08) CAPÍTULO 3 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

CAPÍTULO 3 CONVERSIÓN DE ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR

La energía es la capacidad de la materia para producir un efecto o trabajo. Energía y trabajo son conceptos que están íntimamente asociados. Estas dos cantidades son escalares, por lo que no tienen dirección asociada a ellas; en consecuencia, son más sencillas de tratar que a las cantidades vectoriales como la fuerza y la aceleración. La energía tiene gran importancia porque se conserva y es útil no sólo en el estudio del movimiento, sino en todas las áreas de la Física, así as í como en todas las demás ciencias. La velocidad, que es una cantidad vectorial, tiene dirección y sentido, además de magnitud. La energía sólo tiene magnitud y sentido. La energía de un sistema s istema de cuerpos es simplemente la suma de las energías (con sus sentidos) de cada uno de los cuerpos. La energía total de un sistema es la suma de las magnitudes (con sus sentidos o signos) de las diversas formas de energía (potencial mecánica, cinética mecánica, molecular, química, etc.) que posee el sistema. Uno de los objetivos de la Física es describir los tres tipos de propiedades que posee un cuerpo en movimiento: a) el momento lineal, b) la energía y c) el momento angular. Clasificamos a la energía en: energía almacenada y energía en transición. La energía almacenada es aquella que posee la materia cuando se encuentra en condiciones de equilibrio bajo un estado físico (fase) por ejemplo: la energía almacenada por la tensión superficial, por la posición de un cuerpo, por un campo magnético o por un resorte en condiciones de compresión. La energía en transición es aquella que se encuentra cambiando de un lugar a otro y de una forma a otra, permitiendo que su cantidad total permanezca igual. La energía se puede presentar en diversas formas, entre las que se encuentran la energía potencial, la cinética, la interna, la química, la térmica, la electromagnética, la nuclear, etc. Tradicionalmente, las energías potencial y cinética se han medido en términos de trabajo. En Ingeniería se puede analizar el concepto de energía conociendo sus transformaciones, así, por ejemplo, consideramos que la energía potencial de un kg m (o bien de una lbm ) de agua se transforma en energía cinética cuando cae desde un depósito hasta la planta o superficie de un terreno.

128

JOSÉ PEDRO AGUSTÍN VALERA NEGRETE

3.1 Fuerzas conservativas Es importante establecer la clasificación de las fuerzas en dos tipos: conservativas y no conservativas. Por definición, llamamos a una fuerza conservativa si el trabajo efectuado por la fuerza sobre un objeto que se mueve de un punto a otro depende sólo de las posiciones inicial y final, siendo independiente de la trayectoria particular tomada. Podemos dar la definición de una fuerza

conservativa de una manera equivalente: una fuerza es conservativa si el trabajo neto realizado por la fuerza sobre un objeto que se mueve alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero. Una segunda definición de fuerza conservativa corresponde al siguiente concepto: el trabajo efectuado por una fuerza conservativa es recuperable en el sentido de que si se hace trabajo positivo por un objeto sobre una parte de una trayectoria cerrada, una cantidad equivalente de trabajo negativo será hecho por el objeto durante su retorno. Por ejemplo, tenemos que la fuerza de gravedad es conservativa, ya que cuando un objeto se mueve de un sitio a otro, el trabajo realizado por la fuerza no depende de la trayectoria elegida , es decir, el trabajo efectuado por la gravedad sólo depende de las alturas inicial hi y final h f , medidas con respecto a la superficie terrestre, no así de la trayectoria seguida entre tales alturas. Si a cada altura se le asocia una energía potencial gravitatoria Ep = mgh , de modo que el trabajo efectuado por la gravedad se exprese como la diferencia entre las energías de posición o potenciales inicial y final, al considerar un cuerpo de masa m que se mueve mueve verticalmente verticalmente hacia arriba, en donde la única fuerza que actúa es la de gravedad, F = mg , siendo g una constante, dado que la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas, el trabajo queda definido por la expresión: W gravedad = − m g h f − hi = m g hi − m g h f = Ep i − Ep f

El signo negativo de − mg nos indica que la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas. En el caso de caída libre la fuerza y el desplazamiento tienen las mismas direcciones. Un segundo ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza de un resorte (fuerza elástica) actuando sobre un objeto unido a él, donde la fuerza del resorte está dada por F s = − k x (fuerza de restitución o restauradora de la ley de Hooke). El trabajo realizado por el resorte es: es : W s =

1 2

( kxi ) {

( xi ) − {

Fuerza inicial espacio

1 2

( kx f ) ( x f ) 1 2 3

1 2 3

Fuerza final espacio

=

1 1 1 1 k xi xi − k x f x f = k xi2 − k x f 2 2 2 2 2

donde las coordenadas inicial y final del objeto se miden desde su posición de equilibrio, x = 0 . Observamos que W s depende sólo de las coordenadas x (inicial y final del cuerpo) y es cero para cualquier trayectoria cerrada. Pero no todas las fuerzas son conservativas. Por ejemplo, la fuerza de fricción F es una fuerza no conservativa. El trabajo hecho al mover un objeto pesado sobre un piso a nivel es igual al producto de la

CONVERSIÓN DE ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR

129

fuerza de fricción (constante) y la distancia total recorrida, ya que la fuerza de fricción está dirigida precisamente en sentido contrario al del movimiento. Por consiguiente, el trabajo hecho al mover el objeto entre dos puntos depende de la longitud de la trayectoria; el trabajo hecho a lo largo de una línea recta es menor que si la trayectoria entre los dos puntos es curva. Generalmente la transformación de la energía mecánica en calorífica se debe a las fricciones de los mecanismos que se emplean para realizar algún trabajo; esas fricciones son de distintas formas, unas por deslizamiento y otras por rodadura. Por deslizamiento tenemos las fricciones que se registran cuando arrastramos por el suelo o sobre un plano un cuerpo, y por rodadura cuando empleamos un rodillo o un sistema formado por ruedas para moverlo. Las leyes de frotamiento para superficies sólidas están regidas por los experimentos de Jean Morin (matemático francés, 1583-1656) y Charles Coulomb (físico francés, 1736-1806) y son las siguientes: 1. El rozamiento es proporcional a la presión normal. 2. El rozamiento es independiente de la extensión de la superficie en contacto y de la velocidad ya establecido el movimiento. 3. El frotamiento es mayor en el instante de partida que durante el movimiento. De la primera ley descrita se obtiene el coeficiente de frotamiento, rozamiento o fricción, el cual se expresa como sigue:

Coeficient e de fricción =

Fuerza para vencer la fricción Peso del cuerpo

(adimensional)

w = peso del cuerpo P = fuerza aplicada N = fuerza normal ( perpendicular a la su perficie) µ = coeficient e de fricción (estático o cinético) F = µ N ( fuerza opuesta a la dirección del movimiento)

P

w

θ

w

F P

α

N

F N plano horizontal

plano inclinado

130


La demostración formal de la existencia de un sistema de fuerzas conservativas desde el punto de vista vectorial para el espacio ℜ 3 corresponde al curso de Cálculo Vectorial. Sin embargo, como referencia para el alumno se presenta en el apéndice 3.A de este capítulo.

3.2 Energía potencial gravitatoria, energía cinética y energía mecánica. Energía potencial elástica La energía es inherente a la materia. Por energía indicamos la capacidad de producir trabajo mecánico y puede presentarse en varias formas, las cuales se relacionan entre sí por el hecho de que se puede hacer la conversión de una forma de energía a otra. En nuestro curso analizaremos cuatro de estas formas de energía: energía potencial gravitatoria, energía cinética, energía mecánica y energía potencial elástica. 3.2.1 Energía potencial gravitatoria gravitatoria o gravitacional gravitacional ( Ep ) Es la energía de posición debida a la altura a la que se eleva un cuerpo con respecto a un plano de referencia. Se obtiene multiplicando el peso del cuerpo por la altura de elevación. Es decir, la energía

potencial gravitatoria Ep es la energía que un objeto de masa m posee en virtud de su posición por encima de la superficie terrestre, terrestre, en donde tal posición posición se mide por la altura h a la que se encuentra el objeto con respecto a un nivel de referencia cero arbitrario:

w

* Ep = máxima

Ep = w h Ep = m g h

h

* Ep = 0 El cambio de energía potencial gravitatoria es igual al trabajo (fuerza que se desplaza una distancia) necesario para hacer mover el cuerpo. En general, para un desplazamiento diferencial de altura dy tenemos: 2

2

Ep = ∫ mg dy = mg ∫ dy 1

1

los límites son desde la posición inicial (1) a la posición final (2).

Ep = mg [ y ] 12 = mg ( y 2 − y1 ) si consideramos que: h = y 2 − y1


131

entonces: Ep = m g h

w = mg

y como:

Ep = wh Las dimensiones de la energía potencial gravitatoria son:

[ F L ]

La unidad unidad en el SI de la energía energía potenci potencial al gravita gravitatoria toria es el Joule Joule ( J ).

1 Joule =1 N x 1 m = 1 N x m Las unidades que con mayor frecuencia se utilizan para designar a la energía potencial gravitatoria son:

g x cm, N x m, kg x m, lb x pie y lb x pulg La energía potencial gravitatoria es una cantidad escalar. Ejemplo 3.1: Si nos encontramos en un lugar en el que la aceleración de la gravedad tiene el valor de

g = 9.78 m s 2 (Ciudad de México) y elevamos un cuerpo con una masa de 60 kg m a la azotea de un edificio que se encuentra a una altura de 12 metros , habremos desarrollado un esfuerzo equivalente a la energía potencial siguiente: Datos:

Ecuaciones y constantes:

g Ciudad de México = 9.78

m s2

m = 60 kg m h = 12 m

m s2 kg x m g c = 9.81 m 2 kg x s Ep = w h g nivel del mar = 9.81

Ep = m g h Solución:

1) Calcular el valor de la energía potencial potencial aplicando la ecuación: Ep = m g h

Ep = 60 kg m x 9.78 = 7,041.6 J

kg x m m x 12 m = 7,041.6 m 2 x m = 7,041.6 N x m 2 s s

132


2) En caso de preferir utilizar la expresión Ep = wh , primero debemos calcular el peso del cuerpo en el lugar de la superficie terrestre que se nos indique, considerando la aceleración de la gravedad local.

w = mg

w = 60 kg m x 9.78

kg m x m m = = 586.8 N 586 . 8 s2 s2

∴ Ep = 586.8 N x 12 m = 7 ,041.6 J

3) El resultado anterior anterior nos indica unidades unidades de fuerza con las que que debemos familiarizarnos en el SI, sin embargo, se puede transformar el resultado obtenido a unidades que con mayor frecuencia utilizamos en la vida diaria ( kg o lb ) haciendo uso de la constante gravitacional g c :

w=

mg gc

m s 2 = 59.816 kg w= kg x m 9.81 m 2 kg x s

60 kg m x 9.78

3.2.2 Energía cinética ( Ec )

Antes de analizar a la energía cinética, es conveniente recordar algunos conceptos de caída libre de los cuerpos, estudiada ésta mediante el método de observación y experimentación por el físico italiano Galileo Galilei (15641642) y posteriormente por el matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727), quien expresó que todos los cuerpos que caen en el vacío desde la misma altura adquieren la misma velocidad.

Toda fuerza que acciona acciona continuamente continuamente sobre un un cuerpo, cuerpo, como como la gravedad g , produce produce un movimiento uniformemente variado. De las observaciones experimentales se llega a concluir que: un cuerpo que cae está animado de un movimiento uniformemente acelerado. Dicha aceleración es debida a la gravedad. Ya que el movimiento de la caída de los cuerpos es uniformemente acelerado, comparemos sus fórmulas correspondientes:

Fórmulas del movimiento uniformemente acelerado s=

1 2 a t 2

v = a t

Fórmulas de la caída libre de los cuerpos h=

1 2 g t 2

v = g t

Para distinguir las fórmulas de caída libre de los cuerpos de las del movimiento uniformemente acelerado en general, se sustituye el espacio s por h , que indica altura, y la aceleración a por la gravedad g .


133

Una tercera fórmula para la caída de los cuerpos la podemos desarrollar elevando al cuadrado la ecuación de velocidad:

v = g t elevada al cuadrado resulta: v 2 = g 2 t 2 dividiendo ambos miembros entre 2 g se obtiene:

v 2 g t 2 = 2g 2 el segundo miembro resultante es igual al correspondiente de la fórmula de altura, por lo tanto podemos escribir:

g t 2 h= 2

o

v2 h= 2g

v2 = 2 g h

de donde se obtiene:

que nos expresa la tercera fórmula de caída libre de los cuerpos. Ahora estamos en condiciones de entender mejor el concepto de energía cinética o de movimiento de un cuerpo, tanto para el movimiento uniformemente acelerado como para caída libre. La energía cinética es la energía producida por el movimiento de un cuerpo de masa rapidez o velocidad v y está dada por:

m

con una

w

1 Ec = m v 2 2

* Ec = 0 h

* Ec = máxima De igual forma que para la energía potencial, tenemos las dimensiones dimensiones de la energía cinética:

[ F L ]

Por lo tanto, tanto, la unida unidadd en el el SI de de la energí energíaa cinética cinética es el Joule ( J ).

1 mv2 2 2 1 1 1 m2 1 m ⎛ 1 ⎞ ⎛ m ⎞ Ec = ⎜ ⎟ 1 kg m ⎜ 1 ⎟ = kg m x 1 2 = kg m x 2 x 1 m = N x m = J 2 2 2 2 s s ⎝ 2 ⎠ ⎝ s ⎠

De la ecuación: Ec =

1 4 24 3

1 Newton

134


Sin embargo, la unidad anterior se puede transformar en las unidades descritas para la energía potencial gravitatoria aplicando el factor de proporcionalidad g c , por lo que tendremos la expresión:

m2 kg m x 2 m v2 s = kg x m = Ec = kg m x m 2 gc kg x s 2 m v2 ( kg x m , lb x pie Ec = 2 gc

entonces:

)

3.2.2.1 Demostración Consideremos la expresión vectorial de la segunda ley de Newton para la dinámica:

F = m a

F = m

o

d v dt

multiplicando escalarmente ambos miembros por el vector ds (diferencial de espacio):

F • ds = m

d v • ds dt

que por la propiedad conmutativa del producto escalar se puede escribir como:

F • ds = m

ds ds • d v = m d v • dt dt

o simplemente:

F • ds = m v • d v integrando entre los puntos o estados físicos (1) y (2): 2

∫1

2

∫1

2

∫1

F • ds =

2

∫1

F • ds = m

m v • d v 2

∫1

v • d v 2

⎡ 1 ⎤ F • ds = m ⎢ v 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦1


2

∫1

F • ds =

135

1 m ( v 22 − v12 ) 2

La integral que aparece en el primer miembro de la ecuación ha sido definida como el trabajo efectuado por la resultante F de las fuerzas que actúan sobre el sistema en estudio; el escalar 12 m v 2 define a la energía cinética del sistema, cuando éste se mueve con con una una velocidad velocidad v. Por lo tanto tenemos que: Ec =

1 m ( v 22 − v12 ) 2

Para un solo estado o punto en el espacio, tenemos la ecuación: Ec = Ejemplo 3.2: ¿Cuál es la energía cinética en N x

1 m v2 2

m y en kg x m, que tiene un martillo de 8 kg de peso

cuando se golpea con él, a una velocidad de 5 metros por cada segundo, en un lugar en donde la aceleración de la gravedad es g = 9.78 m s 2 ? Datos:


g Ciudad de México = 9.78

m s2

w = 8 kg v=5

m s

m s2 kg x m g c = 9.81 m 2 kg x s 1 Ec m v2 2 g nivel del mar = 9.81

Solución:

1) Obtener la masa del martillo martillo con la expresión: expresión: w =

mg gc

⇒

m=

w gc g

kg m x m kg x s 2 = 8.024 kg m m 9.78 2 s

8 kg x 9.81 m=

2) La energía cinética está dada dada por la ecuación: ecuación: Ec =

1 m v2 2

2 kg x m 1 1 m2 ⎛ m ⎞ Ec = x 8.024 kg m ⎜ 5 ⎟ = x 8.024 kg m x 25 2 = 100.3 m 2 x m 2 2 ⎝ s ⎠ s s = 100.3 N x m

136


m v2 3) Si aplicamos la constante gravitacional g c tenemos kilográmetros: Ec = 2 gc m2 8.024 kg m x 25 2 s = 10.224 kg x m Ec = kg m x m 2 x 9.81 kg x s 2 3.2.3 Energía mecánica ( Em )

Consideremos un sistema de fuerzas conservativas en donde la energía es transformada de potencial a cinética o viceversa. El principio de la conservación de la energía mecánica prevalece si sólo fuerzas conservativas están efectuando trabajo y la energía mecánica total de un sistema no aumenta ni disminuye en cualquier proceso, permanece constante, es decir, se conserva. Se define a la energía mecánica Em como la suma de las energías potencial gravitatoria y cinética, ya que siempre se considera constante en cualquier punto en donde se encuentre el cuerpo; cuando sólo efectúa trabajo la fuerza de gravitación es conservativa.

w

* (1) Em1 = Epmáx + 0

Em = Ep + Ec (const ante ) h

* (2) Em2 = Ep2 + Ec 2 * (3) Em3 = 0 + Ecmáx

Ver la demostración de fuerzas conservativas en el apéndice 3.A. 3.2.4 Energía potencial elástica ( Epelástica )

La energía potencial elástica es aquella asociada con materiales elásticos, es decir, es la energía que posee un objeto en virtud de su posición sobre un resorte. Para un resorte ideal cuya constante sea k , y se estire o comprima comprima una una cantidad cantidad x con respecto respecto a su longitud longitud sin deformar, deformar, la la energía energía potencial potencial elástica es:

Epelástica =

1 k x 2 2

La energía potencial elástica puede considerarse como la energía almacenada en el resorte deformado.


137

3.2.4.1 Demostración

Consideremos un resorte que tiene energía potencial en posición comprimida (o estirada) ya que cuando es liberado puede efectuar trabajo sobre un objeto. Igual que otros materiales elásticos un resorte es descrito por la ley ley de de Hooke Hooke,, siempr siempree que que el despla desplazam zamien iento to " x " no sea sea muy muy gran grande. de.

xi = 0 k m

Resorte sin deformar sobre una superficie horizontal sin fricción

x f k m

Un bloque de masa

m

F

k x f

se empuja contra el resorte, comprimiéndolo una distancia

k

x.

xi = 0 v m

El bloque se suelta desde el reposo y la energía potencial elástica almacenada en el resorte se transfiere al bloque en la forma de energía cinética.

Podemos considerar que el objeto se mueve desde la posición inicial xi hasta la posición final x f , y la fuerza del resorte F = − k x realiza trabajo W sobre el objeto. Recordemos que el signo negativo aparece porque la fuerza F está dirigida en sentido opuesto al desplazamiento x. Para hallar el cambio correspondiente en la energía potencial elástica del sistema del objeto y el resorte, sustituimos en la ecuación: x f

W = ∫ x F ( x ) dx i

y considerando que la energía potencial elástica es: Ep elástica = − W

138


ya que consideramos que al mover el objeto en un sentido, la fuerza del resorte actúa en sentido contrario y realiza trabajo negativo sobre el objeto, transfiriendo la energía cinética del objeto a la energía potencial elástica del resorte, entonces tenemos: x f

x f

x f

i

i

i

Ep elástica = − ∫ F ( x) dx = − ∫ (−k x ) dx = k ∫ x dx = k [ 12 x 2 ] xif x x x

Ep elástica =

x

1 2 1 2 k x − k x 2 f 2 i

Si consideramos que el objeto esté en xi = 0 y el resorte en su longitud relajada (posición no comprimida) la energía potencial elástica es cero, es decir, Ep i = 0 y la ecuación de energía es:

Epelástica =

1 2 k x − 0 = Ep f − 0 2 f

que nos queda simplemente como: Ep elástica =

1 2 k x 2

La unidad en el SI de la energía potencial elástica es el Joule (ver tema 3.3.1.1).

