PRORAČ UN UN DEFORMACIJA PLOČ E OSLONJENE U JEDNOM PRAVCU
P2/1
Odrediti maksimalni ugib plo č e iz primera P1, uzimaju ć i u obzir i efekte teč enja enja betona. Ukoliko je dopuštena vrednost ugiba prekora č ena, ena, predložiti zadovoljavajuć e rešenje.
1
PRORAČ UN UN DEFORMACIJA POS 1
Ploč a je dimenzionisana u primeru P1. Usvojena je debljina ploč e d p = 18 cm, u donjoj zoni je armirana armaturom RØ14/10 (Aa1 = 15.39 cm2 /m), dok u gornjoj zoni nije predvi đ e na đena armatura (Aa2 = = 0). Ploč a je u umereno agresivnoj sredini. Označ avanje avanje pojedinih geometrijskih veli č i na koje se pojavljuju u prorač unu unu je sprovedeno čina na isti nač in in kao i u Priruč niku niku za primenu Pravilnika BAB 87: - oznaka I u u eksponentu se odnosi na karakteristike neisprskalog, a oznaka II na na karakteristike isprskalog preseka; - oznaka b u indeksu ozna č ava ava karakteristike betonskog preseka, oznaka a karakteristike armature dok se oznaka i koristi za karakteristike idealizovanog preseka1; - indeks 1 se odnosi na zategnutu, a indeks 2 na na pritisnutu ivicu preseka. Uobi č a jeno, površine preseka se ozna č avaju avaju slovom A, momenti inercije slovom J , otporni čajeno, momenti slovom W a a položaji težišta preseka slovom y . Potrebne geometrijske karakteristike neisprskalog betonskog preseka i položaj težišta ukupne armature u preseku dati su slede ć im im izrazima: AbI = b×d = 100×18 = 1800 cm2 /m y b1 = d/2 = 18 / 2 = 9.0 cm b1 = y b2 b2 = b × d 3 100 × 18 3 = J = = 48600 cm4 /m 12 12 I b
Aa1 = 15.39 cm2 /m (RØ14/10) ; Aa2 = = 0 ⇒ Aa = Aa1 + Aa2 = = 15.39 cm2 /m Položaj težišta ukupne armature u odnosu na gornju ivicu preseka, kao i položajni moment inercije armature u odnosu na težište ukupne armature, određ eni eni su kao: y a2 = h = d – a1 = 18 – (2 + 1.4/2) = 15.3 cm ; J a = 0 a2 =
1.1 ELASTI Č N ČNO O REŠENJE Ugib u sredini raspona proste grede optere ć ene ene jednako raspodeljenim optere ć enjem enjem q=g+p po č itavom itavom rasponu, uvode ć i u prorač un un moment inercije BRUTO BETONSKOG PRESEKA, određ en en je izrazom: 5 × q × l 4 5 × (6 .5 + 4.0 ) × 6 .0 4 -3 v b = = − 8 = 11.6×10 m = 11.6 mm 6 384 × E b × J b 384 × 31.5 × 10 × 48600 × 10
1.2
PRORAČ UN UN UGIBA U TRENUTKU NANOŠENJA OPTERE Ć E ĆENJA NJA
1.2.1 Poč etni etni ugib, ukupno optere ć enje enje Posebno se mora sra č unati unati ugib za stanje I (bez prslina) i za stanje II (sa prslinama).
