KOMBINATORIKA D Uraian Materi
2 Fungsi Pembangkit Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk: memecahkan berbagai masalah counting , memecahkan relasi rekursif, dan membuktikan identitas kombinatorik. Beberapa formula yang sering digunakan dalam memecahkan masalah terkait fungsi pembangkit sebagai berikut:
1. Teorema Binomial
= , −.
2. Teorema Bomial Newton:
∞ 1 1 = , −..!−+ , > 0,
dengan
1, 0. 1 1 1, −− 1 ⋯ , , … , ∞ ⋯ ⋯ =
Khususnya, untuk bilangan bulat negatif, misal
berlaku persamaan
berikut ini:
3.
.
Konsep dasar fungsi pembangkit biasa disajikan pada definisi berikut ini. Definisi. Fungsi pembangkit biasa untuk barisan bilangan real: deret pangkat tak hingga:
didefinisikan sebagai
Untuk lebih memahami konsep fungsi pembangkit, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh 11. 1. Fungsi pembangkit dari barisan
{} ∑∞ 1 1 = {∞} 3 = 3. dengan
adalah
.
2. Fungsi pembangkit dari barisan
dengan
adalah
3. Fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1,1,1 adalah
G x 1 11 . + 1,1,1,1,1,… − 1,1,1,1,1,…
4. Barisan dari fungsi pembangkit 5. Barisan dari fungsi pembangkit
adalah
adalah
6. Fungsi pem bangkit dari barisan 2,2,2,2,2,2,2,000,… adalah……
Diperhatikan bahawa barisan tersebut dapat dinyatakan dengan
{} 21,1,1,1,1,1,1,000,⋯ 1 Gx 21 2 1 − 1,2,2, 2,2,⋯ 0 ,1 , 12 , 23 , ⋯ ∞ 1 1 = 1 0 , 1 , 12 , 23 ,⋯ . Jadi diperoleh fungsi pembangkit:
7. Barisan dari fungsi pembangkit
adalah
8. Diketahui barisan
Dengan menggunakan koefisien binomial yang diperluas, diperoleh fungsi pembangkit:
9. Diketahui barisan
Diperoleh fungsi pembangkit sebagai berikut:
10. Diketahui barisan
∞ 1 1 =1 1
20 , 31 , 42 , 53 ,⋯ ∞ 3 1 1 =1 1 30 ,41 , 52 ,63 ,⋯ ∞ 4 1 1 = 1 30 , 41 , 52 , 63 ,⋯ ∞ 4 1 1 =1 1 − 1,3,6,10,,⋯ 2 ,… − 1,4,10,20,,⋯ 3 ,…
Diperoleh fungsi pembangkit sebagai berikut:
11. Diketahui barisan
Diperoleh fungsi pembangkit sebagai berikut:
12. Diketahui barisan
Diperoleh fungsi pembangkit sebagai berikut:
13. Barisan dari fungsi pembangkit
adalah
14. Barisan dari fungsi pembangkit
adalah
,
,
Berikut ini diberikan teorema untuk menentukan barisan dari penjumlahan atau perkalian dua buah fungsi pembangkit. Teorema 4. Jika
∑∞= ∞∑∞= = dan
fungsi pembangkit, maka
∞ . = = − Untuk memahami Teorema 4, diperhatikan contoh berikut ini. Contoh 12. 1. Diberikan fungsi pembangkit
11 − 1 ⋯ ∞ ∞ 1 1 1 1 1 . 1 = = 1 = 1
Dengan mengingat bahwa
Fungsi pembangkit di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
2. Diberikan fungsi pembangkit
121 − 12 2 2 ⋯ ∞ ∞ 1 1 1 12 12 . 12 = = 12 = 12
Dengan mengingat bahwa
Fungsi pembangkit di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
Fungsi pembangkit biasa dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah-masalah kombinasi. Seperti dijelaskan pada contoh di bawah ini.
20 ,, 5 ≤ ≤ 10,5 ≤ ≤ 8 5 ≤ ≤ 12
Contoh 13: Tentukan banyaknya solusi dari
negatif dengan
dan
, bila
bilangan bulat tak
.
Penyelesaian . Menentukan solusi dari persamaan sama dengan masalah menentukan berapa
banyak obyek
terambil, berapa banyak obyek
terambil, dan berapa banyak obyek
terambil. Oleh karena itu, masalah ini sama dengan masalah menentukan kombinasi dari
obyek.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯. 20 1 ⋯1 1 ⋯. 1 1 1 1 1 1 1 (1)111 − 7531 20 Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek
fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek
adalah
fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya obyek Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien
Setiap bentuk
adalah
adalah
, dan .
dalam ekspansi:
dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan
pada faktor kedua dan
,
pada faktor pertama dengan
pada faktor ketiga yang memenuhi: .
Bila disederhanakan, fungsi pembangkit
menjadi:
Dengan menggunakan teorema binomial newton untuk
, bila dihitung maka didapat koefisien
adalah
=18
Jadi, terdapat 18 solusi dari persmaan
.
