Universidad de Monterrey División de Ingeniería y Tecnologías Departamento de Física y Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales
Karla Itzel Saldivar Ibañez Daniel Antonio Barrera Méndez
293065 356612
Horario: 10:00 – 10:50 LMV Salón: 1308 Instructora: Ana María González Piña
“Nosotros: Daniel y Karla; declaramos que hemos realizado esta Indagación Bibliográfica con Bibliográfica con estricto apego al Código de Honor de la UDEM.” A 8 de Diciembre del 2014, San Pedro Garza García, Nuevo León.
Introducción Al igual que en el caso de las ecuaciones de primer orden, es preciso cuestionarnos acerca de las condiciones de existencia y unicidad que deben cumplirse para que las soluciones de problemas reales queden bien definidas; es decir, debemos precisar qué condiciones tienen que cumplirse para determinar que un problema tenga solución, y posteriormente justificar que la solución propuesta sea única. A continuación se muestra la forma estándar de una ecuación diferencial de orden superior:
* + * + Sean
todas funciones continuas en un intervalo común con Entonces, para todo punto , el problema de resolver la e cuación diferencial (1)
Para garantizar la existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial es necesario que todas las funciones
sean continuas y que
para todo
valor en el intervalo que contiene al punto . Basta con que una sola función de las anteriores no sea continua, o que para que se anule la unicidad de solución al problema y exista más de una solución. [1]
En general, resolver la ecuación lineal de orden es un problema complicado, y lo más común es que si se construye al azar, la ecuación no presente solución alguna. Es por eso que es
fundamental el estudio de las mismas; estableciendo restricciones para desarrollar métodos de solución. [2]
Para poder resolver la ecuación no-homogénea
, primero se somete a discusión la ecuación de segundo orden .
Para resolver la ecuación diferencial anterior, se demuestra que la solución general es de la forma , donde
,y
es la solución general de la homogénea asociada
es una solución que se puede obtener mediante variación de parámetros. Así el
estudio se centra primeramente en las ecuaciones lineales homogéneas y posteriormente se dedica a los métodos para determinar Al estudiar la ecuación
se demuestra que la solución general se
puede obtener a partir de un par de soluciones específicas
que satisfacen condiciones de
independencia lineal.
Un conjunto de funciones
es linealmente independiente si al considerar una
combinación lineal de ellas igualada a cero, todas las constantes son cer o:
En general, la sola definición no basta para analizar la dependencia lineal de cualquier conjunto de
funciones. Para solucionar este problema, se presenta un resultado que da paso a la definición de un determinante conocido como el wronskiano de un conjunto de funciones, desarrollado por Josef Hoëné-Wronski:
2
Si
; entonces el sistema homogéneo de ecuaciones obtenido no presenta una
solución única; en cambio, si única. [3]
; entonces el sistema sí presenta una solución
Con la teoría bien reforzada y ahora que se ha entendido de dónde nace el wronskiano, se procederá a generalizar el método de variación de parámetros visto en el curso para el caso de una ecuación diferencial de tercer orden. Para una E.D. de segundo orden, la forma e stándar y su solución complementaria es:
, -
Respectivamente; mientras que para el caso de una E.D. de tercer orden, se tiene:
Donde
está dada por
y
corresponde a las raíces de la ecuación homogénea
asociada. Recordemos que tenemos 3 casos para las raíce s [4]: 1. 2. 3.
Raíces reales distintas:
Raíces reales repetidas:
Raíces complejas conjugadas:
En cuanto a la solución particular, estará dada por:
(2)
Donde los
se determinan por las ecuaciones
(3)
Las primeras 2 ecuaciones del sistema, son suposiciones que se hacen para simplificar la ecuación resultante después de que (2) se sustituye en En este caso, se utiliza Cramer para obtener
Para el cual es el wronskiano de es el determinante que se obtiene al reemplazar la k-ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado derecho del igual de (3). Cuando , la solución particular (2), donde constituyen un conjunto 3
linealmente independiente de soluciones de la ED homogénea asociada y determinan a partir de [5]
se
∫ ∫ ∫ Problemas propuestos
Para integrar el contenido que se ha revisado, se realizarán 2 problemas.
El primer paso es encontrar la e cuación homogénea asociada:
√ | | | | | | -)-, - ,, (
A partir de la homogénea asociada, se deben encontrar las raíces:
Se observa que se tiene una raíz real y una raíz puramente imaginaria
Se procede a ubicar
Donde los Wronskianos se definen de la siguiente manera:
4
| | | | | | , ,( )- - , - , - | | | | | | ,, ( )-, - || | | | |
Lo siguiente consiste en escribir la ecuación diferencial en la forma estándar para encontrar que en este caso ya está escrita de la manera deseada.
,
Se calculan los wronskianos restantes
5
)-,- - , ,( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Se ubican los 4 Wronskianos calculados y se procede a encontrar
Del Formulario para Cálculo Integral oficial de la Universidad de Monterrey, se encuentra que las integrales son directas
Nótese que
Por último, se escribe la solución de la E.D de tercer orden
Se puede reducir la expresión ya que
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Bibliografía [1] M. W. Hirsch y S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Nueva York, Nueva York: Academic Press, 1974. [2] R. J. LeVeque, Finite Difference Methods for Or dinary and Partial Differential Equations, Philadelphia: SIAM, 2007. [3] J. Ibarra Escutia, Matemáticas 5: Ecuaciones diferenciales, D.F., Estado de México: Mc-Graw Hill, 2013. [4] M. Rahman, Applied Differential Equations for Scientists and Engineers, vol. Vol 1: Ordinary Differential Equations, Chippenham, Wiltshire: Computational Mechanics Publications, 1991. [5] D. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, 9a ed., CENGAGE Learning, 2009.
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