05 Carregamento Transversal

10/15/2008

CAPÍTULO

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS MA TERIAIS I Ferdi nand P. Beer Ferdinand E. Russell John ston , Jr. John Jo hn T. DeWolf

CARREGAMENTO TRANSVERSAL

Tradução Prof. Emerson Emerson Morais

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I

Beerr • Johnston • De Bee DeWolf Wolf • Tradução Tradução Prof. Eme Emerson rson Mora Morais is

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Conteúdo Programático do Capítulo 5 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Carregamento transversal em barras prismáticas; Hipóteses básicas para a distribuição distribuição de tensões tensões normais; Tensão de cisalhamento em um plano horizontal; Tensão de Cisalham Cisalhamento ento τ xy em uma viga; Tensões ensões de cisalhamen cisalhamento to τ xy em vigas de seções transversais usuais; Cisalhamento em uma seção longitudinal arbitrária;


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Beer • Johnston • DeWolf • Tradução Prof. Emerson Morais

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Introdução • O carregamento transversal aplicado em uma viga resulta em tensões normais e cisalhantes em seções transversais. • Tensões verticais de cisalhamento devem existir em qualquer estrutura sujeita a carregamento transversal.

• A distribuição de tensões normais e cisalhantes satisfaz:

∑ F = ∫ x

y

=

τ xy

∑ F = ∫ z

σ x dA = 0

A = −V

τ xz dA = 0

∑ M = ∫( y x

y

τ xz − z τ xy )dA = 0

= z σ x A = 0

∑ M = ∫ − y z

σ x dA = M

• Não necessariamente τ xz deve ser igual a zero em todos os pontos




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Introdução • Quando tensões de cisalhamento são aplicadas às faces verticais de um elemento, tensões iguais devem ser aplicadas nas faces horizontais do mesmo elemento. • Conclui-se que devem existir tensões de cisalhamento longitudinais em qualquer barra submetida a carregamento transversal.

relação à outra quando uma força transversal P é aplicada. O fato não ocorre com a aplicação de um momento M , pois tensões de cisalhamento não ocorrem em uma viga sujeita à flexão pura. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Cisalhamento em um plano horizontal de uma viga • Considerando uma barra prismática: • Pelo equilíbrio da viga:

∑ F

x

Δ H

= 0 = Δ H +

=

−

D

σ D

− σ C )dA

σ

= My / I

∫ ydA

C

I

∫ (

α

• Sendo:

∫

Q = ydA ,

momento estático

α

M D − M C = Δ M =

dM dx

Δ x

= V Δ x

• Substituindo: Δ H =

q=

VQ

Δ x I Δ H VQ

=

, fluxo de cisalhamento I ou esforço horizontal por unidade de Δ x

compriment o © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



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Cisalhamento em um plano horizontal de uma viga • Fluxo de Cisalhamento, q=

Δ H Δ x

=

VQ , fluxo de cisalhamento I

• Onde: Q = ydA , α

= momento estático da área acima de y1 I =

∫ y dA 2

α +α '

= momento de inércia da seção transversal inteira

• Mesmo resultado seria encontrado para a área do elemento inferior: q' =

Δ H '

=

VQ'

= − q' I Q + Q' = 0 , momento estático Δ x

em relação ao eixo neutro Δ H ' =

− Δ H


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Exemplo 1 SOLUÇÃO: • Determinar a força horizontal por unidade de comprimento ou fluxo de cisalhamento q que se exerce na face inferior da prancha superior da viga. • Calcular a força cortante correspondente em cada prego. Uma viga de madeira é constituída por três peças de 20 por 100 mm de seção transversal, que são pregadas umas às outras. O espaçamento entre os pregos é de 25 mm. Sabendo-se que a viga está submetida a uma força cortante de V = 500 N, determinar a força de corte em cada prego. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



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Exemplo 1 SOLUÇÃO: • Determinar a força horizontal por unidade de comprimento ou fluxo de cisalhamento q que se exerce na face inferior da peça superior da viga. Teorema dos Eixos Paralelos : I x = I x' + Ad 2

