07) CAPITULO 2 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

ESTADO SÓLIDO DE LA MATERIA

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y finalmente la ruptura. La mayor o menor extensión en que estas deformaciones se producen (elasticidad y tenacidad) para una mayor o menor fuerza aplicada (referida a la unidad de superficie) caracteriza al metal y la posibilidad de empleo para distintas finalidades mecánicas. manente

Los metales con una densidad relativa mayor que 5 se denominan metales pesados, y los que tienen una densidad menor que 5 se llaman metales ligeros.

2.2.1.1 Ductilidad Es la capacidad de un material de ser deformado permanentemente sin que ocurra ruptura cuando se le aplica una fuerza. Es decir, es la capacidad de deformación plástica de un metal para poder ser estirado en alambre. El tungsteno y el cobre son muy dúctiles. La ductilidad depende de la plasticidad y la resistencia a la tensión.

2.2.1.2 Maleabilidad Es la capacidad de deformación plástica de un metal para ser laminado o martillado (labrado) en chapas delgadas, es decir, es la capacidad que tiene un material para soportar la deformación permanente sin romperse bajo compresión. Los metales más maleables, en orden decreciente, son: oro, plata, cobre, estaño, platino, plomo, zinc y hierro. La maleabilidad depende de la plasticidad, pero no depende tanto de la resistencia como la ductilidad. La ductilidad y la maleabilidad son propiedades características de los metales, siendo debidas al hecho de que los desplazamientos de los átomos en un cristal metálico (sólido limitado por superficies planas dis puestas simétricamente) no destruye las fuerzas de atracción de carácter general que los une, mientras que en los cristales iónicos (formados por iones) estos desplazamientos producen una gran aproximación de los iones (átomos con carga eléctrica) de igual carga cuya repulsión origina la ruptura del cristal, que es, por tanto, frágil.

a) Ductilidad

b) Maleabilidad

2.2.1.3 Rigidez Es la medida cualitativa de la deformación elástica producida en un material. Un material rígido tiene un alto módulo de elasticidad. También podemos decir que la rigidez o inelasticidad es la oposición a la elasticidad.

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JOSÉ PEDRO AGUSTÍN VALERA NEGRETE

2.2.1.4 Tenacidad Es la medida cualitativa de las propiedades al impacto de un material, que cuando se resiste a la fractura por impacto es tenaz, es decir, opone mucha resistencia a romperse o deformarse. El hierro dulce o forjado (se obtiene a partir del arrabio o fundición de primera fusión y contiene aproximadamente 0.2% de carbono) es muy resistente, puede doblarse y retorcerse sin que se rompa, y se dice que es muy tenaz; en cam bio el hierro colado o fundido (fundición de segunda fusión) es muy duro, pero se rompe a la menor flexión y es demasiado quebradizo para hacer con él piezas de maquinaria que estén sometidas a esfuerzos.

2.2.1.5 Fragilidad Es la capacidad de un material para fracturarse en su límite de proporcionalidad o cerca de él. La fragilidad es lo contrario de la tenacidad.

2.2.1.6 Dureza Es la medida de la resistencia a la penetración sobre la superficie de un material efectuada por un objeto duro. En metalurgia se han diseñado diversas pruebas de dureza, pero las comúnmente usadas son el ensayo Brinell y el Rockwell. Entre las propiedades que influyen en la dureza de un material se hallan su resistencia, límite proporcional, ductilidad, maleabilidad y resistencia a la abrasión y al corte. En mineralogía la dureza relativa de una sustancia es establecida por su capacidad para resistir el rayado. Un cuerpo que raya a otro sin dejarse rayar por éste, se dice que es más duro que el segundo; la dureza entonces se correlaciona de modo estrecho con la resistencia al desgaste. Se han hecho ensayos para determinar con exactitud la dureza de los cuerpos; mediante una escala llamada de Mohs se sitúa el cuerpo en el sitio correspondiente de una escala de diferente dureza, que principia por el cuerpo más blando: 1, talco; 2, yeso cristalizado; 3, calcita; 4, espato flúor (fluorita); 5, apatita; 6, feldespato (ortoclasa); 7, cuarzo; 8, topacio; 9, zafiro (corundo); 10, diamante. Por ejemplo, un cuerpo que raye al feldespato y se deje rayar por el cuarzo, tiene una dureza de 6.5. En el ensayo de dureza Brinell, una esfera o bola de acero duro, normalmente de 10 mm de diámetro, se presiona sobre la superficie del material. Se mide el diámetro de la marca producida en la superficie y se calcula el índice de dureza Brinell (BHN, de Brinell Hardness Number) mediante la ecuación siguiente: BHN =

F ⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ D D − D 2 − Di2 ⎝ 2 ⎠

(

)

donde: F es la carga aplicada en kilogramos fuerza, D es el diámetro del penetrador en milímetros y Di es el diámetro de la marca en milímetros de la impresión. El ensayo de dureza Rockwell utiliza una bola de acero de diámetro pequeño para materiales suaves, y un cono de diamante (Brale) para materiales más duros. La profundidad de la penetración la mide automáticamente el instrumento de prueba, y es convertida a un índice de dureza Rockwell.


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Ensayos de dureza Brinell y Rockwell

Los ensayos Vickers y Knoop son otras pruebas de microdureza que forman penetraciones tan pequeñas que se requiere un microscopio para efectuar la medición. Los índices de dureza se usan principalmente como base de comparación para los materiales, especificaciones de fabricación y tratamiento térmico, control de calidad y correlación con otras propiedades y com portamiento de los materiales. Por ejemplo, la dureza Brinell está muy estrechamente relacionada con la resistencia a la tensión del acero mediante la ecuación: Resistencia a la tensión = 500 BHN En donde BHN está dado en kg mm 2 , 500 es un factor de conversión del sistema internacional internacional al sistema inglés y el resultado obtenido es la resistencia a la tensión en psi. Ejemplo 2.1: Se realiza una prueba de dureza Brinell en

un acero usando un penetrador de 10 mm con una carga de 3,000 kg . Se mide una marca de penetración de 3.1 mm en la superficie del acero. Calcule el BHN y la resistencia a la tensión del acero. Datos:

F = 3,000 kg D = 10 mm Di = 3.1 mm

Fórmulas:

BHN =

F ⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ D D − D 2 − Di2 ⎝ 2 ⎠

(

)

R esistencia a la tensión = 500 BHN Solución:

1) Hallar el índice índice de dureza dureza Brinell:

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BHN =

3 ,000 kg ⎛ π ⎞ ⎜ 10 mm − ⎜ ⎟ ( 10 mm ) ⎛ ⎝ ⎝ 2 ⎠

( 10 mm ) 2 − ( 3.1 mm ) 2 ⎞⎟ ⎠

3 ,000 kg

=

=

15.708 mm ⎛ ⎜ 10 mm − 90.39 mm 2 ⎞⎟ ⎝

=

3 ,000 kg 15.708 mm x 0.4926 mm

⎠

3 ,000 kg kg = 387 71 . 7.7377 mm 2 mm 2

2) Hallar la resistencia resistencia a la la tensión:

Resistencia a la tensión = 500 BHN = 500 x 387.71 = 193,855 psi

2.2.1.7 Conductividad Es la propiedad de los metales de permitir el flujo de la electricidad. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio, en ese orden. Las propiedades mecánicas dependen en gran parte de la estructura microcristalina del metal, formado por un agregado de minúsculos cristales enlazados al azar, que dejan en el retículo (estructura en forma de red) espacios vacíos, y dan lugar a fuerzas de cohesión entre los átomos más pequeñas que las que podrían calcularse. Diversas operaciones mecánicas y térmicas mejoran las propiedades del metal. Los tratamientos mecánicos más importantes son el forjado (martillado o prensado en caliente) y el laminado, en que el metal caliente pasa entre dos rodillos que giran a la misma velocidad pero en sentido contrario; el metal sufre una compresión que origina un pequeño ensanchamiento y un alargamiento muy pronunciado. Los tratamientos térmicos consisten en calentar el metal a una temperatura conveniente para producir una modificación estructural determinada, seguido de un enfriamiento lento (recocido); algo rápido (normalizado) o muy rápido (temple). Como los metales templados son muy duros (caso de los aceros) pero poco tenaces y dúctiles, se calientan a temperatura adecuada durante un tiempo para producir las transformaciones estructurales que conducen a una mayor tenacidad y ductilidad; el proceso se denomina revenido (volver a su estado propio).

2.2.1.8 Rigidez dieléctrica Para un material es la intensidad del campo eléctrico para el cual deja de ser un aislador y se convierte en conductor. Es por tanto, el valor límite de la intensidad del campo eléctrico en el que un material pierde su propiedad aisladora.


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2.3 Elasticidad, límite elástico, ley de Hooke, módulo de elasticidad 2.3.1 Elasticidad

Un cuerpo elástico se define como aquel que puede recuperar su forma y tamaño originales cuando la fuerza que lo deformó deja de actuar sobre él. Esta propiedad que poseen algunos cuerpos, por la cual vuelven a su forma original, se llama elasticidad. Las ligas de hule, pelotas y resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. La plastilina y las arcillas son ejemplos de cuerpos inelásticos. Para todos los cuerpos elásticos es necesario establecer relaciones de causa-efecto entre las fuerzas deformantes y las deformaciones producidas. Consideremos un resorte de longitud l ilustrado en la figura siguiente. Podemos analizar su elasticidad añadiendo peso sucesivamente y observando el aumento de su longitud.

Elongación uniforme de un resorte

Un peso de 2 lb alarga el resorte 1 pulg; un peso de 4 lb lo alarga 2 pulg, y un peso de 6 lb alarga el resorte 3 pulg. Es evidente que existe una relación directa entre el alargamiento de un resorte y la fuerza aplicada:

Alargamientos proporcionales de un resorte

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El científico inglés Robert Hooke (1635-1703) fue el primero en investigar científicamente las propiedades elásticas de diversos materiales como metales, madera, piedra, hueso, etc., midiendo el alargamiento de alambres de longitud apreciable que soportaban pesos en sus extremos, observando que estos cambios de longitud “siempre mantienen las mismas proporciones entre sí de acuerdo con los pesos que los ocasionan”. Así, Hooke esta bleció bleció la relaci relación ón lineal lineal entre entre la carga carga aplica aplicada da y el el alar alargam gamien iento to result resultant ante. e. En términos generales, encontró que una fuerza F que actúa sobre un resorte produce un alargamiento o elongación s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke puede escribirse así:

F = k s

(a) Una partícula de masa

m

en donde k = módulo de rigidez

está unida a un resorte

(b) La partícula partícula se desplaza una distancia distancia

s,

donde hay dos fuerzas que actúan sobre ella, la fuerza de

restitución del resorte y el jalón de un agente externo

En algunos textos se indica la ecuación anterior considerando un signo negativo F = –ks, lo cual significa que la fuerza ejercida por el resorte siempre está dirigida en sentido opuesto al desplazamiento, es decir, el signo menos nos advierte que la dirección de la fuerza ejercida por el resorte se opone siempre a la dirección del desplazamiento de la carga La constante de proporcionalidad k varía mucho, de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante del resorte o coeficiente de rigidez. Para el caso del ejemplo descrito la constante del resorte es: k =

k =

F s

2 lb 4 lb 6 lb = = 1 pul g 2 pul g 3 pul g

∴ k = 2

lb pul g

La ley de Hooke no está limitada a resortes en espiral; se aplica por igual a las deformaciones de todos los cuerpos elásticos. Para hacer que esta ley sea de aplicabilidad general, es conveniente definir los términos


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esfuerzo y deformación.

El esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que deformación es el efecto, es decir, la deformación misma.

2.3.1.1 Esfuerzo Es la razón de una fuerza aplicada respecto al área sobre la que actúa, por ejemplo en el Sistema Internacional se tienen las unidades de newton por metro cuadrado (Pascal) y en el sistema inglés libras por pie cuadrado.

2.3.1.2 Deformación Es el cambio relativo de las dimensiones o formas de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo. Las tres clases de esfuerzos más comunes y sus deformaciones corresponden a: 1. El esfuerzo de tensión longitudinal, que ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas tienden a alejarse una de la otra. 2. El esfuerzo de compresión longitudinal, que ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen una contra otra. 3. El esfuerzo cortante, que actúa paralelo o tangencial a la superficie del material, y ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma línea de acción. Los esfuerzos cortantes aparecen de manera indirecta en miembros sujetos a tensión, torsión y flexión. La eficacia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del área sobre la que se distribuye dicha fuerza. En el caso de esfuerzos de tensión o compresión longitudinales, la deformación puede considerarse como un cambio en longitud por unidad de longitud. Un esfuerzo cortante, por otro lado, puede alterar tan solo la forma del cuerpo, sin cambiar necesariamente sus dimensiones. La deformación cortante se suele medir en términos de desplazamiento angular. 2.3.2 Límite de elasticidad elasticidad o límite elástico

Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede resistir sin perder sus propiedades elásticas. Es decir, es el esfuerzo máximo máximo que que un cuerpo puede soportar sin quedar permanentemente deformado. Esto no significa que el cuerpo se rompa en este punto; solo quiere decir que no recobrará su longitud original. Cuando tomamos una liga o un resorte y los estiramos con exageración, no vuelven a su forma original cuando cesa la tensión, sino que quedan alargados o deformados permanentemente; esto sucede cuando se sobrepasa el límite elástico del cuerpo. Por límite elástico se entiende el punto en que una carga mínima produce una deformación permanente. Fm = fuerza máxima en Newtons

Le =

Fm A

siendo:

A = área de la s ección transversal en m 2 N Le = límite elástico en 2 ( Pascal ) m

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2.3.3 Ley de Hooke

Si no excede el límite elástico de un material, podemos aplicar la ley de Hooke a cualquier deformación elástica que se enuncia de la siguiente manera: Las deformaciones o alargamientos experimentados por un cuerpo, entre los límites de una elasticidad perfecta, son directamente proporcionales proporcionales a las fuerzas fuerzas que los producen.

Si llamamos módulo de elasticidad a la constante de proporcionalidad, podemos escribir la ley de Hooke en forma general:

Módulo de elasticidad =

esfuerzo normal deformación unitaria

⇒

E =

σ ε

La relación lineal entre el esfuerzo normal (longitudinal) y la deformación unitaria en una barra sometida a tensión o compresión simple se expresa entonces por la ecuación:

Esfuerzo = módulo de elasticida d x deformació n unitaria

⇒

σ = E ε

La ecuación anterior es conocida como la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones unitarias normales en tensión o compresión simple de una barra, sin embargo es muy limitada para tratar con estados más complicados de esfuerzos, para lo cual se usan ecuaciones (diferenciales) más extensas de la mencionada ley. Para la expresión anterior de la ley de Hooke se tienen las ecuaciones siguientes que definen al esfuerzo longitudinal y a la deformación unitaria.

Esfuerzo normal =

Fuerza Área

Deformación unitaria =

⇒

σ =

incremento de longitud unidad de longitud

F A

⇒

ε =

δ

L

En la práctica se tiene que el concreto es muy resistente a la compresión, pero tan débil a la tensión que casi nunca se usa de esta manera, así como el acero estructural estructur al que soporta tensiones en las obras de edificación. edificación. Un alambre de 150 m de longitud y 2.5 mm de diámetro se estira por medio de una fuerza de 500 N, ¿cuál es el esfuerzo longitudinal σ ? Si la longitud después del alargamiento es de 150.125 m, ¿cuál es su deformación unitaria ε ? Determine además el módulo de elasticidad E para el alambre.

Ejemplo 2.2:


Datos:

Fórmulas:

L = 150 m D = 2.5 mm F = 500 N δ = 0.125 m

σ = ε =

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F A δ

L

E =

σ ε

Solución:

1) Hallar el área de la la sección transversal del alambre: A = π r 2

1 m2 = 4.9087 x 10 −6 m 2 A = 3.1416 ( 1.25 mm ) = 4.9087 mm x 2 1,000,000 mm 2

2

2) Hallar el esfuerzo longitudinal: longitudinal: σ = σ =

500 N 6 N 101 . 8599 10 = = 101.8599 x 10 6 Pa = 101.8599 MPa x 2 2 −6 4.9087 x 10 m m

3) Hallar la deformación unitaria: unitaria: ε =

=

F A

0.125 m = 8.33 x 10 − 4 150 m

δ

L (adimensional)

4) Hallar el módulo módulo de elasticidad: E = σ ε

E =

101.8599 MPa = 122,280.79 MPa 8.33 x 10 −4

2.3.4 Módulo de elasticidad

El módulo de elasticidad se llama a menudo módulo de Young, en honor al científico inglés Thomas Young (1773-1829), que introdujo la idea de módulo de elasticidad con relación a investigaciones de tensión y compresión en barras prismáticas (miembros estructurales rectos con sección transversal constante en toda su longitud). El módulo de elasticidad es una propiedad característica de las sustancias sólidas. Conocer su valor nos permitirá calcular la deformación que sufrirá un cuerpo al estar sometido a un esfuerzo.

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Cuando en el módulo de elasticidad se sustituyen las ecuaciones de esfuerzo y deformación, se obtiene el llamado módulo de Young (Y) donde:

F Y = A ∆ L L

⇒

Y =

F L A ∆ L

Nosotros podemos transformar la nomenclatura de acuerdo con la ecuación de la ley de Hooke, observando que: E = Y y δ = ∆ L 2.3.4.1 Módulos de elasticidad o de Young y límites elásticos de algunos materiales

Módulo de Elasticidad (Young)

Material

E =

Límite elástico

N ( Pa ) m2

Le =

7 x 10 10 20 x 10 10 9 x 1010 12.5 x 1010 21 x 1010 8 x 1010

Aluminio en lámina Acero templado Latón Cobre Fierro Oro

N ( Pa ) m2

1.4 x 108 5.0 x 108 3.8 x 108 1.6 x 108 1.7 x 108 no se reporta

longitud y de 2.46 cm 2 de área de su sección transversal, se suspende del techo. Si soporta una masa de 400 kg m en su extremo inferior, ¿cuál será su alargamiento en mm, considerando que nos encontramos en el nivel del mar? ¿Cuál será el peso máximo que puede resistir sin que exceda su límite elástico?

Ejemplo 2.3: Una varilla de fierro de 1.2 m de

Datos:

Fórmulas:

Valores de módulos:

L = 1.2 m

F = ma

E Fierro = 21 x 1010

A = 2.46 cm2

w = mg

Le Fierro

m = 400 kgm

E =

δ = ?

δ =

σ ε

=

F L E A

F L δ A

N m2 N = 1.7 x 108 2 m


Solución:

1) Trasformar el área a unidades de m 2 :

1 m2 = 0.000246 m 2 = 2.46 x 10 − 4 m 2 A = 2.46 cm x 2 1 0,000 cm 2

2) Calcular la fuerza que soporta la varilla al colgarle el cuerpo de masa igual a 400 kg m :

w = mg

w = 400 kg m x 9.81

kg m x m m 3 , 924 = = 3,924 N = 3.924 x 10 3 N 2 2 s s

o también se puede calcular w en kg (en el nivel del mar): w =

w=

mg = gc

400 kg m x 9.81 9.81

kg m x m kg x s 2

mg gc

m s 2 = 400 kg

3) Hallar el alargamiento alargamiento de la varilla en mm: δ =

F L E A

3.924 x 10 3 N x 1.2 m δ = = 9.115 x 10 −5 m = 0.00009115 m N 21 x 1010 2 x 2.46 x 10 −4 m 2 m δ = 0.00009115 m = 0.0009115 dm = 0.009115 cm = 0.09115 mm

4) Hallar la fuerza máxima que puede soportar soportar la varilla: Le =

Fm = 1.7 x 10 8

Fm A

N x 2.46 x 10 −4 m 2 = 41,820 N 2 m

Ejemplo 2.4: Un alambre de acero templado de 3 mm de diámetro soporta un peso de 250 N.

a) ¿Qué esfuerzo de tensión soporta? b) ¿Cuál es el peso máximo que puede resistir sin que exceda su límite elástico?

91

92


Datos:

Fórmulas:

Valor del módulo:

Φ = 3 mm ⇒ r = 1.5 mm

A = π r 2

Le = 5 x108

F = 250 N

para (a): σ =

N m2

F A Fm para (b): Le = A

σ = ?

Φ = diámetro del alambre

Fm = ? Solución:

1) Hallar el área de la sección transversal del alambre: A = π r 2

1 m2 = 7.068 x 10 −6 m 2 A = 3.1416 ( 1.5 mm ) = 7.068 mm x 6 2 1 x 10 mm 2

2

2

Recordemos que: 1 m 2 = (1,000 mm ) = 1,000,000 mm 2 = 1 x 10 6 mm 2

2) Hallar el esfuerzo esfuerzo de tensión tensión al que que está sujeto sujeto el alambre: σ =

σ =

F A

250 N N N = 35 ,370 ,684.78 2 = 35.38 x 10 6 2 = 35.38 x 10 6 Pa −6 2 7.068 x 10 m m m

1 kg 1 m2 N kg o también: σ = 35.38 x 10 = 360 . 55 x x m 2 9.81 N 10,000 cm 2 cm 2 6

3) Hallar la fuerza máxima (peso) que puede soportar soportar sin exceder el límite límite elástico: Fm = Le A

Fm = 5 x 10 8

N x 7.068 x 10 −6 m 2 = 35.34 x 10 2 N = 3,534 N 2 m


2.3.4.2 Módulos de elasticidad y módulos de Poisson Material

Módulo de elasticidad

Módulo de elasticidad a cortante

Módulo de Poisson

E

G

v

ksi

GPa

ksi

GPa

Acero

28,000-30,000

190-210

10800-11800

75-80

0.27-0.30

Aleaciones de aluminio 2014-T6 6061-T6 7075-T6 Aluminio (puro) Bronce Bronce al manganeso Cobre (puro) Cobre berilio (duro) Concreto (compresión) Baja resistencia Resistencia media Alta resistencia Hierro forjado Hierro fundido Hierro gris Hule Ladrillo (compresión) Latón Latón naval Latón rojo (80% Cu, 20% Zn) Madera (flexión): Fresno Abeto rojo Roble Pino del Sur Magnesio (puro) Aleaciones Monel (67% Ni, 30% Cu) Níquel Nylon Piedra (compresión): Granito Piedra caliza Mármol Titanio (puro) Aleaciones Tungsteno Vidrio

