olumna &3(: ACmero de "alores comprendido en el inter"alo de la columna &1(. )olumna &4(: )olumna &3( entre A 6 3B )olumna &!(: Icumular "alores de la columna &4(

3!

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!. b. ),lculo de la media ' des"iación est,ndar para datos agrupados utiliando las columnas &2( ' &3( k

∑ x * f i

X =

i

i =1

N

= 90.17

k

∑(

xi − X

S =

)

2

i =1

N − 1

f i = 43.03

Donde: #i 6 marca de clase f i 6 frecuencia relati"a

3+

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!. 4. ),lculo de la frecuencia esperada utiliando la distribución teórica normal los resultados se muestran en la tabla !.2 Donde: )olumna &3(: _ 6 &#-(8/> "ariable estandariada de la distribución normal para # 6 límites de clase de la columna &2(. )olumna &4(: `rea bao la cur"a normal puede usar la tabla I.1 del apndice. )olumna &!(: `rea para cada inter"alo de clase se obtiene restando los "alores de la columna &4( si los signos de _ de la columna &3( son iguales ' sumando los "alores de la columna &4( si los signos de _ son diferentes.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!.

3

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!. )olumna &+(: )olumna &!(#A 6 3B se redondea en forma adecuada de tal manera ue la suma de las frecuencias absolutas sea igual a A 6 3B. )olumna &(: >on los mismos "alores de la columna &3( de la tabla !.1 2 !. ),lculo de X ) De la ecuación &!.1( se tiene: 2 C

χ =

k

(θ i − ei )

i =1

ei

∑

2

>ustitu'endo los "alores de las columnas &+( ' &( de la tabla !.2 se tiene: 2 2 2 2 2 2 ( 4 − 5 ) (15 − 10 ) (9 −12 ) (7 − 7 ) (2 − 3 ) (1 −1 ) 2 χ C =

5

+

10

+

12

+

7

+

3

+

1

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba C4i cuadrado  X 67 >olución 0!. χ C 2 = 0.2 + 2.5 + 0.75 + 0 + 0.33 + 0 = 3.78

+. ),lculo de t2 rados de libertad •

v = k −1− h v = 6 −1 − 2 = 3

α = 0.05 = 5% Ai"el de significación De la tabla I.B del apndice para " 6 3 ' ; 6 0.0! se tiene: •

χ t 2 = 7.81

. )riterio de decisión: )omo )2 63.B E t2 6.B1 se acepta la *ipótesis nula Uo or consiguiente los datos se austan a la distribución normal con un ni"el de significación del !K ó G!K de probabilidad.

3B

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* La prueba de auste de >mirno"-Qolmogoro" consiste en comparar las diferencias e#istentes entre la probabilidad empírica de los datos de la muestra ' la probabilidad teórica tomando el "alor m,#imo del "alor absoluto de la diferencia entre el "alor obser"ado ' el "alor de la recta teórica del modelo es decir: &!.!( ∆ = máx F ( x) − P ( x ) Donde: ^6

?stadístico de >mirno"-Qolmogoro" cu'o "alor es igual a la diferencia m,#ima e#istente entre la probabilidad austada ' la probabilidad empírica. W&#( 6 robabilidad de la distribución teórica &#( 6 robabilidad e#perimental o empírica de los datos denominada tambin frecuencia acumulada. ?l estadístico  tiene su función de distribución de probabilidades.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* >i  o es un "alor crítico para un ni"el de significación a se tiene ue: P máx F ( x) − P ( x ) ≥ ∆ 0  = α o P ( ∆ ≥ ∆ 0 ) = α

$ambin: P ( ∆ < ∆ 0 ) = 1 − α

&!.+( &!.(

?l procedimiento para efectuar el auste mediante el estadístico de >mirno"-Qolmogoro" es el siguiente: 1. )alcular la probabilidad empírica o e#perimental &#( de los datos para esto usar la fórmula de Feibull: P ( x) =

