06) CAPÍTULO 1 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

ING. JOSÉ PEDRO AGUSTÍN VALERA NEGRETE

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CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FÍSICA

1.1 Introducción y conceptos fundamentales. Masa y fuerza. Sistemas cerrados y abiertos 1.1.1 Introducción A través de la historia las ciencias han simbolizado el avance del hombre, porque le han permitido resolver problemas por medio de soluciones que él mismo ha creado, siendo además una forma de conocer el mundo, de saber dónde vivimos y cómo es posible que ocurran los acontecimientos que suceden en nuestro alrededor. En particular, por medio de la Física se pueden explicar muchos de los fenómenos de tipo macroscópico y cuánticos (esto es, referidos al comportamiento de las partículas que integran el átomo) que se presentan en la naturaleza, usando fórmulas previamente establecidas, creadas para la mejor comprensión de dichos acontecimientos. El interés por realizar experimentos que validen los modelos matemáticos descubiertos en el laboratorio mediante observaciones cuantitativas de los procesos naturales, hace que los alumnos que estudian Física participen, primero conociendo y después aplicando en su vida profesional, los conceptos que les permiten cambiar el hábitat para beneficio de la humanidad. El estudio de una licenciatura científica-tecnológica (como la Ingeniería) es un instrumento que nos ayuda a modificar el mundo, requiriendo para ello pensar y trabajar en equipo, y no es sólo un conjunto de fórmulas, reglas y sistemas. Por ello, cuando efectuamos un experimento de laboratorio, aunque la comprensión del mismo no es inmediata y los resultados obtenidos no siempre son los esperados por cometer errores sistemáticos o aleatorios, debemos tener la confianza de que al repetirlo en mejores condiciones llegaremos a valores más exactos. Estoy cierto que después de un corto periodo, los alumnos que ingresan a la licenciatura de Ingeniería Civil formalizan con seriedad sus estudios, inspirados por su vocación de superación y de ayuda a los demás, de tal forma que las ciencias no pierdan su esencia. Servir a la sociedad para mejorar la vida implica modificar, entre otras, sus condiciones culturales, económicas y de servicios, incrementando los proyectos profesionales que requieren de un mayor conocimiento y calidad en su desarrollo académico. Una razón importante al estudiar en la Universidad es aprender de aquellos profesores que, dedicados a la investigación básica, científica y profesional, nos permiten superarnos y actualizarnos constantemente, para enfrentar los retos que surgen a diario.

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Las ciencias son fundamentales en la existencia del hombre, y conjuntamente con las humanidades nos permiten identificar el universo y todo lo que en él existe. Gracias a ello, conocemos y tratamos de dominar nuestro entorno, dándose grandes avances y revoluciones tecnológicas, hasta llegar a tener el nivel de vida actual. Pero todo ello aún no ha terminado, y puede seguir durante siglos, milenios, hasta la misma desaparición de la especie humana, ya que siempre, por medio de las ciencias, se puede crear un lenguaje común entre los individuos de cualquier raza o creencia, por constituir formas de la abstracción mental del hombre. En el trato diario con los alumnos el profesor aprende a tener espíritu de lucha, de superación y de voluntad incansable, con la mentalidad de establecer una mejor relación entre la vida académica y el entorno profesional. El hacerlo siempre con la mira de realizar junto con la sociedad los mayores esfuerzos, permite hablar de la formación de un ingeniero comprometido con su país.

1.1.2 Patrones y unidades Los fundamentos de la Física descansan sobre un conjunto de definiciones rigurosas de los términos empleados y requieren de la formulación matemática de los conceptos y cantidades utilizadas, debiendo conocer implícitamente algunas reglas para su medición (comparación entre dos cantidades físicas semejantes). Así, por ejemplo, para medir las cantidades básicas (masa, longitud y tiempo) es necesario: 1) la adopción de un patrón, norma o estándar y 2) un sistema de comparación con el patrón. Al medir una cantidad la comparamos con algún patrón de referencia establecido previamente. Por ejemplo, si el número 30 representa la medida de una longitud en metros, se escribe 30 m. La unidad así designada sigue al número como un factor multiplicativo a través de todas las operaciones que se aplican tanto a la unidad como al número. Así decimos que una cuerda tiene 30 metros de longitud para indicar que es 30 veces más larga que un objeto cuya longitud se ha definido como un metro. El patrón en el caso de la medida de intervalos espaciales o de longitud recibe el nombre de metro en el Sistema Internacional, otro caso es el segundo, que corresponde al patrón de la unidad de tiempo. La medición debe poseer la exactitud requerida y el procedimiento debe ser estable, identificando las condiciones naturales en las que se realizó. Para lograr mayor exactitud en las mediciones es esencial que las definiciones de las unidades de medida sean precisas y reproducibles. Los científicos franceses originalmente partieron de la definición del metro como la fracción 1x10–7 de la distancia del Ecuador al Polo Norte, a lo largo del meridiano que pasa por París, Francia, y definen al segundo como el tiempo empleado por un péndulo de un metro de largo en oscilar de un lado a otro. Posteriormente estas definiciones se modificaron y perfeccionaron en gran medida. Desde 1889, las definiciones de las unidades fundamentales son establecidas por la organización llamada Conferencia General de Pesas y Medidas, que cuenta con representantes de la mayoría de los países del mundo. El sistema de unidades definido por esta organización, basado en el sistema métrico decimal, se conoce oficialmente desde 1960 como Sistema Internacional o SI. Las dos características esenciales de una unidad patrón son su estabilidad y reproducibilidad. En 1889 se eligió como patrón de longitud o metro, a la distancia entre dos marcas finas sobre una barra de aleación de platino-iridio que se mantiene a una temperatura de 0°C guardada en París; esta aleación es particularmente estable desde el punto de vista químico. Sin embargo, el uso de esta barra como patrón es incómodo, ya que las réplicas deben forjarse y compararse periódicamente con la barra

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FÍSICA

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original. El 14 de octubre de 1960, la Conferencia cambió el patrón de longitud a una constante atómica, a saber, la longitud de onda de la luz rojo anaranjada emitida por los átomos individuales del Kriptón 86 (Kr, uno de los gases raros de la atmósfera) en un tubo lleno de dicho gas, dentro del cual se mantiene una descarga eléctrica. Un metro se define como 1,650,763.73 veces la longitud de onda de esa luz. En 1983, el metro fue nuevamente redefinido, esta vez en términos de la velocidad de la luz (cuyo mejor valor medido es 299,792,458 m/s con una incertidumbre de ± 1 m/s). La nueva definición dice: “El metro es la longitud de la trayectoria viajada por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 de segundo”. Este patrón es más preciso y fácil de reproducir en diversos laboratorios que cualquier otro patrón basado en un objeto material concreto. El patrón masa, denominado kilogramo, es la masa de un cilindro de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sèvres, localidad próxima a París. Aún no se ha adoptado un patrón atómico de masa porque todavía no es posible determinar masas a escala atómica con tanta precisión como a escala macroscópica, además existen los isótopos (átomos del mismo elemento químico pero de diferente masa) y los isóbaros (átomos de la misma masa pero de distintos elementos). Hasta 1960, el patrón de tiempo estuvo basado en 1/86,400 de un día solar medio, es decir, el intervalo de tiempo entre dos posiciones consecutivas del Sol en su cenit (punto de la esfera celeste que corresponde a la vertical del observador) promediado sobre un año. En 1967 se adoptó un patrón atómico, en consecuencia, el segundo se redefinió para aprovechar la ventaja de la alta precisión que podía obtenerse en un dispositivo conocido como reloj atómico, usando la frecuencia de un tipo particular de átomo de Cesio (Cs). Los dos estados de menor energía del átomo de Cs tienen energías diferentes, según si el espín (giro de la partícula sobre su eje) del electrón más externo es paralelo o antiparalelo (dos rectas que sin ser paralelas, forman ángulos iguales con una tercera) al espín nuclear. Una radiación adecuada ocasionará transiciones de uno de estos estados al otro. Un segundo se define ahora como la duración de 9,192,631,770 periodos de la radiación que corresponde a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133. Una vez definidas las unidades fundamentales o básicas, es sencillo introducir unidades mayores y menores de las mismas cantidades físicas. En el Sistema Internacional estas unidades derivadas se relacionan siempre con las fundamentales por múltiplos de 10 o de 1/10. El ampere es la unidad de intensidad de corriente eléctrica que, si se mantiene en dos conductores rectilíneos paralelos, de longitud infinita, sección transversal circular despreciable y separados por una distancia de un metro en el vacío, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2x10–7 newton por metro de longitud. El ampere se define como la rapidez del flujo de carga de un coulomb por cada segundo, que pasa por cualquier punto. El Kelvin es la unidad de temperatura termodinámica, y corresponde a la fracción 1/273.15 de la temperatura del punto triple del agua pura a 0°C (ver tema 3.4.1.2). Se puede argumentar que –273.15°C es la temperatura más baja posible de obtener en la naturaleza y recibe el nombre de cero absoluto, formando la base de una escala de temperatura conocida como escala absoluta o escala Kelvin. Así entonces, el punto de congelamiento del agua pura (0°C) es 273.15 K y su punto de ebullición es 373.15 K. La candela es la unidad que se utiliza para medir la intensidad luminosa en la dirección perpendicular de una superficie de 1/600,000 metros cuadrados de un cuerpo negro a la temperatura de congelación del platino bajo una presión de 101,325 newton por metro cuadrado.

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El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12. Las entidades elementales han de ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o agrupamientos determinados de tales partículas.

1.1.3 Alfabeto griego Α

Β

Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ

α β γ δ ε ς η θ ι κ λ µ

alfa beta gamma delta épsilon dseta eta teta o zeta iota kappa lambda mu o mi

Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

nu o ni xi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi ji psi omega

Referencia: Charles H. Lehmann. Geometría Analítica.

1.1.4 Prefijos utilizados en las mediciones Para medir, existen equipos e instrumentos especializados (dependiendo de la medición que se trate) y también debe emplearse un sistema congruente de unidades para hacer que las lecturas adquieran un significado físico para el experimentador. Durante mucho tiempo se han empleado diferentes unidades para una misma cantidad, provocando en ocasiones el desconcierto de quienes estudian temas relacionados con la medición. En los años 70’s se propuso la unificación mundial, permitiendo el intercambio tecnológico. REPÚBLICA MEXICANA: PUBLICACIÓN DIARIO OFICIAL (miércoles 1 de julio de 1992) TÍTULO SEGUNDO “METROLOGÍA”.- Capítulo I (del Sistema General de Unidades de Medida). Artículo 5°.- En los Estados Unidos Mexicanos el Sistema General de Unidades de Medida es el único legal y de uso obligatorio. El Sistema General de Unidades de Medida se integra; entre otras, con las unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades: de longitud, el metro; de masa, el kilogramo; de tiempo, el segundo; de temperatura termodinámica, el kelvin; de intensidad de corriente eléctrica, el ampere; de intensidad luminosa, la candela; y de cantidad de sustancia, el mol, así como con las suplementarias, las derivadas de las unidades base y los múltiplos y submúltiplos de todas ellas, que apruebe la Conferencia General de Pesas y Medidas y que prevean en normas oficiales mexicanas. También se integra con las no comprendidas en el sistema internacional que acepte el mencionado organismo y se incluyan en dichos ordenamientos.


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Antes de los años 70´s existían los sistemas MKS (o Giorgi) y el Inglés (o Británico) que presentaban desventajas por la necesidad de utilizar cantidades “adimensionales” para manejarlos. Sin embargo se produjo una inclinación a favor de un sistema de medidas con base en la conversión decimal. El sistema se definió como absoluto, ya que la masa es una cantidad básica, mientras que el peso es derivada. El nombre de este sistema es: Sistema Internacional de Unidades (SI) y se divide en 3 partes: 1. Unidades fundamentales o básicas. 2. Unidades derivadas. 3. Unidades suplementarias. 1. Las unidades fundamentales son 7 y se establecen a partir de las cantidades físicas básicas que son independientes. Se acostumbra denotar por “dimensión” a la cantidad física seleccionada para definir un sistema de unidades. Unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI)

Referencia

Nombre

Símbolo

Unidades

Abreviatura

a)

Longitud

L

metro

m

b)

Masa

M

kilogramo

kg

c)

Tiempo

T

segundo

s

Temperatura

T

Kelvin

K

Intensidad de corriente

I

Ampere

A

Intensidad luminosa

Iu

Candela

cd

Cantidad de sustancia

n

Mol

Sistema Internacional:

Termodinámica: d) Electricidad: e) Iluminación (Óptica): f) Química: g)

mol

2. Las unidades derivadas son las que se forman combinando las fundamentales o bien las suplementarias, a través de relaciones algebraicas. Muchas de estas expresiones pueden ser reemplazadas por nombres y símbolos especiales, que se usan para formar otras unidades derivadas (superficie, volumen, velocidad, fuerza, etc.). 3. Las unidades suplementarias son aquellas sobre las cuales no se ha tomado la decisión de clasificarlas dentro de las fundamentales o dentro de las derivadas, como el radián (ángulo plano que corresponde a una longitud de arco igual al radio de la circunferencia “rad”; 1 rad = 57.2956°) y el estereorradián

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(ángulo sólido “sr”, subtendido –unir con una recta los extremos de un arco– en el centro de una esfera por un área A sobre su superficie que es igual al cuadrado de su radio R, es una cantidad adimensional). También son muy usados ciertos tipos de sistemas que hacen uso tanto de unidades absolutas como gravitacionales, a los que se denomina como sistemas técnicos o de ingeniería. Las unidades del Sistema Internacional pueden ser grandes o pequeñas para especificar los valores de cierta cantidad. Por tal razón es frecuente utilizar prefijos para indicar los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades. De tal manera, decir que una longitud es de 12 micrómetros equivale a decir 12 µm, y el prefijo micro indica un multiplicador de 10–6, es decir, 12 x 10–6 = 0.000012 m. Tabla de prefijos para indicar los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades

Nombre del prefijo

Símbolo

Factor multiplicador

Iota

Y

1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000

Zeta Exa Peta Tera Giga Mega kilo hecto deca deci centi

Z E P T G M k h da d c

mili

m

micro

µ

nano pico femto atto zepto iocto

n p f a z y

Nombre Cuatrillón

21

= 1 000 000 000 000 000 000 000

Mil trillones

18

= 1 000 000 000 000 000 000

Trillón

15

= 1 000 000 000 000 000

Mil billones

12

= 1 000 000 000 000

Billón

9

=

1 000 000 000

Mil millones

6

=

1 000 000

3

=

1 000

2

=

100

Cien

1

=

10

Diez

-1

=

0.1

Décimo

-2

=

0.01

Centésimo

-3

=

0.001

Milésimo

-6

=

0.000 001

Millonésimo

-9

=

0.000 000 001

Mil millonésimo

-12

=

0.000 000 000 001

Billonésimo

-15

= 0.000 000 000 000 001

Mil billonésimo

-18

= 0.000 000 000 000 000 001

Trillonésimo

-21

= 0.000 000 000 000 000 000 001

Mil trillonésimo

-24

= 0.000 000 000 000 000 000 000 001

Cuatrillonésimo

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Los prefijos impresos con negritas son los más utilizados

Millón Mil


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1.1.5 Método científico La ciencia, sin método, se convierte en una mera acumulación de datos sin sentido. El método ordena y proporciona al científico la oportunidad de pasar del mero registro de hechos a la postulación de hipótesis y teorías. Metodología de las ciencias es el estudio de los procesos y métodos de conocimiento aplicados por las distintas disciplinas del saber humano. Los diversos métodos comprenden, en general, la consideración de un conjunto de datos de partida, un sistema de operaciones ordenadas y resultados o conclusiones acordes con los objetivos iniciales del estudio. La Física, impulsada por los numerosos descubrimientos realizados en un espacio de tiempo proporcionalmente escaso, configuró una serie de metodologías de estudio que evolucionaron con los sucesivos avances científicos. Las restantes ciencias generalmente adoptan los métodos de la Física como modelos para los suyos propios, incorporando también los enunciados lógicos y matemáticos para la expresión de sus resultados. Genéricamente, pueden considerarse dentro de los métodos de estudio los procesos de razonamiento deductivo que se basan en la proposición de un conjunto de postulados previos de carácter global, a partir de los cuales se obtienen resultados aplicables a sucesos de naturaleza más restringida. Por su parte, la inducción o método apriorístico construye modelos y leyes desde casos particulares mediante mecanismos lógicos de generalización. Por otro lado, el enfoque analítico de las investigaciones científicas pretende descomponer sus aspectos más amplios en problemas de mayor sencillez y facilitar su acceso, el método sintético procede de modo opuesto; con el fin de obtener resúmenes, asociaciones de ideas y datos desde lo particular a lo complejo. Otros métodos adicionales de estudio son las definiciones exhaustivas del entorno, las subdivisiones y clasificaciones de los sistemas o de sus elementos, la consideración de los instrumentos de medida, las condiciones de variabilidad, etcétera. El método científico es un sistema, por así decirlo, para llegar a una conclusión, la cual puede tener la naturaleza de ser positiva, de acuerdo a nuestras expectativas, o bien puede ser de carácter negativo; sin embargo, cualquiera de las dos, después de repetidos intentos, nos llevará a la formulación de leyes o postulados, los cuales podrán ser probados varias veces. El método científico consta de varios pasos, que se inician con la observación de un suceso o fenómeno. Supongamos que tenemos frente a nosotros un acontecimiento; debido a nuestros sentidos (especialmente la vista) podemos observarlo y comenzar a cuestionarnos, iniciando el método de investigación, que nos llevará a resolver las preguntas que más nos atañen, siendo esencialmente el porqué y el cómo, dado el hecho de que conocemos la forma en que se realiza y su efecto, sin embargo, no conocemos su causa, la cual buscamos con ayuda de este método. A continuación de la observación sigue el paso de formular una hipótesis. En el ámbito de la especulación científica y filosófica, una decisión se debe tomar según las bases de datos útiles, aunque se toleran algunos grados de incertidumbre sobre la veracidad de la decisión. Si el modelo de probabilidad a partir de datos observados es conocido, se puede experimentar la hipótesis sobre él, lo que conduce a la pregunta de si un conjunto de datos puede proceder del modelo cuando la hipótesis es correcta. Así, los cuatro componentes: dato, modelo, hipótesis y decisión, son básicos en los problemas científicos.

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Una hipótesis es una suposición previa con respecto a una situación desconocida cuya verdad queda, por tanto, sujeta a investigación por un método adecuado, bien sea deducción lógica de consecuencias comprobables, investigación experimental directa, o búsqueda de hechos no conocidos y sugeridos por la hipótesis. En ella resulta fundamental la indagación sobre su verdad objetiva. Sin embargo, con frecuencia sólo es posible estimar la verdad de una hipótesis sobre una base de probabilidad. En muchos casos, una hipótesis nula, o no correcta, se forma a partir de suposiciones correctas. Cuando la hipótesis nula es rechazada, una hipótesis alternativa es aceptada en su lugar. La probabilidad de que un modelo lleve a esta acción cuando el verdadero valor del parámetro es la hipótesis alternativa, se denomina fuerza de la prueba. Si al probar una hipótesis se observa una decisión problemática, se diferencian dos posibles caminos: aceptar la nula o la alternativa. El riesgo se define como la pérdida esperada, dado el estado natural de la experimentación. En un problema determinado, las pruebas que tienen la mayor fuerza presentan el menor riesgo. En el significado práctico de la prueba, el investigador puede considerar que rechaza la hipótesis nula para estos casos. Tal concepto, denominado nivel descriptivo de significado o nivel nominal de significado, tiene la ventaja de aportar una visión más completa en la prueba y permitir al receptor de la información alcanzar su propio nivel de significado. Cuando los datos se pueden unir en bases continuas, las técnicas para probar una hipótesis intentan llegar a una decisión tan pronto como se registra una evidencia de la entidad suficiente. Dentro de la hipótesis se encuentran factores que son esenciales en la investigación y se conocen como variables, con las que estaremos trabajando en el siguiente paso del método científico. Dichas variables pueden ser de dos tipos: la independiente, que no presenta cambio alguno durante la experimentación y por ello determina a la segunda, la dependiente, que es la que podemos controlar con relación a nuestras inquietudes y necesidades, proporcionándonos la información que requerimos. Para comprobar la hipótesis se tiene que llevar a cabo la experimentación, que es fundamental en la búsqueda de explicaciones a los fenómenos naturales. En ella, lo que se lleva a cabo es una serie de pasos que se han planeado conforme a la hipótesis y de acuerdo a lo establecido por el investigador. El proceso que usualmente se sigue consiste en establecer un grupo muestra o de control y otro para la experimentación, en donde se lleva a cabo un conteo total de los individuos con los que se está tratando, o en su defecto, tener plena conciencia de los materiales con los cuales se está trabajando, tomándolos en cuenta para analizarlos de forma conveniente. Además de todo ello, el experimento se debe ir dando conforme se planificó, poco a poco, de forma medida y ordenada, de manera que no escape del control del investigador nada, ni siquiera un detalle, que podría ser esencial para probar su hipótesis. Después de la experimentación se realiza el análisis de resultados, que se obtiene sobre la base del experimento efectuado. Aquí, se consideran todos los parámetros que se obtuvieron, de manera que podamos estudiarlos en forma precisa. Este análisis es esencial en el método científico ya que de él depende que el investigador conozca o no las causas y los efectos de un cierto fenómeno de la naturaleza, que fue controlado para facilitar su estudio. El análisis de resultados presenta en su composición una serie de elementos como son las gráficas, donde se busca establecer una comparación entre ciertos patrones, de tal forma que, utilizando los conocimientos obtenidos con fundamentos matemáticos, sean fáciles de descifrar, pudiendo presentar datos esenciales, como peso, velocidad, aceleración, flujo, resistencia, etcétera. Dentro del análisis es necesario tener conocimiento de lo sucedido experimentalmente, por ello es indispensable que el investigador conozca el equipo con el que trabaja, y sobre la base de la precisión obtener sus conclusiones. Sin embargo, durante el proceso suele haber pequeñas imperfecciones dada nuestra calidad


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de seres humanos y de los materiales con los que trabajamos. Por ello, siempre que se lleva a cabo un análisis de resultados lo que se necesita es conocer ese error que ya sea por nuestra responsabilidad o por la de los instrumentos, no permite que el experimento sea 100% perfecto. A este tipo de errores se les conoce como errores aleatorios (debidos al investigador) y sistemáticos (a los instrumentos que utilizamos). También cabe destacar que gracias al avance científico esto ya no suele darse de forma tan pronunciada, por ello los descubrimientos en el campo de las ciencias son cada vez mejores y más exactos. Una vez analizado el experimento se obtiene la conclusión, donde se observa si la hipótesis que formulamos es correcta o no, es nula o positiva, y sobre esa base podemos llegar a una serie de postulados que nos ayudan a que, en caso de que aquél se repita, los resultados sean similares, razón por la cual el método es muy eficaz para encontrar principios y leyes, realizando el experimento no una, ni dos, sino “n” veces hasta comprobar que efectivamente los resultados obtenidos tienen el carácter de ser probables, de manera que se establezca una ley que explique el fenómeno, tanto en sus causas como en sus efectos, encontrándose así una especie de constante en la naturaleza que a su vez proporcione fórmulas y explicaciones tanto matemáticas como físicas para su repetición y buena medición.

1.1.6 Principales equivalencias utilizadas en Ingeniería Los estudiantes de ingeniería deben conocer y aplicar directamente las equivalencias básicas que se muestran en la siguiente tabla, para lograr mejores resultados de aprendizaje en sus cursos de Física y en general en su vida profesional. Existen otras equivalencias que serán analizadas en el desarrollo del programa de la asignatura de Física General. En la República Mexicana, el vocabulario de términos fundamentales y generales aprobados por la Ley Federal sobre Metrología y Normalización (20 de mayo de 1997) establece la nomenclatura señalada en la tabla de unidades fundamentales. Esta norma concuerda totalmente con el International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology. Second edition 1993, International Standard Organization (ISO). Observación: Los investigadores de Física han utilizado diferentes nomenclaturas para referirse a un mismo concepto, por ejemplo, para designar a las unidades de fuerza podemos encontrar cualquiera de las siguientes notaciones: →

kg , kg , kg f y kg Es por tal razón, que para los fines didácticos del curso de Física General y debido a la existencia de diversos títulos de textos académicos, los presentes apuntes están referidos a notaciones que facilitan el manejo de las expresiones matemáticas utilizadas con objeto de evitar su confusión; así tenemos que la unidad de masa se indicará como: kg o kgm y la unidad derivada de fuerza como kg :

kilogramo masa

= kg o kg m

kilogramo fuerza = kg

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Tabla de equivalencias

1) De longitud:

1 cm = 0.3937 pul g 1 m = 3.281 pie 1 pul gada = 2.54 cm 1 pie = 30.48 cm = 12 pul g 1 yarda = 3 pie = 914.4 mm 1 milla terrestre = 1,609 m 1 milla marina = 1,852 m 1 cm 2 = 0.155 pul g 2 1 pul g 2 = 6.452 cm 2 1 dm 3 = 1 litro 1 m 3 = 1,000 dm 3 2) De masa y fuerza (peso): 1 kg = 2.20462 lb 1 lb = 0.453599 kg 1 onza = 28.7 g

3) Aceleración de la gravedad terrestre en el nivel del mar: pie m g = 9.80665 2 = 32.174 2 s s

4) De presión:

Newton m2 1 atmósfera = 760 mm Hg = 29.92 pul g Hg = 10.33 m de H 2 O kg = 1.033 cm 2 = 101.3 kPa lb = 14.6959 pul g 2 1 Pascal = 1

1

lb kg = 0.07032 2 pul g cm 2

5) De calor:

1 cal = 4.1868 Joules 1 kcal = 3.96852 Btu 1 Btu = 0.25193 kcal kcal Btu = 1.802 kg m lbm Btu kcal 1 = 0.5556 lbm kg m 1

1.1.7 Leyes de Newton o del movimiento (dinámica) Primera ley Ley de Inercia: Todo cuerpo permanecerá en estado de reposo o de movimiento uniforme rectilíneo mientras no sea afectado por una fuerza externa. También puede interpretarse como “todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento si no actúa sobre él una fuerza”.

Segunda ley Una fuerza aplicada a un cuerpo le comunica una aceleración “ a ” en la misma dirección y sentido de la fuerza, directamente proporcional a ésta, e inversamente proporcional a la masa “ m ” del cuerpo.


a ∝

F ; m

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∝ significa “es proporcional a”

Si se escogen las unidades apropiadas, se puede escribir esta proporción como una ecuación:

Fuerza = masa x aceleració n

⇒

F =ma

Tercera ley Toda acción (fuerza) da origen a una reacción igual y contraria. Puede interpretarse como “a toda fuerza acción corresponde una fuerza reacción de igual intensidad pero de sentido contrario”.

Ley de gravitación universal Toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta fuerza actúa a lo largo de la línea que une a las dos partículas.

