BAB II FUNGSI PEMBANGKIT A. Deret Kuasa
Deret tak hingga yang berbentuk
a x
n
n
kuasa. Bila terdapat bilangan disebut deret kuasa.
n0
R sedemikian sehingga deret kuasa ini konvergen konvergenuntuk positif R untuk setiap x dengan | x | R , maka R disebut radius kekonvergenan kekonvergenan.. Ada kalanya suatu deret kuasa tidak konvergen untuk
divergen. Dalam tulisan ini, pembahasan semua nilai x ( x 0) dan dikatakan deret tersebut divergen. tidak difokuskan pada kekonvergenan deret kuasa tersebut, melainkan lebih pada koefisien
n
koefisien dari x . Dalam hal ini, bentuk
a x
n
n
dipandang sebagai ekspresi formal saja.
n0
Deret kuasa yang demikian disebut sebagai deret kuasa formal . Dalam Kalkulus, telah dikenalbahwa deret Taylor fungsi f ( x) di sekitar x = 0 mempunyai bentuk sebagai berikut.
1
n! f
f ( x) =
(n)
(0) x
n
n0
= f (0) f ' (0) x
1 2!
f " (0) x 2
1 3!
f ' ' ' (0) x .... 3
Dengan formula tersebut, diperoleh hasil-hasil sebagai berikut.
x
1. e =
1
n! x
= 1 x
n
n0
2.
3.
4.
1
=
1 x
n
2!
2 x +
1
3 ………...untuk |x| < 1 x + ………...untuk 3!
= 1 x x 2 x 3 ....…………..untuk …………..untuk |x| < 1
n0
1 (1 x )
1 1 x
x
1
2
2
=
nx
n 1
= 1 2 x 3 x 2 4 x 3 ....… untuk |x| < 1
n 1
1 x 2 x 4 x 6 x 8 ....
5. Teorema Binomial Untuk setiap bilangan real u, bilangan bulat nonnegatif k, dan |x| < 1, berlaku:
u k x , dengan k 0 k
u
(1 x) =
u u (u 1)(u 2)...(u k 1) , jik a k 0 = k ! k 1 , jik a k 0
17
B. Definisi Fungsi Pembangkit
a n a0 , a1 , a 2 ,.... adalah
Misal
suatu barisan (fungsi numerik diskret). Fungsi
Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan a n didefinisikan sebagai berikut.
a x
n
n
= a 0 a1 x a 2 x 2 a 3 x 3 .... ..….……………………………...….....(2.1)
n0
Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari a n didefinisikan sebagai berikut.
an
n 0
x n n!
= a 0 a1 x a 2
x
2
2!
Perhatikan bahwa e x = 1 x + dari barisan (1, 1,
1 2!
,
1 3!
x3
a3 x 2 2!
3!
+
... …………………………………… .…(2.2)
x 3 3!
+ …. adalah Fungsi Pembangkit Biasa (FPB)
, ….) atau Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari barisan (1, 1,
1, 1, ….) Jika diketahui suatu barisan, maka dapat ditentukan fungsi pembangkit dari barisan tersebut dalam bentuk sesederhana mungkin.Perhatikan contoh berikut. Contoh 2.1
Tentukan bentuk sederhana fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan-barisan berikut. a. (0, 0,
1 2!
,
1 3!
, ….)
b. (0, 2, 4, 6, …., 2n, ….) Jawab a. Fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan yang dimaksud adalah A(x) =
1
1 3 x 2 + x + …. 3! 2!
= (1 + x +
1
1 x 2 + x 3 + ….) – x – 1 3! 2!
= e x x 1 b. Fungsi pembangkit biasa (FPB) yang dimaksud adalah A(x) = 2 x 4 x 2 6 x 3 .. . 2nx n ....
n = 2 x 1 2 x 3 x ... nx ....