M N + 1

&!.B(

3G

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* Donde: &#( 6 probabilidad empírica o e#perimental H 6 nCmero de orden A 6 nCmero de datos 2. )alcular la probabilidad teórica W&#(: ara el caso de utiliar el procedimiento de los modelos teóricos usar la ecuación de la función acumulada W&#( o tablas elaboradas para tal fin. >i se uiere aplicar el procedimiento gr,fico se utilia un papel probabilístico especial donde W&#( puede representarse como una línea recta por lo cual se puede traar con solo 2 puntos pero si se uiere c*euear ue es una recta se pueden plotear 3 puntos por eemplo para el caso de una distribución normal los puntos: •

•

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* Valor X X+S X-S

Probabilidad % 50 80.13 15.87

Vepresentados en un papel de probabilidad normal forman una recta. 3. )alcular las diferencias &#( - W&#( para todos los "alores de # 4. >eleccionar la m,#ima diferencia: ∆ = máx F ( x) − P ( x )

!. )alcular el "alor crítico del estadístico I es decir I o para un a - 0.0! ' A igual al nCmero de datos. Los "alores de I o se muestran en la tabla !.3

40

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* +. )omparar el "alor del estadístico ^ con el "alor crítico ^ o de la tabla !.3 con los siguientes criterios de decisión deducidos de la ecuación &!.+(: >i ^ E ô 6Y el auste es bueno al ni"el de significación seleccionado. ^ Y ô 6Y el auste no es bueno al ni"el de significación seleccionado siendo necesario probar con otra distribución •

•

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* entaas ' limitaciones 1. Ao reuiere un conocimiento a priori de la función de distribución teórica. 2. ?s aplicable a distribuciones de datos no agrupados es decir no se reuiere *acer inter"alos de clase. 3. ?s aplicable a cualuier distribución teórica. 4. >e aplica en la función de distribución acumulada ' no en la función de densidad. !. )ompar,ndola con la prueba )*i-cuadrado no se reuiere ue la frecuencia absoluta de cada clase sea igual o ma'or ue !. +. Ao es una prueba e#acta sino una prueba apro#imada.

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* rob!&a 09

ara los mismos datos del eemplo !.1 realiar la prueba de bondad de auste >mirno"-Qolmogoro" para "er si se austan a una distribución normal usando:

•

•

?l c,lculo de los "alores de W&#( para todos los "alores de # &donde # representa el caudal(. sando el procedimiento gr,fico.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro* Soución 09

1. ),lculo de &#(: Mrdenando los datos de caudales en forma creciente ' calculando la probabilidad empírica &#( usando la fórmula de Feibull: P ( x) =

M N + 1

se obtienen las columnas &2( ' &3( de la tabla !.4. 2. ),lculo de  ' > de los datos no agrupados X =

S=

1 n

∑ x = 92.32 i

1

∑ ( X − X ) n −1

2

= 42.80

42

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.5 ru!ba" d! bondad d! a,u"t! 5.5.# ru!ba S&irno*  8o&o3oro*


3. ),lculo de la "ariable estandariada _: sando la ecuación: Z =

X − X S

se obtiene la columna &4( de la tabla !.4. 4. ),lculo de W&_( 6 W&(: sando la tabla I.2 del apndice se obtiene la columna &!( de la tabla !.4. ara "alores positi"os de _ los "alores se obtienen en forma directa. ara "alores negati"os de _ los resultados se obtienen de: 1 - "alor tabla I.2 !. ),lculo de ^6 W&(-&#( I partir de las columnas &3( ' &!( de la tabla !.4 se obtiene los ^ 6 W&( - &#( la misma ue se muestra en la columna &+(.

