INGENIERIA CIVIL
MÉTODOS DE LA ENERGÍA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO TRABAJO DE UNA FUERZA
Se defnen primero los términos desplazamiento y trabajo en la orma que se utilizan en mecnica! Cons Consid ider eree un unaa part part"c "cul ulaa qu quee se mue#e mue#e de un pu punt ntoo A a un punto cercano A$ %f&ura '(!')! Si r denota el #ector de posici*n correspondiente al punto A+ el #ector que une a A y a A , puede denotarse mediante la dierencial dr- el #ector dr se denomina el desplazamiento de la part"cula! Supon&a a.ora que una uerza F act/a so0re la part"cula! El trabajo de la fuerza F correspondiente correspondiente al desplazamiento desplazamiento dr se defne como la cantidad
10tenida al ormar el producto escalar de la uerza 2 y el desplazamiento dr! 3enotando por medio de 2 y ds+ respecti#amente+ las ma&nitudes de la uerza y el desplazamiento+ y mediante 4 el n&ulo ormado por 2 y dr+ y recordando la defnici*n de producto escalar de dos #ectores+ se escri0e
5tilizando la *rmula anterior+ es posi0le e6presar tam0ién el tra0a7o d5 en términos de las componentes rectan&ulares de la uerza y del desplazamiento8
Al ser una cantidad escalar+ el tra0a7o tiene ma&nitud y si&no+ pero no direcci*n! 9am0ién 9am0ién se #io que el tra0a7o de0e e6presarse e6presarse en unidades que se o0tienen al multiplicar unidades de lon&itud por unidades de uerza! As"+ si se recurre a las unidades de uso com/n en Estados 5nidos+ el tra0a7o de0e e6presarse en t:l0 o in!: l0! Si se emplean unidades del SI+ el tra0a7o se e6presar en N!m! La unidad de tra0a7o N!m se denomina como 7oule %;)! Al recordar los actores de con#ersi*n indicados+ se escri0e
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
Se deduce de que el tra0a7o d5 es positi#o si el n&ulo 4 es a&udo y ne&ati#o si 4 es o0tuso! Son tres los casos de interés particular! Si la uerza 2 tiene la misma direcci*n que dr+ y el tra0a7o d5 se reduce a 2 ds! Si 2 tiene direcci*n opuesta a la de dr+ el tra0a7o es d5 <:2 ds! Si 2 es perpendicular a dr+ el tra0a7o d5 es cero! El tra0a7o de 2 durante un desplazamiento fnito de la part"cula de A' a A= %f&ura a) se o0tiene al inte&rar la ecuaci*n %'(!') a lo lar&o de la trayectoria que descri0e la part"cula! Este tra0a7o+ denotado por 5'y=+ es
Al utilizar la e6presi*n alternati#a para el tra0a7o elemental d5 y o0ser#ar que 2 cos4 representa la componente tan&encial 2t de la uerza+ es posi0le e6presar el tra0a7o 5'y= como
3onde la #aria0le de inte&raci*n s mide la distancia recorrida por la part"cula a lo lar&o de la trayectoria! El tra0a7o U'y= se representa por medio del rea 0a7o la cur#a que se o0tiene al &rafcar F t < F cos4 contra s %f&ura b)! Cuando la uerza F se defne por medio de sus componentes rectan&ulares+ la e6presi*n puede utilizarse para el tra0a7o elemental! En ese caso se escri0e
3onde la inte&raci*n se #a a realizar a lo lar&o de la trayectoria descrita por la part"cula!
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
Trabajo de ua !uer"a #o$%a%e e &o'(&(e%o re#%()*eo+
Cuando una part"cula que se mue#e en una l"nea recta se somete a una uerza F de ma&nitud constante y direcci*n constante %f&ura)+ la *rmula produce
Trabajo rea)("ado ,or )a !uer"a de )a -ra'edad+
El tra0a7o del peso > de un cuerpo+ esto es+ de la uerza que la &ra#edad e7erce so0re ese cuerpo+ se o0tiene al sustituir las componentes de > ! Al ele&ir el e7e y .acia arri0a %f&ura )+ se tiene 26 < ?+ 2y<:> y 2z < ?+ y se escri0e
3onde @y es el desplazamiento #ertical de A' a A=! En consecuencia+ el tra0a7o del peso > es i&ual al producto de > y el desplazamiento #ertical del centro de &ra#edad del cuerpo! El tra0a7o es positi#o cuando @y ?+ esto es+ cuando el cuerpo se mue#e .acia a0a7o!