1
Pod pojmom »idealizovani popreč ni ni presek« se podrazumeva presek koji se sastoji od najmanje dva materijala, č ije ije su mehani č ke karakteristike svedene na jedan (preovlađ uju ujuć i)i) – uobi č ajeno beton č ke č ajeno Projektovanje i građ enje enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PRORAČ UN DEFORMACIJA PLOČ E OSLONJENE U JEDNOM PRAVCU
P2/2
1.2.1.1 Stanje I (bez prslina) - ukupno optereć enje E 210 = 6 .67 n= a = E b 31.5 Ai I = AbI + n×Aa = 1800 + 6.67×15.39 = 1903 cm 2 /m I i 2
I b 2
y = y
( y a 2 − y bI 2 )× n × Aa + Ai I
= 9.0 +
(15 .3 − 9.0 )× 6 .67 ×15 .39 1903
= 9.34 cm
Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I određ en je izrazom: J i I = J bI + n × J a + AbI × y a2 − y bI 2 )× y i I 2 − y bI 2 ) J iI = 48600 + 0 + 1800×(15.3 - 9.0)×(9.34 - 9.0) = 52453 cm4 /m J bI 48600 k = I = = 0.927 J i 52453 I a
Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) optere ć enje, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:
v 0 I = k aI ×v b = 0.927×11.6 = 10.7 mm Da je č itav nosač bez prslina, konstantne krutosti, prora č unski elasti č ni ugib usled ukupnog, g+p optereć enja, iznosio bi v g+p,0 = 10.7 mm. 1.2.1.2 Stanje II (sa prslinama) - ukupno optereć enje Položaj neutralne linije se odre đ uje rešavanjem kvadratne jedna č ine oblika: s 2 + 2 n × (µ1 + µ 2 ) × s − 2 n × (µ1 + µ 2 × α 2 ) = 0
µ1 =
Aa1 15 .39 = = 1.01% ; b × h 100 ×15 .3
µ 2 =
Aa2 a = 0 ; α 2 = 2 = 0 b×h h
s 2 + 2 × 6 .67 ×1.01 ×10 −2 × s − 2 × 6 .67 ×1.01 ×10 −2 = 0 s 2 + 0 .134 × s − 0 .134 = 0 ⇒ s = 0.305 x II = s×h = 0.305×15.3 = 4.67 cm AbII = b×x II = 100×4.67 = 467 cm2 /m x II 4.67 = y = = 2.34 cm 2 2 II b
3
b × ( x II ) 100 × 4.67 3 = J = = 849 cm4 /m 12 12 y i2 II = x II = 4.67 cm II b
J i II = J bII + n × J a + AbII × (y a 2 − y bII 2 )× (y i II 2 − y bII 2 ) J iII = 849 + 0 + 467×(15.3 - 2.34)×(4.67 - 2.34) = 14991 cm4 /m J bI 48600 k = II = = 3.242 J i 14991 II a
Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) optere ć enje, za isprskali presek (stanje II) iznosi:
v 0II = k aII ×v b = 3.242×11.6 = 37.5 mm Projektovanje i građ enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PRORAČ UN DEFORMACIJA PLOČ E OSLONJENE U JEDNOM PRAVCU
P2/3
Da je č itav nosač isprskao, konstantne krutosti koja odgovaraj preseku u sredini raspona, prorač unski elasti č ni ugib usled ukupnog, g+p optere ć enja, iznosio bi v g+p,0 = 37.5 mm. 1.2.1.3 Poč etni ugib u trenutku t=0 (ukupno optereć enje) Pošto je ploč a pod optereć enjem g+p na jednom delu (u blizini oslonaca) u stanju bez prslina, dok je u središnjem delu u isprskalom stanju, potrebno je vrednosti ugiba sra č unate u tač kama 1.2.1.1 i 1.2.1.2, koje predstavljaju donju odnosno gornju vrednost koja se može javiti, na određ eni nač in ponderisati (ovde: bilinearna metoda). Najpre je potrebno srač unati moment pojave prsline M r : J i I J i I 52453 cm 3 = = 6057 W = I = y i 1 d − y i I 2 18 − 9.34 m I i 1