43

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+. ),lculo del  6  ),#: De la tabla !.4 se obser"a ue: ∆ = max F ( z ) − P( x) = 0.1089

. ),lculo de ô crítico: De la tabla !.3 para ; 6 0.0! se tiene: ∆0 =

1.36 n

=

1.36 38

= 0.22

B. )riterio de decisión )omo:

∆ = 0.189 < ∆ 0 = 0.22

>e conclu'e ue los datos de caudales se austan a la distribución normal con un ni"el de significación del !K o una probabilidad del G!K.


rocedimiento gr,fico 1. r,fico de &( ' W&_( en papel de probabilidad normal. 1.1. r,fico de distribución empírica &(: lotear en un papel de probabilidad normal los "alores de las columnas &2( ' &3( de la tabla !.4. 1.2. r,fico de la distribución teórica W&_( 6 W&(: 1.3. )on los procesos 1.1. ' 1.2 se obtiene la figura !.4

Valor de caudal (m3/s)

X = 92.32 X +S =135.12 X - S = 49.52

Probabilidad %

50 84.13 15.87

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rocedimiento gr,fico 2. ),lculo de ^ 6 ma# W&(-&#( Mbser"ando la figura !.4 se tiene: ^ 60.10 3. ),lculo de ^0 De la tabla !.3 para ; 6 0.0! ' n 6 3B se obtiene: ∆0 =

1.36 n

=

1.36 38

= 0.22

2. )riterio de decisión: )omo:  6 0.10 E  0 6 0.22 >e conclu'e ue los datos de caudales se austan a una distribución normal con un ni"el de significación del !K o una probabilidad del G!K.

4!

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.1 Introducción ?l *idrólogo generalmente tendr, disponible un registro de datos *idrometeorológico &precipitación caudales e"apotranspiración temperaturas etc.( a tra"s de su conocimiento del problema físico escoger, un modelo probabilístico a usar ue represente en forma satisfactoria el comportamiento de la "ariable. ara utiliar estos modelos probabilísticos se deben calcular sus par,metros ' realiar la prueba de bondad de auste un esuema de este proceso se muestra en la figura +.1. >i el auste es bueno se puede utiliar la distribución elegida una "e encontrada la le' de distribución ue rige a las "ariables Ileatorias adem,s se podr, predecir con determinada probabilidad la ocurrencia de una determinada magnitud de un fenómeno *idrometeorológico. $ambin se podr, determinar la magnitud de un fenómeno para un determinado periodo de retorno

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.1 Introducción Las distribuciones teóricas comCnmente utiliadas en Uidrología son entre otras: Distribución normal Distribución log-normal de 2 ó 3 par,metros Distribución gamma de 2 ó 3 par,metros Distribución log-earson tipo %%% Distribución umbel Distribución log-umbel • •

•

• • •

4+

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 !riodo d! r!torno T7 >e define el período de retorno $ como el inter"alo promedio de tiempo en a@os dentro del cual un e"ento de magnitud # puede ser igualado o e#cedido por lo menos una "e en promedio. Isí si un e"ento igual o ma'or a # ocurre una "e en $ a@os su probabilidad de ocurrencia  es igual 1 en $ casos es decir: P ( X ≥ x) = T =

1 T

&!.G(

1 P( X ≥ x)

Donde: &Y#( 6 robabilidad de ocurrencia de un e"ento Y# $6 eríodo de retorno

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 !riodo d! r!torno T7 La definición anterior permite indicar ue la probabilidad de ue # no ocurra en cualuier a@oX es decir la probabilidad de ocurrencia de un e"ento E # se e#presa como: P ( X < x ) = 1* P ( X ≥ x )

De donde: P ( X < x) = 1− T =

1 T

1 1− P ( X < x)

&!.10( &!.11(

Donde: $6 eríodo de retorno &  #( 6 robabilidad de e#cedencia & E #( 6 robabilidad de no e#cedencia

4

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 !riodo d! r!torno T7 ?n la tabla +.1 se muestran los períodos de retorno recomendados para el c,lculo de caudales de dise@o de estructuras menores.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana 1. :unción d!n"idad

>e dice ue una "ariable aleatoria  tiene una distribución normal si su función densidad es:  1  x − X  2  1 &!.12( f ( x ) = EXP −    2π S  2  S   f ( x ) =

ara

1 2π S

−

e

1  x − X 

2

  2  S 

&!.13(

−∞ < x > ∞

Donde: f&#( 6 función densidad normal de la "ariable # # 6 "ariable independiente

4B

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Donde:  6 par,metro de localiación igual a la media aritmtica de # > 6 par,metro de escala igual a la des"iación est,ndar de # ? 6 función e#ponencial con base e de los logaritmos neperianos. )uando la "ariable aleatoria  se distribu'e normalmente con media 5 6  ' "ariana &78 6 >8( se denota de la siguiente forma: X

∼

N ( X , S ²)

?l gr,fico de la función densidad de la distribución normal se muestra en la figura +.2 ' es como se obser"a en la figura una función continua ' simtrica con respecto a  .


