Problema 1 Una pequeña grúa es montada en la parte posterior de una camioneta. Para la posición de θ = 40° determine: a) La presión de aceite que actúa sobre el pistón de diámetro 50 mm en el cilindro hidráulico BC. b) La magnitud de la fuerza soportada por el pasador en O.
Solución Se determina el ángulo que permite conocer la dirección de la reacción C:
C O
B
Se elabora el DCL y se plantean tres ecuaciones de equilibrio:
(1)
(2) (3)
Donde:
a) Teniendo en cuenta que
y resolviendo en (3):
La presión de aceite que actúa sobre el pistón de diámetro 50 mm en el cilindro hidráulico BC, es:
(4)
(5)
b) Reemplazando en (4) y resolviendo en (1):
Reemplazando
en (5) y resolviendo en (2):
La magnitud de la fuerza soportada por el pasador en O es:
Problema 2 Una ranura de forma parabólica ha sido cortada en la platina que se muestra en la figura, además está posicionada de manera que los pines B y C (fijos) encajen perfectamente sin generar fricción. La ecuación de la ranura parabólica es
en donde las variables
e
que la fuerza P es de 10 N, determine: a) Las fuerzas que ejercen los pines B y C sobre la platina. b) La fuerza Q .
Solución Se elabora el DCL del sólido a analizar:
están expresadas en milímetros. Sabiendo
:
La coordenada Y del punto C se obtiene evaluando la función dada en
La pendiente de la ranura parabólica en el punto C se obtiene derivando la función y evaluándola en el mismo punto:
Luego se escribe la ecuación de equilibrio de momento en B y de fuerzas en X para obtener
√ √ √ √ √ √
y
:
(1)
(2)
Resolviendo (1) y (2) se obtiene:
Por último se escribe la ecuación de equilibrio de fuerzas en Y para obtener
:
√ √ Problema 3
Un resorte de módulo es deformado una distancia cuando el sistema está en la posición mostrada. a) Calcule la fuerza mínima requerida para iniciar la rotación alrededor del eje BC y las reacciones correspondientes en los cojinetes B y C, que sólo ejercen fuerzas radiales. b) Determine la reacción normal en D si .
⁄
Solución Se elabora el DCL del sólido a analizar:
Por último, se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza en , y se determinan las reacciones en C:
(4) (5)
Resolviendo (4) y (5) se obtiene:
⁄
a) El valor de P mínimo se alcanza cuando . Se escribe la ecuación de equilibrio de momentos en y se sustituye esta condición:
(1)
Teniendo en cuenta, además, que la fuerza en el resorte es , se obtiene:
Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en , y se determinan las reacci ones en B:
Resolviendo (2) y (3) se obtiene:
(2) (3)
b) Si , la reacción normal en D se determina de la ecuación (1):
Problema 4 El cartel de 50 lb tiene centro de gravedad en G y se encuentra en equilibrio en la posición mostrada. a) Determine las tensiones en los cables DE y BC. b) Calcule las componentes de reacción que actúan sobre el collar liso en A.
Nota: El collar liso sólo permite traslación a lo largo del eje z y giro alrededor del mismo eje.
Solución
̅
Se elabora el DCL del sólido a analizar:
̅
̅
Se escribe la ecuación de equilibrio de momento en A:
()̅ ̅ ̅ Sustituyendo:
() Operando:
() Se expresan las tensiones
y
en forma vectorial:
Se definen los vectores posición
,
y
:
Luego se obtienen tres ecuaciones escalares:
(1) (2) (3)
Se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza en
, , :
(4)
(5)
(6)
a) De las ecuaciones (3) y (6) se obtiene:
b) De las ecuaciones (4) y (5) se obtiene:
De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
Problema 5 El winche manual, mostrado en la figura, está compuesto por una estructura soporte (ABCFOGH) hecha de tubo de acero con densidad lineal 2 kg/m y un carrete cuya masa es 5 kg. Determine: a) La fuerza P necesaria para mantener el equilibrio del sistema (P se aplica en E, perpendicular a OD, en un plano vertical). b) Las componentes verticales de las reacciones en los apoyos A, B y C.
Nota: El diámetro donde se enrolla el cable es 300 mm. La distancia vertical FG = 375 mm y horizontal GH = 400 mm . Desprecie los pesos de los apoyos y mangos de goma, así como los redondeos de la estructura tubular. Todas las dimensiones están dadas en mm.
