FÍSICA GENERAL
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ Vicerrectorado de Investigación
FÍSICA GENERAL
TINS Básicos INGENIERÍA INDUSTRIAL, INGENIERÍA DE SISTEMAS, INGENIERÍA ELECTRÓNICA, INGENIERÍA MECATRÓNICA, INGENIERÍA TEXTIL, INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES, INGENIERÍA AUTOMOTRIZ, INGENIERÍA AERONÁUTICA, INGENIERÍA MARÍTIMA, INGENIERÍA NAVAL, INGENIERÍA DE SOFTWARE, INGENIERÍA ECONÓMICA, INGENIERÍA MECÁNICA
TEXTOS DE INSTRUCCIÓN BÁSICOS (TINS) / UTP
Lima - Perú
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FÍSICA GENERAL
© FÍSICA GENERAL Desarrollo y Edición
:
Vicerrectorado de Investigación
Elaboración del TINS
:
• Mg. Elías Catalán Sánchez • Ing. Agustín Gutiérrez Páucar • Ing. Miguel Orellana Ambrosio
Diseño y Diagramación
:
• Julia Saldaña Balandra • Fiorella Espinoza Villafuerte
Soporte académico
:
Instituto de Investigación
Producción
:
Imprenta Grupo IDAT
Queda prohibida cualquier forma de reproducción, venta, comunicación pública y transformación de esta obra.
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“El presente material contiene una compilación de obras de Física para Ingeniería publicadas lícitamente, resúmenes de los temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de enseñanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en nuestra institución. Éste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de la Universidad Tecnológica del Perú, preparado para fines didácticos en aplicación del Artículo 41 inc. C y el Artículo 43 inc. A, del Decreto Legislativo 882, Ley sobre Derechos de Autor”.
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FÍSICA GENERAL
PRESENTACION
El presente texto elaborado en el marco de desarrollo de la Ingeniería, es un material de ayuda instruccional, en las carreras de Ingeniería de: Sistemas, Industrial, Electrónica, Mecatrónica y Telecomunicaciones; para la Asignatura de Física General, en el primer ciclo de estudios. Plasma la preocupación institucional de innovación de la enseñanza – aprendizaje, educativo universitario, que en acelerada continuidad promueve la producción de materiales educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de estos tiempos. Esta edición apropiadamente recopilada, de diversas fuentes bibliográficas, de uso más frecuente en la enseñanza de la Física, está ordenada en función del sillabus de la Asignatura arriba mencionada, ha sido posible gracias al esfuerzo y dedicación académica de los Profesores: Mg. Elías Catalán S., Ing. Agustín Gutiérrez P., Ing. Miguel Orellana A. La recopilación aludida, de temas pertinentes, consistentes y actualizados, para estudiantes de Ingeniería, comprende un ordenamiento orientado al abordaje de la Física de manera progresiva, y presenta los siguientes temas: El Análisis Dimensional, tiene como objetivo familiarizar al estudiante con las Magnitudes Fundamentales y Magnitudes Derivadas. El Análisis Vectorial, tiene como objetivo que el estudiante logre conocer apropiadamente las operaciones vectoriales, sus propiedades y su representación en el plano y en el espacio. En Cinemática, se describe el movimiento en una dimensión: Definición de variables (velocidad, desplazamiento, aceleración), Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). El Movimiento Parabólico, comprende el movimiento en dos dimensiones, conocido también como movimiento de proyectiles. El Movimiento Circular, presenta la definición de variables, fuerza para el movimiento circular, relación entre variables que definen los movimientos rectilíneo y circular.
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En Fuerza y Movimiento, se hace: una descripción de tipos de fuerza tanto en el campo de la Estática y la Dinámica. En las Leyes de Newton, se desarrolla las aplicaciones de las Leyes de Newton y problemas de Estática y Dinámica. El Trabajo – Energía – Potencia, trata de las condiciones que deben existir para que exista Trabajo. Manifestaciones de la Energía (Cinética, Potencial, Elástica, Mecánica, etc.). Se define la Potencia. En Fuerza Eléctrica – Campo Eléctrico – Potencial Eléctrico, el tema se inicia con la descripción de Carga Eléctrica, Conductor y Aislante. Se continua con la Ley de Coulomb, el Principio de Superposición, el Campo a partir del concepto de Michael Faraday, y el Generador de Van de Graaff. En Condensadores, (capacitores) se analizan diversos tipos y sus propiedades. En Electrodinámica, se trata de la Corriente Eléctrica y la Resistencia Eléctrica; así mismo las Leyes de Kirchhoff, la Ley de Ohm y la Ley de Paullet. El Magnetismo, la Ley de Gauss para el magnetismo, la Ley de Biot – Savart, la Ley de Ampere, etc. El Electromagnetismo, trata de las diferentes manifestaciones de la energía electromagnética en la Transmisión de la Energía Eléctrica, las Transmisiones Electromagnéticas, La Ley de Faraday, la Ley de Lenz, etc. En Introducción a la Física Moderna, el estudiante podrá comprender algunos temas como la Óptica Ondulatoria, la Mecánica Cuántica, la Física de partículas Elementales, etc. Cerrando estas líneas de presentación, el agradecimiento institucional a los ingenieros Agustín Gutiérrez P. y Miguel Orellana A. y al Mg. Elías Catalán S.; así mismop a los profesores que han contribuido al acopio de los temas y al comentario del presente texto.
LUCIO HERACLIO HUAMÁN URETA Vicerrectorado de Investigación
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ÍNDICE Magnitudes Físicas ........................................................................ Análisis Dimensional...................................................................... Magnitudes Vectoriales .................................................................. Cinemática ..................................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Problemas Propuestos .................................................................... Fuerza y Movimiento ..................................................................... Problemas Propuestos de Equilibrio de Partícula ............................ Trabajo, Energía y Potencia ............................................................ Problemas Resueltos....................................................................... Problemas Propuestos .................................................................... Electricidad y Magnetismo.............................................................. Problemas Resueltos....................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Potencial Eléctrico .......................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Condensadores............................................................................... Corriente Eléctrica .......................................................................... Problemas Resueltos....................................................................... Problemas de Electricidad .............................................................. Magnetismo.................................................................................... Electromagnetismo ......................................................................... Problemas Propuestos .................................................................... Introducción a la Física Moderna....................................................
11 17 29 73 101 115 119 136 139 147 160 163 169 176 181 188 193 205 213 216 241 261 267 271
Bibliografía.....................................................................................
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FÍSICA GENERAL
DISTRIBUCIÓN TEMÁTICA CLASE N°
1 2 3 4
5
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TEMA
Magnitudes físicas. Análisis Dimensional. Conversión de Unidades. Problemas Resueltos y Propuestos. Vectores en el plano. Tipos. Notación Vectorial. Componentes Rectangulares. Análisis Vectorial Bidimensional. Vectores en el espacio. Producto Escalar. Producto Vectorial. Propiedades. Vector Unitario. Aplicaciones Cinemática. Movimiento en una Dimensión. Sistema de Coordenadas y Desplazamiento. Movimiento con Aceleración Constante. Movimiento de Caída Libre. Movimiento en dos Dimensiones. Movimiento Parabólico. Tiempo de Vuelo. Altura Máxima. Alcance Horizontal. Alcance Horizontal Máximo. Ecuación de la Trayectoria. Aplicaciones. Movimiento Circular. Rapidez Tangencial. Rapidez Angular. Movimiento Circular Uniforme. Transmisión del Movimiento de Rotación. Problemas Resueltos y Propuestos. Fuerza y Movimiento. Tipos de Fuerza. Fuerza de movimiento. Fuerza de Campo. Fuerza de Gravitación universal. Fuerza Eléctrica. Fuerza Magnética. Fuerza Elástica. Leyes de Newton. Leyes de Newton del Movimiento. Fricción. Equilibrio Elástico. Aplicación de las Leyes de Newton. Trabajo, Energía y Potencia EXAMEN PARCIAL Carga Eléctrica y Ley de Coulomb Electromagnetismo Carga Eléctrica Cuantización de la Carga Eléctrica Ley de Coulomb Principio de Superposición
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SEMANA
1 2 3 4
5
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CLASE N°
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14
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TEMA
Campo Eléctrico Campo Eléctrico de Cargas Puntuales Cascarón Esférico con Carga Uniforme Potencial Eléctrico: • El acelerador • El generador de Van de Graff • Funcionamiento del Generador de Van de Graff • Potencial Eléctrico • Definición de Potencial Eléctrico • Potencial Generado por una Serie de Cargas Puntuales • Energía Potencial Electrostática Condensadores: Capacitancia Arreglos de Condensadores Asociación en Serie Asociación en Paralelo Dieléctricos Efecto Dieléctrico en un Condensador Corriente Eléctrica: Definición Intensidad de la Corriente Eléctrica Fuerza Electromotriz Pilas o Baterías Cantidades Eléctricas Ley de OHM Resistencia Códigos de los Colores de las Resistencias Magnetismo Electromagnetismo Introducción a la Física Moderna EXAMEN FINAL
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SEMANA
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MAGNITUDES FÍSICAS Y ANÁLISIS DIMENSIONAL
FÍSICA.- Es una ciencia experimental que estudia las interacciones de la naturaleza usando el método científico.
FENÓMENO FÍSICO.- Es todo cambio y/o transformación que experimentan ciertos cuerpos sin alterar su estructura atómica. Ejemplo: 1. El movimiento de un auto 2. La deformación parcial de un resorte 3. Los cambios de estado del agua
i)
Ciencia Experimental Teórico
ii)
Experimental
* Isaac Newton
* Cavendish
* J.C. Maxwell
* T. Hertz
* Albert Einstein (1879-1955)
* E. Fermi (teórico-experimental)
Ley de Gravitación Universal o Planetas
o Galaxias
o Sistemas Solares
o Grupos
o Constelaciones
o Cúmulos
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F
G
= G
Mm r2
Aristóteles Galileo T. Brahe
J. Kepler
Isaac Newton
iii)
1ra. Ley de las Orbitas 2da. Ley del barrido de áreas 3ra. Ley de los Periodos
Ley de Gravitación Universal
Teoría Electromagnética o
Maxwell (1865) } formuló 4 Ecuaciones llamadas ecuaciones de Maxwell (ondas electromagnéticas OEM)
o
Hertz (1888)
} Produce en el Laboratorio las O.E.M.
O.E.M.
+
iv)
Teoría de la Relatividad o
1905
(Teoría de la relatividad especial o restringida) Efecto Browniano Efecto fotoeléctrico (Premio Nobel) entregado a Albert Einstein.
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FÍSICA GENERAL
c=
Rapidez de la luz Contracción de las longitudes Dilatación del tiempo
o
1916
(Teoría General de la Relatividad)
o
1928
Experimento Astronómico Física Moderna Nano Física Cosmología Origen del Universo.
v)
Interacciones Tipos de interacciones: 1° Interacción Gravitacional
(I.G.)
2° Interacción Electromagnética
(I.E.M.)
3° Interacción Nuclear Fuerte
(I.N.F.)
4° Interacción Nuclear Débil
(I.N.D.)
I.E.M. (Maxwell 1865)
• Interacción Eléctrica
(I.E.)
• Interacción Magnética
(I.M.)
I.E.D.
• I.E.M.
En 1965 se descubrió la
(Interacción Electrodébil)
• I.N.D.
interacción electrodébil
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Método Científico I.
Observación: Consiste en ver, mirar u observar la ocurrencia del fenómeno
II.
Hipótesis: Consiste en dar una explicación preliminar o previa de la ocurrencia del fenómeno
III. Experimentación: Consiste en la medición de las variables observadas, valiéndonos para ello de instrumentos de medida y de las matemáticas. IV. Ley Física: Es la expresión clara y concisa y general del fenómeno físico analizado dando para ello una expresión matemática o enunciado, indicando además sus limitaciones. *
Permite predecir resultados
Magnitudes físicas Son todas aquellas que se pueden medir con cierto grado de precisión utilizando para ello un instrumento y una unidad de medida patrón convencionalmente establecido. Ejemplo: 1.
Las dimensiones del aula pueden ser medidas con una regla milimetrica usando como unidad el metro patrón.
2.
La masa de los cuerpos se miden con una balanza usando como unidad de medida el kilogramo patrón.
3.
El tiempo transcurrido con un cronómetro usando como unidad de medida el segundo, etc.
Las magnitudes físicas, se dividen en: A)
Según la Procedencia i.
Magnitudes físicas fundamentales: son el conjunto selecto de magnitudes físicas que definen el sistema de unidades, y en el caso del sistema internacional (S.I.) son 7:
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FÍSICA GENERAL
Tabla N° 1: Magnitudes fundamentales según S.I. Símbolo dimensional
Unidad de medida
Física General Símbolo de unidad de medida
Longitud
(L)
Metro
(m)
Masa
(M)
Kilogramo
(kg)
Tiempo
(T)
Segundo
(s)
Temperatura Termodinámica
(θ)
Kelvin
(ºK)
Intensidad de Corriente Eléctrica
(I)
Ampere
(A)
Intensidad Luminosa
(J)
Candela
(cd)
Cantidad de Sustancia
(N)
Mol
(mol)
Magnitud física
Las magnitudes físicas fundamentales nos permiten definir las magnitudes físicas restantes. ii.
Magnitudes físicas Derivadas: Son las magnitudes físicas que proceden de las magnitudes físicas fundamentales. Ejm.: • Velocidad (m/s) • Área (m2) • Densidad (kg/m3)
B)
Según sus Características i.
Magnitudes Físicas Escalares: Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente definidas por un número real y su correspondiente unidad de medida. Ejm.:
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FÍSICA GENERAL
ii.
• Masa
:
60 kg
• Volumen
:
1000 m3
• Tiempo
:
90 s
Magnitudes Físicas Vectoriales: Son aquellas magnitudes físicas que para ser definidas requieren: • Módulo • Dirección y • Sentido
EJEMPLO: Las magnitudes vectoriales, son representadas por flechas: •
V : Valor o módulo de la magnitud física vectorial.
•
θ: ángulo con la horizontal (dirección)
•
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Sentido
FÍSICA GENERAL
ANÁLISIS DIMENSIONAL
Estudia las relaciones entre las magnitudes físicas fundamentales y las magnitudes
físicas
derivadas;
para
esto,
se
usan
las
ecuaciones
dimensionales que nos describen la forma dimensional de las magnitudes físicas.
ECUACIÓN DIMENSIONAL: Son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y se usan para probar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. También, es una igualdad de tipo algebraico que expresan las relaciones existentes entre las magnitudes fundamentales y las derivadas.
Notación:
G G [ A ] ………… se lee: ecuación dimensional de A
Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra a excepciones de la suma y la resta, en la determinación de las dimensiones de una ecuación dimensional se utiliza el principio de Homogeneidad que dice “Todos los términos de una ecuación deben tener las mismas unidades. Ejemplo: Determinar la ecuación dimensional de la aceleración. Aceleración: a = v / t [a ] = LT-1 / T => [a ] = LT − 2
PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES 1.
Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del Álgebra a excepción de la suma y la resta.
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FÍSICA GENERAL
Ejemplo: Sean A y B magnitudes físicas: a) [A . B] = [A]. [B]
[A ] ⎡A⎤ b) ⎢ ⎥ = [B] ⎣B⎦ c) [An] = [A]n m d) ⎡ A n ⎤ = ⎢⎣ ⎥⎦
2.
m
[A ]n
= [A ]n / m
Las ecuaciones dimensionales de los números, ángulos y funciones trigonométricas, logaritmos de los números son iguales a la unidad. Estas son magnitudes adimensionales. Ejemplo: [2π × 10–6] = 1 ⎡ 3π ⎤ ⎢ 4 rad⎥ = 1 ⎣ ⎦ [sen 45° + cos 25° – π2 ] = 1
3.
Principios de homogeneidad de la suma o resta, para sumar o restar 2 o más magnitudes físicas, estas deben ser homogéneas (de la misma especie). El principio dice que: “En toda suma o resta correcta de magnitudes físicas, cada uno de los términos debe tener la misma ecuación dimensional al igual a la suma total o la diferencia”. Ejemplo: 5N kg + 6 kg N M
M
11 kg N M
15 kg + 6 m = ?? N N M
4.
(Correcto ) (Incorrecto )
L
Las constantes numéricas son adimensionales, pero las constantes físicas si tienen dimensiones ya que tienen unidades físicas.
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FÍSICA GENERAL
Ejemplo: Constantes numéricas: e=2,7182… π=3,14159 Constante física: Constante de gravitación universal
G=6,67x10-11
Aceleración de la gravedad
g=9,8
N.m 2 kg 2
m S2
ALGUNAS ECUACIONES DIMENSIONALES BÁSICAS i)
[A] = L2
A=área ó superficie
ii)
[V] = L3
V=volumen
iii)
[v] =
iv)
[a] =
v) vi)
vii)
[e] [t]
[Δv ] [t]
[ρ] = [m] [v ] [ω] = [α ] [t]
L = LT −1 T
=
= = =
[α ] = [Δω] (T )
LT −1 = LT − 2 T M 3
L
≡ ML− 3
1 = T −1 T
=
T −1 = T −2 T
viii) [F]=[m][a]=MLT-2 ix)
[W]=[F][d]=ML2T-2
v=velocidad lineal
a=aceleración lineal ρ=densidad ω=velocidad angular
α=aceleración angular F=fuerza W=trabajo ó calor ó energía
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PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA N°1.- La presión atmosférica es de 14,7 lb/pulg2 (PSI) en el sistema inglés. Convertir a unidades métricas de kg/cm2. Solución: P = 14,7
lb pu lg 2
×
0,4536 kg (1 pu lg) 2 × = 1,033 kg / cm 2 2 1 lb ( 2,54 cm)
D
PROBLEMA N°2.- ¿Cuántos Angstrom ( A ) hay en 2,01 cm? Solución: D
1 A =10-8cm D
2,01cm ×
1A 10 − 8 cm
8
D
= 2,01 × 10 A
PROBLEMA N°3.- La densidad del agua es 62,4 lb/pie3 en el sistema inglés, convertirla a unidades métricas (gr/cm3 ó gr/ml) Solución: d = 62,4 lb / pies ×
4,54 g 1pie 3 1pu lg3 × × 1lb (12 pu lg) 3 ( 2,54cm) 3
d=1 g/cm3
PROBLEMA N°4.- Convertir 900
km a m/s? h
Solución: 900
km ⎛ 1000m ⎞ ⎛ 1h ⎞ ⎛ km ⎞ ⎛ 5 ⎞ ×⎜ ⎟ = 900⎜ ⎟×⎜ ⎟ ≡ 250m / s ⎟×⎜ hr ⎝ 1km ⎠ ⎝ 3600s ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ 18 ⎠
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FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°5.- Hallar “α” para que la ecuación sea dimensionalmente correcta:
3
A 2 − B 3 = tgα.AB cos α
Solución: Dentro de la raíz, se debe cumplir [A2]=[B3] (por principio de homogeneidad) 3
B 3 = tgα.AB cos α
B = tgαAB cos α
[B] = [ tgα ][ A ][B]
cos α
= B3 + 2 cos α / 2
2=3+2cosα −
1 = cos α 2
α=120° PROBLEMA N°6.- La fórmula para hallar la rigidez de una cuerda es: ⎛ aQ ⎞ S = ⎜ + b ⎟ d 2 , donde: ⎝ R ⎠ Q=Peso (Newtons), R=radio, d=diámetro, S=(Newtons); hallar las ecuaciones dimensionales de las cantidades “a” y “b”; si dicha ecuación es dimensionalmente correcta. Solución: S = ad 2
Q + bd 2 R
⎡ d2Q ⎤ 2 [S ] = [a ] ⎢ ⎥ + [d ][b] ⎢⎣ R ⎥⎦ LMT-2=[a]L2MT-2=[b]L2 ∴
[a]=L-1 [b]=L-1MT-2
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FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°7.- Determinar las dimensiones de “A” e “Y” para que la expresión Y=APe(4mA/V) sea dimensionalmente correcta, siendo: P=presión, m=masa, v=rapidez y e=base de los logaritmos neperianos. Solución: De la expresión Y=APe(4mA/v), el exponente de “e” tiene como ecuación dimensional la unidad porque es un número: ⎡ 4mA ⎤ ⎢ v ⎥ =1 , ⎣ ⎦
M[ A ] LT
= 1 luego [A]=LT-1M-1
−1
[Y]=(LM-1T-1)(L-1MT-2)(1)
∴ [Y]=T-3
PROBLEMA N°8.- La siguiente expresión es dimensionalmente correcta: Bx sec 60° W − PC − mv α = 1− Agh Agh
hallar la fórmula dimensional de Q = A α α B ⎛⎜ c α ⎞⎟ ⎝ ⎠
−1
donde:
W=trabajo, m=masa, v=rapidez, g=aceleración de la gravedad, h=altura, x=distancia, P=potencia Solución: L2MT-2=M(LT-1)α=[A]LT-2L-[B]L2=L2MT-3[C] LαMT-α=L2MT-2, α=2, [A]=M, [B]=MT-2 [C]=T ∴Q=M5/2T-2 PROBLEMA N°9.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta r-yv-zF=nx, donde n =
masa ( longitud )( tiempo )
F=fuerza, r=radio, v=rapidez. Hallar: (x+y+z)
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FÍSICA GENERAL
Solución: [F]=[n]x[r]y[v]z LMT-2=(ML-1T-1)x(L)y(LT-1)z=L-x+y+z MxT-x-z L = L-x + Ly L2 → -x + y + z = 1 M = Mx → x = 1 T-2 = T-x T –z → -x –z = z Luego:
(x+y+z)=3
PROBLEMA N°10.- De acuerdo con la Ley de Coulomb para la interacción de dos cargas eléctricas en el vacío, se verifica lo siguiente: F=
1 4 πε
qq
1 2 2
d
0
, donde F=Fuerza
q1 y q2=cargas eléctricas, y d=distancia. Se pide encontrar las dimensiones de la permitividad eléctrica en el vacío (ε0) Solución: ⎡ 1 ⎤⎡ 1 [F] = ⎢ ⎥⎢ ⎣ 4 π ⎦ ⎢⎣ ε 0 LMT − 2 =
[ε ] = L
−3
0
[ ][ ]
⎤ q q 2 ⎥ 1 2 ⎥⎦ [d]
(1)(IT ) 2 [ε ] L2 0
M −1T 4I2
PROBLEMA N°11.- El período de un planeta que gira en la órbita circular depende del radio de la órbita [R], de la masa de la estrella [M] y la constante de gravitación universal [G]. Dato: G=M-1L3T-2
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FÍSICA GENERAL
Solución: De acuerdo al enunciado tenemos: T=KRxMyGz [T]=[K][R]x[M]y[G]z T=LxMyM-zL3zT-2z T=My-zLx+3zT-2z M°L°T1=My-zLx+3zT-2z A igual base, exponentes iguales: M°=My-z → 0=y-z → y=z T1=T-2z → 1=-–2z →z=
−1 2
L°=Lx+3z → 0=x+3z → x=–3z
x=
3 2
Luego: T=KR3/2M-1/2G-1/2
T =
KR 3 / 2 M1 / 2G1 / 2
T=KR
R MG
PROBLEMA N°12.- Determinar la fórmula que nos permite expresar el volumen de H2O por unidad de tiempo [Q] que sale por un agujero, sabiendo que depende de la densidad (d), del diámetro (D), presión (p) y K constante adimensional. Solución: De acuerdo al enunciado tenemos: Q=KdxDyPz [Q]=[K][d]x[D]y[P]z L3T-1=(1)(ML-3)x(L)y[ML-1T-2)z
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FÍSICA GENERAL
M°L3T-1=Mx+z. Ly-3x-zT-2z Igualando exponentes de base igual: M°=Mx+z → x+z=0→ x = -1/2 L3=Ly-3x-z → 3=y-3x-z → y = 2 T-1=T-2z → -1=-2z → z = 1/2 En (I): Q=Kd-1/2D2P1/2 Q=KD2
P d
PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA N°1.- Encontrar [K]y[C] si la ecuación es dimensionalmente correcta C =
Msenθ m(K 2 + H2 )
; donde: M=momento de fuerza, m=masa y
H=altura. Respuesta: [K]=L, [C]=T-2 PROBLEMA N°2.- Determinar las dimensiones que debe tener “Q” para que
la
expresión
W=0,5mvα+Agh+BP,
“W” donde
sea
dimensionalmente
W=trabajo,
m=masa,
correcta v=rapidez,
g=aceleración de la gravedad, h=altura, P=potencia, α=potencia desconocida. Hallar: Q = A α α B Respuesta: Q=M2 T
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FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°3.- Halle la ecuación dimensional de “C” en la expresión:
⎡ − mv 2 ⎤ ⎢ 2cθE ⎥ − 1⎥ , P = P0 ⎢e ⎢⎣ ⎥⎦
donde:
v=rapidez,
m=masa,
E=energía,
θ=temperatura, P≡P0=potencia Respuesta: [C]= θ-1 PROBLEMA N°4.- En la ecuación dimensionalmente correcta hallar [B]. Donde: P=potencia y W=peso específico
48 π PW − = ln N Nseny yB
Respuesta: [B]=M2T-5 PROBLEMA N°5.- En la ecuación homogénea, halle [x], siendo “e”, base de los
logaritmos
neperianos
x(P1 − P2) = z.e xyz .y.F ; 4 πsenα
donde:
P1
y
P2=presiones, F=fuerza Respuesta: [x]=L
PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES Ejercicio 1: En la figura se tiene un cuerpo sumergido en un líquido. La expresión dimensional de su densidad está definida por la siguiente ecuación: D = X.m + Y.A + Z.h Donde D = densidad, m = masa del cuerpo, A=área, h=altura del cuerpo con respecto a la base del recipiente. Determinar las dimensiones de X, Y, Z.
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FÍSICA GENERAL
Ejercicio 2: Se tiene un ventilador (ver figura), la potencia de su hélice esta determinada por la siguiente ecuación dimensional. Donde P=potencia, w=velocidad angular. Determinar las dimensiones de K y las unidades en el SI. P = K.ω2.Tg θ Ejercicio 3: En la figura se fisiona el núcleo de un átomo y se liberan las partículas subatómicas. La energía que llevan está determinada por la siguiente expresión dimensional. Donde: E=energía, F=fuerza,
V=velocidad,
a=aceleración.
Determine
las
dimensiones de A, B, C. E = A.F + B.v2 + C.a Ejercicio 4: La velocidad del cuerpo de la figura sobre el eje X está dada por la ecuación dimensional. Donde t = tiempo. Determinar las dimensiones de K2
Ejercicio 5: En la figura, la fuerza necesaria para subir el cuerpo está definida por la siguiente ecuación dimensional. Determinar las dimensiones de B y sus unidades en el SI. F = fuerza, V=velocidad.
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FÍSICA GENERAL
Ejercicio 6: En un tubo de rayos catódicos se liberan electrones. (Ver figura) La distancia recorrida por dichos electrones en un tiempo (t) está dada por la siguiente ecuación dimensional. Identifica las dimensiones de X, Y, Z.
d = X + Y .t +
1 2 Z .t 2
Ejercicio 7: En la figura la presión que ejerce el cuerpo sobre el líquido está definida por la ecuación dimensional. Donde P = presión, W = peso, g = aceleración, h = altura del objeto con respecto a la base. Determine las dimensiones de A y B.
Ejercicio 8: En la figura se deja caer un cuerpo del globo. Un investigador asocia al evento la siguiente ecuación dimensional. Donde P = peso del objeto que cae, t=tiempo y m=masa. A través del análisis dimensional identifica que magnitud física representa K.
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FÍSICA GENERAL
MAGNITUDES VECTORIALES
Una magnitud vectorial es aquella que tiene módulo, dirección y sentido y puede representarse por un vector. Ejemplo: Velocidad, desplazamiento, aceleración.
VECTOR EN EL PLANO Definición de vector Es una magnitud que para ser determinada se requiere conocer su módulo, su dirección y su sentido. Por ejemplo la velocidad, aceleración, fuerza, etc. Cada vector posee unas características que son: Sentido
G A
Origen
o
Módulo
θ
G | A |= MóduloGdel Vector A . θ = ángulo respecto al eje X, determina la G dirección de A .
Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo (o Norma) Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
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FÍSICA GENERAL
Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Esta determinado por el ángulo que hace el vector con el eje X positivo. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
TIPOS DE VECTORES Vectores Paralelos: Tienen la misma dirección y sentido, pero no necesariamente el mismo módulo. B
A
θ
θ
Vectores Antiparalelos: Tienen la misma dirección y sentidos opuestos, y no necesariamente el mismo módulo.
B
A
θ
θ
Negativo de un Vector: Es un Vector que tiene sentidos opuestos al vector original, conserva su mismo módulo y la misma dirección.
30
FÍSICA GENERAL
B
A
θ
B=–A
θ
Vectores Iguales: Son Vectores que tienen igual módulo, la misma dirección y el mismo sentido. B
A
θ
A=B
θ
Leyes del álgebra vectorial G G G G (1) A+ B = B+ A G G G G G G (2) A + ( B + C ) = ( A + B) + C
(4)
G G mA = Am G G m(nA) = (mn) A
(5)
G G G (m + n) A = mA + nA
(6)
G G G G m( A + B ) = mA + nB
(3)
Vector Unitario G Es todo vector de módulo unidad. Si A es un vector de módulo distinto de G G A cero, | A | ≠ 0, El vector μˆ A = es un vector unitario de la misma A G dirección y sentido que A .
Como ejemplo de vectores unitarios, tenemos:
31
FÍSICA GENERAL
G Ay A ⎤ A ⎡ Ax ˆj + z kˆ ⎥ = (Cosαiˆ + Cosβˆj + Cosγkˆ ) μˆ A = = ⎢ iˆ + A ⎦ A A ⎣ A
Multiplicación de un Vector por un Escalar Sea A el Vector, y r = 2 el Escalar, luego: C = r A , donde C es un Vector.
2A
A
El escalar r puede ser positivo o negativo. En éste último caso el vector resultante tiene sentido opuesto al vector original.
Sistema de Referencia El sistema de referencia espacial de los vectores, estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Vectores unitarios elementales
iˆ : vector unitario paralelo al eje x ˆj : vector unitario paralelo al eje y kˆ : vector unitario paralelo al eje z
Componentes de un vector
32
FÍSICA GENERAL
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. Sea
G r el vector.
G JG G r = rx + r y + r2 También puede representarse en función de los vectores unitarios z elementales: r
G r = ( x, y, z ) G G G G r = xi + yj + zk
y x
OPERACIONES CON VECTORES A)
Suma de Vectores
(A.1) Métodos gráficos: (A.1.1) Método del Paralelogramo.- Este método es válido para dos
vectores
concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une
a los vectores por el origen y se forma el paralelogramo. (A.1.2) Método del Triángulo.- Es válido para dos vectores. Se une
el extremo de uno de los vectores con el extremo del otro y se forma el triángulo. (A.1.3) Método del Polígono Se usa para más de dos vectores. Se
dibujan los vectores uno a continuación de otro y la resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.
33
FÍSICA GENERAL
(A.2) Método Analítico.
Para hallar la resultante por este método, sigue los siguientes pasos: a)
Se
descomponen
los
vectores
en
sus
componentes
rectangulares. b)
Se halla la resultante de las componentes en las direcciones x, y ez
Ejemplo: Sumar y Restar los vectores P y Q Q
Q R=P+Q R=P–Q
P
P (A.3) Método Algebraico para la Suma de vectores G Dados tres vectores A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ G B = B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ G C = C x iˆ + C y ˆj + C z kˆ
G G G G La expresión correspondiente al vector suma es: S = A + B + C O también:
G S = S x iˆ + S y ˆj + S z kˆ
Siendo por tanto:
S x = Ax + Bx + C x
34
FÍSICA GENERAL
PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores
y B , llamado también producto
A
punto, representado por el símbolo A . B
(se lee A multiplicado
escalarmente por B ), se define como la cantidad escalar obtenida hallando el producto de la magnitudes de A y B con el coseno del ángulo entre los vectores: A . B = AB cos θ =⏐ A ⏐⏐ B ⏐ cos θ
00 ≥ θ ≥ 1800
A B
θ
PROPIEDADES:
1.
A .B = B . A
(Ley conmutativa para el producto escalar)
2.
A . (B + C ) = A . B + A . C
3.
P ( A . B ) = (p A ). B = A . ( p B = ( A . B )p
4.
iˆ . iˆ = ˆj . ˆj = kˆ . kˆ = 1; iˆ . ˆj = ˆj . kˆ = kˆ . iˆ = 0
5.
Si A
. B = 0. Si
A
(ley distributiva)
y B no son nulos, entonces A
y B son
perpendiculares.
→
EJERCICIO: Encontrar el ángulo entre los vectores: A = 2i + 2 j − k y →
B = 6i − 3 j + 2k →
→
Solución.- Aplicando el producto escalar a los vectores A y B tendremos: →
→
A .B A .B = ABCosθ → Cosθ = = AB →
→
35
A xBx + A yBy + A zBz A 2x + A 2y + A 2z
B2X + B2Y + B2Z
FÍSICA GENERAL
Reemplazando datos tendremos: (2)(6) + (2)( −3) + ( −1)(2)
Cosθ =
=
22 + 22 + ( −1)2 62 + ( −3)2 + 22
4 = 0,1905 → θ ≅ 79 o (3)(7)
.
1.1.1 Producto Vectorial El producto vectorial de dos vectores A y B , representado por el símbolo A x B
se lee A multiplicado vectorialmente por B), se
define como el vector perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha
sido rotado de A hacia B .
La magnitud del producto vectorial
AxB
está dada por:
⏐ A x B ⏐=AB sen θ
Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A x B es la siguiente: Colocar el pulgar, índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura.
36
FÍSICA GENERAL
Propiedades:
1.
Ax B
= - B x A
(ley conmutativa para el producto
vectorial no se cumple) 2.
A x ( B +C ) = Ax B + Ax C
3.
p ( A x B ) = (p A )x B = A x ( p B ) =( A x B )p , donde p es
Ley distributiva
un escalar 4.
iˆ x iˆ = ˆj x ˆj = kˆ x kˆ = 0, iˆ x ˆj = kˆ , ˆj x kˆ = iˆ , kˆ x iˆ
= ˆj 5.
Si A = Ax iˆ + Ay ˆj +Az kˆ
y B = Bx iˆ + B
y
ˆj + Bz kˆ ,
entonces ⎡ iˆ ⎢ A x B = ⎢ Ax ⎢B ⎣ x
kˆ ⎤ ⎥ Az ⎥ Bz ⎥ ⎦
ˆj Ay By
6.
⏐ A x B ⏐ = área del paralelogramo con lados A y B.
7.
G G G G G G G Si AxB = 0 , siendo A y B vectores no nulos, entonces A y B son paralelos.
OPERACIONES CON VECTORES •
ADICIÓN DE VECTORES
(
Dado dos vectores a = a1 , a 2
(1
a+b = a +b , a +b 1
2
2
)
y
) 37
( 1 2)
b = b , b ; se define la suma
FÍSICA GENERAL
a = (3,4)
Ejemplo:
b = (1,2) c =
(
2, 3
)
a + b = ( 4,6 )
(
a+b+c = 4+
( a + c = (3 +
b + c = 1+
2 ,6 +
2 ,2 +
2 ,4 +
3
) 3)
)
3
Gráficamente:
•
SUSTRACCIÓN DE VECTORES
(
Dado dos vectores a = a1, a 2
(1
a − b = a − b ,a − b 1
2
2
)
)
Ejemplo: a = (3,4) b = (1,2) c =
(
2, 3
) 38
(
)
y b = b1 , b 2 , se define la resta
FÍSICA GENERAL
a − b = ( 2,2)
(
a − c = 3 − 2 ,4 − 3
)
CALCULO DE LA RESULTANTE DE VECTORES REGLA DEL PARALELOGRAMO
Nota: Para
la suma o composición de vectores, se debe colocar
secuencialmente el conjunto de vectores uno tras de otro (no importando el vector inicio), de tal forma, que el vector suma ó resultante se obtiene uniendo el punto inicial con el punto final de la secuencia.
EJEMPLO: Hallar gráficamente la suma de los siguientes vectores: B C
C A
B A D R
D
R= A+ B+ C+D
(b) Arreglo final
(a) Disposición original
39
FÍSICA GENERAL
CASO ESPECIAL: S = A + B ⎧S ⎪ S⎨ ⎪⎩δ ⎧ S = ⎨ A ⎩
tgδ =
•
2
+ B
2
1/ 2
⎫ + 2 A B cos θ⎬ ⎭
B senθ A + B cos θ
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR a POR UN ESCALAR
r:
(
)
Dado un vector a = a1 , a 2 , se define la multiplicación
r a , al
vector r a =r(a1,a2)=(ra1,ra2) 1) Si r>0
2) Si r<0
VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS ˆi = (1,0) , ˆj = (0,1)
Los vectores unitarios ˆi , ˆj son notables ya que siguen la misma dirección positiva de los semiejes OX y OY respectivamente.