MB 30
⇒
f bzm = 2.4 MPa ( č lan 51 PBAB 87)
⎛ ⎛ 0 .4 ⎞ 0 .4 ⎞ kN f bzs = f bzm × ⎜ 0 .6 + 4 ⎟ = 2 .40 × ⎜ 0 .6 + 4 ⎟ = 2 .91 MPa = 0 .291 2 cm d ⎠ 0 .18 ⎠ ⎝ ⎝ kNm kNm M r = M r = f bzs × W i 1I = 0 .291 × 6057 ×10 − 2 = 17 .6 < M g + M p = 47 .25 m m
β1 = 1.0 (RA 400 / 500 ) ⎫ 17 .6 = 0.626 ⎬ ⇒ ζ 0 , g + p = 1 − 1.0 ×1.0 × β2 = 1.0 (t = 0 ) 47 25 . ⎭ Ukupno, poč etni ugib u trenutku t=0 se dobija iz izraza: v 0 = (1 – ζ ) × v 0I + ζ × v 0 II
v g+p,0 = (1 - 0.626)×10.7 + 0.626×37.5 = 27.5 mm Maksimalni ugib grede usled ukupnog, stalnog i povremenog optere ć enja, u trenutku nanošenja optereć enja (t=0), je v g+p,0 = 27.5 mm. Da je optereć enje koje deluje na konstrukciju kratkotrajno (što je slu č aj sa povremenim optereć enjem), odnosno kada beton ne bi pokazivao svojstva te č enja i skupljanja, srač unata vrednost ugiba bi bila kona č na. Ovako, potrebno je zasebno prorač unati trenutni ugib usled stalnog optere ć enja i njegov priraštaj u toku vremena. 1.2.2
Poč etni ugib, stalno optereć enje
Krutost, odnosno moment inercije, bilo u neisprskalom ( J i I ) ili isprskalom ( J i II ) stanju, je funkcija dimenzija popreč nog preseka i koli či ne i položaja armature u preseku, nezavisno od intenziteta optereć enja. Stoga se deformacije usled stalnog optere ć enja lako dobijaju iz proporcije: 1.2.2.1 Stanje I (bez prslina) - stalno optereć enje v g I ,0 =
g 6 .5 × v g I + p,0 = ×10 .7 = 6.6 mm g + p 6 .5 + 4.0
1.2.2.2 Stanje II (sa prslinama) - stalno optereć enje v g II ,0 =
g 6 .5 × v g II + p,0 = × 37 .5 = 23.2 mm g + p 6 .5 + 4.0
Projektovanje i građ enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PRORAČ UN DEFORMACIJA PLOČ E OSLONJENE U JEDNOM PRAVCU
P2/4
1.2.2.3 Poč etni ugib u trenutku t=0 (stalno optere ć enje)
β1 = 1.0 (RA 400 / 500 ) ⎫ 17 .6 = 0.397 ⎬ ⇒ ζ 0 , g = 1 − 1.0 ×1.0 × β2 = 1.0 (t = 0 ) 29 25 . ⎭ v g,0 = (1 - 0.397)×6.6 + 0.397×23.2 = 13.2 mm 1.3 PRORAČ UN UGIBA U TOKU VREMENA Geometrijske karakteristike idealizovanog popre č nog preseka (beton+armatura) se srač unavaju na isti nač in kao za stanje t=0, s tim da se u odgovaraju ć e izraze umesto modula deformacije betona E b unosi korigovani efektivni modul E b*.
χ ∞ = 0 .8 ⎫ ⎬ ⇒ χ∞×ϕ∞ = 0.8×2.5 = 2.0 ϕ∞ = 2 .5 ⎭ E b* =
1.3.1
E b 31.5 E 210 = = 10.5 GPa ⇒ n* = a* = = 20 1 + χ ∞ ϕ∞ 1 + 2 .0 E b 10 .5
Trajni ugib, stalno optereć enje
1.3.1.1 Stanje I (bez prslina) - stalno optereć enje) Ai *I = AbI + n* ×Aa = 1800 + 20×15.39 = 2108 cm2 /m * I
I b 2
y i 2 = y
( y a 2 − y bI 2 )× n +
*
× Aa
* I
Ai
= 9.0 +
(15 .3 − 9.0 )× 20 ×15 .39 2108
= 9.92 cm
Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I određ en je izrazom: J i * I = J bI + n* × J a + AbI × y a 2 − y bI 2 × y i * 2 I − y bI 2 4 J i*I = 48600 + 0 + 1800×(15.3 - 9.0)×(9.92 - 9.0) = 59035 cm /m
n* k = 1 − * I × [J a + Aa × (y a 2 − y i I 2 ) × (y a2 − y i * 2 I )] J i I ϕ