Solución
a) Se elabora el DCL del carrete para determinar P:
Se escribe la ecuación de equilibrio de momento en O:
b) Se elabora el DCL de todo el conjunto para determinar las reacciones:
Se determina la ubicación del centro de masa (x) de todo el conjunto y el peso resultante (W) : Elemento L i(m)
Mi (kg)
Xi (m)
Mi ∙ Xi
AA'
0.5
1
0.25
0.25
BB'
0.5
1
0.25
0.25
A'B'
0.525
1.05
0
0
CG
0.75
1.5
0
0
FO
0.45
0.9
0.225
0.2025
GH
0.4
0.8
0.2
0.16
5
0.225
1.125
Carrete
11.25
1.9875
Se escriben dos ecuaciones de equilibrio de momento con respecto a los ejes AB y CC’, y una ecuación de equilibrio de fuerzas en la dirección vertical:
(1)
(2)
(3)
De la ecuación (1) se obtiene:
Resolviendo (2) y (3) se obtiene:
Problema 6 Calcule las reacciones en el apoyo C y la fuerza en la biela DE para que la barra ABCD se mantenga en equilibrio en la posición mostrada. El peso de la polea B es de 300 kgf .
Solución a) Analizando el sistema completo - DCL: Se tiene dos fuerzas externas, el peso de la polea , y .
Se determina la distancia :
Se analiza el equilibrio del sistema:
y el peso de la masa suspendida
, y tres componentes de reacciones
Problema 7 Sobre la parte trasera de una camioneta está instalada una pequeña grúa para levantar mercadería. La pluma AD mide 48 in y cuando su ángulo respecto a la horizontal es de 30° la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico BC es de 10 kN. Determine la fuerza que debe ejercer el cilindro hidráulico cuando la pluma está ubicada a 45° respecto a la horizontal.
Nota: AB = 16 in
Solución Se analiza el triángulo ABC.
Se determina la distancia AC:
DCL de la barra ACD (pluma a 30°):
Se determinan las componentes de la fuerza en el cilindro hidráulico:
Se analiza el equilibrio de la pluma:
DCL de la barra ACD (pluma a 45°):
Coordenadas de los puntos: x (in) y (in) B 0.000 -16.000 C -4.141 4.141 Vector posición y unitario del cilindro hidráulico: BC
-4.141
20.141
-0.2010
0.9795
Se analiza el equilibrio de la pluma en la nueva posición, considerando el peso calculado anteriormente:
Problema 8
Los cojinetes en y no generan momentos de reacción y el cojinete en no ejerce fuerza en la dirección . La fuerza .
Determine las reacciones en los cojinetes y , así como la tensión en el cable vertical, anclado en .
Solución Se desarrolla el DCL del sistema:
Se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en el punto B.
(1) (2) (3)
Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza.
(4) (5) (6)
Resolviendo (4), (5) y (6) se obtiene: Resolviendo (1), (2) y (3) se obtiene:
Problema 9
En la figura mostrada se tiene un cojinete fijo en Calcule las reacciones en , y si la fuerza
, un cojinete deslizante en y el momento
y una superficie lisa en .
.
Solución Se desarrolla el DCL del Sistema:
Se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en el punto A.
(1) (2) (3)
Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza.
Resolviendo (4), (5) y (6) se obtiene:
Resolviendo (1), (2) y (3) se obtiene:
Problema 10
Determine la coordenada , que define la ubicación del peso igual a , de manera que el valor absoluto de la reacción resultante en sea mínima.
(4) (5) (6)
Solución
Se desarrolla el DCL del Sistema:
Coordenadas de los puntos: x (m) y (m) A 6.00 0.00 B 0.00 -2.00 C 3.00 0.00 F 0.00 4.00 Vectores posición: AB -6.00 CD -3.00
z (m) 0.00 3.00 0.00 0.00
-2.00 4.00
3.00 0.00
-0.86
-0.29
0.43
-0.60
0.80
0.00
Vectores unitarios:
Se escriben las ecuaciones de equilibrio de momento en el punto O.
(1) (2) (3)
Resolviendo (1), (2) y (3) en función de x se obtiene:
Luego se escriben las ecuaciones de equilibrio de fuerza. (4) (5) (6) Remplazando , y resolviendo (4), (5) y (6) se obtiene:
La fuerza resultante en O es:
‖‖ Para hallar el mínimo se deriva la función y se i guala a cero. Luego de simplificar se obtiene:
