3 Matriks Ruang Vektor Ruang 2D Dan 3D

hendroagungs.blogspot.com

Vektor Ruang 2D dan 3D Besaran

Skalar

Vektor

(Tidak mempunyai arah)

(Mempunyai Arah)


Vektor Geometris •

•

•

•

Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai me mpunyai nilai mutlak tertentu. Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu. Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. Arah panah menentukan arah vektor dan dan panjang panah menentukan besarnya vektor.


Vektor Secara Geometri •

Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor

•

Ujung panah disebut titik ujung vektor

•

Vektor ditulis dalam huruf kecil (a, k, v, w, x), sedangkan

Skalar ditulis dengan huruf kecil miring (a, k, v, w, dan x ) •

Jika  menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang  = AB AB , panjang vektor u dinyatakan dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan AB

AB  v



•

Vektor - vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalen dipandang sama walaupun mungkin terletak pada posisi yang berbeda. Jika v dan w ekuivalen, kita tuliskan : v = w B

A

Vektor AB

Vektor-vektor yang ekuivalen


Vektor Secara Geometri

Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut : •

•

Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v. Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w. w v+w=w+v v v+w



•

Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka v, negatif dari v, didefinisikan v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik. –

v

-v

Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0


Vektor Secara Geometri Jika v dan w adalah dua vektor sembarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai :

v

w = v + (-w)

–

v v-w

w

Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan k v = 0 jika k = 0 atau v = 0


Vektor pada Sistem Koordinat (aljabar)


Vektor Posisi (pada koordinat Cartesius)


Operasi Vektor Operasi Vektor meliputi : 1. Penjumlahan antar vektor (pada (pada ruang ruang yang sama) 2. Perka Perkalian lian vektor (a) dengan skalar (b) dengan vektor lain •

Hasil kali titik (Dot (Dot Product )

•

Hasil kali silang (Cross (Cross Product )


Penjumlahan Vektor Misalkan u dan v adalah vektor vektor vektor yang berada di ruang yang sama, maka maka vektor –

maka u  v

didefinisikan

v

u

u

 u



v


Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian vektor

u dengan skalar k ,

k u

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor u dengan arah Jika k > > 0  searah dengan u Jika k < < 0  berlawanan arah dengan u

2u u



2u


Penjumlahan Vektor & Perkalian Skalar Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas diatas dapat dijelaskan sebagai berikut : Misalkan

a



a

1

a2 , a3

 dan

b



b , b , b  1

2

3

adalah vektor-vektor di ruang yang sama maka

1. a  b 2. a  b

 a1  b1 , a2  b2 , a3  b3   a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 

3. k a  ka1 , ka2 , ka3 

Hasilnya merupakan Vektor


Perkalian 2 Vektor Perkalian antara dua vektor •

Hasil kali titik (dot product )

•

Hasil kali silang (cross product )

Hasil kali titik (dot product ) 

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar

Hasil kali silang (Cross product )  Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor


Perkalian Titik (dot product ) Misalkan v, w adalah vektor pada ruang/dimensi yang sama maka maka hasil kali titik antara antara dua vektor :

Hasilnya merupakan Skalar dimana 

: panjang

v,



w

: panjang

w



: sudut keduanya

v


Perkalian Titik (dot product ) Contoh: Tentukan hasil hasil kali titik dari dua vektor a  2i dan b  2i  2 j ˆ

ˆ

ˆ

Jawab :

Karena tan ab  a

= 1 , artinya  = = 45 0



b cos 

 2. 8 .

1

2

2 = 4 (skalar)

a  b  a1 .b1  a 2 .b2

 2 .2  0.2 = 4 (skalar)


Perkalian Titik (dot product ) Beberapa sifat perkalian titik adalah: ab



 b a

a b

 c 

k a  b

ab

 ac

 k a  b  a  k b , dimana

k  R




Proyeksi Ortogonal

u

Vektor ortogonal : vektor-vektor yang tegak lurus, v  w  0 






Proyeksi Ortogonal

u




Proyeksi Ortogonal

u

Contoh:

Tentukan proyeksi Tentukan proyeksi ortogonal ortogonal vektor u terhadap vektor v

  2    u   4    3 

 1    v  3   4  

P v u



u

v

v

2

v

  2   1        4   3   3    4   2 2  2 1  3  ( 4 )

 1     3      4   1   2  ( 12 )  ( 12 )     3  26     4   1   26     3  26    4     1       3  4   


Perkalian Silang (Cross product ) Merupakan hasil kali antara 2 vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor vektor yang yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.


Perkalian Silang (Cross product )

Contoh :

w

Tentukan

 u  v dimana

u

 1, 2,  2;

v

 (3, 0, 1)

Jawab : i

j

k

w  u1

u2

u3

v1

v2

v3

ˆ

ˆ

ˆ

i

ˆ

j

k ˆ

ˆ

 1 2 2 3 0

1

 2.1  0(2)  i  1.1  3(2) j  1.0  3.2 k ˆ

 2 i  7 j  6 k ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Matriks & Ruang Vektor


Pengantar Vektor Latihan

ATA 2014/2015

Latihan


Answer: a, b, c, d, e, f

ATA 2014/2015


Latihan


Answer: 2

ATA 2014/2015


Latihan


Answer: 5

ATA 2014/2015


Latihan



Answer: d Trace out the vector u starting at the tail and moving along the vectors a, b and c until you reach the head of u.

ATA 2014/2015

Latihan


Answer: b

ATA 2014/2015


Latihan


Answer: c

ATA 2014/2015


Latihan


Answer: a

ATA 2014/2015


Latihan


Answer: d

ATA 2014/2015


3 Matriks Ruang Vektor Ruang 2D Dan 3D

Recommend Documents