FUNDAMENTOS DE CÁLCULO INTEGRAL
Instituto Politécnico Nacional
Fundamentos de Cálculo Integral
Fundamentos de Cálculo Integral Lic. Martha Leticia Hernández * UPIICSA - IPN, Academias de Matemáticas Dra. Gilda Melva Franco Espejel * UPIICSA - IPN, Academias de Matemáticas Ing. Rodolfo Matus Quiroz * UPIICSA - IPN, Academias de Matemáticas Lic. Ernesto García García * UPIICSA - IPN, Academias de Matemáticas
* Becario del Sistema de Becas por exclusividad, COFAA - IPN * Participantes del Programa de Estímulo al Desempeño Docente - IPN
Fundamentos de Cálculo Integral
DERECHOS RESERVADOS © 2003 ISBN 970-92240-4-2 Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización escrita del editor. PRIMERA EDICIÓN 500 Ejemplares PRIMERA REIMPRESIÓN IMPRESO EN MÉXICO
CAPTURISTAS: JUAN CARLOS MEDINA VILLA JUAN JOSÉ GUTIÉRREZ MENDOZA
PRÓLOGO
Los grandes avances tecnológicos han facilitado las telecomunicaciones en todo el mundo, incrementando cada vez más los intercambios comerciales entre los países. Con esta creciente globalización de mercados, las empresas deben ser más competitivas con sus productos y servicios. Para lograrlo, se requieren profesionistas cada vez mejor preparados que enfrenten el reto de la globalización. Ante esta situación, las instituciones de educación superior del país, públicas y privadas, reestructuran y actualizan de manera permanente sus planes y programas de estudio para responder a esta demanda con nuevos perfiles profesionales. En este contexto, el Instituto Politécnico Nacional (IPN), como institución pública rectora de la educación técnica en el país, hace esfuerzos para mantenerse a la vanguardia en la formación de técnicos y profesionistas de excelencia que necesita el sector público y privado. Parte de este esfuerzo es la actualización y reestructuración de sus planes y programas de estudio en el marco del nuevo Modelo Educativo para que responda a las crecientes necesidades del desarrollo económico, político y social del país. Como parte de estas actualizaciones, la matemática juega un papel relevante en prácticamente todas las licenciaturas por sus múltiples y variadas aplicaciones. El aprendizaje y dominio de la matemática, en todos los niveles educativos, reviste especial importancia, ya que permite explicar y comprender los fenómenos naturales, tanto físicos como químicos, así como los económicos, administrativos y sociales. De aquí la necesidad y preocupación de las instituciones educativas como el IPN, a través de sus escuelas, centros y unidades, de contar con material didáctico que permita facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje de esta importante ciencia. La Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA) del IPN, promueve entre su personal académico el diseño y elaboración de material didáctico que contribuya a la comprensión y dominio de todas las asignaturas, como la matemática, mediante proyectos de investigación educativos.
Esta obra es producto del proyecto de investigación "Material Didáctico para la Enseñanza del Cálculo Integral y la Estadística" con registro CGPI 20031888, dirigido a estudiantes de las carreras de ingeniería industrial e ingeniería en transporte, de acuerdo al contenido del programa de la asignatura del mismo nombre. La literatura disponible en el mercado con este tema no se ajusta completamente al programa de estudio, ya que algunas obras son demasiado extensas al incluir otros temas innecesarios, o muy limitadas al omitir parte del contenido y alcance del curso, además de que los precios son elevados para un estudiante. Con esta obra, se pretende, además de cubrir los objetivos del curso, ofrecerla a precios accesibles para los estudiantes. Para su mejor comprensión, se presenta la teoría de manera abreviada, reforzándose con variados ejemplos ilustrativos y diversos ejercicios por resolver para que el estudiante evalúe su progreso en el dominio de los temas. Por los alcances de la obra, se omite la demostración de los teoremas, ya que se le dio mayor énfasis a la aplicación de los mismos. Su estructura y contenido se presenta de la siguiente manera: En el Capítulo I, se define el concepto de sucesión y su aplicación en progresiones aritmética y geométrica; en los Capítulos II y III se define el concepto de serie y su aplicación en series de potencias; en el Capítulo IV, se define el concepto de integral indefinida como antiderivada o primitiva de una función con sus correspondientes fórmulas de integración inmediata, así como las principales técnicas de integración; en el Capítulo V, se define el concepto de integral definida y sus propiedades; en el Capítulo VI se muestran algunas de sus aplicaciones como el cálculo de áreas; en el Capítulo VII, se tratan los volúmenes de sólidos de revolución y sus principales propiedades ; en los Capítulos VIII y IX, se define el concepto de longitud de arco y el cálculo de áreas de volúmenes para sólidos de revolución; finalmente, en el Capítulo X se tratan funciones de varias variables y sus principales aplicaciones para dos variables independientes. Se agradecerá al lector cualquier comentario u observación que contribuya al mejoramiento del contenido y alcances de la presente obra. Los Autores
CONTENIDO
I. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
SUCESIONES Definición Convergencia de una sucesión Sucesiones monótonas Sucesiones acotadas Algunas formas indeterminadas
//. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
SERIES Definición Progresión aritmética Suma de una progresión aritmética (serie aritmética) Convergencia de series infinitas Serie geométrica Serie de términos positivos 2.6.1 Criterio de comparación 2.6.2 Criterio de comparación por límites 2.6.3 Criterio de la integral 2.7 Series alternadas 2.7.1 Criterio para series alternadas 2.8 Convergencia absoluta y convergencia condicional 2.9 Criterio de la razón 2.10 Criterio de la raíz
1 2 9 11 14
19 21 22 25 29 31 31 34 37 39 39 42 44 47
///. 3.1 3.2 3.3 3.4
SERIES DE POTENCIAS Definición 49 Representación de funciones por medio de series de potencias 55 Series de Taylor 67 Algunas aplicaciones de la serie de Taylor 72
IV. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Antidiferenciación Integración inmediata Integración por partes Integrales trigonométricas Cambio de variable trigonométrica Integración de funciones racionales
75 76 92 96 103 114
V. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
LA INTEGRAL DEFINIDA Introducción Sumas de Riemann y notación de Leibniz Algunas propiedades de la integral definida Integral de una función positiva Área bajo el eje "x"
VI. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 6.1 Área bajo una curva 6.2 Área de una región entre dos curvas
139 144
VIL 7.1 7.2 7.3 7.4
149 149 155 159
VOLÚMENES DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Definición Método de discos Método de arandelas Método de capas cilindricas
VIH. LONGITUD DE ARCO 8.1 Introducción 8.2 Desarrollo IX. ÁREA DE SUPERFICIES 9.1 Introducción 9.2 Definiciones X. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
viii
131 131 132 136 137
163 163 DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones reales de dos o más variables Límites de funciones de más de una variable Derivadas parciales Interpretación geométrica de la primera derivada parcial Derivadas parciales de orden superior
169 171
177 182 184 188 188
10.6 Valores extremos de funciones de dos variables
191
SOLUCIÓN A EJERCICIOS
197
PARES
ÍNDICE
203
BIBLIOGRAFÍA
204
CAPÍTULO I SUCESIONES
1.1 DEFINICIÓN Una sucesión es una función cuyo dominio está formado por todos los números enteros positivos, es decir, por los números naturales. Las notaciones más comunes para representar a una sucesión son:
o„ {a„} {a„X {a„}* A los elementos que forman una sucesión se les denomina términos, siendo éstos: a,, a , a ,...a ; en donde a es el término general o enésimo de la sucesión. 2
i
n
n
Una sucesión puede ser finita, si está formada por un número finito de términos y su representación es {a \ infinita, la cual está formada por un número infinito de n
términos en donde su representación es: {a \,
{a }.
n
n
A una sucesión también se le conoce como progresión.
Ejemplos 1.1
A l desarrollar sus términos tenemos:
\n\ 3 4
n
Lo cual nos indica una sucesión infinita; si queremos que esta sucesión sea finita, por ejemplo de cuatro términos, la representamos como:
CAPÍTULO I
2.
Encuentre los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones: 2.1 K } f = {3n} = {3,6,9,12,15}
2-2
L _ L _L _ L l
[aj [3"J
[ 3' 9 ' 2 7 ' 8 1 ' 2 4 3 J
2.3 K } ; = ^ T 2 ^ } = { V 3 , 2-4
M
2-5
{aj
(-íylí
V8,VÍ5,V24,V35}
1 1 1 1 1 "2'
3'"4'5'"6,
2
4 8
16 32
1' " 4 ' 9 ' " l 6 ' 2 5
Ejercicios 1.1 Encontrar los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
1. {2« + 4}
2.
["V2x=+«j
{r" '} +
3.
(« + l)!J
6. {«"}
9.
7. { i + ( - i r }
10.
ln
n +
4.
1.2 CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN Si al crecer el valor de n la sucesión tiende a un número, se dice que la sucesión es convergente; en caso de que tienda a infinito (positivo fijo o negativo) se dice que la sucesión es divergente. En forma general para analizar la convergencia o la divergencia de una sucesión, tomamos el límite de a cuando n tiende a infinito, denotado por: n
Í
c , c = cíe , a„ converge oo , a„ diverge
2
SUCESIONES
Ejemplos 1.2
3. Analicemos la sucesión:
Solución:
Tomando su límite cuando " n " tiende a infinito
lim n-»~
= 0,
.'. converge
W
•i "^ ^ \r si converge o diverge. 4« + 2 /7 +
Solución: 3/7 + 1 ///w
°° =
4/7 + 2 3 3 n-»oo ^
aplicando la regla de L ' H O P I T A L : oo .*. converge
^
« +2« 5. Dada la sucesión a = < —-—— \r si converge o diverge: n +4 3
n
¿
Solución: 3
utilizando la regla de L'HOPITAL:
OO
OO ,, 6/7 = //'//7 = " 2
3« +2 2
lim
oo
« + 2/7 lim - n +4
Como
2n
oo
.-.
diverge.
Teoremas fundamentales para calcular límites Sean las sucesiones {a } y {b } tales que lim a - A y lim b -B. n
n
n
n
Entonces:
Teorema 1.2.1 límc-c\ = cte
Teorema 1.2.2 lim ca = clím a =cA n
n
; c = cte
Teorema 1.2.3 ////? (a ±b ) = lim a ± lim b = A ± B n
n
n
n
3
CAPITULO I
Teorema 1.2.4 lím (a -b ) = lím a • lím b = A • B n-»00 n->00 n->00 n
n
n
n
B 0
lím a„ Teorema í.2.5 lím
"= lím b„
si
A * 0
y
B^O
si
A = 0 •y
B*0
no existe si
A * 0
puede o no existir si
Teorema 1.2.6 lím a
= lím a A = A
np
p
Teorema 1.2.7 lím p " a
Teorema 1.2.8 lím"" p = \
si
Teorema 1.2.9 lím
;
=0
F
p
si
p >1
si
p =1
si
/? < 1
;
y
A =0
B=0 y
B= 0
p e 9t
Pe9í
/? > 0
si
P e 91
( 1Y Teorema 1.2.10 lím 1 + V n) Teorema 1.2.11 Si a es una sucesión y si lím a n
La demostración
n
= 0 entonces lím a = 0 n
de los teoremas queda fuera del alcance de esta obra.
Ejemplos Indique si las siguientes sucesiones convergen o divergen
6-
k}=-V n ++2n) 4 Solución: lím{a } n
»°°
7-
4
k}={2"}
= ///w< W
+
^ " l = ///wi ^ " +—
n—»•» ^ -|- 4
n—>°o I
diverge.
SUCESIONES
Solución: lím 2" = 2°° —> oo
8-
k}=
'2« +4/7 3
/.
diverge.
2
«+5
J
Solución: „ 2/7 +4/í /zw « +5 3
2" /z/w «-»-
+4" « / + 5/ « n
3
3
3
.
2
.
.
.
.
.
,
.
,
.
.
3
n
dividiendo entre la potencia máxima ( n ) tenemos:
2
2+ 4 = lím !? = = > oo »->- 1 + 5 0+0 0 n «
3
2
17
3
2
+
Q
2
diverge.
3
Nota: cuando al tratar de obtener un límite, se presenta un cociente de infinito entre infinito, se puede resolver éste, aplicando la regla de L ' H O P I T A L o bien dividiendo tanto el numerador como el denominador entre la potencia máxima (como lo hicimos en el ejercicio anterior).
[ tt +n J Solución: „ 3« +2« oo ///n — . = "->°° /7 + /7 oo :
aplicando la regla de L ' H O P I T A L
/z'//7
6/7 + 2 _ oo
4/7 + 1 oo 6 /z'/7? , =0 12/r 3
.'.
converge.
e" 2
Solución: „2n lím
3
oo oo oo OO
5
CAPÍTULO I
oo
„ 4e lim \2n 8
OO oo
2
„
oo oo
loe " 2
lim »->» 24
diverge. ~ 24 ~
ll.k}={4-'} Solución'. 4
->
diverge.
12. k}={(-»"^} Solución: - lím y = ° = 0
lím a
n
lím a = lím(-1)" n
In
13-k} =
V
1
V
« +4 2
\0
converge.
«V 1+
A
Solución: í 2n
V
1 V - lím
1+
« +4
' 2rr
( i • lím 1 +
l
n)
2
Y
( iY - lím 2 • lím 1 + = 2e
n)
converge.
14. {«„} =
«+1 ,
Solución:
/7/w
V + 2 «
/7—>ool
6
«+1
A
lim
4n + 2 }
= (oo)
4
.-.
diverge
SUCESIONES
15-
k}=-
^8 + 4 1 0 "
A
5 + 2-10"
Solución: lím
8 + 4-10 5 + 2-10" I
„ 8 + 4-10" 10"" „ 8-lO " + 4 „ " hm • = lim - lim "-^-5 + 2 10" 10"" »— 5-10""+2 «-w 5 -
1 0
+
4
+
2
_ 0+ 4 0+ 2
= 2
converge
10"
i6.
k}=-
2-v
"y
Solución:
r
2V
r,///w 2 - ,lím 2 f = ( 2 - 0 ) = 4 2
converge.
1 i
17.
fe}-
Solución: Aplicando el teorema 1.2.9
lím
1+-
18- K } =
converge.
*0 /? 5e« —
n)
Solución: 1--
1
111 +
lím
n sen (
= lím
( i lím 1 +
i\ 1 ^ í lím 1 + lím\ n sen n) v n1 ) " ->- V ( n sen n lím 1
Y
n
7
CAPÍTULO I
f lím í
i-i]
///«
f
1 +
P
K
1 \
COS
v n j — \ e • 7T — en
lím \
converge.
Ejercicios
1.2
Determine cuáles de las siguientes sucesiones convergen y cuáles divergen n*+2n + \
1.
9.
«-5
n:
n+ 4
2.
{(4« + 5)^}
10.
n + 2n 6
'ln(w)
3.
1
4.
»+'
e"
.
wr}
-\
12.
ln/?
A l realizar la suma, la resta o el producto entre dos sucesiones. a
y b
n
n
presentar los siguientes casos: Operaciones
Si
lima„
y
con
sucesiones Entonces
limb
n
lím{a +b ) n
n
lím{a -b ) n
n
a >0
a
oo
oo
a
- oo
— oo
oo
oo
OO
a>0 a<0 OO
+ oo
- oo
s
- oo
oo
- oo
oo
- oo
- oo
- co
- oo
oo
<3<0-°o
oo
-°o °o
se pueden
SUCESIONES
1.3
SUCESIONES
MONÓTONAS
Para analizar si una sucesión es o no monótona se compara su término general a
n
con el inmediato posterior a , n+]
de la siguiente forma: La sucesión se llama
Si para toda n
Creciente Estrictamente creciente
a„ < a„
+x
Decreciente °n
Estrictamente decreciente
>
Constante Una sucesión que se comporta como alguna de las anteriores se dice que es monótona.
Ejemplos 1.3 Diga cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas, y de serlo, indique su tipo.
•9.k}-{i} Solución', de donde: { o | } = ] n +
'
L comparando a con a n
n+]
tenemos:
1 1 n n +1 en base a la definición de una sucesión, los denominadores no son negativos por lo que n +1 > n es decreciente para cualquier valor de n (entero positivo) por lo que la sucesión es decreciente (a > a ) y por lo tanto monótona. n
1
"
J
n+l
{2n + 2¡
Solución: a.. = v
(« + l )
2« + 2j
2
2(n + l ) + 2
ín +2n 2
+\
2« + 4
9
CAPÍTULO I
comparando a con n
a : n+]
n
n + 2n + 1
2
2
< + 4+ 2/7 + l ) /7 (2« +2/74)+<2 (2/z + 2« 2){n 2
2
2/7 3 + 4/7 2 < 2n + 4/7 2 + 2/7 + 2 « + 4/7 + 2 3
2
0 < 2 / 7 2 +6/7 + 2 .-. es monótona, estrictamente creciente.
21. a. =
/7 +l :
Solución: /7 +l 2
f(-ir(»+i)l
f(-ir( +i)i
r M 7 T r r R ^ + T ' "« "«+1 (-l)"(/7)< (-l)"-(/7 /7 +l 2
( - 1)" «(/72
,
w
+
c
o
m
p
a
r
a
n
d
o
l)
/7 +2/7 + 2 2
+ 2/7 + 2) < ( - 1)" ' (/7 + l)(/7 2 + l ) +
(-1)"(/7 3 + 2/7 2 + 2«) < (-1)" '(/7 3 + n + /7 + l ) +
si /7 es impar -
<
si n es par
>
+
2
+ -
Como no pueden darse las dos condiciones a la vez, entonces no se cumple la condición de monotonía, por lo tanto, no es ni creciente ni decreciente, no es monótona.
22. o„ =
ln/7
Solución:
a
10
n
e =" . ¿Vi = ln(« + l ) ln/7
SUCESIONES
e"ln(/i + l)
l)
Es monótona estrictamente creciente. 23. a = {sen n7t\ Solución: A l desarrollar los términos de esta sucesión observemos que todos sus términos son cero. Por lo tanto es una sucesión constante y por consiguiente es monótona.
Ejercicios 1.3 Determinar cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas.
1.4 SUCESIONES
ACOTADAS
Si todos los valores de una sucesión no pueden ser menores que un determinado número y tampoco pueden ser mayores que un número determinado, se dice que la sucesión es acotada. Al número más pequeño se le denomina cota inferior (m) y al número más grande se le llama cota superior (M). Para que una sucesión sea acotada, debe tener tanto la cota superior como la cota inferior.
Ejemplos 1.4 Determinar cuáles de las siguientes sucesiones son acotadas.
ll
CAPITULO I
Solución:
,111 a - y al tomar su limite tenemos: "12 34 lim = 0
se observa que 0 < an < 1 y es acotada.
25. k } = { - ^ + 1
Solución:
4 68 a., = ' 5 ' 10'17 // w 2 " = — , aplicando la Regla de L'HOPITAL n-»~ /7" + 1 o o
sus cotas son 0 y 1, o sea
0 < a < 1 entonces es acotada.
26. o. = 2/?3 +« 3« + l Solución:
U' 7 ' 1 0 ' 13 '
lim—2«3 + w"-o o ; aplicando la regla de L'HOPITAL -»"° 3n +1 o o „ 6«2 + l = oo lim n-»oo
3
no es acotada, ya que no existe su cota superior (infinito no es un número) 3 < a < oo, 4 " 27. {an}= 1 + (-D" Solución: Si tabulamos y graneamos la función, tenemos: 12
SUCESIONES
a. 2 2 3 4
5 6
1/
í/ /3
2
3/ /4 6/ /5 5/ /6
1
--
A7
1
2
3
4
5
De la gráfica anterior, observamos que su cota inferior es 'Á y su cota superior es 2; al tomar su límite tenemos:
(-ir 1 ]
í
lím< \
[
lím\ lím
y
n '
> aplicando el teorema 1.2.10: J
=1 + 0 = 1
y observamos que no siempre su límite es una de sus cotas. La sucesión anterior es acotada — < a < 2
2
Teorema 1.4.1 Toda sucesión monótona acotada es convergente
Ejemplos
28. R}=í(-ir
l+-
V nj) Solución: Graficando la función tenemos:
n 1 2 3 4 5 6
72 Ti V
7A
- 6 /
75 V 76
13
CAPÍTULO I
De la gráfica observamos que la sucesión no es convergente ya que tiene dos límites, 1 y - 1 y sus cotas son: inferior - 2 , superior 3/2; y .\s acotada.
29. Indique si la sucesión {a }= j
^ ^í
2
n
e s
m o n
ó t o n a y convergente.
Solución: lím
I 'A7 +2
= 0
converge.
2
1
1
« +2
(n + l ) + 2
1
1
« +2
« + 2/7 + 3
2
2
2
2
« +2« +3 « +2 2« + 1 > 0 /. es monótona decreciente 2
2
Ejercicios 1.4 Indique cuáles de las siguientes sucesiones son acotadas. n+4
1
6.
2n-5
2.
«
4
n +2
(-ir
7.
3
3. 4.
« +2 3
8. {sen(n + 2n7t)} n l-(-l)"
(-ir 4
1.5 ALGUNAS FORMAS
í 9.
P"
1
ln(w + l)J
10.
INDETERMINADAS
En diversas ocasiones, cuando tratamos de averiguar si una sucesión converge o diverge, se presentan indeterminaciones de las formas oo/oo o 0/0 en cuya solución se aplica en forma directa la Regla de L ' H O P I T A L , la cual consiste en derivar por separado numerador y denominador.
14
SUCESIONES
Esta derivación se puede seguir aplicando tantas veces como se presenten cocientes de oo/oo o 0/0. Teorema. Regla de L 'HOPITAL Sean / y g funciones diferenciales en un intervalo abierto /, excepto posiblemente en un número a enl. Y si g'{x)& 0 para x*a\:
™g[x)
*^
g'{x)
Ejemplos 1.5 Calcular los siguientes límites.
X +X
Solución:
oo
Aplicando la Regla de L ' H O P I T A L „ 6x \2x oo lim r- = ^°°4x +3JC" 2+
oo
x
Aplicando de nuevo la Regla de L ' H O P I T A L „ 12x + 12 oo lim = *-+°°l2x~+6x o o 12 12 *-»°° 24x + 6 o o
31. lím
p
oo
-=
*-»- X
Solución:
oo
Aplicando la Regla de L ' H O P I T A L p
lím = *- °° 3jt >
p'
oo
, /z'/w oo
*-»°°
oo
= 6.T
oo
si aplicamos nuevamente la Regla de L ' H O P I T A L , se tiene: e oo lím = —> oo no tiene límite. *->°° 6 6
15
CAPÍTULO I
,, V 9 + x - 3 0 32. lim =— ^ x 0 Solución: Aplicando la Regla de L ' H O P I T A L u
i( lím±
9
+
x)^ 1
T-»0
1
lím °2(9 + x ) ^
33. lim— x-X)
1
1
2(3)
6
=— x
o
Solución: lím——
= 2e° = 2
La regla de L ' H O P I T A L también se aplica a otro tipo de indeterminaciones, las cuales se llevan a la forma 00/00 o 0/0 como se indica en los siguientes ejercicios: •
Indeterminación
de la forma °° 0.
Cuando al tratar de obtener un límite formado por un producto de dos funciones. Iím[f(x)g{x)]=oo0
Mandamos una de las dos funciones al denominador para tener el cociente de la forma:
x->a
1
00
el cual ya se puede resolver utilizando la regla de L'HOPITAL.
E/emplos 34. lím x ln x = 0 • 00 t->0*
16
S U C E S I O N E S
Solución: ,, l n x 00 hm - = x->0*
1
00
X
Hm —^— = lím —— = lím — — = —^—^ = 0 x->0*
•
1 .2
x-»0*
X
x-»0*
1
1
Lna indeterminación de la forma 0° se puede trabajar de la siguiente forma: límf{x)
=0
g{x)
lím é
= lím
n f ( x f U )
x—>a
{)
= líme
e g { x ) , n f { x )
gT7)
x—*a
=e
= e'S-
x—*a
y se aplica la Regla de L'HOPITAL. 35. lím{x + \ )
x + i
=0
ñ
Solución: ln(x+l)
lím e
'
= lím
,nU+]r
.r—>-l
e
i
M
+
,
= lím e ™
]
x—»-]
=
r—>-l
lím ln(x+l) -. i
X-.-I /
(x+D
e
•
(x+D-
,,\ =
f
f
~-.
/l'm - ( x + 1 )
x l +
Una indeterminación de la forma //'w f{xf^
„ =
e
0
_ j
= °°° se trabaja de una manera
x—*a
análoga a la anterior. 36. lím x
1
=
oo"
x—
Solución:
In .v
líme " ]nx
= líme
x
hm
= e"
00
hm x
= e~~ , derivando, e*~
1
= e" = 1
17
CAPÍTULO I
Una indeterminación de la forma lím[f(x)-g(x)]=°°-°° siguiente forma:
lím g(x)
37.
1
lím
x—*a
1
L
g( )
f{x) 1
A*) i
x
1 — oo — oo
x-\x Solución: ,,
lnx-(x-l)
0
^
hm—,
*-»> ( x - l ) l n x
0
lím n
o
.
+ lnx
x) 1
lím
1
1 1
= lím X->1
~ 2 + X X
x \x
1
2
2
x
2
Ejercicios 1.5 Resuelva los siguientes límites: 1.
lím A:—-
2.
lím
-1
x-»l x
lnX
6. límisen x) " se
7. / / w ( l n x ) '
3.
lím
8. ///«(e*) "
4.
lím
9.
5.
lím
v
8
x+\1 ' 1^
\e ) x
18
x
1-x
2
///7J
1
10. lím- se« x t
>0
1
x
se trabaja de la
CAPÍTULO II SERIES
2.1
DEFINICION
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Sea {a,,} una sucesión, cuyos términos son: a.\, ai, « 3 , . . . , a ; a partir de ella podemos formar una serie de la siguiente forma: Si denotamos por s ,s s-¡,...,s a los términos de la serie tenemos: n
i
s
2
n
=a +a
2
t
2
s = a, + a + a }
2
3
5 =a, +a +a + a 4
s = n
en donde a s
n
3
2
4
a +a +a +a +...+a l
2
i
4
H
se le llama suma n-ésima o término general de la serie. Una serie
puede tener un número limitado de términos, conocida a esta como Serie Finita y su representación común es: a)
s = ^ a , (de cinco términos) 5
1=1
10
b)
s = ^ a , (de diez términos) l0
1=1
Si el número de términos es Infinito, la serie se conoce como Infinita y su representación es:
Ejemplos 2.1 1. Dada la sucesión indicada, encuentre los términos de la serie que se genera, esto es, si a)
a. = j - i , n= 1,2,...,n
C A P Í T U L O II
la cual también es denotada por: a
H
= \ \ , — \ , s e tiene: 2 3 4 n
s, = a, = 1 .v, = a +
= 1 +—=— 2 2 , 1 1 11 s =a, + a + a , =1 + - + - = — ¡
3
2
s = a , + a + a + f l = 1+ - + - + - = — 4
2
3
4
í, 3 11 50 La sene obtenida es una nueva sucesión íormada por < 1, , , ,•
1
2 6 24
1 1 1 1 V + 2 s. = a, = 3 1 1 3 s, = a, +a = + = - 3 6 6 1 1 1 39 s = a, + a + a = - + + + 3 6 11 66 1 1 1 1 768 s, = a, + a, + a, + a = + + + = 3 6 11 18 1188 7
1
3
2
3
4
1
2
4
1 1 1 1
5 = a,
+ a, + a + ... + a„ =
+
4
" " " 1 3 39 768 La serie obtenida es 3'6'66 1188" 1
3
4
3
6
+
1
+ 11
H
h ,
18
n +2 2
,
c)
a„ = {ln n}, a„ = {0,0.693,1.098,1.386,...}
5,
=
=0
O,
s = a + a = 0 + 0.693 = 0.693 2
t
2
s = a, + a +a 3
2
3
= 0 + 0.693+1.098 = 1.791
5 = a, + a, + a, + a = 0 + 0.693 +1.098 +1.386 = 3.177 4
A
s„=a +a +a +a +... l
20
2
3
4
+ a = 0 + 0.693 + 1.098 + 1.386 + ... + \nn H
SERIES
La serie obtenida es {u, 0.693, 1.791, 3.177,...}
Ejercicios 2.1 Encuentre los cuatro primeros términos de las siguientes series.
""+1
«-1
2.
± ' n=l "
6. ¿ ( ' n=l
«=i n + 1
7. ¿ V l n / i ««i
3.
-
2.2
PROGRESION
n
+
n
2„
+
l
)
9. i
= 2
l
n
"
» " n=l ^ 1
C O S A I S
10. ¿ ° * ' 1 „=i e" C
+
+
ARITMETICA
Veamos ahora una sucesión muy utilizada tanto en matemáticas como en contabilidad conocida como progresión aritmética, en la cual todos los términos posteriores al primero se obtienen del anterior añadiéndole una cantidad constante d que es la razón de la progresión. Si llamamos a al primer termino y d a la razón o diferencia común, tenemos: {a\={a,a
+ d,a + 2d,a + 3d,...,a +
(n-l)d}
A l n-ésimo término de la progresión lo representaremos con la letra L y entonces: n
L =a n
+
(n-l)d
Ejemplos 2.2 2. Dada la sucesión 1, 4, 7, 10,..., se tiene que el primer término es a -1 y la razón de cambio d , obtenemos de la diferencia del término d = a es decir: 4 - l = 7 - 4 = 10-7 = 3 = d Por lo tanto el n-ésimo término lo podemos encontrar utilizando la expresión L = a + (n-\)d . Por ejemplo, el octavo término será: n
L , = l + ( 8 - l ) 3 = 1 + 7(3) = 22
21
CAPÍTULO II
Comprobación: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22.
3. Dada la progresión aritmética:
1 3 5 7 9 , , , , 5 5 5 5 5
obtenga el término 99.
Solución: 1
a= ,
5 3 _ i 5 _ 3 2 5 5 5 5 5
=
=
Z^ = a + {n-\)d
=
9
=
1
+
(99_i)
5
2
=
(
1 +
5
5
9
8
1
)
196 _ 197
v5y ~ 5
5 ~
5
Ejercicios 2.2 Dadas las siguientes progresiones aritméticas, encuentre el término indicado. 1. 2,6,10,14,... , L , = ? 3. 0.1,0.4,0.7,1.0,..., ¿ 3 0 = ? 0
2
-
2.3
^ 2 = ?
Í'Ü.T'-T'-' 6 6 6 6
4. 1,10,19,28,... , Z ^ = ?
S I M M DE UNA PROGRESIÓN
5
ARITMÉTICA
(SERIE
ARITMÉTICA)
Dada una progresión aritmética finita de n elementos, encontremos la suma s de sus n
n términos conocida como "Serie Aritmética". Para ello definamos a esta suma en dos formas diferentes, en forma creciente: s = a + {a + d)+(a + 2d)+{a + 3d)+... + L n
n
y en forma decreciente: s„ = L„ +(L„ -d)+(L„
-2d)+(L
n
-3d)+...
+a
Sumando estas dos ecuaciones tenemos:
2s„ ={a + L )+ {a + l j + ( a + I J + (a + Z.J+... + {a + L ) = n{a + L„) H
por lo tanto, su suma estará dada por la expresión:
22
n
SERIES
n
\
2
o bien por: s = [a + a + {n-l)d] n
Ejemplos 4.
= [2a +
n
n
(n-l)d]
2.3
Dadas las sucesiones indicadas: i. Demuestre que es una progresión aritmética. ii. Encuentre el término indicado. i i i . Obtenga la suma de los términos indicados. 1. 1,5,9,13,... 1^ = 1 s =? 10
2
... 4 4' '4'
1
2
3
,
3.
L. = ^° '
4
r>
4
0.5,1.5,2.5,3.5,...
s
L, =? 4
'
2
s
50
• =?
Solución 1 i. 5 - 1 = 9 - 5 = 4 , sí es una progresión aritmética ii.
= a + (n-\)
d
o = l , a"=4 = l + ( 8 - l ) 4 = l + 7(4) = 29 ni. 5 =|(2fl+(n-l) /) 1 0
<
5 , „ = ^ ( 2 ( 1 ) + ( 1 0 - 1 ) 4 ) = 5(2 + 9(4)) = 190 Solución 2 2 1 3 2 1 . i. = - , si es una progresión aritmética 4 4 4 4 4 n.
a=
1 , 1 , a 4 4 L¡ = a + ()
4 iii.
(n-i)d 7
4
4
4
4
Í , = ^ (2« + ( / i - l ) r f ) 2
23
C A P Í T U L O II
12
Solución
i. ii.
[11+02-1)1
3
1.5- 0.5 = 2.5-1.5 = 1, sí es una progresión aritmética L , = a + (A? - 1 ) ¿ / 4
a = 0.5, a* = l ¿, = 0 . 5 ( 1 4 - 1 ) 1=0.5 + 13 = 13.5 4
iii.
í
w
= ^ {2a +
(n-\)d) s
'50
= j5P-
(2 (0.5) + (50 - 1 ) 1) = 25 (l + 49) = 1250
5. Una persona recibe $2 el primer día, $4 el segundo, $6 el tercero, etc., ¿Cuántos dólares habrá recibido a lo largo de 30 días? Solución:
2,4,6,8,... a = 2, d = 2, « = 30 S 3 0
s
x
= ^(2a +
{n-l)d)
= y (2 (2)+(30-1)2)= 15 (4 + 58) = 930 dólares
6. Un vehículo se desplaza sobre un plano inclinado partiendo del reposo, en el primer minuto recorre 5 metros, en el segundo 9, en el tercero 13, etc. Calcular el tiempo que tardará en recorrer 240 metros. Solución: 5, 9,13,... a = 5, ¿ = 9 - 5 = 4, 5 = 240, /? = / = ? s = '^{2a +
(n-l)d)
240 = | (2 (5) + ( « - 1 ) 4 ) 480 = «(l0 + 4 « - 4 ) = A2(6 + 4«) = 6n + 4/?