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
Trabajo rea)("ado ,or )a !uer"a .ue ejer#e u re$or%e o &ue))e+
Considere un cuerpo A unido a un punto f7o B por medio de un resorte- se supone que este /ltimo no est deormado cuando el cuerpo se encuentra en A? %f&ura a)! La e#idencia e6perimental muestra que la ma&nitud de la uerza 2 e7ercida por el resorte so0re un cuerpo A es proporcional a la deormaci*n 6 del resorte medida a partir de la posici*n A?! Se tiene
3onde es la constante del resorte+ e6presada en NDm o NDm si se usan unidades del SI y en l0Dt o l0Din! si se recurre a las unidades de uso com/n en Estados 5nidos! El tra0a7o de la uerza 2 e7ercido por el resorte durante un desplazamiento fnito del cuerpo de A'%6 <6') a A=%6 < 6=) se o0tiene al escri0ir
3e0e tenerse cuidado de e6presar y 6 en unidades consistentes! or e7emplo+ si se utilizan unidades de uso com/n en Estados 5nidos+ de0e e6presarse en l0Dt y 6 en pies+ o en l0Din! y 6 en pul&adas- en el primer caso+ el tra0a7o se o0tiene en t! l0+ en el se&undo+ en in! l0!
Ad#iértase que el tra0a7o de la uerza 2 e7ercida por el resorte so0re el cuerpo es positi#o cuando 6= 6'+ esto es+ cuando el resorte est re&resando a la posici*n no deormada! uesto que la ecuaci*n es la de una l"nea recta de pendiente que pasa por el ori&en+ el tra0a7o 5'y= de 2 durante el desplazamiento de A' a A= puede o0tenerse al e#aluar el rea del trapezoide que se muestra en la f&ura '(!F0! Esto se .ace al calcular 2' y 2= y multiplicar la 0ase @6 del trapezoide por medio de su altura media %2' H 2=)! uesto que el tra0a7o de la uerza 2 e7ercido por el resorte es positi#o para un #alor ne&ati#o de @6+ se escri0e
La *rmula suele ser ms con#eniente que la %'(!)+ pues son menores las posi0ilidades de conundir las unidades que se utilizan!
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
Trabajo rea)("ado ,or ua !uer"a -ra'(%a#(oa)+
En la secci*n se #io que dos part"culas de masa J y m a una distancia r una de la otra se atraen entre s" con uerzas i&uales y opuestas 2 y :2+ diri&idas a lo lar&o de la l"nea que une a las part"culas y de ma&nitud
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
Supon&a que la part"cula Jocupa una posici*n f7a 1 mientras la part"cula m se mue#e a lo lar&o de la trayectoria indicada en la f&ura! El tra0a7o de la uerza 2 e7ercida so0re la part"cula m durante un desplazamiento infnitesimal de la part"cula de A a A$ puede o0tenerse al multiplicar la ma&nitud 2 de la uerza por la componente radial dr del desplazamiento! uesto que 2 est diri&ida .acia 1+ el tra0a7o es ne&ati#o y se escri0e
El tra0a7o realizado por la uerza &ra#itacional F durante un desplazamiento fnito de A'%r < r ') a A=%r < r =) es por tanto
3onde J es la masa de la 9ierra! Es posi0le utilizar esta *rmula para determinar el tra0a7o de la uerza e7ercida por la 9ierra so0re un cuerpo de masa m a una distancia r del centro de la misma+ cuando r es ms &rande que el radio R terrestre! Al recordar la primera de las relaciones+ se puede sustituir el producto GJm en la ecuaci*n por >R=+ donde R es el radio de la 9ierra %R <!(K '? m o ( M? mi) y > es el peso del cuerpo en la superfcie terrestre! Varias uerzas que se encuentran con recuencia en pro0lemas de cinética no realizan tra0a7o! Se trata de uerzas aplicadas en puntos f7os %ds < ?) o actuando en una direcci*n perpendicular al desplazamiento %cos4 < ?)! Entre las uerzas que no realizan tra0a7o se encuentran las si&uientes8 la reacci*n en un pasador sin ricci*n cuando el cuerpo que se soporta &ira alrededor del pasador+ la reacci*n en una superfcie sin ricci*n cuando el cuerpo en contacto se mue#e a lo lar&o de la superfcie+ la reacci*n en un rodillo que se desplaza a lo lar&o de su pista y el peso de un cuerpo cuando el centro de &ra#edad se mue#e en orma .orizontal! /RINCI/IO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA
Considere una part"cula de masa m que se somete a una uerza 2 y que se mue#e a lo lar&o de una trayectoria que es rectil"nea o cur#a %f&ura)! Al e6presar la se&unda ley de Neton en términos de las componentes tan&enciales de la uerza y de la aceleraci*n+ se escri0e
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
3onde # es la #elocidad de la part"cula! Al recordar que #
Al inte&rar desde A'+ donde s < s' y escri0e
v
< v '+ .asta A=+ donde s < s= y
v
< v =+ se
