Docente: Yuvi Marcelo Campos Andrade
Sesión 3
UCV
MATEMÁTICA III SESIÓN 3: FUNCIONES DIFERENCIALES
Gradiente Diferencial
CAPACIDAD DE LA SESIÓN 3
Compara las derivadas parciales en funciones de varias variables para explicar situaciones de contexto real.
INGENIERÍA INDUSTRIAL
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3.1 Introducción En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función. Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión , donde es el número de variables independientes de la función.
3.2 El gradiente de una función Definición 1 Gradiente de una función
:⊂ℝ →ℝ ∇, , , :⊂ℝ →ℝ ∇ , , ,, ,, ,, 1 , .∇, ∇ 2 ,, , 2 ∇1,1 ∇, 2 4 1 ∇1,1 25 1,1, 1,1 2,3 , ⃗ 1, 2 , √ √ ∇ , 3 2 2 1,1 . ∇ 1,1∇1√ ,1 , √ .11, 22 −√ √ √ :⊂ℝ →ℝ , ∇, ≠0 , ‖∇, ‖ ∇ , , ‖∇, ‖ ∇, Para
, si
,
existen, entonces el
Para
, si
,
,
gradiente de
existen, entonces el
es:
gradiente de
es:
Observación.
es la ecuación de una superficie, superficie.
Ejemplo 1.
Si
es una normal a esta
, determine
Solución Como
.
, entonces
Ejemplo 2.
Si en el punto
, determine la derivada direccional de , en las dirección de a .
Solución Para
determinar
el
vector
vector posición del vector el vector unitario
unitario
,
procedemos
primero
, que es
hallar
el
. Finalmente tenemos
en la dirección de
Ahora hallaremos el gradiente de
en
,
.
en el punto (1,1)
Por lo tanto
Teorema 1 Propiedades del gradiente Sean
. Sea u cualquier
una función diferenciable y
vector unitario, tal que
es una función de u.
1) El valor máximo de
es
y se presenta cuando u tiene
la misma dirección que el vector gradiente
2) El
valor
alcanza
mínimo
cuando
.
de
la
es
dirección
de
u
-
es
.
.
la
Este
opuesta
de
valor
la
mínimo
dirección
se
de
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Ejemplo 3. Solución
Dado
, 1
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1,2. 2 ∇ 1 , 2 3, 4 1,2∇ , ‖∇ 21,1 2‖ ‖3,4‖ √ 3 4 √ 2 55 , , , calcule el valor máximo de
Determinando el gradiente, obtenemos Por lo tanto el valor máximo de
Ejemplo 4.
,
es
La temperatura en cualquier punto
de una placa rectangular
3,4 √ 3,4 ∇∇,3,4 3,4 3,4. , √ 34 2√ 3 , ∇, ≠0, ∇, :⊂ℝ →ℝ :⊂ℝ →ℝ ∇, , ⋯ , , , ⋯ , 0 , 0
situada en el plano es temperatura en
. Calcular las tasa de variación de la
en la dirección que forma una ángulo de
positiva del eje
en la parte
.
Solución
El vector unitario es, el gradiente de
en
es,
Por lo tanto,
Teorema 2 Sean
diferenciable en
y
, entonces
normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por
es
.
Las propiedades del vector gradiente para funciones de dos variables, valen en general para funciones de variables . En particular el vector es un vector perpendicular (normal) a la curva (o más general a la superficie) de nivel de la función que pasa por .
Ejemplo 5.
Dibujar la curva de nivel que corresponde a
dada por
para la función
.
Solución
La curva de nivel para
está dada por
, como se muestra en la
Fig. 3:
Fig. 2
Fig. 3
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, ∇, ( , , ,) ,1 ∇,01, 1 ∇0,01,1 ∇ , 10,1
El vector gradiente de
en
es
Algunos vectores gradientes son: ,
,
3.3 Plano tangente y recta normal a una superficie
P
N
Fig. 4. Planos tangentes y rectas normales
Ahora sección:
pasaremos
a
definir
lo
que
nos
hemos
propuesto
:⊆ℝ →ℝ ℝ {,,: ,} , á ó (,, , ) ,, , 1,0, , 1 0,1, , 2 Sea de
.
Queremos
superfi cie , como:
obtener
punto
un
vector normal (perpendicular) a la superficie
en
el
, el cual se define como el vector perpendicular al
plano tangente a Sea perpendicular al es perpendicular El plano el
esta
, una función diferenciable definida en el conjunto abierto
Definimos a la
en
en
punto
la superficie en . el vector normal deseado. Como este vector es plano tangente de la superficie en , entonces también a cualquier recta del plano tangente que pase por .
, al cortar a la superficie tiene
una
, determina una curva, la cual
recta tangente de pendiente
.
Entonces
el
vector
tiene la misma dirección de la recta tangente. Del mismo modo se obtiene el vector
que tiene la misma dirección de la recta tangente a la curva el punto . De (1) y (2) obtenemos el valor de .