Q = A y

= (0 . 020 m × 0 . 100 m )(0 . 060 m ) = 120 × 10

−6

m

3

3 I = 1 (0 . 020 m )(0 . 100 m ) 12 1 (0 . 100 m )(0 . 020 m )3 + 2 [ 12

+ (0 . 020 m × 0 . 100 m )(0 . 060 m )2 ]

(500 N )(120 × 10 − 6 m 3 ) I 16.20 × 10 - 6 m 4 = 3704 N m

q=

VQ

=

• Calcular a força cortante correspondente em cada prego. F = ( 0 ,025m )q = ( 0 ,025m )( 3704 N / m )

F = 92 .6 N

= 16 . 20 × 10 − 6 m 4 © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

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Determinação da Tensão de Cisalhamento em uma viga • A tensão média de cisalhamento em uma superfície horizontal de um elemento é obtida através da divisão da força horizontal exercida sobre o elemento pela área da superfície. τ med

=

Δ H Δ A

, sendo

Δ H

= q Δ x =

VQ I

Δ x

VQ

Δ x VQ I = τ med = t Δ x It t : largura da seção horizontal

• Nas faces superior e inferior da viga, xy= da seção transversal.

τ yx=

0.

• Quando a largura da viga se mantém pequena em relação à altura da seção, as tensões de cisalhamento variam muito pouco ao longo de D’ 1 D’ 2. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.


Tensões de cisalhamento

Beer • Johnston • DeWolf • Tradução Prof. Emerson Morais 10

τ xy em

vigas usuais • Para uma viga retangular estreita: τ med

=

VQ

=

3V ⎛ y ⎞ ⎜1 − ⎟ 2 2

⎜

⎟

fazendo y = 0, τ max

=

3V 2 A

• Para perfis em forma de I ou perfis de abas largas: τ med

=

τ max

=

VQ It V A alma


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Exemplo 2 SOLUÇÃO: • Desenvolver os diagramas de momento fletor e esforço cortante. Identificar os máximos. • Determinar a altura baseada na tensão normal admissível. Uma viga de madeira deve suportar três • Determinar a altura baseada na tensão de cargas concentradas. Sabendo que, para o cisalhamento admissível. tipo de madeira usada, • a tura a v ga requer a gua a σ all = 1800 psi τ all = 120 psi maior das duas alturas encontradas. Determinar a altura mínima d necessária para a viga.




Exemplo 2 SOLUÇÃO: • Desenvolver os diagramas de momento fletor e esforço cortante. Identificar os . V max = 3 kips M max = 7. 5 kip ⋅ ft = 90 kip ⋅ in


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Exemplo 2 • Determinar a altura baseada na tensão normal admissível. =

σ all

M max S

1800 psi =

S = W = módulo resistente

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⋅ .

(0 .5833 in. ) d 2

d = 9 .26 in.

I = 1 b d 3 12 I 2 S = = 1 b d c = 16 (3 .5 in. )d 2

= (0 .5833 in. )d 2

• Determinar a altura baseada na tensão de cisalhamento admissível. τ all

=

3 V max 2 A

120 psi =

2 (3.5 in. ) d d = 10 .71 in.

• A altura da viga requerida é igual a maior das duas. d = 10 . 71 in. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



Exemplo 3 A Viga AB é constituída por três peças coladas uma às outras. Sabendo-se que a largura de cada junta colada é de 20 mm, determinar a tensão de cisalhamento média na viga n-n da v ga, que eve ser ca cu a o nas untas coladas. O esquema indica a localização do centróide da seção. Dado I = 8,63 x 10 -6 m4. Força cortante na seção n-n: +↑

∑ F

y

= 0;

1,5kN - V = 0

V = 1,5kN


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Exemplo 3 Tensão de Cisalhamento na Junta a: Q = A ⋅ y 1 = [( 0 ,100 m )( 0 ,20 m )]( 0 ,0417 m )

= 83 4 × 10 − 6 m 3 VQ

=

τ med

= 725 kPa

It

=

( 1500 N )( 83 ,4 × 10 − 6 m 3 )

τ med

( 8 ,63 × 10 − 6 m 4 )( 0 ,020 m )

Tensão de Cisalhamento na Junta b: ⋅

,

2

Q = 70 ,0 × 10 VQ

m

,

,

3

( 1500 N )( 70 ,0 × 10 − 6 m 3 )