10,000-11,400 10,600 10,000 10,400 10,000 14,000-17,000 15,000 16,000-18,000 18,000

70-79 73 70 72 70 96-120 100 110-120 120

3,800-4,300 4,000 3,800 3,900 3,800 5,200-6,300 5,600 5,800-6,800 6,800

26-30 28 26 27 26 36-44 39 40-47 47

2,600 3,600 4,400 28,000 12,000-25,000 14,000 0.1-0.6 0.1-0.6 1,500-3,500 14,000-16,000 15,000 15,000

18 25 30 190 83-170 97 0.0007-0.004 0.0007-0.004 10-24 96-110 100 100

0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.34 0.34 0.33-0.36 0.33 0.1-0.2 0.1-0.2

10,800 4,600-10,000 5,600 0.03-0.2 0.03-0.2 --5,200-6,000 5,600 5,600

75 32-69 39 0.0002-0.001 0.0002-0.001 --36-41 39 39

0.3 0.2-0.3 0.25 0.45-0.50 0.45-0.50 --0.34 0.34 0.34

1,500-1,600 1,600-1,900 1,600-1,800 1,600-2,000 6,000 6,500 25,000 30,000 300-400

10-11 11-13 11-12 11-14 41 45 170 210 2.1-2.8

2,200 2,400 9,500 11,400

15 17 66 80

0.35 0.35 0.32 0.31 0.4

6,000-10,000 3,000-10,000 7,000-14,000 15,500 15,000-17,000 50,000-55,000 7,000-12,000

40-70 20-70 50-100 110 100-120 340-380 48-83

Referencia: Gere-Timoshenko. Mecánica de Materiales.

5,800 5,600-6,400 21000-23000 2,800-5,000

40 39-44 140-160 19-34

0.2-0.3 0.2-0.3 0.2-0.3 0.33 0.33 0.2 0.20-0.27

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94


En donde: 1 ksi = 1,000

lb pul g 2

y

1 GPa = 1 x 10 9

N m2

2.4 Esfuerzo normal y deformación unitaria 2.4.1 Esfuerzo normal

Como ya mencionamos, los conceptos fundamentales en la mecánica de materiales son el esfuerzo normal y la deformación unitaria, los cuales pueden ejemplificarse si se considera una barra prismática cargada con fuerzas axiales F en los extremos, como se muestra en la figura. Las fuerzas axiales producen un alargamiento uniforme de la barra, por lo que decimos que se encuentra a tensión.

F

F

F

Barra prismática sujeta a tensión

Para analizar los esfuerzos internos de la barra originados por las fuerzas axiales, se requiere efectuar un corte imaginario en la sección mn , figura (a). Esta sección se toma perpendicularmente al eje longitudinal de la barra, por lo que se conoce como sección transversal. Enseguida se separa la porción de la barra a la derecha del corte como cuerpo libre, figura (b). La carga de tensión F actúa sobre el extremo derecho del cuerpo libre; en el otro extremo ocurren fuerzas que representan la acción de la parte izquierda izquie rda de la barra barr a sobre la parte aislada aisla da restante. resta nte. Tales fuerzas fuerz as se distribuyen distri buyen de modo continuo sobre la sección transversal. La intensidad de la fuerza, es decir, la fuerza por unidad de área, se denomina esfuerzo y se denota comúnmente por la letra griega σ (sigma). Si se supone que el esfuerzo tiene una distribución uniforme sobre la sección transversal, podemos apreciar fácilmente que su resultante es igual a la intensidad σ multiplicada por el área de sección transversal A de la barra. A partir parti r del de l cuerpo cu erpo en equili e quilibrio brio también tambi én es e s evident ev identee que esta resultante resul tante debe ser de igual i gual magnitud magnit ud y de dirección opuesta a la carga aplicada F , de donde se obtiene la ecuación para el esfuerzo uniforme en una barra prismática de sección transversal de forma cualquiera, cargada axialmente. σ =

F A

siendo: σ = esfuerzo


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Recordemos que cuando la barra se tensa por las fuerzas F los esfuerzos resultantes se denominan esfuerzos de tensión; si el sentido de las fuerzas se invierte, lo que ocasiona que la barra se comprima, se originan esfuerzos de compresión. Una barra metálica ABC que tiene dos áreas transversales diferentes está cargada por una fuerza axial F (ver figura). Las partes AB y BC son de sección transversal circular con diámetros de 1.75 y 1.25 pulgadas, respectivamente. Si el esfuerzo normal en la parte AB es de 5,000 psi, ¿cuál es el esfuerzo normal σ BC en la parte BC ?

Ejemplo 2.5:

Datos:

Fórmulas:

F AB A AB 2 A AB = π r AB 2 A BC = π r BC

Para AB → D AB = 1.75 pulg

σ AB =

Para BC → D BC = 1.25 pul g σ AB = 5,000 psi σ BC = ? Solución:

1) Hallar las áreas de de las secciones transversales transversales de las barras AB y BC : 2

A AB

⎛ 1.75 pul g ⎞ 2 = π r = 3.1416 ⎜ ⎟ = 2.405 pul g 2 ⎝ ⎠ 2 AB

2

⎛ 1.25 pul g ⎞ 2 A BC = π r = 3.1416 ⎜ ⎟ = 1.227 pul g 2 ⎝ ⎠ 2 BC

2) Hallar la fuerza F AB a partir del esfuerzo conocido σ AB : F AB = σ AB A AB F AB = 5 ,000

lb x 2.405 pul g 2 = 12 ,025 lb 2 pul g

3) Hallar el esfuerzo de la barra σ BC mediante un análisis de esfuerzos en un diagrama de cuerpo libre, sabiendo que: F AB = F BC

96


Para la sección BC la expresión de esfuerzo es: σ BC =

∴ σ BC =

F BC A BC

12,025 lb lb = 9,800.326 = 9,800.326 psi 2 1.227 pul g pul g 2

2.4.2 Deformación unitaria

Una barra axialmente cargada sufre una variación de longitud: se alarga si está a tensión y se acorta si está a compresión. La variación total en longitud: se denota por la letra griega δ (delta) y se muestra en la figura del tema 2.4.1, para una barra sujeta a tensión. Este alargamiento constituye el resultado acumulativo del estiramiento del material sobre la longitud L de la barra. Supongamos que el material es el mismo en cualquier lugar de la barra. Entonces, si se considera la mitad de la misma, esta última sufrirá un alargamiento igual a δ 2 ; asimismo, al tomar una longitud unitaria de la barra, sufrirá un alargamiento igual a 1 L veces el alargamiento total δ . De esta forma, se llega al concepto de alargamiento por unidad de longitud, o deformación unitaria, denotada por la letra griega ε (épsilon) y determinada por la ecuación: ε =

δ

L

(adimensional)

Si la barra está sujeta a tensión la deformación unitaria se denomina deformación unitaria a tensión, y representa un alargamiento relativo del material. Si la barra está sujeta a compresión, la deformación corresponde a una deformación unitaria a compresión y la barra se acorta. La deformación unitaria a tensión se toma como positiva y la deformación unitaria a compresión como negativa. Debido a que la deformación unitaria normal ε es el cociente de dos longitudes, constituye una cantidad adimensional , es decir, no posee unidades. Por ello la deformación unitaria se expresa como número absoluto, independiente de cualquier sistema de unidades. Los valores numéricos de la deformación unitaria suelen ser muy pequeños, especialmente para materiales estructurales, los cuales por lo general sólo sufren cambios pequeños en sus dimensiones. Por ejemplo, una barra de acero con una longitud de 2.0 m, cuando se carga a tensión, se alarga una cantidad δ igual a 1.4 mm, la deformación unitaria correspondiente es:

1.4 x 10 −3 m = 0.0007 = 7 x 10 − 4 ε = = 2.0 m L δ

Recordemos que el requerimiento principal es que la deformación de la barra sea uniforme, lo cual a su vez implica que la barra sea prismática, que las cargas actúen en los centroides de las secciones transversales y que el material sea homogéneo. Un tubo circular de aluminio de longitud L = 20 pulgadas está cargado a compresión por fuerzas F (ver figura). Los diámetros exterior e interior son de 2.4 y 2.0 pulgadas, respectivamente. Se coloca un extensómetro sobre el exterior de la barra para medir deformaciones unitarias normales en la

Ejemplo 2.6:


97

dirección longitudinal. longitudinal. a) Si la deformación unitaria medida es ε = 570 x10 −6 , ¿cuál es el acortamiento la barra debe ser de 6 ksi, ¿qué valor debe tener la δ de la barra?, b) Si el esfuerzo de compresión en la carga F ?

Extensómet ro F

F

L = 20 pu l g

Datos:

Fórmulas:

L = 20 pul g

σ =

Dint = 2.0 pul g

ε =

Dext = 2.4 pul g

E =

F A δ

L σ ε

a) ε = 570 x 10 −6 δ = ? b) σ c = 6 ksi = 6,000

lb pul g 2

F = ? Solución:

1) Hallar el acortamiento acortamiento de la barra: δ = ε L δ = 570 x 10 −6 x 20 pul g = 0.0114 pul g

2) Hallar los valores valores de las áreas de las secciones secciones transversales para obtener obtener el área total de la masa del del tubo: a) A = π r 2 2

⎛ 2.0 pul g ⎞ 2 Aint = π r = 3.1416 ⎜ ⎟ = 3.1416 pul g ⎝ 2 ⎠ 2 int

2

⎛ 2.4 pul g ⎞ Aext = π r = 3.1416 ⎜ ⎟ = 4.524 pul g 2 ⎝ 2 ⎠ 2 ext

98


b) Atotal = Aext − Aint

Atotal = ( 4.524 − 3.1416 ) pul g 2 = 1.382 pul g 2 3) Calcular el valor valor de la carga o fuerza: F = σ A

F = 6,000

lb x 1.382 pul g 2 = 8,292 lb 2 pul g

2.5 Resistencia (tensión, compresión compresión y torsión). Diagrama esfuerzo-deformación. esfuerzo-deformaci ón. Resistencia a la fatiga 2.5.1 Resistencia

Los factores que intervienen en una obra de Ingeniería Civil son: funcionalidad, resistencia, apariencia, economía y protección ambiental.

Al estudiar Mecánica de materiales el principal interés es la resistencia, es decir, la capacidad del objeto para soportar o trasmitir cargas. Los objetos que deben soportar cargas incluyen edificios, máquinas, reci pientes, automotores, aviones, barcos, etc., por simplicidad los llamaremos a todos estructuras; entonces, una estructura es cualquier objeto que debe soportar o trasmitir cargas.