=
2
1
2 x (1 x )
2
18
C. Operasi Fungsi Pembangkit
Penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian dua fungsi pembangkit atau lebih, dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti halnya menjumlah, mengurangkan, ataupun mengalikan dua polinomial atau lebih.
Misal diketahui A(x) =
a n x n dan B(x) =
n0
A(x)
(a
n
n
.
n0
B(x) =
b x
n
bn ) x n dan
n 0
A(x) B(x) =
n
( a b n
n0
n k
)x
n
k 0
a b
Apabila ( a n ) , (bn ) ,dan (c n ) adalah barisan yangmemenuhi c n =
k n k
, maka (c n )
k 0
disebut konvolusi dari ( a n ) dan (bn ) , yang ditulis (c n ) = ( a n ) * (bn ) Contoh 2.2
Tentukan barisan(fungsi numerik) yang bersesuaian dengan fungsi pembangkit biasaberikut. x x 5
P ( x )
6
1 x
Jawab Misal P( x)
5 6 x x
1 x
5 6 2 3 = x x 1 x x x ...
= x 5 x 6 2 x 7 .2 x 8 .... Jadi, barisan yang bersesuaian adalah (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, ….). Dapat juga diselesaikan dengan cara sebagai berikut. x x 5
P ( x )
1 x
6
5 6 1 = ( x x )(1 x)
=
c x n
n
.
n0
Perhatikan bahwa x 5 x 6 adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan ( a n ) = (0, 0, 0, 0, 1 0, 1, 1, 0, 0, ….). Sedangkan (1 x) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (bn ) = (1,
n
1, 1, …, 1, …). Karena bi =1,untuk setiap i, maka c n =
a b
k n k
k 0
bersesuaian adalah ( c n ) = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, …, 2, ….).
19
=
a k 0
k
. Jadi, barisan yang
D. Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi
Misal terdapat tiga macam objek: a, b, dan c. Diperbolehkan memilih sebanyak 0, 1, atau 2 objek a sebanyak 0 atau 1 objek b, dan sebanyak 0 atau 1 objek c. Berapakahbanyaknya cara memilih k objek?Untuk menjawab pertanyaan ini akan diterapkan fungsi pembangkit. Misal a k adalah banyaknya cara memilih k objek. Akan
dicoba menghitung fungsi pembangkit biasa A(x) =
a
k
x k . Karena objek a dapat dipilih 0,
k 0
1, atau 2 kali; dan objek b dapat dipilih 0 atau 1 kali; dan objek c dapat dipilih 0 atau 1 kali, maka ekspresi yang digunakan adalah: [(ax) ( ax) ( ax) ][( bx) (bx) ][( cx) (cx) ] ……….……..…………... (2.3) 0
1
2
0
1
0
1
bahwa ( ax) mengindikasikan
Perhatikan
1
objek
a
terpilih
satu
kali;
( ax )
2
mengindikasikan objek a terpilih dua kali; demikian pula (bx ) 0 mengindikasikan objek b tidak terpilih, dan seterusnya. Selanjutnya, ekspresi (2.3) dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut. (1 ax a x )(1 bx)(1 cx) atau 2
2
1 ( a b c ) x ( ab bc ac a 2 ) x 2 ( abc a 2 b a 2 c) x 3 a 2 bcx 4 ……...…. (2.4)