2
4n +6n-480
=0
2
-b±y/b -4ac 2
2a
-6±V36-4(4X-480)
- ±87.84
8
8
6
La solución negativa se descarta y la solución es 10.23 minutos.
24
SERIES
Ejercicios 2.3 Dadas las sucesiones siguientes, 1. Encuentre el término indicado i i . Obtenga la suma de los términos pedidos 1 3 6 9 2. 3
L
0.5,2.5,4.5 1 3
2.4
12
1
5 7
v
Lé-y^
s
L
v
3 3
4
5
.
2
4
6
/
8
4 4 4 4 5. 10, 15
v /-
^ i oo
U
CONVERGENCIA
DE SERIES
INFINITAS
Dada una serie infinita ^Tcz , si es posible encontrar s (i
B
o sea el término que nos
represente a cada término de las sumas parciales, y si existe líms
n
- s (un número) se
dice que la serie converge y su suma es 5; si su límite no existe, la serie diverge. Encontrar
s
n
es sumamente difícil, salvo en un grupo reducido de series
(conocidas como series telescópicas) en las cuales, al realizar la suma se eliminan todos los términos, excepto el primero y el último término, obteniéndose entonces
s, n
Ejemplos 2.4
7. Dada la serie infinita V a
= V
i. Obtener (de ser posible) una fórmula para
s. n
i i . En caso afirmativo diga si la serie converge o diverge. Solución: i. Por medio de fracciones parciales propias, podemos escribir: 1
1
A
B
4 / r - l ~ (2/1 + 1X2/1-1)~ 2/i + l 2/7-1 Quitando denominadores: 1 = A(2n - 1 ) + 5(2/J + 1 ) = 2An - A + 2Bn + B = n(2A + 2B)+(-A
+ B)
25
C A P Í T U L O II
Estableciendo el sistema de ecuaciones: •0) •(2)
-A+B=\
Resolviendo este sistema, multiplicando (2) por 2 y sumándolas 2-4 + 2/5 = 0 -2A + 2B = 2, dedonde
B= -
0 + 4/5 = 2 Sustituyendo este valor en (2), - A + -^ = l , dedonde A = --^ • por lo tanto: 1
_
(2/7 + l)(2/7-l)
,
-y
2
2/7 + 1
/:
I
1
_\(
2/7-1
2U«-1
2/7 + 1
Dando valores a /?: ir. , o, = n=2
,
a = 2
3~5
77 = 3 , fl, =
5
/l = 4 , O, =
/7 = n - 1 , a . =
/7 = /7 ,
i
1
7.
7 ~9 1
1
2/7-3
2/7-1
1í 1 út" = 212/7-1 -
2// + 1
la suma de los n términos será: 1 (t
S
"
=
\\
2 VV 3y +
1_1 3
5
+
1_ 1
+ 5 7
i 7
-
n
r
i
i
12/?-3
2/7-lJ
+•••+ — •
9j
w
i
+
l2«-l
de donde
ílv
26
_ 1 '2n +1 - I 1 2/7 + 1 2/7 + 1 y" 2 1
V
_1 '
2/7 >
/7
~ 2 V 2/7 + 1;~ 2/7 + 1
1
2/7 + 1/y
SERIES
por lo tanto sn =
n
2« + l
es el término general de la serie.
ii. Tomamos lím sn, sustituyendo sn y aplicando la Regla de L'HOPITAL lím H n-*~ 2n +1
- lím ^ — 2 2
por lo que se deduce que la serie es convergente y su suma es - . Por lo general, no es posible encontrar una expresión para sn en términos de n; por lo que se deben de utilizar una serie de criterios para determinar si una serie infinita converge o diverge. Estos criterios nos indican si la serie converge o diverge, pero no a qué valor tiende su suma (cuando esto suceda). Antes de comentar estos criterios presentemos algunos teoremas de mucha importancia en la convergencia o divergencia de una serie. Teorema 2.4.1 Una condición necesaria pero no suficiente para que una serie infinita converja, es que lím an = 0 . Teorema 2.4.2 Este teorema es más útil que el anterior y dice: Si líman * 0 entonces la serie es divergente. Ejemplos 2.4 Utilizando los teoremas anteriores, analice las series siguientes. lím ] - 0 "-»- 4n — 1 Por lo tanto, es posible que converja (teorema 2.4.1). 9-
Z
23 2
21
C A P Í T U L O II
n 3/T 6n lim : = lim = litn =°° n +1 °° 2/J "-» 2 n_>
00
Por lo tanto, la serie diverge (teorema 2.4.2).
Teorema 2.4.3 Si dos series infinitas V a , , y ^b
n
a =b v
si
y
difieren solamente en sus n primeros términos
v > n, entonces ambas series convergen o divergen.
Teorema 2.4.4 Sea c una constante diferente de cero, entonces:
Si
Entonces c T f l ,
±a
n
Converge con suma s Diverge
Converge con suma es Diverge
Teorema 2.4.5 Sean
y
dos series infinitas, entonces:
«i
í > „ - o
i * . I " . Converge con suma R
n=\
Converge con suma R+S
n=\
Diverge
Converge con suma R-S Diverge
Converge suma R
Diverge
Diverge
Diverge
Puede o no Divergir
Puede o no Divergir
Converge con suma S Diverge
Diverge
Teorema 2.4.6 Si a una serie se le suman o restan un número finito de términos, esto no afecta su convergencia o su divergencia. Teorema 2.4.7 Una serie de términos positivos es convergente si y sólo si, su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.
28
SERIES
Progresión Geométrica Cuando tenemos un término (a) y el siguiente resulta de multiplicar este término por una razón de cambio (r), a, ar, ar , ar ,..., 2
decimos que tenemos una progresión
3
geométrica, cuyo término general está dado por a = ar"' . n
2.5
SERIE
1
GEOMÉTRICA
Una serie geométrica es aquella suma s
de términos en la cual el término posterior
n
se obtiene multiplicando al anterior por una constante. Si al primer término de esta suma lo representamos por la letra a y a la razón de cambio por r tenemos:
s = a + ar + ar + ar n
2
+ . . . » 7 , ar"~x
3
Para saber cuándo una serie geométrica converge o diverge procedamos de la siguiente forma: Tomando n términos de la serie tendremos: s = a + ar + ar + ar + ... + ar"~ n
2
3
(1)
l
Multiplicando (1) por r. r(s )-ar + ar +ar + ar + ... + ar" n
2
3
(2)
4
Restando (2) de (1): \„)-s ^a-ar"
r
[\-r)s„=a-ar"
n
, s =•a-ar" -r
a \-r
n
ar" \-r
Si Irj < 1, al aumentar n, r" disminuye en valor absoluto y:
lím r = 0, por lo que, lím s = n
n
°
=s
:. converge
Si |r| > 1, r" aumentará indefinidamente cuando n crece, por lo tanto la serie será divergente.
hm s„ = lim --—
' = 00
29
C A P Í T U L O II
Resumiendo tenemos: converge para r < 1 diverge para \r\ 1
Ejemplos 2.5 10. Indicar si la serie geométrica 1+
1
+
4 Solución:
1
+
16
1
+ . . . converge o diverge.
64
Observando la serie de términos, vemos que el primer término a es (• ' T I igual a uno, y la razón de cambio r es un cuarto
r -
=
4<
Como r < 1 la serie es convergente y su suma tiende a: 1 s=
4
-r ~ 1- 1 " 3 4
11. Diga si la serie 3 + 6 + 12 + 2 4 + ... converge o diverge. Solución:
a = 3, r = 2 \r\ |2| = 2 > 1
.-. Diverge
12. Dada la serie 1 + 2 + 4 + 8 + . . . , encontrar el décimo término y la suma de sus quince primeros términos. Solución:
a = l, r = 2 , « = 10, a = ar"'' n
f
a
w
= ar' '' = (l)2 "' = 512 . La suma 0
10
está dada por: (l - r") _ l(l - 2 ) _ 1(1 - 32768) _ - 32767 _ 32767 l-r -2 -1 -1 15
5 , 5
"
13. La suma de una serie geométrica es 15 y su primer término es 1, ¿qué valor debe tener r? Solución:
30
5 = 15, a- \, r = ?
SERIES
a 1-r
Ejercicios
, despejando r , 15 =
1-r
2.5
Diga cuáles de las siguientes series geométricas convergen
Introducimos una nueva serie, conocida como serie Hiperarmónica,
la cual converge cuando p > 1 y diverge para p < 1. La demostración de la conclusión anterior la efectuaremos posteriormente. Estas dos series anteriores (la geométrica y la hiperarmónica), nos servirán para analizar la convergencia o divergencia de una serie en los primeros métodos de solución que utilizaremos.
2.6 SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Hemos mencionado que para que una serie converja es necesario obtener el término genérico de la sucesión que genera la serie (s ) y después tomar su límite cuando el número de términos (n) tiende a infinito; también hemos mencionado que esto es muy complicado y en diversos casos imposible, por ello para analizar la convergencia de una serie podemos utilizar diversos criterios que nos indican si una serie converge o no, pero no a qué valor converge en su caso. Nos dedicaremos inicialmente a aquellas series en que todos sus términos son positivos (series de términos positivos). Los tres primeros criterios se aplican exclusivamente a series de términos positivos. n
2.6.1
Criterio de
Sean / a
n
Y /A
comparación dos series de términos positivos, entonces.
31
C A P Í T U L O II
sí
Entonces
Para toda n
I>„
Converge
Converge
Diverge
a >b
Diverge
n
n
Las situaciones no consideradas en este cuadro no tienen solución por medio de este criterio.
Ejemplos 2.6.1 1
14. Utilizando el criterio de comparación, determine si la serie ^ - converge o diverge. „=i 3 + 4 Solución:
La serie desconocida es:
Z
1 a„ , o sea, Y a „ = V " t!3 + 4"
Tomamos una serie que sea alguna de las dos mencionadas anteriormente para poder utilizar el criterio de comparación. Esta sumatoria la llamamos la ^¿>„ y en este caso será una serie geométrica que elimine a las constantes, es decir: ^ . \ = > ^ "
^
1 = + t ; 4"
1 1 1 + +... 4 16 64
en la cual a=
Como \r\
4
y r=
4
= — es menor que uno, la serie converge, es decir, ^b
n
converge,
y observando el cuadro anterior comparamos a con b y a < b , n
3 + 4"
n
n
n
4"
Quitando los denominadores, los cuales no pueden ser negativos, tendremos 4" < 3 + 4" , lo cual se cumple, por lo tanto: 1 £a„=^]
32
„
es convergente.
SERIES
15. Utilizando el criterio de comparación, diga si la serie V converge o diverge. tín (n+2) Solución:
°° 1 Tomamos la máxima potencia de n para definir a
=V
, , la cual vemos
que es una serie hiperarmónica con p = 2 > 1, por lo tanto converge. Comparando, a < b : n
n
<
1
n +2n
1
n
2
2
Quitando denominadores n~ < n~ + 2n , por lo tanto la serie converge. 1 16. Determinar si la serie V tí3"+l
es convergente o divergente.
Solución: i 5 >
n
= I
^ Comparamos con la serie geométrica: ^ ^ 1 ^ L
tí3"+l
1 1 3 9
1 27
y r = . Como \r\ . < 1, la serie ^b 3 3 3 segunda parte del criterio de comparación:
donde a -
n
converge. Utilizando la
1 1
1
l
3" + 1
3"
Quitando denominadores: 3" < 3" + 1 , por lo tanto, la serie converge.
17. Diga si la serie ^ ( 2 " + 5 ) converge o diverge.
33
C A P Í T U L O II
Solución: ]>>„ = 1 ( 2 " + 5 )
y comparamos con ^b
= ^ 2 " = 2 + 4 + 8 + 16 + ...
n
que es una serie geométrica con r = 2 > 1, hay divergencia. Comparando a
n
b : a ^b . n
n
2" + 5 > 2" lo que se cumple y la serie es divergente.
n
Ejercicios
con
2.6.1
Utilizando el criterio de comparación diga cuáles de las siguientes series convergen o divergen 1
5.
5" + 4
Y, " 4
+n
1 2-
I
«
4
8
«=i
?
i
2
1 2" + 8
7
tí3n +5
n + 2n + 3AI 3
í & /7=1
1
+ n
-
^I Vi « + 2
io. y
„=i V2/? + 2n 5
2.6.2
Criterio de comparación
Sean las
y
por límites
dos series de términos positivos, entonces:
Sí lím " = c
Entonces
ü
Converge
Converge
Diverge
Diverge
c =0
Converge
Converge
C = +oo
Diverge
Diverge
c>0
En otros casos, este criterio no se aplica.
34
2
±T9" +7
SERIES
Ejemplos 2.6.2
°°
1
18. Determinar si la serie V es convergente o divergente. «=i (n +n + l) 4
2
Solución:
}
= ^ n=i ( « + n + l ) ' 2
4
Tomemos como potencia máxima a ^ ¿ > = ¿ — , entonces ^b «=i [n Y (!
n
3
- ¿
'
n=\
g
que es una serie hiperarmónica con p = - > 1 y por lo tanto converge. Aplicando el criterio de comparación por límites:
Aplicando Regla de L ' H O P I T A L :
fón
V = f/ím
—r-^-
= {lím £f
= 1 = c:
por lo tanto la serie converge
19. Determinar si
1 la serie V tí(n +4) 4
-
converge o diverge.
4
Solución: Considerando a Z » =Z / ! ' ,i = l M I ¿
V j
s e
t i e n e
Z « =Z ¿ n=l " ¿
la cual es una serie Hiperarmónica con p = 3 > 1 y por lo tanto converge. Aplicando el criterio de comparación por límites:
lím v - = lím ^" 1
/i/n-
= lím , ^
= Uní -
lím ,«~l + 4 , n
=l=c>0
J
35
CAPÍTULO
II
y por lo tanto ambas series convergen. ^
/?'
Determinar si la serie V '—r converge o diverge. tí {n + 2). Solución:
Y a„ = Y . - ' . = Y , . - Y , ^ ¿ ( « + 2)! ¿ ( " + 2X« + 1)«! ~ n + 3 i i + 2 J
Sea Y¿> = Y - que es una serie Hiperarmónica con /? = 2 > 1 la cual converge. »=i n ;|
lím 2 t = ¿fa • !•• O n-x» -V
= /,m ^ = lím ~— = lím \ 1 n—/¡~ + 3/! + 2 n-»~ 2/1 + 3 n-><~ 2
ni
00
por lo tanto la serie Y ,
^
'
también converge.
/j + 2 2
21. Indique si la serie > / , x converge o diverge, t í 2" (AI +2/1 + 2) Solución: Sea 2
^
"
tí2"//
tí2"
2
2
4
8
que es una serie geométrica con a =
y r 2
_
1 1
2
<
1
y por lo tanto converge.
d
ir+2 2-(n-+2n+2)
( y \n~
lim — - lim ——:—- = lim
-M^
+
o\ ¿)
-¡-j—-—'—r
n->~l/J- +2/Í + 2)
= lím " J " „ = lím _ -lím\ 1 >0 „-»°o /J + 2/t + 2 "->~Z/1+I n-»~ z 2
¿
y por lo tanto ¿\a
n
36
también converge.
2/7
SERIES
Ejercicios 2.6.2 Utilizando el criterio de comparación por límite, diga el carácter de las series:
Z, „=i
i
+2n
n
2
*
2/7
f"
8. I " , " 4
",
+1
Z 3 + 4"
¿(^+3)^
5
y« +« +2«
2 + 5"
6-
3(«-l)l 4.
4
4
2
- Z, "V ,
10
(
)!
t í ( « + 2XAJ + l )
!+4
2.6.3 Criterio de la integral Dada la serie ^ a j
71 =
n
- a, + a + « , + . . . + a„ y sea / u n a función continua, positiva, 2
1
monótona no creciente en el intervalo [l,+°°); entonces si J serie converge, o si j
f(x)dx
es un número, la
f{x)dx —» ±°° la serie diverge, como puede observarse en la figura
2.1.
/(*)
->• x Figura 2.1
Ejemplos
2.6.3 =
n
2
22. Utilizando el criterio de la integral diga si la sumatoria V
es convergente. n +1
Í
°°
X
—i— 1
JC +1
7
">
<¿v haciendo v = JC +1 y dv = 3x'dx y comple-
3
tando la diferencial de la integral: 37
C A P Í T U L O II
lí;^4M^ =
l)|;4í™ln(*'
+
+
»-}ln(F
+
.)
- ln 2) —»°° 3
V
;
Por lo tanto diverge. 23. Utilizando el criterio de la integral, diga si la siguiente serie converge: ^
n+l
„=i n(n +1)
Í
°° x +1 . ,dx x(x + l )
= I por fracciones parciales
1
x+1 x(x + l)
=
A X
B
+
x+l
x + 1 = A(x +1) + Bx = Ax + A + Bx = x(A + B)+ A De donde establecemos el siguiente sistema de ecuaciones. A+5
=l
1+ 5 = 0
A =l A+5
A =l
=l
5 =0
Entonces: •dx J1 x+l
Ji x
= llnxP =//mln¿-lnl =oo-l->oo .-. Diverge. 24 Por medio del criterio de la integral podemos demostrar cuándo la serie hiperar°° 1 mónica ^ converge o diverge. Solución:
Aplicando el criterio de la integral, tenemos:
¡°°—dx = [°° x- dx = Ji i -p + \ p
x
p
J
Cuando p < 1,
l-p
38
SERIES
crecerá y por lo tanto tenderá a infinito y será divergente. Si p = 1, se hace cero 1 - / 7 y se indetermina el denominador, por lo tanto es divergente. Cuando p > 1,
{\-p)x
I-P
tenderá a cero y, por lo tanto, será convergente. Resumiendo, la serie hiperarmónica:
z—
p
diverge
p > 1, converge
Ejercicios 2.6.3 Utilizando el criterio de la integral, indique cuáles de las siguientes series convergen.
1. Z -
3
. y»
4
2
2.7 SERIES
- Z—
5. Y
. y^¿=
6. y r ln
ALTERNADAS
Se dice que se tiene una serie alternada cuando un término es positivo y el siguiente negativo, o el primero es negativo y el siguiente positivo y así sucesivamente. Esto es, a, - a + o, - a +... , o también , - a + a - a + a 2
2.7.1
4
x
2
3
4
-...
Criterio para las series alternadas
Si una serie es alternada, esta converge si cumple con las dos condiciones siguientes: 1) lím\a„\ 0 , 2)
|a„ |
NOTA: Este criterio no es aplicable a una serie de términos positivos.
39
C A P Í T U L O II
Ejemplos 2.7.1
25. Demostrar que la serie Y (-1)"
es una serie alternada y si converge o diverge.
Solución: 1 1 1 1 Va = Y(-l)" =-l+ - + tí " tí n 4 9 16 1 l l 1
y es una serie alternada.
2
1) ///nía,, I = Km — = 0 n — n — / f
> K+ihkl' / a : 1
2
<
1 • n <{n + \f ^ n < n + \ 2
por lo tanto se cumplen las dos condiciones y la serie alternada converge. °° n +2 26. Demuestre si la serie alternada Y ( - l ) " ' , v converge o diverge. tí /?(/? + 3 ) +
Solución: í>.)" ' ? \É ( - i r tí n(/? + 3) t í +
1) lím a
n
= lím
„_,oo
~ s . i i
2) K =
„_,=on
n+2 - 2 +3/7 , i /7 2
"
+
~. +
2
3
+ l +
/? + 3 +
l) +3(/7 2
i i , , k n+l . J < kI , n\ l .
+ l)
77?
10 5
6
+ . . 18 28
2
n+3 n+2 — < , . «" +5/7 + 4 «"+3/J r
2
2
4
n+3 « +5/i + 4
{n + 3){n + 3n) < {n + 2\n /!•' + 3/?
+
4
- lím =0 „-»~ 2/? + 3
3„
i i « k ' " " ="(„ 1
= " +3n
+
2
+ 5n + 4)
+3AÍ2
+ 9 « < « +5n + An + 2n
+ 6/7
+9/7
2
3
2
2
+10/7
+8
< / I + 7/7 + 14/7 + 8
0
3
2
2
+5/7 + 8
Las dos condiciones se cumplen y por lo tanto, la serie es convergente.
27. Dada la serie alternada Y . . indique si converge o diverge. t í l n ( / ! + l) 40
SERIES
Solución: ' ) k l = ln(/i + l)
'
ln(n + 2)
1
la»+.l
ln(w + l)
ln(« + 2)
ln(/? + l ) < ln(« + 2 ) = > n + \ n + 2
//mía I = Xtm-rjT—r\
2)
n-xJ
0 •'• la serie es convergente.
n-»~ ln(/í + 1J
1
28. A p l i c a n d o el criterio de series alternadas diga si converge o diverge la serie: /74 +2n
+4/7
2
h
" +3T7 3
Solución: Este criterio no se aplica ya que es una serie de términos positivos. 29. A p l i c a n d o el criterio de series alternadas diga si converge o diverge la serie: £ ( _ ! ) " ln(« + 2) II=I
c
,
i i
Solución: \a„\= D
k
+ 1
V g
i lnÍ77 + 3)
i
ln(n + 2) „
E
, |a„ | = +l
Vg
„ , +
|
ln(77 3 ) l n ( i , + 2 ) ^ +
<
e'
l
n
(
„
+ 3
)
<
l n (
„
+
2
), ,
+
3
< „ (
+
2
r
e"
,+
1 2)
n->~
e
"
flm^^W^ttlI
'
n->~ g"
=0
>>-*>° (n + 2)e"
Como estas condiciones se cumplen, se concluye que la serie converge.
30. D i g a si la serie alternada
- J — converge o diverge. V77 + 1 j
tí
Solución: \a\ J J — , |a„J = • V77 + I ' "+I
5
V/7 + 2
„
VA7 + 2 5
V/7 + 1 41
C A P Í T U L O II
2).. /í/wlefj = lím .
Las dos condiciones se cumplen, por lo tanto la serie es convergente.
Ejercicios
2.7.1
Demuestre cuáles de las siguientes series alternadas son convergentes.. \n+\
• v~ 4
II
2.
"
2/1
+
,
6
,,
=l
« +n y ( - , r tí
n=l
2.8
n
l
,1=1
"
K - Dn+l
n = 1
+
3
„ \ I , V 9. X ( - 0
¡
5
nal
n+ \
+
,1=1
/- , \ •?
- K-0"
y(-l)"]n(„ 2) 4.
ln(/¡ + 3)
tí
tr «+i
" 1+3"
10. ¿ ( - I ) " f f
4
2
3n + 2
2
'7
CONVERGENCIA
ABSOLUTA
Y CONVERGENCIA
CONDICIONAL
Una serie puede ser convergente absolutamente, convergente condicional o divergente, lo que se resume en el siguiente cuadro.
y ¿ «
,1=1
Entonces Y o , „=i Converge Absolutamente Converge Condicionalmente Diverge
n
Convergente Convergente Diverge Diverge
Diverge
Ejemplos 2.8
30. Determine si la serie ]>J-l)"
+I
- converge absolutamente, condicionalmente o diverge.
n=\
Solución:
y (-ir tí 42
1 2
3"
= - + 2
2
2
3
9
27
-
2
81
+.
SERIES
La cual es una serie alternada, aplicando este criterio tenemos: 2
i_2 an\
'
-J"+l
' 3"
, 2(3")<2(3" )
n
+l
3
+l
2
///n a„ = lim n—»~
2
-
n—»<*>
=0
oo
por lo tanto la serie converge. Tomando el valor absoluto de esta serie tenemos: ^ ^ / « „ = /
2
=
2
+
3
2 9
+
2 27
+...
La cual vemos que es una serie geométrica con
1
,
1
r =
=
<1
3 por lo tanto converge. Como
3
y ^
a„ convergen podemos afirmar que la
serie es absolutamente convergente.
32. Diga si la serie
-
converge absolutamente, condicionalmente o diverge.
Solución: 1 = -
^
M
1
5" b)
=
5
|
, <
|
•
1
25
-
125
n,
fl
+
=
+ . . . es una serie alternada.
,5,
, 5" < 5 "
5"
+1
lím
1
5
1 +
r
i A"
= 0
Lo cual se cumple y por lo tanto la serie es absolutamente convergente.
43
C A P Í T U L O II
Ejercicios
2.8
Diga cuáles de las siguientes series convergen absolutamente, condicionalmente o divergen.
n=i 2
2.9
n -r«»
„=i
f t l T
y _, ln(,
4
CRITERIO
DE LA
J
(
r
+
l)
RAZÓN
Este criterio es el más importante, ya que por un lado lo podemos aplicar, tanto a series de términos positivos, como a series alternadas y cuando converge, esta convergencia es absoluta y nos dice: Considere la serie infinita V a
en donde a * 0 y lím —
2
- L . entonces:
1) Si L < 1, la serie converge absolutamente. 2) Si L > 1, la serie diverge. 3) Si L = 1, este criterio no decide.
Ejemplos 2.9 33. Utilizando el criterio de la razón, diga si la serie ^ ( - l)" Fl=l
~ converge o diverge. 2
Solución: Tomamos lím
1 1 _ ni
=
h i|
2"
(it+i)
lím
(n + l)!2 /J!2"
+
n
(n + l) ! 2" +l
(« + l)/7!2"
AJ +
1
«!2"2
Como L = °° > 1, la serie diverge.
34. Utilizando el criterio de la razón, diga si la serie V Solución:
44
n+2
'f^—\e o diverge.
SERIES
n+2 «(« + 4) '
i
a"1
i
i
n+3 n+3 (« + 1XA? + 5) n2+6n + 5
(» + 3X»2+4w) = lím (AJ + 2XA/2+6« + 5) n2+4n 3n2+14« + 12 = lím «3n"+ln +\2n + 10 /z'm 3AÍ2 + 16AJ + 17 +8n22+17« 6/1 + 14 6 - lím 6/1 + 16 6 Como L = 1, este criterio no decide y habrá que recurrir a otro criterio. lím
',1
+1
- lím
_n±2_
n +6n+5 3
n—><*>
35. Diga si la serie ^ " ( converge o diverge. Utilice el criterio de la razón. Solución: n(n + l) til?
lím = a.
/?!(/! +1)2
lím
+l =0 2// /r Como L = 0 < 1 la serie es convergente. = lím
H
36. Utilizando el criterio de la razón, diga si la serie XI(— l)" |. converge o diverge. Solución:
1 1 1
= lím
1
«7J
[n + \f
n7' - lím
= 1 //m-
por lo tanto, el criterio no decide. (-3)" 37. Utilizando el criterio de la razón, diga si la serie ^ n+x converge o diverge. n=\7 Solución: La serie la podemos escribir como ni" V ^ . «al V ^ ,1
=1
45
C A P Í T U L O II
(« + 1)7 n+2
ni n+\
3" «7" n—>«<> 3"(« + l)7"
n—
+1
= lím
- lím
a
n—v*>
ni"*'
+1
+2
Descomponiendo para eliminar términos, tenemos:
lím
3n 3n 3"3rt7" — lím = /7/W 3"(A7 + 1)7" 7 7(/J + 1) 7/1 + 7 +l
+1
por lo tanto, la serie converge.
38. Utilizando el criterio de la razón, diga si la serie ^ ( - 0" , \e o diverge. n=\
Solución:
\a
_ (n!)
((n + 1)!)
2
/'
2
(2(» + l))!
(("+') !
n+\
lím
- lím
(2(n+l)) !
a
í YM
lím
V-l
n—*x>
a
2n
(2n + 2)\(n\y
(2»)l
- lím
(l
= ¡im n+l
+
(2w)
(2/7 + 2)(2/7 + l ) ( 2 / 7 ) !
4-=///«
= lím — n-
«-
n +2/7 + 1
= lím
"^~4/72+6/7 + 2
1+^ + + -
1 - < ( )
=
«-
por lo tanto, converge absolutamente. Ejercicios
2.9
Utilizando el criterio de la razón, diga cuáles series convergen y cuáles divergen. °°
i
Z"? « +l - tZí " !
i. I H ) " .
2
1
3- Z(-l)" oo
y
4 '
46
1
l
2. K - i r
e
tíln(/7 + l)
/7
2):
7-
f PI=1
n"
( - 1 )-
i
y
tí (
6
(/7 +
_/7
8.
5-
'
"
3 + 2
"
2/73+/7-l
4
_ir
t í (2/1-1)
io. y tí
(-ir " ln/i
SERIES
2.10 CRITERIO
DE LA RAÍZ
Sea la serie ^ a u una u n a serie s e n e infinita m i i m u i en c u donde uunut a u ^ •/- 0 \J ,, en t u estas t s i a s condiciones: v,i>iiuiv,iuiii,9. (n|
M
nn
=l
si L < l converge absolutamente Sí lím 'i\a„\ L-
si L > l diverge si L - l este criterio no decide
Este criterio se aplica tanto a series de términos positivos como alternados.
Ejemplos 2.10
39. Utilizando el criterio de la raíz, diga si la serie ^ Solución:
-
converge o diverge.
Tomando límy\a\: n—*oo
*
lím"
= lím n-»~
- lím ^. . / 2 " y\~
- lím
/j
2
"
oo
2
-
-
32
=0
oo
Como 0 < 1, la serie converge absolutamente.
40. Utilizando el criterio de la raíz, diga si la serie Y!(""O" " converge o diverge. tí n +\ Solución: lím i\\a..\ lím J Í ^ r — = lím\— I = lím e n-*~l¡n~ + l n->~v/i" + l v
u : + l
n +l| :
[n-+\)\-n(2n)
ta n—>™>
/ím 4 - ^ - ,
por lo tanto, este criterio no decide
/ím-tüi
Um^P-
lím=^
„
,
CAPÍTULO
II
41. Utilizando el criterio de la raíz, diea si la serie Y ( - l ) "
+ l
ti
4 3n+l ,„ converge o diverge. n
Solución: r
•
l l„+\! Y» á
lím n\a., = lím" ¡ —— = lím — 3/1 = lím n->~
4
""," = lím n
y.
n-»°°
4*y.
64
= ^ = 0<
n
por lo tanto, la serie converge
Ejercicios
2.JO
Utilizando el criterio de la raíz, diga cuáles series convergen y cuáles divergen. „5
4-
K-D
2n+l
5. ¿ ( - 1 ) "
+ 1
AJ
»=]
s 2
-
48
£ i -
3-
I
" ; +1
6. ¿ ( - i r " , rí n +« 2
+
l
CAPITULO SERIES DE POTENCIAS
3.1
DEFINICION
Hemos trabajado hasta el momento con series de términos constantes; sin embargo son de mayor utilidad aquellas series que son funciones de una nueva variable jc, tales como:
n=0
n=0
n=0
La razón principal de estudiar estas nuevas series es que pueden usarse en la representación de funciones, lo que nos permite tener una gran aproximación de las funciones trascendentes, así como obtener representaciones de nuevas funciones derivando o integrando las funciones iniciales.
Ejemplos 3.1 1. Encontrar los valores de jc para los cuales la serie ^ Solución:
es convergente.
n
Utilizando el criterio de la razón; tenemos: 3" x
3" ' jt" '
n
lím
+
+
3" V +
(n + \)2"
+x
lim
3V
„ T 'x n2 - lim . r-r-r »— 3"jc"(« + 1)2" +
n+x
'
n
+i
=
3"3jc"jcn2"
///?*
«-~3"x' (rt + l)2"2 ,
n2" „ 3jcti 3 „ n 3 , 3 = lim , , = x lim = x •1= "-*»2(h + 1) 2 " ^ ~ n + l 2 2
jc < 1
i i 2 2 2 f ¡x|<— por propiedad del valor absoluto: < j c < , .'. xe 3 3
v
2 2^| 3'3
Analizando los puntos extremos, si jc = -2/3 sustituyendo en la serie original:
CAPÍTULO III
(
9Y
, ( - i r 3-
I
ni"
descomponiendo: oc ( - 1 ) " 3 " ( - 1 ) " "
. (-1) "3" "
2
—
2
„1« nV
—-
2
,,T
1 —— Ti n
que es una serie hiperarmónica, con p = 1 por lo tanto diverge y el extremo del intervalo permanece abierto. Si x = 2/3 la serie original queda como:
{-l) 3 n
n
Í T
(-l)"3"
2
2" y
1 ii=i
= 1
«2"
=
ni"
y ( - i r 11=1
que es una serie alternada. Utilizando el criterio de series alternadas, tenemos: ! i i) lím\a\ lím- = 0 , i i ) k 1 \a„ =— , a,,.. = —
+ 1
|
. k
+
i < k
n < n +1
Se cumplen las dos condiciones. Por lo tanto, la serie converge y se cierra el intervalo en este extremo. El intervalo solución es: 2 2 3'3 Nota: en el extremo en el cual la serie (analizada en los puntos extremos) converge, se cierra el intervalo y en el extremo en el cual diverge, el intervalo permanece abierto. A este intervalo se le conoce como intervalo de convergencia (I.C.) (conjunto de valores de x para los cuales la serie existe). A la mitad del intervalo se le llama radio de convergencia (R.C.). La distancia de -2/3 a 2/3 es igual a 4/3, como puede observarse en la figura 3.1. El radio de convergencia es (4/3)/2 = 2/3; concluyendo: f
I.C = v
50
_1
2 3'3
R.C =•
SERIES D E POTENCIAS
-2/3
0
2/3
Figura 3.1
2. Encontrar el intervalo y el radio de convergencia de la serie Solución:
^x ~n\
Aplicando el criterio de la razón tenemos: I
|-£l I ni ' " |a
lím
= lím
= lím
{n + \)\ X" n\
l_
x" \ JnTTr. +
+l1
x nl x {n + \) ! n+l
— i
i
x"xn\ x"{n + \)n\
n
\x\
n+\
= W-0 = 0 < 1
por lo tanto, la serie es absolutamente convergente para cualquier valor de x ya que:
lím
0<1
su intervalo de convergencia son todos los reales
(-°°,+°°) y su radio de
convergencia es R.C = + °° Teorema 3.1.1 Sea el radio de convergencia R > 0 entonces se cumplen las siguientes condiciones para las series de potencias dadas:
¿«„(*-«)" 1. si la serie converge solamente para jc = 0 su radio es R = 0
Si la serie converge solamente para su radio es R = 0
2. si la serie converge absolutamente para toda x su radio R - °°
Si la serie converge absolutamente para toda x su radio es R - °°
3. la serie para toda jc:
La serie para toda x:
a) converge abs si |jc| < R
a) converge abs si \x-a\ R
b) diverge si |jc| > R
b) diverge si \x-a\ R
x-a
51
CAPÍTULO III
Teorema 3.1.2 Si una serie de potencias: En un punto extremo
En el otro
Converge absolutamente
Converge absolutamente
Converge
Diverge
Diverge
Diverge
Entonces Converge absolutamente en los dos puntos. Converge condicionalmente en el punto en el que converge Diverge en los dos puntos.