La resistencia es un término general que se refiere a la capacidad de una estructura para soportar cargas. Por ejemplo, la resistencia a la fluencia (efecto de fluir) de una viga es la magnitud de la carga requerida para causar la fluencia o cedencia en la viga y la resistencia última de una armadura es la carga máxima esto es, la carga de falla –. Sin embargo, cuando se lleva a cabo una prueba de tenque puede soportar – esto sión de un material particular, definimos la capacidad de tomar carga por los esfuerzos σ en la probeta (cilindro de metal destinado a ensayos) y no por las cargas totales F que actúan sobre dicha probeta; en consecuencia, la resistencia de un material suele indicarse como un esfuerzo. Sabemos entonces que la capacidad de una estructura para resistir cargas es su resistencia; entonces, el criterio anterior puede expresarse como sigue: la resistencia real o verdadera de una estructura debe exceder la resistencia requerida. La razón de la resistencia real a la resistencia requerida se llama factor de seguridad n.

Factor de seguridad n =

resistencia real resistencia requerida

el factor de seguridad debe ser mayor que 1.0 para que no ocurra falla.


99

2.5.2 Diagrama esfuerzo-deformación

Los siguientes diagramas ilustran el comportamiento de diversos materiales cuando se cargan estáticamente a tensión o a compresión. Consideremos ahora qué sucede cuando la carga se retira lentamente y el material se descarga. Supongamos que se aplica una carga a un espécimen (muestra de material) a tensión de tal modo que el esfuerzo y la deformación varían desde O hasta A en la curva esfuerzo-deformación de la siguiente figura (a): Supongamos también que cuando la carga se retira, el material sigue exactamente la misma curva al regresar a O. En el tema 2.3.2, indicamos que esta propiedad de un material mediante la cual recupera sus dimensiones originales al descargarse se llama elasticidad, y se dice que el material es elástico. Notemos que la curva esfuerzo-deformación desde O hasta A no requiere ser lineal para que el material sea elástico.

(a) Comportamiento elástico

(b) Comportamiento parcialmente elástico

Supongamos ahora que se carga este mismo material a un nivel mucho mayor, de forma tal que se alcanza el punto punto B del diagrama esfuerzo-deformación de la figura (b). En este caso, cuando ocurre la descarga, el material sigue la línea BC del diagrama. Esta línea de descarga característica es paralela a la porción inicial de la curva de carga; esto es, la línea BC es paralela a una tangente al diagrama esfuerzo-deformación en el punto O. Cuando se alcanza el punto C , la carga se ha retirado totalmente, pero persiste en el material una deformación residual o deformación permanente OC . El alargamiento residual correspondiente de la barra se denomina alargamiento permanente. De la deformación (unitaria) total OD ocasionada durante la carga del material desde O hasta B, la deformación CD se recuperó elásticamente y la deformación OC persiste como deformación permanente. Así, durante la descarga la barra recupera parcialmente su forma original; en consecuencia, decimos que el material es parcialmente elástico. Cuando se prueba una barra metálica, la carga se incrementa desde cero hasta algún valor pequeño seleccionado y luego se retira. Si no existe alargamiento permanente (esto es, si la alteración de la barra regresa a cero) entonces el material es elástico hasta el esfuerzo representado por el valor seleccionado de la carga. Este proceso de carga y descarga puede repetirse para valores cada vez mayores de la carga. Finalmente, se alcanzará un esfuerzo tal que no se recobre toda la deformación durante la descarga. Mediante este procedimiento es posible determinar el esfuerzo en el límite superior de la región elástica; por ejemplo, puede ser el punto E de las figuras anteriores. Este esfuerzo se conoce como límite elástico del material.

100


Muchos materiales, incluyendo la mayoría de los metales, tienen regiones lineales al principio de sus diagramas esfuerzo-deformación, en donde el límite superior de esta región lineal se define como el límite de proporc proporciona ionalid lidad. ad. El lími límite te elásti elástico co suele suele ser liger ligeramen amente te super superior ior o muy muy cercan cercanoo al límite límite de de propo proporcio rcionali nalidad dad.. La característica de un material que le permite soportar deformaciones inelásticas superiores al límite elástico se conoce como plasticidad. Es así que sobre la curva esfuerzo-deformación de la figura (a) se presenta una región elástica seguida de una región plástica. Cuando ocurren grandes deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice que el material experimenta un flujo plástico. 2.5.3 Elasticidad lineal

La mayoría de los materiales estructurales (que forman la estructura de una obra de edificación) tienen una región inicial sobre el diagrama esfuerzo-deformación en la que el material se comporta en forma elástica y lineal. Un ejemplo es la región desde el origen O hasta el límite de proporcionalidad en el punto A sobre la curva esfuerzo-deformación para acero estructural. Cuando un material se comporta elásticamente y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación, se dice que es linealmente elástico. Sabemos que de acuerdo a la ley de Hooke, la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación para una barra sometida a tensión o compresión compresión simple puede expresarse expresarse mediante la ecuación: σ = E ε

en donde E es conocida como el módulo de elasticidad del material y representa la pendiente geométrica del diagrama esfuerzo-deformación en la región linealmente elástica y su valor depende del material particular que se utilice. de la ecuación: σ = E ε

⇒

F σ = A E = ε

δ

L ∴ E =

F L δ A

Dado que el esfuerzo normal σ se determina al dividir la fuerza axial F entre el área de la sección transversal A, tendrá unidades de fuerza por área. Cuando se emplean unidades del SI, la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en metros cuadrados (m 2). Dicha unidad es un pascal, sin embargo, ésta es una unidad de esfuerzo muy pequeña y es necesario operar con múltiplos. Para ejemplificar lo anterior hacemos notar que se requieren casi 7,000 Pa para obtener 1.015 psi. Por ejemplo, un esfuerzo de tensión representativo en una barra de acero puede tener una magnitud de 140 Megapascales (140 MPa) que son 140 x 106 Pa. Otras unidades útiles (mencionadas anteriormente) son el kilopascal ( kPa) y el Gigapascal ( GPa); el primero equivale a 10 3 Pa y el último a 10 9 Pa. Cuando se utilizan unidades en el sistema inglés, se acostumbra expresar los esfuerzos en:


psi =

lb pul g 2

o en:

ksi =

101

kip pul g 2

siendo:

1 kip = 1,000 lb ( 1 kip = 1 kilopound o kilolibra )

tenemos entonces:

1 ksi =

1 kip 1,000 lb = = 1,000 psi pul g 2 pul g 2

Por ejemplo, un esfuerzo en una barra puede ser de 20,000 psi o equivalente a 20 ksi. Para que la ecuación de esfuerzo σ = F/A sea válida, el esfuerzo σ debe ser uniformemente distribuido sobre la sección transversal (que cruza de un lado a otro) de la barra. Esta condición se cumple si la fuerza axial F actúa en el centroide del área de la sección transversal. Las unidades de E son las mismas que las unidades de esfuerzo, ya que la deformación es adimensional. Por tanto, las unidades de E son psi o ksi en el sistema inglés y pascales en el sistema internacional. internacional. La ecuación de la ley de Hooke σ = E ε se aplica únicamente a tensión y compresión simples; para estados de esfuerzo más complicados, se requiere una generalización de la misma ley. Para los cálculos en ingeniería, los esfuerzos y deformaciones a tensión se consideran como positivos, y los esfuerzos y deformaciones a compresión como negativos. El módulo de elasticidad E tiene valores relativamente grandes para materiales que son muy rígidos (se oponen a la elasticidad) tales como los metales estructurales. El acero tiene un módulo de aproximadamente 30,000 ksi o sea 206.91 GPa; para el aluminio E es aproximadamente igual a 10,600 ksi o sea 73.11 GPa. 2.5.4 Acero estructural

Las propiedades mecánicas de los materiales usuales en ingeniería se determinan mediante pruebas efectuadas sobre pequeñas muestras del material. Ellas se realizan en laboratorios de prueba de materiales dotados con equipo capaz de cargar los especímenes de diversas muestras incluso con carga estática o dinámica a tensión y a compresión. Con el fin de que los resultados de las pruebas se comparen fácilmente, el tamaño de las muestras y los métodos de aplicación de las cargas se uniforman. Una de las principales organizaciones de estandarización es la Sociedad Americana de Pruebas y Materiales (ASTM, por sus siglas en inglés: American Society for Testing and Materials). El concreto se prueba mediante compresión en cada proyecto de construcción importante para verificar que se logran las resistencias requeridas. Las normas ASTM establecen un espécimen para concreto de 6 pulgadas de diámetro y 12 pulgadas pulgadas de longitud longitud a 28 días de edad. Después de realizar una prueba de tensión o de compresión y de establecer el esfuerzo y la deformación para varias magnitudes de la carga, se puede trazar un diagrama de esfuerzo σ contra deformación unitaria ε . Tal diagrama esfuerzo-deformación es característico del material y proporciona información importante acerca de las propiedades mecánicas y del comportamiento típico del mismo. El primer material que se analiza es el acero estructural, también conocido como acero dulce o acero de bajo carbono, siendo uno de los metales más utilizados en edificios, puentes, torres y muchos otros tipos de construcciones. Un diagrama esfuerzo-deformación representativo del acero estructural a tensión se muestra en la siguiente

102


figura (fuera de escala). La deformación unitaria ε se representa en el eje horizontal y el esfuerzo σ en el eje vertical. El diagrama empieza con una línea recta desde O hasta A. En esta región, el esfuerzo y la deformación son directamente proporcionales, y se dice que el comportamiento del material es lineal. Después del punto A ya no existe una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación, por lo que el esfuerzo en el punto A se denomina límite de proporcionalidad. Para aceros de bajo carbono este límite se encuentra en el intervalo de 30 a 40 ksi, pero los aceros de alta resistencia (con mayor contenido de carbono y otros elementos de aleación) aleación) pueden tener límites de proporcionalidad proporcionalidad de 80 ksi o más. Al acrecentar la carga más allá del límite de proporcionalidad, la deformación empieza a aumentar más rápidamente para cada incremento de esfuerzo. La curva de esfuerzo-deformación asume luego una pendiente cada vez más pequeña, hasta que en el punto B la curva se vuelve horizontal. A partir de este punto se presenta un alargamiento considerable, con un incremento prácticamente inapreciable en la fuerza de tensión (desde B hasta C en el diagrama). Este fenómeno se conoce como cedencia o fluencia del material, y el esfuerzo en el punto B se denomina esfuerzo de cedencia o punto de cedencia (o bien, esfuerzo de fluencia o punto de fluencia). En la región desde B hasta C , el material se vuelve perfectamente plástico, lo que significa que puede deformarse sin un incremento en la carga aplicada. El alargamiento de un espécimen de acero dulce en la región perfectamente plástica es en forma típica 10 a 15 veces mayor que el alargamiento que ocurre entre el inicio de la prueba y el límite de proporcionalidad.

