1
FUNGSI PEMBANGKIT
1. Deret Kuasa
Definisi 1.1 Deret Kuasa didefinisikan sebagai deret tak terhingga yang berbentuk
a k x
k
k 0
Deret tak terhingga ini selalu konvergen untuk |x| < R, untuk suatu bilangan positif R. R dalam hal ini disebut radius konvergensi dari deret kuasa di atas. Teorema 1.1
Jika f mempunyai perluasan deret kuasa di titik c, yaitu jika
f ( x) x) =
a k ( x x – c) ,|x – c|
k 0
maka koefisiennya dapat dinyatakan dalam rumus an
f n c n!
Dengan mensubstitusikan kembali an pada rumus deret di atas, jika f mempunyai perluasan deret kuasa di titik c, maka f maka f ( x) x) dapat dinyatakan dalam bentuk
f x
f
n
c
n!
k 0
f x f c
x c n
f ' c 1!
x c
f " c 2!
x c2
f " ' c 3!
x c 3 ...
Deret ini dikenal dengan sebutan deret Taylor dari fungsi f di titik c. Khusus untuk nilai c = 0, kita memperoleh deret Maclaurin: f x
1
k ! f 0 x k
k
f 0 f ' 0 x
k 0
1 2!
f " 0 x2
1 3!
f '" 0 x3 ...
Contoh 1.1
Misalnya akan diuraikan fungsi e x menjadi suatu deret Maclaurin. x Pemecahan. Masukkanlah f ( x ) e dan diferensialkan, maka kita temukan bahwa
f '( x ) e x , f ''(x ) e x , ..., f
(n )
(x ) e x , ...
0 Bila x Bila x = 0, 0, kita peroleh f (0) e 1 dan juga
KELOMPOK V
2
f '(0) f ''(0) .... f ( n ) (0) ... e 0 1 Deret Maclaurin itu berubah menjadi deret berikut: 1 x
Sehingga e x
1
n !x
n
= 1 x
n0
x 2
1.2
x 2 2!
x3 1.2.3
x3
3! 3!
...
...
xn
xn 1.2.3...n
...
... untuk |x|`< 1
n!
Contoh 1.2
Diberikan f ( x )
1 1 x
, akan ditunjukkan
1 1 x
x n n 0
Penyelesaian: Akan diuraikan fungsi f ( x ) f ( x)
1 1 x 1
f '( x)
f ''( x) f '''( x)
menjadi suatu deret Maclaurin.
1 x
f (0) 1
(1 x)2 1.2 (1 x)3 1.2.3 (1 x) 4
f ( n ) ( x)
1
f '(0) 1 f ''(0) 1.2 f '''(0) 1.2.3
1.2.3...n (1 x)
n 1
f ( n ) (0) 1.2.3...n
Deret Maclaurin berubah menjadi deret berikut. 1 x
Atau
2! 2!
1 1 x
x2
3! 3!
x 3 ...
n! n!
x n ...
n!
x n 1 x x 2 x3 ... xn ... n 0
n!
Dengan cara yang sama maka akan diperoleh pula deret Maclaurin d ari fungsi berikut
∑ ∑
| ||
untuk |x untuk |x | < 1
KELOMPOK V
3
2. Operasi Pada Deret Kuasa
|| ||
, , maka berlaku
(1.2.1) Deret dapat dijumlahkan atau dikurangkan suku demi suku
(1.2.2) Deret dapat dikalikan
[ ][ ]
Misalkan
( )
Sehingga diperoleh
KELOMPOK V
4
∑ [ ][ ]( ) (1.2.3) deret dalam bentuk perkalian perkalian
dn dapat diperoleh dengan menyamakan koefisien dalam relasi ekuivalen
Dengan proses yang sama pada (1.2.2) sehigga diperoleh
3. Definisi Fungsi Pembangkit
Misalkan (an ) (a0 , a1 , a2 , ...) adalah suatu barisan. F ungsi ungsi Pembang bangki kitt Bi Biasa asa (FPB) dari barisan (an ) didefenisikan sebagai berikut P( x)
ax
n
a0 a1 x a2 x2 ....
n0
F ungsi ungsi Pembangkit bangkit Eksp E kspone onensi nsial al (FPE) dari an didefinisikan sebagai berikut.
P( x )
a
n
n0
x n n!
a0 a1 x a 2
x2 2!
