Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi Pembangkit Momen 1.

A. MOMEN Momen Jika X adlah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan didefinisikan sebagai: 2.

Momen

Diskrit

Jika X adlah peubah acak diskrit dan p (x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen ke-k (dinotasikan dengan

) didefinisikan sebagai:

Contoh: Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X

Hitunglah Penyelesaian : Berdasarkan definisi momen diskrit, maka:

nilai

Momen

Kontinu Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen ke-k ( dinotasikan dengan

) didefinisikan sebagai :

Contoh : Misalnya fungsi dnsitas dari X berbentuk:

Hitung Penyelesaian :

B. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Pada bagian sebelumnya, kita membahas momen ke- k yang dinotasikan dengan

.

Momen ini bisa juga diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan fungsi pembangkit momen. Sehingga fungsi pembangkit momen merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momenmomen. Selain itu, penentuan distribusi baru dari peubah acak yang baru merupakan kegunaan lain fungsi pembangkit momen. Fungsi

pembangkit

Momen

Definisi 1 Jika X adalah peubah acak , baik dari diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X ( dinotasikan dengan (Mx(t)) didefinisikan sebagai : Mx(t) = E(etX) Untuk -h < t < h dan h > 0

ungsi

Pembangkit

Momen

Diskrit

Definisi

2

Jika adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai : ungsi

Pembangkit

Momen

Kontinu

Definisi

3

jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari x didefinisikan sebagai:

Berikut ini akan dijelaskan dua cara dalam pembuktian bahwa fungsi pembangkit momen itu bisa menghasilkan momen – momen. a.

Jika definisi 1, etX diuraikan dengan menggunakan perluasan deret MacLaurin, maka dapat diperoleh:

Jika Mx(t) diturumkan terhadap t, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh : Demikian seterusnya, sehinga apabila diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

Demikian seterusnya, sehinga apabila diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

b. Dalam hal ini, kita akan menurunkan terhadap t dari perumusan pada definisi 1

Demikian seterusnya, sehingga apabila Mx(t) diturunkan terhadap t sebanyak r kali, kemudian harga t sama dengan nol, maka akan diperoleh:

C.

PENURUNAN

MOMEN

DARI

FUNGSI

PEMBANGKIT

MOMEN

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan Mx(t) adalh fungsi pembangkit momennya, maka :

Jika kita memperhatikna uraian diatas, maka syarat fungsi pembangkit momen akan menghasilkan momen–momen adalah -h < t < h dan h > 0. Apa artinya? Coba kita subsitusikan beberapa nilai h ke dalam -h < t < h.

Maka kita dapat menyimpulkan bahwa nilai t itu harus mencakup 0 (nol). Akibatnya, apabila fungsipembangkit momen menghasilkan sebuah fungsi t dengan harga t-nya idak sama

dengan nol, maka kita harus menentukan fungsi pembangkit momen yang berlaku untuk harga t sama dengan nol. Pemahaman penentuan fungsi pembangkit momen dari sebuah peubah acak, baik diskri maupun kontinu diperjelas melalui contoh berikut: Contoh: Misalnya fungsi peluang dari X berbentuk:

a.

Tentukam

b. Hitung

fumgsi

pembangkit

momen

berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen.

Penyelesaian: Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka:

dari

X.