400 g m se encuentra sujeto a un resorte en posición vertical. La constante del resorte es k = 30 N m . Al inicio el cuerpo está sostenido de modo que el

Ejemplo 3.3: Un cuerpo que tiene una masa de

resorte no está estirado, y posteriormente se suelta a partir del reposo sufriendo un alargamiento. Si no existe resistencia del aire y g = 9.81 m s 2 ¿a qué distancia cae el cuerpo antes de llegar a su detención momentánea debida al resorte? Solución:

Observamos que al inicio el cuerpo se sostiene de modo que el resorte esté sin deformar, estirar ni comprimir. Una vez que se suelta a partir del reposo, reposo, el cuerpo cae una distancia distancia x antes de que el resorte la detenga momentáneamente. Como no existe resistencia del aire, entonces sólo actúan sobre el cuerpo las fuerzas conservativas de gravedad y del resorte, siendo válido el principio de conservación de la energía mecánica.

Em final = Eminicial

o

Em f = Emi


Resorte sin deformar

k

139

Resorte deformado k

Nivel cero para Ep

x

xi = hi = 0

x f = h f = − x

sustituyendo las expresiones de las energías potencial gravitatoria, cinética y elástica tenemos:

mgh f + 12 m v f 2 + 12 kx f 2 = mghi + 12 m v i2 + 12 kxi2 al principio el resorte está sin deformar y el cuerpo cae una distancia x , de modo que xi = 0 y x f = − x , por otra parte la posición más alta del cuerpo se toma como el nivel cero para medir la energía potencial gravitatoria hi = 0 y h f = − x . También las velocidades inicial y final son iguales a cero porque el cuerpo se suelta a partir del reposo y se detiene detiene después después de haber haber caído la distancia x . Por consiguiente el principio de conservación se reduce a:

mgh f + 12 kx 2f = 0 y sustituyendo los valores de las distancias recorridas:

− mgx + 12 k ( − x ) 2 = 0 − mgx + 12 kx 2 = 0 1 2

kx 2 = mgx

1 2

kx = mg

x =

2m g k

lo que representa que la energía potencial gravitatoria ( m g x ) se ha convertido completamente en energía potencial elástica ( 12 k x 2 ) cuando el cuerpo se detiene. Al despejar x de la ecuación se obtiene:

x =

2 x 0.4 kg m x 9.81 30

N m

m s 2 = 7.848 N = 0.2616 m N 30 m

140


3.3 Trabajo mecánico, potencia y eficiencia. Principio de la conservación de la energía 3.3.1 Trabajo Trabajo mecánico

( W )

Corresponde a la energía que produce un cuerpo al moverse con una fuerza aplicada en la dirección del desplazamiento por la magnitud de la distancia recorrida. Es decir, el trabajo es igual al producto de la fuerza aplicada ( F ) por la distancia recorrida ( x ).

Trabajo = Fuerza x dist ancia recorrida W = F x

dimensionalmente

[ F L ]

El trabajo W es energía transferida hacia o desde un objeto o sistema por medio de una fuerza que actúa sobre el mismo; el trabajo positivo significa energía que sale o produce el sistema y trabajo negativo significa energía que se agrega al sistema. El trabajo es energía en transición, esto es, sólo existe cuando una fuerza vence una resistencia (que puede ser únicamente la inercia) y sólo cuando una fuerza recorre una distancia. Cuando el punto de aplicación de la fuerza deja de moverse, no hay trabajo. Contrasta el concepto de trabajo con el de energía interna (ver tema 3.5.1). La energía interna es energía almacenada; el cuerpo la contiene. Por el contrario, un cuerpo nunca contiene trabajo. El cuerpo o el sistema puede tener capacidad para efectuar trabajo, o al contrario, el trabajo puede realizarse sobre un sistema, pero después de que está “dentro”, no es trabajo; puede haberse convertido en energía interna. De igual forma, el trabajo realizado sobre un cuerpo puede convertirse en energía cinética o viceversa. Podemos imaginar el trabajo como la energía que está disponible para convertirla en otra diferente. La teoría básica nos proporciona el trabajo ideal W ; en algunos temas del curso, se considera que este trabajo ideal es realizado por un cuerpo o sobre él, lo que significa que lo hace sin pérdidas debidas a rozamiento o fricción de ninguna clase. Debido al rozamiento inevitable, siempre hay una pérdida al convertir trabajo en energía cinética (de movimiento) y ésta, por ejemplo, a su vez en electricidad. De ahí que cuando se mide la producción real de trabajo de una máquina particular, la cantidad así determinada depende de la forma de medir; esto es, de dónde se fijen los límites del sistema.

3.3.1.1 Unidades para el trabajo Se define a la unidad de trabajo en el SI, como aquélla que se requiere para desplazar una masa de 1 kg m una distancia de 1 m , en donde la aceleración de la gravedad tiene un valor 1 m / s 2. Esto es equivalente a decir que la unidad de trabajo es una fuerza de 1 newton actuando a través de una distancia de 1 m; esta unidad es llamada Joule.


141

Cuando la aceleración de la gravedad tiene el valor de 9.80665 m / s2 , entonces la unidad de trabajo es una fuerza de 1 kg actuando a través de una distancia de 1 m , esta unidad es llamada kilogramo fuerza-metro o kilográmetro en el sistema absoluto. Como consecuencia de la definición de trabajo observamos que las unidades que con mayor frecuencia se utilizan son las siguientes:

W = Newton x m W = dina x cm W = kg x m W = lb x pie

SI cgs MKS Inglés (FPS)

( Joule, también llamado Julio ) ( erg o ergio ) ( kgm o kilográmetro ) ( sin especificar )

Ejemplo 3.4: ¿A cuántos ergs equivale un Joule?

Como sabemos: 1 Joule = 1 N x m

1 Joule = 1

1,000 g m x 100 cm kg m x m g x cm x 1 m = x 100 cm = 10,000,000 m 2 x cm 2 2 s s s 1 4 24 3

dina

7

= 10,000,000 dina x cm = 1 x 10 erg por lo tanto:

1 Joule = 1 x 10 7 erg

Ejemplo 3.5: ¿A cuántos Joules equivale un

1 kg x m = 1 kg x por lo tanto:

1 kg x m ?

9.80665 N x m = 9.80665 N x m = 9.80665 Joules 1 kg

1 kg x m = 9.80665 J

Ejemplo 3.6: ¿A cuántas

Si: 1 Joule = 1 N x m

lb x pie equivale un Joule?

142


1 Joule = 1

kg m x m x 1 m = s2

⎛ 2.2046 lbm ⎜⎜ 1 kg m x 1 kg m ⎝

⎞ ⎛ 1 pie ⎞ ⎟⎟ x ⎜⎜ 1 m x ⎟⎟ 0 . 3048 m ⎝ ⎠ ⎠

s2

x 1 m x

1 pie 0.3048 m

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ lbm x pie lbm x pie 1lb ⎜ ⎟ x 3.2808 pie = 7.2329 x 3.2808 pie = 7.2329 x 2 2 ⎜ ⎟ lb x pie s s 32.174 m 2 ⎟ ⎜ s ⎝ ⎠

por lo tanto:

1 Joule = 0.7375 lb x pie

Recordemos que el trabajo tiene las mismas unidades que la energía y es una cantidad escalar.

3.3.1.2 Trabajo efectuado en sistemas de movimiento rectilíneo Encontremos las expresiones para el trabajo al considerar un cuerpo que se traslada sin fricción a lo largo de un eje horizontal para los siguientes casos:

3.3.1.2.1 Sistema en movimiento rectilíneo, con fuerza constante paralela a la dirección del desplazamiento Observemos la siguiente figura:

F

F

A

A

x El cuerpo A se desplaza con movimiento rectilíneo bajo la acción de un sistema de fuerzas que tiene como resultante a la fuerza F de magnitud, dirección y sentido constantes; siendo además la dirección de la fuerza paralela a la dirección del desplazamiento. El trabajo está dado por el producto de la fuerza que actúa sobre el sistema por la distancia que recorre el mismo, teniendo como expresión: W = F x

( kg x m ,

lb x pie )

el signo es positivo si la fuerza y el desplazamiento son del mismo sentido, y negativo si la fuerza y el desplazamiento son de sentidos opuestos. Observación: Si consideramos al vector

F y a la distancia escalar x la expresión vectorial es de la

forma: W = F x


143

3.3.1.2.2 Sistema en movimiento rectilíneo, con fuerza de magnitud y dirección constante, formando un ángulo θ con la dirección del desplazamiento Cuando el sistema se desplaza una distancia x como se muestra en la figura:

F θ

F θ

A

A

x El trabajo es igual al producto de la proyección de la fuerza sobre el eje del desplazamiento por la distancia recorrida. W = ( F cos θ ) x

3.3.1.2.3 Sistema en movimiento rectilíneo, con fuerza de magnitud variable, formando un ángulo variable con la dirección del desplazamiento Como la fuerza y el ángulo ángulo varían, podemos podemos encontrar encontrar el trabajo trabajo dividiendo dividiendo el desplazamiento desplazamiento en n partes (incrementos) llamados celdas, cada una con una amplitud ∆ xi que también es variable. θ 1

F 1

θ 2

F 2

θ 3

F 3

∆ x2

∆ x1

θ n

∆ x3

∆ xi

F n

∆ xn

x2

x1 El valor del trabajo realizado al desplazarse el sistema de x1 a x 2 es: W = F 1 cos θ 1 ∆ x1 + F 2 cos θ 2 ∆ x 2 + ... + F n cos θ n ∆ x n

de tal forma que: W =

n

F i cos θ i ∆ x i ∑ i 1 =

Entre más pequeña sea la amplitud de las celdas se tendrá una mayor aproximación, de manera que el valor del trabajo cuando ∆ xi → 0 y n → ∞ es: W = lím

∆ x →0

n

F i cos θ i ∆ xi ∑ i 1 =

144


que puede expresarse como: W =

x2

∫ x

F cos θ dx

1

3.3.1.2.4 Sistema en movimiento no rectilíneo con fuerza variable en magnitud y dirección Consideremos ahora un sistema en el espacio de 3 dimensiones que recorre la trayectoria comprendida entre los puntos o estados físicos (1) y (2) y dividamos la trayectoria en n intervalos ∆ s , como se muestra en la figura: z

trayectori a " s "

2 F

1 O

∆s

y

x Sistema con movimiento no rectilíneo en el espacio de 3 dimensiones

Para cada intervalo ∆ s el trabajo será aproximadamente igual a la proyección de la fuerza variable F sobre dicho intervalo por la magnitud del intervalo, éste se representa en forma vectorial como el producto escalar: W = F • ∆ s La aproximación será mayor mientras menor sea el valor del intervalo ∆ s , de manera que el trabajo total hecho sobre el sistema al recorrer la trayectoria s será: W = lím

n

∆ s→0

F i • ∆ s ∑ i 1 =

es decir: W =

∫s

F • ds


145

en este caso, el trabajo es la integral de línea a lo largo de la trayectoria s correspondiente al producto escalar del vector fuerza F por el vector de desplazamiento ds . Siguiendo el mismo criterio de que el trabajo hecho por el sistema es positivo y el trabajo hecho sobre el sistema s istema es negativo.

80 lb es empujado 25 pies con una velocidad constante sobre una superficie horizontal por una fuerza de magnitud P ( lb ) constante, cuya dirección forma un ángulo de 30° con la horizontal, como se muestra en la figura. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es µ = 0.25 . ¿Cuál es el valor del trabajo realizado por la fuerza?

Ejemplo 3.7: Un bloque que pesa

P 30°

P

w

30°

w

F = µ N

N

∆s

Datos:

Ecuación:

w = 80 lb ∆ s = 25 pies θ = 30° µ = 0.25

W = P cos θ ( ∆ s )

Solución:

1) Como la fuerza es constante en el intervalo ∆ s : W = P ( lb ) cos 30° ( 25 pies ) = 21.65 P ( lb x pie )

ecuación (1)

donde la magnitud P se puede puede calcular considerando el equilibrio del sistema de fuerzas que obra sobre el bloque, ya que la aceleración es nula. 2) Efectuando la suma de fuerzas con respecto al eje x :

∑ F x = 0

∴ 0.866 P − 0.25 N = 0 1 4 24 3

P cos 30°

1 4 2 4 3

µ N

ecuación (2)

146


3) Efectuando la suma de fuerzas con respecto al eje y :

∑ F y = 0

∴ N − 0.5 P − 80 = 0 1 2 3

P sen 30°

N = 0.5 P + 80

ecuación (3)

4) Sustituyendo la ecuación (3) en (2):

0.866 P − 0.25 ( 0.5 P + 80 ) = 0 14 4 244 3

N

0.866 P − 0.125 P = 20 0.741 P = 20 P=

20 = 26.99 lb 0.741

5) Valor que sustituido en la ecuación (1) nos permite obtener: obtener:

W = 21.65 P ( lb x pie) = 21.65 ( 26.99 ) lb x pie = 584.33 lb x pie 3.3.1.2.5 Relación entre el trabajo producido por el desplazamiento de un cuerpo y la compresión o expansión de un fluido El trabajo hecho a una frontera móvil de un sistema simple compresible (que realiza trabajo mediante un cambio de volumen) para un proceso en cuasiequilibrio (variación de equilibrio diferencial) se representa mediante la siguiente figura, en la que se considera como un sistema el gas contenido en el cilindro.

topes F

pesas

d x

pistón de área A gas a la presión P

frontera Sistema cerrado realizando un proceso en cuasiequilibrio


147

Al quitar quitar las pesas pesas el pistón se mueve hacia arriba una distancia dx , pudiendo pudiendo calcular el trabajo realizado por el sistema durante el proceso mediante la expresión: F

W 2 =

1

F1

1

dx F2

2

Si la ecuación de presión se define como: P =

∫ x

dW =

1

x2

∫ x

F dx

1

x

x2

x1

x2

F A

⇒

F = PA

Por lo tanto: W = P A x = P A x = P V {

Volumen

Cuando consideramos un sistema formado por un cilindro y un émbolo o pistón que se desplaza desde el volumen inicial V 1 hasta el volumen final V 2 , la ecuación de trabajo estará expresada como: P P1

W 2 =

1

1

V 2

∫V

1

dW =

V 2

∫V

P dV

1

dV P2

2 V1

V

V2

desplazamiento de un émbolo o pistón

PMS

Entonces:

PMI

x2

V 2

1

1

1W 2 = ∫ x F dx = ∫ V P dV

148


Es posible pasar del estado (1) al estado (2) a lo largo de diferentes trayectorias A , B o C de procesos en cuasiequilibrio. P P1

1

trayectori a A trayectori a B trayectori a C

P2

2 V2

V1

V

Procesos en cuasiequilibrio entre dos estados dados, que indican el trabajo como una función de trayectoria

Debido a que el proceso puede ser identificado por cualquiera de las curvas seleccionadas, el trabajo está representado por un escalar (área bajo la curva). Es evidente que la cantidad de trabajo referido a cada proceso es una función no solamente de los estados inicial y final, sino que depende de la trayectoria que se siga para pasar de un estado a otro. Por esta razón se dice que el trabajo es una función de trayectoria y por lo tanto dW es una diferencial inexacta. Para el caso de los gases y cuando el estudio lo realicemos con expresiones diferenciales, observaremos que si se expanden la diferencial de volumen es positiva y el trabajo es positivo, y cuando la diferencial de volumen es negativa los gases se comprimen y el trabajo es negativo.

P V 1.3 = const ante . El volumen inicial del gas es 1.2 pie 3 y la presión inicial es de 240 psia . La presión final es de 20 psia . Calcúlese

Ejemplo 3.8: Un gas se expande en un cilindro de acuerdo a la relación

el trabajo hecho sobre la cara del pistón por las fuerzas de presión del gas. Datos:

V 1 = 1.2 pie 3 P1 = 240 psia P2 = 20 psia W = ?

Fórmulas:

PV 1.3 = C W = ∫

V 2 V 1

P dV

Solución:

1) De la relación dada en el problema, P V 1.3 = C ( C = const ante ) se obtiene: C P = 1.3 = C V −1.3 V


W = ∫

V 2

V 1

=

P dV = ∫

V 2

V 1

C V −1.3 dV = C ∫

V 2

V 1

V

⎡ V −0.3 ⎤ 2 V C −1.3 [ V dV = C ⎢ V −0.3 ]V 12 ⎥ = ⎣ − 0.3 ⎦ V 1 − 0.3

C [ V 2−0.3 − V 1−03 ] − 0.3

2) Hallemos la ecuación simplificada simplificada de trabajo de la siguiente forma: Como P V 1.3 = C para los estados (1) y (2) tenemos: C = P1 V 11.3 = P2 V 21.3 sustituyendo en: W =

P V 1.3 V 2−0.3 ) P1 V 11.3 V 1−0.3 ) P2 V 2 − P1 V 1 C ( − = V 2− 0.3 − V 1−0.3 ) = 2 2 − 0.3 − 0.3 − 0.3 − 0.3

3) Hallemos V 2 de la expresión P1 V 11.3 = P2 V 21.3 : 1 ⎞ 1.3

⎛ P V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠

1 1 ⎞ .3

⎛ lb ⎜ 240 ⎟ pul g 2 ⎟ 3 ⎜ V 2 = 1.2 pies ⎜ lb ⎟⎟ ⎜ 20 ⎜ pul g 2 ⎠⎟ ⎝

= 1.2 pies 3 ( 12 ) 0.769 = 1.2 pies 3 x 6.763 = 8.1156 pies 3

4) Introduciendo este valor de V 2 en la ecuación de trabajo, se obtiene: 144 pul g 2 144 pul g 2 lb lb 3 20 x x 8.1156 pies − 240 x x 1.2 pies 3 2 2 2 2 pul g 1 pie pul g 1 pie W = − 0.3 =

− 18 ,099.072 23 ,372.928 − 41 ,472 lb x pie = lb x pie = 60 ,330.24 lb x pie − 0.3 − 0.3

Ejemplo 3.9: Transformar el resultado del problema anterior a unidades de Joules o Julios.

W = 60,330.24 lb x pie W = 60,330.24 lb x pie x W = 81,825.604 Joules

1 kg 9.81 N 0.3048 m = 81,825.604 N x m x x 2.2046 lb 1 kg 1 pie

149

150


3.3.2 Potencia Potencia W

Cuando se considera el tiempo que tarda una fuerza ( F ) en efectuar un trabajo, se tiene un nuevo parámetro llamado potencia, es decir, es el valor de hacer trabajo en razón del tiempo requerido para realizarlo. Lo anterior se puede representar por la siguiente expresión:

Potencia =

Trabajo tiempo

es decir:

W

W t

En el sistema internacional SI, la unidad derivada para indicar la potencia es el " watt ", que representa la potencia potencia equiva equivalente lente al trabajo trabajo de un Joule por cada cada segundo segundo,, y el kilowatt kilowatt ( kw), que correspond correspondee a 1,000 1,000 watt.