....
Misalnya,
P( x )
a
n
n0
x n n!
a0 a1 x a 2
x2 2!
....
Adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (1,1,
1 1 , , ... ) ; 2 ! 3!
Atau fungsi pembangkit eksponensial dari barisan (1,1,1,1,...)
Bila diberikan suatu barisan, maka kita sering diminta untuk menuliskan fungsi pembangkit dari barisan tersebut dalam bentuk sesederhana mungkin.
KELOMPOK V
5
Contoh 3.1
1. Tuliskan bentuk sederhana fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut (a) (0, 0,
1 1 1 , , , ...) : 2! 3! 4!
(b) (0, (0, 2, 4,6,... ,6,...,, 2n,... ,...) 2. Jika an n , untuk n 0 , tentukan FPE barisan an Penyelesaian 1. (a). Fungsi pembangkit dari barisan yang dimaksud adalah P( x)
1 2!
x2
1 3! 1
= 1 x
x3
2!
1 4! 1
x2
x 4 ...
3!
x3
1 4!
x 4 ... x 1
= e x x 1
(b). Fungsi pembangkit yang dimaksud adalah P ( x) 2x 4x 2 6x 3 ... 2nx n ... = 2 x(1 2 x 3x 2 ... nx n ...) = 2 x. =
1 (1 x)
2
2 x (1 x)
2
2. Fungsi pembangkit eksponensial barisan (an ) (n) adalah
P ( x )
x n
x n1
x n1
n n! x n (n 1)!n x n (n 1)! xe n0
n1
x
n1
Penjumlahan, pengurangan maupun perkalian dua fungsi pembangkit atau lebih dapat dilakukan dengan car yang sama seperti halnya menjumlah mengurangkan ataupun mengalikan dua polinomial atau lebih. Dengan demikian demi kian diperoleh pernyataan berikut.
Jika A( x)
a x n
n
dan B( x)
b x n
n
, maka
n 0
n 0
A( x) B( x)
(a
n
bn ) xn
n 0
Selanjutnya dari perkalian antara A(x) antara A(x) dan B(x) dan B(x),, diperoleh
KELOMPOK V
6
A( x ).B ( x ) (a0 a1x a2 x 2 ... a n x n ...)(b0 b1x b2 x 2 ... bnx n ...)
a0b0 (a0b1 a1b0 )x (a0b2 a1b1 a 2b0 )x 2 ... (a 0b n a1b n 1 ... ak an k ... anb0 ) x n ... n ak bn k x n n 0 k 0
Dengan demikian diperoleh formula berikut. n n n n n a x b x a b x n n k n k n0 k 0 n0 k 0
Jika
an , bn ,
dan cn adalah barisan-barisan bilangan real sedemikian hingga
cn
a b k
n k
, maka kita katakan
n 0
cn adalah
konvolusi dari
an dan bn ,
yang
ditulis
cn an bn Contoh 3.2
Cari barisan cn dengan Fungsi Pembangkit Biasa P( x)
x5 x6 1 x
Penyelesaian: Misal P( x) x x 5
Jelas
bahwa
6
1 x
1
n
cn xn
x5 x6 adalah
n 0
fungsi
pembangkit
biasa
dari
barisan
(an ) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,1,1, 0, 0, 0, 0, .. ...) . Selanjutnya dari pembahasan sebelumnya telah diketahui 1 ,1,1,1 ,1,1 ,1,1 ,1,1 ,1,1 ,1,.. ,...) .) bahwa (1 x) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (bn ) (1,1,1
sehingga diperoleh cn
n
a b
n n k
k 0 n
a0 k 0
0, 0, 0, 0, 0,1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, .. ...) , atau Dengan demikian (cn ) (0, 0,
KELOMPOK V
7
0, 0 n 4 n=5 cn 1, 2, n6 Contoh 3.3
Cari barisan bilangan real (a0 1, a1 , a2 , a3 , ...) yang memenuhi
n
a a n
n k
1 , untuk
k o
semua n 0,1,2,3,... . Penyelesaian Misal P( x)
n
a x
n n
adalah FPB barisan (a ( an). dengan mengkuadratkan P(x), P(x),
k 0
diperoleh. n P( x) an x an xn n 0 n 0 ak ank x n n 0 n 0 2
x n n 0
1 1 x
, untuk |x| < 1
Dengan demikian
1 n P( x) (1 x ) 2 1 x n n 0 n 1
2
1 n an 1 2 n
1 (1)
,
n
n
0
1 3 5 2n 1 2 2 2 ..... 2 , n 0 . n!