F ∝ G

m1 m 2 r2

m1 y m 2 : en kg m

F : en Newtons (N ) G = 6.673 x 10 −11

r : en metros (m)

N x m2 kg m

2

1.1.8 Conceptos fundamentales 1.1.8.1 Física. Es la ciencia que estudia las propiedades de la materia, de la energía y del espacio, así como las leyes que rigen a la naturaleza. También podemos decir que Física es la ciencia que estudia a la energía y sus transformaciones, siendo energía todo aquello capaz de producir un trabajo o provocar un cambio de estado, siendo el trabajo la acción de una fuerza aplicada sobre un objeto a lo largo de una distancia. La Física clásica, newtoniana, se divide en cinco ramas que corresponden a cinco grandes grupos de propiedades generales de los cuerpos. En un sexto apartado, los tratados de Física General introducen las nuevas concepciones de la Física, llamada Física moderna, que considera a la Teoría de la Relatividad y la Física Atómica y Nuclear. Las ramas de la Física Clásica son las siguientes: Mecánica (estática, cinemática y dinámica); Electricidad (electrostática, magnetostática, electrocinética, electromagnetismo, electrónica y electrotecnia); Óptica (óptica geométrica, fotometría y óptica física u ondulatoria); Acústica y Termología (termometría,

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calorimetría, termodinámica, teoría cinética de los gases y mecánica estadística). Cada una de ellas estudia a la energía y sus diversas manifestaciones, así como sus transformaciones de una forma a otra. 1.1.8.2 Materia. Es una sustancia extensa, divisible e impenetrable, susceptible de adquirir toda clase de formas y fundamentalmente puede presentarse en los estados físicos sólido, líquido o gaseoso, a los cuales también se les llama fases. Si se modifican las condiciones ordinarias de los cuerpos estos pueden pasar a un nuevo estado, por ejemplo, a) la descarga eléctrica de los gases a presiones muy bajas puede llegar a despojar totalmente a los átomos de sus electrones corticales (de su corteza) quedando únicamente los núcleos, la materia en este estado nuclear recibe el nombre de plasma, b) cuando las unidades estructurales de la materia (moléculas, átomos o iones) no pueden moverse libremente, sino que se encuentran vibrando alrededor de sus posiciones fijas se conoce como estructura cristalina, y el sólido que resulta, limitado por superficies planas dispuestas simétricamente, se define como un cristal, c) el estado coloidal es aquel que se presenta generalmente en forma amorfa o gelatinosa. 1.1.8.3 Masa ( m ) . Es la cantidad de materia que posee un cuerpo. También decimos que la inercia es la resistencia de los cuerpos a cambiar su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, por consiguiente podemos definir a la masa de un cuerpo como la medida de su inercia. 1.1.8.4 Fuerza ( F ) . Es toda acción que modifica el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo y se relaciona con la masa mediante la segunda ley de Newton:

F =ma

(expresión escalar)

Observación: En nuestro curso aplicaremos la expresión escalar anterior, sin embargo en forma general en Ingeniería se utilizan expresiones vectoriales, quedando la ecuación de la siguiente forma:

F =ma

(expresión vectorial)

1.1.8.5 Propiedad. Es una característica o atributo de la materia o del sistema que puede evaluarse cuantitativamente, como por ejemplo el volumen, la temperatura, la presión, la densidad, etc. Las propiedades que la materia posee dependen únicamente del estado o de la condición física del sistema, siendo independientes de la trayectoria seguida por la cual se hayan alcanzado. 1.1.8.5.1 Propiedad extensiva: Decimos que una propiedad es extensiva y le llamamos P si podemos subdividir a un sistema en “n” partes aunque sea en forma ideal, de tal manera que:

P=

n

∑ pi i =1

en donde pi es la propiedad de la partícula i-ésima. Por ejemplo, tenemos a la masa y al volumen total, también podemos decir que una propiedad extensiva es aquella que varía directamente con la masa. 1.1.8.5.2 Propiedad intensiva: Es aquella cuyo valor tiende a un límite finito y es independiente de la masa, como la densidad, la presión, la temperatura, el volumen específico, etcétera. 1.1.8.6 Estado. Es el conjunto de las propiedades que nos determinan la condición de la materia; al combinar las propiedades se obtiene un estado físico.


29

1.1.8.7 Trayectoria. Es el conjunto de estados sucesivos por los que pasa el sistema al efectuar cambios de estado entre los extremos, desde el estado inicial hasta el estado final. 1.1.8.8 Proceso. Es un cambio de las propiedades de un sistema en el que se conocen los estados inicial y final, la trayectoria y los fenómenos que suceden durante la misma. Si una o más propiedades cambian, se dice que el sistema ha sufrido un proceso, es decir, ha habido un cambio de estado. Frecuentemente en un proceso se especifica una propiedad particular y la relación algebraica o ecuación que guarda con el resto de las propiedades. 1.1.8.9 Ciclo. Un ciclo se refiere al movimiento completo de ida y vuelta desde un punto inicial y de regreso a ese mismo punto. El periodo T se define como el tiempo requerido para efectuar un ciclo completo. Finalmente, la frecuencia f es el número de ciclos completos realizados en la unidad de tiempo y se especifica generalmente en hertz (Hz) donde: 1 Hz = 1 ciclo por segundo. La frecuencia y el periodo están inversamente relacionados por la expresión:

f =

1 ciclo ⎞ ⎛ ⎜ 1 Hz = ⎟ s ⎠ ⎝

1 T

Un ciclo, por lo tanto, es una serie de cambios de estado en el que el estado final es idéntico al estado inicial y puede incluir varios procesos. Cuando cierta masa de fluido en un estado particular pasa por una serie de procesos y regresa a su estado inicial, se realiza un ciclo. En nuestro curso estudiaremos estados de equilibrio que se definen como aquellos en los que un sistema no puede cambiar de estado si no está sujeto a interacciones con otras propiedades del mismo.

1.1.9 Sistema Un sistema se define como una cantidad de materia de masa fija sobre la cual se enfoca la atención para su estudio. Cualquier elemento o sustancia externa al sistema se llama espacio exterior y el sistema está separado de dicho espacio por los límites del sistema o frontera, estos límites pueden ser fijos o movibles. 1.1.9.1 Sistema cerrado. Es el sistema que contiene una cantidad fija e invariable de materia y solamente puede cruzar la energía a través de la frontera.

F Tope

Tope Pesas

Émbolo o pistón

Límite del sistema

Gas

Sistema cerrado

30


En el análisis termodinámico, si colocamos una flama bajo el dispositivo que muestra la figura anterior, la temperatura del gas se incrementará y el émbolo o pistón sube, por tal razón la frontera del sistema se mueve y se incrementa el volumen del cilindro, permitiendo un cambio de energía calorífica a trabajo mecánico, pero manteniéndose fija la cantidad de materia. El concepto de superficie de control es equivalente al de frontera de un sistema cerrado. 1.1.9.2 Sistema abierto. Es aquel que permite tanto el paso de la energía como de la masa a través de su frontera. El concepto de volumen de control es equivalente al de frontera de un sistema abierto. Calor Entrada de aire a baja presión

Salida de aire a alta presión

Superficie de control

Trabajo

Compresor de aire

Motor

Sistema abierto: (volumen de control)

1.2 Ecuaciones dimensionales y sistemas de unidades M = Masa

L = Longitud

T = Tiempo

1.2.1 Ecuaciones dimensionales Asociada con cada cantidad medida o calculada hay una dimensión (naturaleza física de una cantidad). Las unidades en las que se expresan las cantidades no afectan la dimensión de las mismas. Toda ecuación debe ser dimensionalmente compatible, esto es, las dimensiones en ambos lados (miembros) de la igualdad deben ser las mismas. Al hablar de las dimensiones de una cantidad, nos referimos al tipo de unidades o cantidades básicas que la constituyen. Por ejemplo, las dimensiones de un volumen son siempre una longitud al cubo, que se abrevia [ L3 ] usando corchetes; las unidades pueden ser metros cúbicos, pies cúbicos, etc. Por otra parte, la velocidad puede medirse en unidades de m/s, km/h, pie/s, etc., pero las dimensiones son siempre una longitud [ L ] dividida entre un tiempo [ T ]; es decir [ L / T ] o también se puede escribir [ L T –1 ]. La fórmula para una cantidad puede ser diferente en casos distintos, pero las dimensiones permanecen iguales. Cuando especificamos las dimensiones de una cantidad, usualmente lo hacemos en términos de cantidades básicas, no de cantidades derivadas. Por ejemplo, la fuerza [ F ] con relación a la segunda ley de Newton, tiene las mismas unidades que la masa [M] multiplicada por la aceleración [LT –2 ] y tiene las dimensiones [M L T –2 ]. Las dimensiones son útiles para establecer relaciones, a este procedimiento se le llama análisis dimensional y su uso es útil para verificar si una relación es correcta.


31

Ejemplo 1.1: Investigar si las expresiones siguientes son dimensionalmente correctas: a)

s = v 0 t + 12 g t 2

b) v f = v 0 + g t en donde: s = espacio o longitud v 0 = v elocidad inicial v f = v elocidad final

[L ]

[L T ] [L T ] −1

−1

g

= aceleración de la gravedad

t

= tiempo

[T ]

[L T ] −2

Solución: a) Dada la expresión s = v 0 t + 12 g t 2 escribamos la ecuación dimensional como sigue:

[ L ] = ⎡⎢ L ⎤⎥ [ T ] + ⎡⎢ L2 ⎤⎥ [T 2 ] ⎣T ⎦ ⎣T ⎦ [L ]=[L ]+[L ] ∴

[L ] = [L ]

Las dimensiones son correctas para ambos miembros de la ecuación. b) Dada la expresión v f = v 0 + g t escribamos la ecuación dimensional como sigue: ⎡L ⎢⎣ T ⎡L ⎢⎣ T

⎤ ⎡L⎤ ⎡ L ⎤ ⎥⎦ = ⎢⎣ T ⎥⎦ + ⎢⎣ T 2 ⎥⎦ [ T ] ⎤ ⎡L⎤ ⎡L⎤ ⎥⎦ = ⎢⎣ T ⎥⎦ + ⎢⎣ T ⎥⎦

⎡L⎤ ⎡L⎤ ∴ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣T ⎦ ⎣T ⎦ Las dimensiones son correctas para ambos miembros de la ecuación.

1.2.2 Sistemas de unidades Los sistemas de unidades se originaron como consecuencia de la necesidad de tener una forma de medición. El desarrollo del sistema inglés comenzó en el siglo XIII y se difundió por todo el mundo debido a la actividad comercial y a la colonización del imperio británico. El sistema métrico se originó en Francia aproximadamente hace 300 años y fue formalizado alrededor de 1790, durante la

32


Revolución Francesa. El sistema métrico se revisó con mayor profundidad alrededor de 1950 y se adoptó oficialmente en 1960 llamándolo Sistema Internacional de Unidades (SI), el cual es un sistema métrico mejorado que presenta nuevos aspectos y simplificaciones. La masa, la longitud, el tiempo y la fuerza son los conceptos básicos de la mecánica para los cuales se necesitan unidades de medición. Sin embargo, solo tres de esas cantidades son independientes ya que las cuatro están relacionadas por la segunda ley del movimiento de Newton. El Sistema Internacional de Unidades, igual que el sistema métrico original, se basa en las cantidades fundamentales de masa, longitud y tiempo. La fuerza se deriva de la segunda ley de Newton. El SI se clasifica como un sistema absoluto de unidades porque las mediciones de las tres cantidades fundamentales son independientes de las posiciones en que se hacen; es decir, no dependen de los efectos de la gravedad. Por lo tanto, las unidades del SI para masa, longitud y tiempo pueden usarse en cualquier parte de la Tierra, en el espacio, sobre la Luna o en otro planeta. La unidad de fuerza se define como la fuerza requerida para impartir a una cierta masa una aceleración igual a la de la gravedad, lo que implica que varía con la posición y la altitud. Por esta razón, esos sistemas se llaman sistemas gravitatorios de unidades (o sistemas gravitacionales o técnicos). La fuerza obtenida de la segunda ley de Newton tiene las siguientes unidades: F = m a

kg m x

por lo tanto sus dimensiones son:

kg m x m m = 2 s s2

[ F ] = [ M L T −2 ]

Para analizar un sistema de unidades la Comisión Internacional de Pesas y Medidas estableció el sistema internacional “SI”, en el cual se considera al metro, al kilogramo y al segundo como unidades base. Sin embargo, las unidades del SI no han sido totalmente adoptadas en muchas aplicaciones industriales, siendo costosas las conversiones a gran escala y particularmente en aplicaciones mecánicas y térmicas, por lo que se requiere de algún tiempo para su utilización total, y prácticamente se sigue usando el sistema inglés, que considera al pie, a la libra y al segundo. En un sistema de unidades con relación a la segunda ley de Newton podemos hacer intervenir a los conceptos de: F (Fuerza), M (Masa), L (Longitud) y T (Tiempo) definiendo tres de dichos parámetros mediante la siguiente clasificación: 1. Sistema absoluto: ( M L T ) en el que será necesario hallar F. 2. Sistema gravitacional o técnico: ( F L T ) en el que hallaremos a M.


1.2.2.1 Sistema absoluto: F = m a

g m = g r a mo masa

( M L T −2 ) lbm = libra masa

kg m = k il o g r a mo masa

g = g r a mo fuerza kg = k il o g r a mo fuerza a = aceleración unitaria

lb = libra fuerza

De la segunda ley de Newton: Sistema

F =ma

cgs

F = 1 gm x 1

cm g x cm =1 m 2 2 s s

(1 Dina )

MKS

F = 1 kg m x 1

kg x m m =1 m 2 2 s s

(1 Newton )

Inglés F P S

F = 1 lbm x 1

lb x pie pie =1 m 2 2 s s

( 1 Poundal )

1.2.2.2 Sistema gravitacional o técnico: m =

Sistema

cgs

MKS

Inglés F P S

F a

( F L−1 T 2 )

De la segunda ley de Newton: m =

m=

g x s2 1g =1 cm cm 1 2 s

m=

kg x s 2 1 kg =1 = 1 UTM m m 1 2 s

m=

1 lb lb x s 2 =1 = 1 Slug pie pie 1 2 s

Nota: La Unidad Técnica de Masa (UTM) también es llamada Geokilo

F a

( sin especifica r )

33

34


Ejemplo 1.2: ¿A cuántas dinas equivale un newton? Solución: Fórmula:

Equivalencias:

F =ma

1 dina = 1 1N =1

g m x cm s2

kg m x m s2

por tanto:

1N =1

kg m x m 1,000 g m 100 cm g x cm x x = 100,000 m 2 2 1 kg m 1m s s

1 N = 100,000 dinas

1.3 Aceleración de la gravedad y peso de un cuerpo 1.3.1 Aceleración de la gravedad terrestre ( g ) Todos los cuerpos en el mismo lugar de la Tierra caen con la misma aceleración si no hay resistencia del aire (en el vacío) siendo uno de los ejemplos más comunes del movimiento uniformemente acelerado. Además, si la distancia de la caída es pequeña (pocos metros) en comparación con el radio de la Tierra, entonces la aceleración permanece constante durante toda la caída. Este movimiento ideal, en el que la resistencia del aire no es significativa y la aceleración es casi constante, se denomina caída libre. La contribución de Galileo Galilei, físico y astrónomo italiano (1564-1642) para el entendimiento del movimiento de caída de los cuerpos, se puede resumir como sigue: En un lugar dado de la Tierra y en ausencia de resistencia del aire, todos los objetos caen con la misma aceleración constante. La aceleración de un cuerpo en caída libre se denomina aceleración debida a la gravedad, cuya magnitud se denota por el símbolo “g ”, se encuentra dirigida hacia el centro de la Tierra y disminuye a medida que aumenta la altura sobre un nivel o plano de referencia; g es menor en la cima de una montaña que a nivel del mar, es decir, g varía ligeramente con la altura. Dado que la aceleración gravitacional g es una aceleración constante para un lugar determinado, se le aplican las mismas leyes generales del movimiento, que son las siguientes:

s=

v f − v0

t 2 v f = v0 + g t

s = v 0 t + 12 g t 2

2 g s = v 2f − v 02


35

En el ejemplo 1.1 se indicó la notación de las variables anteriores. Observamos que, para la caída de los cuerpos, el cuerpo móvil parte del reposo y v 0 = 0 , y si sabemos que el espacio s puede ser representado por la altura h, entonces: b) v = g t ;

a) h = 12 g t 2 ;

c) v 2 = 2 g h

Cualquier objeto se acelera al caer, aunque no esté en contacto físico con otro cuerpo. Para explicar este comportamiento es necesario conocer el concepto de fuerzas gravitacionales o gravitatorias, que son aquellas que un cuerpo (por ejemplo la Tierra) ejerce sobre otro, a pesar de que ambos estén separados. La atracción gravitacional de dos objetos depende de sus masas y de la distancia que los separa (ver tema 1.1.7). El valor de la aceleración de la gravedad en el nivel del mar (NM) y 45° de latitud (distancia desde un punto de la superficie terrestre al Ecuador, contada en grados sobre el meridiano; varía de 0° a ± 90°, siendo positiva en el hemisferio norte y negativa en el sur) es:

g NM = 9.80665

m s2

o

g NM = 32.174

pie s2

Para efectuar los cálculos en problemas de ingeniería en forma práctica se consideran los valores aproximados: g NM = 9.81

m s2

o g NM = 32.17

pie . s2

En la Ciudad de México, a una altura aproximada de 2,200 m sobre el nivel del mar

g Cd . Méx. = 9.7806

m , a medida que nos alejamos del centro de la Tierra el valor de la constante s2

gravitatoria g disminuye.