3. Encontrar el intervalo y el radio de convergencia de la serie ^ >i=i
n'x" - . 5
Solución:
(w + l ) V
i _ n x" 5" 2
{n + lím a..
l) x 2
n+>
- lím
{n +
- lím
(n +
2
l) x"x5 2
n
= -+lím 5 !/—><» l
n x"5"5 2
de donde |jc| < 5 , o sea - 5 < j c < 5 ;
l) x 5" 2
n+l
n x"5
atjc' 5" = lím
+ 1
:n+l
n+í
w
Í" l T1
\x\
+I II
.\e ( - 5 , 5 ) .
Analizando los puntos extremos, si x - - 5 , la serie original se convierte en: ^n (-5)"
^« (-l)"5"
^
M=i
«=i
u=i
2
2
J
J
(
l V
, ,
la cual es una serie alternada; aplicando este criterio: i) /('mal = límn
2
n—>oo
—» °o.-. diverge.
tj—»oo
Si jc = 5, la serie original se convierte en o*
2 C1
oo
la cual diverge por lo que el intervalo de convergencia es (-5,5) y el radio de convergencia (R.C) = 5.
52
SERIES D E POTENCIAS
oo
4. Encontrar el intervalo y el radio de convergencia de la serie: Solución:
/
. ^
3 Y'
^
Aplicando el criterio de la razón: (*+3>
,
,_(-v
+
4'
(.v + 3)" lím
= lím
+l
+l
4/1+1
= lím
3)" I n+l
{x + 3) 4" n+t
- lím
(* + 3)" 4"
{x + 3)"4"
(x + 3)"(;c + 3)4
n
= lím
(jc + 3)"4"4
Lt + 3 < 4
jc + 3
\x + 3\
x+3
<1
-4
por lo tanto el intervalo es ( - 7,l). Analizando los puntos extremos: Si x = - 7 ,
y(x
+
3)"
=
f ( - 7 + 3)"
4"
y (-4)"
=
4"
^
=
^(-l)"4"
4"
^
f , _
=
4"
la cual diverge y el extremo .v = - 7 permanece abierto. Si x = 1, (* + 3)" y ( l + 3 ) "
f
=
A" n=l
=
y
r
,
^ — 1 "
t
>i = l
t
n=l
la cual también diverge en este extremo y por lo tanto, I.C= ( - 7,1) y R.C= 4 8 unidades
-i—I 0 1
-7
•
R.C = 4
5. Encontrar el intervalo y el radio de convergencia de la serie
^
(-l)'V
tí(2/ -l> J
Solución:
{2n-\)e ~
n |
n+\
t
1
Aplicando el criterio de la razón:
\a..\
lím
2
= lím
(2/7 + l]e "
2n
(2/; + l > ' :
M
= lím
2
•x" (2tt-l)e "x"(2« + l)é' " +l
2
2
jc";r(2n - lV "g" x {2n + \]e "e* 2
n
2
(2/z-l> "-' 2
53
CAPÍTULO III
lím
a. 4-1 a,
\x\ 2n-\ -^lím 2n + \
x(2n-\)
lím
=
{2n + \)e
|x|<
2
e
,
2
J
L
2
4-i =
i
4
n->°°
(-e ,e ). 2
Si x - - e , la sumatoria inicial se
2
2
convierte en: y(-l)"(-e f
_y(-iy(-\ye "
2)
2
tí (2n - 1 > - '
¿
2
f(-\f"e_y
=
(2TI - 1 y en
¿2/7-1
1
¿2/7-1
Utilizando el criterio de comparación por límites, tenemos que la serie alternada V b es V — , serie hiperarmónica con p = 1 la cual diverge. n
/7
Tomando lím " , >°° hn ü
n—
e
íyy, lím
2/7 -
1 _
- lím ¡
1
í
m
n
-
e
h'vn =elím
2/7 - 1
"^>°°
por lo tanto ambas series divergen. Si x-e
2
i\_2n-l
tr(2/7-i> -' 2
Z^T...
6
2/7-1
(-l)V"
(-l)"(e )" ^ y
2-i(~>„
-
>
0
2
la serie original se convierte en:
2
Y
"
0
=
,\„2»„-l
tr(2/7-i> v 2
y(-l)"e
t í 2/7-1
la cual es una serie alternada y aplicando este criterio tenemos:
i) lím\a\ lím-
=0
n — n — > ° °
ü) k = 2/7-1
¿/7 — I
'
2/7 + 1
k+ii < k i e
e
, de donde: 2/7-1 é?(2/7-l)
<
Como se cumplen las dos condiciones para la convergencia de las series alternadas, converge y se cierra el intervalo en este punto. Resumiendo: I . C = (-e\e \ R . C = e 2
54
2
SERIES D E POTENCIAS
Ejercicios
3.1
Determinar el intervalo y el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
i
y
x"
1
+l
5
y
2. Í ( - 1 ) " , V
6.
3. X"
7. ¿
2
+
n=2
"
4. ¿
3.2
l
n
1
A-'
fx"
REPRESENTACION POTENCIAS
( 2 / 7
)v
n l n
,"(,-,)"
n=l
8. ¿
1
„(2x-ir
DE FUNCIONES
POR MEDIO
DE SERIES
DE
Las series de potencias son una herramienta muy útil en las matemáticas, ya que nos permiten representar algunas de las funciones más importantes por medio de una sumatoria y su comportamiento es similar al de un polinomio de la función que representa. La representación de funciones por medio de series de potencias nos permite resolver algunos problemas relacionados con derivación o integración, bastantes complejos, en forma directa. Dada una función/definida por una sumatoria
n=0
decimos que la serie de potencias representa a la función fy si c es un número que está en el intervalo de convergencia entonces f(c) se puede hallar encontrando la suma de la serie. Iniciemos el trabajo de encontrar la representación de una función por medio de una sumatoria como sigue: Sea la serie geométrica: ]T.v" = 1 + x + x + JC + ..., 3
2
donde su primer término es a = 1 y su razón de cambio r es x. Aplicando el criterio de la razón analicemos su intervalo de convergencia: \«+\\
... x
55
CAPÍTULO III
a
lím
jc"
"
x"x
+i
= lím '
+1
- lím
= lím x
= .v ;
\x<
1
n
Converge absolutamente. De donde
por lo tanto el intervalo es ( - l,l)
-\
Analizando los puntos extremos, tenemos: Si jc = 1 la serie original queda como
la cual diverge. Si x = -\a serie queda ¿(-ir n=0
la cual también diverge. Por lo tanto su intervalo de convergencia es el abierto (-1,1). Por otro lado sabemos que cuando una serie geométrica converge, sus suma es 5 = a/(\-r). Igualando la función obtenida en la última expresión con la sumatoria, tenemos que la función se puede representar por la sumatoria:
s=
1-
-
=
ü
=Z \
r
x
J C
" en (-1,1)
(1)
n = 0
si en (1) sustituimos x por -x tenemos 1
=
\-\-x)
'
=£(-*)"
en (-1.1)
(2)
l+ x
si en (1) sustituimos x por jc tenemos 2
1 '
:=K-r)"=Z(-r")en(-U)
X
(3)
„=0
si en (1) sustituimos jc por (-jc ) tenemos: 2
T-7 -T =7 - ^ =Z(-- )" =ZH)"* " » (-U) 1
l-[-X
1
)
2
l+ X
„
=
0
2
n
(4)
=0
De esto último podemos observar que de una serie de potencias, podemos obtener otras, las cuales tienen el mismo intervalo de convergencia y así representar otras funciones con igual dominio.
56
SERIES D E POTENCIAS
Teorema 3.2.1 Si una función f(x) se puede representar por medio de una sumatoria
n=0
cuyo intervalo de convergencia es igual al dominio de la función, entonces: a) La derivada de la función va a ser igual a la derivada de la sumatoria que la representa y su radio de convergencia será el mismo.
f'(x)=
f a , X = f
d
n=0
a x"
d
n=0
n
u
x
b) La integral de la función va a ser igual a la integral de la sumatoria que la representa y su radio de convergencia será el mismo
)f(t)dt
=
^ \ a / d t
«=o
Ejemplos
0
3.2
6. Encontrar una representación en serie de potencias para la función: /W=
(í¿F
Solución:
Sabemos que la función: /(*) =
1 +JC
la podemos representar por medio de la sumatoria:
en (-1,1). Si esta función la derivamos:
\ x = (
1
d
dx
n=0
(
l
+
x
y
l
+
=
x
r = ± ( - x r
d
f ( -
x
y
átS
57
CAPÍTULO III
-(i ,r=X"(--v)"-'(-i) +
n=()
-,,'
» - t » ( - * r - i ( - i r - ^
^l + X ;
n =
o
n
=0
Multiplicando por - 1 :
1
v
= - ¿ (-1 r
(1+íJ
n
=
= z (-1
«X"-'
n=0
0
7. Encontrar una representación en serie de potencias de ln(l + 2x) para 2x <\. Solución:
Nosotros sabemos que: i
\~* ' 1
i
~ *
ti
=Z(-0"-v"
(2)
n=0
Si sustituimos 2x en vez de jc en (2) se tiene:
1
l + 2x
=ÍH)"(2*r t¿
Integrando con u = 1 + 2x y du = 2dx: 1
f
2dx
2 1 + 2x J
lnl + 2 . v = X ( - D "
„
= 0 0
(2*r _ /7 + 1
0
, (2^)" Inl + 2x = £ ( - l )
+
8. Encontrar el intervalo y el radio de convergencia de la función f(x) su primera derivada f'(x);
donde: x
n+l
„=0
58
(rt +
1J
así como de
SERIES D E POTENCIAS
Solución:
Encontrar el intervalo y radio de convergencia de f{x),
utilizando el
criterio de la razón: n+2
\aj = " (" + 0 n+2 lím
= /W7
(n + 2)
2
„n+l
(n + l )
(n + 2)
= /Y/M
X X
2
n+,
(n + 2) * 2
{n +
l) x
{n +
2fx"
2
n+2
+i
n +1 n+2
-\x\
n + ]
=H
o sea - 1 < x < 1, por lo tanto el intervalo es ( - l , l ) . Si x - -1, la serie original se convierte en: n+l
(-ir
la cual es una serie alternada. Utilizando el criterio de series alternadas, tenemos:
a\
(n + l)
7 '
\n+\
(n + 2)
2
1 i) lím a = lím =0 "->°° "- ~(n + l f n
2
>
U
)
\n+\\
\n\
1
< (n + i ) (n + 2) 2
2
(n + l ) < ( n + 2) 2
2
por lo tanto converge y en este extremo se cierra. Si x = 1 la serie original se convierte en:
í=o(« + l )
2
í=o(n + l )
2
Utilizando el criterio de comparación:
Z « a
=
Z ^ ^ 2 ¡ y comparamos con
X ^
=
Z ^ T
59
CAPÍTULO III
que es una serie hiperarmónica con p = 2 > 1 .\. Comparando a < b : n
n
.<.> n
1
(n + lf
z
n <{n
+ \f
2
lo cual se cumple. Por lo tanto converge y el intervalo se cierra en este extremo [ -
.
El intervalo de convergencia p a r a / ( j c ) e s [ - l , l ] . Además R.C = 1. Derivemos la función y encontremos su intervalo y su radio de convergencia.
Ahora obtengamos el intervalo y el radio de convergencia de la nueva función utilizando el criterio de la razón:
kt. = • B+ l
- lím
lím
n+2
n +2
= lím
x"^{n + l)
'(« + 2)
a.
n+\ -- lím n—K*>
x".x{n + l)
= \x\
x"{n + 2)
n+l = \x\ n +2
- 1 < J C < 1 de donde el intervalo es (-1,1). Analizando sus puntos extremos tenemos: Si x - 1 la serie derivada se convierte en
/'(D=Z comparándola con la serie armónica
1 n+l
con p = 1 que diverge: 1
lím"*
por lo tanto ^
n
+ =lím l
"
también diverge y permanece abierto este extremo del intervalo.
Si JC = - 1 , tenemos:
60
=lím
S E R I E S D E POTENCIAS
„=<> n + \ la cual es una serie alternada y aplicando este criterio, tenemos: 1 \a
1 n |
n+l
i)
1 n+2
|fl„4-il
lím
=0
1
"-»•» n +1 ¡O „
n+2
K
+ L
i
n+l
|
n+l
por lo tanto, la serie derivada converge en este extremo y su intervalo de convergencia es I.C.= [-1,1) y su radio R.C.= 1 9. Encontrar el intervalo y el radio convergencia de la serie dada, así como de su primera derivada de la función: ' x" i Solución:
i
Aplicando el criterio de la razón:
Vñ+T
Vn „n+l
lím
*n+l
= lím
Vñ+T — lím X"
1+1
Vn"
x"V« + l
4~n = lím
X"Xyfñ
= j JC| lím
r"Vn + l
n+l
= \x\
de donde - 1 < JC < 1 y el intervalo es (-1,1). Analizando sus puntos externos, tenemos: Si JC = - 1 la serie original nos queda como: £(-!)" ,,=i
Vñ
la cual es una serie alternada y aplicando este criterio, tenemos:
61
CAPÍTULO III
i)
lím a
n
— lím
n—><*>
-
n—>«•
0
Yl
») k J < k | i y/n + \
lo cual se cumple, por lo tanto la serie converge y en este extremo se cierra el intervalo. Si x = 1 nos queda la serie original como:
¿L~r
=
Z
-
¡ 7
serie armónica con p = 1/2, que diverge, por lo tanto la serie tiene como intervalo de convergencia [-1,1). Ahora derivemos la serie original dada:
y aplicando el criterio de la razón:
k | = Vn>-' , | a J = Vñ+Lc" lím
yjn
= lím
+ lx"
lím
n+\
•v = x
lim
jxj < 1 entonces - 1 < x < 1 y se tiene ( - l , l ) . Analizando los puntos extremos:
/'(x) = ¿Vnx"-' ;l=l
Si x = - l , / ' ( x ) = J2v ñ(-l)""',lacual es una serie alternada y aplicando este criterio: /
i) //>7j|íí | = lím -Jñ —> oo .-. diverge. n+1
S i x = l / ' ( x ) = ¿ V ñ " ( - l ) " ' ' la cual diverge y su I.C = (-1,1); y R . C = 1 . Observamos en este ejemplo que la serie original y en su primera derivada tienen igual radio de convergencia pero difieren en sus intervalos de convergencias, en sus puntos extremos. 62
SERIES D E POTENCIAS
10. Dada la serie
encuentre el intervalo de convergencia y el radio de convergencia de la serie, así como de su primera derivada. Solución:
Aplicando el criterio de la razón, tenemos
\a\ ^
a
"n
-„
'
(x-iy
-
^
"n+l
n3 3"
(n + \)
lím
= lím
[n
+ l)3"
lím
u-ir
lím ( x - l ) " ( n + l)3" (x-ir'«3"
+
{x-\y{x-\)n3" ( . v - l ) " (« + l)3"3
+
n3" = lím
JC-1
\x-\\ lím
(JC-1) (AI + 1) n 3
A7
+1
< 1 , IJC —1| < 3 de donde - 3 < x - l < 3 ,
- 2 < Jt<4
osea ( - 2 , 4 ) .
Analizando los puntos extremos, tenemos: Si x = - 2 la serie original se convierte en: y
^
n=]
( - 2 - l)" _ y ( - 0"3" _ y ( - l)"
n3" n
J
n3"
~^
n=l
>
~^~É n=l
n "
la cual es una serie alternada y aplicando este criterio tenemos
i) lím a = lím n
=0
n—YI
n—>°°
Ü) K + , | < K L 1
, i 1< — n , n < n +1 se cumple 1
AÍ +
por lo tanto converge en este extremo. Si x - 4 , la serie original se convierte en: y n=i
(4-1)" _ y n
j
n=i
3" _ y 1 nj
„| n =
la cual es una serie armónica con p - 1 que diverge y su I.C es [ - 2,4); así como su R.C es 3. Derivando la serie original, tenemos:
63
CAPÍTULO III
d y dxh
(JC - \ ) "
=
nV
y n{x -1)""' h
«3"
=
y (x - 1 ) " h
3"
Aplicando el criterio de la razón:
"n\
a
(JC-I)""'
H
. jc-l
' r»+i|
< 1; IJC - 1 | < 3
2
n+1
•-»-(JC — 1)"(JC —1) 3"3 -,
«r-
3
3
3"
- 3 < j c - l < 3 o s e a - 2 < j c < 4 teniendo (-2,4).
Analizando sus puntos extremos: Si JC = - 2 , la serie original queda, como: y ( - 2 - l ) "
=
y ( - 3 ) ^ y ( - i r 3 " _ y
Es una serie la cual diverge. Si JC = 4 la serie original se convierte en:
- (4 _ i)""' _ - (3)""' _ y 3"3"' _ y 1
la cual converge. I.C de la derivada es ( - 2 , 4 ] y su R.C es 3. 11. Encontrar el intervalo y el radio de convergencia de la siguiente serie, así como de su primera derivada
64
S E R I E S D E POTENCIAS
Solución:
Aplicando el criterio de la razón, tenemos: X"
JC""'
"~(2n-\)
x (2« + l ) !
(2/7 + 1) !
!
a
n
lím
a
= lím
= lím
x"{2n-\)
!
x"x~ (2/7 + 1X2/7X2/7-I) ! ]
= lím
X
(2n + \\2n)
4/? +2/7
= |jc|-0 = 0
2
por lo tanto converge para todos los valores de x y su I.C = 9Í ó (-00,4*0); y su R.C = +00. Derivando la serie original tenemos: 00
(
\~2
aplicando el criterio de la razón tenemos: _{n-\)x"~
nx"'
2
a
lím
= lím
}
" ~ (2//-1) !
nx (2/7 + 1)!
lím
(n-l).
'
ü
"
" ( 2 / 7 + 1) !
+ ]
/TX"-'(2/7-1)! (n-\)x"-
2
(2/7 + 1)!
(2»-l)!
= lím
nx"'' (2/7-1) ! (/7-l)x"- x- (2/7 + l)(2/7)(2/7-l) ! |
= |x| lím
= lím
,
4 / 7 - 2 / 7 -2/7
= bel lím
1 12/7 -4/7-2
xn (/7-l)(2/7 + l)(2/7)
= |x|-0 = 0
2
por lo tanto converge para todo valor de x y su I.C = 9 í ; y R.C = + 00 12. Posteriormente demostraremos que la función e* se puede representar por medio de la sumatoria:
Solución:
e
J C
= V -—
65
Ahora a partir de esta representación obtengamos la sumatoria que nos ayude a calcular e~" . Esto lo logramos sustituyendo en la igualdad:
e
sustituyendo -JC en vez de JC -, f(-x)\f(-i)"x"
e
=
obtengamos a partir de esto una integral que es bastante difícil de obtener por medio de las técnicas normales de integración y esta es:
)e- dt o r
Como sabemos que:
- f(-x)"x"
e x=
sustituyamos t en vez de JC, tenemos: 2
-r-
e
=
f(-iy{t Y 2
f(-i) t "
=
„=0
n 2
„=0
n\
.2n+\
oo
integrando esta igualdad obtenemos:
Ejercicios
*
x
oo
¡
¡t£
,2n
oo
' n\V
' (2n + l)n\
^
„2n+l
{ln
!
+ \)n\
3.2
a) Encuentre una representación en serie de potencias para /(JC) y especifique su radio y su intervalo de convergencia. 4JC
JC —
1. / ( x ) = - V 2- f(x) = — — l-jc
-
l
4
3. / ( * ) = 4. e 2x
—
1
1 — 3JC 5. f{x) = 6. f(x) =
-¿-? 1-jc 2
SERIES D E POTENCIAS
66
SERIES DE POTENCIAS
b) Determine el radio y el intervalo de convergencia de la función f(x) así como de su primera derivada. °° ( 1Y vn+1
~
1
8-/W=ITT
v " A"
'O./W=K-I)- ; 2
3.3 SEA?/£S DE
TAYLOR
Analicemos ahora un tipo especial de series de potencias; partiendo de la serie de la forma:
en donde o es una función constante que depende de n y converge en algún intervalo n
abierto —r
(r>6).
La suma anterior tiene un valor para cada JC en este intervalo y por lo tanto define una función de JC. Podemos escribir que:
/(*) = X "(* " Y A
a
en el intervalo a-r
]
2
o
=
a
+
a
Á ~ a) + a {x - af + a,{x - a? +... x
2
(1)
+ r; ahora nos dedicaremos a obtener la relación existente
+ ...a y la función / .
}
n
Considerando que el segundo término de la ecuación (1) es un polinomio y haciendo x - a obtenemos de inmediato que f(a) = a . Derivando la ecuación (1) obtenemos: 0
f(x)
= a +2a {x-a)+3a {x-af i
2
+4a {x-af...
}
(2)
4
evaluando esta ecuación en x = a tenemos f'(a) = a . Derivando ahora la ecuación ]
(2) tenemos: f"(x)
= 2a +3-2a {x-a)+4-3a {x-a) 2
3
4
+5-4a {x-af
2
5
+...
(3)
evaluando esta segunda derivada en x = a obtenemos:
f"(x)
= 2a
2
o bien
a =-/ " ( * ) 2! 2
67
derivando la ecuación (3) tenemos: f"'(x)
= 3-2a, + 4-3-2a {x-a)
+ 5-4-3a {x-a)
4
5
+6-5-4{x-af
2
+...
(4)
evaluando está última ecuación en x = a tenemos: f'"(a)
/ ' " ( a ) = 3-2a, b i e n a = 0
3
J
* '
y así sucesivamente. Generalizando lo anterior, obtenemos:
•
sustituyendo esta expresión en la serie de potencias original obtenemos:
f(x)
= ±a (x-ar
=
n
± "^(x-a)".... f
(5) esta serie es conocida como SERIE D E T A Y L O R y nos sirve para representar a la función/alrededor del punto a. Un caso particular de la serie de Taylor es aquel en que a = 0 conocida como serie de M e L A U R I N
f(x)
=t a x " = t " ^ x \ . . . n
f
(6)
Nota: La condición necesaria para representar a una función en serie Taylor o de Me Laurin es que la función sea n veces derivable.
Ejemplos
3.3
13. Aproximar a la función f(x) = e mediante una serie de Me Laurin. x
Solución: A l referirnos a la serie de Me Laurin de inmediato observamos que estamos trabajando alrededor del punto a = 0 . La función original es: f(x)-e" , / ° ( 0 ) = e° = 1
/'(*) = ** f"{x)=e f'"(x) =e x
x
68
/'(o) = ^
ü
=i
/"(o) =
SERIES D E POTENCIAS
sustituyendo estos valores en la ecuación (6) obtenemos:
f( )
= e*=t " x" h n\!
x
f
= \ x+ 3!
{0)
+...
x2
X
de donde e = V x
-.
14. Encontrar una aproximación a la función f(x) = sen x mediante una serie de Me Laurin. Solución: f°{x)
= senx
/ ° (0) = sen 0 = 0
f'{x)
= cos x
/ ' ( 0 ) = cosO = l
f"{x)
= -sen x
/ ' ' (0) = -sen 0 = 0
/ ' " ( J C ) = -eos JC
f'
y
(JC) =
/*"(0) = -eos 0 = - 1
sen x
f ' (0) = sen 0 = 0 v
sustituyendo valores de / " ( O ) en la ecuación (6), tenemos: w \
/"(0V
f(x) = senx= V/ y
0JC°
> ¿
J
IJC'
K
' «!
OJC
2
=
0!
+
(-1)JC
OJC
3
+ 1!
4
+
K
2!
JC
5
'
3!
+
4!
+
... 5!
o bien:
o sea, tomando la sumatoria desde n = 0 , tenemos: ^(-1)"JC " '
sen x - y Ó
2
.
+
. (2/1 + 1)
o considerando la sumatoria desde n - l , tenemos:
(-lfjc "2
sen
„=.
1
(2/7-1)!
Nota: observamos que la representación de una función por medio de una sumatoria no es única. 69
CAPÍTULO III
15. Encontrar una representación de la función f(x) = cosx
mediante una serie de
Me Laurin. Solución: / ° ( x ) = cosx
/ ° ( 0 ) = cosO = l
f(x) = - s i n x / " ( J C ) = -eos
/ ' (0) = - sin 0 = 0
JC
/ " ( O ) = -eos
/ ( x ) = sinx
/ ' " ( 0 ) = sin0 = 0
m
/
/ ( /
0 = -1
/ ( 0 ) = cosO = l
( J C ) = COSJC
/ F
sustituyendo estos valores de / " ( O ) en la ecuación (6), tenemos: w ^ f(x) =
'
J K
^
/"(OV
eos x = V
J
v
2
,
4
X
= 1
1JC°
OX
-'— = - - + n\! 1! 2!
x
OJC
2
lx
3
4
Ox
lx
5
+— + — + 3! 4! 5! 6!
6
+.
6
X
X
4!
6!
+ 2!
1
+.
» (—\\x2n " de donde eos x = y - , . - , o bien eos x = y (-1)" (2«) tí
,
x "~ r— (2/1-2) ! 2
2
16. Aproximar a la función / ( x ) = ln x mediante una serie de Taylor alrededor de a -1 Solución: /°(x)=ln x
/°(l) = lnl= 0
/ ' ( * ) = - = *-' x / " W = -x-
/"(l) = -(l)- =-l = - l !
2
/ " ' ( x ) = 2x-
2
/ " ' ( l ) = 2(l)" = 2 = 2!
3
3
f
(x) = - 6 x "
f
(x) = 24x"
v
/ ' (1) = (1)-' = 1 = 0!
f
4
,v
(1) = -6(l)" = -6 = -3! 4
/ " (1) = 24(1)" = 24 = 4!
5
5
/ ( x ) = lnx = ¿ " f ( x - i r t í n\ /
= 0 1 (x 1)'
70
)
(
*~ 2!
1 ) 2
l
2 ! (
^~ 3!
1 ) 3
3 ! ( X
" 4!
1 ) 4
l
SERIES DE POTENCIAS
/ ( * ) = 0 + ( x - l ) - - 2 " ^ + ^3- --^-4-^L
=
Z
+
-
o ¿(-i)" ¿^=o+¿(-ir'fc^i + i
+
inx=o+¿(-ir= n=l
¿(-ir
( x _ 1
"
17. Encontrar una aproximación mediante una serie de Taylor de la función: f(x) = sen x alrededor del punto: a = *=45° 4 Solución:
f°{x) = senx
r(y )=sen45°=-j= 4
/'(*)=cos* f"{x)
/'(%)=
= -senx
f"v/tí
-
=
s e n 4 5
° =~
f'"(y )= -cos45°=
f"{x)=-cosx r(x)=
™45°=-j=
4
—j=
4~2
se»45°=-j=
senx.
sen n=0
,
0! +
yd>-*/¿ yd'-xf yd*-*/*) 3
XGI>-'/J
2! 2!
1!
4!
3!
5!
1
0!
2!
3!
4!
5!
(*-%)' W 2!
4'
3!
>-*í)
!
5!
71
CAPÍTULO III
2n-\
senx =
V2~ tr-0
2n\
(2/1-1)!
18. Encontrar una representación en serie de Me Laurin para la función: f(x) =
2 '
(1 + x) Solución:
•/°(o) = (l + -v)
2
V
/•(x) = -2(l + x)/ " ( J C ) = 6(1 + JC)/"'(JC)
" "
'
7
1 = 1! (1 + 0)
/'(O) = -2 = -2!
3
/ " ( 0 ) = 6 = 3!
4
= -24(1 + JC)"
/'"(O) = -24 = -4!
5
/ (o) = 120 = 5!
/ ( J C ) = 120(1 + JC)"6
/F
,F
Sustituyendo en la ecuación (6), se tiene: , x
J _
_ y f"(0)x"
(l ++ xJC)) (1
2
1
2 _
S
=
«!
1!JC° _2!JC' 3 ! J C _ 4!JC +
~ 0! '
1!
2
2!
+
5!JC _
3 +
3!
4
4!
+
= 1 - 2 J C + 3 J C - 4 X + 5 X - . . . = ¿ ( - 1 ) " ( / J + 1)X" ,
2
3
4
(1 + JC) Ejercicios
n
=0
3.3
a) Encuentre una representación en serie de Me Laurin para las funciones: 3. / ( x ) = l n ( l + x) 2. / ( x ) = cos4x 1 + JC b) Encuentre una representación en serie de Taylor para las funciones indicadas, alrededor de los puntos señalados: 1- / ( * ) =
4. f(x) = e' ;
a = \. f(x) = sen x; 0 = ^ 2
3.4 ALGUNAS
DE LAS APLICACIONES
x
6
- /(*) =
c o s 2
DE LA SERIE
x ; a = ^4
DE
TAYLOR
19. Obtenga una representación en serie de Me Laurin para la función derivando la función sen Solución:
72
Sabemos que:
x.
cosx
S E R I E S DE POTENCIAS
x= 2,H)
sen
(2n + l)!
n=0
í sen x = eosx = ¿ •(_!)" .r'J abe"""' " """"" ¿ r ^ (2/7 + 1) ! eosx-fí &
V
1
v-(2» + i y " _ y ( - l ) " ( 2 n lXx) " (2/7 + 1)! Ó (2«+ lX ") ! +
2
2
^(-l)V COSJC = >
,
5
,
(2») ¡
20. Encuentre una representación en serie de Me Laurin para la función sen x . Solución:
Sabemos que por medioo de una identidad trigonométrica podemos escribir: 1 sen x = ' (l - c o s 2 x ) 2
y a partir de este representación podemos escribir: COS2JC=>
V
h 1
2
sen~x=
2
-
/
\
(2//) '
1
„ 1 l^(-l)"(2x) cos2x= > . . 2 2 2 ¿ (2«)!
21. Existen algunas integrales muy difíciles de resolver (o imposibles) por medio de las técnicas de integración, como es el caso de la integral definida: \sen o
x , dx A
Resuélvase por medio de series. Solución: sen x es:
Sabemos que una representación en serie de Me Laurin de la función
(x) " 2
sen
x = V (-l)"
S
.
+l
r
(2» + l ) !
dividiendo entre x, se tiene:
73
2n+l
sen
x
S
=
( _ l )
"(2,
l) !
+
f (-l)"(x)^
=
f (-l)"(x) "
=
2
x{2n + \) !
^
(2/1 + 1) !
integrando:
t
\ n x d x = \y (- ffW-!& = y J [
¿
.v
'
(2/1 + 1) !
dx=y
s e n
x
.v
"
á ( 2 n + lX2n + l )
~>
y
l
=y
1
! t¿ (2/7+ 1X2/7 +
á | ( 2 « + 0(2/7 + 1)
22. Por medio de series, calcule el límite lím
c
o
s
1) !
' .
x
2x
X-A
Solución:
ÍM!!!
(-l)"x " . . . Sustituyendo la representación del 2
Sabemos que cosx = ^ n=0
(2/i)
!
coseno en este límite, tenemos: ^(-l) x " n
hm^——— *->o 3x-
2
2!
= lím
6!
8!"
- 1
3x
2
1 3(2)!
= lím ,v-»0
3(2]"!
Ejercicios
4! x
2
x
x
4
6
3(4)1 3(6j! 3(8}!
__1_ 6
3.4
Utilizando series de Taylor evalúe los siguientes límites: , cosx -l 1. lim ; v-»ü x 2
74
. ,, e -1 2. lim x
»"*0
X
-
3. lím
I->0
sen
x -x 2
2
CAPÍTULO IV T É C N I C A S DE INTEGRACIÓN
4.1
ANTIDIFERENCIACIÓN
Como se ha visto anteriormente, a partir de una función es posible obtener la derivada de esta función. En esta sección se tratará el problema inverso: a partir de la derivada se buscará obtener la función que le dio origen. A l proceso inverso de la diferenciación se le conoce como Antidiferenciación. A continuación se define este concepto: Definición Se dice que una función F(x) es una antiderivada o primitiva de una función f(x) se cumple que F'{x)= cerrado
f(x)
si
para todos los valores de x definidos en un intervalo
[a,b].
Por otro lado, es posible demostrar, en términos generales, que la antiderivada o primitiva de una función no es única. Esto es, si F(x) es una antiderivada o primitiva de f(x)
en un intervalo [a,b], y si G(x) es una función definida por: G{x)=
F{X)
+ C
donde c es una constante arbitraria, se tiene que:
Ejercicios
4.1
Comprobar, en cada caso, que las funciones F(x) son antiderivadas o primitivas de 1.
F{x) = 5x -3x + 2 ; f(x)= 2
iO.v-3.
f(x).
C A P Í T U L O IV
2.
F(x) = -
3.
F{x) = ^= + y[x' + 6 • f{x) = -
4.
F ( X ) = 2COSJC + 3^AIJC
; f(x)
5.
F(.v) = 3
; f{x) = -6e~
1
+
X
5 X
' - 2 x + 3 ; f{x) = -lx
2x
+5x-2
2
\ +
1
= -2senx + 3 eos x 2x
+
1
x 6.
5
F ( x ) = x e - 5 1 n ( 3 x ) ; f{x) = e *{3x + l) ,r
3
Definición Si F(JC) es una autoderivada o primitiva de f{x),
esto es, si F'(x) = f(x),
se puede
escribir esta igualdad como: dF(x) = f(x)dx A la operación de la antiderivada de una función se le denota por el símbolo J. Definición A la antiderivada de una función f(x)
se le representa como:
jf{x)dx donde F'(x) = f(x)
- F(x) + c
.
