Bab v Ruang Vektor

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Ba b Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Si Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ru Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Tran ransformas rmasii Linear VIII Ruang Eigen

07/03/2007 12:17

MA-1223 Aljabar Linear

1

RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan

– Ruang Vektor Umum – Subruang – Basis dan Dimensi – Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor  Beberapa  Sistem

Kontrol

 Operation  dan

metode optimasi Research

lain-lain

07/03/2007 12:17


2

Ruang Vektor Umum

Misalkan u , v , w ∈ V dan k, l ∈ Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutu tutup p terhadap operasi penjumlah lahan Untuk tuk setiap iap u , v 2. u

+v =

3. u

+

v

+

u

+

+

v

0

=

0

5. Untuk setiap u ∈ V u

+

u

+

v

∈

V

)+ w

sehingga untuk setiap

0 ∈ V

berlaku

maka

V

u

(v + w ) = (u

4. Terdapat

∈

+

u

=

u

∈ V

u

terdapat

(− u )

sehingga

(− u ) = (− u ) + u = 0

07/03/2007 12:17


3

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap u ∈ V

dan k ∈ Riil maka k u

∈ V

7. k (u + v ) = k u + k v 8.

(k + l ) u = k u + lu

9. k (l u ) = l (k u ) = (kl ) u 10. 1. u = u

07/03/2007 12:17


4

Contoh :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n ) 2. Himpunan matriks berukuran m x x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himp Himpun una an poli polino nom m pang pangka katt n d n dengan operasi stan tandar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n )

07/03/2007 12:17


5

Ruang Euclides orde

n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: • Penjumlahan u

+ v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 , ..., u n + v n )

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k ) k u = (ku1 , ku 2 ,..., ku n )

• Perkalian Titik (Euclidean inner product ) u • v = u1 v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n

• Panj Panjan ang g vekt vektor or dide didefi fini nisi sika kan n oleh oleh : u = (u • u )

1

2

= u1 2 + u 2 2 + ... + u n 2

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : d (u , v ) = u 07/03/2007 12:17

−v

= (u1 − v1 )2 + (u 2 − v 2 )2 + ... + (u n − v n )2 MA-1223 Aljabar Linear

6

Contoh :

Diketahui u = (1, 1, 2, 3) dan

v

=

(2, 2, 1, 1)

Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vek vektor tor ter terseb sebut Jawab:

Panjang vektor : u

=

v

=

(u • u ) 2

2

+

1

2

2

2

2

1

=

+

2

1

+

+ 2

1

2

1

=

+

2

2

+

3

2

=

15

10

Jarak kedua vektor

(

d u , v

)=

u

−

v

=

(1 − 2)2 + (1 − 2)2 + (2 − 1)2 + (3 − 1)2

=

(− 1)2 + (− 1)2 + 12 + 2 2

=

7

07/03/2007 12:17


7

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V W dinamakan W dinamakan subruang (subspace ) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutu tutup p ter terhadap operasi penjumlah lahan dan perkalian ian dengan skalar. Syarat W d W disebut subruang dari V a V adalah : 1. W ≠ { } 2. W ⊆ V 3. Jika u , v 4. Jika u

∈W

maka u

+ v ∈ W

∈ W dan k ∈ Riil maka k u ∈ W

07/03/2007 12:17


8

Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan W yan yang g beri berisi si semu semua a matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab :

⎛ 0 0 ⎞ ⎟⎟ ∈ W maka W ≠ 1. O = ⎜⎜ ⎝ 0 0 ⎠ 2. Jelas bahwa W ⊂ M2x2

{}

3. Amb Ambil sembarang matriks iks A, B ∈ W Tulis

⎛ 0 b1 ⎞ ⎛ 0 a1 ⎞ ⎟⎟ dan B = ⎜⎜ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ a2 0 ⎠ ⎝ b2 0 ⎠

07/03/2007 12:17


9

Perhatikan bahwa :

⎛ 0 a1 ⎞ ⎛ 0 b1 ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ A + B = ⎜⎜ ⎝ a2 0 ⎠ ⎝ b2 0 ⎠ a1 + b1 ⎞ ⎛ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎠ ⎝ a2 + b2 Ini menunjukan bahwa A + B ∈ W 4. Amb Ambil sembarang matriks iks A ∈ W dan k ∈ Riil maka

⎛ 0 ka1 ⎞ ⎟⎟ ∈ W kA = ⎜⎜ ⎝ ka2 0 ⎠ Ini menunjukan bahwa kA ∈ W

Jadi,

W merupakan Subruang dari M2x2.