Perhatikan bahwa koefisien x 3 dalam (2.4) memberikan semua kemungkinan memilih 3 objek (dengan syarat yang diperbolehkan), yaitu: a, b, dan c; atau a, a, dan b; atau a, a, dan c. Demikian pula koefisien dari x 2 memberikan semua kemungkinan memilih dua objek yaitu: a dan b; atau b dan c; atau a dan c; atau a dan a . Hal yang sama berlaku untuk koefisien-koefisien lainnya. Jika a, b, dan c (dalam (2.4) masing-masing disubtitusi dengan 1, diperoleh ekspresi 1 3 x 4 x 2 3 x 3 x 4 . Jelaslah bahwa koefisien x k dalam ekspresi ini menyatakan banyaknya cara memilih k objek ( a k ) dengan syarat yang diperbolehkan. Misalnya terdapat 4 cara memilih 2 objek; terdapat 3 cara memilih 1 objek; dan hanya satu cara memilih 4 objek. Perhatikan bahwa a k = 0, untuk k > 4. Selanjutnya ekspresi A(x) = 1 3 x 4 x 2 3 x 3 x 4 = (1 x x )(1 x )(1 x ) 2
disebut fungsi pembangkit dari permasalahan menentukan banyaknya cara memilih k objek dari 3 macam objek, dengan syarat objek pertama (objek a) paling banyak dapat dipilih 2 kali; objek kedua (objek b) paling banyak dapat dipilih 1 kali; dan objek ketiga (objek c) paling banyak dapat dipilih 1 kali. 20
Secara umum diperoleh teorema sebagai berikut. Misal terdapat p tipe objek; dan terdapat n1 objek tipe 1, n 2 objek tipe 2, …, n p objek tipe p. Misal a k menyatakan banyaknya cara mengambil k objek dengan syarat diperbolehkan mengambil sembarang banyak objek tiap tipe. Fungsi
pembangkit untuk a k adalah A(x) =
a
k
x k ,dengan
k 0
A(x) = (1 x x 2
n
... x 1 )(1 x x 2 ... x 2 )...(1 x x 2 ... x p ) n
n
Bilangan a k diberikan oleh koefisien x k dalam A(x).
Contoh2.3
Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih r objek dari n objek jika tidak diperbolehkan terdapat pengulangan. Jawab Terdapat n objek. Karena tidak boleh terdapat pengulangan, maka tiap objek hanya dapat dipilih 0 atau 1 kali. Sehingga fungsi pembangkit yang dimaksud adalah sebagai berikut. A(x) = (1 + x)(1 + x) (1 + x) ..... (1 + x) …….(sebanyak n faktor)
= (1 x ) = n
n x …………………....(Teorema binomial) r 0 r n
r
n Perhatikan bahwa koefisien x r dalam A(x), yaitu , menyatakan banyaknya cara r memilih r objek dari n objek yang ada jika tidak diperbolehkan terdapat pengulangan. Contoh2.4
Tentukan banyaknya cara memilih r objek dari n objek yang diketahui jikaboleh terdapat pengulangan Jawab Misal t r menyatakan banyak cara memilih r objek. Karena ada n macam objek dan tiap objek dapat dipilih berulang (tanpa batas), maka fungsi pembangkit untuk t r adalah: A(x) = (1 x x ....)( 1 x x ....)( 1 x x ...) ……………… (n faktor) 2
= (1 x x ...) 2
2
n
21
2
Karena untuk | x | 1 ,
1
= 1 x x 2 ...., maka
1 x n
1 A(x) = 1 x n = (1 x ) n = (1) r x r r 0 r Untuk r > 0, koefisien x r dalam A(x) adalah
n (n)(n 1)...(n r 1) (1) r = (1) r r ! r ( 1) r n( n 1)(n 2)...( n r 1) = = = = =
r ! n(n 1)...(n r 1)
( 1)
r
r ! (n r 1)(n r 2)...(n 1)n r ! ( n r 1)(n r 2)...( n 1) n( n 1)! r !( n 1)! (n r 1)!
r !( n 1)!