A esta representación se le llama Integral indefinida de f{x), constante arbitraria. A f(x)
donde c es una
se le llama integrando y x es la variable de integración.
A partir de las fórmulas de diferenciación, se obtienen las llamadas fórmulas de antiderivación. Estas fórmulas son más conocidas como Integrales indefinidas inmediatas.
4.2 INTEGRACIÓNINMEDIA
TA
Fórmulas elementales de integración
I.
\ J
II.
76
{ f ( x ) ) d x d x
=
f { x )
|(M + v - w)dx - ^udx + jvdx -
jwdx
+
c
,
c
=
c t e
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
III.
^kudu = k judu
;
k - cte.
[x"dx= f +c n +l
;
n*-l
IV.
J
Ejemplos 7.
J
4.2
jdx = x + c
8.
\x dx= i
X
4
J
9.
+c
J(x + x - x )dx = J x V x + J x V x 6
4
2
x
x _x
7
5
5 5
X •5
1 : _
+c
+c
5
1
1
X Í/X
• Vx" J
13
3 3
-i
rdx 11. f
13 -
5x
+ c-
(dx
f...^..
'**
J
f _ ^ L |¿L l% =
X X x ** , .
*dx = — + C: f3 2
|>X¿ )
=
x
2
3
= — +
7 7
\x dx
x
r =
d
x
£^: - i +
=_ J L
c
+
c
X
+
c
X
+
C
14. J ( x + l X x - l ) í ¿ c = J ( x - l ) r f x 2
2
4
= jx dx-
jdx
4
= tx%dx+2Íx*dx+
=——x+c
\x~y-dx
x^ , 2x^ , x ^ , 2 v ,4 v , K , = — + —^—+ — + c = — x + — x + 2 x + c 0
/:
T
16. I * * x
+
dx= ¡Kdx+
2
= Y 17.
T
+
X
/ :
2
¡^dx= +
/;
jx dx + jdx 2
C
J ( X + 3) Í/X 2
Existen dos formas de resolver esta integral:
77
CAPÍTULO IV
a) Una es desarrollando el binomio al cuadrado: Ux + 3) dx = J(x + 6x + 9)ix = ¡x dx + 6 \xdx + 9 J<¿v 2
2
X
3
+
2
¿ 2 OX
3
+ 9x + c =
3 X
2
„
,
+ 3x~. + 9x + c
3
b) La otra es aplicando la fórmula:
V.
\udu-
+ c , #i
Haciendo: u = x + 3 y du = dx: Y- ^_(* ¡(x+3) dx =
+ ) 3
2
3
+c
18. J ( x + 4 ) x d x 2
2
Haciendo u = x + 4 y di/ = 2xdx y completando la integral, tenemos: 2
J(x +4fxdx
= - J(x
2
+4f{2xdx)
2
\{x +4j 2
=
v
2
(x +4) ' +c 6 2
—¡- + c = 3
v
,
19. f. dx = f(2x - l ) ~ \ v ¿ v = / (2x -l)2
J
2
J
Haciendo i / = 2 x - 1 y du = 4xdx y completando la integral, tenemos: 2
/ = '
f(2x -l)- (4x ix)= 2
¿
20, J
2
i ( 2 r 2
" " c- = l )
+
-1
— <¿c = fox [2x + 4 x ) +
í
J V
4
, \+c 4(2x -l) 2
+ 4x)~'' (4x + 4)dx = I
2
2
Haciendo u = 2x +4x y du = (4x + 4)dx, 2
/ =
v
; 2
78
3
+c =
(2x + 4 x ) 2
+c
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
21. f{2x +4xy X
J
+
d.x= ¡(2x +4.x)~ '(.x + l)dx
l
2
2
:
J
Haciendo u = 2x + 4x y du = (4x + 4)dx = 4(x + \)dx - I y ompletando la integral, tenemos: 2
/='
\(2x 4xY>4(x 2+
+
\)dx=^ - }' 2x2+4
+,
X
= ( 2 x + 4x)'' +c 3
2
22. J x V 6 - x d x = \{6-x'f-x dx 2
3
=¡
2
Haciendo u = 6 — x
3
y du--3x dx
y completando la integral, tenemos:
2
, = - Í J ( 6 - , f ( - 3 ^ ) = - I ^
+
c
9
VI. J
23.
f ^ = lnH + c u
\x =l Haciendo u = x y du - dx I = \nx +c
24.
f
d
=1
x
Haciendo u = 2x-3
y du - 2dx y completando la integral, tenemos:
/=
25.
f - dx = l U-4x Haciendo u -4-4x
1 r 2dx
=
1, , ln2x-3+c
2
2
y du = -8xdx y completando la integral, tenemos:
/ =-
1 p - Sxdx 1, . = - ln4-4x 4J4_4 4
2
+c
X
79
CAPÍTULO IV
26.
J4.V-5 J 4x-5 4x-5 En la segunda integral u - Ax - 5 y du - 4dx, J
J
/ = x - ln 4.v - 5 + c " \oa eess uuna n a c íconstante. \a"du= +c , donde \ ' ln¿? \a > 0 o a * 1 f
VII.
a
27. J 5 ¿ Y = / 4f
a = 5, « = 4x y du = 4dx. / =
1
[5*<{4dx)=
+c
1
VIII.
28. \e dx = 1 x
Si w = x y du = dx, / =e +c x
29. \e- dx = I x
Si u = —x y du -
-dx, / = -^e~ {-dx) I
30. k
_3j[
+c
-3dx,
/
31. \- dx
=
J
J - *(_3dx)=--ee
3
3 j [
+c
=I
Haciendo u - — = .v
1
y du = -x dx = — r , 2
f
80
x
í¿c = /
Si u = -3JC y du -
r
= -e~
1
í
^
= -e * + c
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
32. l(e +3$e dx 5x
= l
Sx
Haciendo u - e
ix
1=
33. J
+ 3 y du = 5e dx, Sx
\[e +3)[5e dx)= Sx
5
ix
J V
/
V
5
;
•
>+ = c
4
y
20
'+c
í-*-«J e +1 v
Multiplicando y dividiendo por e~ , tenemos: x
j _ c dx
Haciendo u - 1 + e~ y du = x
e~ _ r e~ dx _ x
x
-e' dx x
e~ dx x
= - l n l + e" + c J
IX.
^senu du =-cosu
+c
X.
jcos udu - sen u + c
XI.
Jtan u du — ln secw + c
XII.
Jcot u du — ln sen u+c
X I I I . jsecw ¿/w = ln secw + tanw + c XIV. Jcscw du = ln esc u - c o t w + c XV.
jsec w
= tan w + c
XVI.
Jcsc mí/m
= -cotw + c
2
2
X V I I . Jsecw tan» du = secw + c X V I I I . Jcscw cotw
= -cscw + c
81
CAPÍTULO IV
34. jsen 5x dx = I Haciendo u = 5x y
du-5dx
I = ' ^sen5x (5dx) = - ' cos5.v H- c
35. Jcos8x<¿v = I Haciendo u = Sx y du = &dx
1=
Jcos8x(8í¿v) =
senSx + c
36. jsen x eos x dx - I 4
Haciendo u - sen x y du = eos A dx sen x 5
I = jsen x (eos x dx)
+ c
A
37. jx tan 3x dx - I 2
Haciendo u = 3x
2
y du = 6x dx
/ = ' [tan 3x (6x dx) = *lnsec3jr +c 2
38. \e cOte dx 2x
=1
2x
Haciendo u = e
2x
y du =
2e dx, 2x
I = j ¡cote Í2evdx) 1 2
39. J ( l - c o s x) 2
2
2x
2x
/ = \nsene l
+c
2x
2
senxcosxdx = I
Haciendo u = 1 - eos x y du - -2 eos .v ( - sen x)dx2
1 = ^ J ( l - c o s x) (2sen xcosxdx)= 2
= ' ( l - c o s Jt) 3 2
82
2
2
+c
2sen x eos x dx
^ Jw du- ^ 2
U
+c
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
40. Jtan.r + c o t x tan x
¿
eos x rtanx + c o t x ^ f t a n x ^ (catx J tan x ' tan x J tan x
(Jx=
J
J ^g/? x cosx
r, rcos x r, r\-sen x = \dx+ ^ dx= \dx+ \ ' sen x se« x 2
2
J
J
r , f Í/X = \dx+ I : sen x J
J
r5e« x , 2
-
J
J
sen x
ÍZX
= jdx + jese XÍ/X - Jdx = - c o t x + c 2
41.
r3sé7í x , Í/X = 7 eos x Haciendo u = cosx y du - -sen x dx, J
„ f— x dx „r / ,v / = -3 I — = -3 Icos x ( - sen xdx) eos x -3cos " x 3 = +c = +c -2 2cos x J
J
2
42. J ^
tan,:
xsec x Jx = / 2
2
Haciendo u — tan x
2
y du = sec x (2xdx), 2
2
/ = I J * * " (sec x \lxdx) 2
fXCOSX
43.
+ c
,an
2
, dx = I ' senx Haciendo u — sen x
2
y du = eos x
2
1 rCOSX
(2xdx),
l ZXÍZXI
/ = J
sen x
44. 7 = [ = f ^ - — =7 cotx-cscx cosx 1 d
1 ,
= 2
J
=^ e
2
x
J
sen x
sen x
Usando un denominador común:
2
ln sen x ' + c 2
CAPÍTULO IV
dx
rsenxdx
> = icosx-1
_
J cosx-1
sen x Haciendo u = eos x -1
y du = -sen x dx, r - sen x dx d / == - l n c o s x - 1 +c COSJC- 1
45. j c s c 5 x ( x d x ) = / 2
2
Haciendo u — 5x
y du = \0xdx,
2
1=
fcsc 5x (l0xí¿x) = -
1
2
10
46. j > "
l n , r
coslnx
2
1
cot5x +c
10 m
J
dx = I
Haciendo u - sen ln x y du = eos ln x^—jdx,
I =
47.
e +c seninx
sec x
p
2
dx = I l + tan x Haciendo u = 1 + tan x y du = sec xdx, J
2
/ = f ^
du f . . y/a -u du I •• an +u 4- m
XIX.
d
XX
2
-
u u -a
XXI. XXII. XXIII.
¿
du f • V« +a
J
2
• íu -a'
are sec
+c
a
2
du \ - ^ - j= a -u 2a ¿
84
a
1 u = are tan +c Q an
du 2
XXIV
= = are sen — + c
u
2
= ln|l + tan AI + c
ln
a +w
+c
a —u
= lnM + y V + a 2
• = — l n u-a + c la u + a
2
+c
2
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
XXIV.
f . Nu -a d
2
XXV.
=\nu +
u
XXVI.
2
[4a~ ~-u~ du = — u-Ja 2 2
J
Ju -a
2
¡y/u +a du i 2
2
= \uju +a 2
2
2
-u
2
2
X X V I I . jVw - a =—wju
48.
+c
2
2
2
2
1 + — a are sen — + c 2 a 2
+\a 2
2
ln u + y/u + a + c
2
2
- a - — ln u + i}u - a + c 2
2
2
\ - f ± - =I Haciendo a - 4
, a =2
u =x
2
2
2
u = x y du = dx,
I = are sen
49.
2
2
+c
\ - ^ =l Haciendo ¿7 = 3, a = 9; u = x, u =x , 2
2
1
t
I =
dx 50 J. Xy¡X -\6
du = dx,
2
3
JC
are tan
3
+c
= 1
2
Haciendo a = 4, a = 1 6 ; u = x, u =x , 2
2
/i =
51.
f - ^ =7 V - 9 Haciendo í j = 3, a = 9; h = x , 2
- i
f Ixdx
/=-
s +
=
u =x, 2
1
4
ln
4
x dx f_í J( <) x
_ \
are sec * + c 4 4 1
JJC -9~2*2(3)
2
52 r _ i * . ^•J* 4
2
du = dx ,
2
du = 2xdx, y completando la integral:
* -3
-3 + c = — ln +c x +3 12 x +3 2
2
= 1
2 + 4
Haciendo o = 2 , o = 4 ; w = JC , u = (x f , du = 4x dx ,y completando la integral: 2
4
2
4
l
85
CAPÍTULO IV
/ _ 1 • ff4 x -3 t í x- _
11
4 JC +4 J
M 5 3
r
c
t
a
X 2
n
42
8
+
c
_ -
1 a
r
c
t
a
n
S
v +
c
2
rl4x tíX r 14x tíx í .6 = I/ \ = Jx -16 (^)r-16 Haciendo A = 4 , a = 16; á = x , w = (x ) , du = Sx dx, y completando la integral: 7
"
a
?
7
, 6
J
2
8
2
8
2
7
x -4 , 1 4 f 8x tíx _ 14 1 ln + c 8 Jx -16 8 8 x +4 8
7
8
, 6
14, | x - 4 l , = — in\——-\ c 64 x +4 8
8
54.
=I Haciendo a = 3 , a = 9; w = x , u = (x ) , tíw = 3x tíx, y completando la integral: 2
3
1f \
dx j - 1 f r3x • 2
1
> x
2
a
3
ln
2
3+x 3-x
3
3
2
3+x + c - — ln +c 3-x 18 3
3
dx =7 55. JVx -9 2
Aplicando la fórmula
[
d
u =x ,
, tenemos: tí = 3, a = 9 ; u-x,
u
2
Vw - o 2
2
2
du-dx
2
I = ln x + V x - 9 + c 2
5 6
XtíX = / h = Vx +16 4
Aplicando la fórmula
f . Vw +tí d
J
2
tenemos: a = 4 , a = 16; « = x , w = x ,
u
2
2
2
4
2
tíw = 2xtíx, y completando la integral: 1 r 2xdx 1 , / =, = - l n x + V x + 16 + c 2 V7+l6 2 4
2
J
57.
f
tíX
= 7
Vx -4 2
Usando la fórmula
f .
d
u
Uu -a 2
B6
2
tenemos: tí = 2 , tí = 4 ; w = x , u = x , 2
2
2
du-dx
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
/ = ln
+ y/x - 4 + c
X
2
x dx 58. J= 1 Vx^-9 2
Usando la fórmula [ tenemos: a -9, " W -a y completamos la integral: d
u
a = 3, u - x , u-x ,
2
2
6
du = 3x dx
3
2
2
1 r 3x dx 1 = ^ln x + V V - 9 + c 3 JV x - 9 2
3
3
59. y4-x dx
J
6
3
=I
2
Aplicando la fórmula j V a -u 2
2
du tenemos: a = 4 , a = 2, u~=x , 2
2
u = x,
du = dx, I = — x\l 4 - x + — (4)arc sen— + c 2 2 ^ 2 2
V
= — x\¡4-x 2
2
60.
+ 2arc sen^ + c 2
jVl6-x x dx=/ 8
3
Usando la fórmula J V « -u 2
du tenemos: « = 1 6 , a = 4, « = x , W = X ,
2
2
2
8
4
= 4x dx, y completando la integral: }
/ = \6-x 4xVA =
x Vl6-x
8
4
8
+1
16 arc
^.4\ sen— + c 4
= - ^ x V l 6 - x +2arc sen— + c 8 4 4
dx
6..J
V l 6 - ( x + 4)
8
= 1 2
Usando la fórmula
[—tenemos: J
a = 1 6 , a = 4, u -(x 2
2
/
2
2
+ 4) , 2
w = x + 4 , du = dx x+4 / = arc sen
+c 4 S7
CAPÍTULO IV
62. f J
dx 16 + 4cos x S e n X
2
Aplicando la fórmula f f - tenemos: a' + u U
¡
a =16, a = 4, u =4cos x, u = 2cosx, du --2ser\ completando la integral: I ,-lsenxdx
\(\cosx arc t a n — : — + c 2V4
2-!l6 + 4cos x 1 . 2cosx , = - - arc t a n — he 8 4 2
63. J x V 9 - ( l 6 + x ) d x = 7 2
2
Aplicando la fórmula j V a -u du 2
2
tenemos:
a =9, a = 3, w = ( l 6 + x ) " , u = 16 + x , du = 2xdx, y completando la integral: 2
2
2
2
/ = i | V 9 - ( l 6 + x ) (2xdx) 2
2
4 ( ( | ) ( 1 6 + x K/9-(l6 + x ) 2
2
= ^-(l6 + x ) / 9 - ( l 6 + x ) 2
64. f . * V16 + (3 + x )
>
2
2
2
+ 1 ( 9 fresen ^
-^aresen^^
+c
=1 2
Usando la fórmula [ . " Ja +u 3
2
tenemos:
2
a = 1 6 , a = 4, i / = ( 3 + x ) , u = (3 + x ) , du = dx 2
2
2
I = ln (3 + x) + V l 6 + (3 + x ) + c 2
65. J
= /
Vóx + x" Completando el trinomio cuadrado perfecto: 6x + x = x + 6 x = (x + 3) - 9 = x + 6 x + 9 - 9 2
2
2
/ = f ,
88
d
X
2
)
+e
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
Haciendo a = 9, a = 3, u =(x 2
+ 3f,
2
I = ln
(JC +
u = (x + 3), du = dx,
3) + V U
+
3) -9 + c 2
66. í — ^ = / J x +16x + 20 Transformando el denominador por un binomio al cuadrado, tenemos: 2
x + 16x + 20 = x + 16x + 6 4 - 4 4 = (x + 8) - 4 4 2
2
2
dx ^(x + 8 ) - 4 4
1
donde: o = 4 4 , a-
2
44, u -(x
2
+ S) , w = (x + 8 ) , du = dx
2
2
(* + 8 ) - V44
ln
1= 2V44
67.
J
x+3
+ c
(x + 8) + V44
dx = 7
V5-4xSi w = 5 - 4 x - x
=-x
2
- 4 x + 5, du = (-2x-4)dx
2
= -2(x + 2)dx,
multiplicando y dividiendo por (-2), tenemos: 1 r - 2 ( x + 3)dx_ V5-4x-x _J_ r ( ( - 2 x - 4 ) - 2 ) j x 2
=
i r(-2x-6)í/x
2
J
J
2
2
V5-4x-x
J
V5-4x-x
2
2
Separando en dos integrales: /
=
_ I f(-2x-4)dx 2
J
y¡5 - 4x - x^
l f 2
J
- 2dx
V5-4.v
dx = _ I í(5-4x-x )-*(-2x-4)dx+ íV5-(x +4x) 2
2
¡
La primera integral es de la forma ju"du
J
2
y la segunda integral la completamos,
en el denominador, a un binomio al cuadrado:
89
C A P Í T U L O IV
5-(x
+ 4x)=5-(x + 2) +4 = 5-(x
2
2
+ 4x + 4 ) + 4 = 9 - ( x + 2)
2
2
de donde: / = _ ! í(5-4x-x )^(-2x-4)dx f , V 9 - ( x + 2) 2
2
+
J
d
x
J
2
En la segunda integral tenemos: a =9, a = 3, M = ( X + 2 ) , u-x 2
. \^ I = -—
,
2
2
x+2 ^ '-—\- arc sen—
2
+ 2, du = dx
rr— t. x +2 he = - V 5 - 4 x - x + aresen — - — h c A
68. f y =1 Vx +2x-3 Siw = x + 2 x - 3 y du = {2x + 2)dx, +
J
2
)
d
x
2
2
7
_ J_ r 2(x + 2)dx
_ l r {2x + 4)dx
~2*Jx +2x-3
~
2
En la segunda integral:
2
_ j _ M2x + 2)+2)dx
Vx +2x-3 ~ 2
2
J
Vx +2x-3 2
x + 2 x - 3 = (x + 2x + l ) - l - 3 = (x + l ) 2
2
/ = - ¡(x + 2x - 3)~' (2x + 2)dx + j 2
Á
1 (x +2x-3/ 2
:
á
2
-4
x
+ ln (x + l ) + V ( ^ + l ) - 4 + c 2
>2
2
= (x + 2x - 3f + ln (x + l ) + V ( x + l ) - 4 + c 2
Ejercicios
2
4.2
Resolver las siguientes integrales.
2. Jx^dx
5.
J(2X + 4) Í¿C
3.
6.
p dx f \ (4x + l)'^
2
¿
l
90
8. 9.
J(V(x + 40)) dx ,
fv^T3x (5x +12x )dx 4
4
3
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
10.
(2x +4)xdx 2
11. \4x + 2)x dx b
5
dx
12.
(5x + 2)' 2
14. 15.
e dx
46.
sen 3x eos 3xdc
29.
e ' xdx
47.
tan
30.
e
{x+l)dx
48.
31.
(e -5fe dx
49.
2x
x +4
x2+3x
J
x dx
13.
28.
2x
2x
(4x'-Sf
x+ \
50.
dx
33.
2
51.
x (l+x') 16.
(x + 5)(x +2)dx 4
dx
34.
cot 2x
xdx 5
dx
sen 2x dx
1-cosx sec x ,
dx
(x + 3x)(x + l)dx 3
2
35.
- esc
e
53.
senxdx
2
xdx
dx
52.
x+x
17.
xsec
esex
(x +x Jdx 3
5
3
dx
32.
2
V4-x dx 4+ x
2
:
xdx
18.
36.
VÓJT+4
{x+l)dx
19.
Vx + 2x + 8
37.
2
2
20.
í/.V
38.
cot
y¡5x
21. 22.
5x + 4
5x + 3 x -] 3
39.
d.V
dx
x -x-20 2
x+ 4
24.
yjr + sxdx dx
25.
2x + 4 v
2
56.
xdx
4
x dx 2
2x -25 6
sec 2.v tan 2xdx
2
57.
2
41.
3 3 sec 3xdr
xcot 2
xdx 58.
dx
43.
x sec x dx
61.
2
4
8
3
'x -36x (l0x -144x )dx
60.
3
Vl6-x x dx
VÍ6 + x"
esc ^ xdx 3 2
2
59.
42.
44.
x -5 4x-5 2
x V x -16
l(,
dx 4
(2x + l)
9
3
dx
x- +4x + 5 dx
2x -5x
4
:
xdx
55.
esc
7
27.
2
.
xdx
40.
6
26.
1
4 + (x+l)
V25 + x
x-l
23.
54.
eos xdx tan
dx
esc x ¿x x 2
+4
dx
45.
62.
2xdx V9x~
dx
eos 2x
91
CAPÍTULO IV
4.3 INTEGRACIÓN
POR
PARTES
En muchas ocasiones no es posible resolver una integral por medio de las fórmulas elementales de integración, y entonces es necesario recurrir a algunos métodos de solución. Nos avocaremos primero al método de Integración por partes (el cual es muy aplicable en la integración de un producto), éste consiste en separar la integral en dos partes, una se iguala a u y la otra a dv. La deducción de la fórmula de integración por partes la podemos obtener a partir de la diferencial de un producto, de la siguiente forma: d(uv) = udv + vdu
(1)
despejando en (1) a udv, tenemos: udv =
d(uv)-vdu
Integrando esta identidad: ^udv-
jd(uv)-
^vdu
lo que nos lleva a: \udv = uv-
ivdu
que es la fórmula utilizada en la integración por partes. Este método de integración tienen algunas limitantes como: a) La nueva integral jvdu debe ser más sencilla que la primera integral Jwrfv b) La nueva integral debe ser fácilmente integrable.
Ejemplos 69. ¡xe dx x
4.3 =I
Solución: Haciendo u = x y dv = e dx, y diferenciando u e integrando dv, se tiene: du-dx y v = e . Aplicando la fórmula de integración por partes, tenemos: x
x
/ = xe - \e"dx = xe - e + c = e (x -1) + c 1
92
x
x
x
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
70. JxC0SX£¿C = / Solución: Haciendo u-x, du = dx ; v = senx, dv = cosxdx. mula de integración por partes:
Aplicando la fór-
I - x sen x - jsen x dx = x sen x + eos x + c
71. Jxlnxdx = 7 Solución: u-x, du=dx; v = ?, dv = \ndx. Hasta el momento no tenemos la fórmula de integración del ln x por lo que la consideración inicial fue incorrecta, tomemos entonces a u y dv de la siguiente manera: 2
i
Si u = \x\x,du = —;v = ^—,dv = xdx, x 2 /
_ f 4 i ^ 4 i _ l f ^ J 2 x 2 2J X^ i _ _ 1X , X" i 1 -> , = — l n x - — — + c- — l n x - — x +c 2 2 2 2 4
=
£ i 2
l
n
x
=
l
n
x
1
Como no tenemos la fórmula inmediata de Jln xdx, por medio de la integración por partes, la podemos obtener. 72. Jln xdx = 1 Solución:
dx dv = dx , du = — x
Haciendo u-\nx
v= x
I = x l n x - J x — = x l n x - Jdx = x l n x -x + c
73. J x V l + 2xdx 2
Solución:
Jx (l + 2xfi dx = I. Haciendo u - x , 2
2
2
2
Yi
dv = (l + 2xfi
2
dx,
3
I = - x (1 + 2 x ) ^ - - Jx(l + 2xfi 2
dx
Observamos que la nueva integral no tiene solución inmediata. Sin embargo, es más fácil de resolver que la inicial. Esta nueva integral la resolvemos utilizando de nuevo la técnica de integración por partes.
93
CAPÍTULO IV
Haciendo en la nueva integral u = x
du = dx
v=
ifi±|íñ.i( ^ 1 +
2
I = -x2{\
2xp--
3
,V.
= -x2(l
+ 2xp
1
^
iu
= - x 2 ( l + 2x) 3 V = -.x2{l
74. J
x
2
- -
5
2
5
- x ( l + 2 x ) ^ - - ¡{l + 2
5/
x ( l + 2x)5/2
2
„
+ -
j ( l + 2xf>
15 2
vs/
15
+ 2x)K---x{\ 2xf2
15
dx
1 (1 + 2JC>^
x(l + 2 x ) / 2 +
2
lxfidx
v
-
'
+ c
15 2 +—(1+2x)^ +c
105
fe*
Jx~4 ln X<ÍY = / . Haciendo u - ln .r, du = ^- ; v = J ^ J
Solución:
-
1 =-
75.
3 15
\<;
dv = (l + 2 x } ^ dx
lnx ^ 3x 3 lnx 3x
> <^V = x~ dx
, 1 f 1 dx lnx , 1 \¡x~
J x V xc¿c = / . Haciendo u = x ,
Solución:
2
dv = ex' xdx = -j- \ex
2
J
=
2XÍ¿T ;
v = -^ex
(2xdx),
/=I
X
V
:
— | J2xev:ííc = ^ x V
:
-|e
v :
+c
76. Jsec 3 £¿c Solución:
Jsec2 x sec xc¿t = / . Haciendo:
« = secx, du - secxtanxax ; v = t a n x , dv =
sec2xdx
I = sec x tan x - Jtan x(sec x tan xdx) - sec x tan x - j t a n 2 x sec xdx
94
4
TECNICAS DE INTEGRACION
como tan x = sec 2
x-\:
2
7 = secxtanx- J(sec x-l)secxtíx 2
= sec x tan x - Jsec xdx + Jsec xdx 3
de donde: Jsec xdx = sec x tan x + Jsec xdx + Jsec xdx 3
3
2 Jsec xdx = sec x tan x + ln |sec x + tan x| + c, 3
,
sec x tan x + ln sec x + tan x
Í sec xdx =
!
1
+c
77. je™sen bxdx = / Solución:
Haciendo:
u = e™
dv = sen bx dx
du = e adx
v - - ^ cosbx b
ax
I = -—e eos bx + — f e " eos 6x«x ax
Integrando por partes nuevamente: u = e™
dv - eos bxdx
du = e^adx
v=
sen bx b
1
r
I =-
ax
e
,
a
cosbx+
b [e^sen bxdx - -
ax
1+-
2
ax
\e sen bx dx lLX
a
e cosbx + . e sen bx - ° ^ ¡e sen bx dx b b ax
b
J
\e sen bx dx+
e sen bx-°
b a
ax
ax
2
2
1
2
, \e sen bxdx = ax
e eos bx + ax
J
a ;
e sen bx + c. ax
e" eos 6x
je™ sen bxdx--
x
b
2
- ^ e™ cosbx + , e sen bx b b Q
ye™ sen bxdx_
m
2
] +
+c
b
2
95
CAPÍTULO IV
78. j"x arceos xdx = / dx Haciendo u = arc cosx , du = — , Vl^x
Solución:
/=4^arccosx + |
f f
d
x ; v=— , 2
2
dv-xdx,
2
arceosx + \ (l-x )"^dx
x
2
2
- ^ - arceos x + y Jx{(l - x ) ^ xdx 2
_/
Haciendo: u = x, du = dx ; v =
^ 1/ Á 72
dv = (l - x Y% xdx =
X
2
1
Xy¡\ X + JVl-X dx] 2
= -y- are eos .v-^- x V l - x
2
x 1 / = — arc c o s x - — x v l - x
2
+
• xVl - x
2
+ ^ ' ^ (l^rc sew y + c
1 / 1 + — x v l - x + — arcsenx
2
Ejercicios
,
2
- x ) " ^ ( - 2xdx),
2
1 - — arc eos x + — 2 2
-—J\-x
_
2
+c
2
4.3
Resolver las siguientes integrales. 1.
\e 'xdx
6. Jxcos2xdx
11. J(x + 2x + \)e dx
2. Jxsec xdx
7. jare sen 3x dx
12. J x V 2 + xdx
3. Js'cosxdx.
8. jcos(lnx)dx
13. j
4. Jx'senxdx
9. Jln(x + V + x )dx
5. jsen xcos3xdx
10. Je cos¿>xdx
2
2
4.4 INTEGRALES
2
2
x
3
2
X e
^ dx 2
14. J2xsec 4xdx 2
av
TRIGONOMÉTRICAS
Para resolver integrales trigonométricas es necesario basarse en ciertas identidades trigonométricas, las cuales indicamos a continuación:
96
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
Identidades: a) sen x +eos x = 1 , b) sen'x 2
1
2
Ejemplos
(l - c o s 2 x ) , c) eos x = ^ (l + cos2x). 2
4.4
79. Jcos xdx - I 2
Solución:
Utilizando la identidad c) para disminuir el grado, se tiene: I = j"— (l -t- eos 2x)dx = — jdx + — jcos 2xdx l v r~ J 2 2
2
= —J^ £
80. jsen xdx 3
Solución:
r +
í"^J 2" ¡
c o s 2 x
{
2 d x
)
=
^
x +
^
s
e
n
2
x
+
c
- jsen x sen xdx = I 2
Utilizando la identidad a), se tiene: I = J(l - eos x)sen xdx = jsenxdx - Jcos xsenxdx 2
2
En la segunda integral: u = cosx , du = -senxtíjc, / = jsenxdx + Jcos x(- senxdx) = - eos x + 2
^
c o
x
+c
81. J C O S 3 X Í ¿ C = Jcos 3JCCOS3XÍ¿C= J(COS 3JC) cos3;t£¿c = 7 5
Solución:
4
2
2
Utilizando la identidad a), se tiene:
7 = J ( l - s e n 3 x ) COS3.XÉ¿C= J(l-2sen 3:c + 2
2
sen 3xjcos3xdx 4
- Jcos 3x<¿r - 2 Jsen 3.x eos 3xdx + Jsen 3x eos 3xdx 2
4
= — JCOS3JC(3Í¿C)-— Jsen 3xcos3;t(3£¿c) + — Jsen 3* eos 3x(3
4
1 _ 2 sen 3x 1 sen 3x = —sen3x 1 he 3 3 3 3 5 sen3x 2 „ 1 _ sen3;t = sen 3.r H sen 3x + c = 3 9 15 3 3
3
s
5
2sen 3jc 2
+
sen 3x 4
+ c
97
CAPÍTULO IV
82. jsen xcos 3
s
xdx = I
Solución: Se sugiere que se descomponga la función que tenga la mínima potencia: I - jsen senxcos 2
xdx - j ( l - eos x)cos x senxdx
5
2
5
eos x senxdx =
eos x senxdx 5
83. jsen
4
2xdx - j(sen
2
1
7
'
6
hc 8
2xf dx = I
Solución: I - jí^(l-cos4x)J
= J ^ ( l - 2 c o s 4 x + cos 4x)tíx 2
= ^ ¡dx-^ fcos4xdx + ^ [cos 4xdx 4 J 4J 4 J 2
= ^ \dx-
^ Jcos4xdx + ^ j j ^ (l + cos8x)jdx
= ^ J d x - ^ J ^ Jcos4x(4dx)+^ jdx+ ^ Jcos8xdx
= ^ jdx-
^ jcos4x(4dx)+ g
= ' , - , » 4 * 4 8 1
8
8
+
1
8
*
+
+
[ g j g jcos8x(8í¿c)
' * * , + ,: 64 „ . senSx 3x — sen4x + +c 8 8
64
84. [ = [cosx senxdx = I secxcscx J
Solución:
J
Si u = senx , du = eos xdx sen x 2
/=
2
+c
Identidades: d) senx cosx = ^ sen2x
, e) senx eos y = ^ [sen(x - y) + sen(x + y)]
f) senxseny = ^ [ c o s ( x - v ) - c o s ( x + y)] , g) cosxcosy = *[cos(x-_y) + cos(x + y)]
98
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
85. jsenAxcosAxdx Solución:
=I
Utilizando la identidad d) se tiene: / = j^sentxdx =
86. jsen2xcos3xdx Solución:
=
jsenüx(Sdx)
\senSx{8dx) - --^cosSx
+c
-1 Utilizando la identidad e) se tiene:
I =
[sen(2x-3x)
+sen(2x + 3x)]dx
jsen(- x)dx + - jsen 5x dx 2 1 = —- jsen(- x\- dx) + ^ jsen 5x dx 2
-
2
J
cos(-x)+
jsen5x(5dx) {2 5
= ^ c o s ( - x ) - ' cos5x + c 2 10 87. jsen3x sen2x dx - I Solución:
Utilizando la identidad f) se tiene:
/ = Jy[cos(3x-2x)-cos(3x + 2x)]dx -y jcos xdx - ] - jcos 5 xdx = - y jcos xdx—í — j — jcos 5x(5dx) = - — .senx - — sen5x + c 2 10 88. J(cos4xcos2x)dx = / Solución:
Utilizando la identidad g) se tiene:
/ = Jl [cos(4x - 2x)+cos(4x + 2x)]rfx
99
CAPÍTULO IV
/ = - i jcos 2xdx + 2J2
jcos 6xdx
|cos2A-(2dJc)+^J--| |COS6X(6Í¿V)
= y |cos2x(2dx) + Y2- Jcos6x(6<±c) = yse/j2x + Y 2 " ^ 6 x + c 5
Identidades: ,1 h) \-cosx
= 2sen
89. y\-eosxdx Solución:
2
,1 x , i) l + cosx = 2cos
2
x , j ) \±senx
= l±cos
=I Utilizando la identidad h) se tiene:
/ = j^2sen
2
\^xdx = jyfí ^ sen
2
= J2 jsenxdx
- \¡22
xdx
jsen¿ocf-i
= -2V2cos-^x + c
90.
