01. FUNGSI PEMBANGKIT

Matematika Diskrit
Bab 1.
Deret Tak Hingga
Fungsi Pembangkit

Indah Yanti
Teorema Binomial Diperluas
TEOREMA 1.7.
Misal dengan <1. Dan , maka

1+ = =0

11
Fungsi Pembangkit Biasa
Contoh 1.1.
Misalkan =1 untuk k = 0, 1, 2, … . Maka fungsi pembangkit biasa dari barisan adalah

=1+ + + + =11

dengan syarat <1.

6
DEFINISI 1.3.
Fungsi Pembangkit Biasa (Ordinary Generating Function) dari barisan 0, 1, , , adalah deret takhingga

= 0+ 1 + + + = =0

5
Perluasan Deret Kuasa
DEFINISI 1.2.
Jika f mempunyai perluasan deret kuasa di titik c, yaitu jika
= =0 , <
maka koefisiennya dapat dinyatakan dalam rumus
= !
Jika disubstitusikan maka akan diperoleh

= =0 !

4

Deret Taylor
TEOREMA 1.5.
Misal barisan 0, 1, , , mempunyai fungsi pembangkit . Maka fungsi pembangkit untuk barisan

0,0, ,0, 0, 1, , ,

adalah . BUKTIKAN!!!

8
Soal 1. Misal diketahui
=11 2
dengan menggunakan contoh 1.1. tentukan koefisien 0, 1, pada ekspansi = =0

Soal 2. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 3, 1, 3, 1, … .

Soal 3. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 0, 0, 0, 0, 1,
2, 3, 4, … .

9
Koefisien Binomial Diperluas
TEOREMA 1.6.
Misal dan bilangan bulat nonnegatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan oleh

= 1 +1 ! >01 =0

10
Soal-soal
Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue?

Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.

Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang bernilai Rp. r, apabila:
urutan pemilihan diperhatikan atau
tidak diperhatikan.
14
Soal-soal
Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini:

1/(1+x)2

1/(1-2x)

x4/(1-3x)3

13
Fungsi Pembangkit Eksponensial
Misal a0, a1, a2, … adalah barisan bilangan real. Fungsi

disebut fungsi pembangkit eksponensial untuk barisan yang diberikan.

Contoh 1.2.
Barisan: 1, 1, 1, …, 1, 0, 0, …
Fungsi pembangkit eksponensial:

12
Deret Kuasa
DEFINISI 1.1.
Deret kuasa adalah deret takhingga yang berbentuk

0+ 1 + 2 2+ = =0

Catatan:
Deret kuasa di atas dapat dipandang sebagai fungsi f dari X.
Terdefinisi untuk nilai – nilai x yang jumlah takhingganya konvergen.
Asumsi: dipilih x yang membuat deret kuasa konvergen

3
TEOREMA 1.4.
Misal = =0 dan = =0 . Maka
+ = =0 +
dan
= =0 =0

7
Pendahuluan
Alat untuk menangani masalah – masalah pemilihan dan penyusunan dengan pengulangan

Menyelesaikan masalah yang tidak memperhatikan urutan

Banyak menggunakan deret kuasa
2
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
3/3/2014

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
3/3/2014

#
Click to edit Master subtitle style
3/3/2014

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
3/3/2014

#
3/3/2014

#
3/3/2014

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
3/3/2014

#

3/3/2014

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
3/3/2014

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
3/3/2014

#
3/3/2014

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
3/3/2014

#

3/3/2014

Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#

01. FUNGSI PEMBANGKIT

Recommend Documents