40
FÍSICA GENERAL
EJEMPLO a = (3,4)
a = 3ˆi + 4ˆj a = 3(1,0) + 4(0,1) a = (3,0) + (0 ,4) = (3,4)
ANGULO DE INCLINACIÓN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE EJES COORDENADOS O CARTESIANOS Dado un vector a , en su representación como
y
radio vector, es decir con su origen en el origen de coordenadas. θ es el ángulo que hace el vector
a
con el eje X positivo, medido en el sentido antihorario. El vector unitario en la dirección del ˆa vector a se define como: u
0
ˆa = u
u Luego: a = a ˆ
…
a
u2
a a
ˆa = 1, , u
x
u1 ua
u2
u1
(1)
u = (u1 , u 2 ) tiene como modulo la unidad (1) El vector unitario ˆ a
En la figura mostrada:
senθ = cos θ =
u2 (1) u1 (1)
→ u 2 = senθ → u1 = cos θ
41
FÍSICA GENERAL
Luego el vector unitario ˆ u : a
ˆ u =(cosθ,senθ)
…
a
(2)
Reemplazando la ecuación (2) en (1): a = a (cos θ, senθ)
Ésta es una nueva expresión para el vector a en función de su módulo y el ángulo que hace con el eje positivo de las X.
EJEMPLO y
A = A (cos 53º , sen53º )
A
B 30
⎛3 4⎞ A = 30⎜ , ⎟ = (18,24 ) ⎝5 5⎠
20
B = 20(− cos 37 º , sen37 º )
37º
53º
45º
(
)
(
)
20
2
⎛ 4 3⎞ B = (20 ) ⎜ − , ⎟ = (− 16,12 ) ⎝ 5 5⎠ C
C = 20 2 (− cos 45º ,− sen 45º ) ⎛ 1 −1⎞ ⎟ = (− 20 ,−20 ) C = 20 2 ⎜⎜ − ⎟ 2 2 ⎠ ⎝
PRODUCTO ESCALAR
(
)
(
)
Dado dos vectores a = a1 , a 2 y b = b1 , b 2 ; se define el producto escalar a.b = a b + a b , y usando las propiedades del producto escalar se 1 1
2 2
establece que a . b = a b cos θ donde θ es el ángulo entre los vectores a y b.
42
x
FÍSICA GENERAL
De
b
la
cos θ = a
expresión
anterior
despejamos
(a.b) , luego θ = arc cos⎡⎢ (a.b) ⎤⎥ ⎢a b⎥ ⎥⎦ ⎣⎢
a b
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR i.
Propiedad conmutativa
ii.
Factorización de un escalar
a.b = b.a
(r a . b) = r (a . b) , ∀r ∈ ℜ a . (b + c ) = a . b + a . c
iii. Propiedad distributiva iv. Producto escalar de un vector por sí mismo v.
a+b
vi.
a−b
2
2
= a = a
2
2
+ 2a.b + b − 2a.b + b
a.a = a
2
= a2 + a2 ≥ 0 1
2
2
2
ORTOGONALIDAD DE VECTORES Dos vectores a y b son ortogonales, si éstos son perpendiculares. Es decir si forman entre sí un ángulo de 90°.
Dos
vectores
a y b
son
ortogonales ⇔ (si y solo sí) a+b = a−b
Las longitudes de sus diagonales son iguales.
43
FÍSICA GENERAL ⊥ EL VECTOR ORTOGONAL ⎛⎜ a ⎞⎟
⎝
(
⎠
)
Dado un vector a = a1 , a 2 , su ortogonal será vectores a y a
⊥
a
⊥
(
)
= − a , a , ambos 2
1
tienen la misma longitud.
EJEMPLO a = (3,4 ) a
⊥
= (− 4,3)
⊥
(a ) ⊥ = (− 3,−4 ) = −(3,4) = −a
VECTORES
EN
UN
SISTEMA
DE
COORDENADAS
CARTESIANAS TRIDIMENSIONALES Dado un vector a
(
)
representado en tres dimensiones, a = a1 , a 2 , a 3 , su
representación en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional es de la siguiente forma:
Punto P=(a1,a2,a3)
a = OP = P − O
Punto O=(0,0,0)
a = a1 , a 2 , a 3
(
44
)
FÍSICA GENERAL
MODULO O NORMA DE UN VECTOR a
(
)
Dado un vector a = a1 , a 2 .a 3 ; se define modulo o norma al número positivo a =
a12 + a 22 + a 32
EJEMPLO a = (3,4,12) , b = (1,2,2) ,
ˆ u
a
ˆ u
3 2 + 4 2 + 12 2 =
a =
12 + 2 2 + 2 2 =
b =
169 = 13 9 = 3
4 12 ⎞ ⎛ 3 = ⎜ , , ⎟ ⎝ 13 13 13 ⎠ 2
a
=
2
⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠
2
=
169 = 1 169
VECTOR UNITARIO ⎛⎜ ˆu ⎞⎟ ⎝
a
⎠
Un vector unitario es un vector cuyo modulo o cantidad es 1. Todo vector
a ≠ 0 , tiene un único vector unitario en la misma dirección que el vector a , definido por ˆ u
a
=
a a
, donde ˆ u = vector unitario en la dirección de a
a.
EJEMPLO Dado el vector
a = (3,4,12) ,
a = 13
45
FÍSICA GENERAL
ˆ u
a
a
=
a
=
(3,4,12 ) 13
b = (1,2 ,2) , ˆ u
b
b
=
a
=
4 12 ⎞ ⎛ 3 = ⎜ , , ⎟ ⎝ 13 13 13 ⎠
b = 3
(1,2,2 ) 3
⎛1 2 2⎞ = ⎜ , , ⎟ ⎝3 3 3⎠
VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN 3D ˆi = (1,0,0) , ˆj = (0,1,0) , ˆ k = (0,0,1) z
Los vectores unitarios
ˆi , ˆj , ˆ k son notables ya que
k
apuntan a la misma dirección positiva de los ejes OX,
O
OY y OZ respectivamente.
j
i x
EJEMPLO
(
)
a = (6 ,2,3)
b = 2, 3 ,−3
k Puede ser expresado a = 6ˆi + 2ˆj + 3ˆ
b = 2ˆi +
3ˆj − 3ˆ k
(
)
PRODUCTO ESCALAR
(
a = a1 , a 2 , a 3
Dado dos vectores
)y
b = b1 , b 2 , b 3 , se define el
producto escalar a.b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . Y mediante las propiedades del producto escalar se demuestra:
a.b =
a
b cos θ
,
46
cos θ =
(a.b ) a
b
y
FÍSICA GENERAL
θ = arc cos
(a.b )
EJEMPLO: Hallar el ángulo que forman
a
los vectores a =(3,4,12) y b =(1,2,2)
b
a • b =(3)(1)+(4)(2)+12(2)=3+8+24 a • b =35 3 2 + 4 2 + 12 2 =
a = b =
12 + 2 2 + 2 2 =
θ = arccos
(a.b)
169 = 13 9 = 3
35 ⎞ ⎛ 35 ⎟⎟ = arccos⎜⎜ = ( 13 )( 3 ) 39 ⎝ ⎠ a b
θ = arccos (0 ,8974 ) ≅ 26,18°
DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL ⎧θ x ángulos ⎪⎪ ⎨θ directores ⎪ y ⎪⎩θ z ⎧cos θ x cos enos ⎪⎪ cos θ ⎨ y directores ⎪ ⎪⎩cos θ z
ˆ u
a
ˆ u
a
(
= cos θ x , cos θ y , cos θ z =
)
cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos 2 θ z = 1
cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos 2 θ z = 1
47
FÍSICA GENERAL
Sabemos: ˆ u
a
a
=
a
a
(a1,a2,a 3)=
a cos
a = a cos θ 1
cos θ
x
=
a
x
y
=
z
=
→ θ
x
y
3
) = a (cos θ x , cos θ y , cos θ z )
a cos
z
⎛ a ⎞ = arccos ⎜ 1 ⎟ ⎜ | a |⎟ ⎠ ⎝
a
a
⎛ a ⎞ → θ y = arccos ⎜ 2 ⎟ ⎜ | a |⎟ ⎠ ⎝
2
a
a 3 = a cos θ z cos θ
a cos
x
2
1
a 2 = a cos θ y cos θ
(1
→a = a ˆ u → a ,a ,a
a
→
⎛ a ⎞ θ z = arccos ⎜ 3 ⎟ ⎜ | a |⎟ ⎝ ⎠
3
a
EJEMPLO Hallar la dirección del vector a = (1,2,2) ,
48
a
=
12 + 2 2 + 2 2 = 3
FÍSICA GENERAL
⎧ ⎛1⎞ ⎪θ x = arccos ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎪ ⎪⎪ ⎛2⎞ ⎨θ y = arccos ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎪ ⎪ ⎛2⎞ ⎪θ z = arccos ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝3⎠
EJEMPLO Hallar un vector ortogonal c a los vectores a y b a = (2,3,4) y b = (1,2 ,1)
El vector c ortogonal a a y b es c = a × b ˆi ˆj ˆ k
()
()
()
3 4 2 4 2 3 c = a × b = 2 3 4 = ˆi − ˆj + ˆ k 2 1 1 1 1 2 1 2 1
()
()
c = a × b = (ˆi ) (3 − 8) − ˆj (2 − 4 ) + ˆ k (4 − 3)
()
()
c = a × b = (ˆi ) (− 5) − ˆj (− 2 ) + ˆ k (1) = (− 5,2,1) c = (− 5,2 ,1)
TEOREMA
b
Dos vectores a y b son ortogonales si y sólo sí a • b =0, es decir su producto escalar es igual a cero.
Luego si c en el ejemplo es ortogonal a b y c , entonces
a • b =0 → (2,3,4)•(-5,2,1)=-10+6+4=0 b • c =0→ (1,2,1)•(-5,2,1)=-5+4+1=0
Luego, se verifica que el producto escalar es igual a cero en ambos casos.
49
a
FÍSICA GENERAL
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL i)
Propiedad anticonmutativa
ii)
Factorización de un escalar
a × b = −b × a
iii) Propiedad distributiva
(r a × b) = (r )(a × b), r ∈ ℜ a × (b + c ) = a × b + a × c
iv) Módulo del producto vectorial
a × b = a b senθ , donde
⎧ˆi × ˆj = ˆ k ⎪ ⎪ˆ ˆ ˆ ⎨ j ×k = i ⎪ˆ ˆ ˆ ⎪⎩ k × i = j ⎧ˆj × ˆi = − ˆ k ⎪ ⎪ˆ ˆ ˆ ⎨k × j = − i ⎪ˆ ˆ ˆ ⎪⎩ i × k = − j
ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y DE UN PARALELOGRAMO senθ =
h
A=Area de un paralelogramo
b
AΔ=Area de un triángulo
50
FÍSICA GENERAL
h = b senθ …..
A = a h
(1)
…..
(2)
Reemplazando (1) en (2): A= a b senθ = a × b (propiedad iv) A = a × b
Luego:
Luego el área del triángulo es:
AΔ=
1 a×b 2
EJEMPLO Hallar el área del triángulo formado por los puntos A(0,0,0), B(2,2,6), C(1,6,3)
a = AC = C − A = (1,6,3) b = AB = B − A = (2,2,6)
ˆi ˆj ˆ k
()
()
()
6 3 1 3 1 6 a × b = 1 6 3 = ˆi − ˆj + ˆ k 2 6 2 6 2 2 2 2 6
() () () a × b = (ˆi ) (30 ) − (ˆj ) (0 ) + (ˆ k ) (− 10 )
a × b = ˆi [36 − 6] − ˆj [6 − 6] + ˆ k (2 − 12 )
a × b = (30,0,−10 )
a×b =
(30 )2
+ 0 + (− 10 )2
51
FÍSICA GENERAL
a×b =
A
A
=
900 + 100 = 1000 = 10 10
1 a × b = 5 10 u 2 2
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA N°1.- Las tres fuerzas de
la figura actúan sobre un cuerpo materializado en el origen. Hallar la resultante y su dirección. Solución
F1x = 173.205
F1y =
10
F2x = -212.132
F2y = 212.13
F3x = -60.182
F3y = -79.86
---------------------------
---------------------
---FRx = -99.109
FR = (− 99,109 )ˆi + (232,268)ˆj F
R
= 252,53 N
tgθ =
232,268 − 99,109
θ = 113,1079°
52
FRy = 232.26
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°2.- Las componentes X y Z de la fuerza F mostrada en la
figura son 150 kg y -50 kg respectivamente. ¿Cuál es el valor de la fuerza F y cuáles son sus cosenos directores?
Solución Z
F =(F1, F2, F3)
F1=| F |cosθx → cosθx=
F2=| F |cosθy → cosθy=
F3=| F |cosθz → cosθz=
F1 F 30º
F2 F
F
F3
X
F
θy=30°
cosθy=
3 2
150= F cosθx → cosθx=
-50= F cosθz → cosθz=
150 F − 50
F
cos2θx+cos2θy+cos2θz=1 2
2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ 150 ⎟ ⎜ − 50 ⎟ ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎜ F ⎟ ⎜ F ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
= 1
53
Y
FÍSICA GENERAL
Luego: cosθx=
150 ≅ 0.474 316.228 3 ≅ 0.867 2
cosθy= cosθz=
− 50 ≅ 0.158 316.228
hallar (m+n)2, si el vector a es paralelo a
M x
b . M es punto medio de AC y N es punto
medio de BD y x = ma + nb
A
a
Solución
BN " (1)⎫⎪ ⎬ sumando (1)+(2) a + AM + x = DN " (2)⎭⎪ b + CM + x =
a + AM + x + b + CM + x = DN + BN a + b + 2 x + AM + CM = BN + DN "
CM = MA = − AM "
Sabemos:
(3) (4)
DN = NB = −BN
Reemplazando (4) en (3):
(
)
(
a + b + 2 x + AM + − AM = BN + − BN
a + b + 2x = 0 2 x = −a − b x =
1 −1 a− b 2 2
54
b
B
PROBLEMA N°3.- En el gráfico mostrado
)
C N
D
FÍSICA GENERAL
luego:
m =
(m + n )2
−1 2
−1 2
n =
1⎞ ⎛ 1 = ⎜− − ⎟ 2⎠ ⎝ 2
2
= 1
PROBLEMA N°4.- En la figura mostrada, hallar el vector:
6a + 2b + 2c + 8d + 6e + 2f
Solución
De la figura observamos que: a+b = c d+e+c = 0 a+d+f = 0 Y piden: E = 6a + 4b + 2c + 8d + 6e + 2f Luego:
(
) (
) (
)
E = 2 a + d + f + 2 d + e + c + 4 a + b + 4e + 4d
⎛ ⎞ ⎜ + b + e + d⎟ E = 4 a ⎜
⎟ ⎝ c ⎠
55
FÍSICA GENERAL
⎛ ⎞ E = 4⎜ c + e + d ⎟ = 0 ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ E = 0 k , el PROBLEMA N°5.- Se tiene los vectores A y B , si B = 10ˆi + 10ˆj + 5ˆ módulo de A es 8 y A.B = 60 . Se pide hallar A × B = ? Solución
Como B = 10ˆi + 10ˆj + 5ˆ k
B = (10,10,5) ,
B =
10 2 + 10 2 + 5 2 = 5 9 = 15
A.B = AB cos θ → 60 = (15)(8) cos θ →
60 1 = cos θ = → θ = 60° 120 2
Se sabe: A × B = ABsenθ Luego:
⎛ 3⎞ ⎟ = 60 3 → A × B = 60 3 A × B = (8)(15) ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
PROBLEMA N°9.- La figura muestra 4 vectores, con indicación de sus
cantidades y orientación. Hallar a + b + c + d
Solución
b 10
Del gráfico se observa: a + b + c + d = 0
10 a 2
c d
56
14
FÍSICA GENERAL
a
PROBLEMA N°6.- Dado los siguientes vectores. Hallar
f
el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si
b e
f=9 y d=12; siendo f y d perpendiculares. c
d
Solución
R = c+b+a+f +e+d
( )
Del gráfico vemos que: c + b + a + − f + e = d
∴ R = d + d + f + f = 2d + 2f R =
(2d)2
+ (2f )2 =
18 2 + 24 2 = 30
R = 30
PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES PROBLEMA N°1.- Se muestra un cuadrado de 4m de lado dividido
uniformemente en 16 cuadraditos. Calcular: a)
el vector resultante
b)
la cantidad de R
c)
un vector unitario en la dirección de R
d)
el sentido de R
e)
la dirección de R Respuesta: a) R =(3,6)
b) 3 5
⎛ 5 2 5⎞ ⎟ u = ⎜ , c) ˆ ⎜ 5 ⎟ 5 ⎝ ⎠
PROBLEMA N°2.- Dos vectores A y B de 10 y 15 unidades de longitud
forman un ángulo entre sí de (a)0°, (b)60°, (c)150°, (d) 180°. Encontrar para cada caso:
57
FÍSICA GENERAL
a)
el vector resultante R = A + B
b)
la cantidad de R = R
c)
la dirección de R
d)
el sentido de R
NOTA: Tomar como referencia el vector más pequeño, es decir el vector de
cantidad menor en la dirección del eje x.
PROBLEMA N°3.- Dos vectores A y B , tienen una resultante máxima de
16 y una mínima de 4. ¿Cuál será el módulo de la resultante de dichos vectores cuando éstos formen 127° entre sí? Respuesta: 8 unidades PROBLEMA N°4.- Sobre un clavo ubicado
fijamente en el piso se especifican las acciones
F2
de dos fuerzas cuyos módulos son de 1 N y 2
60º 120º
newton respectivamente. Determine: a)
el módulo de la fuerza resultante
b)
el módulo de la diferencia de fuerzas
Respuesta: a) F1 + F2 =
+ F1
3N
b) F1 − F2 =
7N
PROBLEMA N°5.- Hallar la resultante y su dirección del siguiente sistema
de vectores concurrentes y coplanares.
58
FÍSICA GENERAL
Respuesta: a) R = 30ˆi + 40ˆj ,
R = 50N ,
PROBLEMA N°6.- Halle el vector resultante, su
θ = 53°
5
2 2
cantidad y dirección en el siguiente diagrama. 45º
37º
Respuesta: a) R = (2,3) ,
R =
13
2
⎛ 3⎞ , θ = arctg ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ Z
PROBLEMA N°7.- Hallar la siguiente
expresión términos
vectorial de
los
R = F − P,
vectores
4
en
3
F
unitarios
P
ˆi , ˆj y ˆ k . F = 20 , P = 10
Y
6 10 X
Respuesta: R = −
26 ˆ 68 ˆ 20 ˆ i − j+ k 3 3 3
R
A
G
PROBLEMA N°8.- En la figura, ABC es un
triángulo equilátero, R, S y M son puntos medios
M
F
de los lados AB , BC y AC respectivamente. Si
MB = mAB + nSC + r FG
C
59
B
S
FÍSICA GENERAL
Hallar: P=r-2n-4m Respuesta: P=0 PROBLEMA N°9.-
a)
¿Para
qué
valores
a = 3ˆi + αˆj + ˆ k y b)
α
de
son
ortogonales
los
vectores
b = 4ˆi − 2αˆj − 3ˆ k?
Hallar b × a
Respuesta:
a) α1 = b)
3 2 2
α
⎛3 2 b×a = ⎜ ⎜ 2 ⎝
2
=
−3 2 2
(
)
⎞ ⎟ ˆi + (− 13) ˆj + 15 2 ˆ k ⎟ ⎠
(
)
⎛−3 2 ⎞ ⎟ ˆi + (− 13) ˆj + − 15 2 ˆ b×a = ⎜ k ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ Y
PROBLEMA N°10.- Hallar el área formada por los
siguientes
puntos:
P=(1,1);
Q=(2,3);
R=(4,2);
S=(6,1)
Q R S
P
Respuesta: A=5
X
PROBLEMA N°11.- Se muestra en la figura dos vectores A y B de un
módulo 6 y 4 respectivamente. Hallar analíticamente:
A 6
a) 2A + B
45º
b) 2B − A
60º 4
c) el ángulo entre los vectores A y B
(
d) un vector ortogonal al vector B − A
)
60
B
FÍSICA GENERAL
Respuesta:
b)
( ) ( 2B − A = (− 4 − 3 2 )ˆi + (− 4
c)
θ=165° ó 195°
d)
(B − A )
a)
)
2A + B = 6 2 − 2 ˆi + 6 2 − 2 3 ˆj
⊥
)
3 − 3 2 ˆj
(
= 2 3 + 3 2 , −2 − 3 2
)
PROBLEMA N°12.- En el gráfico mostrado, hallar
B
(m+n)2, si el vector a es paralelo a b , M es punto
b
M
C
N x
medio de AC y N es punto medio de BD y A
x = ma + nb
D
a
Respuesta: (m+n)2=1 Z a
PROBLEMA N°13.- Hallar a − b , en 3
términos de los vectores unitarios
ˆi , ˆj , ˆ k . a = 64,
b
b = 20
Y
4
Respuesta:
(a − b) = −19.86ˆi + 79.44ˆj + 20ˆk
12 X
PROBLEMA
N°14.-
a)
Los
siguientes
vectores:
a = 3ˆi + ˆj − 2ˆ k,
b = −ˆi + 3ˆj + 4ˆ k y c = 4ˆi − 2ˆj − 6ˆ k , pueden formar los lados de un triángulo? b) Determinar las longitudes de las medianas del triángulo. Respuesta: a) si b) b.1)
61
114 2
b.2)
6
b.3)
150 2
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°15.- Averiguar cuál de los siguientes vectores no es un
vector unitario: a) F =
1ˆ 3 ˆ i − j 2 2
b) Q = senθˆi − cos θˆj c) s =
d) T =
3 ˆ 5 ˆ i + j 4 2
e) w =
2 ˆ 1 ˆ i + j 3 3
−3ˆ 4ˆ i + j 5 5
Respuesta: d) y e) PROBLEMA N° 16: La resultante de dos vectores varía entre su valor de 2 y
8 unidades. ¿Cuál será la resultante cuando los vectores formen un ángulo de 60°? →
→
→
→
→
Solución.- Sean A y B los vectores Æ R = A+ B → ⎛→⎞ Cuando: R = ⎜ R ⎟ → R = A + B = 8 ⎝ ⎠ máx
…….. (1)
→ ⎛→⎞ Cuando: R = ⎜ R ⎟ → R = A − B = 2 ⎝ ⎠ mín
…….. (2)
Resolviendo (1) y (2) para A y B obtenemos: A = 5; B=3 Si ahora θ = 60°, aplicando la ley de cosenos tendremos:
R= ∴
A 2 + B 2 + 2 ABCosθ o → R = 5 2 + 3 2 + 2 x5 x3Cos 60 o = 7 R=7
Rpta.
62
FÍSICA GENERAL
PROBLEMAS PROPUESTOS
1)
Sean los vectores a = 3i - 2j b = -4i + j
calcular: a)
El vector suma y su módulo.
b)
El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX.
c)
El vector c = 2 a - 3 b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.
2)
Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 = 5 N. y F2 = 7 N., que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60º y 30º. Calcular:
3)
a)
La fuerza resultante.
b)
Su módulo.
c)
Ángulo que forma con el eje OX.
Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: F1=6 N.; F2=3 N. y F3=4 N., que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45º, 30º y 60º. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del ángulo que forman con el eje OX.
4)
Un
vector tiene
por origen
respecto de
cierto
sistema de
referencia el punto O(-1, 2, 0) y de extremo P(3, -1, 2). Calcular: a)
Componentes del vector OP
b)
Módulos y cosenos directores.
c)
Un vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.
63
FÍSICA GENERAL
5)
Dados los vectores a = (2, 4, 6) y b = (1, -2, 3). Calcular: a)
El vector suma ( a + b ), su módulo y cosenos directores.
b)
El vector diferencia (a – b) y el vector unitario que define su dirección y sentido.
6)
Dados los vectores: a = (1,-1,2) y b = (-1, 3, 4). Calcular: a)
El producto escalar de ambos vectores.
b)
El ángulo que forman.
c)
La proyección de b sobre a.
d)
Dados dos vectores a (2, -1, 0), b (3, -2, 1) y c(0, -2, 1). Calcular:
e)
(a + b) · c
f)
(a -b) x c
g)
(a x b) · c
h)
(a · b) · c
i)
(a x b) x c
producto mixto
doble producto vectorial.
7)
Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i -6j + 2k y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.
8)
Dados los vectores a = (1, 3, -2) y b = (1, -1, 0). Calcular: a)
Su producto vectorial.
b)
El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados.
Un vector c, de módulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b. G G Se tienen dos vectores a = 2iˆ − 2 ˆj + kˆ y b = iˆ − 2 ˆj . Calcula las c)
9)
sˆ perteneciente al plano determinado por los vectores a y b y perpendicular al vector G G G v = a − 2b .
componentes del vector unitario
64
FÍSICA GENERAL
10)
11)
G G Si el producto vectorial de dos vectores es axb = 3iˆ − 6 ˆj + 2kˆ , siendo G G GG | a |= 4 y | b |= 7 , calcular su producto escalar a.b . Halle el vector de módulo 3 que sea paralelo al producto vectorial G G G G axb , siendo a = 2iˆ − 3 ˆj + kˆ y b = 2iˆ − 3kˆ .
CENTRO DE GRAVEDAD (C.G)
Es el punto donde se asume que está concentrado el peso de un cuerpo. Características de Gravedad (C.G.) - El C.G. puede estar ubicado dentro o fuera del cuerpo
- Los C.G. siempre se ubican en la zona de mayor concentración de masa. Ejemplo (4): EQUILIBRIO DE CUERPOS SUSPENDIDOS
65
FÍSICA GENERAL
Calculo de las coordenadas del C.G.:
WT = W1 +W2 +W3 +.....+Wn
Utilizando el Teorema de Varignon
En x:
( W ) ( x ) = W ( x )+W ( x )+W ( x ) ...+W ( x ) T
1
1
x=
1
2
2
3
3
n
W1 ( x1 )+W2 ( x2 )+W3 ( x3 ) ...+Wn ( xn ) W1 +W2 +W3 +...+Wn n
x=
n
∑ W (x ) i
i
i =i
n
∑w
i
i =i
66
FÍSICA GENERAL
n
También: y =
∑ w (y ) i
i =i
i
n
∑w i =i
i
Observaciones: 1)
Cuando los dos datos del ejercicio son las masas de los cuerpos participantes, se sustituye Wi por Mi.
2)
Si los cuerpos que participan tienen la misma densidad, entonces en lugar de Wi se utilizan sus volúmenes (Vi).
3)
En casos donde los cuerpos son placas del mismo material y del mismo espesor, se utilizarón las áreas de sus superficies en lugar de los pesos.
4)
En el caso de que los cuerpos sean varillas del mismo material y la misma sección recta, entonces en lugar de sus pesos se utilizan sus longitudes.
Ejemplo: Determinar el C.G. de la varilla doblada.
x=
( 0 + 200 + 400 ) cm x= ( 20 + 20 + 20 ) cm
2
Luego:
A 1x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 A1 + A 2 + A 3
l i(Cm)
Xi
Yi
l i Xi
l i Yi
l1 = 20
0
10
0cm2
200
l 2 = 20
10
0
200cm2
0
l 3 = 20
20
10
400cm2
200
67
FÍSICA GENERAL
( 200 + 0 + 200 ) cm y= ( 20 + 20 + 20 ) cm
2
=
20 cm = 6.6cm 3
Hallar el C.G. de la figura sombreada: Y
6
x=
A1x1 − A 2 x1 ( A1 − A 2 )
x=
108 − 54 = 3cm 36 − 18
y=
108 − 36 = 4cm 36 − 18
A2 (Cuadrado)
6 A2
Triángulo X
Ai(cm2)
xi
yi
Ai xi
Ai y i
62
3
3
108
108
1 (6)(6) 2
3
1 (6) 3
54
36
TEOREMA DE GOULDIN PAPPUS A) Para cuerpos lineales:
( )
A = 2πy L
68
FÍSICA GENERAL
B) Para placas
( )
V = 2πy A Ejemplos:
x =R
( )
Luego: 2πy ( πR ) = 4πR 2
69
y=
4πR 2 2π2R
y=
2R π
FÍSICA GENERAL
PARA UN CUARTO DE CÍRCULO A=
4πR 2 = 2πR 2 2
⎛ πR ⎞ 2 A = 2π x ⎜ ⎟ = π Rx 2 ⎝ ⎠
( )
Luego : π2R x = 2πR 2 x= También: y =
2R π
2R π
PARA UNA PLACA
V=
4 3 πR 3
⎛ πR 2 ⎞ V = 2π x ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
( )
Luego:
⎛ πR 2 ⎞ 4 3 2π x ⎜ ⎟ = πR ⎝ 2 ⎠ 3 4R x= 3π
( )
PARA UN ARCO:
OG =
R Long. Cuerda AB p Long. arco AB
También: OG =
70
R senα α
α → radianes
FÍSICA GENERAL
PARA UNA PLACA:
OG =
2R senα 3α
PARA UN CONO:
PROBLEMAS PROPUESTOS:
1) Determina el C.G de la varilla doblada. 1) Respuestas:
71
x=
15 cm 4
y=
5 3 cm 4
FÍSICA GENERAL
2) Determina el C.G de la figura sombreada.
x=0 y=
3) Determine el C.G. de la figura plana.
4) Determine el C.G.
72
2a π
FÍSICA GENERAL
CINEMÁTICA
Es parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin tener en cuenta las fuerzas que lo generan. Un cuerpo está en movimiento si su posición medida desde un sistema de referencia estático o inercial cambia durante un intervalo de tiempo. Algunas veces el movimiento puede ser un asunto complicado, por ejemplo hablamos del movimiento de una bolita que se lanza al piso o el de una varilla que lanzamos al aire, en ambos casos los cuerpos avanzan rotando como se muestra en la figura, es decir que ocurren
a la vez dos
movimientos uno de traslación y otro de rotación. Por ésta razón es conveniente iniciar el tema hablando del movimiento de una partícula – cuerpo muy pequeño-, que por ser tan pequeño, su rotación prácticamente no se toma en cuenta,
Pelotita lanzada sobre el piso y varilla lanzada al aire.
PARTÍCULA: Es todo cuerpo material que se considera sin dimensiones para un análisis directo de su movimiento. Algunas veces se le llama punto material.
73
FÍSICA GENERAL
TRAYECTORÍA DE UNA PARTÍCULA: Es la línea recta o curva que describe el móvil. La trayectoria de una partícula es el camino seguido por ésta durante su movimiento. Puesto que el movimiento es un estado relativo, la forma de la trayectoria también es relativa. La forma de la trayectoria depende del sistema de referencia.
VECTOR POSICIÓN: Es el vector que indica, en cada instante, la posición de la partícula respecto a un origen que representa a un punto del sistema de referencia. Este vector se denota como se indica en la figura,
Z
(X, Y, Z)
G r (t ) Y
X
( )
VECTOR DESPLAZAMIENTO Δ r : Es la diferencia de dos vectores posición de una partícula en movimiento entre los instantes t1 y t2 G posterior a t1). Si los vectores posición en estos instantes son r1 y G G G respectivamente, el vector desplazamiento es Δ r = r2 − r1 como se indica la figura.
74
(t2 G r2 en
FÍSICA GENERAL
Z
P1, t1 G r1 (t )
G Δr (t )
P2, t2
G r2 (t ) Y
Δr = r2 – r1
X
Gráfico del Vector Desplazamiento
( )
RAPIDEZ MEDIA Vm : Es una cantidad vectorial que se define como el cociente del vector desplazamiento Δ r
entre el intervalo de tiempo Δτ,
esto es: G G G G Δ r r2 − r1 Vm = = Δt t 2 − t1
El vector de desplazamiento y el vector rapidez media son cantidades diferentes pero con la misma dirección.
RAPIDEZ INSTANTANEA (v) : Es el límite de la rapidez media cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero y se expresa así: G G m Δr [v] = v = lím Δt →0 Δt s
75
FÍSICA GENERAL
Cuando se desea hablar de la rapidez instantánea, sólo se dice rapidez, sin el adjetivo de instantánea. En caso que se quiera hablar de la rapidez media se tendrá que decirlo expresamente.
ACELERACIÓN MEDIA: Esta aceleración se define como el cambio en la velocidad durante un intervalo de tiempo, dividido entre dicho intervalo, esto es: V 1(t)
V 1
V 2(t)
ΔV
ΔV = r2 – r1 Δt = t2 – t1
V 2
G G Δv am = Δt Donde:
[am]=m/s2
G G G Δv = v 2 − v 1 y Δt = ( t 2 − t1 )
Aceleración media en el intervalo t1, t2.
()
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA a : Se define como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo ∆t tiende a cero.
G G Δv a = lím Δt → 0 Δt La figura muestra la representación de la aceleración instantánea en el punto P, ó lo que es lo mismo en el instante t. Note que apunta a la zona cóncava.
76
FÍSICA GENERAL
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) Es aquel movimiento en el cual la trayectoria seguida por el móvil es a lo largo de una línea recta y en donde el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales; vale decir la rapidez del móvil permanece constante y no sufre aceleración. Se observa que el móvil recorre 10m cada 5s, por tanto su rapidez es:
v =
e 10m ⎛m⎞ = = 2⎜ ⎟ (constante en el tiempo) t 5s ⎝ s ⎠
Ecuación fundamental del MRU: e=v.t Donde: e=distancia v=rapidez (m/s) t=tiempo (s)
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Es aquel movimiento en el cual la trayectoria seguida por el móvil es a lo largo de una línea recta y en donde el móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales, vale decir su aceleración permanece constante.
77
FÍSICA GENERAL
Si la rapidez del móvil aumenta, se dice que es un movimiento acelerado, por tanto el signo de la aceleración es positivo. Si la rapidez del móvil disminuye, se dice que es un movimiento desacelerado, por lo tanto el signo de la aceleración es negativo.
a =
v − v0 (10) − (0) Δv = f = = 2 t t 5
m
La aceleración es constante en cada tramo a = 2
s2
m
=
(50) − (40) 5
s2
Ecuaciones del MRUV a=
Δv v f - v 0 = t t
……….
(1)
…………
(2)
vf = vo + at
⎛ v +v f e = vm .t = ⎜ 0 ⎝ 2
⎞ ⎟ .t ⎠
Reemplazando la ecuación (1) en (2): e = vo +
1 2 at 2
…………
78
(3)
FÍSICA GENERAL
Despejando el tiempo de la ecuación (1) y reemplazando en la ecuación (3) se obtiene: vf2 = v02 + 2ae
………….
Si el movimiento es acelerado
a(+)
Si el movimiento es desacelerado
a (-)
(4)
MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE Es aquel movimiento vertical que realizan los cuerpos en el espacio libre, por acción de su propio peso (fuerza de atracción ejercida por la tierra sobre los cuerpos que la rodean.). Se entiende por espacio libre el medio ambiente que nos rodea sin tomar en cuenta la resistencia del aire ni la presión del viento. El movimiento de caída libre es un MRUV donde la aceleración de la gravedad (g) permanece constante en el lugar donde se realiza la caída. ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD (g): Es la aceleración con que caen los
cuerpos hacia tierra firme. Se consideran altura
pequeñas, comparada con el radio terrestre cuyo
valor promedio es 6,400 Km. La aceleración de la gravedad varia inversamente proporcional con la altura, de modo que a mayor altura,”g” es menor. La aceleración en los polos es mayor que en el Ecuador, debido a que la tierra no es perfectamente esférica .sino que posee superficies accidentadas
79
FÍSICA GENERAL
(su radio varía de acuerdo al lugar) así en los polos es mayor que en Ecuador. EXPERIENCIA EN EL “TUBO DE NEWTON”
Se puede observar que si una pluma y una piedra son dejados caer a cierta altura en el aire, estas no caen juntas, la piedra cae mas rápido que la pluma,
pero si estos dos cuerpos son dejados caer dentro de un tubo de
vidrio al cual se le a extraído previamente todo el aire (es decir se ha practicado el vacío )se observa que la piedra y la pluma caen juntas. Este tubo empleado es el denominado “TUBO DE NEWTON”
OBSERVACIÓN: En los ejercicios donde no se especifique el valor de “g” usaremos
80
FÍSICA GENERAL
FORMULAS DE CAÍDA LIBRE: Las fórmulas son análogas a las del MRUV,
con la precisión de que a = g y e = h = altura V f = V0 + gt 1 h = V0t + gt 2 2
V f2 = V02 + 2 gh
La aceleración será positiva (+) cuando
el
cuerpo
está
descendiendo, y negativa cuando el cuerpo está subiendo.
ALTURA MAXIMA (hm): un objeto lanzado verticalmente hacia arriba
alcanza su altura máxima cuando su velocidad de ascenso se hace igual a cero. El cuerpo esta subiendo:
V f2 = V02 − 2 gh O = V02 − 2 ghmax hmax =
V02 2g
Se cumple para un mismo nivel de
referencia, que la velocidad
de subida ,es igual a la velocidad de la bajada; además se cumple que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada.
81
FÍSICA GENERAL
1.-
El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada Ejemplo: si el cuerpo emplea 20 segundos en subir de “A” hasta “B”, también emplea 20 segundos en regresar de “B” hacia “A” (tiempo de subida=tiempo de bajada)
2.-
El módulo de la velocidad inicial de lanzamiento es igual al modulo de la velocidad de descenso en el mismo punto.
3.-
El módulo de la velocidad de ascenso en el punto es igual al módulo de la velocidad de descenso en el mismo punto.
VELOCIDAD LÍMITE (VL): La resistencia ó fricción del aire modifica el
movimiento de caída libre del cuerpo; inicialmente el movimiento es uniformemente variado con a ≤ g ; pero poco a poco va disminuyendo su aceleración, debido a la resistencia que ofrece el aire, hasta que se anula por completo y que el movimiento se hace uniforme debido a la resistencia que ofrece el aire, hasta que se anula por completo y el movimiento se hace uniforme. A la velocidad uniforme que alcanza el cuerpo, debido a la resistencia del aire; se le llama “VELOCIDAD LÍMITE” Ejm: Tenemos un caso de un paracaidista que se deja caer desde un helicóptero, inicialmente el movimiento se puede considerar, como un MRUV; pero cuando se abre el paracaídas, la resistencia del aire aumenta y aumenta y el aire se transforma en uniforme, se dice entonces que en ese instante alcanza su velocidad límite.
82
FÍSICA GENERAL
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO Para un mejor entendimiento de las gráficas del movimiento es que se va ha asumir algunos datos numéricos. Las variables del movimiento: velocidad, espacio, aceleración son funciones del tiempo, es decir
V = f (t),
e =f (t) , a = f (t)
Estas funciones se pueden graficar en los ejes coordenados, sustituyendo el eje “x” por “t” y por “v”,”e” ó “a” el eje y A)
GRÁFICAS DEL MRU A.1)
Velocidad vs. Tiempo
Ejemplo numérico: v = 4 m/s =cte.
El espacio que recorre el móvil: m/s V x t = (4) (5) = A = 20
Características: 1.-
La gráfica V vs. t es siempre una línea recta paralela al eje del tiempo
83
FÍSICA GENERAL
2.-
El área bajo la gráfica equivale al desplazamiento, que será positivo cuando el móvil se aleja del punto de partida negativo si sé acerca al punto de partida.
3.-
El valor absoluto del área es numéricamente igual al espacio recorrido por el móvil.
A.2)
Espacio vs. Tiempo
Ejemplo numérico: v = 4 m/s
Pendiente de la recta = tgθ =
= constante
4 8 12 = 4 = velocidad 1 12 3
Características:
B)
1.-
El valor de la velocidad es numéricamente igual a la pendiente de la recta.
2.-
La gráfica espacio-tiempo es siempre una línea recta
Gráficos del MRUV B.1)
Gráfica velocidad vs. el Tiempo
Ejemplo numérico: a = 2 m/s
, v. = 0
V f = v0 + at
84
FÍSICA GENERAL
Reemplazando los datos numéricos:
tgθ =
V f = 2t
2 4 6 8 = = = = 2 = a = cte 1 2 3 4
Tgθ = a Características: 1.2.3.-
La gráfica velocidad vs. tiempo es una línea recta que no es paralela a ninguno de los ejes. La pendiente de la recta nos da la aceleración en valor y signo El área bajo la grafica es numéricamente igual al espacio recorrido por el móvil
85
FÍSICA GENERAL
B.2)
GRÁFICA ESPACIO vs. TIEMPO: Ejemplo Numérico: Para esto utilizamos la tabla anterior del MRUV.
Características: 1.- La grafica espacio vs. tiempo es una parábola 2.- Si la parábola es cóncava hacia arriba el movimiento es acelerado, pero si la parábola es cóncava hacia abajo el movimiento es retardado. B.3)
ACELERACIÓN vs. TIEMPO: En el MRVU la aceleración es constante por lo tanto la gráfica es una línea recta paralela al eje del tiempo.
86
FÍSICA GENERAL
Ejemplos: 1) En el grafico, hallar la posición del móvil en el instante t=2 S se para T= 4 S esta a 4 m del origen (x)
Solución: El signo Negativo ( -20) de la velocidad indica que el cuerpo se mueve hacia la Izquierda
87
FÍSICA GENERAL
La posición para t = 2s es 4 + (X2 - X1 ) …… (*1) Si t =4 s (Movimiento retardado), a =t g =s Entre t =0 y t =4s
2)
La gráfica V = F (T) nos muestra el movimiento de dos móviles (M) y (N) Si “M” parte tres segundos después que (N) ¿ Al cabo de que tiempo ambos móviles alcanzan igual velocidad Si “M” acelera a 23 m/s2 y “N” inicia su movimiento a m/s ?
88
FÍSICA GENERAL
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Es el movimiento típico de los proyectiles, de una bala, de una jabalina que es arrojada al aire. En este caso la aceleración no tiene la misma dirección de la rapidez, por tanto la trayectoria deja de ser rectilínea. El movimiento ocurre en un plano, es decir el movimiento será en dos dimensiones. Consideremos un movimiento bidimensional en el que la aceleración permanece constante, es decir su cantidad y dirección no varían durante el movimiento.
Trayectoria en dos dimensiones del movimiento de una partícula
El movimiento de una partícula se describe con su vector posición r , rapidez v y aceleración a . El vector posición de una partícula moviéndose en el plano x-y es:
r = xˆi + yˆj . El vector de la partícula es
v = v xˆi + v yˆj ; tanto x, y, vx, vy; componentes de r y v varían con el
tiempo
cuando se mueve la partícula, luego, el movimiento es con
aceleración constante a = a xˆi + a yˆj entonces ax y ay, componentes de la aceleración son constantes en el tiempo.
89
FÍSICA GENERAL
Si la partícula inicia su movimiento con rapidez inicial v 0 , esta es v 0 = v oxˆi + v oyˆj .
Aplicando
las
ecuaciones
cinemáticas
a
las
componentes de la rapidez v para cualquier instante t:
v x = v ox + a x t
Luego:
v y = v oy + a y t
)
) (
(
v = v 0x + a x t ˆi + v oy + a y t ˆj
v = v0 + a t Por tanto la rapidez de la partícula en un instante “t” es igual a la suma del vector rapidez inicial v 0 y la rapidez adicional a t , que adquiere en el tiempo t como resultado de su aceleración constante. Finalmente, las posiciones o coordenadas x, y de una partícula que se mueve con aceleración constante son: + v t +
1 a t2 2 x
y = y + v t +
1 a t2 2 y
x = x
0
0
Luego:
ox
oy
r = xˆi + yˆj
1 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ r = ⎜ x 0 + v 0x t + a x t 2 ⎟ ˆi + ⎜ y 0 + v 0y t + a y t 2 ⎟ ˆj 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
(
)
) (
(
)
1 r = x 0ˆi + y 0ˆj + v oxˆi + v oyˆj + a xˆi + a yˆj t 2 2 r = r + v0t + 0
1 2 at 2
90
FÍSICA GENERAL
Esta ecuación indica que el vector posición r en cualquier instante t es la suma del vector posición inicial, el vector desplazamiento v 0 t , que se obtiene de la rapidez inicial de la partícula, y el desplazamiento
1 2 at 2
resultado de la aceleración constante de la partícula.
MOVIMIENTO COMPUESTO Es el movimiento típico de una bomba que es soltada desde un avión que vuela horizontalmente con rapidez constante v . En este tipo de movimiento se superponen dos movimientos simples: un MRU en el eje horizontal y un MRUV en el eje vertical.
h =
1 2 gt 2
R=X=vxt v =rapidez del avión
h=altura R=X=alcance horizontal t=tiempo que la bomba está en el aire g=aceleración de la gravedad (9,8m/s2)
MOVIMIENTO PARABÓLICO Es aquel movimiento que resulta de la composición de un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (MRU) y de un movimiento de caída libre (MRUV).
91
FÍSICA GENERAL
Donde: v0=rapidez inicial de disparo ó de lanzamiento
α=ángulo de inclinación ó ángulo de disparo R=alcance o desplazamiento horizontal hmáx=altura máxima
Restricciones 1.
Se ignora la resistencia del aire u otro medio.
2.
Es aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera constante a “g”
3.
Los alcances horizontales serán pequeños para despreciar la redondez de la tierra
4.
Las rapidezes de disparo no deben ser muy grandes porque el móvil podría adquirir trayectoria elíptica y rotar alrededor de la tierra
Características 1.
Las variables del movimiento horizontal se calculan utilizando las fórmulas del MRU y las del movimiento (MRUV) con las fórmulas de caída libre
2.
El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. (El movimiento vertical es de caída libre) tOB=tBA
tOA=tv=tiempo de vuelo
92
FÍSICA GENERAL
y (MRUV)
v vx
vo
voy
B
vy mg
mg
vx
h máx
y
vy
v
A 0
vox x R=X
α = ángulo de tiro vo = rapidez inicial del proyectil
⎧⎪ v ox = v 0 cos α v0 ⎨ ⎪⎩ v oy = v 0 senα
componentes de
hmáx=altura máxima alcanzada R=X=alcance horizontal v = vector rapidez del proyectil
(
v = v ˆi + v ˆj = v , v x
v =
y
v
2
x
+ v
x
y
)
2
y
93
x (MRU)
FÍSICA GENERAL
Ecuaciones que gobiernan el movimiento: Eje X
Eje Y
ax=0 (MRU)
ay=-g(MRUV)
⎧⎪ v x = v ox = v o cos α (cte.) ⎨ ⎪⎩ x = v x t = v 0 cos α t
⎧ v y = v o senα − gt ⎪ ⎨ 1 2 ⎪ y = v o senα t − gt 2 ⎩
(
(
)
(
)
)
CALCULO DEL TIEMPO DE VUELO (tv): Hallamos el tiempo para el cual las alturas son cero:
(
)
1 ⎧ ⎫ y = ⎨ v 0senα t − gt 2 ⎬ = 0 2 ⎩ ⎭
(
)
1 ⎫ ⎧ t ⎨ v senα − gt ⎬ = 0 0 2 ⎭ ⎩
→ t = 0 (punto "O") 2v → t = 0 senα (punto "A") g
tv =
Luego, el tiempo de vuelo es:
2v 0
g
senα
CALCULO DE LA ALTURA MÁXIMA (hmáx) Hallamos el tiempo para el cual el proyectil alcanza la altura máxima hmáx, dicho tiempo es t
OB
=
t
OA
2
v tv = 0 senα g 2
(0
)
(
) OB − 12 gt 2OB
y = v senα t −
Luego:
=
1 2 gt 2
y = v 0 senα t hmáx
= hmáx
⎞ ⎞ 1 ⎛v ⎛v = v 0 senα ⎜ 0 senα ⎟ − g ⎜ 0 senα ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎜ g ⎜ g ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
(
)
94
2
FÍSICA GENERAL
hmáx = hmáx =
v 02 g v 02 2g
v 02
2
sen α −
2g
2
sen α =
v 02 2g
sen 2 α
sen 2 α
ALCANCE HORIZONTAL (R=X) El alcance para cualquier tiempo está dado por X=(v0cosα)t, entonces x=R=(v0cosα)tv
v 2 v 2 ⎛ 2 v 0 senα ⎞ 0 ⎜ ⎟ (2senα cos α ) = 0 (sen2α ) X = R = v 0 cos α = ⎜ ⎟ g g g ⎝ ⎠
(
Luego:
R =
)
v 02 g
(2senα cos α )
=
v 02 g
sen 2α
ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO (Rmáx) El alcance horizontal será máximo si R es máximo luego: sen 2α tiene que ser máximo, es decir sen2α=1 2α=90º → α=45º
R máx =
v 02 g
ECUACIÓN DE LA TRAYECTORÍA O ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA En algunos problemas de movimiento parabólico donde se requiera determinar la posición del cuerpo luego de cierto tiempo, es muy útil emplear la ecuación de la parábola, que a continuación se deduce:
95
FÍSICA GENERAL
Horizontalmente:
x=(v0cosα)t → t =
Verticalmente:
y=(v0senα)t-
x v cos α
(0
)
1 2 gt 2
………….
(1)
………….
(2)
Reemplazando (1) en (2):
⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎛ x x ⎟ ⎟ − g⎜ y = v 0 senα ⎜ ⎜ v cos α ⎟ 2 ⎜ v cos α ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
(
)
y=(tgα)x-
1 x2 g× 2 v 0 2 cos 2 α
(
como:
1 = sec α cos α
se tiene:
g y = (tgα )x − 2
luego:
y = x (tgα ) −
2
) sec 2 α = 1 + tg 2 α
y
⎛ x 2 sec 2 α ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 v0 ⎝ ⎠
(
)
x 2 1 + tg 2 α g 2v
2 0
(ecuación de una parábola)
MOVIMIENTO CIRCULAR Es aquel movimiento cuya trayectoria es una circunferencia.
Desplazamiento Lineal (s): Es la longitud de arco recorrida por el móvil Desplazamiento Angular (θ): Es el ángulo central barrido por el móvil
96
FÍSICA GENERAL
S=θ.R R=radio
θ=ángulo medido en radianes
Período (T): Es el tiempo empleado por el móvil en dar una vuelta completa. T =
tiempo total Número de vueltas
[T]=s
Frecuencia (f): Es el número de vueltas que da el móvil en cada unidad de tiempo. Es la inversa del período.
f =
Número de vueltas 1 , f = tiempo total T
Unidades de frecuencia:
Luego:
[f ] =
ciclos = s −1 = Hertz s
[f ] =
R .P.M. ≡
1R .P.M. =
revoluciones 2π rad π rad ≡ ≡ min uto 60 s 30 s
π rad 30 s
()
VELOCIDAD TANGENCIAL v
Llamada también rapidez lineal, es un vector cuyo valor mide la longitud curvilínea circular que recorre el móvil, en cada unidad de tiempo. Es un vector cuya dirección es tangente a la trayectoria en cada punto de éste indica el sentido de rotación.
97
FÍSICA GENERAL
El móvil rota en sentido horario según indica la rapidez tangencial. s=v. t v =
s t
[v] =
s
m , pies km , , hr s s
v
v =
s t
t =
s v
t
VELOCIDAD ANGULAR ( w ) Cantidad vectorial cuyo valor mide el ángulo central barrido por el móvil en cada unidad de tiempo. Su dirección es perpendicular al plano de rotación y se determina mediante la “regla de la mano derecha”. w =
θ t
⎛ rad ⎞ ⎜ ⎟ ó RPS ó RPM ⎝ s ⎠ θ=w.t w =
θ t
t =
θ w
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Es aquel movimiento circular donde la rapidez angular permanece invariable, la rapidez tangencial mantiene constante su valor, pero su dirección cambia continuamente. Es aquel movimiento en el cual se recorren longitudes de arco iguales y se barren ángulos centrales iguales.
98
FÍSICA GENERAL
En la figura se observa que el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales, es decir describe ángulos iguales en tiempos iguales.
Son ejemplos de este tipo de movimiento, los siguientes: 1)
El movimiento de las llantas de un auto que se mueve en línea recta a rapidez constante
2)
El movimiento de las paletas de un ventilador que gira a rapidez constante
3)
El movimiento de las agujas de un reloj mecánico, etc.
Se sabe que: w =
θ t
Si θ es 1 vuelta, es decir 360°, 1 revolución, 2π radianes, y el tiempo que emplea en dar dicha vuelta es igual al periodo, luego:
w =
ó
w =
2π ⎛ rad ⎞ ⎜ ⎟ T ⎝ s ⎠
2π = 2πf T
Donde f es la frecuencia en Hz. Además v = Luego: v=W×R
w =
v R
99
s ⎛θ⎞ = ⎜ ⎟ × R = WR t ⎝t⎠
FÍSICA GENERAL
TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Se puede realizar mediante: 1.
Poleas unidas por fajas vA=vB wARA=wBRB Las rapideces tangenciales de las poleas son iguales Todos los puntos de la faja tienen la misma rapidez
2.
Ruedas dentadas o engranajes Si el engranaje A gira en sentido horario, el engranaje B girará en sentido contrario o antihorario En el punto de contacto las rapideces son iguales vA=vB wARA=wBRB →
3.
w w
A
=
B
R R
Ruedas que giran en un mismo eje
w
A
= wB →
v R
100
A A
=
v R
B B
B A
FÍSICA GENERAL
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA N°1.- Una persona se encuentra delante de una pared, efectúa
un disparo y luego de 2 segundos se escucha el impacto; pero si hubiera estado 102m más cerca de la pared ¿Al cabo de que tiempo escucharía el impacto? (vsonido=340m/s, vbala=85m/s) Solución
tb=tiempo que emplea la bala
Sea:
ts=tiempo del sonido tb+ts=2
………….
(1)
→ tb=4ts
…..
ebala=esonido vbtb=vsts 85tb=340ts
Reemplazando: (2) en (1): Luego:
(2) 5ts=2 ∴ ts=0,4segundos
e=(340)(0.4)=136m
Si se acerca 102m, la pared quedará: 136-102=34m
∴
D=34m t s1 =
34 = 0.15 340
y la bala
t
1 b
101
= (4)(0.1) = 0 ,4s
FÍSICA GENERAL
Luego:
t=0,1+0,4=0.5s t=0.5segundos
PROBLEMA N°2.- Una partícula que realiza un MRU inicia su movimiento
en x=-2m; y en t=2s se ubica en x=6m. ¿Hallar su posición y el modulo de su velocidad en t=1,5s? Solución:
t0 = 0 tf
= 2s
v =
→ x0 = -2m → xf = 6m
x − x f
t − t f
0
=
m 6 − (−2) 8 = = 4 s 2−0 2
,
x = x0 + v × t
0
⎛m⎞ v = 4⎜ ⎟ ⎝ s ⎠
x=-2+4t
,
en t=1,5s
x=+4m
del origen
,
→
x 0 = −2
v = 4
x=-2+6=4m
PROBLEMA N°3.- Dos cuerpos A y B se mueven sobre el eje X con
ecuaciones posición XA(t)=100-5t
y
XB(t)=10+7t, (a) Represente al
problema en t=0, (b) Halle la separación de los cuerpos en t=10s; (c) El móvil B alcanzará al móvil A? (d) Si (c) es afirmativo, halle el tiempo. Solución
a) en t=0s A→MRU
B→MRU
Las ecuaciones posición corresponden movimiento.
102
a
dicho
FÍSICA GENERAL
b) Definamos la distancia de separación con d(t) = |xA(t) - xB(t)| d(t) ≡ |(100-5t) - (10+7t)| ≡ |90-12t| d(t = 10) ≡ 30 ~ ~ ~ c) De la “imagen” de a) existirá t tal que xA( t ) ≡ xB( t ) ~ ~ ~ t : 100-5 t ≡10+7 t d) Hallando ~ t =7,5s
PROBLEMA N°4.- Un móvil parte del reposo con aceleración constante y
tarda 8s para recorrer la distancia de 600m que hay entre dos puntos de su trayectoria. Si la velocidad en el 2do punto es 100, calcule: a) La rapidez en el primer punto b) La distancia que hay desde el punto de partida hasta el primer punto c) La aceleración Solución
Representando al problema: Datos: a≡cte., vA=0 ⎧BC ≡ 600 ⎪⎪ BC ⎨ t ≡ 8 BC ⎪ ⎪⎩ v c ≡ 100
Matematizando: tomando x≡0 en B para t≡0 ∧ x≡600 en C para t≡t En el tramo BC:
1)
x(t)=x(0)+v(0)t+ 600≡8vB+32a
2)
1 2 at 2
……….(I)
v(t)=v(0)+at 100≡vBt
……… (II)
103
FÍSICA GENERAL
De I y II: 200≡32a
→ a≡6.25 → vB=50m/s
Ahora tomando x≡0 en A para t≡0 En el tramo AB:
vA≡0 , vB≡50 y a≡6,25 → a=Δv/Δt
a ≡ 6,25 =
En
xB(t)= xA + vAt +
(v B − v A ) (t B − 0) =
50 − 0 → t B = 8s t B
1 2 1 at → xB = 0 + 0 × 8 + × 6.25 × 64 = 200m 2 2
xB ≡ 200m dAB ≡ 200m PROBLEMA N°5.- Un carro se mueve con MRUV y al pasar por un punto P
tiene una rapidez de 60 m/s. Si 360m más adelante su rapidez es de 120 m/s, ¿cuál fue su rapidez 100m atrás de P? Solución
Matematizando el problema; esbozando primero x≡0 en P con t≡0 y luego:
RP≡100 PQ≡? Usando: v (2t ) = v (20) + 2a(Δx) Reemplazando:
PQ:
(120)2≡(60)2+2a(360) → a=15 m/s2
RP:
(60)2≡ v R2 +2a(100) → vR=10 6 m/s
a=15m/s2
vR=10 6 m/s
104
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°6.- Un objeto desde cierta altura “H” respecto de el piso es
lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s y cae al piso con una rapidez de 50 m/s. Determinar el tiempo que estuvo en el aire el objeto, la altura “H” y la altura máxima respecto del piso. (g=10m/s2) Solución
Tramo B-C:
Tramo B’A’:
vB=20m/s
v’A=50m/s
vC=0
v’B=20m/s
vC=vB-gt
v’A=v’B+gt’
0=20-(10)t
50=20+(10)t’
20 = 2s 10
t =
tBC=2s
t’=3 segundos
tCB’=2s
tB’A’=3s
h=? TTOTAL=7s
v2 f
H=105m
0=(20)2-2(10)h
hmáx=125m
30=10t’
=
v2 B
− 2gh
400 h = = 20m 20
H=vB’t’+
1 2 gt’ 2
H=(20)(3)+ 1 (10)(9) 2
H=60+45 H=105m
PROBLEMA N°7.- ¿Desde qué altura “H” se debe dejar caer un cuerpo para
que se demore 5 segundos en recorrer los últimos Solución
105
7 H? (g=10m/s2) 16
FÍSICA GENERAL
Tramo AB
Tramo BC
vA=0
7 1 H = v t'+ gt '2 …(*3) B 16 2
9 1 H = v t + gt 2 A 16 2 9 1 H = (10)t 2 = 5t 2 16 2 9 H = 5t 2 …..(*1) 16
vB=vA+gt vB=gt
....(*2)
Reemplazando (*2) en (*3): 7 1 H = (10 t )(5) + (10)(5)2 16 2 7 H = 50 t + 125 16
⎛ 16 × 5t 2 ⎜ ⎜ 9 ⎝
⎞ ⎟ = 50 t + 125 ⎟ ⎠
Luego:
7 16
Simplificando:
7t2 - 90t – 225 = 0
t = t =
90 ±
(90)2 − 4(7)(−225) 2(7)
90 ± 14400 90 ± 120 = 14 14
t1=15s Luego en (*1)
⎛ 16 ⎞ H = ⎜ ⎟(5)(15)2 ⎝ 5 ⎠ H=2000m
106
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°8.- En el gráfico
M
mostrado dos móviles son lanzados simultáneamente, y chocan en el punto “M”. Si el V0
que sale de A lo hace con una
Vb
rapidez de 500 m/s y un ángulo de 37°. ¿Cuál debe ser el
A
37º 80m
60m
ángulo y rapidez de lanzamiento del móvil que sale de B? (g=9,8m/s2) Solución
Para ambos cuerpos tA=tB Se cumple que hA=hB Proyectil “A” v0=50 m/s
α=37° xA=80m
⎛4⎞ vox=v0cosα=50cos37°=50 ⎜ ⎟ =40 ⎝5⎠ xA=voxtA=(40)tA=80 tA=2s
Sabemos:
y=voyt-
1 2 gt 2
yA=hA=(vosenα)t-
1 2 gt 2
1 ⎛3⎞ hA=(50) ⎜ ⎟ (2)- (9,8)(2)2 → hA=40,4m 2 ⎝5⎠
107
B
FÍSICA GENERAL
Proyectil “B” voB=vB ; voxB=vbcosθ=vxB xB=vxB×tB 60=(vbcosθ)(2) vbcosθ=30 h
B
= y
B
…………….
= v
OY
t −
hB = v B senθ(2) −
(*1)
1 2 gt 2
1 (9,8)(4) 2
hA=hB (40,4)=2vbsenθ-19,6 60=2vbsenθ 30=vbsenθ
Dividiendo (*2)÷(*1):
…………
(*2)
v senθ b
v cos θ
=
b
30 =1 30
tgθ=1 → en (*1):
θ=45°
⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ = 30 vb(cos45°)=30 → vb ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠
⎛m⎞ v b = 30 2 ⎜ ⎟ ⎝ s ⎠ V0
PROBLEMA N°9.- Desde lo alto
de una torre de 100m de altura se lanza una piedra horizontalmente 100m con una rapidez de 30 m/s,
h1 x h2
cuando han transcurrido 4s, se pide determinar:
108
Vx Vy V
FÍSICA GENERAL
a) el alcance horizontal b) la altura respecto del piso c) las componentes de la rapidez vo=30m/s t=45
α=0° a)
x=v×t=(v0cosα)t vx=v0cosα=vocos0°=30 x=(30)t=(30)(4)=120m
b)
h = 1
1 2 1 gt = (10)(4)2 = 5(16) = 80m 2 2
h2=100h1=100-80=20m h2=20m
c)
v = v x i + v y ˆj
vx=vox=vocosα=v0=30m/s (α=0°) vy=voy-gt=vosenα-gt vy=30(0)-10(4)=-40m/s vy=-40m/s
v = 30ˆi − 40ˆj → v =
30 2 + 40 2 =
50 2 = 50m / s
v = 50m / s
PROBLEMA N°10.- Un avión está volando horizontalmente a una altura de
490m con una rapidez de 98 m/s. En el instante que el avión está directamente sobre un cañón antiaéreo, éste disparó un proyectil contra el
109
FÍSICA GENERAL
avión. Calcular el ángulo de disparo, sabiendo que la rapidez inicial del proyecto es mínima para dar en el blanco. (g=9,8 m/s2) Solución
vH=98m/s, rapidez horizontal del avión t→tiempo entre el disparo y el blanco Avión
Proyectil
x=vH×t
vox=vocosα
x=98t
……… (*1)
vx=vox=cte x=v×t x=(v0cosα)t …. (*2)
entonces: (*1) = (*2) 98t=(vocosα)t 98=vocosα …….(*2)
Sumando (*3)+(*4)
Para tener rapidez mínima:
v02cos2α=(98)2
h = hmax =
v 02 2g
sen 2 α
v02sen2α=(490)(19,6)
110
FÍSICA GENERAL
490 =
v 0 2 sen 2 α
v02(sen2α+cos2α)=(98)2+(490)(19,6)
2(9,8)
(490)(19,6)=v02sen2α….(*4)
v0 =
(98)2 + (490)(19,6) ≅ 138,629
Luego es (*3) : 98=(138,593)cosα → cosα=0,707
∴ α=45° PROBLEMA N°11.- Dos móviles A y B pasan
simultáneamente por los puntos A y B (extremos del diámetro AB), en los sentidos indicados en la figura.
A
B
Si giran con periodos TA=20s y TB=30s. ¿Al cabo de que tiempo se cruzan por 2da vez? Solución
E
Encuentro por primera vez: At
t
ángulo separación suma de velocidades
=
E
π
tE =
π 6
= 6s
tE=6s
w w w
A
B
A
=
2π π rad = 20 15 s
=
2π π rad = 30 15 s
+ wB =
3π + 2 π 5π π π π rad + = = = 10 15 30 30 6 s
111
B
FÍSICA GENERAL
Encuentro por segunda vez:
t E' = t
Luego:
E
+ t
E'
2π π 6
= 12s
= 18s
PROBLEMA N°12.- ¿Cuál es la rapidez angular del horario y minutero de
un reloj, en radianes/s? Solución
w1=rapidez angular del horario En una revolución recorre 12 hrs w1 =
1rev 2πrad 1hr 1 = 1rev × × × 12hr 1rev 12hr 3600s
w1 =
π (rad) π ⎛ rad ⎞ = ⎜ ⎟ 6(3600) (s) 21600 ⎝ s ⎠
w =
π rad 21600 s
1
w2=rapidez angular del minutero en una revolución recorre 60 minutos w w
2
2
=
1rev 60 min
=
1rev 2π rad 1 min × × 60 min 1rev 60s
w2 =
π π rad = (30)(60) 1800 s
w2 =
π ⎛ rad ⎞ ⎜ ⎟ 1800 ⎝ s ⎠
112
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°13.- En la figura se
tiene un conjunto de tres poleas fijas que giran unidas por una correa de transmisión. Los radios son 5x, 2x, x. Si la polea pequeña gira a 80 RPM más rápido que la polea mayor. ¿A cuántas RPM gira la polea de radio 2x?
Solución
Datos: R1=5x
w1=w
R2=2x R3=x → w3=(w+80) Sabemos: v1=v2=v3 v1=v3→w1R1=w3R3 w(5x)=(w+80)x 5w=w+80 4w=80 w=
80 = 20 4
w=20RPM además: v1=v2 w1R1=w2R2
113
FÍSICA GENERAL
w(5x)=w2(2x) w
2
=
20(5) w(5) = RPM 2 2
w2=50RPM PROBLEMA N°14.- Hállense las rapideces lineales en los puntos A, B, C y
D de la correa en el problema anterior, considerar x=5cm Solución
wA=vB=vC=vD v1=w1R1=w(5x)=(20RPM)(5)(5cm)
⎛ π ⎞ ⎛ rad ⎞ v1 = 20 × ⎜ ⎟⎜ ⎟ × 25cm ⎝ 30 ⎠ ⎝ s ⎠ ⎛ cm ⎞ v1 = 52,36 ⎜ ⎟ = v A = vB = vC = vD ⎝ s ⎠ PROBLEMA N°15.- En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas
en un minuto y otro solo 2 vueltas en un minuto. Si ambos pasan simultáneamente con MCU de dos puntos diametralmente opuestos y avanzan uno al encuentro del otro. ¿En qué tiempo se encontrarán y qué porción de circunferencia habrá recorrido cada uno? Solución
w
w
A
A
=
3vuelt = 3RPM 1 min
= 3×
wB =
π π ⎛ rad ⎞ = ⎜ ⎟ 30 10 ⎝ s ⎠
2 vueltas = 2RPM min
wB = 2 ×
114
π π ⎛ rad ⎞ = ⎜ ⎟ 30 15 ⎝ s ⎠
FÍSICA GENERAL
w
A
+ w
B
=
3π + 2 π 5π π π π rad + = = = 10 15 30 30 6 s
tE=tiempo de encuentro
tE =
π ángulo de separación = π = 6s suma de velocidades angulares 6
tE=6s sA= longitud de arco recorrido por A sB= longitud de arco recorrido por B
s
A
= v
A
3πR ⎛ π ⎞ × t E = (w R )t E = ⎜ ⎟(R )(6) = m A 5 ⎝ 10 ⎠
2πR ⎛ π ⎞ s B = v B × t E = (w BR )t E = ⎜ ⎟(R )(6) = m 5 ⎝ 15 ⎠ Porción A:
3 ⎛ 3πR ⎞ ⎛ 1 ⎞ de circunferencia ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 10 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 2πR ⎠
Porción B:
1 ⎛ 2πR ⎞ ⎛ 1 ⎞ de circunferencia ⎜ ⎟⎜ ⎟ = 5 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 2πR ⎠
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA N°1.- Dos móviles A y B parten simultáneamente con
rapideces constantes de 36 y 72 km/hr respectivamente, desde un mismo punto, en el mismo sentido. A 1800m, en la misma dirección otro móvil “C” sale al encuentro de A y B en sentido opuesto con una rapidez constante de 108 km/hr. ¿Al cabo de qué tiempo el móvil “B” equidistará de los móviles A y C? Rpta: t=36s
115
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°2.- Dos móviles “A” y “B” parten simultáneamente desde un
mismo punto con rapideces constantes de 5 y 8 m/s respectivamente en el mismo sentido tales que sus direcciones forman 60° entre sí. ¿Qué distancia los separa luego de 10 segundos? Rpta: d=70m PROBLEMA N°3.- Se tiene dos puntos A y B distantes 180km. De “A” sale
un móvil que demora 3 hrs en llegar a B; y de “B” sale otro móvil hacia “A” y llega después de 2 horas. ¿A qué distancia de “A” se cruzan y después de qué tiempo luego de haber salido simultáneamente? Rpta: 1,2 horas PROBLEMA N°4.- Un objeto desde cierta altura “H” respecto del piso es
lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s y cae al piso con una rapidez de 50 m/s. Determinar el tiempo que estuvo en el aire el objeto, la altura “H” y la altura máxima respecto del piso. (g=10 m/s2). Rpta: t=7s, H=105m, hmáx=125m PROBLEMA N°5.- Al mismo tiempo que se lanza una esfera hacia arriba
según la vertical, con una rapidez de 20 m/s, desde un punto situado en la misma vertical y a una altura de 60m, se deja caer otra esfera. Hallar la posición y el instante en que las dos esferas se encontrarán. Considere: (g=10 m/s2) Rpta: t=3s, x=15m PROBLEMA N°6.- Un piloto suelta una bomba desde un helicóptero
estático en el aire y después de 120s escucha la detonación. Si la rapidez del sonido es 300m/s. Hallar la rapidez de la bomba al tocar tierra. (g=10 m/s2) Rpta: v=600 m/s
116
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°7.- Un proyectil es lanzado con
V0
una rapidez inicial de 10m/s, que hace un ángulo de 60° con la horizontal, contra un plano
60º = // //
/= =/
/ /=
//
/= =/
//=
//
30º
inclinado que forma 30° con la horizontal. Halle //= //= //= //= //= //= //= // el alcance sobre el plano inclinado. (considere g=10m/s2) Rpta: 6,67m PROBLEMA N°8.- Se lanza una bola con
rapidez de 100 m/s, haciendo un ángulo de
V0
53° con la horizontal, la bola impacta
45º
//= //= //= //= //= //= //= //
perpendicularmente en un plano inclinado que
hace un ángulo de 45° con la horizontal, como se muestra en la figura. Hallar el tiempo de vuelo (en segundos) de la bola (considere g=10 m/s2) PROBLEMA N°9.- Un cañón inclinado
en 45° lanza un proyectil con rapidez “vo” logrando derribar una pequeña 20m
choza ubicada en la loma. Halle vo (considere g=10m/s2). Rpta: vo=30/s
30m
PROBLEMA N°10.- En la figura se muestra dos barras A
A
y B que giran en el mismo sentido. Si sus frecuencias de
B
rotación son fA=30rpm y fB=25 rpm, calcular al cabo de que tiempo las barras formaran un ángulo recto por primera vez. Rpta: t=3 segundos
117
0
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°11.- Se sueltan dos
B
pelotitas desde A y B simultáneamente. Si la plataforma horizontal gira con un periodo de 12 segundos y que la
A
45m
primera bolita marca el punto “P” en la 20m plataforma y la segunda marca el punto “Q”, calcular la medida del ángulo POQ. θ =
(considere
g=10m/s2).
P
0
Rpta:
5π rad ≡ 150° 6
“La confianza en sí mismo es el primer secreto del éxito”
118
Q
FÍSICA GENERAL
FUERZA Y MOVIMIENTO
INTRODUCCIÓN Anteriormente habíamos comenzado a estudiar la Mecánica, viendo el movimiento sin tomar en cuenta
las fuerzas que lo producen el
movimiento, también sin importar
la masa que participaba en este
fenómeno cotidiano para todos. En el estudio de la cinemática habíamos recordado y adquirido más habilidades en el manejo de la matemáticas tales como el Álgebra la Geometría, Trigonometría, el Análisis Vectorial y algunos rudimentos de Cálculo. Ahora nos proponemos a considerar las causas que producen el Movimiento, en este caso debemos considerar que para que un cuerpo se mueva se debe aplicar una FUERZA, este concepto vectorial involucrado en la Mecánica, nos resulta familiar, pero debemos formalizar su definición para luego cuantificarla bajo una operación vectorial, y eso es lo que vamos a estudiar, todo lo relacionado al estado de Reposo de los cuerpos (Estática) y cuando estos se encuentran en estado de movimiento (Dinámica).
La FUERZA es una cantidad Física vectorial El concepto lo deduciremos de los siguientes eventos físicos que hacemos: 1.
Si dejamos caer libremente un cuerpo ignorando la resistencia del aire, este sólo estará sometido a la fuerza de la gravedad llamada peso según w=m.g, en este ejemplo están interactuando la tierra y el cuerpo. fig (1).
119
FÍSICA GENERAL
2.
Al coger con nuestra mano un cuerpo, sentimos una fuerza F que es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad, es decir la relación matemática F=m.g., dado que conocemos los vectores, podemos escribirlo vectorialmente como F=m.g. y simbolizarlo tal como se muestra en la fig. donde F es la
fuerza que es igual al peso w del cuerpo, este caso están interactuando tres cuerpos. (mano, cuerpo y la Tierra). Fig (2)
R1 + R2 = w
Fig (1) 3.
Fig (2)
Fig (3)
Al coger con nuestros dedos un objeto, podemos observar que el objeto está interaccionando con más cuerpos, y ahora aparecen dos fuerzas más, aparte del peso, y vectorialmente podemos decir que R1+R2=w
aquí podemos observar que la interacción son cuatro
cuerpos: dos dedos para sujetarlo, el cuerpo y la Tierra. Fig (3) En resumen, siempre en el fenómeno de Fuerza se darán como mínimo dos cuerpos que interactúan, y lo podemos observar durante
120
FÍSICA GENERAL
los pasos gráficos de interacción, estado de movimiento o de reposo, en consecuencia, ya estamos en condiciones de definir la fuerza:
Fuerza: Es el resultado de la interacción entre dos o más cuerpos y como consecuencia de ello podemos observar estado de movimiento o reposo de los mismos.
TIPOS DE FUERZA A) FUERZA DE CONTACTO: La Fuerza de contacto o de interacción mutua. Se presentan cuando los cuerpos interactúan a través de la superficie de contacto, estas fuerzas suelen llamarse según como actúan: A1. FUERZA NORMAL: Es la fuerza perpendicular a la superficie de contacto, tal como se muestra en la figura cuando un cuerpo se encuentra encima de un plano inclinado, la fuerza normal se representa por el vector N.
N
N
θ
W
W
A2. FUERZA DE ROZAMIENTO: Es la fuerza que se opone a todo movimiento, esta fuerza es paralela a la superficie de contacto, la misma se muestra fig. y lo tenemos representado por el vector f, la
121
FÍSICA GENERAL
cantidad de la fuerza de rozamiento es el producto del coeficiente de fricción entre la cantidad de la fuerza normal., es decir: F=μN, donde μ es el coeficiente de fricción, el cual tiene dos valores, coeficiente estático y el coeficiente dinámico o cinético, μS y μC, estos coeficientes pueden ser μS ≥ μC. En la tabla que se muestra a continuación tenemos algunos ejemplos sobre estos dos tipos de coeficientes Entre materiales μS Acero sobre acero 0,74 Aluminio sobre acero 0,61 Cobre sobre acero 0,53 Caucho sobre concreto 1,0 Madera sobre madera 0,25 – 0,50 Vidrio sobre vidrio 0,94 Madera encerada sobre nieve húmeda 0,14 Madera encerada sobre nieve seca − Madera sobre metal (lubricado) 0,15 Hielo sobre hielo 0,1 Teflón sobre teflón 0,04
μC 0,57 0,47 0,36 0,80 0,20 0,4 0,10 0,04 0,06 0,05 0,04
A3. LA FUERZA DE CONTACTO O FUERZA SUPERFICIAL: Esta fuerza es el resultado de la composición vectorial de la fuerza Normal y la fuerza de rozamiento, es decir: S=N+f
Cuya cantidad es: S = N2 + f 2 = ( μ2 + 1) ⋅ N
122
FÍSICA GENERAL
N
S
w f θ
B) FUERZA DE ACCIÓN A DISTANCIA O FUERZA DE CAMPO
Los cuerpos presentan ciertas propiedades peculiares debido a su propia masa o que ganan o pierden electrones o algunas veces producto de interacciones magnéticas. Y podemos hacer mención que debido a estas propiedades, ejercen fuerzas entre ellos a pesar de la distancia de separación entre los mismos. Michael Faraday (1791 – 1869) a estas fuerzas las denominó fuerzas de Campo; dentro de estas fuerzas producidas podemos mencionar. B1. LA FUERZA DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL: Esta fuerza fue descubierta por Newton, y que establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos, es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la distancia que los separa, es decir
FG = −G
m1 ⋅ m2 , r2
123
FÍSICA GENERAL
el signo menos significa atracción, y siempre estará dirigida a lo largo de la línea que une las dos masas como se muestra en la fig. donde G = 6,67 ⋅ 10 -11
2 N⋅m 2 kg
FG
FG m2
m1
m1 y m2 = son las masas
r r = es la distancia en ellos B2. FUERZA ELÉCTRICA. Esta fuerza fue descubierta por Charles Coulomb. Y se establece que “La fuerza de atracción o repulsión de dos cargas puntuales, es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir:
Fe = k 9
N⋅m
q1 ⋅ q2 r2
2
Donde
k = 9 ⋅ 10
q1 y q 2 =
son las cargas puntuales. + q1
Coul
2
F21 F21
+ q1
+ q2 + q2
F12
F21
− q2
+ q1
r
124
F12
F12
FÍSICA GENERAL
Y como vemos también esta fuerza actúa a lo largo de la línea que une las dos cargas. r = es la distancia en ellos B3. FUERZA MAGNÉTICA Esta fuerza ejercida por cuerpos que tiene propiedades magnéticas se pone de manifiesto sobre otros cuerpos, denominados ferromagnéticos o sobre cargas puntuales eléctricas en movimiento, en este caso tenemos la ley de Lorenz, establecida como
Fm Fm = q v x B B v
q Donde B es el campo magnético, v es la rapidez de la carga puntual q C. FUERZAS ESPECIALES Estas fuerzas son casos particulares de las fuerzas de contacto y de fuerza de acción a distancia y se pueden señalar como: C1. FUERZA PESO. w = m.g Es un caso especial de la fuerza de gravitación, esta fuerza actúa en la superficie de los planetas, y su acción se ejerce por el campo gravitatorio g
125
FÍSICA GENERAL
m w = m.g
FG
•
M
R
Problema N°02.- Demostrar que si h es la altura de la masa m
respecto a la superficie terrestre tal que R + h ≈ R, por ser h << R, el valor, el valor de g es igual a
GM R2
SOLUCIÓN:
Si tenemos que la masa de la Tierra es M y m es la masa del cuerpo, de acuerdo a la ley de gravitación La fuerza ejercida de la Tierra sobre el cuerpo es: F = G
M ⋅m donde h es la distancia de la ( R + h) 2
superficie terrestre hasta el cuerpo, en este caso el valor del peso del cuerpo es w = m ⋅ g
Igualando el peso y la fuerza gravitacional tendremos:
m⋅ g = G
M ⋅m ( R + h) 2
simplificando la masa “m”, y dado que R + h ≈ R se tendrá finalmente:
g =G
M R2
Dado que los valores G = 6,67x10-11 N-m2/kg2
126
FÍSICA GENERAL
Con la Tabla que se muestra a continuación podemos evaluar los diversos valores gravitatorios de los planetas:
6,96x108
1,98x1030
Radio medio Orbital (m) ------
Mercurio 2,34x106
3,28x1023
5,79x1010
5,03x106
7,60x106
Venus
6,26x106
4,83x1024
1,08x1011
--------
1,94x107
Tierra
6,37x106
5,98x1024
1,49x1011
8,62x104
3,16x104
Marte
3,32x106
6,40x1023
2,28x1011
8,86x104
5,94x107
Júpiter
6,98x107
1,90x1024
7,78x1011
3,54x104
3,74x108
Saturno
5,82x107
5,68x1026
1,43x10
3,61x104
9,30x108
Neptuno
2,24x107
1,05x1026
4,50x1012
5,69x104
5,20x109
Plutón
3,00x106
5,37x1024
5,91x1012
---------
7,82x109
La Luna
1,74x106
7,34x1022
2,36x106
2,36x106
2,36x106
Cuerpo Celestial
El Sol
Radio del planeta (m )
Masa del planeta (kg)
Para el caso de la Tierra: g = 6,67 ⋅10 −11
Periodo de Periodo Rotación Traslación (s) (s)
2,3x106
--------
5,98 ⋅10 24 ≅ 9,8 m/s2 6 2 (6,37 ⋅10 )
C2. FUERZA ELÁSTICA (Ley de Hooke). El cuerpo representativo para
los cuerpos elásticos es el resorte espiral tal como se muestra en la figura
127
FÍSICA GENERAL
El resorte es un cuerpo representativo de los cuerpos elásticos, y la fuerza sobre el mismo, esta dada por
F=k x, donde k es la
constante elástica cuyo valor se puede determinar como k =
F . x
LAS LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO I.
Denominada Principio de Inercia o Primera Ley de Newton. Fue
Galileo quien la descubrió y se enuncia así: “Todo cuerpo en estado de reposo o de movimiento rectilíneo Uniforme, permanecerá en dicho estado, a no ser que actúe una fuerza capaz de modificarla”, es decir
Σ F=0 Al hacer mención el estado de reposo, también se conoce como equilibrio traslacional; y cuando el cuerpo tiene movimiento rectilíneo uniforme, se encuentra en equilibrio dinámico. II.
Denominada también LEY FUNDAMENTAL DE LA MECÁNICA.
Usamos la masa como medida cuantitativa de la inercia. Así enunciamos la segunda ley de Newton de la siguiente manera: “Existe la fuerza no equilibrada, llamada fuerza total, que es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración, es decir: ΣF=ma III.
Denominada Ley de Acción – Reacción la cual se establece
Si dos objetos interactúan, la fuerza F12 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en cantidad pero opuesta en sentido opuesto a la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre 1.
F12 =
128
F21
FÍSICA GENERAL
APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON SUGERENCIAS PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS SEGÚN LAS LEYES DE NEWTON.
En la aplicación de la Primera Ley: (estática o con v=cte) o el caso de la Segunda Ley (cuerpo con MRUV) para solucionar algunos problemas, debemos en tener los siguientes sugerencias. 1.
Hacer un diagrama detallado del objeto o estructura de acuerdo al enunciado del problema.
2.
Elegir el cuerpo que está en equilibrio (Equilibrio traslacional o equilibrio dinámico v=cte) y en un esquema aparte representar usando vectores que representan cada una de las fuerzas ejercidas sobre él, lo que se denomina AISLAR EL CUERPO ELEGIDO.
3.
En el caso de la segunda ley de Newton, al diagrama del paso anterior incluir la aceleración en el sentido del hipotético movimiento que se producirá.
4.
Escribir sobre el diagrama que será bastante grande para evitar confusiones los valores numéricos de todas las fuerzas, ángulos, dimensiones, incluyendo letras a las cantidades desconocidas.
5.
Trazar un par de ejes rectangulares XY, colocando en el origen del sistema al cuerpo considerado como un punto material o partícula, y sobre el trazar los vectores colocados al cuerpo, añadiendo la aceleración con valor cero (para el caso de la Primera Ley), ya sea que el cuerpo se encuentre en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme. Ahora se usará la ecuación vectorial:
6.
∑F = 0
Después de haber escrito la ecuación vectorial, usando el método de las componentes, se debe obtener las ecuaciones escalares para cada
129
FÍSICA GENERAL
uno de los ejes, para lo cual se usará:
∑F
X
=0
y
∑F
Y
= 0 con la
finalidad de obtener las cantidades desconocidas. 7.
En el caso de la segunda ley de Newton, repetiremos el trazo según el item número 5, al cual agregaremos al sistema de ejes coordenados XY, la aceleración considerada y aplicaremos
∑F = m ⋅ a
y en este
caso de la segunda ley, para las ecuaciones escalares, aplicaremos para cada eje
∑F
X
= m ⋅ aX
y
∑F
Y
= m ⋅ a Y con la finalidad de obtener
las cantidades desconocidas.
APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE EQUILIBRIO: Problema Nº 03. Dos obreros han sido encomendados para colocar un gran
cartel en la azotea de un edificio de varios pisos, para lo cual están usado cuerdas, habiendo quedado las fuerzas ejercidas sobre el cartel en un momento dado, tal como se muestra en la fig. Calcular las tensiones ejercidas por cada obrero sobre el cartel que pesa 80 kgf. Solución:
Calculando las cantidades de las tensiones T1 y T2 teniendo el peso P del cartel, cuya cantidad es P = 80 Kgf.
30°
Y
53°
T1
T2 30º
53º
X P
130
FÍSICA GENERAL
Aplicando la I ley de Newton
∑F = 0
T1 + T2 + P = 0
Considerando los ejes rectangulares:
∑F
X
En el eje “X”
(1)
En el eje “Y”
(2)
∑F
=0
Y
=0
Con los valores reemplazamos en (1) y (2), tendremos: 0,60 T1 − 0,87 T2 = 0
0,80 T1 + 0,50 T2 = 80
resolviendo el sistema de ecuaciones, tendremos los valores: T1 = 69,9 kgf
y T2 = 48,2 kgf
Problema Nº 04.- En la fig. que se muestra se tiene una viga, en el extremo
libre se colocado un cuerpo de masa 150 kgf atado en una cuerda, y que el otro extremo de la cuerda se ha fijado a un punto de la pared..Calcular la tensión ejercida sobre la cuerda, así mismo la fuerza de compresión que ejerce la viga contra la pared. Trazando el DCL aplicado en El extremo B de la viga
Y T1
T1
40º A
40º
• B
T2
C
T2
•
•
C
B T2
P = 150 kgf P
131
X
FÍSICA GENERAL
Calculando la cantidad de la tensión de la cuerda, para lo cual en base al
∑F = 0
DCL aplicamos la I Ley de Newton
Entonces:
T 1 + T2 + C = 0
Considerando los ejes rectangulares:
∑F
=0
∑F
=0
X
Y
En el eje “X”
C − T1 cos 40 = 0
(1)
En el eje “Y”
T1 sen 40 − T2 = 0
(2)
De (2) podemos calcular T1, dado que T2 = P = 150 kgf, por consiguiente
T1 =
150 = 234,4 kgf , es decir T1 = 234,4 kgf 0,64
Calculando la fuerza de compresión contra la pared, de (1), podemos despejar la compresión: C = T1 ⋅ 0,77 = (234,4)(0,7 7) = 180,5 kgf, de donde: C = 180,5 kgf Problema Nº 05. Un bloque de 10 kg de masa se coloca en un plano
inclinado sin fricción y se sujeta a otro bloque de 5 kg mediante una cuerda que pasa por una polea sin fricción como se muestra en la fig- a) Calcular el ángulo θ para que los bloques permanezcan en reposo. b) Hallar la aceleración de los bloques si θ = 37º.
132
FÍSICA GENERAL
N
T T
m1 = 10 kg
m 2 = 5 kg
m1 g
θ
m2 g
a)
Calculando el ángulo para que los bloques permanezcan en reposo, para lo cual debemos hacer dos diagramas de cuerpos libres, tal como se muestran la fig. (a) y fig.(b)
DCL para la masa m1
DCL para la masa m2 Y
Y T
N
X
T
• m1 m1 g
• m2 m2 g
θ
Fig (b)
Fig (a)
Aplicando la primera ley de Newton para la masa m1=10 kg en la fig (a)
∑F = 0 Entonces: N + T + m1 g = 0 En el eje “X”
∑F
X
=0
133
X
FÍSICA GENERAL
T − m1g ⋅ senθ = 0
De esta expresión despejamos
m1g ⋅ senθ = T ,
como sigue:
reemplazando los valores, tendremos: (10)(9,8) ⋅ senθ = T o 98 ⋅ sen θ = T
(1)
Aplicando la primera ley de Newton para la masa m2 = 5 kg en la fig (b)
∑F
Y
=0
T − m2 g = 0
En el eje “y”
En esta expresión despejamos T según T = m2 g y si reemplazamos
T = (5)(9,8) = 49 Newt.
los valores tendremos
(2)
Con este valor hallado lo reemplazamos en (1) y despejamos el senθ, es decir: 98 ⋅ sen θ = 49
de donde sen θ = 0,5 , despejamos el
θ=30º
ángulo tendremos finalmente b)
Calculando la aceleración de los bloques si θ=37º , en este caso trazaremos nuevamente el esquema de los cuerpos con las fuerzas aplicadas y la posible aceleración que poseen, a N
T T
m1 = 10 kg 37º
m1 g
a
m 2 = 5 kg m2 g
134
FÍSICA GENERAL
Nuevamente trazaremos los DCL correspondientes para cada masa, tal como se muestran el las fig. (c) y (d)
Para la masa m1
Para la masa m1 Y
Y T
N
X
T
a
• m2
• m1 m1 g
a
X
m2 g
θ
Fig (d)
Fig (c)
Ahora aplicamos la II ley para la masa m1=10 kg en la fig (c)
∑F = m ⋅ a entonces N + T + m1 g = m1 a
En el eje “X” de acuerdo a la fig (c)
∑F
X
= m1 ⋅ a
entonces
tendremos
T − m1g ⋅ sen(37) = m1 ⋅ a valores tendremos
y de tal manera si reemplazamos los
T − (98) ⋅ (0,60) = 10 ⋅ a T − 58,8 = 10 ⋅ a
135
es decir (3)
FÍSICA GENERAL
En el caso de la masa m2 en la fig (d) En el eje “y”
∑F
Y
= m2 ⋅ a
Con lo cual obtenemos T − m2 ⋅ g = m2 ⋅ a
En esta expresión despejamos
T
según T = m2 ⋅ g + m2 ⋅ a
y si
reemplazamos los valores tendremos T = 49 + 5 ⋅ a
(4)
si esta expresión lo reemplazamos en (3), obtenemos
(49 + 5 ⋅ a) − 58,8 = 10 ⋅ a de aquí despejamos la aceleración, resultando: a = 0,65 m/s2
PROBLEMAS PROPUESTOS DE EQUILIBRIO DE PARTÍCULA 1.
El peso del bloque representado en la fig. es de 500 N. Calcúlense las tensiones T1 y T2 (a) Considere el caso cuando θ1 = 50° ; θ2 = 65° ; (b) Para el caso cuando AB = 50 cm, AC = 30 cm, y θ1 = 53° . En ambos casos el sistema se encuentra en equilibrio.
2.
Hállese la tensión en cada cuerda en la fig. que se muestra, si el peso del cuerpo suspendido es de 400 N, además el sistema se encuentra en equilibrio.
136
FÍSICA GENERAL
3.
(a) Determinar la cantidad de la fuerza F paralela al plano aplicada al bloque de peso 100 N, para que el sistema esté en equilibrio. Suponga que no existe rozamiento en la superficie y en la polea, el peso de la polea P es de 20 N, además la masa Q es de 30 kg. (b) Calcule la cantidad de la fuerza de reacción del plano inclinado sobre el bloque.
4.
Una cuerda PQRS cuelga de los puntos fijos P y S, si existe en el punto Q un peso de 150 N, y en el punto R un cuerpo de peso W. Si el segmento de cuerda PQ hace un ángulo de 40° con la vertical, el segmento de cuerda QR es horizontal; el segmento RS forma un ángulo de 60° con la vertical. Determinar el valor del peso W que debe colgarse en el punto R de la cuerda para que el sistema esté en equilibrio.
137
FÍSICA GENERAL
138
FÍSICA GENERAL
TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA
TRABAJO MECÁNICO (W): Es la transmisión del movimiento ordenado, de
un participante a otro, con superación de resistencia. Matemáticamente: “El trabajo es igual al producto del desplazamiento por
la componente de la fuerza, a lo largo del desplazamiento”.
•
El trabajo es una cantidad escalar.
•
Se supone el caso especial de fuerzas constantes y movimiento en una dimensión.
•
Se supone al objeto como una partícula. F senθ
F F cos θ
θ A
B
d
WF
AB
= (F cosθ) × d
CASOS PARTICULARES:
A)
Si la fuerza está en la dirección del movimiento, el trabajo es: F W AB
= F×d
139
FÍSICA GENERAL
B)
Si la fuerza es perpendicular al moviendo, el trabajo es: F W AB = (F cos 90º ) × d
F W AB =0
C)
Si la fuerza está en dirección contraria al moviendo, el trabajo es: F WAB = (F cos 180º ) × d
F WAB =−F×d
IMPORTANTE: Existe fuerzas, llamadas conservativas, para los cuales el
trabajo desarrollado es independiente de la trayectoria.
W ABCD = WAD Una fuerza es conservativa, si el trabajo que realiza sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos, depende únicamente de los punto inicial y final y no de la trayectoria entre ellos o la trayectoria descrita por el punto inicial.
140
FÍSICA GENERAL
La fuerza de un resorte y la gravedad son fuerzas conservativas. La fuerza de rozamiento cinético es una fuerza no conservativa.
Unidad de trabajo:
[W ]
=
[F]
× [d]
Joule = Newton × m
141
FÍSICA GENERAL
142
FÍSICA GENERAL
ENERGÍA
Es la cantidad de trabajo que puede producir un cuerpo. Las unidades de energía son las mismas que las del trabajo. Existen diferentes tipos de energía; en este capítulo nos ocuparemos sólo de la energía mecánica (cinética y potencial). Energía cinética (Ek): Es el valor entregado por el trabajo de una fuerza que
actúa desde un punto a otro. Por ejemplo: un peso que cae desde una altura h.
Ek =
1 mv 2 2
Energía potencial (Ep): Es una función de las coordenadas tal que la
diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y fnal es igual al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla desde su posición inicial a la final. Existen dos tipos de energía potencial que nos serán familiares: a)
Energía potencial gravitatoria (EP.G.): Es aquel tipo de energía que
posee un cuerpo debido a la altura a la cual se encuentra, con respecto a un plano de referencia horizontal, considerando como arbitrario.
143
FÍSICA GENERAL
La energía potencial gravitatoria se define como el trabajo que se realizará para llevar la masa de un cuerpo (peso), desde la posición en la cual se encuentra, hasta el plano de referencia considerado.
EP.G = mgh
b)
Energía potencial elástica (EP.E.): Es aquella forma de energía que posee
un cuerpo sujeto a un resorte comprimido o estirado.
Posición de Equilibrio
K
E P.G =
1 2 Kx 2
K
x
“x”, es la deformación parcial del resorte. k, es la constante de la elasticidad del resorte.
144
FÍSICA GENERAL
Energía mecánica (EM): Es la suma de la energía cinética y la energía
potencial. EM = EK + EP Teorema Trabajo – Energía: “Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas y éste
se mueve desde un punto “A” con VA hasta un punto “B” con VB, el trabajo realizado sobre el cuerpo es igual al cambio de energía cinética que experimenta”.
WTOTAL = FR x e = mae ….(x1)
WTOTAL = E K − E K
Además: Vf2 = V02 + 2ae
WTOTAL = ΔE K = ∑ W
ae =
V f2 − V02
2
F
...( x2 )
(x2 ) en ( x1 ) : Wtotal
=
mV f2 2
−
mV02 2
145
O
FÍSICA GENERAL
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA:
Cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas, la energía mecánica del cuerpo permanece constante. EMO = EMF EKO + EPO = EKF + EPF
POTENCIA (P) Es aquella cantidad escalar que nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo. También se dice que la potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.
P =
Δw Δt
, donde
Δ w = Trabajo realizado por una fuerza. Δ F = Trabajo realizado por una fuerza. P = Potencia.
También P = 1 watt =
Δw ⎛d⎞ = F⎜ ⎟ = F × v Δt ⎝ Δt ⎠
P=Fxv
1 Joule s
1 H.P. = 746 Watts.
146
(si v =cte).
FÍSICA GENERAL
PROBLEMAS RESUELTOS
1. El bloque mostrado se encuentra afectado por fuerzas que le permiten desplazarse desde “A” hasta “B”. ¿Cuál es el trabajo neto que realizan las fuerzas mostradas sobre el boque?
Solución o Las fuerzas que no están en la dirección al mov. No realizan trabajo. o Las fuerzas que están en la dirección del movimiento si realizan
trabajo.
W = FR x d
⎛4⎞ ⎛4⎞ FRX = ∑ F = 30⎜ ⎟ + 100⎜ ⎟ − 20 ⎝5⎠ ⎝5⎠
147
FÍSICA GENERAL
FRX = (24) + (80) – 20 = 84 N W = (84) x (60) = 5040 Joules 2. Un cajón es jalado por una fuerza F constante
y
paralela
al
plano
inclinado, siendo su peso 10 N. Si
μ = 0,5 . ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza F en el trayecto de A hasta B, sabiendo además que el movimiento se hizo con rapidez constante? Solución
Mov. Con V = cte.
→ ∃ equilibrio cinético
∑ Fx =0
→ ∃ ∑ Fy = 0
F = f + W sen37°
N = W cos 37°
⎛3⎞ F= μ xN+W ⎜ ⎟ ⎝5⎠
⎛4⎞ N = 10⎜ ⎟ = 8 ⎝5⎠
⎛3⎞ ⎛4⎞ F = (10) ⎜ ⎟ + 0,5 (10 ) ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝5⎠
148
FÍSICA GENERAL
F = 6 + (0,5) (8) = 6 + 4 = 10 W = F x d = 10N x 20m Sen 37° = d=
12 d
12 × 5 = 20m 3
W = 200 Joules 3. Un bloque de 40 kg de peso se encuentra inicialmente en reposo, y es levantada por un hombre a través de una cuerda, jalándola con una fuerza de 500 Newton. ¿Qué trabajo realizo el hombre durante los 6 primeros segundos? Solución
m = 40kg vO = 0 F = 500 Newton T=6s FR = md
a=
F 500 −g= − 10 40 m
F – mg = ma F = ma + mg
a = 12,5 – 10 = 2,5m/s2
F = m (a + g)
F =a+g m
149
FÍSICA GENERAL
e = vot +
e=
1 2 1 at = 0 + at 2 2 2
W = F x e 0 (500) (45)
1 2 ( 2,5)( 6 ) = 45m 2
W = 22,500 Joule.
4. ¿Qué trabajo debe realizar F para que el boque “A” de 20kg recorra 10mt, partiendo del reposo con una aceleración constante de 20cm/seg2. Despreciar la masa de la polea, y considere μ = 0, 4 ?
Solución
Dcl de la polea
T F T Dcl de “A” N
A
F
F W
2T = F T=
T = (20) (0,2 + 0,4 (10))
F 2
T = 20 (0,2 + 4)
N=W
T = 20 (4,2)
T – f = ma
T = 84 Newton
150
FÍSICA GENERAL
T – μ N = ma T – μ mg = ma
Wjo = T x d = (84) (10)
T = ma + μ mg T = m(a + μ g)
a = 20
Wjo = 840 Joules
cm = 0, 2 m 2 s s2
5. Un cuerpo de masa m = 5kg es lanzado pendiente abajo con una rapidez vo = 4m/s. Se desea hasta el instante en que su rapidez, es vf=10 mt/s. Se desprecia la fricción. Solución
Wjo total = AEk = Ekf - Eko Wtotal =
1 1 mv 2f − mv 02 2 2
Wtotal =
5 1 1 − m v 2f − v 02 = (5) 10 2 − 4 2 = (100 − 16 ) 2 2 2
(
)
(
)
Wtotal = 210 Joules
μ B
6. Un bloque de masa m =5kg
F
es jalada por una fuerza F constante, de modo que al
12mts 12m
pasar por los puntos A y B lo hace con las rapidezes de 6m/s y 10 m/s. Si μ = 0, 2 , ¿cuál es el valor de F?.g=10m/s2
37° A
151
FÍSICA GENERAL
Solución
∑ W*=ΔEk+ΔEp Wf+WN+WF= ΔEk +ΔEp - fd+0+Fd=EkB–EkA+EpB – EpA= d(F -f) =
(
)
5 (12) 3
(
)
1 m v L − v 2 + mg h − h d = 20m B A B A 2
d(F − μN) =
(
)
1 m v B2 − v 2A + mg(hB − h A ) 2
⎛ ⎛ 4 ⎞⎞ d ( F − μ W cos 37º ) = d ( F − ( 0, 2 ) ) ⎜ 5 (10 ) ⎜ ⎟ ⎟ = d ( F − 8 ) = 20 ( F − 8 ) ⎝ 5 ⎠⎠ ⎝
(
)
20 (F - 8) =
1 (5) 10 2 − 6 2 + 5(10 )(12 − 0) 2
20(F − 8 ) =
5 (100 − 36 ) + 50(12 ) = 5 (64 ) + 600 = 160 + 600 2 2
20(F - 8) = 760 → (F - 8) = 38 → F = 465 F = 46 Newton.
152
FÍSICA GENERAL
7. Un pequeño objeto es soltado desde el borde “A” de una rampa curva lisa, e ingresa por B a un plano horizontal áspero donde el coeficiente de fricción relativo es μ = 0, 2 . ¿A qué distancia de “B” se detendrá el cuerpo? Solución Trama A – B
Actúan fuerzas conservat.
⇒ EMA = EMB EKA + EPA = EKB + EPB
1 1 mv 2A + mgh = mv B2 + mgh B 2 2 mgh =
1 mv B2 2
v B2 = 2 gh = 2(10 )(8) = 160 m d =
s
160 = 40m. 2(0.2 )(10 )
d = 40m Tramo BC ∑ W ∗ = ΔE K + ΔE p
WN + Wf = Δ EK + Δ Ep
1 0 + (-f d) = E K C − E K B + E p C − E p B − fd = 0 − mv B2 + 0 − 0 2 fd =
1 mv B2 2
153
FÍSICA GENERAL
1 mv 2 B 2
μNd =
1 mv B2 2
μ mgd =
d=
v2
B
2μg
8. Un bloque de 250gr que se halla en reposo se suelta desde un punto “A” de una pista que tiene la forma de un cuadrante de circunferencia (según figura) de radio 1,2m., llega al punto “B”,
se
desliza
sobre
una
superficie
1.2m
horizontal recorriendo 2m.,con lo cual alcanza el punto C y se para. a) Calcular la energía transformada en calor al pasar el bloque del punto A al B. b) Calcular el coeficiente de rozamiento sobre la superficie horizontal. Solución
a)
La energía transformada en calor debido al rozamiento, al pasar el bloque de A a B será: W = ΔE = E B − E A M = 250gr = 0,25kg Vi = V A = 0 R = 1.2m
θ=
π 2
S = R θ =0,6 π m
Vf = VB = 4m/seg W = Δ E = EB – EA
(
) (
W = EK B + Ep B − EK A + Ep A
) 154
FÍSICA GENERAL
W=
1 mv B2 − mg h AB 2
W=
1 2 ( 0, 25)( 4 ) − ( 0, 25)( 9,8)(1, 2 ) 2
W = 2 – 2,94 = -0,94 Joule / W / = / θ / = 0,94 Joule
b)
v i2 μ= 2gd
μ=
42 2 ( 9,8 )( 2 )
μ = 0, 408 9.
Una fuerza constante de 12kg. Actúa verticalmente hacia arriba sobre un cuerpo de 10kg. Que inicialmente se halla en reposo. a) ¿Cuánto valdrán sus energías cinéticas y potencial al cabo de 10 seg? b) ¿Cuánto vale su energía mecánica total? Solución
a) F – W = md F = 12 Kg ×
9,8 N= 1kg
(12 x 9,8) -10= (9,8) = (10) a 2 (9,8)= 10a 19,6 = a(10) a = 1,96m/s2
155
FÍSICA GENERAL
Sabemos: e = v i t ±
1 2 at 2
v i = 0 (Dato )
h=e=
1 2 (1,96 )(10 ) = 98m 2
h = 98m Ep = mgh = (10) (9,8) (98) Joule Ep = 9604 Joule Vf = at Vf = (1,96) (10) = 19,6 m/s
Ek =
1 2 1 2 mv f = (10 )(19, 6 ) 2 2
Ek = 1920,8 Joule Ek = 1920,8 Joule b) Energía mecánica: EM = E p + E k EM = 9604 + 1920.8 EM = 11,524.8 Joules EM = 11,524.8 Joules 10.
En un canal de 2 metros de profundidad y 5 metros de ancho, fluye el agua con una rapidez media de 10cm/seg. Calcular en C.V. la potencia de la corriente. 1C.V=735Watts
156
FÍSICA GENERAL
Solución
Tomamos como referencia 1 segundo: (el largo será entonces 100cm=1m) El volumen de agua será; 2 x 5 x 1 (m3) = 10m3 1m = 10dm →
(10dm)3 (1m)3
= 10 × 10 3 dm3 = 10,000dm3
Sabemos: 1dm3 ≡ 1kg ≡ 1 litro Luego m = 10,000kg y su rapidez es: v = 100
cm = 1m / s seg
La energía que desarrolla en 1 s será:
W=
1 1 2 mv 2 = (10,000 ) (1) = 5,000 Joules 2 2
Luego la potencia desarrollado en T=1s será P=
W 5,000 = = 5,000 Watts t 1
1.C.V. = 735 Watts P = 5000 Watts x
1.C.V . = 6,8 C.V . 735 Watts
P = 6,8 C.V. 11. ¿Qué potencia absorverá un motor de 5 C. V. trabajando a plena carga, si su rendimiento es 85%, expresar el resultado en unidades C.G.S. y en unidades M.K.S.?
157
FÍSICA GENERAL
Solución
Es de entenderse que los 5 C.V., representa el 85% de la potencia que
⇒ PÚTIL = PSALIDA = 5 C.V.
absorve el motor.
Rendin = 0,85 =
PABSORVIDA = 5 ×
PÚTIL PENTRADA
PÚTIL PABSORVIDA
=
5 PENTRADA
=
85 100
100 100 = C.V. 85 17
En unidades C.G.S.: P =
P=
=
100 × 75 × 9,8 × 107 17
En unidades M.K.S.:
100 kg − mt 100 Joule × 75 = × 75 × 9,8 s s 17 17 Ergios s
⇒
P = 4,327.9 ×107
Ergios s
P = 4,327.9 Watts
12. Un jornalero carga en media hora 1m3 de tierra, debiéndola levantar a 1,5m de altura. ¿Qué potencia ha desarrollado en kilowatts y en H.P.? Dato: 1m3 de la tierra pesa 1,8 toneladas. Solución
El peso que debe levantarse es: F = 1,8 toneladas = 1800kg La distancia:
h = 1,5m t = ½ hora = 1,800 s
P=
F × h 1800 kg × 1,5m kg × m = = 1,5 1800 s t s
P = 1,5 × 9,8
Joules = 14, 7 watts s
P = 0,0147 kilowatts
158
FÍSICA GENERAL
En H.P.
P=
14, 7 = 0, 019 H .P. 746
P = 0,019 H.P. 13. ¿Qué potencia en H.P. necesita un camión de 10,000kg. Para pasar una pendiente del 5% con una rapidez constante de 36km/hr, sabiendo que el coeficiente cinético de fricción entre las llantas y la pista vale 0,4? Solución
Pendiente del 5% ⇒
tan gα =
5 ≅ senα 100
cos α = 1 − sen 2 α = 1 − (0.05 ) = 0.9975 = 0.999 2
Ahora bien, la fuerza (F) que debe efectuar el camión para marchar con rapidez constante, sobre la pendiente será: F = fR + 10,000 sen α ……..(*1) En donde: fR = μ N = μ (10,000) cos α fR = 0,4 x 10,000 cos α = 4,000 cos α F = 4,000 cos α + 10,000 sen α = F = 4000 (0,999) + 10,000 (0,05) F = 4,496kg La rapidez es: V = 36km/hr=10m/s = cte Finalmente: P = F x V
159
FÍSICA GENERAL
P = (4,496kg) x (10m/s) P = 44,960kg x m/s Que expresada en H.P.
P=
44,960 76
P = 591,58 H.P.
PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRABAJO, ENERGÌA Y POTENCIA 1. Hallar el trabajo neto realizado sobre un cuerpo de 4kg que ascienda por un plano cuya pendiente es 75% bajo la acción de una fuerza de 92 Newton paralela al plano inclinado, el espacio que sube es de 5m. y el plano tiene un coeficiente de fricción μk = 0, 25 . Considerar: g: 10m/s2 Rpta: W = 300 Joules
2. En la figura mostrada, a partir del reposo se aplica F = 10 5 Newton, sobre m = 1kg. Que está apoyada sobre el piso que tiene un coeficiente de fricción igual a 0,5. Hallar el máximo trabajo neto realizado sobre el bloque durante 5s (g = 10m/s2) Rpta: W = 5,000 Joules
160
FÍSICA GENERAL
3. En
la
figura
mostrada:
m=10kg.,
μk = 0,5 . ¿Qué cantidad de calor se disipa en el tramo de “A” hacia “B”? Rpta: Q = 4,000 Joules Nota: La cantidad de calor disipada “Q” es numéricamente igual al
trabajo realizado por la fuerza de fricción. 4. En la figura mostrada desde “A” se suelta una bolita de masa “m” que rebalsa por un tubo liso el cual abandona en “B”. ¿Qué ángulo hace la rapidez de “C”, si “X” es máximo alcance? ¿A qué es igual “h” y el alcance máximo “x”?. Asumir g = 10m/s2 Rpta: θ = 45º, h =16m, x = 32m.
5. Desde la parte superior de un plano inclinado se suelta una esferita de masa “m” que resbala sobre él cuyo coeficiente de fricción es 0,375. Halla el ángulo “ θ ” para que la energía cinética en “B” sea el 50% de la energía potencial que tenía el cuerpo en “A”. Rpta: θ = 37º
6. Un cuerpo de 3kg cae desde cierta altura con una rapidez inicial de 2m/s, dirigida verticalmente hacia abajo. Calcular el trabajo realizado durante 10 segundos contra las fuerzas de resistencia del aire, si se sabe que al final de éste intervalo de tiempo, el cuerpo adquiere una rapidez
161
FÍSICA GENERAL
de igual a 50m/s. Considere constante la fuerza de resistencia del aire. G=9,8m/s2 Rpta: W = 3,900 Joules
7. Un cuerpo de 4kg resbala desde el reposo sobre un cuarto de circunferencia de 10m de radio y llega al punto más bajo con una rapidez de 8m/s. ¿Qué cantidad de calor se libera en el trayecto mencionado? Rpta: Q = 272 Joules
8. Un cuerpo desliza: primero a lo largo de un plano ( θ = 53 º ) inclinado partiendo del reposo y luego continúa moviéndose sobre el plano horizontal la misma distancia que en el plano inclinado hasta detenerse. Calcular el coeficiente de fricción del mencionado trayecto. Rpta: μk = 0,5
9. Una
pelota
que
pesa 2 Newton se coloca
en
el
dispositivo mostrado. Si comprimimos el resorte 0,20m, la rapidez máxima que adquiere la pelota al soltarla es 8m/s. ¿Qué fuerza ejerce el resorte sobre la pelota cuando está comprimido 0,20m?. (g = 10m/s2) Rpta: F = 64 Newton
162
FÍSICA GENERAL
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Existen algunas evidencias en documentos chinos que el magnetismo ya se conocía en el año 2000 a.c.
Muchos científicos e investigadores han contribuido al desarrollo de la electricidad y el magnetismo. Entre ellos podemos citar a William Gilbert, Charles Coulomb, Hans Oersted, Michael Faraday, James Clerk Maxwell, etc.
Cuando encendemos o apagamos las luces en una habitación, o cuando ingresamos una orden en nuestra PC a través del teclado, o cuando hacemos uso del control remoto de un determinado equipo, lo que estamos realizando indirectamente es controlar fuerzas eléctricas o magnéticas que dirigen el flujo de energía o partículas. Estas fuerzas constituyen las bases para el estudio del electromagnetismo.