,n 0 1 1.3.5.....(2n 1) , n0 2n.n !
KELOMPOK V
8
Contoh 3.4
Jika P( x)
e3 x 1 5 x
adalah fungsi pembangkit eksponensial barisan (a ( an), tentukan nilai
an. Penyelesaian: Karena P(x) fungsi pembangkit eksponensial barisan (a ( an) berdasarkan definisi, P( x )
n
a
n
x n
n 0
P( x)
e3 x 1 5 x
n!
, sehingga an adalah koefisien
e3 x .
x n n!
dalam P( x).
1 1 5x
n n 0 n x n n ( 5 ) x (3) n ! n 0 n 0
n 3k (5)n k x n n 0 n 0 k ! n
n n n 3k n 3k x n k 5)n k n !, n 0 (5) n ! dengan demikian an (5) n 0 n 0 k ! n 0 n 0 k ! n! n
4. Menghitung Koefisien pada Fungsi Pembangkit
Kita akan mengembangkan teknik-teknik aljabar untuk menghitung koefisien fungsi pembangkit. Teknik-teknik tersebut adalah dengan mereduksi fungsi pembangkit yang diberikan menjadi fungsi pembangkit dengan tipe binomial atau hasilkali dari fungsi pembangkit dengan tipe binomial. Berikut ini adalah semua identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan.
G(x)
ak
C(n,k)
C(n,k) ak
KELOMPOK V
9
C(n,k/r) if r|k ; 0 otherwise 1 1 if r|k ; 0 otherwise k +1 C(n+k-1, k) =C(n+k-1, n-1) (-1) C(n+k-1, k) =(-1) C(n+k-1, n-1) C(n+k-1, k)a =C(n+ =C(n+k-1, n-1)a 1/k! (-1) /k 1 if k ≤ n ; 0 otherwise
k
k
k
k
k+1
Sumber: Rosen (1998: 343)
KELOMPOK V
10
Contoh 4.1
Misalkan kita akan mencari koefisien x koefisien x16 pada ( x x2 + x3 + x4 + …)5 Langkah pertama bentuk tersebut diubah dahulu sebagai berikut: ( x x2 + x3 + x4 + …)5 = [ x x2 (1 + x + x2 + …)]5 = x10(1 + x + x2 + …)5
1 1 x
= x10 = x10
1
1 x 5
Karena x Karena x16 = x10 x6 berarti mencari koefisien x koefisien x6 pada ( x2 + x3 + x4 + …)5 sama dengan mencari koefisien x koefisien x6 pada
1
1 x 5
5 6 1 10 = 210. 6 6
yaitu
Jadi, koefisien x koefisien x16 pada ( x x2 + x3 + x4 + …)5 adalah 210. Contoh 4.2
Banyaknya cara untuk memilih 25 mainan dari 7 tipe mainan dimana tiap tipe antara 2 dan 6, sama dengan mencari koefisien x koefisien x25 dari fungsi pembangkit: ( x x2 + x3 + x4 + x5 + x6)7. Fungsi pembangkit tersebut diubah sebagai 'berikut: ( x x2 + x3 + x4 + x5 + x6)7 = [ x [ x2 (1 + x + x2 + x3 + x4)]7 = x14 (1 + x + x + x2 + x3 + x4)7 Sekarang tinggal mencari koefisien x11 pada (1 + x + x2 + x3 + x4)7 . Dengan menggunakan identitas (1) diperoleh 7
1 x 5 4 7 = (1 – x)-7 .(1 – x5)7 (1 + x + … + x ) = 1 x
KELOMPOK V
11
Misalkan f Misalkan f ( x) x) = (1 – x)-7 dan g dan g ( x) x) = (1 – x5)7 . Dengan menggunakan ekspansi (5) dan (4), kita peroleh
1 7 1 2 7 1 2 x + x + … + f ( x) x) = (1 – x)-7 = 1 + 1 2 7 g( x) x) = (1 – (1 – x x5)7 = 1 – 1 – x5 + 1
7 10 x – … – … – (-1) – (-1) 2
r 7 1 r x + … r
7 5r 7 x – … – x35 r 7
Untuk mencari koefisien x koefisien x11 pada h( x) x) = f ( x) x) g g ( x) x) kita hanya membutuhkan bentuk a 11-i bi dalam ekspansi (6), yaitu
11 7 1 6 7 1 a11 b0 + a6 b5 + a b l 10 = 11 6
7 1 7 1 7 1 1 2
Hasil terakhir ini merupakan koefisien x koefisien x11.
