FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Statistika Matematika Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi
Oleh : Intan Putri Natari
120311418961 120311418961
Nurroh Fitri A
120312419469 120312419469
Reza Taufikurachman
120312419470 120312419470
Rizky Abadi C
120312419473 120312419473
Wasilatun Nafiah
120311419001 120311419001
Kelompok 8 Off G/ 2012
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN S1 MATEMATIKA Maret 2014
Fungsi Pembangkit Momen
Misal
Defi ni si 2.6.1 2.6.1
ℎ < < ℎ
X
suatu
peubah
acak.
Maka
nilai
ekspetasi
disebut fungsi pembangkit momen dari X jika nilai ekspetasi
tersebut ada pada selang Untuk yang
selanjutnya,
merupakan
, untuk suatu
fungsi
singkatan
ℎ >0
pembangkit
dari
moment
.
momen
ini
generating
ditulis
sebagai
mgf ,
function.
Jika
tidak
menimbulkan kerancuan, yaitu dalam hal kita hanya menghadapi satu peubah acak, maka mgf ini cukup ditulis sebagai
.
Untuk fungsi pembangkit momen berakibat : jika X peubah acak diskret maka
∑ , dan jika X peubah acak kontinu maka
Khususnya untuk
0
∫− , kita mempunyai
0 1
. Jelas bahwa mgf ada pada kitaran
(neighborhood) terbuka dari 0. Oleh karena itu jika mgf ada, maka dia haruslah ada pada selang terbuka sekitar 0. Meskipun demikian mgf dari suatu sebaran ti dak selalu ada. Contoh 2.6.1 2.6.1 Misal
X peubah acak diskret dengan pdf
( 4) 0,1,2 ∑ .. 14 .. 24 .. 14 14 24 14
Maka mgf dari X adalah
Contoh 2.6.2 2.6.2 Misal
seseorang menunggu menunggu suatu bus pada tempat tertentu. Misal bus
aka lewat tempat tersebut setiap 15 menit. Jika waktu tunggu dinyatakan sebagai peubah acak X, maka pdf-nya adalah
151 0 < < 15 Oleh karena itu fungsi pembangkit momen dari X adalah
1 1 1 ∫− ∫ 15 15 [ ] 151 11 , ≠ 0 Misal X dan Y dua peubah acak yang mempunyai mgf. Jika X dan Y mempunyai cdf
yang sama, yaitu
untuk semua z, maka tentu
dalam
kitaran terbuka 0, dan sebaliknya berlaku benar. Ini berarti mgf dari suatu sebaran, jika ada, dia adalah tunggal. Pernyataan tersebut disajikan pada teorema berikut Teor ema 2.6.1
Misal X dan Y dua peubah acak dengan mgf berturut-turut
∈ ∈ ℎ, ℎ, ℎℎ ℎ>0 101 102 103 104 ,,,,… > 0 ∑ dan
, ada dalam kitaran terbuka 0. Maka
jika dan hanya jika
Contoh 2.6.3 2.6.3
untuk semua
untuk semua
untuk suatu
.
Misal peubah acak X mempunyai mgf
untuk semua bilangan real t . JIka kita misalkan f
mempunyai pdf dari X dan misal
merupakan titik-titik diskret dalam ruang peubah peubah acak X sehingga sehingga
,
maka
Oleh karena itu
110 102 103 104 Karena kesamaan ini merupakan suatu identitas, yaitu berlaku untuk semua bilangan real t , maka ita peroleh
1,1, 101 , 2, 102 , 3, 103 , 4, 104 10 1,2,3,4
Jadi pdf dari X adalah f adalah f sehingga
Contoh 2.6.4 2.6.4
Misal kontinu X mempunyai mgf
1 1 , < 1 Oleh karena itu
1 ∫ 1 − , < 1 −0 < < ∞
Umumnya tidak mudah untuk menentukan melihat bahwa pdf dari X
Teor ema 2.6.2
.