1.3.2 Peso de un cuerpo ( w ) Es la fuerza con la que un cuerpo es atraído hacia el centro de la Tierra en virtud de la aceleración de la gravedad. La segunda ley de Newton, cuya ecuación es F = m a , se utiliza para todos los casos en los cuales se produce un movimiento de un cuerpo (acelerado o retardado) al aplicarle una fuerza variable en magnitud, dirección y sentido, lo que se traduce en una aceleración también variable. Ahora consideremos esta ley y la fuerza de gravedad, sustituyendo la aceleración a por la constante debida a la gravedad g. Entonces la fuerza F que actúa sobre un objeto, cuya magnitud se llama peso, puede escribirse como:

Fg = m g La dirección de esta fuerza es hacia el centro de la Tierra y se puede sustituir Fg por el símbolo w que para caída libre se refiere al peso del cuerpo, de tal forma que tenemos la expresión:

w=m g

36


La ecuación anterior es un caso particular de la segunda ley, ya que un cuerpo está sujeto a caída libre por la atracción terrestre de la aceleración de la gravedad g. Es importante indicar que en el nivel del mar, se considera que un litro de agua químicamente pura tiene una masa de 1 kg m y un peso de 1 kg a una temperatura de 4°C y una atmósfera de presión, por lo que en la medida que nos alejemos del centro de la Tierra dicho volumen de agua siempre tendrá la misma masa, pero su peso variará con relación a la altura en la que se encuentre sobre el nivel del mar (ver tema 1.3.4).

1.3.3 Constante de proporcionalidad ( g c ) En ocasiones, los resultados obtenidos al resolver un problema no especifican las unidades que comúnmente requerimos, siendo necesario efectuar algunas conversiones que nos permitan disponer de esas unidades en la forma que con mayor frecuencia se presentan para su aplicación práctica. Para tal efecto, podemos utilizar la constante de proporcionalidad g c , que al aplicarse en una ecuación nos permite trabajar con las unidades deseadas en los problemas de ingeniería. La constante de proporcionalidad g c se obtiene de la siguiente manera: 1) Recordemos que de la segunda ley de Newton se tienen las ecuaciones:

F = ma

w= mg

y

2) Sabemos que la aceleración de la gravedad en el nivel del mar es:

g = 9.81

m s2

3) Sustituyendo la unidad de masa en la ecuación: w = m g

w = 1 kg m x 9.81

kg x m m = 9.81 m 2 = 9.81 Newton 2 s s

4) La unidad anterior recibe el nombre de 1 kg , es decir: 1 kg = 9.81

que también puede expresarse como: 1 = 9.81

kg m x m s2

kg m x m kg x s 2

entonces la equivalencia anterior nos representa a la constante gravitacional g c que tiene los valores siguientes en el SI y en el sistema inglés: en el sistema internacional SI:

g c = 9.81

kg m x m kg x s 2


g c = 32.174

en el sistema inglés:

37

lbm x pie lb x s 2

por tanto, para que dimensionalmente tengan las unidades descritas, las expresiones de la segunda ley de Newton requieren de la constante gravitacional g c , quedando de la siguiente forma:

F=

ma gc

y

w=

mg gc

Ejemplo 1.3: Demostrar la equivalencia entre el sistema internacional y el sistema inglés de la aceleración de la gravedad terrestre g en el nivel del mar. Solución: En el SI: g NM = 9.80665

m s2

De la equivalencia: 1 pie = 30.48 cm

g = 9.80665

1 pie pie m x = 32.174 2 2 0.3048 m s s

g = 32.174

pie s2

Ejemplo 1.4: Nos encontramos en un lugar al nivel del mar y tenemos un cuerpo cuya masa es de 60 kg m , hallar su peso en kg . Solución: En forma directa hacemos la sustitución de los datos proporcionados en la ecuación:

w= mg

w = 60 kg m x 9.81

kg x m m = 588.6 m 2 = 588.6 Newton 2 s s

38


La solución es correcta, pero no corresponde a las unidades solicitadas, por lo que podemos aplicar a la ecuación la constante g c , quedando como sigue:

w=

w=

mg gc

m s 2 = 60 kg kg x m 9.81 m 2 kg x s

60 kg m x 9.81

Ejemplo 1.5: Un cuerpo que tiene una masa de 60 kg m se encuentra en la Ciudad de México, en donde la aceleración de la gravedad es g = 9.78 m s 2 , hallar su peso en kg . Solución: En forma directa sustituimos los datos proporcionados en la ecuación: w =

w=

mg gc

m s 2 = 59.81 kg kg x m 9.81 m 2 kg x s

60 kg m x 9.78

Del problema anterior observamos que los pesos de los cuerpos varían con relación al lugar en donde se encuentren, dependiendo de los valores que se determinen para la aceleración gravitacional. Conociendo los valores de la constante de aceleración de la gravedad terrestre en el nivel del mar, se definen las unidades de fuerza y de masa, en los sistemas absoluto y gravitacional.

1.3.4 Unidades de fuerza: Sistema absoluto F =ma

y

w = mg

( M L T −2 )

F = ma Sistema

cgs

Para caída libre w es el peso del cuerpo: w = m g

1 g = 1 g m x 981

g x cm cm = 981 m 2 = 981 Dinas 2 s s

MKS

1 kg = 1 kg m x 9.81

kg m x m m = 9 . 81 = 9.81 Newton s2 s2

Inglés F P S

1 lb = 1 lbm x 32.17

lb x pie pie = 32.17 m 2 = 32.17 Poundal 2 s s


Ejemplo 1.6: ¿A cuántas dinas equivale un kg ? Solución: Fórmula:

Equivalencias:

F =ma

1 kg = 9.81 N 1 N = 100,000 dinas

por tanto: 1 kg = 9.81 N x

100,000 dinas = 981,000 dinas 1N

1 kg = 981,000 dinas

1.3.5 Unidades de masa: Sistema gravitacional o técnico m=

m= Sistema

F a

y

m=

w g

( F L−1 T 2 )

F a

Para caída libre:

m=

w g

cgs

1 gm =

1g 1 g x s2 1 g x s2 = = cm 981 cm 981 cm 981 2 s

MKS

1 kg m =

1 kg 1 kg x s 2 1 kg x s 2 1 = = = UTM m 9 . 81 9 . 81 9 . 81 m m 9.81 2 s

Inglés F P S

1 lbm =

1 lb 32.17

pie s2

=

(sin especifica r )

1 lb x s 2 1 1 lb x s 2 = = Slug 32.17 pie 32.17 32.17 pie

39

40


Ejemplo 1.7: Una masa de 1.7 kg m es acelerada por medio de una fuerza de 6 kg , hallar dicha aceleración en

m pie y . 2 s s2

Datos:

Fórmulas:

Constantes y equivalencias:

m = 1.7 kg m

F = ma

g c = 9.81

F = 6 kg

F=

ma gc

kg m x m kg x s 2

1 kg = 9.81 N

a=? Solución: Si: a =

a=

F m

6 kg kg = 3.539 1.7 kg m kg m

Estas unidades no son de uso frecuente, entonces utilizamos la expresión que contiene a g c :

a=

F gc m

6 kg x 9.81 a=

a = 34.62

kg m x m kg x s 2

1.7 kg m

= 34.62

m s2

1 pie pie m x = 113.51 2 2 0.305 m s s

Ejemplo 1.8: ¿Qué fuerza es aplicada a una masa de 2 kg m , cuando se desplaza a 3.4 m s 2 ? Datos:

Fórmula:

Constante:

F =?

F = ma

g c = 9.81

m = 2 kg m a = 3.4 m s 2

kg m x m kg x s 2


41

Solución:

F = ma

F = 2 kg m x 3.4

kg m x m m = 6 . 8 = 6.8 N s2 s2

si aplicamos g c tenemos: F =

ma gc

m s 2 = 6.8 kg = 0.69 kg F= kg x m 9.81 9.81 m 2 kg x s 2 kg m x 3.4

Ejemplo 1.9: Calcular la fuerza debida a la gravedad sobre 1 kg m , en un lugar donde la aceleración de la gravedad sea de 9.15 m s 2 . Datos:

Fórmulas:

w=? m = 1 kg m m g = 9.15 2 s

F = ma w= mg mg w= gc

Solución: Por tratarse de un problema en donde se considera a la gravedad terrestre, podemos hablar de caída libre y por tal razón también de peso, si: w = m g

w = 1 kg m x 9.15

w = 9.15 N x

kg x m m = 9.15 m 2 = 9.15 N 2 s s

1 kg = 0.9327 kg 9.81 N

Ejemplo 1.10: La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es de 3.74 m s 2 , la masa de un hombre determinada en la Tierra es de 168 lbm : a) ¿Cuál será su peso en lb sobre la superficie de Marte? b) ¿Cuál será la fuerza de atracción dada en newton que ejercerá la gravedad de Marte sobre esta persona?

42


Datos:

Fórmula:

w=?

w=

g Marte = 3.74

Equivalencias:

mg gc

1 N =1

m s2

kg m x m s2

1 kg = 9.81 N

mTierra = 168 lbm Solución: a) Considerando a la masa constante m = 168 lbm , calculemos el valor del peso en Marte:

w=

mg gc

m s 2 x 1 pie = 64.036 lb w= lb x pie 0.305 m 32.17 m lb x s 2 168 lbm x 3.74

b) El peso del hombre en lb se transforma a newton, obteniendo la fuerza de atracción de la gravedad de Marte en el SI:

w = 64.036 lb x

1 kg 9.81 N x = 284.946 N 2.2046 lb 1kg

1.4 Densidad, densidad relativa, peso específico y volumen específico 1.4.1 Densidad ( ρ ) También llamada masa específica, es aquella que nos representa la relación que guarda la masa con respecto a su volumen total y se representa con la letra ρ (ro).

Densidad =

masa Volumen

⇒

ρ=

m V

Las unidades de volumen que se utilizan con mayor frecuencia son: m 3 , dm 3 , cm 3 , pie 3 y pul g 3


43

3 3 ⎧ 1 m = 1,000 dm recordemos que: ⎨ 3 ⎩ 1 dm = 1 litro

Por lo tanto, las unidades usadas frecuentemente para la densidad son:

kg m kg m gm lbm lbm , , , y 3 3 3 3 m dm cm pie pul g 3 Ejemplo 1.11: ¿Cuál será la densidad en kg m dm 3 del material de un objeto de forma irregular si al sumergirse en un cilindro con líquido el nivel de este sube 2 cm; el peso del objeto es de 6.4 kg y el diámetro de la sección de dicho cilindro es de 20 cm, en un lugar donde g = 9.7 m s 2 ? Datos:

Fórmulas:

ρ =?

ρ=

h = 2 cm w = 6.4 kg D = 20 cm ( r = 10 cm ) m g = 9.7 2 s

V =π r h w = mg

Figura

m V

2 cm

2

w = 6.4 kg

20 cm

Solución: 1) Hallar el volumen del objeto: V = π r 2 h

V = 3.1416 (10 cm) 2 (2 cm) = 628.32 cm 3 = 0.62832 dm 3 2) Hallar la masa del objeto: m =

m=

w g

6.4 kg kg x s 2 = 0.659 = 0.659 UTM m m 9 .7 2 s

recordemos que: 1 UTM = 9.81 kg m

∴ ρ=

9.81 kg m kg 0.659 UTM = 10.294 m3 x 3 1 UTM 0.62832 dm dm


44

Densidades de algunas sustancias a 0°C y 1 atmósfera de presión

Sustancia

Densidad ρ ( gm / cm3 )

Densidad ρ ( Kgm / m3 )

Sólidos

Sustancia

Densidad ρ ( gm / cm3 )

Densidad ρ ( Kgm / m3 )

Líquidos

Madera

0.5 a 0.8

500 a 800

Éter

0.713

713

Hielo

0.92

920

Gasolina

0.700-0.745

700 a 745

Concreto

2.30

2,300

Acetona

0.792

792

Vidrio

2.60

2,600

Alcohol etílico

0.789

789

Aluminio

2.70

2,700

Aguarrás

0.870

870

Mármol

2.70

2,700

Benceno

0.878

878

Zinc

7.10

7,100

Aceite de olivo

0.916

916

Fierro

7.40

7,400

Agua (4°C)

1.000

1,000

Hierro y acero

7.80

7,800

Agua de mar

1.029

1,029

Bronce

8.50

8,500

Leche

1.029

1,029

Latón

8.70

8,700

Glicerina

1.264

1,264

Cobre

8.90

8,900

Mercurio

13.600

13,600

Plata

10.50

10,500

Plomo

11.30

11,300

Gases

( gm / cm3 )

( Kgm / m3 )

Oro

19.30

19,300

Hidrógeno

0.000090

0.090

Platino

21.40

21,400

Helio

0.000178

0.178

Nitrógeno

0.001260

1.260

Aire

0.001290

1.290

Oxígeno

0.001430

1.430

1.4.2 Densidad relativa ( ρ rel ) Es la relación que guarda la densidad de un material cualquiera con respecto a la densidad del agua y es una cantidad adimensional.