5. Fungsi Pembangkit Untuk Kombinasi
Misalkan m adalah bilangan bulat positif, maka fungsi f x ( x ) untuk barisan koefisien binomial
m m m 0 , 1 , ..., m m m m m x . . . . 1 m x 0
adalah f m ( x)
m
Dan menurut rumus binomial Newton, maka bentuk ini adalah sama dengan 1 x . Lebih umum lagi bila
∝
suatu bilangan riil sembarang, maka fungsi pembangkit
f ( x ) untuk barisan koefisien binomial
a 0 , 1 , ..., n
2 m Adalah f a ( x) x x ... x ... 0 1 2 m
KELOMPOK V
12
Yang berdasarkan teorema binomial Newton dapat ditulis sebagai f ( x) (1 x )
Contoh 5.1
Tentukan banyak cara memilih r objek dari n macam objek dimana pengulangan diperkenankan. Penyelesaian : Misal tr menyatakan banyak cara memilih r objek. Karena ada n macam objek dan tiap objek dapat dipilih berulang (tanpa batas) maka fungsi pembangkit untuk t r ialah : P(x) = (1 + x + X 2 + …)(1 + x + x 2 + …)…( 1 + x + x 2 + …) (sampai n faktor) = (1 + x + x 2 + …)n
|| ∑
Karena, untuk
,
= 1 + x + x 2 + . . . . (lihat (1.1.2))
Maka
= (1 – (1 – x) x)-n =
(binomial teorema)
Untuk r > 0 koefisien x r dalam P(x) adalah
Untuk r = 0 koefisien dari x r dalam P(x) ialah
Sehingga, untuk r ≥ 0
Dengan demikian,
KELOMPOK V
13
P(x) =
∑
Jadi, banyaknya cara memilih r obyek dari n macam obyek dimana pengulangan diperkenankan, sama dengan koefisien x r dalam P(x) yaitu t r r =
Contoh 5.2
Akan dicari fungsi pembangkit g x ( x) dari barisan bilangan a0 , ..., an , ... , disini an menyatakan jumlah kombiasi-n kombiasi-n dari suatu himpunan ganda dengan k > 0 objek yang berbeda, dan masing-masing objek mempunyai faktor pengulangan yang tak hingga.
n k 1 , jadi fungsi n
Pada pembahasan terdahulu telah dapat dihitung bahwa an pembangkit yang dicari adalah
k 1 k k 1 2 k n 1 n x x . . . 1 2 n x ... 0
P( x)
Dengan menggunakan teorema binomial Newton, maka diperoleh bentuk g k ( x)
1 (1 x)
k
(1 x) k
Sebagai salah satu hal khusus, yaitu barisan bilangan 1,1,1,1,.., untuk mana fungsi pembangkitnya adalah g1 ( x )
1 (1 x)1
Dan fungsi pembangkit dari barisan lain, la in, yaitu 1,2,3,…,n g 2 ( x)
1 (1 x) 2
n Pandang suatu contoh yang mirip dengan perhitungan (1 x ) , yaitu cara perhitungan
( a x )3 . Bentuk ini dapat ditulis sebagai (a x)(a x )(a x ) aaa aax axa xaa xax xxa xxx Untuk harga a 1 , diperoleh (1 x)(1 x )(1 x ) 111 11x 1x1 x11 x1x xx1 xxx
KELOMPOK V
14
Hal ini membentuk suatu daftar semua cara untuk mengalikan suatu suku pada faktor yang kedua dan suku lain pada faktor yang ketiga. Problem menentukan koefisien dari x r , pada ekspansi ( x 1) atau ( x 1) 3
n
pada umumnya, berubah menjadi problema
menghitung jumlah cara yang berbeda untuk membuat faktor yang terdiri dari 3 sejumlah r dari x dan sejumlah (n – r) dari 1. Jadi koefisien dari xr dalam ( x 1)
3 n n adalah dan dalam (1 x ) adalah . r r Yang paling penting dalam hal ini adalah mengenumerasi hasil perkalian sejumlah faktor yang masing-masing merupakan suatu polinomial dalam x. x. dalam hal ini perkalian tersebut dilihat sebagai suatu cara untuk membentuk semua hasil perkalian yang dapat dilakukan dengan mengalikan semua suku dari tiap-tiap faktor polinomial yang ada. Bila ada sejumlah n faktor polinomial, serta setiap faktor polinomial ke-I ke-I mengandung sejumlah r suku yang berbeda, maka akan dapat dibentuk sejumlah r1 r2 ... r 3 hasil perkalian yang berbeda. Hal ini mudah dilihat untuk spansi bentuk (1 x ) n , yang megandung n faktor polinomial dan masing-masing polinomial mengandung 2 suku, maka akan diperoleh 2 n bentuk perkalian yang berbeda. Contoh 5.3