Diagrama esfuerzo-deformación del acero estructural típico en tensión (fuera de escala)

Después de sufrir las grandes deformaciones que se presentan durante la fluencia en la región BC , el acero empieza a mostrar un endurecimiento por deformación. Durante este proceso, el material sufre cambios en sus estructuras cristalina y atómica, lo que origina un incremento en la resistencia del material a futuras deformaciones. Por tanto, un alargamiento adicional requiere de un incremento en la carga de tensión, y el diagrama esfuerzo-deformación toma una pendiente positiva desde C hasta D. Finalmente, la carga alcanza su valor máximo y el esfuerzo correspondiente (en el punto D) se denomina esfuerzo último. De hecho, el alargamiento posterior de la barra se acompaña de una reducción en la carga y finalmente se presenta la fractura en un punto E , tal como se indica en el diagrama. Se presenta una contracción lateral de la muestra cuando se alarga, lo que origina una reducción en el área de la sección transversal. La reducción en el área es muy pequeña como para tener un efecto apreciable en el valor de los esfuerzos calculados antes del punto C , pero más allá de este punto la reducción comienza a


103

modificar el perfil del diagrama. En la cercanía del esfuerzo último, la disminución del área se aprecia claramente y ocurre un estrechamiento pronunciado de la barra, conocido como estricción.

Estricción

Si para el cálculo del esfuerzo se emplea el área de la sección transversal en la parte estrecha del cuello ocasionado por la estricción, la curva real esfuerzo-deformación seguirá la línea punteada CE’. La carga total F que puede resistir la barra se ve efectivamente disminuida después de que se alcanza el esfuerzo último (curva DE ) pero esta disminución se debe al decremento en área de la barra y no a una pérdida de la resistencia misma del material. En realidad, el material soporta un aumento de esfuerzo hasta el punto de falla E . Sin embargo, con fines prácticos la curva esfuerzo-deformación convencional OABCDE , basada en el área transversal original de la muestra y que, por lo tanto, se calcula fácilmente, suministra información satisfactoria para emplearla en el diseño. El acero estructural contiene alrededor de 0.2% de carbono en su aleación y se clasifica como acero de bajo carbono. Conforme se incrementa el contenido de dicho elemento, el acero se vuelve menos dúctil, pero aumenta su esfuerzo de fluencia y su esfuerzo último. Las propiedades p ropiedades físicas del acero también se ven afectadas por tratamientos térmicos y la presencia de otros elementos de aleación, así como por procesos de fabricación como el rolado o laminado. La ductilidad de un material a tensión puede caracterizarse por su alargamiento total y por la disminución de área en la sección transversal donde ocurre la fractura. El porcentaje de alargamiento o elongación se define como sigue:

Porcentaje de alar gamiento =

L f − Lo ( 100 ) Lo

Donde Lo es la longitud calibrada original y L f es la distancia entre las marcas de calibración en la fractura. Debido a que el alargamiento no es uniforme a lo largo de la longitud de la probeta (espécimen) sino que se concentra en la región donde se presenta la estricción, el porcentaje de alargamiento depende de la longitud calibrada. Por ello, cuando se establece dicho porcentaje también debe indicarse la longitud de calibración. Para acero estructural son comunes valores de 20% a 30%. Ejemplo 2.7: El dispositivo ABC formado por un cable y un puntal (ver figura) soporta una carga vertical

F = 12 kN. El cable tiene un área transversal efectiva de 160 mm 2 y el puntal tiene un área de 340 mm 2. a) Calcule los esfuerzos normales σ AB y σ BC en el cable y puntal, respectivamente, e indique si están en tensión o compresión. b) Si el cable se se alarga 1.1 1.1 mm, ¿cuál es su deformación unitaria? c) Si el puntal se acorta 0.37 mm, ¿cuál es su deformación deformación unitaria?


104

(tensión)

F=12 kN C

(compresión)

Datos:

Fórmulas:

F = 12 kN

σ =

AC = 160 mm 2

ε =

AP = 340 mm

F A δ

L

2

1) σ AB = ? σ BC = ?

H = ?

1.5 m θ

2.0 m 2) δ C = 1.1 mm ε C = ? 3) δ P = −0.37 mm

H 2 = (1.5 m) 2 + (2.0 m) 2 = (2.25 + 4.0) m 2 = 6.25 m 2

∴ H = 2.5 m θ = ang t an

1 .5 = 36.87° 2 .0

ε P = ?

Solución:

1) Mediante el análisis de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, hallar F cable y F puntal :

∑ F y = 0


F C sen θ + F P sen θ − 12,000 N = 0 si:

F C = F P

2 F C senθ = 12,000 N F C =

12,000 N 12,000 N = = 10,000 N 2 senθ 2 x 0.6

a tensión

F P = 10,000 N

a compresión

F C θ

B θ

F P

12,000 N

Diagrama de cuerpo libre o diagrama de fuerzas

2) Hallar los esfuerzos normales normales σ AB (del cable) y σ BC (del puntal): a) Para el cable: σ AB = σ AB =

F AB F C = A AB AC

10 ,000 N N = = 62.5 MPa 62 5 . 160 mm 2 mm 2

b) Para el puntal: σ BC = σ BC =

F BC F P = A BC AP

10 ,000 N N = = 29.41 MPa 29 41 . 340 mm 2 mm 2

3) Hallar la deformación unitaria del cable a tensión: ε C = ε C =

a tensión

1.1 mm 1.1 mm = = 0.00044 = 4.4 x 10 −4 2.5 m 2 ,500 mm

a compresión

δ

L a tensión

105

106


4) Hallar la deformación unitaria del puntal puntal a compresión: ε P = ε P =

− 0.37 mm

2.5 m

=

− 0.37 mm

2 ,500 mm

δ

L

= − 0.000148 = −1.48 x 10 −4

a compresión

Una estructura simétrica que consiste en tres barras articuladas está cargada por una fuerza F (ver la figura). El ángulo entre las barras inclinadas y la horizontal es α = 50°. La deformación unitaria axial en la barra central es de 0.049 (valor medido). Determine el esfuerzo de tensión en las barras laterales AD y CD si están hechas con una aleación de aluminio cuyo diagrama esfuerzo-deformación unitaria es el mostrado en la figura. Ejemplo 2.8:

F

Del diagrama esfuerzo-deformación unitaria, para una aleación de aluminio que tiene ε = 0.049 ≅ 0.05 se obtendrá el valor de σ BD = 32.5 ksi σ (ksi) 40

σ = 32.5 ksi

30 20 10

ε (adimensional)

0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

ε = 0.029


Datos:

Fórmula:

α = 50°

ε =

ε BD = 0.049

δ

L

σ AD = ? σ CD = ? Solución:

Determinar σ AD y σ CD

1) Considerando que la longitud de la barra BD es L BD , por geometría sabemos que: L AD = LCD

L AD sen 50° = L BD L AD =

L BD L = BD = 1.3054 L BD sen 50° 0.766

ecuación (1)

también: L AD = L BD csc 50° = 1.3054 L BD 2) Si la deformación unitaria de la barra barra BD es ε BD = 0.049 , entonces: δ BD = ε BD L BD δ BD = ε BD L BD = 0.049 L BD

ecuación (2)

3) La figura siguiente muestra muestra la longitud final de la barra barra BE:

L BE = L BD + 0.049 L BD

ecuación (3)

LAB = LBD cot 50° A B 50° LAD = LBD csc 50° LBD LAE D E

δBD

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ LBE = LBD + δBD ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

107

108


4) Calculemos las longitudes L AB y L BC para tener las dimensiones horizontales de separación entre los apoyos o puntos fijos A, B y C.

L AB = L BC haciendo intervenir a L BD tenemos:

L AB = L BD cot 50° = 0.8391 L BD

ecuación (4)

5) Para el nuevo triángulo triángulo de vértices A, B y E:

L BE = L BD + δ BD L BE = L BD + 0.049 L BD = 1.049 L BD

ecuación (5)

Aplicando el teorema de Pitágoras:

L AE = ( L AB ) 2 + ( L BE ) 2 L AE =

ecuación (6)

2 ( 0.8391 L BD ) 2 + (1.049 L BD ) 2 = 1.8045 L BD = 1.3433 L BD

6) La deformación (o incremento) de la barra AD es: δ AD = L AE − L AD δ AD = 1.3433 L BD − 1.3054 L BD = 0.0379 L BD 14243

ecuación ( 6 )

14243

ecuación (1)

7) Hallar el esfuerzo esfuerzo unitario de la barra AD: ε AD = ε AD =

δ AD

L AD

0.0379 L BD 0.0379 L BD = = 0.029 1.3054 L BD L AD

8) Del diagrama esfuerzo-deformación unitaria, unitaria, para ε AD = 0.029 , tenemos aproximadamente: σ AD = σ CD ≅ 30 ksi

Una barra de 1.5 m de longitud está hecha de acero estructural cuya curva esfuerzodeformación unitaria se ve en la figura. El esfuerzo de fluencia del acero es de 250 MPa y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria (módulo de elasticidad) es de 200 GPa. La

Ejemplo 2.9:


109

barra se carga axialmente hasta que se alarga 7.5 mm y luego la carga se retira. ¿Qué diferencia hay entre la longitud final de la barra y la longitud de ésta cuando está sujeta al valor máximo en el límite elástico? Datos:

Fórmulas:

L 0 = 1.5 m σ fluencia = 250 MPa E = 200 GPa δ final = 7.5 mm

δ = L ε σ = E ε

L final − Llím. elástico = ? σ ( MPa)

300 250 MPa

200 100 ε

0

0.002 ε

0.004

0.006

= 0.00125

Diagrama esfuerzo-deformación del acero estructural

Solución:

En el límite elástico: Lelástico = L 0 + δ elástico En el límite plástico: L final = L 0 + δ final 1) En condiciones condiciones elásticas: En el límite elástico para σ fluencia = 250 MPa , el valor máximo permisible para la deformación unitaria es: ε elástico = ε elástico =

σ fluencia

E 250 MPa 250,000,000 Pa = = 0.00125 200 GPa 200,000,000,000 Pa

(ver la gráfica esfuerzo-deformación)

y el alargamiento de la barra es: δ elástico = L 0 ε elástico δ elástico = 1.5 m x 0.00125 = 1,500 mm x 0.00125 = 1.875 mm

110


hasta este punto al retirar la carga la barra se recupera y regresa a su longitud original. 2) En condiciones condiciones plásticas: Cuando la barra está afectada por el esfuerzo de fluencia: ε final = ε final =

δ final

L 0

7.5 mm = 0.005 1 ,500 mm

3) Hallar las longitudes de la barra para el límite elástico Lelástico y límite final L final :

Lelástico = L 0 + δ elástico = 1,500 mm + 1.875 mm = 1,501.875 mm

(recupera su longitud)

L final = L 0 + δ final = 1,500 mm + 7.5 mm = 1,507.5 mm

(deformación permanente)

4) Hallar la diferencia diferencia de longitudes de la barra: ∴ L final − Lelástico = 1,507.5 mm − 1,501.875 mm = 5.625 mm

