Cinemática de cuerpos rígidos

DINÁMICA Unidad 2: Cinemática Cinemática de cuerpos rígidos 1. DEFINICIONES Cuerpo rígido: Número infinito de partículas en que la distancia entre ellas es constante. Se considerara su rotación, la cual puede efectuarse alrededor de un punto o alrededor de una recta.

2. TIPOS DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO DE UN CUERPO CUERPO RÍGIDO RÍGIDO  A. Traslac Tras lac ió n

(a)

(b)

Figura 1: (a) traslación rectilínea: (b) traslación curvilínea

B. Rotación alrededor alrededor de un eje fijo eje de rotación  A B

movimiento circular de la partícula

Figura 2: Rotación alrededor de un eje fijo

C. Movimiento plano El movimiento plano es una combinación simultánea del movimiento de traslación y el de rotación. v1 v

ω

ω

v2 Figura 3: Movimiento plano 1

D. Movimiento con respecto a un punto fijo Este es el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido unido a un punto fijo, 0

ω1 z

ω1z ω1x x

o

y

ω1y

Figura 4: Movimiento con respecto a un punto fijo

3. CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO: ECUACIONES GENERALES Los Apuntes 1.3 muestran que las ecuaciones cinemáticas generales para el movimiento de un punto con respecto a un sistema coordenado móvil son: -

r

r

r

r &

r

r

r

r

&r&

r

r

r

r

r p = r o + ρ & & r p = r  o + ρ rel + ω × ρ r

r

r

r

r

r p = &r &o + &ρ&rel + α × ρ + ω × (ω × ρ) + 2ω × ρ& rel

Si suponemos que P es un punto de un cuerpo rígido y considerando que el sistema móvil r está ligado al mismo cuerpo rígido significa que ρ no cambia es decir: r

r

r

→ ρ = cte ρ& rel = &ρ& rel = 0 Luego, las ecuaciones cinemáticas generales del movimiento del cuerpo rígido quedan:

-

r

r

r

r &

r

r

&r&

r

r p = r o + ρ r

& r p = r  o + ω× ρ r

r

Ecs. 2-1 r

r

r

r p = &r &o + α × ρ + ω × (ω × ρ)

Cuando el conjunto de ecuaciones anteriores (Ecs 2-1) se aplica a dos puntos A y B del cuerpo rígido (ver Figura 5) resulta conveniente hacer una modificación de estas ecuaciones, proporcionando y cambiando los subíndices, de modo que queda: -

r

r

r

r B = r   A + ρ B/A r r r r v B = v A + ω × ρ B/A r r r r r r r a B = a A + α × ρB/A + ω × (ω × ρB/A )

Ecs. 2-2

2

Z

B

r

ρB / A

r

r B

ω

α

r

ω  = la velocidad angular del sólido r

z

& = la aceleración angular del sólido α=ω

y

x  A r

r   A 0

X

Y Figura 5: Cinemática de un cuerpo rígido

4. CINEMÁTICA DE LOS DIVERSOS TIPOS DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO  A. Traslac ió n En este caso el cuerpo no tiene rotación, luego: r

r

ω =α=0  A partir de las ecuaciones generales (Ecs 2-2), se obtiene: r

r

r

r

r B = r   A + ρ B / A ;

r

r

v B = v A ;

r

a B = a A

B. Rotación alrededor de una recta fija Haciendo coincidir los orígenes de las coordenadas fijas y móviles en un punto situado en el eje de rotación se tiene: r

r

v A = 0 y a A = 0 r

r

c r

ρ B / A

r

r 

r

ω y α

vB B

 A 0,o Figura 6: Rotación alrededor de una recta fija Reemplazando en las ecuaciones generales (Ecs 2-2) se obtiene: r

r

r B = ρB / A r r r v B = ω x ρB / A r r r r r r a B = α × ρ B / A + ω × ω x ρB / A r

r

 A veces es conveniente ubicar los sistemas móviles y fijo en c, así ρ B / A = r 

3

C. Movimiento plano (movimiento general en el plano) El movimiento plano se puede considerar como la combinación de la traslación de un eje de referencia perpendicular a un plano de referencia y la rotación alrededor de dicho eje. B1