n r 1 r
=
n 10 = Untuk r = 0, koefisien dari x r dalam A(x) adalah 0 n ( 1) r = r
≥ 0, berlaku
(1 x )
n
n 0 1 . Sehingga, untuk r 0
n r 1 . Dengan demikian, jelaslah bahwa r n r 1 r x r r 0
=
Jadi, banyaknya cara memilih r objek dari n objek jika pengulangan diperbolehkan
n r 1 . r
samadengan koefisien x r dalam A(x), yaitu
Sebelum membicarakan contoh selanjutnya, perlu diingat bahwa untuk x bilangan cacah berlaku identitas sebagai berikut. 1 x n
1
1 x
= 1 x x 2 x 3 .... x n 22
1 dan n
Contoh 2.5
Tentukan banyaknya caramemilih k huruf dari huruf-huruf pembentuk kata SURABAYA sedemikian sehingga setiap konsonan terpilih paling sedikit satu dan setiap vokal terpilih paling banyak 10. Jawab Perhatikan bahwa kata SURABAYA terdapat 6 huruf yang berbeda: yaitu: Konsonan: S, R, B, Y Vokal
: U dan A.
Karena setiap konsonan terpilih paling sedikit satu, maka setiap konsonan tersebut 2 3 4 5 berasosiasi dengan faktor ( x x x x x ...) dalam fungsi pembangkit. Selanjutnya,
karena setiap vokal dapat dipilih sebanyak-banyaknya 10, maka setiap vokal tersebut 2 10 berasosiasi dengan sebuah faktor (1 x x ... x ) . Dengan demikian, fungsi pembangkit
dari permasalahan di atas adalah: 2 3 4 5 4 2 10 2 A(x) = ( x x x x x ...) (1 x x ... x )
1 = 1 1 x
4
1 x 11 x 1
2
= x (1 x ) (1 x) 4
11 2
6
6 4 15 26 = ( x 2 x x )(1 x ) 4 15 26 = ( x 2 x x )
6 r 1 r x r r 0
6 r 1 6 r 1 r 4 r 15 6 r 1 r 26 = x 2 x x r r r r 0 r r 0 0
Banyaknya cara yang dimaksud samadengan koefisien x k dalam A(x) , yaitu
0 k 1 k 4 = k 1 k 10 k 4 2 k 15 k 1 k 10 k 21 2 k 4 k 15 k 26
; jika ; jika
k 4 4 k 14
; jika 15 k 25
; jika
k 26
Dari contoh-contoh di atas, kita lihat bahwa fungsi pembangkit tidak tergantung dari banyaknya objek yang diambil. Fungsi pembangkit biasa dapat digunakan untuk memecahkan masalah pendistribusian (penempatan) objek-objek yang identik ke dalam selsel (kotak-kotak) yang berbeda. 23
Contoh2.6
Tentukan banyaknya cara menempatkan 60 objek yang identik ke dalam 4 sel (kotak) yang berbeda sedemikian sehingga setiap kotak mendapat paling sedikit 1 objek. Jawab Karena terdapat 4 kotak dan tiap kotak terdapat paling sedikit satu objek, maka fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah: 2 3 4 A(x)= ( x x x ...) 4 2 4 = x (1 x x ...)