Namun dalam contoh contoh ini kita kita mudah mudah
Misal mgf dari peubah acak X ada. Maka
0, 1, 2, 3, … 11 ∑= ! Bukti
Bukti untuk kasus peubah acak X kontinu. Kita mulai dengan membuktikan bagian pertama, mgf dari X dapat kita tulis seperti berikut
∫−
Jika mgf tersebut ada, maka turunan pertamanya adalah
′ ∫− Oleh karena itu,
0 ∫ ∫ − − Turunan keduanya adalah
∫ ∫ − −
1,1, 2, … ∫ , −
Proses ini dapat dilanjutkan sampai ke r dimana
Oleh karena karena itu kita peroleh
dan
0 , 1, 2,… 0 0 0 0 1! 2! ⋯ 0 ∑= ! 0 11 ∑= ! 0
Untuk membuktikan bagian kedua kita gunakan rumus perluasan deret di sekitar nol, yaitu
Karena mgf pada saat
Bentuk
disebut sebagai
momen ke r
adalah satu, maka kita peroleh
di sekitar pusat dari peubah acak X. Inilah alasan bahwa
disebut fungsi pembangkit momen. Hubungan antara mgf dengan
dan
Dengan menggunakan Teorema 2.6.2 bagian (i), maka untuk
Sedangan untuk
1
, kita peroleh
0 0 0 24 24 0 24 24 1 24 24 24 44 12 0 12 1 0 0 12 1 1 12
Kembali ke contoh 2.6.1 , ,
jadi
Untuk memperoleh varians, kita kerjakan
dan
Sehingga
Jadi
Teor ema 2.6.3
Misal X dan Y dua peubah acak sehingga
(+) +
maka
Bukti
Latihan Soal 2.6
2.6.1
Tunjukkan bahwa mgf dari peubah acak X yang mempunyai pdf
1 < < 2 Jawaban :
2.6.2
, adalah
− , ≠ 0 1 3 , 0 − 1 ∫− ∫− 3 3 − 3
Misal peubah acak diskret X mempunyai pdf Tentukan :
+ 0,1,2,…
.
a. mgf. Petunjuk mgf. Petunjuk : gunakan rumus pada deret geometric b. Purata c. Varians Jawaban : a. Mencari mgf
∑ 1 + 1 1 1 ∑= 2 2 2 2 ⋯ 12 14 18 ⋯ 1 1 2 12 2 1
b. Mencari purata
Karena
0
01 2 2 1 2 0 2 11 1 maka akan dicari
1 0 0 0 2 22 2 21 11 3 0 2 2 2 Jadi, 0 0 3 1 2 − > 0 Jadi,
c. Mencari varians Karena
2.6.3
, maka akan dicari
Misal peubah acak diskret X mempunyai pdf
.
Tentukan : a. mgf b. Purata
c. Varians Jawaban : a. Mencari mgf
∫− −− ∫ − →lim ∫ −− →lim 1 1 −− →lim 1 1 1 1 1
b. Mencari purata
01 1 ′ 111 111 1 1 0 0 1 0 ′ 1 1 ′′ 21 12 2 Jadi, 0 0 2 1 1 18 14 58 Karena
0
maka akan dicari
Jadi,
c. Mencari varians Karena
2.6.4
, maka akan dicari
Anggap peubah acak diskret X mempunyai mgf
Tentukan : a. Purata
b. Varians
c. pdf
d. P ( X=2) X=2)
e. cdf
Jawaban : a. Mencari purata
0 18 14 58 ′ 18 24 285 0 18 24 285 380 Jadi, 380
Karena
0
b. Mencari varians
maka akan dicari
0 0 1 2 25 0 ′ 8 4 8 ′′ 18 44 1258 0 18 44 1258 1348 Jadi, 0 0 1348 308 107264 900 16472 4163 Karena
, maka akan dicari
c. Mencari pdf
d. Mencari P Mencari P ( X=2) X=2)
e. Mencari cdf
2.6.5
∑ 18 14 58 maka, 8 1,2,5 2 2 28 14 ∑−
18 1 38 1;1; 2 88 1;2;5; 5 , ℎ < < ℎ 0, 1, {[ ]} − , ℎ ℎ < < ℎ Misal peubah acak X mempunyai purata . Tunjukkan bahwa
dan
Jawaban :
, simpangan baku
dan mgf
i.
− 0 1 1 0 − 0 [− ] 1 2 1 (( 2 ) 1 2 2 1 2 1 1 1 1 − [ ] 1 −− −− , ℎ ℎ− < < ℎℎ {[ ]} . . − − , ℎ < < ℎ ≥ ≤ −, 0 < < ℎ, ≤ ≤ − , ℎ < < 0 Akan ditunjukkan bahwa
Karena
, maka
Jadi terbukti bahwa ii.
Akan ditunjukkan bahwa
Karena
, maka
Jadi, terbukti bahwa
iii.
Akan ditunjukkan bahwa
Jadi, terbukti bahwa
2.6.6
Misal X peubah acak dengan mgf
dan
Petunjuk : Misalkan
Jawaban : Misal
dan
dan
. Buktikan bahwa
dalam teorema 2.5.4
≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ −. ≥ 0< < ℎ ≥ ≥ ⇔ ⇔ ≥ − ℎ ≥< < ≤0 . ≥ ⇔ ⇔ ≤ − ≤ ≤ . − 2 , ≠ 0, 0 1 ≥ 1 ≤ 11 ≥ ≤ −. − − −− 1 − ≥ 11 ≤ −−. 2 2 2 , ≠ 0 ≤ ≤ . − + −+ 1 ≤ 1 ≤ . 2 2 2 , ≠ 0
maka
karena
, maka
karena i.
, maka
. Sehingga
Untuk
Jadi,
ii. Untuk
Jadi,
2.6.7
Misal mgf dari X ada untuk semua t dan diberikan oleh
Gunakan latihan 2.6.7 untuk menentukan Jawaban : i.
ii.
dan
