02 Predavanje - AB Ploce

ARMIRANOBETONSKE KONSTRUKCIJE

ARMIRANOBETONSKE PLOČE

V.pred. V.pred. mr. mr. sc. sc. Vladica Vladica Herak-Mar Herak-Marovi ović, d.i.g.

OPĆENITO -

Ploče su ravni površinski nosači kod kojih optere ćenje djeluje okomito na njihovu srednju ravninu.

-

Vrijedi pravilo: l

-

Podjela ploča s obzirom na stati čki sustav i tip oslanjanja:

4h ( l = raspon ploče; h = debljina plo če )

(A)

- slobodno oslonjene - upete - elastično upete - konz konzol olne ne

(B)

- linijski oslonjene (na gredu ili zid) - točkasto oslonjene (na stup)

(C)

- samostalne - kont kontin inui uira rane ne.. mr. sc. V. Herak-Marovi ć, 2006/07

2

-

Podjela ploča s obzirom na broj i raspored oslonjenih strana: - jedn jedna a stra strana na - dvije dvije supro suprotne tne stra strane ne - dvije dvije susje susjedne dne stra strane ne - tri tri str stran ane e - sve četiri strane.

-

Prema obliku ploče mogu biti: kvadratnog i pravokutnog oblika, kružne, trokutne, trapezne i poligonalne.

-

Prema tipu poprečnog presjeka ploče mogu biti: pune, šuplje i rebraste.

-

Prema nosivosti plo če mogu biti: nosive u jednom smjeru i nosive u dva smjera.

-

Prema izvedbi ploče mogu biti: monolitne, monolitne, polum polumontažn ontažne e i montažne. montažne.

mr. sc. V. Herak-Marovi ć, 2006/07

3

-

Najmanja debljina ploča, radi uvjeta ograni čenja deformacija (progiba) izražena je u funkciji kra ćeg raspona raspona ili razmaka razmaka nul nul točaka momenata savijanja i iznosi: hmin ≥ lx0/35 ≥ 5 cm gdje je: lx0 - razmak nu nul točaka moment momentnog nog dijag dijagrama rama uzduž kraćeg raspona lx0 = 0.7lx za obostrano upetu plo ču; lx0 = 0.85lx za jednostrano upetu plo ču. (u praksi se umjesto l x0 uzima raspon plo če l)

-

Minimalna debljina ploče hmin: hmin = 5 cm cm – za krov krovne ne plo ploče, hmin = 7 cm – za plo ploče opterećene statičkim jednolikim optere ćenjem, hmin = 10 (12) (12) cm cm – za plo ploče opterećene osobnim (teretnim) vozilima.

-

Najmanja debljina pune ploče betonirane na licu mjesta iznosi 8 cm, a za mostove 20 cm.

mr. sc. V. Herak-Marovi ć, 2006/07

4

PRORAČUN PLOČA PLOČE NOSIVE U JEDNOM SMJERU -

Ako je ploča: neprekidno oslonjena na jednoj strani ili na dvije suprotne strane, na tri strane (dvije duže i jednu kraću) ili sve četiri strane, a odnos stranica l y/lx > 2 naziva se pločom nosivom u jednom smjeru (iako se kod njih pojavljuju naponi i okomito na nosivi smjer, vrijednosti tih napona su zanemarive), a proračunavaju se za pripadajuće opterećenje kao štapni nosači širine 1 m. (gdje su: lx – kraći raspon ploče; ly – duži raspon ploče)

-

Ploče se u smjeru raspona armiraju po proračunu, a okomito na njega armiraju se razdjelnom armaturom (razdjelna armatura min 20% glavne armature).

mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

5

PLOČE NOSIVE U DVA ORTOGONALNA SMJERA -

Ako je ploča: neprekidno oslonjena na dvije susjedne strane, na tri, ili sve četiri strane, ili je oslonjena dijelom neprekidno, a dijelom u pojedinim to čkama, naziva se pločom nosivom u dva smjera ako je odnos stranica l y/lx < 2, što znači da u nošenju opterećenja sudjeluju oba smjera pa se ona prora čunava kao površinski nosač. (gdje su: lx – kraći raspon ploče; ly – duži raspon ploče)

-

Ploče se u oba smjera armiraju po prora čunu.