El miem0ro de la izquierda de la ecuaci*n representa el tra0a7o 5'y= de la uerza 2 e7ercida so0re la part"cula durante el desplazamiento de A' a A=- como se indica en la secci*n '(!=+ el tra0a7o 5'y= es una cantidad escalar! La e6presi*n m#= es tam0ién una cantidad escalar- se defne como la ener&"a cinética de la part"cula y se denota mediante 9! Se escri0e
Al sustituir en+ se tiene
La cual e6presa que+ cuando la part"cula se mue#e de A' a A= 0a7o la acci*n de una uerza 2+ el tra0a7o de la uerza 2 es i&ual al cam0io de la ener&"a cinética de la part"cula! Lo anterior se conoce como el principio del tra0a7o y la ener&"a! Al rearre&lar los términos+ se escri0e
As"+ la ener&"a cinética de una part"cula en A= puede o0tenerse a&re&ando a su ener&"a cinética en A' el tra0a7o realizado durante el desplazamiento de A' a A= que lle#a a ca0o la uerza 2 e7ercida so0re la part"cula! Al i&ual que la se&unda ley de Neton de la cual se deri#a+ el principio del tra0a7o y la ener&"a se aplica s*lo con respecto a un marco de reerencia netoniano! La rapidez # que se emplea para determinar la ener&"a cinética 9 de0e+ por tanto+ medirse con respecto a un marco de reerencia netoniano! DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
uesto que tanto el tra0a7o como la ener&"a cinética son cantidades escalares+ su suma puede calcularse como una suma al&e0raica ordinaria+ considerndose el tra0a7o 5'y= positi#o o ne&ati#o de acuerdo con la direcci*n de 2! Cuando #arias uerzas act/an so0re la part"cula+ la e6presi*n 5'y= representa el tra0a7o total de las uerzas que act/an so0re la part"cula- ésta se o0tiene sumando al&e0raicamente el tra0a7o de las di#ersas uerzas! Como se seOal* antes+ la ener&"a cinética de una part"cula es una cantidad escalar! Adems+ por la defnici*n 9<m#=+ la ener&"a cinética siempre es positi#a+ independientemente de la direcci*n de mo#imiento de la part"cula! Al considerar el caso particular cuando #' < ? y #= < #+ y al sustituir 9' < ? y 9= < 9 se o0ser#a que el tra0a7o realizado porlas uerzas que act/an so0re la part"cula es i&ual a 9! En consecuencia+ la ener&"a cinética de una part"cula que se mue#e con una rapidez # representa el tra0a7o que de0e eectuarse para lle#ar la part"cula desde el reposo .asta la rapidez #! Si se sustituye 9' < 9 y 9= < ? en %'(!'?)+ tam0ién se ad#ierte que cuando una part"cula que se mue#e con una rapidez # se lle#a al reposo+ el tra0a7o e7ecutado por las uerzas que act/an so0re la misma es :9! Suponiendo que no se disipa ener&"a en orma de calor+ la conclusi*n es que el tra0a7o realizado por las uerzas e7ercidas por la part"cula so0re los cuerpos que pro#ocan que quede en reposo es i&ual a 9! or consi&uiente+ la ener&"a cinética de una part"cula representa tam0ién la capacidad para realizar tra0a7o asociado con la #elocidad de la part"cula! La ener&"a cinética se mide en las mismas unidades que el tra0a7o+ esto es+ en 7oules si se usan unidades del SI y en t! l0 si se emplean unidades de uso com/n en Estados 5nidos! Se confrma que+ en unidades del SI+
SISTEMAS DE CUER/OS RÍGIDOS
Cuando un pro0lema implica #arios cuerpos r"&idos+ cada cuerpo r"&ido puede considerarse por separado y el principio del tra0a7o y la ener&"a aplicarse a cada cuerpo! Al sumar las ener&"as cinéticas de todas las part"culas y al considerar el tra0a7o de todas las uerzas que participan+ es posi0le escri0ir tam0ién la ecuaci*n del tra0a7o y la ener&"a para el sistema completo! As"+ se tiene T 1 + U 1 → 2=T 2
3onde 9 representa la suma aritmética de las ener&"as cinéticas de los cuerpos r"&idos que orman al sistema %todos los términos son positi#os) y 5'y= representa el tra0a7o de todas las uerzas que act/an so0re los distintos cuerpos+ ya sea que estas uerzas sean internas o e6ternas consideradas desde el punto de #ista de un todo! El método del tra0a7o y la ener&"a es particularmente /til al resol#er pro0lemas que implican miem0ros conectados por medio de pasadores+ 0loques y poleas que se conectan mediante cuerdas ine6tensi0les+ y en&ranes dentados! En todos estos casos+ las uerzas internas se presentan por pares de uerzas i&uales y opuestas+ y los puntos de aplicaci*n de las uerzas en cada par se mue#en distancias i&uales durante un pequeOo desplazamiento del sistema! Como resultado+ el tra0a7o de las uerzas internas es cero+ y 5'y= se reduce al tra0a7o de las uerzas e6ternas al sistema!