1 watt 1

entonces: 1 kw

Joule segundo

1,000 watt

También se utiliza en el sistema inglés el hp (horse power o caballo potencia) como la potencia requerida para levantar verticalmente 550 lb una distancia de un pie en un tiempo de un segundo, o 33,000 lb una distancia de un pie en un minuto, es decir:

1 hp = 550

Ejemplo 3.10: ¿A cuántos watt equivale un Fórmula: •

W =

W t

lb x pie lb x pie = 33,000 s minuto hp ?

Equivalencias:

lb x pie s Joule 1 watt = 1 s

1 hp = 550

Solución:

1 hp = 550

lb x pie 1 kg 9.80665 N 0.3048 m N x m Joule = 745.7 = 745.7 x x x s 2.2046 lb 1 kg 1 pie s s

en la práctica se considera la equivalencia de:

1 hp = 746 watt

CONVERSIÓN DE ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR Ejemplo 3.11: ¿A cuántos Fórmula: •

W =

151

hp equivale un kw (kilowatt)? Equivalencias:

W t

1 kw = 1,000 watt 1 hp = 745.7 watt

por lo tanto: 1 kw = 1,000 watt x

1 hp = 1.341 hp 745.7 watt

1 kw = 1.341 hp

Ejemplo 3.12: ¿A cuantos Fórmula: •

W =

W t

por lo tanto: 1 hp = 550

kg x m equivale un hp ? s Equivalencia:

1 hp = 550

lb x pie s

lb x pie 1 kg 0.3048 m kg x m = 76.041 x x s 2.2046 lb 1 pie s

en la práctica se considera la equivalencia de:

1 hp = 76

kg x m s

450 Newton , formando un ángulo de 35° con la horizontal. El vagón se mueve con una velocidad de 8 km h , se

Ejemplo 3.13: Dos caballos jalan un vagón; cada uno de ellos aplica una fuerza de

pregunta: a) ¿Qué cantidad de trabajo trabajo realiza cada caballo caballo en 15 minutos? minutos? b) ¿Cuál es el trabajo trabajo total en Joule? c) ¿Cuál es la potencia desarrollada por los 2 caballos en kw ? Datos:

F = 450 N θ = 35°

Ecuaciones:

x t W = F x

v=

152


km v=8 h t = 15 minutos = 900 s

•

W =

W t

•

W = ? (kw) Solución:

F = 450 N

35°

vagón

Movimiento de un vagón

m minutos 1h km km m v=8 = 0.133 = 133 x h 60 min min min

1) Transformar la velocidad velocidad a unidades unidades de

2) La fuerza horizontal horizontal por caballo caballo es:

F x = 450 N x cos 35° = 368.618 N = 368.618

kg m x m s2

3) De la expresión de velocidad velocidad hallar el desplazamiento del vagón: vagón: v =

x = 133

m x 15 min = 1,995 m min

4) Hallar el trabajo mecánico mecánico realizado por cada cada caballo: W = F x

W = 368.618 N x 1,995 m = 735,392.91 Joules 5) El trabajo toral realizado por los dos dos caballos es:

W total = 735,392.91 Joules x 2 = 1,470,785.82 Joules

x t

⇒

x = v t

CONVERSIÓN DE ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR •

6) De la expresión expresión de potencia: W = •

W = 1,470,785.82 Joules x

3.3.3 Eficiencia Eficiencia o rendimiento rendimiento

153

W t

1 = 1,634.2 watt 900 s

( η )

La eficiencia de una máquina se define como la relación del trabajo de salida entre el trabajo de entrada. Se denota por el símbolo η (eta).

Eficiencia =

trabajo de retiro o salida trabajo de suministro o entrada

η =

es decir:

W R W S

W R = trabajo de retiro W S = trabajo suministrado

siendo:

La eficiencia siempre es un número comprendido entre 0 y 1 y es una cantidad adimensional. En forma práctica es común expresar esta cantidad decimal como un porcentaje, multiplicándolo por 100. Otra ecuación de utilidad para hallar la eficiencia se obtiene de la definición de potencia como trabajo por unidad de tiempo. Podemos escribir:

W W = t •

⇒

•

W = W t •

La eficiencia en términos de una potencia de entrada o de suministro es W S y una potencia de salida o de •

retiro W R está dada por: •

η =

•

•

W R W R t W R = • = • W S W W S S t

es decir:

η =

W R •

W S

La eficiencia de una máquina térmica, llamada también eficiencia de conversión de energía, es la relación entre el trabajo producido y la entrada de energía en un proceso cíclico. Según la definición, la eficiencia de una máquina térmica es la relación del trabajo efectuado (o trabajo de retiro para máquinas de calor) entre el trabajo recibido (o trabajo suministrado para máquinas de calor) y es una cantidad adimensional.

154


Si la máquina fuera perfecta la relación sería 1, es decir, 100 % de rendimiento, pero generalmente parte de la energía que se le suministra se gasta en vencer ciertas fricciones de los mecanismos que la componen, de ahí que el trabajo realizado por la máquina sea inferior al que se le suministra. Las máquinas de más alto rendimiento son las eléctricas, con las cuales se pueden alcanzar valores de 80 % a 99 % . En las empresas de manufactura se acostumbra indicar al rendimiento de producción como: η =

producto terminado insumos (materia prima )

También podemos definir a la eficiencia como la relación de la energía obtenida (que se transforma de una forma a otra) entre la energía suministrada de la siguiente manera: η =

energía obtenida energía suministrada

Ejemplo 3.14: El fabricante de un vehículo automotor que utiliza como combustible gasolina, indica en el

manual de operación que consume en promedio, bajo condiciones ideales de diseño (velocidad y peso), al nivel del mar, una cantidad de combustible de 1 litro por cada 14.7 km recorridos. En la ciudad de México, observamos que por cada 12.8 km recorridos consume una cantidad de combustible de 1 litro. ¿Cuál es el rendimiento del vehículo en la Ciudad de México, en comparación con las condiciones al nivel del mar? Solución: Si consideramos un consumo de combustible de

1 litro en ambos casos:

1) En el nivel del mar (en condiciones de de diseño ideales) el consumo es:

Consumo ideal = 14.7

km y le asignamos el valor de la eficiencia η = 100 % litro

2) En la Ciudad de México México (en condiciones condiciones no ideales) el consumo consumo es:

Consumo no ideal = 12.8

km y le asignamos el valor de la eficiencia η = x % litro

de la expresión de eficiencia: η =

energía obtenida energía suministrada

km litro = 0.8707 η = km 14.7 litro que también se puede indicar en porcentaje como: η = 87.07 %

12.8


155

3.3.4 Principio Principio de la conservació conservación n de la energía energía

El principio de la conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se transforma de una forma a otra. Es un principio basado en observaciones físicas y no está sujeta a demostración matemática. El físico americano Benjamín Thompson, conde de Rumford (1753-1814), descubrió la equivalencia entre el trabajo y el calor (ver tema 3.4.1) en el curso de la fabricación de un cañón (1797) al taladrar metal macizo sumergido en agua. Se intrigó por la ebullición del agua debido al trabajo mecánico del taladro, sin haber añadido calor al agua. Otros experimentadores descubrieron posteriormente más evidencias, hasta que unos cincuenta años después de los experimentos de Rumford sobre el cañón, James Prescott Joule (1818-1889), científico inglés, asistido por el también físico inglés William Thomson (lord Kelvin, 18241907), demostró concluyentemente que el trabajo mecánico y el calor son equivalentes. En el principio de conservación de la energía se apoya la “primera ley de la termodinámica”. En ella se establece que cuando se produce una transferencia de energía, ésta se conserva (ver tema 3.9). Como hemos dicho, el trabajo y el calor son dos formas de energía fundamentales, por lo cual resulta esencial comprenderlas perfectamente.

3.4 Calor, calor específico, calorimetría, ley cero de la termodinámica 3.4.1 Calor

En la antigüedad se tenía la creencia de que el calor era una sustancia y así lo señalaron los sabios de la Grecia antigua con los cuatro elementos aristotélicos: aire, agua, tierra y fuego, con los cuales consideraban constituidos todos los cuerpos; la dilatación de dichos cuerpos la explicaban por la adición de esta sustancia a la que llamaron “calórico”. Cuando se analiza el concepto de equilibrio térmico, se observa que si dos cuerpos con diferente temperatura se ponen en contacto, alcanzan luego de cierto tiempo una misma temperatura. A principios del siglo XIX, los científicos explicaban este hecho suponiendo que todos los cuerpos contenían en su interior una sustancia fluida, invisible y de masa nula, llamada calórico. Cuanto mayor fuese la temperatura de un cuerpo, tanto mayor sería la cantidad de calor en su interior. De acuerdo con este modelo, cuando dos cuerpos con distintas temperaturas se ponen en contacto, se produce una trasmisión de calórico del cuerpo más caliente al más frío, ocasionando una disminución en la temperatura del primero y un incremento en la del segundo. Una vez que ambos cuerpos hubiesen alcanzado la misma temperatura, el flujo de calórico se interrumpiría y permanecería, a partir de ese momento, en equilibrio térmico. La interpretación de calor bajo la hipótesis de la teoría del calórico fue introducida por el alemán Wolf en 1721, y dio lugar a que en dicha época se le considerara ponderable, por el hecho de que al ser calentados los metales hasta convertirlos en cenizas, éstas resultaban disminuidas en peso, ligando el hecho físico con la teoría del flogisto (principio que suponían los antiguos que se desprendía de los cuerpos en la combustión) introducida en la Química de aquellos tiempos, hasta que Antonio Lorenzo Lavoisier, químico francés (1743-1794), demostró su incorrección. La teoría del calórico se mantuvo durante algunos años, porque suministraba la explicación en forma sencilla de los fenómenos térmicos más comunes; pero no pudo explicar el fenómeno de la obtención del calor por medio del frotamiento, es decir, por el trabajo

156


mecánico. Hacia fines del siglo XVIII, el conde de Rumford, basado en hechos experimentales, indicó que no encontraba una explicación en la teoría del calórico, pues notó en el arsenal militar de Munich, Alemania, que en el barrenado de los tubos de los cañones se calentaban intensamente éstos y las virutas. Cuando el barrenado se efectuaba dentro del agua ésta no se enfriaba, sino al contrario, llegaba pronto a la ebullición, por lo que quedó descartado el suministro del calor por el medio que lo rodea. Rumford, de sus observaciones, consideró que el calor tenía su origen en el movimiento. En favor de esta apreciación concurre el experimento del químico H. Davy, quien por medio de un mecanismo de relojería hizo frotar dos trozos de hielo en el vacío y a una temperatura de –2° C ; ambos se fundieron, suministrando agua a la temperatura de +2° C ; hecho inexplicable con la teoría del calórico. De los experimentos anteriores se concluyó que el calor es solamente movimiento; de la controversia entre estas dos teorías (de Wolf y de Rumford) surgió la que en la actualidad se acepta y que supone que el calor tiene su origen en la energía cinética de las moléculas ; el aumento de esta energía se manifiesta con la elevación de la temperatura del cuerpo. La divulgación de estas ideas dio lugar a muchas discusiones entre los científicos del siglo XIX. Algunos efectuaron experimentos que confirmaron las suposiciones de Rumford. Entre éstos debe destacarse a James P. Joule, cuyos famosos experimentos acabaron por establecer, definitivamente, que el calor es una forma de energía. Actualmente se considera que cuando aumenta la temperatura de un cuerpo, la energía que posee en su interior, denominada energía interna, también aumenta. Si este cuerpo se pone en contacto con otro de más baja temperatura, habrá una trasmisión o transferencia de energía del primero al segundo, energía que se denomina calor. Por lo tanto el concepto moderno del calor es el siguiente: Calor es la energía en transición (en movimiento) que se trasmite de un cuerpo o sistema a otro, en virtud únicamente de una diferencia de temperaturas entre ellos.

Debemos observar que el término calor sólo debe emplearse para designar a la energía en transición, es decir, la que se transfiere de un cuerpo a otro debido a una diferencia de temperatura. La transferencia de calor hacia un cuerpo origina un aumento en la energía de agitación de sus moléculas y átomos, o sea que ocasiona un aumento en la energía interna del cuerpo que, generalmente, produce una elevación de su temperatura. Por lo tanto, no se puede decir que “un cuerpo tiene calor” o que “la temperatura es una medida del calor en un cuerpo”. En realidad, lo que un sistema material posee es energía interna, y cuanto mayor sea su temperatura, tanto mayor será también dicha energía interna. Naturalmente, si un cuerpo se encuentra a mayor temperatura que otro puede trasmitir parte de su energía interna a este último. Esta energía transferida es el calor que pasa de un cuerpo a otro. Es importante observar, incluso, que la energía interna de un cuerpo puede aumentar sin que el cuerpo reciba calor, siempre que reciba alguna otra forma de energía. Cuando, por ejemplo, agitamos una botella con agua, su temperatura se eleva, a pesar de que el agua no haya recibido calor. El aumento de energía interna, en este caso, se produjo debido a la energía mecánica transferida al agua cuando se efectúa el trabajo de agitar la botella. El estudio del calor, su trasmisión y transformación en energía mecánica se denomina termodinámica, un término que procede de las raíces griegas que significan: “movimiento de calor”. La ciencia de la termodinámica se desarrolló a principios del siglo XVIII, antes de que se entendieran las teorías atómica y molecular de la materia. La termodinámica es una poderosa rama de la Física que prescinde del todo de los detalles moleculares de un sistema. Está basada en la conservación de la energía y en el hecho de que


157

el calor fluye de lo caliente a lo frío y no en forma inversa. La termodinámica proporciona la teoría básica de las máquinas térmicas, desde las turbinas de vapor hasta los reactores de fusión y la teoría básica de los refrigeradores y bombas de calor. El símbolo con el que representamos el concepto de calor es la letra Q. Cuando en un proceso el sistema libera energía calorífica, al calor Q se le considera negativo y cuando lo recibe se le considera positivo.

3.4.1.1 Trasmisión del calor (conducción, radiación y convección) El calor Q se trasmite de un cuerpo o ssistema istema a otro por conducción, radiación o convección.

3.4.1.1.1 Conducción Suponga que una persona sostiene uno de los extremos de una barra metálica, y que el otro extremo se pone en contacto con una flama. Los átomos o moléculas del extremo calentado por la flama adquieren una mayor energía de agitación. Parte de esta energía se transfiere a las partículas de la región más próxima a dicho extremo, entonces la temperatura de esta región también aumenta. Este proceso continúa a lo largo de la barra, y después de cierto tiempo, la persona que sostiene el otro extremo percibirá una elevación de temperatura en ese lugar. Por tanto, hay una trasmisión de calor a lo largo de la barra, que continuará mientras exista una diferencia de temperatura entre ambos extremos. Observemos que esta trasmisión se debe a la agitación de los átomos de la barra, transferida sucesivamente de uno a otro átomo, sin que estas partículas sufran ninguna traslación en el interior del cuerpo. Este proceso de trasmisión de calor se denomina conducción térmica. La mayor parte del calor que se transfiere a través de los cuerpos sólidos, es trasmitida de un punto a otro por conducción. Dependiendo de la constitución atómica de una sustancia, la agitación térmica puede trasmitirse de uno a otro átomo con mayor o menor facilidad, haciendo que tal sustancia sea buena o mala conductora del calor. Así, por ejemplo, los metales son conductores térmicos, mientras que otras sustancias, como el unicel, corcho, porcelana, madera, aire, hielo, lana, papel, etc., son aislantes térmicos, es decir, malos conductores del calor.

3.4.1.1.2 Radiación El calor radiante o radiación, es el proceso por el cual la energía se transfiere por medio de ondas electromagnéticas o cuantos, a diferencia de los procesos de conducción y de convección, no se requiere de un medio material para propagarse. El físico escocés James Clark Maxwell (1831-1879) predijo que los campos eléctrico y magnético fluctuando de manera conjunta podían formar una onda en propagación denominada onda electromagnética.

Todos los cuerpos irradian calor, de manera que una trasmisión de calor por radiación tiene lugar debido a que un cuerpo caliente emite más calor que el que recibe y un cuerpo frío recibe más calor del que emite. La energía del Sol llega a la Tierra mediante grandes cantidades de ondas de luz visible , así como de cantidades considerables de ondas infrarrojas y ultravioletas, todas pertenecientes a una clase de ondas

158


denominadas “electromagnéticas”. En esta clase también se incluyen las microondas utilizadas para cocinar y las ondas de radio utilizadas para la transmisión en AM (amplitud modulada) y FM (frecuencia modulada), las señales de televisión, los rayos X, etc. Muchos acontecimientos comunes se relacionan con el hecho de que las ondas electromagnéticas conducen energía. Cuando nos exponemos al Sol sentimos calor debido a que nuestro cuerpo absorbe energía de las ondas electromagnéticas. Cualquier persona que se haya parado cerca de un fuego abrasador o colocado su mano cerca de un foco incandescente ha sentido s entido un efecto semejante.

3.4.1.1.3 Convección La convección es un proceso por medio del cual el calor es transferido debido al movimiento de la masa de las moléculas de un lugar a otro. En tanto que la conducción implica el movimiento y colisiones de moléculas (o electrones) sólo sobre pequeñas distancias, la convección implica el movimiento de moléculas sobre grandes distancias. Es un medio de mover la energía de un lugar a otro, por lo tanto es un transporte de energía. Ocurre debido a que un fluido en movimiento recoge energía de un cuerpo caliente y la entrega a un cuerpo más frío. Por ejemplo, cuando se calientan las manos sosteniéndolas sobre una flama descubierta, el aire directamente encima de la flama se calienta y expande. Como resultado, la densidad del aire disminuye y éste asciende. Esta masa de aire caliente le da calor a las manos cuando fluye por ellas, afirmando que la energía térmica transferida por el movimiento de la sustancia calentada se ha transferido por convección. Cuando el movimiento se produce por diferencias en la densidad, como en el ejemplo descrito del aire alrededor del fuego, ésta se conoce como convección natural. Cuando la sustancia calentada es obligada a moverse mediante un ventilador o bomba, como en algunos sistemas de calefacción de aire y agua caliente, el proceso se denomina convección forzada. El viento es un ejemplo de convección, y las condiciones atmosféricas en general son un resultado de corrientes convectivas del aire. Cuando un recipiente con agua es calentado, se establecen corrientes de convección natural cuando el agua caliente del fondo se eleva debido a su menor densidad y es remplazada por agua más fría de arriba.

3.4.1.2 Cambios de estado La noción sobre los estados físicos: sólido, líquido y gaseoso, se ha formado en nuestra mente de manera natural; aunque no podamos explicar con claridad los principios de energía interna, sí podemos distinguir un cuerpo sólido de un líquido. Algunas sustancias sólidas se transforman en líquidas por medio de calor, a la vez que las líquidas se pueden transformar en vapores. La teoría cinética explica dichos cambios basándose en el movimiento de las moléculas; siendo la energía cinética de un sólido menor que la de un líquido y la de éste menor que la de un gas. El paso del estado sólido al líquido se manifiesta con absorción de energía calorífica, la cual aumenta el movimiento de las moléculas. Los estados de plasma, cristal, coloidal, etc., requieren de análisis físicos y químicos de mayor profundidad. Las condiciones térmicas de los cuerpos no quedan suficientemente determinadas con sólo conocer sus temperaturas. Este hecho queda exhibido si mezclamos diferentes cuerpos a distintas temperaturas; si la mezcla se hace con 100 g m de agua a 0°C y 100 g m de agua a 100°C , se obtiene una de 50° C aproximadamente: pero si a los 100 g m de agua a 0° C mezclamos 100 g m de hierro a 100°C , la temperatura de la mezcla registrada con un termómetro será aproximadamente de 10° C ; si se usan 100 g m


159

de plomo a 100°C , la temperatura que se obtenga apenas alcanzará 3°C . Si ahora utilizamos una lámpara de alcohol o un mechero Bunsen para elevar la temperatura del agua a 3°C , 10°C y 50°C , se comprende lógicamente que tardará más en los dos últimos casos con la misma fuente calor í fica, fica, hechos que indican que se requiere mayor cantidad de calor. Para medir la energí a calorí fica fica en el sistema internacional se emplea la calorí a, a, y en el inglés, el Btu (British thermal unit o unidad t érmica británica).