6

-

Teorija ploča zasniva se na slijedećim pretpostavkama: * debljina ploče je mala u usporedbi s druge dvije dimenzije, što je uvjetovano omjerom kraće stranice lx prema debljini plo če: 35 > lx/h > 4; * točke na normali srednje površine ostaju i nakon deformacije na pravcu okomitome na deformiranu srednju ravninu; * progibi su ploče mali u usporedbi s debljinom plo če; * elementi srednje površine ostaju nedeformirani.

-

Ploče se mogu proračunavati po: linearnoj teoriji, linearnoj teoriji s ograničenom raspodjelom, teoriji plasti čnosti i nelinearnoj teoriji.


7

1) PRORAČUN PLOČA PO LINEARNOJ TEORIJI -

Pretpostavka: hogomeni, elastičan i izotropan materijal bez pukotina u vlačnoj zoni (naponsko stanje I). Dalje se pretpostavlja da je osigurano zajedničko nošenje betona i armature. Pomak elastične ploče

-

Linearna, nehomogena, parcijalna diferencijalna jednadžba četvrtog reda za elastičnu površinu w(x,y) je jednadžba plo če i glasi: ∂4w ∂4w ∂4w q +2 2 2 + 4 = K ∂x ∂y ∂y ∂x 4 mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

8

gdje je: K=

Eh3 12(1 −

ν

2

)

- krutost ploče

ν = 0÷0.2 - Poissonov koeficijent q = G + Q - ukupno opterećenje -

Krutost ploče nije jednaka u oba smjera jer armature nisu jednake po položaju i veličini. Ipak se pri proračunu ploče krutost “K” najčešće uzima jednaka u dva okomita smjera (znači bez utjecaja armature).

-

Uspije li integracija jednadžbe ploče za zadano opterećenje uz zadovoljenje rubnih uvjeta, pronađeno je točno rješenje ploče. Kada je poznata funkcija w(x,y), mogu će je proračunati momente i sile u presjecima ploče.


9

Izrazi za momente savijanja su: m x

⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ = − K ⎜⎜ 2 + ν 2 ⎟⎟ ∂ y ⎠ ⎝ ∂ x

m y

⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ = − K ⎜⎜ 2 + ν 2 ⎟⎟ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y

Izraz za moment torzije biti će: m xy

= −(1 − ν )K

∂ 2 w ∂ x∂ y

Izrazi za poprečne sile su: v x

⎛ ∂ 3 w ∂ 3 w ⎞ ∂ ⎟ (∆w) = − K ⎜⎜ 3 + = − K 2 ⎟ x x y x ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

v y

⎛ ∂ 3 w ∂ 3 w ⎞ ∂ ⎟ (∆w) = − K ⎜⎜ 3 + = − K 2 ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ y y x y ⎝ ⎠ mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

10

-

Točnih analitičkih rješenja opće diferencijalne jednadžbe ima za samo neke primjere ploča. Češće se rješenja diferencijalnih jednadžbi dobivaju preko raznovrsnih približnih postupaka.

-

Danas se u proračunu najčešće rabe numerički postupci među kojima metoda konačnih elemenata ima najširu primjenu.

-

U svakodnevnoj inženjerskoj praksi rade se približni proračuni ploča, za koje se u stručnoj literaturi mogu naći tablice i dijagrami različitih autora. S pomoću njih vrlo brzo i jednostavno možemo proračunati unutarnje sile potrebne za dimenzioniranje plo če, ovisno o opterećenju i rubnim uvjetima, a za standardne oblike plo ča kao što su: pravokutni, trokutni, trapezni, kružni i prstenasti.