2.5.5 Resistencia a la fatiga

En muchas ocasiones un componente se somete a la aplicación repetida de un esfuerzo inferior al de fluencia del material. Este esfuerzo repetido puede ocurrir como resultado de cargas de rotación, flexión, o aun de vibración. Aunque el esfuerzo sea inferior al punto de fluencia, el metal puede fracturarse después de numerosas aplicaciones del esfuerzo. Este tipo de falla es conocido como fatiga. Los dos resultados más importantes de una serie de ensayos de fatiga son: a) la duración a la fatiga para un esfuerzo en particular, y b) el límite de resistencia a la fatiga para el material. La duración a la fatiga indica cuánto dura un componente cuando un esfuerzo σ se aplica repetidamente al material. Si se va a diseñar una pieza de acero de herramientas que debe soportar 100,000 ciclos durante su vida útil, entonces debe diseñarse de manera que el esfuerzo aplicado sea menor que la carga seleccionada. El límite de resistencia a la fatiga es el esfuerzo por debajo del cual la falla por fatiga nunca ocurre. Para evitar que se rompa una herramienta de acero, se debe asegurar que el esfuerzo aplicado nunca sea mayor que el valor de la carga promedio utilizada. Las fisuras o grietas de fatiga se inician en la superficie del material al que se aplica el esfuerzo, donde los esfuerzos son máximos. Cualquier defecto de diseño o de fabricación en la superficie concentra los esfuerzos y propicia la formación de una factura por fatiga. Algunas veces se obtienen superficies muy pulidas para minimizar la posibilidad de falla por fatiga. La resistencia a la fatiga se relaciona también con la resistencia del material en la superficie. En muchas aleaciones ferrosas o a base de hierro, el límite de resistencia a la fatiga es aproximadamente la mitad de la resistencia a la tensión del material. Esta relación entre ese límite y la resistencia citada es la relación de fatiga:


Relación de fatiga =

111

límite de r esistencia a la fatiga ≈ 0. 5 r esistencia a la tensión

Si la resistencia a la tensión en la superficie del material se incrementa, también aumenta la resistencia a la fatiga. De modo similar, la temperatura influye en la resistencia a la fatiga, conforme se eleva la resistencia disminuye, y por consiguiente, también disminuyen la duración a la fatiga y el límite de resistencia.

2.6 Relación de Poisson (

)

Cuando una barra prismática se carga a tensión, el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral (perpendicular a la dirección de la carga aplicada). Esta variación en la forma se muestra en la siguiente figura, en donde las líneas punteadas representan la forma de la barra antes de la carga y la línea continua indica la la forma después de aplicar aplicar la carga, si d es el diámetro de de la barra:

ε 'lateral =

F

F

∆ d

d

Alargamiento axial y contracción lateral de una barra en tensión

La deformación unitaria lateral es proporcional a la deformación axial en el margen elástico lineal, siem pre y cuando el material sea homogéneo e isótropo. Un material es homogéneo si tiene la misma composición en todos los puntos del cuerpo; por lo que las propiedades elásticas son las mismas en cualquier punto del cuerpo. Los materiales materiales isótropos tienen las mismas propiedades elásticas en todas direcciones. La razón de la deformación unitaria lateral ε ' a la deformación unitaria axial ε se conoce como relación (razón o módulo) de Poisson y se denota por la letra griega v (nu) entonces:

ν = −

de donde:

deformación unitaria lateral deformación unitaria axial

⇒

ν = −

ε ' ε

ε ' = − ν ε

Para una barra en tensión, la deformación axial representa un aumento en la longitud (deformación positiva) y la deformación lateral representa una reducción en la anchura (deformación negativa). Para com-

112


presión ocurre el caso contrario, la barra se acorta (deformación axial negativa) y se ensancha (deformación lateral positiva). Por tanto, para materiales ordinarios la relación de Poisson tiene un valor positivo. Es frecuente expresar la relación de Poisson como el valor absoluto: ν =

ε ' ε

La expresión anterior implícitamente considera los signos de las deformaciones descritas anteriormente. La relación de Poisson recibe ese nombre por el matemático francés Siméon Denis Poisson (1781-1840) quien encontró que para materiales isótropos ν = 14 . Para la mayoría de los metales y muchos otros materiales los valores medidos de ν varían entre 0.25 y 0.35.

2.7 Deformación volumétrica ( cambio de volumen ) Ya que las dimensiones de una barra a tensión o a compresión varían cuando se aplica una carga, el volumen de la barra también cambia. El cambio de volumen se calcula a partir de las deformaciones unitarias axiales y laterales. Consideremos un pequeño elemento de material con dimensiones a, b y c, extraído de una barra isótropa sometida a tensión:

Si:

ε =

δ

a

entonces:

⎧ δ x = a ε ⎪ ⎨ δ y = b ε ′ ⎪ ⎩ δ z = c ε ′

si ε ′ = − ν ε ⎧ δ x = a ε ⎪ ∴ ⎨ δ y = − bν ε ⎪ ⎩ δ z = − cν ε

Cambio en la forma de un elemento sujeto a tensión

La forma original del elemento se indica con líneas punteadas mediante el paralelepípedo rectangular con lados que miden a, b y c en las direcciones x, y y z , respectivamente. El eje x se considera en la direc-


113

ción longitudinal de la barra, que también se indica en la figura al representar la dirección de los esfuerzos normales σ producidos por las fuerzas axiales. La forma final del elemento se muestra con líneas continuas. El alargamiento del elemento en la dirección de la carga es aε , donde ε es la deformación unitaria axial. Puesto que las deformaciones unitarias laterales son νε , las dimensiones laterales disminuyen en bνε y en cνε en las direcciones y y z , respectivamente. En consecuencia, las dimensiones finales del elemento son: a ( 1 + ε ) , b ( 1 − νε ) y c ( 1 − νε ) siendo el volumen original o inicial V 0 = a b c y el volumen final V 1 definido por:

V 1 = a ( 1 + ε ) b ( 1 − νε ) c ( 1 − νε ) V 1 = abc (1 + ε ) ( 1 − νε ) ( 1 − νε ) = V 0 ( 1 + ε ) (1 − νε ) (1 − νε ) Al desarrollar la expresión anterior se obtienen términos que contienen ε elevada al cuadrado y al cubo. Como ε es muy pequeña comparada con la unidad, su cuadrado y su cubo son despreciables comparados con la ε misma, por lo que pueden eliminarse de la ecuación. Por lo tanto, el volumen final del elemento es:

V 1 = abc (1 + ε ) ( 1 − νε ) (1 − νε ) = abc ( 1 − νε + ε − νε 2 ) ( 1 − νε ) V 1 = abc (1 − νε − νε + ν 2 ε 2 + ε − νε 2 − νε 2 + ν 2 ε 3 ) V 1 = abc (1 + ε − 2νε ) = V 0 ( 1 + ε − 2νε ) y el cambio de volumen es: ∆V = V 1 − V 0 = abc + abcε − 2abcνε − abc ∆V = V 1 − V 0 = abc ( 1 − 2ν ) ∆V = V 0 ε (1 − 2ν )

(ecuación para cambio de volumen)

El cambio de volumen unitario “ e ” se define como el cambio en el volumen dividido entre el volumen original, o sea:

e=

V 1 − V o V ε ( 1 − 2ν ) ∆V σ = = 0 = ε ( 1 − 2ν ) = (1 − 2ν ) V o V o V 0 E

114


es decir:

e=

V 1 − V 0 V 0

o

e=

σ

E

(1 − 2ν )

o

e=

(1 − 2ν )

La magnitud e se conoce como deformación volumétrica o expansión. La ecuación anterior puede utilizarse para calcula calcularr el increment incrementoo de volumen volumen de una barra barra en tensión, tensión, bajo bajo el supuesto supuesto de que se conocen conocen la defordeformación unitaria axial ε (o el esfuerzo σ ) y el módulo de Poisson v. Esta ecuación también puede emplearse para compresi compresión, ón, en cuyo cuyo caso caso ε es una deformación negativa y disminuye el volumen de la barra. En la ecuación anterior se puede apreciar que el máximo valor posible de v para materiales comunes es de 0.5, ya que cualquier valor mayor significa que el volumen disminuye cuando el material es tensado, lo que parece físicamente imposible. De la expresión:

e=

σ

E

(1 − 2ν )

verificamos que el valor máximo de ν es 0.5, ya que el factor ( 1 − 2ν ) = ( 1 − 2 x 0.5 ) = ( 1 − 1 ) = 0 Como ya se indicó, para muchos materiales ν es alrededor de 1/4 o 1/3 en la región elástica lineal, lo que significa que el cambio unitario de volumen está en el margen de ε 3 a ε 2 . En la región de comportamiento plástico no ocurre cambio de volumen, por lo que la relación de Poisson puede considerarse como 0.5. Para el caso de tubos la deformación axial se determina mediante la ley de Hooke σ = E ε y el alargamiento total por δ = ε L . La deformación lateral se obtiene de la relación de Poisson ε 'lateral = −νε , y la reducción del diámetro se define como ∆ d = ε ' lateral d y finalmente, el cambio de volumen se calcula con la ecuación ∆V = V 0 ε ( 1 − 2ν ) . Ejemplo 2.10: Una

barra prismática prismática de sección transversal circular circular se carga con fuerzas a tensión tensión F = 85 kN. La barra tiene una longitud L = 3 m y un diámetro d = 30 mm. Está hecha de aluminio aluminio con un módulo 1 de elasticidad E = 70 GPa y un módulo de Poisson Poisson ν = 3 . Calcular el alargamiento δ , la disminución de diámetro ∆d y el incremento de volumen ∆V de la barra. Datos:

F = 85 kN L = 3 m = 3,000 mm d = 30 mm E = 70 GPa = 70,000 MPa ν = 13 δ = ?

Fórmulas:

σ = ε =

F A σ

E

ε 'lateral = −ν ε axial

∆ d = ε 'lateral d


∆ d ? ∆V = ?

115

∆V = V 0 ε (1 − 2ν )

Solución:

1) El esfuerzo longitudinal longitudinal a tensión σ en la barra puede obtenerse de la ecuación: σ =

F A

85 kN 85,000 N 85,000 N 1,000,000 mm 2 x = = = 120 MPa σ = π (30 mm) 2 706.86 mm 2 706.86 mm 2 1 m2 4 Este esfuerzo es menor que el límite de proporcionalidad E , por lo que consideramos que el material se comporta en forma lineal y elástica. 2) La deformación axial se determina mediante mediante la ley de Hooke: Hooke: ε = ε =

120 MPa = 0.00171 70 GPa

σ

E

(adimensional)

3) El alargamiento alargamiento total es: δ = ε L δ = (0.00171) (3.0 m) = 5.13 mm

4) La deformación deformación lateral ε ' (disminución del diámetro) se obtiene de la relación de Poisson: ν = −

ε ' deformació n lateral ε ' = − lateral = − deformació n axial ε axial ε

o también: ν =

ε ' ε

entonces: ε ' = ν ε ε ' =

1 ( 0.00171 ) = 0.00057 3

5) La reducción del diámetro es numéricamente numéricamente igual al producto de la deformación lateral y el diámetro diámetro original: ∆ d = ε ' d ∆ d = (0.00057 ) (30 mm) = 0.0171 mm


116

6) Finalmente, el cambio (incremento) (incremento) de volumen se calcula con la ecuación: ∆V = V 0 ε (1 − 2ν ) ∆V = π (15 mm ) 2 ( 3,000 mm ) ( 0.00171) (1 − 23 ) = 1,208.73 mm 3 144 4 4 244 4 4 3

volumen inicial

1 4 24 3

1 4 2 4 3

1− 2ν

ε

Puesto que la barra está sujeta a tensión, ∆V representa un incremento de volumen. Una barra prismática de sección transversal circular está cargada por fuerzas de tensión F = 120 kN (ver la figura). La barra tiene tiene una longitud L = 3.0 m y un diámetro diámetro d = 30 mm. Está hecha hecha de una aleación de aluminio aluminio (2014-T6) con módulo módulo de elasticidad E = 73 GPa y razón de Poisson ν = 13 . Calcule el alargamiento δ , el decremento en diámetro ∆d y el incremento en volumen ∆V de la barra. Ejemplo 2.11:

Observación: Los ejemplos 2.10 y 2.11 son similares, ya que sólo difieren en los valores de las fuerzas de tensión y en los módulos de elasticidad; la diferencia fundamental se encuentra en la forma de presentar el procedimiento y los resultados resultados de ambos problemas. problemas. Datos:

L = 3.0 m F = 120 kN = 120,000 N d = 30 mm E = 73 GPa = 73,000 MPa ν =

1 3

δ = ?