Diagrama presión-temperatura del agua

3.4.1.3 Calor sensible Al calor que hace variar la temperatura se le llama calor sensible. La temperatura de bulbo seco es la que se mide con un termómetro ordinario, y es la medida del calor sensible del aire expresado en grados centígrados o Fahrenheit.

3.4.1.4 Calor latente Es el calor que permite el cambio de estado (fases físicas). El calor por kilogramo masa que se asocia con un cambio de fase se denomina calor latente, es decir, el calor latente L es la cantidad de energía calorífica por kilogramo masa que se debe agregar o eliminar cuando una sustancia cambia de fase. La unidad en el SI del calor latente es:

Joule kg m

El calor latente de fusión LF de una sustancia es la cantidad de calor que necesita un kilogramo masa de ella para transformarse, transformars e, a la misma temperatura, del estado sólido al líquido. El calor latente de vaporización LV se refiere al cambio entre las fases líquida y gaseosa, y el calor latente de sublimación LS se refiere al cambio entre las fases sólida y gaseosa.

160


3.4.1.5 Calor de fusión y calor de vaporización El calor absorbido mientras no hay cambio de temperatura es el calor de fusión. Cuando a un cuerpo se le suministra energía calorífica, puede suceder que el cuerpo experimente una variación en su temperatura o que cambie de estado físico. El calor requerido para cambiar 1 kg m de una sustancia del estado sólido al líquido se llama calor de fusión; se denota por LF . El calor de fusión del agua a 0°C es de 79.7 kcal kg m , o en unidades del SI 333 kJ kg m . El calor requerido para cambiar una sustancia de la fase líquida a la de vapor se llama calor de vaporización y se denota por LV , y para el agua a 100°C es de 539 kcal kg m o en unidades del SI es 2,260 kJ kg m .

3.4.1.6 Unidades de calor: Caloría y British thermal unit (Btu) El concepto de caloría fue propuesto por el físico y químico francés Pedro Luis Dulong (1785-1838) para expresar la unidad de cantidad de calor, concepto que ha sido aceptado desde 1850. En dicha época se consideró la caloría como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua en 1°C; más tarde se comprobó que la cantidad de calor no es la misma para hacer variar un gramo de agua de 0°C a 1°C que para hacerla variar de 15°C a 16°C, o a cualquier otra temperatura considerada, en vista de esto se definió a una caloría como la cantidad de calor que necesita un gramo masa de agua para que su temperatura varíe desde 14.5°C a 15.5°C; pero en la actualidad, para los problemas prácticos se prefiere usar la caloría media, que es igual a la centésima parte de la cantidad de calor empleada para elevar la temperatura de un gramo de agua de 0°C a 100°C. Una vez establecido que el calor es una forma de energía, es obvio que una cierta cantidad de calor debe medirse en unidades energéticas. En la práctica, como indicamos anteriormente, se emplean como unidades de calor a la caloría ( cal ) y al Btu , entonces: 1. Por definición, 1 caloría es la cantidad de calor que debe trasmitirse a 1 g m de agua para que su temperatura se eleve en 1 grado Celsius o centígrado (de 14.5 a 15.5 °C). La notación de caloría es “ cal ”, pero como frecuentemente utilizamos la relación para 1 kg m de agua, es preferible considerar a la kilocaloría ( kcal ), llamada por algunos autores también como caloría grande, que corresponde a la cantidad de calor que requiere un kilogramo masa de agua para elevar su s u temperatura un grado centígrado.

1 cal = 1 g m x 1°C 2. De la misma forma se define a la unidad térmica británica de 1 Btu como la cantidad de calor que debe trasmitirse a 1 lbm de agua para que su temperatura se eleve en 1 grado Fahrenheit (de 59.5 a 60.5°F).

1 Btu = 1 lbm x 1° F Existen procesos en los cuales no hay transferencia de energía calorífica, a los que se les denomina adiabáticos, es decir, Q = 0.


161

Ejemplo 3.15: ¿A cuántas calorías equivale un Btu ? Solución: De las siguientes igualdades:

1 Btu = 1 lbm x 1°F y

1°C = 1.8°F

entonces:

1 Btu = 1 lbm x 1° F x

453.6 g m 1°C = 252 g m x °C = 252 cal x 1 lbm 1.8° F

1 Btu = 252 cal Ejemplo 3.16: ¿A cuántos Btu equivale una

kcal ?

Solución: De las siguientes igualdades:

1 cal = 1 g m x 1°C y

1°C = 1.8°F

entonces:

1 kcal = 1 kg m x 1°C x

por lo tanto:

2.2046 lbm 1.8°F = 3.96 lbm x ° F = 3.96 Btu x 1 kg m 1°C

1 kcal = 3.96 Btu

3.4.1.7 Capacidad calorífica Si una sustancia absorbe calor, se presenta un cambio en su temperatura. La relación entre el calor absorbido y esta variación de temperatura recibe el nombre de capacidad calorífica. Supóngase que a un cuerpo A se le proporciona una cantidad de calor igual a 100 cal, y que su temperatura se eleva 20 grados centígrados. Pero si se suministra esa misma cantidad de calor (100 cal) a otro cuerpo B, podemos observar un aumento de temperatura diferente, por ejemplo, de 10 grados centígrados. Por lo tanto, al proporcionar la misma cantidad de calor a cuerpos distintos, en general, éstos presentan diferentes variaciones en sus temperaturas. Para caracterizar este comportamiento de los cuerpos se define una

162


magnitud, llamada capacidad térmica, de la siguiente manera: si un cuerpo recibe una cantidad de calor Q y su temperatura varía en T grados, la capacidad térmica o calorífica de este cuerpo está dada por la razón de la cantidad de calor suministrado con el correspondiente incremento de temperatura del cuerpo:

Capacidad calorífica : Cc =

∆Q ∆ T

La capacidad calorífica se expresa en las siguientes unidades:

kcal Btu o °C ° F m ⇒ kg m o lbm ⎧ °C → K T ⇒ ⎨ ⎩ ° F → ° R Q ⇒ kcal o Btu

Cc ⇒

Capacidad calorífica masa Temperatur a Calor

Así, al calcular las capacidades caloríficas de los cuerpos A y B citados tendremos:

C A =

100 cal cal =5 20 °C °C

C B =

100 cal cal = 10 °C 10 °C

Estos resultados indican que al cuerpo A debemos proporcionar 5 cal por cada grado centígrado de elevación en su temperatura, mientras que para el cuerpo B se necesitan 10 cal para producir el mismo efecto. Entonces, cuanto mayor sea la capacidad calorífica de un cuerpo, mayor será la cantidad de calor que debemos proporcionarle para producir determinado aumento en su temperatura; de la misma manera, será mayor la cantidad de calor que cederá cuando su temperatura sufre determinada reducción. Como la capacidad calorífica de un cuerpo está dada por la relación Cc = Q/T , una unidad para medir esta magnitud es la cal/°C . Como sabemos, el calor es una forma de energía, por lo tanto, se puede expresar en Joules (ver tema 3.6). También podemos emplear como unidades de capacidad calorífica las siguientes equivalencias:

3.4.2 Calor específico específico

1

kcal Btu = 1.802 kg m lbm

1

Btu kcal = 0.5556 lbm kg m


163

De manera general, el valor de la capacidad calorífica varía de un cuerpo a otro, dependiendo de las condiciones físicas a las que se encuentre sometido. Dos cuerpos que tienen iguales masas (de distintas sustancias) pueden tener distintas capacidades caloríficas. Si tomamos bloques hechos del mismo material, por ejemplo de masas m1 , m 2 y m 3, sus capacidades caloríficas serán distintas. Pero al dividir la capacidad calorífica de cada bloque entre su masa, se obtiene el mismo resultado para todos los cuerpos, es decir;

Cc3 Cc1 Cc 2 = = = const ante m1 m2 m3 Entonces, el cociente Cc / m es constante para determinado material, y varía por lo tanto de un material a otro. Este cociente se denomina calor específico es pecífico Ce del material. Por consiguiente, si un cuerpo de masa m tiene una capacidad calorífica Cc, el calor específico específico Ce del material que constituye el cuerpo está dado por:

Ce =

Cc m

Por ejemplo, en el experimento señalado en el tema 3.4.1.2, el plomo es de menor calor específico que el hierro, porque a iguales masas de plomo y de hierro a la misma temperatura (100°C) elevaron, el primero, en 3°C la temperatura de los 100 g m de agua a 0°C, y el segundo en 10°C. Si ahora tomamos 100 g m de hierro a 100°C y lo introducimos en 100 g m de kerosena a 0°C, la temperatura alcanzada por ésta será de 16°C; si en lugar de este líquido se emplean 100 g m de mercurio, el termómetro registrará una temperatura de 78°C. Estos hechos nos muestran que la misma cantidad de calor, llevada por los 100 g m de hierro, eleva la temperatura de iguales masas de distintas sustancias a diferentes valores, dependiendo de una propiedad física de las sustancias, la cual se conoce con el nombre de calor específico. El calor específico de una sustancia es igual al número de calorías necesarias para elevar en 1°C la temperatura de un gramo masa de la sustancia. El calor específico (también llamada capacidad calorífica específica) de una sustancia se define por la cantidad de calor que entra o sale de una unidad de masa cuando en ésta varía un grado su temperatura. En forma dimensional: Ce =

calor (unidades de energía) masa x cambio de temperatur a

Si el cuerpo cede calor, entonces podemos decir que el calor específico de la sustancia de la que se forma el cuerpo es igual a la cantidad de calor que desprende cada gramo al disminuir 1°C su temperatura; en el sistema inglés el calor específico se refiere a una libra y a 1ºF. El calor específico del agua es 1 en cualquiera de los sistemas mencionados.

Ceagua = 1

cal Btu =1 g m x º C lbm x º F

164


Tabla de calores específicos de algunas sustancias a 20°C y 1 atmósfera

(1)

Sustancia

⎛ cal ⎞ ⎟⎟ Ce ⎜⎜ g x C ° ⎝ m ⎠

Sustancia

⎛ cal ⎞ ⎟⎟ Ce ⎜⎜ g x C ° ⎝ m ⎠

0.114 0.530 1.000 0.580 0.220 0.180 0.450 0.089 0.093

Estaño Eter Grafito Hielo (-5°C) Hierro Kerosena Latón Madera Marmol

0.055 0.515 0.200 0.500 0.113 0.550 0.094 0.400 0.210

Acero Acetona Agua (15°C) Alcohol etílico Aluminio Azufre Benzol Bronce Cobre

(2)

(3)

Sustancia Mercurio Níquel Oro Parafina Plata Platino Plomo Vidrio Zinc

⎛ cal ⎞ ⎟⎟ Ce ⎜⎜ g x C ° ⎝ m ⎠ 0.033 0.110 0.0316 0.0694 0.056 0.032 0.031 0.200 0.092

3.4.3 Calorimetría Calorimetría

El calor también se define como una forma de energía que es transferida a través de la frontera de un sistema a una temperatura dada, a otro sistema que presenta una temperatura más baja, debido a la diferencia de temperaturas entre los dos sistemas. El calor calor por unidad unidad de masa lo represent representamos amos con con la letra letra “ q ” teniendo teniendo que: que:

q=

Q m

⇒

Q = qm

en variaciones diferenciales, tenemos: dQ = m dq como el calor específico está dado por la expresión: Ce = entonces: dq = Ce dT multiplicando ambos miembros por la masa total m :

m dq = m Ce dT dQ = m Ce dT

dq dT


165

integrando entre los estados inicial (1) y final (2): 2

∫1

2

dQ = m Ce ∫ 1 dT

[ Q ]12 = m Ce [ T ]12 Q2 − Q1 = m Ce (T 2 − T 1 ) si llamamos Q2 − Q1 al calor total añadido a la masa m , entonces:

Q2 − Q1 = Qtotal

o simplemente

Q2 − Q1 = Q

entonces para las temperaturas T 1 (inicial) y T 2 (final):

Q = m Ce ( T 2 − T 1 )

o

Q = m Ce ( T f − T i )

por último las unidades utilizadas frecuentemente para referirnos al calor específico son:

Ce =

Q m ∆T

⎛ cal Btu ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , ° ° g x C lb x F m ⎝ m ⎠

Como el calor específico es característico de cada material, su valor para cada sustancia se determina con todo cuidado en los laboratorios y los resultados se tabulan. El calor específico del agua es mucho mayor que los calores específicos de casi todas las demás sustancias. Esto significa que al suministrar la misma cantidad de calor a iguales masas de agua y de alguna otra sustancia líquida, se observa que la masa de agua se s e calienta mucho menos. Se sabe que el calor específico de un material puede presentar variaciones en determinadas circunstancias. De este modo, cuando una sustancia pasa del estado sólido al estado líquido (o gaseoso) su calor específico se altera. Ejemplo 3.17: Verificar la siguiente expresión:

1

Btu cal =1 lbm x °F g m x °C

Solución:

1

1 lbm 252 cal 1.8° F Btu cal =1 x x x lbm x °F 1 Btu 453.6 g m 1°C g m x °C

166


Los cambios o variaciones de temperatura se analizarán en las escalas relativas centígrada y Fahrenheit o en las escalas absolutas Kelvin y Rankine, en consecuencia, el calor específico se dará generalmente en un sistema de ambas unidades. El calor es una función de trayectoria, o sea que la cantidad de calor es diferente entre dos puntos cualesquiera o estados (1) y (2) para procesos distintos. Por tanto el calor específico Ce depende del proceso, habiendo gran número de ellos. Por ejemplo, el calor específico de un proceso a volumen constante es distinto al de un proceso a presión constante (ver tema 3.10.1).

3.4.3.1 Calor absorbido y calor cedido por un cuerpo Cuando un cuerpo se encuentra a una temperatura determinada, absorbe calor del medio que lo rodea, elevando su temperatura sin cambiar su estado físico; la cantidad de calor absorbida quedará expresada como sigue:

Calorías absorbidas = masa x calor específico x var iación de la temperatur a Si representamos por Q el calor absorbido, por Ce el calor específico, por m la masa del cuerpo, por T 1 la temperatura inicial y por por T 2 la temperatura temperatura final a la que que se elevó, podemos escribir la expresión expresión anterior como se indicó en el tema de calorimetría:

Q = m Ce ( T 2 − T 1 )

en donde:

T 2 > T 1

En el caso de que el calor se hubiera cedido la expresión de calor estará afectada por un cambio de signo:

− Q = m Ce ( T 2 − T 1 )

en donde:

T 2 < T 1

3.4.3.2 Equivalente en agua de un cuerpo Bajo el punto de vista calorimétrico, entendemos por equivalencia en agua de un cuerpo el producto de su masa por su calor específico:

Equivalent e en agua de la sust ancia = masa x calor específico de la sustancia Este concepto lo aclararemos con el siguiente ejemplo: ¿Cuál es el equivalente calorimétrico en agua de 100 g m de aluminio? Equivalent e en agua = masa del cuerpo (100 g m ) x Ce del aluminio ( 0.22

cal g m x º C

) = 22 cal ° C

Esto significa que el calor contenido (absorbido o cedido) por los 100 g m de aluminio, es como si fueran 22 g m de agua agua que que se encuentran encuentran a la misma temperatur temperatura, a, o que experimen experimentan tan la misma misma variaci variación ón en en la temperatura.


167

3.4.3.3 Calor contenido en un cuerpo Con el nombre de calor contenido en un cuerpo entendemos la cantidad de energía térmica que contiene el cuerpo, siendo equivalente al producto de su masa por su calor específico y por su temperatura; ésta última se mide desde 0°C. Si T°C representa la temperatura del cuerpo, m su masa y Ce su calor específico, la cantidad de calorías Q contenida en el cuerpo quedará expresada por:

Q = m Ce T En el caso del agua (ver tema 3.4.2) el calor específico es igual a la unidad, por tanto, el calor contenido es igual a:

Ceagua = 1

cal Btu =1 g m x º C lbm x º F

3.4.3.4 Determinación del calor específico Los calorímetros son los aparatos que se emplean para determinar el calor específico de las sustancias; en el laboratorio se utiliza el calorímetro de doble pared también llamado de agua. Por medio de una balanza de precisión se determina la masa del vaso del calorímetro junto con su agitador, a continuación se obtiene la masa de agua que deberá contener el vaso, en el cual se coloca el cuerpo que cede calor; el agua debe estar a la temperatura del medio ambiente.

Calorímetro de doble pared o simple de agua

Se determina la masa del cuerpo cuyo calor específico deseamos investigar y se coloca en una parrilla eléctrica (o estufa) durante cierto tiempo hasta que adquiere la temperatura de análisis, la cual deberá ser alrededor de 80 a 100°C. El cuerpo caliente se sumerge rápidamente en el agua del calorímetro y se agita hasta que la temperatura indicada por el termómetro no varíe. Es necesario tener en cuenta que si dos cuerpos a diferentes temperaturas se ponen en contacto, el más caliente cede calor al más frío hasta que ambos estén a la misma temperatura o en equilibrio térmico; esto sucede en el calorímetro al poner el

168


cuerpo caliente en el agua que se encuentra en su vaso; ésta se calienta y aquél se enfría, hasta que ambos están a la misma temperatura. Además no debemos olvidar que el número de calorías cedido por el cuerpo caliente es igual al absorbido por el cuerpo frío. En el calorímetro, el calor cedido por el cuerpo caliente es igual al absorbido por el agua y por el vaso calorimétrico junto con el agitador, por lo tanto podemos escribir: Calorías perdidas

Sustancia o cuerpo caliente

= =

Calorías ganadas

agua + calorímetro

Cuando se mezcla el cuerpo caliente con el agua a temperatura ambiente, ésta se calienta absorbiendo las calorías que cede el primero, por tanto, si el agua se calentó de T 1 a T 2 y el cuerpo se enfrió de T 3 a T 2, podemos escribir para T 1 < T 2 < T 3 : Calor cedido

− Qcedido por la sust ancia

= Calor absorbido = + Qabsorbido por el agua + Qabsorbido por el calorímetr o

de la ecuación de equilibrio térmico:

− msust Ce sust ( T 2 − T 3 ) = magua Ce agua ( T 2 − T 1 ) + mcal Ce cal ( T 2 − T 1 ) − m sust Ce sust ( T 2 − T 3 ) = ( magua Ce agua + mcal Ce cal ) ( T 2 − T 1 )

Ce s =

( ma Cea + mc Cec ) ( T 2 − T 1 ) − ms ( T 2 − T 3 )

en donde:

magua Ce agua mcal Ce cal msust Cesust T 1

T 2 T 3

masa del agua a la temperatura del medio ambiente calor específico del agua masa del calorímetro incluido el agitador (aluminio) calor específico del calorímetro (fabricado de aluminio) masa en g m de la sustancia o cuerpo caliente calor específico del cuerpo caliente (valor por hallar)

temperatur a del medio ambiente (es la temperatura registrada del vaso del calorímetro conteniendo agua a la temperatura del medio ambiente) temperatur a de equilibrio térmico (es la temperatura media registrada de la mezcla de agua conteniendo a la sustancia en estudio) temperatur a de la sustancia caliente (es la temperatura registrada de la muestra calentada en la parrilla)


169

Sustituyendo los valores numéricos encontrados para la muestra se tendrán las siguientes unidades:

Ce sust =

( ____ g m x 1

cal g m x º C

+ ____ g m x 0.22 g mcal x º C ) ( ____ − ____ ) º C

− ( ____ g m ) ( ____ − ____ ) º C

= _______

cal g m x º C

Deberá observarse que la temperatura en equilibrio de la sustancia, que se obtuvo matemáticamente utilizando las ecuaciones de calor, es muy semejante a la que se obtiene de manera experimental. Este fenómeno se debe a que todas las sustancias tienden a estar en equilibrio térmico cuando se han puesto en contacto o mezclado, de manera que hay una transferencia de energía en forma de calor. Después de algunos segundos la temperatura de una mezcla tiende a estar en equilibrio. Esto se puede medir y calcular de manera matemática, ya que sabemos que la cantidad de calor que trasmite una sustancia de mayor temperatura es igual a la cantidad de calor que adquiere otra segunda sustancia de menor temperatura; por ello la suma de ambas energías es igual a cero. Ejemplo 3.18: El calor específico del aluminio es de

0.22

cal g m x ° C .