Densidad relativa =

densidad del material densidad del agua

sabemos que para el agua:

ρH O =1 2

kg m dm 3

⇒

ρ rel =

ρ mat ρH O 2


45

Ejemplo 1.12: ¿Cuál será la masa de 2.5 cm 3 de aceite, si su densidad relativa es igual a 0.8? Datos:

Fórmulas:

m=?

ρrel =

V = 2.5 cm 3

ρ rel = 0.8

ρ=

Equivalencia:

ρmat ρH2O

ρH O = 1 2

kg m dm 3

m V

Solución: 1) Hallar el valor de la densidad del material: ρ mat = ρ rel x ρ H 2O

ρ mat = 0.8 x 1

kg m kg = 0.8 m3 3 dm dm

2) Hallar la masa del material: m = ρ V

kg m kg m 1 dm 3 1 dm 3 3 x 2.5 cm 3 x x 2.5 cm = 0.8 x m = 0 .8 3 3 3 3 dm dm 1,000 cm (10 cm) = 0.002 kg m = 2 g m

1.4.3 Peso específico ( γ ) Nos proporciona la relación del peso w de la masa de un cuerpo con relación a su volumen total y se representa con la letra γ (gamma).

Peso específico =

peso Volumen

γ =

⇒

w V

Por lo tanto las unidades usadas frecuentemente para indicar el peso específico son:

kg kg g lb , , , 3 3 3 m dm cm pie 3

y

lb pul g 3

Para los problemas de caída libre en donde se considera el peso de los materiales, o para aquellos contenidos en un sistema cerrado (considerando a los líquidos y a los gases y entre ellos a la atmósfera terrestre) tenemos de las ecuaciones:

46


w V

γ =

sustituyendo: γ =

y

w=m g

mg m = g=ρg V V

∴ γ =ρg

1.4.4 Volumen específico ( v ) Corresponde al recíproco de la densidad de un cuerpo, es decir, es la relación del volumen total con respecto a su masa.

volumen específico =

Volumen total masa

⇒

v=

V m

o

v=

1

ρ

Por lo tanto las unidades usadas frecuentemente para indicar el volumen específico son:

m 3 dm 3 cm 3 pie 3 , , , kg m kg m g m lbm

y

pul g 3 lbm

Ejemplo 1.13: ¿Cuál será el volumen específico de 15 kg m de un gas contenido en un recipiente, cuyo

dm 3 pie 3 volumen es de 3.2 m ? Obtener el resultado en y en . kg m lbm 3

Datos:

Fórmulas:

v=?

v=

m = 15 kg m

v=

V m 1

ρ

V = 3.2 m 3 Solución:

v=

3 .2 m 3 1000 dm 3 m3 dm 3 x = 0.213 = . 213 33 kg m 15 kg m kg m 1 m3

Equivalencias:

1 m 3 = 1,000 dm 3 1 pie = 3.05 dm


47

1 kg m dm 3 (1 pie ) 3 pie 3 v = 213.33 = 3.41 x x kg m (3.05 dm) 3 2.2046 lbm lbm Ejemplo 1.14: Un cubo de 3 pies de lado se llena con un líquido cuya densidad es 60 lbm pie 3 , calcular el volumen total del líquido, su masa en kg m y en UTM, así como su volumen específico en

pie 3 lb m . Datos:

Fórmulas:

Equivalencia:

V =?

F = ma m ρ= V V v= m

1 UTM = 9.81 kg m

L = 3 pie

ρ = 60

lbm pie 3

Solución: 1) Hallar el volumen del cubo: V = L3

Vcubo = (3 pies ) 3 = 27 pies 3 2) Hallar la masa del líquido contenido en el cubo: m = ρ V

m = 60

lbm 1 kg m x 27 pie 3 = 1,620 lbm x = 734.82 kg m 3 pie 2.2046 lbm

m = 734.82 kg m x

1 UTM = 74.90 UTM 9.81 kg m

3) Hallar el volumen específico: v =

v=

27 pie 3 pie 3 = 0.016 1,620 lbm lbm

V m

48


1.5 Presión, presión atmosférica, presión relativa, presión absoluta, principio de Arquímedes, principio de Pascal, principio fundamental de la hidrostática, manometría 1.5.1 Presión En un sistema físico, llamamos presión a la acción o fuerza que actúa directamente y en forma normal (perpendicular) contra la unidad de superficie o área y se expresa como la relación:

Presión =

Fuerza Área

⇒

P=

F A

P dA

dF = P dA cosθ

θ x

Componente horizontal de la fuerza sobre una superficie curva

V

F V − ∆V

Cubo que se comprime en todos los lados por medio de fuerzas normales a sus seis caras

El valor de la presión depende de los módulos de la componente perpendicular del vector fuerza y de la superficie sobre la que actúa. En caída libre se puede obtener la expresión: Presión =

peso Área

⇒

P=

w A


Ahora multipliquemos numerador y denominador por una misma altura h :

P=

Fh Fh = Ah V

sustituyendo en la ecuación anterior el peso w en lugar de la fuerza F , para caída libre tenemos:

P=

wh V

de la ecuación de peso específico: γ =

P=

w V

wh w = h =γ h = ρ gh V V

P =γ h P = ρ gh

Se llaman baria, bar y Pascal a las unidades de presión definidas por:

dina cm 2 newton 1 bar = 10 = 1,000,000 barias cm 2 newton ( 1 Pa ) 1 Pascal = 1 m2 1 baria

= 1

Las unidades que con mayor frecuencia se utilizan para indicar el concepto de presión son:

Ton Ton kg kg lb , , 2, , , atm , kPa (kilopascal ) y MPa (Megapascal ) 2 2 2 m cm m cm pul g 2 Las equivalencias entre las unidades del sistema internacional e inglés para la presión son:

1 atmósfera = 10.33 m de H 2O = 760 mm de Hg = 29.92 pulg de Hg

= 1.033

kg lb = 101.3 kPa = 14.7 2 pul g 2 cm

49

50


1.5.2 Presión atmosférica, presión relativa y presión absoluta Cuando tratamos con líquidos y gases nos referimos ordinariamente a su presión; con sólidos usamos el término esfuerzo. Las presiones pueden expresarse con referencia a un origen, siendo los más comunes el vacío absoluto y la presión atmosférica local, por lo que reciben el nombre de presión absoluta y presión atmosférica, respectivamente. Como indicamos, las unidades de presión más frecuentemente utilizadas en Física son el embargo en la industria se expresa la presión en

kg lb y , sin 2 pie 2 m

lb kg y 2 cm pul g 2

También se acostumbra representar en algunos casos a la presión por la altura que alcanza un líquido determinado, este modo de expresar las presiones nos sirve para interpretar con claridad la unidad llamada “atmósfera”, que es igual a la presión que produce una columna de mercurio de una altura de 760 mm; columna que equilibra a la presión atmosférica en el nivel del mar (experimento de Evangelista Torricelli, matemático y físico italiano 1608-1647). Dicha presión se obtiene por medio de un barómetro (baros, peso, y metron, medida).

γ = 1.293

El peso específico del aire es:

g dm 3

1 atmósfera 760 mm. de mercurio 10.33 m. de agua 1.033 kg/cm2 14.7 lb/pulg2

Presión absoluta

Presión manométrica

2 Presión atmosférica normal Presión atmosférica local Negativa succión { Presión vacuométrica vacío Lectura local del barómetro

1 Presión absoluta Cero absoluto (vacío total)

Unidades y escalas de medida de la presión

La presión que se ejerce sobre una superficie para un sistema cerrado o presión interna no siempre es positiva, ya que también se puede producir el vacío o presión negativa. La primera se mide con un manómetro (presión manométrica) y la segunda con un vacuómetro (presión vacuométrica). La expresión que se usa para hallar la presión absoluta es:


51

Pabs = Patm + Prel por tanto: Prel = Pabs − Patm Considerando que la presión relativa puede ser manométrica o vacuométrica, la figura anterior nos permite ilustrar los conceptos de presión absoluta, presión relativa y vacío. Es frecuente indicar las presiones relativas y absolutas en el sistema inglés de la siguiente forma:

1 psi = 1

lb relativa pul g 2

y

1 psia = 1

lb absoluta pul g 2

1.5.3 Principio de Arquímedes En la actualidad no nos causa asombro observar que cuerpos más pesados que el agua y el aire floten en ellos. Vemos con naturalidad que enorme buques, cuyos pesos sobrepasan las 100,000 toneladas, recorren los mares a grandes velocidades. Un trozo de corcho o de madera seca colocado sobre el agua flota, lo cual no sucede con un trozo de plomo, pero si laminamos éste y le damos la forma de un barquichuelo, también lograremos que flote en el agua. Estos hechos nos indican las condiciones para que los cuerpos floten, y en dichos fenómenos el peso del cuerpo está equilibrado por el empuje del líquido. Colguemos de un dinamómetro un trozo de roca, anotemos el peso que registra el aparato; si ahora se introduce la roca en el agua, el dinamómetro indicará un peso menor, esta diferencia es igual al peso del líquido desplazado. Utilizando un vaso con tubo de derrame, se confirma que el peso del líquido desalojado es igual al concepto denominado empuje E. Este hecho muestra el principio de Arquímedes, matemático griego (287-212 a.C.), el cual se enuncia como sigue: Todo cuerpo sumergido en un líquido, experimenta un empuje E de abajo hacia arriba igual al peso del líquido desalojado. El punto en donde se encuentra aplicado el empuje se llama centro de presiones y estará en el centro de gravedad del cuerpo, si éste es homogéneo y uniforme. De la expresión de peso específico:

γ =

w V

⇒

w=γV

si llamamos empuje E a este peso w del líquido desalojado, tenemos:

E =γV

Por lo que hemos dicho anteriormente, sabemos que todo cuerpo colocado en un líquido está afectado por dos fuerzas verticales: una, el peso del cuerpo, dirigida hacia abajo y aplicada en su centro de gravedad; la

52


otra, el empuje, dirigida hacia arriba, de intensidad igual al peso del líquido desalojado y aplicado en el centro de presiones. Como resultado de la acción de estas fuerzas se puede tener: a) Si el peso del cuerpo es menor que el empuje, como sucede con un trozo de corcho o de madera seca en el agua; de bronce, zinc, aluminio o hierro en el mercurio, el cuerpo flota. b) Si colocamos un trozo de hierro en el agua se hunde, esto sucede porque el peso del cuerpo es mayor que el empuje que experimenta. c) Cuando el peso del cuerpo y el empuje que experimenta en el líquido tienen la misma intensidad, el cuerpo se mantiene entre dos capas líquidas. La fuerza de flotación o empuje hidrostático ocurre porque la presión en un fluido se incrementa con la profundidad. No debemos confundir el concepto de empuje, que relaciona al peso de un cuerpo con el volumen de desplazamiento, con las cargas de presión a las que esté sujeto el cuerpo cuando se hunde, ya que en este último caso se deben considerar las fuerzas debidas al peso del líquido que se encuentra encima del cuerpo; recordemos que un cuerpo sumergido se hundirá si el peso del fluido que desaloja el empuje es menor que el peso del cuerpo. Si el peso del fluido desalojado es exactamente igual al peso del cuerpo sumergido, no se hundirá ni se elevará, estando el cuerpo en equilibrio. Si el peso del fluido desalojado excede al peso del cuerpo sumergido, el cuerpo se elevará a la superficie y flotará. Ejemplo 1.15: El hielo polar o iceberg flota en el mar dejando una parte expuesta sobre la superficie; si la densidad del hielo es ρ h = 917 kg m m 3 y la del agua de mar a 20°C y 1 atm es ρ a = 1,024 kg m m 3 , hallar el porcentaje que queda expuesto del volumen total de hielo. Solución: 1) El peso del hielo en flotación es wh = γ h Vh = ρ h g Vh donde Vh es el volumen del cuerpo. 2) El peso del volumen del agua de mar desalojada es Va , correspondiente a la fuerza de flotación:

wa = γ a Va = ρ a g Va 3) Como el hielo en flotación está en equilibrio entonces: wh = wa

ρ h g V h = ρ a g Va ρ h Vh = ρ a Va Va ρ h = = Vh ρ a

kg m m 3 = 0.895 = 89.5% kg 1,024 3m m 917


53

por lo tanto el volumen de agua desalojada Va = 0.895 Vh es el volumen de la porción sumergida del hielo, de modo que la parte restante, el 0.105 del hielo, se halla expuesto sobre la superficie.

1.5.4 Principio de Pascal El físico y filósofo francés Blas Pascal (1623-1662) fue el primero en enunciar el principio de trasmisión uniforme de la presión en un líquido. Si en un recipiente lleno de agua, cerrado por todas partes, que tiene dos aberturas, una de ellas cien veces más grande que la otra, y en cada una colocamos un émbolo que ajuste perfectamente; un hombre empujando el émbolo chico igualaría la fuerza de cien hombres que empujasen el grande y podría más que noventa y nueve. Este principio se enuncia como sigue: “Toda presión ejercida sobre una porción plana de la superficie de un líquido encerrado por todas partes, se trasmite integralmente a toda porción plana considerada sobre la pared o en el interior del líquido, cualquiera que sea su orientación”.

Un hombre

fluido incompresi ble

Cien hombres accionan sobre este émbolo

Principio de Pascal

En general podemos decir que: La presión aplicada a un fluido incompresible confinado se transmite íntegramente a todas las partes del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene. La mayor parte de los dispositivos que miden la presión directamente, miden en realidad la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. El resultado se llama presión relativa y puede ser manométrica o vacuométrica. Este principio se comprueba con dispositivos tales como la prensa hidráulica (frenos hidráulicos de un automóvil y gatos hidráulicos) y el ascensor hidráulico (elevadores de automóviles y elevadores de carga para sistemas hidráulicos en maquinaria). La atmósfera de la Tierra ejerce una presión sobre todos los objetos con los que está en contacto, incluyendo a otros fluidos; el aire en condiciones atmosféricas puede ser tomado para ser inyectado en recipientes que a su vez contienen fluidos líquidos; a) si en particular este aire se inyecta a un sistema de tuberías hidráulicas en edificaciones, estaremos en términos de la llamada prueba hidrostática para determinar la hermeticidad de dicha tubería, b) si el aire se inyecta a un depósito (tanque) que contiene agua, entonces nuestro sistema constituye un hidroneumático que nos permitirá suministrar agua a presión constante en la edificación.

54


1.5.4.1 Prensa hidráulica. El principio establecido en 1658 por Pascal sobre la trasmisión de la presión en los líquidos, encontró una importante aplicación en la prensa hidráulica, construida por primera vez por el ingeniero inglés J. Bramah en 1795 y que presta, en la actualidad, inapreciables servicios a las técnicas de la construcción.