>i Z =

x − X S

&!.14(

4G

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La función densidad de _ se llama función densidad de la distribución normal est,ndar ' tiene la siguiente e#presión: f ( Z ) = f ( Z ) =

 Z 2  EXP  −  2π  2  1

1

&!.1!(

2

Z − 2

e 2π para − ∞ < Z < ∞

&!.1+(

Los "alores de f&#( o f&_( pueden ser f,cilmente e"aluados para un "alor dado de # o de _ por las ecuaciones &!.13( ó &!.1+( respecti"amente. ?l gr,fico de la función densidad de la distribución normal est,ndar se muestra en la figura +.3.


na característica fundamental de la distribución normal est,ndar es ue tiene 5 6 0 ' 78 6 1 es decir:

Z

∼

N (0,1)

!0

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana 2. :unción d! di"tribución acu&uada :DA7.

La función de distribución acumulada de la distribución normal es la integral de las ecuaciones &!.12( ó &!.13(: f ( x ) =

f ( x ) =

 1  x − X 2  ∫ EXP − 2  S  dx 2π S −∞   1

x

1

x

∫ 2π S

−

−∞

e

1  x − X 

  2  S 

&!.1(

2

dx

&!.1B(

M su eui"alente al integrar las ecuaciones &!.1!( o &!.1+( F (Z ) =

f ( Z ) =

 Z 2  ∫ EXP − 2 dZ 2π −∞ 1

Z

1

Z

2π

&!.1G(

2

∫

−∞

e

Z − 2

dZ

&!.20(

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana 2. :unción d! di"tribución acu&uada :DA7.

Donde W&#( es la función de distribución acumulada de la distribución para la "ariable original  segCn la ecuación &!.1( o tambin para la "ariable estandariada _ segCn la ecuación &!.1G( es decir W&( 6 W&_(. ?sta función de distribución tiene las siguientes propiedades: F (−∞) = 0 F ( X ) = 0.5 F (+∞) = 1

!1

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana #. C(cuo d! a )unción d! di"tribución acu&uada.

?#isten tablas por eemplo las tablas A.l y A.2 del apndice ue permiten calcular W&_(. ara realiar c,lculos computacionales de W&_( se utilian funciones de apro#imación dentro de las cuales se pueden mencionar: a7 Abra&o;it< = St!3un 1>957?

*an dado "arias apro#imaciones para la W.D.I. de la "ariable normal estandariada _. na apro#imación polinomial con un error menor ue 10-! es: F ( Z ) ≈ f ( Z )( 0.4361836t − 0.1201676t ² + 0.9372980t ³ )

&!.21(

donde: W&_( 6 es la función de distribución acumulada f&_( 6 es la función densidad de la "ariable estandariada t 6 es definido para _ Y 0 como:

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana #. C(cuo d! a )unción d! di"tribución acu&uada. t =

1 1 + 0.33267 Z

&!.22(

b7 a"tin3 1>557

Ua dado una apro#imación polinomial ue *a sido utiliado por la %PH &1G+B(. ?sta apro#imación con un error menor ue .!#10-Bes: F ( Z ) ≈ 1 − f ( Z ) (b1t − b2t 2 + b3t 3 + b4t 4 + b5t 5 )

&!.23(

Donde: t es definido para _  0 como: t =

1 1 + 0.2316419 Z

&!.24(

!2

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana #. C(cuo d! a )unción d! di"tribución acu&uada.