07/03/2007 12:17


10

Contoh :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab :

Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Pilih a ≠ b : b :

⎛ a b ⎞ , jel det (A) = 0 ⎟⎟ jelas bahwa det (A) A = ⎜⎜ ⎝ 0 0 ⎠

⎛ 0 0 ⎞ , jelas bahwa det (A) det (A) = 0 ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝ b a ⎠ 07/03/2007 12:17


11

Perhatikan bahwa :

A + B

=

⎛ a b ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ b a ⎠

Karena a ≠ b

Maka det ( det (A + A + B ) B ) = a2 – b2

≠

0

Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

07/03/2007 12:17


12

Sebuah vektor tor

u

dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor v1, v2 ,

… , vn

jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : u

=

k 1v1

dimana

+

k 2 v2

k 1, k 2,

07/03/2007 12:17

+

…,

...

k n

+

k n vn

adalah skalar Riil.


13

Contoh Misal u = (2, 4, 0), dan

v = (1, –1, 3)

adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas a. a = (4, 2, 6) b. b = (1, 5, 6) c. c = (0, 0, 0)

07/03/2007 12:17


14

Jawab :

a. Tulis k 1u

+

k 2 v

=

a

akan diperiksa apakah ada k 1, k 2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k 1 ⎜ 4 ⎟ + k 2 ⎜ - 1 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ini dapat ditulis menjadi: ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ k 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ 4 -1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 3 ⎠ ⎝ k 2 ⎠

07/03/2007 12:17

⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠


15

dengan OBE, diperoleh:

⎛ 1 1 2 2 ⎞ ⎛ 1 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 -3 -6 ⎟~⎜ 0 1 ⎜ 0 3 6⎟ ⎜ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝

2 ⎞

⎟ 2⎟ 0 ⎠⎟

Dengan demikian, a

merupakan kombinasi linear dari vektor u dan

v

atau r

a

r

=

u

07/03/2007 12:17

2v

r

+


16

b. Tulis : k 1u + k 2 v = b

v

r

r

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ k 1 ⎜ 4 ⎟ + k 2 ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜-1 ⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠

ini dapat ditulis menjadi: ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ k 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 - 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎜ 0 3 ⎟ ⎝ k 2 ⎠ ⎜ 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:17


17

dengan OBE dapat kita peroleh :

⎛ 2 1 ⎜ ⎜ 4 -1 ⎜ 0 3 ⎝

⎞ ⎛ 1 1 2 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ~⎜ 0 -3 ⎜ 0 3 6 ⎠⎟ ⎝

1

⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟~⎜ 0 ⎜ 0 6 ⎠⎟ ⎝

0

1

2

1 0

1

⎞ ⎟ 2⎟ 3 ⎠⎟ 2

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyaisolusi). Jadi, tidak ada nilai k 1 dan k 2 yang memenuhi 

b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari u dan v

07/03/2007 12:17


18

c. Dengan me memilih k 1 = 0 dan k 2 = 0, maka dapat ditulis

k 1u + k 2 v = c r

r

r

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

07/03/2007 12:17


19

Definisi membangun dan bebas linear

Himp Himpun una an vekt vektor or S

=

{v1 , v 2 , ... , v } n

dikatakan membangun suatu ruang vektor jika setiap vektor pada

V

V

selalu lalu dapat dinyatak takan

sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di

S .

Contoh : Ten Tentu tuka kan n apak apakah ah

v1 = (1, 1, 2), v2

v3

= (1, 0, 1), dan = (2, 1, 3)

07/03/2007 12:17

membangun


V???

20

Jawab :

Ambil sembarang vektor di R2 misalkan .

⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜u2 ⎟ ⎜u ⎟ ⎝ 3 ⎠

Tulis :

u = k 1 v1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 .

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

⎡1 1 2⎤ ⎛ k 1 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎢1 0 1 ⎥ k = ⎜ u ⎟ ⎜ 2⎟ ⎢ ⎥ ⎜ 2⎟ ⎜ k ⎟ ⎜u ⎟ ⎢⎣2 1 3⎥⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

07/03/2007 12:17


21

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL ter tersebut harus mempunyai solus lusi (ko (konsisten ten) Dengan OBE diperoleh : u1 ⎡⎢1 1 2 ⎤⎥ ⎢⎢0 -1 -1 u2 − u1 ⎥⎥ ⎢⎢0 0 0 u3 − u1 − u2 ⎥⎥ ⎣ ⎦

Agar Agar SPL SPL itu itu kons konsis iste ten n haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian vektor – vektor tersebut tidak membangun R3 07/03/2007 12:17


