Ejemplo: Método de Diseño de Respuesta en Frecuencia para el Control de Inclinación Respuesta a lazo abierto Compensador por Adelanto Compensador en Atraso En la páina de Modelación del Control de Inclinación! la "unción de trans"erencia se deri#ó como
$a entrada %ánulo de de"le&ión del ele#ador! delta e' será ()* rad %++ rados'! , la salida es el ánulo de inclinación #ertical %t-eta') $os re.uerimientos de diseño son
•
/obrepico: Menor .ue el +(0 1iempo de /ubida: Menor .ue 2 seundos
•
1iempo de establecimiento: Menor .ue +( seundos
•
Error de estado estacionario: Menor .ue el *0
•
3ara #er las condiciones oriinales del problema! re"iérase por "a#or a Control de Inclinación : Modelación) Modelación)
Respuesta a lazo abierto Recordemos de su libro de control .ue el método de diseño de respuesta en "recuencia es más e"ecti#o para sistemas estables a lazo abierto) 3ara #eri"icar la estabilidad a lazo abierto de nuestro sistema! cree un nue#o arc-i#o4m arc-i#o4m!! e inrese los siuientes comandos) $ueo de correr este arc-i#o4m en la #entana de comandos del Matlab le deber5a dar la respuesta al escalón .ue se muestra abajo: de=0.2; num=[1.151 0.1774]; den=[1 0.739 0.921 0]; step (de*num,den) step (de*num,den)
Desraciadamente! este sistema es inestable a lazo abierto6 sin embaro! toda#5a podemos diseñar el sistema de realimentación #ia método de respuesta en "recuencia %a pesar .ue esta podr5a no ser la manera más sencilla') 3rimero! eneremos el diarama de 7ode a lazo abierto , #eamos cómo se #e) Cambie el arc-i#o4m al siuiente , #uel#a a ejecutarlo en la #entana de comandos del Matlab) Deber5a #erse un diarama de 7ode similar al de abajo: num=[1.151 0.1774]; den=[1 0.739 0.921 0];
bode (num,den)
De los re.uerimientos de diseño! podemos determinar .ue la "recuencia natural %8n' debe ser ma,or .ue ()9 , el coe"iciente de amortiuamiento %zeta' debe ser ma,or .ue ()2* %re"iérase por "a#or a Control de Inclinación: Método del $uar de Ra5ces para Ra5ces para ma,ores detalles') sando las dos ecuaciones de abajo! #emos .ue el ancho de banda y el margen de fase deben ser mayores que 0.9 y 52 grados! respecti#amente)
; ; ; ; ;
1r < 1iempo de /ubida 8n < Frecuencia natural 78 < Anc-o de banda zeta < Coe"iciente de amortiuamiento 3M < Maren de "ase
A-ora tenemos el anc-o de banda de + rad=se) , el maren de "ase de >( rados) Estos #alores están dentro de nuestra reión deseada) ?ra"i.uemos la respuesta a lazo cerrado al escalón , #eamos cómo se #e) 7orre el comando bode del arc-i#o4m anterior , areue los siuientes comandos) $ueo de correr este nue#o arc-i#o4m le deber5a dar la siuiente lazo cerrado respuesta al escalón :
[numc,denc]= cloop(num,den,-1); de = 0.2; t =00.0110; step (de*numc,denc,t)
como puede #er! la respuesta transitoria es peor ,a .ue resulta en un tiempo de establecimiento laro) Implementaremos un compensador en adelanto para mejorar la respuesta del sistema)
Compensador en Adelanto En re"erencia a la sección de @Compensador por adelanto o atraso mediante respuesta en "recuencia@ en la páina Compensador en Adelanto , Atraso! Atraso ! un compensador en adelanto #a a arear un "ase positi#a al sistema) na "ase positi#a adicional incrementa el maren de "ase6 por lo tanto! incrementará el amortiuamiento) El tiempo de establecimiento decrecer5a como resultado de este incremento en el amortiuamiento) $a "unción de trans"erencia de un t5pico compensador de primer orden en adelanto es
ecesitamos -allar alead! Tlead , lead) 3rimero! puede usarse el re.uerimiento de maren de "ase , la siuiente ecuación para -allar alead
Como es necesario tener un maren de "ase de ma,or .ue 2* rados! alead debe ser ma,or .ue >)B) sando este alead! el re.uerimiento de anc-o de banda ma,or .ue ()9 , la siuiente ecuación nos lle#a a tener un Tlead menor .ue ()>*)
3or a-ora -aa lead iual a ()+! alead iual a +(! , Tlead iual a ()! inrese los siuientes comandos a un arc-i#o4m nue#o) num=[1 151 0.1774]; den=[1 0.739 0.921 0]; !le!d=10; "le!d=0.3; !le!dtle!d=!le!d*"le!d; #=0.1; numle!d=#*[!le!dtle!d 1]; denle!d=["le!d denle!d=["le!d 1]; num1=con$(num,numle!d); den1=con$(den,denle!d); bode(num1,den1) [numc,denc]= cloop(num1,den1,-1); de=0.2; t=00.0110; %&'u!
step (de*numc,denc,t)
Corriendo este arc-i#o4m! la #entana de comandos del Matlab le da el siuiente diarama de 7ode , respuesta al escalón)
A pesar .ue tanto el anc-o de banda cuanto el maren de "ase se -an incrementado! la respuesta an no satis"ace los re.uerimientos de diseño) Incrementemos alead , bajemos Tlead) $ueo de #arias ejecuciones de prueba , error! se encontraron un alead de *((! Tlead de ()((*2! , lead de ()(2 ! lo .ue arrojó el siuiente compensador en adelanto!