J2COS 2XÍ¿C = / 2
Solución:
Utilizando la identidad i) se tiene: / = J(l + cos4x)dx = jdx+
JCOS4XÍ¿C
= jdx + y Jcos 4x(4dx) = x + y senAx + c
91. jicos
2
x sen2xdx = I
Solución:
Utilizando la identidad i) se tiene: / = | ( l + eos lx)senlxdx
= jsenlxdx
+ jcos 2x sen2xdx
= ]r jsenlxdx(l)-)r
jcos 2 x ( - 2sen2xdx) 2 1 eos 2x + c = -—cos2x- — eos 2x + c = -—cos2x- „ 2 2 2 2 4 2
2
100
'1 V2
1 )
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
Identidades: k) 1 + tan" x = sec x , 1) l + c o t x = csc x 2
2
2
92. J(l + tan 2x)dx 2
Solución: jsec 2xdx =
Jsec 2x(2dx) =
2
tan 2x + c
2
93. Jtan 2xdx = I 5
Solución: I - Jtan 2xtan 2xdx - Jtan 2x(sec 2x- \)dx 3
2
3
2
- Jtan 2xsec 2xdx- Jtan 2xdx = / 3
2
3
= ^ Jtan 2xsec 2xdx(2)- Jtan 2xdx 3
2
3
= ^ Jtan 2xsec 2 x ( 2 d x ) - Jtan 2xtan2xdx 3
2
2
= ^ Jtan 2xsec 2 x ( 2 d x ) - J(sec 2 x - l ) t a n 2xdx 3
2
2
= ' Jtan 2xsec 2 x ( 2 d x ) - Jtan 2xsec 2xdx + Jtan 2xdx 3
2
tan
2
2x _ 1 f
tan 2x
t a n
1 tan 2x
4
2
8
2 (
+ 2
2
x
s e c 2
2x\ldx)+
^ Jtan2x(2dx)
1, lnsec2x +c 2
94. Jtan xdx = Jtan x tan xdx = I 6
Solución:
4
2
Utilizando la identidad k) se tiene: / = Jtan x(sec x-l)dx = Jtan sec xdx- Jtan xdx 4
2
4
2
4
= Jtan sec xdx- Jtan x t a n xdx 4
2
2
2
= Jtan xsec x d x - Jtan x(sec x - l ) d x 4
2
2
2
= Jtan xsec x d x - Jtan xsec xdx+ Jtan xdx 4
2
2
2
2
= Jtan x s e c x d x - Jtan xsec x d x + J(sec x - l)dx 4
2
2
2
2
101
CAPÍTULO IV
I - Jtan xsec xdx- Jtan xsev xdx+ 4
2
tan x 5
2
Jsec xdx- Jdx
2
2
tan x , . + tan x - x + c
5
3
95. Jsec 2xdx = 7 6
Solución: I = Jsec 2xsec 2xdx = J(sec 2x) sec 2xdx 4
2
2
2
2
= J(l + tan 2x) sec 2xdx = J(l + 2 tan 2x + tan 2x)sec 2xdx 2
2
2
2
4
2
= Jsec 2xdx + Jtan 2x(2sec 2x)dx+ Jtan 2xsec 2xdx 2
2
2
4
2
= j Jsec 2x(2dx)+ Jtan 2x(2sec 2xdx) + ^ Jtan 2xsec 2
2
2
4
2
2x{2dx)
1. - , tan 2x , 1 tan 2x , 1 . ~ , tan 2x , tan 2x , „ = -tan2x ^ — c = -tan2x - 3 - - ^ - c 3
5
+
3
+
+
5
+
+
+
96. Jtan xsec xdx = Jtan xsec x(sec xdx) = I 3
4
Solución:
3
2
2
Utilizando la identidad k) se tiene:
I - Jtan x(l + tan x)sec xdx = Jtan xsec xdx+ Jtan xsec xdx 3
2
2
3
2
5
2
tan x , tan x , = —-— +—-— + c 4 6 4
6
97. Jcot 3xdx = Jcot 3xcot 3xdx = I 5
3
Solución:
2
Utilizando la identidad 1) se tiene:
1= Jcot 3x(esc 3 x - l ) d x = Jcot 3xesc 3xc¿c- Jcot 3xdx 3
2
3
2
3
= Jcot 3xcsc 3 x d x - Jcot 3xcot3xax 3
2
2
= - j Jcot 3x (3 esc 3xdx) - Jcot 3x cot 3xdx 3 3
2
2
= — Jcot 3x(3csc 3 x d x ) - J(csc 3 x - l ) c o t 3xdx 3
2
2
= — Jcot 3x(3csc 3 x d x ) - Jcot 3xesc 3XÍ¿C+ Jcot3xdx 3
2
2
= - Jcot 3x(3csc 3 X Í T X ) - ^ Jcot3x(3csc 3xdx) + ^- Jcot3x(3dx) 3
2
1 cot 3x 4
=
3 102
4
2
1 cot 3x 2
1 3
2
3
1, i . i 1- - ln se«3x + c 1
1
cot 3x 4
12
cot 3x 2
1
6
1, , _ , Y - ln\sen3x\ c 3 '
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
98. J c o t x c s c xdx = J c o t JCCSC x ( c s c x c o t xdx) - I 3
3
Solución:
2
2
U t i l i z a n d o la identidad i) tenemos: / = J(csc ; c - l ) c s c 2
x{cscxcolxdx)
2
= Jcsc x (esc x c o t x d x ) - Jcsc x (esc x c o t xdx) 4
2
- - Jcsc .v(-esc x c o t x d x ) + j c s c x ( - e s c x c o X x d x ) 4
2
esc x 5
esc X 3
+ 5
Ejercicios
+c
3
4.4
Resolver las siguientes integrales. 1.
sen 3xdx
2.
eos
8.
2
4
rsen
2xdx
15.
tan 4xdx
16.
sec 4 xdx
17.
c o t 2JO¿C
18.
t a n jesee xdx
19.
tan 2xsec
J2COS3XCOS2JCÍ¿X
3x
dx
^esc 3x
3
4
2
3.
sen xdx
i ^ d x sen~5x
10.
5
J
4.
sen xeos
11.
xdx
5
5
\lsen
2
1
2
J
5. 6.
eos
12. J ( l - c o s x ) < ¿ t
xsen xdx
3
xdx 2
2
dx
13. Í4sen ^ JCCOS ^ xdx 2 2 2
sec x c s c 3
x
3
7
3
20. cot
2
J
7.
seri&xcos\Qxdx
4.5
CAMBIO
DE
3
7
3
xcos
4
3
2xdx xdx
14. J(l + eos 6 x ) d x
VARIABLE
TRIGONOMETRICA
Cuando tengamos una raíz en la integral, ya sea en el numerador o en el d e n o m i nador, podemos
resolverla por medio de un cambio de variable trigonométrica,
efectuando un cambio de la siguiente forma: raíz de la forma:
a u = —senz b
Ja -b u 2
2
cambio de variable:
2
y¡a +b u
w = ^- tan z b
4b u -a
u = — secz b
2
2
2
2
2
2
103
CAPÍTULO IV
Después de haber resuelto la integral, regresamos a nuestra variable inicial por medio de las relaciones pitagóricas de un triángulo rectángulo, como se verá en los siguientes ejemplos:
Ejemplos
4.5
J -
99.
dx
Solución:
= /
Se presenta una raíz de la f o r m a a =16 2
a
b =\ —
4
b = \
2
U~
=
,donde:
u = x
X'
de donde: u- senz b
, x
U
1
=^senz..-(\)
Es necesario sustituir en la integral dx = 4cos zdz y x
2
la raíz, despejamos
al senz
de (1) y establecemos
= (4sen zf • Para sustituir el triángulo rectángulo
correspondiente
sen z=
4
, de aquí VI6-.r
2
Para sustituir la raíz, se toma del triángulo rectángulo, a la raíz entre la constante:
x
= eos z
; Vi 6 -
.Y = 4 eos z 2
Realizando el cambio de variable en la integral, se tiene: 4eoszdz > = h(4íí>rcz) (4cosz) 2
1 lo J J ~ 16
l o }sen J spn-7 M> 2z
16
cot z + c
Regresando a la variable original, del triángulo rectángulo establecido, se tiene:
16
104
x
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
100. J
x dx 2
= /
v V - 9 V V M -a
Solución'. Se tiene una raíz de la f o r m a b =l
2
u = ° s e c z , donde: b
=>
b =\
2
u =x
u —x
a =9
a = 3
2
2
2
2
:. x = 3 sec z
O)
En la integral se tiene que sustituir x
= (3sec zf
2
a la sec z de (1) se tiene: sec z =
; dx = 3secz tan z • Despejando
x
3 Estableciendo el triángulo rectángulo correspondiente:
•Jx -9 2
D i v i d i e n d o la raíz entre la constante: J
x
2
- 9
y¡x - 9 = 3 t a n z
= tan z
y
2
Sustituyendo en la integral, tenemos: / = f(3secz) (3secztanz^) 2
g
3tanz
J
Resolviendo
=
r
2
J
=
g
r
3
^
J
Jsec zdz y después multiplicándola por 9 e integrando por partes: 3
u — secz , du = s e c z t a n z
;dv-sec zdz,v 2
= tanz
I = sec z tan z - Jtan z(sec z tan zdz) = sec z tan z - jsec z t a n zdz 2
= sec z tan z - jsec z(sec z - \ ) d z 2
Jsec zdz = sec z tan z - Jsec zdz + Jsec zdz 3
3
105
CAPÍTULO IV
Agrupando a jsec
3
zdz del lado izquierdo, se tiene:
2 Jsec zdz = sec z tan z + l n sec z + tan z + c, 3
f
sec
.
i
,
zdz =
-
.
sec z tan z + l n sec z + t a n z
v
,
.
:
s
~
.
,
-
+c
.
.
Regresando a la variable o r i g i n a l : /" /=
/—í
W *
2
3
3
dx
101. J -
- 9
, x +ln + 3
'—í
x -9 2
+ c=
3
„ 9, x + x x - 9 + ln 2 2 2
JC -9 2
= 1
'-j9 + 4x
2
Solución:
Se tiene una raíz de la f o r m a :
yÍ9 + 4x ~
Ja +b u
=>
2
2
2
u=
2
b
tan z
donde: a
2
=9
a =3 b =2
b =4 2
a =x
u =x 2
2
.'.
x
=
~2
t
a
n
(1)
z
Es necesario sustituir en la integral:
dx=
3
sec zdz 2
(3 x =\z 2
2x D e la ecuación (1), se tiene: tan z =
106
, y el triángulo correspondiente es:
+ c
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
D i v i d i e n d o la raíz siempre entre la constante, se tiene: V 9 -i- 4JC -— = sec z 2
V 9 + 4JC = 3 s e c z 2
Sustituyendo en la integral i n i c i a l , se tiene. j _ r
y sec 2
zdz
2
12
_
J%tan z(3secz) _ J_2 r sec z j
2
2
_ 12 t
54 J t a n z
r sec zdz
18(3) J t a n zsec z
2
¿_ _ _6_ r e o s zdz 2
c m z
54 ÍJÍBI^
2
COS
27 ¡coszsen z 2
2
s
¿
J
Solución:
J
4
V4-4JC
a
es del t i p o Va
2
-¿ M
2
2
¿> =4
b = 2
2
2
2 hc = - — e s e z + c 9
4
a = 2
« =x
2
x
=4
2
sen z
:
2
x
9 J
|
¿
2 r _ . 2 sen~ z , -2 = — sen zcoszdz = — i-c = 9 9 -1 9senz 2y¡9 + 4x , V 9 + 4JC - + c •c = — 9x 9 2*
i
_ 2 reos zdz
u =
2
senz
u —x
2
x - — sen z
(1)
dx - eos zdz x
- (sen z)
4
de
(1)
2x
senz
*/4-4x -— 2
2
2
/ r = eos z , V 4 - 4 J C = 2 eos z 2
j _ f ( 2 c o s z) eos zdz _ 3
J
se« z
g
reos z ^_ 4
Jsen z
4
4
= 8 J c o t zdz = 8 J c o t z c o t 4
2
2
zdz
= 8 J(csc z - l ) c o t zdz = 8 J c o t z esc zdz - 8 J c o t zdz 2
2
2
2
2
= - 8 J c o t z ( - c s c z d z ) - 8 J ( c s c - l)dz 2
2
2
107
CAPÍTULO IV
''cot z 3
/ = -8
- 8 Jcsc zdz + S$dz = -
_8
4-4x
3
2x
. \
2
4-4x
2
+8
2
u +a 2
a
2
=>
2
'
2x
^
A
4-4x J 2
= I
2
2
3
+Sarctan
2x
103. J V * + 2 ; c + 5<¿t = JV(* + 1) +4dx
Solución:
c o t z + 8 c o t z + 8z + c
2
u —
a b
tan z
a = 2
=4
b = l
b =\ 2
u ={x 2
u = x + l
+ lf
du = áx
x + l = 2 t a n z ...(l) x = 2 tan z - 1 dx = 2 sec zdz 2
de ( 1 ) , ^ -
= tanz
V(* + l ) + 4 2
V U + l)
+
4
.
=
s
e
c
z
JC + 1
. TJ( + 1) + 4 = 2 s e c z X
2
Sustituyendo en la integral, se tiene: / = J2secz(2sec
2
zdz) = 4 Jsec zdz 3
utilizando el resultado del ejemplo 2), se tiene que:
Jsec zdz =
sec z tan z - ln sec z tan z
3
+ c
Por l o que: 4jsec
3
zdz = 2 s e c t a n z - 2 1 n s e c z + t a n z
D e l triángulo rectángulo tenemos:
108
+c
+c
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
(x + l ) + 4 ( x + l ) _ 2
1 = 2
l
{x + lf+4
n
(* + l ) + 4 ( * + l )
(^l) J^
2
2
2
104. |V8^ x Solución:
2
^(x+l)
fe + l )
+
2
+ c
+
c
2
- 2xdx = I 8 - x - 2 x = 8-(x +2x) = 8-(x + l) +1 = 9-(x + l) . 2
2
2
2
Se tiene una raíz de la forma:
•Ja -b u 2
a
2
:
2
=9
2
senz
b = l
2
2
b
a = 3
¿> =1 M
« =
= ( * + l)
2
, 3 x + 1 = sen z l
u = x +\ x +1 = 3sen z
dx = 3 eos zdz Despejando a sen z, se tiene: sen z =
x+ l
;c + 1
V9-(;t + l )
2
Efectuando el cociente de la raíz entre la constante:
= eos z , y¡9-{x
= 3cosz
+ lf
Sustituyendo en la integral o r i g i n a l : / = |(3cos zX^cos zdz) = 9 Jcos zdz 2
109
CAPITULO IV
U t i l i z a n d o la identidad trigonométrica e o s x = * ( l + eos 2x): 2
/ = 9 j l ( i + eos 2z)dz = | \dz +1
j c o s 2zdz
= |z+í|Ujcos2z(2dz)=|z+|^n2z+c U t i l i z a n d o la identidad: se/txcosjt = ' sen2.x
2 = 2se/u e o s * 9 Í9^ / = z + 2senz eos z + c 2 UJ se/i
2x
Regresando a la variable o r i g i n a l , se tiene:
J9~(x7lf I
=
2
a
r
c
s
e
n
{ — r 2 { — )
+ c
= — are sen
2
ÜX
Solución:
Se tiene una raíz de la forma:
-Jb u 2
2
+a
2
=> u =
tan z , donde:
a
b a
=4
2
a =
b = l
b =l 2
U
2
= X
2
2
U
—
X
x = ytanz...(l) dx = 2 sec zdz 2
Despejando a tan z de la ecuación (1). tan z =
110
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
L a raíz entre la constante:
^
x
= secz , -Jx
4
+ 4 = 2secz
2
Sustituyendo, se tiene: 2 sec zdz 2
J1_ r dz _ J_ f cos 16 Jsec J s e r z7 16 J
=
f
(2secz)
3
zdz
33
5
= — feos eos zdz = 7 7 f(l - s e n z ) c o s zdz 16 16 2
2
J
J
= - L feos zdz - ¿ 1 \ 6
=
dx
106. J
e
n
Z
eos zdz = ¿
3 ^ S
e
n
Z
+
C
1 l6
=
"(¿1^+c
^ z
,3
í
+ C v-
4*{ylx +4)
2
2
= 1
4Wl6-9x Solución:
S
1 - 4 S
j W z
2
L a raíz es de la forma: a
2
b
2
2
=16
a = 4
= 9
¿7 = 3 U
u =x 2
y/a -b u
2
x = dx =
3
—
2
u =
2
ü
b
sen z. donde:
X
sen z . . . ( l )
3
eos zdz
E n (1) despejando a se/i z : senz =
3.v
VJ6-9x
:
L a raíz entre la constante: Vl6-9.r
2
= eosz
;
Vl6-9x
2
=4cosz
111
CAPÍTULO IV
Sustituyendo en la integral o r i g i n a l : % eos zdz "
f
1 f dz = — í zX^cosz) 16 J sen z
e
4(j;sen
-—. fcsc zdz = — l n I esc z - cot z| + c 16 J lo 16 Vl6-9;c
d.v W 9
Solución:
+ c
3x
3A:
107. J
2
= /
+ 4*
2
L a raíz es de la forma: - J a a
=9
2
2
2
2
(3 = 3
b =4
b =2
u =x
U
2
2
w = ° tan z , donde:
+b u
2
x=
2
tanz...(l) 3
dx=
4
sec zdz 2
J
x
=X
2 =
'3
tan z
v-
Despejando tan z en la ecuación (1): tan z =
V9 + 4 x
2
= sec z
;
2x
V 9 + 4JC = 3 sec Z 2
Sustituyendo en la integral o r i g i n a l :
'•fe
112
^ s e c zdz
_ _8_ f sec zdz 81 Jtan z t a n z ) (3 sec z) 8U 2
4
4
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
/
=
_8_ p¿r
88 r reos zeos zdz 81 J sen z
8 rcos z , 81 J j e « z
=
2
3
4
4
|
eos zdz r ( l - s e n z)cos zdz _ 8 reos zdz 8_ r J sen*z Sen Z J sen z 8lJsen z 81 J [sen ~ z eos z d z - ^ ¡ - [sen ~ z eos zdz ^ 81
__8_ 81 81 = -^81
2
2
4
4
4
2
8 8 8 sen' + • •+ c •+ c = 81 - 1 243sen z 81 senz
_ 8 í sen'M 811, - 3 )
1
3
8 'V9 + 4 * 243 2x
8csc z , 8cscz , —i———i-c = 243 81 3
dx
108. J (9(x
+
Solución:
dx
f
2f-4f
=
-Jb u 2
( x
9
-a
2
a
^
J
+
2
81
2x
+ c
2
-
4
J
a = 2 b = 3
b =9 2
2
_8_ V 9 + 4JC
u = ° s e c z , donde: b
2
u =(x
+
= /
2 )
=4
2
2
u =
+ 2f
secz...(l)
x + 2= A: =
2
. sec z - 2
3
dx =
x+2
sec z tan zdz
3
Despejando secz de (1) se tiene: secz =
3(JC + 2)
>M* + 2)'-4
L a raíz entre la constante: J9(JC + 2 ) — —
2
-4
= tan z
y¡9(x + 2)
2
- 4 = 2tanz
113
CAPÍTULO IV
Sustituyendo en la integral o r i g i n a l , se tiene: rj secz tan zdz _ _ j _ r sec zdz
=
(2 t a n z )
J
= ± f 12 J ^
12Jtan z
3
2
±
=
¡ ™ J L
D
Z
1 Í 12 J
=
12 Js
S
E
N
- 2
C
O
S
Z
D
Z
cos z ¿
=
1 2 l — J
Ejercicios
C
- T 2 ^
=
3(JC + 2)
J_ 12
+
V9(x + 2)
+
C
=
- 1 2
C
S
C
Z +
C
+ c
2
4.5
Resolver las siguientes integrales dx '•
í
xj4
5.
jylx +4x
dr
+ l3dx
2
+ \6x
2 8
dx í - 'y/9-9x
J(4JC +9) Í¿C
3
J ^
6.
*•
2
72
i WV4 -*4 A :
9
2
j4
'
7
f
*
2
jc djt f - ^ (^ +4f 3
10.
+ x
2
2
{9-\6x Y dx 2
2
*
í
4.6
INTEGRACIÓN
DE FRACCIONES
RACIONALES
L a f o r m a común de escribir u n p o l i n o m i o es : P(x)
= a + ax + ax 0
x
2
2
+ ax 3
3
+ ... +
a x" n
al d i v i d i r un p o l i n o m i o entre otro se nos presenta una fracción racional. P(x)
_ a + a¡x + a x
+ ax
+...
+ a x"
Q(x)
b^+b^x + b^
+ bx
+...
+ b x"
0
2
2
2
3
3
3
3
n
n
Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador, la fracción racional se l l a m a propia,
114
por ejemplo:
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
3 + 2x +
5x*-x
6
l + x* + x* E n caso contrario, cuando el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, la fracción racional se llama impropia. 4
X
2
Por ejemplo:
i
+1
+ x
x*-2x +4 2
Toda fracción racional impropia se puede descomponer como la suma de un p o l i n o m i o más una fracción racional propia.
Ejemplo
109
El cociente
x
3
+2x t x +l
+A
2
(fracción racional impropia), se puede descomponer como:
2
x + 2 x
2
+ lx
+2x
3
+4x
2
-x
—x
3
2x
+3x
2
-2x
-2
2
3x-2 x
3
+ 2x +4x . x +\ +l 2
2
, „x ={x + 2) +
3x-2
2
A l menos teóricamente todo p o l i n o m i o de grado n se puede descomponer c o m o el producto de expresiones lineales de la f o r m a (ax + b) y de expresiones cuadráticas de la f o r m a (ax
2
+ bx +
c).
Atendiendo a la naturaleza de los factores que se presenten en el denominador de un fracción racional propia se pueden presentar cuatro casos:
Primero: Factores
lineales
distintos.
Para
cada
factor
lineal
que
se
presenten en
el
denominador de un fracción racional propia, le corresponde una expresión de la forma
ax + b
, en donde A es un valor constante a determinar.
P{x) ax + b
_
A ax + b
115
CAPÍTULO IV
Ejemplos
4.6 dx
f
110.
J
x
=1
-16
Solución: 1 x
1
A
[ x - 4 l x
2
+ 4)~
B
x-4
x+4
Quitando denominadores: A(x-4\x + 4) B{X-4\ + 4) X-4 x+4 = A(X + 4)+B{X-4)= AX + 4A + |
= X{A +
BX-4B
B)+(4A-4B)
0
A + B =
4A-4B
(l)
(2)
=l
M u l t i p l i c a n d o (1) por 4 y sumándosela a (2), se tiene: 4A+4fi=0
4A-4B
=l =1
SA
=>
A =
1
8 Sustituyendo este valor en (1):
i jr + B
0
=
8
:.
B
i = -j-
8 - i.
"
111.
x
J
,
8
1 r ¿x _ 1 r J _ 4 gJjc + 4 X
=
1
l
n
x
_ 4 _
1
i
n
8
8
j c +4+c = ln "'¡ ' x+4 X
- dx = I -ox
Solución: 8JC + 4 _ 8 ; C + 4 _ A
x
2
116
-6x
x(x-6)
x
+
B
x-6
+c
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
Quitando denominadores: Sx + 4 = A(x - 6) + B{x) = Ax - 6 A + Bx = x{ A + B) + (- 6 A ) A + fl = 8
(l)
-6A = 4
(2)
.-.
A =
~ o
Sustituyendo este valor en (1), se tiene: 4 4 52 - - + 5 = 8 /. 5 = 8 + - = —
I
¡ Z f ± ±
=
d
x
x -6x
J
- f-%¿* J
= ¡ A J
2
\%ÉL
JC
d
x
¡ B
+
J
x
J JC-6
x
f^+52
_±
=
d
x-6
6 J x
f
¿r
JJC-6
6
= - 4 l n H + ^ln|jc-6| + c 6 6 1
112.
,
1
dx = I
Solución: 3x + 2
3x + 2
x -x-6
(x-3\x
2
A
+ 2)
B
+
x-3
x+ 2
Quitando denominadores: 3x + 2 = A{x + 2 ) + B(x - 3) = Ax + 2 A + Bx - 3B = x{A +
B)+{2A-3B) A + fl = 3
(l)
2A-3fi = 2
(2)
M u l t i p l i c a n d o (1) por 3 y sumándosela a (2): 3A+3fi=9 2A-3fl=2 5A
=11
/.
A =
4 5
Sustituyendo este valor en (1), se tiene:
y
+ fi = 3 .-. 5 = |
117
CAPÍTULO IV
Jx -x-6
J x - 3
2
_ (Kdx
t%dx_ U
Jx-3
Jx + 2
[_fo_,±
=
5 ¡x-3
h + 2
5 ix
[Jx_
+:
= y l n | x - 3 | + - | l n | x + 2| + c
Segundo: Factores
lineales
Cuando en una fracción racional propia se presentan
repetidos.
p o l i n o m i o s lineales que se repitan n veces en el denominador, se puede descomponer esta expresión de la siguiente forma: P{x)
(ax + b)" ~ ax + b siendo A, B, C , Z
113.
x +2x-6 2
1
B
C
{ax + bf
(ax + bf
A
Z "'
[ax + b)"
constantes a determinar.
¡ ; -°dx=i x zx
(* + 3)
3
Solución: x +2x-6
A B + . nr + (j + 2
2
(x + x
2
+2x-6
3)
3)
*+3
3
= A{x + íf = a(X
2
= Ax
2
+ B{x +
+6X + 9)+B{X +6Ax
= x (A)+x{6A 2
C
( 3) x+
3
Í)+C +
3)+C
+ 9A + Bx + 3B + C + 3B + C)
+ B)+(9A
A = \) (2)
6A + B = 2
(3)
9A + 3B + C = -6
Sustituyendo el valor de A en la ecuación ( 2 ) se tiene: 6 ( l ) + 5 = 2 /. B = -4 Sustituyendo los valores de A y B en (3),
se tiene:
9(l)+3(-4)+C = - 6 /. C = -3
118
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
r.v
+2.X-6
:
f
dx=
^
Z? f—° dx+ (* + 3 )
dx+
2
(¿x
r "Jx
r -4dx
+ 3
+
r
J(x+3)
+
2
J
= J _ ^ L - 4 J(x + 3)~ . = lnx + 3
f ( * + 3)
dx :
-3dx
U + 3)
dx -
2
J
3
3 ¡(x + 3 ) "
3
dx
\-2
4(x + 3 )
3(x + 3 ) — + c -1 -2 4 3 = lnjc + 3 + + + c x + 3 2{x + 3) _ 1
_
v
:
:
114.
|
5x-2
X
dx = I
+x
Solución: 5x-2 x
3
5x-2
5x-2 +x
A
X ( J C + 1)
2
2
2
= x (A 2
C
=— x x +—+ x
+ l
2
= A(x\x +1) + B{x = Ax
B
+1)+C(x ) 2
+Ax + Bx + B + Cx
2
+ C)+x{A
+
B)+B
de donde: C=0
O)
A + B =5
(2)
A +
B = -2
(3)
Sustituyendo el valor de B en (2), se tiene: A-2
= 5 :.
A = l
Sustituyendo en (1): 7+ C = 0
* X +x 1
2
J JC
J x
C = -7
2
J JC + 1 dx .v + 1
= 7 1 n | j c | - 2 ^ - - 7 1 n | x + l| + c = 71n|jc|+- j-71n|x + l| + c 2
119
CAPÍTULO IV
r x +2x + 4 115. I dr = 7 (;c + l ) ( * - l ) 2
2
J
2
Solución: x +2x
+ 4
2
_A_
B
(jc + l ) ( j c - l ) ~ Jc + l
(x + lf
2
x
2
C x-l
+2x + 4 = A{x + l\x-l)+B{x-l)+C{x = Ax -A
+ Bx-B
2
= x {A
(4)
De (2),
(5)
fl=2-2C
2
+ C
+ 2C)+{-A-B
A + C = l
(l)
fl + 2C = 2
(2)
+ C = 4
(3)
-A-B De(l), A = l - C
+ Cx +2Cx
+ C)+x{B
2
+ \f + C)
Sustituyendo (4) y (5) en (3): -(l-C)-(2-2C) + C = 4 - l + C - 2 + 2C + C = 4 4 C = 4 + 3 .-. C =
4
7 3 E n (4): A = 1 - - = - 4 4 7 ] _ 8 _ 1 4 _ _ 6 E n (5): 5 = 2 - 2 4J " 4 4 " 4 A , r B / = f (ZJt+f ;c + 1 J(A- + I ) J
r-
_
dx
f-
x+l
J
=
3 4
3
f
J
*
6 4
dx
(jc + l )
_6c
[x
4
3,
(6Mx
,
J
120
r
dx
JC-1
J
i
7 4
d
x
+
l
rdx_ 4 JC-1
V
j
+ l)~ '
l
v
= -
r
2
+
4 JC + 1 j
dx í dx JJC-1
2
7, + ^lnjc-l+c
3, , 6 7 lnjc Tr ++ — ln JC + 1l + . - , ln¡jc-l| + c 4 4(JC + 1) 4
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
Tercero: Factores
cuadráticos
Cuando en una fracción racional propia se presenten
distintos.
factores cuadráticos en el denominador, que no se puedan factorizar a términos lineales escribimos Ax + B sobre cada término cuadrático de la siguiente forma: P(x) ax
Ax + B
+bx + c
ax + bx + c
Donde A y B son constantes que se deben determinar, x
3,
l l 6
-
K
+ x
- x - l .
2
'
^
+
i
f
Solución: x
3
+ x
(x
_ Ax + B
- x - l
2
+3\x
+2)~
X +X -X-\ {AX + B\X +2)+{CX
+
2
3
2
2
1
x +3 2
Cx + D x +2
+
2
D'ÍX +3) 1
= Ax + 2 Ax + Bx + 2B + Cx + 3Cx + Dx 3
2
= x {A + C)+x {B 3
2
3
2
+ 3D
+ D) + X{2A + 3 C ) + ( 2 B + 3D)
de donde A + C = l B + D =\ 2A + 3C =
-l
2B + 3D = -\ E n este sistema de ecuaciones, se observa que dos ecuaciones tienen las variables (A y C) y las otras dos contienen las variables (B y D), p o r l o cual podemos separar el sistema en dos sistemas de dos ecuaciones cada uno: A+C = l
(1)
2 A + 3C = - 1
(2)
B + D = \) 2B + 3D = -l
(4)
M u l t i p l i c a n d o (1) p o r - 2 y sumándosela a (2), se tiene: -2A-2C
= -2
2A + 3C = - 1 C = -3 Sustituyendo este valor en (1), se tiene: A - 3 = 1 .\ = 4 M u l t i p l i c a n d o (3) p o r - 2 y sumándosela a (4), se tiene:
121
CAPÍTULO IV
-2B-2D
= -2
2B + 3D = -\ D = —3 Sustituyendo este valor en (3), se tiene: B - 3 = 1 .\ = 4 . C o n estos valores las integrales quedan c o m o : r4x + 4 , , dx + \ x +3
1 = 3
2
x +2
s
_ r 2xdx = 2f , x +3 S
r-3x-3
. r ax dx +4 , x +3
2
Las integrales 2 y 4 a
S
dx
2
-
2
i3 tr 2 x +2 S
son de la f o r m a
a
a
U = X
a = y[3
2
3
f f «
dx x +2 2
, donde: +a
2
2
=3
u =x
2
2
U
J
2
„ r dx-3
¿x 2x
u =x
a
U = X
a = y¡2
2
du = dx
2
2
=2
du = dx
Por lo tanto el resultado es:
/ = 21n|jc +3| + 4^-^r are tan —7= - 4 I n U S 2 2
= ln(jc + 3 ) +-4= s 2
2
are tan —== + c + 2| - 3 vV2y
2
2
•2JC -JC +1 3
2
'* +3jt +2 4
2
Solución: 2x -x +\_
2x -x +l
x*+3x +2~
{x +l\x +2)~
3
2
3
2
2
2
=
Ax + B
Cx + D
x +l
2
x +2
2
2
2x - x +1 = (Ax + TiX*2 + 2 ) + (Ge + DX*2+ 0 3
2
= A J C + 2Ax 3
= x {A 3
+ Bx
+ C)+
2
x (B 2
+2B
+ D)+
+ Cx
3
+Cx
+ Dx
2
x{2A + C)+{2B
+
+ D)
Se obtienen los sistemas de ecuaciones: A+ C = 2 2A+C=0
122
(1) (2)
B + D = -\ 2fl + D = l
D
(3) (4)
TÉCNICAS D E INTEGRACION
m u l t i p l i c a n d o (1) p o r (-2) y sumándosela a (2), tenemos: -2A-2C
= -A
2A + C = 0 -C = -4 C = 4 sustituyéndose este valor e n ( l ) : / l - 4 = 2 .*. A = 6. M u l t i p l i c a n d o (3) p o r - 2 y sumándosela a (4), tenemos: -25-2D = 2 2
B
+
=
D
-D
D = -3
= 3
Sustituyendo este valor en (3): 5 + 3 = - 1 . 1=
l
B = - 2 , p o r lo que:
.*.
f-2x-2, 4x-l , — : dx+ — dx x +\x +2 t2xdx _ r dx , f 2x . . t dx = - — — +2 — +2 — dx + 3 f ^ — x + l x +2 x +2 x + 2 i l 2 ,l 2 [ x 3 = - l n x + 1 — - ¡ = a r c tan —¡= + 2 1 n x + 2 + - ^ a r c l i ^ " \ V 2 T ^ V 2 f
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
l
f J
2
1
x
tan-7=
T
+ c
4~2
x + 2x + 4 x +10x +24 4
2
Solución: x + 2x + 4
x + 2x + 4
3
x +10x 4
2
+ 24~(x +6)(x +4)~
JC + 2 x + 4 = (Ax+B)(x 3
3
2
2
2
+ 4 ) + (Cx+D)(x
_Ax + B_
CX + D
x +6
x +4
2
+
2
+ 6)
2
= Ax + 4 A x + # x + 4B + C x + 6 C x + D x + 6Z) 2
3
= X
3
3
2
( A + C ) + X ( £ + D ) + X ( 4 A + 6 C ) + (4JS + 6 D ) 2
A + C = \) 4A + 6C = 2 5 +D = 0 4 5 + 6£> = 4
(2) (3) (4)
M u l t i p l i c a n d o (1) p o r -4 y sumándosela a (2) se obtiene C = - l , sustituyendo este valor en (1) se obtiene A = 2 M u l t i p l i c a n d o (3) p o r -4 y sumándosela a (4) se obtiene D = 2, sustituyendo este valor (3) se obtiene B = -2. Por l o que: 123
CAPÍTULO IV
_ 2 f 2xdx
2
JJC -6
f
3 f 2xdx
dx
JJC -6
2
_ ~ |* dx
2JJC -4
2
JJC -4
2
2
= 21n|jc -6| + 2 - p a r c t a n ^ - | l n | j c - 4 | - 2 ^ a r c t a n ^ + c Vó 2 2
2
Cuarto: Factores
cuadráticos
A cada factor cuadrático repetido que se presente en
repetidos.
el denominador de una fracción
racional propia le corresponde
una suma de
fracciones de la siguiente forma: Ax+B (ax +bx
+ cf
2
Cx + D
+
ax +bx
+ c
2
[ax +bx
+ cf
2
+ ...+
Rx + S (ax +bx 2
+ cf
siendo A, B, C,...,R, S constantes a determinar.