¿Qué cantidad de calorías contienen

50 g m de este metal a 100 °C ? Datos:

Ecuación:

Ce Al = 0.22

cal g m x °C

Q = m Ce T

m = 50 g m T = 100 °C Solución: Sustituyendo en la expresión

Q = 50 g m x 0.22

Q = m Ce T

cal x 100 °C = 1,100 cal g m x °C

Ejemplo 3.19: El calor específico del benzol es de

0.45

cal g m x ° C .

¿Qué cantidad de calor ceden 100 g m de

este líquido al enfriarse de 50 °C a 20 °C ? Datos:

Ce Benzol = 0.45 m = 100 g m T 1 = 50 °C T 2 = 20 °C

Ecuación:

cal g m x °C

Q = m Ce ∆T Q = m Ce ( T 2 − T 1 )

170


Solución: Sustituyendo en la expresión Q = m Ce ( T 2 − T 1 )

Q = 100 g m x 0.45

cal ( 20 − 50) °C = −1 ,350 cal g m x °C

Observación: El signo negativo indica que el calor se cede. Ejemplo 3.20: Se mezclan

200 g m de agua a 20°C , con 500 g m de agua a 60°C . ¿Cuál será la

temperatura de la mezcla? Datos:

Ecuaciones:

Para la masa m1 : m1 = 200 g m T 1 = 20 °C

Ceagua = 1

Para la masa m2 : m2 = 500 g m T 2 = 60 °C

Q = m Ce ( T 2 − T 1 )

m3 = m1 + m2

cal g m x °C

Solución: 1) Primer método: Calculemos la suma de los calores contenidos en el cuerpo de masa

Q1 + Q2 = Q3 m1 Hallar: m3 = ? T 3 = ?

m3 m2

a) Calcular: m3 = m1 + m2

m3 = (200 + 500 ) g m = 700 g m b) Calcular: Q3 = Q1 + Q2

cal x 20 °C = 4,000 cal g m x °C cal si Q2 = m2 Ce T 2 = 500 g m x 1 x 60 °C = 30,000 cal g m x °C si Q1 = m1 Ce T 1 = 200 g m x 1

m3 :


171

entonces: Q3 = (4,000 + 30,000) cal = 34,000 cal c) De la la expresión: expresión: Q3 = m3 Ce T 3

T 3 =

⇒

T 3 =

Q3 m3 Ce

34,000 cal = 48.57 °C cal 700 g m x 1 g m x °C

2) Segundo método: Considerando que la primera masa de agua

m1 recibe energía calorífica de la

segunda masa de agua m2 , podemos decir que Q ganado = Qcedido , es decir:

Q1 = − Q2 también sabemos que la masa m1 se encuentra a la temperatura T 1 = 20°C y que al mezclarse se calienta adquiriendo la temperatura T3 (temperatura final) teniendo que T 3 > 20°C , y que la masa m2 se encuentra a la temperatura T 2 = 60°C y que al mezclarse se enfría adquiriendo la temperatura T 3 (temperatura final) teniendo que T 3 < 60°C , entonces: m1 Ce ( T 3 − T 1 ) = − m 2 Ce ( T 3 − T 2 )

m1 Ce ( T 3 − 20 ) = −m2 Ce ( T 3 − 60 )

200 g m x 1

cal cal ( T 3 − 20 )°C = −500 g m x 1 ( T − 60 )°C g m x °C g m x °C 3

200T 3 cal 4,000 cal

500 T 3 cal 30,000 cal

200 T 3 cal 500 T 3 cal 30,000 cal 4,000 cal 700 T 3 cal 34,000 cal T 3

34,000 cal 700 cal

T 3 = 48.57 °C

48.57

recordemos que la temperatura esta dada en °C , por lo tanto:

172


Ejemplo 3.21: Por medio de un calorímetro se determinó el calor específico del cobre. El vaso

calorimétrico y el agitador son de aluminio, cuyo calor específico es de 0.22

cal g m x °C

y contiene

100 g m de agua agu a a 18 °C , el calorímetro con el agitador tienen una masa de 80 g m ; se puso en el agua 50 g m de cobre en forma de alambre a la temperatura de 100 °C ; la temperatura de la mezcla registrada con el termómetro fue de 21.2 °C .¿Cuál es el calor específico del cobre determinado experimentalmente? Datos:

Para el calorímetro de aluminio:

para el agua:

m Al = 80 g m Ce Al = 0.22

magua = 100 g m cal Ceagua = 1 g m x °C T agua = 18 °C

cal g m x °C

T Al = 18 °C Solución: Consideremos

para el cobre:

mCu = 50 g m CeCu = ? T Cu = 100 °C

T 3 = 21.2 °C , pudiendo designar a las temperaturas de la siguiente manera:

T 1 la temperatura inicial del agua y del calorímetro ( 18°C ) T 2 la temperatura inicial del cobre ( 100°C ) T 3 la temperatura final de la mezcla 21.2°C (del agua, del calorímetro y del cobre) Q Al = m Al Ce Al ( T 3 − T 1 ) Qagua = magua Ce agua ( T 3 − T 1 ) − QCu = mCu CeCu ( T 3 − T 2 )

calor absorbido T 3 > T 1 calor absorbido T 3 > T 1 calor cedido (negativo) T 3 < T 2

Recordemos que para el calorímetro se tiene la expresión: − QCu = Q Al + Qagua 1) El calor cedido por el cobre es:

− QCu = 50 g m x CeCu

cal (21.2 − 100)°C = −3,940 CeCu cal g m x °C

2) El calor ganado por por el calorímetro y el agua es:

Q Al = 80 g m x 0.22

cal (21.2 − 18)°C = 56.32 cal g m x °C


Qagua = 100 g m x 1

173

cal (21.2 − 18)°C = 320 cal g m x °C

3) La ecuación de equilibrio equilibrio térmico esta dada dada por: − QCu = Q Al + Qagua

− (−3,940 CeCu cal ) = 56.32 cal + 320 cal

3,940 CeCu cal = 376.32 cal CeCu =

376.32 cal = 0.0955 3,940 cal

⎛ cal ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ g x C ° ⎝ m ⎠

Observación: De tablas se obtiene el siguiente valor

CeCu = 0.095

cal g m x °C

La diferencia entre el resultado obtenido y el valor dado en las tablas de calores específicos se debe a la aproximación en la lectura de la temperatura final de la mezcla del experimento, ya que debe ser precisa, utilizando cuando menos dos números decimales. El calor y el trabajo tienen semejanzas en el sentido de que ambos constituyen flujos de energía, y en que ambos tienen que cruzar la frontera del sistema para tener significado. Debido a que el calor se produce como resultado de un flujo de energía entre un sistema y sus alrededores, constituye una función el modo como se transfiere o trasmite dicha energía. Esto significa que el calor es matemáticamente una función de trayectoria semejante a la de trabajo mecánico, por tal razón puede representarse para un proceso físico mediante la expresión:

Q=

2

∫ 1 dQ

Q = [ Q ] 12

Q = Q2 − Q1 Q es el calor que se trasmite cuando un sistema pasa del estado (1) al estado (2) en cualquier proceso dado. También Q es llamado calor total o calor neto generado dentro del sistema.

Podemos establecer la comparación entre calor y trabajo mecánico mediante las siguientes consideraciones: •

El calor y el trabajo mecánico son energías o fenómenos de transición y ningún cuerpo o sistema poseen por sí mismos calor o trabajo, pero se puede atravesar la frontera del sistema según las funciones de trayectoria cuando se cambia de un estado a otro.

174


•

Tanto el calor como el trabajo mecánico se relacionan con la frontera del sistema, atravesando esta energía el entorno que forman sus paredes.

•

Por tratarse de funciones de trayectoria, el calor y el trabajo mecánico son diferenciales inexactas y convencionalmente consideramos que el calor tiene signo ( + ) cuando es recibido por el sistema y el trabajo tiene signo ( + ) cuando es producido por el sistema y se libera en forma de energía.

3.4.3.5 Calor específico a volumen constante y calor específico a presión constante Hay dos procesos cuyos calores específicos son especialmente importantes y útiles, uno a volumen constante, C v , y otro a presión constante, C p . Consideremos primero un sistema no fluente, o sin corriente, a volumen constante. Como W = 0, el calor trasmitido al sistema se transforma en energía interna (ver tema 3.5.1) y la ecuación definida para la unidad de masa q v = ∆ u , donde el subíndice v indica que el volumen permanece constante. Así tenemos:

o también:

Qv = ∆ U = m C v ( T 2 − T 1 )

( kcal , Btu )

q v = ∆ u = C v ( T 2 − T 1 )

⎛ kcal Btu ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , kg lb m ⎠ ⎝ m

de la ecuación anterior podemos escribir:

⎛ kcal Btu ⎜⎜ , ⎝ kg m x K lbm x ° R

⎛ ∆ u ⎞ ⎟⎟ C v = ⎜⎜ ⎝ ∆ T ⎠ v

⎞ ⎟⎟ ⎠

En segundo lugar consideremos un sistema al que se le añade calor mientras la presión se mantiene constante, por lo tanto la ecuación de trabajo para el proceso que une los estados (1) y (2) con volumen específico v es:

w=

2

∫1

2

P d v = P ∫ d v = P [ v 2 − v1 ] = P v 2 − P v1 1

entonces la ecuación de la energía es: q p = w + ∆ u = P v 2 − P v1 + u 2 − u1 142 4 4 4 3

W

1 4 2 4 3

∆u

En el capítulo 4 analizaremos el concepto llamado entalpía, que se define como: h = P v + u por tal razón: q p = P v 2 + u 2 − P v1 + u1 = h2 − h1 = ∆ h (cambio de entalpía en un proceso) 14 24 3

h2

14 24 3

h1


175

usando la definición de calor específico escribimos:

q p = ∆ h = C p ( T 2 − T 1 )

de la ecuación anterior podemos escribir:

⎛ kcal Btu ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , kg lb m ⎠ ⎝ m

⎛ ∆ h ⎞ ⎟⎟ C p = ⎜⎜ T ∆ ⎝ ⎠ p

⎛ kcal Btu ⎜⎜ , ⎝ kg m x K lbm x ° R

⎞ ⎟⎟ ⎠

Cada uno de los calores específicos denota la razón de cambio de una propiedad con respecto a la temperatura, mientras otra de ellas se mantiene constante. La definición del calor específico a presión constante implica que la entalpía de una sustancia pura es función de la temperatura y de la presión. En consecuencia, el calor específico a presión constante depende en general de la temperatura y de la presión. De manera análoga, la definición del calor específico a volumen constante implica que la energía interna de una sustancia pura es función de la temperatura y del volumen específico. Sin embargo, cuando los gases están a presiones relativamente bajas, los calores específicos dependen únicamente de la temperatura. En el caso de líquidos y sólidos, los calores específicos a presión y a volumen constante son esencialmente iguales en magnitud, y dependen fundamentalmente de la temperatura. Al absorber una masa m calor, no sólo experimenta cambio en su temperatura, sino que se presentan otros fenómenos físicos, por tal razón es conveniente diferenciar los procesos termodinámicos; el primero sucede cuando la masa se mantiene a volumen constante y se considera el calor específico C v (a volumen constante), teniendo la siguiente ecuación del calor generado para el proceso que se realiza entre los estados (1) y (2):

Q = m C v ( T 2 − T 1 ) El segundo caso sucede cuando la presión permanece constante para una masa dada, por tal razón utilizamos a C p (calor específico a presión constante) y la ecuación del calor trasmitido es:

Q = m C p ( T 2 − T 1 ) Ver apéndice 3.D: tabla de propiedades de los gases a baja presión

3.4.4 Ley cero cero de la termodinámica termodinámica

La ley que en termodinámica ha recibido el nombre de “ley cero” establece que cuando dos cuerpos se encuentran en equilibrio térmico respecto a un tercero, entonces estarán en equilibrio térmico entre sí, y por ende, presentarán una misma temperatura. Debe notarse que para que dos cuerpos estén en equilibrio completo es necesario que, además de la igualdad de temperaturas, las presiones de los dos cuerpos también sean iguales y que ambos cuerpos estén constituidos de tal forma que no haya lugar a cambios químicos cuando se pongan en contacto.

176


Consideremos nuevamente dos cuerpos A y B que tienen diferentes temperaturas: si dichos cuerpos se juntan poniendo en contacto la cara de uno con la del otro, la temperatura de ambos se equilibrará después de transcurrido un tiempo t, permitiendo que el cuerpo de mayor temperatura ceda energía calorífica al de menor temperatura. La ley cero de la termodinámica establece que dos cuerpos, cuando tienen igual temperatura con respecto a un tercero, tienen igual temperatura entre sí.

3.5 Energía interna. Ley de Joule 3.5.1 Energía interna ( U )

La materia está compuesta de moléculas que se están moviendo continuamente, y tienen masa y energía cinética, llamada energía cinética interna, que principalmente se origina por: 1) el movimiento de traslación de las moléculas; 2) el movimiento de rotación de las moléculas y 3) un movimiento de vibración de los átomos dentro de las moléculas. Además de la energía cinética interna, las sustancias tienen energía potencial interna, cuyo cambio resulta de una fuerza de atracción entre sus moléculas, que cambian de posición unas respecto a otras. Como ejemplo de tal cambio, imaginemos que una masa de un kilogramo de agua se evapora completamente a la presión atmosférica y que se recoge el vapor. Se encontrará que el volumen aumenta aproximadamente 1,600 veces. Para separar estas moléculas obrando contra sus fuerzas de atracción se requiere gran cantidad de energía, la cual es retenida por el vapor como parte de la energía almacenada por éste. Si el vapor se condensa, esta misma cantidad de energía potencial interna será expulsada, por lo tanto: Ener Energí gía a pote potenc nciial inte intern rna a ( ∆P ). Es la energía debida a la disgregación molecular y obedece al cambio

de posición de las moléculas vibrando contra las fuerzas que las mantienen unidas. Energía ci cinética in interna ( ∆C ). Es la energía debida a su velocidad molecular, que se manifiesta a sí

misma por su temperatura. Esta energía se debe a la velocidad de las moléculas y aunque pueden estar moviéndose en diferentes direcciones y con diferentes velocidades, su efecto total es medido por su velocidad media.

∆P

∆C

La suma de las dos energías (cinética interna y potencial interna) se llama energía interna ∆U y es la energía almacenada en un cuerpo o sustancia en virtud de su actividad molecular, de la configuración de sus moléculas y de las vibraciones dentro de ellas. ∆U = ∆P + ∆C

( calorías , Btu )

En ocasiones nos referimos a esta energía como molecular o térmica. En ingeniería se determinará el cambio o variación de energía interna al efectuarse un proceso termodinámico. El concepto de energía


177

interna se aplica también para indicar la energía total almacenada dentro de un sistema. En el caso de los gases una parte muy pequeña de la energía interna corresponde a la energía potencial. Debido a que el volumen es una cantidad extensiva (depende de la masa de la sustancia de trabajo) y la presión una cantidad intensiva, se deduce que el trabajo es una cantidad extensiva, y se concluye que la energía interna también es una cantidad extensiva. 3.5.2 Ley de Joule

James P. Joule, utilizando un experimento ya efectuado por Gay-Lussac, dispuso dos recipientes de cobre en un baño de agua, como se muestran en la figura. Todo el sistema se aisló. Uno de los recipientes contenía aire a una presión de 22 atm; en el otro se hizo el vacío. Después de que todas las partes alcanzaron el equilibrio térmico, se abrió la válvula. El aire fluyó al recipiente vacío y toda la masa de aire finalmente quedó en reposo a la presión de 11 atm. Con instrumentos entonces disponibles, Joule observó que la temperatura del agua que rodeaba los recipientes era la misma antes y después del ensayo, una observación sencilla que condujo a una deducción importante.

Recipientes

agua B vacío

A 22 atm

válvula

aislante Experimento de Joule

Hay varios hechos que se observan. El primero indica que hubo un flujo o corriente momentánea de aire elevando las cantidades de energía que caracterizan al flujo, pero el gas estaba en reposo en los estados inicial y final. Segundo, puesto que no había conexión por la cual la energía pudiera salir del sistema como trabajo, W = 0. Tercero, como la temperatura del agua era la misma, no hubo flujo de calor del aire contenido en los recipientes al agua, ni del agua al aire, entonces Q = 0. Cuarto, la temperatura del aire del recipiente A tenía que haber disminuido, ya que el aire contenido en él en cualquier instante durante el flujo estaba realizando trabajo al empujar el gas para que entrara en B. La temperatura del gas en B sufrió un aumento debido a que se estaba haciendo trabajo sobre él. Sin embargo, cuando estos efectos se igualaron térmicamente por segunda ocasión, la temperatura del aire en los recipientes debió ser la misma que inicialmente, pues en caso contrario, debido a la diferencia de temperaturas, hubiese sucedido una trasmisión de calor.

178


Según la ecuación de la energía ∆U = Q − W , Joule observó que la presión cambió, el volumen varió, pero la energía interna no cambió, es decir, ∆U = 0 , en consecuencia concluyó que la energía interna de este gas no era función de la presión ni del volumen. Sin embargo, como la temperatura no cambió, Joule dedujo que: el cambio de la energía interna de un gas ideal ( que cumple con las leyes de los gases, ver tema 3.7.1) es función del cambio de la temperatura, a la cual se le llama ley de Joule, es decir: La energía interna de un gas perfecto o ideal depende únicamente de la variación de su temperatura.

