Cálculo do Volume do Cilindro Deitado 1
É tomada uma medida h da altura do líquido contido no reservatório As figuras abaixo ilustram um corte do reservatório e a equação da circunferência escolhida para o cálculo da área.
y
Fig. 1 Corte do reservatório
h
Raio = R
2
r ( x r )
2
Fig. 2 A equação da circunferência
A área sombreada é dada por: h
2
A r ( x r )
2
dx
0
x r
2
2
2
r ( x r )
2
r
2
arcsen
x r
h
r
0 O volume é dado por V = 2A onde l é o comprimento da geratriz. A integral2 calculada vale: A( h)
h r
2
2
2
r ( h r )
2
h r 3 ) arcsen( 2 2 r
r
1
Resolvi este problema por volta de 1992, no trabalho, para medir um tanque de óleo diesel e agora o deixo aqui nas minhas “memórias matemáticas”. No arquivo “Arquivos de Programas/Basic/Qbasic” existe um programa compilado em basic chamado “Cilindro” que redigi para efetuar os cálculos e cujas linhas de programação estão apresentadas ao final desta demonstração. 2
Obs.: O cálculo da integral é discutido na página 2, em seguida Logo após está uma bonita solução baseada na Geometria Euclidiana.
O Cálculo da Integral
Trata-se de uma integral difícil que me deu muito trabalho. Desenvolvi uma solução e depois acabei encontrando outra, de graça. Primeira solução r 2 ( x r ) 2
y
procuramos uma forma mais fácil como
para isso faremos x – r = t ficamos com:
2
a 2 t 2 dt
e assim dt/dx = 1 ou dt = dx. Efetuando as substituições
cuja solução é sofisticada mas encontrada nos formulários dos manuais como:
2
r t dt
t
2
2
r t
2
2
r
2
t
arcsen C r
Substituindo as expressões e calculando a integral definida de 0 até h encontramos h
2
A r ( x r )
2
dx
x r
2
0 e finalmente h r
A(h)
r 2 (h r ) 2
2
2
r ( x r )
2
h r 3 ) arcsen( 2 2 r
2
r
2
arcsen
x r
h
r
0
r
2 cumpre fazer o ângulo representado pelo arcsen sempre >0 , ou seja arcsen (0) = 2Π, além disso a área deve ser um valor positivo devendo ser considerado o valor encontrado em módulo (isto se deve ao fato de que podem ocorrer tanto situações em que r>h quanto h>r). Segunda solução y
Desta vez em cos u y
2 2 r ( x r ) 2
r 2 ( x r ) 2
fazemos
x = r + rsenu e como sen2u + cos2u = 1:
e dx = rcosu du. Fazendo as substituições substituições vem,
r
r 2 ( r r sen u r ) 2
y r 2 r 2 sen 2 u
y r 2 (1 sen 2 u ) r 2 cos 2 u
assim
cos
temos: I
2
r
2
2
2
u du r
x r
r
(arcsen(
2
2
I r
r
arcsen(
cos
)
2
u du
2
r
2
2 2 x r r ( x r )
r
h r r
2
r
) ( h r )
(u sen u cos u ) C e substituindo
) que calculado de 0 até h fornece:
2
2
r ( h r )
2
r
2
Abaixo comandos da rotina em basic que efetua os cálculos a partir da integral apresentada na Primeira Solução. 10 CLS 20 LOCATE 4, 10 30 PRINT "C lculo do volume de um cilindro deitado" 31 COLOR 10, 0 32 LOCATE 8, 10 33 PRINT "Entre com os valores expressos em metros" 40 LOCATE 10, 10 50 INPUT INPUT "comprimento l = ", l 60 LOCATE 11, 10 70 INPUT "raio da base r = ", r 80 LOCATE 12, 10 90 INPUT "altura medida h = ", h 100 LET p = 3.14159 110 LET x = (h - r) / r 140 LET a = ABS(((h - r) / 2) * SQR(r ^ 2 - (h - r) ^ 2) + (r ^ 2 / 2) * (ATN(x / SQR(1 - x ^ 2)) + 2 * p - (3 * p / 2))) 150 LOCATE 15, 10 160 LET v = 2 * a * l 165 COLOR 0, 7 170 PRINT "o volume volume ‚ "; v; " metros c£bicos" 175 LOCATE 16, 10 180 PRINT PRINT "correspondendo a "; INT(1000 * v * 100) / 100; "litros "litros "
Uma solução com a Estética da Geometria Euclidiana
As soluções anteriores, baseadas na Geometria Analítica e no Cálculo Integral, possuem uma estética conceitual cuja elegância muito se deve ao Estudo das Funções. Esta terceira solução possui a rude e poderosa elegância da Geometria Euclidiana. Observemos a figura abaixo e as deduções que se seguem: A área procurada, dada em função da medida da altura h, é a diferença entre as áreas do setor circular OAMB e a área do triângulo OAB. Sejam A1 a área do setor circular e A2 a área do triângulo: 2 A1 r 2
x r (r h)
A A1 A2 2
A r ar cos(
A2 x( r h)
e 2
cos
A r 2 x(r h) r h r
) (r h)
2
r ( r h)
2
ou, em função do arctg, 2
A r arctg (
2 2 r (r h)
r h
) (r h)
2 2 r (r h)
efetivamente muito mais simples. Bom e velho Euclides...
r h r