4
1 = x 1 x 4 r 1 r x = = x 4 r r 0 4
3 r r 4 x = r r 0
r 1
r 4 r 4
Jadi, banyaknya cara menempatkan 60 objek yang identik ke dalam 4 kotak yang berbeda sedemikian hingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu objek samadengan
56 3 59 = = 32.509. 56 56
koefisien x 60 dalam A(x), yaitu
Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) juga dapat digunakan untuk menentukan banyaknya penyelesaian (solusi) bulat dari suatu persamaan linier dengan beberapa peubah. Contoh2.7
Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan berikut. x1 x 2 x 3 x 4 x5 100 , x i 0 , i
{1, 2, 3, 4, 5}
Jawab Perhatikan bahwa (0, 0, 0, 25, 75), (0, 5, 20, 5, 70), dan (2, 3, 7, 28, 60) masing-masing adalah solusi bulat dari persamaan tersebut.Karena dalam persamaan itu terdapat 5 peubah, maka fungsi pembangkit dari permasalahan itu memuat 5 faktor. Selanjutnya, karena setiap peubah x i 0, maka setiap faktor dari kelima faktor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah (1 x x x ....) . Sehingga fungsi pembangkit dari permasalahan di atas adalah 2
3
2 3 5 A(x) = (1 x x x ....) 5
5 r 1 1 r = x = r 1 x r 0 Banyaknya solusi bulat yang dimaksud samadengan koefisien x 100 dalam A(x), yaitu
5 100 1 104 100 100 24
E. Fungsi Pembangkit untuk Permutasi
Fungsi pembangkit biasa memberikan pendekatan yang mudah dan sistematis untuk memecahkan masalah-masalah umum yang melibatkan “pengambilan” atau pendistribusian objek-objek yang identik ke dalam sel-sel (tempat-tempat) yang berbeda. Pada bagian ini akan diterapkan teknik serupa untuk memecahkan masalah-masalah umum yang melibatkan “penjajaran” (arrangement) atau pendistribusian objek-objek berbeda ke dalam sel-sel (tempat-tempat) yang berbeda. Untuk maksud tersebut, diperlukan teoremaberikut ini. Teorema 1
Jika terdapat k 1 objek tipe satu, k 2 objek tipe dua, … dan k n objek tipe n, maka banyaknya cara “menjajar” objek -objek ini adalah
n k i ! i 1 k 1!k 2 !...k n !
Bukti
n Jika semua objek berbeda, maka akan terdapat k i ! jajaran. Tetapi objek-objek ini tidak i 1 n
semuanya berbeda, sehingga bilangan ini terlalu besar. Pikirkan sebuah jajaran dari
k
i
i 1
objek yang berbeda. Jika diganti k i objek tipe i yang berbeda dengan k i objek yang identik, maka k i ! jajaran akan sama. Karena 1 i n , bilangan total penjajaran harus dibagi dengan k 1! k 2 ! ... k n ! .Misalnya, banyaknya cara “menjajar” (banyaknya permutasi) dari unsur -unsur
{a, a, a, b, b} adalah
5! 3! 2!
= 10; yaitu: aaabb, aabab, abaab, baaab, babaa, bbaaa, aabba,
abbaa, ababa, baaba. Selanjutnya akan ditinjau permasalahan berikut.Sebuah kata sandi dibentuk dari tiga huruf yang berbeda, yaitu a, b, dan c. Barisan yang terdiri dari lima atau kurang huruf-huruf membentuk sebuah “kata sandi”. Kata sandi yang dibentuk terdiri dari paling banyak satu b, paling banyak satu c, dan sampai tiga a. Ada berapa kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk? Dalam hal ini yang dimaksud dengan panjang suatu kata sandi adalah banyaknya huruf dalam kata sandi tersebut. Perhatikan bahwa “urutan” huruf -huruf dalam kata sandi 25
diperhatikan.Sehingga kita lebih tertarik dengan perhitungan permutasi daripada kombinasi, banyaknya cara untuk mendapatkan k huruf bila diperkenankan mengambil paling banyak satu b, paling banyak satu c, dan paling banyak tiga a. Untuk itu, fungsi pembangkit dari permasalahan menentukan banyak cara memilih k huruf (dengan syarat yang ditentukan) adalah: (1 ax a x a x )(1 bx)(1 cx) atau 2
2
3
3
1 ( a b c ) x ( a ab ac bc) x ( a abc a b a c ) x + 2
2
3
2
2
3
( a bc a b a c ) x a bcx ……………………………………....….. (2.5) 2
3
3
4
3
5
Koefisien x k dalam persamaan (2.5) menginformasikan semua cara yang mungkin untuk mendapatkan k huruf. Misalnya 4 huruf dapat diperoleh sebagai berikut. a, a, b, dan c a, a, a, dan b; atau a, a, a, dan c. Menurut Teorema 1, bila dipilih a, a, b, dan c, maka akan terdapat
4! 2! 1! 1!
= 12 permutasi
yang bersesuaian, yaitu: aabc, aacb, abac, abca, acba, bcaa, baac, baca, cbaa, caab, caba. ……. 4!