119. J
2x + 3
2x +x 2
dx = I
Solución: 2x
3
+ 2x +x
Ax + B
2
(S+Sf
(S ¿f
x +S
+
2
+ 2x + x = ( A x + B\x
2x
3
Cx + D
2
2
= Ax +SAx
+ %)+ Cx + D + Bx +SB
3
2
= x ( A ) + x {B)+x{S 3
2
+ Cx + D A + C)x + ( 8 5 + D)
+ C =1
A = 2
8A
B = 2
SB + D = 0
de donde: A =
J
2 , B = 2 , C = - 1 5 , D = -16 Cx + D
+8 Xr + 22
J (x +sf
dx
2
dx
124
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
Las tres primeras integrales son inmediatas, para resolver la cuarta realizamos u n cambio de variable trigonométrico: r
L a raíz es de la f o r m a -Jb u 2
2
dx
, para la c u a l :
+a
2
a =S 2
b =l = X
2
2
cuyo cambio de variable es u =
a
S
b =\
2
U
=
a
u
—
x
tan z
b
x = — tan z —> tan z = —¡= 1 V8 dx = V8 sec zdz 2
Vx +8
; vV+8
2
V8
• = sec z
,
r>/8 sec zdz 2
1 2
=V8secz
l
1
r dz
f
2
J
1
. 1 1 O _L. z + — — r r ^ " 2z + c (8)^ (8)^ 4
Por medio de la identidad trigonométrica senxeosx
1
= ^senlx
regresamos a un
ángulo sencillo:
f . - í44-1—W«>"c t a n - * = + ( 4 1 — K r i ^ s e n z e o s z ) + c
UJí^X 1 2
^(8)^
V8 U J f o)K$ V8 UJ( 8
x
arctan^= +
1
( 1 )
V8 UJ( )K 8
V
x
V8 V*
7
^
+c
125
CAPÍTULO IV
por l o tanto: 15 ( x + 8 ) "
1
2
V8
/ = ln|x +8| + 2 - ^ a r c t a n - ^ V8 2
1 1
x
a r c t a n
2j( )X a r c a n V8
-16
8
1 2
x >/8 UJ( 8 )K Vx^'Vx^Ts *li)Ú
í1
t
x
1
, , _ 2 x 15 _ 1 x 7 = lnx +8 + arctan ^=+—r— * - 8 — , arctan ^ = 8 8 2(x + 8 ) (g) : 8 2
2
120. J
3x +2x + l
. dx= x +8x +16 2
4
3
8
+ c 8x
TT—Z—+
(8) 2X +8 3
2
3x +2x + l . ^—dx = I (r- 4f
f
2
I—
2
+
Solución: 3x +2x + l
Ax + 5
2
(x +4
Cx + D
(S+tf
x +4
2
2
3 x + 2 x + 1 = ( A x + BÍx 2
+ 4 ) + (Cx + D )
2
= A x + 4 A x + Bx + 4 5 + Cx + D 3
2
= x ( A ) + x (flj1+x(4 A + C ) + (4B + D ) 3
2
de donde: A = 0
4A + C = 2
5 = 3
45 + D = l
A = 0 5 = 3 C = 2 D =- l l rAx + 5 .
r Cx + D
= l^ j¿ *n**)-u/3
'*
+
; +
2 + 4
2x-ll
r0x + 3
.
*
^(Vx^Tl)
J V
dx
4
Resolviendo la tercera integral por u n cambio de variable trigonométrica:
Vx
126
2
+ 4 =Jb u 2
2
+a
2
=>w=-£tanz
c
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
b
= 1
b = 1
a
= 4
a = 2
= x
U= X
2
2
u
2
x = — tanz 1
W
+ 4 = s e c z ^ Vx 2 + 4
,
2
dx = 2sec
,
zdz
2
tanz = — 2
=2secz
de donde: f 2 sec zdz _ 1 f dz _1 = ¿8 Jf sec - 42 -7 = 8¿Jf c o s > a f e (2secz) 8 sec z 8 2
J
4
J
2
= I J l ( 1 + eos2z)dz = ¿
=
T r 2 lo
+
^ 51
í
e
n
2
2
+
C
Jdz +
= TZ lo
Z +
feos2z(2dz)
TT( ) ^ JZ 2
S
N Z
cosz + c
1 z^ +1— senz eos z + c = — 16 16 1 . x^ 1 + c , = — arctan — + — , • , 16 2 16LVV+4 Vx +4
p o r l o tanto,
2
/ ^ l l ^ t a n f l +l ^ - l i a ^ t a n l + I 3
,
=—arc
x
11
1
tan — -
2-^-16
2
(11
x
t
a r C t a n
•+ c + c
2ÍYj
rx + 2 x - 3 J C + 2 X - x + 1 . 121. J — ; Í¿X 5
3
4
2
(**+l)f
Solución: x +2x -3x 5
4
3
+ 2x -x +l 2
A X+ B
C X+D
x +l
f^ + l)
2
2
+ -
£ X + F
f^ + l)
3
x + 2 x - 3 x + 2 x - x +1 = (Ax + B \ x + 1 ) + (Cx + DXx +1)+ {Ex + F ) 5
4
3
2
2
2
2
= (Ax + flX* + * +1) + (Cx + DXx +1)+ (Ex + F ) 4
2
2
2
127
CAPÍTULO IV
JC + 2x* - 3JC + 2x 5
3
- x +1 = A x
2
+ 2Ax
5
+ 2Bx
+ Ax +
3
+B + Cx
2
3
= x {Á)+x {B)+x (2A A
5
+ D)+X(A
2
A
2
+ C + E)+{B
de donde: A = l
A = l = 2
5
= 2
5
2A + C = - 3
2(l)+C = -3
C = -5
2B + D = 2
2(2)+D = 2
D = -2
A + C + £ = - l
l + (-5)+£ = - l
£ = 3
B + D + F = \+ (-2)+F = l •x + 2 / = , dx+ * +l
r - 5x \.
F =1
- 2 , . _ dx +
e
3x + 1 .-
, dx
2
1
dx
f2xdx
5
* x 3
Resolviendo por separado las integrales 4 y 6 , se tiene: a
f/ . *** J
\ /,
(VPTT)
,
a
=>n=£tanz
2
2
4
¿ •
= 1
b
2
¿> = 1
a =l
a = l
2
M
1 x =
7 tan z
2
= A:
M =
2 .
,
, d x = sec zdz
I
<
=
=
x
>/V+l ,
rsec zdz \ v = (sec z f J
128
2
j
= secz
r dz az I 2 sec z 1
2
=
l
c
o
s
+D + Ex + F
+ C)
3
+ X {2B
Bx
+Cx + Dx
»k
J(l + eos 2z)dz = * Jdz + * Q j Jcos 2z(2dz)
+ D +
F)
TÉCNICAS D E INTEGRACIÓN
1 , = —arctan
JC ^
1 x 1 —+——====•—===== + c
1 2V^T—[ 7^777
2
de la forma:
VJC +1
=y¡b u +a => u = — tan z b 2
2
2
2
donde: a
= l
2
a= \
b =\ = \ 2
u
= x
2
JC = tan z
rjpiz£
7
2
J
(secz)
ptz_
=
6
J
2
\í \ dz+
* 4 =
cos 2
z
4
d
4
z
+
]**G)2 ¡
4 \z + 4 í
\
cos2
C
O
S
z d z
dz
2
2z)dz
2
2 z d z
2
Z
(
2
D
Z
( )+\dz+1
c o s 2z 2dz
= sec z
J
sec z
= j J(l + 2 c o s 2 z + e o s
=
2
= j|^(l+cos2z)
= J(cos zfdz
U=X
; dx = sec zdz ,
f
=
2
) \ l + cos4z]dz +
J
c o s
= \\dz+\1 J d z + ± Jcos4 z 4 d z = -7 z+T ^ « 2 z + 4 z + -=x sen4z + c 4 4 8 32 3 1 1 = —z + — (2 W/iz cos z + — \lsen2z eos 2 z ] + c 8 4 32 3 1 = —z + — senz cos z + — [ s e n z cos z ] + c o 2 lo
129
CAPÍTULO IV
3 1 x /, =—arctan x + 8 2y/x2+l
VJC +1
2
2
x
= h * 2(xkT) C
nX+
2
2
+ c
T6 x +l
+
+ C
){y¡X +l
Jx +l
1 6
2
Por lo tanto, el resultado es: 1, I 2
,
,|
5(A- +I)"'
„
I =-ln\x + 1 + 2 arctan x — ' 2 I I 2 - 1 3 (x + 1 ) " 3 x 2
+
— 2
2
' -2
+
2
1
2
Ejercicios
2
1 [ x + c arctanx + — T - , 1+ , 8 2(x + l ) 16Lx +l
x+
— T - T —
arctan
2{x +\)
1
x +l
2
— arctan x + —r—. \ 2 2(jc +l)
2
= \ +1| + 2 arctan
2
x
1
2
_
2
x
2
2
+ - arctan x + 2 ( x + l ) 8 ( x + l) 8
4(x + lJ
2
2
2
+
4.6
Resolver las siguientes integrales. x--9
J(x-3)
dx
íx
t +4x
2
J
9
3
dx
(x + D
-
^
10. J
-
J JC + 6 J C + l L c + 6 3
2
V 2 )
130
2
Qc + l)¿x 3
dx
J(jc +lXx +3) 2
2
(3x +l)djc
r
dx
+ l p - 9 )
4
¿Zx 3
2
3
\x +\\x +4) 2
2
r ( . x + 2 x + ;c-l)¿x
1 2
4
'
J
3
(x +l) (x+2) 2
2
+c
CAPITULO V LA INTEGRAL DEFINIDA
5.1
INTRODUCCIÓN
El concepto de la tangente fue uno de los motivos para el desarrollo del cálculo; condujo al concepto de derivadas. Otro motivo importante que originó el concepto de integral fue el cálculo de las áreas.
5.2 SUMAS
DE RIEMANN
Y NOTACIÓN
DE
LEIBNIZ
Sea / una función definida en el intervalo (a,b) y sea n > 0, se divide el intervalo (a,b) en N subintervalos con puntos extremos: a = x < x, < X , n
<... <
se selecciona en cada subintervalo un punto
x_ = b
(psi) tal que:
x <£
l
l
2
2
n
t
n
y se forma la suma:
s = /(£ X*. - *0)+/(£ X*2 -*)+/(SJIK -*,)+...+AL X*. - v.) Al número S se le llama suma aproximada, o suma de Riemann, para la función / El significado geométrico de S se ve en la figura 5.1.
a = x„
x,
x
:
x,.
t
x,
Fig. 5.1
X..,
x =
b
CAPÍTULO
V
5 es la suma de las áreas de rectángulos de anchuras o bases {x
—
2
(x¡-x ), 0
J C , ) , . . . , ( x - * „ _ , ) y de las alturas / ( £ , ) , / ( £ ) , . . . , / ( £ , ) • n
Si algunos de los rectángulos se encontraran debajo del eje x, sus áreas entrarían en 5 con un signo menos. Podemos ver separadamente el área de un rectángulo /' cualquiera. 4 = base x altura = / ( £ ) A J : , A*, = [ * , - * , - , ] = base / ( £ ) = altura si sumamos todos los rectángulos obtenemos una aproximación del área real bajo la curva y está dada por la siguiente expresión: n
Área aproximada = ^ / ( £ , H*,
Si se toma el límite de esta suma cuando n tiende a infinito, se tiene una mejor aproximación al área independientemente de la forma en que se subdivida el intervalo [a,b] y del punto elegido en los subintervalos de donde observamos:
líms = lím^fixifa, n
n=oa
n—too
=
\f(x)dx *
¡f{x)dx
se conoce como la integral definida de / entre a y b. A los números a y b se les designa como extremos; otras personas les llaman límites de integración: inferior a, superior b.
5.3 ALGUNAS
Si f(x)es
PROPIEDADES
una función continua definida en [a,b], entonces:
a) )f(x)dx
=
a
b) \f{x)dx
132
DE LA INTEGRAL
=0
-)f(x)dx
DEFINIDA
CAPÍTULO
V
c) Si / es una función en un intervalo cerrado [a,b] y c es un punto del intervalo, donde a
\f{x)dx=\f{x)dx+\f{x)dx.
d) Sea k una constante y f(x) una función integrable en [a,b], entonces: *
*
¡kf(x)dx
=
k¡f{x)dx
a
a
e) Sean f(x) y g(x) funciones integrables en [a,b]; entonces: b
\
b
g(*jfc
a
f)
b
= \f{x)dx +
¡g{x)dx
a
a
Si f(x) y h(x) son funciones integrables, tales que f(x)
< h(x) para
toda x de [a,b], donde a < b, entonces:
)f(x)dx<
)h{x)dx
Ejemplos 5.2
3.
¡xdx i Solución: jxdx =
16-1
15
2 Se observa que F(x) = — es una primitiva de f(x) = x. x
4. ^sen xdx o
Solución: X
jsen
xdx = - eos x * = -[eos k - eos 0] = - ( - 1 - 1 ) = 2
133
CAPÍTULO
5.
V
\-dx Solución: ¿ r = lnxr = l n e - l n l = l - 0 = l
Se observa que la función 1/x es continua en todo intervalo que no contenga el cero; por lo tanto es integrable en todo intervalo que no contenga a cero.
6.
je dx x
a
Solución: \e dx = e \=e x
7. Evaluar la integral definida:
x
h
-e°
j(2x-\fdx.
Solución:
j(2x-l) dx=
| ( 4 X - 4 J C + 1) dx=-[x ]-2x
2
2
3
+x
2
o
= (j(l)'-2(l) +l)-(j(0) -2(0) 0 !
3 8.t u
W
3
!
3
! +
3
dx eos
X
Solución: Como
1 eos
= sec x, entonces: X
u
jsec xdx =tan ac|* = tan b - tan a 2
9. Dada la función escalonada g{x), tal que:
134
6
si
-3 < x < -2
2
si
-2
3
si
0
-2
si
2
definida en
(-3,4)
LA INTEGRAL DEFINIDA
Solución:
¡g(x)dx=
Ejemplos
pdx+ \(-2)dx = \2
¡6dx + ¡2dx+
-3
-3
-2
5.3 U.3
2. Calcule una suma de Riemann para \(l + x )dx
y para la subdivisión:
2
o
O < 0.1 < 0.2 < 0.3 < 0.4 < 0.5 Solución: Se selecciona un punto en cada uno de los 5 intervalos; los cuales son 0.05, 0.15, 0.25, 0.35 y 0.45. Entonces la suma deseada es: (l + 0.05 \0.1 - 0) + (l + 0.15 \0.2 - 0. l) + (l + 0.25 \o.3 - 0.2)+ 2
2
2
(l + 0.35 \0A - 0.3)+ (l + 0.45 \o.5 - 0.4)=0.54125 2
2
5
la cual es una aproximación al valor de | ( l + x )dx = 0.5416 2
a
Teorema del valor medio para integración definida Teorema 5.3.1 Si la función f(x) es continua en [a, b], entonces existe en (a, b) un punto £ tal que:
)f{x)dx
=
f{ab-a)
a
a / ( £ ) se le conoce como el valor medio de la función f(x) en el intervalo [a,b]. Teorema 5.3.2 Teorema fundamental del cálculo Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces:
)f(x)dx
=
F{b)-F(a)
a
donde Fes cualquier función, tal que F'(x) = f(x) para todax en [a,b].
135
CAPÍTULO
Ejercicios
V
5.3
Resolver las siguientes integrales.
5.4 INTEGRAL
DE UNA FUNCIÓN
POSITIVA
Se tiene un función continua y = f(x) definida para a < x < b, / ( J C ) > 0 y su gráfica se encuentra sobre del eje x (figura 5.1). Limitada por las rectas x = a, x = b y y = 0. La región bajo la curva tiene un área definida A que discutiremos más adelante. Por el momento aceptamos el concepto intuitivo de área de una región. y i1
/y=m
0
1
a
Fig. 5.2 El valor de A depende de la función/ y de los números a y b, de donde:
A=)f(x)dx
136
LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 5.4.1 3
El símbolo jx£¿c representa el área indicada en la figura 5.3, es decir 2 3
A
= ^xdx
Solución:
Fig. 5.3
5.5 AREA
BAJO
EL EJE X
La figura 5.4 muestra diferentes regiones arriba y abajo del eje x.
»• x
Fig. 5.4
J/to Es igual a la suma de las áreas A2 y A 4 menos la suma de las áreas A i y A 3 , son siempre positivas, esto es tomamos el valor absoluto de la función y = f(x) .
137
CAPITULO VI APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
6.1 EL AREA
BAJO UNA
CURVA
De lo visto en el capítulo anterior, se puede identificar el área limitada por la función f(x) > 0 y por las rectas x - a , x = b y el eje x, por medio de la integral definida:
A=¡f{x)dx a
como se muestra en la figura 6.1. y
y=f(x)
>• v
Figura 6.1
Ejemplos
6.1
1. Dada la f u n c i ó n / d e f i n i d a por f(x) = yfx, encontrar el área de la región bajo la gráfica desde x = 1 hasta x = 8. Solución:
A = > xdx = ]x*dx = J J
x*
3
A
=
Í8 ' -1 > ) =
3
4
á
v
4
'
4
45 u
5
A
CAPÍTULO V I
Nota: El área está dada en unidades cuadradas, dependiendo del problema de aplicación serán cm , m , dm , etc. La región se muestra en la figura 6.2. y
Figura 6.2 •
2. Calcular el área limitada por la parábola y — -x
2
+4x y el eje x.
Solución: En esta caso se observa que no se dieron en forma explícita las rectas x = a y x = b pero se encuentran buscando los puntos de intersección de la curva con el eje JC, haciendo y = 0 , esto es, - x + 4x = 0. Factorizando: x(- x + 4) = 0, de donde las soluciones de la ecuación son x = 0y x = 4. La representación gráfica se muestra en la figura 6.3. 2
>' y = -x
2
_
140
+ 4x
4 , 4(4) _32 3 2 3 3
2
¡ j 2
APLICACIONES D E L A I N T E G R A L DEFINIDA
3.
Si nuevamente se calcula el área de la misma parábola y = -x
2
+ 4x, el eje x,
pero ahora desde x - 1 hasta x = 3 tenemos: Solución:
la representación gráfica se muestra en la figura 6.4): y
v = -x
+ Ax
2
X Figura 6.4
entonces: 3
_
A = J(- x + 4x) dx -
-
2
O)3 3
+
4(3p 2
3
r
-
+ i
v 3
,
^ 2
+
3
X
4^ 2)
4. Calcular el área de la función y = 3 desde x - 1 a x = 3 y el eje horizontal. Solución:
La representación gráfica se muestra en la figura 6.5. y
3-
A
V
0
3
Figura 6.5
3 A = ¡3dx = 3x\] = 3(3)-3(1) = 6 u
2
141
CAPÍTULO VI
Ahora, si la función está por debajo del eje JC, o sea f(x)<0
en [a,b] entonces
consideramos y = | f(x) | > 0 , como se muestra en la figura 6.6, y se escribe:
A=
-\f{x)dx
*• v
5. Calcular el área A limitada por la función f(x) - senx y el eje x en [0,2;r]. Solución:
La representación gráfica de la función se observa en la figura 6.7.
Figura 6.7
De la gráfica:
A - jsenx dx = jsenx dx - jsenx dx 0
0
It
= - eos.x" - ( - e o s * ) * = 2 + 2 = 4 u 0 'K 2
v
142
2
APLICACIONES D E L A INTEGRAL DEFINIDA
También se puede presentar el caso análogo A = j g ( y ) d y
6. Calcular el área limitada por la parábola x-3+2y-y
', el eje y y las rectas
y = o, y = l . Solución: Se gráfica para encontrar los puntos de intersección con el eje y haciendo x = 0, o sea 3 + 2y - y = 0, la cual, cambiando el signo es equivalente a: 2
y - 2 y - 3 = 0 , factorizando, ( y - 3 X y + l) = 0 2
de donde y = 3
y
y = - l . En estos valores x = 0 tenemos los puntos ( 0 , - l ) ,
(0,3). Damos valores intermedios del intervalo [—1,3]: 3+ 2y-y
2
X
y =- l
x=0
y =0
x=3
y=l
x=4
y =2
x=3
La representación gráfica con estos valores se muestra en la figura 6.8.
Figura 6.8
A=){3 + 2y-y-)dy=3y
+ ^ - - ^
= 3+ 1 - - =— w 3 3
143
CAPÍTULO VI
6.2 ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE
DOS
CURVAS
Sean dos funciones/(x) y g (x) continuas en [a, b] donde f(x) > g(x) para toda x en [a, b]. Para encontrar el área limitada o acotada por las dos curvas y = f(x),
y = g(x)
y las rectas x = a y x = b que se muestran en la parte sombreada de la figura 6.9, el procedimiento a seguir es: A l área acotada por la función f(x) x-b
y las rectas x = a y
le restamos el área limitada por la función g(x) y las rectas x-a
y x = b,
esto es: b
b
A = \f(x)
b
dx-\g{x)
a
dx= ¡{f(x)-g{x))
a
dx
a
y i1 v=/(.v)
y = g (x) 0
a
b Figura 6.9
Ejemplos 6.2 7. Calcular el área acotada por las curvas y - x y y Solución:
x. 2
Buscamos las coordenadas de los 2 puntos de intersección de ambas
curvas igualando las ordenadas, o sea, x - x , de donde: x - x = 0 . Factorizando, x(x - 1 ) - 0 , se tiene, x = 0 y x = 1 que serán las abcisas de los puntos buscados y las ordenadas (y's) las encontraremos sustituyendo estos valores en las funciones originales, o sea: 2
2
si y = x, para x = 0 se tiene: y = 0 ; si y - x, para x = 1 se tiene: y - 1 y obtenemos los puntos (0,0), (l, l ) en donde se cortan las curvas, como se muestra en la figura 6.10. Por lo tanto, el área buscada es:
A=\{x-x J )dx ' o 2
v
144
= 42- 4 -3
> 0 0
=Í4 2
¿ 3 =6
"
2
APLICACIONES D E L A INTEGRAL DEFINIDA
y i L
\
1 /
k = A7
\: -i >
/^V = -V
W
1
1
Figura 6.10
Nota: Cuando se dude de cual e s / y cual es g para que se cumpla f(x) > g(x), se comparan las dos curvas en un punto dentro del intervalo [a,b], como en las curvas y, = x y y = x 2
2
definidas en [0,l] tomamos: 1
1 , entonces y. 2 . 2 1 1 x= , entonces y, 2 4 1 1 x=
>
2 4 es por eso que en el integrando se tiene la recta menos la parábola. 8. Encontrar el área de la región entre las gráficas de las funciones y = x-2 y=
y
2x-x . 2
Solución: Si se intersectan las dos curvas para encontrar los puntos cuyas coordenadas son soluciones simultáneas de las dos ecuaciones, esto es, x— 2=
2x-x
2
Pasando los términos a un solo lado y factorizando se tiene: x -x-2 2
= {x-2\x
+ \) = 0
de donde x = 2 , JC = - 1 , o sea, tenemos P(2, y ) y Q(-1, y ) . Para encontrar y, se sustituyen los valores de JC en cualquiera de las ecuaciones dadas obteniendo P(2,0) y Q(—l,-3), que son los puntos comunes a las dos gráficas, como se muestra en la figura 6.11.
145
CAPÍTULO VI
P -4
•
•
A
3
Q
Figura 6.11
Damos otro punto del dominio de la recta para saber por dónde pasa la curva, es decir, S Í A - = 0 , > ' = X - 2 = Ü - _ _ ) tenemos el punto (0,-2). Análogamente, en la parábola y - 2x-x
damos los puntos x = 0 obteniendo
2
y = 0, y x = 1 obteniendo y = 1. Por lo tanto la gráfica es (figura 6.12):
>• .Y
Figura 6.12
Entonces: i
¿
A = ^2x-x )-{x-2))dx= 2
í i 2 = \ — + 2x 3 2
j(-x
2
+x + 2)dx
A
9. Encontrar el área de la región limitada que está en los cuadrantes / y IV, de la gráfica de la función y = 4x - x . 2
146
2
A
APLICACIONES D E LA INTEGRAL DEFINIDA
Solución:
Como y = ± x
, la gráfica es simétrica respecto a uno y otro
ejes de coordenadas. Los puntos de corte con el eje x son W4-.V
2
= 0 => x = 0 y y¡4-x
= 0,
2
o sea, 4-x = 0 ; de donde x = 4 .'. x = ± 2 , como se observa en la figura 6.13. Ahora se encontrará el área de la región sombreada que está entre x = 0 y x = 2 . La ecuación de la parte de arriba del eje x es 2
2
y = x\j 4 - x
2
y la ecuación de la región debajo del eje x es y= 2
-xy¡4-x
2
•
A = ]((xy¡4-X
2
..
2
) - (- Xy¡4-X ))dx
= ]2xy¡4-X dx
2
= y
2
U
2
0
:t 2- . y = 4x - 4 2
f
-2
1
-i
1 t
7t
y\
2
\
1
r
I'
-2Figura 6.13
10. Hallar el área de la región encerrada por y = x~ y y = 9. Solución: Para encontrar puntos de corte hacemos x = 9, de donde x = 3 y x = - 3 . La representación gráfica se muestra en la figura 6.14. El área es: 2
= 36
u
2
147
CAPÍTULO V I
1
v =
/
\
V
-3
S
0
i 1
x
2
y = 9
k
*
3
Figura 6.14
Ejercicios
6.2
Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las siguientes ecuaciones. Bosqueje cada región. 1.
y = x* , y = 0 , x = 1 , x = 3
2.
y = 9-A-
3.
\x
4.
y = eos x , el eje x recta
5.
y=x
6.
y
7.
/ ( A - ) = A- + 3 J C - 5
8.
y = Ax ,
9.
y=x
,
2
i
2
y = 0 , .v = - 2 , x = l
,
2
x-y
2
, y = 3x + 2
=3JC-2
,
y =
2
2
2
x-2 ,
x=\
, y=l
10. y = 5x , y = Jt - 4 x 3
148
.v = 0 , .v = 2K
g{x) = x + 3
CAPÍTULO VII VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
7.1
DEFINICIÓN
En muchas ocasiones es necesario diseñar una pieza para una maquinaria, ya sea como molde o parte de un sistema mecánico y a partir de ahí calcular el costo de ésta. Para el diseño de la pieza, se puede trabajar con los llamados sólidos de revolución, los cuales se generan al rotar un área plana alrededor de un eje determinado, llamado eje de revolución. Este volumen corresponde al área bajo la curva, limitada por unas rectas y rotada inicialmente sobre algún eje coordenado. Para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución emplearemos tres métodos que son: Método de Discos, Método de Arandelas y Método de Capas Cilindricas.
7.2 MÉTODO DE DISCOS Definamos un área bajo la curva limitada por una función y = f(x) x = a , x-b
y se rota inicialmente sobre el eje x, figura 7.1.
Supongamos que f(x) cerrado
y dos rectas
[a,b],
es una función positiva y continua en el intervalo
dividamos este
intervalo
subintervalo tendrá el tamaño Ax¡ = x¡
en
n
subintervalos, donde
cada
, figura 7.2
••.Y
Figura 7.1
Figura 7.2
Si rotamos esta parte del área limitada por la curva y = f(x), rectas x¡ -
el eje JC y las
, x¡, observamos que se genera un círculo con un pequeño grosor , como se muestra en la figura 7.3.
CAPÍTULO VII
Figura 7.3
Si llamamos A*. = x¡ - x¡_¡ y recordamos que el área de un círculo está dada por A = K r donde r = f(x); en cada punto se tiene que el volumen está dado por: 2
V = 7i r Ax¡ = 7c[/(.v)] Ax¡ = n 2
2
y Ax¡ 2
Si hacemos dx = Ax¡ y sumamos todos esos pequeños volúmenes tendremos que el volumen total estará dado por V = ^ / r y dx y si hacemos que el tamaño 2
de cada subintervalo tienda a cero, podemos escribir:
jn y dx 2
fórmula utilizada para calcular el volumen generado al rotar el área comprendida entre la curva >• = f(x), las rectas x = a, x = b y el eje x, al rotarla alrededor del eje x,
De una forma similar la fórmula utilizada para calcular el volumen generado al rotar el área limitada por la curva x = g(y), las rectas y = c, y — d y el eje y al ser rotada alrededor del eje y será:
V
=jt\x dy 2
Ejemplos 7.2 1. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región limitada en el primer cuadrante entre y -5x-x , la recta x = 3 y el eje x al rotarla alrededor del eje x. 2
150
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Solución: Dando valores a .Y se obtiene la figura 7.4:
y 0 2.25 4.00 5.25 6.00 6.25 6.00 5.25 4.00
X
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
í
• A
Cálculo del volumen: *
3
3
V = n \y dx = n\{5x - x ) dx = n J(25JC - 10x + x* )dx 2
2
2
2
3
o
25x" lux
4
= n
3 = 71.1-7 u*
x
25
5
= n
+-
4
3
(27)-
1 0
4
(81)+
2 4 3
5
5
2. Calcular el volumen del sólido de revolución limitado por y = sen x, x = n y el eje x al rotar alrededor del eje JC.
x-0,
2
Solución: Dando valores a .v y trazando el gráfico correspondiente se obtiene la figura 7.5: y X
0 71/2 7C
y 0 i
0 •
b
x
n-
V = n jy dx = n j(sen x) 2
2
2
X
-2
dx = n J — (l - eos 2x) dx t
71
71
71
71
= / r j j ( l - 2eos 2x + eos 2x)dx = ^ jdx - j jcos 2xdx + j jcos 2xdx 2
2
151
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Solución: Dando valores a x se obtiene la figura 7.4:
X
y 0 2.25 4.00 5.25 6.00 6.25 6.00 5.25 4.00
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Figura 7.4
Cálculo del volumen:
V= n\y dx 2
= n j{5x-x ) dx
= n\{l5x
2 2
2
-1 O* + x*)dx 3
ii „4
= 71
..5 +
3 = 71.1* k
25
= n
4
(27)- (8,) 4 1 0
3
+
2
4
3
5
3
2. Calcular el volumen del sólido de revolución limitado por y - sen'x, JC = 0, x - n y el eje x al rotar alrededor del eje x. Solución: Dando valores a x y trazando el gráfico correspondiente se obtiene la figura 7.5: X
0 71/2
y 0 i
0
K
b
n r j
!t
V - 7T jy dx = 7T j(sen xfdx 2
-i 2
- n j — (l-cos2x) dxi
2
• 7T J— (l - 2 eos 2x + eos 2x)dx = ^ jdx - y jcos 2xdx + ^ jcos 2xdx 2
2
151
CAPÍTULO VII
= * )dx-[*
V
f Í
=
~f í
¿ V
o
=
71
o
"
X
o
4
1 Jcos2x{2dx) + *']i(1 4 ¿2
+ eos4.vVA-
1
C O S 2 í
(
2 ¿ r
) f +
+
(f)4 Í
C 0 S 4
- ( v
4 í ¿ t
)
_ * # T 71 . 4 sen2x o + g x o + 32 senAx
71
= - ( 7 l ) - 0 + -(7t) + 0 =
—— = -71 u
3. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al rotar en el primer cuadrante el área limitada por la curva y = x , x = 1, x = 2 y y = 0 al rotar alrededor del eje x. 2
3
Solución: Dando valores a * se obtiene la figura 7.6: X
V
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0 0.35 1.00 1.84 2.83 3.95 5.20 Figura 7.6
Cálculo del volumen:
V = 7t jy'dx = n ÍI .v' ' ) dx = n \x*dx = K 3 2
1571
4
4
i
u 4 4. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al rotar el área comprendida entre la curva y = e", el eje A: y las rectas x = 0 y A: = 2,al rotarlas alrededor del eje x. Solución: Dando valores a a: se obtiene el gráfico de la figura 7.7:
152
VOLÚMENES D E SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
y 0.61 1.00 1.65 2.72 4.487 7.39
X
-0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0
Cálculo del volumen:
V = njy'dx
= n\(e
=
n¡e dx 2x
o
2 2
L
1
= |[54.59-1] 53.59
de donde V = 26.795 n
u\
5. Calcular el volumen del sólido de revolución limitado por la región comprendida entre y
x = 0 y y = 0, y = 2 al rotarla alrededor del eje y.
