El fibrado tangente 15 de octubre de 2014
1.
Func uncion iones es difere diferenci nciabl ables es entre entre vari varieda edades des
Definición 1.1. Sean
Una función coordenadas
variedades variedades diferenciables y sea se dice dice diferenciable o de
,
Una función continua par de sistemas de coordenadas es . Una función de tal que
es
un abierto. abierto. si para para todo todo sist sistem emaa de .
se dice dice diferenciable o si dado cualquier cualquier de y de , la función función
es diferenciable es diferenciable en es diferenciable.
si existe un entorno entorno abierto abierto
se dice dice un un difeomorfismo si admite una
Una función diferenciable inversa diferenciable.
Claramente una función es diferenciable si y sólo si es diferenciable en cada punto. Además, es fácil ver que la composición de funciones diferenciables es diferenciable. En efecto, sean y funciones funciones diferenciab diferenciables les y sean
1
sistemas de coordenadas en para se tiene que
. Entonces, en su dominio de definición,
es diferenciable (pues es composición de funciones diferenciables de varias variables). Notación. Denotamos por el conjunto de funciones de diferenciables de en . El conjunto se denotará usualmente como y se llama el álgebra de funciones diferenciables en . Observar que es, en efecto, un álgebra asociativa sobre los números reales (con las operaciones usuales de suma y multiplicación de funciones). Ejemplo 1.2. La inclusión
de la esfera en es . En efecto, como los cambios de coordenadas en una variedad diferenciable son , basta chequear que la composición de con cartas coordenadas es diferenciable sólo para una familia de sistemas de coordenadas que cubran la variedad. Consideramos en los sistemas de coordenadas “casquetes” y en la identidad. Luego, si , entonces
es diferenciable.
1.1.
Particiones de la unidad
Recordemos que, por definición, todas las variedades diferenciables son Si se define como
es una función definida en un espacio topológico
Definición 1.3. Sea
una variedad diferenciable. Una familia se dice una partición de la unidad en si
1. la familia un entorno 2. 3.
de
.
, el soporte de
de funciones
es localmente finita (es decir, para cada existe tal que salvo una cantidad finita de s);
para todo para todo
y para todo
;
.
Una partición de la unidad se dice subordinada al cubrimiento de si para cada existe tal que . Decimos que dicha partición de la unidad está subordinada al cubrimiento con la misma familia de índices si para todo . Dado , denotamos por centrado en el origen con lados de longitud 2
para todo el cubo abierto paralelos a los ejes coordenados.
Lema 1.4. Existe una función diferenciable no-negativa
el cubo cerrado
y cero en el complemento del cubo abierto
Demostración. Basta probarlo para , pues si , si y para todo , entonces
que vale .
es tal que
en si
tiene las propiedades deseadas. Veamos pues que existe una tal . Se sabe que la función
es no-negativa,
y positiva si
es no-negativa,
y vale
si
(ejercicio). Luego, la función
y
si
. Finalmente, la función buscada es
Lema 1.5. Sean
una variedad diferenciable, Entonces existe un entorno abierto de , no-negativa tales que y
un abierto de y . , y una función diferenciable .
Demostración. Sea un sistema de coordenadas alrededor de tal que , y . Sea diferenciable y no-negativa tal que y (la cual existe por el lema anterior). Sea y definamos
Observemos que y . Para ver que es diferenciable basta ver que es diferenciable en cada . Si , entonces es y si , podemos tomar un sistema de coordenadas alrededor de con y en este caso es también . Teorema 1.6 (Existencia de particiones de la unidad) . Sea
una variedad diferenciable y sea un cubrimiento abierto de . Entonces existe una partición de la unidad numerable subordinada al cubrimiento y con compacto para todo . Si no se requiere que los soportes sean compactos, entonces existe una partición de la unidad subordinada al cubrimiento , con la misma familia de índices, con a lo sumo una cantidad numerable de las no idénticamente nulas. 3
Para probar el teorema usaremos el siguiente resultado, que sigue de la paracompacidad de las variedades diferenciables y ya fue probado en la unidad anterior. Lema 1.7. Existe una familia de abiertos
1.
de
, con
tales que
es compacto para todo ;
2.
para todo ;
3.