∆d = ? ∆V = ?

Fórmulas:

E =

σ ε ε '

ν = −

ε ∆ d = ε ' d

∆V = V 0 ε (1 − 2ν )

e = ε (1 − 2ν )


117

Solución:

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (1 ) ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

2

⇒

⎛ 30 mm ⎞ A = 3.1416 ⎜ ⎟ = 706.86 mm 2 ⎝ 2 ⎠

F A

⇒

σ =

σ

⇒

2

A = π r σ = ε =

E

δ = ε L

120,000 N N = 169.765 = 169.765 MPa 2 mm 2 706.86 mm 169.765 MPa ε = = 0.00233 73,000 MPa

⇒

δ =

0.00233 x 3,000 mm = 6.99 mm

⎧⎪ ε ' = ν ε ⇒ (2) ⎨ ⎪⎩ ∆ d = ε ' d ⇒

ε ' =

( 13 ) ( 0.00233 ) = 7.766 x 10 −4

∆d = 7.766 x 10 − 4 ( 30 mm ) = 0.0007766 x 30 mm = 0.0233 mm

⎧ ∆V = A L ε (1 − 2ν ) ⎪ ( 3 ) ⎨ ∆V = ( 706.86 mm 2 ) ( 3,000 mm ) ( 0.00233 ) [1 − 2 ( 0.3333 ) ] ⎪ = 4940.9514 mm 3 (1 − 0.6666 ) = 1,646.98 mm 3 ⎩

2.8 Módulo de elasticidad al cortante (o módulo de rigidez) y deformación angular En los temas anteriores se analizaron los efectos de esfuerzos normales producidos por fuerzas axiales sobre barras rectas. Ahora consideraremos a un tipo diferente de esfuerzo, conocido como esfuerzo cortante, que actúa paralelo o tangencial a la superficie del material. Como ejemplo de una situación práctica en la que se presentan esfuerzos cortantes, consideremos la junta atornillada que se muestra en la figura (a).

Figura (a)

118


(c)

(b)

(d)

(e)

Perno sometido a cortante doble

Esta conexión consiste en una barra plana A, una abrazadera u horquilla C y un perno o tornillo B que pasa a través de barrenos tanto en la barra como en la abrazadera. Bajo la acción de las cargas de tensión F , la barra barr a y la abrazadera presionan al perno en aplastamiento y cortante; consideremos una vista lateral de la conexión en la figura (b). Un diagrama de cuerpo libre del tornillo se muestra en la figura (c) en donde se indican tales esfuerzos de contacto. La distribución real de estos esfuerzos sobre el perno es difícil de determinar, así que por sencillez los esfuerzos se muestran como si su distribución fuese uniforme. Basados en esta suposición, podemos calcular un esfuerzo σ b de aplastamiento promedio (contacto) al dividir la fuerza total F b entre el área de contacto Ab . σ b =

F b Ab

El diagrama de cuerpo libre de la figura (c) muestra que existe una tendencia a que el perno experimente un corte (sea degollado) según las secciones transversales mn y pq. A partir de un diagrama de cuerpo libre de la porción porción mnpq del perno, en la figura (d), se aprecia que actúan fuerzas cortantes V sobre las superficies cortadas del perno. En este ejemplo particular, cada fuerza cortante V es igual a F /2. /2. Estas fuerzas de corte son las resultantes de los esfuerzos cortantes distribuidos sobre las secciones transversales del perno. Los esfuerzos cortantes sobre la sección transversal mn se muestran mediante pequeñas flechas en la figura (e). Se desconoce la distribución exacta de estos esfuerzos, pero son más elevados cerca del centro y se vuelven nulos en ciertos lugares de los extremos. Se acostumbra representar a los esfuerzos cortantes por la letra griega τ (tau). El esfuerzo cortante promedio sobre la sección transversal del perno se determina dividiendo la fuerza cortante total V entre el área A de la sección transversal sobre la que actúa:

τ prom

V = A

esfuerzo cor t ante V fuerza cort ante A área τ

En el ejemplo mostrado en las figuras anteriores, la fuerza cortante es V = F /2 /2 y A es el área de la sección transversal del perno. De la ecuación anterior, se observa que los esfuerzos cortantes, al igual que los es-


119

fuerzos normales, representan intensidad de fuerza, o sea fuerza por unidad de área. Por lo que las unidades de esfuerzo cortante son las mismas que las de esfuerzo normal, o sea, psi o ksi en unidades del sistema inglés y pascales en unidades del sistema internacional. El cortante directo se presenta en el diseño de tornillos, pernos, remaches, cuñas, soldaduras y juntas pegadas. Los esfuerzos cortantes también aparecen de manera indirecta en miembros sujetos a tensión, torsión y flexión. Un elemento sometido únicamente a esfuerzos cortantes, como se ilustra en la siguiente figura (a), se dice que está sujeto a cortante puro.

(a)

(b)

Esfuerzo cortante y deformación angular

Los esfuerzos cortantes no tienden a alargar o acortar el elemento, sino que producen un cambio en la forma del elemento. El elemento original, que es un paralelepípedo rectangular, se deforma en un paralelepípedo oblicuo y las caras anterior y posterior se convierten en romboides (paralelogramo de ángulos y lados iguales de dos en dos). Bajo la acción de estos esfuerzos cortantes el material se deforma, lo que origina deformaciones angulares o deformaciones por cortante. A fin de visualizar dichas deformaciones, se advierte en primer lugar que los esfuerzos cortantes no tienden a alargar o acortar el elemento en las direcciones x, y y z ; es decir, las longitudes de los lados del elemento no varían. En vez de ello, los esfuerzos cortantes provocan un cambio de forma del elemento, como se muestra en la figura (b). El elemento original adquiere la forma de un paralelepípedo oblicuo y la cara frontal pqrs del elemento se convierte en un romboide. Los ángulos entre caras en los puntos q y s , que eran rectos (iguales a π 2 ) antes de la deformación, se reducen en un pequeño ángulo γ a π 2 − γ . Al mismo tiempo, los ángulos en los puntos p y r se incrementan a π 2 + γ . El ángulo γ es una medida de la distorsión o cambio de forma del elemento y se denomina deformación unitaria cortante (angular). Como la deformación unitaria cortante γ es un ángulo, se mide en grados o en radianes. Las caras orientadas hacia las direcciones positivas de los ejes las denominamos caras positivas del elemento, las caras opuestas son negativas. Para el caso de los esfuerzos podemos establecer que: un esfuerzo cortante que actúe sobre una cara positiva de un elemento es positivo si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes coordenados y negativo si actúa en la dirección negativa de un eje. Un esfuerzo cortante

120


que actúe sobre una cara negativa de un elemento es positivo si actúa en la dirección negativa de un eje y negativo si actúa en una dirección positiva. La convención de signo para las deformaciones unitarias cortantes es como sigue: la deformación unitaria cortante en un elemento es positiva cuando el ángulo entre dos caras positivas (o dos caras negativas) se reduce. La deformación unitaria cortante es negativa cuando el ángulo entre dos caras positivas (o dos negativas) se incrementa. Por lo tanto, las deformaciones unitarias cortantes mostradas en la figura (b) son positivas y vemos que los esfuerzos cortantes positivos van acompañados por deformaciones unitarias cortantes positivas. Los diagramas de “ τ ” contra “ γ ” tienen forma similar a los diagramas para pruebas a tensión ( σ contra ε ) para los mismos materiales. La porción inicial del diagrama esfuerzo-deformación a cortante es una línea recta, análoga a la de tensión. Para esta región elástica lineal, el esfuerzo cortante y la deformación angular son directamente pro porcionales y se cuenta con la siguiente siguiente ecuación para la ley de Hooke en cortante: τ = G γ

G es el módulo de elasticidad en cortante (también llamado módulo de rigidez). El módulo cortante G tiene las mismas unidades que el módulo en tensión E , es decir, psi o ksi en unidades inglesas y pascales en el SI. Para el acero dulce el valor característico de G es 11,000 ksi, o sea 75 GPa; para aleaciones de aluminio, el valor característico es 4,000 ksi o 28 GPa. donde

Los módulos de elasticidad a tensión y cortante ( E y G) se relacionan mediante la siguiente ecuación:

G

E 2 (1 ν )

donde ν es el módulo de Poisson: esta relación muestra que E, G y v no constituyen propiedades elásticas independientes del material. Ya que el valor del módulo de Poisson para materiales comunes se encuentra entre cero y un medio ( 0 < ν < 12 ) se aprecia de la ecuación anterior que G debe estar entre un tercio y un medio de E ( E 3 < G < E 2 ). Un perno para un propósito especial con diámetro d = 0.50 pulgadas en el vástago, pasa por un orificio en una placa de acero (ver figura). La cabeza hexagonal del perno se apoya directamente contra la placa de acero. El diámetro del círculo circunscrito para el hexágono es D = 0.80 pulgadas (lo que significa que cada lado del hexágono tiene una longitud de 0.40 pulgadas). El espesor t de la cabeza del perno es de 0.25 pulgadas. Para fines de cálculo, suponga que la fuerza de tensión F en el perno es de 1,000 lb . a) Determine el esfuerzo de aplastamiento promedio σ b entre la cabeza hexagonal del perno y la placa. b) Determine el esfuerzo cortante promedio τ prom en la cabeza del perno. Ejemplo 2.12:


Datos:

Fórmulas:

d = 0.50 pul g

σ b =

D = 0.80 pul g

τ prom =

121

F b Ab F AS

t = 0.25 pul g

F b = 1,000 lb σ b = ? τ prom = ?