τ med

=

τ med

= 608 kPa

It

=

− 6

( 8 ,63 × 10 − 6 m 4 )( 0 ,020 m )




Exemplo 4 Uma peça de máquina em forma de perfil T fica submetida a uma força atuante no seu plano de simetria. Determinar: (a) a máxima tensão de compressão na seção n-n; (b) a máxima tensão de cisalhamento. Determinação da Linha Neutra Y =

∑ A y = ( 0 ,1m )( 0 ,01m )( −0 ,005 m ) + ( 0 ,05 m )( 0 ,01m )( 0 ,025 m ) ( 0 ,1m )( 0 ,01m ) + ( 0 ,05 m )( 0 ,01m ) ∑ A

Y =

7 ,5 × 10 − 6 m 3 1 ,5 × 10 − m 3

2

Y = 5 × 10 − 3 m = 5 mm


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Exemplo 4 Momento de Inércia Centroidal

Tensão Máxima de Compressão M = ( 6 ,7 kN )( 0 ,3 m ) = 2 ,01 kN ⋅ m

I = 1 / 12( 0 ,1m )( 0 ,01m )3 + ( 0 ,1m )( 0 ,01m )( 0 ,005m + 0 ,005m )2

c = 50 mm − 5 mm = 45 mm

+ 1 / 12( 0 ,0 1m )( 0 ,05 m )3 + ( 0 ,01m )( 0 ,05m )( 0 ,025m − 0 ,005m )2

máxima de compressão ocorre em d

I = 4 ,125 × 10 −7 m 4

Mc

( 2 ,01 kN ⋅ m )( 0 ,045 mm )

σ max

=

σ max

= 219 ,3 MPa

I

=

a tensão

− 4 ,125 × 10 7 m 4

Tensão Máxima de Cisalhamento:

Q = A ⋅ y = ( 0 ,045 m ( 0 ,01 m ) Q = 1 ,012 × 10 − 5 m VQ

2

3

( 6 ,7 kN )( 1 ,012 × 10 − 5 m 3 )

τ m

=

τ m

= 16450 kN / m

It

=

( 0 ,045 m )

( 4 ,125 × 10 − 7 m 4 )( 0 ,01 m ) 2

= 16 ,45 MPa © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



Cisalhamento em uma seção transversal arbitrária • Examinamos a distribuição dos componentes verticais τ xy em uma seção transversal de uma viga. Agora vamos cons erar os componentes or zonta sτ xz das tensões. • Considerar a viga prismática com um elemento definido pela superfície curva CDD’C’. ∑ F x = 0 = Δ H + ∫ ( D − σ C )dA a

• Exceto pelas diferenças na integração das áreas, é o mesmo resultado obtido anteriormente: Δ H =

VQ I

Δ x

q=

Δ H VQ = I Δ x


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Exemplo 5 SOLUÇÃO: • Determinar a força cortante por unidade de com rimento ao lon o de cada borda da tábua superior. • Baseado no espaçamento entre os pregos, determinar a força cortante em cada prego. Uma viga caixão quadrada é feita com duas tábuas de 19 mm x 76 mm e duas tábuas de 19 mm x 114mm, re adas de acordo com a figura. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 45 mm e que a viga está submetida a uma força cortante vertical de intensidade V = 2,7 kN, determine a força cortante em cada prego. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.



Exemplo 5 SOLUÇÃO: • Determinar a força cortante por unidade de comprimento ao longo de cada borda . q=

VQ I

=

( 2700 N )( 68590 mm 3 ) 11 ,29 × 10 6 mm 4

q = 16 ,4 N / mm f : força cortante por unidade

Para a tábua superior,

de compriment o em cada borda f = q/2 = 8,2N/mm

Q = A ⋅ y = ( 19 mm )( 76 mm )( 47 ,5 mm ) Q = 68590 mm 3

Para toda a seção transversal da viga, I =

1 12

a4 =

1 12

( 114 mm )4 −

1 12

• Baseado no espaçamento entre os pregos, determinar a força cortante em cada prego. F = f ⋅ l = ( 8,2N/mm) ⋅ (45mm)

( 76 mm )4

F = 369N

I = 11 ,29 × 10 6 mm 4


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