,
en
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1 0 , 0 1 , , , , , 1 3 , 2 1,1,3 1,0, 1,11,0,3, 1,0,3 0,1, 1,10,1,6 , 0,1,6 10 01 363,6,1 3 1 6 1 3 0 con este vector normal queda definido completamente un
Ejemplo 6.
plano tangente.
Hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función , en el punto
Solución
En vector normal es:
El plano tangente será: En forma equivalente se define el sigue:
.
vector normal a una superficie como
Definición 2 Vector Normal a una Superficie
Un vector ortogonal a un vector tangente de toda curva que pase por un punto de una superficie se denomina vector normal a la superficie en .
Vector Normal
Vector
P0
C
S
Fig. 5 Vector normal y vector tangente
Existe una conexión especial entre lo discutido anteriormente y el vector gradiente que es perpendicular a una curva de nivel. Para ver esta conexión, consideremos a la superficie
{,,: ,} , á ó ,,, ∇, , , , , , , , , ,
como la curva de nivel cero de la función entonces
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∇,, , , , ,1
Resulta que es el mismo vector obtenido en (3).
Teorema 3
0 , , , , ∈ ∇, , 1 0,0,1 ,∇,0,0,1 0,0,2 1 : 1,1 →ℝ0,0,1 (0,,√1) ′0,1, √1 ′0 0,1,0∇ 0,0,1. ′00,0,2. 0,1,00 ∇ 0 , 0 , 1 0,0,1 ∇0,0,1 ′0
Si la superficie tiene por ecuación , , no son todos ceros en vector normal a
Ejemplo 7.
en
, es diferenciable y , entonces es un
.
Hallar el vector normal a la superficie
en el punto
.
Solución
Sea
,
tangente en
una
curva
en
la
esfera.
Cuyo
vector
es
Con el producto interno, comprobamos que Por lo tanto .
es
un
vector
normal
a
la
superficie
en
el
punto
Fig. 6 Vector normal y vector tangente de la esfera en (0,01)
Definición 3 Plano Tangente
, , 0 , , ∈ ∇, , ,, , , , , 0
Si la superficie tiene por ecuación , no son todos ceros en
, es diferenciable y , entonces el plano tangente de
el punto normal.
y tiene a
es el plano que pasa por
, en
como vector
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4 (1,1, √ 2) )(2, ) ,, 4 2 1 2∇(1, 1 , 2 2 , 2 2 √ √ 1 2√ 2( √ 2)0 ,, 0 ∶ , , ,, ,, (1,1, √ 2) ∇(1,1, √ 2)(2,2,2√ 2) 11 11 √ 2√ 2 { } { } , , : , , 0 , , : , , 0 ∩ ∇ ∇ × × 2 49, 2 10 3 3,3,2 2 49, , , 2 10 ∇,,3 3,3,2 18,×12, 124, 10,∇14,33,3,2 6,6,8 Ejemplo 8.
Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera
en el punto
.
Solución
Definimos
, entonces
La ecuación del plano tangente es:
Definición 4 Recta Normal a una superficie
La recta normal a una superficie en un punto de es la recta que pasa por y tiene como números directores a los componentes de cualquier vector normal a en . :
Ejemplo 9.
Obtenga
superficie del
las
ejemplo 10,
ecuaciones
simétricas
en el punto
de
la
recta
normal
a
la
.
Solución
Como es sabido, la recta normal son:
, entonces las ecuaciones simétricas de
Definición 5 Recta tangente a una curva en el espacio
La recta tangente a una curva en es la recta que pasa por y tiene como números directores a los componentes del vector tangente unitario a en . De la definición 3 y 5 todas las rectas tangentes en el punto a las curvas contenidas en una superficie están en el plano tangente a la superficie en . Sean ahora las superficies y , y , una curva. Mostraremos las ecuaciones de la recta tangente a en un punto . Si los vectores son ortogonales al vector tangente unitario a en , y no son paralelos, entonces el vector tangente unitario tiene la misma dirección, o la opuesta que el vector . Por lo tanto los componentes del vector sirven como los números directores de la recta tangente.
Ejemplo 10.
Obtenga las ecuaciones simétricas curva de intersección de las superficies en el punto
Solución
de
la
recta
tangente
a
la
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− + −−
Las ecuaciones simétricas de la recta tangente son
NOTA: Si
.
dos superficies tienen un plano tangente común en un punto, se dice que las dos superficies son tangentes en ese punto.