11

2) PRIBLIŽNI PRORAČUN PLOČA NOSIVIH U DVA SMJERA a) Ploče oslonjene na rubovima

-

Pretpostavlja se da se ploča sastoji od niza međusobno okomitih zamišljenih samostalnih nosača, npr. lamela 1-2-3-4, raspona l x, opterećenih teretom qx, i lamela 5-6-7-8, raspona l y, opterećenih teretom qy, pri čemu za svaki element ploče mora biti zadovoljeno: qx + qy = q mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

12

-

Pretpostavlja se da će parcijalna opterećenja qx i qy ostati nepromjenjiva uzduž cijele lamele. Pri tome su maksimalni progibi za slobodno položene nosače na dva ležaja optere ćene jednolikim kontinuiranim optere ćenjem: f zx

f zy

-

≈

≈

5 q x l 4x 384 E x I x 4 5 q yl y

384 E y I y

- za lamelu 1-2-3-4

- za lamelu 5-6-7-8

Svaka od lamela progiba se samostalno, ali na mjestu spoja lamela progib mora biti jednak: f zx = f zy te za Ix = Iy i Ex = Ey izlazi da je: q x l 4x

pa slijedi: qx

=q

l 4y 4 lx

+

4 ly

= qκ x

= q y l4y qy

=q

4

lx 4

lx

+ l 4y

= qκ y


13

-

S parcijalnim opterećenjima izračunavaju se momenti savijanja slobodno oslonjene ploče: Mx

-

=

1 8

q x l 2x

My

=

1 8

q y l 2y

Za kvadratnu ploču lx = ly = 1 biti će: Mx

= My =

1 16

ql 2

-

Ti izrazi za momente vrijede samo ako ploča slobodno naliježe na rubovima i kad se njezini kutovi mogu slobodno izdizati.

-

Kod pridržanih kutova te upetih rubova ploče, pojavljuju se u plo čama osim momenata savijanja i znatni momenti torzije.


14

-

Utjecaji rubnih uvjeta na momente savijanja u plo či mogu se uzeti u obzir prema Marcusovim približnim formulama: M x

= m x (1 − Ψ x ) = m xν x

M y

= m y 1 − Ψ y = m yν y

gdje su: ψx i ψy - koeficijenti redukcije: 2

⎞ 5 ⎛ ⎜ l x ⎟ m x max

Ψ x = ⎜ ⎟ 6 ⎝ l y ⎠

m0 x

2

5 ⎛ l y ⎞ m y max

Ψ y = ⎜⎜ ⎟⎟ 6 ⎝ l x ⎠

m0 y

mx, my - momenti savijanja trake širine 1m u bilo kojem elementu plo če, raspona lx ili ly s opterećenjem qx ili qy, dobivenih iz uvjeta zajedni čkih progiba i uzevši u obzir eventualni kontinuitet, mxmax, mymax - najveći pozitivni moment savijanja trake širine 1m, raspona l x ili ly s opterećenjem qx ili qy, uzimajući u obzir eventualni kontinuitet, m0x, m0y - najveći pozitivni moment savijanja trake širine 1m, uzete kao da je slobodno položeni nosač, raspona lx ili ly s punim opterećenjem q. mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

15

-

Na temelju takvog približnog proračuna izrađene su tablice za proračun maksimalnih momenata savijanja za razli čite primjere oslanjanja plo ča i za odnose stranica ly/lx = 1 ÷ 2, te uglavnom za jednoliko kontinuirano opterećenje.