.
Demostración del Teorema 1.6 . Sean , , como en el lema anterior y definamos . Dado , sea y sea tal que . Sea . Por el Lema 1.5, existen un entorno abierto de , ,y diferenciable y no-negativa tales que y . Luego es compacto. Como es compacto y es un cubrimiento abierto de , existe un subcubrimiento finito . Sean las correspondientes funciones diferenciables. Haciendo obtenemos una familia numerable de funciones diferenciables tales que es no negativa para todo , es compacto y la familia es localmente finita, pues cada tiene intersección no vacía con a lo sumo una cantidad finita de . Además,
para todo . Notar que la serie anterior, es en realidad una suma finita en un entorno de cada y por ende está bien definida y es una función diferenciable en .
Sea , entonces bordinada al cubrimiento cada .
es una partición de la unidad su. Además es compacto para
4
Si ahora definimos idénticamente cero si ninguna tiene soporte contenido en y en caso contrario como la suma de las con . Entonces, poniendo , se tiene que es una partición de la unidad subordinada al cubrimiento con la misma familia de índices. Para ver que usamos que
en donde la segunda igualdad vale porque la familia mente finita. Corolario 1.8 (Existencia de funciones meseta). Sea
un abierto en y un cerrado en tal que , tal que 1.
para todo
2.
para todo
3.
.
es localuna variedad diferenciable, . Entonces existe una función
; ;
Demostración. Tomemos una partición de la unidad subordinada al cubrimiento de con y . Entonces tiene las propiedades deseadas.
2.
Vectores tangentes
Un vector puede pensarse como una transformación sobre las funciones diferenciables por medio de la derivada direccional. Más precisamente, si es una función diferenciable en , a valores reales, la derivada direccional de en en la dirección de es
Observemos que la derivada direccional tiene la siguientes propiedades
en donde son funciones diferenciables y es un número real. Se dice entonces que es una derivación lineal del álgebra de funciones diferenciables en en el punto . Esto motiva la definición de vectores tangentes a una variedad diferenciable en un punto dado.
5
una variedad diferenciable y sea . Un vector tangente a en es una derivación lineal del álgebra en . Es decir, satisface para todas y para todo , Definición 2.1. Sea
1.
;
2.
.
El conjunto de todos los vectores tangentes a a en y se denota por . Observemos que ,
y
,
así definidos son derivaciones lineales de
.
1. Notemos que cualquier función constante 2. Si
se llama el espacio tangente
es un espacio vectorial real, definiendo para
Chequear como ejercicio que en . Nota 2.2. Sea
en
, de donde se tiene
vale en un entorno de , entonces tal que en un entorno de , de donde sigue que
. Esto implica que para .
y
. En efecto, sea . Entonces
3. Sigue del ítem anterior que si dos funciones coinciden en un entorno de , entonces . En particular, esto implica que un vector tangente puede aplicarse a funciones que estén definidas sólo en un entorno de . Teorema 2.3. Sea
Entonces
una variedad diferenciable de dimensión es un espacio vectorial (real) de dimensión .
y sea
.
Daremos una demostración constructiva de este teorema, pero antes necesitamos la siguiente definición. Definición 2.4. Sea
un sistema de coordenadas alrededor de
. Definimos
para
.
6
Es fácil ver que
(hacerlo como ejercicio). Es frecuente la notación
Observemos que
La demostración del Teorema 2.3 consistirá en probar que es una base de . Para ello necesitamos el siguiente resultado auxiliar. Lema 2.5. Sea
una función , tales que
con
un abierto convexo alrededor del origen y sea . Entonces existen funciones , de clase
1. 2.
; .
Demostración. Sea entonces tiene sentido definir
. Como es convexo y contiene al origen, para todo . Observemos que
Luego podemos poner
.
Demostración del Teorema 2.3 . Sea y sea un sistema de coordenadas alrededor de tal que y es convexo. Sea tal que y apliquemos el Lema 2.5 a la función . Luego, existen funciones diferenciables tales que (1) y
Podemos reescribir (1) como
. Luego, como
7
, se tiene que
Notemos que la condición , entonces
no es restrictiva, pues si y llamamos y la ecuación anterior sigue valiendo. Luego
y por ende generan son linealmente independientes. En efecto, si
. Veamos que estos vectores tangentes son tales que
entonces aplicando el lado derecho de esta igualdad a la -ésima función coordenada y usando el comentario posterior a la Definición 2.4, tenemos que
para todo
. Esto concluye la prueba del teorema.
Nota 2.6. 1. Sigue de la demostración del teorema que si un sistema de coordenadas en y , entonces
2. Supongamos que coordenadas en , entonces
y
es
son sistemas de
en donde
son los coeficientes de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas en . Observar que hemos denotado por la -ésima función coordenada de .
2.1.
Vectores tangentes como velocidades de curvas
Sea una variedad diferenciable. Una curva (diferenciable) en es una función , en donde es un intervalo abierto en . Sea . Dada , la asignación (2) 8
es un vector tangente en el cual se denota por . En efecto, es claro que la asignación (2) es lineal en . Además, si , entonces
con lo cual es una derivación lineal en llama la velocidad de la curva en .
Proposición 2.7. Sea
vector tangente pasa por .
se
una variedad diferenciable y sea . Entonces todo se obtiene como la velocidad de una curva en que
Demostración. Sea y sean tales que
Sea tal que por efecto, si
. El vector tangente
un sistema de coordenadas en
para . Observemos que , entonces
y sea . Se afirma que
con
definida . En
lo cual concluye la prueba.
3.
Diferencial de una función
Definición 3.1. Sean
La diferencial de por
en
variedades diferenciables y es la transformación lineal
9
una función . definida
para todo
y para toda
.
Es sencillo chequear que es un vector tangente a en para todo . En realidad, es una transformación lineal distinta para cada . Cuando sea necesario especificar el punto base usaremos las notaciones o para la diferencial de en . El pullback de en es la transformación lineal puesta de la diferencial de en . Más precisamente,
para toda
y para todo
trans-
.
................................................................................ . ........ ..... ..
... ..... .... .... . . . . .... .... ..... .... . . . . . ........ ........
..... .. ..... .. ..... .. .. ....... . ...
En el caso particular de una función diferenciable , entonces
En este caso es común identificar
es decir, identificamos
con
, si
con el elemento de
, en donde
Nota 3.2.
1. Sea una función sistemas de coordenadas en Sigue de la Nota 2.6 que
y
definido por
es la base de
dual de
y sean y
.
, respectivamente.
La matriz con coeficientes suele llamarse la matriz jacobiana de con respecto a los sistemas de coordenadas y . Notar que si , y los sistemas de coordenadas son los canónicos, entonces esta matriz conicide con el jacobiano usual de . 2. Si
es un sistema de coordenadas en y es la base de dual de es una función , identificando con , se tiene
10
, entonces . Si
3. Si
es una curva en
y
, enconces
Proposición 3.3 (Regla de la cadena). Si
y
y
son funciones
, entonces
Demostración. Debemos verificar que para todo . Para ver que estos dos vectores tangentes son iguales, veamos que valen lo mismo aplicados a cualquier . En efecto,
como queríamos probar. Proposición 3.4. Si
y
son funciones
, entonces
Demostración. Ejercicio. Teorema 3.5. Sea
mos que
para todo
una función , en donde es conexa. Suponga. Entonces es constante.