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
SISTEMAS DE CUER/OS RÍGIDOS
Es posi0le analizar el mo#imiento de #arios cuerpos r"&idos aplicando el principio del impulso y la cantidad de mo#imiento a cada cuerpo por separada! Sin em0ar&o+ al resol#er pro0lemas que no incluyen ms de tres inc*&nitas %entre las que se cuentan los impulsos de reacciones desconocidas)+ muc.as #eces es con#eniente aplicar el principio del impulso y la cantidad de mo#imiento al sistema considerado como un todo! Los dia&ramas de cantidad de mo#imiento e impulso se di0u7an para el sistema completo de cuerpos! ara cada parte m*#il del sistema+ los dia&ramas de cantidades de mo#imiento de0en incluir un #ector de cantidad de mo#imiento+ un par de cantidad de mo#imiento o am0os! Es posi0le omitir los impulsos de las uerzas internas al sistema del dia&rama de impulso+ ya que ocurre en pares de #ectores i&uales y opuestos! Al sumar e i&ualar de manera sucesi#a las componentes 6 y las y+ as" como los momentos de todos los #ectores que inter#ienen+ se o0tienen tres relaciones que e6presan que las cantidades de mo#imiento en el tiempo t' y los impulsos de las uerzas e6ternas orman un sistema equipolente al sistema de las cantidades de mo#imiento en el tiempo t=! 3e nue#o+ es necesario ser cuidadosos y no sumar de manera indiscriminada cantidades de mo#imiento lineales y an&ularescada ecuaci*n de0e #erifcarse para ase&urar que se .an utilizado unidades consistentes!
El mo n t a c a r g a syl ac ar g ae nmo v i mi e n t op u ed enan a l i z a r s ec omouns i s t e mad ed o sc u e r p o sr í g i d o sc o n ec t a do sen mo v i mi e nt op l a no .
CINÉTICA DE CUER/OS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES
Considere un cuerpo r"&ido de masa m en mo#imiento tridimensional! Recuerde si la #elocidad a0soluta 'i de cada part"cula Pi del cuerpo se e6presa como la suma de la #elocidad ' del centro de masa G del cuerpo y de la #elocidad 'i de la part"cula relati#a al sistema de reerencia Gxyz con ori&en en G y de orientaci*n f7a+ la ener&"a cinética del sistema de part"culas que orman al cuerpo r"&ido puede escri0irse en la orma
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
3onde el /ltimo término representa la ener&"a cinética T 0 del cuerpo relati#a al sistema de reerencia centroidal Gxyz ! uesto que v 0 1P'0 P 1P 2 3 r0 P+ se escri0e i
i
i
Al e6presar el cuadrado en términos de componentes rectan&ulares del producto #ectorial y sustituir las sumas por inte&rales+ se tiene
o+ al recordar las relaciones
Si se sustituye en la e6presi*n que se aca0a de o0tener para la ener&"a cinética del cuerpo relati#a a los e7es centroidales+ se escri0e
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
Si los e7es de coordenadas se eli&en de manera que coincidan en el instante considerado con los e7es principales 6$+ y$+ z$ del cuerpo+ la relaci*n que se o0tu#o se reduce a
Los resultados o0tenidos permiten aplicar al mo#imiento tridimensional de un cuerpo r"&ido el principio del tra0a7o y la ener&"a y la conser#aci*n de la ener&"a! Eer-*a #(4%(#a de u #uer,o r*-(do #o u ,u%o 5jo+
En el caso particular de un cuerpo r"&ido que &ira en el espacio tridimensional alrededor de un punto f7o 1+ la ener&"a cinética del cuerpo puede e6presarse en términos de sus momentos y productos de inercia con respecto a los e7es con ori&en en 1 %f&ura 'Q!Q)! Si se recuerda la defnici*n de la ener&"a cinética de un sistema de part"culas y se sustituye #i
Janipulaciones similares a las que se usaron para o0tener la ecuaci*n producen
DINAMICA
INGENIERIA CIVIL
o si los e7es principales x ,+ y ,+ z , del cuerpo en el ori&en O se eli&en como e7es coordenados+
DINAMICA