Es importante que antes de abarcar los siguientes capítulos, nuestros conocimientos sobre el álgebra vectorial sean afianzados, esto ayudará a comprender mejor el comportamiento de las cargas eléctricas cuando se asocien con otras de igual o diferente polaridad.
Este capítulo se inicia con un estudio del electromagnetismo, que paulatinamente cubrirá el resto del libro. Las fuerzas electromagnéticas son
163
FÍSICA GENERAL
las causantes de la estructura de los átomos y la unión de estos en moléculas y sólidos.
CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB En el presente capítulo haremos una breve exposición de la carga eléctrica, algunas propiedades de cuerpos electrizados por frotamiento y la fuerza eléctrica fundamental entre dos cuerpos con diferente tipo de electrización.
Electromagnetismo: (Introducción) Fuerzas eléctricas o magnéticas controlan o dirigen el flujo de energía o de partículas. Estas fuerzas constituyen las bases para el estudio del electromagnetismo. Todos los efectos electromagnéticos pueden ser explicados mediante las cuatro ecuaciones de Maxwell. Primeramente analizaremos los fenómenos eléctricos y posteriormente los magnéticos. Consecuentemente veremos que es imposible separarlos: algunos fenómenos eléctricos producen efectos magnéticos, y algunos fenómenos magnéticos producen efectos eléctricos. Esto conlleva a unificarlos bajo el nombre de electromagnetismo. El descubrimiento de las leyes que rigen el electromagnetismo y su aplicación ha dado origen a muchos descubrimientos: motores, aparatos de radio y TV, radar hornos de microondas, teléfonos celulares, etc.
Carga Eléctrica: Todos de alguna u otra forma hemos experimentado fenómenos eléctricos. Por ejemplo al peinarnos con un peine de plástico, el peine se electriza producto del rozamiento con el cabello y pasado un intervalo de tiempo al entrar más en contacto con él, dejan de ser atraídos.
164
FÍSICA GENERAL
Podemos concluir que: la atracción entre el peine y el cabello es el resultado del frotamiento que se manifiesta en una propiedad llamada electricidad. Hay dos tipos de electrización positiva y negativa. De esta manera si un cuerpo esta electrizado negativamente entonces tiene carga negativa y si esta electrizado positivamente tiene carga positiva. En conclusión el estado de electrización determina el tipo de carga de un objeto. Existen dos tipos de cargas eléctricas: Positiva y Negativa. Cuando un objeto esta electrizado negativamente diremos que tiene carga negativa. Cuando se frotan dos objetos, por ejemplo una varilla de vidrio con un paño de seda, observamos que se electriza positivamente y producto de esto hay atracción eléctrica entre estos dos cuerpos.
Frotando una varilla de vidrio con un paño de seda.
Varilla de vidrio con exceso de carga positiva
De otra forma, si frotamos una varilla de plástico con piel, observamos que la varilla se electriza negativamente. La piel presenta ahora un déficit de electrones mientras que la varilla de plástico presenta un exceso de carga negativa. En ambos casos, se han transferido un número relativamente pequeño de electrones y alterado la neutralidad de los objetos.
165
FÍSICA GENERAL
Frotando una varilla de PVC con un paño de piel.
Varilla de PVC con exceso de carga negativa
Podemos hacer unos experimentos que comprueben lo mencionado. Sujetemos una varilla de vidrio a un hilo y sujeta en lo alto, frotemos un extremo con un paño de seda y luego acerquemos otra varilla de vidrio cargada en forma similar, encontraremos que las dos se repelen entre sí. Pero si acercamos una varilla de plástico cargada (frotándola con piel), las dos varillas se atraerán una a la otra. Este experimento obedece a la siguiente regla: “Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen”.La carga eléctrica neta de un objeto se representa con
el símbolo q. Ésta es una cantidad escalar. Puede ser positiva o negativa. La carga eléctrica se mide en Coulombs (C). Debido a que el Coulomb es una unidad muy grande de carga; se requieren unos 6 x 1018 electrones para obtener un coulomb. Suele utilizarse el Microcoulomb (μC) equivalente a 1x10-6 C ó el Nanocoulomb (ηC) equivalente a 1 x 10-9 C.
Cuantización de la Carga Eléctrica: Al transferir carga eléctrica de uno a otro objeto, la transferencia no puede efectuarse en unidades arbitrariamente pequeñas. Por ejemplo no podemos hablar de una fracción de carga eléctrica. Los experimentos demuestran que la carga eléctrica siempre existe sólo en cantidades que son múltiplos enteros de cierta cantidad elemental de carga e- . Esto significa que: q=± n e-
donde: n = 0, 1, 2, 3, …
Así podemos expresar e-=1,602x10-19C (con cuatro cifras significativas)
166
FÍSICA GENERAL
Ley de Coulomb Una vez establecido la existencia de carga positiva y carga negativa y que las cargas ejercen fuerza una sobre la otra. Ahora sólo nos queda por entender la naturaleza de ésta fuerza.
Los primeros experimentos cuantitativos exitosos al respecto fueron realizados por el físico francés Charles Agustín Coulomb (1736 – 1806), quién midió las atracciones y repulsiones eléctricas deduciendo la ley que las rige. Los experimentos de Coulomb y de sus contemporáneos demostraron que la fuerza eléctrica ejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto cantidades e inversamente del cuadrado de su separación. Es decir: G k .q1 .q 2 G F= .r (Expresión vectorial) r2
Veamos un simple ejemplo: Dos cargas eléctricas puntuales se atraen (o repelen) entre sí con una fuerza dada por q1 y q2 (valores de las cargas involucradas). Algunas veces la constante física k (constante de Coulomb), cuyo valor aproximado es 9.0x109 N.m2/C2 es reemplazada por el valor [1/(4πεo )] donde εo es la permitividad del vacío (εo=8,85418781762x10-12 C2 / N.m2). La cantidad r representa la distancia entre sus centros. La fórmula se cumple exclusivamente con objetos cargados cuyo tamaño es mucho menor que la distancia entre ellos.
167
FÍSICA GENERAL
F21
q2
+
r
+
r
q2
F21 F12 –
q1
+
F12
q1
La fuerza F21 representa la fuerza que ejerce la carga q1 sobre la carga q2; es de igual cantidad pero de sentido opuesto a la fuerza F21 que representa la fuerza que ejerce la carga q2 sobre la carga q1.
Principio de superposición La fuerza que ejerce un sistema de cargas sobre una carga, ubicada en un punto P, es igual a la suma (vectorial) de las fuerzas de cada una de las cargas del sistema sobre la carga en P. Se puede expresar de la siguiente forma: Expresión vectorial
F32
q1 +
F3
q3 +
q2 +
F31
Figura 4. La fuerza F3 sobre la carga q3 es el vector suma de las fuerzas debidas a q1 y q2, consideradas independientes
F3 = F31 + F32
Lo mismo expresado de otra forma: En una distribución arbitraria de cargas eléctricas. La fuerza que ejerce una carga sobre otra, no depende de las fuerzas que ejercen las demás. En consecuencia, la fuerza eléctrica total sobre una carga se determina al sumar vectorialmente las fuerzas que existen entre dicha carga y cada una de las otras cargas. F3 = F31 + F32 (de acuerdo al gráfico mostrado en la figura 4)
168
FÍSICA GENERAL
donde F3 : Fuerza total sobre la carga q3 F31 : fuerza en la carga q3 debido a la carga q1 F32 : fuerza en la carga q3 debido a la carga q2
PROBLEMAS RESUELTOS 1)
Una varilla de vidrio al ser frotada con un paño de seda pierde 4000 electrones, ¿cuál es la carga que adquiere? Solución:
La varilla adquiere carga positiva, en reemplazo de la carga negativa perdida. Además toda carga es múltiplo de la carga del electrón: q = + n eq = + (4000) x (1.609 x 10-19 C) q = + 6,4 x 10-16 C
2)
Dos cargas fijas de 1 μC y –2,9 μC, están separadas por una distancia de 10 cm. Determine la fuerza que ejerce una carga sobre la otra.
r12 q2 = – 2,9 μC
q1 = 1,0μC
F12 = k .
F12
q1 .q 2 r122
169
FÍSICA GENERAL
F12 = 9*109 *
1, 0 x10−6 x 2,9 x10−6 0.102
F12 = 2, 61N
3)
En el esquema mostrado, halle la fuerza electrostática que ejerce la carga de (–13μC) sobre la carga de (15 μC). – 13 μC
q1
q1.q2 r2 2 15 x10−6 Cx13x10−6 C 9 N .m F12 = 9 x10 x C2 (14 x10−2 m) 2 F12 = 89,5 N F12 = k .
12.12 cm
F12 7.0 cm
4)
15 μC q2
Se localizan tres cargas ubicadas en las esquinas de un triangulo equilátero. Calcúlese la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7μC. Y
Y
F21 7,0 μC
q2=7,0 μC
+
0,50 m
0,50 m
+
–
2,0 μC
– 4,0
X
+
q1= 2,0 μC
μC
170
+
F23
–
q3= – 4,0 μC
X
FÍSICA GENERAL
G G G F2 = F21 + F23 F21 = k .
−6 −6 q2 .q1 9 7, 0 x10 x 2, 0 x10 = 9 x 10 x r122 0,502
F21 = 0,504 N
F23 = k .
−6 −6 q2 .q3 9 7, 0 x10 x 4, 0 x10 9 10 = x x r232 0,502
F21 = 1, 008 N F2 = 0,873N Luego : F22 = F212 + F232 + 2.F21.F23 .Cos120° F2 = 0,873N
5)
Seleccione las afirmaciones como verdaderas (V) o falsas (F): (a) Es posible descargar un electrón hasta que quede neutro. (b) La carga de una partícula puede ser 5,5x10-19 C. (c) La menor carga que conoce el hombre es ± 1.6x10-19 C. Solución:
I.
Es imposible separar la carga del electrón para que quede neutro.
II.
La carga de 5,5 x 10-19 C no es múltiplo de la del electrón, no esta cuantizada; por lo tanto no existe.
III.
La carga más pequeña que conoce el hombre es ± 1,6 x 10-19 C.
171
FÍSICA GENERAL
6)
Calcule la fuerza neta sobre la carga q3 debida a otras dos cargas ubicadas colinealmente en el eje X, como se indica en la figura. Considere las siguientes cantidades de las cargas: q1=– 4,2μC, q2=+1,3 μC y q3=+1,1μC.
q1 = - 4,2 μC
2 cm
q2 = + 1,3 μC
F32
1 cm
F31
q3 = + 1,1 μC
q3
Dado que las cargas son colineales, la fuerza resultante estará en la misma línea, por tanto podemos escribir: F3 = k .
q3 .q2 q .q −k 32 1 2 r32 r31
N .m 2 ⎡ 1,1x1,3 1,1x 4, 2 ⎤ F3 = 9 x10 . 2 x ⎢ x10−12 C 2 − 2 2⎥ C ⎣⎢ ( 0.01m ) (0.02m) ⎦⎥ 9
F3 = +25 N
Por tanto, la fuerza neta sobre q3 apunta hacia le eje +X. 7)
En la figura se muestran dos cargas eléctricas ubicadas en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcule la fuerza electrostática sobre la carga q2=–2 μC que produce la carga q1=4 μC. q2 =–2 μC
F21 =
k .q1q2 r12
F21 q1 =4 μC
5 cm 30°
(9 x109 N .m 2 / C 2 ) x(4 x10−6 C ) x(2 x10−6 C ) F21 = (0.1m) 2 F21 = 7, 2 N
172
FÍSICA GENERAL
CAMPO ELÉCTRICO En el párrafo anterior vimos cómo se emplea la Ley de Coulomb para obtener la fuerza sobre una carga debido a su interacción con otras cargas. Ahora debemos considerar los efectos de las cargas en función de un concepto introducido por Michael Faraday: “El Campo Eléctrico”. Definimos el campo Eléctrico (E) en cualquier punto en el espacio como “la fuerza por unidad de carga que experimentará una pequeña carga de prueba positiva en cierta posición del espacio”. Obedece a la fórmula G G F E= q0
(Ec. 7.0)
Debido también al principio de superposición, la expresión del campo eléctrico en una posición
del espacio creado por un sistema de
cargas
de valor qi, i=1, 2, …N y posición ri será:
La fuerza y el campo eléctrico son cantidades vectoriales que cumplen el principio de superposición. Por tanto se podrán sumar como vectores. El vector campo eléctrico apunta en la dirección de la fuerza sobre una carga de prueba positiva. Las unidades de campo eléctrico corresponden a Newtons por Coulumb, N/C.
Por tanto la cantidad del campo eléctrico equivale a:
173
E=
F q = K. 2 q0 r
FÍSICA GENERAL
–
+
Campo eléctrico debido (a) una carga positiva, (b) una carga negativa
Campo Eléctrico de cargas puntuales Supongamos que una carga positiva de prueba qo se coloca a una distancia r de una carga puntual q. La cantidad de la fuerza que opera sobre qo está dada está dada por la Ley de Coulomb,
1 4πε 0
.
Q r
De acuerdo a la Ec. 7.0:
E =
F 1 q = . 2 qo 4πε 0 r
La dirección de F es la misma que E. Por tanto, el campo eléctrico total se calcula como la suma de los n campos eléctricos, aplicando el “Principio de Superposición”: E = E1 + E2 + E3 + … +EN
Cascarón esférico con carga uniforme Un cascarón esférico con carga uniforme: no ejerce fuerza alguna sobre una carga de prueba en su interior, y en los puntos exteriores la fuerza que ejerce es la misma como si toda la carga del cascarón se concentrase en un punto de su centro. Aplicando ésta propiedad podemos deducir el campo eléctrico debido a un cascarón delgado cargado uniformemente.
174
FÍSICA GENERAL
Supongamos que el cascarón tiene un radio R y carga q, que por el momento suponemos positiva. Tenemos los siguientes resultados del campo eléctrico en varias distancias del centro del cascarón: E=0
Er =
(r < R)
1 4πε 0
.
q r2
(r ≥R)
En la última ecuación el subíndice r nos indica que el campo apunta en la dirección radial.
r1: r < R r2: r > R
r2
R
r1
175
FÍSICA GENERAL
PROBLEMAS RESUELTOS
1)
Encuentre el campo eléctrico en el punto P de la figura, ubicado sobre el eje y a 0,4 m sobre el origen, producido por las tres cargas puntuales que se muestran. La carga q1=7 C se ubica en el origen del sistema de coordenadas, la carga q2=-5 C se ubica en el eje X a 0,3 m del origen y la carga q3=-3 C a la derecha del punto P y a 0,4 m sobre q2. Determine además la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de 3x108C cuando se ubica en el punto P.
Solución: Primero calculamos separadamente la cantidad del campo
eléctrico en P debido a la presencia de cada carga. Llamemos E1 al campo eléctrico producido por q1, E2 al campo eléctrico producido por q2 y E3 al campo eléctrico producido por q3. Estos campos se
representan en la figura y sus cantidades son:
E1 = k .
−6 q1 9 7, 0 x10 9 10 . = = 3,9 x105 N / C x 2 2 0, 4 r1
176
FÍSICA GENERAL
E2 = k .
−6 q2 9 5, 0 x10 9 10 . = = 1,8 x105 N / C x 0,52 r22
E3 = k .
−6 q3 9 3, 0 x10 9 10 . = = 3, 0 x105 N / C x 2 2 0,3 r3
El vector E1 no tiene componente X, sólo componente y (hacia arriba). El vector E2 tiene una componente X dada por E2xCos =(3/5)E2 y una componente Y negativa dada por -E2xSen =-4/5E2. El vector E3 no tiene componente Y, sólo componente X (hacia la derecha). El vector resultante E que buscamos es la suma vectorial de estos tres vectores, E = E1 + E2 + E3
Los vectores E1, E2 y E3 conviene expresarlos usando vectores unitarios i y j para luego efectuar analíticamente su suma: E1 = 3,9 x 105 j (N/C) E2 = ( 1,1 x 105 i – 1,4 x 105 j ) (N/C) E3 = 3,0 x 105 i (N/C)
El campo eléctrico E resultante en P es entonces:
E = ( 4,1× 105 i + 2,5 × 105 j ) N / C La fuerza eléctrica sobre una carga de 3x10-8C cuando ésta se coloca en el punto P se obtiene simplemente usando F=Exq, con q=3x10-8C.
F = (12,3 ×10−3 i + 7,5 × 10−3 j ) N Esta fuerza tiene por supuesto la misma dirección que el campo eléctrico E.
177
FÍSICA GENERAL
2)
Las cargas de + 8 μC y + 24 μC se han colocado en los vértices de un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura. Halle la cantidad del campo eléctrico en el vértice de 90°. Solución: Suponemos que hay una carga de prueba, positiva, en el vértice de 90°. Q1 = +8 μC E3 =
20 cm
E 322 + E 312
3
E32
30 cm
E31
E32 =
k .q2 9 x109 x 24 x10−6 = = 24 x105 N / C (0,30m) 2 9 x10−2
k .q1 9 x109 x8 x10−6 E31 = = = 18 x105 N / C 2 −2 (0, 20m) 4 x10
Así: 3)
E3 = 3,0 x 106 N/C
Halle el campo eléctrico en el punto “O” de la figura. Dato: Cos 8° = 0,99
E01 r1
0
E02
q1 = + 0,5 μC
r2
8°
1,98 m
178
8°
q2 = – 0,5 μC
q2 = +24 μC
FÍSICA GENERAL
Solución:
E01 = E02 =
9 x109 x0.5 x10−6 = 4,5 x103 N / C (1m) 2
E0 = E012 + E022 + 2.E01.E02 .Cos(16°) E0 = 8,91x103 N / C 4)
Dos cargas eléctricas de 3 μC y 8 μC están situadas sobre una circunferencia de 5 m de diámetro, como se muestra en la figura. Halle el valor del campo eléctrico en el punto P. EP1 =
EP 2 =
9 x109 x3, 0 x10−6 = 3000 N / C (3m) 2 9
9 x10 x8, 0 x10 (4m) 2
−6
3 μC
P
= 4500 N / C
E = 5408,33N / C 8 μC
5)
Se muestran tres cargas positivas en los vértices de un triángulo equilátero. Halle Q si se sabe que el campo resultante en el punto medio de uno de sus lados tiene la dirección que se muestra en el diagrama.
q2 = – 6 μC
E 53° q1 = + 2 μC
Q
179
FÍSICA GENERAL
Solución:
Graficamos cada uno de los campos eléctricos del sistema:
– q2 E2
E2
+ q1
E
a√3
53°
E3 – E1
E3
E1
a
a
q3 = Q
Cálculo de E2:
E2 =
k .q2 (a. 3) 2
E2 =
9 x109 x6, 0 x10−6 18 x103 = 3.a 2 a2
E1 =
9 x109 x 2, 0 x10−6 18 x103 = a2 a2
Cálculo de E1: E1 =
k .q1 (a)2
Cálculo de E3:
E3 =
E
k .q3
E3 =
( a )2
9 x10 9 xQ
Luego tendremos que: Tg 53° =
E2 1 = ( E3 − E1 ) Q −1 2
Luego: Q = 3,51 Coulombs
180
a2
=
9 xQx10 3
a2
FÍSICA GENERAL
POTENCIAL ELÉCTRICO
El Acelerador Electrostático Cuando se introduce un conductor cargado dentro de otro conductor hueco y se ponen en contacto, toda la carga del primero pasa al segundo, cualquiera que sea la carga inicial del conductor hueco. Teóricamente, el proceso se podría repetir muchas veces, aumentando la carga del conductor hueco indefinidamente. De hecho, existe un límite debido a las dificultades de aislamiento de la carga. Cuando se eleva el potencial, el aire que le rodea se hace conductor y se empieza a perder carga. En la figura se muestra un aparato electrostático Hilo
que produce éste tipo de diferencias de potencial. Una pequeña esfera conductora de radio a y con una carga q se halla dentro de un cascarón grande de radio b que contiene una carga Q. Entre los dos
q b
Q a
conductores, momentáneamente se establece una trayectoria conductora; la carga q se mueve por completo hacia el conductor externo, sin importar
aislante
la cantidad de carga Q que ya esté allí (porque la carga de un conductor siempre se dirige hacia la superficie externa). Si se cuenta con un mecanismo apropiado para reponer la carga q en la esfera interna partiendo de un suministro externo. En teoría la carga Q en la esfera exterior y su potencial pueden aumentar sin límite. En la práctica, el potencial terminal se ve limitado por las chispas que se producen en el aire (ver figura adjunta).
181
FÍSICA GENERAL
El generador de Van de Graaff Van de Graaff inventó el generador que lleva su nombre en 1931, con el propósito de producir una diferencia de potencial muy alta (del orden de 20 millones de voltios) para acelerar partículas cargadas que se hacían chocar contra blancos fijos. Los resultados de las colisiones nos informan de las características de los núcleos del material que constituye el blanco. El generador de Van de Graaff es un generador de corriente constante, mientas que la batería es un generador de voltaje constante, lo que cambia es la intensidad dependiendo que los aparatos que se conectan. El generador de Van de Graaff es muy simple, consta de un motor, dos poleas, una correa o cinta, dos peines o terminales hechos de finos hilos de cobre y una esfera hueca donde se acumula la carga transportada por la cinta. En la figura, se muestra un esquema del generador de Van de Graaff. Un conductor metálico
hueco
A
de
forma
aproximadamente esférica, está sostenido por
soportes
aislantes
de
plástico,
atornillados en un pié metálico C conectado a tierra. Una correa o cinta de goma (no conductora) D se mueve entre dos poleas E y F. La polea F se acciona mediante un motor eléctrico. Dos peines G y H están hechos de hilos conductores muy finos, están situados a la altura del eje de las poleas. Las puntas de los peines están muy próximas pero no tocan a la cinta.
182
FÍSICA GENERAL
La rama izquierda de la cinta transportadora se mueve hacia arriba, transporta un flujo continuo de carga positiva hacia el conductor hueco A. Al llegar a G y debido a la propiedad de las puntas se crea un campo lo suficientemente intenso para ionizar el aire situado entre la punta G y la cinta. El aire ionizado proporciona el medio para que la carga pase de la cinta a la punta G y a continuación, al conductor hueco A, debido a la propiedad de las cargas que se introducen en el interior de un conductor hueco (cubeta de Faraday).
Funcionamiento del generador de Van de Graaff Hemos estudiado cualitativamente como se produce la electricidad estática, cuando se ponen en contacto dos materiales no conductores. Ahora explicaremos como adquiere la cinta la carga que transporta hasta el terminal esférico. En primer lugar, se electrifica la superficie de la polea inferior F debido a que la superficie de la polea y la cinta están hechas de diferentes materiales. La cinta y la superficie del rodillo adquieren cargas iguales y de signo contrario. Sin embargo, la densidad de carga es mucho mayor en la superficie de la polea que en la cinta, ya que las cargas se extienden por una superficie mucho mayor Supongamos que hemos elegido los materiales de la cinta y de la superficie del rodillo de modo que la cinta adquiera una carga negativa y la superficie de la polea una carga positiva, tal como se ve en la figura.
183
FÍSICA GENERAL
Si una aguja metálica se coloca cerca de la superficie de la cinta, a la altura de su eje. Se produce un campo eléctrico intenso entre la punta de la aguja y la superficie de la polea. Las moléculas de aire en el espacio entre ambos elementos se ionizan, creando un puente conductor por el que circulan las cargas desde la punta metálica hacia la cinta. Las cargas negativas son atraídas hacia la superficie de la polea, pero en medio del camino se encuentra la cinta, y se depositan en su superficie, cancelando parcialmente la carga positiva de la polea. Pero la cinta se mueve hacia arriba, y el proceso comienza de nuevo. La polea superior E actúa en sentido contrario a la
inferior
F.
No
puede
estar
cargada
positivamente. Tendrá que tener una carga negativa o ser neutra (una polea cuya superficie es metálica). Existe la posibilidad de cambiar la polaridad de las cargas que transporta la cinta cambiando los materiales de la polea inferior y de la cinta. Si la cinta está hecha de goma, y la polea inferior está hecha de nylon cubierto con una capa de plástico, en la polea se crea una carga negativa y en la goma positiva. La cinta transporta hacia arriba la carga positiva. Esta carga como ya se ha explicado, pasa a la superficie del conductor hueco. Si se usa un material neutro en la polea superior E la cinta no transporta cargas hacia abajo. Si se usa nylon en la polea superior, la cinta transporta carga negativa hacia abajo, esta carga viene del conductor hueco. De este modo, la cinta carga positivamente el conductor hueco tanto en su movimiento ascendente como descendente.
184
FÍSICA GENERAL
Podemos resumir que: “El generador de Van de Graaff es una máquina que utiliza una cinta móvil para acumular grandes cantidades de carga eléctrica en el interior de una esfera metálica hueca”. Las diferencias de potencial así alcanzadas en un generador de Van de Graaff moderno pueden llegar a alcanzar los 5 megavoltios. Las diferentes aplicaciones de esta máquina incluyen la producción de rayos X, esterilización de alimentos y experimentos de física de partículas y física nuclear.
Potencial Eléctrico Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q. Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P, V= Ep / q. El potencial es una cantidad escalar.
V = k.
1 Q Q = . r 4πε 0 r
La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el Voltio (V). Asimismo:
Definición de Potencial Eléctrico: Se define el potencial eléctrico en un punto arbitrario “A” como: el trabajo requerido por unidad de carga para trasladar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta el punto “A”.
185
FÍSICA GENERAL
En consecuencia “podemos considerar que todas las cargas se encuentran en el infinito, y que no se requiere ningún trabajo para mantenerlos allí”.
qo Infinito
Trayectoria
qo A
VA =
W∞→ A qo
Potencial en el punto A.
Donde:
W∞ → A
:
Trabajo realizado para transportar la carga qo desde el infinito (∞) hasta el punto A.
qo
: Carga transportada.
VA
: Potencial eléctrico en el punto A.
La diferencia de la energía potencial ΔU = Uf – Ui = – Wif
Donde Wif es el trabajo efectuado por la fuerza F cuando el objeto se mueve de la posición i hasta la posición f. Imaginemos una carga fija q, en el origen de un sistema de coordenadas. Tomemos otra carga qo, que llamaremos “carga de prueba” y la transferimos desde la posición A hasta la posición B, bajo la influencia de la fuerza debida a q. El cambio de energía potencial ΔU de éste sistema de dos cargas está dado por: ΔU = U b − U a =
⎡1 1⎤ 1 q1 .q 2 .⎢ − ⎥ 4.π .ε 0 ⎣ rb ra ⎦
186
FÍSICA GENERAL
Potencial generado por una serie de cargas puntuales Supongamos que tenemos un conjunto de N cargas puntuales: q1, q2, q3, …qN, situadas en varios puntos fijos. Deseamos determinar el potencial en un determinado punto P debido a ellas. El procedimiento a seguir consiste en calcular el potencial en P producido por cada carga, como si no existieran las otras, y luego sumar todos los potenciales resultantes para obtener el potencial total. Es decir, aplicar el “Principio de Superposición”, para obtener: V = V1 + V2 + V3 + ... + V N V =
1 4.πε o
.
q1 1 q2 1 q3 1 qN + . + . + ... + . r1 4.πε o r2 4.πε o r3 4.πε o rN
Lo mismo puede escribirse en forma reducida como: V =
1 4.πε o
qN n =1 r N N
.∑
Energía Potencial Electrostática: •
Si se tiene una carga puntual q1, el potencial a una distancia r12 de la misma será:
V= •
k .q1 r12
El trabajo necesario para trasladar una segunda carga puntual q2 desde el infinito hasta una distancia r12 es W2=q2.V W2 = q2 .V = k .
187
q1.q2 r12
FÍSICA GENERAL
•
Para transportar una tercera carga, debe realizarse trabajo contra el campo eléctrico producido por ambas q1 y q2. El trabajo necesario para transportar una tercera carga q3 desde una distancia r13 de q1 y
r23 de q2 es: W3 =
k .q3 .q1 k .q3 .q2 + r13 r23
En consecuencia, el trabajo requerido para reunir las tres cargas será:
W=
k.q 1 .q 2 r12
+
k.q 1 .q 3 r13
+
k.q 2 .q 3 r23
PROBLEMAS RESUELTOS 1)
Se desea situar una carga positiva q en cada uno de los vértices de un cuadrado de lado a. ¿Cuál será el trabajo requerido? A
A
B a√2
D
a
a C
D
B a
a
C
Procedimiento:
Paulatinamente trasladamos, una por una, cargas q desde el ∞ hasta cada vértice del cuadrado. (a) Para trasladar la primera carga, desde el infinito (∞) hasta el vértice A, no se requiere ningún trabajo, pues no hay carga cerca, las cargas están aún en el infinito. Por tanto implica que el potencial es cero. WA = 0; VA = 0
188
FÍSICA GENERAL
(b) Trabajo para trasladar la segunda carga al vértice B: Ya existe una carga en el vértice A.
WB =
k .q 2 a
(c) Trabajo para trasladar la tercera carga al vértice C: Ya existe una carga en el vértice A y otra en el vértice B.
WC =
k .q 2 k .q 2 + a a 2
(d) Trabajo para trasladar la cuarta carga al vértice D: Ya existen una carga q en cada vértice A, B y C respectivamente.
k .q 2 k .q 2 k .q 2 WD = + + a a a 2 (e) El trabajo total realizado será: WT = WA + WB + WC + WD ⎡ k .q 2 ⎤ ⎡ k .q 2 k .q 2 ⎤ ⎡ k .q 2 k .q 2 k .q 2 ⎤ WT = 0 + ⎢ + + + + ⎥+⎢ a ⎥⎦ ⎢⎣ a a ⎥⎦ a 2 ⎣ a ⎦ ⎣a 2 ⎡4 + 2 ⎤ WT = k .q 2 .⎢ ⎥ ⎣ a ⎦
2)
Determine el potencial eléctrico, en el punto (0, 31) cm, efectuado por una carga puntual de 0,23 μC, ubicada en (19, 0).
189
FÍSICA GENERAL
Solución: (0, 31)
r
k .Q V= r (9 x109 ) x(0, 23x10−6 ) V= (36,36 x10−2 ) V = 5693voltios
3)
r = 19 2 + 312 r = 36.36cm Q = 0.23 μC (19, 0)
A una distancia r de la carga q, el potencial eléctrico es V = 450 V y la cantidad del campo eléctrico es E =150 N/C. Determine r y q. Solución:
El potencial de la carga q esta dado por: V=
k .q ……….. (1) r
La intensidad de campo eléctrico de la carga q es: E=
k .q ……… (2) r2
Dividiendo Ec. (1) y (2): V =r E Luego : 450 r= = 3m 150
Luego en la Ec. (1): q=
E.r 2 150 x32 = = 150C k 9 x10 9
190
FÍSICA GENERAL
4)
Se tienen dos cargas Q y –3Q ubicadas como se muestra en la figura. Determinar: ¿dónde se cumple que el potencial es cero? P
A
C
B
D
–3Q
Q d
Solución: Supongamos que en P se cumple que V = 0
Sabemos que el potencial debido a una carga puntual esta dado por la ecuación: q V = k. r Ubicamos tres puntos: P, C y D como se muestra en el dibujo, luego: (a)
VP' = k .
Q X
y
VP'' = k .
( −3Q ) (d + X )
V P = V P' + V P'' = 0
Luego: (b)
k .Q 3.k .Q d − =0⇒ X = X (d + X 2
En el punto C, interior entre A y B: VC =
(c)
k .Q 3.k .Q d − =0⇒Y = Y (d + X ) 4
Tomando el punto D en el extremo derecho del gráfico: VD =
k .Q 3.k .Q − 3d − =0⇒Y = (d + Z ) Z 2
191
FÍSICA GENERAL
192
FÍSICA GENERAL
CONDENSADORES
Un condensador es un dispositivo capaz de almacenar carga eléctrica y energía en un campo electrostático. Básicamente están formados por dos conductores, de cualquier forma geométrica, situados uno frente al otro, lo más cerca posible, sin tocarse. Existe una relación de proporción entre el potencial creado entre los dos “polos” de un condensador y la carga almacenada. Matemáticamente se puede expresar de una manera simple como:
Q=C.V
donde C es la constante de proporcionalidad, denominada capacitancia o capacidad. La unidad de la capacidad es el faradio (F).
La capacitancia de un conductor se define como la razón entre su carga que carga su diferencia de potencial:
C=
Q ΔV
ΔV :
diferencia de potencial entre terminales
Un faradio (F) es una unidad muy grande. (Al igual que el coulomb). Por ello lo común es utilizar las unidades: microfaradios, nanofaradios (kilopicofaradios) o picofaradios.
193
FÍSICA GENERAL
A +Q
+ V –
d
–Q
Condensador de Placas Paralelas
Podemos definir entonces que, un Condensador es un elemento de dos terminales, formado por dos placas conductoras paralelas separadas por un material no conductor. La carga eléctrica se almacena en las placas, como se muestra en la figura, el espacio entre las placas se llena con un material dieléctrico. El valor de la capacitancia es proporcional a la constante dieléctrica (ε) y al área superficial (A) del material dieléctrico e inversamente proporcional a su espesor (d).
C=
Aε d
Nota: El valor de la capacitancia, siempre es una cantidad positiva.
En la figura, al aplicar, al condensador un voltaje entre sus placas, cada una de las placas se carga con + Q y – Q, del mismo valor. +Q +
–Q El voltaje de la batería logra transferir carga a cada una de las placas, + Q en una y – Q en la otra.
Batería
–
Interruptor
194
FÍSICA GENERAL
ARREGLOS DE CONDENSADORES Asociación en serie: En condensadores conectados en serie, como se muestra en el gráfico adjunto, la diferencia de potencial total (entre sus terminales extremos) será la suma de las diferencias parciales de cada condensador, es decir, VT=VC1+VC2. No obstante, al encontrarse unidos en serie la carga de los
tres será igual, y además igual a QT (carga total). Así tenemos que Q1=Q2=Q3=QT y podemos escribir:
VT = VC1 + VC 2 + VC 3 QT Q1 Q2 Q3 = + + CT C1 C 2 C 3
C1
C2
C3
1 1 1 1 = + + CT C1 C 2 C 3
Asociación en Paralelo: Si situamos cuatro condensadores asociándolos en paralelo, como se puede ver en el segundo dibujo adjunto, tendremos que la diferencia de potencial entre ellos deberá ser igual, y de igual forma igual a la diferencia de potencial total, esto es: VT = V1 = V2 = V3 = V4. Esto es así porque tenemos unidos los dos “polos” de los condensadores por un conductor, y por tanto la caída de potencial entre los “polos” opuestos tiene que ser la misma. A su vez, como cada condensador almacenará una carga distinta, tendremos que para la asociación total QT = Q1 + Q2 + Q3 + Q4
195
FÍSICA GENERAL
C1
C3
C2
C4
VT = V C 1 = V C 2 = V C 3 = V C 4 QT = Q1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 C T .VT = C1 .V1 + C 2 .V 2 + C 3 .V3 + C 4 .V 4 C T = C1 + C 2 + C 3 + C 4
Si la distancia (d) entre las placas del capacitor es pequeña, en su interior se establece un campo eléctrico uniforme. d
C=
ε o .A d
A : área de la placa conductora. d : distancia entre las placas. – V +
εo : permitividad del vacío
Dieléctricos: Un dieléctrico es un material no conductor, como el papel encerado, el caucho, la madera, el vidrio. Cuando se inserta un dieléctrico entre las placas de un condensador aumenta la capacitancia. Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en un
196
FÍSICA GENERAL
factor adimensional k, conocida como constante dieléctrica. La constante dieléctrica es una propiedad del material y varía de uno a otro material.
k : constante del dieléctrico. A: área de la placa. D: distancia entre placas.
A.ε d k .ε o . A C= d C=
Efecto del dieléctrico en un condensador La mayor parte de los condensadores llevan entre sus láminas una sustancia no conductora o dieléctrica. Un condensador típico está formado por láminas metálicas enrolladas y entre las placas como separador se pone papel impregnado en cera. El condensador resultante se envuelve en una funda de plástico. Su capacidad es de algunos microfaradios. El condensador más primitivo es la botella de Leyden, construida pegando una hoja metálica en las superficies interior y exterior de una botella de vidrio. Los condensadores electrolíticos utilizan como dieléctrico una capa delgada de óxido no conductor entre una lámina metálica y una disolución conductora. Los condensadores electrolíticos de dimensiones relativamente pequeñas pueden tener una capacidad de 100 a 1000 mF.
197
FÍSICA GENERAL
La función de un dieléctrico sólido colocado entre las láminas es triple: •
Resuelve el problema mecánico de mantener dos grandes láminas metálicas a distancia muy pequeña sin contacto alguno.
•
Consigue aumentar la diferencia de potencial máxima que el condensador es capaz de resistir sin romperse (sin que salte una chispa entre las placas).
•
La capacidad de un condensador de dimensiones dadas es varias veces mayor con dieléctrico que separe sus láminas que si estas estuviesen en el vacío.
Sea un condensador plano-paralelo cuyas láminas hemos cargado con cargas +Q y –Q, iguales y opuestas. Si entre las placas se ha hecho el vacío y se mide una diferencia de potencial V0, su capacidad será:
Si introducimos un dieléctrico se observa que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor V. La capacidad del condensador con dieléctrico será:
donde k se denomina permitividad relativa o coeficiente dieléctrico La energía del condensador con dieléctrico es:
198
FÍSICA GENERAL
la energía de un condensador con dieléctrico disminuye respecto de la del mismo condensador vacío. La tabla adjunta muestra algunas constantes dieléctricas de materiales: Material
K 1.000 4.9 3.78 3.7 2.56 6 5.6 2.5 2.1 80
Vacío Baquelita Vidrio de cuarzo Papel Poliestireno Porcelana Vidrio pyrex Aceite de silicio Teflón Agua
Capacitancia de un Condensador Esférico: Sección transversal de un Capacitor esférico: el conductor interno es una esfera sólida de radio “a” y el conductor externo un cascarón esférico hueco de radio interno “b”.