F1

P1 = P2

F2 A1

F1 F = 2 A1 A2

A2

Aceite

Prensa hidráulica

La prensa hidráulica consiste en dos cuerpos de bomba de diámetros distintos, en donde se mueven los émbolos correspondientes. La figura muestra cómo el principio de Pascal puede ser la base de una palanca hidráulica. En operación, sea una fuerza externa de magnitud F1 dirigida hacia abajo sobre el émbolo izquierdo (entrada) cuya área es A1 . Un líquido incompresible en el dispositivo produce entonces una fuerza de magnitud F2 hacia arriba sobre el émbolo derecho (o de salida) cuya área es A2 . La fuerza F1 aplicada a la izquierda y la fuerza F2 a la derecha, producen un cambio en la presión del líquido que está dada por la ecuación:

F1 F = 2 A1 A2 Generalmente la fuerza F1 se aplica por medio de una palanca hidráulica (o mediante un compresor) incrementando la fuerza de aplicación mediante una distancia dada, transformando la fuerza en otra más grande F2 , aunque el recorrido del émbolo sea menor. Un dispositivo denominado gato hidráulico nos permite levantar grandes pesos moviendo repetidamente una palanca acoplada para obtener la fuerza deseada. Ejemplo 1.16: Se desea calcular en una prensa hidráulica la fuerza de entrada necesaria F1 a fin de obtener una fuerza de salida F2 = 32,000 kg , con las siguientes características: radio del émbolo de la bomba 5 cm , radio del émbolo de la prensa 100 cm .


Datos:

55

Ecuaciones:

F1 = ?

P1 = P2

r1 = 5 cm

F1 F2 = A1 A2

r2 = 100 cm F2 = 32,000 kg Solución:

1) Hallar las áreas o superficies de los dos cilindros: A1 = π r12 = 3.1416 x ( 5 cm ) 2 = 78.54 cm 2

A2 = π r22 = 3.1416 x ( 100 cm ) 2 = 31,416 cm 2

2) Hallar la fuerza de entrada: F1 =

F1 =

F2 A1 A2

32,000 kg x 78.54 cm 2 = 80 kg 31,416 cm 2

1.5.5 Principio fundamental de la hidrostática Consideremos un recipiente en el que se encuentra contenido un líquido en reposo, que tiene una densidad ρ . Por estar en equilibrio el fluido, todas sus partículas también lo estarán. Si establecemos un sistema coordenado como el que se muestra en la figura, podemos representar en el eje vertical la altura y en el eje horizontal las condiciones de equilibrio. Cuando representamos al objeto como una partícula aislada del resto del Universo y libre de moverse a causa de las fuerzas que se ejercen sobre ella, al diagrama se le denomina de cuerpo libre.

y y0

F + dF = (PA + dPA)

SUPERFICIE DEL FLUIDO

h = y0 – y1 ELEMENTO DEL FLUIDO

y1

dy

NIVEL DE COMPARACIÓN

dw = γ dV

espesor dy

y=0

F = PA Diagrama de cuerpo libre para fuerzas verticales actuando sobre un elemento de fluido

56


1) La fuerza horizontal resultante es cero porque el elemento no tiene aceleración horizontal, las fuerzas horizontales son debidas únicamente a la presión del fluido y por simetría la presión debe ser igual en todos los puntos dentro de un plano horizontal. 2) La fuerza vertical resultante es cero pues no existe aceleración vertical, y por la tercera ley de Newton debe existir el equilibrio de fuerzas verticales.

F = F + dF + dw PA = PA + dP A + dw sabemos que: γ =

w V

por lo tanto despejando el peso: w = γ V = ρ g V = ρ g A y observando que el espesor del elemento de fluido es dy , su peso es:

dw = γ dV = ρ g A dy sustituyendo en la ecuación de equilibrio de fuerzas: F = F + dF + dw

PA = PA + dP A + ρ g A dy P = P + dP + ρ g dy P − P = dP + ρ g dy 0 = dP + ρ g dy dP = − ρ g dy −ρg=

dP dy

Esta ecuación nos indica la forma de variación de la presión con respecto a la altura sobre algún nivel de referencia en un fluido en equilibrio. Conforme aumenta la altura (dy positivo) disminuye la presión (dy negativo). Para los líquidos ρ es prácticamente constante, porque éstos son casi incompresibles, por lo que si llamamos P0 a la presión atmosférica a la altura y 0 y P1 a la presión a la altura y1 podemos tener la integral definida:

∫

P0 P1

y0

dP = ∫ − ρ g dy

[P ]

y1

P0 P1

= − ρ g [ y ] yy 0 1


57

P0 − P1 = − ρ g ( y 0 − y1 ) 1 424 3 h

P1 = P0 + ρ g h siendo h la altura a la que se encuentra la partícula del líquido en reposo, medida desde la superficie.

1.5.6 Manometría Se han inventado muchos dispositivos para medir la presión (atmosférica y relativa). El más sencillo es el manómetro de tubo abierto, que consiste en un tubo en forma de U (llamado también manómetro diferencial) parcialmente lleno con un líquido, usualmente mercurio o agua. La presión P que se mide está relacionada con la diferencia en altura h de los dos niveles del líquido por la ecuación:

P = P0 + ρ g h Generalmente, la presión atmosférica se mide con un barómetro de mercurio y la presión relativa con un manómetro o con un vacuómetro (cuando se trata del vacío). Cuando se desea medir las presiones producidas por los fluidos contenidos en recipientes herméticos, como calderas, tanques, neumáticos, etc., se emplean aparatos llamados manómetros, que pueden ser de mercurio, teniendo dos tipos diferentes: el primero se conoce con el nombre de manómetro de aire libre o de tubo abierto, en donde la presión se mide únicamente por el desnivel de la columna mercurial. Con este aparato se miden presiones no mayores a dos atmósferas; en este caso el tubo manométrico tiene una longitud de cerca de dos metros; el segundo es de aire comprimido, se gradúa siguiendo la ley de BoyleMariotte, pudiéndose emplear hasta para 10 atmósferas. Existen manómetros metálicos que consisten en un tubo encorvado de sección elíptica, el cual se estira cuando el fluido que penetra en su interior aumenta su presión; ese movimiento se trasmite a una aguja por medio de un juego de engranes. Este manómetro se conoce con el nombre de Bourdón. En la industria se prefieren los manómetros metálicos, que pueden estar graduados en kilogramos por cada cm2, en libras por cada pulgada cuadrada o en atmósferas. En algunos casos traen doble graduación, en unidades del SI y en el sistema inglés; la graduación generalmente es con relación a la presión atmosférica, porque en la industria lo que interesa es la diferencia entre la presión interior del recipiente y la exterior, razón por la cual los manómetros industriales marcan esa diferencia. Los manómetros graduados en unidades absolutas indican directamente una atmósfera de presión adicional a la presión relativa. Los manómetros industriales se encuentran calibrados para medir presiones que oscilan entre 0 y más de 14 atmósferas. Para medir presiones en tuberías se utilizan los piezómetros y los manómetros diferenciales; para medir pérdidas de presión en ductos de aire acondicionado se utilizan pulgadas de agua. Otro tipo de manómetro es el aneroide (usado principalmente para medir presión de aire), en el que el apuntador está unido a extremos flexibles de una cámara metálica delgada al vacío. Existen los manómetros electrónicos, en los que la presión puede aplicarse a un diafragma metálico delgado cuya distorsión resultante se traduce a una señal eléctrica por un transductor (dispositivo transformador de

58


potencia). En general existen diversos tipos de manómetros según su aplicación, el tipo de construcción y su relación con la magnitud de la carga de presión por medir. 1.5.6.1 Manómetro diferencial. Para los gases, la densidad ρ es relativamente pequeña y de ordinario es insignificante la diferencia de presión entre dos puntos; por ejemplo, en un depósito que contiene gas se puede admitir que la presión es la misma en todos los puntos, sin embargo, si la diferencia de alturas es muy grande, la presión sufrirá variaciones considerables.

PB B •

y1

PA A • h1

ρ2

h y2

• C

ρ1 punto central

Manómetro diferencial

Un dispositivo llamado manómetro diferencial, que consiste en un tubo en forma de U lleno de dos líquidos que no se mezclan, como se muestra en la figura, sirve para medir la diferencia de presiones entre los puntos A y B. Uno de los líquidos tiene una densidad ρ1 y el otro ρ 2 , para determinar la diferencia de presiones PA − PB se hacen las mediciones h y h1 . La presión en el punto central C puede calcularse por dos caminos diferentes según el principio fundamental de la hidrostática.

PC = PB + [ ρ 2 y1 + ρ1h + ρ1 y 2 ] g

por la izquierda

PC = PA + [ ρ 2 h1 + ρ 2 y1 + ρ 2 h + ρ1 y 2 ] g

por la derecha

igualando las ecuaciones y simplificando: PA − PB = [ ρ1h − ρ 2 ( h − h1 ) ] g Ejemplo 1.17: Un tubo sencillo en forma de U contiene mercurio a una altura de 60 cm en cada rama. Si se vierten 100 cm 3 de alcohol en una rama y la sección transversal es de 1 cm 2 . ¿A qué altura sube el nivel del mercurio en la otra rama?, siendo la densidad del alcohol ρ = 0.789 g m cm 3 y del mercurio

ρ = 13.6 g m cm 3 (en el nivel del mar).


Datos:

Fórmulas:

Equivalencias:

V = 100 cm 3 (alcohol )

P = Po + γ h

ρ alcohol = 0.789

A = 1 cm 2

P = Po + ρ g h

ρ Hg = 13.6

59

gm cm 3

gm cm 3

Solución: Según la figura, para los puntos A y B que se encuentran en el mismo nivel tendremos iguales presiones:

PA = PB P0 = Patm P0

P0

alcohol

h1 h2

B •

• A

mercurio Manómetro diferencial (tubo en forma de U)

1) Hallar la altura h1 a la que se encuentra el alcohol en el manómetro diferencial. Mediante el concepto de volumen: V = A h1

h1 =

⇒

h1 =

V A

100 cm 3 = 100 cm 1 cm 2

2) Considerando que la presión en el punto A está dada por la ecuación: PA = Po + ρ alcohol g h1 y para el punto B la presión es: PB = Po + ρ Hg g h2 entonces como: PB = PA

P0 + ρ Hg g h2 = P0 + ρ alc g h1

60


ρ Hg h2 = ρ alc h1

h2 =

0.789

h2 =

⇒

ρ alc x h1 ρ Hg

gm x 100 cm cm 3 = 5.8 cm gm 13.6 3 cm

Ejemplo 1.18: Un fluido manométrico especial tiene un peso específico de 2.95 g cm 3 y se utiliza para medir una presión de 20 psia , en un lugar donde la presión barométrica es de 27 pul g de Hg . ¿Cuál será la altura del fluido manométrico?. Obtener el resultado en pulgadas de mercurio. Datos:

Fórmulas:

Equivalencia:

g γ = 2.95 3 cm

P =γ h

14.7

Pabs = 20 psia = 20

lb abs pul g 2

P=ρ gh

Patm = 27 pul g Hg

Pabs = Patm + Prel

h = ? ( pul g Hg )

Solución: 1) Transformemos 27 pul g Hg a

lb mediante: pul g 2

a) La aplicación de la regla de tres:

14.7

lb ..... 29.92 pul g Hg pul g 2

x ................... 27 14.7 x=

pul g Hg

lb x 27 pul g Hg lb pul g 2 = 13.26 29.92 pul g Hg pul g 2

lb = 29.92 pul g Hg pul g 2


b) La siguiente equivalencia: 29.92 pul g Hg = 14.7

61

lb pul g 2

lb pul g 2 lb 27 pul g Hg = 27 pul g Hg x = 13.26 29.92 pul g Hg pul g 2 14.7

P0

fluido líquido

h

gas A •

• B

Manómetro diferencial (de tubo abierto)

2) Hallar la presión relativa: Prel = Pabs − Patm

lb − 27 pul g Hg pul g 2 lb lb lb Prel = 20 − 13.26 = 6.74 2 2 pul g pul g pul g 2 Prel = 20

3) Por otra parte sabemos que en hidrostática la ecuación de presión es: P = γ h

⇒

h=

P

γ

lb pul g 2 h= = 63.24 pul g 1 lb (2.54 cm) 3 g x x 2.95 cm 3 453.6 g 1 pul g 3

6.74

Ejemplo 1.19: Considere un tanque de agua colocado en la parte superior de un edificio de 40 m de altura. En la planta baja hay una toma de agua y se desea conocer la presión en este punto. Para ello se conecta un manómetro. Dar la respuesta en kg cm 2 y en lb pul g 2 ; la presión atmosférica local es de 13 psi . Obtener la presión absoluta en unidades de los sistema internacional e inglés, si nos encontramos en el nivel del mar.

62


Datos:

Fórmulas:

Equivalencias:

Pabs = ?

P =γ h

γ H O =1

h = 40 m

P=ρ gh

Patm = 13 psi

Pabs = Patm + γ{h = Po + γ h Prel

2

kg dm 3

⎧⎪ Patm = Po en donde ⎨ ⎪⎩ Prel = P

Solución: 1) Hallar el valor de la presión atmosférica en unidades del SI: Patm = 13 psi

lb

Po = 13

pul g 2

x

( 1 pul g ) 2 1 kg kg x = 0.914 2 2.2046 lb ( 2.54 cm ) cm 2

agua

Fluido

40 m

h

Manómetro diferencial

Instalación de un tanque de agua

2) Hallar el valor de la presión relativa o manométrica debida a la altura, en los sistemas internacional e inglés:

Prel = γ h Prel = 1

1 dm 2 kg kg kg kg 40 1 400 400 = = =4 x m x dm x 3 3 2 2 100 cm dm dm dm cm 2

Prel = 4

2.2046 lb ( 2.54 cm ) 2 kg lb = 56.89 x x 2 2 1 kg (1 pul g ) cm pul g 2


63

3) Hallar el valor de la presión absoluta: Pabs = Po + γ h

Pabs = 0.914

Pabs = 13

kg kg kg +4 = 4.914 2 2 cm cm cm 2

lb lb lb + 56.89 = 69.89 2 2 pul g pul g pul g 2

1.6 Termometría, temperatura, escalas termométricas, temperatura relativa y temperatura absoluta, ecuaciones de equivalencia 1.6.1 Termometría En la actualidad se acepta que el calor tiene su origen en la energía cinética de las moléculas (energía que posee un cuerpo en virtud de su movimiento molecular); el aumento de esta energía se manifiesta con la elevación de la temperatura del cuerpo. La temperatura es una propiedad del cuerpo y el calor es el flujo de energía entre dos cuerpos a diferentes temperaturas. Desde el punto de vista macroscópico, la temperatura de un cuerpo es su estado térmico considerado con referencia a su poder de comunicar calor a otros cuerpos. Frecuentemente decimos que cuando un cuerpo está más caliente que otro es que está a mayor temperatura. La termometría en la rama del calor que trata la medición de la temperatura.