>iendo las constantes: b1 = 0.319381530 b2 = − 0.356563782 b3 = 1.781477937 b4 = − 1.821255978 b5 = 1.330274429

?n las apro#imaciones &!.21( ' &!.23( si _E 0 la W.D.I. se calcula como:

1 − F ( Z )

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana %. E"ti&ación d! o" 'ar(&!tro".

ara estimar los par,metros de la distribución teórica se pueden usar el mtodo de momentos ó el mtodo de m,#ima "erosimilitud: )abe mencionar ue la distribución normal es la Cnica función de distribución ue produce los mismos resultados de los par,metros estimados por el mtodo de momentos ' m,#ima "erosimilitud los par,metros obtenidos son los siguientes: X = µ =

1 N

N

∑x

&!.2!(

i

i =1

1

Donde:

22  1 N S = σ =  x X − ( ) ∑ i   N − 1 i =1 

 6 ?s el estimado de la media llamado tambin par,metro de posición > 6 ?s el estimado insesgado de la des"iación est,ndar o par,metro de escala

!3

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana 5. A'icacion!" !n Hidroo3$a.

La distribución normal tiene gran utilidad en *idrología siendo algunas de sus principales aplicaciones: ?n el auste de distribuciones empíricas de "ariables *idrológicas de inter"alos de tiempo grandes tales como "ariables medias anuales mensuales estacionales etc. ue pueden ser caudales precipitación entre otros. In,lisis de los errores aleatorios en las obser"aciones o mediciones *idrológicas. )omo referencia para comparar "arias distribuciones teóricas de auste en una distribución empírica. ara *acer procesos de inferencia estadística. ara generación de datos por el mtodo de Honte )arlos. ?l incon"eniente en la generación de datos es ue se obtienen "alores negati"os lo cual físicamente no es ustificado. •

•

•

• •

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana 9. A,u"t!.

?l auste puede realiarse gr,ficamente utiliando papel probabilístico normal ó analíticamente mediante los estadísticos )*icuadrado ó >mirno"-Qolmogoro".

!4

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana E,!&'o 0@

Dada la serie *istórica de caudales medios anuales en mN/s ue corresponde a un registro de !0 a@os para el río >anta &erC(:. 95.05 105.21 108.75 123.00 132.49 146.08 158.48 177.00 193.78 212.48

98.13 105.81 110.77 123.22 134.10 153.64 162.29 182.53 193.88 217.52

100.18

101.66

101.76

106.40 114.31 124.31 136.22 153.97 164.35 183.11 197.58 239.07

107.43 116.69 127.82 144.22 154.80 169.18 183.49 207.78 256.62

107.62 119.52 128.15 145.79 156.80 169.64 184.98 208.18 266.54

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana E,!&'o 0@

)alcular: 1. I"eriguar si se austan a una distribución normal 2. >i se austa a una distribución normal calcular: 2.1.&E 1B0mN/s( 2.2. & Y 100 mN/s( 2.3. &!0 mN/s E  E 200 mN/s( 2.4. ?l período de retorno para un caudal de 210 mN/s 2.!.?l caudal para un período de retorno de !0 a@os

!!

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5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.2 Di"tribución nor&a o Gau""iana Soución 0@

1. Iuste a la distribución normal: 1.1 ),lculo de los par,metros: Q= S =

N

1 N

∑Q

i

= 152.2476 m ³ / s

i =1

1

N

∑ (Q − Q ) N − 1 i

2

= 43.6124

i =1

1.2. Iuste a( tiliando la aplicación )estadis se tiene: ∆ = max F ( x ) − P ( x ) = 0.1019 ∆ 0 = 0.1923 para α = 0.05


b( )riterio de decisión: ∆ = 0.1019 < ∆ 0 = 0.1923 )omo: >e conclu'e ue los datos se austan a la distribución normal con un ni"el de significación del 0.0! o una probabilidad del G!K. 2. ),lculo de probabilidades: 2.1 ),lculo de: &  1B0( 6 W& 6 1B0( ),lculo de _ para  61B0: Z =

Q −Q S

=

180 − 152.2476 43.6124

= 0.6363

F (Q = 180) = F ( Z = 0.6363) = 0.7377

alor interpolado

∴ P ( Q ≤ 180) = 0.7377 = 73.77%

!+

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2.2 ),lculo de  &  100 mN/s( : F ( Q ≥ 100) = 1 − P (Q < 100)