C = 4.π .ε o .
a
a.b b−a
b
Se supone que la esfera interna transporta una carga +Q y que la interna tiene una carga – Q.
199
FÍSICA GENERAL
Capacitancia de un Condensador Cilíndrico:
a
b
l
Conductor cilíndrico donde el conductor interno es una varilla sólida de radio “a” que lleva una carga +Q uniformemente distribuida en su superficie; el conductor externo es un cascarón cilíndrico coaxial de radio “b” que lleva una carga – Q distribuida uniformemente a través de su superficie interna. El capacitor tiene una longitud “L”. Su capacitancia está dada por la siguiente ecuación:
C = 2.π .ε o .
L ln(b / a )
Un ejemplo de éste tipo de capacitares es el Cable Coaxial, utilizado como cable de video. PROBLEMAS APLICATIVOS:
(1)
¿Cuál es la capacitancia de la Tierra vista como una esfera conductora aislada de radio R = 6370 km? Solución:
Podemos asignar le una capacitancia a un conductor esférico aislado suponiendo que la placa faltante es una esfera conductora de radio “infinito”.
200
FÍSICA GENERAL
Por tanto: suponemos que b → ∞, luego: C = 4 πεo R
(esfera aislada)
C = 4 π x 8,85 x10-12 x 6,37 x 106 C = 710 μF (2)
El espacio entre los conductores de un cable coaxial posee un radio interno a = 0,15 mm, y un radio externo b= 2,1 mm. ¿Cuál es su capacitancia por unidad de longitud? Solución: 2πε o 2π x8,85 x10−12 C = = = 21 pF / m L ln(b / a) ln(2,1mm / 0,15mm)
EJERCICIOS PROBLEMAS RESUELTOS:
1)
Un capacitor de almacenamiento de un chip RAM (memoria de acceso aleatorio) tiene una capacitancia 0,055 pF. Si lo cargamos a 5,1 voltios, ¿cuántos electrones de exceso hay en su placa negativa? Solución:
Si la placa negativa transporta n electrones de exceso, transporta una carga neta de cantidad q = n.e Luego
q C.V (0, 055 x10 −12 F ).(5,3V ) = n= = e e 1, 6 x10−19 C n = 1,8 x106 electrones.
201
FÍSICA GENERAL
(a)
Encuentre la capacitancia equivalente de la combinación mostrada en la figura adjunta, con C1 = 12,0 μF, C2 = 5,3 μF y C3 = 4,5 μF. (b) Una diferencia de potencial de 12,5 voltios se aplica entre los terminales de entrada. ¿Qué carga se tendrá en C1 .
C1
C2
C1 + C2
Ceq
C3 C3
Ceq =
(C1 + C2 ).C3 (12, 0 + 5,3).4,5.10−12 = = 3,57 μ F (C1 + C2 ) + C3 [ (12, 0 + 5,3) + 4,5] .10−6
Luego: Q1 = 31μC 2)
Las placas de un capacitor de placas paralelas miden 2,0 cm por 3,0 cm y están separadas por un dieléctrico de papel de espesor 1.0 mm. (a) determine la capacitancia. Solución: A = (2,0 x 10-2 m) x (3,0 x 10-2 m) = 6,0 x 10-4 m2 d = 1,0 x 10-3 m k .ε o A 3, 7 x8,85 x10−12 x6, 0 x10−4 = = 19, 6 x10−12 F = 19, 6 pF C= −3 d 1, 0 x10
202
FÍSICA GENERAL
3)
En un condensador de placas paralelas se introduce hasta la mitad un dieléctrico de poliestireno. Determine la capacitancia del dispositivo.
A
C1
d
Luego: CT = C1 + C2
C1 = k1
C2 =
CT =
ε o .( A / 2) d
ε o .( A / 2) d
ε o .A 2.d
.(k1 + 1)
203
C2
FÍSICA GENERAL
204
FÍSICA GENERAL
CORRIENTE ELÉCTRICA
Definición: Se denomina corriente eléctrica al movimiento o flujo de cargas
eléctricas libres a través de un conductor, debido a la presencia de un campo eléctrico producido por una diferencia de potencial. Al establecerse un campo eléctrico (E) en el interior de un conductor, los electrones libres inician su movimiento en sentido opuesto al campo. Se comprueba que una carga negativa que se mueve en cierto sentido equivale a otra carga positiva de igual valor que se mueve en sentido contrario. Éste es el sentido convencional de la corriente. E
+ a
E
– b
Sentido real Va > Vb
+ a
Sentido convencional Va > Vb
Intensidad (I) de la corriente eléctrica: Mide la carga que fluye a través de la sección de un conductor en cada unidad de tiempo.
I=
q t
Amperios( A) =
Coulomb(C ) tiempo(t )
Cargas en movimiento a través de un área A. Al flujo de cargas por unidad de tiempo se le denomina corriente I.
A I
205
– b
FÍSICA GENERAL
Fuerza electromotriz Fuerza Electromotriz (FEM) es la energía proveniente de cualquier fuente, medio o dispositivo que suministre corriente eléctrica. Para ello se necesita la existencia de una diferencia de potencial entre dos puntos o polos (uno negativo y el otro positivo) de dicha fuente, que sea capaz de bombear o impulsar las cargas eléctricas a través de un circuito cerrado. A. Circuito eléctrico abierto (sin carga o
resistencia). Por tanto, no se establece la circulación de la corriente eléctrica desde la fuente de FEM (la batería en este caso). B. Circuito eléctrico cerrado, con una carga
o resistencia acoplada, a través de la cual se establece la circulación de un flujo de corriente eléctrica desde el polo negativo hacia el polo positivo de la fuente de FEM o batería. Existen diferentes dispositivos capaces de suministrar energía eléctrica, entre los que podemos citar:
Pilas o baterías: Son las fuentes de FEM más conocidas del gran
público. Generan energía eléctrica por medios químicos. Las más comunes y corrientes son las de carbón-zinc y las alcalinas, que cuando se agotan no admiten recarga. Las hay también de níquelcadmio (NiCd), de níquel e hidruro metálico (Ni-MH) y de ión de litio (Li-ion), recargables. En los automóviles se utilizan baterías de plomo-ácido, que emplean como electrodos placas de plomo y como electrolito ácido sulfúrico mezclado con agua destilada.
206
FÍSICA GENERAL
En resumen, se puede definir a la fuerza electromotriz (FEM) como toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Es una característica de cada generador eléctrico. La FEM. se mide en voltios, al igual que el potencial eléctrico. Un circuito eléctrico es el camino a través del cual los electrones se trasladan, buscando le neutralidad eléctrica de los materiales conectados por medio de un conductor.
Cantidades Eléctricas: (1) Diferencia de Potencial: ( dpp ) Se le conoce también como Tensión Eléctrica o Voltaje. Es el desnivel eléctrico que existe entre dos puntos determinados de un circuito. Ejemplo: La tensión eléctrica de una toma en una vivienda es de 220
voltios. (2) Cantidad de electricidad: ( Q ) Es la cantidad total de electrones que recorren un conductor en un circuito eléctrico. Dado que el electrón es un elemento del átomo, de tamaño muy reducido, en la práctica se tiene que la carga de un electrón es de 1,6021 x 10-19 Coulombs. Por tanto: 1 Coulomb = 6,24 x 1018 eAsí, por los conductores eléctricos circula un número de electrones igual a 6,24 x 1018 e-
207
FÍSICA GENERAL
Si el número de electrones es de 12,48 x 1018 e-, implica que esta cantidad corresponde a dos (2) Coulombs. (3) Intensidad de Corriente Eléctrica: ( I ) Es la cantidad de electricidad que atraviesa un conductor en un tiempo igual a 1 segundo. Q 1C ⇒ 1A = t 1s
I=
(4) Densidad de corriente eléctrica: ( J ) J=
Amperio I ⇒ [J ] = A mm 2
(5) Resistencia Eléctrica: ( R ) R=ρ
L A
ρ: resistividad eléctrica L: longitud del conductor (m) A: sección del conductor (mm2)
Ejemplo: Tabla de la resistividad de algunos materiales
Material ρ (Ω x m2/m)
Cobre
Plata
0,017
0,015
Aluminio
Estaño
Mercurio
0,027
0,130
0,940
(6) POTENCIA ELÉCTRICA: ( P ) Se define como la cantidad de trabajo desarrollado en una unidad de tiempo.
208
FÍSICA GENERAL
Se puede expresar en cualquiera de las tres formas:
P = VxI P = I 2 xR P=
V2 R
(7) ENERGÍA ELÉCTRICA: ( U ) La Energía Eléctrica se define como el trabajo desarrollado en un circuito eléctrico durante un tiempo determinado.
U = Pxt ⇒ 1J = 1Wx1s Dado que el Joule ( J ) es una unidad demasiado pequeña, otra unidad más usada es el kilovatio por hora (KW-h). 1 KW-h = 1000W x 3600s = 3,6 x 106 Joules. Los medidores de luz miden en KW-h.
LEY DE OHM: Lleva el nombre de Georg Simon Ohm (1787 – 1854). Físico alemán.
La Ley de Ohm fue publicada en 1827 en su gran obra “La Cadena Galvánica”, tratada matemáticamente. Establece que: En un circuito eléctrico, la intensidad de corriente que lo recorre es directamente proporcional a la tensión aplicada e inversamente proporcional a la resistencia que éste presenta. I =
V 1Voltio ⇒ 1A = R 1Ω
209
FÍSICA GENERAL
Resistencia: Se llama resistencia eléctrica a la dificultad que presenta un conductor al paso de la corriente. Depende de varios factores: •
Naturaleza del material con el que está hecho el conductor.
•
Su geometría.
Todos los conductores no dejan pasar la corriente eléctrica con igual facilidad. Resistencia puede definirse como: la dificultad que ofrece un cuerpo conductor al paso de la corriente eléctrica a través de su masa. Podría decirse que se somete a la corriente que quiere atravesarla a una fricción, frenándola, dejando pasar una parte de ésta. R
Unidades: Ohmio (Ω )
Símbolo
Ley de Pouillet:
R = ρ.
L A
R : Resistencia (Ω )
ρ : Resistividad del material ( Ω . m)
L : Longitud del conductor
A : Área transversal del conductor (m2 )
De la ecuación de Poulliet deducimos:
•
A mayor longitud de conductor, hay mayor resistencia.
•
Cuando la sección o área de un conductor en mayor (más gruesa), entonces la resistencia disminuye).
210
FÍSICA GENERAL
Valor de las Resistencias:
Normalmente se especifican tres valores fundamentales: (a) El Valor Resistivo, (b) La Tolerancia y (c) La Potencia.
El Valor Resistivo: cantidad de resistencia que tiene. Ejemplo: 2.7 ohmios La Tolerancia: Esta determinado en porcentaje y significa el valor óhmico
máximo y mínimo que puede tener una resistencia a partir del valor dado por el fabricante. Ejemplo: color dorado, color plateado, sin color. La Potencia: Este valor determina el valor máximo de corriente que podrá
atravesar la resistencia sin que se destruya. Ejemplo: 1/8W, 1/4W, 1/2W, 1W, 5W, 10W, 20W, 30W, etc.
Ejemplo N°01: Si sometemos a una resistencia de 470Ω a una ddp de
220V, tendremos una corriente de:
I=
V 220V = = 0, 468 A R 470Ω
Asimismo:
V 2 2202 = = 102,96W P= 470 R Podemos escoger una resistencia de 150W, siempre mayor que el valor requerido. Ejemplo N°02: Tenemos una resistencia con un valor óhmico de 1200Ω y
una tolerancia de 10%. El fabricante nos dice que la resistencia podrá tener un valor que estará comprendido entre 1200Ω + 10% y 1200Ω – 10%.
211
FÍSICA GENERAL
Esto es:
1200Ω + 10% = 1320Ω 1200Ω – 10% = 1080Ω CÓDIGOS DE COLORES DE LAS RESISTENCIAS
Color
1ra. Banda
2da. Banda
3ra. Banda
0
0
x1Ω
1
x10Ω
2
2
x100Ω
3
3
x1KΩ
4
4
x10KΩ
5
5
x100KΩ
6
6
x1MΩ
7
7
8
8
x0,01Ω
9
9
x0,1Ω
Negro Marrón Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco Oro
1
x0,1Ω
Plata
x0,01Ω
Sin Color
4ta. Banda ± 20%
± 1% ± 2%
± 5% ± 10% ± 20%
Tolerancia 3ra. Banda 2da. Banda 1ra. Banda
Ejemplo N°03: Identificar el valor de la resistencia con los siguientes
colores en sus bandas: Rojo, Violeta, Anaranjado, Oro ( ver figura de resistencia, arriba)
212
FÍSICA GENERAL
Solución:
270000Ω ± 5% = 270KΩ ± 5%
La teoría de los Circuitos Eléctricos se inició el 20 de marzo de 1800 cuando el físico italiano Alessandro Volta anunció su invento de la Batería Eléctrica. A través de éste invento Volta produciría corriente eléctrica, un flujo de electricidad continuo y estable, en oposición a la electricidad estática.
PROBLEMAS RESUELTOS 1)
Calcule la resistencia por unidad de longitud de un alambre de nicromo de calibre 22, que tiene un radio de 0,321 mm. Solución: Planteamos el problema, usamos la ecuación de Poulliet R = ρ.
L A
R 1 = (1,50 x10−6 Ω.m). 2 L π . ( 3, 21x10−4 m ) R = 4, 6Ω / m L
2)
En la figura se muestra un arreglo de dos focos eléctricos. Se les aplica la misma diferencia de potencial. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta? (a) El foco de 30 W conduce la corriente más grande y tiene la mayor resistencia.
213
FÍSICA GENERAL
(b) El foco de 30 W conduce la mayor corriente, pero el foco de 60 W tiene la mayor resistencia. (c) El foco de 30 W tiene la mayor resistencia, pero el de 60 W conduce la corriente más elevada. (d) El foco de 60 W conduce la mayor corriente y tiene la resistencia más elevada.
60 W
I1 = 60 / V I1
I2 = 30 / V
30 W I2
Deducimos que: I1 > I2 Por tanto, el foco de 60 W conduce
+ V –
la mayor corriente. Además tiene menor resistencia.
El foco de 30 W conduce la menor corriente y tiene la mayor resistencia. Por tanto: la opción C es la respuesta correcta.
Si se conectan en serie R1, R2 y una batería de FEM E, demuestren que la razón de potencia de la batería para la conexión en serie a la conexión en paralelo es: R1 . R2 / (R1 + R2)2 Para una conexión en Serie:
R1
R2
P = E2 / (R1 + R2 ) E +
3)
214
FÍSICA GENERAL
Para una conexión en Paralelo:
R1
P = E2 / [(R1 . R2 )/ (R1 + R2 )] R2
Luego igualando ambas ecuaciones: E +
(R1 + R2 ) = [(R1 . R2 )/ (R1 + R2 )] Así: 4)
(R1 + R2 )2 = (R1 . R2 )
Un alambre conduce una corriente constante de 10 mA. ¿Cuántos coulombs pasan por la sección transversal del alambre en 20 s? Solución: I = q / t ………….
q = I . t = (10mA) . (20 s) q = 0,2 Coulombs
5)
La tecnología ha desarrollado baterías alcalinas pequeñas de 1,5 V con una energía nominal almacenada de 150 Joules. ¿Para cuántos días podrá servir la carga si con ella se alimenta una calculadora que consumirá una corriente de 2 mA? Solución:
P=W/t Pero:
t=W/P
P = V . I = (1,5 V ) . ( 2 x 10-3 A) = 3 x 10-3 Watts
Luego: t = W / P = (15 Joules ) / (3 x 10-3 Watts)
t = 5 x 10+3 s = 1 h 23 min 20 s
215
FÍSICA GENERAL
6)
Encuentre la Resistencia Equivalente entre a-b y la corriente si Vab=40 V en el circuito que se muestra a continuación. Solución:
Rab = [(((6 + 2) //(3 + 5)) + 20) //(12)] Rab = 8Ω La fuente de 40 V está en
6
a
paralelo con la resistencia de
2
3
5
I
12 Ω y con el conjunto de las otras resistencias.
12 20
b La corriente que circula por la resistencia de 20Ω es: I2 = Vab / 24 Ω = (40 /24) A = 5/3 A luego:
I = -(5/3) / 2 = - 5/6 A
PROBLEMAS DE ELECTRICIDAD 1.
En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa m y carga q que cuelgan de tres cuerdas. Determine el valor de q en términos de m, L y θ. Solución 4 2 q = .L .m. g .Sen 2 θ.Tgθ 5
θ θ
L
+q
+q
m
m
216
g
L
+q
m
FÍSICA GENERAL
2.
Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje X. Una carga de 12 μC en X=–15,7 m, la segunda carga de 38 μC en X=5,2 m y una tercera carga de -3,0 μC en el origen. Calcule la fuerza neta sobre la carga de –3,0 μC.
3.
Tres cargas puntuales, q1=–4 μC, q2=10 μC y q3=9μC, se colocan como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante sobre la carga q1. Y
q1
q3
q2
(0, 12) cm
(0, 0) cm
–X (– 12, 0) cm
4.
Tres cargas idénticas puntuales, cada una de cantidad q, se encuentran en cada uno de los vértices de un triángulo isósceles con su altura orientada verticalmente. La altura del triángulo es de 9,0 cm y su base es de 24,0 cm. (a) Si la fuerza eléctrica resultante ejercida sobre la carga localizada en el vértice superior del triángulo tiene una cantidad de 0,5 N con una dirección vertical con sentido hacia arriba; determine q. (b) Si la carga del vértice inferior izquierdo se reemplaza con una carga –q, determine la cantidad y dirección de la fuerza resultante ejercida sobre la carga localizada en el vértice superior del triángulo.
217
FÍSICA GENERAL
5.
¿Cuál es la fuerza eléctrica neta que actúa sobre la carga ubicada en el vértice inferior izquierdo del rectángulo mostrado en la figura? Si q=5,0 μC, L=26,0 cm y H=11,0 cm. Y
L
q
q H
q
q
6.
X
Tres cargas puntuales están alineadas sobre el eje X. La carga q1=–6,0
μC está en X=2,5 m, q2=–4,0 μC está en X=–2,6 m. ¿Dónde debe colocarse la tercera carga q para que la fuerza neta sobre ésta sea cero? 7.
La fuerza eléctrica que actúa sobre una carga puntual de –1,6 μC en algún punto es 6,9 x 10-4 N en la dirección del eje Y positivo. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico en ese punto?
8.
Un cuerpo que tiene una carga neta de 52 μC se coloca en un campo eléctrico uniforme de 980 N/C, el campo está dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Cuál es la masa del cuerpo si consideramos que está flotando en el campo eléctrico?
9.
Una carga puntual de – 1,5 μC se localiza en el eje Y en Y = 3,0 m. Determine el campo eléctrico. (a) sobre el eje de las abscisas en X=2,4 m. (b) sobre el eje de las ordenadas en Y=– 1,5 m. (c)
10.
en un punto con coordenadas X=2,0 m, Y=2,0 m.
(a) Calcule el campo eléctrico en el punto X=1,0 m, debido a dos cargas puntuales de igual cantidad 8,3 μC que están localizadas en el eje Y en Y=0,2 m y en Y=– 0,2 m.
218
FÍSICA GENERAL
(b) Determine la fuerza sobre otra tercera carga de –5,4μC, colocada sobre el eje X en X=1,0 m. 11.
¿Cuál es la cantidad y dirección del campo eléctrico en el centro del
Y
L
q
q
rectángulo mostrado en la figura? Suponga que q=7,8μC, L=27 cm y
H
q
q
X
H=19 cm. 12.
Dos cargas puntuales q están en las esquinas de P
la base de un triángulo equilátero de lado a como se muestra en la figura. ¿Cuál es la
a
a
cantidad y la dirección del campo eléctrico en el
a
punto P debido a las dos cargas de la base del triángulo? 13.
Cuatro cargas eléctricas se ubican en las esquinas de un cuadrado como se muestra
–q
–q
en la figura. (a) Determine la cantidad y la dirección
a
+q
del campo eléctrico en la posición de
–q a
la carga + q. (b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre ésta carga? 14.
Dos cargas de 3,9 μC y – 1,5 μC están separadas por una distancia de 4,0m. Encuentre el punto (a lo largo de la línea que atraviesa las cargas) donde el campo eléctrico es nulo.
219
FÍSICA GENERAL
15.
En la figura se muestran tres cargas puntuales idénticas, cada una de masa
45°
45°
m=0,100 kg y carga q, colgadas de tres cuerdas. Si las longitudes de las cuerdas izquierda y derecha son L=30,0 cm y el ángulo θ=45º, determine el valor de q. 16.
Se tienen dos cargas eléctricas q1 y q2 de acuerdo al esquema mostrado. Calcule la fuerza electrostática que produce la carga q1 sobre la otra carga. Datos: q1 = 4μC
, q2 = – 2μC
q2 5 cm
q1 8,66 cm
17.
En un nubarrón es posible que haya una carga eléctrica de +40 C cerca de la parte superior y – 40 C cerca de la parte inferior. Estas cargas están separadas por aproximadamente 2 km. ¿Cuál es la fuerza eléctrica entre ellas? Sol. 7,2 x 109 N
18.
Un avión vuela a través de un nubarrón a una altura de 2000 m. Si hay una concentración de carga de + 40 C a una altura de 3000 m dentro de la nube y – 40 C a una altura de 1,000 m ¿Cuál es el campo eléctrico en la aeronave? Sol. 90.000 N/C
220
FÍSICA GENERAL
19.
Un objeto que tiene una carga neta de 24 μC se coloca en un campo eléctrico uniforme de 610 N/C dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si "flota" en el campo? Sol. 1,49 g
20.
Tres cargas puntuales, q, 2q, y 3q, están colgadas sobre los vértices de un triángulo equilátero. Determine la cantidad del campo eléctrico en el centro geométrico del triángulo. Sol. 4,676 x 1010 q/d2 (d: distancia entre las cargas)
21.
Una barra de 14 cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de –22 μC. Determine la cantidad y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36 cm de su centro. Sol. 1.586.367,28 N/C hacia la izquierda
22.
Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicírculo. Si la barra tiene una carga de –7.5 μC, encuentre la cantidad y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo.
23.
Sol. 6.891.428,57 N/C del centro del arco hacia adentro Un electrón y un protón se ponen en reposo en un campo eléctrico
de 520 N/C. Calcule la rapidez de cada partícula 48 ns (nanosegundo) después de liberarlas. Sol. Vp = 2.391,5 m/s, Ve = 4.389.715,67 m/s
24.
Una carga –q1 se localiza en el origen y una carga –q2 se ubica a lo largo del eje y. ¿En qué punto a lo largo del eje y el campo eléctrico es cero? Sol. A la mitad de la distancia entre las cargas
25.
Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 5 x 10-5 C. ¿Cómo está distribuida la carga total entre
221
FÍSICA GENERAL
las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1 N cuando las esferas están separadas 2 m? Sol. 1,2 x10-5 C y 3,8 x 10-5 C
26.
Un electrón, cuya rapidez inicial es de 3,24 x 105 m/s, se lanza en dirección a un protón que está esencialmente en reposo. Si al principio el electrón se encontraba a una gran distancia del protón, ¿a qué distancia de éste su rapidez instantánea es igual al doble de su valor inicial? Sol. 1,6 x 10-9 m
27.
En cada vértice de un cubo de lado a hay una carga q. Demostrar que la cantidad de la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas es: F=0.262 . q2 / (εo a2)
28.
¿Cuál es la cantidad de una carga puntual que se escoge de tal forma que el campo eléctrico a 5 cm de ella tenga una cantidad de 2 N/C? Sol. 5,6 x 10-11 C
29.
Un cuerpo que tiene una carga neta de 52 μC se coloca en un campo eléctrico uniforme de 980 N/C, el campo está dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Cuál es la masa del cuerpo si consideramos que está flotando en el campo eléctrico?
30.
Una carga puntual de – 1.5 μC se localiza en el eje Y en Y = 3,0 m. Determine el campo eléctrico. (a) sobre el eje de las abscisas en X = 2,4 m. (b) sobre el eje de las ordenadas en Y = - 1,5 m. (c)
31.
en un punto con coordenadas X = 2,0 m, Y = 2,0 m.
(a) Calcule el campo eléctrico en el punto X = 1,0 m, debido a dos cargas puntuales de igual cantidad 8,3 μC que están localizadas en el eje Y en Y = 0,2 m y en Y = -0,2 m.
222
FÍSICA GENERAL
(b) Determine la fuerza sobre otra tercera carga de – 5,4 μC, colocada sobre el eje X en X = 1,0 m. 32.
¿Cuál es la cantidad y dirección del campo eléctrico en el centro del rectángulo mostrado en la figura? Suponga que q = 7,8 μC, L = 27 cm y H = 19 cm.
33.
Dos cargas de 3,9 μC y – 1,5 μC están separadas por una distancia de 4,0 m. Encuentre el punto (a lo largo de la línea que atraviesa las cargas) donde el campo eléctrico es nulo.
34.
Calcular la cantidad y la dirección de E en el punto P de la figura adjunta.
Sol.: E = q / (εo a2)
35.
A una distancia r de una carga puntual q, el potencial eléctrico es V=400 V y la cantidad del campo eléctrico es E=150 N/C.
Determine los valores de q y r? Sol. r = 2,7 m, q = 0,12 x 10-6 C
36.
¿A que distancia desde una carga puntual de 8 μC el potencial eléctrico es igual a 3,6 x 104 V? Sol. 2 m
37.
Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 μC. Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico a 20 cm del centro. Sol. E = 5.844.673,05 N/C ; V = 1.168.934,61 V
223
FÍSICA GENERAL
38.
En
cierta
región,
el
campo
eléctrico
E
está
dado
por
E=5000 î – 300 μ N/C. Encuentre la diferencia de potencial VB – VA, si A = (0,0,0) y B = (0,0,5) m. 39.
Un campo eléctrico uniforme de cantidad 603 V/m está dirigido en la dirección positiva del eje X, como se ve en la figura. Las
Y
E
C
coordenadas de los puntos son:
B
A (– 0.2, – 0.3) m, B (0.4, 0.5) m Calcule
la
diferencia
X
de
potencial VB – VA utilizando la
A
trayectoria AC y CB. 40.
En el problema anterior, calcule el cambio en potencial eléctrico al ir del
B
punto A al B a lo largo de la trayectoria remarcada AB. ¿Cuál de los puntos se
A
encuentra a mayor potencial?
41.
Un pequeño objeto esférico porta una carga de 16nC. ¿A qué distancia de su centro el potencial es igual a: (a) 150Voltios, 100 Voltios y 50 Voltios? (b) La separación entre superficies equipotenciales, ¿es proporcional al cambio en V?
q
V1
V2
V3
r1
r2
r3 Líneas equipotenciales
224
FÍSICA GENERAL
42.
Dos cargas q1 = 3,0 μC y q2 = 5 μC se colocan sobre el eje X, q1 en X=– 1,0 m y q2 en X = 3,0m. Calcule el potencial eléctrico en el
punto (–1, 4) m. 43.
Dos cargas puntuales se colocan
Y
como se muestra en la figura,
P1
donde q1=+7,0 μC, q2=–4,0μC,
b
a=0,40 m y b=1,00 m. Calcule
el valor del potencial eléctrico en
a
b
q2
X
P2
los puntos P1 y P2. ¿Cuál está a
q1
mayor potencial? 44.
Obtenga una expresión para
a
VA–VB de la configuración de cargas mostrado en la figura
+q
d A
a –q
B
adjunta. 45.
+ 2q
Tres cargas puntuales se colocan en los vértices de un triángulo isósceles, como
5 cm
se muestra en la figura. Calcule el
5 cm
potencial eléctrico en el punto medio – 3q
de la base, tomando q=13,0 μC.
46.
2 cm
Considere la configuración de
q1
cargas puntuales que se indica
a
en la figura. Calcule el potencial
–q
P
q1
P
q2 a
eléctrico neto en el punto P, use q1=– 9,0 μC,
b
q2=18,0 μC,
a=0,38 m y b=1,09 m.
225
b
q2
FÍSICA GENERAL
47.
Dos cargas puntuales, q1=11,0 μC, q2=– 21,0 μC están separadas 28cm. (a) ¿Cuál es la energía potencial del par? ¿Cuál es el significado del signo algebraico del resultado? (b) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto medio entre las dos cargas?
48.
Calcular el trabajo requerido para colocar cuatro cargas puntuales (– q) en los vértices del cuadrado de lado “a”.
49.
Describir una expresión para el trabajo
q
realizado para formar la configuración
a
de cargas mostrada en la figura. 50.
2q
Considere la configuración de 4 cargas puntuales
mostrada
en
la
–q
figura.
3q
b
11 μC
¿Cuánta energía debe utilizarse para
3 cm
enviar las dos cargas de 5 μC hasta el
5 μC
5 μC
9 μC
5 cm
infinito? 51.
q
Encontrar la expresión para el trabajo realizado para formar la configuración
q q
q
mostrada. (Cubo de lado “a ”) q
52.
q
q q
Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 12cm2 y una capacitancia de 7pF. ¿Cuál es la separación entre las placas? Sol. 1,517 x 10-3 m
226
FÍSICA GENERAL
53.
Un capacitor esférico esta compuesto por una bola conductora de 10cm de radio que esta centrada en el interior de un cascarón esférico conductor de 12cm de radio interior. ¿Qué carga de capacitor se requiere para alcanzar un potencial de 1000 V en la bola? Sol. 6,67 x 10-8 C
54.
Un grupo de capacitores idénticos se conecta en serie y después en paralelo. La capacitancia combinada en paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la conexión en serie. ¿Cuántos capacitores están en el grupo? Sol. 10
55.
Calcular la capacidad equivalente del sistema de la figura. Calcular la carga y la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador. La energía electrostática del sistema. Dato: la diferencia de potencial entre el extremo A y el extremo B es de 3000V. A
1uF
2uF
1/3uF 1uF
1uF
1uF
2uF
B
56.
Se carga un capacitor de 100pF hasta una diferencia de potencial de 50V, y después se desconecta la batería. A continuación se le conecta en paralelo otro capacitor (que inicialmente estaba descargado). Si la diferencia de potencial disminuye hasta 35, ¿Cuál es la capacitancia del segundo capacitor? Sol. 43 pF
227
FÍSICA GENERAL
57.
Calcular la capacitancia de la Tierra, considerándola como un conductor esférico de 6.400 Km de radio. Sol. 710 μF
58.
Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen con una fuerza dada por la expresión:
59.
Un material específico tiene una constante dieléctrica de 2,8 y una intensidad dieléctrica de 18 x 106 V/m. Si este material se usa como dieléctrico en un capacitor de placas paralelas, ¿Cuál debe ser el área mínima de las placas del capacitor para tener una capacitancia de 7 x 10-2 μF de modo que el capacitor pueda soportar una diferencia de potencial de 4.000 V? Sol. 0,63 m2.
60.
Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:
61.
Un capacitor de placas paralelas se llena con dos dieléctricos, tal como se muestra en la figura adjunta. Demostrar que la capacitancia equivalente está dada por:
228
FÍSICA GENERAL
62.
Una esfera metálica aislada de 10 cm de diámetro tiene un potencial de 8.000 V. ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de las Sol.: 0,11 J/m3
esfera? 63.
Un capacitor esférico consta de dos esferas huecas concéntricas de radios a y b, en donde a > b. Demostrar que su capacitancia es:
64.
Supongamos ahora, dos condensadores idénticos que se conectan en paralelo, cargándose a una diferencia de potencial de 100 V, después de lo cual se aíslan de la batería. A continuación, se introduce en uno de los condensadores un dieléctrico (k=3) que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular: •
La carga de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico.
•
La diferencia de potencial después de introducir el dieléctrico
La energía de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico. 65.
Suponga que una barra uniforme de resistencia R se estira uniformemente hasta cuatro veces su longitud original. ¿Cuál será su nueva resistencia, suponiendo que su densidad y resistividad permanecen constantes? Rpta.: 16 R
229
FÍSICA GENERAL
66.
Se fabrican dos conductores de cobre con la misma longitud. El conductor A es un alambre sólido de 1,0 mm de radio. El conductor B es un tubo cilíndrico de radio interior de 1,0 mm y radio exterior 2,0 mm. ¿Cuál es la relación RA / RB entre las resistencias?
Rpta.:
67.
R A rext2 − rint2 = =3 RB rA2
La resistencia de un alambre de cierto material es 15 veces la resistencia de un alambre de cobre de las mismas dimensiones. ¿Cuál es la longitud de un alambre de éste material para que tenga la misma resistencia que un alambre de cobre de longitud 2 metros, si ambos tienen el mismo diámetro. Rpta.: 13.33 cm
68.
Se tiene un alambre de aluminio cuya longitud es de 2 m y su radio de 2 mm. (a) calcule la resistencia entre sus extremos. (b) Cuál debe ser el radio de un alambre de cobre de la misma longitud, si su resistencia debe ser igual que la del alambre de aluminio? (Considere la temperatura de 20°C). Rpta.: 4,49 mΩ; 1,55 mm.
230
FÍSICA GENERAL
69.
Calcule la corriente que circula a través de la resistencia R1.
4k
4k
4k
4k
2k
+
R1
8V
70.
Encuentre el valor de la corriente I. + 12V -
5
+ 20V -
10
15
231
FÍSICA GENERAL
71.
Encuentre la resistencia equivalente del conjunto de resistencias: 3R
3R
3R 3R
3R
3R
3R
3R
3R
3R
3R
3R
72.
Encuentre la resistencia equivalente entre los terminales de entrada.
A
R
R
R
R
∞ R
R
B
R
R
R
R
232
R
R
FÍSICA GENERAL
73.
(a) Si la capacidad de una esfera es de 88 x 10-10F. ¿Cuál es el radio de la esfera? (b) Si el potencial en la superficie de la esfera es de 91 x 104 V. ¿Cuál es la densidad de carga superficial? Rpta.: (a) 79,2 m
74.
(b) 101,59 nC/m2
Considere una esfera conductora aislada cargada de diámetro 50 cm. El campo eléctrico debido a la esfera a una distancia de 32 cm de su centro tiene una cantidad de 47,5 x 103 N/C. (a) ¿Cuál es la densidad de carga superficial? (b) ¿Cuál es su capacitancia?
75.
Rpta.:2,75 μC Rpta.: 55,56 pF
Dos conductores esféricos de radios R1 y R2 están separados por una distancia lo suficientemente grande de manera que los efectos de inducción son despreciables. Las esferas se conectan a través de un alambre conductor delgado y se encuentran al mismo potencial Vrelativo a V = 0 para r = ∞. (a) Determine la Capacitancia del sistema, donde C = (q1 + q2)/ V (b) ¿Cuál es la razón q1 / q2 Rpta.: (a) (R1 + R2)/ K
76.
(b) q1 / q2 = R1 /R2
Los conductores de un capacitor de 83 μF tienen una carga en cada conductor de 70 μC (las cargas son de signos contrarios). ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los conductores? Rpta.: 0,84 V
233
FÍSICA GENERAL
77.
Dos esferas conductoras están fijas en el vacío. Cuando la diferencia de potencial entre las esferas es de 42 volt, cada esfera tiene una carga de 49 pC. Calcule la capacitancia de las esferas. Rpta.: 1,167 pF
78.
Un capacitor cilíndrico formado por un alambre y un tubo de largo 55cm, tiene una capacitancia de 3,9 nF. Si el radio del alambre es de 39mm. ¿Cuál es el radio externo requerido para el tubo? Rpta.: 39,31mm
79.
Con un cable coaxial de 39cm de longitud se construye un capacitor cilíndrico. El alambre interior tiene un radio de 4,85mm y una carga de 4,2 μC y el conductor externo tiene un radio de 5,32mm y una carga de –4,2 μC. (a) ¿Cuál es la capacitancia de éste cable?, (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre ambos conductores? Rpta.: (a) 234,25 pF
80.
(b) 17.93KV
Un capacitor cilíndrico tiene conductores interno y externo cuyos radios tienen la razón b/a=5/3. El conductor interno se reemplaza por un alambre cuyo radio es la mitad del radio del conductor original. ¿Por qué factor debería incrementar la longitud del capacitor para que tenga la capacitancia original? Rpta.: 2,36
81.
Un capacitor esférico lleno de aire se construye con una esfera metálica y un cascarón metálico concéntricos. El radio de la esfera es de 6cm y el radio interior del cascarón es de 13cm. (a) Calcule la capacitancia del dispositivo. (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre la esfera y el cascarón como resultado de tener cargas de 11μC en la esfera y de -11μC en el cascarón? Rpta.: (a) 12,38 pF
234
(b) 888,53 KV
FÍSICA GENERAL
82.
Dos cascarones esféricos concéntricos forman un capacitor de 4 nF. Si el radio externo del cascarón menor es de 42cm, ¿cuál es el valor del radio interior del cascarón mayor? Rpta.: 42,5 cm
83.