Akan dihitung suatu fungsi pembangkit yang dibentuk oleh 3 2 2 (1 x) (1 x x )
Maka himpunan semua hasil kali yang mungkin diperoleh adalah
1 1 1 1 1 , , , , x x x x x x 2 x 2 Jadi setiap hasil perkalian akan ada 1 atau x pada 3 tempat yang pertama, dan ada 1 atau x atau x2 pada tempat ke 4 dan ke 5. Salah satu hasil perkalian yang mungkin adalah 1 x1x 2 x Yaitu tempat pertama diisi suku 1, tempat kedua diisi suku x, x, tempat ketiga diisi suku 1, keempat diisi suku x suku x2 dan tempat kelima diisi suku x suku x..
KELOMPOK V
15
Karena harga suku 1 dapat ditulis sebagai x0, maka bentuk perkalian yang mungkin dibuat dalam hal ini dapat juga di tuiskan sebagai
x0 x0 x0 x0 x0 , , , , x x x x x x 2 x 2 Persoalan untuk menentukan koefisien dari suku xr dari perkalian beberapa faktor polinomial seperti di atas dapat dinyatakan sebagai jumlah suku dari pangkat. Pada contoh di atas pada koefisien x koefisien x4, yang merupakan hasil ekspansi dari (1 x)3 (1 x x 2 ) 2 Koefisien ini merupakan jumlah dari semua perkalian yang menghasilkan faktor faktor x x4. Persoalan ini dapat pula dilihat sebagai suatu problema mencari sejumlah bilangan bulat yang memenuhi suatu persamaan tertentu. Persoalan ini dapat ditulis sebagai berikut. Carilah semua bilangan bulat yang mungkin mungkin diperoleh pada persamaan e1 e2 e3 e 4 e5 4 Di sini e1 , e2 , e3 , masing-masing bernilai 0 atau 1, sedangkan e4 dan e5 masing-masing bernilai 0, 1, atau 2. Perhatikan bahwa dalam problema yang baru didefinisikan ini harga masing-masing e1 merupakan pangkat atau eksponen dari setiap suku yang ada pada tiap faktor polinomial. Persoalan ini juga dapat dilihat sebagai sautu problema yang menghitung banyaknya car untuk mengambil 4 buah bola dari 5 jenis bola yang ada. Dalam hal ini bola jenis pertama, kedua dan ketiga hanya ada satu, sedangkan bola jenis keempat dan kelima ada dua buah. Cara pengambilan bola ini boleh berulang, dalam arti setiap jenis bola boleh tidak diambil, atau diambil sebanyak mungkin, tergantung dari jumlah bola yang ada untuk tiap jenis bola. Hanya saja kendala yang harus dipenuhi adalah jumlah keseluruhan bola yang harus diambil adalah 4. Cara lain untuk melihat problema di atas adalah banyaknya cara untuk mendistribusikan 4 buah bola yang sama dalam 5 buah kotak yang tersedia, dimana kotak pertama, kedua, dan ketiga hanya mampu menerima maksimum satu bola, sedangkan kotak keempat dan kelima dapat menerima maksimum 2 bola. Dari pembahasan ini, semua dapat disimpulkan bahwa koefisien x koefisien x4 dari ekspansi
KELOMPOK V
16
(1 x)3 (1 x x 2 ) 2 Merupakan jawaban dari problema 1. e1 e2 e3 e 4 e5 4 , dengan 0 e1 , e2 , e3 1 dan 0 e4 , e5 2 2. Koefisien tersebut juga menyatakan banyaknya cara memilih 4 bola dari 5 jenis bola yang ada. 3. Atau juga banyaknya cara mendistribusikan 4 bola yang sama ke dalam 5 kotak yang berbeda. 3 2 2 Dalam hal ini (1 x) (1 x x ) dikatakan sebagai fungsi pembangkit dengan