3.6 Equivalente mecánico del calor ( J ) El calor y el trabajo mecánico son energías en transición, y su relación para un sistema cerrado lo establece la expresión: W = J Q Siendo W el trabajo mecánico, J el equivalente mecánico del calor y Q el calor total. La energía calorífica puede ser transformada a energía mecánica, en donde el calor se encuentra dado en kcal o en Btu y el trabajo en kg x m , en N x m ( Joule ) o en lb x pie , de tal forma que la constante de proporcionalidad J llamada constante de Joule Joule o equivalente mecánico del calor, adquiere adquiere valores obtenidos experimentalmente, así que:

J=

W Q

En 1843, James Prescott Joule determinó el equivalente mecánico del calor al introducir en agua unas paletas rotatorias y un termómetro. Mediante trabajo mecánico se hicieron rotar las paletas. La fricción entre paletas y agua calentó a las primeras, que a su vez elevaron la temperatura del agua.

Termómetro

Pesa

Paletas Recipiente aislado aisla do térmicamente Experimento de Joule para obtener la equivalencia entre calor y trabajo


179

Este experimento sirve para poner en evidencia que el calor es una forma de energía, pues el trabajo mecánico que se aplica a las paletas se convierte en calor que se trasmite al agua. Además, la medida del cambio de temperatura del agua permite calcular el número de calorías en que se convierten los Joules de trabajo mecánico. Lo anterior permite medir lo que se conoce como equivalente mecánico del calor, que corresponde a la relación entre la unidad de energía “Joule” y la unidad de energía “caloría”, es decir, la energía potencial gravitatoria de la masa se convierte en energía interna del agua. De tal forma que para efectuar la transformación de las unidades de calor y trabajo mecánico tenemos que:

1 kcal = 426.93 kg x m 1 Btu = 778.16 lb x pie La conversión de unidades se aplica a procesos de diferentes sistemas de unidades, teniendo los siguientes valores para el equivalente mecánico del calor J :

J = 426.93 J = 778.16

kg x m kcal lb x pie Btu

Referencia: Virgil Moring Faires. Termodinámica.

Ejemplo 3.22: Hallar la equivalencia entre una

1 kcal = 426.93 kg x m x

kilocalorí a y la unidad térmica británica ( Btu )

2.2046 lb 1 pie = 3,087.958 lb x pie x 1 kg 0.3048 m ⎛

⎞ 1 Btu ⎟⎟ = 3.968 Btu 778 . 16 lb x pie ⎝ ⎠

1 kcal = 3,087.958 lb x pie ⎜⎜

por lo tanto:

1 kcal = 3.968 Btu

180


Las siguientes equivalencias son útiles en la resolución de ejercicios prácticos: Tabla de equivalencias de unidades de energía

1 cal 1 kcal 1 kcal 1 kcal 1 Btu 1 Btu 1 Btu

= 4.1868 Joules = 4,186.8 Joules = 426.931 kg x m = 3.9683 Btu = 778.16 lb x pie = 0.251996 kcal = 252 cal

1 hp − h = 641.1865 kcal 1 hp − h = 2 ,544.434 Btu 1 kw − h = 859.8452 kcal 1 kw − h = 3 ,412.142 Btu Valores para uso práctico: 1 hp – h = 641.2 kcal 1 hp – hp – h = 2,545 Btu 1 kw – h = 860 kcal 1 kw – h = 3,412 Btu

Ejemplo 3.23: Demostrar la equivalencia de 1 hp − h = 2 ,544.434 Btu :

Solución:

1 hp = 550

lb x pie s

y

1 h = 3,600 s

1 hp x s = 550 lb x pie 1 hp x s x

1h = 550 lb x pie 3,600 s

1 hp x h = 550 lb x pie x 3,600 = 1,980,000 lb x pie ⎛

⎞ 1 Btu ⎟⎟ = 2,544.464 Btu 778 . 16 lb x pie ⎝ ⎠

1 hp x h = 1,980,000 lb x pie ⎜⎜

2,000 hp cuando se acciona debido a la energía liberada por 1 km 3 de agua del océano, al aumentar la temperatura del agua 1º C , si todo este calor se convierte en energía mecánica, suponiendo que Ceagua = 1 kg mkcal x º C ? Ejemplo 3.24: ¿Cuántas horas podría hacerse funcionar un motor de


Datos:

Ecuaciones y equivalencias:

t = ? (en horas )

Q = m Ce ∆T

•

W = 2,000 hp V = 1 km 3 ∆T = 1º C

1 hp − h = 641.2 kcal •

W =

W t

Ceagua = 1 kgmkcal x º C Solución:

1) El volumen total del agua es: V = 1 km 3 = 1 x 10 9 m 3 = 1 x 1012 dm 3 Recordemos que en el nivel del mar 1 dm 3 de agua tiene una masa de 1 kg m y un peso de 1 kg , entonces: V = 1 km 3 = 1 x 1012 dm 3 y la masa de dicho volumen es m = 1 x 1012 kg m 2) Obtengamos la energía calorífica contenida en la masa m : Q = m Ce ∆T

Qagua = 1 x 1012 kg m x 1 14 4 244 3

m

•

3) De la expresión: W =

kcal x 1°C = 1 x 1012 kcal kg m x °C 1 2 3

T

14 4 244 3

Ce

W t

⇒

t =

W •

W

de la relación entre calor y trabajo sabemos que:

1hp − h = 641.2 kcal (trabajo )

⇒

1hp = 641.2

kcal ( potencia ) h

•

entonces: W motor = 2,000 hp

641.2 kcal • kcal h W motor = 2,000 hp x = 1,282,400 1 hp h •

de la expresión de potencia aplicada al concepto de calor tenemos: Q =

Q t

⇒

t =

Q •

Q

181

182


1 x 1012 kcal t = = 779,787.9 h = 779.7879 x 10 3 h kcal 1,282,400 h 3.7 Definición de gas ideal. Ley de Boyle-Mariotte y ley de Charles-Gay Lussac. Ley general de los gases 3.7.1 Definición Definición de gas ideal ideal

El estado gaseoso se caracteriza porque fluidos en esta fase llenan completamente el recinto en el cual están contenidos. Si el recipiente aumenta de volumen el gas ocupa inmediatamente el nuevo espacio, lo cual es posible si existe un empuje o fuerza ejercida por el gas contra las paredes. Entonces la fuerza ejercida por el gas sobre la unidad de superficie de la pared del recinto es la presión gaseosa que puede medirse en cualquiera de las unidades de fuerza por unidad de superficie, pero frecuentemente se expresa con relación a la presión media del aire que se toma como unidad y se denomina una atmósfera. Un gas que se supone cumple con la ley de Boyle-Mariotte (a temperatura constante) y con la ley de Charles-Gay Lussac (a presión y a volumen constante) que analizaremos más adelante, se conoce como gas perfecto o mejor como gas ideal. El helio es el gas que más se aproxima a un comportamiento ideal, no obstante la presión debe ser baja. Los gases no cumplen exactamente las leyes mencionadas, especialmente a presiones elevadas y a bajas temperaturas, por lo que dichas leyes son aproximadas para casos reales. Las leyes de Boyle, Charles y Gay Lussac no son realmente leyes en el sentido en que usamos este término hoy en día (preciso, profundo y de amplia validez). Ellas son realmente aproximaciones cuya exactitud para gases reales sólo se obtiene en tanto que la presión y la densidad del gas no sean muy altas, cuando el gas no esté muy cerca de su condensación. Sin embargo, el término ley aplicado a las tres relaciones se ha vuelto tradicional y le damos tal denominación. Las leyes del gas ideal se obtuvieron por medio de un procedimiento que es muy útil en la ciencia, esto es, mantener uno o más parámetros constantes para ver claramente los efectos de cambiar sólo uno de ellos. Estas leyes pueden combinarse en una sola relación general entre presión, el volumen y la temperatura de una cantidad fija de gas. Llamamos sustancia simple compresible a aquella que tiene como forma única de realizar trabajo a un cambio de volumen; puede existir en diferentes formas o fases. En la forma gaseosa las moléculas están tan separadas entre sí que pueden moverse con relativa facilidad, por lo que continuamente cambian de posición. La relación entre la presión, el volumen específico y la temperatura de la fase gaseosa puede ser expresada por una ecuación que se llama ecuación de estado, la cual a su vez está generalmente explícita para la presión o para el volumen específico de la siguiente manera: P = f ( v , T )

o

v = f ( P , T )


183

3.7.2 Ley de Boyle-Mariotte Boyle-Mariotte

Desde hace siglos se sabe que al comprimir los gases ocupan un volumen menor, pero el irlandés Robert Boyle (1627-1691) fue el primero que estudió el efecto de la presión sobre los volúmenes de los gases y observó que todos se comportan de igual modo al ser sometidos a cambios de presión, siempre que la temperatura se mantenga constante. Simultáneamente, Abate Edme Mariotte (1620-1684), físico francés, llevó a cabo estudios similares, que pueden generalizarse en la siguiente ley: A temperatura constante, el volumen de un peso dado de cualquier gas perfecto, varía inversamente a la presión absoluta a que se somete.

La ley de Boyle-Mariotte puede expresarse matemáticamente como sigue: Si : T = cte

⇒

P∝

1 V

∴ PV = const ante La ecuación para el proceso 1-2 es, por tanto: PV = C es decir: P1 V 1 = P2 V 2

P P1

1

PV = C 2

P2 V1

V2

V

Observamos que esta curva es una hipérbola equilátera ( x y = C ) que recibe el nombre de curva isoterma.

3.7.3 Ley de Charles-Gay Charles-Gay Lussac Lussac

Alrededor de cien años después del descubrimiento de la ley de Boyle-Mariotte, la dilatación de los gases debida a cambios de temperatura fue estudiada por el físico francés Jacques Alexandre Charles (17461823) en 1787, aunque se debe al físico y químico francés Joseph Louis Gay Lussac (1778-1850) una investigación sistemática relativa a este comportamiento de gases y vapores y quien mostró en 1802 que, manteniendo la presión constante, “todos los gases se dilatan igualmente por los mismos grados de calor y que, por consecuencia, su mayor o menor densidad, su mayor o menor solubilidad en agua y su naturaleza particular no influyen nada sobre su dilatación”. Esta propiedad de los gases se conoce como ley de Charles-Gay Lussac, y la ley se enuncia en dos partes: 1) Si la presión sobre una cantidad particular de gas se mantiene constante, entonces el volumen variará en forma directamente proporcional a su temperatura absoluta.

184


La ley de Charles-Gay Lussac puede expresarse matemáticamente como sigue cuando P = cte : Si: P = cte

∴

⇒

V ∝ T

T

V = const ante T

2

T2

La recta 1-2 representa un proceso a presión constante:

T1

1 V1

V 1 V = 2 T 1 T 2

V2

V

2) Si el volumen de una cantidad particular de gas se mantiene constante, entonces la presión variará en forma directamente proporcional a su temperatura absoluta.

La ley de Charles-Gay Lussac puede expresarse matemáticamente como sigue cuando V = cte : Si: V = cte

∴

⇒

P ∝ T

T

P = const ante T

2

T2

La recta 1-2 representa un proceso a volumen constante:

T1

1 P1

P1 P = 2 T 1 T 2

P2

P

3.7.4 Ley general general de los gases

Para hallar la ecuación que relaciona a las leyes descritas anteriormente se considera entre las presiones absolutas extremas P1 y P2 , a una presión intermedia P2 ' , a los volúmenes específicos v1 y v 2 , así como a las temperaturas absolutas T 1 y T 2 , de la siguiente forma: Estado (1)

P1

Estado (2)

P2 '

P2

v1

v2

T 1

T 2


185

a) Con líneas líneas punteadas:

De la ecuación de Charles-Gay Lussac para volumen específico constante, pasemos de la presión inicial P1 a la presión intermedia P2 y de la temperatura inicial T 1 a la temperatura final T 2 : '

P1 P2 ' = T 1 T 2

P2 ' =

P1 T 2 T 1

b) Con líneas llenas:

De la ecuación de Boyle-Mariotte para temperatura constante pasemos de la presión inicial P2 ' a la presión final P2 y del volumen específico inicial v1 al volumen específico final v 2: P2 ' v1 = P2 v 2

P2 ' =

P2 v 2 v1

igualando las expresiones anteriores en P2 ' :

P1 T 2 P2 v 2 = v1 T 1 P1 v1 P2 v 2 = T 1 T 2 para " n" estados diferentes tenemos:

En forma general para cualquier estado: si v =

P1 v1 P2 v2 = = T 1 T 2 Pv = R T

K

=

Pn v n = R ( const ante ) T n

⇒

V V para una masa constante " m " , entonces: P = R T m m

y por último:

P V = m R T

P v = R T

186


Que corresponde a la ecuación de la ley general de los gases, también llamada ecuación de estado, en donde R es una constante particular para cada gas. En el apéndice 3.B de este capítulo se presenta el desarrollo formal de la demostración de la ecuación de la ley general de los gases ideales o ecuación de estado.

3.7.4.1 Mol Se define como mol, y lo represent representamos amos con con la letra letra “ n ”, a la relació relaciónn de la masa masa de un un gas con respecto respecto a su peso molecular M , es decir, es una unidad de cantidad de sustancia o materia que tiene una masa numéricamente igual al peso molecular, expresado en gramos o libras, por tal razón:

n=

m M

El número número de moléculas moléculas n que hay en un un volumen volumen molar (volumen de 22.4 litros de gas medidos medidos en condiciones normales que corresponden a 0°C y 760 mm-Hg ) se denomina número de Avogadro y es igual a 6.0235 x 10 23 moléculas . mol Actualmente se considera que

1 g mol

de cualquier sustancia contiene tantas partículas (átomos o

moléculas) como átomos haya en 12 gramos del isótopo carbono 12. Es decir, 12 gramos de carbono

12 contienen 6.0235 x 10 23 átomos. Por lo tanto un mol de cualquier sustancia es aquella masa de la sustancia que contiene un número de Avogadro, N A = 6.0235 x 10 23 átomos o moléculas .

M o peso molecular de un gas es igual al número correspondiente al peso en gramos de 22.4 litros del gas en condiciones normales.

Las unidades de la masa m son kg m y lbm , M es adimensional y se obtiene de la tabla periódica de los elementos, por tanto, n tiene las mismas unidades que m sólo que debemos referirnos al concepto de mol , es decir, decir, las unidades unidades de “ n ” son kg mol y lbmol , para diferencia diferenciarlo rlo de la masa. En ocasiones el peso molecular se expresa como: M =

m n

⎛ kg m lb ⎞ ⎜⎜ , m ⎟⎟ ⎝ kg mol lbmol ⎠

Mediante los conceptos de constante particular de un gas y de su peso molecular, podemos referirnos a la constante universal de los gases R , que se obtiene mediante la expresión: R = R M o también:

R =

R M


si: n =

m M

⇒

187

m = n M

sustituyendo en la expresión PV = m R T obtenemos la ley general de los gases:

PV = ( n M )

R T M

PV = n R T La ecuación anterior también recibe el nombre de ecuación general de los gases ideales, y en ella interviene el concepto de mol ( n ) y a la constante R se le denomina constante universal de los gases, es decir, R es una constante que se utiliza para todos los gases, mientras que R es particular para cada gas; las unidades de R y de R prácticamente son las mismas, excepto porque cambia el concepto de masa por el de mol. Valores de la constante universal de los gases

cal g mol x K kcal R = 1.986 kg mol x K kg x m R = 847.827 kg mol x K Joules R = 8,314.3 kg mol x K R = 1.986

Btu lbmol x ° R lb x pie R = 1,545.32 lbmol x ° R atm x litros R = 0.08206 g mol x K

R = 1.986

La expresión que relaciona a los calores específicos a presión y a volumen constante con el valor de R (constante particular de un gas) está dada por:

R = J C p − C v )


188

La relación de los calores específicos C p y C v aparece frecuentemente en las ecuaciones termodinámicas, por lo que se le denomina constante adiabática, ver tema 3.10.1:

k =

C p C v

Propiedades del aire a presión cero y 80°F ( 26.66°C)

M = 28.97

kg m kg mol

= 28.97

C p = 0.24

kcal kg m x K

= 0.24

C v = 0.1714

lbm lbmol

k = 1.4

Btu lbm x ° R

R = 29.269

kcal Btu = 0.1714 kg m x K lbm x ° R

Ejemplo 3.25: Un tanque de

atmosférica de 14.7

lb pul g 2

kg x m lb x pie = 53.342 kg m x K lbm x ° R

R kcal Btu = 0.06855 = 0.06855 J kg m x K lbm x ° R

10 pies 3 de capacidad, contiene aire cuya R = 53.342

Datos:


V 1 = V 2 = 10 pies 3 lb pul g 2

T 1 = 70° F = 529.67° R P2 = 200

lb pul g 2

man = 214.7

T 2 = 75° F = 534.67° R mi = ?

, a la presión

y 70°F . Si se le inyecta aire hasta tener una presión de 200

manométricas a una temperatura de 75°F , ¿cuál es la masa del aire inyectado?

P1 = 14.7

lb x pie lbm x ° R

lb pul g 2

abs

PV = m R T P1 V 1 P2 V 2 = T 1 T 2 mi = m2 − m1 R = 53.342

lb x pie lbm x ° R

lb pul g 2


189

Solución:

1) Hallar la masa del aire a la presión atmosférica m1 : P1V 1 = m1 R T 1

14.7 m1 =

⇒

m1 =

P1 V 1 R T 1

144 pul g 2 lb x x 10 pies 3 2 2 pul g 1 pie = 0.7492 lbm lb x pie 53.342 x 529.67° R lbm x ° R

2) Hallar la masa del del aire a la la segunda presión: presión: m2 =

P2 V 2 R T 2

144 pul g 2 lb 214.7 x x 10 pies 3 2 2 pul g 1 pie = 10.8402 lbm m2 = lb x pie 53.342 x 534.67° R lbm x ° R 3) Obtengamos la masa del aire inyectado: inyectado: mi = m2 − m1

mi = 10.8402 lbm − 0.7492 lbm = 10.091 lbm 3.8 Ley de Dalton. Principio de Avogadro 3.8.1 Ley de Dalton de las las presiones presiones parciales

Fue John Dalton (1766-1844) el primero que estableció que la presión total P ejercida por una mezcla de gases (o vapores) es la suma de las presiones que cada gas (o vapor) ejercería si ocupara él solo el recipiente con el volumen V y la temperatura T de la mezcla (sólo se verifica en los gases ideales). Por tanto, si P1 , P2 , P3 , K , Pn representan respectivamente las presiones individuales de los gases mezclados P = P1 + P2 + P3 + K + Pn y la presión total ejercida por la mezcla es: n

P = ∑ Pi i =1

donde Pi representa en cada caso las presiones parciales de los componentes individuales. Considerando que:

T = T 1 = T 2 = T 3 = V = V 1 = V 2 = V 3 =

K

K

= T n = V n

190


Las leyes de los gases ideales se aplican lo mismo a gases individuales que a mezclas gaseosas pero nada se ha indicado acerca de la contribución de cada gas a la presión total. El comportamiento de las mezclas gaseosas puede expresarse mediante la ley de Dalton de las presiones parciales, que dice: en una mezcla gaseosa cada gas ejerce una presión parcial igual a la que tendría si ocupase solo el mismo volumen a la misma temperatura, y la presión total de la mezcla es igual a la suma de las presiones parciales de todos los gases que la componen. La ley de Dalton puede considerarse como una consecuencia del hecho de que, al

mezclar varios gases a temperatura y presión constantes, el volumen final es la suma de los volúmenes de los gases individuales y, por tanto, que el volumen de una mezcla gaseosa es igual a la suma de los volúmenes que ocuparían los distintos gases medidos cada uno a la presión total de la mezcla y a su misma temperatura. Este enunciado fue establecido por Emile Hilaire Amagat (1841-1915), físico francés, en 1893 y se conoce como ley de Amagat (el volumen total de una mezcla de gases es igual a la suma de los volúmenes que ocuparía cada componente a la presión P y a la temperatura T de la mezcla). 3.8.2 Principio Principio de Avogadro Avogadro

El principio del físico italiano Amadeo Avogadro (1776-1856) es una consecuencia de la teoría cinética de los gases y del calor y nos dice que: volúmenes iguales de todos los gases ideales, medidos en las mismas condiciones de presión y temperatura, contienen el mismo número de moléculas (del latín, pequeñas moles o masas). de las ecuaciones:

ρ =

m ; V

v=

V ; m

v=

1 ρ

;

n=

y

m M

del principio de Avogadro para volúmenes iguales V 1 = V 2 se tiene que: n1 = n2

m1 m2 = M 1 M 2

entonces:

⇒

m1 M 1 = m2 M 2

de las ecuaciones de densidad para volúmenes iguales: ρ =

m1 ρ 1

=

m2 ρ 2

ecuación (1)

m V

⇒

m1 ρ 1 = m2 ρ 2

⇒

de las ecuaciones de volumen específico para volúmenes iguales: v =

m1 v1 = m2 v 2

⇒

m1 v = 2 m2 v1

V =

m ρ

ecuación (2)

V m

⇒

V = m v

ecuación (3)


191

m1 M 1 ρ 1 v = = = 2 m2 M 2 ρ 2 v1 3.9 Primera ley de la termodinámica en sistemas cerrados de las ecuaciones (1), (2) y (3) tenemos:

Aunque un sistema cerrado, como se definió previamente, es el que no intercambia materia con su medio circundante, pueden existir varias formas internas de energía. Puesto que por definición la masa es constante para un sistema cerrado, las únicas interacciones energéticas que pueden ocurrir a través de los límites o fronteras de un sistema cerrado son trabajo y calor. Por otro lado, ambas formas de energía son de tipo transitorio. Consideremos un sistema que opera cíclicamente como el de la figura. Mediante múltiples mediciones experimentales a través del tiempo, se ha encontrado que la cantidad neta de calor suministrado al sistema en cualquier ciclo termodinámico es igual al trabajo neto desarrollado por éste. Es decir, el calor y el trabajo son mutuamente convertibles:

∫ dQ = ∫ dW en donde el símbolo

∫

denota una integral cíclica. P P1

1

2

P2 V1

V2

V

Proceso cíclico

La ecuación anterior constituye en esencia la primera ley de la termodinámica. Esto es: el calor neto agregado a un sistema que opera cíclicamente es igual en magnitud al trabajo neto desarrollado por éste.