Solución: Dando valores a x se obtiene el gráfico de la figura 7.8. Cálculo del volumen:
a
¿
¿
V = n ^x dy = K j(y ) dy = n ^y dy = n 2
2
2
32 „
3
A
153
CAPÍTULO VII
y 0 1.00 1.41 1.73 2.00 2.24
X
0 1 2 3 4 5
En algunas ocasiones, para generar un volumen de un sólido de revolución, se rota alrededor de un eje paralelo a uno de los ejes coordenados, procediendo entonces a su cálculo, como lo indicamos en el siguiente ejemplo: 6. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área limitada por la curva y = 2x - x y el eje x al rotarla alrededor del eje y = 3. 2
Solución: Los puntos de intersección de la curva con el eje x, se obtienen haciendo y = 0, obteniéndose las raíces x = 0 y x = 2. Dando valores a x se obtiene la figura 7.9:
X
>'
0 1 2
0 1 0 y = lx - x
Figura 7.9
Cálculo del volumen:
V = n | ¡ 3 - (3 - yf \bc = nfe - (3 - {lx - x )) \lx 2
1
o
2
o
= n|¡9 - 9 + 6(2*- x )- {lx -x ) \lx 2
2 2
= TI J[l2X-6x -4x 2
o
J ,
2
10*
' \~ ~4 = K
154
40
. 4JC
3
4
x
5
T 80
32
104^ , 15* "
:K
24-
3
5
2
+ 4x> -x*\lx
VOLÚMENES D E SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Ejercicios 7.2 Rotar el área indicada alrededor del eje dado para calcular el volumen del sólido de revolución: 1. y = — x'
x=1 x—4 , alrededor del eje x y =0
2
2. y = cosx,
x =0
x = /. . , , ,. / 4 , alrededor del eje x n
y =0 3. y = ln(x + l), x = 0
x=4 , alrededor del eje x
4. x = y , 2
y =0 y =0 y =l , alrededor del eje y
x =0 5. x = « r > + 2 , y = 0
y =3 , alrededor del eje y
6 x = Jye~ *
v
x =0 v=0
v=2 , alrededor del eje y
x=0 x=0 x=2
7. y = x + l , 2
, alrededor del eje y = 5 8
ÍJC
3^
y =0 3 "~ 0 x
3
^ , alrededor del eje x = 8
y =0
7.3 METODO
DE
ARANDELAS
Cuando calculamos el volumen de un sólido de revolución generado al rotar el área comprendida entre dos curvas alrededor del eje de revolución, podríamos calcularlo obteniendo el volumen mayor (más lejano del eje) menos el volumen menor (más cercano al eje) como se indica en la figura 7.10.
Figura 7.10
Observamos en la figura 7.10 que se presenta un hueco al realizar esta diferencia de volúmenes, por lo que a este método se le conoce como método de Arandelas
155
CAPÍTULO VII
(o de rondanas), y su cálculo lo podemos realizar por medio de una sola expresión de la siguiente manera: V =
V -V =n){[f( )V-[g( )] }dx L
c
X
X
2
donde: V¿ = la más lejana y Ve = la más cercana De manera similar, al rotar alrededor del eje y, el volumen es
v =
v -v =n¡{[f(y)V-[g(y)] }dy L
c
2
Ejemplos 7.3 7. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área comprendida entre las curvas y =x , y =x -7> y las rectas x = 2 y x = 4 al rotarla alrededor del eje x. x
2
2
2
Solución: Tabulamos y obtenemos el área de su gráfico (figura 7.11):
2 3 4
y
yi i 6 13
yi 4 9 16
.V
20-
10-
y-x'-3
1
2
3
4
Figura 7.11
Cálculo del volumen: V = n)[(y f -(yj}dx
f-&~$V
= *%
L
2
-9)dx = T\- - 9x
= n¡[{x*)- (x - 6x + 9)]dx = n¡(6x A
2
2
2
2
= TC[(128-36)-(16-18)] = 94TC M
3
8. Encuentre el volumen del sólido de revolución, generado al girar el área comprendida entre las curvas y, = x y y = 8JT - x al rotarlas alrededor del eje x. 2
Solución:
2
2
Los puntos de intersección se obtienen igualando y, con y , y 2
x = Sx-x , de donde se obtienen las raíces x = 0 y x = 4. Dando valores se obtiene el gráfico de la figura 7.12: 2
156
2
VOLÚMENES D E SÓLIDOS D E REVOLUCIÓN
V2 0 7 12 15 16
>-i 0 1 4 9 16
X
0 1 2 3 4
*• V
V=n)(y - )dx
=
22 yi2
n)lsx-x J-(x fU 2
o
2
o
4
=fe\[(64x -16x + x )- x ]dx 2
l
4
4
= 7tJ(64x -16jc )íit = TC 2
64x
3
64x
16JC
3
4
3
•4x
= n
4
4
3
4096
-1024
1024^
——71
U
3
9. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al rotar, alrededor del eje y, el área comprendida entre las curvas y v = 2
Solución: Igualando y\ y2 se obtiene las raíces x = 0 y x = 4 (figura 7.13): y X
yi
yi
0 1 2 3 4
0 1.00 1.41 1.73 2.00
0 0.5 1.0 1.5 2 *-.\
Rotando en el eje y, c=0 y d=2 V = n}(x Y-(xj]dy 2
=
n)[(2yY-(y j]dy 2
-
TC
32_32 3
5
=
64
3
TC
U
15 157
CAPÍTULO V I I
10. Calcular el v o l u m e n del sólido de revolución generado al rotar el área comprendida entre las curvas x = y , -x 3
Solución:
y, = VJC , y - x . 2
alrededor del eje x.
+ y=0
2
Igualando y, y y , se obtiene x = 0 y x = 1
2
y X
y\
y2
0
o
0
0.5 1.0
0.79
0.25
1.00
1.00
Figura 7 . 1 4
dx = n
5
5
11. Calcular el v o l u m e n del sólido de revolución que se genera al rotar, alrededor del eje x, el área comprendida entre las curvas y
Solución'. Igualando
=
x'
y
2
y[y\
x
y, c o n y , para encontrar los puntos de intersección,
tenemos que los puntos de corte son x - 0 y x = 1
V =
J -(x
2*jfp
2
f Ix
= 2n-x>)dx
=
f n¿ 5
12. C a l c u l a r el v o l u m e n del sólido de revolución que se genera al rotar e l área c o m p r e n d i d a entre las curvas y, = x
2
y x = y
2
al rotarla alrededor d e l eje x.
Solución: Igualando las dos ecuaciones se obtiene x = 0 y x = 1.
dx o
= x\{x-x*)dx
"
= 7r\
x
T
x
-
T I
- J
"n
1
1
I"!
Ejercicios 7.3 Calcule el v o l u m e n del sólido de revolución generado al rotar el área indicada, alrededor d e l eje dado. 1. y, = e , x
158
y = e , y = 0 . Desde x = 1 hasta x = 3 . Eje x. 2
x
VOLÚMENES D E SÓLIDOS D E REVOLUCIÓN
2. y, = 2x, y = x , x = 0. Eje y. 2
2
3. y, = x , y = eos x , 1er cuadrante. Desde x = 0 hasta x = 0.82. Eje x. 2
2
4. y, = x , y = - x + 4 . Desde x = 0 hasta x = 2 . Eje x. 2
5. y, =
2
- 1 , y = 4 - x , x = 0. Eje x. 2
2
2
6. x, = y , x = 2 - y , x = 0. Eje y. = V8x . Eje; 7- y, 2
7.4 METODO DE CAPAS
CILINDRICAS
Sea una región limitada por la gráfica de la función y = / ( x ) > 0 , el eje x y el intervalo [a,b], girada alrededor del eje y (ver figura 7.1). Si esta región la rotamos alrededor del eje y obtenemos un volumen. Para trabajar con este método, subdividamos a este intervalo en n subintervalos de igual tamaño tal que Ax =
b-a
En cada subintervalo escojamos un punto medio r en t
[XW,JC ] (
y construyamos
rectángulos cuya altura es f(r¡) como se indica en la figura 7.15. y
Al girar este pequeño rectángulo alrededor del eje y, se forma un cilindro hueco. Si cortáramos este cilindro y lo desdobláramos, obtendríamos una placa rectangular similar a la mostrada en la figura 7.16. La longitud de la lámina, que es la circunferencia de la capa cilindrica, equivale a 2/c radio = 2n • r¡ y el volumen será: V¡ = largoxanchoxgrueso = (2/c radio)xalturaxgrueso = <2wi)/(i¡)te
Altura
Circunferencia de la capa Figura 7.16
159
CAPÍTULO VII
Sumando estos valores podemos obtener una aproximación al volumen total.
M
Tomando el límite cuando el número de subintervalos tienda a infinito (« —> ©o) tenemos: »
V = límY2x
f{ )Ax
r¡
=
r¡
(=1
\2nxf{x)dx A
o
V = 2K\X
f{x)dx
fórmula utilizada para calcular el volumen de un sólido de revolución que se genera al rotar la región limitada por y = f{x)>Q, x = a, x = b al girarla alrededor del eje y. De una manera análoga para calcular un volumen de un sólido de revolución generado por la región x = g(y) > 0, y = c, y = d,d\r alrededor del eje x será:
V = 2z\y
g(y)dy
J
c
De una manera análoga para calcular el volumen de un sólido de revolución generado por la región x = g(y)>0, y = c, y = d al girarla alrededor del eje x será: V =
27t\yg{y)dy
Ejemplos 7.4 13. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región comprendida entre la curva y = 2x - x y el eje x, al rotarla alrededor del eje y. 2
Solución: Los puntos de intersección de la curva con el eje x, los obtenemos haciendo en la ecuación y = 0, obteniéndose x = 0 y x = 2, y el volumen está dado por: h
V=\2nxf{x)dx a d
b
2
V = 2n \yg{y)dy = 2n \x{2x -x
2
a
c
"2x X*' . 3 " 4 . 160
= 2n 0
2
0
2
3
)dx = 2n J(2x - x )dx
. 3
3
VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
14. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área limitada por x = (y -1) ,
x = 0, x = 1 y el eje x al rotarla alrededor del eje y.
2
Solución: La ecuación puede expresarse como y X
y
y\ i 1.71 2.00
0 0.5 1.0
-(-1. Graneando:
Figura 7.17
V = \2nxf{x)dx
= 2n \x[íx
o
+
o I
I
= 2n jx dx
X*
X
5/ 72
2
2
+ 2K jxdx = 2n
3,2
o
2
=
2/r
2x ' 5
5 2
. x2 +
t
^ ^ 4 + 5 18 ^ = 2/t = —71 u 10 10
3
15. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área limitada por y = 4x , x = 0,;c = 4,>> = 0 a l rotarla alrededor del eje y. 2
Solución: 2
3
0
a
=
4x )ix = 2n J4x c¿c = 2K-
A
V = \27rxf(x)dx = 2K \x(4x
lo
= 512/r
0
u
3
16. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área 2
comprendida entre x = y , y = 0, y = 3, y el eje y al rotarla alrededor del eje x. Solución: (Ver figura 7.6): 3
V = 27r)yg{y}fy
=
27r)y(y^\iy
o
= 2n\y
dy = 27t
l
=-ny
3
161
CAPÍTULO VII
V = | / r [ l 8 . 7 2 - 0 ] = 14;r u
}
17. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área limitada entre y = e
, x = 0, x = 1, y el eje x al rotarla alrededor del eje y.
3t
Solución: (Ver figura 7.7): i
i
V = 2n jxf(x}ix
= 2n
o
]xe 'dx ix
o
si u = 3x y du = 6xdx, 2
V= V"=% -,°]=*[20-l]= /r« 3 o 3 3 3 3
1 9
L
3
1
18. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área limitada en el primer cuadrante por x = 4y y y = 4 alrededor del eje x. 2
Solución: V = 2n \yg{y)ly = 2n \y\2^y\íy
= 2n ¡2y%dy = AK
V
/2 -
y 5
5
0
1
5
Ejercicios 7.4 En cada ejercicio calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar el área indicada al rotarla alrededor del eje indicado. 1) y = 2x - x , eje x. Alrededor del eje y. 2
2) y = -J~x , JC = 4 , eje x. Alrededor del eje y. 3) y = sin x, x = 0, x = ^ , eje x. Alrededor del eje y. n
yx 4) y = e
2
+3, x = ] , x = 4, y = 0. Alrededor del eje y.
y = \n(x +1), x = 1, x = 5, eje x. Alrededor del eje y. 5) y = 2 - x , y = x , 1er. Cuadrante. Alrededor del eje y. 6) x = y-Jl + y , y = 0, y = 2, x = 0. Alrededor del eje x. 2
2
3
162
CAPÍTULO VIII LONGITUD DE ARCO
8.1
INTRODUCCION
En muchos problemas de nuestra vida cotidiana necesitamos medir o calcular la distancia que existe entre dos puntos f¡(jt,,y,) y P (x ,y ), la cual, la podemos obtener por medio de geometría elemental con la expresión: 2
d = ¡{x -x ) y
2
] 2
2
2
+{y -y f 2
]
Sin embargo, no todas las veces esta distancia es tan sencilla de obtener, como por ejemplo en el diseño de un tramo de carretera, la cual nos indica que debemos de rodear un río, una montaña o una diferencia de alturas con una gran pendiente. En este caso necesitamos obtener esta distancia a lo largo de la curva, llamando a esto longitud de arco.
8.2
DESARROLLO
Sea la función y = f(x)
continua en el intervalo [a,b], como se muestra en la figura
8.1. Dividamos a este intervalo [a,b] en n subintervalos, de tal forma que a = x < JC, < x < JC <... < x = b (figura 8.2), y calculemos la longitud de cada una 0
2
3
n
de las cuerdas que se forman por ejemplo del punto (*,_,,>,_,) al punto (x¡,y¡).
*• .v
• x Figura 8.1
Figura 8.2
CAPÍTULO V I I I
D
V(*,-*/-i) (y,-y,_,)
ÍPI-\
=
2 +
2
=VU-^,) +(/U,)-/U-,)) 2
2
(i)
Aplicando el Teorema del Valor Medio del Calculo Diferencial que dice: Si una función / es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe un número c en (a,b) tal que: f(b)-f(a)
= f'(c\b-a)
(2)
Sustituyendo (2) en (1), tenemos: I 12
factorizando: d(p-P»)
= J(*-x,Jb
+ U'(c)Y)
si llamamos X¡ - JC,_, = A*., tenemos:
d( -pj=^J^UWi Pi
= Vl + [/'M] Ax,. 2
Si subdividimos más este intervalo original de forma que el número de subintervalos tienda a infinito y sumamos las anteriores longitudes de arco (LA.) tendremos:
L.A = ± ¡l
+
y
[fic,)}2Ax¡
y si el límite existe cuando n —> °° podemos escribir:
/rm¿Vl + [/'(c,)] A*,. = JVl + [ / ' W ] ^ 2
'='
2
a
de donde la longitud de arco sobre el eje x se obtiene por medio de: b
Lx=Ul
.
+ [f'{x)] dx 2
a
De una forma análoga la longitud de arco sobre del eje y se obtiene por medio de:
164
LONGITUD DE ARCO
Ly = j V i + [ s ' ( y ) N v
Ejemplos
8.2
1. Calcular la longitud de arco sobre la curva y = (x + 2) - 3
desde x-2
2
hasta
x = 4. Solución: y=\{x 2
+ lf>,
(y'f = (x 2) , (yf l = (x 2) l 4 4 í ,v , 9 / , 9x + 18 4 9x+22 (y)+i= .u+2)+i= +-= — 4 4 4 4
= yi b
9
+
+ \f'{x)Ydx
+
= \ + 22^
9
+
+
dx
si u = 9x + 22 y du = 9dx 4 O ' f í n . . ^ J(9JC + 2 2 ) ^ (9dx) = 1 (9^ + 2 2 ) ^ 2)9f 18 ^/
Lx = K
J_ (58) 27
-(40)
/2
18 / 2
=
A ( 54
v
9
x +
2
2)X 7
= 6.99 u
27
2. Calcular la longitud del arco de la función x = ln sec y , desde y = 0 hasta y = ^ 3 Solución: .
sec y tan y
JC' =
/ ,\
2
/
,\ ,
2
2
~ = tany , (*') = t a n y , (*') +1 = tan y + 1 = sec y 2
2
sec y
"Á
d
*/
Ly = j-)jl + (x') dy = J^/sec ydy - jsec ydy = ln|sec y + tan y\£ c 0 0 = l n s e c + t a n ^ - l n s e c O + tanO = l n 2 + 1.732 - l n l + 0 3 3 = ln 3.732 - l n l =1.3169« 2
2
;r
T63
CAPÍTULO VIII
3. Calcular la longitud de arco sobre la curva x = y
desde A(0,0) hasta 5(8,4).
2
Solución: , 3 % i ,u 9 x ' = y , (x'j = y , 2 4
/ ,o , 9 4 9y + 4 (x'J + l = - v + - = — 4 4 4
2
Ly = fyí^F* = )^Ü> _ 1 (9 y + 4 ) ^ 18
= ¿(9>'
+
= { ){9y + ^ d y = \\(9y + ^ 9dy 4 ^ [ J [ ( 4 0 ^ - 8 = 9.35» 7
4. Calcular la longitud de arco de la función y = ln x desde x = 3 hasta x =
VI r. Lx = y{y'f
+ \dx = U^-dx
r
VI
=
Vi
¿¿t = 7
Realizando un cambio de variable trigonométrico, tenemos:
donde: a =1
fl
=l
6 =1
6=1
2
w =x 2
u=x
2
x=
, 2 7 X tan z , or = sec zaz, = tan z
Vi +
x
1
¿
- secz , sec z = VT-Kx2
f^sec J tan z
2
z¿z = fcosz sec z J z = \ * ^ d z Í£« z senz cosz 2
J
J
tan z + 1 dz = [ J sen z
sen z _ f ¿fe + fcsczc/zcos ¡ sen z ¡ c o s
z
= feos" zsen 2
J
166
2
zsen
zdz+ ícsczcfe J
zdz + íese zdz = —-— + ln Icsc z - cot z| cos z J
2
8
LONGITUD DE ARCO
7 = sec z + ln Icsc z - cot z = 0.1043
5. Calcular la longitud de arco de la función: y = x desde A(0,0) hasta 5(2,4). 2
Solución: y'=2x
, (y') =4x , 2
{y'f+\ 4x + \
2
2
2 Lx=
¡yÍ4x ~+¡dx = I 2
Haciendo: u - 4x
u = 2x
a =l
a=\
2
2
2
I =
du = 2dx
j¡yl4x +l{2dx) 2
i (2x )y/4x + 1 + \) Infex +
J4x +l}
2
2
= \ +1 + \c + y¡4x +1) 2 4 2
2
v
7
4 ( 2 ^ 1 7 +1 ln{(2X2) + VÍ7}- 0 + 1 ln[ (o) + Vi] 2
= VÍ7 + i ln¡4 + VÍ7 ] = 4.6466
6. Calcular la longitud de arco de la función y= ^c\e " +e " | desde x = 0 hasta * = a.
Solución:
7 = 2*
"e / 1 / a
a
e
-5/ a
+
=
I ^ _
1
= ^r<3 — \e 2 .a
/a
-e
/ a
i
v
V -- 0 a
(/)% (y)2 l
r
/
1 ( 4V
2
J
2+
4+
e
2 x
„
.2.v
- ^ ] l [ ^ 2+ e - 2 % ] = l ( ^ + ^ ) 2 2
=
e
+
CAPÍTULO VIII
Lx = ]JUe/<> e- /°}dx o +
=\
x
+ e< \tx o
= - e í¿x + - \e dx = -a \e —dx 2 2¡ l i a /a
a
= — ae \ — ae 2 lo 2 /a
/a
— a \e 21
/a
a)
V
dx
1
=\a{e-\)-^-\)
Q
1 1 l - i ^ l 1 la - — ae- — a- — ae + — a = — ae- ——u 2 2 2 2 2 2e 7. Calcular la longitud de arco de la función x + 5 = 4y
2
+ 2 desde y = 2 hasta y = 5
Solución: , x'=—y%=6y%
x = 4y%-3
,
{x'f =36y
,
(x') +l
= 36y + \
2
Ly = y\ (x'f dy = j^36y + Idy = I c
2
Si u = 36y + 1 y du = 36dy y completando la integral, tenemos:
_LJ^-7T
/ =
( 3 6
^)
. 1 {36y + \
= 3
108
{36y + \fí
= ^[(l8l)^-(73)^]=^[2435-555.9] = — [ 2 4 3 5 - 6 2 3 . 7 ] = 33.54w
Ejercicios 8 Calcular la longitud de arco indicada: 1. y = x +3,de
¿(1,4)
2
a
( » ) 2
7
2. x = y¡4y , de_y = 2 a > > = 4 2
5. (y + 4) ={x f 6. y = ln
+ 2) de ¿(2,0) a 5(4,2) \ 7C K , de x = — a i = 6 3 J
2
2
V
=^—^,de y-2
y = l a y =3
1 4. y = — + — •,, de —
8
168
+
4JC
J
JC =
1a x=3
7. v =
* —
16
+
1
> de A
T
2JC
2
18
-2
8. x = 4 / , d e > ' = 1 a y = 8 2
"ir
1
CAPÍTULO IX ÁREA DE SUPERFICIES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
•
9.1
INTRODUCCIÓN
El área de una superficie de un sólido de revolución es la cubierta de un volumen de sólido de revolución, es decir, solamente la parte exterior del volumen. Para calcular el área de superficie de revolución consideremos primero un cono circular cuya base de radio es r y su apotema / como se indica en la figura 9.1. Esta región es el área bajo la curva limitada por unas rectas y rotada inicialmente sobre algún eje coordenado. Si cortamos este cono tenemos la figura 9.2.
Figura 9.1
Figura 9.2
El área lateral del cono truncado es: A = n r (/,+/)2
n r, /,, si hacemos:
r = ^ (r, + r ) (radio promedio del cono truncado) 2
A = 2nrl
(1)
Ahora consideremos una función y = f(x) continua, positiva y derivable en [a,b] que gira con respecto al eje x. Para obtener el área de superficie, dividamos el intervalo en pequeños subintervalos tales que a = x
x
2
n
dentro del intervalo tal que y, = /(*,•)• Tomemos un segmento de la recta limitado por dos puntos />_, y P¡, hagámoslo girar alrededor del eje JC. Esto nos da como resultado el área extendida de un cono
CAPÍTULO IX
cuyo apotema es / = P¡_¡, P¡ y cuyo radio es el promedio de: r = \(y - + y ) i l
i
si esto lo sustituimos en (1), tenemos:
-
a=iA
P,-i,P,
y, i+y<
(2)
Pero \P,,P\ Vto - * - . ) + (y, - v , , ) = 2
Jfaf+M
2
Aplicando el teorema del valor medio a la función en el intervalo [*,-_,, *,.] vemos que existe un punto x en este intervalo, tal que: k
/ M - / ( V , ) = / ' ( * J (*,-*,-•) A
= f'{x )
y¡
Ax,
k
y entonces: | P , P | = ^(Ax,. ) + [f' (x )Ax } M
t
k
2
= Ax
i 2
¡
+ [f'
)]
2
sustituyendo en (2), tenemos: A*.
A = 2;r Cuando A es muy pequeña y = / ( * , . ) = i g u a l entonces:
que y._, = /(*,_,) =
x
y,-, + y,
=
f{x ) + / ( * * ) k
=
^
f{x ), k
j
/ \ 2^"(x )-^l + [f {x )] Ax k
t
^f{x \¡\ *=i k
[f'{x )] Ax k
2
Haciendo que el tamaño de la partición (P) tienda a cero y sumando estas áreas, tenemos:
170
ÁREA DE SUPERFICIES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Hm £ 2Kf{x \¡l + [fÍx )] Ax Q
9.2
k
k
= \ \j\
2
[f'{x )] dx
k
k
2
DEFINICIONES
Si tenemos una función positiva y = f(x), cuya derivada está definida y continua en z\o [a,b] y se gira alrededor del eje x, se tiene la siguiente fórmula:
S =27t\f{x\¡\ x
\f{x )] dx k
2
De una manera análoga se demuestra que si tenemos una función x = g(y) continua y derivable en el intervalo c
+
y
[g'(y)] dy 2
Sin demostrar podemos decir que si se rota una función y = f(x) continua y derivable en el intervalo cerrado [a,b] alrededor del eje y, su área de superficie de revolución se obtiene por medio de la expresión: S =2x]xjl y
+
[f'{x)] dx 2
Si se rota una función x = g(y) continua y derivable en el intervalo cerrado [c,d], alrededor del eje x, su área de superficie de revolución se obtiene por medio de 'a expresión: - I S =2x]yJ\ [g'{y)] x
"dy
7
c
1. Calcular el área de la superficie de revolución que se genera al rotar alrededor del ejex la curva y = Jx, desde x-0
hasta x = 1.
i/ Solución: y = x , 2
171
CAPÍTULO IX
>=\x- >=
\ ( y )
l
2
=
, (y) +i=
1
2
x
^^jMÍ 2 o
d
x
+
=
S = 2x]f(x)f&(xfdx =
1
^
=
{
l
+
4
1 + 4* Ax
i =
2n\rx^dx
x
)
y
2
d
x
JW
Si U = 1 + 4JC y du = 4dx, y completando la integral tenemos: _x{l + 4x/ S =
2
= £ J ( l 4 x ) ^ ( 4 A ) = | ( l + 4x)^ +
= f k 5 p - ( l p = f [ H . 1 8 - l ] - = f [10.18] M
2
2. Calcular el área de la superficie de revolución que se genera al rotar alrededor del ejex la curva y = e*, desde x-2 hasta x = 4. Solución: y'=e
x
, {y'Y=(e y=e \ +1 = ^ + 1 x
2
=2/rJW
Haciendo: a =l
a =l
2
M=e ,
du = e dx y utilizando J V« + a du , se tiene: x
x
2
2
o4
= 2;r|jWe
2 x
+1 + -|(l)ln(e* + Ve ' +1) 2
2 = 2*
e V e ^ + - | ln(e + yfTTl) 4
7
4
^e Ve +l+lln(e +vWl) | 2
4
2
= 2/r ^ (54.60X54.60)+1 ln(54.6 + 54.6) ^(7.39X7.45)+|ln(7.39 + 54.6) S = 2;r[l490 + 2.346]- 2^[27.52 + 2.063] = 2^[l492.34-29.58] = 2925.52* u x
2
3. Calcular el área de superficie de revolución que se genera al rotar alrededor del eje y la curva x - 2^¡y + 1 , desde el punto .4(2,0) hasta el punto 5(4,3). Solución: jc = 2(y + l } ^ ,
172
ÁREA DE SUPERFICIES D E SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
2
y +l
y +l
S = 2^¡g(y)yl\ [g'{y)fdy =
y
v ^ T ^ S dy = 2n\{y
o
+
y+l
2x] [yT¡Jj^dy
y
= 2x]
y +l
+ 2^dy
o
1
Si u = y + 2 y du = dy,
S =
_ 4n{y + 2f
2K -
y
= j;r(5*-2*)
S
= | * ( l 1.8-2.828) = 11.96x u
1
4. Calcular el área de la superficie de revolución que se genera al rotar alrededor del ejex la curva y =
desde x-0
2
Solución: y =
hasta x - 2.
(4-x f , 2
2
y<= (4-x>yH-2x)=-- J=,(y) l2
í
t ,\ ,
S = 2n\f{x\¡l
x 4-x
,
2
x +4-x 4-x 2
4-x
2
4 4-x
2
2x]y[4^ f^dx
+ \T{x)\dx =
x
=
2
1
í
=
2n\j4^x -fi=dx 2
y¡4-X
2
= 4xjdx = 4jrx\l=4x{2-0\ Sx u
2
5. Calcular el área de la superficie de revolución que se genera al rotar alrededor del ejex la curva y = x , desde x-0 hasta x = 1. 3
Solución: y'=3x
2
*
, {y') =9x , 2
(v') +1 = 9x +1
A
2
4
.
i
S =2xjf{x),¡\ [f'{x)Ydx = 2n\ y¡9x +\dx x
}
4
173
CAPÍTULO IX
Haciendo u = 9x + 1 , du = 36x úfct y completando la integral, tenemos: 4
3
=^[31.61^11=^^1.134* 27 27 1
u
1
J
6. Calcular el área de la superficie de revolución que se genera al rotar alrededor del eje x la curva y + 4x = 2 ln y, desde y = 2 hasta y = 4 . 2
Solución: 4x = 2 1 n y - y , ^
21ny-y 4
=
=
lny_y 2 4 ' ' 1^
+
^ = 47" \y; 2
y
=
1 _ 2y 2y
(x') +l = 2
1 y -^- + 1 + 4 4y 1
=
r
2
4
\
i , i .y 4y 2 4 2
=
2y
2
2
' i
4
2J 4
2
2
2
2
2
2y
i+zi
=
4y
1
2y
4
zl J
2
1
=
J '
12y
2
2
..2
= 2 * J— + 2 * J— dy = 2n ln y + ^—n y 64_8 = 2n[\.3863 -1.0986] + = 19.26* u 3 3
2
7. Calcular el área de la superficie de revolución que se genera al rotar alrededor del x 1 eje x la curva y = — + , desde x = 0 hasta x = 1. 3 4x Solución: 3
1 x x' +— = — + — 3 4x 3 4
x y=
3
(y)
^
174
2
+
1
=
, 3x x" y= =x ' 3 4 4 1 = x - 2 + 16x* 2
3
=
2
1 * -24
+
1+
4x . 1 ,6x<
2
_
4
. 1. 1 2 16x
2
= X " + -^ + V
4
2
1 r-
4x
2
4x
2
ÁREA DE SUPERFICIES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
S = 2x)f{x)y¡l
+
x
[fÍx)Ydx = 2n
3
Ax
x* -L +
dx
Ax
2
= 2*ff + + - + --—.-\ix ¡{3 12 4 1 6 x / ^ X
X
3
_ 2* r 3 „
5 ^
J
— 3
2* 4 „
+
+
J
2n r 16 „
- 3 ^
J
2 1
6
2n
2* r ^ 12 „ J
2n x
— 3
+
K
+ +
6 2
0
+ -2 2
lo
*/,v
6(2)
2
,2>
-
16
(1)=
110 288
2
* w
Ejercicios 9 Calcular el área de superficie del sólido de revolución generada al rotar el área indicada alrededor del eje indicado. 1. y -Ax + A 0
2. x =
,¡A-y
0
eje y
0
eje y
0
eje x
0
eje*
\¡2x-x
0
eje*
\-y
0<*<1
eje y
2
3. x = e
iy
4.
y = vV -x 2
2
5.
6.
y=
7. x =
2
2
175
176
CAPÍTULO X FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
10.1 FUNCIONES
REALES
DE DOS O MÁS
VARIABLES
En este capítulo se considerarán funciones reales de dos o más variables. El dominio de una función de n variables, es el conjunto de puntos en 9Í", y el contradominio es un conjunto de números reales. En 9í' tenemos una función de una variable cuyo dominio es un conjunto de puntos en 9í', o sea un conjunto de números reales y el contradominio es un conjunto de números reales. En 9t tenemos una función de dos variables cuyo dominio es un conjunto de pares ordenados de números reales {x,y). 2
Una ecuación de la forma z = f{x,y)
define una función de dos variables
independientes, si para cada {x,y) de números reales en el dominio de/, existe uno y solo un número real z que satisface la ecuación z =
f{x,y).
También una ecuación de la forma w = f(x,y,z) define una función de tres variables independientes. En este capítulo se trabajará con funciones de dos variables independientes.
Ejemplos —t
10.1
e
1. Sea la función de dos variables x y y tal que z = J\6-x
-y .
Solución: El dominio de/es el conjunto \(x,y)
2
2
2
Encontrar su dominio.
x + y < ló}. Este es el conjunto 2
de puntos en el plano xy de la circunferencia x + y = 16 y en su región interior (figura 10.1). 2
2. Sea/la función dada por z = y¡9-x -y 2
2
2
. Encontrar: a) /(2,-2), b) / ( - 2 , l ) .