koefisien ar yang menyatakan banyaknya jawaban yang mungkin pada ketiga problema yang telah disebutkan. Pada bagian ini hanya diperhatikan bagimana cara membentuk suatu fungsi pembangkit yang dapat memberikan jawaban pada suatu problema pencacahan. Contoh 5.4
Pandang 4 buah kotak, masing-masing berisi 3 buah bola hijau, 3 buah bola putih, 3 buah bola biru, dan 3 buah bola merah. Akan ditentukan fungsi pembangkit dari ar yang menyatakan banyaknya cara memilih r buah bola dari kotak tersebut. Seperti pada pembahasan sebelumnya, maka pada soal ini problema yang diberikan dapat dirubah ke dalam model berikut. e1 e2 e3 e4 r dengan 0 e1 , e2 , e3 , e 4 3 Dalam hal ini e1 menyatakan jumlah bola hijau yang diambil, e2 menyatakan jumlah bola putih yang diambil, e3 menyatakan jumlah bola biru yang diambil dan e4 menyatakan jumlah bola merah yang diambil. Untuk problema ini fungsi pembangkit dapat dibentuk dengan memperhatikan 4 buah faktor polinomial yang masing-masing mempnyai tingkat antara 0 sampai dengan 3. Suku-suku dari faktor polinomial yang akan membentuk fungsi pembangkit adalah
x0 x1 x2 x3
,
x0 x1 x2 x3
,
x0 x1 x2 x3
,
x0 x1 x2 x3
KELOMPOK V
17
Dengan demikian jumlah perkalian keempat pangkat yang jumlahnya r akan meruapakn jawaban dari problema yang diberikan. Jadi fungsi pembangkit yang dicari adalah ( x0 x1 x 2 x 3 )4 (1 x x 2 x 3 )4 Contoh 5.5
Tentukan fungsi pembangkit dari
ar yang menyatakan jumlah cara untuk
mendistribusikan r buah bola yang sama ke dalam 5 buah kotak yang diberikan dengan kendala sebagai berikut. Kotak pertama dan kedua masingmasing hanya dapat diisi oleh sejumlah genap bola dan maksimum akan berisi 10 bola saja, sedangkan kotak ketiga, keempat dan kelima masing-masing hanya dpat diisi oleh paling sedikit 3 bola dan paling banyak 3 bola saja. Walaupun kendala yang diberikan kelihatannya sedikti rumit, tetapi cara penyelesaian dari problema ini ternyata mudah sekali. Dengan menggunakan persamaan dengan jawab bilangan bulat, maka problema di di atas dapat ditulis sebagai berikut: Cari jawab problema berikut dengan e1...e5 adalah bilangan bulat. e1 e2 e3 e4 e5 r Disini e1 dan e2 adalah bilangan genap dan 0 e1 , e2 10 , serta 3 e3 , e4 , e5 5 , dari bentuk problema ini maka akan jelas fungsi pembangkit pembangkit yang dicari akan berbentuk g ( x) (1 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 )2 (x 3 x 4 x 5 )3 Dalam hal ini dua faktor polinomial yang pertama berhubungan dengan dua kotak yang pertama dengan kendala yang diberikan pada kedua kotak tersebut, sedangkan tiga faktor polinomial yang terakhir, berhubungan dengan tiga kotak yang terakhir lengkap dengan kendala yang didefinisikan padanya. Contoh 5.6
Ada berapa cara mengambil k huruf dari huruf-huruf pembentuk kata SURABAYA sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling sedikit satu dan setiap vokal terpilih paling banyak 10? Penyelesaian : Perhatikan bahwa kata SURABAYA terdapat enam huruf yang berbeda : 4 konsonan : S, R, B, Y dan 2 vokal : U dan A. karena setiap konsonan terpilih paling sedikit satu,
KELOMPOK V
18