AS = π d t (superficie en el perno sujeta al esfuerzo cortante)

Solución:

1) El apotema apotema “ a ” del hexágono hexágono se encuent encuentra ra median mediante te trigon trigonometr ometría: ía: a = 0.3464 pul g

Ahexágono =

P a 6 (0.4 pul g ) (0.3464 pul g ) = = 0.41568 pul g 2 2 2

2) Para el perno tenemos: tenemos: d = 0.50 pul g 2

A perno

⎛ 0.50 pul g ⎞ 2 = π r = 3.1416 ⎜ ⎟ = 0.19635 pul g 2 ⎝ ⎠ 2

3) El área en contacto con el aplastamiento se obtiene obtiene restándole al área total del hexágono el área de la sección transversal del perno:

Aaplastamiento = Ahexágono − A perno = (0.41568 − 0.19635) pulg 2 = 0.21933 pul g 2

122


4) El esfuerzo de aplastamiento aplastamiento está dado por: σ b = σ =

F b Ab

1,000 lb lb = 4,559.34 = 4,559.34 psi 2 0.21933 pul g pul g 2

5) El área cortante AS en el perno es igual al perímetro de su circunferencia (igual a la del orificio) multiplicada por el espesor de su cabeza: AS = π d t

As =

π d 1 2 3

t {

perímetro en el perno espesor del perno igual al del orificio

AS = 3.1416 (0.50 pul g ) (0.25 pul g ) = 0.3927 pul g 2 6) El esfuerzo cortante cortante promedio en la cabeza del perno es: τ prom =

τ prom =

F b AS

1,000 lb lb 2 , 546 . 47 = = 2,546.47 psi 0.3927 pul g 2 pul g 2

2.9 Desarrollo de nuevos materiales y sus aplicaciones Al inicio del presente capítulo, en el tema 2.1, se describieron las principales características de los materiales y se estableció su clasificación, por lo que podemos estudiar con base en dichos criterios el análisis de nuevos materiales incluyendo los semiconductores, que deben conocer los ingenieros en su práctica profesional cuando sus actividades se encuentran dirigidas a la construcción, mantenimiento y conservación de edificaciones. 2.9.1 Metales

Los metales y las aleaciones suelen dividirse en dos categorías: ferrosos y no ferrosos. Las aleaciones ferrosas están basadas en el hierro como el constituyente principal e incluyen aceros, aceros inoxidables y diversas clases de hierro fundido. En las aleaciones no ferrosas intervienen metales diferentes al hierro.

2.9.1.1 Hierros fundidos Las fundiciones o hierros fundidos son aleaciones hierro-carbono-silicio que por lo general contienen entre 2% y 4% de C, y 0.5% y 3% de Si, que experimentan una reacción eutéctica (aleación que se solidifica solidifica a temperatura fija, inferior a la de cada uno de sus constituyentes).


123

2.9.1.2 Aceros de aleación Los elementos de aleación se agregan a los aceros para: (a) proporcionar un endurecimiento por solución sólida de la ferrita, (b) causar la precipitación de carburos de aleación en lugar de carbonatos de fierro, (c) mejorar la resistencia a la corrosión y otras características especiales del acero, y (d) mejorar la templabilidad. Esto último es de la mayor importancia en los aceros aleados y para herramientas. Una aplicación importante de los elementos de aleación en los aceros inoxidables es producir mejor resistencia a la corrosión.

2.9.1.3 Aceros inoxidables Se seleccionan por su excelente resistencia a la corrosión. Todos los verdaderos aceros inoxidables contienen un mínimo de 12% de cromo, lo que permite la formación de una delgada capa protectora de óxido de cromo cuando el acero se expone al oxígeno. más importantes son las siguientes: de aluminio, de magnesio, de berilio, de cobre, de níquel y cobalto, y de titanio. Las aleaciones no ferrosas

Existen metales refractarios, como son: tungsteno, molibdeno, tantalio y niobio (o columbio) que tienen temperaturas de fusión excepcionalmente altas, y en consecuencia, potencialidades para servicio a altas temperaturas.

2.9.2 Cerámicas y vidrios

Los materiales cerámicos (o cerámicas) que se encuentran unidos por enlaces iónicos o covalentes, son compuestos y soluciones complejas que contienen elementos tanto metálicos como no metálicos. Comúnmente los cerámicos son duros, frágiles, con alto punto de fusión y baja conductividad eléctrica y térmica, adecuada estabilidad química y térmica, y alta resistencia a la compresión. Los materiales cerámicos tienen una gran variedad de aplicaciones que van desde la alfarería, fabricación de ladrillos, azulejos, loza y tubos de albañal, hasta materiales refractarios, imanes, artículos para la industria eléctrica y abrasivos. Las losetas que protegen un transbordador espacial son de sílice, un material cerámico. La estructura de los materiales cerámicos puede ser cristalina (tamaño, forma y ordenamiento atómico de la red) o vítrea (de estado rígido) y tienen propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas, térmicas y ópticas. Prácticamente todas las cerámicas, incluyendo los vidrios, tienen al menos un ordenamiento de corto alcance entre los átomos de la estructura. 2.9.3 Polímeros

Los polímeros son moléculas orgánicas gigantes, que tienen pesos moleculares de 10,000 a 1,000,000 g m g mol . La polimerización es el proceso por el cual se unen pequeñas moléculas para crear esas moléculas gigantes. Conforme aumenta el tamaño del polímero se incrementa el punto de fusión o de reblandecimiento y el polímero se hace más resistente y rígido. Los polímeros son ligeros, resistentes a la corrosión y aislantes eléctricos, pero tienen relativamente baja resistencia a la tensión y no son adecuados para uso a temperaturas altas. Los polímeros se emplean en

124


innumerables aplicaciones, que incluyen juguetes, artículos para el hogar, artículos estructurales y decorativos, recubrimientos, pinturas, adhesivos, neumáticos, empaques y muchas otras. Algunos de los principales polímeros utilizados son: polietileno BD, polietileno AD, polipropileno, poliestireno, cloruro de polivinilo y elastómeros (cauchos o hules). 2.9.4 Compuestos

Los materiales compuestos (o compósitos) se producen cuando dos materiales se unen para dar una combinación de propiedades que no puede ser obtenida en los materiales originales. Estos materiales pueden seleccionar selec cionarse se para proporciona propor cionarr combinacio comb inaciones nes poco usuales usuale s de rigidez, rigide z, resistenc resi stencia, ia, peso, rendimiento a temperatura alta, resistencia a la corrosión, dureza o conductividad. Los compuestos pueden ser metal-met metal -metal, al, metal-cerá metal -cerámica, mica, metal-polím metal -polímero, ero, cerámicacerá mica-cerá cerámica, mica, o polímero-p polím ero-políme olímero. ro. Los compuestos metal-cerámica, por ejemplo, incluyen las herramientas de corte de carburo cementado, el titanio reforzado con fibras de carburo de silicio y el acero esmaltado. Los compuestos pueden clasificarse en tres categorías: a) con partículas, b) con fibras y c) laminares, de pendiendo de las formas de los materiales. El concreto (mezcla de cemento ce mento y agregados) es un compuesto elaborado con partículas (particulado); la fibra de vidrio es un compuesto reforzado con fibras; y la madera terciada o triplay, que tiene capas alternadas de madera chapada con veta, es un compuesto laminar. Si las partículas reforzantes se encuentran uniformemente distribuidas, los compuestos particulados tienen propiedades isotrópicas; los compuestos fibrados pueden ser tanto isotrópicos (material en el que las pro piedades son idénticas en todas las direcciones) como anisotrópicos (material que dependen sus propiedades de la dirección cristalográfica a lo largo de la cual se miden). Los compuestos laminares tienen siempre un comportamiento anisotrópico.

2.9.4.1 Concreto hidráulico y concreto asfáltico El concreto hidráulico y el concreto asfáltico son compuestos particulados en los cuales un agregado, normalmente grava y arena, se aglutinan en una matriz de cemento Portland, o bien de bitumen (alquitrán). El concreto (u hormigón) es un material compuesto que está formado por grava (agregado grueso), arena (agregado fino), cemento Portland hidratado, y en la mayoría de los casos, de huecos. El agregado grueso constituye la parte principal del concreto, la arena llena parte de los huecos entre la grava, y el cemento Portland reacciona con el agua unificando todo el material. Las propiedades del concreto resultante de penden de diversos factores: factores: 1. Relación de agregado grueso, arena y cemento. Una mezcla común contiene cuatro partes en volumen de agregado grueso, dos partes de arena y una de cemento. 2. Relación agua-cemento. El exceso de agua tiende a debilitar el concreto. Puede escapar dejando huecos, y cuando queda atrapada permanece en capilares diminutos. 3. La naturaleza del agregado grueso y de la arena. Aparentemente las propiedades del concreto son mejores cuando ambos agregados tienen aristas puntiagudas y no redondeadas.


125

4. Mezcla y colocación. Cuando se mezcla en exceso o demasiado poco, se obtiene concreto de mala calidad. El método de colocación es muy importante: el concreto que se obtiene por vibración suele ser por regla general más fuerte que el concreto que se obtiene por vaciado. 5. Tiempo de curado. La reacción entre cemento y agua se prolonga durante años. Si el concreto no se cura en agua sino a la atmósfera, generalmente se recubre con arena húmeda o sacos para evitar que se evapore la humedad cuando menos durante una semana. Por supuesto, no es necesario tomar esta precaución preca ución en los lo s climas cli mas tropica t ropicales les húmedos. húmed os. Además de su principal aplicación en la edificación de estructuras, el concreto se emplea también para carreteras. En este último caso la rigidez del concreto hidráulico no es precisamente una ventaja, y en general se emplea pavimento de asfalto, por ser más flexible. El pavimento de asfalto, al igual que el concreto y los cermets (materiales compuestos de tipo estructural, constituidos por cerámicos y metálicos, llamados también carburos cementados o metales duros) constan de una matriz (asfalto) y una fase dispersa (agregados pétreos). El asfalto se forma con hidrocarburos sólidos de alto peso molecular llamados asfaltenos y residuos aceitosos. Es necesario observar que el comportamiento y servicio del pavimento de asfalto también depende del suelo encima del cual se coloque.

2.9.5 Semiconductores

Si bien los polímeros son materiales tecnológicamente desarrollados que causan gran impacto en la sociedad contemporánea, los semiconductores y la electrónica de estado sólido están revolucionando a la tecnología. Un grupo relativamente pequeño de elementos y compuestos tienen una propiedad eléctricamente importante, la semiconducción, en la cual ni son buenos conductores eléctricos, ni son buenos aisladores eléctricos. En vez de ello, su capacidad de conducción de electricidad es intermedia. Los semiconductores son sustancias no metálicas que conducen imperfectamente la corriente eléctrica y cuya conductividad aumenta rápidamente con la temperatura.Tres elementos semiconductores, Si (silicio), Ge (germanio) y Sn (estaño) forman la columna IV-A de la tabla periódica de los elementos y son una especie de frontera entre los elementos metálicos y no metálicos. El GaAs (arseniuro de galio) se emplea como rectificador para altas temperaturas, y material de cristales de laser; también al CdS (sulfuro de cadmio) se le emplea como material de costo relativamente bajo en las celdas solares, para convertir la energía solar en energía eléctrica útil. Estos diversos compuestos presentan muchas semejanzas con los compuestos cerámicos. Al agregarles las impurezas adecuadas, algunas de las cerámicas manifiestan comportamiento semiconductor. semiconductor. Por ejemplo, el ZnO (óxido de zinc) se usa mucho como fósforo en las pantallas de TV.

07) CAPITULO 2 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

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