.ue pro#ee la respuesta transitoria deseada) 3ara #er la respuesta al escalón , el correspondiente diarama de 7ode! inrese los siuientes comandos en un arc-i#o4m , ejectelo en la #entana de comandos) Deber5an #erse el diarama de 7ode , la respuesta al escalón de abajo: num=[1 151 0.1774]; den=[1 0.739 0.921 0]; !le!d=200; "le!d=0.0025; !le!dtle!d=!le!d*"le!d; #=0.05; numle!d=#*[!le!dtle!d 1]; denle!d=["le!d denle!d=["le!d 1]; num1=con$(num,numle!d); den1=con$(den,denle!d);
bode(num1,den1) [numc,denc]= cloop(num1,den1,-1); de=0.2; t=00.0110; %&'u! step (de*numc,denc,t)
/i compara diarama de 7ode anterior con el oriinal! #erá .ue el maren de "ase , el anc-o de banda -an bajado) Incrementando ambos dos se mejora el tiempo de ele#ación! el sobrepico! , el tiempo de establecimiento! tal como se #e en el rá"ico de respuesta al escalón de arriba) 3ara mejorar el error de estado estacionario! arearemos un compensador en atraso al sistema)
Compensador en Atraso En re"erencia a la sección @Compensador en Atraso o en atraso de "ase mediante respuesta en "recuencia@ de la páina Compensador en Adelanto , Atraso ! Atraso ! un compensador en atraso reduce el error de estado estacionario) $a "unción de trans"erencia de primer orden t5pica de un compensador en adelanto es
El error de estado estacionario será reducido en un "actor de alag) De la respuesta al escalón anterior! #emos .ue el error de estado estacionario es cercano al +(0) 3or lo .ue es necesario .ue alag sea apro&imadamente ()+) Tlag deber5a ser ma,or .ue alag!Tlag por.ue este compensador no cambia demasiado la respuesta transitoria) $ueo de #arias ejecuciones de prueba , error! se encontraron un alag de ()+! un Tlag de *(! , un lag de +)2! los .ue dieron el siuiente compensador en atraso!
con la respuesta deseada) 3ara #er la respuesta al escalón , el correspondiente diarama de 7ode! inrese los siuientes comandos a un arc-i#o4m nue#o) $ueo de correr este arc-i#o4m en la #entana de comandos le deber5a dar los dos rá"icos de abajo: num=[1 151 0.1774]; den=[1 0.739 0.921 0]; !le!d=200; "le!d=0.0025; !le!dtle!d=!le!d*"le!d; #=0.05; numle!d=#*[!le!dtle!d 1]; denle!d=["le!d denle!d=["le!d 1]; num1=con$(num,numle!d); den1=con$(den,denle!d); "l!'=20; !l!'=0.1; !t=!l!'*"l!'; #2=1.5; numl!'=#2!l!'*[!t numl!'=#2!l!'*[!t 1]; denl!'=["l!' denl!'=["l!' 1]; num2=con$(num1,numl!'); den2=con$(den1,denl!');
bode (num2,den2) [numc2,denc2]= cloop(num2,den2,-1); %&'u! (0.2*numc2,denc2,t) step (0.2*numc2,denc2,t)
/i obser#a el diarama de 7ode! la anancia en baja "recuencia -a crecido mientras el anc-o de banda se mantiene iual) Esto le dice .ue el error de estado estacionario se -a reducido mientras .ue se mantu#o el misma tiempo de subida) $a respuesta anterior al escalón muestra .ue se -a eliminado el error de estado estacionario) A-ora todos los re.uerimientos de diseño se -an satis"ec-o)
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Respuesta en $recuencia % &'emplos Control de Marc-a G Marc-a G Helocidad del Motor G G 3osición de un Motor G G /uspensión de un Colecti#o G Colecti#o G 3éndulo In#ertido G Control G Control de Inclinación G 7arra , 7ola
Control de (nclinaci)n % &'emplo Modelación G 3ID Modelación G 3ID G G $uar de Ra5ces G Ra5ces G Respuesta en Frecuencia G Espacio de Estado G G Control Diital: // Estado
Tutoriales Matlab 7ásico G 7ásico G Modelación Modelación G G 3ID 3ID G G $uar de Ra5ces G Ra5ces G Respuesta en Frecuencia G Frecuencia G Espacio de Estado G Estado G Control Diital G Diital G Ejemplos
Compensacion Compensacion BODE adelanto atraso %--------------------------------------------%Diseño de un Compensador de Atraso - Adelanto