B’1

B1

=

 A2

 A1

B’1

+

 A2

 A1

 A2

B2

B2 r

r

vB r

aB

r

=

v A

+

ω × ρB / A

=

a A

+

α × ρB / A + ω × ω × ρB / A

r

r

r

r

Figura 7: Movimiento plano = traslación de A + rotación en torno a A

C1. Centro instantáneo de rotación (CIR) Teorema: En cada instante existe un punto en reposo de modo que el campo de velocidades equivale a una rotación pura en torno a dicho punto. r r

ω

r

v A  A

ρB / Ι

ρ A / Ι

ω

 A

B r

r

r

v A

Ι

r

r

ρ A / Ι

vB

r

ρB / Ι

B

r

vB

Ι

(a)

(b)

Figura 8: (a) el CIR dentro de la sección: (b) el CIR fuera de la sección r

r

r

r

ρ A / Ι  queda perpendicular a v A  y ρ B / Ι  queda perpendicular a v B r

r

Por otro lado v A y v B , pueden escribirse como: r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

v A = v Ι + ω x ρ A / Ι

Ec. 2-3

v B = v Ι + ω x ρ B / Ι

Ec. 2-4 r

r

r

r

r

r

De Ec. 2-3 se tiene que ω x ρ A / Ι es paralelo a v A ,por lo tanto v Ι debe ser paralelo a v A . r

r

De Ec 2-4 se tiene que ω x ρ B / Ι es paralelo a v B ,por lo tanto v Ι debe ser paralelo a v B .

4

r

r

Pero v A y v B   en general no son paralelos, para que se cumpla Ecs 2-3 y 2-4 debe r

verificarse que existe un centro instantáneo de rotación, tal que v Ι = 0 , tal modo que la placa tiene un movimiento de rotación pura en torno a Ι. Entonces, es posible determinar la velocidad de cualquier punto del sólido utilizando la expresión: r

r

r

v P = ω x r P / Ι

Ec. 2-5

r

en que: ω = la velocidad angular de la placa r

r P / Ι = vector posición que va desde Ι (CIR) hasta el punto P. r

Es import ante dejar en claro q ue en el CIR si bien es cierto o curr e que v r general a 0

0 , en

Para determinar el CIR de un disco que rueda sin resbalar. dx

α, ω

R

0

0’ c’

c C1

dθ’ C2

Figura 9: Un disco que rueda sin resbalar Se consideran dos posiciones sucesivas del disco (t = 0 y t = dt). El punto c del borde del disco ocupa una nueva posición del modo que OC forma un ángulo dθ. dx es el desplazamiento que experimenta el centro del disco en un instante dt. dx = 00’ = C1C2, el disco rueda sin resbalar entonces C1C2 = c’C 2 c’C2 = Rdθ

→

dx = Rdθ

dividiendo por dt

dx dθ  =R dt dt →

v o = Rω

velocidad del centro del disco

derivando, se obtiene:

a o = Rα

aceleración del centro del disco

Por otro lado, se tiene: r

r

r

r

v c = v o + ω × ρc / o

5

Reemplazando: r v c = Rω ˆi + ω - kˆ × R -  jˆ r v c = Rω ˆi + R ω (- ˆi ) →

∴

r

vc = 0

Que muestra que C1 (el punto de contacto) es el CIR del disco. Haciendo un análisis semejante para la aceleración: r

r

r

r

r

r

r

a c = a o + α × ρ c / o + ω × ω × ρ c/o Reemplazando r a c = Rα ˆi + α(-kˆ) × R(- jˆ ) + ω( −kˆ ) × ω( −kˆ ) × R -  jˆ

( )

r a c = Rα ˆi + Rα - ˆi + R ω 2  jˆ = R ω2  jˆ

( )

Que muestra que el CIR en el instante considerado tiene r

r

v c = 0 y ac ≠ 0

D. Movimiento con respecto a un punto fijo Se considera que los origines de los sistemas fijo y móvil (O y o) coinciden, y que el punto fijo de rotación es O, por lo tanto: r

r

v A = 0 → a A = 0 Luego el cuerpo sólo gira en torno a O. cinemáticas generales (Ecs 2-2) se tiene r

Aplicando lo anterior a las ecuaciones

r

r B = ρ B / A r

r

r

r

r

r

v B = ω × ρB / A r

r

r

a B = α × ρB / A + ω × (ω × ρB / A ) r

r

en que α y ω  pueden tener tres componentes rectangulares (ver Figura 4): r ω = ω x ˆi + ω y  jˆ + ω z kˆ r α = α x ˆi + α y  jˆ + α z kˆ

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