Bila dipilih a, a, a, dan b; maka terdapat
3! 1!
= 4 permutasi yang bersesuaian, yaitu
aaab, aaba, abaa, dan baaa Perhatikan bahwa untuk a, a, a, dan c; terdapat
4! 3! 1!
= 4 permutasi yang bersesuaian, yaitu:
aaac, aaca, acaa, dan caaa Dengan demikian banyak cara untuk mendapatkan kata sandi dengan panjang 4 diberikan oleh: 4!
2
2! 1! 1!
a bc +
4! 3! 1!
3
a b+
4! 3! 1!
3
ac
……………….………………….(2.6)
Untuk a = b = c = 1, akan memberikan perhitungan yang tepat untuk menentukan banyak kata sandi dengan panjang 4. Sebenarnya dapatdigunakan
untuk
a k k k !
mendapatkan
(2.6)
dan
koefisien-koefisien
yang
lain,
k sebagai ganti dari ( a k ) untuk memperoleh fungsi pembangkit dari
permasalahan menentukan banyaknya kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk.
26
Dengan demikian fungsi pembangkitnya menjadi
ax a 2 x 2 a 3 x 3 bx ax 1 1! 2! 3! 1 1! 1 1! ,yang sama dengan
a b c 1 + x 1! 1! 1!
a 2 ab ac bc 2 a 3 abc a 2 b a 2 c 3 x + x + + 2 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 3 ! 1 ! 1 ! 1 ! 2 ! 1 ! 2 ! 1 !
a 2 bc a 3b a 3 c 4 a 3bc 5 x + x …………………………………….….... (2.7) 2 ! 1 ! 1 ! 3 ! 1 ! 3 ! 1 ! 3 ! 1 ! 1 ! Ternyata skema ini belum merupakan skema yang memuaskan, karena koefisien x 4 dalam (2.7) belum identik dengan koefisien x 4 dalam (2.6). Akan tetapi skema ini sesuai, bila
hal
ini
dipikirkan
sebagai
memperhatikan koefisien dari
x k k !
Fungsi
Pembangkit
Eksponensial
(FPE)
dengan
. Perhatikan bahwa ekspresi (2.7) sama dengan
a 2 ab ac bc x 2 a 3 abc a 2 b a 2 c x 3 a b c x +3! +4! 1+ 1! + 2! 2 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 1 ! 1 ! 1 ! 2 ! 1 ! 2 ! 1 ! 1! 1! 1! 1! 3!
a 2 bc a 3b a 3 c x 4 a 3bc x 5 ………..………………………...… (2.8) + 5! 2 ! 1 ! 1 ! 3 ! 1 ! 3 ! 1 ! 4 ! 3 ! 1 ! 1 ! 5 ! Terlihat bahwa koefisien x 4 dalam (2.6) samadengan koefisien
x 4 4!
dalam (2.8). Jika a,
b, dan c dalam (2.8) masing-masing disubtitusikan dengan 1 diperoleh fungsi pembangkit dari permasalahan di atas, sebagai berikut. 2 3 3! 3! 3! 3! x 2! 2! 2! 2! x 1 1 1 x + + 1+ 1! + 1! 1! 1! 1! 2! 1!1! 1!1! 1!1! 2! 3! 1! 1! 1! 2! 1! 2! 1! 3! 4 4! 5! x 5 4! 4! x ………..………..…………………...… (2.9) + 2! 1! 1! 3!1! 3! 1! 4! 3! 1!1! 5!
= (1 +
x 1!
Koefisien
x
2
2!
x k k !
x
3
3!
)(1
x 1!
)(1
x 1!