-

U stručnoj literaturi poznate su Loserove tablice po Marcusu. Izrazi za momente savijanja u plo či imaju slijede ći oblik: Mx

=

ql 2x

ϕnx

My

=

ql 2y

ϕny

te odgovaraju originalnim Marcusovim izrazima kad se uvedu zamjene:

ϕnx =

k 1 − Ψnx

ϕny =

k 1 − Ψny

Koeficijent "k" je funkcija uklještenja kontinuirane plo če,


16

a indeks "n" ovisi o vrsti oslanjanja plo če na rubovima:

-

Opisana Marcusova približna metoda izrađena je uz pretpostavku da su slobodni i kontinuirani ležajni rubovi plo ča slobodno poduprti, što bi odgovaralo nalijeganju ploče na zidove od opeke ili na čelične nosače, a takvi su primjeri u praksi rijetki.

-

Gotovo redovito se izvode kontinuirane ploče monolitno povezane s betonskim podvlakama, koje sa stupovima čine armiranobetonski kostur. U takvim okolnostima nastaje uklještenje plo če u podvlaku ovisno o torzijskoj krutosti podvlake.

-

Za racionalno konstruiranje treba uzeti u obzir uklještenje ploče u kostur zgrade. mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

17

b) Kontinuirane pravokutne ploče -

Kontinuirane pravokutne ploče poduprte po cijelom obodu mogu se proračunavati po prikazanome približnom postupku, uz pretpostavku da plo če nisu kruto vezane s podvlakama i stupovima građevine i za jednoliko kontinuirano opterećenje (q = G+Q).


18

-

Da bi se proračunali maksimalni momenti savijanja (na pr. u prvom polju), osim vlastite težine i stalnog otere ćenja (u svim poljima), potrebno je svako drugo polje opteretiti promjenjivim optere ćenjem kao na slijede ćem crtežu (za određivanje različitih unutarnjih sila potrebno je koristiti razli čite sheme promjenljivog opterećenja):


19

-

Takva nesimetrična shema opterećenja rastavlja se u dvije sheme optere ćenja: q,

=G+

Q 2

(simetrično) i

q,,

=±

Q

(antimetrično)

2

-

Sa simetričnim opterećenjem q' računaju se momenti savijanja samostalno i pojedinačno za svako polje kontinuirane plo če, ovisno o rubnim uvjetima, uz pretpostavku da je plo ča ukliještena na mjestu kontinuiteta sa susjednom pločom.

-

S antimetričnim opterećenjem q'' računa se opet samostalno i pojedina čno svako polje, uz pretpostavku da je ploča slobodno oslonjena na mjestu kontinuiteta sa susjednom plo čom.

-

Zbroj momenata savijanja dobivenih po objema shemama opterećenja daje maksimalne momente savijanja u polju:

⎛ q ' q" ⎞ M x max = l ⎜⎜ ± ⎟⎟ ⎝ ϕ nx ϕ 1 x ⎠ 2 x

M y max

⎛ q ' q " ⎞ = l ⎜⎜ ± ⎟⎟ ⎝ ϕ ny ϕ 1 y ⎠ 2 y


20

-

Ležajni momenti kontinuiranih pravokutnih ploča poduprtih po cijelom obodu i opterećenih jednolikim kontinuiranim optere ćenjem mogu se približno ra čunati po izrazima: 1 1 M ly = q y l 2y M lx = q x l 2x i i gdje je: qx = κx q - parcijalno opterećenje smjeru lx qy = (1- κx)q - parcijalno opterećenje u smjeru l y κx - koeficijent raspodjele opterećenja dan u tablicama q - puno opterećenje

-

Koeficijenti ''i'' ispisani su na slijedećem crtežu kao približne i zaokružene vrijednosti, a ovise o tlocrtnom položaju ležaja:


21

-

Proračun je složeniji što je ve ći intenzitet uporabnog (korisnog) optere ćenja Q. Ako je omjer uporabnog i ukupnog optere ćenja Q/q ≤ 0.2 ploča se može računati samo s jednom shemom optere ćenja (G + Q) = q.