3.4 Incremento y Diferencial de una función de varias variables
Fig. 2 Gráfica del incremento y diferencial
Definición 6 Incremento de la función
:⊂ℝ →ℝ ℎ∈ℝ ∆ ℎ ℎ :⊂ℝ →ℝ ℎ∈ℝ ∆ℎ ℎ ⋯ℎ ∑= ℎ →0 ℎ →0 :⊂ℝ →ℝ ℎ∈ℝ ℎ 1ℎ1 2ℎ2 ⋯ℎ ℎ ℎ ⋯ ℎ ≈ ℎ ℎ ⋯ℎ , 3 23 32 , 3 " " " " ∆ , x y
Si
n,
entonces el
incremento de
en
es:
Definición 7 Función Diferenciable
, x y
Si para la función escribirse como:
donde
conforme
, el incremento de
, entonces se dice que
es
en
puede
diferenciable en
.
Definición 8 Diferencial total Si
, x y
de
es la función
Observación. Si
Ejemplo 11.
, y
diferenciables en
, entonces la
diferencial total
:
, entonces
Si
, encuentre el diferencial
.
Solución.
Ejemplo 12.
Sea
2.96, compare los valores de
Solución.
. Si
con
cambia 2 a 2.05,
del ejemplo anterior.
de 3 a
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2, 0. 0 5 3, 0. 0 4 , 22 330.05 32 230.04 0.65 ∆2,30.05,0.04 2,3 ∆ 2 . 0 5, 2 . 9 6 2, 3 ∆∆≈2.05 32.052.96 2.96 2 323 3 0.6449
Al hacer que de , tenemos
,
El incremento de
es:
Observe que
, pero
Ejemplo 13 Usar
, y usando el diferencial total
es más fácil de calcular.
el diferencial para calcular
Solución.
91.95 8.1 , 92 2
Consideremos una función adecuada para el caso:
, 2,8 0.5 0.1 , ℎ, ℎ ,≈, ℎ ℎ , ℎ, ℎ ,≈ 992 2ℎ 922ℎ 2,80.05,0.1 2,982≈ 91020.805[108 ]0.1 91.95 8.1 ≈10 10 0.05 100.1 9.99 1 , 2 , 2 50 1. 1 , 50 1,, 26 5 3 0. 1 (61 52)0.1 (3 2 51)0 0.0. 4 075714 0 1.1,2.05714 1,2 50 2 21.1 2.05714 51.12.05714 0.0847≈0 Hagamos
,
,
Como
,
entonces
De donde
Ejemplo 14.
El
punto
se
encuentra
en
la
curva
de
la
ecuación
. Calcule el valor aproximado del punto próximo en
la curva, para el que
Solución.
Primero hallamos el diferencial de
Cuando se sustituye
y
,
, se encuentra que
Esto produce el punto aproximado al punto . Como verificación de la exactitud de esta aproximación, podemos sustituir en la ecuación original para obtener
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3.5 PRÁCTICA Gradiente
, 432 , − ,, ,, +++. 2,3,6
Del 1-4, hallar el gradiente de las funciones dadas: 1. 2. 3. 4. 5.
.
.
.
.
En
cualquier
punto
de
un
sólido
la
temperatura
en
donde
a)
b)
6.
3,2,2 , , √
, + +
.
en
cualquier punto de una placa kilogramos por metro cuadrado,
Calcular la tasa de variación de la densidad en el punto dirección del vector unitario
7.
grados,
Si la distancia se mide en milímetros, calcule la tasa de variación de la temperatura en el punto en la dirección . Determine la dirección y la intensidad (o módulo) de la máxima tasa de variación de en .
En los ejercicios 6-7, la densidad rectangular situada en el plano es donde
3,2,2
,,
3,2
.
3,2
en la
Determine la dirección y la intensidad de la máxima tasa de variación de en .
Diferenciales
Del 8-13 determine la diferencial de
8.9. 10. 11. 12.13. 23 2 14. 8.94 9.91.1 15.16. (√ √ 09.99√ 1 24 ) . 9 17.18. 3.0320.00011.97 5.99
las funciones:
Del 14-18, utilizar el diferencial para aproximar al número:
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Recta normal a una superficie Del 19-23 obtener la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto indicado.
(2, ) 16, 2 , 2 2 √ 4, 2 , 0 , 0 ,3, 10,,,0,1 / /, 1,1,2
19. 20. 21. 22. 23.
Recta tangente a una curva
Del 24-26 determine ecuaciones de intersección en el punto indicado.
la
recta
tangente
a
la
curva
de
21, 8, 2, 0, 20,,12,,10.. , 16; 4,16,0. 916 1,32, 1,21,.2. 4, 2,2. 2 2 90, 1,2. 2 l n 1; 1 , 1 4;2,0
24. 25. 26.
Del 27-32 obtener una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. 27. 28. 29. 30. 31. 32.
Plano tangente a una superficie 33.
34.
35.
4, 2,4,5 , , , . 1 ,, 0
Hallar la ecuación del plano tangente y recta normal a la superficie . Si , demostrar que las ecuaciones del plano tangente y de la normal en el punto son respectivamente:
Demostrar que el ángulo
entre el eje
y la normal a la superficie
, en un punto cualquiera está dado por
+ + | |
.