)
dalam fungsi pembangkit ini menyatakan banyaknya kata sandi dengan
panjang k yang dapat dibentuk dengan aturan yang telah ditetapkan. Misalnya, terdapat
4! 3! 4! 4! 3! 3! 3! = 20 kata sandi dengan panjang 4, terdapat = 2! 1!1! 3!1! 3!1! 3! 1!1!1! 2!1! 2!1! 13 kata sandi dengan panjang 3, dan seterusnya. Sebagai perluasan dari uraian di atas, diperoleh teorema berikut ini. 27
Teorema 2
Misal terdapat p macam (tipe) objek dengan n i objek tipe i untuk 1
i
p. Banyaknya
permutasi dengan panjang k dengan paling banyak n i objek tipe i samadengan koefisien
x k k !
dalam fungsi pembangkit eksponensial berikut. n n 2 2 x x x x ... 1 x ... … P(x) = 1 x n1! n2 ! 2 ! 2!
n 2 1 x x .. . x 2! n p !
Proporsi berikut, penting dalam pemecahan permasalahan yang melibatkan fungsi pembangkit eksponensial Teorema3 n
n 3 x3 n 2 x 2 x 2 x 3 1. 1 x + + …. .... = 1 + nx + 3 ! 2 ! 2 ! 3 ! 2 x x 4 x 6 e x e x
2.
e e x
3.
=1+
2
2
x
= x +
2!
x 3 3!
+
+
4!
x 5 5!
+
+
6!
x 7 7!
+….
+….
Definisi
Barisan kuartener adalah barisan yang suku-sukunya hanya menggunakan angka-angka 0, 1, 2, 3. Barisan kuartener r-angka adalah barisan kuartener dengan panjang r. Misalnya 1200323 atau 3101121 adalah barisan kuartener 7-angka. Barisan binair adalah barisan yang sukusukunya hanya menggunakan angka 0 atau 1. Barisan binair r-angka adalah barisan binair dengan panjang r. Misalnya, 101001 atau 100111 adalah barisan binair 6-angka. Contoh2.8
a. Berapakah banyaknya barisan kuartener r-angka yang memuat paling sedikit: satu 1, satu 2, dan satu 3? b. Berapakah banyaknya barisan binair r-angka yang memuat 0 sebanyak banyak bilangan genap dan 1 sebanyak genap. Jawab a. Terdapat 4 angka yang berbeda, yaitu 0, 1, 2, dan 3. Angka 0 bisa muncul 0 kali, 1 kali, 2 kali, dan seterusnya; sedangkan untuk setiap angka 1, 2, atau 3 dapat muncul paling sedikit sekali dan urutan angka dalam suatu barisan diperhatikan, maka untuk menjawab permasalahan di atas kita gunakan fungsi pembangkit eksponensial (FPE) sebagai berikut. 28
2 3 x 2 x 3 x x .... x .... P(x) = 1 x 2! 3! 2 3!
3
1 = e x e 3 x 3e 2 x 3e x 1 3
= e x e x
= e 4 x 3e 3 x 3e 2 x e x
=
(4 x )
r
r !
r 0
3
(3 x )
r
3 (2 x)
r !
r 0
r
r 0
r 0
x
r
r !
Banyaknya barisan yang dimaksud samadengan koefisien dari 4 r 3.3r 3.2 r 1 atau 4 3 r
r 1
x r r !
dalam P(x), yaitu
3.2 r 1.
b. Dalam hal ini ada dua angka yang berbeda yaitu 0 dan 1. Karena 0 dan 1 muncul sebanyak bilangan genap untuk setiap barisan, maka fungsi pembangkit dari persoalan tersebut adalah;
x 2 x 4 x 6 .... P(x) = 1 4! 6! 2 e x e x = 2 =
=
=
2
2
e 2 x e 2 x 2 4
1 e 2
e 2 x 1 2 2
1
( 2 x )
2
2 x
(1 +
= 1 2
x
2
2!
2
2!
2
3
+
x
(2 x )
+
4!
4
4!
4
2
5
x
( 2 x) 6!
6
+….)+
1 2
6
6!
....