maka setiap konsonan tersebut berasosiasi dengan sebuah faktor (x + x 2 + x3 + x4 + x5 + . . . ) dalam fungsi fungsi pembangkit. Selanjutnya, karena setiap vokal dapat dipilih sebanyak banyaknya 10, maka setiap vokal tersebut berasosiasi dengan sebuah faktor (x + x2 + . . . + x 10). Dengan demikian fungsi pembangkit dari permasalahan di atas adalah P(x) = (x + x2 + x3 + x4 + x5 + . . . ) 4 (1 + x + x 2 + . . . +x 10 ) 2
∑ ∑ ∑ ∑ =
= (x4 – 2 x15 + x26 ) (1 – x)-6 = (x4 – 2 x15 + x26 )
=
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien x k dalam P(x)
{ Fungsi pembangkit biasa dapat digunakan untuk memecahkan masalah
pendistribusian (penempatan) obyek-obyek yang identik kedalam sel-sel (kotak-kotak) yang berbeda. Contoh 5.7
Dengan beberapa cara 60 obyek yang identik dapat ditempatkan di dalam 4 sel (kotak) yang berbeda sedemikian hingga (i) Setiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek? (ii) Setiap sel (kotak) mendapat paling sedikit 10 obyek dan tak lebih dari 20 obyek? Penyelesaian : (i) Karena ada 4 kotak dan tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek, maka fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah :
KELOMPOK V
19
P(x) = (x + x 2 + x3 + . . . ) 4 = x4 (1 + x + x 2 + . . . ) 4
|| ∑ ∑
= x4
, (untuk
< 1, dari (1.2))
= x4 =
Jadi banyaknya cara menempatkan 60 obyek yang identik ke dalam 4 kotak yang berbeda sedemikian hingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek = koefisien x60 dalam P(x)
(ii) Karena ada 4 sel berbeda dan setiap sel mendapat paling sedikit 10 obyek dan tak lebih dari 20 obyek, maka fungsi pembangkit untuk persoalan ini adalah P(x) = (x10 + x11 + . . . + x 20) 4 = x40 (1 + x + . . . + x10) 4
∑ ∑
= x40
= x40 (1 – (1 – x x11) 4 (1 – (1 – x) x) -4 = x40
Kita tertarik dengan koefisien x60 (P(x)). untuk itu kita cari s dan r sedemikian hingga 40 + 11s + r = 60 Penyelesaian bulat tidak negatif dari persamaan ini adalah s = 1 dan r = 9; atau s = 0 dan r = 20 sehingga, banyaknya cara yang dimaksud dimaksud = koefisien dari x 60 dalam P(x) =
= 1771 – 1771 – 880 880 = 891
Fungsi pembangkit biasa juga dapat digunakan untuk menentukan banyaknya penyelesaian (solusi) bulat dari suatu persamaan linear dengan beberapa peubah.
KELOMPOK V
20
Contoh 5.8
Tentukan banyaknya solusi bulat dari persamaan berikut X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 100, X j ≥ 0, i
{1, 2, 3, 4, 5}
Penyelesaian : Perhatikan bahwa (0, 0, 0, 25, 75) adalah salah satu solusi bulat yang dimaksud. Begitu pula (0, 5, 20, 5, 70), (2, 3, 7, 28, 60) adalah solusi-solusi bulat dari persamaan tersebut. Karena dalam persamaan tersebut terdapat 5 peubah, maka fungsi pembangkit dari persamaan memuat 5 faktor. Selanjutnya, karena setiap peubah Xi ≥ 0, maka setiap faktor dari kelima faktor dalam fungsi pembangkit tersebut adalah (1 + x + x2 + x3 + . . .). sehingga fungsi pembangkit dari permasalahan di atas adala h P(x) = (1 x + x 2 + x3 ......) 5 = =
|| ∑ , untuk
<1
Banyaknya solusi bulat dimaksud
= koefisien x100 dalam P(x) =
LATIHAN
1. Tulis fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut dan sederhanakan jika mungkin a.
(0, 0,
b. ( c.
1 1 1 , , , ....) 2! 3! 4!
1 1 1 , , , ... ) 3! 4! 5!
(1, 1,
1 1 1 1 , , , , ... ) 2! 3! 4! 5!