Solución: /(2-2) = V9-2 -(-2) 2
2
= V9-4-4 = 1
/(-2,l) = V 9 - ( - 2 ) - l 2
2
=2
CAPÍTULO X
• x
Fig. 10.1
3. Sea la función h definida por h(x, y, z) = x - 10yz . Encontrar: a) g(l,2,-l), 4
b)
3
g{i,j,k)
Solución: a)
\ r\ g(l,2-l)=l -10(2X-l) =21
b) g{i,j,k) =
4
3
i -lQjk' 4
Definición Si / es una función de dos variables, entonces la gráfica de / es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en 9 Í , donde (x, y) es un punto del dominio de/, y z = f{x, y). 3
La gráfica de una función de dos variables es una superficie, la cual consta de todos los puntos en el espacio tridimensional con coordenadas {x,y,z) de números reales. Así la función del ejemplo 1., z = yjl6-x - y , tiene como gráfico el hemisferio arriba y abajo del plano xy con un radio de 4 unidades y centro en el origen. Ver figura 10.2. 2
Figura 10.2
178
2
FUNCIONES DE VARIAS V A R I A B L E S
Ejemplo
10.1
4. Trazar la gráfica de la función g(x, y) = x + y . 2
2
Solución: La gráfica de g es una superficie cuya ecuación es z = x + y . La 2
2
gráfica en el plano xy se obtiene si z = 0 o sea x + y = 0, que es el origen. 2
2
Los planos xz y yz se determinan si y = 0 y x = 0 en la ecuación z = x + y , 2
2
obteniendo z = x y z = y (ver figura 10.3). 2
2
Figura 10.3
Una Función polinomial de dos variables x y y, es una función tal que f{x,y) suma de los términos de la forma cx"y
m
es la
donde c es un número real y n y m son
enteros no negativos. El grado de una función polinomial está determinado por la suma mayor de los exponentes xy y que aparezcan en cualquier término, por ejemplo: f(x, y) = 3x y 3
2
+ 8xy + 2xy - 3x + y 3
2
es una función polinomial de grado 5. Una Función Racional de dos variables es una función del tipo
g[x,y)
donde f y g son funciones polinomiales. Por ejemplo la función dada por:
rv 3
x
3
+y
es una función racional.
179
CAPÍTULO X
CURVAS DE NIVEL Otra forma de representar una superficie no conocida geométricamente. Suponer que la superficie z = f{x,y) se corta con el plano z = k, y la curva intersectada se proyecta sobre el plano xy. Esta curva proyectada tiene por ecuación f(x, y) = k que se llama contorno o curva de nivel de la función en el punto k. Cada punto de la curva de nivel, corresponde a un único punto en la superficie k unidades arriba si k > 0 o k unidades abajo si k < 0. De los diferentes valores para la constante k se obtiene un conjunto de curvas de nivel llamado Mapa de Contornos o de relieve. Cada curva de nivel f(x, y) = k en el mapa de contorno son los puntos {x,y) en el dominio de la función. Todos los valores posibles de k, es el contradominio de la función. A saber, para la función dada en el ejemplo 10.4 las curvas de nivel son circunferencias con centreo en el origen, para los diferentes valores de z, como se muestra en la figura 10.4. y
Figura 10.4
Ejemplos 10.1 5. Dada la función Z=j25-x -y 2
, describa la curva de nivel y el mapa de contomo.
2
Solución: Si f(x, y) = c, elevando al cuadrado se tiene: c = 25-x 2
25-c
2
=x +y , 2
- y , de donde:
2
2
2
c < 2 5 , ce [-5,5] 2
La representación gráfica se tiene en la figura 10.5. 6. Dada la función z = f(x, y) = xy , describa las curvas de nivel y el mapa de contorno. Solución: Para z = 0, la curva de nivel es el origen.
180
FUNCIONES D E VARIAS V A R I A B L E S
Para z = 1, se tiene 1 = xy, donde y = Para z = 4, se tiene 4 = xy; y = 1
Para z = - 1 , se tiene - 1 = xy, y = -
x
Para z = - 4 , se tiene - 4 = xy, y = -
4 x
Las hipérbolas obtenidas se ven en la figura 10.6.
Figura 10.6
Ejercicios 10.1 1. Dada la función f(x, y) = x + 2y - 8 evaluar: 3
a) / ( - 1 , 4 ) , b) f{Aa,b),
c) f(a,a ) 2
y d) /
1 2 3'5
181
CAPÍTULO X
2. Dada la función f(x, y)=^ •> * a) /(8,1), b) f(r\5)y c)
X
^ evaluar: -y f{x-y)+f(x,y )
+ X
2
3. Sea /i(jc,y) = x seny evaluar: 2
a) ¿(0,0), b) h{x,0) y c) /i(2,2/r) 4. Encuentre el dominio de las siguientes funciones. a) g{x,y)=
2
d) h{x,y) =
2
l
-4
x +y
b) h{x,y) = i]2-x -y 2
co&- {x-y)
e) f{x,y) = y¡x + y
2
c) f{x,y) = Jx + y -2 5. Dibuje un mapa de relieve, mostrando las curvas de nivel para los valores dados. a) f{x,y) = 2x +2y ,en 0, 1,3,9 c) / i ( ^ v ) = *(x + y ) , e n 0,2,4,6 2
2
2
2
2
b) g(A:,y) = 9 - x - y , e n 0,3,-3 2
f 0.2 LÍMITES
d) z = * , en -2,-1,0,1, 2 y
2
DE FUNCIONES
2
DE MÁS DE UNA
VARIABLE
Se recuerda que en 9Í , la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de dos números reales y se denota por x - a . 1
Ahora, si a es un punto en SR se le llama "bola abierta" denotada por B(a,r) al 1
conjunto de todos los puntos x en 9í' tal que x-a
< r.
Por otro lado, por la definición de valor absoluto, el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad x-a
H
)
•
a+r
De la misma manera, se puede decir que la bola cerrada denotada como B[a, r] en 9í, es el intervalo cerrado [a-r,a+-r]. <
Gráficamente: 1
1
]
• »'
a+r
Si (x',y') es un punto en 9? se le llama "bola abierta", denotada por B((x',y'),r) 2
conjunto de puntos (x,y) en 9t tal que: 2
182
al
FUNCIONES D E VARIAS VARIABLES
^x-xf
(y-y'f
+
Gráficamente se verían todos los puntos en la región interior limitada por la circunferencia con centro (x\) y radio r, a la bola abierta también le llaman disco abierto (ver figura 10.7). Análogamente se tiene la bola cerrada o disco cerrado denotada como B[{x',y'),r] en
I (jc',y')
Figura 10.7
Figura 10.8
En 9t se tiene una esfera o bola abierta con radio r y centro en el punto {x',y',z) denotada por B(x ,y',z',r), entendiendo el conjunto de puntos {x,y,z) en SR tal oue* 3
f
3
{y-y') + 2
(z-z'f
Ahora se está en condiciones de definir el límite de una función de dos variables. Definición Sea / u n a función de dos variables definida en algún disco abierto excepto, posiblemente, en el punto (x',y'). Entonces: .
fifi
B((x',y'),r)
J{x,y)=L
Si para cualquier e > 0, cantidad tan pequeña como se quiera, existe una 8 > 0, tal que si 0
+ (y - y') < 8, entonces f(x,y)-L 2
< e.
los teoremas de límites vistos en Cálculo Diferencial de una variable real, se generalizan para ser aplicados en funciones de más de una variable.
183
CAPÍTULO X
Ejemplos 10.2
-
jsJ ">-
7
{
8.
,,+í
14+31=28
-y _ (x-yfo + y) — = lím jc+y d,yHo.o) {x+y) = lím ( j c - y ) = 0 - 0 = 0 2
/ím (X.JWO.O)
k.vHo,o)
9.
(
/tm (2;c +3xy-5y )=2(0) +3(0X2)-5(2) =-40 2)
2
3
2
3
Se puede continuar el análisis de los límites de funciones de dos variables, en vista de que en un plano coordenado hay una infinidad de curvas o trayectorias donde (x, y) puede acercarse a {x',y') y en el caso en que dos trayectorias se dirijan a un mismo punto (x\) y se obtengan dos límites diferentes, entonces lím
f{x,y)
no existe
Para esto se necesita dar el concepto de punto de acumulación de un conjunto A de puntos en 9í", y así, en la definición del límite de una función de dos variables el punto (JC, y) estaría restringido a un conjunto particular de puntos, pero este tema no está en el contenido programático que cubre este libro.
Ejercicios 10.2 Calcular los siguientes límites. arceos! *) 1. lím ^ (jc.yMo.O 1 + xy 2.
lím
2
x
~
4
6.
y
( x . y ) - » ( 3 . - i ) x + 2y
3.
tím
lím
lím (^M3.-D
(«H0.0) sent + eos s
4.
íx+~v ~ lím J ^ L (vMwlyJc-f 2
5.
7.
m
Uo-Mo.o)
(x* + y - 2 x + 3y) 2
v
2 g
"
7
* e +e
+ e y
x
y
yJx +3y 3
10.3 DERIVADAS
PARCIALES
Para derivar una función de dos variables se mantiene una de ellas fija, surgiendo el concepto de derivar en forma parcial. 184
FUNCIONES D E VARIAS VARIABLES
Definición Derivada parcial de una función de dos variables. Sea f{x,y) una función. L a derivada parcial de / con respecto a x denotada por f , tal que su valor en cualquier punto en el dominio de/es: x
Ar-»0
AjC
si este límite existe. Análogamente, cuando se mantiene JC fija. L a derivada parcial de/con respecto a y denotada por / es: f ( ,y)=Um ^ y X
f
'
y
+
A
A>—»o
y
J -
f
^
A/y
si este límite existe. Notaciones usuales para la diferenciación parcial: 9/ dx'
3/ dy'
* ' 7
v
/
'
"
7
/
v
'
df(x,y) dx '
df{x,y) dy '
Para derivar parcialmente, se puede: - Utilizar la definición o - Aplicar los teoremas para la diferenciación común. En este libro se utilizará la diferenciación común.
Ejemplos 103 Dadas las siguientes funciones, obtener las derivadas parciales con respecto a x y a y, respectivamente. 10. f(x,y)
= x y + 4y 3
2
Solución: Para calcular f (x, y) se considera a y como constante y se diferencia/ con respecto a x: f {x,y) = lx y + 0 = 3x y x
x
2
2
Asimismo, para calcular / (x, y) se considera a x como constante y se diferencia /con respecto a y: / (*,y) = * (l)+8y = * + 8 y v
3
3
185
CAPÍTULO X
11. f{x,y)
=
xy +x y 2
2
Solución: fA ^y)=y x
2
y
+
2x
fy(x,y)=2xy
12. f{x,y)=2xy
+ x
2
+^X 2y
+e
v
Solución: f (x,y)=2y+e"{y)+±
= 2y + ye*>+-+-
x
13. f{x,y)
= e^
+cos(x y)+3x y 2
2
2
Solución: f {x,y)
= e" y
x
y
- sen(x y\2xy)
3
= ye 3
f'y(x,y)
-2xysen(x y)+6xy
xy
2
=
y
,
2
f(
x
)= * 3
4
+
2
2
e- {3xy )-sen(x ytx ) 6x y
= 3xy e
14
+ 6xy
2
2
2
- x sen{x y)+
xy
2
2
+
2
6x y
2
2
2 x y 3
3x Solución: {3x%2x
=
3
+ 2 y ) - (3* + 2xy 3
4
3
\í)
(3x) u s Como f{x,y)=
3x +2xy 4
3
3x
t t
s
, se tiene f{x,y)=
2xy 2 + = x + y , entonces: 3x 3x 3
3JC
4
2
y*
2
15. Z =
—y-
y Solución: z - y' 5
6
z = 0 , z =—y Y* x
186
y
3
3
3
FUNCIONES DE VARIAS V A R I A B L E S
16. f{x,y)
= x \ny +
y'\nx
2
Solución: f =2x\ny
+^
, f =^
.2 / , = sec'
2
x
+ 3y \nx
y
2
2x 17. f(x, y) = tan — Solución: v >V 3y 3
f
=sec
Í 22x* ^ (
2 xy
:
j
18. f{x,y)
=
e ln y l
X
Solución: , * y 1 . x v- 1 f = e • • + ln e •' • JC y y y x
x
y
y
19. f{r,s) = y[rs~e
2+r
Solución: /, = v W
+ r
(0 +1) +
{s) = v W
2+r
+ 1 {rs)~
+ r
e
/2
/ ; = V w ( Ó ) i í - j ( r j ) ^ ( r 5 - re
2+r
2+r
2
2V"
2
Ejercicios
10.3
Encontrar la primera derivada parcial con respecto a cada una de las variables. 1. / ( x , y ) = 3 x + 4 y - 6 6. h{p,q) = fp^ 2
2
y
2. / ( * , y ) = 4jr +3xy
7. z = sen(x,y)+ tan (xy)
3. / ( * , y ) = 2 y + l
8. f{x,y)
2
4- f{x,y)
= xy 3
2
3
+2x y-3xy
5. s M = (r + l )
2
2 +
( -3) S
3 +
+ 4y 3rs -4 3
=e
senUy)
+
e
+yf3x~y
cosUy)
9. h(u,v)= ln(w v + v u) 2
2
10. /(w,z) = V^ w =V L+3 Vw 3
187
CAPÍTULO X
10.4
INTERPRETACIÓN PARCIAL
GEOMÉTRICA
DE LA PRIMERA
DERIVADA
Las derivadas parciales de / en un punto P = (a,b), tienen una interpretación geométrica a saber. Sea 9Í el plano xy en 9 í . Por el punto P = (a,b), pasa un plano 2
3
P, paralelo al plano xz (P tiene como ecuación y = b). C, es la intersección de la gráfica de /con el plano P,; es decir, C, es la sección transversal de la gráfica de/en P, (ver figura 10.9). Si Q es el punto (a,b,f(a,b))
de la curva C,, entonces f {a,b) x
representa
la pendiente de la recta tangente a la curva C, en el plano P, en el punto Q. De manera semejante, se puede pasar un plano P
2
por el punto P = (a,b)
paralelamente al plano yz y obtener una sección transversal C de la gráfica de / en 2
P en el punto Q (ver figura 10.10). 2
Figura 10.9
10.5 DERIVADAS
Figura 10.10
PARCIALES
DE ORDEN
SUPERIOR
La derivada parcial de z con respecto a JC denotada por: dz dx donde, z = f{x,y), puede derivarse con respecto a x y a y, dando lugar a las segundas derivadas parciales: d
2
dx
2
también se tiene:
188
Z
=
í
/
x
"
*Z ^2
d
dxydx;
y
t I \ =fyy(^y)= dy^dy^
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
fvx (*> y)
\
ydxj axdy dx dydx dy Si z = f(x,y) y sus derivadas parciales son continuas, no importa el orden de derivación, esto es: -v
a2z
=
d2z
dxdy dydx denotado también por fxy{x,y) = fyx{x,y), estas últimas suelen denominarse derivadas parciales mixtas.
Ejemplos 10.5
20. /(*,;y)=xy+*y+*y+2;ty Solución:
fx (x,y)= 2xy3 + 4x3y5 + 3x2 y2 + 2y fjx,y)=2y3+l2x2y5+6xy2 fy (JC, y) = 3x2y2 + 5x4y4 + 2* 3 y + 2x fjx,y) = 6x2y + 20x4y3 + 2x3 fjx,y)=* (2xy3+4x3y5+3x2y2+2y) dy = 6xy2 +20x3y4 +6x2y + 2
Este resultado es equivalente, si se cambia el orden al derivar; si la función es continua: f {x,y)={fy)x yx
Entonces:
=
dx
57
dxdy
fjx, y) = ^ (3x2y2 + 5x4y4 +2x3y + 2x) = 6xy¿ +20x3y4 +6x2y + 2
Por lo tanto fv = fyx, 189
CAPÍTULO X
21. f(x,y)
= xe'- cos
+ 4x y 2
2
Solución: las cuatro segundas derivadas parciales son: f {x,y)
= e +sen
f (x,y)
= sen ' y Y ? ! , - - ' yy eos xAr JC
x
+ 8xy
y
2
f
y
2
xx
+ 8y
2y
-l-^rCos^ + Sy
jr
y
2
2 ~ 2 JT J jr + 16xy
X;
K
l
2
J
2
y
/(x,y)
c —-sen -eos x x jr = xe +sen y Y * + 8jc y
f {x,y)
= xe +
- j + 16xy
C 0 S
v
y
yy
2
1
fyx{x>y) = {fv)
=e +sen
1 k 1 + —eos
\J
V
V
XX*
1
V
X
= (x + y f
Solución:
3
2)
las cuatro segundas derivadas parciales son: f (x,y)
= l5x (x
f {x,y)
= \JC {x + y ) + 30JC(JC + y )
x
xx
2
4
+ y)
3
2
3
2
4
3
2
3
2
/ ( j c , y ) = 10y(.r + y ) v
3
2
2
3
4 ( j c , y ) = 120jc y(.r + y )
4
3
4
4 (JC, y ) = 80y (JC + y ) + 10(JC + y ) 2
fjx,
3
2
3
3
3
2
/ ( j c , y ) = 4jc y 2
Solución:
190
2
4
y) = 10y(4Xjc + y ) ( 3 j c ) + (JC + y ) ( 0 ) 2
3
/„(xy)=120jc y(jc + y ) 23.
lójcy
^-cos — + 16xy
T
X
22. f{x,y)
2
y
= e — seny
+ 8JC
eos \xj
y
3
2
2
3
3
2
4
FUNCIONES D E VARIAS V A R I A B L E S
f {x,y)
= Sxy
f (x,y)
= 4x 2
fJx,y)
= Sy
fjx,y)
=0
f ,{x,y)
= Sx
fJx,y)
= Sx
x
xy
Eiercicios
y
10.5
Obtener las cuatro segundas derivadas parciales. 1. f(x,y)
= x y +x*y +4xy 3
5
5
2. f(x,y)=lx +3y 2
-
3
f{x,y)={x
+ yfxy
4- f{x,y)= \. f{x,y) y X
=
6. f{x,y)
= e"seny
1. f{x,y)
= ln{x
+
2
8. f{x,y)=
y )+4 2
tan" xy 1
x\n
y
x
5- f{x, y) = e** + e
10. f(x, y) = xseny - ysenx
x>yl
10.6 VALORES EXTREMOS
DE FUNCIONES DE DOS
VARIABLES
En este apartado se analizarán los máximos y mínimos relativos de funciones de dos variables llamados también Extremos Relativos. Definición Se dice que una función cuando
x =a
y
y =b
z = f{x,y)
tiene un máximo relativo en (a,b),
si para todos los puntos
{x,y)
o sea
del plano que están
suficientemente cercanos a (a,b) se tiene: f{a,b)>f{x,y) Análogamente para tener un mínimo relativo se cumple que f{a,b)
< f(x, y ) .
Para determinar si la función f(x, y) tiene un valor máximo o mínimo es necesario obtener primeramente los P U N T O S C R I T I C O S , igualando a cero las primeras derivadas. Esto es,
° f(x,y) dx
=0
y
dy
f(x,y)
=0
O denotado de otra manera: f [x,y) x
=0
y
f {x,y) y
=0
191
CAPÍTULO X
Se puede utilizar la notación que se desee. Por lo tanto, un punto (a,b) para el cual f (a,b)
= f (a,b)
x
= 0 recibe el nombre
y
de punto crítico de / . Esto quiere decir que para ubicar los extremos relativos de una función deben encontrarse los puntos críticos. A continuación, se da un procedimiento llamado "Criterio o Prueba de la Segunda Derivada" para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos relativos. Teorema. Criterio de la segunda derivada parcial. Sea z = f{x,y)
con derivadas parciales continuas f , a
f
y f
v
en todos los puntos
(x, y) cercanos al punto crítico (a,b), y sea H la función definida por: H(x,y) =
fjx,y)fjx,y)-[fjx,y)}
Si se tiene que: a) H(a,b)>0 y f {a,b)>
0,/tiene un mínimo relativo en (a,b).
b) H(a,b)>0
0,/tiene un máximo relativo en (a,b).
xx
y f (a,b)< xx
c) H(a,b) < 0, / no tiene máximo ni mínimo relativo es un PUNTO SILLA. d) H(a,b) = 0, este criterio no da información, usar otro tipo de análisis. Esto puede observarse en las figuras 10.11 y 10.12.
Figura 10.11. Máximo.
Ejemplos 10.6 Dada la función f(x, y) obtener los extremos relativos, si existen. 24.
f{x,y)=y -x 2
2
Solución: Se obtienen las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para obtener el punto o los puntos críticos.
192
FUNCIONES D E VARIAS VARIABLES
/,=-2* = 0 /,=2y = 0
-2x = 0
x =0
2y = 0
Por lo tanto el punto crítico es P(0,0,z). derivadas parciales: /„=-2, /,.=2,
y=0
Ahora se obtienen las segundas /,.=0
Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula, se tiene: H =f
j „
- [f
J = (- 2X2)- (0) = - 4 < 0 2
v
Por lo tanto, en (0,0, z) no existe ni máximo ni mínimo, es un punto silla; también se puede representar de la siguiente manera. En P(0,0,z) existe un punto silla, como se muestra en la figura 10.13.
/(O.
f(x,0)
y) = y
y)=y - * 2
=x
Figura 10.13
25.
z
= f(x,y)
=
x +4y 2
2
Solución: Las primeras derivadas parciales son: f =2x
/ =8y
x
v
igualando a cero para obtener el punto crítico: 2x = 0 entonces x =0 8y = 0 entonces y =0 de donde ^(0,0, z) es un punto crítico. Ahora: /
=2
/
=8
f
=0
J xy
Sustituyendo en H = fj„ como f >0, xx
- [fj , 2
se obtiene: H = (2) (8) - (O) = 16 > 0, y 2
entonces existe un mínimo en P(0,0, z).
193
CAPÍTULO X
26.
z
= f{x,y)
= xy+
2
x
+
4
y
Solución: (i)
f, = y - é = °
(2) 2 de (1) y =
2
y sustituyendo en (2), se tiene: x - ^
= 0, de donde JC - JC = 0. 4
4
Factorizando: jc(l-jc ) = 0, JC = 0, JC = 1. Si x = 0 obtenemos una indetermina-ción y el punto no existe, y si JC = 1, sustituyendo en (1) se obtiene el punto P (l,2,z). Ahora se tiene: 3
2
_ 4 f xx ~ 3 x 1A8
H{1,2) =
8 fyv ~
'
3
' Y f xy ~ ^
y - ( l ) = 3 > 0 y además /„(l,2) = 4 > 0 2
Por lo tanto existe solamente un mínimo en P(l,2, z). 27. / ( j c , y ) = 2 j c - j c 4
2
+3y
2
Solución: f =8JC -2JC = 0
4JC -JC = 0
/ =6y =0
y=o
x
3
3
v
(i) (2)
De (1): J C ( 4 J C - l ) = 0 = > JC = 0 y JC = ± J Í - = ± 1 . De donde se tiene: 2
^(0,y„z,),
1 ,y ,z
P
2
2
y
2
(
P
,y ,¿3
3
3
2
Como y = 0, de (2), se tiene que 1 />(0,0, ), P \ .2 Z|
2
y P "^0,z 3
2
3
y
que son los puntos críticos. Ahora: f J
194
xx
=24JC -2 2
/ J w
=6
/ ./ .rv
=0
FUNCIONES DE VARIAS V A R I A B L E S
de donde: a) //(0,0) = (24(0)-2X6)-(0) = - 1 2 < 0 2
.*. se tiene un punto silla en (0,0,z) o » (0,0,0) 2
b)
H
0 V2
\
í \
(6)-(O) > 0 y además 2
)
2' "
2 4 1
tf|-±0
\ ( iV 24
1
f
,0,2
1>
( 1 ^ >0 - 2 (6)-(O) > 0 y además f 2y v l J 2
x
* 1 --,0,2 2
:. se tiene un mínimo en
28. Dada la función f(x,y)
>0
v
2
:. se tiene un mínimo en
c)
f
= 3x +9xy -9x i
2
2
-9-y +12, obtener, si es posible, los 2
máximos, los mínimos y los puntos silla (si existen). Solución: Para obtener los puntos críticos obtenemos sus primeras derivadas y las igualamos a cero: O) (2)
f =9x +9y -\Sx =0 j ; =18xv-18v = 0 x
2
2
de (2), se tiene: 18y(.v-l)=0 , .y = 0 x - l = 0 , x=\ Sustituyendo por separado estos valores en (1): Si y = 0: 9x +9y -\Sx = 0 , 9x -18x = 0 x=0 , x = 2 2
2
2
:. tenemos dos puntos críticos: P (0,0, z,) y P (2,0, z ). Ahora si x = 1: {
9x +9y -\Sx 2
2
2
= 0 , 9(l) +9y -18(l) = 0 2
9y =9 P (U,z ) 3
2
, y = ±\
2
3
2
y
P (l-U ) 4
4
Obtenemos las segundas derivadas: / „ = 18*-18 , 4 = 1 8 x - 1 8 , / = 1 8 y v
195
CAPÍTULO X
Para obtener los máximos, mínimos o puntos silla, se aplica en cada punto: = f x x f y y -
H
fxy
p
En P,(0,0,z,) fxx'fyy~
fxy
f
[l 8(0) -18¡18(0) -18] - [l 8(0)]
a
18(0) -18 < 0
2
324 > 0 por lo tanto,en P, (0,0, z,) hay un máximo. En P (2,0,z ) 2
2
/
/
J xx
J yy
- f
f J ^
J xy
[75(0)-18][l8(2)-18]-[l8(0)]
2
>0
[l8(2)-18]>0
324 >0 por lo tanto,en P (2,0, z ) hay un mínimo. En P (l,l,z ) 2
3
18 > 0
2
3
f
f
J xx
— f
2
J yy
J xy
[l 8(1) —18] —[l 8(1) —18] —[l 8(1)]
2
-324 < 0 por lo tanto, en P (l,l, z ) hay un punto silla. 3
3
En/>(l,-l,z ) 4
f
f
J xx
J yy
~
f
2
J xy
[18(1) -18] - [18(1) -18] - [18(-1)]
2
-324 < 0 por lo tanto, en P ( l , - l , z ) hay un punto silla. 4
4
Ejercicios 10.6 Dadas las funciones siguientes, obtener: a) Puntos críticos b) Máximos, mínimos y puntos sillas (si es que existen) 1. f{x,y) = x +3xy-y 6. f{x,y) = 2x y + 2y +I6x 2. f{x,y) = x + 3 y + 4 x - 9 y + 3 7. f{x,y) = x + y +3xy 3
}
2
2
2
3. f{s,t) = st-
3
s t 4. / ( x , y ) = 2x +y -2x + y 1
2
196
3
1
8. / ( x , y ) = 2xy
2
9. f(x,y)
= -x
10. f{x,y)
= 3x - 9 x v + 3y
5. / ( x , y ) = x + 3 x y - 3 x - 3 . y + 4 3
2
2
2
2
-y
2
2
3
+xy + 6x 3
SOLUCION A EJERCICIOS PARES
Capítulo I 1.1 2. {JC ,X ,JC ,JC ,J:"}. 4. {sen 7C,sen 2n,sen 3n,sen An,sen 3
5
7
9
6. {l',2 ,3\4 ,5 }. 8. 2
4
5
1 2 3 4 5 2!'3!'4!'5!'6!
10.
íln(2) ln(3) ln(4) ln(5) ln(ó)l 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 "J
1
1.2 2. Converge. 4. Converge. 6. Converge. 8. Diverge. 10. Converge. 12. Diverge 1.3 2. monótona creciente. 4. monótona decreciente. 6. no es monótona. 8. no es monótona. 10. monótona decreciente. 1.4 2. no es acotada. 4. 0 < a < 2 acotada. 6. 0 < a„ < -r¡= acotada. „
3
2
8. - 1 < a < 1 acotada. 10. acotada 1.5 n
2. 0.4. -oo.6. 1.8. 1.10.
0
Capítulo II 2.1 . , 1 , 1 1 , 1 1 1 2. 1+ , 1 + — + —, 1 + — + — + . 16 16 81 16 81 256 ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4. , + —, + + , + + + 3 3 10 3 10 29 3 10 29 66 6. 4, 4 + 13, 4 + 13 + 34, 4 + 13 + 34 + 73 1 1 1 JL ln3 ln4 L JLÍn5 10. ' l n- 2 2' ' In2 i l n 33' In2 ln3 l n 4 ' ln2 e e e e e e e e e e 2.2 19 2. — . 4. 847 3 2.3 1275 2. a) 38.5, b) 390. 4. a) 100/4, b) +
L J _J_
+
+
+
+
J
+
+
SOLUCIÓN A EJERCICIOS PARES
2.5 2. Converge. 4. Diverge 2.6.1 2. Converge. 4. Converge. 6. Converge. 8. no decide. 10. Converge. 2.6.2 2. Diverge. 4. Diverge. 6. Diverge. 8. no decide. 10. Diverge. 2.6.3 2. Converge. 4. Diverge. 6. Converge 2.7.1 2. Converge. 4. Converge. 6. Diverge. 8. Converge. 10. Converge 2.8 2. Converge ABS. 4. Converge 2.9 2. Converge. 4. Diverge. 6. no decide. 8. Converge. 10. no decide 2.10 2. Diverge. 4. Converge. 6. no decide Capítulo III 3.1 2. I.C. = ( - l , l ) , R.C. = 1. 4. I.C. = [-1,1], R.C.= 1. 6. I.C. = [ - l , l ) , R.C. = 1. 8. I . C . = [-1,2), R.C. = 1.5 3.2 2.
•- = ¿ j c , I . C . = ( - l , l ) , R . C . = l . 4. g * = £ Í ? Í ? I . G =
1
4 n
2
2 6
-
2
=JV" ' +2
LC
(-U)' -
=
R
C
=
L
8. / ( x ) : I..C. = (-1,1),R.C.= 1;
1 * n=0 I..C. = (-1,1),R.C. = 1. 10. /(jc):I..C. = (-2,2),R.C. = 2; f'(x):
/'(JE):
—
^
(2#i)!
^
en\
I..C. = (-2,2), R.C. = 2
(2/i + lJ!
Capítulo IV 4.7 + 5 J C - 2 . 4. / ( j r ) = - 2 j « K + 3cosjc. 6. / ( J C ) = Í? (3JE + 1 ) - -
2. f{x) = -lx
2
3j:
4.2 1
. .,/-
.
4x + l
, + c. 4. 3VJC + C . 6.
2.-
+c.
5x
8.
v
7
2
5
4(5JC + 2)'
12.
4
^~ + c. 14. 15
198
_ 2(JC + 40)'
x
^
t
2
Í A
+c.
Í2x +4)
10. *
5 i,
x"
V
'— + c. 6JC +4 2
(jc-2) + c. 16. + JC + JE + 10JC + C . 18. 2 ' 6 5
2
8 ,
5
2
+ c.
2
6
SOLUCIÓN A EJERCICIOS PARES
Capítulo X 10.1 2. a) 0.428, b) ^
r +5 f , r -5 2
x-y
c)
x+y
2
x+y
x-y + y < 2},
4. a) Dominio = {(x, y)|jc + y * 4 } , b) Dominio = {(x,y)lx 2
2
2
2
c) Dominio = {{x, y)I x + y > 2}, d) Dominio = {(x, y)l - 1 < x- y < l } , 2
2
e) Dominio = {(jc,y)ljc>0y y > 0 } . 10.2 2. 10. 4. 3. 6. 19. 10.3 2. / ^ g j t + Sy, / , =3*. 4. f = 3x y +4xy-3y, x
Í . A , = - f = , * , * - f = .
2 pq
/, = xe
2
8. f
x
2 pq
cos(xy)- * ^ n ( r v >
smM
/ = 2x y + 2jc -3JC + 4.
2
y
3
2
= ye*" cos(xy)-ye™ sen(xy)+
cos(
M
3
M
l
,
2 3x
^ + 3x . )
10.5 2-
4
4
=14, f„ = 0 ,
= 0 , / „ = 0 . 4.
4 = -24 - , 4 = -24x y- . 5
5
5
, 4 = 30** , 4. =20^V , 6
6. 4 = e~'sen y, 4 =
4 =-€- cosy, 4 =-e-*cosy. 8. 4 =
y,
,/
x
=-
(l + J t y ) 2
l + jc y - 2 ; t y -7 TTü—' 2
•
2
2
(1+xVJ
2
*/
,
(l + * y )
2
2
2
2
1 0
* f« =~cosx, f =-xseny, n
f
=cosy-cosx
10.6 3 \ - 2 , ,z . 4. mínimo en ,— ,z\. 6. punto silla en (2,-2,z). V 2 ) \2 2 ) 8. punto silla en (0,0, z). 10. punto silla en (0,0, z), mínimo en (1,1, z) 2. mínimo en
(
201
ÍNDICE
acotadas, 11 antidiferenciación, 75 aplicaciones, 139 área entre dos curvas, 144 arandelas, 155 área de superficies de revolución, 169 cambio de variable trigonométrica, 103 convergente, 3 creciente, 9 convergencia, 25 convergencia absoluta y condicional, 42 criterio comparación por límites, 34 integral, 37 de la razón, 44 da la raíz, 47 curvas de nivel, 273 divergente, 3 decreciente, 9 definida, 131 discos, 149 derivadas parciales, 184 derivada parcial mixta, 188 extremos relativos, 191 finita, 1 fracciones racionales, 144 funciones de dos variables, 177 hiperarmónica, 31 infinita, 1 indeterminación, 16 intervalo de convergencia, 50 integración inmediata, 76 por partes, 92 integrales trigonométricas, 96
integral definida, 132 longitud de arco, 163 límites de funciones de más de una variable, 182 monótona, 9 Me Laurin, 68 método de capas cilindricas, 155 mínimo y máximo relativo, 192 operaciones (sucesiones), 8 progresión, 1 aritmética, 21 geométrica, 29 primitiva, 75 propiedades (integral definida), 132 puntos críticos, 191 prueba de la segunda derivada, 192 punto silla, 192 regla de L'Hopital, 14 radio de convergencia, 50 representación de funciones, 55 Riemann, 131 sucesión, 1 serie, 19 aritmética, 21 geométrica, 29 alternadas, 39 series de potencias, 49 sólido de revolución, 149 términos , 1 teoremas (límites), 3 Taylor, 67 trigonométricas, 96 teorema fundamental del cálculo, 135 volúmenes, 149
BIBLIOGRAFIA
AYRES, FRANK Jr., Cálculo (sene Schums),
Me Graw Hill, México, 2000.
D'PRIMA, BOYCE, Cálculo, CECSA, México, 1994.
STEWART, JAMES, Cálculo, International Thomson Editores, México, 1998.
SWOKOWSKI, EARL, Cálculo con Geometría Analítica, 1989.
Iberoamericana, México,
THOMAS-FINNEY, Cálculo de una Variable, Addison Wesley, México, 1998.
T. SMITH, ROBERT, Cálculo, Me Graw Hill, México, 2002.
•
204