Banyaknya barisan yang dimaksud samadengan koefisien
0 1 2 r 1
x r r !
dalam P(x), yaitu
, bila r ganjil , bila r 0 , bila r genap dan r 0
Fungsi Pembangkit Eksponensial ((FPE) dapat digunakan untuk memecahkan masalah pendistribusian objek-objek yang berbeda ke dalam sel-sel (tempat-tempat) yang berbeda. 29
Contoh2.9
Tentukan banyaknya cara menempatkan n orang ke dalam 100 kamar sedemikian sehingga setiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang . Jawab Masalah ini akan diselesaikan dengan menggunakan Fungsi Pembangkit Eksponensial. Fungsi pembangkit yang bersesuaian dengan masalah di atas adalah sebagai berikut. 100
x 2 Misal P(x) = x 2 ! = x
100
1
x
100
2
100 x t 0 t 2 100
= x
100
t
100 t t 100 2 x t 0 t 100
=
t 100 1 x 100 = t t 100! t t 100! t 0 2 100
100 1 x n n100 n! = 100 n n! n 100 2 200
Banyaknya cara yang dimaksud adalah koefisien
100 100n 2 n! n 100
30
x n n!
100 1 n100 n! atau 100 n 2
, yaitu
Latihan Soal
1. TentukanFungsi Pembangkit Biasa (FPB) dalam bentuk paling sederhana dari masingmasing fungsi numerik berikut ini. e.
0 x5
f.
1 3 5 0, 0, 0, 0, , 1, , 2, , 3, .... 2 2 2
c. (1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ….)
g.
(0, 1, 0, 1, 0, 1, ….)
d. (0 x1, 1 x 2, 2 x3, 3x 4,....)
h.
(0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, ….)
a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....
b. 1,
2 3
3
,
9
4
,
27
, ...,
r 1 3
r
, ....
0
1
2
r
, 1 x5 , 2 x5 , ..., rx5 , ....
2. Tentukan Fungsi Pembangkit Biasa dari fungsi numerik a r dengan a r didefinisikan sebagai berikut.
2 r ; jik a r genap a. a r r 2 ; jik a r ganjil
b. a r 3r 4
3. Tentukan Fungsi Pembangkit Eksponensial dari fungsi numerik berikut ini. n d. a n 3
a. (3, 3, 3, 3, ….) b. (0, 1, 0, 1, 0, 1, ….)
e. a n
n 1 n!
4. Tentukan barisan (fungsi numerik) yang bersesuaian dengan Fungsi Pembangkit Eksponensial berikut. a.
2 3 A( x) 5 5 x 5 x 5 x ....
b.
A( x)
c.
4 A( x ) e x e x
1 1 4 x
5. Tentukan barisan (fungsi numerik) yang bersesuaian dengan fungsi-fungsi pembangkit biasa berikut ini. a. A(x) = b. A(x) = c. A(x) = d. A(x) =
1 1 x
A(x) = 1 +
3
1
A(x) =
x 6 x 5 2 7 x 2
A(x) =
(1 2 x )(1 3 x ) 1 x
2
4 4 x x
1 1 x
2 1 x 1
3 x 2 6 x 1
1 3 x
4 x
1 x
1 x x x 2
P(x) =
2
31
3
1 x
3
6. Tentukan banyaknya cara mengambil 100 huruf dari huruf-huruf pembentuk kata KOMBINATORIK sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling banyak 20. 7. Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan berikut. x1 x 2 x3 x 4 80, 1 xi 30, i {1,2,3,4}
8. Tentukan banyaknya barisan ternair n- angka yang memuat angka “0” sebanyak ganjil dan angka “1” sebanyak genap. 9. Tentukan banyaknya barisan biner n- angka yang memuat angka “1” paling sedikit dua. 10. Tentukan banyaknya barisan ternair n- angka yang memuat angka “0”, “1”, dan “2” masing-masing sebanyak ganjil
32