%Ogata K, Ingeniería de Control Moderna %Tercera Edicion %Eemplo !"#, pag" $# %--------------------------------------------close all&clear all&clc& 'print'()-------------------------------------------*n)+ 'print'()Diseño de un Compensador Compensador de Atraso-Adelanto*n)+ 'print'()Ogata K, Ingeniería de Control Moderna*n)+ 'print'()Tercera Edicion*n)+ 'print'()Eemplo 'print'()Eemplo !"#, pag" $#*n)+ 'print'()-------------------------------------------*n)+ %euerimientos %euerimientos del sistemas ./012& M3D042&M5D042& M3D042&M5D042& %6lanta den1071 28& den071 18& den#071 8& den90con/(den1,den+& den0con/(den9,den#+& ./a01:pol;/al(decon/(den ./a01:pol;/al(decon/(den,71 ,71 28+,2+& .0./:./a& num07.8& 'print'()*n<<6lanta 'print'()*n<<6lanta del =istema<<*n)+ planta0t'(num,den+ %Diseño del COM6E>=ADO DE ATA=O DE 3A=E %Diagrama de ?ode de la planta @20logspace(-1,,422+& @20logspace(-1,,422+& 75an2,3ase280?ode(planta,@2+& 5andB202
@c'10@1(indice(1++& @c'10@1(indice(1++& M50-5and?1(indice(1++& %Margen deseado del compensador 3adic10-12M3D1& %3recuencia del compensador indice#0'ind(3ase103adic1+& @gcomp0@1(indice#(1++& @gcomp0@1(indice#(1++& %allamos la ganancia de 'ase a esa 'recuencia 5an'05and?1(indice#(1++& %el compensador agrega ?eta012(5an':2+& %6ara asegurar una 'recuencia alta del compensador se Face T04:@gcomp& G1comp01:T& p1comp01:(?eta
=ADO DE ADEHA>TO DE 3A=E %6lanta Compensador de Atraso @0logspace(-9,1,422+& @0logspace(-9,1,422+& 75an,3ase80?ode(=comp1,@+& 5and?02ue/o cruce de ganancia
%5anancia adicionada por el compensador compensador r02
&print&'(Tercera Edicion)n(* &print&'(Tercera &print&'(Ejemplo !", pag! #"$)n(* &print&'(-------------------------------------------)n(* %+euerimientos del sistemas ./0 M12/34M52/24 %6lanta den2/72 48 den"/72 28 den$/7!0 28 den3/con.'den2,den"* den/con.'den3,den$* .a/29pol:.al'decon.'den,72 48*,4* /.9.a num/78 &print&'()n;;6lanta del 4/logspace'-",",044* 75an,1ase8/?ode'num,den,>4* 5and@/"4;log24'5an* %Marge de &ase indice/&ind'5and@/4* >cgan/>4'indice'2** M1/1ase'indice'2**B24 %Margende ganancia indice"/&ind'1ase/-24* >c&ase/>4'indice"'2** M5/-5and@'indice"'2** %Angulo de &ase 1adic/-24BM12B0 %@uscamos la &recuencia de corte >gc ue tenga esa &ase indice$/&ind'1ase/1adic* >gc/>4'indice$'2** %5anancia de &ase a esa &recuencia de corte 5an/5and@'indice$'2** %Atenuacin del compensador ?eta/24F'5an9"4* %6ara asegurar una &recuencia alta del compensador se =ace T/09>gc %6arGmetros del Compensador Hc/29T pc/29'?eta;T* c/9?eta numc/c;72 Hc8 denc/72 pc8 &print&'()n;;Compensador Diseñado;;)n(* Comp/t&'numc,denc*
%6lanta Compensada &print&'()n;;6lanta Compensada;;)n(* plantacompensada/series'planta,Comp* %5rG&ica de @ode del Compensador en atraso %+espuesta en el Tiempo &igure'2*step'&eed?ac'planta,2**,=old on, grid on step'&eed?ac'plantacompensada,2** title'(+espuesta en el Tiempo(* legend'(6lanta
Compensacion Compensacion BODE adelanto Programación en Matlab – Script: %-------------------------------------%Diseño de un Compensador de Adelanto %Ogata K, Ingeniera de Control !oderna %"ercera #dicion %#$emplo &', pag& (') %--------------------------------------
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%:anancia del Compensador r1457log'5s8rt'
Resultados de la compilación del programa: -----------------------------------------------------Diseño de un Compensador de Adelanto
Ogata K, Ingeniera de Control !oderna "ercera #dicion #$emplo &', pag& (') ------------------------------------------------------770lanta del Sistema77 "rans+er +unctionB 2 --------s4 4 s 77Compensador Diseñado77 "rans+er +unctionB 25&J s 'E&4 --------------s '&E4 770lanta Compensada77 "rans+er +unctionB '('&) s 'J ------------------------sJ '&E4 s4 J)&() s
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