-

Češće se momenti na ležajevima prora čunavaju na način da se za svaku ploču s odgovarajućim rubnim uvjetima, optere ćenu s opterećenje q (na dvije susjedne ploče), određuje moment upetosti na zajedni čkom ležaju. Ravnoteža momenata s lijeve i desne strane ležaja (M l i Md) može se, s dovoljnom točnošću za praksu, postići izračunavanjem ležajnog momenta kao aritmetičke sredine (Ml+Md)/2 – ako je mala razlika momenata s lijeve i desne strane, ili prema izrazu 2(M l+Md)/3 – ako je veća razlika momenata momenata s lijeve i desne strane ležaja.

-

Ukoliko su ploče oslonjene na grede, na veli činu i raspored momenata savijanja znatan utjecaj ima i deformabilnost greda. U takvim slučajevima (veće opterećenje i rasponi, nepravilni rasteri, oslanjanje na grede okvira) preporuča se proračun na elektroničkom računalu pomoću programa temeljenog na MKE, kao na primjer: SAP, SPAN, COSMOS, NISA, STRUDL, FEAT i sl.


22

PRIJENOS OPTEREĆENJA S PLOČE NA PODVLAKE I ZIDOVE -

Ležajni pritisak pravokutnih ploča na podvlake (ili zidove) kontinuirano je promjenljiv (parabola). Za potrebe prakse dovoljno je to čno ako se zamijeni trapeznim (uz dužu stranu ploče) ili trokutnim (uz kraću stranu ploče) opterećenjem, a koje je ograni čeno simetralama kutova i simetralom kra ćeg raspona ploče:


23

-

Za trokutno i trapezno opterećenje nadalje se traži zamjenjujuće opterećenje.

-

Podvlake se radi jednostavnosti proračuna nadalje mogu proračunavati sa zamjenjujućim jednolikim kontinuiranim opterećenjem.

Napomena: zamjenjujućim se opterećenjem dobiju isti momenti savijanja, ali cca 25% veće poprečne sile, što treba imati u vidu kod proračuna glavnih vlačnih napona. mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

24

PLOČE OPTEREĆENE KONCENTRIRANOM SILOM -

Ako na ploču djeluje koncentrirana sila, plo ča se ne deformira samo u traci ispod sile već i u susjednim dijelovima plo če. Uz pretpostavku da ploča ostaje monolitna i nakon deformacija, koncentriranu silu prenose trake ispod nje, ali i susjedne trake. Stoga treba odrediti sudjeluju ću širinu ploče.

-

Sudjelujuća širina b3 ovisi izravno o rasponu i krutosti plo če, te neposredno ovisi i o količini razdjelne armature. Deformacije ploče ispod koncentrirane sile:


25

-

Koncentrirano opterećenje se rasprostire različito kroz rastresite i monolitne materijale:

-

Širine rasprostiranja računaju se do osi plo če: b1 = e1+h1+2h2+h3; b2 = e2+h1+2h2+h3

-

Sudjelujuća širina b3 približno se proračunava po izrazu: b3

= b2 +

A st As

lx

≤ b 2 + 0.65l x


gdje je: As - površina presjeka glavne armature na jedinicu širine Ast - površina presjeka razdjelne armature na jedinicu dužine 26

ARMIRANJE PLOČA Postupak pokrivanja vlačnih sila i određivanje potrebne duljine šipki kod proračuna elemenata na čisto savijanje - Kod ploča najmanje pola armature iz polja mora se sidriti nad ležajem. -Za armiranobetonske ploče bez poprečne armature vrijedi pravilo za pomicanje dijagrama vlačnih sila Fsd za a1 = 1.0⋅d.


27

1) ARMIRANJE PLOČA NOSIVIH U JEDNOM SMJERU A) Armiranje plo ča sa šipkama Najveći razmak šipki: - za glavnu armaturu s = 1.5⋅h ≤ 35 cm (h = ukupna debljina ploče), - za razdjelnu armaturu s = 2.5⋅h ≤ 40 cm, - za mostove s = 20 cm. Armatura ploča na osloncima: -

Kod ploča najmanje pola armature iz polja mora se sidriti preko ležajeva.