Este principio axiomático postula la existencia de una propiedad extensiva del sistema “la energía”, esto es, que un cambio en su valor entre dos estados cualesquiera es numéricamente igual a la diferencia entre el calor neto agregado a un sistema cerrado y el trabajo neto desarrollado por éste en el proceso. Esta propiedad se conoce como energía del sistema " E " y matemáticamente se expresa como:

d Q − d W = dE La ecuación anterior puede interpretarse físicamente de una manera sencilla. Puesto que las únicas interacciones energéticas que pueden ocurrir son calor y trabajo, la transferencia neta de calor suministrado a un sistema en un proceso, menos la transferencia neta de energía desarrollada por

192


éste como trabajo, debe ser igual al incremento neto de energía E del sistema. Por supuesto, dicho incremento puede ser negativo. Dado que el cambio en el valor de la energía del sistema entre dos estados no depende del tipo de proceso y adquiere el mismo valor al realizarse un ciclo termodinámico, la energía E del sistema es una propiedad. La ecuación descrita constituye un balance general de energía para cualquier sistema cerrado, y por ende, es válida para todo tipo de proceso. De hecho, esta expresión es una forma alterna de expresar la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado. Al analizar los estados (1) y (2) podemos escribir la ecuación de energía para sistemas cerrados:

Q = W + ( E 2 − E 1 ) Q = W + ∆ E

o también

Q − W = ∆ E

donde ∆E = E 2 − E 1 representa el cambio en energía del sistema. Debemos notar que la primera ley de la termodinámica sólo proporciona información con respecto a diferencias en energía, y no con respecto a valores absolutos de ésta. Si se desea asignar valores, es necesario establecer un estado de referencia. Q W ∆ E La ecuación anterior se puede expresar por unidad de masa: − = es decir:

m

q − w = ∆e

m

m

La naturaleza de la propiedad extensiva E (energía del sistema) incluye varios tipos: energía de posición gravitatoria con respecto a un plano de referencia ( Ep); energía de movimiento o energía cinética del sistema (Ec); energía debida al movimiento y configuración propia de las partículas que constituyen la materia del sistema ( U ). ). Esta última forma de energía, asociada con el estado termodinámico de la materia que constituye el sistema, es independiente de la atracción gravitacional y sabemos que se conoce como energía interna, de lo anterior se desprende que:

E = Ep + Ec + U sustituyendo las ecuaciones de energía potencial y cinética tenemos:

m v2 E = m g y + + U 2 por unidad de masa:

v2 e = g y + +u 2

En ausencia de cambios significativos en energía potencial y cinética, la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado se reduce a: ∆ E = Q − W si:

∆ Ep = 0 y ∆ Ec = 0

⇒

∆ E = ∆ U


193

entonces: ∆ U = Q − W debemos recordar que para que las expresiones anteriores sean correctas en su aplicación práctica, las unidades deben corresponder al tipo de energía desarrollada en el proceso, por lo que se requiere la utilización del equivalente mecánico del calor J, tomando la ecuación de calor la forma siguiente:

Q=

W + ∆U J

La expresión anterior se conoce como la ecuación que define a la primera ley de la termodinámica y puede ser enunciada como una ley de la conservación de la energía, que nos indica que en cualquier proceso termodinámico el calor neto absorbido por un sistema es igual a la suma del equivalente térmico del trabajo realizado por él y el cambio en su energía interna. Por lo anterior podemos decir que: l a energía no puede crearse ni destruirse, solo transformarse de una forma a otra.

En el caso de un sistema aislado (ninguna energía en cualquier forma pasa a través de sus fronteras) la energía del sistema permanece invariable, puesto que Q = 0 ; W = 0 y ∆E = 0 . Ejemplo 3.26: Un recipiente rígido y aislado como el de la figura, contiene dos compartimentos.

Inicialmente uno de ellos contiene aire a una presión de 2 bar y 80°C , mientras el otro se encuentra vacío. Al quitar la división que los separa, el aire ocupa todo el recipiente. Determine el cambio en energía interna del aire durante este proceso.

aire

vacío

∆U es igual a cero, por consiguiente, la energía interna del aire permanece constante (experimento de Joule). Por otra parte, haciendo uso de la primera ley de la termodinámica, puesto que el calor Q y el trabajo W son también iguales a cero, implica también que ∆U es igual a cero.

Solución: Aplicando el concepto de la ley de Joule, al no existir cambio de temperatura se tiene que

La demostración formal de la existencia de la propiedad termodinámica de la energía del sistema E se presenta en el apéndice C del capítulo 3.

3.10 Procesos termodinámicos

194


La descripción completa de la condición o estado de un sistema en un instante dado se hace a través de sus propiedades termodinámicas. Por consiguiente, el estado de un sistema queda identificado por el conjunto de valores que tienen las propiedades termodinámicas en ese instante. Se dice que un sistema se encuentra en un estado de equilibrio termodinámico si es capaz de experimentar espontáneamente algún cambio de estado, con las condiciones que le imponen los alrededores. En otras palabras, un sistema se encuentra en equilibrio termodinámico si, al ser aislado, no experimenta ningún cambio de estado, esto es, si las propiedades termodinámicas permanecen invariables con el tiempo. Si una o más propiedades de un sistema cambian, se dice que el sistema ha realizado un proceso, cambiando de un estado a otro. Los procesos reales comprenden cambios en todas o casi todas las propiedades, pero estudiaremos la termodinámica por medio de condiciones ideales en las cuales a menudo una de las propiedades permanece constante. Por ejemplo, si ocurre un cambio de estado en donde el volumen de una masa particular permanece constante, pero varían otras propiedades, el proceso se denomina proceso a volumen constante, isométrico o isocórico; si ocurre un cambio de estado en el que la presión no cambia, decimos que la sustancia de trabajo sufre un proceso a presión constante o isobárico, o cuando la temperatura permanece constante decimos que el proceso es isotérmico. De igual manera consideramos que un proceso en el que no se trasmite calor, Q = 0 se denomina adiabático, un proceso isentrópico se define como un proceso adiabático reversible (aquel que puede alcanzar una inversión en la dirección general del proceso sin causar cambios permanentes en sus alrededores). Y por último un proceso internamente reversible que cumple la relación PV n = C recibe el nombre de politrópico. Cuando cierta masa de fluido en un estado particular pasa por una serie de procesos y regresa a su estado inicial, sufre un ciclo. Los procesos termodinámicos que analizaremos en el curso de Física General atendiendo su complejidad son: 1. Proceso isométrico o isocórico. 2. Proceso isobárico. 3. Proceso isotérmico. 4. Proceso adiabático. 5. Proceso politrópico. en cada uno de ellos estudiaremos modelos matemáticos que determinen: a. La ecuación característica. b. La ecuación de trabajo mecánico. c. La ecuación de la cantidad de calor trasmitido durante el proceso. d. La variación de la energía interna. e. La variación de la entropía entropía (se analizará en el capítulo capítulo 5). 3.10.1 Proceso Proceso isométrico isométrico o isocórico isocórico :

V 1 = V 2

a) La ecuación característica se obtiene de la ley de Charles-Gay Lussac cuando consideramos el

volumen constante, entonces para: V = cte


P ∝ T

⇒

P = cte T

para los estados (1) y (2) tenemos:

P

P1 P2 = T 1 T 2 para un solo estado sabemos que:

PV = m R T PV = n R T

P1

1

P2

2 V1 = V2

b) Ecuación de trabajo: 2

W = ∫ P dV = P 1

2

∫ 1 dV = P [ V ] 1 = P ( V 2 − V 1 ) 2

W = P ( 0 ) = 0 W = 0 c) Calor trasmitido:

Q = m C v ( T 2 − T 1 ) d) Variación de la energía interna:

De la expresión de la primera ley para sistemas cerrados:

Q=

W + ∆U J

como: W = 0 por lo tanto:

entonces: Q = ∆U

∆U = m C v ( T 2 − T 1 )

también podemos encontrar otra expresión de la energía interna relacionada con presiones:

V

195

196


de la ecuación: PV = m R T

T 1 =

P1 V 1 m R

P2 V 2 m R

T 2 =

y

T 2 − T 1 =

P2 V 2 P1 V 1 − m R m R

T 2 − T 1 =

V (P − P ) m R 2 1

como

V = V 1 = V 2

sustituyendo en ∆U :

⎛ V ⎞ ⎟⎟ ( P2 − P1 ) ∆U = m C v ( T 2 − T 1 ) = m C v ⎜⎜ m R ⎝ ⎠ ∆U =

V C v ( P2 − P1 ) R 6 pul g de diámetro y 40 pul g de longitud, contiene acetileno lb y C v = 0.333 lbm Btu x ° R a 250 pul g 2 abs y 80° F . Después que el acetileno ha sido

Ejemplo 3.27: Un tanque de

C p = 0.409

Btu lbm x ° R

usado, la presión es de 13.6

Kg cm 2

abs y la temperatura de 70°F , determinar:

a) El porcentaje de acetileno que fue usado. b) El volumen que ocuparía el acetileno usado si estuviera a la presión de 14.7 psia y 15°C . Datos: proceso isométrico

Ecuaciones:

D = 6 pul g L = 40 pul g

PV = m R T P1 V 1 P2 V 2 = T 1 T 2 R = J ( C p − C v )

P1 = 250

lb pul g 2

abs

T 1 = 80°F = 539.67° R P2 = 13.6

kg cm 2

abs = 193.53

lb pul g 2

T 2 = 70° F = 529.67° R η = ? P3 = 14.7 psia T 3 = 15°C = 59°F = 518.67° R V 3 = ?

abs

m f = m1 − m 2 η =

m1 − m2 (%) m1


197

198


Solución:

1) Hallemos el valor valor de la constante R del gas: R = J C p − C v R = 778.16

lb x pie lb x pie Btu (0.409 − 0.333) = 59.14 Btu lbm x ° R lbm x ° R

2) De la ecuación: P1V 1 = m1 R T 1 si:

⇒

m1 =

P1 V 1 R T 1

y

m2 =

P2 V 2 R T 2

V = V 1 = V 2 = π r 2 h V = 3.1416 x ( 3 pul g )2 x 40 pul g = 1 ,130.97 pul g 3

250 m1 =

1 pie lb 3 x 1 , 130 . 97 pul g x 12 pul g pulg 2 = 0.738 lbm lb x pie 59.14 x 539.67° R lbm x ° R

193.53 m2 =

lb 1 pie 3 x 1 , 130 . 97 pul g x 12 pulg pul g 2 = 0.582 lbm lb x pie 59.14 x 529.67° R lbm x ° R

3) La masa usada de acetileno es: m f = m1 − m2 = (0.738 − 0.582 ) lbm = 0.156 lbm 4) El porcentaje de acetileno usado se obtiene obtiene con la ecuación de eficiencia, dividiendo dividiendo la masa utilizada de acetileno entre la masa original: η =

m1 − m2 0.156 lbm = = 0.211 = 21.1% 0.738 lbm m f

5) El volumen utilizado utilizado se obtiene de la ecuación de estado:

V 3 =

m f R T 3 = P3

lb x pie x 518.67° R lbm x ° R = 2.26 pie 3 2 144 pul g lb 14.7 x 2 pulg 1 pie 2

0.156 lbm x 59.14


3.10.2 Proceso Proceso isobárico isobárico :

199

P1 = P2

a) La ecuación característica se obtiene de la ley de Charles-Gay Lussac cuando consideramos la

presión constante, entonces para: P = cte

V ∝ T

V = cte T

⇒

P

para los estados (1) y (2) tenemos:

V 1 V 2 = T 1 T 2

P1 = P2

1

2 W

V1

para un solo estado sabemos que:

PV = m R T PV = n R T b) Ecuación de trabajo:

W

2 1

P dV P

2 1

dV P V

2 1

W = P ( V 2 − V 1 ) sabemos que:

PV = m R T

P1 V 1 = m R T 1

entonces:

sustituyendo en la ecuación de trabajo:

W = P ( V 2 − V 1 ) = m R T 2 − m R T 1 W = m R ( T 2 − T 1 ) c) Calor trasmitido:

Q = m C p ( T 2 − T 1 ) De la ecuación: PV = m R T

⇒

T =

PV m R

y

P2 V 2 = m R T 2

V2

V

200


⎛ P V P V ⎞ C P Q = m C p ⎜⎜ 2 2 − 1 1 ⎟⎟ = p ( V 2 − V 1 ) m R ⎠ R ⎝ m R

Q=

P C p ( V 2 − V 1 ) R

d) Variación de la energía interna:

De la expresión de la primera ley para sistemas cerrados:

Q=

W + ∆U J

∆U = Q −

W J

por tanto: ∆U = m C p ( T 2 − T 1 ) −

m R ( T 2 − T 1 ) J

R ⎞ ⎛ ∆U = m ( T 2 − T 1 ) ⎜ C p − ⎟ J ⎠ ⎝ ⇒

de la expresión: R = J C p − C v

R − C p = − C v J

⇒

C p −

R = C p − C v J R = C v J

∆U = m C v ( T 2 − T 1 ) también podemos encontrar otra expresión de la energía interna relacionada con presiones: De la ecuación: PV = m R T

T 1 =

P1 V 1 m R

y

T 2 =

P2 V 2 m R


T 2 − T 1 =

P2 V 2 P1 V 1 − m R m R

T 2 − T 1 =

P ( V − V 1 ) m R 2

como

201

P = P1 = P2

sustituyendo en ∆U :

⎛ P ⎞ ⎟⎟ ( V 2 − V 1 ) ∆U = m C v ( T 2 − T 1 ) = m C v ⎜⎜ m R ⎝ ⎠ ∆U =

P C v ( V 2 − V 1 ) R

4 lbm de un gas aumenten su a la presión constante de 25 pullbg 2 abs , si R = 55 lblbm x x pie y ° R

Ejemplo 3.28: ¿Qué cantidad de calor debe ser suministrado para que

volumen de 35 a 80 pies 3

C v = 0.176 lbm Btu variación de la energía energía interna. x ° R ; hallar el trabajo realizado y la variación Datos: proceso isobárico


m = 4 lbm

PV = m R T P1 V 1 P2 V 2 = T 1 T 2 Q = m C p ( T 2 − T 1 )

V 1 = 35 pie 3 V 2 = 80 pie 3 P1 = P2 = 25 pullbg 2 abs

R = J ( C p − C v )

Q =?

J = 778.16

lb x pie Btu

Solución:

1) Hallemos el valor del calor específico a presión constante C p :

R = J C p − C v )

⇒

C p =

R + C v J

202


lb x pie lbm x ° R Btu Btu Btu + 0.176 = (0.0706 + 0.176) = 0.246 C p = lb x pie lbm x ° R lbm x ° R lbm x ° R 778.16 Btu

55

2) De la ecuación: P V = m R T

⇒

T 1 =

P1 V 1 m R

y

T 2 =

P2 V 2 m R

144 pul g 2 lb 25 x x 35 pies 3 2 2 1 pie pul g = 572.7° R T 1 = lb x pie 4 lbm x 55 lbm x ° R 144 pul g 2 lb 25 x x 80 pies 3 2 2 1 pie pul g T 2 = = 1,309° R lb x pie 4 lbm x 55 lbm x ° R 3) La expresión de calor está dada por: Q = m C p ( T 2 − T 1 )

Q = 4 lbm x 0.246

Btu ( 1,309 − 572.7 )° R = 724.51 Btu lbm x ° R

4) El trabajo realizado se obtiene aplicando la ecuación: W = P ( V 2 − V 1 )

144 pul g 2 lb ( 80 − 35 ) pies 3 = 162,000 lb x pie W = 25 x 2 2 1 pie pul g 5) La variación de la energía energía interna se obtiene obtiene de la expresión: expresión: ∆U = m C v ( T 2 − T 1 )

∆ U = 4 lbm x 0.176

Btu ( 1,309 − 572.7 )° R = 518.355 Btu lbm x ° R

Podemos hallar el valor de ∆ U aplicando también la ecuación: ∆U =

P C v ( V 2 − V 1 ) R


203

144 pul g 2 lb Btu 25 0 . 176 x x lbm x ° R 1 pie 2 pul g 2 ∆ U = x ( 80 − 35 ) pie 3 = 518.4 Btu lb x pie 55 lbm x ° R

T 1 = T 2

3.10.3 Proceso Proceso isotérmico isotérmico :

a) La ecuación característica se obtiene de la ley de Boyle-Mariotte cuando consideramos la temperatura

constante, entonces para: T = cte

P∝

1 V

⇒

P

P V = cte

P1

para los estados (1) y (2):

1 dV

P1 V 1 = P2 V 2

P2


2 V1

V2

PV = m R T PV = n R T b) Ecuación de trabajo:

P V

C (cte)

⇒

2

2

W = ∫ 1 P dV = ∫ 1

⎛ V ⎞ W = P V ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V 1 ⎠ sabemos que:

PV = m R T

P=

C V

2 dV C 2 = C [ ln V ]1 = P V ( lnV 2 − ln V 1 ) dV = C ∫ 1 V V

V

204


entonces:

⎛ V ⎞ W = m R T ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V 1 ⎠ como: P1 V 1 = P2 V 2

V 2 P1 = V 1 P2 sustituyendo en la ecuación de trabajo:

⎛ P ⎞ W = P V ln ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠

y también

⎛ P ⎞ W = m R T ln ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠

c) Calor trasmitido: Como la temperatura es constante la diferencia

T 2 − T 1 = 0 , por lo que observamos

que al sustituir en la ecuación Q = m Ce ( T 2 − T 1 ) el calor es cero, debemos utilizar entonces la siguiente expresión:

Q=

W + ∆U J

de la ley de Joule recordemos que cuando no hay variación de temperatura el incremento de la energía interna es cero ∆U = 0 y por tanto:

Q=

W J

d) Variación de la energía interna:

De la ley de Joule: ∆U = 0

Ejemplo 3.29: Un gas ideal ocupa un volumen de

4 pies 3 a 14

Kg cm 2

, expandiéndose a temperatura

constante hasta 12 pies 3 , encontrar la presión final, el trabajo desarrollado, el calor generado y la variación de la energía interna; obtener los resultados en unidades del sistema inglés.