k ϕI = 1 −
20 × [0 + 15 .39 × (15 .3 − 9.34 ) × (15 .3 − 9.92 )]= 0.833 59035
v ∞I ,g = k aI × (1 + k ϕI × ϕ∞ )× v b ,g = (1 + k ϕI × ϕ∞ )× v 0 I ,g Ugib u vremenu t →∞ usled stalnog optere ć enja, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:
v I g, = (1+0.833×2.5)×6.6 = 20.5 mm 1.3.1.2 Stanje II (sa prslinama) - stalno optereć enje Ai *II = AbII + n* ×Aa = 467 + 20×15.39 = 775 cm2 /m * II
II b 2
y i 2 = y
( y a 2 − y bII 2 )× n + * II
Ai
*
× Aa
= 2 .34 +
(15 .3 − 2 .34 ) × 20 ×15 .39 775
= 7.49 cm
J i * II = J bII + n* × J a + AbII × y a 2 − y bII 2 × y i * 2 II − y bII 2 4 J i*II = 849 + 0 + 467×(15.3 - 2.34)×(7.49 - 2.34) = 32039 cm /m
n* k = 1 − * II × [J a + Aa × (y a 2 − y i II 2 ) × (y a 2 − y i * 2 II )] J i II ϕ
Projektovanje i građ enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PRORAČ UN DEFORMACIJA PLOČ E OSLONJENE U JEDNOM PRAVCU
k ϕII = 1 −
P2/5
20 × [0 + 15 .39 × (15 .3 − 4.67 ) × (15 .3 − 7 .49 )] = 0.202 32039
v ∞II ,g = k aII × 1 + k ϕII × ϕ∞ × v b ,g = 1 + k ϕII × ϕ∞ × v 0 II ,g Ugib u vremenu t →∞ usled stalnog optere ć enja, za isprskali presek (stanje II) iznosi:
v II g, = (1+0.202×2.5)×23.2 = 35.0 mm 1.3.2
Trajni ugib u trenutku t
(stalno optereć enje)
β1 = 1.0 (RA 400 / 500 ) ⎫ 17 .6 = 0.698 ⎬ ⇒ ζ ∞,g = 1 − 1.0 × 0 .5 × β2 = 0 .5 (t → ∞) 29 25 . ⎭ v g, = (1 - 0.698)×20.5 + 0.698×35.0 = 30.6 mm 1.3.3 Trajni ugib, ukupno optereć enje Konač na vrednost ugiba usled dejstva dugotrajnog (stalnog) i kratkotrajnog (povremenog) optereć enja dobija se kao trenutna vrednost ugiba od ukupnog optere ć enja, uveć ana za prirast ugiba kao posledice dugotrajnog dejstva stalnog optereć enja: v g + p ,∞ = v g + p ,0 + (v g ,∞ − v g ,0 )
v g+p. = v max = 27.5 + (30.6 - 13.2) = 44.9 mm L 600 = = 2 cm 300 300 Kako je prekorač en dopušteni ugib, definisan č lanom 117. Pravilnika BAB 87, potrebno je korigovati neki od parametara. v b = 11.6 mm - elasti č no rešenje, bruto betonski presek v g+p,0 = 27.5 mm - trenutni ugib, ukupno optereć enje, t=0 v g + p, ∞ = v max . = 4.49 cm > v dop. =
v g+p.∞ = 44.9 mm - trajni ugib, ukupno optrereć enje, t →∞ Kako je dopuštena vrednost ugiba znatno prekora č ena, trebalo bi debljinu ploč e poveć ati minimalno 3 44.9 20 = 1.31 puta, što daje d p = 1.31×18 = 24 cm. Međ utim, poveć anje debljine ploč e sa 18 na 24 cm pove ć ava i intenzitet stalnog optere ć enja za 1.5 kN/m2 , što dodatno poveć ava rač unski ugib. Istovremeno, već a dimenzija ploč e zahteva manju koli č inu zategnute armature, č ime se dodatno pove ć ava koeficijent k aII koji uvodi u prorač un uticaj isprskalosti preseka (smanjuje se A a1, poveć ava h - po oba osnova pove ć ava se k aII ). Stoga dimenzija od 24 cm sigurno ne ć e biti dovoljna bez usvajanja dosta ve ć e koli či ne armature od potrebne za zadovoljenje grani č nog stanja nosivosti. Rezultati varijantnih