Un capacitor esférico está formado por una esfera conductora de diámetro 4 cm que está centrada en el interior de un cascarón esférico aterrizado con un diámetro de 37 cm. ¿Qué carga se requiere en el capacitor para que la esfera se encuentre en un potencial de 4000V? Rpta.: 9,96 nC
84.
Considere dos placas paralelas verticales, separadas por una distancia de 5cm. Las placas tienen la misma carga pero de signo contrario. Un pequeño objeto de masa 18gr y carga 17 nC cuelga entre las placas. Si el hilo que sostiene el objeto forma un ángulo de 20° con la vertical. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas? Rpta.: 157,52 KV
85.
Un capacitor de placas paralelas, de área 39 cm2 y separados 2,3 mm está lleno de aire. Si se aplica una diferencia de potencial de 12 V a estas placas, calcule: (a) E; (b) σ ; (c) C ; (d) q Rpta.: (a) 5217,39 V/m (b) 46,17 nC/m2 (c)180 pC
86.
Un capacitor de placas paralelas de área A=300cm2 tiene una placa aterrizada. La placa no aterrizada tiene una carga Q. Al alejar la placa no aterrizada 3cm de la placa aterrizada se observa un incremento en la diferencia de potencial de 181 V. Determine la cantidad de la carga Q. Rpta.: 1,6 nC
235
FÍSICA GENERAL
87.
A un condensador de placas paralelas se le introduce una placa conductora de espesor S y área A, si las placas del capacitor tiene la misma área y una separación d entre ellas, ¿cuál es el valor de la capacitancia del sistema?
Rpta.: C = ε0 A / (d – S)
S
d A
88.
Las placas cuadradas de un capacitor, cada una de lado a, forman un ángulo θ entre si, como se ilustra en la figura. Demostrar que cuando
θ es pequeño, la capacitancia es:
C=
89.
ε 0a 2 ⎛
aθ ⎞ ⎜1 − ⎟ d ⎝ 2d ⎠
Por la sección transversal de un alambre pasan 5 x 1014 electrones por segundo. Calcule la intensidad de la corriente eléctrica promedio. Rpta.: 80 μA
90.
Una pequeña esfera que tiene una carga de 60nC se pone a girar atada a un extremo de un hilo aislante. La frecuencia de rotación es 120π rad/sg. ¿Cuál es la intensidad de corriente eléctrica promedio debida a la rotación de la carga? Rpta.: 3,6 μA
91.
Suponga que la corriente que circula a través de un conductor decrece
exponencialmente
con
236
el
tiempo
de
acuerdo
con:
FÍSICA GENERAL
I(t)=I0e-t/τ, donde I0 es la intensidad de corriente inicial (en t=0) y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere que se realiza una observación en un punto interno del mismo conductor. (a) ¿Cuánta carga pasa por ese punto entre t = 0 y t = τ? (b) ¿Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = 10τ? (c) ¿Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = ∞? 92.
Un alambre de cobre con calibre N° 10 puede transportar una densidad de corriente máxima de 5.65 x 106 A/m2 antes de sobrecalentarse. Su diámetro es de 0,26cm. (a) ¿Cuál es la intensidad de corriente en el alambre? (b) ¿Qué cantidad de carga pasa por una sección transversal del alambre por hora? Rpta.: (a) 30A
93.
(b) 108 KC
Calcule la densidad de corriente en un alambre de aluminio que tiene radio uniforme, cuando se le aplica un campo eléctrico de 3900 V/m y la temperatura se mantiene a 20°C. Rpta.: 138,3 x 109 A/m2
94.
Por un alambre de radio uniforme de 0,26 cm fluye una corriente de 10A producida por un campo eléctrico de cantidad 110 V/m. ¿Cuál es la resistividad del material? Rpta.: 233,61 μΩ.m
237
FÍSICA GENERAL
95.
Por un alambre de plata circula una densidad de corriente de 3.0 x 107 A/m2. Determine la cantidad de la intensidad del campo eléctrico en el alambre. Rpta.: 0,477 V/m
96.
¿Cuál es el diámetro de una alambre de aluminio que tiene una resistencia por unidad de longitud de 5,4 x 10-3 Ω/m a 20°C. Rpta.: 2,58 mm
97.
Veinticinco alambres de cobre de la misma longitud L y diámetro d, se unen en paralelo para formar un cable de resistencia R. ¿Cuál debe ser el diámetro D de un solo alambre de cobre de la misma longitud L para que tenga la misma resistencia? Rpta.:
98.
25d 2
Suponga que una barra uniforme de resistencia R se estira uniformemente hasta cuatro veces su longitud original. ¿Cuál será su nueva resistencia, suponiendo que su densidad y resistividad permanecen constantes? Rpta.: 16 R
99. Una parrilla eléctrica tiene una corriente constante de 10A que ingresa al terminal positivo de su fuente de voltaje 220 V. La parrilla opera durante dos horas. (a) Encuentre la carga en Coulombs que pasa a través de la parrilla. (b) Calcule la potencia absorbida por la parrilla.
238
FÍSICA GENERAL
(c) Si la energía cuesta 0.25 centavos por kilowat-hora, determine el costo de operación de la parrilla durante dos horas. 100. Un reproductor portátil de cassettes usa cuatro baterías AA en serie para proveerle un voltaje de 6 V al circuito del reproductor. Las cuatro celdas de las baterías alcalinas almacenan un total de 200 watts/s de energía. Si el reproductor de cassettes está demandando una corriente constante de 10 mA del paquete de baterías, ¿cuánto tiempo operará el reproductor de cassettes a la potencia normal? 101. La batería de una linterna genera 3 V y la corriente que fluye por el foco es de 200 mA. ¿Cuál es la potencia absorbida. ¿Cuál es la potencia absorbida por el foco? Determine la energía absorbida por el foco en un periodo de 5 minutos. (Recuerde que: Potencia suministrada = Potencia absorbida). 102. Una batería de automóvil de larga duración de 12 V puede entregar 2 x 106 Joules en un lapso de 10 horas. ¿Cuál será la corriente que fluye por la batería? 103. En el circuito adjunto, calcule la Req y la corriente I si el voltaje de entrada es 12 V.
a I 6
30
36
72 10
b 239
9
FÍSICA GENERAL
104. Para el circuito adjunto, dado la Req = 9 Ω, encuentre la resistencia R.
a
4
R
12
24 8
b 105.
30
5
En el circuito que se muestra, determine R cuando Rab = 20 Ω
a
R
R
R R
R
R
R R
b
240
FÍSICA GENERAL
MAGNETISMO
El magnetismo se conoce desde hace muchos siglos, pero es difícil saber cómo y cuándo se descubrió. Son muchas las leyendas que han circulado sobre la llamada "piedra de imán. Una de ellas es la del pastor Magnus, del que se dice que cuando iba con su rebaño por el monte notó una fuerza que atraía su bastón de punta de hierro. La tracción era tan fuerte que el bastón se quedó pegado a la roca y no pudo separarlo. Otra leyenda muy extendida es la de la isla de la montaña de imán que atrae con gran intensidad a todos los barcos que pasan en su proximidad, hasta que los atrapa y los destruye arrancándoles todos los elementos metálicos.
Magnetismo Desde el siglo VI a. C. ya se conocía que el óxido ferroso-férrico, al que los antiguos llamaron magnetita, poseía la propiedad de atraer partículas de hierro. Hoy en día la magnetita se conoce como imán natural y a la propiedad que tiene de atraer los metales se le denomina “magnetismo”. Los chinos fueron los primeros en descubrir que cuando se le permitía a un trozo de magnetita girar libremente, ésta señalaba siempre a una misma dirección; sin embargo, hasta mucho tiempo después esa característica no se aprovechó como medio de orientación. Los primeros que le dieron uso práctico a la magnetita en función de brújula para orientarse durante la navegación fueron los árabes.
241
FÍSICA GENERAL
Como todos sabemos, la Tierra constituye un gigantesco
imán
natural;
por
tanto,
la
magnetita o cualquier otro tipo de imán o elemento magnético que gire libremente sobre un plano paralelo a su superficie, tal como lo hace una brújula, apuntará siempre al polo norte magnético. Como aclaración hay que diferenciar el polo norte magnético de la Tierra del Polo Norte geográfico. El Polo Norte geográfico es el punto donde coinciden todos los meridianos que dividen la Tierra, al igual que ocurre con el Polo Sur. Sin embargo, el polo norte magnético se encuentra situado a 1 200 kilómetros de distancia del norte geográfico, en las coordenadas 78º 50´ N (latitud Norte) y 104º 40´ W (longitud Oeste), aproximadamente sobre la isla Amund Ringness, lugar hacia donde apunta siempre la aguja de la brújula y no hacia el norte geográfico, como algunas personas erróneamente creen.
Imanes Permanentes Cualquier tipo de imán, ya sea natural o artificial, posee dos polos perfectamente diferenciados: uno denominado polo norte y el otro denominado polo sur.
Todos los imanes tienen dos polos: uno norte (N) y otro sur (S)
242
FÍSICA GENERAL
Una de las características principales que distingue a los imanes es la fuerza de atracción o repulsión que ejercen sobre otros metales las líneas magnéticas que se forman entre sus polos. Cuando enfrentamos dos o más imanes independientes y acercamos cada uno de ellos por sus extremos, si los polos que se enfrentan tienen diferente polaridad se atraen (por ejemplo, polo norte con polo sur), pero si las polaridades son las mismas (polo norte con norte, o polo sur con sur), se rechazan. Si enfrentamos dos imanes con polos diferentes se atraen, mientras que si los polos enfrentados son iguales, se repelen.
Cuando aproximamos los polos de dos imanes, de inmediato se establecen un determinado número de líneas de fuerza magnéticas de atracción o de repulsión, que actúan
directamente
sobre
los
polos
enfrentados. Las líneas de fuerza de atracción o repulsión que se establecen entre esos polos son invisibles, pero su existencia se puede comprobar visualmente si espolvoreamos limallas de hierro sobre un papel o cartulina y la colocamos encima de uno o más imanes.
243
FÍSICA GENERAL
Inducción Magnética Si cogemos un alambre de cobre o conductor de cobre, ya sea con forro aislante o sin éste, y lo movemos de un lado a otro entre los polos diferentes de dos imanes, de forma tal que atraviese y corte sus líneas de fuerza magnéticas, en dicho alambre se generará por inducción una pequeña fuerza electromotriz (FEM), que es posible medir con un galvanómetro, instrumento semejante a un voltímetro, que se utiliza para detectar pequeñas tensiones o voltajes. Este fenómeno físico, conocido como "inducción magnética" se origina cuando el conductor corta las líneas de fuerza magnéticas del imán, lo que provoca que las cargas eléctricas contenidas en el metal del alambre de cobre (que hasta ese momento se encontraban en reposo), se pongan en movimiento creando un flujo de corriente eléctrica. Es preciso aclarar que el fenómeno de inducción magnética sólo se produce cada vez que movemos el conductor a través de las líneas de fuerza magnética. Sin embargo, si mantenemos sin mover el alambre dentro del campo magnético procedente de los polos de los dos imanes, no se inducirá corriente alguna. En esa propiedad de inducir corriente eléctrica cuando se mueve un conductor dentro de un campo magnético, se basa el principio de funcionamiento de los generadores de corriente eléctrica. Ahora bien, si en vez de moverlo colocáramos el mismo conductor de cobre dentro del campo magnético de los dos imanes y aplicamos una diferencia de potencial, tensión o voltaje en sus extremos, como una batería, por ejemplo, el campo magnético que produce la corriente eléctrica alrededor del conductor al circular a través del mismo, provocará que las líneas de fuerza o campo magnético de los imanes lo rechacen. De esa forma el conductor se moverá hacia un lado o hacia otro, en dependencia
244
FÍSICA GENERAL
del sentido de circulación que tenga la corriente, provocando que rechace el campo magnético y trate de alejarse de su influencia. Cuando aplicamos una diferencia de potencial, tensión o voltaje a un conductor y lo situamos dentro de las líneas de fuerza de un campo magnético, como el de dos imanes, por ejemplo, éste será rechazado hacia uno u otro lado, en dependencia del sentido de dirección que tenga la corriente que fluye por el conductor.
El campo magnético que se crea alrededor del alambre de cobre o conductor cuando fluye la corriente eléctrica, hace que éste se comporte también como si fuera un imán y en esa propiedad se basa el principio de funcionamiento de los motores eléctricos. En la actualidad la magnetita no se emplea como imán, pues se pueden fabricar imanes permanentes artificiales de forma industrial a menor costo. En la actualidad se fabrican imanes permanentes artificiales, para su empleo, por ejemplo, en la fabricación de altavoces para equipos de audio, dinamos para el alumbrado en las bicicletas, pequeños motores para uso en juguetes o en equipos electrónicos, en la junta hermética de la puerta de los frigoríficos y, por supuesto, en la fabricación de brújulas.
245
FÍSICA GENERAL
Los parlantes de los equipos de sonido emplean comúnmente un imán permanente.
Fuerza magnética sobre una carga en movimiento Puesto que observamos interacciones entre cuerpos magnetizados, podemos decir, por analogía con los casos gravitacional y eléctrico, que un cuerpo magnetizado produce un campo magnético en el espacio que lo rodea. Cuando colocamos una carga eléctrica en reposo en este campo magnético, no experimenta fuerza alguna; pero cuando una carga eléctrica se mueve en el campo magnético se observa experimentalmente los siguientes resultados: 1. El módulo de la fuerza es proporcional al valor de la carga y al módulo de la velocidad con la que se mueve. 2. La dirección de la fuerza depende de la dirección de dicha velocidad y de la magnitud y dirección del campo magnético 3. Si la carga tiene una velocidad a lo largo de una determinada línea del campo, la fuerza es nula. 4. Si no estamos en el caso (3), la fuerza es perpendicular a la velocidad y a las direcciones definidas en (3) 5. Si la
velocidad forma un ángulo con dichas líneas, la fuerza
depende del seno de dicho ángulo. 6. La fuerza depende del signo de la carga
246
FÍSICA GENERAL
Estas observaciones experimentales lo podemos escribir, usando el producto vectorial, como:
G G G F = qV × B La fuerza es perpendicular al plano determinado por la velocidad y el campo magnético. Podemos considerarlo a esta ecuación como la definición del campo magnético en algún punto del espacio.El vector B puede variar de punto a punto en un campo magnético, pero en cada punto se encuentra experimentalmente que es el mimo para todas las cargas y velocidades. . Por lo tanto describimos una propiedad del campo magnético que es característica del campo magnético y podemos llamarla Intensidad del campo magnético; otro nombre, impuesto por el uso, es inducción magnética. Movimiento de una carga en un campo magnético
Consideremos
primeramente
el
movimiento de una carga en un campo magnético uniforme, es decir, un campo magnético que tiene la misma intensidad y dirección en todos sus puntos.
Cuando la partícula cargada positivamente ingresa al campo magnético perpendicularmente, la partícula describe una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular al campo. La partícula describe esta trayectoria por que la fuerza F forma ángulos rectos con v y B y tiene una magnitud igual a
247
FÍSICA GENERAL
qvB. A medida que la fuerza desvía la partícula, las direcciones de v y F cambian continuamente. Por lo consiguiente, F actúa como una fuerza central, la cual cambia la dirección de v y no su magnitud. De acuerdo a la dirección que se muestra en la figura, el campo magnético, una carga positiva describe una trayectoria circular en el sentido antihorario y si la carga es negativa el sentido es el horario.positiva.
Una partícula cargada que llega con una velocidad haciendo un ángulo con el campo magnético uniforme se mueve en una trayectoria helicoidal.
Selector de velocidades. Cuando una carga está ante la presencia tanto de un campo magnético hacia adentro y de un campo eléctrico hacia abajo, experimenta una fuerza eléctrica qE hacia abajo y una fuerza magnética q vxB hacia arriba. Cuando estas
fuerzas se equilibran entre sí, la partícula se mueve en una línea horizontal a través del campo.
248
FÍSICA GENERAL
El espectrómetro de masa Dempter. Los iones después de ser acelerados entra a una región donde hay un campo magnético B donde los iones describen una trayectoria semi-circular
Botella magnética. El movimiento de una partícula en un campo magnético no uniforme es muy complicado. Por ejemplo, en el campo magnético que es intenso en los extremos y débil en la parte media como en lo que se conoce como la botella magnética. En este caso, un a partícula cargada.
249
FÍSICA GENERAL
Cuando una carga se mueve en campo magnético uniforme, es decir, un campo magnético que tiene la misma intensidad y dirección en todos sus puntos. Cuando la carga se mueve perpendicular al campo magnético, y como la fuerza es perpendicular a la rapidez, su efecto es cambiar la dirección de la rapidez sin cambiar su módulo. La aceleración es por lo tanto centrípeta y usando la definición de la fuerza, tenemos:
mv 2 = qvB r O sea el radio de la trayectoria descrita por la partícula, es:
r=
mv qB
Escribiendo v=ω r, la frecuencia angular de la partícula, es:
ω=
q B m
Si la partícula entra en el campo magnético haciendo un ángulo θ, la partícula describe una trayectoria helicoidal.
La corriente eléctrica produce magnetismo En el siglo XVIII, se buscaba una conexión entre la electricidad y el magnetismo. Se demostró que una carga eléctrica estacionaria y un imán no tienen influencia alguna. En 1820
Hans Chistian
Oersted (1777-1851)
encontró que cuando una brújula se coloca cerca de un alambre que transporta una corriente eléctrica. Lo que encontró Oersted fue que una corriente eléctrica produce un campo magnético.
250
FÍSICA GENERAL
Una brújula cuando se coloca cerca de una parte recta de un alambre portador de corriente se alinea de tal manera que queda tangente a un círculo trazado alrededor del conductor. Es decir que las línea de campos magnético que producen una corriente en un alambre recto tienen la forma de círculos, con centro en el alambre.
Figura. La desviación de la brújula cerca de un conductor con corriente indica la presencia y la dirección del campo magnético
Fuerza magnética sobre un conductor que lleva una corriente eléctrica La intensidad de la corriente eléctrica se ha definido como la carga que pasa por unidad de tiempo a través de una sección del conductor. Consideremos una sección transversal de un conductor a través de la cual se están moviéndose partículas con carga q y rapidez v. Si consideramos que hay n partículas por unidad de volumen, el número total de partículas que pasan por unidad de área en la unidad de tiempo es nv, y la densidad de corriente es:
J = nq v
251
FÍSICA GENERAL
Figura. a) Fuerza sobre un alambre portador de corriente colocado en un campo magnético B, b) La fuerza sobre el alambre pero con corriente en sentido contrario. Si S es el área de la sección del conductor perpendicular a J, la corriente es el escalar:
I = jS = nqvS. Llevamos el conductor a un campo magnético. La fuerza sobre cada carga esta dada por la ecuación de la fuerza magnética y como hay n cargas por unidad de volumen, la fuerza f por unidad de volumen es:
G f = nqv x B = j x B
252
FÍSICA GENERAL
Y la fuerza total sobre un pequeño volumen dV del medio es:
d F = f dV = j x B dv Y la fuerza total sobre un volumen finito será. F = ∫ jxB dV vol
Consideremos ahora el caso de un alambre delgado de sección uniforme S. El volumen elemental es Sdl, entonces la fuerza sobre un segmento de alambre la fuerza será:
F = jxB(sdl )
Si, consideramos que J = j uˆ t ,donde ut es el vector tangente al eje del filamentoentonces la ecuación anterior lo podemos escribir:
F = ∫ ( juˆT ) xBSdl = ∫ ( jS )uˆT xBdl Entonces la fuerza será:
F = ILuˆ x B T El conductor esta sujeto a una fuerza perpendicular a él y al campo magnético. Si θ es el ángulo entre el conductor y el campo magnético, el módulo de la fuerza F es
F = ILBsenθ La fuerza es cero si el conductor es paralelo al campo ( θ = 0 ) y máxima si es perpendicular a él ( θ = π/2) . El sentido de la fuerza se encuentra aplicando la regla de la mano derecha.
253
FÍSICA GENERAL
Campo magnético debido a un cable recto El campo magnético de un cable recto muy grande esta dado por
μo I e 2π r θ
B= Donde μo = 4πx10 -7 Tm/A
Fuerza entre dos conductores paralelos Si por dos conductores rectilíneos paralelos de longitud l, separados una distancia r, y por los cuales circulan las corriente I1 ye I2, respectivamente. El modulo de la inducción magnética
creada a una distancia r, por la
corriente I1, es:
μ I B = o 1e 2π r θ Y la fuerza ejercida sobre la corriente I2, situada en este campo, es:
F=
μ o I1 I 2 L 2π r
EJERCICIOS PROBLEMA N°1
Un electrón con una rapidez de 10
6
m/s entra a una región donde hay un
campo magnético. Encontrar la intensidad del campo magnético si el electrón describe una trayectoria circular de radio r = 0,1m. También encontrar la rapidez angular del electrón.
254
FÍSICA GENERAL
Solución
Si la
m e = 9,11x1031 kg, q =1,6 x 10 19 C. r = 0,1 m y v = 106 m/s
A partir de la ecuación de la fuerza magnética, tenemos: B=
mv qr
Remplazando en la ecuación anterior, obtenemos
B=
(9,11x1031 kg )(106 m / s ) = 5, 68 x10−5 T (1, 6 x1019 C )(0,1m)
Ahora, de la ecuación de la frecuencia angular, tenemos:
ω=
1, 6 x1019 C (5 x10−5 T ) = 0,878 × 10−17 Hz 31 9,11x10 kg
PROBLEMA N°2
Por un conductor pasa una corriente de 30 A que tiene una longitud de 12cm entre las caras polares de un imán, y hace un ángulo de 60 º con la dirección del campo magnético. La intensidad del campo magnético es 0,90T y es uniforme. ¿Cuál es la fuerza sobre el conductor? Solución
A partir de la ecuación de la fuerza magnética, vemos que: F = IlB senθ = (30 A ) (0,12 m) (0,90T) (0,866) = 2,8N PROBLEMA N°3
Un alambre de 60cm de longitud y 10g de masa se suspende mediante un par de hilos flexibles dentro de un campo magnético de 0,40 T. ¿Cuáles son
255
FÍSICA GENERAL
la cantidad y la dirección de la corriente necesaria para eliminar la tensión en los hilos que soportan al alambre Solución
Establecemos el sistema coordenado
y
x z
Si la corriente esta dirigida en la dirección negativa del eje x, entonces ut = - i y el campo magnético esta en la dirección del eje z, tenemos B = Bk . De la relación de la fuerza para una corriente en un campo magnético:
F = IL ut × B Remplazando los el vector ut y el campo magnético, tenemos F = ILB ( i x k) = ILB j La fuerza magnética esta en dirección del eje y, y la fuerza debido a la gravedad esta dirigida en dirección del eje y negativa, para que la tensión en los soportes sea cero se tiene: Fm = F g ILB = mg
I=
mg 10x10−3 kgx9,8m / s2 = = 0, 4 A 0,6mx.40T LB
256
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°4
Un cable conductor vertical por el que transporta hacia arriba una corriente de 25 A. ¿Cuál es el campo magnético en un punto situado a 10cm de la corriente? Solución
Usando la formula, del campo magnético de un alambre, tenemos: B=
4π x10−7 Tm / Ax 25 A = 5, 0 x10−5 T 2π x0,1m
PROBLEMA N°5
Dos conductores largos paralelos, separados por una distancia a=10 cm, llevan corrientes en la misma dirección. Si I1 = 5A e I2 = 8A, ¿Cuál es la fuerza por unidad de longitud sobre cada alambre debido al otro? Solución
Usando la formula para la fuerza entre dos conductores tenemos, dividiendo lo por l, tenemos: F/L=
(4π x10−7 T .m / A)(5 A) x(8 A) = 80, 0 μ N / m 2π x(0.1m)
PROBLEMA N°6
Dos conductores largos paralelos llevan corrientes I1= 3 A e I2 = 3A, ambas dirigidas hacia el interior de la pagina, ver figura. Los conductores están separados por una distancia de 13 cm. Determine la cantidad y la dirección del campo magnético resultante en el punto P, localizado a 5 cm desde I1 y a 12cm desde I2
257
FÍSICA GENERAL
Solución
Como el triángulo es un triangulo notable tenemos el ángulo entre ellos es 90º. Los campos magnéticos de cada una de la corriente es: B1 =
4π x10−7 Tm / Ax3 A 4π Tm7 Ax3 A = 12 x10−6 T y B2 = = 50 x10−6 T 2π x0, 05m 2π X .12 M
Y los campos son perpendiculares aplicamos Pitágoras 2
B 2 = B1 + B 2
(12 x10 − 6 T ) 2 + (50 x10 − 6 T ) = 13x10 − 6 T
B=
PROBLEMAS 1.
Un
campo
uniforme
B
Z
magnético esta
en
la
dirección 0y, como se muestra en la figura. Encontrar el módulo y la dirección de la fuerza que experimenta carga
q,
cuya
una
Y
rapidez
instantánea es v, para cada una de las direcciones que se muestra en la figura.
258
X
FÍSICA GENERAL
2.
La fuerza sobre un conductor que lleva 25,0 A es de 4,14N como máximo cuando se coloca entre las caras polares de un imán. Si estas caras tienen 22,0 cm de diámetro, ¿cuál es la intensidad aproximada del campo magnético. Rpta.: 0.753T
3.
Calcule la cantidad y la dirección de la fuerza sobre un electrón que viaja a 5,36x10
6
m/s en dirección horizontal hacia el este, cuando
hay un campo magnético uniforme con dirección vertical hacia arriba y de 1,430 T de intensidad. Rta.: 1,11x10 -12 N hacia el sur
4.
Determine la dirección de B para cada uno de los casos de la figura, donde F es la fuerza sobre una partícula de carga positiva que se mueve con una rapidez v
5.
Un protón se mueve en una trayectoria circular, en dirección perpendicular a un campo magnético de 1,15T. El radio de su trayectoria es de 9,30 mm. Calcular la energía del protón en eV. Rpta.: 5,48eV
6.
Una partícula de carga q se mueve en una trayectoria circular de radio r en un campo magnético uniforme B. Demuestre que su cantidad de movimiento es p= q B r.
7.
¿Cuáles son la cantidad y la dirección de la fuerza entre dos alambres paralelos de 80cm de largo, y cada uno de los cuales lleva una corriente de 35 A en la misma dirección. Rpta.: 0,25 N fuerza de atracción.
259
FÍSICA GENERAL
8.
Una brújula colocada horizontalmente se encuentra a 20 cm al sur de un alambre recto vertical que lleva una corriente de 30 A hacia abajo. ¿En que dirección apunta la aguja de la brújula? Suponga que la componente horizontal del campo magnético terrestre en este punto es de 0,45 x10 -4 T y que la inclinación magnética es de 0º. Rpta.: 34º, de atracción.
9.
Un corriente de protones pasa por un punto dado del espacio a razón de 10 9 protones por segundo. ¿Qué campo magnético producen estos protones a una distancia de 2,0m del haz?. Rpta.: 1,6x10-10T
10.
Tres alambres largos paralelos están separados entre si 38,0 cm (si se les miran de frente, sus secciones transversales se encuentran en los tres vértices de un triángulo equilátero)
La corriente que fluye por
cada alambre es de 8,0 A, pero la del alambre A fluye en dirección opuesta a la de los alambres B y C(ver figura) Determine la fuerza magnética por unidad de longitud ejercida en cada alambre. Rpta.: 5,8x10-5 N;3,4x10-5; 3,4x10-5 N
11.
Un protón moviéndose con una rapidez de 4 x106 m/s a través de un campo magnético de 1,7T experimenta una fuerza magnética de 8,2x10-13 N. ¿Cuál es el ángulo entre la rapidez del protón y el campo magnético? Rpta.: 48.8º o 131º.
260
FÍSICA GENERAL
12.
Se acelera protones a través de una diferencia de potencial de 106 V partiendo del reposo. Luego se los inyecta en una región donde hay un campo magnético uniforme de 2 T, con la trayectoria perpendicular al campo. Cual será el radio de la trayectoria y la rapidez angular de los protones?
261
FÍSICA GENERAL
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FÍSICA GENERAL
ELECTROMAGNETISMO Electromagnetismo En 1820 el físico danés Hans Christian Oerted descubrió que entre el magnetismo y las cargas de la corriente eléctrica que fluye por un conductor existía una estrecha relación. Cuando eso ocurre, las cargas eléctricas o electrones que se encuentran en movimiento en esos momentos, originan la aparición de un campo magnético tal a su alrededor, que puede desviar la aguja de una brújula. Si cogemos un trozo de alambre de cobre desnudo, recubierto con barniz aislante y lo enrollamos en forma de espiral, habremos creado un solenoide con núcleo de aire. Si a ese solenoide le aplicamos una tensión
o
voltaje,
desde
el
mismo
momento que la corriente comienza a fluir por las espiras del alambre de cobre, creará un campo magnético más intenso que el que se origina en el conductor normal de un circuito eléctrico cualquiera cuando se encuentra extendido, sin formar espiras.
263
FÍSICA GENERAL
Bobina solenoide con núcleo de aire construida con alambre desnudo de cobre enrollado en forma de espiral y protegido con barniz aislante. Si a esta bobina le suministramos corriente eléctrica empleando cualquier fuente de fuerza electromotriz, como una batería, por ejemplo, el flujo de la corriente que circulará a través de la bobina propiciará la aparición de un campo magnético de cierta intensidad a su alrededor.
Después, si a esa misma bobina con núcleo de aire le introducimos un trozo de metal como el hierro, ese núcleo, ahora
metálico,
provocará
que
se
intensifique el campo magnético y actuará como un imán eléctrico (o electroimán), con el que se podrán atraer diferentes objetos metálicos durante todo el tiempo que la corriente eléctrica se mantenga circulando por las espiras del enrollado de alambre de cobre. Bobina solenoide a la que se le ha introducido un núcleo metálico como el hierro (Fe). Si comparamos la bobina anterior con núcleo de aire con la bobina de esta ilustración, veremos que ahora las líneas de fuerza magnética se encuentran mucho más intensificadas al haberse convertido en un electroimán.
Cuando el flujo de corriente eléctrica que circula a través del enrollado de cobre cesa, el magnetismo deberá desaparecer de inmediato, así como el efecto de atracción magnética que ejerce el núcleo de hierro sobre otros metales. Esto no siempre sucede así, porque depende en gran medida de las características del metal de hierro que se haya empleado como núcleo del electroimán, pues en algunos casos queda lo que se denomina "magnetismo
264
FÍSICA GENERAL
remanente" por un tiempo más o menos prolongado después de haberse interrumpido totalmente el suministro de corriente eléctrica.
Ley de Faraday de la inducción electromagnética Faraday en su intento por producir una corriente eléctrica utilizo el equipo mostrado en la figura. conecto una bobina X a una batería. La corriente qué fluye por la bobina es intensificado por el núcleo de hierro. Faraday espera que si utiliza una batería lo suficientemente potente, una corriente estacionaria
en X produciría un campo magnético lo suficientemente
grande como para originar una corriente en una segunda bobina Y, incluía un galvanómetro que detectaría la corriente, pero el efecto esperado no sucedió, pero vio que la aguja del galvanómetro respondía de manera notable en el momento de cerrar y al abrir dicho conector.
Faraday concluyó que, si bien un campo magnético estacionario no produce una corriente eléctrica, un campo magnético variable era capaz de de producir una corriente eléctrica. A tal corriente se le llama corriente inducida.
265
FÍSICA GENERAL
También investigó de manera cuantitativa los factores que influyen en la cantidad de la fem inducida. En primer lugar, descubrió que depende del tiempo, mientras más rápido cambia el campo magnético, mayor es la fem inducida. Más bien es proporcional a la tasa de cambio del flujo magnetico, B,
que pasa a través de la espira de área A, y que se define como.
ΦB = B⊥ A = BA cos θ Donde θ es el ángulo entre el vector unitario perpendicular a la superficie y el campo magnético
Figura que aclara la definición del flujo magnético.
La ley de Faraday se expresa por: Si el flujo por N espiras de cable varía en una cantidad ΔΦm durante un tiempo Δt , la fem inducida prodio durante este tiempo es:
ε = −N
ΔΦ m (volts) Δt
A este resultado fundamental se le conoce como Ley de Inducción de Faraday, y es una de las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo.
266
FÍSICA GENERAL
La fem inducida en un circuito cerrado colocado en un campo magnético variable es igual al negativo del cambio por unidad de tiempo, del lujo magnético a través del circuito.
Cuando el circuito es de forma arbitraria se puede expresar en la forma mostrada por la ecuación:
( )
d G G ∫ E.dl = − dt B.ds
El signo menos en la ecuación anterior tiene el propósito de recordadnos la dirección en la fem inducida. Los experimentos demuestran que una fem inducida produce siempre una corriente cuyo campo magnético es opuesto al cambio original del flujo. A esto se le conoce como ley de Lenz.
EJERCICIOS PROBLEMA N°1
El flujo magnético por una bobina que contiene dos circuitos cambia de – 30 Wb a+ 25 Wb en 35 s. ¿Cuál es la fem que se induce en la bobina? Solución
Usando la formula
ε=N
Δφ 25Wb − (−30Wb) =2 = 314,3vots Δt 0,35s
PROBLEMA N° 2
Una bobina circular de 30 vueltas de 4,00 cm de radio y 1,00Ω de resistencia se pone un campo magnético dirigido perpendicular al plano de la bobina. La cantidad del campo magnético varía en el tiempo de acuerdo
267
FÍSICA GENERAL
con la expresión B =0,010t +0,040t
2
, donde t está en segundos y B está
en teslas. Calcule la fem inducida en la bobina en t = 5,00s Solución ε = −N
dΦ d ( BA) = −N dt dt
Como el área A es constante, tenemos que:
ε = AN
dB d (0, 4t 2 + 0, 01t ) = −π r 2 N = −(30)(3,14)(0, 04m) 2 (0,8 x5 + 0, 01) dt dt
ε = −604, 710−3 volts PROBLEMA N°3
Una espira plana de alambre que consta de una sola vuelta de área se sección transversal igual a 8,00cm2 es perpendicular a un campo magnético cuya cantidad aumenta uniformemente de 0,500T a 2,50T en 1,00s ¿Cuál es la corriente inducida resultante si la espira tiene una resistencia de 2.00Ω Solución
ε=N
ΔΦ Δt
Para t = 0s Φ = (0,5T)(8x10 -4m2) y t= 1s : Φ = (2,5T)(8x10-4 m2) Remplazando en la fórmula anterior, tenemos
⎛ 20 x10 −4 Tm 2 − 4 x10 −4 Tm 2 ε = 1× ⎜ ⎜ 1s ⎝
⎞ ⎟ = 16 x10 − 4 Volts ⎟ ⎠
Entonces la corriente es:
ε=
I R
y I = ε R = 16x10-4 Volts x2 Ω = 3,2 Amp
268
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA N°4
Considere el arreglo mostrado em la figura. Suponga que R=6,00 Ω, l=1,2m y un campo magnético uniforme de 2,50T apunta hacia adentro de la pagina.¿ A qué rapidez debe moverse la barra para producir una corriente de 0,500 A en el resistor?
ε=
ΔΦ BΔA BlvΔt = = = Blv . Como ε = IR = Blv , entonces, tenemos: Δt Δt Δt
v=
IR (0,500 A) x(6, 0Ω) = = 1m / s 2,5Tx1, 2m Bl
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Una espira con 16 cm de diámetro se encuentran en un campo magnético de 0,10T. Si se saca del campo en 0,15s. ¿cuál será la fem promedio inducida? Rpta.: 0,15volts
2.
Un campo magnético que cambia con el tiempo, pero que es uniforme en el espacio, tiene la dirección del eje x. Se coloca una espira conductora de 7cm de diámetro, y 1,5 x10
269
-3
Ω de resistencia,
FÍSICA GENERAL
en el plano yz. Si la corriente en la espira es 2 A, ¿Con que rapidez cambia el campo magnético? Rpta.: 0,78 T/s i
3.
Un circuito rectangular que se muestra en la figura, se empuja hacia la izquierda, fuera del campo magnético que apunta hacia la página. ¿En que dirección señala la corriente inducida? Rpta sentido opuesto a las manecillas del reloj.
4.
Una bobina de 6cm de diámetro consta de 100 espiras con una resistencia total de 5Ω. Colocada entre los polos de un electroimán, perpendicularmente al flujo, y retirada bruscamente del campo, un galvanómetro de 595Ω comentado a la bobina acusa el paso de una carga eléctrica de 10-4 C. Calcular el campo magnético B entre los polos del electroimán. Rpta.: 0,212 T
5.
Una espira pequeña de área A se encuentra dentro de un solenoide largo de n vueltas por unidad de longitud y en el circula una corriente I; el eje de la espira está en la misma dirección que el eje del solenoide. Si I = Io sen wt, determine la fem inducida en la espira Rpta.: μnAIowcoswt.
6.
Un disco de cobre de 10 cm de radio gira alrededor de su eje con una rapidez de 20rps y está situado en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de inducción 0,6 T. Hallar la fem inducida entre un punto de la periféria y el centro del disco.
270
FÍSICA GENERAL
7.
Una espira vertical
gira con rapidez
angular w, como se ve en la figura. Cuando el tiempo t=0, esta alineada perpendicularmente
a
un
campo
magnético constante en la dirección x. Use la ley de Lenz para determinar la dirección de la fuerza electromotriz en la espira, cuando t=0, t=T/4, t=T/2, siendo T el periodo de rotación de la espira. 8.