-

Preko ležajeva ploča s malom upetoš ću ili bez upetosti u gornju zonu treba provući minimalno As/4 (As-površina vla čne armature u polju).


28

a) Armiranobetonska ploča na dva ležaja Raspodjela armature u plo či: (a) varijanta s ravnim i povinutim šipkama

(b) varijanta s ravnim šipkama


29

b) Armiranobetonska ploča s prepustom


30

c) Armiranobetonska kontinuirana plo ča Raspodjela armature u plo či: (a) varijanta s ravnim i povinutim šipkama

(b) varijanta s ravnim šipkama


31

B) Armiranje ploča s armaturnim mrežama


32


33

a) Ploča na dva ležaja


34

b) Kontinuirana ploča


35


36

2) ARMIRANJE PLOČA NOSIVIH U DVA SMJERA -

Armatura armiranobetonskih ploča nosivih u dva smjera računa se iz maksimalnih momenata savijanja (M x i My). Pritom treba paziti da se donji sloj armature položi u smjeru kra ćeg raspona i računa se sa statičkom visinom presjeka dx, a gornj sloj s dy:

-

Najćešće se armiraju samo ravnim šipkama pri čemu je osobito pogodna zavarena mrežasta armatura (Q- mreže). Statičke visine:

-

Povijanje armature obavlja se po istom principu po kojem se povija armatura u pločama nosivim u jednom smjeru. mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

37

a) Shema armiranja ploče nosive u dva smjera

-

Maksimalni momenti savijanja koji su proračunati u polju pojavljuju se samo u traci koja prolazi mjestom maksimalnog progiba ploče. U ostalim rubnim trakama momenti savijanja su manji. To vrijedi i za ležajne momente savijanja. Zato se radi štednje armature plo ča razdijeli u srednji pojas, širine l x/2 i ly - 2lx/4, koji se armira punom armaturom. Rubni pojas lx/4 (lx = kraći raspon) u oba smjera se armira polovicom proračunate armature odgovaraju ćeg srednjeg pojasa. mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

38

b) Ploče oslonjene/upete na dva susjedna ležaja 1) Ploča oslonjena na dva susjedna ležaja i s pridržanim kutom

Crtkana linija predočuje gornju armaturu, a puna linija donju armaturu. Treba obratiti pažnju na gornju armaturu koju treba dobro usidriti u ležaj plo če. mr. sc. V. Herak-Marović, 2006/07

39

2) Ploča upeta u dva susjedna ležaja


40

3) ARMIRANJE KRUŽNIH I PRSTENASTIH PLOČA -

Kružne ploče koje su poduprte po cijelom obodu ili u pojedinim to čkama proračunavaju se i armiraju po pravilima površinskih nosa ča. Nosiva armatura: radijalna i prstenasta. Armiranje kružne i prstenaste ploče prikazano je na slijede ćem crtežu:


41

-

Kružne ploče manjih raspona i optere ćenja mogu se približno prora čunavati kao kvadratne ploče, a time se pojednostavljuje armiranje.

-

Proračunski raspon zamjenjujuće ploče: a=D

π 4

≈ 0.9D

Pojednostavnjeno armiranje kružne plo če:


42

4) ARMIRANJE KOSIH PLOČA (pločasti mostovi)


43


44

Armiranje nekih detalja - Duž slobodnog (nepoduprtog) ruba ploče potrebno je predvidjeti uzdužnu i poprečnu rubnu armaturu. - Najmanji poprečni presjek uzdužne rubne armature konzolne ploče na širini trake od 1 m iznosi 0.8% poprečnog presjeka betona. Armatura se raspoređuje gore i dolje jednakih poprečnih presjeka i na razmaku s≤10cm. - Kod konzolnih ploča širine manje od 1 m mjerodavan je stvarni popre čni presjek.


45

Armatura kolničke ploče mosta


46


47


48

02 Predavanje - AB Ploce

Recommend Documents