Datos: proceso isotérmico

Ecuaciones:

V 1 = 4 pie 3

PV = m R T P1 V 1 P2 V 2 = T 1 T 2

Kg cm 2

P1 = 14

= 199.225

lb pul g 2

T 1 = T 2 = cte

⎛ V ⎞ W = P1 V 1 ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V 1 ⎠ W Q= J

V 2 = 12 pie 3

P2 = ? W = ? Q=? ∆U = ? Solución:

1) De la ecuación general de los los gases:

199.225 P2 =

P1 V 1 P2 V 2 = T 1 T 2

⇒

P1 V 1 = P2 V 2

lb x 4 pie 3 2 pul g lb = 66.408 3 12 pie pul g 2

⎛ V ⎞ 2) Sustituyendo en la ecuación de trabajo: W = P1 V 1 ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V 1 ⎠ ⎛ 12 pie 3 ⎞ 144 pul g 2 lb 3 ⎟ W = 199.225 x x 4 pie ln ⎜⎜ 2 2 3 ⎟ pul g 1 pie ⎝ 4 pie ⎠ = 114,753.6 lb x pie ln (3) = 114,753.6 x 1.098612289 lb x pie = 126,069.7151 lb x pie 3) La expresión de calor para este proceso es: Q =

Q=

126,069.7151 lb x pie = 162.01 Btu lb x pie 778.16 Btu

4) Por la ley de Joule: ∆U = 0

W J

205

206


3.10.4 Proceso Proceso adiabático: adiabático:

P V k = cte y Q = 0

Este proceso se caracteriza por ser totalmente aislado, es decir, no permite el paso de calor y por tanto, s istema se les denomina paredes adiabáticas. Q = 0 , a las paredes del sistema a) La ecuación característica para este proceso se encuentra dada por la siguiente s iguiente expresión:

P V k = cte siendo k la relación de calores específicos: k =

C p C v

P P1


1 dV

PV = m R T PV = n R T

P2

2 V1

para el proceso que pasa por los estados es tados (1) y (2):

P1 V 1k = P2 V 2k

y también:

P1 V 1 P2 V 2 = T 1 T 2

despejando a P2 tenemos de la ecuación característica:

⎛ V 1k ⎞ P1 V 1k P2 = k = P1 ⎜⎜ k ⎟⎟ V 2 ⎝ V 2 ⎠ ⎛ V ⎞ P2 = P1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V 2 ⎠

k

también se puede obtener V 2 :

P1 V 1k P1 k V = = V P2 P2 1 k 2

k

V 2k =

k

P1 k V 1 P2

V2

V


V 2 = k

207

P1 V P2 1 1 ⎞ k

⎛ P V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠

relacionando el proceso adiabático con las temperaturas, tenemos a partir de la ecuación general de los gases:

P1 V 1 P2 V 2 = T 1 T 2 dividiendo entre la constante: PV k

P1 V 1 P V = 2 2 k k T 1 P1 V 1 T 2 P2 V 2 V 1 V = 2 k k T 1 V 1 T 2 V 2 V 1 V 2k T 2 = V 2 V 1k T 1 V 1k V 2 V 1k −1 T 2 = T 1 = T V 1 V 2k 1 V 2k −1

⎛ V ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V 2 ⎠

k −1

de la expresión: P1 V 1k = P2 V 2k

V 1k P2 = V 2k P1

208


k

k

⎛ V 1 ⎞ P ⎜⎜ ⎟⎟ = k 2 P1 ⎝ V 2 ⎠ 1 ⎞ k

V 1 ⎛ P2 = ⎜⎜ ⎟⎟ V 2 ⎝ P1 ⎠ entonces:

⎛ V 1 ⎞ ⎟⎟ V ⎝ 2 ⎠

k −1

T 2 = T 1 ⎜⎜

⎛ P ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠

⎛ V ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V 2 ⎠

k −1

1 ⎡ ⎤ k ⎛ ⎞ P = T 1 ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎢⎝ P1 ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

k −1 k

k −1

⇒

T 2 k −1 ⎛ V 1 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ T 1 ⎝ V 2 ⎠

V 1 ⎛ T 2 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ V 2 ⎝ T 1 ⎠ V 2 =

1 k −1

V 1 ⎛ T 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ T 1 ⎠

1 k −1

⎛ T ⎞ V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ T 2 ⎠

k −1

1 k −1

k −1

T 2 T 1

⎛ V ⎞ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V 2 ⎠

k −1


de la ecuación:

⎛ P ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠

T 2 ⎛ P2 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ T 1 ⎝ P1 ⎠ k −1 k

⎛ T 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ T 1 ⎠

k k −1

k −1 k

k −1 k

T 2 = T 1

=

k −1 k

⎛ P2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠

k −1 k

P2 P1

⎛ T ⎞ P2 = P1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ T 1 ⎠

k k −1

b) Ecuación de trabajo:

P V k

W =

⇒

C (cte) 2

∫1

P

C V k

k

2

2 dV 2 ⎡ V − k + 1 ⎤ C − k P dV = ∫ k dV = C ∫ k = C ∫ V dV = C ⎢ ⎥ = 1 V 1 V 1 ⎣ − k + 1⎦ 1 2

⎛ V 2−k + 1 V 1−k + 1 ⎞ ⎟⎟ = P V ⎜⎜ − 1 1 − k + − k + ⎝ ⎠ k

P2 V 2k V 2− k + 1 − P1 V 1k V 1− k + 1 W = − k + 1

W =

C V

P2 V 2 − P1 V 1 1 − k

209

210


de la ecuación: PV = m R T

W =

m R T 2 − m R T 1 1 − k

W =

m R ( T 2 − T 1 ) 1 − k

c) Calor trasmitido:

Por tratarse de un proceso adiabático: Q = 0 d) Variación de la energía interna:

De la ley de Joule: Q =

0=

W + ∆U J

W + ∆U J ⇒

como sabemos que: W =

∆U = −

W J

m R ( T 2 − T 1 ) 1 − k

⎛ m ⎞ ⎛ R ⎞ ∆U = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ( T 2 − T 1 ) ⎝ J ⎠ ⎝ 1 − k ⎠ hallemos el factor: −

o también

⎛ m ⎞ ⎛ R ⎞ ∆U = ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ( T 2 − T 1 ) ⎝ J ⎠ ⎝ 1 − k ⎠

R 1 − k

de las ecuaciones que contienen a los los calores específicos tenemos:

R = J C p − C v

−

y

k =

C p C v

J C p − C v J C p − C v J C v C p − C v J C v C v − C p R =− =− =− = = J C v C p C v − C p 1 − k C v − C p C v − C p 1− C v C v


211

sustituyendo en:

∆U = −

m R m ( T 2 − T 1 ) = ( J C v ) ( T 2 − T 1 ) = m C v ( T 2 − T 1 ) J 1 − k J

∆U = m C v ( T 2 − T 1 )

6 pies 3 de un gas a 60 psia se expanden adiabáticamente hasta 10 psia , determinar el trabajo desarrollado y la variación de la energía interna, si el peso molecular del gas es de 39.95 lblbmolm y

Ejemplo 3.30:

C v = 0.0749 lbm Btu x ° R Datos: proceso adiabático

Ecuaciones: 1 k

3

V 1 = 6 pies P1 = 60 pullbg 2 abs

⎛ P ⎞ V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠ P V − P V W = 2 2 1 1 1 − k Q=0 ∆U = m C v ( T 2 − T 1 ) R = R M

P2 = 10 pullbg 2 abs M = 39.95 lblbmolm C v = 0.0749 lbm Btu x ° R W = ? Hallar: ∆ U = ? Solución:

1) De la ecuación: R = R M

⇒

R =

R M

lb x pie lbmol x ° R lb x pie = 38.68 lb lbm x ° R 39.95 m lbmol

1 ,545.32 R =

2) De la expresión: R = J C p − C v )

⇒

C p =

R + C v J

lb x pie lbm x ° R Btu Btu Btu C p = + 0.0749 = ( 0.0497 + 0.0749 ) = 0.1246 lb x pie lbm x ° R lbm x ° R lbm x ° R 778.16 Btu

38.68

212


3) De la ecuación para la constante: constante: k =

C p C v

Btu lbm x ° R = 1.663 k = Btu 0.0749 lbm x ° R

0.1246

⎛ P ⎞ 4) Para hallar el volumen final en función función del volumen inicial: inicial: V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠

1 k

1 1 . 663 ⎞

lb ⎛ ⎜ 60 ⎟ 2 pul g ⎟ V 2 = 6 pies 3 ⎜⎜ lb ⎟ ⎜ 10 2 ⎟ pul g ⎝ ⎠

0.60132 = 6 pies 3 ( 6 ) = 6 pies 3 x 2.937 = 17.622 pies 3

5) La ecuación de trabajo está dada dada por: W =

P2 V 2 − P1 V 1 1 − k

144 pul g 2 144 pulg 2 lb lb 3 10 x x 17.622 pies − 60 x x 6 pies 3 2 2 2 2 1 pie 1 pie pulg pulg W = 1 − 1.663

=

( 25 ,375.68 − 51 ,840 ) lb x pie − 0.663

= 39 ,976.31 lb x pie

6) Sabemos que para el proceso adiabático adiabático Q = 0 y la energía interna ∆U = m C v ( T 2 − T 1 ) o también: Q = entonces:

W + ∆U J

∆U = −

⇒

∆U = −

W J

39 ,976.31 lb x pie = −51.372 Btu lb x pie 778.16 Btu

el signo negativo indica que la energía interna disminuyó, por tratarse de un proceso de expansión.


3.10.5 Proceso Proceso politrópico politrópico :

213

P V n = cte

Es un proceso general en el cual se resumen tres de los procesos anteriores. En lugar de la constante adiabática k , se considera una nueva constante n , llamada politrópica. a) La ecuación característica para este proceso se encuentra dada por la siguiente s iguiente expresión:

P V n = cte a.1) Cuando

P

n=0

PV 0 = cte P = cte

P1

se tiene un proceso isobárico.

P2

1 dV 2 V1

a.2) Cuando

n =1

PV = cte se tiene un proceso isotérmico. a.3) Cuando

n = k

PV k = cte se tiene un proceso adiabático. Para un solo estado sabemos que:

PV = m R T PV = n R T Para el proceso politrópico que pasa por los estados (1) y (2):

P1 V 1n = P2 V 2n

y también:

P1 V 1 P V = 2 2 T 1 T 2

V2

V

214


para hallar la constante politrópica n analicemos la ecuación de estado obteniendo su logaritmo natural ( ln ) :

ln ( P1 V 1n ) = ln ( P2 V 2n ) ln P1 + ln V 1n = ln P2 + ln V 2n ln P1 + n ln V 1 = ln P2 + n ln V 2 n ln V 1 − n ln V 2 = ln P2 − ln P1 n ( ln V 1 − ln V 2 ) = ln P2 − ln P1

n=

ln P2 − ln P1 ln V 1 − ln V 2

n=

entonces:

⎛ P ⎞ ln ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠ ⎛ V ⎞ ln ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V 2 ⎠

siguiendo un procedimiento similar al del proceso adiabático, podemos obtener las ecuaciones de cambio del estado (1) al estado (2):

n

⎛ V ⎞ P2 = P1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V 2 ⎠

⎛ P ⎞ V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠ ⎛ V 1 ⎞ ⎟⎟ V ⎝ 2 ⎠

T 2 = T 1 ⎜⎜

b) Ecuación de trabajo:

W =

P2 V 2 − P1 V 1 1− n

W =

m R ( T 2 − T 1 ) 1− n

1 n

n −1

⎛ T ⎞ P2 = P1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ T 1 ⎠ ⎛ T ⎞ V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ T 2 ⎠ ⎛ P ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠

n n −1

1 n −1

n −1 n


215

c) Calor trasmitido: Para obtener la ecuación del calor requerimos del concepto denominado calor

específico politrópico, que tiene la siguiente expresión:

⎛ kcal Btu ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , kg x K lb x R ° m ⎝ m ⎠

⎛ k − n ⎞ ⎟⎟ C n = C v ⎜⎜ 1 n − ⎝ ⎠ por lo tanto:

Q = m C n ( T 2 − T 1 ) d) Variación de la energía interna:

Q=

W + ∆U J

∆U = Q −

W J

sustituyendo las ecuaciones de trabajo y calor:

m R ( T 2 − T 1 ) 1− n ∆U = m C n ( T 2 − T 1 ) − J ⎡ ⎛ k − n ∆U = m ⎢ C v ⎜ ⎝ 1 − n ⎣

m R ( T 2 − T 1 ) ⎞⎤ ⎟⎥ ( T 2 − T 1 ) − J ( 1− n ) ⎠⎦

⎡ C ( k − n ) ⎤ R ∆U = m ⎢ v − ⎥ ( T 2 − T 1 ) ( ) 1 n J 1 n − − ⎣ ⎦ ⎡ J C v ( k − n ) − R ⎤ ∆U = m ⎢ ⎥ ( T 2 − T 1 ) ( ) − J 1 n ⎣ ⎦ ⎡ ⎢ J C v ∆U = m ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

⎛ C p ⎞ ⎜⎜ − n ⎟⎟ − J ( C p − C v ) ⎝ C v ⎠ J (1 − n )

⎤ ⎥ ⎥ ( T − T ) ⎥ 2 1 ⎥ ⎥⎦

216


⎡ C p − n C v − C p − C v ⎤ ∆U = m ⎢ ⎥ ( T 2 − T 1 ) 1 n − ⎣ ⎦ ⎡ C ( 1 − n ) ⎤ ∆U = m ⎢ v ⎥ ( T 2 − T 1 ) ⎣ 1− n ⎦ ∆U = m C v ( T 2 − T 1 )

Ejemplo 3.31: En un proceso politrópico, un cilindro provisto de un émbolo contiene

50 dm 3 de aire a

15°C y 1.5 cmkg2 de presión. El aire se comprime a 6 cmkg2 siendo la relación PV 1.25 = cte , calcular: a) b) c) d) e)

El volumen final. La temperatura final. El trabajo efectuado en kg x m . El calor transmitido a través de las paredes del cilindro durante el proceso. La variación de la energía interna.

Considerando que: C v = 0.171

kcal kg m x K

y

R = 29.3

Datos:

Ecuaciones:

V 1 = 50 dm 3

PV = mRT

T 1 = 15°C = 288.15K

P1V 1n = P2V 2n

P1 = 1.5

P2 = 6

kg cm 2

kg cm 2

n = 1.25

⎛ P ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠

W =

kg x m kg m x K Figura:

P

n −1 n

V

P2V 2 − P1V 1 1− n

⎛ P ⎞ V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠

PV 1.25 = cte

1 n

Q = m C n ( T 2 − T 1 )

CONVERSIÓN DE ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR Solución: Hallar V 2 , T 2 , W , m, C p , k , C n , Q y ∆U

⎛ P ⎞ 1) Hallar el volumen: V 2 = V 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ P2 ⎠

1 n

1

kg ⎞ 1.25 ⎛ ⎜ 1.5 2 ⎟ V 2 = 50 dm 3 ⎜ cm ⎟ = 50 dm 3 x 0.3298 =16.49 dm 3 ⎜ kg ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ cm 2 ⎠ ⎛ P ⎞ 2) Hallar la temperatura: T 2 = T 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ P1 ⎠ ⎛ kg ⎞ ⎜6 ⎟ 2 cm ⎜ ⎟ T 2 = 288.15 K ⎜ kg ⎟ ⎜ 1.5 2 ⎟ ⎝ cm ⎠

n −1 n

1.25 − 1 1.25

= 288.15 K x 1.3195 = 380.213 K

3) Hallar el trabajo desarrollado: desarrollado: W =

P2V 2 − P1V 1 1− n

100 cm 2 100 cm 2 kg kg 3 3 − 1.5 2 x 50 dm x 6 2 x 16.49 dm x cm 1 dm 2 cm 1 dm 2 W = 1 − 1.25 =

( 9,894 − 7,500 ) kg x dm 1m = − 957.6 kg x m x − 0.25 10 dm

El signo negativo (−) indica que se efectúa trabajo sobre el sistema. 4) De la ecuación general de los los gases: PV = mRT

⇒

m=

PV RT

1m kg 100 cm 2 3 1.5 2 x 2 x 50 dm x PV 1dm 10 dm cm = 0.0888 kg m m= 1 1 = kg x m RT 1 29.3 x 288.15 K kg m x K

217

218


5) Si: R = J C p − C v

⇒

C p =

R + C v J

kg x m kg m x K kcal kcal + 0.171 = 0.239 C p = kg x m kg m x K kg m x K 426.93 kcal

29.3

6) De la relación relación de calores específicos: k =

C p C v

kcal kg m x K = 1.4 k = kcal 0.171 kg m x K

0.24

⎛ k − n ⎞ 7) Para hallar el calor específico específico politrópico tenemos la ecuación: C n = C v ⎜ ⎟ ⎝ 1 − n ⎠

C n = 0.171

kcal ⎛ 1.4 − 1.25 ⎞ kcal kcal ( − 0.6 ) = − 0.1026 ⎜ ⎟ = 0.171 kg m x K ⎝ 1 − 1.25 ⎠ kg m x K kg m x K

8) La ecuación de calor p ara el proceso está dada por:

Q = m C n ( T 2 − T 1 )

⎛ kcal ⎞ ⎟⎟ ( 380 − 288.15 ) K = − 0.8368 kcal Q = 0.0888 kg m ⎜⎜ − 0.1026 kg x K m ⎝ ⎠ 9) La energía interna se obtiene obtiene mediante la aplicación de: ∆U = m C v ( T 2 − T 1 )

∆U = 0.0888 kg m x 0.171

Comprobación:

Q=

W + ∆U J

kcal ( 380 − 288.15 ) K = 1.3947 kcal kg m x K


219

957.6 kg x m + 1.3947 kcal = − 2.2429 kcal + 1.3947 kcal kg x m 426.93 kcal − 0.8368 kcal = − 0.8482 kcal − 0.868 kcal = −

La diferencia entre los resultados obte nidos al comprobar, se debe a las aproximaciones numéricas efectuadas.

08) CAPÍTULO 3 -Apuntes de Fisica General - José Pedro Agustin Valera Negrete

Recommend Documents