Una bobina de 125 vueltas, de 2,0cm de radio, y cuya resistencia es 3,0 Ω, gira cobre un diámetro, dentro de un campo magnético uniforme de 0,50 T. ¿A qué rapidez debe girar para producir una corriente máxima de 6,0 A en la bobina? Rpta.: 37Hz (2,3 x 10 2 rad/s ).
271
FÍSICA GENERAL
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FÍSICA GENERAL
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
A finales del siglo XIX, la Mecánica Clásica era capaz de explicar todos los fenómenos físicos conocidos, de manera que nadie dudaba de la veracidad de sus postulados. Así, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell habían mostrado con gran éxito la naturaleza electromagnética de la luz y parecía que también cerraban el último capitulo del electromagnetismo. La satisfacción científica era total pues bien las ecuaciones de Newton, y las de Maxwell, explicaban todos los fenómenos conocidos. Sin embargo existían algunas excepciones. En primer lugar, las predicciones de la teoría clásica no podrían explicar los resultados experimentales sobre un fenómeno concreto: la radiación del cuerpo negro. Más adelante, la teoría clásica falló también para
explicar el efecto fotoeléctrico, que
consiste en la emisión espontánea de electrones por un metal al ser iluminado con “luz” ultravioleta. Otros experimentos posteriores pusieron también en entredicho la naturaleza ondulatoria “clásica” de la radiación electromagnética. Poco a poco se hizo más evidente la necesidad de una revisión de los conceptos en los que se apoyaba la Física Clásica, principalmente a escala atómica. A lo largo de este capitulo explicaremos algunos de los fenómenos mencionados, dónde fallaba la teoría clásica y cuál fue la solución que se encontró. Todo ello nos llevara por caminos independientes a la existencia de una constante (de Planck) de importancia capital en la Física Cuántica o moderna. Trataremos, cada uno de los fenómenos, que no pudo explicar la física clásica, comenzamos por:
273
FÍSICA GENERAL
Radiación del cuerpo negro Radiación térmica: La radiación que emite cualquier cuerpo debido a su
temperatura se denomina radiación térmica. El mecanismo de emisión es el siguiente: imaginemos una sustancia cualquiera a una cierta temperatura. Si la temperatura fuera de T=0K las partículas (átomos, moléculas, iones o electrones) que lo componen estarían completamente quietas. A una temperatura distinta de cero, sin embargo, el movimiento térmico de esas partículas es proporcional a su temperatura. Como consecuencia, las partículas cargadas sufren continuas aceleraciones y deceleraciones bruscas de manera que emitirán mayor cantidad de energía. Suponiendo que la temperatura del cuerpo es inicialmente mayor que la de su entorno, la radiación que emite es mayor que la que absorbe y por tanto sufre una pérdida de energía. A medida que irradia su temperatura disminuirá, hasta llegar a una temperatura que es exactamente igual a la que tiene su entorno. En esta situación, denominada de equilibrio térmico, la radiación que el cuerpo continúa emitiendo es igual a la radiación que absorbe del entorno, de modo que el cuerpo no gana ni pierde energía. La materia en estado condensado (sólido o líquido) emite un espectro de radiación continuo que, en términos generales, depende ligeramente de su composición, y en gran medida de su temperatura. Sin embargo, se encuentra experimentalmente que hay una clase de objetos que, independientemente de su composición, emiten espectros térmicos de características universales: son los llamados “cuerpos negros”. Se denominan así porque son objetos que absorben toda la radiación que incide sobre ellos, en particular la radiación visible, y por
eso se ven de color negro. De hecho, cualquier material recubierto de una capa negra, como negro humo, se comporta casi como un cuerpo negro. La figura
muestra el espectro de emisión del cuerpo negro para distintas
temperaturas. En el eje de ordenadas se representa la cantidad denominada
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FÍSICA GENERAL
radiancia espectral RT (ν), definida de modo que la cantidad RT (ν) dν sea igual al flujo de energía emitida por el cuerpo negro en el intervalo de frecuencias comprendido entre ν y ν +dν
(recuérdese que el flujo de
energía es energía por unidad de superficie y por unidad de tiempo, o sea, tiene dimensiones de potencia por unidad de área). Como se puede observar, para cada temperatura existe una frecuencia para la cual la radiancia espectral es máxima (correspondiente al máximo de la curva mostrada en la figura, es decir, una frecuencia a la que se emite una mayor cantidad de energía. Este máximo se desplaza, de una forma lineal, hacia zonas de mayores frecuencias al aumentar la temperatura. La frecuencia para la cual la radiancia espectral es máxima verifica la denominada ley de desplazamiento de Wien:
Dado que v max =
c
λmáx
T = cte v máx
, siendo c la rapidez de la luz, que también es
constante, la anterior ecuación puede escribirse como:
λ máx .T = K w Donde Kw, se llamada constante de Wien, tiene el valor de 2,898x10-8 m K.
Figura 1. radiancia espectral del cuerpo negro para varias temperaturas
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FÍSICA GENERAL
PROBLEMAS 1.
Suponiendo que los siguientes objetos se comportan como un cuerpo negro, es decir, se comportan como en la figura 1, calcular:
(a)
La temperatura superficial del sol, sabiendo que la longitud de onda para la cual la radiación solar es máxima es λmáx = 5100 Å. La ley de Wien nos permite estimar que el valor promedio de la temperatura en la superficie del sol es:
T= (b)
KW
λmáx
=
2,898 x10 −8 mK = 5682 K ≈ 5700 K 5100 x10 −10 m
La longitud de onda del máximo de la radiación emitida por un cuerpo humano, cuya temperatura es de unos 37º C o 308K. De nuevo utilizamos la ley de Wien para obtener que:
λmáx =
0 2,898 x10 −3 mK = 9,4 x10 6 m = 94000 A 308K
Longitud de onda que se encuentra en el infrarrojo lejano.
Figura.2. El cuerpo negro como una cavidad
Para estimar la energía total que el cuerpo emite por unidad de tiempo y de área, se debe evaluar el flujo de energía radiada por
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FÍSICA GENERAL
unidad de área. Esta cantidad, denominada radiancia RT y cuya unidad en el S. I. es el W/m2, se define como: ∞
RT = ∫ RT (v)dv 0
La radiancia coincide con el área encerrada bajo las curvas de la figura 1, y su valor depende fuertemente de la temperatura. El ritmo de emisión H de energía por radiación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta T, lo que constituye la ley de Stefan-Boltzman. Teniendo en cuenta que RT y H están relacionadas, siendo RT = H/A, donde A es el área de la superficie de emisión (en este caso A es la sección transversal del orificio de la cavidad), se puede escribir la ley de Stefan para la radiancia como:
RT = σ T 4 es decir, la radiancia RT o flujo de energía total que emite el cuerpo negro es también
proporcional a la cuarta potencia de la
temperatura absoluta (medida en K). Recuérdese que la constante σ es
la
denominada
constante
de
Stefan,
cuyo
valor
es
σ=5,67×10−8W /m2 K4. 2.
La energía radiada al espacio por el sol a través de su superficie proviene de la paulatina conversión de su masa (Δm) en energía (ΔE) según la celebrada ecuación de Einstein, ΔE=Δmc2, donde c es la rapidez de la luz. Suponiendo que su superficie se comporta como un cuerpo negro cuya temperatura es T ≈ 5700K y con una superficie de 6,1×1018m2, calcular la cantidad de masa perdida diariamente por el sol.
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FÍSICA GENERAL
La energía radiada en un tiempo Δt por un cuerpo de superficie S y temperatura T es, según la ley de Stefan:
ΔE = RT S Δt = σSΔt T4 Combinando esta ecuación con ΔE=Δmc2, se encuentra la siguiente expresión para la masa perdida en un intervalo de tiempo Δt:
ΔE σ S ΔtT 4 Δm = 2 = c c2 Substituyendo los valores correspondientes al sol y a un periodo de un día, se tiene que: Δm =
= (5,67 × 10 - 8 W/m 2 K 4 )(6,1 × 1018 m 2 )(86400 s/día)(5700 4 K 4 ) = 3,5 x1014 Kg 2 (3 × 108 m/s) .
Dicho de otro modo, el sol pierde del orden de 350000 millones de toneladas al día.
Teoría clásica de la radiación del cuerpo negro
Figura 3. El modelo de Jeans y Rayleygh
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FÍSICA GENERAL
Una manera de obtener un cuerpo negro para el estudio experimental de su radiación es teniendo una cavidad en un sólido (figura 2) que esté recubierta de pintura negra y que tenga un pequeño agujero. Cualquier radiación que llega al agujero e incide dentro de la cavidad se refleja en el interior, de tal forma que la probabilidad de que esa radiación vuelva a salir por el agujero es prácticamente nula. En estas circunstancias el agujero se puede considerar como la superficie de un cuerpo negro, pues cualquier radiación que llega a él es absorbida. Al encontrarse las paredes internas de la cavidad a una temperatura T, emiten una radiación térmica, una pequeña fracción de la cual escapa por el agujero. De esta forma el agujero actúa como un cuerpo negro emitiendo radiación térmica. Esa radiación no es sino una muestra de la existente en el interior de la cavidad, y por tanto es indiferente estudiar la radiación que emite el agujero o la que llena la cavidad. Este último punto de vista es el más adecuado, de manera que en vez de estudiar la cantidad RT (ν) o flujo de energía, se estudia la densidad espectral de energía ρT (ν) que hay dentro de la cavidad.
Teoría clásica de la radiación del cuerpo negro Durante mucho tiempo se trató de desarrollar un marco teórico clásico, que pudiera reproducir matemáticamente las curvas de la figura 1. Sin embargo, las predicciones basadas en las hipótesis clásicas fallaban totalmente. A principios del siglo XX, Jeans y Rayleigh hicieron diversos cálculos para evaluar la densidad espectral de energía ρT (ν) de la radiación en una cavidad (y por tanto, la radiación del cuerpo negro), y llegaron a resultados que estaban en franca contradicción con los experimentos (figura 3). Sus cálculos se basaban en los resultados clásicos conocidos de la radiación
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electromagnética, en la línea siguiente: supóngase una cavidad con paredes metálicas que es calentada hasta una temperatura uniforme T. En la formulación de la teoría de Jeans y Rayleigh no hace falta entrar en detalles de cómo emiten las paredes, sino sólo suponer que en el interior de la cavidad existe el equilibrio térmico, es decir, que la temperatura del interior es también T. En el equilibrio es necesario que las ondas electromagnéticas en la cavidad sean estacionarias, con nodos en las paredes de la cavidad. Es posible evaluar el número de ondas estacionarias con frecuencias comprendidas entre ν y ν+ dν utilizando argumentos geométricos sencillos6. Este número resulta ser: N (υ )dυ =
8πV 2 υ dυ c3
donde V es el volumen de la cavidad. Basándose en resultados de la teoría cinética de los gases , que es aplicable no sólo a moléculas de un gas, sino a cualquier ente físico, por ejemplo ondas electromagnéticas, que formen un sistema en equilibrio termodinámico, se puede evaluar la energía promedio de cada onda utilizando el principio de equipartición de la energía. El resultado (clásico) que se obtiene es que esta energía promedio depende solamente de T, y para nada de ν:
ε = k BT donde kB=1,381 J/K es la constante de Boltzman, Multiplicando la energía de cada onda por el número de ondas en el intervalo entre ν y ν + dν se obtiene la energía total que tienen todas las ondas cuya frecuencia está comprendida en dicho intervalo:
8πv 2 k B T ε total (ν )dv = ε N (v)dv = Vdv c3 de modo que dividendo por el volumen V se obtiene la densidad de energía en el citado intervalo de frecuencia:
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FÍSICA GENERAL
ρ T (v)dv = ε
ε N (v ) V
dv =
8πv 2 k B T dv c3
Que es la fórmula clásica de Rayleigh-Jeans para la radiación del cuerpo negro. La función ρT (ν) es la representada en la figura 3. Puede verse que sólo coincide con la curva
experimental para muy bajas frecuencias. A
medida que aumenta ν , ρT (ν) →∞ proporcionalmente a ν2. Si esto fuera cierto, el área bajo la función ρT (ν) seria infinita. La preedición de la teoría clásica seria entonces, que tanto la densidad de energía de la radiación en la cavidad, ρT, como la radiancia RT son infinitas, lo cual es imposible. La teoría clásica no puede explicar las características de la radiación del cuerpo negro y, en concreto, la forma de la función ρT (ν) mostrada en la figura 1.
Teoría de Planck de la radiación del cuerpo negro La expresión, que da el número de ondas en un intervalo entre ν y ν + dν es básicamente correcta. El único punto en el que el razonamiento clásico puede fallar es , la energía promedio. Admitir que no es valida equivale a asumir que el principio de equipartición de la energía no se cumple a altas frecuencias para la radiación electromagnética en una cavidad, lo que entra franca contradicción con las hipótesis clásicas. De la figura 3 se puede deducir que a bajas frecuencias la energía medida tiene el valor kT, pues la predicción clásica y la experiencia coinciden. Pero también se puede deducir que a altas frecuencias la energía promedio
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FÍSICA GENERAL
tiende a cero, lo que obligaría a la curva ρT (ν) a tender Saint`0oticamente a cero con ν. Todo parece indicar que no se puede admitir la ecuación clásica, donde
ε no depende de, sino que hay que admitir una
dependencia ε (ν ) , que será también por supuesto función de T.
Planck se dio cuenta de que todo se podía encajar si en vez de considerar la energía como una variable continua, era considerada como una variable discreta. Sea cual sea la dependencia de ε con ν debe verificarse que:
ε (v) → KT cuando ν→ 0 ( límite clásico ) ε → 0 cuando υ → ∞ (imposición exp erimental) Planck supuso que la energía total " de un oscilador sólo podría tomar determinados valores discretos y uniformemente distribuidos, es decir, supuso que " sólo podía tomar los valores
ε = 0, Δε, 2Δε, 3Δε, . . . A partir de consideraciones estadísticas (en las que no entraremos), Planck dedujo. Que Δε (el intervalo uniforme entre dos valores consecutivos de la energía) es función de la frecuencia, es decir:
Δε = f (v) y además supuso que la función f(ν) era lineal:
Δε = h ν
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FÍSICA GENERAL
donde h es una constante cuyo valor era, en principio, desconocido por Planck. Con el
tiempo, h ha resultado ser una de las constantes más
importantes de la Física y ha sido denominada, en su honor, constante de Planck. Su valor numérico se indicará más adelante. La ecuación anterior indica que la separación entre dos estados de energía de la radiación aumenta con la frecuencia ν de la misma. De este modo, para pequeños valores de ν se tiene que Δε→ 0, y el paso de un nivel de energía al inmediatamente superior es prácticamente continuo, es decir, no hay cuantización apreciable de la energía (limite clásico). Sin embargo, para frecuencias altas no se puede considerar que la energía varié de forma continua sino a saltos de altura hν. La figura 4 ilustra este resultado. Solo podemos tener una energía total en los niveles señalados, no entre dos niveles. Si tomamos ν más pequeño que en a) los niveles de energía se juntan más y en el límite ν→0 tienden a confundirse.
Figura 4. Dos espectros de energías discretos a) con ν pequeño, b) con ν grande
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FÍSICA GENERAL
El postulado de Planck era revolucionario. Hay que recordar que en la cavidad y en el equilibrio térmico, la radiación está en equilibrio con la materia. Esta absorbe y emite energía en cantidades iguales. La radiación que existe en la cavidad es la que emiten las cargas eléctricas de sus paredes que, debido a la agitación térmica, se comporta como un conjunto de osciladores armónicos. Clásicamente, una carga oscilando con frecuencia ν emite energía de forma proporcional al cuadrado de la frecuencia y de la amplitud. Por tanto, clásicamente, para una frecuencia dada ν basta ajustar la amplitud de la oscilación para obtener cualquier energía. Sin embargo, el postulado de Planck prohíbe todas la energías que no cumplan las relaciones, es decir, sólo admite energías ε=0, hν, 2hν, 3hν, . . . , nhν. A partir de las hipótesis Planck dedujo cuál debería ser el valor promedio de la energía en función de ν y T, es decir, la expresión “cuántica” que remplaza es:
hv
ε (v ) = e
hυ kT
−1
Se puede verificar fácilmente que esta expresión cumple que todos los requerimientos experimentales. Siguiendo el mismo razonamiento se obtiene la expresión correcta para la densidad espectral en la forma:
ρ T (υ )dv = La forma de función ρT(ν)
8π v 2 c3
hv e
hv kT
dv
−1
coincide extraordinaria bien con los datos
experimentales y el valor de la constante de Planck es: h = 6,62606876(52) × 10−34 J · s
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FÍSICA GENERAL
El ajuste es tan bueno de la ecuación anterior con los datos experimentales es una prueba de que la hipótesis de Planck debe ser acertada. Por otro lado, integrando la ecuación para todos los valores de ν se obtiene una expresión equivalente a la ley de Stefan: ∞
RT = ∫ ρ T (ν )dv = 0
2π 5 k B4 4 T 15c 2 h 3
Donde la constante de Stefan σ viene expresada en función de un conjunto de parámetros entre los que se encuentra la constante de Planck h:
σ=
2π 5 k B4 15c 2 h 3
El hecho de que pudiera explicarse de manera tan precisa la forma del espectro del cuerpo negro parecía indicar que la hipótesis de Planck era perfectamente correcta. Sin embargo ni el propio Planck entendía el significado físico de Δε =h ν. El primer intento en este sentido fue realizado por Einstein al introducir el concepto de fotón para explicar el efecto fotoeléctrico.
Efecto fotoeléctrico
Figura 5. Arreglo experimental para el estudio del efecto fotoeléctrico
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FÍSICA GENERAL
Ya se comentó en la introducción que la teoría clásica falló también para explicar las características de la emisión de electrones cuando determinados metales son iluminados con luz ultravioleta. Este fenómeno se denomina efecto fotoeléctrico. La figura 5 muestra un sencillo esquema experimental que permite estudiar las características del efecto fotoeléctrico. En principio, al estar el circuito abierto entre A y B, no se establece paso de corriente a través del galvanómetro ni siquiera cuando se establece una diferencia de potencial (ddp) entre ambos puntos. Supóngase que se consigue, de algún modo, comunicar a los electrones la suficiente energía para que puedan vencer las fuerzas eléctricas que los retienen en el metal y escapar del mismo. Debido a la diferencia de potencial entre A y B se establecerá un flujo de carga entre ambos electrodos. El circuito quedará cerrado y el galvanómetro acusará el paso de corriente incluso cuando no exista esa ddp mientras los electrones escapen con suficiente energía como para alcanzar el punto B. Si se invierte la polaridad de A y B, los electrones que puedan escapar de A se verán frenados poco a poco, reduciendo su energía cinética. Habrá un valor Vo de la ddp para el cual ningún electrón llegue a B. En tal situación el galvanómetro volverá a indicar cero, es decir, dejará de fluir corriente. Este valor Vo se denomina potencial de frenado. Una manera de comunicar energía a los electrones es iluminando el metal. Clásicamente, la energía que transporta la radiación electromagnética es absorbida por los electrones de modo que, eventualmente, algunos pueden escapar del metal, con lo que se produciría el efecto fotoeléctrico.
286
FÍSICA GENERAL
Sin embargo, la teoría clásica de la radiación electromagnética no puede explicar los siguientes hechos experimentales: 1.
La emisión de electrones sólo ocurre a partir de una frecuencia νo, denominada frecuencia de corte o umbral. Esta frecuencia es distinta para cada metal e independiente de la electricidad de la radiación. Sin embargo según la teoría clásica el efecto fotoeléctrico debería ocurrir para cualquier frecuencia de la radiación.
2.
La emisión de electrones se produce
prácticamente
de forma
instantánea, sin ningún retraso medible. Esto no tiene explicación en el marco de la teoría clásica: si se hace incidir sobre el metal un haz de luz muy débil de frecuencia mayor que Vo, la teoría clásica indica que la radiación incidente comunica su energía a los electrones de manera paulatina, con lo que debería existir un cierto retraso entre el instante en que incide la luz sobre el metal y el instante en que se emite el electrón. Pues bien, jamás se ha podido medir tal retraso. 3.
Finalmente, los experimentos muestran que la energía cinética máxima con la que escapan los electrones es independiente de la intensidad de la radiación (o en otras palabras, de la amplitud de la onda electromagnética). Sin embargo, en la teoría clásica el campo eléctrico E de la onda aumenta con la intensidad de la radiación, y dado que la fuerza aplicada al electrón es F=eE, también la energía cinética de los electrones que se emiten debería aumentar con la intensidad de la radiación.
Estos tres hechos experimentales pueden ser explicados si se supone que la radiación electromagnética está cuantizada. Es el sección anterior se ha
287
FÍSICA GENERAL
expuesto que Planck explicó la radiación del cuerpo negro suponiendo que los átomos de la cavidad se
comportan como osciladores armónicos
emisores de radiación electromagnética, cuya energía está cuantizada: E=hv. Sin embargo Planck restringió la cuantización al proceso de emisión y supuso que esta, una vez emitida, se comportaba “clásicamente”. Fue Einstein, en 1905, quien propuso que la propia radiación electromagnética está cuantizada en paquetes concentrados de energía, a los que posteriormente se denominó fotones, que viajan a la rapidez de la luz. Supongamos un átomo oscilando con frecuencia ν. Los únicos estados en los que puede estar son aquellos cuya energía es nhν, con n entero. Si ahora el átomo pasa a un estado de energía menor, por ejemplo el estado de energía (n - 1)hν, debe perder una cantidad de energía igual a hν, que es emitida en forma de radiación electromagnética: el fotón, un pulso o paquete de energía discreta, E=hν, al que Einstein supuso localizado inicialmente en un volumen de espacio pequeño y que se mantiene localizado mientras se aleja a la rapidez de la luz del oscilador que lo emitió. Einstein supuso que cuando un fotón incide sobre el metal es completamente ab-sorbido por un electrón individual del mismo. Para arrancar un electrón del metal, venciendo
las fuerzas eléctricas que lo
mantienen ligado al mismo, es necesaria una cierta energía. A la energía mínima necesaria para arrancar un electrón del metal se le denomina función trabajo ωo, y resulta ser un parámetro característico de cada metal. Un electrón que absorba un fotón de energía hν>ωo será capaz de abandonar el metal. La energía adicional se convierte en energía cinética K del electrón, y la energía cinética máxima que puede tener uno de ellos será
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FÍSICA GENERAL
K máx = hν - ωo Veamos que este modelo salva las tres objeciones que se imponían a la teoría clásica. o
La primera objeción es que se necesita una frecuencia mínima de la luz incidente para conseguir la emisión de fotoelectrones. Si la radiación incidente es de frecuencia, la energía transportada por cada fotón es hν. Mientras hν sea menor que ωo se emitirán fotoelectrones. Si se aumenta la frecuencia de la luz incidente se llegará a un valor v0 tal que hνo=ωo, para el que los electrones adquieren suficiente energía para escapar del metal. A esta frecuencia ν0 (del material, ya que depende de la naturaleza de éste a través de ωo). Si ν <νo, aunque la radiación incidente sea de gran intensidad (es decir, por muchos fotones que lleguen) no escaparán electrones del metal.
o
La segunda objeción es superable inmediatamente. Dado que la energía de la radiación es transportada en paquetes y cada uno de ellos es absorbido por un electrón
individual, prácticamente no
debe existir retraso en el proceso de foto emisión. o
La tercera objeción consistía en que la energía cinética máxima es independiente de la intensidad de la radiación incidente. Se deduce que para un metal dado (ω0 dado), Kmax depende exclusivamente de
ν, y en ningún caso de la intensidad de la radiación. Si la radiación incidente es de mayor intensidad se tienen más fotones incidiendo sobre el metal, con lo que se emiten más fotoelectrones y la intensidad de corriente que mide el galvanómetro de la figura 5 aumenta. Sin embargo, la energía cinética máxima de los electrones no cambia. Ahora bien, si invertimos la polaridad de las placas A y B
289
FÍSICA GENERAL
hasta llegar al potencial de frenado,
está claro que solo podrán
llegar a la placa B los electrones emitidos en A con energía cinética K superior a eνo (νo es la diferencia de potencial entre las placas, y por tanto eνo es la correspondiente diferencia de energía potencial). Mientras la frecuencia v no varíe Kmax tampoco lo hará, y por tanto no se detectarán fotoelectrones en la placa B.
El procedimiento descrito en el último punto es utilizado para determinar experimentalmente el valor de Kmax. La ecuación (1.16) proporciona la máxima energía cinética posible de un fotoelectrón, que es igual a eνo. Se puede reescribir la ecuación que describe el efecto fotoeléctrico V0 =
hv wo − e e
que indica una relación lineal entre ν0 y ν, con pendiente h/e. Si representamos gráficamente los valores experimentales para diferentes valores de la frecuencia de la radiación incidente ν (y sus correspondientes valores para el potencial de frenado Vo) y se obtiene la pendiente de la recta, es posible calcular un valor para la constante h utilizando un método totalmente independiente del seguido por Planck al explicar la radiación del cuerpo negro. El valor obtenido para h es el mismo (dentro del límite de error experimental) en ambos casos. Tan buen acuerdo no deja de ser sorprendente. Aunque el efecto fotoeléctrico se centra en la radiación visible y próxima al visible (Ultravioleta), actualmente se da por cierto que toda la radiación electromagnética está
cuantizada, denominándose fotones a dichos
cuantos.
290
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA 1.
La energía cinética máxima de un fotoelectrón es Kmax=2,4×10-19J cuando la longitud de onda de la radiación incidente es λ=3350 Å. Determinar: (a) La diferencia de potencial de frenado. (b) El trabajo de extracción (función trabajo) y la frecuencia umbral para el material del fotocátodo (potasio). a)
El potencial de frenado es aquel que compensa completamente la energía cinética de los fotoelectrones y les impide llegar al ánodo. Por tanto, se tiene que eV0=Kmax, de donde: V0 =
b)
K máx 2, 4 x10−19 = = 1,5V 1, 6 x10−19 C e
En primer lugar, conviene obtener el valor de h en eV · s:
h = 6, 626 x10−34 J .s =
1eV = 4,136 x10−15 eV .s −19 J 1, 602 x10
Entonces, despejando ω0 de la ecuación respectiva, y teniendo en cuenta que e V0 = K máx :
ω o = hν − K máx =
hc
λ
− K máx =
(4,136 x10 −15 eV .s ).(3x10 8 m / s ) − 1,5EV = 2,2eV 3350 x10 −10 m
Finalmente, la frecuencia umbral se obtiene a partir de la función de trabajo:
ν0 =
ωo h
=
2,2eV = 5,3x1014 Hz −15 4,136 x10 eV .s
291
FÍSICA GENERAL
EFECTO COMPTON: DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO
Figura 6: Esquema de un choque inelástico fotón en reposo.
Cuando se hace incidir una radiación electromagnética muy energética sobre un metal se observa un fenómeno distinto a la emisión fotoeléctrica: la radiación no es ab-sorbida por el metal, sino que por el contrario es dispersada por éste. A esta conclusión llegó Compton al hacer incidir rayos X sobre un blanco de grafito. Un aspecto muy interesante de este fenómeno es que la radiación dispersada no es de la misma frecuencia (o longitud de onda) que la incidente. Llamemos λ y λ´ a las longitudes de onda de las radiaciones incidente y dispersada, respectivamente. Se da la circunstancia de que
Δλ=λ´- λ resulta ser función del ángulo θ (medido respecto a la dirección del haz incidente) con que se observa la radiación dispersada (ver figura 6). Este desplazamiento de la longitud de onda de la radiación no puede ser explicado por la teoría clásica: en ella el vector campo eléctrico de la radiación incidente interactúa con los electrones del metal, haciéndolos oscilar con la misma frecuencia con la que oscila el campo. Estos electrones oscilantes radian a su vez ondas electromagnéticas (la radiación dispersada)
292
FÍSICA GENERAL
de esa frecuencia, y por tanto la teoría clásica predice que la Frecuencia y longitud de onda de la radiación dispersada tendrían que ser iguales que las de la radiación incidente: ν´= ν, y λ´=λ Para explicar el fenómeno, Compton postuló que el haz de rayos X podía modelarse como un chorro de fotones, cada uno con energía E=hν, que podían chocar (en el sentido clásico de choque entre partículas, como si fueran bolas de billar) con los electrones del metal. Los fotones dispersados tras el choque constituirían la “radiación dispersada”. Está claro que parte de la energía E del fotón se transfiere al electrón en el choque, de manera que la energía E´ del fotón dispersado es menor que E, E´λ. Por tanto, el desplazamiento de la longitud de onda Δλ=λ´-λ
es consecuencia de esta transferencia de
energía del:
Figura 7.Desplazamiento Compton de fotoelectrones de rayos X, para cuatro ángulos de dispersión θ
293
FÍSICA GENERAL
A partir de consideraciones relativistas, en las que no entraremos, se deduce que la cantidad de movimiento asociada al fotón debe ser:
p=
E hν h = = λ c c
Además, de la misma teoría de la relatividad se deduce que cualquier partícula que satisfaga p=E/c, debe verificar que su masa en reposo sea nula. El electrón puede considerarse inicialmente en reposo, ya que su energía cinética es muy pequeña frente a la energía del fotón E=hν cuando la frecuencia ν está en el rango de los rayos x. Compton consideró que el choque era perfectamente elástico con lo que debe conservarse no sólo la cantidad de movimiento sino también la energía cinética que en este caso coincide aproximadamente con la energía total. En esas condiciones se puede obtener una ecuación que relaciona la cantidad de movimiento del fotón antes (p) y después (p´) del choque en función del ángulo de dispersión θ (figura 6 y 7)
1 1 1 = + (1 − cos θ ) p ′ p m0 c
Donde mo es la masa en reposo del electrón. Con la ayuda de la ecuación anterior, esta ecuación puede reescribirse como
Δλ = λ ′ − λ =
h (1 − cos θ ) mo c
294
FÍSICA GENERAL
La constante:
λc =
h mc
tiene dimensiones de longitud, y se denomina longitud de onda Compton para el electrón. Δλ es el desplazamiento Compton, que, como se predijo, es función de θ. Como λ es conocido, es posible representarΔλ en función de (1-cos θ) como una recta de pendiente λc. La medida experimental de dicha pendiente permite una nueva evaluación indirecta de la constante de Planck h. Compton encontró para h un valor igual, dentro del margen de error experimental, a los deducidos por Planck y Einstein. Por tanto esta experiencia es otra confirmación más de la cuantización de la radiación electromagnética. La longitud de onda Compton para el electrón tiene un valor
λ.c=2,43×10.-12m=0,0243 Å. Como ejemplo, si se utilizara luz ultravioleta (λ≈4000 Å) la longitud de onda máxima de la luz dispersada se tendría para
θ=1800, y sería
λ´=λ+2λ.c ≈ 4000,048 Å. La diferencia Δλ sería
demasiado pequeña como para que la luz dispersada
pudiera ser
diferenciada de la incidente. En cambio, si se hacen incidir rayos X (λ≈0,7Å), el resultado es que para un ángulo θ=135 0, por ejemplo, se tiene λ´≈0,74Å, es decir, el aumento de la longitud de onda es de un 6 %, una diferencia más que detectable. Es por esto que la observación del efecto Compton debe realizarse con radiación muy energética. Experimentalmente se observa que en el haz dispersado existe también radiación con la misma longitud de onda λ que la radiación incidente. Esto es debido a que, en realidad, los electrones no están libres sino que se encuentran en el interior de una red metálica. Si un fotón choca elásticamente con un núcleo atómico, en vez de con un electrón, ocurre un
295
FÍSICA GENERAL
fenómeno similar al ya descrito. Se pueden aplicar las mismas leyes de conservación de la cantidad de movimiento y la energía, llegándose a una ecuación análoga al desplazamiento de Compton. Sin embargo en este caso, debe utilizarse mn (masa del núcleo en vez de m0 (masa del electrón), con lo que la constanteλc sería unas m0 /mn veces menor que para un electrón, Δλ se reducirá en un factor m0/ mn, y
λ´ será prácticamente
indistinguible de λ para ese fotón. El aspecto más interesante de este experimento es el hecho de que en el choque el Fotón se comporte como si fuera una partícula. Se puede argumentar que si la radiación electromagnética es un agregado de fotones y éstos se comportan como corpúsculos o partículas, la luz debe tener carácter corpuscular. Sin embargo, hay fenómenos que sólo pueden explicarse considerando el carácter ondulatorio de la luz (interferencia, difracción). Por tanto, no puede asignarse a las ondas electromagnéticas un carácter
exclusivamente
corpuscular
u
ondulatorio.
La
radiación
electromagnética tiene una naturaleza dual onda-corpúsculo. Hay otros fenómenos físicos en los que la radiación electromagnética se comporta como partícula. EJERCICIO
1.
Un fotón de frecuencia ν=2,5×1019 Hz sufre una dispersión Compton con un electrón al incidir sobre un trozo de grafito. La dirección del fotón dispersado forma un ángulo de 800 dirección de incidencia. Determinar: (a) El desplazamiento Compton. (b) La variación de energía que ha experimentado el fotón.
296
con la
FÍSICA GENERAL
(a)
La longitud de onda del fotón incidente es:
λ=
c
ν
=
3 x10 8 m / s = 1,2 x10 −11 m 19 −1 2,5 x10 s
Despejamos λ´ de la ecuación de la dispersión de Compton con λc= 2,43 x10 -12 m, y θ=80 0 :
λ ′ = λ + λc (1 − cos θ ) = 1,4 x10 −11 m Por tanto el desplazamiento Compton es:
Δλ = λ ′ − λ = 0,2 x10 −11 m
b)
La frecuencia del fotón tras ser dispersado es:
ν′=
3 x10 8 m / s c = = 2,14 x1019 s −1 λ ′ 1,4 x10 −11 m
De modo que la variación de energía que ha experimentado en el proceso
ΔE = h(ν ′ − ν ) = (4,136 x10 −15 eV .s )(−0,36 x10 −19 s −1 ) = −1.5 x10 4 eV
297
FÍSICA GENERAL
PROBLEMA 1.
Una trasmisora de radio de FM tiene una potencia de salida de 150kW y opera a una frecuencia de 99,7 Mhz ¿Cuántos fotones por segundo Rpta. 2,27x10 30 fotones/s
emite la trasmisora? 2.
Utilice la ley de desplazamiento de Wien para calcular la temperatura de la superpie de una estrella roja gigante que irradia con una longitud de onda pico de λ máx =650 nm.
3.
Rpta. 4,46x10 3 K
El ojo humano es más sensible a la luz que tiene una longitud de onda de λ=560 nm. ¿A que temperatura un cuerpo negro radiará con mayor intensidad a esta longitud de onda?
4.
Calcule la energía de un fotón de luz azul de longitud de onda 450nm. Rpta 4,42x10 -19 J = 1,00 eV
5.
La función de trabajo de un metal de sodio es 2,3 eV. ¿Cuál es la longitud de onda más grande de la luz que puede producir emisión de Rpta. 5,4x10 -7 m
fotoelectrones en el sodio? 6.
¿Qué diferencia de potencial se debe aplicar al fotoelectrón más rápido emitido por una superficie de níquel bajo la acción de luz ultravioleta de longitud de onda 200nm ¿La función de trabajo para el níquel es 5,01 eV.?
7.
Se ilumina potasio con luz ultravioleta de longitud de onda de 2500Å. Si la función de trabajo del potasio es de 2,21eV, ¿Cuál es la máxima energía cinética de los electrones emitidos?
298
Rpta.2,75 eV
FÍSICA GENERAL
8.
Cuando un metal de cesio se ilumina con luz de longitud de onda de 500nm, los fotoelectrones emitidos tienen una energía cinética máxima de 0,57eV. Encuentre : a) la función de trabajo del cesio y b) el potencial de frenado si la luz incidente tiene una longitud de onda de 600 nm.
9.
Rpta: 1,92 eV , 0,159V
Encuentre la longitud de onda de Compton para un protón (masa en Rpta. 1,32 x10 -5 A
reposo=938,3 Mev)
10. Un rayo x de longitud de onda de 0,300Å experimenta una dispersión de Compton de 60º. Encuentre la longitud de onda del fotón y la energía del electrón, después de la dispersión Rpta. 0,312Å , 1,59 keV 11. En la dispersión de Compton se detectan el fotón y el electrón dispersos. Se ha determinado que el electrón tiene una energía cinética de 75 keV y el fotón de 200 keV ¿Cual es la longitud de onda inicial del fotón?
Rpta 0,045Å
12. Después de que un fotón de rayos x de 0,80 nm se dispersa en un electrón libre, el electrón retrocede con una rapidez igual a 1,4x106 m/s a) ¿Cuál fue el desplazamiento de Compton en la longitud de onda del fotón? b) ¿A qué ángulo se disperso el fotón? 13. ¿Cuál es la energía máxima en electrón-volt, que se puede transferir a un electrón en un experimento Compton, si los cuantos incidentes son rayos X de longitud de onda de 0,50 Å? 14. En experimento Comptón, un electrón alcanza una energía cinética de 0,100MeV cuando un rayo x de energía 0,500 MeV lo golpe.
a)
Determine la longitud de onda del fotón una vez dispersado, si el electrón estaba inicialmente en repaso, b) encuentre el ángulo que hace el fotón dispersado con la dirección incidente. Rpta. 31x10-3Å, θ=42º
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FÍSICA GENERAL
15. Para la dispersión Compton, ¿cuál es la relación entre los ángulos de dispersión del fotón y el electrón.
300
Rpta. cot φ = (1 −
θ hν ) cot 2 2 mo c
FÍSICA GENERAL
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