&!.2+(

F ( Q ≥ 100) = 1 − F (Q = 100)

),lculo de _ para  6 100 Z =

100 − 152.2476 43.6124

= − 1.1980 ≈ 1.20

F ( Q = 100) = F ( Z = − 1.20) = 1 − 0.8849

&tabla I.2(

>ustitu'endo en &!.2+( se tiene: F (Q ≥ 100) = 1 − (1 − 0 .8849) ∴ P (Q ≥ 10 0) = 0 .8849 = 88.49%


2.3 &!0    200( 6 W &200( - W&!0(: 200 − 152.2476 >i  6 200 Z =

>i  6 !0

Z =

43.614 50 − 152.2476 43.614

= 1.095

= − 2.345

F (Q = 200) = F ( Z = 1.095) = 0.8632 F (Q = 50) = F ( Z = −2.345) = 0.0095

alor interpolado

Luego F ( 200 ) − F (50 ) = 0.8 63 2 − 0 .0 09 5 = 0 .85 37 ∴

P (50 ≤ Q ≤ 200) = 0.8537

!

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2.4 eríodo de retorno para un caudal de 210 mN/s: De la ecuación &!.11( se tiene T =

ero:

1

&!.2(

1 − P (Q ≤ 210)

P ( Q ≤ 210 ) = F ( Q = 210 )

>i 6 210 Z =

210 − 152.2476 43.6124

= 1.3242

P ( Q = 210 ) = F ( Z = 1.32 ) = 0.9066

>ustitu'endo en &!.2( se tiene: T =

1 1 − 0.9066

= 10.7 años

?sto significa ue cada 10 a@os el caudal 210 mN/s ser, igualado o e#cedido


2.! )audal para un período de retorno de !0 a@os De la ecuación &!.10( se tiene: P (Q ≤ q ) = 1 −

1 T

= 1−

1 50

ero P ( Q ≤ q ) = 0.98

ero

⇒ Z = 2.055

alor interpolado

Q −Q

⇒ Q = Q + SZ S Q = 152.2476 + 43.6124 * 2.055

Z =

Q = 241.87 m ³/ s

?l  para un período de retorno de !0 a@os es 241.B mN/s

!B

11/02/2014

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.# Di"tribución o3 nor&a Las distribuciones logarítmicas m,s conocidas en *idrología son la log-normal log-earson tipo %%% ' log-umbel. or eemplo si la "ariable aleatoria  tiene una distribución lognormal esto significa ue O 6 %n tiene una distribución normal. In,logamente si  es una "ariable aleatoria log-earson tipo %%% O 6 %n es una "ariable aleatoria earson tipo %%%. $ambin si la "ariable aleatoria  tiene una distribución log-umbel O 6 %n es una "ariable aleatoria umbel. ?s posible una generaliación en el caso ue se introduca un límite inferior #0 en cu'o caso el %n anteriores es sustituido por ln& - #0(. ?n este capítulo se estudian las distribuciones log-normal. Ua' una distribución log-normal de 2 par,metros ' otra de 3 par,metros en la de 3 par,metros el tercer par,metro es el límite inferior # 0 denominado par,metro de posición.

5.0 ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 5.9 Di"tribucion!" t!órica" 5.9.# Di"tribución o3 nor&a a. Di"tribución o3 nor&a d! 2 'ar(&!tro". La "ariable aleatoria X  es positi"a ' el límite inferior #0 no aparece. La "ariable aleatoria: O 6 %n es normalmente distribuida con media 5' ' "ariana 78' >e usan estos par,metros para especificar ue la distribución es logarítmica puesto ue tambin puede usarse la media ' la "ariana de . a.1 Wunción Densidad. >e dice ue una "ariable aleatoria  tiene una distribución lognormal de 2 par,metros si su función densidad es: f ( x ) =

1 x 2πσ y

−

e

1  ln( x )− µ y

 2 

σ y

   

2

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01.06-1 Distribuciones Teoricas

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