Demostración. Sea , tenemos que es cerrado. Sólo falta probar que es abierto. Sea . Tomemos sistemas de coordenadas alrededor de y alrededor de tales que . Luego, para todo tenemos
de donde sigue que
para todos es constante en biyectivas). Así,
, . Como es arbitrario tenemos que o, lo que es lo mismo, es constante en (pues como queríamos probar.
11
y
son
4.
Estructura de variedad del fibrado tangente y del fibrado cotangente
Sea una variedad diferenciable -dimensional con estructura diferenciable Definimos el fibrado tangente de como
.
Se tiene definida una proyección canónica si Es frecuente denotar los elementos de como pares esto no significa que sea un producto cartesiano. Dado definimos
Dicho de otra manera, si
está dado por
entonces Observar que
es biyectiva.
Lema 4.1. Si
Demostración. Sean . Entonces
entonces
es
,
. y sea
depende diferenciablemente de
. 12
con
, aunque por
Lema 4.2. La familia
es abierto es base para una topología en , la cual hace del fibrado tangente una variedad topológica de dimensión . Con esta topología es continua. Para probar este lema utilizamos el siguiente resultado. Lema 4.3. Existe una base numerable de la topología de
formada por abiertos
coordenados. Demostración. Ejercicio. Demostración del Lema 4.2 . Claramente . Sean y sean abiertos en y respectivamente. Supongamos que . Debemos probar que existen y abierto en tales que (3) Denotemos
Supongamos que existen abiertos
y
en
y
y sea
en
y tales que
. Escribimos
. Entonces, para
,
Por otro lado, es un hecho general que cualquier espacio vectorial real de dimensión , admite una única topología tal que cualquier isomorfismo lineal de es un homeomorfismo (ejercicio). Con esto en mente, consideramos a con dicha topología y sean , , los isomorfismos definidos por
Tenemos entonces que y Sea el sistema de coordenadas en
son abiertos en con
Se tiene entonces que satisface (3). Veamos que esta topología en es Hausdorff. Sean entonces existen sistemas de coordenadas en que , pues es Hausdorff. Luego 13
y
.
y
y sea
, y y
. Si en
tales son
entornos de y respectivamente, tales que Por otro lado, si , sea en . Supongamos que
. un sistema de coordenadas
y sean , entornos abiertos en de y respectivamente tales que . Entonces y son entornos de y respectivamente tales que . Observemos que, con esta topología, cada tiene un entorno homeomorfo a un abierto de , luego es un espacio localmente euclídeo de dimensión . Sólo falta probar que es . Por el Lema 4.3 sabemos que existe una familia numerable , , de sistemas de coordenadas en tales que es base de la topología de . Tomemos una base numerable de la topología de , digamos . Es fácil ver que es una base numerable para la topología de
.
admite una estructura de variedad diferenciable de dimensión tal que la proyección es .
Teorema 4.4.
Demostración. Sigue de los resultados anteriores considerando el atlas maximal contiene a la familia . Ejemplo 4.5. El fibrado tangente
es difícil verificar que la aplicación
es difeomorfo a . Sea definida por
es un difeomorfismo. Más aún, si es una variedad diferenciable de dimensión se puede cubrir con una sola carta, entonces existe un difeomorfismo con la propiedad que y para cada
,
,
que . No
que
, vale
Si esto sucede se dice que la variedad es paralelizable . Es un problema interesante (y difícil) en geometría, decidir cuándo una variedad diferenciable es paralelizable. Por ejemplo, se sabe que la esfera es paralelizable si y sólo si .
14
El fibrado cotangente de
se define como
En este caso también tenemos una proyección canónica si Dado
es decir, si
definimos
como
y escribimos, con las identificaciones usuales,
entonces admite una estructura de variedad diferenciable de dimensión tal que la proyección es .
Teorema 4.6.
Demostración. Ejercico. Es similar a lo hecho para el fibrado tangente.
15