1.6.2 Temperatura Es difícil dar una definición formal de temperatura, ya que frecuentemente se confunde con el concepto de calor, que es energía; sin embargo podemos decir lo siguiente: La intensidad de calor de una sustancia o de un cuerpo, o su tendencia para trasmitir calor, es medida por su temperatura. La temperatura no indica la cantidad de calor, sino que es una medida del calor sensible de un cuerpo o de su grado de enfriamiento. Un cuerpo está frío o caliente según la impresión que nos produce al tocarlo; de dos cuerpos que tocamos el más caliente tiene mayor temperatura. Pero estas sensaciones de calor o de frío son muy relativas, pues dependen de sensaciones anteriores, por ejemplo: si sumergimos una mano en agua caliente y la otra en agua fría y las dejamos durante algunos minutos, al cabo de los cuales introducimos ambas manos en agua tibia, una mano percibirá el agua fría y la otra caliente, registrando el mismo individuo las dos sensaciones producidas por la misma temperatura del agua tibia. Esto nos explica las divergencias que se presentan cuando se quiere fijar la temperatura de un cuerpo recurriendo únicamente a las sensaciones percibidas; de ahí la necesidad de utilizar instrumentos que indiquen las temperaturas de los cuerpos, los que llevan el nombre de termómetros. Muchas propiedades de la materia cambian con la temperatura. Por ejemplo, la mayoría de los materiales se expanden cuando son calentados. Una viga de acero es más larga cuando está caliente que cuando está fría.

64


Los caminos y aceras de concreto se expanden y contraen ligeramente de acuerdo con la temperatura, por lo que se colocan juntas de expansión a intervalos regulares. La resistencia eléctrica de un conductor cambia con la temperatura y los colores radiados por los objetos se modifican. A volumen constante el cambio de presión absoluta de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta, a presión constante el cambio de volumen de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta, etcétera. Los aparatos más comunes para medir las temperaturas son los termómetros de mercurio. Para temperaturas bajas se utilizan los termómetros de alcohol y para las altas los pirómetros o también los pares termoeléctricos o termopares, que operan por medio de una diferencia de potencial eléctrico. Existen además termómetros de gas y los termostatos. Los termómetros de mercurio son dispositivos que constan de un tubo de vidrio capilar, que en su parte inferior se ha ensanchado con el fin de formar un depósito en donde se coloca dicho mercurio. Este elemento, como otras sustancias, experimenta aumentos de volumen o disminuciones cuando su temperatura varía; si se calienta el mercurio su volumen aumenta, si se enfría se contrae. En esta propiedad de la variación del volumen con la temperatura se basan todos los termómetros, ya sea que se usen en ellos sustancias sólidas, líquidas o gaseosas como termométricas, con la única exigencia que la variación del volumen sea en el mismo sentido que la temperatura. La clasificación más importante de los termómetros según la forma en que se mide la temperatura es la siguiente: 1. De expansión 2. Termopares 3. De resistencia eléctrica

4. De radiación 5. Ópticos 6. Calorímetros

7. De fusión 8. Fotoeléctricos 9. De registro

1.6.3 Escalas termométricas Las escalas que se utilizan para medir las temperaturas son: la escala Celsius (Andrés Celsius, astrónomo sueco, 1701-1744) o llamada también centígrada °C, y la escala Fahrenheit °F (Gabriel Fahrenheit, físico alemán, 1686-1736) que fueron analizadas a partir de dos puntos tomados a la presión atmosférica: 1) El punto de congelamiento del agua. 2) El punto de ebullición del agua. En la escala Celsius, el punto de congelamiento del agua se toma igual a 0°C y el punto de ebullición a 100°C. En la escala Fahrenheit, el punto de congelamiento se define a 32°F y el punto de ebullición a 212°F. Para una escala Celsius, la distancia entre las dos temperaturas es dividida en cien intervalos iguales separados por pequeñas marcas que representan cada grado entre 0°C y 100°C (de ahí el nombre de escala centígrada). Para la escala Fahrenheit, los dos puntos se marcan entre 32°F y 212°F y la distancia entre ellos se divide en 180 intervalos igualmente espaciados. El punto de congelamiento de una sustancia se define como la temperatura a la que las fases sólida y líquida coexisten en equilibrio, es decir, sin ningún líquido neto cambiando a sólido o viceversa. Experimentalmente se encuentra que esto ocurre a sólo una temperatura definida, para una presión dada. Similarmente, el punto de ebullición se define como la temperatura en la que el líquido y el gas coexisten en equilibrio. Como los puntos anteriores varían con la presión, ésta debe especificarse en el lugar en donde se realice el experimento.


65

1.6.4 Temperatura relativa y temperatura absoluta, ecuaciones de equivalencia En nuestros cálculos haremos uso de las temperaturas absolutas, que son las que se determinan a partir del cero absoluto, siendo esta temperatura aquella en la que la actividad molecular es nula o cuando su energía cinética vale cero. Es frecuente definir el cero absoluto como la característica que se presenta al enfriar un gas a –273.15°C, en donde el volumen y presión de ese gas valen cero. Se presenta esquemáticamente la relación que guardan las escalas relativas Celsius °C (centígrada) y Fahrenheit °F con referencia a las escalas absolutas que en forma correspondiente son la escala Kelvin, K, (Lord Kelvin o William Thomson, matemático y físico inglés, 1824-1907) y la escala Rankine °R (William John Rankine, físico e ingeniero inglés, 1820-1872) así como las ecuaciones de equivalencia: 1) Temperaturas relativas

°C =

2) Temperaturas absolutas

° F − 32 1 .8

K = °C + 273 .15

° F = 1.8 °C + 32

°C

° R = ° F + 459.67

K

°F

°R

100

373.15

212

671.67

0

273.15

32

491.67

-17.8

255.35

0

459.67

-273.15

0

-459.67

0

cero absoluto

Escala termométrica

Un mol de un gas ideal ocupa un volumen de 22.4 litros a una temperatura °C y a una presión de una atmósfera ( 1.013 x 105 Pa ). Estas condiciones de temperatura y presión se denominan temperatura y presión normales (TPN).

Ejemplo 1.20: Dadas las siguientes temperaturas 20°C, –5°C, 72°F y 190°F, transformarlas a °C, °F, K y °R. Solución: 1) T = 20°C = 68°F = 293.15K = 527.67°R

° F = 1.8 ( 20°C ) + 32 = 36 + 32 = 68

66


K = 20°C + 273.15 = 293.15 ° R = 68° F + 459.67 = 527.67 2) T = –5°C = 23°F = 268.15K = 482.67°R

° F = 1.8 (−5°C ) + 32 = −9 + 32 = 23 K = − 5°C + 273.15 = 268.15 ° R = 23° F + 459.67 = 482.67 3) T = 72°F = 22.22°C =295.37K = 531.67°R

°C =

72° F − 32 40 = = 22.22 1 .8 1.8

K = 22.22°C + 273.15 = 295 .37 ° R = 72° F + 459.67 = 531.67

4) T = 190°F = 87.78°C = 360.93K = 649.67°R

°C =

190° F − 32 158 = = 87.78 1 .8 1. 8

K = 87.78°C + 273.15 = 360.93 ° R = 190° F + 459 .67 = 649 .67

Ejemplo 1.21: ¿Cuál es el valor numérico en el que coincide la escala centígrada con la escala Fahrenheit? Fórmulas: °C =

° F − 32 1 .8

y

x °C = x ° F

Solución: a) A partir de la ecuación: x °C =

1.8 x °C = x ° F − 32

x ° F − 32 1.8


67

1.8 x − x = − 32 ( 1.8 − 1 ) x = − 32

x=

0.8 x = − 32 ;

− 32 = − 40 0 .8

⇒

− 40 °C = − 40 ° F

b) También se puede resolver de la siguiente forma:

° F = 1.8 °C + 32

x °F = 1.8 ( x °C ) + 32 como: x °C = x ° F

x °C = 1.8 ( x °C ) + 32 x °C − 1.8 ( x °C ) = 32

( 1 − 1.8 ) x °C = 32 − 0.8 x °C = 32

x °C =

32 = − 40 − 0. 8

Es importante hacer notar que en la escala de temperaturas para cada aumento o disminución de 1°C se aumenta o disminuye 1.8 ° F .

Ejemplo 1.22: Demostrar que la siguiente expresión se verifica:

° R = 1 .8 K

Solución: Aplicando las ecuaciones de equivalencia de la termometría: 1)

K = °C + 273.15

2)

° R = ° F + 459 .67 = (1.8 °C + 32 ) + 459.67 = 1.8 °C + 491.67

⇒

°C = K − 273.15

ecuación (1) ecuación (2)

68


3) Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (2):

° R = 1.8 ( K − 273.15) + 491.67 = 1.8 K − 491.67 + 491.67 = 1.8 K 14 4244 3 °C

∴ ° R = 1.8 K

ecuación (3)

4) En el ejemplo 1.20 (1) se efectuaron las siguientes conversiones: T = 20°C = 68°F = 293.15K = 527.67°R 5) Verificar mediante la aplicación de la ecuación (3) que la temperatura T = 293.15 K es igual a T = 527.67°R :

° R = 1 .8 K

⇒

° R = 1.8 ( 293.15 K ) = 527.67

1.7 Física Moderna, conceptos básicos 1.7.1 Introducción a la Física Moderna A finales del siglo XVII se habían observado fenómenos físicos que no podían explicarse satisfactoriamente por medio de las leyes conocidas en aquella época. Se plantearon dos teorías para explicar la naturaleza de la luz: la teoría de partículas o corpuscular, apoyada por Isaac Newton (matemático, físico, astrónomo y filósofo inglés, 1642-1727) y la teoría ondulatoria, desarrollada por Christian Huygens (físico y astrónomo holandés, 1629-1695). Cada teoría trataba de explicar las condiciones de la luz observadas hasta entonces y que consideraban tres principales características: 1. Propagación rectilínea: la luz viaja en línea recta. 2. Reflexión: el rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie están en el mismo plano (son coplanares) y el ángulo de reflexión θ r es igual al ángulo de incidencia θ i : θ r = θ i 3. Refracción: la trayectoria de la luz cambia cuando entra en un medio diferente al original. Newton pensaba que la luz estaba constituida por partículas que se mueven en el espacio a gran velocidad, como proyectiles, rebotando o absorbiéndose en los cuerpos materiales, o penetrando en los cuerpos transparentes, como el vidrio. Huygens sostenía que la luz era una onda, similar a las olas en el agua o al sonido en el aire, en el que el medio para transportar a esa onda luminosa era el éter, sustancia que llenaba y permeaba a todo el Universo. La controversia sobre la naturaleza de la luz –partícula u onda– persistió hasta mediados del siglo XIX, en que la balanza se inclinó a favor de la teoría ondulatoria, situación que fue cambiada por Albert Einstein, quien postuló que la luz es una partícula, siendo esta dualidad onda–partícula una propiedad fundamental de la naturaleza a nivel atómico. La pregunta de cómo puede llegar la luz a la tierra desde el Sol o de otras estrellas a través de millones de kilómetros de espacio vacío fue resuelta por los físicos postulando la existencia de un éter en donde la luz


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podía transmitirse. Sin embargo, en 1865 el físico inglés James Clark Maxwell inició el camino para determinar las propiedades de un medio que permitiera que la luz pudiera trasmitirse, así como el calor y la energía eléctrica. La confirmación experimental de la teoría de Maxwell la llevó a cabo Heinrich R. Hertz en 1885, quien demostró que la radiación de energía electromagnética puede verificarse a cualquier frecuencia, esto es, la luz, la radiación térmica y las ondas de radio tienen la misma naturaleza y todas ellas viajan a la velocidad de la luz de 299,792,458 m/s (aproximadamente 3x108 m/s = 300,000 km/s) con lo cual la confirmación de la teoría electromagnética de la luz sugirió que no era necesaria la idea o postulado del éter. El avance trascendental de la Física del siglo XIX lo constituyó, sin duda, la comprensión de los fenómenos eléctricos y magnéticos y su relación con la luz, lo que abrió las puertas a la Física Moderna e hizo posible la teoría de la relatividad.

1.7.2 Electricidad y magnetismo La gravitación no es la única fuerza que actúa a distancia. También los cuerpos cargados eléctricamente se atraen o se repelen; asimismo los imanes interactúan entre sí o con el hierro. En el siglo XVIII, el físico francés Charles Augustin Coulomb (1736-1806) demostró que dos cuerpos eléctricamente cargados ejercen una fuerza de atracción o repulsión entre sí similar a la fuerza gravitacional: proporcional a la magnitud de la carga e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Pero, a diferencia de la fuerza gravitacional, que siempre es atractiva, la fuerza eléctrica puede ser repulsiva o atractiva, si las cargas de los cuerpos son del mismo signo o de signo contrario, respectivamente. Aproximadamente por la misma época, Benjamín Franklin (1706-1790), en Estados Unidos, demostró que los rayos que se producen durante las tormentas son gigantescas chispas eléctricas que saltan entre las nubes y el suelo. El hecho de que el magnetismo esté relacionado con la electricidad se hizo evidente cuando el físico danés Hans Christian Oersted (1777-1851) descubrió, a principios del siglo XIX, que las corrientes eléctricas producen fuerzas magnéticas que influyen sobre imanes; una brújula tiende a alinearse perpendicularmente a un cable por donde pasa una corriente eléctrica suficientemente fuerte. Posteriormente, el científico francés Jean Marie Ampere (1800-1864) encontró una ley que relaciona la corriente eléctrica con la fuerza magnética que genera, concluyendo que 1 ampere = 1 coulomb/s. Pero el fenómeno más importante que pone de manifiesto la relación entre electricidad y magnetismo fue descubierto por el físico inglés Michael Faraday en 1831, quien notó que el movimiento de un imán puede inducir una corriente eléctrica en un cable, sin necesidad de pilas. La formulación unificada de una serie de fenómenos y leyes aislados que relacionaban a la electricidad y al magnetismo fue realizada por James Clark Maxwell, quien se interesó en la teoría molecular de los gases y fue pionero de la llamada Física Estadística. Formuló las leyes del electromagnetismo, expresando en un conjunto de fórmulas (ecuaciones diferenciales parciales) las distribuciones de cargas y corrientes con las fuerzas eléctricas y magnéticas que generan en cada punto del espacio.

