Pendahuluan
Fungsi Pembangkit adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan. Dengan mentranslasi persoalan ke dalam dunia Fungsi Pembangkit, maka kita dapat menggunakan sifat-sifat khusus dari Fungsi Pembangkit sebagai metode untuk memecahkan masalah. Fungsi Pembangkit ini bisa kita gunakan sebagaimana fungsi-fungsi pada umumnya. Misalnya melakukan operasi diferensial. Hal ini yang membuat ada yang berpendapat bahwa Fungsi Pembangkit merupakan jembatan antara matematika diskrit dan kontinu. Fungsi Pembangkit memiliki banyak penggunaan, misalnya untuk menyelesaikan permasalahan rekurensi, counting, membuktikan identitas kombinatorika, maupun aplikasi-aplikasi lain yang beragam. Dalam penerapannya, banyak metode yang menggunakan menggunakan Fungsi Pembangkit sebagai senjata utama penyelesaian masalah, misal “The “ The “Snake Oil”Method ”, ”, “The “The Sieve Method ”, ”, dan lain-lain. lain-lain. Dalam menyelesaikan permasalahan, ada banyak sekali pilihan metode atau pendekatan yang dapat dipergunakan. Misalnya, tentang metode pembuktian. Kita bisa menggunakan metode reductio ad absurdum yang memanfaatkan fakta bahwa hanya salah satu dari P atau negasi P yang benar. Ada lagi metode kontraposisi. Metode ini memanfaatkan pernyataan yang ekivalen antara P → Q dan P′→ Q′ . Bisa juga kita menggunakan Prinsip Induksi Matematika, atau beberapa metode lainnya. Seperti halnya dalam matematika diskrit. Ada banyak metode yang dapat kita pergunakan dalam menyelesaikan permasalahannya. Dalam makalah ini, akan dibahas tentang salah satu metode yang dapat dipergunakan untuk memecahkan masalah. Metode ini dikenal dengan nama Fungsi Pembangkit atau Generating Function Generating Function.. Fungsi Pembangkit ini layaknya sebuah jembatan yang menghubungkan Matematika diskrit dan kontinu, khususnya pada bagian teori variabel kompleks.Namun, pembahasan Fungsi Pembangkit dalam makalah ini hanyalah
sekedar memberikan ide utama, karena banyak sekali hal-hal yang dapat dibahas menyangkut Fungsi Pembangkit ini. Ada beberapa jenis fungsi pembangkit dalam matematika diskrit diantaranya fungsi pembangkit kombinasi dan fungsi pembangkit permutasi. Adapun kedua jenis fungsi pembangkit tersebut akan dibahas dalam makalah ini.
Fungsi Pembangkit Kombinasi dan Permutasi Permutasi
Bentuk umum dari
∑( )
, (n=0, 1, 2, ....) dapat dicari dengan metode The Snake
Oil. Variabel bebas dalam kasus ini adalah n. Jadi hasil yang kita cari adalah f(n). f(n). Ditulis dalam bentuk:
Sekarang kita kalikan dengan
pada kedua ruas. Kita sekarang sampai pada langkah
ketiga dari langkah diatas. Dan persamaan sekarang menjadi:
Pada langkah keempat, pertukarkan penjumlahan untuk memperoleh:
Untuk membuatnya sama, maka perlu dikalikan dengan de ngan
akibatnya terdapat
Seperti berikut:
Misalkan r = n-k , n-k , sehingga diperoleh:
Perlu diketahui bahwa bentuk penjumlahan bagian dalam adalah bentuk Maka diperoleh:
.
.
∑ ∑ =
=
Pada hasil terakhir, merupakan barisan Fibonacci. Sehingga Adalah suku ke-n ke- n dari barisan fibonacci. Kesimpulannya menjadi:
∑( ) =
Sifat-sifat fungsi pembangkit dalam permutasi:
+ + +... + + +... P(x) = 1 + x + P(x) = 1 + x + + + +...
P(x)
=1+x+
Sifat-sifat fungsi pembangkit dalam kombinasi:
P(x)
( ∑ )
=1+x+
P(x)
=1+x+
P(x)
=
+
+
+
...
+
...
, dimana
Fungsi Pembangkit untuk untuk Permutasi
Contoh permasalahan permutasi: Misalkan B adalah himpunan angka-angka pembentuk nomor handphone “081703789269” Tentukan banyaknya cara menyusun barisan n-angka dari B, dengan syarat angka 0 harus muncul Penyelesaian: Fungsi pembangkit dari masalah diatas adalah: P(x)
= . = . = . = ∑ = - ∑ =
∑
Cara menyusun barisan n-angka dari B, dengan syarat angka 0 harus muncul adalah koefisien
dari fungsi pembangkit, yaitu: = , n ≥ 0
Fungsi Pembangkit untuk untuk Kombinasi
Contoh permasalahan kombinasi: Misalkan A adalah himpunan huruf-huruf huruf- huruf pembentuk kata “MATEMATIKA”. Tentukan banyaknya cara menyusun n-huruf dari A, dengan syarat semua huruf harus muncul. Penyelesaian: A={M, A, T, E, I, K} P(x)
( ) ( ∑ ) ( ) ∑
= = = = =
Misal k+6 = n k= n-6 P(x) =
( ∑ )
Jadi, banyaknya cara menyusun n-huruf dari A, dengan syarat semua huruf muncul adalah koefisien x dari fungsi pembangkit, pe mbangkit, yaitu:
{( ) =