2. Tuliskan Fungsi Pembangkit Eksponensial dari fungsi berikut. a. (3,3,3,3,…) b. (0,1,0,1,0,1,…)
KELOMPOK V
21
c. (3,1,3,1,3,1,…) d. (an) = ( 3n) 3. P(x) adalah Fungsi Pembangkit Biasa dari barisan ( an ) . Tentukan ( an ) jika a. P ( x) 1 b. P( x) c. P ( x)
1 1 x
x5 1 8 x
2 1 x
3x 2 6x 1
4. Carilah nilai ( an ) , jika P(x) merupakan fungsi pembangkit eksponensial barisan ( an ) . 2 3 a. P( x) 5 5x 5x 5x ...
x 4x b. P ( x ) e e
c. P ( x )
1 1 4 x
2 k d. P ( x) (1 x )
5. Misalkan P( x)
1 x x 2 x3 1 x
adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (an ) .
Tentukan ( an ) . 6. Cari fungsi pembangkit biasa dari P(x) dari P(x) dimana 2 2 P( x) (1 10 x )(1 2x 3x ...)
7. Tentukan fungsi pembangkit dari persamaan di bawah ini dan tuliskan koefisien fungsi yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. a. el + e2 + e3 + e4 = 20, 0 ≤ e i ≤ 5 untuk i = 1, 2, 3, 4. b. el + e2 + e3 = 20, 0 ≤ ei ≤ 8 untuk i = 1, 2, 3. 8. Bentuk fungsi pembangkit untuk a n yaitu banyaknya penyelesaian bilangan bulat pada persamaan: a. e1 + e2 + e3 + e4 + e5 = r,0 < e 1 ≤4. b. el + e2 + e3 + e4 = r, 0 ≤ ei.
KELOMPOK V
22
9. Carilah koefisien x koefisien x5 dalam fungsi-fungsi berikut: a. f ( x) x) = (1 – 2x) 2x)-8. b. g( x) x) = (1 + x + x + x2 + …)4. 10. Berapa banyak cara untuk mendistribusikan 25 bola identik ke dalam 7 kotak berbeda, jika kotak pertama perta ma dapat diisi dii si paling banyak 10 bola dan bola-bola bola -bola yang lain dapat dimasukkan pada setiap 6 kotak lainnya. 11. Tuliskan fungsi pembangkit biasa barisan (an ) jika n 0 an
1
1
0! 1!
1
1
2! 3!
...
1 n!
12. Carilah an jika G(x) Fungsi Pembangkit Biasa ( an ) . a.
2 x G( x ) (5 5x 5x ...)e
x 3x 2 b. G ( x) (e e )
13. Tentukan banyaknya cara memilih k huruf dari huruf-huruf C,A,N,T,I,K, sedemikian sehingga a. Memuat paling sedikit satu C b. Memuat tepat C dan paling banyak 5A c. Setiap konsonan terpilih 14. Ada berapa cara mengambil 100 huruf dari huruf-huruf pembentuk kata KOMBINATORIKA sedemikian sehingga setiap konsonan terpilih paling banyak 20. 15. Dalam sebuah pesta ada 20 orang dan akan dikumpulkan uang sejumlah 15.000 ribu rupiah. Dari 20 orang yang ada, maka 19 orang hanya dapat menyumbangkan uang 1000 rupiah, atau 5000 rupiah atau tidak menyumbangkan uang sama sekali, sedangkan seorang lagi dapat menyumbangkan uang sejumlah 1000 rupiah, atau 5000 rupiah atau tidak menyumbangkan sama sekali. Tentukan banyaknya cara mengumpulkan uang sebanyak 15.000 ribu rupiah? 16. Ada berapa banyak cara mengambil k huruf dari huruf-huruf pembentuk kata MAKASSAR sedemikian hingga setiap konsonan terpilih paling sedikit satu, dan setiap vokal terpilih paling banyak Sembilan.
KELOMPOK V
23
REFERENSI
Budayasa, Ketut. 2008. Matematika Diskrit. Surabaya Unesa University Press. Buhaerah, 2009. Bahan Kuliah Matematika Diskrit. Dipakai dalam lingkungan sendiri. Parepare: UMPAR. Rosen, H, Kenneth. 2007. Discrete Mathematics and Its Aplication. Seventh Edition. New York: Mc Graww Hill. Sutarno, Heri, dkk. 2005. Matematika Diskrit. Malang: Universitas Negeri Malang: Suvorov,1985. Higher Mathematics. Terjemahan dalam bahasa Indonesia oleh Roni Kartiman. Jakarta: Pradnya Paramita. .
KELOMPOK V