22

Misalkan S

= {u1 , u 2 ,..., u n }

adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent ) JIK JIKA A SPL SPL homo homoge gen n: k 1u1 + k 2 u1 + ... + k n u n = 0

hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni k 1

= 0 k 2 = 0 ,

,...,

k n

=0

Jika solusinya tidak tunggal maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent ) 07/03/2007 12:17


23

Contoh :

Diketahui u = (− 1, 3, 2) dan a = (1, 1, − 1) Apakah saling bebas linear di di R3 Jawab :

Tulis

+ k 2 a = 0 r

r

k 1u

r

atau ⎛ - 1 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ k 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 3 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 − 1 ⎟ ⎝ k 2 ⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:17


24

engan OBE dapat diperoleh : ⎛ - 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 − 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 1 0 ~ ⎜ ⎟ ⎜ 0 4 0⎟ ~ ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 2 −1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k 1 = 0, dan k 2 = 0. Ini berarti

07/03/2007 12:17

ū

dan

ā

adalah saling bebas linear.


25

Contoh : Misalkan

, − 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ a =⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b = ⎜ 1 ⎟ c = ⎜ − 6⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : 0 = k 1 a

+ k 2 b + k 3 c

atau 2 ⎞ ⎛ k 1 ⎞ ⎛ − 1 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 3 1 − 6 ⎟ ⎜ k 2 ⎟ = ⎜ 2 − 1 − 4 ⎟ ⎜ k 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:17

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠


26

dengan OBE diperoleh : ⎛ 1 − 1 − 2 ⎞ ⎛ 1 − 1 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜0 4 0 ⎟ ~ ⎜0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠

Ini menunjukan bahwa k 1, k 2, k 3 mrp solusi tak hingga banyak Jadi dalah h vekto ektorr-ve -vektor ktor yang yang berg berga antu ntung line linear ar.. a , b , c adala

07/03/2007 12:17


27

Basis da dan Dimensi Jika V a V adalah sembarang ruang vektor dan S = S = { ū 1,

ū 2,

…,

ū n }

merupakan

himpunan berhingga dari vektor – vektor di V , maka

S

dinamakan basis bagi

V

Jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun V • S bebas linear

07/03/2007 12:17


28

Contoh : Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut : ⎧⎪ M = ⎨ ⎪⎩

⎡3 6 ⎤ ⎢3 − 6⎥, ⎣ ⎦

⎡ 0 − 1⎤ ⎡ 0 − 8⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎫⎪ ⎢− 1 0 ⎥, ⎢− 12 − 4⎥, ⎢− 1 2⎥ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎭

merupakan basis ba bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab :

Tulis kombinasi lin linear :

⎡3 6 ⎤ ⎡ 0 −1⎤ k 1 ⎢ + k 2 ⎢ + k 3 ⎥ ⎥ ⎣3 − 6⎦ ⎣−1 0 ⎦

⎡ 0 − 8⎤ ⎡1 ⎢−12 − 4⎥ + k 4 ⎢−1 ⎣ ⎦ ⎣

0⎤

⎡a b⎤ =⎢ ⎥ ⎥ 2⎦ ⎣c d ⎦

atau 3k 1 + k 4 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 3k 1 − k 2 − 12k 3 − k 4 07/03/2007 12:17

− k 2 − 8k 3 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ − 6k 1 − 4k 3 + 2k 4 ⎠ ⎝ c d ⎠ 6k 1


29

dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL : 0 0 1 ⎤ ⎛ k 1 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎡3 ⎢ 6 − 1 − 8 0 ⎥ ⎜ k ⎟ ⎜ b ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ 2⎟ = ⎜ ⎟ ⎢ 3 − 1 − 12 − 1⎥ ⎜ k 3 ⎟ ⎜ c ⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎣− 6 0 − 4 2 ⎦ ⎝ k 4 ⎠ ⎝ d ⎠ Dete Deterrmina minan n matr matrik iks s koef koefis isie ien nnya nya (MK) (MK) = 48 • det (MK) (MK) ≠ 0  SPL SPL mem memil ilik ikii solu solusi si

untuk setiap a,b,c,d Jadi, M me membangun M2 x 2 • Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det (MK) (MK) ≠ 0

SPL

ho homogen punya solusi tunggal.

Jad Jadi, i, M beba bebas s linea linear. r. 07/03/2007 12:17


30

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat… Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Contoh :

Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks : ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩

⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡0 0⎤ ⎡0 0⎤ ⎫⎪ ⎢0 1⎥, ⎢0 0⎥, ⎢1 0⎥, ⎢0 1⎥ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪⎭

juga merupakan basisn isnya.