70


El más notable de los estudios de Maxwell fue la explicación de la naturaleza de la luz, demostrando que se trata de una onda electromagnética que consiste en oscilaciones de los campos eléctricos y magnéticos. Así quedaba establecida, más allá de cualquier duda, la naturaleza ondulatoria de la luz, tal como lo pensaba Huygens y en contra de la opinión de Newton. Se llama longitud de onda a la distancia entre dos crestas consecutivas de una onda. En el caso de una onda de luz, esta longitud determina el color; a la luz roja corresponde una longitud de onda de ocho diezmilésimas de milímetro, mientras que a la luz violeta le corresponde una longitud de cuatro diezmilésimas de milímetro; en el intervalo comprendido entre esas dos longitudes se encuentran todas las gamas de colores del arco iris que el ojo humano percibe.

λ

Longitud de onda

Más allá de la luz violeta se encuentra la llamada luz ultravioleta, luego los rayos X y finalmente los rayos gamma, cada uno con longitudes de onda cada vez más cortas. Por otra parte, con longitudes de onda cada vez mayores que la luz roja, se encuentra la luz infrarroja, las microondas y las ondas de radio. En función de la longitud de onda se muestran distintas regiones del espectro electromagnético: 1. Ondas largas de radio 2. Ondas cortas de radio 3. Región infrarroja 4. Región visible

5. Región ultravioleta 6. Rayos X 7. Rayos gamma 8. Fotones cósmicos

Pero ¿qué sustenta a una onda en el espacio? Este problema no parecía haber avanzado más allá de las primeras suposiciones de Newton. No quedó más recurso a Maxwell que recurrir a la existencia del éter como un medio físico que transporta las ondas electromagnéticas. Pero el problema del éter estaba relacionado con otro aspecto, enigmático: la aparente necesidad de un espacio absoluto. Una revolución científica vino a explicar muchos de los supuestos analizados hasta el siglo XIX: la teoría de la relatividad.


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Espectro electromagnético mostrando la longitud de onda, la frecuencia y la energía por fotón sobre una escala logarítmica

1.7.3 La relatividad de Einstein A Albert Einstein (nacido en la ciudad alemana de Ulm, 1879-1955) uno de los problemas que más le interesaban era la aparente incompatibilidad entre el principio de relatividad de Galileo y la teoría electromagnética de Maxwell, que antes de Einstein había sido estudiado por el físico holandés Hendrik Lorentz (1853-1928) y el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912). El problema que se habían planteado era que las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento del campo electromagnético en

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cada punto del espacio y en cada instante de tiempo (dicho campo depende de las coordenadas espaciales x, y, z y del tiempo t). Lorentz demostró que existe una transformación matemática que deja invariante la forma de las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando se cambie no sólo la posición de un punto sino también el tiempo. Lo anterior indicaba que el tiempo transcurre en forma diferente en sistemas de referencia distintos. La experiencia diaria y el sentido común parecen negar tal posibilidad. Tal era la situación cuando Einstein publicó en 1905 el artículo intitulado Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, con lo que nacía la teoría de la relatividad. En él postulaba que las ecuaciones de Maxwell deben tener la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial y que, por lo tanto, es imposible distinguir, a partir de experimentos electromagnéticos, un sistema de referencia inercial de otro. Para que este principio de relatividad se cumpla, es necesario que las transformaciones de Lorentz sean físicamente válidas; en consecuencia, el tiempo medido entre dos sucesos depende del movimiento de quien lo mide. Einstein postuló que no existe un tiempo absoluto, ni un espacio absoluto, por lo tanto, tampoco un éter. Pero, si no existe el éter ¿con respecto a qué debe medirse la velocidad de la luz? La respuesta fue tajante: La velocidad de la luz (en el vacío) es la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Para entender la relatividad se deben dejar a un lado todas las ideas preconcebidas y estar dispuesto a ver los fenómenos físicos desde un nuevo punto de vista. La teoría especial de la relatividad se basa en dos postulados. El primero afirma que todo objeto está en movimiento al compararlo con algo más, que no existe el reposo absoluto, un objeto está solamente en reposo (o en movimiento) en relación con algún punto de referencia específico. Este primer postulado de Einstein también dice que si se ve que algún objeto está cambiando de posición con respecto a otro, no hay forma de saber si éste se está moviendo o si es aquél el que se mueve. Si una persona camina hacia un objeto específico, es igualmente correcto decir, de acuerdo al postulado, que el objeto viene a uno. Esto parece absurdo debido a que estamos acostumbrados a usar a la Tierra como sistema de referencia. Las leyes de Einstein se diseñaron para que fueran por completo independientes de un sistema de referencia preferido de este tipo, por lo que desde el punto de vista de la Física: El primer postulado se establece de la siguiente manera: Las leyes de la Física son las mismas para todos los marcos de referencia que se muevan a velocidad constante los unos con respecto a los otros. El segundo postulado establece lo siguiente: La velocidad de la luz en el vacío “c” es constante para todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento.

La longitud de onda λ de la radiación electromagnética está relacionada con su frecuencia f por la ecuación general:

c=f λ donde “c” es la velocidad de la luz. En términos de las longitudes de onda, el segmento reducido del espectro electromagnético que se refiere a la región visible está comprendido entre 4 x 10–5 y 7 x 10–5 cm.


73

Debido a que las longitudes de onda de la radiación lumínica son pequeñas, es conveniente definir una unidad de medida menor. La unidad en el SI es el nanómetro (nm). Un nanómetro es la mil millonésima parte de un metro: 1 nm = 0.000 000 001 m = 1x 10 −9 m La región visible del espectro electromagnético se extiende desde 400 nm para la luz violeta, hasta aproximadamente 700 nm para la luz roja.

Ejemplo 1.23: La longitud de onda de la luz amarilla de una llama de sodio es 589 nm. Calcular su frecuencia.

f =

c

λ

m s = 5.09 x 1014 s −1 = 5.09 x 1014 Hz f = −9 589 x 10 m 3 x 10 8

recordemos que un hertz (Hz) es una medida de frecuencia cíclica, en donde 1 Hz = 1 ciclo por segundo, también puede indicarse como

[s ] . −1

La luz producida por una chispa eléctrica en los gases no genera un espectro continuo al pasar a través de un prisma o de una red de difracción (deflexión de las ondas o desviación de la luz al rozar los bordes de un cuerpo opaco). Los conceptos de Newton de masa, longitud y tiempo fueron inadecuados para describir ciertos sucesos físicos. La publicación del primer artículo de Albert Einstein sobre la relatividad sentó las bases para una Física Universal que limitaba a la Física Clásica a situaciones que implicaban velocidades considerablemente menores que la velocidad de la luz, estimulando investigaciones que establecieron parámetros para el uso de máxima energía, viajes al espacio, electrónica, análisis químicos, rayos X, dispositivos nucleares y muchas otras aplicaciones.

1.7.4 El tiempo y el espacio El hecho de que el tiempo no transcurre igual para observadores distintos es una de las predicciones más sorprendentes de la teoría de Einstein. Nuestro sentido común, basado en la práctica cotidiana, indica que los relojes funcionan de la misma forma, sin importar cómo se mueven. ¿No es entonces absurdo pretender que el tiempo medido es relativo al observador? Es importante señalar que el efecto predicho por Einstein sólo es perceptible a velocidades cercanas a la de la luz. Para ser más precisos, supongamos que, en un cierto sistema de referencia, dos sucesos ocurren en el mismo lugar con un intervalo de tiempo t . En otro sistema de referencia que se mueve con velocidad v con respecto al primero los dos sucesos ocurren con un intervalo de tiempo t ' dado por la fórmula:

74


t' =

t

dilatación del tiempo

v2 1− 2 c

Es decir, el tiempo medido en el segundo sistema es mayor que el medido en el primero. Qué tan mayor depende de la velocidad v ; si v es muy pequeña con respecto a la velocidad de la luz c, entonces la diferencia entre t y t ' es prácticamente imperceptible (por ejemplo, si consideramos v = 10 ,000 km h = 2.77 km s , t y t ' apenas difieren en una parte en 100,000 millones); en el otro extremo, si v es cercano a la velocidad de la luz, entonces t ' es mucho mayor que t (por ejemplo, si v es 0.997 veces la velocidad de la luz, entonces t ' es aproximadamente 13 veces mayor que t ).

v = 300,000

km km x 0.997 = 299,100 s s

t

t' =

( 299,100 ) (300,000 ) 2 2

1−

t = 12.919 t 0.005991

=

La relación entre los tiempos medidos en dos sistemas de referencia en movimiento relativo está determinada por el valor del llamado factor de Lorentz:

1 1−

v2 c2

Que difiere del valor de 1 (uno) sólo para velocidades cercanas a la de la luz. Otra consecuencia sorprendente de la teoría de Einstein es que el espacio, al igual que el tiempo, también es relativo a quien lo mide. Más específicamente, si la longitud de un cuerpo en reposo es L , entonces su tamaño en movimiento, digamos L' , será menor, de acuerdo con la fórmula:

L' = L

1−

v2 c2

contracción relativista o de Lorentz

Tal como sucede con el tiempo, esta contracción aparente es imperceptible si la velocidad del objeto es mucho menor que la velocidad de la luz.


75

1.7.5 Materia y energía Einstein se dio cuenta que la masa y la energía de un cuerpo aparecen siempre unidas en las ecuaciones de su teoría. Esto le condujo a afirmar que existe una equivalencia entre los dos conceptos expresada por la fórmula: E = mc 2 donde E es la energía de un cuerpo, m su masa y c 2 la velocidad de la luz elevada al cuadrado. En la mecánica newtoniana, un cuerpo de masa m que se mueve con velocidad v posee, en virtud de su movimiento, una energía igual a 12 m v 2 . En la teoría de la relatividad, la energía de movimiento del cuerpo resulta ser:

E=

mc 2 v2 1− 2 c

donde una vez más aparece el factor de Lorentz. Lo interesante de esta fórmula es que, cuando un cuerpo se encuentra en reposo (es decir, v = 0) posee una energía que es justamente mc 2 . Einstein concluyó que un cuerpo en reposo posee una energía almacenada en forma de masa. La fórmula de Einstein E = m c 2 afirma que un solo kilogramo de materia equivale aproximadamente a toda la energía que se consume en la Tierra en una hora. Un cuerpo que se mueve según la interpretación de la fórmula de Einstein, aumenta su masa m adquiriendo una nueva masa m' dada por la fórmula:

m' =

m

v2 1− 2 c

masa relativista

Sin embargo, es más conveniente interpretar esto como un aumento de energía del cuerpo, ya que en la práctica la masa de un cuerpo en movimiento no se puede medir sin tener ambigüedades.

1.7.6 Relatividad y Mecánica cuántica La Física del siglo XX se sustenta sobre dos pilares: la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. La primera, obra casi exclusiva de Albert Einstein, describe los fenómenos naturales en los que están involucradas velocidades cercanas a la de la luz. La segunda, en cuya formulación participaron grandes físicos de principios de siglo (Max Plank, Niels Bohr, Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Max Born, P.A.M. Dirac, etc.) es la mecánica del mundo de los átomos y las partículas que los constituyen.

76


Así como la teoría de la relatividad introdujo conceptos que chocaron con el sentido común, la mecánica cuántica expuso una descripción del mundo microscópico que en nada se parecía al de la experiencia diaria. De acuerdo con la mecánica cuántica, las partículas atómicas no se comportan como los objetos del mundo macroscópico, sino que tienen propiedades a la vez de partículas y de ondas.

1.7.7 La Ingeniería y la Física Moderna Ya hemos indicado la aplicación de conceptos de Física Moderna al desarrollo de la Ingeniería en sus diversas ramas, particularmente en los campos de las telecomunicaciones, de dispositivos y reactores nucleares, ecología, láser en la industria y la medicina, microcircuitos, nuevos materiales, ultrasonidos, microscopios y telescopios electrónicos, entre muchos otros. Podemos mencionar para nuestro curso un ejemplo de fácil comprensión, correspondiente al análisis clásico de las tres fases físicas en las que se puede encontrar la materia: sólida, líquida o gaseosa. Sin embargo, conforme avanza la Física estos estados se ven modificados por fases que analizan comportamientos moleculares y atómicos como son: fase plasmática (materia a muy alta presión y temperatura); fase neutrónica (incremento de presión y temperatura a la fase plasmática); fase criogénica (disminución de temperatura aproximándose a –273.15°C); superconductividad (disminución de la resistencia eléctrica tendiendo a cero, cuando se obtiene la temperatura de proyecto) y súper capilaridad (ascensión por un tubo capilar de una sustancia a temperatura variable). La aplicación de la Física, particularmente en la Ingeniería Civil, es muy diversa, ya que considera a varias áreas de conocimiento, tales como: análisis estructural, mecánica de suelos, mecánica de fluidos, sistemas, construcción, electromagnetismo, ecología, etc. Se puede analizar el diseño y la edificación de obras de gran importancia para la sociedad, en carreteras, puentes, edificios, unidades habitacionales, centros comerciales, túneles, sistemas de obras hidráulicas, presas, termoeléctricas, naves industriales, mantenimiento y transporte, en las cuales los ingenieros desarrollan su pensamiento pragmático y a través de investigaciones experimentales comprueban las aplicaciones y el impacto tecnológico para minimizar las inversiones económicas, mejorando las características de sus materiales. Los materiales nuevos surgen de investigaciones científicas y tecnológicas que amplían sus aplicaciones y disminuyen sus costos al incrementar su producción. Los conceptos modernos de Física en el proceso constructivo incluyen a otros de química y consideran la optimización de cargas mecánicas a concretos (en compresión) a los metales (en tensión, corte y torsión) así como su duración, resistencia al intemperismo, corrosión y menores pesos específicos. Compuestos como la fibra de carbono, aleaciones metálicas, aceleradores y retardadores de concreto, impermeabilizantes, materiales epóxicos, pinturas, materiales no flamables, vidrios polarizados, plásticos de expansión y selladores, son algunos de los materiales que conforman la investigación industrial de materiales y sustancias de enorme utilidad para los nuevos ingenieros.

06) CAPÍTULO 1 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

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