prorač una su prikazani tabelarno, radi lakšeg pore đ enja. Najpre je ploč a podebljana na 24 cm, uz usvajanje armature potrebne prema grani č nom stanju nosivosti (oč ekivano, dopušteni ugib je prekora č en). Zatim je za istu debljinu ploč e usvojena nešto već a koli č ina armature, dovoljna da se ugib nađ e u dopuštenim granicama. Na kraju, ploč a je podebljana na potrebnih 28 cm, uz usvajanje armature potrebne prema grani č nom stanju nosivosti. Kao definitivna je usvojena je tre ć a varijanta (ploč a 24 cm, armatura RØ16/10, osenč ena kolona u tabeli na sledeć oj strani). Naravno, umesto ovde sprovedenog prora č una geometrijskih karakteristika idealizovanih preseka u neisprskalom odnosno isprskalom stanju, mogu se koristiti i odgovarajuć i dijagrami (Priruč nik za primenu Pravilnika BAB 87, Tom II, Prilog 3.4: »Koeficijenti za prora č un krivine elementa pravougaonog preseka izloženih složenom savijanju«). Sa ovih dijagrama Projektovanje i građ enje betonskih konstrukcija 1
PRIMERI ZA VEŽBE
PRORAČ UN DEFORMACIJA PLOČ E OSLONJENE U JEDNOM PRAVCU
P2/6
se, u funkciji procenta armiranja zategnutom armaturom, o č itavaju vrednosti koeficijenata k aI , k aII , k ϕI i k ϕII , za č ije se prorač unavanje troši najviše vremena. Kod odre đ ivanja uticaja teč enja, dijagrami su konstruisani za mlade ( χ∞×ϕ∞ = 3), stare ( χ∞×ϕ∞ = 1) i betone umerene starosti u trenutku nanošenja optereć enja ( χ∞×ϕ∞ = 2). Ukoliko se koriste dijagrami za prorač un koeficijenata, nije potrebno sra č unavati moment inercije idealizovanog popre č nog preseka J i I i odgovarajuć i otporni moment Wi 1I već moment pojave prsline M r treba srač unati sa vrednošć u otpornog momenta W b1. cm d p kN/m2 g kN/m2 p M g kNm/m kNm/m M p M u kNm/m cm h Aa,potr. cm2 /m
Aa,usv. J bI v b,g+p J iI k aI v g+pI ,0 0 J iII = t , k aII p II + g v g+p ,0 M r ζ0,g+p v g+p,0 v gI ,0 II 0 v g ,0 = t , ζ0,g g v g,0 J i *I k ϕI v g I ,t *II ∞ J i → t , k ϕII g v gII ,t ζt,g v g,t v g+p,t
18 6.5 4 29.25 18 79.2 15.3 14.38 Ø/ea Ø14/10 cm2 /m 15.39 cm4 /m 48600 mm 11.57 4 cm /m 52453 – 0.927 mm 10.72 cm4 /m 14991 – 3.242 mm 37.52 kNm/m 17.6 – 0.626 mm 27.51 mm 6.64 mm 23.23 – 0.397 mm 13.22 cm4 /m 59035 – 0.833 mm 20.46 4 cm /m 32039 – 0.202 mm 34.95 – 0.698 mm 30.58 mm 44.87
Projektovanje i građ enje betonskih konstrukcija 1
24 8 4 36 18 90 21.4 11.17 Ø12/10 11.31 115200 5.58 121659 0.947 5.28 24445 4.713 26.30 29.2 0.459 14.93 3.52 17.53 0.189 6.17 133465 0.867 11.16 56646 0.147 23.99 0.594 18.79 27.55
24 8 4 36 18 90 21.2 11.28 Ø16/10 20.11 115200 5.58 125945 0.915 5.10 38093 3.024 16.88 30.8 0.43 10.17 3.40 11.25 0.146 4.55 144351 0.809 10.28 82078 0.196 16.77 0.573 14.00 19.62
28 9 4 40.5 18 97.2 25.4 10.06 Ø12/10 11.31 182933 3.81 192475 0.95 3.62 35404 5.167 19.67 38.8 0.337 9.03 2.50 13.62 0.043 2.98 210132 0.874 7.98 83584 0.135 18.23 0.521 13.32 19.37
PRIMERI ZA VEŽBE