07/03/2007 12:17


31

Misalkan matriks :

⎛ − 1 − 2 − 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 2 3 −1 ⎟ ⎜ 1 2 2 −1 ⎟ ⎝ ⎠

Vektor tor baris

Vektor kolom lom dengan melakukan OBE diperoleh :

⎡1 2 0 -1⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎢0 0 1 0⎥⎥ ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥ ⎣ ⎦ Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

07/03/2007 12:17


32

matr matrik iks s A mem mempu puny nyai ai basis ruang kolom yaitu : ⎧⎛ − 1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎨⎜ 1 ⎟, ⎜ 3 ⎟ ⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

basis ruang baris diperoleh dengan cara,

Mentra transposkan ter terlebih dahulu matrik triks s A, lak lakuka ukan OBE OBE pad pada a A t, sehingga diperoleh : ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

07/03/2007 12:17

-1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

2 1 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦


33

Kolom lom-kolom pada matrik triks s hasil OBE yang memili iliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A ). ). Ini berarti, ti, matr matrik iks s A ter tersebu sebutt memp mempun uny yai basis ruang baris :

⎧⎛ − 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ − 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎨⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎬ ⎪⎜ − 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎪ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎪ ⎪⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ Dimensi basis ruang baris = ruang kolom

dinamakan rank. Jadi rank dar dari matriks A a A adalah 2. 07/03/2007 12:17


34

Conto ontoh h :

Diberikan SPL ho homogen : 2 p + p + q – – 2r – – 2s = 0 p – – q + q + 2r 2r – s – s

=0

– p + 2q – 4r + r + s = s = 0 3 p – p – 3s

=0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab :

SPL dapat ditulis dalam bentuk :

⎛ 2 1 − 2 − 2 ⎜ ⎜ 1 −1 2 −1 ⎜ −1 2 − 4 1 ⎜⎜ ⎝ 3 0 0 − 3 07/03/2007 12:17

0 ⎞

⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟⎟ 0 ⎠


35

engan melakukan OBE diperoleh :

⎛ 1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝ 0

− 1 0 ⎞ ⎟ 1 − 2 0 0⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟⎟ 0 0 0 0 ⎠ 0

0

Solusi SPL homogen tersebut adalah :

⎛ p ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ q ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ r ⎟ = ⎜ 0 ⎟a + ⎜ 1 ⎟b ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ s ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ dimana a, b merupakan b merupakan parameter.

07/03/2007 12:17


36

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :

⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪ ⎜ 0⎟ ⎨⎜ ⎟, ⎪ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠

⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 2⎟ ⎪ ⎜1⎟ ⎬ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪ ⎝ 0 ⎠ ⎪⎭

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nu nulitas dari SPL di diatas adalah 2.

07/03/2007 12:17


37

Latihan Bab 5 ⎡6 3⎤ 1.Ny 1.Nyat atak akan anla lah h matr matrik iks s ⎢ ⎥ 0 8 ⎣ ⎦

sebagai kombinasi linear da dari matriks berikut :

⎡ 4 − 2⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡0 1 ⎤ , dan ⎢ ⎢ − 1 3⎥ , ⎢ ⎥ ⎥ − 0 2 2 4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ 2. Periks iksa, apakah himpunan berikut bebas line inear ! a.{6 – x2 , 6 + x + x + 4x 4x 2 } b.{1 + 3x 3x + + 3x 3x 2, x + x + 4x 4x 2, 5 + 6x + x + 3x 3x 2, 7 + 2x – x – x 2 } 3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + x + 4x 4x 2 } membangun polinom orde 2 !

07/03/2007 12:17


38

4. Pe Periks riksa, a, apa apaka kah h himp himpu unan nan berik erikut ut meru merup pakan akan basis bagi polinom orde 2 (P2) a.{4 + 6x 6x + + x 2, – 1 + 4x + x + 2x 2x 2, 5 + 2x 2x – x 2 } b.{– 4 + x + x + 3x 3x 2, 6 + 5x + x + 2x 2x 2, 8 + 4x 4x + x 2 } 5. Misalkan 2 2 2 2⎫ + + = + J = ⎧ a bx cx a b c ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ merupakan himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua. Periksa apakah J merupakan subruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jik Jika a ya, ya, tent tentuk ukan an bas basisny isnya a

07/03/2007 12:17


39

6. Diberika ikan SPL homogen : p + 2q + 3 r = 0 p + 2q – 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0, Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan ten tentuk tukan dime imensinya. 7. Tentukan rank d rank dari matriks : ⎡− 1 − 2 − 1 1 ⎤ ⎢1 ⎥ 2 3 −1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 2 2 − 1⎥⎦

07/03/2007 12:17


40

Bab v Ruang Vektor

Recommend Documents